Technická univerzita v Liberci
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická
Katedra matematiky a didaktiky matematiky
LINEÁRNÍ PERSPEKTIVA
Pomocný učební text
Petra Pirklová
Liberec, listopad 2013
2
Lineární perspektiva napodobuje lidské vidění. Je aplikací středového promítání, kdy
středem promítání je lidské oko a průmětnu nahrazujeme sítnicí oka. Kvůli tomuto se lineární
perspektiva používá hlavně k zobrazování velkých objektů. Nejznámějšími perspektivními obrazy
jsou jistě fotografie.
K tomu, abychom získali ze středového promítání lineární perspektivu, musíme zavést
pro středové promítání ještě podmínky navíc.
1) Objekt, který chceme zobrazit, musí ležet v rotační kuželové ploše, která má vrchol ve
středu promítání, její osa je kolmá k průmětně a površky svírají s osou úhel 40° - 50°.
Tuto kuželovou plochu nazýváme zorné pole (zorná kuželová plocha) a protíná
průmětnu v zorné kružnici kZ, která má střed v hlavním bodě H (pravoúhlý průmět středu
promítání na průmětnu) a poloměr je maximálně .
Protože objekt musí ležet v zorném poli, pak obraz musí ležet v zorné kružnici.
2) Pro největší průčelný rozměr objektu n a vzdálenost objektu od středu promítání
v platí nerovnost .
Vychází to z toho, že objekt leží v zorném poli a zároveň nesmí být pozorovatel od
objektu příliš daleko, aby se perspektiva nezměnila v rovnoběžné promítání.
3) Nejmenší vzdálenost pozorovatele od objektu je 21 cm, což je mez zřetelného vidění.
4) Pozorovatel i objekt jsou umístěni na vodorovné rovině .
Průmětnu většinou umisťujeme do svislé polohy. K ní kolmá je základní rovina , na
které stojí pozorovatel (v pravoúhlém průmětu S1 do roviny ) a objekt. Oko pozorovatele
ztotožňujeme se středem promítání S a jeho pravoúhlý průmět do průmětny označujeme jako
hlavní bod H. Přímka SH je osa perspektivy a vzdálenost těchto dvou bodů je distance d.
S
H
h
z
S1
s
d
v
Z
D
D
D
D
l
p
h
dA
A
As
s1
1
´
A
Zobrazení bodu
3
Průsečnice rovin a je základnice z. Horizont h je průsečnice rovin a ´. Přímka,
která prochází hlavním bodem H kolmo k základnici, se nazývá hlavní vertikála v. Základní bod
Z je průsečík vertikály v a základnice z. Výška perspektivy je vzdálenost základnice a horizontu.
Body, ve kterých zorná kružnice protne vertikálu a horizont se nazývají dolní Dd a horní
Dh distančník a levý Dl a pravý Dp distančník.
Přímky kolmé k průmětně nazýváme hloubkové přímky. Přímky, které jsou rovnoběžné
s průmětnou i základní rovinou jsou přímky průčelné. K základní rovině jsou kolmé vertikální
přímky.
S
h
z
S1
´hloubková přímka
průčelná přímka
vertikální přímka
Přímky v lineární perspektivě
Středový průmět bodu A do průmětny označujeme As a nazýváme ho perspektiva
bodu A, A1s označujeme středový průmět půdorysu A1 bodu A a označujeme ho jako perspektiva
půdorysu bodu A. Nesmíme si jej však plést půdorysem perspektivy.
V lineární perspektivě platí následující vlastnosti, podle kterých lze v tomto promítání
konstruovat.
1. Hlavní bod H je úběžníkem všech hloubkových přímek. Je tedy průsečíkem všech
perspektivních obrazů hloubkových přímek.
H
Architektonická perspektiva – Canal Canaletto
4
2. Horizont h je úběžnice všech rovin rovnoběžných se základní rovinou a leží na něm
všechny úběžníky přímek rovnoběžných se základní rovinou.
3. Úběžníky přímek rovnoběžných se základní rovinou, které svírají s průmětnou 45° jsou
pravý a levý distančník.
4. Rovnoběžnost průčelných přímek se zachovává.
Zvěstování Panny Marie – Leonardo da Vinci
Pokud používáme k zobrazování objektu pouze metod středového promítání, nazýváme
perspektivu jako volnou. Využíváme-li i jiné zobrazovací metody, pak se nazývá perspektiva
vázaná.
5
VÁZANÁ PERSPEKTIVA
PRŮSEČNÁ METODA
Při této metodě se používá také Mongeovo promítání. V Mongeově promítání je zadán
zobrazovaný objekt a používají se prostředky Mongeovy projekce.
Objekt i pozorovatel jsou postaveni na půdorysně , která je také základní rovinou.
Průmětna perspektivy je kolmá k půdorysně a volíme ji podle toho, která část objektu má být
viditelná.
Perspektivní obraz objektu tvoří perspektivní obrazy všech jeho bodů.
A B
CD
S
H
h
S1 =
Umístění průmětny při průsečné metodě
Mimo zadaného objektu v Mongeově promítání zvolíme v nákresně horizont h a hlavní
bod H. Průmětnu v Mongeově promítání pak umístíme tak, aby horizont h a hlavní bod H přešli
do zvolené přímky a bodu v Mongeově promítání.
6
A B
CD
A =D B =C
H
H
S
S h
y
p1
1
1
1 1
11
1,2
22
222 2
=h 1
hH
2
Průsečná metoda - zadání
Pokud chceme touto metodou zobrazit bod A, pak jeho středový průmět ze středu
promítání S na je bod AS. Průsečík první promítací přímky Mongeova promítání bodu AS
s horizontem h označíme . Podle polohy hlavního bodu H, horizontu a první promítací přímky
bodu AS platí: ,
Podle tohoto sestrojujeme perspektivní obraz AS bodu A. Na horizontu h sestrojíme
podle bod . Na kolmici v tomto bodě k horizontu h sestrojíme bod AS podle
Ostatní body objektu sestrojíme obdobně.
7
a
A B
CD
A =D B =C
H
H
S
S =U
U
U´
U´
A =A
A
A
h
y
p1
1
1 1
1
1
1
1 1
11
1,2
22 2
2
22
2
22
2 2
s
s
--
=h1
ah
v
hHA
A
--
s
a
a
h
v
U´s Us
Průsečná metoda – zobrazení bodu
Ke konstrukci můžeme také využít úběžníky přímek rovnoběžných s půdorysnou. Ty leží
na horizontu. V Mongeově promítání musí také ležet na horizontu a na rovnoběžkách se stěnami
objektu, jejichž součástí jsou ony rovnoběžné hrany.
a) STOPNÍKOVÁ METODA
Pomocným zobrazením je zde také Mongeova projekce. Půdorys však bude umístěn nad
osou y a nárys pod ní. Objekt umísťujeme na rovinu rovnoběžnou s a průmětnu
ztotožňujeme s nárysnou.
Střed promítání S a horizont h zvolíme tak, aby odpovídali výšce pozorovatele. Aby se
nárys objektu nepřekrýval s perspektivním obrazem objektu, posuneme nárys ve směru osy y a
otočíme ho do průčelné polohy. Tím si půdorys a nárys v Mongeově promítání neodpovídají, ale
nárys má pouze pomocnou funkci. Půdorys umísťujeme navíc tak, aby aspoň jeden ze stopníků
hran objektu ležel v nákresně.
8
S
n2
1
y1,2
a
A
B
A B
1
1
2 2
1
2a
h=h
H=S
2
2
N1a
N2a
Zobrazovaný kvádr zadaný v Mongeově promítání
S
n2
1
y1,2
a
A
B
A B
1
1
2 2
1
2a
h
H
N1a
N2a
Zadání kvádru upravené pro stopníkovou metodu
Bod A leží např. na přímce a, která je rovnoběžná s půdorysnou , proto také jeho
perspektivní obraz AS leží na přímce aS. Nárys a2 přímky a musí být tedy rovnoběžný s osou y.
Nárysný stopník N přímky a leží v nárysně (tedy i v průmětně lineární perspektivy) a proto
9
splývá se svým středovým průmětem. Nárys N2 nárysného stopníku N musí ležet na nárysu a2
přímky a. Úběžník U přímky a musí ležet v průmětně . Tedy její půdorys U1 úběžníku leží na ose
y a nárys U2 leží na horizontu h.
Středový průmět AS bodu A leží na přímce N2U2. Jeho polohu zjistíme tak, že promítneme
ze středu S1 bod A1 na rovinu , tím získáme bod A1S. Na ordinále z tohoto bodu musí ležet bod
AS.
S
n2
1
y1,2
a
A
B
A
B
1
1
2
2
1
2a
h
H
N1a
Na
UU´
UU´
11
s sa s
A1s
As
Určení perspektivního obrazu AS bodu A
S
n2
1
y1,2
a
A
B
A
B
1
1
2
2
1
2a
h
H
N1a
Na
UU´
UU´
11
s sa s
A1s
As
Bs
Zobrazení celého objektu v lineární perspektivě stopníkovou metodou
10
Protože většinou umísťujeme zobrazované těleso na půdorysnu a rozměry
zobrazovaného tělesa známe, místo klasické stopníkové metody používáme tzv. stopníkovou
metodu bez nárysu. Při této metodě v upravené Mongeově projekci nárys objektu
nezobrazujeme.
11
VOLNÁ PERSPEKTIVA
Při zobrazování objektů volnou perspektivou používáme pouze prostředky středového
promítání upraveného pro lineární perspektivu.
Nejdříve si uvedeme některé konstrukce, které se ve volné perspektivě používají a
vycházejí právě ze středového promítání.
Nanesení úsečky dané délky
1. Úsečka leží v základní rovině
a) Pokud je přímka, na níž úsečka AB leží, rovnoběžná se základnicí, pak je rovnoběžná také
s průmětnou . Proto velikost jejího pravoúhlého průmětu do průmětny je její skutečná
velikost.
Pravoúhle promítací přímky (kolmé k průmětně) se zobrazí v perspektivě jako
hloubkové přímky (mají společný hlavní bod H, který je jejich společný úběžník).
Promítneme-li z bodu H body AS, BS na základnici do bodů A2, B2, pak
.
H
A B
A B
U
A B´
h
z2 2
s s
Pokud si však zvolíme jakýkoliv bod U na horizontu (jakýkoliv úběžník), pak délku
průmětu úsečky z tohoto úběžníku U na z je také skutečnou délkou úsečky AB.
b) Není-li úsečka AB rovnoběžná se základnicí, pak musíme použít tzv. dělicí kružnicí.
V takovém případě musíme mít zadaný alespoň jeden distančník, např. dolní
distančník Dd.
z
hH
D
A
Ba
d
s
s
s
Určení délky úsečky v základní rovině - zadání
12
Úsečka AB leží na přímce a, která protíná horizont v jejím úběžníku U. Nyní
sestrojíme dělící kružnici, která má střed právě v úběžníku přímky a poloměr je
vzdálenost úběžníku a zadaného dolního distančníku. Tato kružnice protne horizont
v dělícím bodě Da přímky a.
Z dělícího bodu přímky a promítneme body AS, BS na základnici do bodů A´, B´,
jejichž vzdálenost je skutečná velikost úsečky AB.
z
hH
D
UD
A
B
A´ B´
a
d
s
s
s
a a
Dělící bod přímky
Příklad: Sestrojte čtverec, který leží v základní rovině a je dán středem O a vrcholem A,
v lineární perspektivě (dána horizontem, základnicí a dolním distančníkem).
O
A
UH
D
C
a
d
s
s
h
z
as
Čtverec v základní rovině - zadání
Protože přímka a = OA leží v základní rovině, určíme její dělící bod a z něj
promítneme body AS a OS na základnici. Tak získáme body O´,A´ a jejich vzdálenost je
skutečná velikost poloviny délky úhlopříčky čtverce. Pro získání bodu CS nejdříve určíme
bod C´, který leží také na základnici a je středově souměrný s bodem A´ podle O´. Bod C´
pak promítneme z dělícího bodu přímky ASOS na bod CS.
13
Druhou úhlopříčku čtverce (leží na přímce bS) sestrojíme pomocí sklopení
obzorové roviny ´ do průmětny (modrá konstrukce). Sklopená přímka (a) leží na
přímce, která prochází jejím úběžníkem a dolním distančníkem (příp. horním
distančníkem). Kolmice k (a) v dolním distančníku je sklopená přímka (b). Tato přímka
(b) protne horizont v úběžníku přímky bS, tedy v úběžníku druhé úhlopříčky čtverce.
Úhlopříčka BSDS musí procházet tímto úběžníkem středem čtverce OS. Body BS, DS
sestrojíme obdobně jako bod CS.
O
C
A
B
D
b
(b)(a)
U UHD D
D
A´
O C´O ´ B´´D´´
ass
a b ab
d
s
s
s
s
s
h
z
Čtverec v základní rovině - řešení
2. Úsečka AB leží na svislé přímce a.
Taková přímka je rovnoběžná s průmětnou a vzdálenost dvou bodů A, B na ní je rovna
vzdálenosti jejich pravoúhlých průmětů A2, B2.
Hh
z
a
A
B
P
s
s
s
s
Délka úsečky na vertikální přímce - zadání
Pravoúhlý průmět a středový průmět bodu leží na přímce procházející hlavním bodem.
Pokud označíme průsečík přímky se základní rovinou jako P, pak jeho pravoúhlý průmět P2 leží na
základnici. Pravoúhlým průmětem P2 prochází pravoúhlý průmět přímky a2 kolmo k základnici.
Na tomto průmětu leží také pravoúhlé průměty A2, B2 bodů A, B.
14
Hh
z
a
A
B
P
P
A
B
a s
s
s
s
2
2
2
U
P´
A´
B´
a´2
Délka úsečky na vertikální přímce - řešení
Zvolíme-li si jakýkoliv bod na horizontu a promítneme z něj bod PS na základnici, získáme
bod P´. Když v tomto bodě vztyčíme kolmici a na ní promítneme body AS, BS do bodů A´, B´, pak
velikost úsečky A´B´ je stejná jako skutečná velikost úsečky AB (modrá konstrukce).
3. Úsečka AB leží na obecné přímce a.
Je-li dán perspektivní průmět aS přímky a a perspektiva půdorysu a1S přímky a (leží na
základní rovině ), pak skutečnou velikost této přímky určíme pomocí dělícího bodu přímky.
Hh
z
A
A
B
B
a
a
D
s
s
d
1
1
1
s
s
s
s
Délka úsečky na obecné přímce
Protože přímka a1S a body A1
S, B1S leží na základní rovině, určíme skutečnou velikost
A´1B´1 půdorysu přímky A1B1 pomocí dělícího bodu jako v odstavci b).
Jako v odstavci 2. pak musíme nalézt velikost úsečky AA1 a BB1 (je kolmá k základní
rovině). Určíme průsečík (P´´) přímky a1S se základnicí. V tomto bodě vedeme kolmici k základnici
a na ní pak, z průsečíku US přímky a1S s horizontem h promítneme body AS, BS do bodů A´´, B´´.
Velikost úsečky P´´A´´ a P´´B´´ jsou skutečné velikosti úseček AA1 a BB1.
Velikost úseček AA1 a BB1, pak naneseme na kolmice na základnici z v bodech A´1, B´1.
Tím získáme „sklopené“ body A, B, jejichž vzdálenost je skutečná velikost úsečky AB.
15
Hh
z
A´´
B´´
P´´
A
A
B
B
a
a
U
A´ B´
A
B
D
Da
s
s
d
1
1
1
s
s
a
s
s
s
1 1
Délka úsečky na obecné přímce – řešení
Redukce distance
Pokud v lineární perspektivě zobrazujeme nějaký objekt, často se stane, že jeho obraz je
malý. Proto, abychom při konstrukci mohli využít celou nákresnu a obraz objektu nebyl příliš
malý, používáme tzv. redukci distance.
Hlavní bod H bude středem stejnolehlosti, která bude mít koeficient 0 < k < 1. Tato
stejnolehlost převede střed stejnolehlosti S na bod Sk, bod v prostoru A na bod Ak a středový
průmět AS bodu A na bod ASk. Přičemž bod AS
k je středovým průmětem bodu Ak ze středu Sk.
S
H
h
A
As
A
S
Ask
k
k
Stejnolehlost – redukce distance
16
Příklad: Na přímku a, která leží v základní rovině , naneste od bodu A úsečku dané délky v.
H
d
a
A
v
s
s
z
h
Nanesení délky na úsečku (redukce distance) – zadání
Úběžník přímky a leží mimo nákresnu, proto použijeme redukci distance s vhodným
koeficientem stejnolehlosti např. ¼. Střed stejnolehlosti je bod H a v této stejnolehlosti
sestrojíme obrazy všech objektů v nákresně (základnici, přímku a, bod A,…).
Poté provedeme běžnou konstrukci této úlohy. Sestrojíme dělící bod D1/4 přímky aS1/4 a
naneseme na ní od bodu AS1/4 vzdálenost v1/4. Tím získáme na přímce aS
1/4 bod BS1/4. Tento bod
pak nakonec zobrazíme v určené stejnolehlosti na přímku aS, čímž získáme hledaný bod BS.
H
d
a
A
v
s
s
N
D
z
z
h
N A
B
U
a
B
A´ B´
D
s
s
s
s
s
h
a
v/4
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4 1/4
1/4
1/4
Nanesení délky na úsečku (redukce distance) – řešení
17
Tuto metodu redukci distance používáme většinou pouze na část složitější úlohy, pro
konstrukci dělících bodů.
Příklad: Sestrojte perspektivní obraz krychle, jejíž podstava ABCD leží v rovině . Jsou dány
vrcholy A, B této krychle a lineární perspektiva je zadána horizontem, základnicí a distancí.
d
H
A
B
a
s
s
s
Ua sh
z
Obraz krychle - zadání
Koeficient stejnolehlosti si zvolíme např. 1/3. Pro konstrukci si zvolíme horní distančník
Dh, který převedeme na D1/3h. Ve stejnolehlosti určíme také ostatní zadané prvky (červená
konstrukce).
18
d
H
A
B
a
s
s
s
z 1/3
Dh1/3
Ua s Da1/3
h
z
a s1/3
Bs
As1/3
1/3
Ua s1/3
A´
B´
1/3
1/3
(a )1/3
Obraz krychle – redukce distance
Pro získání přímky AD, která je kolmá k přímce AB musíme sklopit tzv. „obzorovou
rovinu“ ´, která je rovnoběžná s rovinou a prochází středem promítání. Nejdříve sestrojíme
přímku aUS 1/3D1/3h,= (a1/3) která je vlastně sklopenou přímkou a1/3 do „obzorové roviny“, k této
přímce sestrojíme kolmici v distančníku, čímž získáme sklopenou přímku (b1/3). Průsečík této
přímky s horizontem je bod bUS1/3, což je úběžník přímky AD zobrazený v naší stejnolehlosti.
Tohoto úběžníku využijeme k sestrojení podstavy AS1/3BS
1/3CS1/3DS
1/3. Tuto podstavu poté pomocí
stejnolehlosti převedeme na podstavu ASBSCSDS (modrá konstrukce).
19
d
H
A
B
a
s
s
s
z 1/3
Dh1/3
Ua s Da1/3
h
z
a s1/3
Bs
As1/3
1/3
Ua s1/3
A´
B´
1/3
1/3
(a )(b )1/3
1/3
Ub s1/3
bs1/3
Db1/3
A´1/3
D´1/3
Ds1/3
bs
Ds
Obraz krychle – body podstavy v redukci distance
Hrany krychle kolmé na podstavu již sestrojíme bez redukce distance běžnou konstrukcí.
Tyto hrany se zobrazí jako kolmice k základnici. Hranu kolmou k podstavě např. v bodě B
promítneme např. z bodu H. Tím získáme na základnici bod B´, v němž sestrojíme kolmici, na ní
naneseme skutečnou délku hrany krychle do bodu F´ (skutečnou délku hrany krychle určíme
v redukci distance a platí, že ). Ostatní vrcholy horní podstavy sestrojíme
pomocí úběžníků rovnoběžných hran (zelená konstrukce).
20
d
H
A
B
a
s
s
s
z 1/3
Dh1/3
Ua s Da1/3
h
z
as1/3
Bs
As1/3
1/3
Ua s1/3
A´B1/31/3
(a )(b )1/3
1/3
Ub s1/3
bs1/3
Db1/3
A´1/3
D´1/3
Ds1/3
bs
Ds
Cs
B ´
F´
F
Ub s
s E
GH s
s
s
v
v/3
Obraz krychle - řešení
d
H
A
B
a
s
s
s
z 1/3
Dh1/3
Ua s Da1/3
h
z
as1/3
Bs
As1/3
1/3
Ua s1/3
A´B1/31/3
(a )(b )1/3
1/3
Ub s1/3
bs1/3
Db1/3
A´1/3
D´1/3
Ds1/3
bs
Ds
Cs
B ´
F´
F
Ub s
s E
GH s
s
s
v
v/3
Obraz krychle
21
Nyní již můžeme přistoupit k jednotlivým druhům volné perspektivy. Předtím však
musíme ještě zvolit souřadnicový systém. Souřadné osy zpravidla umísťujeme tak, aby byly
rovnoběžné s hranami zobrazovaného objektu.
JEDNOÚBĚŽNÍKOVÁ (PRŮČELNÁ) PERSPEKTIVA
Pokud osy 1x, 3x volíme tak, aby ležely v základní rovině, a osa 2x bude k nim ve
skutečnosti kolmá, tedy v perspektivě bude procházet bodem H, pak získáme jednoúběžníkovou
perspektivu. Jediným úběžníkem os je právě hlavní bod H.
S
H
h
z
x
x
x
1
2
3
P
Osy souřadnic v jednoúběžníkové perspektivě
Osu 1x umísťujeme přímo do základnice a volíme na ní počátek soustavy souřadnic,
kterým prochází osa 3x k ní kolmá. Díky tomuto umístění os se jednotky na osách 1x, 3x
zachovávají a jednotky na ose 2x se sestrojují pomocí pravého nebo levého distančníku. Takto
můžeme sestrojit čtvercovou síť, pomocí které můžeme sestrojit obraz objektu.
Hh
z= x
x
x
1
2
3
P
Dl
Čtvercová síť v jednoúběžníkové perspektivě
V této perspektivě se zobrazují objekty, které jsou v průčelné poloze, proto se jí také říká
průčelná perspektiva. Nejčastěji se v jednoúběžníkové perspektivě zobrazují např. interiéry bytů.
22
DVOJÚBĚŽNÍKOVÁ (NÁROŽNÍ) PERSPEKTIVA
U této perspektivy je osa 3x také umístěna do průmětny, osy 1x, 2x leží v základní rovině,
ale již ani jedna neleží v průmětně. Proto tyto osy mají své dva úběžníky, a proto dvojúběžníková
perspektiva.
S
H
h
z
x
x
x
1
2
3
P
Osy souřadnic v dojúběžníkové perspektivě
V této perspektivě se často zobrazují velké objekty, např. domy, ulice, atd., které jsou
v tzv. nárožní poloze, a z toho také vznikl název nárožní perspektiva.
23
h
zP
x
xx
H UU D D1
1
2
2 21
3
1 1
1
Dd
Jednotky na osách v dvojúběžníkové perspektivě
Pokud si v nárožní perspektivě zobrazíme čtvercovou síť, můžeme do ní zakreslit
zobrazovaný objekt.
h
zP
x
xx
H
1
2
3
Čtvercová síť v dvojúběžníkové perspektivě
h
UU´
Severočeské muzeum
24
PERSPEKTIVA KRUŽNICE
Ve středovém promítání se kružnice zobrazí na elipsu, parabolu nebo hyperbolu, podle
toho v jaké kuželosečce protne průmětna promítací kužel kružnice s vrcholem ve středu
promítání. Protože však v lineární perspektivě musí ležet kružnice uvnitř zorného kužele, pak
promítací kužel této kružnice protne průmětna buď v elipse anebo v kružnici.
K zobrazení kružnice v perspektivě nejčastěji opisujeme kružnici dva čtverce, které jsou
vzájemně otočené o 45°. Tyto čtverce v perspektivě zobrazíme a obraz kružnice (elipsu) do nich
vepíšeme.
A B
CD
E
F
G
HS
Kružnice vepsaná dvěma čtvercům
Pokud kružnice leží ve vodorovné rovině, např. přímo v základní rovině, pak čtverce
zvolíme pro jednoduchost konstrukce tak, aby strana jednoho čtverce byla rovnoběžná se
základnicí. Pak strany obou čtverců jsou buď průčelné, nebo hloubkové přímky.
H
O
D l
s
r r
H
AB
CD
E
F
G
s
s
s
s
sss
s
h
zO´´O´
OF| |
OH| |
r
Sestrojení kružnice, je-li dán její střed O a poloměr r.
25
Je-li kružnice ve svislé rovině , pak stopa a úběžnice této roviny jsou kolmé na
základnici. Tentokrát volíme stranu jednoho čtverce tak, aby byla rovnoběžná se základní
rovinou . Přímka p, která prochází středem kružnice (ten neleží v ), je také rovnoběžná s .
Pravoúhlý průmět přímky pS do základní roviny je p1S.
A B
CD
E
G
HO
H
D
U
O
p
s
s
s
d
p
h
z
F
ps1
Kružnice ve svislé rovině - zadání
Z dělícího bodu Dp přímky p, promítneme střed kružnice O1S do bodu O´ na základnici. Od
tohoto bodu již můžeme nanést skutečný poloměr kružnice, či jiné vhodné vzdálenosti. Vzniklé
body na základnici promítneme z bodu Dp zpět na přímku p1S a pak ho přeneseme (pomocí
kolmice k h) na přímku pS. Takto získáme další bod nejen na kružnici, ale také na opsaném
čtverci.
A B
CD
E
F
G
HO
H
D
D U
n
uO
pp
H
O
O´ F´
H´A´ B´
A
B
s
s
s
s
ss
s
s
s
d
p
1
1
1
1
p2
h
z
1
F1s
r |FO|
Kružnice ve svislé rovině – nanesení délky na hloubkové přímky
26
Přímky, které jsou vzájemně rovnoběžné a jsou kolmé na průmětnu, mají společný
úběžník (stejný s přímkou p). Jejich skutečnou vzdálenost nanášíme na stopě svislé roviny tak, že
promítneme z úběžníku přímky p střed kružnice O a od něj naneseme skutečnou vzdálenost
hledaných přímek na stopu roviny.
A B
CD
E
F
G
HO
H
D
U
n
uO
p
p
s
s
s
s
s
d
1
p2
h
z
r
|GO|
Kružnice ve svislé rovině – nanesení délky na vertikální přímky
A B
CD
E
F
G
HO
H
D
D U
n
uO
A
B
CD
E
F
G
H
p
pH
O
F
O´ F´
H´A´ B´
A
B
ss
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
ss
s
s
s
d
p
11
1
1
11
p2
h
z
1
r
Kružnice ve svislé rovině - řešení
Ve svislé rovině se však většinou nezobrazují celé kružnice, ale pouze jejich části
(půlkružnice, oblouky v ozdobných štítech domů, atd.).
M. Aleš – Lunety v jízdárně Pražského hradu
27
ZOBRAZENÍ KŘIVEK POMOCÍ PERSPEKTIVNÍ SÍTĚ
Pokud chceme zobrazit nějakou nepravidelnou křivku, nebo nějaký složitější půdorys
objektu, pak se používá tzv. gratikoláž. Křivku v takovém případě překryjeme dostatečně hustou
čtvercovou sítí. Tuto síť v perspektivě zobrazíme a bodově pak určíme obraz hledané křivky.
H
h
z
Dl
A As
TROJÚBĚŽNÍKOVÁ PERSPEKTIVA (PERSPEKTIVNÍ AXONOMETRIE)
Pokud chceme zobrazovat komplexy budov, náměstí apod., pak uvedené metody
nevedou k uspokojivému výsledky. Zobrazované objekty se překrývají a obrázek není názorný.
Proto v takových případech volíme průmětnu šikmou vůči základní rovině .
Zobrazovaný objekt opět umístíme na základní rovinu a určíme mu souřadnicový systém.
Počátek soustavy souřadnic volíme v základní rovině, stejně jako osy 1x a 2x a žádná z nich není
rovnoběžná s průmětnou. Osa 3x je kolmá k základní rovině.
S
H
h
z
´
x
x
x3
1
2
N
N
N
1
2
3
P
P
U
U
U
1
2
3
x´2
1x´
x ´3
s
Průmětna a osy v trojúběžníkové perspektivě
28
Protože průmětna není kolmá k základní rovině, hlavní bod H neleží na horizontu a
horizont h je průsečnice průmětny s obzorovou rovinou. Stopníky 1N, 2N, 3N os tvoří tzv.
stopníkový trojúhelník a jejich úběžníky 1U, 2U, 3U tvoří úběžníkový trojúhelník. Horizont je
přímka spojující úběžníky 1U, 2U (h = 1U2U).
Jak víme z pravoúhlé axonometrie, tak trojúhelník 1N2N3N je ostroúhlý a průsečík jeho
výšek je pravoúhlý počátek soustavy souřadnic P2. Úběžníkový trojúhelník 1U2U3U je také
ostroúhlý a průsečíkem jeho výšek je hlavní bod H.
Odpovídající si hrany úběžníkového a stopníkového trojúhelníka jsou vzájemně
rovnoběžné, tedy odpovídají si v nějaké stejnolehlosti. Středem stejnolehlosti je středový průmět
PS počátku soustavy souřadnic P (spojnice odpovídajících si bodů jím procházejí).
Nyní si ukážeme, jak vypadá trojúběžníková perspektiva přidruženého souřadného
systému. Nejdříve si zvolíme dva stejnolehlé ostroúhlé trojúhelníky 1N2N3N, 1U2U3U. Průsečík
výšek v úběžníkovém trojúhelníku je hlavní bod H.
U U
N
NN1
12
2
3
3 U
Ps
H
h
z
x x
x
1 2
3
xx
x3
2
1
Stopníkový a úběžníkový trojúhelník
Vzdálenost hlavního bodu od průmětny je distance, kterou určíme jako v pravoúhlé
axonometrii sklopením pravoúhle promítací roviny např. přímky H3U do průmětny. Známe-li
distanci, můžeme sestrojit distanční kružnici.
29
U U
N
NN1
12
2
3
3 U
Ps
H
kd
h
z
x x
x
1 2
3
xx
x3
2
1
(S) d
Distance a distanční kružnice
Průsečík přímek 1U1N, 2U2N, 3U3N je bod PS (střed stejnolehlosti). Užitím dělící kružnice
nanášíme jednotlivé jednotky na osy. Např. pro osu 1x sklopíme přímku 1UH do průmětny a dělící
kružnice je kružnice se středem 1U a poloměrem 1U[S].
Bod [S] leží na distanční kružnici a na kolmici z H k 1UH, bodem 1N vedeme rovnoběžku
s 1U[S]. Na tuto rovnoběžku promítneme bod PS do bodu P´. Poté od P´ vyneseme na tuto
rovnoběžku skutečnou délku jednotek. Tyto jednotlivé jednotky na osách zpětně promítneme na
osu 1x z bodu [S].
30
U U
N
NN1
12
2
3
3 U
Ps
Hkd
h
z
x x
x
1 2
3
xx
x3
2
1
[S]
P´1´
1s
Určení jednotek na osách
Nakonec sestrojíme čtvercovou síť a do ní zobrazíme daný objekt.
U U
N
NN1
12
2
3
3 U
Ps
Hk
d
h
zx x
x
1 2
3
xx
x3
2
1
Čtvercová síť v trojúběžníkové perspektivě
31
Trojúběžníkovou perspektivu můžeme použít také v případě, že zobrazovaný objekt je
zadán sdruženými obrazy v Mongeově promítání. V takovém případě však průmětna není
svislá.
Pro jednoduchost si objekt zvolíme stojící na půdorysně (základní rovině) a průmětnu
kolmou k nárysně. Střed promítání si volíme tak, aby objekt byl v zorném poli.
S
S
p1
1
2
n2
y1,2
Trojúběžníková perspektiva - zadání
32
Horizont je přímka v průmětně, ležící v rovině rovnoběžné s půdorysnou a procházející
středem promítání (h1⊥y1,2, h2 ∊ n2). Hlavní bod H je pata kolmice spuštěné ze středu promítání
na průmětnu. Dále si určíme sdružené průměty úběžníků 1U, 2U, 3U. Úběžníky leží na průmětně a
na přímkách procházejících středem promítání, které jsou rovnoběžné s navzájem kolmými
hranami tělesa ({1U1, 2U1} ∊ h1, 3U2 ∊ n2). K určení perspektivních obrazů bodů budeme používat
rovinu (resp. její průsečnici r s průmětnou), která je kolmá k půdorysně a prochází středem
promítání (r1⊥ p1∧ S1 ∊ r1). Průsečnici r1 budeme používat k nanášení vzdáleností na
perspektivní obrázek.
Na perspektivním obrázku určíme základnici. Vzdálenost horizontu h od základnice z
odečteme na nárysné stopě průmětny (je to vzdálenost „přímek“ z2, h2). Poté libovolně zvolíme
přímku rS, která je kolmá k horizontu. Poté určíme úběžníky 1U, 2U, 3U ( ), pro
úběžník 2U platí obdobná situace. Úběžník 3U leží přímo na přímce rS a jeho vzdálenost od
horizontu odečteme na nárysné stopě průmětny ( ).
Nyní již můžeme zobrazit bod např. bod AS. Spojnice A1S1 protne půdorysnou stopu
průmětny v bodě 11. Jeho vzdálenost od přímky r1 je stejná jako vzdálenost bodu 1S od přímky rS
na perspektivním obrázku (bod 1S leží na základnici). Spojnice A2S2 protne nárysnou stopu
průmětny v bodě 22. Vzdálenost bodu 22 od z2 je vzdálenost bodu AS od základnice z. Bod AS musí
také ležet na přímce 1S3U. K určení bodu A můžeme využít také zbývající úběžníky, musíme tomu
však přizpůsobit vynášený bod na základnici.
Ostatní body vynášíme obdobným způsobem. Také můžeme využít úběžníky
rovnoběžných hran.
33
S
S
z h
p
2 1
1
1
2
U
U
U
H
H1
11
21
23
2
h2
n2
A
A1
2
y1, 2
p1=r1
h
z
U
U
1
3
U2
rs
1s
As
11
v(1 ,r )s s
v(z,A )s
v(z,A )s
v(1 ,r )s s
=z1
v(z,h )
v(z,h )
v(r , U)
v(r , U)
v(r , U)s
s
s2
1
3
v(r , U)s2
v(r , U)s1v(r , U)s 3
Trojúběžníková perspektiva – zobrazení bodu
h
z
U
U
1
3
U2
r s
1s
As
Trojúběžníková perspektiva - řešení
