Gymnázium, Kojetín, Sv. Čecha 683

MATEMATIK, FILOZOF

Ročníková práce

Autor práce: Romana Zapomnětlivá

Třída: 2. ročník, sexta

Šk. rok: 2012 – 2013

Konzultant: Mgr. XXXX XXXXXX

Prohlašuji, že jsem svou práci vypracoval(a) samostatně, použil(a) jsem pouze podklady (literaturu, SW atd.) uvedené v přiloženém seznamu a postup při zpracování a dalším nakládání s prací je v souladu se zákonem č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon) v platném znění.

V ………… dne ………………… podpis: ……………………………

ANOTACE

Práce se zabývá vztahem dvou vědních oborů: filozofie a matematiky, zmiňuje společné kořeny vzniku ve

starověku, vymezení obou nauk v době renesance a specifické rysy projevující se zejména od konce 19.

století. Součástí práce je i přehled nejvýznačnějších osobností, které se zabývaly oběma vědními obory a

zasáhly významnou měrou do jejich vývoje. Samostatné subkapitoly jsou věnovány Pythagorovi a

Euklidovi.

Klíčová slova: matematika, filozofie, matematik-filozof, algebra, aritmetika, geometrie, starověk,

středověk, renesance, osvícenství moderní doba, Pythagoras, Euklides

4

Obsah

Obsah ............................................................................................................................................................. 4

Úvod ............................................................................................................................................................... 5

1 Vymezení pojmů ..................................................................................................................................... 6

1.1 Matematika a filozofie ................................................................................................................... 6

1.2 Matematik, filozof .......................................................................................................................... 7

2 Stručný přehled významných matematiků, filozofů od starověku po 2. polovinu 20. století ............... 8

2.1 Starověk .......................................................................................................................................... 8

2.2 Středověk ....................................................................................................................................... 9

2.3 Novověk ........................................................................................................................................10

2.4 19. století ......................................................................................................................................12

2.5 20. století ......................................................................................................................................14

3 Významné osobnosti filozofů, matematiků .........................................................................................15

3.1 Pythagoras ....................................................................................................................................15

3.2 Euklides ........................................................................................................................................17

Závěr .............................................................................................................................................................20

Seznam literatury: ........................................................................................................................................21

Seznam internetových odkazů: ....................................................................................................................21

Přílohy: .........................................................................................................................................................23

5

Úvod

Téma matematik, filozof jsem si pro ročníkovou práci vybral proto, že mě tato oblast zajímá a rád

bych se v tomto směru obohatil o nové poznatky a více pronikl do podstaty věcí.

Cílem práce je poukázat na provázanost historického vývoje zdánlivě neslučitelných vědních

oborů, jako jsou matematika a filozofie, a blíže představit některé významné osobnosti, jež se v minulosti

proslavily jak na poli filozofickém, tak na poli matematickém. Myslím si, že by tato problematika mohla

zaujmout i ostatní studenty, protože se v mé práci objevují známá jména, s nimiž se během školní

docházky setkává každý gymnazista: např. Pythagoras (autor jednoho z nejznámějších matematických

zákonů – Pythagorovy věty), Euklides (autor Euklidovy věty), René Descartes (spolu s Fermatem

zakladatel analytické geometrie) a Isaac Newton (autor např. binomické řady nebo diferenciálního a

integrálního počtu) apod.

Práce se dělí do tří kapitol. V první části je uvedena jednak definice vědních oborů matematika a

filozofie, jednak stručná obecná charakteristika osobnosti matematika, filozofa a je zde také poukázáno

na souvztažnost obou zmiňovaných vědních disciplín. Druhá kapitola obsahuje historický přehled

významných osobností matematiky a filozofie. Přehled je v podkapitolách řazen chronologicky od

starověku po 2- polovinu 20. století. Třetí, závěrečná kapitola, přiblíží podrobněji dva významné

matematiky, filozofy z antického Řecka. U každé ze zmíněných osobností bude stručně popsán jejich život

a přínos pro matematiku, filozofii a případně jiná odvětví, kterým se věnovali.

Ve své práci vycházím z odborné filozofické literatury, publikace o matematice, informace

čerpám i z internetu.

6

1 Vymezení pojmů

1.1 Matematika a filozofie

Věda – filozofie i matematika – mohla vzniknout až tehdy, když se člověk přestal starat pouze o svoji

obživu a svůj volný čas věnoval i jiným věcem. Poprvé tomu tak bylo v Egyptě u vrstvy kněží (zde vznikla

matematika a astronomie) a v Řecku u bohatých obchodníků v městě Milétu (zde se se zrodila filozofie).

Matematika název tohoto vědního oboru je odvozen z řeckého μαθηματικός (mathematikós) =

milující poznání; μάθημα (máthema) = věda, vědění, poznání.1 Jedná se o nauku o kvantitativních a

prostorových vztazích. Elementární poznatky z aritmetiky a geometrie se objevily na samém počátku

kulturního vývoje v souvislosti s praktickými úlohami (stanovení počtu kusů, měření délek, ploch,

objemů, problémy ve stavebnictví, astronomii atd.). Mnoho poznatků tohoto druhu bylo známo ve

starověkém Egyptě a v Mezopotámii.

Jako samostatná věda s jasně vymezenými metodami se matematika objevila ve starověkém Řecku;

zejména výklad elementární geometrie, jak jej vytvořili řečtí myslitelé, byl po dvě tisíciletí vzorem

deduktivní výstavby matematické teorie.2

Další etapou prudkého rozvoje matematiky byl raný novověk, kdy byly především Descartem

ustaveny základy matematické analýzy. Poté se díky práci Newtona, Leibnize, Eulera, Gausse a dalších

matematiků podařilo dosáhnout zásadních výsledků v oblasti analýzy zejména položením základů

diferenciálního a integrálního počtu.

Jiným významným obdobím dějin matematiky byl přelom 19. a 20. století. Nové impulzy dodaly

matematice objevy v logice a zavedení axiomatické teorie množin. Touto dobou začaly být též zkoumány

abstraktní struktury, což umožňuje jedním důkazem ověřit matematické tvrzení pro širokou skupinu

matematických objektů. Vyvrcholením tohoto trendu byl v polovině 20. století vznik teorie kategorií,

která je pokládána za nejobecnější a nejabstraktnější matematickou disciplínu.3

Matematika se dělí na řadu oborů, např. na algebru, matematickou analýzu, topologii, geometrii,

teorii čísel, teorii množin, matematickou statistiku, matematickou informatiku, teorii her, matematickou

fyziku, ekonomii, psychologii, lingvistiku ad.4

1 Matematika [online]. [cit. 2013-05-10+. Dostupné z: Wikipedie. Matematika. *online+. *editována 5. 5. 2013 v

22:00. Dostupné na World Wide Web: http://cs.wikipedia.org/wiki/Matematika 2 Všeobecná encyklopedie ve čtyřech svazcích. Praha 1996, str. 82.

3 Matematika [online]. [cit. 2013-05-10+. Dostupné z: Wikipedie. Matematika. *online+. *editována 5. 5. 2013 v

22:00. Dostupné na World Wide Web: http://cs.wikipedia.org/wiki/Matematika 4 Všeobecná encyklopedie ve čtyřech svazcích. Praha 1996, str. 82.

7

Filozofie, řecky φιλοσοφία, z φιλειν (filein, mít rád, toužit po něčem) a σοφια (sofia, moudrost,

zdatnost) je soustavné, racionální a kritické zkoumání skutečnosti, světa a člověka, případně i toho, co je

přesahuje (metafyzika).5 Filozofie vznikla v reakci na tradiční mytologickou interpretaci světa ve starém

Řecku na počátku 6. století před n. l. Původně byla ve starém Řecku chápána jako souhrn veškerého

poznání a v tomto smyslu byla synonymem pro vědu. Postupně se jednotlivé vědy začaly z filozofie

vydělovat (např. matematika již v antice, kdežto psychologie a sociologie až v 19. a 20. století).

Předmět, funkce i metody zkoumání filozofie se v průběhu jejího vývoje mění: vysvětlování světa

včetně jeho vzniku v předsokratovském období; zkoumání a vymezování obecných pojmů u Sókrata a

Platóna; hledání příčin všeho jsoucího u Aristotela; rozumový výklad světa a náboženských pravd

v křesťanství a scholastice; stanovení pevného, jistého poznání na základě matematicky vyjádřených

zákonů v novověku; úsilí o emancipaci člověka pomocí rozumu v osvícenství; vymezování podmínek naší

zkušenosti u Kanta; pochopení filozofie jako ideové zbraně u marxistů; kritika všeho, čím se člověk

pokouší zastřít svou konečnost a omezenost v existencialismu; kritika představa jediné pravdy

v postmoderně atd.6

1.2 Matematik, filozof

Matematik, filozof je vědec, který svým zkoumáním obsáhl obě vědní disciplíny – matematiku i

filozofii – a přinesl do obou vědních oborů nové poznatky.

Historie zná mnoho významných matematiků, filozofů. Můžeme začít hned ve starověkém Řecku.

Již Aristoteles označil za prvního skutečného filozofa Thaleta z Milétu7, který ovšem významnou měrou

zasáhl i do vývoje matematiky, konkrétně jedné její části – geometrie.

Snad nejvýznamněji se obě vědní disciplíny prolnuly v období od renesance po osvícenství (od

konce 16. století po 18. století), v období racionalismu, kdy zvítězilo rozumové vnímání světa a v němž se

ideálem veškerého poznání stala matematika jako věda, která je schopná přinést neotřesitelné důkazy.

Její metody měly být uplatňovány ve všech oborech lidské činnosti.8

Stručný přehled matematiků, filosofů přinese následující kapitola.

5 Filozofie *online+. Stránka byla naposledy editována 6. 5. 2013 v 17:5 *cit. 2013-05-10+. Dostupné z:

http://cs.wikipedia.org/wiki/Filosofie 6 Všeobecná encyklopedie ve čtyřech svazcích. Praha 1996, str. 726

7 Weischedel, Wilhelm. Zadní schodiště filozofie. Olomouc 1995, str 7.

8 Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str. 227.

8

2 Stručný přehled významných matematiků, filozofů od starověku po

2. polovinu 20. století

2.1 Starověk

Jak bylo uvedeno v předchozí kapitole, za prvního opravdového filozofa bývá považován Thales

z Milétu (620 př. n. l. - 546 př. n. l.), zástupce předsókratovské filozofie, konkrétně představitel

milétských přírodních filozofů. Věnoval se politice, astronomii, matematice a spočítal přesně zatmění

Slunce. Tento fakt podnítil jednoho historika k tomu, že přesně stanovil hodinu zrození filozofie. Píše:

„Řecká filozofie začíná 28. května 585 před Kristem.“9 Je to den, kdy podle Thaletovy předpovědi

skutečně došlo k zatmění Slunce.

Coby filozof se snažil proniknout k podstatě věcí, není od něj ovšem dochován žádný filozofický

spis. Pokládá si např. otázky: Co je tou věcí, tím principem, který působí, že vše vzniká a vše existuje?

Odkud všechno pochází, z čeho vše vzniká? Thales tvrdil, že základem světa, pralátkou, je voda. Svět je

podle něj deska, která plave na vodě. Vodu zvolil za pralátku pravděpodobně proto, že se mu jevila jako

nejvíce tvárná, neboť se s ní setkáváme ve všech třech skupenstvích.

V oboru matematiky si osvojil orientální vědění díky svým cestám do Egypta. Řekové jej nazývali

jedním ze „sedmera mudrců“ nebo „otcem vědy“. Zabýval se geometrií, vlastnostmi trojúhelníků a

kružnice. Znal větu o shodnosti trojúhelníků, vztahy mezi úhly v rovnoramenném trojúhelníku a znal

vrcholové úhly. Thaletova věta je první matematická věta, která byla (podle dostupných pramenů)

objevena. Svá matematická tvrzení se Thales pokoušel i dokazovat.10

Dalším významným starověkým řeckým matematikem, filozofem byl Pýthagorás, o němž a jeho

škole bude více pojednáno v následující kapitole.

Filozofii i matematiku (stereometrii) zkoumal ze starověkých filozofů i Platón. Platón např.

předpokládá, že pět pravidelných mnohostěnů, jež Řekové nazývali Bakchovými hračkami, tj. krychle,

čtyřstěn, dvacetistěn, osmistěn a dvanáctistěn (mají stejné strany, stěny i úhly; lze do nich dokonale

vepsat či kolem nich opsat kouli), tvoří základní tvary hmoty: Země je kompaktní a stabilní, protože je

tvořena krychlemi, oheň je tvořen čtyřstěny, voda, vzduch a éter se skládají z dvanáctistěnů.11 Součástí

9 Weischedel, Wilhelm. Zadní schodiště filozofie. Olomouc 1995. Votobia, vyd. 2. Str 7.

10 REICHL, Jaroslav a Milan VŠETIČKA. Encyklopedie fyziky: Ionská přírodní filozofie [online]. 2013 [cit. 2013-05-14].

Dostupné z: http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/1408-ionska-prirodni-filosofie 11

Nicola Ubaldo. Obrazové dějiny filozofie. Praha 2006, str. 112.

9

platónské tradice je tvrzení, že Bůh dal přírodě tvar pomocí geometrie.12 Nad vchodem do antické

platónské Akademie bylo motto: Nevstupuj, kdo nejsi geometrem.

Euklides z Alexandrie mj. dopracoval některé poznatky pythagorejců, je autorem vět o výšce

a odvěsně v pravoúhlém trojúhelníku, dokázal, že prvočísel je nekonečně mnoho a že není racionální

číslo. Oba tyto výsledky, které jsou pro matematiku velmi důležité, dokázal velmi elegantně sporem.

Tento typ důkazu si Euklides velmi oblíbil. Filozofii ovlivnil jen okrajově – tím, že ve svém hlavním díle

Základy shrnul práci mnoha dřívějších matematiků a filosofů.

Dalším významným matematikem, filozofem (mj. i zakladatelem logiky jako oboru zkoumání), je

Aristoteles, ale také Archimédes ze Syrakus a jistě bychom mohli uvést i další jména.

2.2 Středověk

Pro období středověku je charakteristický odklon od přírodních věd, bádání se soustřeďuje na

teologii (hlavní úlohu ve všech oblastech života a poznání hraje Bůh), která je nadřazena veškerým

vědám včetně filozofie. Přesto je už od dob církevních otců (patristů), např. Aurelia Augustina (354 - 430)

kladen důraz na vzdělání, znalost klasických jazyků, ale i logiky, matematiky, geometrie, astronomie

a rétoriky.

Novoplatonisté raného středověku, ale i pozdější křesťanští a renesanční filozofové navázali na

Platóna, když mezi atributy Boha včlenili roli protogeometra. Tím bylo míněno, že Bůh použil při aktu

stvoření aritmetiku, jejímž prostřednictvím určil počet věcí, geometrii, jejíž pomocí určil jejich tvar, a

hudbu, která zaručuje harmonii a dynamickou rovnováhu vesmíru.13

Rozvoj středověké společnosti pak s sebou přinesl i požadavky na vyšší vzdělanost lidí, byly proto

zakládány univerzity, kde se učilo sedmeru svobodných umění, mezi nimi samozřejmě i aritmetice a

geometrii. K nejvýznamnějším matematikům středověku lze právem zařadit Leonarda z Pisy zvaného

Fibonacci, který se zasadil o zpopularizování arabské číselné soustavy, o zavedení nuly (poziční i

množstevní), zajímal se o geometrii, zlatý řez a posloupnost.14

V období středověku matematici dospěli k těmto důležitým výsledkům: Mikuláš Oresme (druhá

polovina 14. století) studoval ze záliby mocniny s lomenými exponenty, ale hlavně napsal práci, v níž se

zabývá závislostí mezi veličinami. Nanáší závisle proměnnou (latitudo — šířku) vůči nezávisle proměnné

12 Tamtéž, str. 218.

13 Tamtéž, str. 218

14 REICHL, Jaroslav a Milan VŠETIČKA. Encyklopedie fyziky: Dějiny matematiky a fyziky [online]. 2013 [cit. 2013-05-

14+. Dostupné z: http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/1408-ionska-prirodni-filosofie

10

(longitudo — délce), kterou lze měřit. Je v tom druh přechodu od souřadnic na nebeské nebo zemské

sféře (které znali již ve starověku) k moderním geometrickým souřadnicím.

Až do začátku 16. století však nebyl učiněn žádný podstatný pokrok k překonání úrovně arabské a

antické matematiky. První skutečně nové a původní výsledky přináší italští matematikové na počátku

16. století, pracující v oblasti řešení rovnic.15

2.3 Novověk

V novověku je patrný odklon od Boha k člověku, coby nezávislé bytosti, a jeho rozumu.

Renesanční filosofie se rozvíjela v období od druhé poloviny 15. století do konce 16. století. Vyznačuje se

oživením zájmu o antickou filozofii (filozofie se obecně vymaňuje z područí teologie) a obratem ke

zkoumání člověka a tajemství přírody, což vede k rozvoji matematiky, alchymie, astrologie a astronomie,

jež nahradila starší geocentrické představy novým heliocentrismem.

Na počátku 16. století překročila evropská matematika rámec znalostí, které byly vytvořeny

v antickém Řecku a národy Orientu. Až do přelomu 16. a 17. století měla matematika jako předmět

svého zkoumání hlavně kvantitativní veličiny a neměnné geometrické útvary. V 15. století ovládali italští

počtáři (praktikové) spolehlivě aritmetické výpočty včetně počítání s iracionálními čísly a italští malíři

byli dobrými geometry.

Mezi nejvýznamnější renesanční filozofy a matematiky bezesporu patří Mikuláš Kusánský,

Mikuláš Koperník, Giordano Bruno, Galileo Galilei, Johannes Kepler ad.

Např. Mikuláš Kusánský o řádu a harmonii vesmíru říká, že je „lze odvodit z toho, že Bůh nestvořil

svět bez plánu, nýbrž na základě matematických principů.“16 Matematika slouží Kusánskému především

k tomu, aby popsal podstatu Boha jako absolutní nekonečno. Johannes Kepler pak hlásal zásadu: „Kde je

látka, tam je matematika“17, čímž poprvé formuluje matematický ideál poznání, který tak významně

ovlivnil další podobu vědeckého bádání zejména v přírodovědě. Podobně se vyjadřuje i Galileo Galilei:

„Velká kniha přírody leží před námi otevřena. Abychom ji mohli číst, potřebujeme matematiku, neboť je

psána matematickým jazykem. Přírodní procesy jsou kvantitativní, a tudíž měřitelné, a kde nelze měřit,

musí věda uspořádat experiment tak, aby měření bylo možné.“18

15 Dějiny matematiky [online]. 10. 4. 2013 v 18:49. [cit. 2013-05-14+. Dostupné z:

http://cs.wikipedia.org/wiki/D%C4%9Bjiny_matematiky 16

Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str. 216. 17

Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str. 206. 18

Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str. 206.

11

Filozofie v 17. století vstupuje do věku, v němž vládne rozum a v němž je základem ideálem

každého poznání matematika, tj. věda, která se vymyká každé národní a individuální specifičnosti a která

má naprosto všeobecnou platnost. Jestliže matematika poskytla metodu neotřesitelných důkazů, pak se

tento princip měl přenést na veškeré lidské vědění, tedy na všechny vědy a především také na filozofii.

Filozofii té doby tedy nelze oddělit od matematiky.19 Filozofové 17. století byli buď sami geniálními

matematiky, jako René Descartes (zavedením kartézské soustavy souřadnic objevuje metodu, jak

analyticky, tj. prostřednictvím čísel a rovnic, zkoumat geometrické útvary; díky tomuto objevu se v

následujících staletích podaří vyřešit mnoho klasických geometrických problémů), Blaise Pascal, Pierre

de Fermat, Gottfried Wilhelm Leibniz, Isaac Newton (oba matematická analýza, kalkulus), nebo alespoň,

jako např. Baruch Spinoza, vybudovali svou myšlenkovou stavbu geometrickým způsobem. Tak se rodí

racionalistická filozofie, která prosazuje myšlenku, že k platným vědeckým závěrům lze dospět pouze a

výhradně racionálním deduktivním procesem na základě evidentních faktů, které mysl postihuje

intuitivně jako jasné a zřejmé stejně jako např. pojmy rozměru a hmoty.20 Tímto přístupem někteří

racionalisté – v opozici k empirismu – dospěli až k popření vnímání prostřednictvím smyslů a k popření

významu zkušenosti, a dokonce i praktického experimentálního ověření teorie.

Osvícenská filozofie bývá obvykle spojována s rozvojem společenských věd, psychologie,

navazuje však svými metodami na předchozí období (víru v rozum), a proto i zde má matematika své

zastánce. Např. anglický filozof David Hume označuje matematiku jako jedinou vědu, která se nezabývá

sdružováním představ, nýbrž fakty21, a tudíž je podle něj jedinou vědou, která nám dává absolutní jistotu

(na rozdíl od jiných vědních oborů, jež nám mohou nabídnout pouze pravděpodobnost).

Významným filozofem a matematikem byl také Jean d´Alembert, jeden z tvůrců a vydavatelů

slavné Encyklopedie věd, umění a řemesel v 2. polovině 18. století. Vypracoval nástin dějin vzniku a

vývoje poznání a pokusil se o klasifikaci věd. Zabýval se mj. diferenciálním počtem a rovnicemi a jejich

aplikacemi ve fyzice, zvláště významné jsou jeho články, které se zabývají limitami, kde je vidět, že

d'Alembert chápal význam funkcí pro matematiku.

D´Alembertovým současníkem byl Leonhard Paul Euler, průkopnický švýcarský matematik a

fyzik. Euler je považován za nejlepšího matematika 18. století a za jednoho z nejlepších matematiků

vůbec. Eulerův vliv na matematiku vyjadřuje výrok připisovaný Pierru Simonu de Laplaceovi : "Čtěte

19 Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str. 227.

20 Nicola Ubaldo. Obrazové dějiny filozofie. Praha 2006, str. 304.

21 Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str. 256.

12

Eulera, čtěte Eulera, je to učitel nás všech."22 Je tradičně považován za zakladatele teorie grafů. Pochází

od něj metoda variace konstant pro řešení diferenciálních rovnic. Jako první použil pojem „imaginární

číslo“ pro druhou odmocninu ze záporného čísla ve své knize Algebra. Zavedl dvojrozměrný integrál. Od

Eulera také pochází i nyní používané označení f(x) pro funkci. Díky jeho všeobecně uznávané autoritě se

ustálila symbolika algebry a infinitezimálního počtu.23

Na racionalismus (a roli matematiky v poznání, zejména poznání a definování prostoru a času),

konkrétně především na Leibnize a Descarta, navazoval i slavný německý osvícenský filozof Immanuel

Kant ve svém nejproslulejším díle Kritika čistého rozumu, vedle neoddiskutovatelné role rozumu ovšem

stejný význam přikládal i empirickému poznání. Zatímco předchůdci používali rozum, aby kritizovali –

Kant podrobil kritice rozum sám (postavil se proti dogmatice rozumu), člověk je podle něj bytostí nejen

myslící, ale i chtějící a cítící.

2.4 19. století

Filozofie 19. století se opírá o I. Kanta (ale i idealistu G. Hegela a jeho pojetí dějinnosti, ducha

doby) a dále jej rozvíjí; mezi nejvýznamnější matematiky, filozofy zde můžeme řadit Francouze Augusta

Comta, zakladatele pozitivismu a sociologie. Pozitivismus se přidržuje pouze skutečnosti, tj. daných fakt.

Zabývá se výhradně tím, co je společensky užitečné. A v protikladu k nekonečným sporům dřívější

metafyziky, drží se výhradně toho, co lze přesně definovat. Comte se inspiroval zejména R. Descartem a

F. Baconem, provádí klasifikaci věd, kdy za vědu považuje jen to, co lze jednoznačně definovat, řadí tedy

vědy takto: matematika (od Descartovy a Newtonovy doby je základem filozofie, svými oběma větvemi,

abstraktní matematikou čili analýzou a konkrétní matematikou neboli geometrií a mechanikou patří na

počátek celé stavby; její zásady jsou nejobecnější, nejjednodušší a nejabstraktnější a nezávisí na ničem

jiném), astronomie, fyzika, chemie, biologie a sociologie.24

Obecně však lze konstatovat, že v 19. století dochází k větší specializaci vědy a propojení několika

vědních oborů – a tedy i matematiky a filozofie – již není tak úzké jako v předcházejících letech.

Pokud jde o základy matematiky, první polovina 19. století přinesla v této oblasti doslova

koperníkovský obrat, když Rus N. J. Lobačevskij a Maďar János Bolyai téměř současně prokázali možnost

„neeukleidovské“ geometrie a navázali tak na dřívější poznatky geniálního německého matematika K. F.

Gausse (ten mj. položil základy teorii čísel). V praxi to znamenalo, že přinesli logický důkaz, že Eukleidova

22 Leonhard Euler [online]. 15. 4. 2013 v 16:43. [cit. 2013-05-14+. Dostupné z:

http://cs.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler http://cs.wikipedia.org/wiki/Leonard_Euler 23

Tamtéž. 24

Störing, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha 1993, str. 343.

13

geometrie – vycházející z předpokladu trojrozměrného prostoru - nepředstavuje jediný možný systém

geometrie. To vedlo ke zkoumání platnosti základů matematiky. Mezi vědce, kteří tuto novou situaci

promýšleli i ve filozofické rovině, patří především Francouz Henri Poincaré.25 Einstein o neeukleidovské

geometrii řekl: „Této interpretaci geometrie přikládám velký význam, protože kdybych se s ní neseznámil,

nebyl bych schopen vypracovat teorii relativity.“26

Protože se doposud v práci neobjevilo žádné jméno, jež by bylo spjato s našimi zeměmi, uvedu

zde alespoň jméno Bernarda Bolzana. Bolzano je považován za jednoho z největších českých

matematiků 19. století. Bolzano sám skromně říká, že “jeho zvláštní záliba v matematice spočívala

vlastně jen na její čistě spekulativní části”, tedy na tom, “co je zároveň filosofií”27, ale jeho objevy v nauce

o funkcích a teorii množin, nekonečnu mnohdy časově předešly jiné matematické velikány 19. století,

jako Georga Cantora, Karla T. W. Weierstrasse, jenž bývá nazýván „otcem moderní matematické

analýzy“, nebo A. L. Caucha. K Bolzanovu odkazu se hlásí i zakladatel filozofie fenomenologie,

prostějovský rodák Edmund Husserl.

Druhá polovina 19. století přináší do filozofie marxismus, voluntarismus, počátky existencialismu

a pragmatismus. Filosofové tohoto období netvoří školy, ale předkládají vlastní, často silně individuální

pohledy na svět a na člověka v něm. Myšlenka dějinnosti – patrně nejzávažnější novinka 19. století –

proniká do různých věd a v podobě Darwinovy evoluce dostává úplně novou podobu: dějiny nejsou jen

lidská historie, ale dějinná je i příroda včetně člověka, který do ní patří. Jen některé vědy, jako jsou

matematika, fyzika, chemie, astronomie se dějinnosti zatím brání, představují však pro filosofii

nedostižný vzor přesnosti a objektivity, a tím i stálou výzvu.28

V matematice se Angličan George Boole zajímal o redukci logiky na jednoduchou algebru

s pouhými dvěma prvky 0 a 1 a třemi základními operacemi: a, nebo a ne.29 Boole bývá považován za

zakladatele informatiky. Dalším matematikem je Němec Georg Cantor, jenž se věnoval i teologii, zejména

ve vztahu k vlastní práci týkající se nekonečna. Je znám především tím, že teorii množin rozšířil o

nekonečná čísla, označovaná jako ordinální a kardinální čísla. Britský filozof a anglikánský duchovní John

25 Tamtéž, str. 478.

26 Pickover, Clifford A.: Matematická kniha. Praha 2012, str. 224.

27 Kdo byl Bernard Bolzano *online+. *cit. 2007+. Dostupné z: http://www.cs.cas.cz/bolzano/o-bernardu-bolzanovi

28 Filozofie 19. století [online]. 6. 5. 2013 v 08:57. Dostupné z:

http://cs.wikipedia.org/wiki/Filosofie_19._stolet%C3%AD 29

Pickover, Clifford A. Matematická kniha. Praha 2012, str. 242.

14

Venn vymyslel v roce 1880 schéma pro vizuální znázornění množin, jejich prvků a vzájemných logických

vztahů, tzv. Vennův diagram.30

2.5 20. století

Filosofie 20. století je pestrou směsí vzájemně se prolínajících a ovlivňujících směrů a škol. Ve 20.

století vznikly či se rozvinuly směry jako filozofie života, filozofie mysli, existencialismus, marxismus,

fenomenologie, strukturalismus a další.

V dvacátých letech 20. století formuloval slavný německý matematik David Hilbert tzv. Hilbertův

program. Ten měl za cíl vystavět matematiku na neotřesitelných logických základech, především na

bezrozporné teorii množin. Na přelomu století se totiž nejlepší matematikové zabývali problém, jak se

vyhnout paradoxům, které s sebou tehdejší příliš volné množinové definice přinášely. Hilbert věřil, že

matematiku na takovýchto bezrozporných základech postavit lze. Je autorem slavného výroku: „Musíme

vědět. Budeme vědět.“31 Z 23 nejvýznamnějších problémů matematiky, které stanovil a které by se měly

ve 20. století vyřešit, jich dosud bylo vyřešeno deset.32

V letech 1910 – 1913 britští filozofové a matematici A. N. Whitehead a B. Russell vydali gigantické

dílo Principia Mathematica, jehož cílem bylo předvést, že matematiku lze formulovat pomocí logických

pojmů jako množina a prvek množiny. Principia se pokoušela dobývat matematické pravdy z axiomů

pomocí odvozovacích pravidel symbolické logiky.

Obrovským popularizátorem matematiky byl americký spisovatel a vědec Martin Gardner,

publikující sloupky Matematické hry v časopise Scientific American, který „zprostředkoval matematiku

více miliónům lidí než kdo jiný“ a zároveň „otevřel veřejnosti oči kráse a kouzlu matematiky a mnohé

inspiroval k tomu, aby jí zasvětili život.“33

V posledních letech 20. století nastal v matematickém bádání posun – od čisté teorie a hledání

důkazů přešla matematika k využívání počítačů a k experimentování. Přispěl k tomu mj. matematický

softwarový balík Mathematica z dílny amerického matematika a teoretika Stephena Wolframa.

Matematikou se zabývá spousta lidí, vycházejí matematické časopisy, vznikají nové matematické obory

(např. zkoumání fraktálů) apod.

30 Tamtéž, str. 272.

31 Filozofie 19. století *online+. 6. 5. 2013 v 08:57. Dostupné z:

http://cs.wikipedia.org/wiki/Filosofie_19._stolet%C3%AD 32

Pickover, Clifford A.: Matematická kniha. Praha 2012, str. 298. 33

Tamtéž str. 408.

15

3 Významné osobnosti filozofů, matematiků

V této kapitole se vrátíme na začátek, ke dvěma starověkým filozofům, matematikům, u nichž

propojení obou vědních disciplín začalo a jejichž myšlenky, i pokud byly překonány, vzbuzují respekt do

dnešní doby.

3.1 Pythagoras

Pythagorovo narození se datuje okolo roku 570 př. n. l., narodil se na řeckém ostrově Samos poblíž

Malé Asie, kde je po něm pojmenovaná pevnost Pythagoreion (zbyly z ní jen ruiny). Jeho otcem byl

pravděpodobně rytec prstenů nebo kupec Mésarchos. Jeho učiteli byli Anaximandros a Ferdykés ze Syru.

Na cestách do Egypta a Babylonii se mladý Pythagoras setkal s východními náboženstvími. Roku 538 př.

n. l. se na Pythagorově rodném Samu ujal vlády tyran Polykratés. Pythagoras opustil Samos a v roce 530

př. n. l. a založil v Krotónu (dnešní Crotone) filozofickou školu. Podle některých pramenů měl ženu

Theano a s ní také děti, ale není to dokázáno. Během života měl často spory s Hérakleitem, který mu

často vytýkal široké spektrum vědy, kterým se zabýval. O Pythagorovi je známo, že číslům přikládal často

až přehnaný význam.

Od něj a jeho žáků můžeme hovořit o tzv. filozofickém matematismu, kdy čísla staví svět jako

stavební kameny, číslo je princip formování světa a zároveň jeho prostředek.34 Pythagorejci dospěli

k závěru, že matematické/číselné principy platí pro vše, pro všechny bytosti. Pythagoras přisoudil číslu

úlohu arché, nejvnitřnější podstaty všeho, výchozího bodu a příčiny každé existující věci. Všechno je

podle pythagorejců číslo a vše lze převést na čísla. Mezi všemi čísly, která pythagorejci posuzovali a třídili

podle zákonitostí numerologie, získalo zvláštní symbolický význam číslo deset, „matka všech čísel“, číslo

považované za symbol dokonalosti, za univerzální schéma, optimální model, který lze pozorovat všude

v přírodě.35 Tomuto zbožštění desítky vděčíme za vznik desítkové číselné soustavy, kterou používáme

dodnes.

V matematice vynalezl pojem čtveřina, což je posloupnost čísel 1, 2, 3 a 4, jejichž součet je roven

číslu 10. Nicméně to nejznámější, co po Pythagorovi zůstalo, je bezesporu Pythagorova věta, jejíž znění si

pamatuje snad každý. Pythagorova věta popisuje vztah mezi délkami přepony a dvou odvěsen

v pravoúhlém trojúhelníku v eukleidovské rovině.

34 Hejduk, Jiří. Občanský a společenskovědní základ. Filosofie. Kralice na Hané, str. 25.

35 Nicola Ubaldo. Obrazové dějiny filozofie. Praha 2006, str. 60.

16

Jako zajímavost lze uvést, že se o slavné Pythagorově větě dozvídají i malé děti, a to např.

v Čaroději ze země Oz nebo v jeho filmové verzi z úst Strašáka ve chvíli, kdy konečně získá mozek.

Želbohu, Strašák proslulou větu odříkává úplně špatně!

Věta má více publikovaných důkazů než kterákoli jiná matematická poučka – Elisha Scott Loomis

jich ve své knize Pythagorean Proposition uvedl 367.36

Trojúhelník o dálkách stran 3, 4 a 5 s odvěsnami 3 a 4 a přeponou délky 5 je jediným

pythagorejským trojúhelníkem, jehož strany mají délky vyjádřené následnými čísly, a také jediný

trojúhelník s celočíselnými stranami, jejichž součet (12) se rovná dvojnásobku jeho obsahu (6). Po

trojúhelníku 3-4-5 je dalším trojúhelníkem s délkově sousedícími odvěsnami 21-20-29. Desátý takový

trojúhelník je mnohem větší: 27 304 197 – 27 304 196 – 38 613 965.

Francouzský matematik Pierre de Fermat (1601 – 1665) si v roce 1643 dal za úkol nalézt takový

pythagorejský trojúhelník, aby jeho přepona i součet odvěsen (a+b) byly druhými mocninami. S údivem

zjistil, že nejmenší čísla, která takovému zadání vyhovují, jsou 4 565 486 027, 1 061 652 293 520 a

4 687 298 610 289. Tento trojúhelník je tak veliký, že kdyby délky jeho stran byly v metrech, dosahoval by

ze Země daleko za Slunce!37

36 Pickover, Clifford A. Matematická kniha. Praha 2012, str. 40.

37 Tamtéž.

Formální znění Pythagorovy věty: c2 = a2 + b2

c – délka přepony

a, b – délky odvěsen

c2 – obsah čtverce nad odvěsnou

a2, b2 – obsahy čtverců nad odvěsnami

17

Třebaže se formulace Pythagorovy věty často přičítá Pythagorovi, ukázalo se, že ji již kolem roku

800 př. n. l. (v poněkud méně jasné formě) uvedl indický matematik Baudhayana ve své knize Šulbasútra

a Babyloňané znali pythagorejské trojúhelníky pravděpodobně ještě dříve.

Pythagorova škola se také zasloužila o vysokou prestiž hudby v řeckém světě. Objevila vztah mezi

délkou struny a tóny stupnice. Zjistila, že struna, která je podle jiné struny poloviční, má o oktávu vyšší

tóny, dvoutřetinová potom vyšší o kvintu. Toto zjištění dalo základ diatonické stupnici, pythagorejskému

ladění a také harmonii sfér. Pythagoras v této oblasti učinil rozhodující objev, a sice že pocit estetické

libosti, kterou vyvolává hudební akord, je matematicky popsatelný.

3.2 Euklides

O Euklidově životě není mnoho informací. Podle všeho žil v letech 325 př. n. l. až 260 př. n. l..

Narodil se v Řecku a studoval na Platónově akademii v Athénách, zde se učil geometrii. Poté byl králem

Ptolemaiem I. povolán do nově založené Alexandrijské knihovny, kde studoval a pravděpodobně i učil.

Jedním z jeho žáků byl podle všeho i Archimédés.

Jeho hlavním dílem jsou Základy (Stoicheia). Toto dílo skládající se z třinácti částí začíná

stanovením deseti postulátů (předpokladů) poté následují věty. U každé z vět je její důkaz. U vět se

stupňuje složitost a jako poslední se Euklides zabývá tzv. platónskými tělesy.

Eukleidovy Základy mají tyto části:

1. kniha: pojednání o základech geometrie, rovnoběžkách, trojúhelnících a rovnoběžnících, obsahuje

důkaz Pythagorovy věty;

2. kniha: pojednání o planimetrii;

3. kniha: pojednání o kružnici a kruhu;

4. kniha: pojednání o tětivových a tečnových mnohoúhelnících a kružnici vepsané a opsané;

5. kniha: pojednání o poměrech;

6. kniha: pojednání o geometrické podobnosti;

7. kniha: pojednání o teorii čísel;

8. kniha: pokračování pojednání o teorii čísel;

9. kniha: teorie čísel - prvočísla, důkaz, že prvočísel je nekonečně mnoho;

10. kniha: teorie iracionálních čísel;

11. kniha: stereometrie - pojednání o geometrii těles;

12. kniha: pojednání o povrchu a objemu těles;

18

13. kniha: pojednání o pravidelných (platónských) tělesech.38

Nejznámějšími Euklidovými objevy jsou věty o výšce a odvěsně.

Euklidova věta o výšce

vc2 = ca · cb

vc – výška strany c

ca – část strany c, která je rozdělena vc

cb – část strany c, která je rozdělena vc

Euklidova věta o odvěsně

a2 = c · ca

b2 = c ·cb

a – strana trojúhelníku

b – strana trojúhelníku

c – strana trojúhelníku

Kniha Základy se stala jednou z nejúspěšnějších učebnic v dějinách matematiky. Eukleidův výklad

rovinné geometrie je založen na větách, které lze všechny odvodit z pouhých pěti axiómů čili postulátů.

38 Wikipedie. Eukleides. [online]. [cit. 2008-09-25+. Dostupné na World Wide Web:

http://cs.wikipedia.org/wiki/Euklid%C3%A9s

19

Jeden z nich říká, že mezi každými dvěma body lze vést pouze jednu úsečku. Další praví, že máme-li bod a

přímku, prochází tímto bodem jen jedna přímka rovnoběžná s danou přímkou. Na Eukleida navazovali G.

Galilei i I. Newton.

Až v 19. století se matematici pustili do zkoumání neeukleidovských geometrií, v nichž postulát o

rovnoběžkách neplatí.39 Ale i na počátku 20. století B. Russell, matematik, logik a filozof, napsal: „Ve

svých jedenácti letech jsem začal s Eukleidem. Byla to jedna z největších událostí mého života, oslepující

jako první láska. Netušil jsem, že na světě existuje něco tak nádherného.“ 40

Eukleidův metodický přístup k dokazování matematických vět logickým odvozováním ovlivnil i

dokazování v jiných vědních oborech včetně filozofie.

39 Pickover, Clifford A. Matematická kniha. Praha 2012, str. 40.

40 Tamtéž, str. 56.

20

Závěr

Ačkoliv se filozofie a matematika zdají být velmi vzdálenými vědeckými obory, pokusil jsem se ve své

práci ukázat, že k sobě mají tyto vědecké disciplíny v podstatě velmi blízko. Matematika je sice věda

přesná, zabývající se fakty a důkazy, zatímco tvrzení filozofie jsou méně přesná, protože způsob, jak

máme nazírat na svět kolem sebe a sebe sama, nelze striktně vymezit, přesto se obě nauky navzájem

v průběhu věků ovlivňovaly a doplňovaly.

Již samotné zrození filozofie ve starověku je spojováno se jménem matematika Thaleta,

pojmenování filozof bylo poprvé pravděpodobně použito u Pythagora, rovněž významného matematika

období antiky, a metoda dokazování, již uplatňoval ve svém bádání Eukleides, se stala jednou z vůdčích

metod filozofie až do konce 20. století, když ji prosadili racionalisté 17. století, především R. Descates a

W. Leibniz. I když 19. století např. v osobě I. Kanta dokázalo, že tento racionalistický, přísně matematický

způsob nazírání na svět a člověka je nedostačující, zůstala matematika filozofii oporou až do dnešní doby.

Nejvíce prostoru jsem ve své práci věnoval Pythagorovi a Eukleidovi, kteří stanuli na počátku tohoto

vývoje, protože s jejich základními matematickými objevy se setkal snad každý středoškolský student.

Charakteristika pouze dvou matematiků, filozofů je samozřejmě nedostačující, ale osobností, které

se ve svém bádání staly autoritami v obou oborech je – jak jsem zjistil v průběhu práce – tolik, že by

vydali na několikadílnou encyklopedii.

21

Seznam literatury:

HEJDUK, Jiří. Občanský a společenskovědní základ.: Filozofie. Kralice na Hané: Computer Media, 2011.

ISBN 978-80-7402-087-2.

OSBORNE, Richard. Filozofie: Seznamte se... Praha: Portál, 2006. ISBN 80-7367-086-0.

PICKOVER, Clifford A. Malé dějiny filozofie. Praha: Dokořán, 2012. ISBN ISBN 978-80-7363-368-4.

STÖRING, Hans Joachim. Malé dějiny filozofie. Praha: SPN, 1993. ISBN 80-7290-222-9.

UBALDO, Nicola. Obrazové dějiny filozofie. Praha: Knižní klub, 2006. ISBN 80-242-1578-0.

Všeobecná encyklopedievečtyřech svazcích. Praha: Diderot, 1996. ISBN 80-85841-17-7.

WEISCHEDEL, Wilhelm. Zadní schodiště filozofie. Olomouc: Votobia, 1995. ISBN ISBN: 80-7198-015-3.

Seznam internetových odkazů:

Kdo byl Bernard Bolzano *online+. *cit. 2007+. Dostupné z: http://www.cs.cas.cz/bolzano/o-bernardu-

bolzanovi

REICHL, Jaroslav a Milan VŠETIČKA. Encyklopedie fyziky: Dějiny matematiky a fyziky [online]. 2013 [cit.

2013-05-14+. Dostupné z: http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/1408-ionska-prirodni-filosofie

ROTA, Gian–Carlo. O zhoubném vlivu matematiky na filozofii: Dvojí život matematiky *online+. 1999/6. Vesmír 78,

345. Dostupné z: http://www.mlahanas.de/Greeks/PythagorasStar.htm

Eukleides. [online]. [cit. 2008-09-25+. Dostupné na World Wide Web:

http://cs.wikipedia.org/wiki/Euklid%C3%A9s

Filozofie *online+. Stránka byla naposledy editována 6. 5. 2013 v 17:5 *cit. 2013-05-10+. Dostupné z:

http://cs.wikipedia.org/wiki/Filosofie

Leonhard Euler [online]. 15. 4. 2013 v 16:43. [cit. 2013-05-14+. Dostupné z:

http://cs.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler http://cs.wikipedia.org/wiki/Leonard_Euler

22

Filozofie 19. století *online+. 6. 5. 2013 v 08:57. Dostupné z:

http://cs.wikipedia.org/wiki/Filosofie_19._stolet%C3%AD

Dějiny matematiky [online]. 10. 4. 2013 v 18:49. [cit. 2013-05-14+. Dostupné z:

http://cs.wikipedia.org/wiki/D%C4%9Bjiny_matematiky

23

Přílohy:

Příloha 1: Galerie filozofů a matematiků

Příloha 2: O zhoubném vlivu matematiky na filozofii

24

Příloha 1: Galerie filozofů a matematiků

Starověk

Thales z Milétu Pythagoras ze Samu Platón

Eukleides Aristoteles Archimédés

25

Středověk

Leonard Fibonacci Mikuláš Oresme

26

Novověk

Mikuláš Kusánský Mikuláš Koperník Giordano Bruno

Galileo Galilei Johannes Kepler

27

17. století

René Descartes Blaise Pascal Pierre de Fermat

Gottfried W. Leibniz Isaac Newton Baruch Spinoza

28

Osvícenství

David Hume Jean le Rond d´Alembert

Leonhard P. Euler Immanuel Kant

29

19. století

A. Comte N. J. Lobačevskij J. Bolyai K. F. Gauss

H. Poincaré B. Bolzano G. Cantor

K. T. W. Weierstrasse A. L. Cauchy G. Boole J. Venn

30

20. století

David Hilbert A. N. Whitehead Bertrand Russell

Martin Gardner Stephen Wolfram

(Všechny obrázky pocházejí z Wikipedie)

31

Příloha 2: O zhoubném vlivu matematiky na filozofii

Dvojí život matematiky

Jsou matematické ideje vynálezy, nebo objevy? Tuto otázku si filozofové kladli opakovaně po staletí a bude s námi patrně přebývat navždy. Touto otázkou se zde zabývat nebudeme. Důležité je, že touto otázkou uznáváme dvojí život matematiky. V prvním životě matematika zachází s fakty tak, jako každá jiná věda. Faktem je, že se výšky trojúhelníku protínají v jednom bodě; faktem je, že existuje pouze sedmnáct druhů symetrie roviny; faktem je, že existuje pouze pět nelineárních diferenciálních rovnic s fixovanými singularitami; faktem je, že každá konečná grupa lichého řádu je řešitelná. Práce matematika spočívá v tom, že s takovými fakty zachází různými způsoby. Když matematici mezi sebou hovoří, sdělují si fakta matematiky. Ve svém výzkumu studují fakta matematiky s taxonomickým nadšením, podobni botanikovi studujícímu vlastnosti nějaké vzácné rostliny. Fakta matematiky jsou právě tak užitečná, jako fakta kterékoli jiné vědy. Bez ohledu na to, jak nesrozumitelná se zprvu mohou zdát, dříve či později si naleznou cestu zpět k aplikacím. Tak například fakta teorie grup se mohou zdát být abstraktní a odtažitá, ale praktické aplikace teorie grup byly početné a vyskytovaly se takovými způsoby, které nikdo nemohl očekávat. Fakta dnešní matematiky jsou odrazovým můstkem pro vědu zítřka. Ve svém druhém životě se matematika zabývá důkazy. Matematická teorie začíná definicemi a odvozuje své výsledky na základě všeobecně uznaných odvozovacích pravidel. Každý fakt matematiky, má-li být uznán za pravdivý, musí být začleněn do axiomatické teorie a formálně dokázán. Axiomatický výklad je v matematice nezbytný, protože fakta matematiky, na rozdíl od fakt fyziky, nemohou být podrobena experimentálnímu ověřování. Axiomatická metoda matematiky je jedním z největších úspěchů naší kultury. Je to však jen metoda. Zatímco se jednou objevená fakta matematiky nikdy nemění, metoda, jíž byla tato fakta ověřena, se v minulosti mnohokrát změnila a bylo by šílenstvím očekávat, že k takovým změnám nebude v budoucnu opět docházet. Dvojí život filozofie

Úspěch dvojího života matematiky byl po dlouhou dobu předmětem závisti filozofie, jiné oblasti těšící se požehnání – možná bychom měli říci prokletí – života ve dvou světech, která se ale v tomto svém dvojím životě necítila zrovna dobře. V prvním ze svých životů si filozofie sama sobě klade úkol sdělit nám, jak se máme dívat na svět. Filozofie je účinná při opravách a přesměrování našeho myšlení, pomáhá nám zbavovat se do očí bijících předsudků a neoprávněných předpokladů. Filozofie odhaluje rozpory, jimž bychom se měli raději vyhýbat. Filozofické popisy nás vedou k uvědomování si jevů, které se nacházejí na druhém konci spektra racionality, jimiž se však věda nebude, a ani nemůže, zabývat. Tvrzení filozofie jsou méně spolehlivá než tvrzení matematiky, sahají však hlouběji ke kořenům naší existence. Filozofická tvrzení dneška budou samozřejmostmi zítřka. Ve svém druhém životě spočívá filozofie stejně jako matematika na metodě argumentace, která, zdá se, dodržuje pravidla nějaké logiky. Filozofové se však nikdy neshodli na metodě filozofického uvažování (na rozdíl od metody uvažování matematického) a většina filozofických diskusí se od řeckých počátků vyčerpávala debatami o metodě. Vztah filozofie k Božskému Rozumu je spíše vynuceným soužitím než romantickým spojením, odevždy existujícím mezi Božským Rozumem a matematikou. Tvrzení filozofie jsou zkusmá a dílčí. Dokonce není ani jasné, čím se vlastně filozofie zaobírá. Říkávalo se, že filozofie je ‚čistě spekulativní‘, a používalo se to jako výraz chvály. Později se však slovo ‚spekulativní‘ stalo špatným slovem.

32

Filozofické argumenty jsou nasyceny emocemi ve větší míře než argumenty matematické a jsou psány způsobem připomínajícím spíše stydlivé doznání než nezaujatý popis. Za každou otázkou filozofie číhá nepřiznaná touha, působící jako silná motivace pro vynášení závěrů, v nichž rozum hraje v nejlepším případě jen podpůrnou roli. Filozofové pokládali za svou povinnost odhalovat tyto skryté emocionální touhy, jenže tím si koledovali o potíže. Filozofická odhalení se často setkávají s hněvem, který si zpravidla necháváme pro případy prozrazení našich rodinných tajemství. Tato mlhavá situace činí filozofické uvažování obtížnějším, avšak přinášejícím mnohem více odměny. Ačkoli jsou filozofické argumenty zaslepeny emocemi, ačkoli filozofie zřídkakdy dospívá k pevným závěrům, ačkoli nikdy nedošlo k jasné shodě o metodě filozofie, dospívají přesto tvrzení filozofie, jakkoli zkusmá a dílčí, mnohem blíže k pravdě o naší existenci než důkazy matematiky. Ztráta autonomie

Filozofové všech dob, počínajíce Thalétem a Sókratem, trpěli neustálými pochybnostmi o oprávněnosti své práce a na tato podezření odpovídali tak dobře, jak uměli. Poslední reakce proti kritice filozofie začala někdy na přelomu dvacátého století a je stále v nás přítomná. Dnešní filozofové (ne všichni) uvěřili v matematizaci. Přeměnili slavnou Galileiho větu tak, že zní: ‚Velká kniha filozofie je napsána jazykem matematiky.‘ ,Matematika k sobě přitahuje pozornost,‘ napsal Schwartz ve slavné práci o jiném druhu nedorozumění. Filozofové v tomto století trpěli více než kdy jindy diktátorstvím definitivnosti. Iluze definitivní odpovědi, kterou nedokázala dvě tisíciletí západní filozofie proměnit ve skutek, se v tomto století pokládala za téměř dosažitelnou otrockou nápodobou matematiky. Matematizující filozofové prohlašovali, že by se filozofie měla stát faktuální a přesnou. Určili filozofické argumentaci směr, založený na matematické logice. Jejich snahou je, aby se věčné hádanky filozofie mohly vyřešit definitivně čistým, historií nezatíženým uvažováním. Důvěřujíce své víře v sílu čistého myšlení přeťali všechny vazby s minulostí a prohlašovali, že poselství minulých filozofů jsou nyní ‚zastaralá‘. Matematizující filozofové budou souhlasit, že tradiční filozofické uvažování se všestranně liší od uvažování matematického. Avšak místo toho, aby tento rozdíl pokládali za výraznou evidenci různorodosti filozofie a matematiky, berou jej jako důvod pro naprostý rozchod s filozofií nematematickou. V jedné oblasti filozofie program matematizace uspěl. Logika dnes už není součástí filozofie. Pod názvem matematická logika je nyní úspěšnou a respektovanou větví matematiky, která nalezla hmatatelné praktické aplikace spíše v informatice než v nějakém jiném odvětví matematiky. Logika však musela za to, že se stala matematickou, zaplatit. Matematická logika se vzdala všech nároků na poskytnutí základů matematice. Jen nepatrný počet dnešních logiků věří, že matematická logika má něco společného se způsoby, jimiž myslíme. Matematici jsou tudíž mystifikováni podívanou na filozofy, nárokujícími si znovu vložit filozofický smysl do jazyka matematické logiky. Hygienická očista od jakýchkoli stop odkazů k filozofii byla cenou za vpuštění logiky do matematické ohrady. Matematická logika je nyní prostě jen další větví matematiky, jako třeba topologie nebo teorie pravděpodobnosti. Filozofické aspekty matematické logiky se neliší kvalitativně od filozofických aspektů topologie nebo teorie funkcí, odhlédneme-li od kuriózní terminologie, která shodou okolností sahá někam do středověku. Napodobování filozofické terminologie matematickou logikou svedlo filozofy k víře, že se matematická logika zabývá pravdou ve filozofickém smyslu. To je ale omyl. Matematická logika se nezabývá pravdou, nýbrž jen hrou na pravdu. Snobské troušení symbolů, které dnes nacházíme ve filozofických pracích, vede u matematiků ke stejnému pozvednutí obočí, jako kdyby někdo platil u svého hokynáře penězi ze hry ,monopoly‘.

33

Matematika a filozofie: úspěch a neúspěch

Ze všech hledisek je matematika nejúspěšnějším intelektuálním podnikem lidstva. Každý matematický problém se dříve nebo později vyřeší. A jakmile se jednou vyřeší, je navždy vyřízen: žádná pozdější událost nevyvrátí správné řešení. S vývojem matematiky se stávají problémy, které byly těžké, snadnými a lze je zadávat školním dětem. Tak třeba eukleidovská geometrie se vyučuje v druhém ročníku střední školy. Podobně se matematika, kterou se má generace učila ve vyšších ročnících, učí nyní v nižších ročnících a možná v ne tak vzdálené budoucnosti se bude učit i na středních školách. Nejenže se každý matematický problém vyřeší, ale nakonec se každý matematický problém zdá být triviální. Snaha o konečnou trivialitu je pro matematické podnikání charakteristická. Jiný obraz se vynoří, podíváme-li se na problémy filozofické. Filozofii lze popsat jako studium několika málo problémů, jejichž formulace se od dob Řeků málo změnila: problém duše a těla, a problém reality, mám-li zmínit jen dva. Nezaujatý pohled na dějiny filozofie odhaluje dva protikladné rysy: zaprvé tyto problémy nebyly žádným způsobem vyřešeny a nezdá se, že vyřešeny budou, pokud bude filozofie žít; a zadruhé každý filozof, který kdy na těchto problémech pracoval, předložil své vlastní ‚definitivní řešení‘, které vždy bylo jeho následovníky odmítnuto. Zdrcující historická evidence nás nutí k závěru, že tyto dva paradoxní rysy musí být nevyhnutelným průvodním jevem filozofického podnikání. Neúspěšnost pokusů o dosažení závěrů je významnou charakteristikou filozofie v celé její historii. Filozofové minulých dob opakovaně zdůrazňovali podstatnou roli neúspěchu ve filozofii. José Ortega y Gasset obvykle popisoval filozofii jako ‚trvalé ztroskotávání‘. Nicméně obavy z neúspěchu neodvrátily ani jeho, ani žádného jiného filozofa, od dalšího pokračování ve filozofii. Neúspěšnost filozofů v dosažení jakékoli shody nečiní jejich spisy méně relevantními vůči problémům dneška. Se zájmem znovu čteme vzájemně si odporující teorie, odkázané nám Platónem, Aristotelem, Kantem a Comtem, a shledáváme jejich mínění aktuálními a poučnými, dokonce i v problémech umělé inteligence. Avšak nejnovější matematizátoři filozofie nejsou s to přijmout nevyhnutelnost neúspěchu. Ze světa byznysu si vypůjčili ideu úspěchu. Filozofie musí být úspěšná, jinak je třeba se jí zbavit. Mýtus přesnosti

Z toho, že matematické pojmy jsou přesné a že matematika byla úspěšná, usuzují naši milí filozofové – chybně – že filozofie by na tom byla lépe a měla větší naději na úspěch, kdyby používala přesné pojmy a jednoznačné výroky. Předsudek, že k tomu, aby měl nějaký pojem smysl, je třeba jej přesně definovat, nebo že k tomu, aby nějaký argument dával smysl, je nezbytné jej přesně formulovat, je ve dvacátém století jedním z nejtvrdošíjnějších. Nejznámější vyjádření tohoto předsudku se nachází na konci Wittgensteinova Tractatu. Wittgensteinovy pozdější spisy, zvláště Filozofická zkoumání, jsou hlasitým a opakovaným odvoláváním jeho dřívějšího prohřešku. Nazíráno z výhodného místa běžné zkušenosti se ideál přesnosti zdá být hloupý. Naše každodenní uvažování není přesné, a přesto je účinné. Příroda sama, od kosmu až po geny, je přibližná a nepřesná. Filozofické pojmy patří mezi nejméně přesné. Mysl, vnímání, paměť, chápání jsou slova, která nemají pevný nebo jasný význam. A přesto význam mají. Nepochopíme tyto pojmy, budeme-li je nutit, aby byly přesné. Použijeme-li Wittgensteinův obraz, filozofické pojmy jsou jako křivolaké uličky starého města, které musíme přijmout tak, jak jsou, a s nimiž se musíme sblížit touláním při obdivování historického dědictví. Zastánci přesnosti by nejraději, stejně jako karpatský diktátor, město zbořili a nahradili je přímou a širokou Třídou Přesnosti. Ideál přesnosti ve filozofii má své kořeny v nepochopení pojmu přísnosti. Naše matematizující filozofy nenapadlo, že by filozofie mohla být nadána svým vlastním druhem přísnosti, přísnosti, kterou by

34

filozofové měli nezaujatě popisovat a kodifikovat tak, jako to matematici činí se svým vlastním druhem přísnosti už odedávna. Posedlí úspěchem matematiky zůstávají zotročeni předsudkem, že jedinou možnou přísností je přísnost matematiky a že filozofie nemá na výběr než tuto přísnost napodobovat. Nepochopení axiomatické metody

Fakta matematiky jsou ověřována a prezentována axiomatickou metodou. Je třeba si však dát pozor a nesměšovat prezentaci matematiky s obsahem matematiky. Axiomatická prezentace matematického faktu se liší od faktu, který je prezentován, tak jako se lék liší od potravy. Je pravda, že tento určitý lék je nutný k tomu, aby se matematika držela v bezpečné vzdálenosti od sebeklamu mysli. Nicméně rozumění matematice znamená schopnost zapomenout na tento lék a vychutnávat potravu. Směšování matematiky s axiomatickou metodou pro účely její prezentace je stejně pošetilé, jako plést si hudbu Johanna Sebastiana Bacha s technikami kontrapunktu barokní doby. To však není názor, který by zastávali naši matematizující filozofové. Ti jsou přesvědčeni, že axiomatická metoda je základním nástrojem objevu. Chybně věří, že matematici používají axiomatickou metodu při řešení problémů a dokazování vět. K nepochopení role této metody přidávají nesmyslný požadavek, aby se tato domnělá metoda přijala ve filozofii. Systematickým pletením si potravy s lékem hodlají nahradit potravu filozofického myšlení lékem axiomatiky. Tato chyba prozrazuje pesimistické názory filozofů na jejich vlastní oblast. Neschopní nebo bojící se vyčlenit, popsat a analyzovat strukturu filozofického uvažování hledají pomoc v technice prověřené v jiné oblasti, oblasti, která je předmětem jejich žárlivosti a obdivu. Ve skrytu nevěří na to, že by autonomní filozofické uvažování bylo s to odhalit pravdu, a vydávají se napospas otrockému a povrchnímu napodobování pravd matematiky. Záporné mínění, které mají mnozí filozofové o své vlastní oblasti, filozofii poškodilo. Pohrdání matematiků přehnaným oceňováním metody matematického výkladu u filozofů působí zpětně na komplex méněcennosti těchto filozofů a dále podlamuje jejich sebedůvěru. ,Definujte své termíny!‘

Tento starý příkaz se stal běžným v každodenních diskusích. Co by bylo zdravější než od samého počátku formulovat jasně to, o čem bude řeč? Nezačíná snad matematika definicemi a nerozvíjí pak vlastnosti definovaných objektů obdivuhodnou a neomylnou logikou? Co na tomto příkazu je snad zdravé v matematice, mělo, přeneseno do filozofie, katastrofální následky. Zatímco matematika začíná definicí, filozofie definicí končí. Jasná formulace toho, o čem je řeč, nejenže filozofii chybí, ale taková formulace by znamenala okamžitý konec veškeré filozofie. Kdybychom mohli naše termíny definovat, pak bychom se šťastně obešli bez filozofické argumentace. Příkaz ‚definujte své termíny!‘ je vadný víc než jedním způsobem. Čteme-li formální matematický argument, musíme věřit, že ‚nedefinované termíny‘ nebo ‚základní definice‘ byly rozmarně vybírány z rozmanitých možností. Matematici mají škodolibou rozkoš z podvodné libovůle definic. Fakticky však žádná matematická teorie není libovolná. Věty matematiky motivují definice stejně, jako definice motivují věty. Dobrá definice je ‚zdůvodněná‘ větami, které lze pomocí ní dokázat právě tak, jako je důkaz věty ‚ospravedlněn‘ odvoláním se na dříve podanou definici. V matematickém výkladu se tudíž skrývá kruhovost. Věty se dokazují na základě definic; ale definice samy jsou motivovány větami, o nichž jsme předem rozhodli, že mají být správné. Místo toho, aby se filozofové soustředili na tuto podivnou kruhovost, předstírali, že neexistuje. Jako by axiomatická metoda, postupující přímočaře od definic k větám, byla obdařena definitivností. Jak každý matematik ví, je to subtilní podvod, který se musí odhalit. Proveďte následující myšlenkový experiment. Předpokládejte, že jsou vám dány dvě formální prezentace jedné a téže matematické teorie. Definice první prezentace jsou větami druhé a obráceně. Tato situace

35

se vyskytuje v matematice často. Která z těchto dvou prezentací činí tuto teorii ‚pravdivou‘? Evidentně žádná: to, co zde máme, jsou dvě prezentace jedné a téže teorie. Tento myšlenkový pokus ukazuje, že matematická pravda nevzniká formální prezentací; formální prezentace je pouze technikou pro ukázání matematické pravdy. Pravda matematické teorie se liší od správnosti jakékoli axiomatické metody, která může být zvolena pro prezentaci této teorie. Matematizující filozofové si tohoto rozdílu nevšimli. Přivolání psychologie

Co se přihodí filozofovi, který bude trvat na přesných formulacích a jasných definicích? Po marných pokusech pochopí, že filozofie takovému zacházení vzdoruje, a tak prohlásí, že většina problémů, o nichž se dříve myslelo, že náleží filozofii, musí být tudíž z dalších úvah vyloučena. Prohlásí je za ‚nesmyslné‘, nebo přinejlepším za vyříditelné analýzou jejich formulací, která nakonec ukáže, že to jsou problémy prázdné. To není přehánění. Klasické problémy filozofie se staly zakázanými tématy na mnohých katedrách filozofie. Pouhé zmínění takových problémů studenty vede k pozvednutí obočí, za nímž následuje řada pokut. V tomto diktátorském režimu jsme svědky toho, jak se filozofická aktivita scvrkává na zbídačenou problématique, zabývající se převážně jazykem. Aby ospravedlnili své přehlížení většiny starých a podstatných otázek filozofie, uchýlili se naši matematizující filozofové ke lsti a prohlásili, že mnohé otázky, dříve pokládané za filozofické, jsou vlastně ‚čistě psychologické‘ a měla by se jimi zabývat katedra psychologie. Kdyby se katedra psychologie kterékoli univerzity měla zabývat jen desetinou těch problémů, jež psychologům předali filozofové, pak by psychologie byla bezpochyby nejúžasnějším ze všech oborů. Možná i je. Avšak ve skutečnosti psychologie nemá nejmenší chuť zabývat se problémy, které zanechali filozofové zanedbávající své povinnosti. Problémů se nelze zbavit nějakou deklarací. Klasické problémy filozofie se nyní naléhavě dostávají do přední linie vědy. Může se ukázat, že experimentální psychologie, neurofyziologie a informatika jsou nejlepšími přáteli tradiční filozofie. Děsivá složitost jevů, které se v těchto vědách studují, přesvědčila vědce (hodně v předstihu před filozofickými ústavy), že pokrok ve vědě bude záviset na filozofickém výzkumu v nejklasičtějším pojetí. Redukcionistické pojetí mysli

Co dělá matematik, když pracuje na nějakém matematickém problému? Adekvátní popis projektu řešení nějakého matematického problému by si vyžádal tlustý svazek. Spokojíme se s připomenutím starého rčení, sahajícího patrně k matematikovi Georgi Pólyovi: ,Jen málo matematických problémů bylo kdy vyřešeno přímo.‘ Každý matematik bude souhlasit s tím, že důležitý krok při řešení matematického problému, možná ten krok nejdůležitější, spočívá v analýze jiných pokusů, buďto těch, které byly podniknuty dříve, nebo těch, o nichž si myslí, že by se uskutečnit daly, s výhledem na odhalení toho, proč takové ‚dřívější‘ přístupy selhaly. Zkrátka, žádného matematika ani ve snu nenapadne, aby se pustil do nějakého podstatného matematického problému, aniž by se předem seznámil s historií tohoto problému, ať už je to historie skutečná nebo rekonstruovaná nadaným matematikem. Řešení matematického problému jde ruku v ruce s objevem neadekvátnosti předcházejících pokusů, s nadšením, které je s to vidět skrz problém a postupně odstraňuje vrstvy nepodstatností, jež předtím zahalovaly skutečnou povahu problému. Řečeno filozoficky, matematik, který řeší nějaký problém, se nemůže vyhnout uvědomění si historičnosti tohoto problému. Matematika není nic, pokud není historickým předmětem par excellence.

36

Každý filozof, počínaje Hérakleitem, zdůrazňoval s pozoruhodnou jednotností poznání, že veškeré myšlení je konstitutivně historické. Dokud ovšem nepřišli naši matematizující filozofové s vyhlášením, že mysl není nic než složitý myslící stroj, který se nesmí znečišťovat nepřesvědčivými bludy minulých věků. Historické myšlení dostalo coup de grace od těch, kteří dnes zaujímají některé z míst na našich katedrách filozofie. Historie filozofie byla z vysokých škol odstraněna stejně jako výuka jazyků a místo toho tam nacházíme přednášky z matematické logiky. Je důležité odhalit mýtus nacházející se za drastickou revizí pojmu mysli, to jest mýtus, že mysl je něco na způsob mechanického zařízení. Tento mýtus opakovaně a úspěšně napadali nejlepší filozofové tohoto století (E. Husserl, J. Dewey, L. Wittgenstein, J. Austin, G. Ryle, B. Croce, abych jich pár zmínil). Podle tohoto mýtu funguje proces myšlení jako prodejní automat, který tím, že uvede do chodu složitý mechanizmus připomínající Chaplinovu Moderní dobu, vyplivne řešení problému. Ti, kteří věří v teorii mysli jakožto prodejního automatu, budou oceňovat lidské bytosti podle ‚stupňů‘ inteligence, přičemž inteligentnějšími bytostmi budou ty, které jsou ve svých mozcích vybaveny většími a lepšími převodovkami, což lze ovšem ověřit pomocí chytře sestavených IQ testů. Filozofové věřící v tento mechanistický mýtus tvrdí, že k řešení problémů dospíváme jedinou cestou: tím, že o tomto problému usilovně přemýšlíme. Zacházejí až k tvrzení, že obeznámenost s předcházejícími příspěvky k tomuto problému může dobře fungující mysl svazovat. Tvrdí, že čistá mysl je vybavena pro uskutečňování procesu řešení lépe než mysl informovaná. Tento urážlivý výrok má počátek v nepochopení pracovních návyků matematiků. Naši matematizující filozofové jsou neúspěšní matematici. Na činnost matematiků při práci zírají s očividným obdivem. Matematici jsou pro ně supermysli, které vyplivují řešení jednoho problému za druhým pouhou silou rozumu, prostě dostatečně dlouhým koukáním na čistý list papíru. Mýtus prodejního automatu vyplivujícího řešení může vhodně popsat způsob řešení lingvistických hádanek dnešní zbídačené filozofie, avšak tento mýtus ani zdaleka nepopisuje činnost matematika či vůbec jakoukoli vážnou práci. Tento základní omyl je případem redukcionizmu. Proces, jímž naše mysli pracují, který může snad být zajímavý pro fyziologa, ale činným matematikům je k ničemu, se zaměňuje s postupem myšlení, požadovaným při řešení jakéhokoli problému. Toto katastrofální nepochopení pojmu mysli je dědictvím stoleté pseudomatematizace filozofie. Iluze definitivnosti

Výsledky matematiky jsou definitivní. Nikdo nikdy nezlepší třídící algoritmus, o němž bylo dokázáno, že je nejlepší možný. Nikdo nikdy neobjeví novou konečnou jednoduchou grupu poté, co byl po sto letech zkoumání pořízen jejich úplný seznam. Matematika je provždy. Vědy můžeme uspořádat podle toho, jak se jejich výsledky blíží definitivnosti. Na vrcholku seznamu by se nacházely vědy méně filozoficky zajímavé, jako je mechanika, organická chemie, botanika. Na konci seznamu bychom našli filozofičtěji zaměřené vědy, jako je kosmologie a evoluční biologie. Problémy filozofie, jako jsou problémy mysli a hmoty, reality nebo vnímání, jsou mezi posledními, u nichž bychom mohli očekávat nějaké ‚řešení‘. Měli bychom potíže i s vyjádřením toho druhu argumentu, který by mohl být přijatelný jakožto ‚řešení problému filozofie‘. Idea ‚řešení‘ je vypůjčena z matematiky a mlčky předpokládá analogii mezi problémy filozofie a problémy vědy, což je fatálně zavádějící. Dnešní filozofové učinili v těchto chybných analogiích mezi filozofií a matematikou ještě jeden krok. Vedeni nemístnou vírou v definitivnost měřenou v termínech řešených problémů a vědomi si marnosti každého programu slibujícího definitivní řešení cítili, že jsou nuceni zbavit se všech klasických problémů. A kde si myslí, že naleznou problémy, které jsou jich hodny? Kde jinde než ve světě faktů! Věda se zabývá fakty. Ať už se tradiční filozofie zabývala čímkoli, nebyla to fakta v žádném známém smyslu tohoto slova. Tudíž, tradiční filozofie je nesmyslná.

37

Tento sylogizmus, v mnoha ohledech vadný, se činí za předpokladu, že každé tvrzení je bezcenné, pokud není tvrzením o faktech. Místo toho, aby si filozofové uvědomili nesmyslnost tohoto vulgárního předpokladu, spolkli jej i s navijákem a své živobytí založili na faktech. Filozofové však nikdy nebyli vybaveni na to, aby zacházeli přímo s fakty, a žádný klasický filozof nikdy nepokládal fakta za něco, čím by se měl zabývat. Nikdo nikdy nepřiměje filozofii k tomu, aby poznávala fakta. Fakta jsou záležitostí vědy, nikoli filozofie. Takže se musel předhodit nový slogan: filozofie by se měla zabývat fakty. Toto ‚měla by se‘ přichází na konci dlouhé normativní řady různých ‚mělo by se‘. Filozofie by měla být přesná; měla by dodržovat pravidla matematické logiky; měla by pečlivě definovat své termíny; měla by ignorovat poučení minulosti; měla by být úspěšná v řešení svých problémů; měla by produkovat definitivní řešení. ‚Prasata by měla létat,‘ říká staré přísloví.

Jaké je však postavení takových ‚mělo by se‘, jasně popřených dvoutisíciletou historií filozofie? Máme snad věřit nepříliš subtilnímu našeptávání, že se nakonec zmocníme královské cesty ke správnému uvažování, budeme-li jen dodržovat tyto příkazy? Existuje však věrohodnější vysvětlení této hradby různých ‚mělo by se‘. Námi žitá skutečnost se skládá z miliard kontradikcí, do jejichž popisů se klasická filozofie pustila s odvážným realizmem. Kontradikci však nelze konfrontovat s myslí, která vložila vše do košíku přesnosti a definitivnosti. Skutečný svět je naplněn absencemi, absurditami, abnormalitami, aberacemi, ohavnostmi, klamy, Abgrunden. Naši nedávní filozofové se nezabývají těmito znepokojujícími rysy světa, ba vůbec žádnými relevantními rysy. Raději nám říkají, jak by měl svět vypadat. Pokládají za bezpečnější uniknout před nepříjemným popisem toho, co je, ke zbytečným předpisům pro to, co není. Jako pštrosi s hlavami v písku sdílejí osud těch, kteří odmítají pamatovat si minulost a selhávají tváří v tvář výzvám naší obtížné přítomnosti: růstu lhostejnosti, po němž nakonec následuje vyhynutí. /Z knihy G.-C. Roty: Indiscrete Thoughts, Birghäuser, Boston 1997, VII. kapitola: The Pernicious Influence of Mathematics Upon Philosophy, s. 121–133, přeložil Jiří Fiala/ 41

41 ROTA, Gian–Carlo. O zhoubném vlivu matematiky na filozofii: Dvojí život matematiky *online+. 1999/6. Vesmír 78,

345. Dostupné z: http://www.mlahanas.de/Greeks/PythagorasStar.htm