Úloha 2 - Lokálně podepřená deska

Návrh tloušťky stropní desky

Stropní desky jsou obousměrně pnuté, bezprůvlakové, ztužené pouze po okraji ztužujícím

průvlakem nebo stěnou.

Návrh tloušťky stropní desky provedeme obdobně jako v 1. úloze.

Návrh tloušťky desky pomocí empirického vztahu:

d n,max

1

30h l

Za ln.max dosadíme největší ze světlých rozpětí desky.

Stanovíme tloušťku desky s ohledem na ohybovou štíhlost (viz 1. cvičení, d,tab uvažujeme z

tabulky pro lokálně podporované desky).

Stupeň vyztužení – odhadnout 0,5%

Využití výztuže – odhadnout 80% => κc3 = 1,25

Tloušťka se „rozumně“ upraví podle ohybové štíhlosti v závislosti na velikosti rozpětí a

zatížení. Není nutno podmínku ohybové štíhlosti dodržet (návrh by většinou byl

neekonomický).

Hodnotu krytí nepočítejte znovu, převezměte z 1. cvičení.

Nenavrhujte desky s tloušťkou menší než 200 mm – v takových deskách nelze použít

výztuž na protlačení a pokud by vám v dalších částech cvičení vyšlo, že výztuž potřebujete,

bylo by potřeba přepočítat celý předchozí výpočet.

Návrh rozměrů trámů a stěn, výpočet zatížení, návrh rozměrů

sloupu

Tloušťku stěny zvolte 200 – 250 mm.

Rozměry okrajového trámu (je-li v konstrukci) zvolte dle zadání.

Zatížení desek spočtěte formou tabulek.

Návrh rozměrů sloupu: V předběžném návrhu lze v našem cvičení zanedbat výstřednost

zatížení a plochu sloupu stanovit z únosnosti v prostém tlaku. Stanovíme normálové

zatížení NEd v patě nejvíce zatíženého sloupu (průřez sloupu pro tuto chvíli odhadneme,

volíme cca 0,3x0,3 m). Nezapomeňte, že máte více podlaží! Rozměr sloupu stanovíme ze

vztahu:

Rd c cd s s EdN 0,8A A N f

kde: NRd je únosnost sloupu v prostém tlaku,

Ac je průřezová plocha sloupu,

fcd je návrhová pevnost betonu v tlaku,

As je průřezová plocha výztuže sloupu, As = sAc, uvažujeme stupeň vyztužení s

= 1,5 – 3 % (zůstává nám tak rezerva na vliv momentu a štíhlosti),

s je napětí ve výztuži, uvažujeme 400 MPa (viz NNK)

NEd je normálová síla od zatížení.

Úpravou dostaneme:

Edc

cd s s

NA

0,8 f

Navrhneme sloup čtvercový nebo obdélníkový. Návrh zaokrouhlíme na 50 mm nahoru (tj.

vyjde-li například 420 mm, navrhneme 450 mm).

Na závěr sladíme šířky sloupu a trámu. Pokud by např. vyšel sloup šířky 400 mm a trám

šířky 350 mm, sjednotíme rozměry na 400 mm. Pokud ale bude rozdíl šířek velký (třeba trám

250 mm, sloup 450 mm), není nutno rozměry sjednocovat. Pokud zvětšujeme šířku trámu,

není nutno trám znovu ověřovat.

Předběžné ověření protlačení

Aby nedošlo k propíchnutí bezprůvlakové desky sloupem, musí být splněna podmínka:

Ed Rdv v

kde vEd je účinek návrhového zatížení v kontrolovaném obvodu [MPa],

vRd je únosnost v protlačení [MPa]

Ve výpočtu se postupně kontrolují podmínky:

Ed Rd,max

Ed Rd,c

Ed Rd,cs

v v

v v

v v

kde vRd,max je únosnost v protlačení v obvodu u0 (únosnost tlakové diagonály), ve cvičení u0

odpovídá obvodu sloupu,

vRd,c je únosnost v protlačení bez výztuže na protlačení v kontrolovaném obvodu u1,

vRd,cs je únosnost v protlačení s výztuží na protlačení.

V předběžném návrhu se budeme zabývat první podmínkou a předběžně i druhou

podmínkou (v příštím cvičení bude zpřesněna). Budeme ověřovat, zda je konstrukce vhodně

navržena, tj. zda je schopna při dostatečném vyztužení přenést požadovaný účinek zatížení.

Budeme kontrolovat obvody u0 a u1:

První podmínka je normová, ověřuje únosnost tlačené diagonály:

0

1

Čtvercový sloup:

4

4 2 2

u a

u a d

EdEd,0 Rd,max cd

0

0,4V

v v fu d

kde je součinitel polohy sloupu, v našem případě (vnitřní sloup, další podmínky viz

přednášky) budeme uvažovat = 1,15,

VEd je návrhová hodnota smykové síly (jedná se o sílu – hodnota v N, nikoliv v MPa!),

spočte se jako celkové návrhové zatížení běžného podlaží vynásobené zatěžovací

plochou sloupu (uvažujeme sloup s největší zatěžovací plochou, bereme zatížení

pouze z jednoho podlaží – pouze tato síla způsobuje propíchnutí dané desky

sloupem),

d je staticky účinná tloušťka desky,

čteme [ný], je součinitel zmenšující pevnost betonu v tlaku, který vyjadřuje vliv

přídavných namáhání, ck0,6 1250

f

. fck dosadit v MPa.

Upravená druhá podmínka je v současné době doporučená, vychází z výsledků

experimentů a ověřuje, zda je v konstrukci možno zajistit požadované kotvení výztuže na

protlačení:

Ed 3Ed,1 max Rd,c max Rd,c ck

1

100 l

Vv k v k C k f

u d

kde kmax je součinitel maximální únosnosti, jeho hodnota závisí na účinné tloušťce desky d

a typu smykové výztuže, určí se následovně:

U desek se smykovou výztuží spolehlivě zakotvenou v úrovni horní i dolní

výztuže a se svařovanými smykovými mřížkami dostatečně zakotvenými při

obou lících deskového prvku se uvažuje:

kmax = 1,45 při tloušťce desky h = 200 mm,

kmax = 1,70 při h ≥ 700 mm,

pro mezilehlé hodnoty h lze hodnotu kmax interpolovat.

U základů se smykovou výztuží se uvažuje kmax = 1,5.

Při použití patentovaných výrobků pro smykovou výztuž (zejména

smykových trnů) se uvažuje hodnota kmax podle příslušného evropského

technického osvědčení1.

CRd,c uvažujeme 0,18/c = 0,18/1,5 = 0,12,

k uvažujeme 200

1 2,0kd

, d dosazujeme v mm,

l je stupeň vyztužení průřezu ohybovou výztuží, prozatím odhadneme l = 0,005

fck dosazujeme v MPa.

1 V současnosti se velmi často používají smykové trny. Ukazuje se však, že při návrhu smykových trnů podle dále

uvedeného postupu vychází nadměrné množství trnů. Pro ekonomický návrh smykových trnů je nutno použít

speciální výpočetní programy výrobců. Takový postup by však byl pro pochopení principu návrhu neúčelný, a proto

ve cvičeních provedeme návrh vyztužení pomocí klasické výztuže.

Vzorové příklady výpočtu výztuže na protlačení je možno najít ve skriptu Kohoutková, Procházka, Vašková:

Navrhování železobetonových konstrukcí: Příklady a postupy (ČVUT, Praha, 2014).

Pokud jsou obě podmínky splněny, je tloušťka desky vyhovující. Pokud některá nevyhoví,

znamená to, že desku nelze v souladu s předpisy vyztužit na protlačení a je tedy potřeba

návrh korigovat. Existuje několik možností:

Zvětšit tloušťku desky (neefektivní – zvýší se zatížení)

Zvětšit rozměry sloupu (efektivní, ale zmenšuje se podlahová plocha)

Zvýšit třídu betonu (může vyjít dost draho, nemusí být dostatečné)

Navrhnout desku s plochými průvlaky nebo zesílením v oblasti sloupu

Navrhnout konstrukci s viditelnými nebo skrytými hlavicemi

Pokud v našem cvičení podmínky nevyhoví, navrhneme manžetovou hlavici (svařenec

z ocelových plechů). Tím se zvětší délky kontrolovaných obvodů:

Nevyhovující podmínky posoudíme znovu s novými hodnotami u0 a u1 (změní se pouze

hodnoty vEd, hodnoty vRd se nemění – nepočítejte znovu). Pokud by ani poté konstrukce

nevyhověla, zvětšíme tloušťku desky.

Skica tvaru

Do statického výpočtu na samostatný list A4 nakreslete skicu tvaru konstrukce.

Skica bude nakreslena od ruky, ovšem v měřítku a s dodržením zásad pro kreslení

výkresů tvaru (viz NNK).

Skica bude obsahovat půdorys konstrukce a sklopený řez v obou směrech.

Budou okótovány základní půdorysné rozměry a navržené rozměry konstrukcí (desky, trámu,

sloupu, stěny).

0

1

obvod hlavice

obvod ve vzdálenosti 2 od líce hlavice

u

u d

Momenty na lokálně podepřené desce

Budeme řešit momenty v pásech C a 3 (vyšrafované v zadání), vždy krajní pole a jedno

vnitřní pole – celkem tedy řešíme 4 pole desky.

Postup je ilustrován vzorovým příkladem – viz web.

Použijeme metodu součtových momentů. Je potřeba mít na paměti, že tuto metodu lze

použít pouze pro pravidelné konstrukce, musí být dodržena omezení pro geometrii a

zatížení konstrukce. Teorie bude vyložena na přednáškách.

Celkový součtový moment

Princip metody součtových momentů vychází ze skutečnosti, že vzepětí momentové křivky

na libovolném oboustranně podepřeném nosníku je 1/8fl2

Nejprve stanovíme celkové součtové momenty na jednotlivých polích desky podle vztahu:

2

tot d d n

1

8M g q bl

kde b je šířka uvažovaného pruhu, tj. součet polovin rozpětí přilehlých polí,

ln je světlý rozpon vyšetřovaného pole.

Celkový záporný a kladný moment

V jednotlivých polích rozdělíme celkový součtový moment na celkový kladný a celkový

záporný moment pomocí součinitelů – viz obrázek a tabulka.

Pro krajní pole uvažujeme:

V případě vetknutí do stěny součinitele pro vetknutý okraj pole.

V případě obvodových trámů součinitele pro okraj se ztužujícím trámem.

V případě překonzolování získáme hodnoty součinitele interpolací mezi tabulkou pro

okraj bez ztužujícího trámu a tabulkou pro vetknutý okraj. Interpolujeme podle toho, jak

velký je konzolový moment v porovnání s momentem, který by teoreticky vznikl ve zcela

tuhé podpoře (příklad viz web).

Momenty ve sloupovém a středním pruhu

Řešené pásy rozdělíme na sloupový a střední pruh. Šířka sloupového pruhu je ¼ kratšího

rozponu příslušného pole na každou stranu od osy. Pozor:

Sloupový pruh nemusí mít po celé délce pruhu stejnou šířku.

Pruhy mohou být na každou stranu od osy jinak široké.

U vašich zadání ale nic z toho nenastane, neboť všechna pole mají stejně rozměry.

Celkové kladné a záporné momenty rozdělíme na momenty v pruzích pomocí součinitelů

(viz tabulka). Vždy přidělíme sloupovému pruhu -násobek příslušného celkového

kladného/záporného momentu, středovému pruhu pak (-násobek.

Stanovení :

Žádný pás není ztužen ve směru vyšetřovaných momentů, zajímají nás proto řádky pro

1 = 0 (1 vyjadřuje vliv podélného ztužení).

Pro všechny kladné momenty je = 0,6.

Pro všechny záporné momenty ve střední podpoře je = 0,75.

Na kraji vetknutém do stěny se celkový záporný moment rozdělí rovnoměrně po celé

šířce stěny (nedělíme na sloupový a střední pruh).

Na konzole

Ve sloupovém pruhu uvažujeme celkový záporný moment (= 1,0).

Navíc ve středním pruhu uvažujeme 0,65násobek konzolového momentu rovnoměrně

rozprostřeného po celé šířce pásu v případě, kdy mezi krajními sloupy není ztužující

trám (to je případ našeho cvičení) a 1,0násobek v případě, kdy mezi krajními sloupy

je ztužující trám.

Pro záporný moment na kraji pole přiléhajícího ke konzole je nutno součinitel

stanovit interpolací podle hodnoty součinitele mezi hodnotou pro (odpovídá

hodnotě zcela netuhý okraj) a (odpovídá hodnotě zcela

tuhý okraj).

Pro záporný moment na kraji ztuženém žebrem je nutno stanovit interpolací podle t

mezi řádkem pro t = 0 (zcela netuhý okraj) a t = 2,5 (velmi tuhý okrajový trám) – viz

dále.

Stanovení tuhostního součinitele t pro krajní trám:

tt

s2

I

I

kde Is je moment setrvačnosti desky ve vyšetřovaném pruhu,

It je moment setrvačnosti v kroucení (torzní moment) trámu s částí desky (viz

obrázek). Trám rozdělíme oběma možnými způsoby na dva obdélníky, spočteme

torzní momenty pro jednotlivé varianty a uvažujeme větší hodnotu.

Torzní moment trámu se počítá jako součet torzních momentů jednotlivých obdélníků ze

vztahu:

3ni i i

t

i 1 i

1 0,633

t t aI

a

Kde ti je délka kratší strany obdélníka, ai délka větší strany obdélníka.

Na závěr spočtené hodnoty momentů vydělíme šířkou sloupového, resp. středního pruhu,

abychom dostali hodnoty na 1 m šířky desky, a vykreslíme průběh momentů ve sloupovém

a středovém pruhu pro pásy C a 3 (celkem 4 obrázky jako ve vzorovém příkladu, není nutno

kreslit celé pruhy).

Ohybová výztuž

Postup návrhu a posouzení – viz NNK, viz 1. úloha. Při návrhu plochy výztuže v desce s

velkým rozpětím je nutno si navíc uvědomit, že rozhoduje spíše kritérium použitelnosti

(průhyb) než kritérium únosnosti konstrukce. V našem případě se s touto skutečností

zjednodušeně vypořádáme tak, že navrhneme skutečnou plochu výztuže as,prov cca o 20 – 30

% větší než požadovanou plochu as,req. To ostatně odpovídá hodnotě c3 = 1,2 až 1,3, kterou

jsme zvolili při posuzování podmínky ohybové štíhlosti – pokud jsme v předběžném návrhu

předpokládali, že výztuže bude 1,2x až 1,3x více než je minimální nutná plocha, měli bychom

tento předpoklad respektovat i při podrobném návrhu výztuže.

Navíc ověříme požadovanou minimální plochu výztuže pro omezení šířky trhlin:

c ct,eff ct

s,prov s,min,3

s

k kf aa a

kde kc je součintel, kterým se zohledňuje rozdělení napětí v průřezu těsně před vznikem

trhlin, ve cvičení zjednodušeně a bezpečně uvažujeme kc = 0,4,

k je součinitel vyjadřující nerovnoměrnost rozdělení napětí, ve cvičeních uvažujeme

k = 1,0,

fct,eff je průměrná hodnota pevnosti betonu v tahu v okamžiku vzniku trhlin, uvažujeme

fct,eff = fctm,

act je plocha tažené části betonu těsně před vznikem trhlin, uvažujeme act = b*hd/2,

šířku průřezu b berte 1 m,

s je největší přípustná hodnota napětí ve výztuži těsně po vzniku trhlin, ve cvičení

uvažujeme s = fyk, ale obecně může být nutná menší hodnota (blíže viz

pokročilejší kurzy betonových konstrukcí).

Návrh bude ve tvaru Ø X à Y mm (např. Ø 10 à 150 mm).

Vhodné je používat větší počet menších profilů (lepší z hlediska mezních stavů

použitelnosti), rozteče by ale zároveň neměly být příliš malé kvůli pracnosti (v našem případě

bychom neměli jít pod 100 mm).

Návrh bude proveden pro všechny spočtené momenty. Je vhodné provést určité sjednocení

výztuže, např. používat jednu velikost profilů pro sloupové a jinou pro středové pruhy a

rozlišovat pouze rozteče. Je vhodné navrhovat velikost profilů „ob profil“, tj. navrhovat např.

profily 8 a 12, nikoliv 10 a 12 (snadná záměna na stavbě).

U hodnoty d je nutno si uvědomit, že je různá pro směry C a 3. Ve více namáhaném směru

budeme uvažovat vyšší hodnotu, v méně namáhaném směru nižší hodnotu.

Pro jeden průřez proveďte výpočet ručně s rozepsáním všech vztahů.

Dále můžete použít excelovou tabulku podle vzoru na webu. Vaše tabulka bude obsahovat

stejnou hlavičku a všechny uvedené sloupce (můžete si libovolně nějaké sloupce přidat, NE

ubrat).

Výztuž na protlačení

Hrozí-li protlačení (obrázek vlevo), je nutno navrhnout výztuž na protlačení. Na obrázku

uprostřed je zobrazeno řešení s využitím smykových trnů. Návrh trnů podle dále uvedeného

postupu však není v normě ČSN EN 1992-1-1 definován, bylo by nutno využít software

výrobce, což je pro účely výuky nevhodné. Pro pochopení principu návrhu (který je

v softwarech de facto stejný, liší se pouze hodnoty součinitelů, které jsou získány ze zkoušek)

navrhneme ve cvičení obdobný způsob vyztužení s využitím klasické betonářské výztuže

(obrázek vpravo).

Budeme počítat výztuž na protlačení sloupu C3.

Již dříve jsme v předběžném návrhu ověřili maximální únosnost v protlačení v líci sloupu –

nemusíme znovu počítat.

Pro další výpočty stanovíme průměrnou hodnotu staticky účinné výšky stropní desky:

C 3

2

d dd

Únosnost bez výztuže na protlačení v kontrolovaném obvodu u1

Posoudíme podle podmínky:

3Ed 3Ed,1 Rd,c Rd,c ck ck

1

max 100 ; 0,035l

Vv v C k f k f

u d

kde l je stupeň vyztužení průřezu ohybovou výztuží, 3 0,02l lC l

lC,l3 jsou stupně vyztužení ohybovou výztuží v průřezu vzdáleném 3d (tj. obvod u1

rozšířený o d) ve směru pásu C, resp. pásu 3, stanoví se jako

sC s3C 3

C 3

, resp. 1000 1000

l l

a a

d d ,

asC,as3 jsou průřezové plochy horní ohybové výztuže na 1 m šířky desky v pásu C,

resp. v pásu 3,

ostatní viz minulé cvičení. Máte-li v konstrukci hlavici, uvažujte u1 s hlavicí!!!

Pokud podmínka vyhoví, teoreticky není nutno navrhovat výztuž na protlačení – deska by

měla přenést požadované síly i bez speciálního vyztužení. Jde však o nejcitlivější místo

tohoto typu konstrukce, a proto i v případě, že není podle výpočtu nutná výztuž na

protlačení, se doporučuje navrhnout alespoň výztuž konstrukční – 2x2 ohyby nad sloupem

pro oba směry. Pokud podmínka nevyhoví, navrhneme výztuž na protlačení dále uvedeným

postupem.

Uspořádání výztuže na protlačení

Nejprve stanovíme délku kontrolovaného obvodu uout, ve kterém již není potřeba smyková

výztuž (jedná se o obvod, ve kterém by platilo vEd,out = vRd,c):

Edout

Rd,c

Vu

v d

Tvar tohoto obvodu závisí na způsobu vyztužení. Následující obrázky ukazují tvar

postupně pro vyztužení radiální výztuží na protlačení, ortogonální svislou výztuží v celé

oblasti a ortogonální svislou výztuží pouze v části oblasti.

Zdroj: Šmejkal, Procházka, Hanzalová: Navrhování na mezní stav porušení protlačením – část I. BETON TKS 5/2011, str. 66 – 72.

Pro naši výztuž na protlačení je tedy obvod uout kruhový. Jeho poloměr je:

outout

2

ur

Nyní můžeme navrhnout uspořádání výztuže na protlačení:

První výztužný profil smí být umístěn 0,3d až 0,5d od líce sloupu (pokud by byl blíže než

0,3d, nebylo by možné zajistit dostatečné zakotvení výztuže pod trhlinou),

poslední výztužný profil nesmí být dále než 1,5d od obvodu uout,

rozteče výztužných profilů sr jsou max. 0,75d,

vzdálenost lišt v tangenciálním směru st je max. 2d,

vzdálenost lišt v tangenciálním směru na úrovni obvodu u1 je max. 1,5d.

Zvolíme profil trnů Øsw (primárně volíme cca 10 – 14 mm, více jen pokud nevyhoví).

Spočteme potřebný počet lišt na vyztužení jednoho sloupu. Vycházíme z podmínek pro

maximální vzdálenosti v tangenciálním směru:

out 12 ( 1,5 )

max ;2 1,5

r d un

d d

Průřezová plocha výztužných profilů v jednom obvodu je Asw = n.Asw,1, kde Asw,1 je

průřezová plocha 1 výztužného profilu.

Únosnost s výztuží na protlačení v kontrolovaném obvodu u1

Posoudíme podle podmínky:

EdEd,1 Rd,cs Rd,c sw ywd,ef

1 r 1

10,75 1,5 sin

V dv v v A f

u d s u d

kde fywd,ef je efektivní návrhová mez kluzu výztuže na protlačení,

fywd,ef = 250 + 0,25d ≤ fywd,

fywd je skutečná návrhová hodnota meze kluzu výztuže na protlačení, uvažujte 435

MPa,

je úhel mezi smykovou výztuží a rovinou desky, v našem případě 90°,

ostatní hodnoty viz předchozí výpočty.

Pokud nevyhoví, zvýšíme profil výztuže na protlačení nebo zmenšíme hodnotu sr

a posoudíme znovu. Doporučení: nenavrhovat sr méně než 100 mm.

Nakonec musíme zkontrolovat konstrukční zásadu pro minimální stupeň vyztužení:

Pokud nevyhoví, opět zvýšíme profil výztuže na protlačení nebo zmenšíme hodnotu sr

a posoudíme znovu.

Je-li vzdálenost mezi u1 a uout větší než 2d, měli bychom definovat ještě mezilehlý

kontrolovaný obvod u2 (teoreticky i u3 při vzdálenosti nad 4d atd.) a v něm znovu provést

návrh a posouzení výztuže.

Výztuž na protlačení (je-li navržena) bude pro sloup C3 rozkreslena na samostatném

výkrese formátu A4 v měřítku 1:20 nebo 1:10 v půdoryse i v řezu. Je-li navržena hlavice,

bude zde rovněž zakreslena. Možno v CADu nebo i ručně do staťáku, ale podle pravítka!!!

(viz vzor na webu).

sw,1 ck

sw sw,min

r t yk

A1,5 0,08

f

s s f

Skica ohybové výztuže desky

Jeden výkres pro dolní povrch, jeden výkres pro horní povrch. Výztuž na protlačení bude rozkreslena samostatně (viz předchozí text), což se na výkrese

ohybové výztuže uvede do poznámky.

Jedná se pouze o skicu navržené staticky nutné výztuže. Výkres nebude obsahovat lemovací a

konstrukční výztuž.

V reálném výkrese by se jinak kótovaly polohy prutů – dělníky na stavbě nezajímá dělení na

sloupový a středový pruh.

Měřítko zvolte tak, aby se výkres vešel na formát A3 (lze slepit ze dvou listů A4). Kóty a

popisky musí být čitelné.

Na výkresu budou rozkresleny tvary výztužných profilů, bude uveden zjednodušený výkaz

výztuže (nemusí být uvedeny kilogramy oceli), přehled materiálů, kotevní délky, krytí a

rozpiska (viz vzor na webu).

Přesahy výztuže – zjednodušeně a bezpečně podle následujících instrukcí, podrobněji viz

tabulka na webu.

Přesah horní výztuže za líc podpory ve sloupovém pruhu uvažujte 1/3 světlého rozponu

pole.

Přesah horní výztuže za líc podpory ve středním pruhu uvažujte 1/4 světlého rozponu

pole.

Přesah dolní výztuže nad podporu uvažujte 10Ø (minimálně ale 80 mm).

V případě, že při porušení podpůrné svislé nosné konstrukce hrozí progresivní kolaps části

konstrukce, je nutno vložit nad podporu k dolnímu povrchu ještě příložky zabraňující

progresivnímu kolapsu.