21.11.2016

1

Parametrické

a implicitní vyjádření

kuželoseček

Kuželosečky

P. Pech: Kuželosečky, JU České Budějovice 2004, 159s

Kuželosečka je množina bodů v rovině, jejichž souřadnice (x, y) vyhovují

v nějaké lineární soustavě souřadnic rovnici:

(Pech, s. 76)

Kuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně

GeoGebra-kuzelosecky.ggb

21.11.2016

2

Kuželosečka je množina bodů v rovině, jejichž souřadnice (x, y) vyhovují

v nějaké lineární soustavě souřadnic rovnici:

(Pech, s. 76)

Kuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně

GeoGebra-kuzelosecky.ggb

Maticové vyjádření

(1) 2 2

11 22 12 13 23 332 2 2 0a x a y a xy a x a y a

11 12 13

11 12

12 22 23

12 22

13 23 33

, ,1 , ,1 0

,

Tx y A x y

a a aa a

A a a aa a

a a a

Kuželosečka je regulární právě tehdy, když |A| ≠ 0.

< 0 hyperbola

> 0 hyperbola

= 0 parabola

Asymptotický směr

11 12

12 22

a a

a a

(1)

Je-li > 0, kuželosečka (1) nemá žádný asymptotický směr – elipsa

Je-li = 0, kuželosečka (1) má jeden asymptotický směr – parabola

Je-li < 0, kuželosečka (1) má dva asymptotické směry - hyperbola

2 2

11 22 12 13 23 332 2 2 0a x a y a xy a x a y a

21.11.2016

3

Střed kuželosečky, tečna kuželosečky

2 2

11 22 12 13 23 332 2 2 0a x a y a xy a x a y a (1)

Rovnice tečny kuželosečky, procházející dotykovým bodem M = (m, n)

• Změníme-li soustavu souřadnic, změní se i rovnice kuželosečky.

• Zvolíme takovou soustavu souřadnic, ve které bude rovnice

kuželosečky co nejjednodušší.

• Vhodnou soustavu souřadnic nalezneme pomocí otočení a posunutí.

Převedení rovnice kuželosečky na osový tvar

1

1

, ,1 , ,1 0

pro sloupcové vektory

, ,1 ', ',1

( , ,1) ( ', ',1)

( ', ',1) ', ',1 0

T

T T

T

TT

x y A x y

x y B x y

x y x y B

x y B A B x y

x = Bx

2 2

11 22 12 13 23 332 2 2 0a x a y a xy a x a y a

21.11.2016

4

S

r

k

S[m;n]

x

X[x;y] x

y

222rnymxkX

m

n

x – m

y – n

Středová rovnice kružnice y

S[m;n]

222rnymxkX

Obecná rovnice kružnice

22222 22 rnnyymmxx

022 22222 rnmnymxyx

02222 pnymxyx

21.11.2016

5

S[m;n]

222rnymxkX

Obecná rovnice kružnice

02222 pnymxyx

Každou kružnici lze vyjádřit jak středovou, tak obecnou rovnicí.

POZOR !

Ne každá rovnice tohoto typu je obecnou rovnicí kružnice !

0122 yxnapříklad:

Středová rovnice kružnice

Parametrické rovnice kružnice

2 2 1x y

21.11.2016

6

Parametrické rovnice kružnice

cos

sin ; 0,2

x r t

y r t t

2 2 2

2 2 2 2 2cos sin

x y r

r t r t r

November 21, 2016 12

y

x

y

x

cos sin

sin cosR

Rotace R x x

21.11.2016

7

cos sin

sin cosR

y

x

Trajektorie bodu A = (r, 0) při rotaci

R x x

A

cos sin

sin cos 0

cos

sin

R

x r

y

x r

y r

A A

A’

Rovnoměrný pohyb po kružnici

GeoGebra- kruznice2.ggb

21.11.2016

8

Elipsa

S

S – střed elipsy

E F

E, F – ohniska elipsy

A B

A, B – hlavní vrcholy C

D

C, D – vedlejší vrcholy

a a = |AS| = |SB| – hlavní poloosa

(její délka se zároveň rovná

|EC| = |FC| = |ED| = |FD|)

b

b = |CS| = |SD| – vedlejší poloosa

e

e = |ES| = |SF| – excentricita

Z obrázku je patrná platnost

Pythagorovy věty pro a, b, e:

a 2 = b 2 + e 2

β

α

Součtová definice elipsy

GeoGebra-elipsa_soucet.ggb

21.11.2016

9

E F S

Středová (osová) rovnice elipsy

0,0S

x

y

X

a2FXEX

X je bod elipsy, právě když platí:

a2yexyex 2222

po úpravě: 22222222 eaayaxea

222222 bayaxb 1b

y

a

x2

2

2

2

1

b

ny

a

mx2

2

2

2

Středová (osová) rovnice elipsy

n,mS

S

x

y X

n

m

Poznámka : Pokud a = b = r, je

elipsa kružnicí (e = 0, E = F = S)

21.11.2016

10

1

b

ny

a

mx2

2

2

2

Obecná rovnice elipsy

222222 banyamxb

222222222222 banayna2yambmxb2xb

po úpravě a přeznačení:

0tsy2rx2qypx 22 0qp

POZOR !

Ne každá rovnice tohoto typu je obecnou rovnicí elipsy !

November 21, 2016 21

Obecná změna měřítka

sx 1

1

sy

y

x

y

x

0

0

x

y

sM

s

M x x

21.11.2016

11

Obecná změna měřítka obraz kružnice

0

0

aM

b

1

M

M

x x

x x

y

x

y

x a

b

1

1

10

10

aM

b

xx

a

yy

b

2 2

2 2

1

1

x y

x y

a b

Souřadnice každého bodu X na elipse

lze vyjádřit takto:

x = a · cos t + m

y = b · sin t + n

kde t je parametr vyjadřující úhel (viz

obrázek). Může nabývat hodnot z

intervalu <0;2π).

Parametrické vyjádření elipsy

X[x;y]

S[m;n]

y

x 0

m x

n

y

× t

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

1

.cos .sin1

. cos . sin1

x m y n

a b

a t m m b t n n

a b

a t b t

a b

21.11.2016

12

GeoGebra-trojuhelnikova_konstr.ggb

dr

1

2dS d d d

2. Keplerův zákon

Plochy opsané průvodičem planety za stejný čas jsou stejné

21konst.

2

dS dd

dt dt

plošná rychlost

vzdálenost od ohniska úhlová rychlost oběhu

Země:

numerická excentricita: e = e/a = 0,0167

6max min 1AU 149,6 102

d da km

2

3

aT

Kepler’s first two laws 3. Keplerův zákon

21.11.2016

13

Parabola

http://tube.geogebra.org/

q

F

V

Vrcholová rovnice paraboly

x

y

X

X je bod paraboly, právě když platí:

XqXF

V[0,0]

F[0, ] p

2

q: y= p

2

22

2

2 py

pyx

44

22

222 p

pxyp

pxyx

pyx 22

21.11.2016

14

Obecná rovnice paraboly

nypmx 22

npypmmxx 2222 442

po úpravě a přeznačení:

0222 tsyrxx

mxpny 22

mpypnnxx 2222 442

0222 tsyrxy

n

m F V

x

y

Šikmý vrh

21.11.2016

15

Parabola zadaná parametricky

GeoGebra- tecna_parabola.ggb

2

2

1

( 1)

x t

y t

x y

X

S

x

Hyperbola je množina všech bodů,

které mají od daných dvou bodů

(ohnisek) stejný rozdíl vzdáleností

(v absolutní hodnotě).

Pro libovolný bod X na hyperbole

tedy platí ||EX| – |FX|| = 2a,

kde 2a je kladné reálné číslo.

Hyperbola

E F

β

α

21.11.2016

16

Rovnice hyperboly

Pokud je střed hyperboly S[m;n] mimo počátek souřadnic,

středová rovnice hyperboly je ve tvaru

resp.

Roznásobením a odstraněním zlomků vznikne obecná rovnice:

Ze středového tvaru je patrné, že znaménka u členů x2 a y2 jsou

opačná, platí tedy nerovnost A·B < 0.

Asymptoty mají směrnici , jejich rovnice je tedy

1)()(

2

2

2

2

a

mx

b

ny1

)()(2

2

2

2

b

ny

a

mx

022 EDyCxByAx

2,12,1 qxa

by

a

bk

, člen q se spočítá dosazením středu hyperboly.

x = a / cos t

y = b · tg t , kde t <0;2π); t π/2+kπ (k Z).

Parametrické vyjádření hyperboly

GeoGebra-hyperbola_rozdil.ggb

21.11.2016

17

Rovnoosá hyperbola

GeoGebra-neprima_umernost.ggb

1

substituce:

xy

x u v

y u v

2 2

1

1

u v u v

u v

Maticový zápis substituce

1 1

1 1

Ortonormální matice:

2 2

2 2

2 2

2 2

x u

y v

x u

y v

Parametrické vyjádření hyperboly

GeoGebra-hyperbola.ggb