Kvantová mechanika I a II Čas a místo Úterý 13:10-14:40 Středa 10:40-12:10 cvičení posluchárna ÚČJF3/945 Čtvrtek 10:40-12:10 Přednášející prof. Pavel Cejnar ÚČJF místnost: A934 telefon: 95155 2472 email: cejnar @ ipnp.troja.mff.cuni.cz Cvičící dr. Pavel Stránský ÚČJF místnost: A931 telefon: 95155 2470 email: stransky @ ipnp.troja.mff.cuni.cz Konzultace dle individuální domluvy

JSF094 Akademický rok 2017-2018

Kvantová mechanika

↓ Kvantová teorie

pole

Fyzika kondenzované

fáze Atomová, molekulová

fyzika

Jaderná fyzika

Částicová fyzika

Struny, sjednocení

polí Kosmologie

Astrofyzika

Optika

Fyzika pevných látek

Nanofyzika

Q-svět

Zimní semestr:

Provázané kapitoly: Formalismus kvantové teorie … teorie Jednoduché kvantové systémy … příklady

Hilbertův prostor stavů. Pozorovatelné a operátory. Systémy pozorovatelných. Transformace a symetrie. Kvantové evoluční rovnice. Klasická limita. Měření. Čisté a smíšené stavy, otevřené systémy. Letní semestr:

Základní látka: Přibližné metody Srážky částic Mnohočásticové systémy

Doplňující látka: Aplikace přibližných metod Mnohočásticové techniky Nelokalita, provázanost, důsledky… Klasická korespondence Kvantová statistická fyzika

It’s hard to believe it, but he’s got a PhD in quantum mechanics

Stručný program pro 2 semestry

http://www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/cejnar/prednasky/qm.html

Podrobný, průběžně aktualizovaný

sylabus přednášky

Tato prezentace a několik dalších

Stránka přednášky

“Essential formulae” (for tough guys only!!!) soupis základních pojmů a formulek

Stránka přednášky

http://www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/cejnar/prednasky/qm.html

Knihy

• P. Cejnar: A Condensed Course of Quantum Mechanics (Karolinum, 2013) …. dedikovaná učebnice k tomuto kursu • J. Formánek: Úvod do kvantové teorie (1983,2004) • J.J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics (1985,1994) J.J. Sakurai, J.J.Napolitano: Modern Quantum Mechanics (2011) • G. Auletta, M. Fortunato, G. Parisi: Quantum Mechanics (2009) • L.E. Ballentine: Quantum Mechanics. A Modern Development (1998) • A. Peres, Quantum Theory: Concepts and Methods (1995) • A. Bohm, Quantum Mechanics: Foundations and Applications (1979, 1993) • W. Greiner: Quantum Mechanics: An Introduction (1989), W. Greiner: Quantum Mechanics: Special Chapters (1998) W. Greiner, B. Müller: Quantum Mechanics: Symmetries (1989) • E. Merzbacher: Quantum Mechanics (1961,1998) • S. Flügge: Practical Quantum Mechanics (1971,1999) • J. Pišút, L. Gomolčák, V. Černý: Úvod do kvantovej mechaniky (1983) • J. Pišút, V. Černý, P. Prešnajder: Zbierka úloh z kvantovej mechaniky (1985) • R.P. Feynman: Feynmanovy přednášky 3 (1964,2002/6) ……….…..............

Začínáme…

trajektorie

akce

„Kvantová úroveň“

0=Sδ

0=Sδ][][ ),(),()( ∫=f

i

t

t

ttqtqLdttqS

Variační princip klasické mechaniky

Škála rozlišitelnosti trajektorií

1>>∆

S 1≤∆

SKritérium pro platnost klasické mechaniky:

0=Sδ

trajektorie

akce ][][ ),(),()( ∫=f

i

t

t

ttqtqLdttqS 0=Sδ

Škála Planckovy konstanty

fsVe66.0sJ1005.1 34

⋅=⋅⋅= −

Kvantová mechanika nastupuje když:

Charakteristická změna akce

na škále rozlišitelnosti

S∆

„Kvantová úroveň“

Max Planck (1858-1947)

Variační princip klasické mechaniky

Pro daný počáteční a koncový bod existují 2 trajektorie splňující Klasická částice letí buď po I, nebo po II

A

B

I

II

0=Sδ

Co se stane když ? ≈− III SS

Dvouštěrbinový experiment pro elektrony

Interference částic

Richard P. Feynman (1918 -1988)

Dvouštěrbinový experiment je srdcem kvantové mechaniky. Obsahuje tu jedinou skutečnou záhadu. Této záhady se nelze zbavit nějakým „vysvětlením“ jejího fungování. My prostě jen popíšeme, jak ta záhada funguje. A tím vám zároveň sdělíme základní zvláštnost celé kvantové mechaniky...

Kvantové mechanice nerozumí nikdo.

Fig. 1 Fig. 2

Fig. 3 Fig. 4

elektrony

A

B

A A

B B

Interference částic Dvouštěrbinový experiment pro elektrony

10

100

3000

20000

70000 A. Tonomura et al., Am. J. Phys. 57 (1989) 117

elektrony 50 keV

elektronový mikroskop

dvouštěrbina

obrazovka

d

l

interferenční obrazec

λdlx 2

=∆

… vlnová délka pro částici s hybností p Pro elektron o kinetické energii 50 keV λ ≈ 0.0055 nm

pπλ 2/

=

d ~ μm, l ~ m ⇒ perioda obrazce ~ μm

Interference částic

Akira Tonamura (1942-2012)

Dvouštěrbinový experiment pro elektrony

10

100

3000

20000

70000

Interference částic

„Každý elektron je v přístroji sám, tedy musí interferovat sám se sebou…“

© Charles Addams, the New Yorker 1940

Dvouštěrbinový experiment pro elektrony

Fig. 1 Fig. 2

Fig. 3 Fig. 4

elektrony

A

A A

B B

Interference částic

↑

↓

Principiální rozlišitelnost drah skrze štěrbiny A či B (např. v důsledku měření, nebo polarizací či interakcí s prostředím) ⇒ zmizení interferenčního obrazce

↑

↓

Dvouštěrbinový experiment pro elektrony

Fig. 1 Fig. 2

Fig. 3 Fig. 4

elektrony

A

A A

B B

Interference částic

↑

↓

Vylepšení: 1) Experiment se zpožděnou volbou (delayed-choice) o umístění/neumístění polarizátorů rozhodnuto až když je elektron v přístroji

2) Kvantový vymazávač (quantum eraser) průchod polarizačním filtrem vymaže informaci o dráze a obnoví interferenci →

↑

↓ →

Dvouštěrbinový experiment pro elektrony

A A

B B

Interference částic

↑

↓

XBAXBXA ∩∪∩∪∩ ≠ )()()(

„interference“ setup „which-path“ setup

X X

Dvouštěrbinový experiment pro elektrony

… a jdeme opravdu

na to!

Stav kvantového systému

1 3

4

5

6

x y

z

7

2

Polohy (x, y, z) a hybnosti (px ,py ,pz ) pro N=7 částic

Stav fyzikálního systému: zobrazení reality (jejího sledovaného výseku) v jednom konkrétním okamžiku do prostoru vhodně zvolených matema-tických entit. Požadavek, aby „stav“ v jednom čase t umožňoval odvodit „stavy“ (ne nutně výsledky pozorování) v libovolných jiných časech (t + Δt ).

Klasická mechanika Stavovým prostorem pro N částic

je 6N-rozměrný fázový prostor všech souřadnic a hybností.

Při zachování energie je pohyb omezen na (6N–1)-rozměrnou varietu ve fázovém prostoru.

42 D

stavy ≡ body

Stav kvantového systému

21

21 +=Ψ

Ψ

( ) ( )PP ==21

2/1

21

Kvantové stavy jsou reprezentovány vektory stavy ≡ vektory

2Ψβ

1 1

1Ψα

Vektor vzniklý součtem (lineární kombinací) dvou či více vektorů s nimi má nenulový

překryv, což vede k možné záměně

odpovídajících stavů. To je podstata

kvantové neurčitosti.

pravděpodobnost vzájemné záměny obou stavů

=2

*

21 Ψ+Ψ βα

C, ∈βα

*

Stav kvantového systému

normalizace

1) Komplexní vektorový prostor

Schwarzova nerovnost 2) Skalární součin

3) Úplnost

Každá konvergující posloupnost má limitu uvnitř prostoru (bezpečnostní opatření)

„Vybavenost“ prostoru skalárním součinem umožňuje počítat

2)|( ΨΨ′=ΨΨ′P ]1,0[∈

ΨΨΨΨ≤ΨΨ '''2

21 Ψ+Ψ βα

1 1

C' ∈ΨΨ

Uzavřenost tohoto prostoru vůči operacím: (a) násobení komplexním číslem, (b) sčítání ⇒ princip superpozice

C, ∈βα

pravděpodobnost „záměny“ stavových vektorů:

David Hilbert (1862-1943)

Prostor kvadraticky integrovatelných funkcí

∫+∞

∞−

∞<2)(xfdx

∫+∞

∞−

≡ )()(* xfxgdxfg

Funkce splňující podmínku

Skalární součin

John von Neumann (1903-1957)

Prostor nekonečných sekvencí l2

Posloupnosti komplexních čísel Splňující podmínku ∑

∞

=

∞<1

2

iia

≡

2

1

21** a

abbabSkalární součin

L2(R)

Hilbertovy prostory

Interference částic

A

B

2

22

|)(|

)'()'('||

x

xxxdxx

ψ

ψδψ

=

−= ∫

)( )()(cos)()(||||2)(||)(||)( 22

βα

ψ

φφφφρρβαρβρα

−−+++=

xxxxxxxP

BABA

BA

BA ψβψαψ +=)()()( xi

BBBBexx φρψψ ==

)()()( xiAAA

Aexx φρψψ ==βα φφ βα ii ee ||||

„interference“ setup Dvouštěrbinový experiment pro elektrony

Interference částic

A

B

↑

↓

=Ψ

01

)( )( xiAA

Aex φρ

=Ψ

10

)( )( xiBB

Bex φρ

=Ψ+Ψ=Ψ

)()(

xx

B

ABA ψβ

ψαβα

βα φφ βα ii ee ||||

( )

( )22

2

)'()'(

)'(0

2

)'()'(

0)'(

22

)()(

'

'

||||

xx

dx

dx

xx

BA

xx

xx

xx

xx

B

A

B

A

βψαψ

ψψ

βψαψ

δ

βψαψ

δ

+=

+

=

+

−

−

↓↑

∫∫

„which-path“ setup Dvouštěrbinový experiment pro elektrony

)(||)(||)( 22 xxxP BA ρβρα +=Ψ

Pokračování v dalších

77 dílech