Cramerovo pravidlo

Lenka Přibylová

19. září 2006

⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Obsah

Cramerovým pravidlem řešte soustavu. . . . . . . . . . . . . . . 3

Cramerovým pravidlem řešte soustavu. . . . . . . . . . . . . . . 14

Cramerovým pravidlem řešte soustavu. . . . . . . . . . . . . . . 19

⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:6x1+13x2 = 5

2x1+ 7x2 = 3

D =

∣

∣

∣

∣

6 13

2 7

∣

∣

∣

∣

= 42 − 26 = 16

x1 = −1

4, x2 =

1

2.

D1 =

∣

∣

∣

∣

5 13

3 7

∣

∣

∣

∣

= 35 − 39 = −4

⇒ x1 =D1

D= −

4

16= −

1

4

D2 =

∣

∣

∣

∣

6 5

2 3

∣

∣

∣

∣

= 18 − 10 = 8

⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:6x1+13x2 = 5

2x1+ 7x2 = 3

D =

∣

∣

∣

∣

6 13

2 7

∣

∣

∣

∣

= 42 − 26 = 16

x1 = −1

4, x2 =

1

2.

D1 =

∣

∣

∣

∣

5 13

3 7

∣

∣

∣

∣

= 35 − 39 = −4

⇒ x1 =D1

D= −

4

16= −

1

4

D2 =

∣

∣

∣

∣

6 5

2 3

∣

∣

∣

∣

= 18 − 10 = 8Nejdříve spočteme determinant matice soustavy.

⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:6x1+13x2 = 5

2x1+ 7x2 = 3

D =

∣

∣

∣

∣

6 13

2 7

∣

∣

∣

∣

= 42 − 26 = 16

x1 = −1

4, x2 =

1

2.

D1 =

∣

∣

∣

∣

5 13

3 7

∣

∣

∣

∣

= 35 − 39 = −4

⇒ x1 =D1

D= −

4

16= −

1

4

D2 =

∣

∣

∣

∣

6 5

2 3

∣

∣

∣

∣

= 18 − 10 = 8Matice je řádu 2, můžeme tedy použít křížové pravidlo.

⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:6x1+13x2 = 5

2x1+ 7x2 = 3

D =

∣

∣

∣

∣

6 13

2 7

∣

∣

∣

∣

= 42 − 26 = 16

x1 = −1

4, x2 =

1

2.

D1 =

∣

∣

∣

∣

5 13

3 7

∣

∣

∣

∣

= 35 − 39 = −4

⇒ x1 =D1

D= −

4

16= −

1

4

D2 =

∣

∣

∣

∣

6 5

2 3

∣

∣

∣

∣

= 18 − 10 = 8Napíšeme determinant D1, který vznikne záměnou 1. sloupce za

pravou stranu soustavy.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:6x1+13x2 = 5

2x1+ 7x2 = 3

D =

∣

∣

∣

∣

6 13

2 7

∣

∣

∣

∣

= 42 − 26 = 16

x1 = −1

4, x2 =

1

2.

D1 =

∣

∣

∣

∣

5 13

3 7

∣

∣

∣

∣

= 35 − 39 = −4

⇒ x1 =D1

D= −

4

16= −

1

4

D2 =

∣

∣

∣

∣

6 5

2 3

∣

∣

∣

∣

= 18 − 10 = 8Spočteme jeho hodnotu.

⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:6x1+13x2 = 5

2x1+ 7x2 = 3

D =

∣

∣

∣

∣

6 13

2 7

∣

∣

∣

∣

= 42 − 26 = 16

x1 = −1

4, x2 =

1

2.

D1 =

∣

∣

∣

∣

5 13

3 7

∣

∣

∣

∣

= 35 − 39 = −4

⇒ x1 =D1

D= −

4

16= −

1

4

D2 =

∣

∣

∣

∣

6 5

2 3

∣

∣

∣

∣

= 18 − 10 = 8Podíl těchto determinantů je neznámá x1.

⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:6x1+13x2 = 5

2x1+ 7x2 = 3

D =

∣

∣

∣

∣

6 13

2 7

∣

∣

∣

∣

= 42 − 26 = 16

x1 = −1

4, x2 =

1

2.

D1 =

∣

∣

∣

∣

5 13

3 7

∣

∣

∣

∣

= 35 − 39 = −4

⇒ x1 =D1

D= −

4

16= −

1

4

D2 =

∣

∣

∣

∣

6 5

2 3

∣

∣

∣

∣

= 18 − 10 = 8

⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:6x1+13x2 = 5

2x1+ 7x2 = 3

D =

∣

∣

∣

∣

6 13

2 7

∣

∣

∣

∣

= 42 − 26 = 16

x1 = −1

4, x2 =

1

2.

D2 =

∣

∣

∣

∣

6 5

2 3

∣

∣

∣

∣

= 18 − 10 = 8

⇒ x2 =D2

D=

8

16=

1

2

Napíšeme determinant D2, který vznikne záměnou 2. sloupce za

pravou stranu soustavy.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:6x1+13x2 = 5

2x1+ 7x2 = 3

D =

∣

∣

∣

∣

6 13

2 7

∣

∣

∣

∣

= 42 − 26 = 16

x1 = −1

4, x2 =

1

2.

D2 =

∣

∣

∣

∣

6 5

2 3

∣

∣

∣

∣

= 18 − 10 = 8

⇒ x2 =D2

D=

8

16=

1

2

Spočteme jeho hodnotu.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:6x1+13x2 = 5

2x1+ 7x2 = 3

D =

∣

∣

∣

∣

6 13

2 7

∣

∣

∣

∣

= 42 − 26 = 16

x1 = −1

4, x2 =

1

2.

D2 =

∣

∣

∣

∣

6 5

2 3

∣

∣

∣

∣

= 18 − 10 = 8

⇒ x2 =D2

D=

8

16=

1

2

Podíl těchto determinantů je neznámá x2.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:6x1+13x2 = 5

2x1+ 7x2 = 3

D =

∣

∣

∣

∣

6 13

2 7

∣

∣

∣

∣

= 42 − 26 = 16

x1 = −1

4, x2 =

1

2.

Máme výsledek.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:x1+ 5x2 = 2

2x1+10x2 = 7

D =

∣

∣

∣

∣

1 5

2 10

∣

∣

∣

∣

= 10 − 10 = 0

Cramerovým pravidlem nemůžeme tuto úlohu řešit, protože je matice

soustavy singulární. Stejně tak bychom nemohli soustavu řešit

Cramerovým pravidlem v případě, kdyby nebyla matice soustavy

čtvercová. Pro výpočet musíme použít Frobeniovu větu a případně

Gaussovu eliminační metodu. Zde evidentně soustava nemá řešení.

⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:x1+ 5x2 = 2

2x1+10x2 = 7

D =

∣

∣

∣

∣

1 5

2 10

∣

∣

∣

∣

= 10 − 10 = 0

Cramerovým pravidlem nemůžeme tuto úlohu řešit, protože je matice

soustavy singulární. Stejně tak bychom nemohli soustavu řešit

Cramerovým pravidlem v případě, kdyby nebyla matice soustavy

čtvercová. Pro výpočet musíme použít Frobeniovu větu a případně

Gaussovu eliminační metodu. Zde evidentně soustava nemá řešení.

Nejdříve spočteme determinant matice soustavy.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:x1+ 5x2 = 2

2x1+10x2 = 7

D =

∣

∣

∣

∣

1 5

2 10

∣

∣

∣

∣

= 10 − 10 = 0

Cramerovým pravidlem nemůžeme tuto úlohu řešit, protože je matice

soustavy singulární. Stejně tak bychom nemohli soustavu řešit

Cramerovým pravidlem v případě, kdyby nebyla matice soustavy

čtvercová. Pro výpočet musíme použít Frobeniovu větu a případně

Gaussovu eliminační metodu. Zde evidentně soustava nemá řešení.

Matice je řádu 2, můžeme tedy použít křížové pravidlo.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:x1+ 5x2 = 2

2x1+10x2 = 7

D =

∣

∣

∣

∣

1 5

2 10

∣

∣

∣

∣

= 10 − 10 = 0

Cramerovým pravidlem nemůžeme tuto úlohu řešit, protože je matice

soustavy singulární. Stejně tak bychom nemohli soustavu řešit

Cramerovým pravidlem v případě, kdyby nebyla matice soustavy

čtvercová. Pro výpočet musíme použít Frobeniovu větu a případně

Gaussovu eliminační metodu. Zde evidentně soustava nemá řešení.

Matice je singulární.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:x1+ 5x2 = 2

2x1+10x2 = 7

D =

∣

∣

∣

∣

1 5

2 10

∣

∣

∣

∣

= 10 − 10 = 0

Cramerovým pravidlem nemůžeme tuto úlohu řešit, protože je matice

soustavy singulární. Stejně tak bychom nemohli soustavu řešit

Cramerovým pravidlem v případě, kdyby nebyla matice soustavy

čtvercová. Pro výpočet musíme použít Frobeniovu větu a případně

Gaussovu eliminační metodu. Zde evidentně soustava nemá řešení.

⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:

x1+2x2− x3 = 1

−2x1+ x2−3x3 = 2

2x2− x3 = −2

D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1

−2 1 −3

0 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1 + 4 + 6 − 4 = 5

x1 = 3, x2 = −14

5, x3 = −

18

5.

D1 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1

2 1 −3

−2 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1 − 4 + 12 − 2 + 6 + 4 = 15

⇒ x1 =D1

D=

15

5= 3

∣ ∣

⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:

x1+2x2− x3 = 1

−2x1+ x2−3x3 = 2

2x2− x3 = −2

D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1

−2 1 −3

0 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1 + 4 + 6 − 4 = 5

x1 = 3, x2 = −14

5, x3 = −

18

5.

D1 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1

2 1 −3

−2 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1 − 4 + 12 − 2 + 6 + 4 = 15

⇒ x1 =D1

D=

15

5= 3

∣ ∣

Nejdříve spočteme determinant matice soustavy.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:

x1+2x2− x3 = 1

−2x1+ x2−3x3 = 2

2x2− x3 = −2

D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1

−2 1 −3

0 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1 + 4 + 6 − 4 = 5

x1 = 3, x2 = −14

5, x3 = −

18

5.

D1 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1

2 1 −3

−2 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1 − 4 + 12 − 2 + 6 + 4 = 15

⇒ x1 =D1

D=

15

5= 3

∣ ∣

Matice je řádu 3, můžeme tedy použít Sarrussovo pravidlo.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:

x1+2x2− x3 = 1

−2x1+ x2−3x3 = 2

2x2− x3 = −2

D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1

−2 1 −3

0 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1 + 4 + 6 − 4 = 5

x1 = 3, x2 = −14

5, x3 = −

18

5.

D1 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1

2 1 −3

−2 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1 − 4 + 12 − 2 + 6 + 4 = 15

⇒ x1 =D1

D=

15

5= 3

∣ ∣

Napíšeme determinant D1, který vznikne záměnou 1. sloupce za

pravou stranu soustavy.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:

x1+2x2− x3 = 1

−2x1+ x2−3x3 = 2

2x2− x3 = −2

D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1

−2 1 −3

0 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1 + 4 + 6 − 4 = 5

x1 = 3, x2 = −14

5, x3 = −

18

5.

D1 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1

2 1 −3

−2 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1 − 4 + 12 − 2 + 6 + 4 = 15

⇒ x1 =D1

D=

15

5= 3

∣ ∣

Spočteme jeho hodnotu.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:

x1+2x2− x3 = 1

−2x1+ x2−3x3 = 2

2x2− x3 = −2

D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1

−2 1 −3

0 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1 + 4 + 6 − 4 = 5

x1 = 3, x2 = −14

5, x3 = −

18

5.

D1 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1

2 1 −3

−2 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1 − 4 + 12 − 2 + 6 + 4 = 15

⇒ x1 =D1

D=

15

5= 3

∣ ∣

Podíl těchto determinantů je neznámá x1.

⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:

x1+2x2− x3 = 1

−2x1+ x2−3x3 = 2

2x2− x3 = −2

D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1

−2 1 −3

0 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1 + 4 + 6 − 4 = 5

x1 = 3, x2 = −14

5, x3 = −

18

5.

D1 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1

2 1 −3

−2 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1 − 4 + 12 − 2 + 6 + 4 = 15

⇒ x1 =D1

D=

15

5= 3

∣ ∣

⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:

x1+2x2− x3 = 1

−2x1+ x2−3x3 = 2

2x2− x3 = −2

D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1

−2 1 −3

0 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1 + 4 + 6 − 4 = 5

x1 = 3, x2 = −14

5, x3 = −

18

5.

D2 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 −1

−2 2 −3

0 −2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −2 − 4 − 6 − 2 = −14

⇒ x2 =D2

D= −

14

5

∣ ∣

Napíšeme determinant D2, který vznikne záměnou 2. sloupce za

pravou stranu soustavy.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:

x1+2x2− x3 = 1

−2x1+ x2−3x3 = 2

2x2− x3 = −2

D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1

−2 1 −3

0 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1 + 4 + 6 − 4 = 5

x1 = 3, x2 = −14

5, x3 = −

18

5.

D2 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 −1

−2 2 −3

0 −2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −2 − 4 − 6 − 2 = −14

⇒ x2 =D2

D= −

14

5

∣ ∣

Spočteme jeho hodnotu.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:

x1+2x2− x3 = 1

−2x1+ x2−3x3 = 2

2x2− x3 = −2

D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1

−2 1 −3

0 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1 + 4 + 6 − 4 = 5

x1 = 3, x2 = −14

5, x3 = −

18

5.

D2 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 −1

−2 2 −3

0 −2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −2 − 4 − 6 − 2 = −14

⇒ x2 =D2

D= −

14

5

∣ ∣

Podíl těchto determinantů je neznámá x2.

⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:

x1+2x2− x3 = 1

−2x1+ x2−3x3 = 2

2x2− x3 = −2

D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1

−2 1 −3

0 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1 + 4 + 6 − 4 = 5

x1 = 3, x2 = −14

5, x3 = −

18

5.

D2 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 −1

−2 2 −3

0 −2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −2 − 4 − 6 − 2 = −14

⇒ x2 =D2

D= −

14

5

∣ ∣

⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:

x1+2x2− x3 = 1

−2x1+ x2−3x3 = 2

2x2− x3 = −2

D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1

−2 1 −3

0 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1 + 4 + 6 − 4 = 5

x1 = 3, x2 = −14

5, x3 = −

18

5.

D3 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 1

−2 1 2

0 2 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −2 − 4 − 4 − 8 = −18

⇒ x3 =D3

D= −

18

5

Napíšeme determinant D3, který vznikne záměnou 3. sloupce za

pravou stranu soustavy.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:

x1+2x2− x3 = 1

−2x1+ x2−3x3 = 2

2x2− x3 = −2

D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1

−2 1 −3

0 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1 + 4 + 6 − 4 = 5

x1 = 3, x2 = −14

5, x3 = −

18

5.

D3 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 1

−2 1 2

0 2 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −2 − 4 − 4 − 8 = −18

⇒ x3 =D3

D= −

18

5Spočteme jeho hodnotu.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:

x1+2x2− x3 = 1

−2x1+ x2−3x3 = 2

2x2− x3 = −2

D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1

−2 1 −3

0 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1 + 4 + 6 − 4 = 5

x1 = 3, x2 = −14

5, x3 = −

18

5.

D3 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 1

−2 1 2

0 2 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −2 − 4 − 4 − 8 = −18

⇒ x3 =D3

D= −

18

5

Podíl těchto determinantů je neznámá x3.

⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Cramerovým pravidlem řešte soustavu:

x1+2x2− x3 = 1

−2x1+ x2−3x3 = 2

2x2− x3 = −2

D =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 −1

−2 1 −3

0 2 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −1 + 4 + 6 − 4 = 5

x1 = 3, x2 = −14

5, x3 = −

18

5.

Máme výsledek.⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×

Konec

⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c©Lenka Přibylová, 2006 ×