MATEMATIKA { FYZIKA { INFORMATIKA · otoŁení R(H;’), jestli¾e k= 1. NÆsledující tvrzení...

MATEMATIKA – FYZIKA – INFORMATIKA

Časopis pro výuku na základních a středních školáchRočník XXVIII (2019), číslo 1

Vydává Prometheus, spol. s r. o. ve spolupráci s Jednotou českých matematiků a fyziků

Redakce:Oldřich Lepil – vedoucí redaktor a redaktor pro fyzikuJaroslav Švrček – redaktor pro matematikuEduard Bartl – redaktor pro informatikuLukáš Richterek – redaktor WWW stránek

Redakční rada:Pavel Calábek, Zdeněk Drozd, Radomír Halaš, Štěpán Hubálovský, Růžena Kolářová,Miluše Lachmannová, Pavel Leischner, Dana Mandíková, Oldřich Odvárko, JarmilaRobová, Bohuslav Rothanzl, Emanuel Svoboda, Jaromír Šimša, Pavel Tlustý, PavelTöpfer, Bohumil Vybíral

Adresa redakce:17. listopadu 12, 771 46 Olomouc E-mail: [email protected]

Adresa vydavatele:Prometheus, spol. s r. o., Čestmírova 10, 140 00 Praha 4

OBSAH

MATEMATIKAT. Hrdlička, J. Švrček : O spirální podobnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1L. Honzík, J. Hora: Dvě netradiční užití Hornerova schématu . . . . . . . . . . . . 11V. Moravcová, J. Robová, K. Pazourek : Procházky (nejen) po krychli . . . . . . . 18D. Vojtovičová: Mezipředmětové vztahy v matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Zajímavé matematické úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

FYZIKAR. Holubová: Využití mezipředmětových vztahů k motivaci žáků . . . . . . . . . . 45L. Dvořák, Z. Kamarádová: Udělejte si sami: jednoduché aplikace polovodičů

(nejen) pro ZŠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

INFORMATIKAP. Töpfer : Aritmetický průměr posloupnosti (Úlohy z MO kategorie P, 37. část) 67F. Frank, J. Frank : Podpora informatického myšlení s využitím Lego robotů . . . 74

MATEMATIKA

O spirální podobnostiTOMÁŠ HRDLIČKA – JAROSLAV ŠVRČEK

Přírodovědecká fakulta UP, Olomouc

Cílem článku, který je určen především středoškolským učitelům ma-tematiky, kteří pracují s nadanými žáky, je prezentace spirální podob-nosti – speciálního zobrazení v rovině složeného z otočení a stejnoleh-losti. V článku jsou uvedeny některé její základní vlastnosti a dále apli-kace při efektivním řešení některých určovacích a důkazových planimet-rických úloh. Jeho významnou součástí je soubor řešených i neřešenýchúloh, které s danou tématikou úzce souvisejí. K pochopení uvedené pro-blematiky nejsou potřebné znalosti přesahující rámec učiva středoškolskématematiky.

Definice (spirální podobnost)NechťR(H,ϕ) je otočení v rovině se středemH a orientovaným úhlem ϕ

a H(H, k) nechť je stejnolehlost v téže rovině se středem H a koeficientemk 6= 0. Složené zobrazení R(H,ϕ) H(H, k) nazýváme spirální podobnosta značíme jej S(H, k, ϕ). Bod H nazveme středem spirální podobnosti.Řekneme, že útvary U , U ′ jsou spirálně podobné, existuje-li spirální po-dobnost S, která zobrazí útvar U na U ′, tj. S : U → U ′ (obr. 1).

Spirální podobnost je tedy reprezentována uspořádanou trojicí (H, k, ϕ)a opačně – zadáním této trojice je spirální podobnost jednoznačně určena.

Poznámka 1. Protože složení stejnolehlosti a otočení (v rovině) s týmžstředem je komutativní, tj. platí

H(H, k) R(H,ϕ) = R(H,ϕ) H(H, k),

lze spirální podobnost zavést analogicky s opačným pořadím obou skláda-ných zobrazení, viz obr. 2.

Matematika – fyzika – informatika 28 (1) 2019 1

Obr. 1

Obr. 2

Poznámka 2. Každé dva přímo podobné1) útvary v rovině jsou zobrazenyjeden na druhý pomocí spirální podobnosti nebo posunutí. Uvedené tvrzeníje možno najít např. v [1].

Vlastnosti spirální podobnosti

Spirální podobnost S(H, k, ϕ) je přímá podobnost a má tedy všechnyvlastnosti podobných zobrazení. Jejím (jediným) samodružným bodem jestřed H. Speciálními případy spirální podobnosti jsou tak

• stejnolehlost H(H, k), jestliže ϕ = n · 360, kde n je celé číslo;

• otočení R(H,ϕ), jestliže k = 1.

Následující tvrzení jsou často užívaná při řešení konkrétních úloh.

1)Přímá podobnost rovinných útvarů je definována analogicky jako přímá shodnost,tj. zachovává orientaci značení vrcholů libovolného trojúhelníku, viz např. [3].

2 Matematika – fyzika – informatika 28 (1) 2019

Věta 1 (o jednoznačném určení spirální podobnosti)Nechť A,B, C,D jsou po dvou různé body v rovině, které nejsou vrcholy

rovnoběžníku. Pak existuje právě jedna spirální podobnost S taková, žeS : A→ C, B → D a AB → CD2).

Důkaz tohoto tvrzení je možno najít např. v [4].

Poznámka 3. Tvrzení věty 1 lze rozšířit na všechny polohy bodů A, B, C,D v rovině s výjimkou případu, kdy ABDC je rovnoběžník (v takovémpřípadě je uvažované zobrazení posunutím, které není speciálním případemspirální podobnosti).

Následující dvě věty zde uvádíme bez důkazů. Zájemci z řad čtenářůmohou důkazy obou vět najít např. v [2].

Věta 2 (duplicita spirální podobnosti)Nechť A, B, C, D jsou po dvou různé body v rovině a H bod této

roviny takový, že spirální podobnost S se středem H zobrazuje úsečku ABna CD. Pak existuje spirální podobnost S ′ s týmž středem H zobrazujícíúsečku AC na BD (obr. 3).

Obr. 3

Z praktického hlediska popisuje výše uvedená věta skutečnost, že kekaždé spirální podobnosti zobrazující 4HAB na 4HCD existuje rovněž(jiná) spirální podobnost zobrazující 4HAC na 4HBD. Na obr. 3 jsouuvedeny dva z možných případů polohy bodů A, B, C, D v rovině.

Následující věta poskytuje návod, jakým způsobem lze pro dva podobnéútvary v rovině určit střed H spirální podobnosti, jež převádí jeden útvarna druhý.2)Dále často využíváme zápis zobrazení útvarů „po bodechÿ.


Věta 3 (konstrukce středu spirální podobnosti)Nechť ABCD je čtyřúhelník, v němž AC ∩ BD = R. Střed spirální

podobnosti zobrazující AB na CD je průsečík H (H 6= R) kružnic opsa-ných trojúhelníkům ABR a CDR. Mají-li tyto kružnice právě jeden spo-lečný bod (dotýkají-li se), pak H = R (obr. 4).

Obr. 4

K předchozí větě jsou na obr. 4 opět uvedeny dva případy čtyřúhelníkůABCD. Výše uvedené poznatky jsou postačující pro řešení úloh uvede-ných v tomto článku a můžeme tak přejít k reálným aplikacím spirálnípodobnosti.

Aplikace spirální podobnosti při řešení konkrétních úloh

Dále prezentujeme praktické užití spirální podobnosti. Uvádíme čtyřiřešené úlohy na které navazuje série úloh neřešených. K řešení užívámevlastnosti uvedené výše a běžně známé geometrické vztahy.

Úloha 1Je dán trojúhelník ABC a bod P ležící na oblouku kružnice opsané

trojúhelníku ABC mezi vrcholy B a C, na kterém neleží vrchol A. Patykolmic z bodu P na strany trojúhelníku BC a AC označme po řadě Xa Y . Je-li M střed úsečky AB a N střed úsečky XY (obr. 5), pak platí|MNP | = 90. Dokažte.

Řešení. Nejprve najdeme vhodnou spirální podobnost. Ze zadání plyne, žeplatí |PXB| = |PYA|. Navíc body A a B leží na oblouku kružnice nadúsečkou CP , tudíž |CAP | = |CBP |, proto jsou trojúhelníky BPX aAPY podobné. Pak existuje právě jedna spirální podobnost S taková, že


Obr. 5

S : BX → AY (viz věta 1). Využitím duplicity spirální podobnosti (věta 2)existuje spirální podobnost S ′ : BA→ XY . Ze zachování dělícího poměrutéž M → N v S ′, tedy i BM → XN v S ′. Opětovným užitím duplicitydostaneme S : BX → MN , z čehož plyne podobnost trojúhelníků BPXa MPN . Odtud je zřejmé, že |MNP | = 90, což jsme chtěli dokázat.

Úloha 2Čtverce ABCD a A′B′C ′D′ představují dvě mapy stejného území s růz-

nými měřítky. Čtverec A′B′C ′D′ je vepsán do čtverce ABCD a předsta-vuje mapu s menším měřítkem. Dokažte, že existuje právě jeden bod Pv této rovině, který současně reprezentuje totéž místo na obou mapách aurčete ho.

Řešení. Nejprve dokážeme existenci bodu P a jeho jednoznačnost. MapyABCD, A′B′C ′D′ představují dva neshodné čtverce, tj. jsou spirálně po-dobné (viz pozn. 2). Všechna podobná zobrazení, která nejsou shodností,mají samodružný bod (a to jediný), kterým je zde právě bod P .

Polohu bodu P určíme pomocí věty 3. Z vlastností spirální podobnostije bod P středem spirální podobnosti zobrazující ABCD na A′B′C ′D′,což podle věty 3 o konstrukci středu spirální podobnosti znamená, že je-liR průnik přímek AA′ a BB′, je bod P druhým průsečíkem obou kružnic(různým od R) opsaných trojúhelníkům ABR a A′B′R (obr. 6).

Úloha 3 (26. Italská MO, 2010)Nechť ABCD je konvexní čtyřúhelník, ve kterém |CAB| = |CDA|

a |BCA| = |ACD|. Nechť M je střed úsečky AB. Dokažte, že platí

|BCM | = |DBA|.


Obr. 6

Řešení. Jelikož |CAB| = |CDA| a |BCA| = |ACD|, jsou troj-úhelníky ABC a DAC podobné, tj. spirálně podobné v S (viz pozn. 2) sestředem C. Ze zachování dělícího poměru (M = SAB , N = SDA) plyne téžS(M) = N , a tedy S : BM → AN . Užitím duplicity spirální podobnosti(věta 2) S ′ : BA → MN , kde středem této spirální podobnosti S ′ je opětbod C. Podle věty sus tak dostáváme 4NMC ∼ 4ABC.

Zřejmě dále platí (obr. 7)

|AMN |+ |NMC|+ |CMB| = 180

a navíc z trojúhelníku MBC plyne

|BCM |+ |MBC|+ |CMB| = 180.

Obr. 7

Z podobnosti trojúhelníků NMC a ABC plyne |NMC| = |MBC|,tudíž rozdílem předchozích dvou rovností obdržíme |BCM | = |AMN |.


Konečně, je-li úsečka MN střední příčkou trojúhelníku ABD, platí

|AMN | = |DBA|,

a proto |BCM | = |DBA|, což jsme chtěli dokázat.

Úloha 4 (Ptolemaiova věta)Dokažte tvrzení: Nechť ABCD je tětivový čtyřúhelník. Označíme-li

délky jeho stran AB, BC, CD, DA po řadě a, b, c, d a délky úhlopří-ček AC, BD po řadě e, f , pak platí

ac+ bd = ef.

Řešení. Nejprve určíme vhodnou podobnost dvou trojúhelníků. Podlepředpokladu je čtyřúhelník ABCD tětivový, tedy body B, C leží na stej-ném kružnicovém oblouku AD (obr. 8), proto |ABD| = |ACD|. Označ-me P bod úhlopříčky BD, pro který platí |CAD| = |BAP |.

Obr. 8

Z věty uu o podobnosti trojúhelníků tak plyne S : 4ABP → 4ACD.Využitím duplicity spirální podobnosti (věta 2) ihned dostáváme také po-dobnost trojúhelníků ABC a APD, tj. S ′ : 4ABP → 4ACD. Z obouvýše uvedených podobností pak dostáváme

|AB||AC|

=|BP ||CD|

,|AD||AC|

=|PD||BC|

,

tj. |AB| · |CD| = |AC| · |BP |, |AD| · |BC| = |AC| · |PD|.


Sečtením obou posledních rovností získáme po úpravě

|AB| · |CD|+ |AD| · |BC| = |AC| · (|BP |+ |PD|) = |AC| · |BD|,

což (při zavedeném značení) znamená ac+bd = ef . Tím je důkaz ukončen.

Dále čtenářům nabízíme čtyři neřešené úlohy k procvičení uvedené pro-blematiky. Ke každé z nich připojujeme návod k jejich řešení.

Úloha 5Jsou dány dvě rovnoběžky a bod O, který leží na ose pásu jimi omeze-

ného. Vedeme-li v téže rovině bodem O přímku p různoběžnou s danýmirovnoběžkami, protne je postupně v bodech X a Y . Nechť Z je vrchol rov-nostranného trojúhelníkuXY Z. Otočíme-li přímku p v rotaci se středem Oo plný úhel, opíše vrchol Z uvažovaného trojúhelníku jistou množinu bodů.Určete tuto množinu.

[Návod. Pro konkrétní polohu trojúhelníku XY Z lze určit spirální po-dobnost zobrazující vrcholy X nebo Y na vrchol Z. Pomocí vlastnostípodobných zobrazení lze určit hledanou množinu bodů.]

Úloha 6 (Simsonova přímka)Nechť ABC je daný trojúhelník a P je libovolný bod na kružnici opsané

trojúhelníku ABC. Nechť X, Y , Z jsou paty kolmic z bodu P po řadě nastrany AB, BC a AC. Dokažte, že X, Y , Z leží na jedné přímce, tzv.Simsonově přímce.

[Návod. Pro případ, kdy P je identický s jedním z vrcholů trojúhelníkuABC, je vlastnost zřejmá. V opačném případě lze bez újmy na obecnostiuvažovat polohu bodu P na oblouku kružnice opsané trojúhelníku ABCmezi body A a B, na kterém neleží vrchol C. Z vlastností tětivovýchčtyřúhelníků je možno dokázat podobnost trojúhelníků PAZ a PBY anásledně využitím duplicity spirální podobnosti (věta 2) určit zobrazenípřímky AB na ZY . Dokažte, že bod X náleží přímce ZY .]

Úloha 7 (USA TST 2000)Nechť ABCD je tětivový čtyřúhelník, bod P je průsečík jeho úhlopříček

a E, F jsou po řadě paty kolmic z bodu P na strany AB, CD. Nechť bod Kje střed strany BC a L střed AD. Dokažte, že EF ⊥ KL.

[Návod. Jelikož ABCD je tětivový čtyřúhelník, jsou trojúhelníky ABPa CDP podobné. Zobrazíme-li bod P v osové souměrnosti s osou CD,


pak lze pomocí spirální podobnosti dokázat podobnost trojúhelníků ABPa LKF . Analogicky lze dokázat podobnost trojúhelníků CDP a KLE.Kolmost KL a EF plyne ze shodnosti trojúhelníků LKF a LKE.]

Úloha 8Nechť ABC je pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu C,

dále nechť M je střed strany AB a D je takový bod strany BC, že platí

|CD| = |CM |.

Označme P (P 6= B) průsečík kružnic opsaných trojúhelníkům BCM aBDA. Dokažte, že P leží na ose úhlu ABC.

[Návod. Podle věty 3 existuje „vhodnáÿ spirální podobnost S. Užitím du-plicity (věta 2) pak S ′ : AM → DC. Jelikož body A a C leží na kružnici sestředem M , jsou úsečky AM a DC shodné. Na závěr uplatníme vlastnostivýšek trojúhelníku.]

Další poznatky o spirální podobnosti

Závěrem tohoto příspěvku uvádíme pro zájemce další zajímavá tvrzení,která úzce souvisejí s využitím spirální podobnosti při řešení řady dalšíchplanimetrických úloh. Konkrétní příklady aplikací a zadání úloh souvise-jících s tématikou je možno nalézt v [2] a [5].

Přímým důsledkem věty 3 je např. následující tvrzení.

Věta 4Jsou-li v rovině úsečkyAB a CD spirálně podobné vzhledem ke středuH

a průsečík R přímek AC a BD je různý od bodu H, pak jsou čtyřúhelníkyABHR a CDHR tětivové.

Se spirální podobností je úzce spjat mj. také tzv. Miquelův bod čtyř-úhelníku3), viz následující věta.

Věta 5 (Miquelův bod čtyřúhelníku)Nechť ABCD je konvexní čtyřúhelník, v němž platí AB ∩DC = Q,

AD ∩ BC = R. Kružnice opsané trojúhelníkům AQD, BQC, ARB,DRC se protínají v jediném bodu M , tzv. Miquelově bodu čtyřúhelníkuABCD (obr. 9).

Poznámka 4. Uvažované kružnice ve větě 5 se nazývají Miquelovy kružnice.

3)Zavedení pojmu lze dohledat např. v [4].


Obr. 9

Vztah Miquelova bodu ke spirální podobnosti prezentuje následujícítvrzení.

Věta 6Nechť M je Miquelův bod čtyřúhelníku ABCD. Pak M je střed spi-

rálních podobností zobrazujících AB → DC, AD → BC.

Věty 5 a 6 jsou přímými důsledky věty 2 o duplicitě spirální podobnostia věty 3 o konstrukci středu spirální podobnosti.

L i t e r a t u r a

[1] Coxeter, H. S. M., Greitzer, S. L.: Geometry revisited. New mathematicallibrary, Mathematical Association of America, Washington, 1967.

[2] Hrdlička, T.: Spirální podobnost v planimetrii. Bakalářská práce, PřF UP,Katedra algebry a geometrie, Olomouc, 2018.

[3] Polák, J.: Přehled středoškolské matematiky (10. vydání). Prometheus,Praha, 2008.

[4] Zhao, Y.: Cyclic Quadrilaterals – The Big Picture [online]. Winter Camp,c2009 [cit. 2018-10-23]. Dostupné na: http://yufeizhao.com/olympiad/cyclic_quad.pdf

[5] Zhao, Y.: Three Lemmas in Geometry. [online]. Massachusetts Instituteof Technology, Winter Camp, 2010 [cit. 2018-10-23]. Dostupné na: http://yufeizhao.com/olympiad/three_geometry_lemmas.pdf


http://yufeizhao.com/olympiad/cyclic_quad.pdf

http://yufeizhao.com/olympiad/cyclic_quad.pdf

http://yufeizhao.com/olympiad/three_geometry_lemmas.pdf

http://yufeizhao.com/olympiad/three_geometry_lemmas.pdf

Dvě netradiční užití HornerovaschématuLUKÁŠ HONZÍK – JAROSLAV HORA

Pedagogická fakulta ZČU, Plzeň

Hornerovo schéma, nesoucí jméno britského matematika Williama Ge-orge Hornera žijícího na konci 18. a na začátku 19. století, je název al-goritmu sloužícího mimo jiné k relativně efektivnímu určování funkčníchhodnot polynomů. Ačkoliv se může zdát, že Horner byl tím, kdo tentopostup objevil, není tomu tak. Již ve 13. století byla obdobná metodapro práci s polynomy známá čínským matematikům. Horner ji o 500 letpozději pouze uvedl do evropské matematiky [1, 2].

Zavedení Hornerova schématu

Před samotným představením Hornerova schématu a jeho aplikace uveď-me několik tvrzení, z nichž budeme vycházet. Přitom v dalším textu bu-deme předpokládat, že se nacházíme v oboru integrity (T [x],+, ·), kde(T,+, ·) je některé z komutativních číselných těles.

Mějme dva polynomy f(x) 6= 0 a g(x), kde st[g(x)] ≥ 1, pak je zřejmé,že existují dva polynomy Q(x) a R(x) takové, že platí

f(x) = Q(x) · g(x) +R(x).

Přitom navíc vyžadujeme, aby platilo R(x) = 0, anebo st[R(x)] < st[g(x)].Oba polynomy Q(x) a R(x) jsou pak určeny jednoznačně.

Pokud by polynom g(x) byl pouze lineární, přesněji normovaný do tvarug(x) = x− α, bude podle předchozího tvrzení platit

f(x) = Q(x) · (x− α) +R(x),

kde R(x) = 0, anebo st[R(x)] = 0. Z těchto podmínek plyne, že polynomR(x) je pouze konstanta a můžeme provést přeznačení R(x) = r.

Po dosazení tedy obdržíme rovnici

f(x) = Q(x) · (x− α) + r,


ze které již bezprostředně plyne f(α) = r. Tím se dostáváme k tzv. větěBézoutově:

1) Jestliže pro polynom f(x) platí f(x) = Q(x) · (x − α) + r, potomhodnota tohoto polynomu v bodě α je f(α) = r.

2) Bod α je nulovým bodem polynomu f(x), právě když polynom x−αdělí polynom f(x).

Je zřejmé, že ověření zmíněné dělitelnosti polynomu f(x) polynomemg(x) = x− α, popřípadě určení funkční hodnoty polynomu f(x) v bodě αnemusí být jednoduchou záležitostí. V prvním případě je nutné provéstdělení polynomu polynomem, ve druhém dosadit hodnotu α. Celý procesjde ale celkem dobře zjednodušit a zapsat jej právě pomocí Hornerovaschématu.

Postačí, když v rovnici

f(x) = Q(x) · (x− α) + r

položíme

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a2x2 + a1x+ a0

aQ(x) = bn−1x

n−1 + bn−2xn−2 + . . .+ b2x

2 + b1x+ b0.

Po dosazení dostáváme

anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a2x2 + a1x+ a0 =

= (bn−1xn−1 + bn−2x

n−2 + . . .+ b2x2 + b1x+ b0) · (x− α) =

= bn−1xn+(bn−2−αbn−1)xn−1+. . .+(b1−αb2)x2+(b0−αb1)x1+(r−αb0).

Porovnáním koeficientů příslušných mocnin proměnné x dostáváme sou-stavu rovnic pro neznámé koeficienty polynomu Q(x) a pro neznámou kon-stantu r, když koeficienty polynomu f(x) považujeme za dané parametry.

an = bn−1 ⇒ bn−1 = anan−1 = bn−2 − αbn−1 ⇒ bn−2 = an−1 + αbn−1an−2 = bn−3 − αbn−2 ⇒ bn−3 = an−2 + αbn−2. . .

a2 = b1 − αb2 ⇒ b1 = a2 + αb2a1 = b0 − αb1 ⇒ b0 = a1 + αb1a0 = r − αb0 ⇒ r = a0 + αb0


Rovnice z pravého sloupce již jen zapišme přehledněji do tabulky, kterouv průběhu algoritmu budeme postupně zaplňovat.

an an−1 an−2 . . . a2 a1 a0

αbn−1 αbn−2 . . . αb2 αb1 αb0

α bn−1 bn−2 bn−3 . . . b1 b0 r

Do prvního řádku Hornerova schématu zapíšeme všechny koeficienty ai(včetně těch, které jsou rovny nule) polynomu f(x), do posledního řádkuprvního sloupce hodnotu α. Ve druhém sloupci sepíšeme do posledníhořádku hodnotu koeficientu an, neboť pro ni platí rovnost an = bn−1. Ná-sleduje násobení α·bn−1, jehož výsledek je zapsán ve druhém řádku třetíhosloupce. Sečtením tohoto součinu s koeficientem an−1 obdržíme koeficientbn−2. Obdobným způsobem postupně vyplníme další sloupce tabulky, čímžobdržíme všechny doposud neznámé koeficienty bi polynomu Q(x) a hod-notu konstanty r.

Poznamenejme ještě, že hodnotu r můžeme interpretovat podle potřebydvěma různými způsoby, a to podle Bézoutovy věty, jak nyní ještě jednouzopakujeme.

Pokud vyjde r rovno nule, je to především informace o tom, že bod αje nulovým bodem polynomu f(x). Jinými slovy polynom f(x) je bezezbytku dělitelný lineárním polynomem x− α. Naopak je-li r 6= 0, nemůžebýt polynom f(x) dělitelný polynomem x−α, a tedy ani bod α nemůže býtnulovým bodem f(x). Zároveň s tím je jasné, že ona nenulová hodnota rudává zbytek, který bychom při dělení f(x) : (x−α) dostali. Spolu s toutoinformací jsme obdrželi také všechny koeficienty (neúplného) podílu Q(x).

Podíváme-li se na věc jiným způsobem, můžeme hodnotu r brát nikolivjako zbytek po dělení polynomů, nýbrž jako funkční hodnotu polynomuf(x) v bodě x = α.

Bez ohledu na to, jakou interpretaci vybereme, popřípadě kterou po-třebujeme, jde v obou případech o zjevné zjednodušení výpočtů. Pokudbychom prováděli dělení polynomu polynomem, bylo by zapotřebí postu-povat obvyklým způsobem, kdy je vedoucí člen polynomu f(x) dělen ve-doucím členem polynomu x− α a následně je zpětným roznásobením do-počítán rozdíl, který je v podstatě zbytkem po tomto částečném dělení.Opakováním těchto kroků až do chvíle, kdy je zbytek po dělení nižšíhostupně než polynom x− α, bychom se dostali k podílu Q(x) a zbytku podělení r. V případě určení funkční hodnoty f(α) bychom zase museli po-


čítat mocniny hodnoty α do stupně n, tyto mocniny násobit příslušnýmikoeficienty a vzniklé součiny nakonec ještě sčítat.

Praktické výpočty

Užití Hornerova schématu pro úplnost ukažme na několika jednodu-chých ilustračních příkladech polynomů nad různými číselnými obory.

Příklad 1Ukažte, že bod α = −2 je nulovým bodem polynomu

f(x) = 12x5 + 26x4 + 6x3 + 5x2 − 4.

Řešení. Do prvního řádku Hornerova schématu vypíšeme koeficienty po-lynomu f(x), do posledního řádku prvního sloupce zapíšeme hodnotu −2a provedeme popsaný algoritmus.

12 26 6 5 0 −4

−24 −4 −4 −2 4

−2 12 2 2 1 −2 0

Vzhledem k tomu, že vyšlo r = 0, můžeme v souladu s Bézoutovou větouprohlásit, že α = −2 je skutečně nulovým bodem zadaného polynomu.

Příklad 2Určete funkční hodnotu polynomu

f(x) = x5 − 4x3 − 3x2 + 6x− 24

v bodě α = −4.

Řešení. Postupujeme obdobně jako v předchozím příkladu.

1 0 −4 −3 6 −24

−4 16 −48 204 −840

−4 1 −4 12 −51 210 −864

Funkční hodnota f(−4) je rovna −864.


Příklad 3Určete funkční hodnotu polynomu

f(x) = x3 − 3x2 + (9 + 4i)x+ (1− 8i)

v bodě α = i.

Řešení. Tentokrát je Hornerovo schéma výsledkem výpočtů nad tělesemkomplexních čísel.

1 −3 9 + 4i 1− 8i

i −1− 3i −1 + 8i

i 1 −3 + i 8 + i 0

Hledaná funkční hodnota f(i) je rovna 0. Platí tedy, že bod α = i jenulovým bodem daného polynomu f(x) neboli že x− i dělí polynom f(x).

Převod čísla z číselné soustavy o základu z 6= 10 do desítkovésoustavy

Převod čísla z číselné soustavy se základem různým od 10 do desítkovésoustavy je jedním z netradičních, ale ve výsledku vcelku logických využitíHornerova schématu.

Na začátku jen připomeňme, že obvykle je převod realizován postupem,který může být žákům a studentům známý z hodin výpočetní techniky čimatematiky a vystačí si při něm i bez Hornerova schématu. I přes svounázornost ale může být výpočetně náročný. Stačí si uvědomit, že každéčíslo a v dané soustavě o základu z jde zapsat v podobě rozvinutého zápisu

a = an · zn + an−1 · zn−1 + . . .+ a2 · z2 + a1 · z1 + a0 · z0,

kde mocniny základu z představují jednotlivé řády (tedy v desítkové sou-stavě bychom mluvili o jednotkách, desítkách, stovkách atd.) a an, an−1,. . . , a2, a1 a a0 jsou číslice čísla a, tj. celá čísla od 0 do z−1 včetně. Máme-li tedy zadáno kupříkladu číslo 2 563 v soustavě o základu 8, znamená to,že se jedná o celé číslo.

25638 = 2 · 83 + 5 · 82 + 6 · 81 + 3 · 80 = 1024 + 320 + 48 + 3 = 1395.

Tento postup však obsahuje, podobně jako určování funkční hodnoty poly-nomu postupným dosazováním za proměnnou, velké množství zbytečnéhoumocňování.


Při užití Hornerova schématu se této nepříjemnosti dá poměrně ele-gantně vyhnout. K tomu je zapotřebí uvážit, že zmíněný rozvinutý zápisčísla a není nic jiného, než jistý polynom, kde se na místech koeficientůvyskytují jednotlivé číslice čísla a, zatímco proměnná z je jednoznačnědána základem příslušné číselné soustavy. Jinými slovy, při převodu číslaz nedesítkové číselné soustavy se budeme snažit o zjištění funkční hodnotypolynomu odpovídajícího rozvinutému zápisu čísla a, v němž za proměn-nou dosadíme hodnotu základu soustavy z [3].

Užijeme-li tento postup na převod čísla 25638, bude Hornerovo schémavypadat následovně:

2 5 6 3

16 168 1392

8 2 21 174 1395

Příklad 4Převeďte číslo 11045 ze soustavy o základu 7 do soustavy desítkové.

Řešení. Do prvního řádku Hornerova schématu zapíšeme jednotlivé číslicedaného čísla, do posledního řádku prvního sloupce napíšeme základ z = 7a provedeme známý algoritmus.

1 1 0 4 5

7 56 392 2772

7 1 8 56 396 2777

Číslo 110457 má v desítkové soustavě zápis 2777.

Výpočet derivace polynomu v daném bodě

Oproti předchozímu problému převodu čísla z nedesítkové soustavy dosoustavy desítkové je pro určování hodnoty derivace polynomu v bodě αnejprve nutná jistá teoretická příprava. Vyjdeme z nám již dobře známérovnice f(x) = Q(x) · (x− α) + r. Obě strany této identity derivujme, nalevé straně dostaneme derivaci polynomu f ′(x), na pravé straně uplatnímepravidlo o derivaci součinu (zároveň mějme na paměti, že r je konstantnífunkce, jejíž derivace je rovna nule). Zderivovaná identita bude vypadattakto:

f ′(x) = Q′(x) · (x− α) +Q(x).


Nyní dosadíme-li do rovnice za proměnnou x hodnotu α, bude mít sou-čin Q′(x) · (x − α) hodnotu 0 a můžeme psát f ′(α) = Q(α). Ke zjištěníhodnoty derivace polynomu f(x) v bodě α tedy stačí určit funkční hod-notu neúplného podílu Q(x) v bodě α. Jinak řečeno, v praktickém užitíje nutné aplikovat na zadaný polynom f(x) dvakrát za sebou Hornerovoschéma a hodnota r, která vzejde z jeho druhého použití, je hledanouhodnotou f ′(α) [4, 5].

Příklad 5Určete hodnotu derivace polynomu

f(x) = x3 − 5x2 + 3x+ 1

v bodě α = 3.

Řešení. Jak bylo řečeno, pro zjištění hodnoty f ′(3) stačí dvakrát po soběaplikovat na polynom f(x) algoritmus Hornerova schématu. Zmíněné dvojíaplikování Hornerova schématu můžeme bez problému zapsat do jednétabulky.

1 −5 3 1

3 −6 −9

3 1 −2 −3 −8

3 3

3 1 1 0

Pro lepší orientaci v tabulce upřesněme, že ve třetím řádku jsme připrvní aplikaci obdrželi koeficienty polynomu

Q(x) = x2 − 2x− 3,

na který jsme uplatnili druhou aplikaci. Výsledek, který nás zajímá, sevšak nachází na poslední pozici v posledním řádku, a sice f ′(3) = 0.

Na závěr proveďme ještě ověření právě zjištěného výsledku tradičnímzpůsobem, tedy určením derivace podle známých pravidel pro derivovánípolynomů a následným dosazením.

Derivace polynomu f(x) = x3 − 5x2 + 3x+ 1 je f ′(x) = 3x2 − 10x+ 3a v bodě α = 3 má hodnotu f ′(3) = 27− 30 + 3 = 0.


L i t e r a t u r a

[1] O’Connor, J. J., Robertson, E. F.: Horner Biography. MacTutor Historyof Mathematics archive [online]. University of St Andrews, St. Andrews,2018 [cit. 2018-09-11]. Dostupné z: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Horner.html

[2] Wikipedie: Otevřená encyklopedie: William George Horner [online]. c2018[cit. 2018-09-11]. Dostupné z: https://en.wikipedia.org/wiki/William_George_Horner

[3] Hanák, D.: Hornerovo schéma. Itnetwork.cz: Ajťácká sociální síť a materiá-lová základna pro C#, Java, PHP, HTML, CSS, JavaScript a další [online].Praha, c2018 [cit. 2018-09-11]. Dostupné z: https://www.itnetwork.cz/algoritmy/matematicke/algoritmus-matematicke-hornerovo-schema

[4] Horner’s Method. Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles [online].Alexander Bogomolny, c1996–2017 [cit. 2018-09-11]. Dostupné z: http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/HornerMethod.shtml#

[5] Horner’s Rule for a Polynomial and Its Derivative. Computational Physicswith C++ [online]. University of Utah, Salt Lake City, Utah, 2003, 2007-08-17 [cit. 2018-09-11]. Dostupné z: http://www.physics.utah.edu/~detar/lessons/c++/array/node4.html

Procházky (nejen) po krychliVLASTA MORAVCOVÁ – JARMILA ROBOVÁ – KAREL PAZOUREK

MFF UK, Praha – MFF UK, Praha – Gymnázium, Třeboň

Prostorová představivost je důležitou součástí matematického vzdělá-vání na základních a středních školách. To dokládá i Rámcový vzdělávacíprogram pro základní vzdělávání, kde dovednost orientovat se v prostorupatří k očekávaným výstupům vzdělávání v matematice již na prvnímstupni [1, s. 32] a řešení úloh na prostorovou představivost se předpokládái na druhém stupni základní školy. Ani střední školy nezapomínají na rozví-jení této dovednosti, například Rámcový vzdělávací program pro gymnáziauvádí, že vzdělávání v matematice vede žáka k rozvíjení geometrickéhovidění a prostorové představivosti [2, s. 22].


http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Horner.html

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Horner.html

https://en.wikipedia.org/wiki/William_George_Horner

https://en.wikipedia.org/wiki/William_George_Horner

https://www.itnetwork.cz/algoritmy/matematicke/algoritmus-matematicke-hornerovo-schema

https://www.itnetwork.cz/algoritmy/matematicke/algoritmus-matematicke-hornerovo-schema

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/HornerMethod.shtml#

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/HornerMethod.shtml#

http://www.physics.utah.edu/~detar/lessons/c++/array/node4.html

http://www.physics.utah.edu/~detar/lessons/c++/array/node4.html

Na základě potřeby soustavněji rozvíjet prostorovou představivost, kterávyplynula ze zkušeností z výuky matematiky na Gymnáziu v Třeboni iz výuky budoucích učitelů matematiky na MFF UK, jsme se rozhodliv rámci v projektu OP VVV – SC2/SC5 Zvýšení kvality vzdělávání žáků,rozvoje klíčových kompetencí, oblastí vzdělávání a gramotností zaměřit narozvíjení této dovednosti, a to formou, která je přístupná žákům základníi střední školy a není náročná na čas.

Prostorová představivost

Prostorová představivost patří k základním schopnostem člověka a jeovlivňována nejen jeho vrozenými vlohami, ale také prostředím, výchovoui zkušenostmi. Tato představivost souvisí se schopností jedince vytvářetsi představy o prostorových objektech a vztazích mezi nimi, přičemž senemusí vždy jednat o objekty, se kterými se již setkal či které reálně exis-tují. Pojem prostorové představivosti z hlediska výuky matematiky souvisís geometrickou představivostí. Například Šarounová [7] chápe prostorovoupředstavivost jako soubor schopností, souvisejících s představami jedinceo prostoru, tvarech a vzájemných vztazích mezi předměty i jednotlivýmičástmi těla. Prostorovou představivost s geometrickým obsahem pak na-zývá geometrickou představivostí. Obdobně Molnár, Perný a Stopenová[3] nazírají na prostorovou představivost potřebnou ve stereometrii jakona geometrickou prostorovou představivost. Tímto pojmem označují sou-bor schopností týkajících se reprodukčních i anticipačních, statických i dy-namických představ o tvarech, vlastnostech a vzájemných vztazích mezigeometrickými útvary v prostoru. Podrobný přehled různých vymezenípojmů souvisejících s prostorovou představivostí uvádí Molnár [4].

Prostorová představivost zahrnuje komplex schopností, které mají u růz-ných jedinců odlišnou úroveň. Někteří autoři hovoří o složkách prostorovépředstavivosti. Juščáková (2002, cit. v [3]) identifikovala tyto její složky:pasivní prostorovou orientaci související s určením polohy, vizuální paměťspočívající ve schopnosti manipulovat s obrazy objektů v paměti, aktivníprostorovou orientaci související se zpracováním představ o pohybu ob-jektů, mentální manipulaci (percepční předvídání, schopnost tvořit novoupředstavu objektu po jeho transformaci), manuální manipulaci a tech-nickou tvořivost v prostorové představivosti, tj. schopnost aplikovat ji zaurčitých podmínek.

K dispozici jsou různé druhy úloh, které přispívají k rozvoji prostorovépředstavivosti, např. [3]. Na základě této inspirace jsme se rozhodli se-


stavit vlastní sadu úloh1) s postupně narůstající obtížností a vyzkoušet jive výuce. Připravené úlohy by měly přispět k rozvíjení prostorové před-stavivosti, zejména jejích dvou výše uvedených složek, a sice prostorovéorientace a mentální manipulace s prostorovými objekty. Úlohy byly za-mýšleny jako mentální rozcvičky na úvod hodin matematiky věnovanýchstereometrii. Vzhledem k plánované formě jsme je navrhli tak, aby neza-braly více než 10 minut (s výjimkou první hodiny, v níž je třeba zavéstterminologii a vysvětlit princip řešení úloh).

Procházky po krychli

V úlohách pracujeme s krychlí ABCDEFGH, jejíž vrcholy jsou po-psány obvyklým způsobem. Stěny označíme jako přední (ABFE), zadní(DCGH), levá (ADHE), pravá (BCGF ), dolní (ABCD) a horní (EFGH).Používáme šest směrů pohybu po orientovaných hranách krychle (obr. 1) –

doleva (posun o vektor−−→BA), doprava (posun o vektor

−−→HG), nahoru (posun

o vektor−→AE), dolů (posun o vektor

−−→GC), dopředu (posun o vektor

−−→CB)

a dozadu (posun o vektor−−→EH). V obtížnějších úlohách přidáváme pohyb

po stěnových úhlopříčkách (napříč stěnou) a po tělesových úhlopříčkách(napříč krychlí). Připravené úlohy jsme rozdělili do pěti typů A až E,které se liší způsobem zadání i obtížností, která je postupně gradována.Obtížnost úloh se vždy stupňuje také v rámci série úloh jednoho typu.

Obr. 1 Popis krychle a směry pohybu

1)V tomto článku uvádíme jen několik ukázek, kompletní sada úloh je dostupná v pří-

loze, viz: „Prochazky po krychliÿ


http://mfi.upol.cz/files/28/2801/mfi_2801_018_029_p1.pdf

Úlohy typu A

Úlohy A1 až A17 z první série zadáváme následovně. Žákům sdělíme,ve kterém vrcholu krychle se na začátku procházky nacházíme. Poté dik-tujeme nebo zapisujeme na tabuli posloupnost směrů pohybu a žáci sipředstavují trasu, po níž se pohybujeme. Výsledkem je koncový bod, dokterého dorazíme, ale můžeme se ptát i na posloupnost všech vrcholů, kte-rými jsme prošli. V prvních šesti úlohách se pohybujeme pouze po hranáchkrychle.

Zadání úlohy A1Začínáme ve vrcholu A. Pohybujeme se: dozadu – vpravo – nahoru.

Jaký je koncový bod?

Řešení. Koncový bod je G (posloupnost všech navštívených bodů je A, D,C, G), obr. 2.

Počínaje úlohou A7 přidáváme do zadání pohyb po stěnových úhlopříč-kách, od úlohy A12 po tělesových úhlopříčkách. Pro porovnání obtížnostise podívejme ještě na poslední úlohu typu A.

Zadání úlohy A17Začínáme ve vrcholu D. Pohybujeme se: napříč krychlí – dozadu – na-

příč pravou stěnou – napříč krychlí – dopředu. Jaký je koncový bod?

Řešení. Koncový bod je E (posloupnost všech navštívených bodů je D, F ,G, B, H, E), obr. 3.

Obr. 2 Řešení úlohy A1 Obr. 3 Řešení úlohy A17


Úlohy typu B

V úlohách B1 až B8 není zpočátku známý počáteční bod trasy, pouze za-dáme posloupnost směrů pohybu. Úkolem žáků je určit počáteční i koncovýbod. V prvních pěti úlohách se pohybujeme pouze po hranách krychle, vezbývajících třech i po úhlopříčkách. Řešení těchto úloh již není vždy jed-noznačné – záleží pak na učiteli, zda chce po žácích najít jedno, anebovšechna řešení.

Zadání úlohy B7Pohybujeme se: doleva – napříč levou stěnou – napříč zadní stěnou.

Jaký je počáteční a koncový bod?

Řešení. Úloha má dvě řešení – buď je počátečním bodem B a koncovým C,nebo je počátečním bodem F a koncovým G, obr. 4.

Obr. 4 Obě řešení úlohy B7

Úlohy typu C, D a E

V dalších typech úloh pracujeme navíc se vzdálenostmi. V šesti úloháchtypu C, které jsou analogií úloh typu A, uvažujeme krychli o hraně délkydvě jednotky. V každém kroku se vždy posuneme o jednotku délky v danémsměru pohybu. To nám umožní dostat se i do středu hrany, stěny nebokrychle. V těchto úlohách se nepohybujeme po úhlopříčkách.

Zadání úlohy C3Začínáme ve vrcholu C. Pohybujeme se: doleva – nahoru – doleva –

dopředu – nahoru – doprava – dolů. Jaký je koncový bod?

Řešení. Koncový bod je střed krychle (posloupnost všech navštívených


bodů je C, SCD, SCH , SDH , SDE , SEH , SEG, SAG),2) obr. 5.

Obr. 5 Řešení úlohy C3

Úlohy typu D a E se od typu C liší jen ve zvolené délce hrany krychle.Ve čtyřech úlohách typu D pracujeme s krychlí o hraně délky 4 jednotky,ve třech úlohách typu E uvažujeme hranu dlouhou 10 jednotek. V kaž-dém kroku se pak posouváme v daném směru pohybu vždy o daný početjednotek.

Zařazení úloh do výuky

Typy A, B a D3) výše uvedených úloh byly v říjnu až prosinci roku2017 zařazeny do výuky třetího ročníku čtyřletého Gymnázia v Třeboni,sekundy a sexty šestiletého Gymnázia Na Pražačce v Praze a druhéhoročníku bakalářského studia učitelství matematiky na MFF UK v Praze.

V každé skupině pracoval vyučující s úlohami trochu jinak. Vždy všakbyl žákům a studentům nejprve představen model krychle, vysvětlenysměry pohybu a při zavedení úloh nového typu byla vzorově vyřešena prvníúloha.

V sekundě šestiletého gymnázia (odpovídá 9. ročníku ZŠ) žáci v rámcijedné vyučovací hodiny řešili úlohy typu A a B. Zpočátku měli k dispo-zici obrázek s vyznačenými směry pohybu, který byl nakreslen na tabuli,a několik drátěných modelů krychle. Jelikož žáci s úlohami typu A ne-měli potíže, byl nejprve zakryt obrázek, posléze i schovány modely krychlí.

2)Symbolem SXY značíme střed úsečky XY . Můžeme však body označovat slovyjako střed hrany XY , střed přední/zadní/. . . stěny apod.3)Původní verze sady úloh, která byla testována ve výuce, obsahovala pouze tři typy

úloh označené A, B, C, přičemž typ C odpovídal současnému typu D – tedy jednalo seo úlohy s krychlí o hraně délky 4 jednotky.


S úlohami typu B již většina žáků měla potíže, proto jim byly opět vrácenydrátěné modely.

V předmaturitním a maturitním ročníku gymnázií bylo s úlohami pra-cováno obdobným způsobem. V období, kdy žáci probírali stereometrii,bylo úlohám věnováno cca 5 až 10 minut ze začátku několika vyučovacíchhodin. Postupně byly vyzkoušeny úlohy všech tří typů. S úlohami typu Aneměli žáci větší potíže, u úloh typu B se již objevovaly chyby, nejtěžšíbyly úlohy typu D, v nichž chybovala více než polovina žáků.

Žáci třetího ročníku měli zpočátku k dispozici obrázek i drátěný modelkrychle, u úloh typu A byl postupně schován nejprve obrázek, poté model.K řešení úloh typu B a D jim byl ponechán model. Zadání úloh typu Dměli napsané na tabuli, mohli tak úlohy řešit vlastním tempem.

Žáci maturitního ročníku měli rovněž zpočátku k dispozici obrázek idrátěný model, po prvních dvou úlohách jim byl schován obrázek (a ne-směli použít ani vlastní), na další hodině již neměli k dispozici ani modelkrychle, pouze nový typ úloh byl vždy vysvětlen s obrázkem nebo s mo-delem. Ukázalo se, že v okamžiku, kdy nemají k dispozici ani obrázek animodel krychle, mají tendenci používat vlastní pomůcku (gumu ve tvarukvádru, pozorování hran stolu či reproduktoru, manipulace rukama apod.)a stále většina z nich řešila úlohy typu A a B bez obtíží, chyby se obje-vovaly jen výjimečně. Byli tedy vyzváni, aby dali ruce za záda a zavřelioči. Teprve v tuto chvíli pro ně řešení úloh začalo být komplikovanější, nadruhou stranu je tato aktivita velmi bavila. Ve třídě byli také dva slabšížáci, kteří si s úlohami od A7 dále bez modelu krychle neporadili. Nejprvetedy zkoušeli řešit úlohy za stejných podmínek jako ostatní, ale při kont-role výsledku dostali vždy na chvíli do ruky model, aby se ke správnémuřešení dobrali také vlastními silami. Úlohy typu D byly vyzkoušeny téžs postupným omezováním pomůcek, ale ukázalo se, že bez modelu neboobrázku je bez chyby vyřeší skutečně jen málokdo. Podobně jako u žákůtřetího ročníku se osvědčilo zadání úloh typu D psát na tabuli, ne jen dik-tovat. K zápisu byly úspěšně využity také zkratky vycházející z anglickýchpojmenování směrů – viz dále.

Se studenty druhého ročníku učitelství bylo pracováno podobným způ-sobem jako s žáky vyšších ročníků gymnázií. Po dobu dvou měsíců řešiliúlohy všech tří typů, vždy cca 10 minut v úvodu výuky Základů prostorovégeometrie. Na úvod každého semináře byla studentům předvedena jednaúloha s využitím promítnutého obrázku krychle s vyznačenými směry, potébyl obrázek skryt. Po celou dobu byly na katedře k dispozici také dva pa-


pírové modely krychle, jeden z nich o hraně dlouhé 4 cm měl na stěnáchnakreslenou čtvercovou síť s čtverečky o straně délky 1 cm. První pro-blémy se objevily u úlohy A34) a dále u úloh, v nichž byl zapojen taképohyb po úhlopříčkách. Stejně jako pro gymnazisty, úlohy typu B bylyobtížnější než A a nejtěžší byly úlohy typu D, k jejichž řešení si někteříposluchači vypůjčili model krychle, popřípadě používali vlastní pomůckypřipomínající tvar krychle.

Ve všech skupinách se potvrdilo, že úlohy jsou řazeny se stupňující seobtížností, a to jak s ohledem na jednotlivé typy A, B, D, tak s ohledemna řazení úloh v rámci jednoho typu. Úlohy A1 až A6 nečinily v žádnémročníku vážnější problémy, první komplikace nastaly u zapojení pohybu poúhlopříčkách. Mladší žáci navrhovali, že by jim pomohla změna formulace –namísto napříč stěnou/krychlí by uvítali slova po úhlopříčce stěny/krychle.Při řešení úloh typu B se již žáci sekundy, ale i někteří starší žáci včetněstudentů VŠ neobešli bez modelu. Úlohy typu D byly pro většinu žáků istudentů bez obrázku nebo modelu téměř neřešitelné.

Při testování bylo vyzkoušeno několik možností, jak zvýšit obtížnostúloh. Nejsnadnější pro žáky bylo řešení s možností pozorování obrázkus vyznačenými směry pohybu. Výbornou pomůckou byl také model krychle,přičemž drátěný model se osvědčil jako názornější pro řešení úloh typu D(umožňuje modelovat pohyb uvnitř krychle). Na základě pozorování prácežáků nelze jednoznačně říci, zda pro ně byl užitečnější obrázek nebo mo-del, obě pomůcky fungovaly jako dostatečná podpora pro nalezení řešení.Pokud chtěl vyučující úlohy zkomplikovat, schoval obrázek i model krychlea zakázal použití vlastní pomůcky. V tuto chvíli měli žáci i studenti ten-denci vyhledávat očima předmět tvarově příbuzný krychli a pozorovat jej,někteří začali modelovat procházku po krychli pomocí rukou. Dalším stup-něm obtížnosti tedy je zákaz použití rukou (např. lze žáky požádat, abydali ruce za záda) a nejvyšším omezením je požadavek řešit úlohy se zavře-nýma očima. Teprve v tuto chvíli lze říci, že žáci museli pracovat skutečněčistě mentálně a jen jedinci byli schopni takto vyřešit úlohy typu B a D.

Další inspirace

Představené úlohy lze propojovat s dalšími předměty či oblastmi mate-matiky. Rovněž nás inspirují k různým obměnám, ztíženým variantám aproblémovým otázkám pro nadanější žáky.

4)Možná proto, že se jedná o první úlohu s více kroky.


Zapojení cizího jazyka

Při písemném zadání výše uvedených úloh se nabízí zavedení zkratekpro jednotlivé směry pohybu. Jelikož některé pokyny v češtině začínajístejným písmenem (dopředu, dozadu apod.), navrhujeme zapojení cizíhojazyka. Většině současných žáků nečiní potíže použít angličtinu.

Pro šest základních pohybů ve směrech orientovaných hran krychle mů-žeme zavést například zkratky L (left – doleva), R (r ight – doprava),U (up – nahoru), D (down – dolů), F (f orward – dopředu), B (back –dozadu).5) Podobně lze využít vhodná slovíčka z němčiny a jistě bychomnalezli i další vhodné jazyky.

Užití vektorové algebry

Bystřejší žáci možná sami postřehnou, že si mnohá zadání procházek pohranách krychle mohou značně zjednodušit. Pokud máme v libovolném po-řadí vykonat v rámci jedné úlohy například třikrát pohyb vlevo a dvakrátvpravo, je to totéž, jako jít jednou vlevo. Pět pokynů tak můžeme nahra-dit pouze jedním. Nejedná se vlastně o nic jiného než skládání opačnýchvektorů. Největšího zjednodušení docílíme užitím tohoto principu u úlohtypů C, D a E.

Relativní směr pohybu

Procházku po krychli si můžeme představit také z pohledu pozorova-tele, který se po dané krychli pohybuje. V okamžiku, kdy dojde po hranědo určitého vrcholu, vždy může dále pokračovat buď vlevo, nebo vpravo(za předpokladu, že se nesmí vracet zpět), viz obr. 6. Tento typ úloh lzežákům demonstrovat na modelu krychle, který budeme postupně natáčetvždy do takové polohy, v níž bude hrana, kterou právě procházíme, umís-těna přibližně ve směru pohledu žáků. V připravené sadě úloh jsou tímtozpůsobem zpracovány úlohy F1 až F4.6)

5)Například úlohu A1 lze pak zadat pomocí následujícího kódu (po sdělení počáteč-ního bodu): B–R–U; úlohu D1 můžeme zadat (po sdělení počátečního bodu) kódem2R–3U–2R–1B–1U.6)Za inspiraci děkujeme doc. RNDr. Antonínu Jančaříkovi, Ph.D., z Pedagogické

fakulty Univerzity Karlovy v Praze.


Obr. 6 Relativní směr pohybu

Zadání úlohy F1Jdeme z A do B, z vrcholu B poté pokračujeme: vlevo – vpravo – vlevo –

vlevo. Jaký je koncový bod?

Řešení. Koncový bod je E (posloupnost všech navštívených bodů je A, B,F , G, H, E), obr. 7.

Obr. 7 Řešení úlohy F1

Procházky po tetraedru

Výše popsaný relativní směr pohybu lze aplikovat na každý mnohostěn,v jehož vrcholech se setkávají vždy tři hrany.7) V úlohách G1 až G4 pracu-jeme tímto způsobem s pravidelným čtyřstěnem. V principu však nezáležína tom, zda je čtyřstěn pravidelný, je možné, že někteří žáci si lépe před-staví jiný, například pravoúhlý čtyřstěn.8)

7)Pro mnohostěny, v jejichž vrcholech se setkávají vždy čtyři hrany, lze analogickyzavést termíny vlevo, rovně, vpravo.8)Pravoúhlým čtyřstěnem rozumíme například těleso ABDE získané z krychle

ABCDEFGH, tedy trojboký jehlan, jehož jedna boční hrana je kolmá k rovině pod-stavy.


Zadání úlohy G1Jdeme z A do B, z vrcholu B poté pokračujeme: vlevo – vpravo – vlevo.

Jaký je koncový bod?

Řešení. Koncový bod je A (posloupnost všech navštívených bodů je A,B, D, C, A), obr. 8.

Obr. 8 Řešení úlohy G1

Námět na problémové otázky

Máme-li ve třídě šikovné žáky, můžeme úlohy doplnit problémovýmiotázkami. Například pro úlohy typu A: „Vycházíme z bodu A a můžemezadat tři směry pohybu. Ve kterých bodech může procházka skončit, pokudse pohybujeme a) pouze po hranách krychle, b) po hranách i úhlopříčkáchkrychle?ÿ Budeme-li uvažovat pouze pohyb po hranách tělesa, můžemetuto otázku položit i u procházek typů C, D a E. Problém lze modifikovattaké pro úlohy typů F a G: „Jdeme zA doB, z vrcholuB poté pokračujemetřemi kroky. Do kterých vrcholů se můžeme dostat?ÿ

Závěr

Autoři příspěvku vyzkoušeli ve výuce úlohy zde představené jako typ A,B a D (úlohy typu D s hranou o délce 4 byly původně označeny jako typ C).První dva typy jsou převzaté z práce [3] a již dříve byly experimentálněověřeny s žáky ve věku 9–14 let [5]. Obdobně jako Perný [6] jsme v mnohapřípadech pozorovali tzv. kinestetický jev, tj. tendenci zapojit při řešeníúloh pohyb těla, popřípadě alespoň očí. U některých jedinců byl patrnýtaké jazykový jev, tj. potíže s rozdílným chápáním terminologie pohybu potělesech. V úlohách typu B žáci i studenti zpravidla objevili pouze jednoz více možných řešení.


S třetím typem vyzkoušených úloh, v nichž uvažujeme hranu krychledelší než jednotkovou, jsme se zatím nikde nesetkali. Tyto úlohy se uká-zaly jako nejkomplikovanější, neboť je v nich třeba uvažovat i vnitřní bodykrychle. Proto jsme původní sadu úloh, v nichž žákům byla rovnou předlo-žena hrana o délce 4, doplnili ještě úlohami s hranou délky 2, aby gradaceobtížnosti byla pozvolnější.

Ve všech zapojených skupinách se projevila pozitivní motivace. Zařa-zením vždy několika „procházekÿ na začátek hodiny se žáci i studenti ak-tivizovali a rychleji než obvykle „přepnuli do pracovního móduÿ. Časovějsou úlohy nenáročné a lze je používat průběžně a opakovaně za účelemsystematického procvičování prostorové představivosti. Široká škála za-dání s postupně rostoucí obtížností umožňuje volit úroveň úloh adekvátníschopnostem a věku žáků, slabší jedinci mají možnost prožít pocit úspěchua šikovnějším můžeme úlohy zajímavě zkomplikovat. Vyzkoušením úlohs věkově rozdílnými skupinami se ukázalo, že úlohy mohou být vhodnéa smysluplné nejen pro žáky základní a střední školy, ale i pro studentyvysoké školy.

Poděkování. Článek vznikl za podpory projektů OPVVV – SC2/SC5Zvýšení kvality vzdělávání žáků, rozvoje klíčových kompetencí, oblastí vzdě-lávání a gramotností.

L i t e r a t u r a

[1] MŠMT: Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání [online].Praha, 2017, [cit. 2018-10-30]. Dostupné z: www.msmt.cz/file/43792_1_1

[2] MŠMT: Rámcový vzdělávací program pro gymnázia [online]. Praha, 2007,[cit. 2018-10-30]. Dostupné z: www.nuv.cz/file/159_1_1

[3] Molnár, J., Perný, J., Stopenová, A.: Prostorová představivost a prostředkyk jejímu rozvoji [online]. JČMF, 2006 [cit. 2017-09-24]. Dostupné z: http://class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/FileDownload.aspx?FileID=100

[4] Molnár, J.: Rozvíjení prostorové představivosti (nejen) ve stereometrii.2. rozšířené vydání, Vydavatelství Univerzity Palackého, Olomouc, 2009.

[5] Perný, J.: Krychle, pohyb a prostorová představivost (1). Učitel matema-tiky, 12(2004a), 176–183.

[6] Perný, J.: Krychle, pohyb a prostorová představivost (2). Učitel matema-tiky, 12(2004b), 221–230.

[7] Šarounová, A.: Geometrická představivost. Disertační práce, UniverzitaKarlova, Praha, 1982.


www.msmt.cz/file/43792_1_1

www.nuv.cz/file/159_1_1

http://class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/FileDownload.aspx?FileID=100

http://class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/FileDownload.aspx?FileID=100

Mezipředmětové vztahyv matematiceDANA VOJTOVIČOVÁ

Gymnázium, Olomouc-Hejčín

Cílem tohoto příspěvku je poukázat na možnosti využití konkrétníchvýsledků projektu Matematická gramotnost na střední škole v podobě pra-covních listů, které autorka za tímto účelem vytvořila.

Hlavními tématy pracovních listů jsou oblasti kvantita, prostor a tvar,změna a vztahy, neurčitost a finanční gramotnost, zároveň však svým za-měřením na reálný život a konkrétní situace daleko přesahují do ostat-ních předmětů a tím pomáhají učitelům implementovat mezipředmětovévztahy do hodin matematiky, což je jedna z oblastí, na niž se v současnédobě klade velký důraz. Pracovní listy se liší úrovní náročnosti a čtenářje může využívat v běžné výuce matematiky na různých typech středníchškol, viz odkaz v závěru článku.

Matematická gramotnost je definována jako schopnost jedince poznata pochopit roli, kterou hraje matematika ve světě, dělat dobře podloženéúsudky a proniknout do matematiky tak, aby splňovala jeho životní potřebyjako tvořivého, zainteresovaného a přemýšlivého občana [2]. Hlavní snahoubylo tedy propojit matematiku s běžným životem, najít příklady, kteréaplikují matematiku na reálné situace a skutečná data a využít mezipřed-mětové vztahy. Při tvorbě některých úloh autorka vycházela z dostupnýchzdrojů, jakými jsou např. [1, 4], [3, s. 84].

Chceme-li ve výuce matematiky rozvíjet matematickou gramotnost, ne-stačí pouze použít vhodné příklady a materiály. Je nutné také přemýšletnad metodami, které se pro tento účel nejlépe hodí. Máme-li přimět žákypřemýšlet, samostatně pracovat a hledat nejjednodušší řešení, není fron-tální výuka příliš vhodná. Musíme také dát žákům čas potřebný k pře-mýšlení a klást návodné otázky, pokud žák neví, jak dál. Asi nejobtížnějšíje pro učitele zůstat v pozadí a nepodlehnout nutkání prozradit žákůmřešení, pokud jsou schopni úlohu vyřešit sami. V tomto případě je důležitépracovat také s chybou žáka, uvést jeho chyby na pravou míru a využítje v procesu učení v jeho prospěch. Oblast metod výuky k matematickégramotnosti však již výrazně překračuje rozsah tohoto článku.


Jak se v praxi potvrdilo, při využití zmíněných materiálů je vhodnépoužít následující strukturu vyučovací hodiny:

1. Žáci nejdříve pracují samostatně na úloze zadané v pracovním listu.

2. Jakmile mají zpracovanou určitou část, pracují ve dvojicích a pro-diskutují svá řešení. Rozhodnou, zda a která řešení jsou správná,přitom se učí vysvětlit, zdůvodnit a obhájit svůj postup.

3. Svá řešení následně prezentují před třídou.

4. Na závěr učitel spolu s žáky zhodnotí práci, případně opraví nebovysvětlí nejasnosti. Ne vždy je však nutné vše zvládnout v jednévyučovací hodině. Mnohdy je lepší nechat problém „uležetÿ a vrátitse k němu v dalších hodinách.

V některých pracovních listech je na závěr uveden Projekt, viz např.Absolutní a relativní změna – Změny klimatu, který může být součástívyučovací hodiny, ale může být také zadán jako samostatná nebo skupi-nová práce doma, případně v rámci školního výletu nebo projektového dne(podle charakteru úlohy).

Jako ukázku možného konkrétního využití nyní uvádíme jeden pracovnílist s názvem

Absolutní a relativní změna – Změny klimatu.

Pracovní list z tohoto odkazu je uveden na stránkách 32 a 33.

Komentář k pracovnímu listu Absolutní a relativní změna –Změny klimatu

Cílem hodiny bylo vybrat z textu slovní úlohy požadované informace,zopakovat práci s procenty a statistickými daty, uvědomit si rozdíly meziabsolutní a relativní změnou, naučit se zpracovat výsledky ve formě tabu-lek a diagramů a vyvodit z nich závěry.

Podmínky a přípravaPředem si musíme nachystat pracovní listy, v učebně s projektorem je

možné promítnout postupně části pracovního listu na plátno a nemusí sepak tisknout. Všechny údaje ale musí být dobře vidět. Je dobré si připra-vit učebnice s tématem Statistika (modus, medián). V učebně s počítačilze využít internet, žáci mohou také využívat tablet nebo chytrý telefon,


http://mfi.upol.cz/files/28/2801/mfi_2801_030_039_p1_zmeny_klimatu.pdf

Pracovní list Zadání _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1

Absolutní a relativní změna

Změny klimatu

Na hvězdárně v pražském Klementinu byla

zahájena pravidelná meteorologická měření už

v roce 1752.

Podle těchto záznamů můžeme pro každý

měsíc určit počty tropických dnů, kdy je

teplota vyšší nebo rovna 30 °C, a počty

ledových dnů, kdy teplota nevystoupí nad 0 °C.

V letech 2008 až 2017 vzrostl průměrný počet tropických dnů na 20,5 dne za rok, což bylo

o 15,5 dnů za rok více než ve srovnání s obdobím mezi lety 1775 až 1784. Ledových dnů

naopak v desetiletí 2008 až 2017 ubylo, a to o 48 % ve srovnání s desetiletím 1775 až 1784,

kdy bylo průměrně 34,9 ledových dnů za rok.

Úloha 1: Z výše uvedených údajů zjistěte:

a) Která ze změn je větší, jestliže ji vyjádříme počtem dnů?

b) Která ze změn je větší, jestliže ji vyjádříme v %?

c) Jaká znaménka můžeme změnám přiřadit?

d) Kolik bylo průměrně za rok tropických dnů v období let 1775 až 1784?

e) Kolik bylo průměrně za rok ledových dnů v letech 2008 až 2017?

Úloha 2: V následující tabulce jsou údaje o počtu tropických, ledových a arktických dní

v období let 1892 až 1901. Arktický den je takový den, kdy maximální teplota nevystoupí

nad -10 °C. Zjistěte:

a) průměrné počty tropických, ledových a arktických dní v tomto období

b) modus a medián pro tropické, ledové i arktické dny

c) absolutní změny (počty dnů) vzhledem k období 1775 až 1784

d) relativní změny (%) vzhledem k období 1775 až 1784

e) absolutní změny v období 2008 až 2017 vzhledem k období 1892 až 1901 (tabulka)

f) relativní změny v období 2008 až 2017 vzhledem k období 1892 až 1901 (tabulka)


Pracovní list Zadání _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2

Tabulka:

Rok Počet tropických dní Počet ledových dní Počet arktických dní

1892 18 49 0

1893 3 42 4

1894 4 29 1

1895 8 63 3

1896 2 34 0

1897 2 29 0

1898 6 14 0

1899 4 30 3

1900 9 16 2

1901 4 48 3 Zdroj dat: www.in-pocasi.cz/archiv

Výsledky zpracujte do přehledné tabulky. Sestrojte vhodný diagram pro průměrné počty tropických a ledových dní v daných obdobích.

Projekt:

Najděte na internetu (www.in-pocasi.cz/archiv) údaje o průměrných počtech tropických

a ledových dnů za rok v Česku v jiném desetiletém období v 18., 19., 20. nebo 21. století.

Zjištěné údaje zpracujte do tabulky a diagramu

v Excelu a zjistěte:

a) Absolutní změny

b) Relativní změny

c) Jaká znaménka můžeme změnám přiřadit?

d) Kolik bylo průměrně za rok tropických dnů?

e) Kolik bylo průměrně za rok ledových dnů?

f) Jaký byl v těchto letech počet arktických

dní?

Srovnejte tato období. Můžete z toho vyvodit

nějaký závěr?

Obr.: Zdroj: www.in-pocasi.cz/model


aby mohli samostatně vyhledat informace, které potřebují k práci. V učebněs počítači žáci mohou pracovat v Excelu, jinak lze tabulky a grafy kreslitdo sešitu. Pro slabší žáky tabulky připravíme předem.

Průběh vyučovací hodiny (45 min)Po krátkém uvedení do problematiky a motivačním rozhovoru o klima-

tických změnách byli žáci seznámeni s cílem a organizací vyučovací hodinya dále již pracovali samostatně a posléze ve dvojicích podle schématu uve-deného výše. Po dokončení každé úlohy žáci prezentovali své výsledky,zapsali je na tabuli a zkontrolovali své diagramy. Následovalo hodnoceníkvality práce žáků učitelem a hodnocení žáků. Na závěr proběhla diskusena téma Vývoj klimatu v ČR, kdy se žáci pokusili interpretovat své vý-sledky z hlediska teplotního vývoje v ČR a diskuse, zda mají jejich vý-sledky nějakou výpovědní hodnotu.

Osobní zkušenostiTéma Absolutní a relativní změna – Změny klimatu bylo zařazeno do

běžné výuky matematiky na gymnáziu v půlených hodinách, aby byl do-statečný prostor pro diskusi a klid na individuální práci. Menší počet žákůve třídě je nutností, pokud navíc chceme poskytnout žákům individuálnípodporu. Toto téma je možné zařadit do výuky v podstatě kdykoli, neboťučivo vychází ze znalostí získaných na základní škole.

Nejvýhodnější metodou se jeví kombinace individuální práce a práceve dvojicích. Příliš se neosvědčila práce ve skupině, a to ze dvou důvodů:žáci vzájemně nevidí dobře na své zápisy a práci často zastane jeden žáka ostatní se „vezouÿ.

Překvapením bylo, že starší žáci měli větší problémy s počítáním pro-cent než mladší, většinou si neporadili s výpočtem relativní změny v počtutropických dnů v úloze 1. Největším problémem bylo správně určit základ.Je vhodné do běžných hodin matematiky na střední škole čas od času vý-počet procent zařadit (a to zvláště složitějších příkladů), protože se sicepočítá s tím, že žáci toto učivo zvládli na základní škole, ale praxe potvr-dila, že tomu tak není a že to spíše zapomněli.

S problémem procent v úloze 1 bylo potřeba žákům vhodnými otázkamipomoci. Za základ zde totiž vzali hodnotu 20,5 dní (průměrný počet tro-pických dní – TD v posledním desetiletí) místo 5 dní (průměrný počet TDv prvním desetiletí) a změna v procentech jim vyšla 75,6 %. Bylo třebajim zdůraznit, že chceme zjistit, jak moc počet TD vzrostl oproti prvnímudesetiletí. Některým žákům pomohla otázka: „Jakou hodnotu bys dostal,kdyby se počet TD zvedl dokonce o 100 %?ÿ Ukázalo se, že by dostali


hodnotu 10, což ani zdaleka není 20,5. S touto nápovědou už byli vět-šinou schopni správnou hodnotu vypočítat. Je dobré s tímto problémempomáhat žákům individuálně, aby měli větší šanci na to přijít sami.

Naopak se sestrojením sloupcového diagramu ani se statistickými pojmynebyly žádné větší problémy. Pojmy jako modus a medián znali a stačilojim jen osvěžit své znalosti pomocí učebnice nebo internetu. Při tvorbědiagramu bylo třeba některým žákům připomenout, aby se zamysleli nadtím, co chceme v grafu všechno vidět.

První dvě úlohy se dají v jedné vyučovací hodině pohodlně zvládnouti s hodnocením a diskusí. Závěrečná diskuse byla právě tím, co v žácíchzanechalo pocit „zajímavéÿ hodiny.

DoporučeníPro slabší žáky je nutné připravit dopředu tabulky, do kterých jen do-

plní výsledky (viz níže). Pokročilejší žáci jsou většinou schopni vytvořit jesamostatně, ale slabší s tím ztratí příliš mnoho času. Na druhou stranu,máme-li možnost hodinu rozdělit na dvě a počítáme-li například i s tím, žežáci budou pracovat na počítači, je lepší, když i slabší žáci zkusí strukturutabulky vymyslet a nakreslit sami. Pokud máme více času, můžeme dosrovnání zařadit i arktické dny (AD), přičemž chybějící údaje pro prvnía poslední desetiletí mohou žáci vyhledat sami na internetu na adrese:www.in-pocasi.cz/archiv

Průměrný počet AD

1775–1784 2,5

1892–1901 1,6

2008–2017 0

Tabulky pro žáky

Úloha 1

3

procent zařadit (a to zvláště složitějších příkladů), protože se sice počítá s tím, že žáci toto učivo zvládli na základní škole, ale praxe potvrdila, že tomu tak není a že to spíše zapomněli. S problémem procent v úloze 1 bylo potřeba žákům vhodnými otázkami pomoci. Za základ zde totiž vzali hodnotu 20,5 dní (průměrný počet tropických dní - TD v posledním desetiletí) místo 5 dní (průměrný počet TD v prvním desetiletí) a změna v procentech jim vyšla 75,6 %. Bylo třeba jim zdůraznit, že chceme zjistit, jak moc počet TD vzrostl oproti prvnímu desetiletí. Některým žákům pomohla otázka: „Jakou hodnotu bys dostal, kdyby se počet TD zvedl dokonce o 100%?“ Ukázalo se, že by dostali hodnotu 10, což ani zdaleka není 20,5. S touto nápovědou už byli většinou schopni správnou hodnotu vypočítat. Je dobré s tímto problémem pomáhat žákům individuálně, aby měli větší šanci na to přijít sami. Naopak se sestrojením sloupcového diagramu ani se statistickými pojmy nebyly žádné větší problémy. Pojmy jako modus a medián znali a stačilo jim jen osvěžit své znalosti pomocí učebnice nebo internetu. Při tvorbě diagramu bylo třeba některým žákům připomenout, aby se zamysleli nad tím, co chceme v grafu všechno vidět. První dvě úlohy se dají v jedné vyučovací hodině pohodlně zvládnout i s hodnocením a diskusí. Závěrečná diskuse byla právě tím, co v žácích zanechalo pocit „zajímavé“ hodiny. Doporučení

Pro slabší žáky je nutné připravit dopředu tabulky, do kterých jen doplní výsledky (viz níže). Pokročilejší žáci jsou většinou schopni vytvořit je samostatně, ale slabší s tím ztratí příliš mnoho času. Na druhou stranu, máme-li možnost hodinu rozdělit na dvě a počítáme-li například i s tím, že žáci budou pracovat na počítači, je lepší, když i slabší žáci zkusí strukturu tabulky vymyslet a nakreslit sami. Poklud máme více času, můžeme do srovnání zařadit i arktické dny (AD), přičemž chybějící údaje pro první a poslední desetiletí mohou žáci vyhledat sami na internetu: na adrese www.in-pocasi.cz/archiv.

Průměrný počet AD

1775-1784 2,5

1892-1901 1,6

2008-2017 0

Tabulky pro žáky

Úloha 1

Rok počet TD abs. změna

rel. změna počet LD abs. změna

rel. změna

1775-1784

2008-2017


www.in-pocasi.cz/archiv

Úloha 2

4

Úloha 2

Období počet TD

abs. změna

rel. změna

počet LD

abs. změna

rel. změna

počet AD

abs. změna

rel. změna

1775-1784

1892-1901

1892-1901

2008-2017

Řešení

Úloha 1 Rok počet TD abs. změna rel. změna počet LD abs. změna rel. změna

1775-1784 5 +15,5

+310 %

34,1 -16,8

-48 %

2008-2017 20,5 18,1

a) V počtech dnů je větší pokles ledových dní - LD (16,8) b) V procentech je větší nárůst tropických dní - TD (310%) c) nárůst +, pokles − d) 20,5 − 15,5 = 5 e) 48 % z 34,9 je 16,7; 34,9−16,7 = 18,1

Úloha 2 a) - b)

Období 1892-1901 Průměrná hodnota Modus Medián

TD 6 4 4

LD 35,4 29 32

AD 1,6 0 1,5

Výhodou mediánu je fakt, že není ovlivněn extrémními hodnotami. Například u počtu tropických dní v období 1892-1901 máme jednu extrémní hodnotu (18), ostatní hodnoty jsou menší než 10. Aritmetický průměr (6) zde tedy není příliš vhodnou mírou polohy. Medián a modus nabývají hodnoty 4, což lépe vystihuje toto období. Žáci si mohou průměrné hodnoty, modus i medián zkusit zjistit pomocí Excelu.

b) - f)

Řešení

Úloha 1

4

Období počet TD

abs. změna

rel. změna

počet LD

abs. změna

rel. změna

počet AD

abs. změna

rel. změna

1775-1784

1892-1901

1892-1901

2008-2017

Řešení


1775-1784 5 +15,5

+310 %

34,9 -16,8

-48 %

2008-2017 20,5 18,1


Úloha 2 a) - b) Období 1892-1901 Průměrná hodnota Modus Medián

TD 6 4 4

LD 35,4 29 32

AD 1,6 0 1,5


c) - f) Období počet

TD abs.

změna rel.

změna počet

LD abs.

změna rel.

změna počet

AD abs.

změna rel-

změna

1775-1784

5 +1

20 %

34,9 +0,5

+1,4 %

2,5 -0,9

-36 %

a) V počtech dnů je větší pokles ledových dní – LD (16,8)b) V procentech je větší nárůst tropických dní – TD (310 %)c) nárůst +, pokles −d) 20,5− 15,5 = 5e) 48 % z 34,9 je 16,8; 34,9− 16,8 = 18,1

Úloha 2

a)–b)

4

Úloha 2

Období počet TD

abs. změna

rel. změna

počet LD

abs. změna

rel. změna

počet AD

abs. změna

rel. změna

1775-1784

1892-1901

1892-1901

2008-2017

Řešení


1775-1784 5 +15,5

+310 %

34,1 -16,8

-48 %

2008-2017 20,5 18,1


Úloha 2 a) - b)

Období 1892-1901 Průměrná hodnota Modus Medián

TD 6 4 4

LD 35,4 29 32

AD 1,6 0 1,5


b) - f)

Výhodou mediánu je fakt, že není ovlivněn extrémními hodnotami. Na-příklad u počtu tropických dní v období 1892-1901 máme jednu extrémní


hodnotu (18), ostatní hodnoty jsou menší než 10. Aritmetický průměr (6)zde tedy není příliš vhodnou mírou polohy. Medián a modus nabývají hod-noty 4, což lépe vystihuje toto období. Žáci si mohou průměrné hodnoty,modus i medián zkusit zjistit pomocí Excelu.

c)–f)

5

Období počet TD

abs. změna

rel. změna

počet LD

abs. změna

rel. změna

počet AD

abs. změna

rel- změna

1775-1784

5 +1

20 %

34,9 +0,5

+1,4 %

2,5 -0,9

-36 %

1892-1901

6 35,4 1,6

1892-1901

6 +14,5

241,7 %

35,4 -17,3

-48,9 %

1,6 -1,6

-100 %

2008-2017

20,5 18,1 0

Sloupcový diagram

Zpětná vazba

Z dotazníkového šetření vyplynulo, že žáci hodnotili hodinu jako zajímavou, ocenili, že si zopakovali procenta a projevili zájem o další podobný způsob výuky, jejich vlastními slovy řečeno: „takovou hodinu bychom chtěli častěji“. Negativní reakce nebyla zaznamenána. Žáci byli hodně překvapeni, že data poskytnutá v úlohách jsou skutečná, že je autorka sama vybrala ze záznamů archívu meteorologické stanice v pražském Klementinu a že si je mohou najít a zpracovat sami. K tomu je určen navazující projekt, který je nepovinný.

Poznámka

Sledovaná desetiletá období byla zvolena záměrně po zhruba stejné době 117, resp. 116 letech, aby vývoj v počtech tropických a ledových dní bylo možno lépe srovnávat. Zde se ukázalo, že po prvních

5 6

20,5

34,9 35,4

18,1

0

5

10

15

20

25

30

35

40

1775-1784 1882-1901 2008-2017

Prů

mě

rný

po

čet

dn

ů

Období

Průměrný počet tropických a ledových dnů ve třech různých desetiletích

Tropické dny

Ledové dny

Sloupcový diagram

5

Období počet TD

abs. změna

rel. změna

počet LD

abs. změna

rel. změna

počet AD

abs. změna

rel- změna

1775-1784

5 +1

20 %

34,9 +0,5

+1,4 %

2,5 -0,9

-36 %

1892-1901

6 35,4 1,6

1892-1901

6 +14,5

241,7 %

35,4 -17,3

-48,9 %

1,6 -1,6

-100 %

2008-2017

20,5 18,1 0

Sloupcový diagram

Zpětná vazba

Z dotazníkového šetření vyplynulo, že žáci hodnotili hodinu jako zajímavou, ocenili, že si zopakovali procenta a projevili zájem o další podobný způsob výuky, jejich vlastními slovy řečeno: „takovou hodinu bychom chtěli častěji“. Negativní reakce nebyla zaznamenána. Žáci byli hodně překvapeni, že data poskytnutá v úlohách jsou skutečná, že je autorka sama vybrala ze záznamů archívu meteorologické stanice v pražském Klementinu a že si je mohou najít a zpracovat sami. K tomu je určen navazující projekt, který je nepovinný.

Poznámka

Sledovaná desetiletá období byla zvolena záměrně po zhruba stejné době 117, resp. 116 letech, aby vývoj v počtech tropických a ledových dní bylo možno lépe srovnávat. Zde se ukázalo, že po prvních

5 6

20,5

34,9 35,4

18,1

0

5

10

15

20

25

30

35

40

1775-1784 1882-1901 2008-2017

Prů

mě

rný

po

čet

dn

ů

Období

Průměrný počet tropických a ledových dnů ve třech různých desetiletích

Tropické dny

Ledové dny

Zpětná vazba

Z dotazníkového šetření vyplynulo, že žáci hodnotili hodinu jako zají-mavou, ocenili, že si zopakovali procenta a projevili zájem o další podobnýzpůsob výuky, jejich vlastními slovy řečeno: „takovou hodinu bychomchtěli častějiÿ. Negativní reakce nebyla zaznamenána. Žáci byli hodně pře-kvapeni, že data poskytnutá v úlohách jsou skutečná, že je autorka sama


vybrala ze záznamů archívu meteorologické stanice v pražském Klemen-tinu a že si je mohou najít a zpracovat sami. K tomu je určen navazujícíprojekt, který je nepovinný.

Poznámka

Sledovaná desetiletá období byla zvolena záměrně po zhruba stejné době117, resp. 116 letech, aby vývoj v počtech tropických a ledových dní bylomožno lépe srovnávat. Zde se ukázalo, že po prvních zhruba 100 letech jsouzměny malé, v dalším období je změna výrazná. Je třeba žákům vysvětlit,že více by nám o vývoji teplot na českém území řekly průměrné denníteploty, ne jen počty tropických a ledových dní, a to za celé období, nejen za tato vybraná desetiletí. Je třeba také zdůraznit, že se jedná o datasbíraná sice po dlouhou dobu, ale pouze na jednom místě (lokálně). Běhemdiskuse žáci mohou sami tyto skutečnosti odhalit, což rozvíjí tzv. kritickémyšlení.

Hodnocení

Přestože se ve zkušebních hodinách vždy jednalo o odpolední vyučování,tyto hodiny byly živé a žáci pracovali velmi aktivně. Velice pomohla úvodnímotivace, kdy si žáci uvědomili, že budou pracovat se skutečnými daty azkoumat problém, který se jich osobně dotýká.

Na závěr uvádíme ještě jeden pracovní list s názvem Kontokorent nebokreditka, tentokrát již bez rozboru a komentáře.

Kontokorent nebo kreditka

Zařazení úloh z matematické gramotnosti do běžných hodin matematikyje na jedné straně pro učitele velice náročné na přípravu a pak také každátaková hodina ukrojí z toho mála času, které na probrání povinných tématmáme. Na druhou stranu se nám ale tato námaha bohatě vyplatí. Nejenže si žáci zopakují spoustu užitečných dovedností, ale hlavně se na mate-matiku začnou dívat trochu jinak a aplikováním matematiky na konkrétnísituace ze života uvidí lépe její smysl. A třeba je pak matematika začnevíc bavit.

Další pracovní listy lze najít na adrese:https://www.gytool.cz/predmetove-komise/mat/?s=aktivity


http://mfi.upol.cz/files/28/2801/mfi_2801_030_039_p2_kontokorent_nebo_kreditka.pdf

https://www.gytool.cz/predmetove-komise/mat/?s=aktivity

L i t e r a t u r a

[1] Hejný, M. et al.: Creative Teaching in Mathematics, vyd. UK Praha, 2006.

[2] https://clanky.rvp.cz/clanek/k/z/12561/VYMEZENI-POJMU-MATEMATICKA-GRAMOTNOST.html/

[3] http://www.csicr.cz/cz/DOKUMENTY/Publikace/Ulohy-pro-rozvoj-matematicke-gramotnosti

[4] https://www.mathsisfun.com/

Zajímavé matematické úlohyUveřejňujeme další část pravidelné rubriky Zajímavé matematické úlohy

a uvádíme zadání další dvojice úloh. Řešení nových úloh 251 a 252 mů-žete zaslat nejpozději do 20. 5. 2019 na adresu: Redakce časopisu MFI,17. listopadu 12, 771 46 Olomouc nebo také elektronickou cestou (pouzevšak v TEXovských verzích, příp. v MS Wordu) na emailovou adresu:[email protected].

Úloha 251Je dán čtyřúhelník ABCD. Označme P , Q po řadě paty výšek z vr-

cholů C, D na stranu AB. Předpokládejme, že body P , Q leží na úsečceAB a platí |PQ| = 1

2 |AB|. Dokažte, že |DA|+ |AB|+ |BC| > |AC|+ |BD|.Josef Tkadlec

Úloha 252Určete všechny dvojice (a, b) reálných čísel, pro něž mají rovnice

x3 + ax2 + bx+ 1 = 0,

x3 + bx2 + ax+ 1 = 0,

právě jeden společný kořen. Jaroslav Švrček

Dále uvádíme řešení úloh 247 a 248, jejichž zadání jsme zveřejnili ve čtvr-tém čísle loňského (27.) ročníku našeho časopisu.


https://clanky.rvp.cz/clanek/k/z/12561/VYMEZENI-POJMU-MATEMATICKA-GRAMOTNOST.html/

https://clanky.rvp.cz/clanek/k/z/12561/VYMEZENI-POJMU-MATEMATICKA-GRAMOTNOST.html/

http://www.csicr.cz/cz/DOKUMENTY/Publikace/Ulohy-pro-rozvoj-matematicke-gramotnosti

http://www.csicr.cz/cz/DOKUMENTY/Publikace/Ulohy-pro-rozvoj-matematicke-gramotnosti

https://www.mathsisfun.com/

[email protected]

Úloha 247Kolik tupoúhlých trojúhelníků má všechny své vrcholy ve vrcholech

daného pravidelného 26úhelníku. Jacek Uryga

Řešení. Počet všech trojúhelníků, jejichž vrcholy leží ve vrcholech pravi-delného 26úhelníku je (

263

)= 2 600.

Nyní určíme, kolik z nich je pravoúhlých. Vrcholy pravidelného 26úhelníkuleží na kružnici jemu opsané. Podle Thaletovy věty je přepona takovéhotrojúhelníku průměrem této kružnice. Ke každé z 1

2 · 26 = 13 možnýchpřepon existuje 26 − 2 = 24 zbývajících vrcholů, které s krajními bodydané přepony tvoří pravoúhlý trojúhelník, pravoúhlých trojúhelníků takje 24 · 13 = 312. Zbývajících

2 600− 312 = 2 288

trojúhelníků je tedy buď ostroúhlých, nebo tupoúhlých.

T

T1

T2

T3

Nyní uvažujme ostroúhlý trojúhelník T , jehož vrcholy leží ve vrcholechpravidelného 26úhelníku. Bod souměrně sdružený s jedním jeho vrcholempodle středu tohoto mnohoúhelníku bude se zbývajícími dvěma vrcholytrojúhelníku T určovat tupoúhlý trojúhelník. Každému ostroúhlému troj-úhelníku tak odpovídají tři tupoúhlé trojúhelníky (T1, T2 a T3 na obrázku).Naopak, každému tupoúhlému trojúhelníku podobně odpovídá jeden ost-roúhlý trojúhelník. Počet tupoúhlých trojúhelníků je tak třikrát větší nežpočet ostroúhlých trojúhelníků a je proto roven

34 · 2 288 = 1 716.


Správná řešení zaslali Karol Gajdoš z Trnavy, Anton Hnáth z Moravan,Jozef Mészáros z Jelky, Martin Raszyk z ETH Zürich a Vojtěch Davidz WG v Ostravě-Porubě, Matěj Doležálek z G v Humpolci, Karel Chwistekz MG v Opavě, Dalibor Kramář z G v Brně-Řečkovicích,

Adam Křivka z CMGaSOPŠ v Brně, Tomáš Křižák z GMK v Bílovci,Karolína Kučerová z G v Českém Krumlově, Tomáš Sourada z G v Žam-berku a Petr Zahradník z GaSOŠDVŠ v Ústí nad Labem.

Neúplné řešení zaslala Lucie Kundratová z GaJŠ ve Zlíně,

Úloha 248Sestrojte trojúhelník ABC, je-li (při obvyklém označení délek jeho stran

a velikostí vnitřních úhlů) dáno: α, a+ b, a+ c. Jaroslav Švrček

Řešení podle J. Mészárose a K. Gajdoše. Nejprve sestrojme trojúhelníkAB′C ′, kde |AB′| = a+b, |AC ′| = a+c a |B′AC ′| = α. Označme N středkružnice vně připsané straně BC trojúhelníku ABC, Ua je dotykový bodtéto kružnice se stranou BC a Ub, Uc po řadě dotykové body této kružnices prodlouženími stran AC, AB. Bod N je průsečíkem osy vnitřního úhlupři vrcholu A a os vnějších úhlů při vrcholech B a C v trojúhelníku ABC,viz např obr. 1. Dále platí a = |BC| = |BC ′| = |CB′| a podle věty suso shodnosti trojúhelníků tak máme

4B′CN ' 4BCN ' 4BC ′N. (1)

Paty výšek z vrcholu N ke stranám BC, B′C a BC ′ (body Ua, Ub a Uc) dělítyto strany vždy na dva shodné úseky, tj. platí |B′Ub| = |BUa| = |BUc| ataké |CUb| = |CUa| = |C ′Uc|. Odtud plyne

ε = |B′NUb| = |UaNB| = |UcNB|

a také

ϕ = |CNUb| = |CNUa| = |UcNC ′|.

Vzhledem k tomu, že čtyřúhelník AUcNUb je tětivový, platí 2(ε + ϕ) == 180 − α, a tedy ε+ ϕ = 90 − 12α.

Je-li α < 60, je N vnitřním bodem trojúhelníku AB′C ′ a jeho stranuB′C ′ vidíme z bodu N pod úhlem 360 − 3(ε+ ϕ) = 90 + 3

2α (obr. 1).


αA B

C

B′

C ′Uc

Ub

UaN

c

b

a

a

a

Obr. 1

Je-li α = 60, je bod N vnitřním bodem strany B′C ′ (obr. 2).

αA B

C

B′

C ′Uc

Ub

Ua

N

c

b

a

a

a

Obr. 2

Je-li α > 60, je N vnějším bodem trojúhelníku AB′C ′ a jeho stranuB′C ′ vidíme z tohoto bodu pod úhlem 3(ε+ ϕ) = 270 − 32α (obr. 3).

αA B

C

B′

C ′Uc

Ub

Ua

N

c

b

a

a

a

Obr. 3


Odtud již plyne konstrukce trojúhelníku ABC: Sestrojíme středN kruž-nice vně připsané straně BC hledaného trojúhelníku ABC jako průsečíkkružnicového oblouku (popř. přímo strany B′C ′, je-li α = 60), z jehožkaždého bodu vidíme úsečku B′C ′ pod výše uvedeným úhlem (rozlišímepřípady, kdy α < 60, α = 60 a α > 60). K sestrojení bodů B a C pořadě uvnitř stran AC ′ a AB′ využijeme např. shodnosti trojúhelníků (1),z nichž plyne |NB| = |NB′| a |NC| = |NC ′|.

Úloha má vždy právě 1 řešení.

Jiné řešení (podle R. Olšáka). Na polopřímkách AB a AC sestrojme pořadě body C ′ a B′ tak, že platí |AC ′| = a+ c a |AB′| = a+ b. Uvažujmestřed S oblouku BAC kružnice opsané trojúhelníku ABC. Podle věty oobvodovém úhlu jsou úhly ABS a ACS shodné, tedy jsou shodné i úhlyC ′BS a B′CS. Z rovností |SB| = |SC| a |BC ′| = |BC| = |B′C|(= a)plyne, že trojúhelníky BC ′S a CB′S jsou shodné podle věty sus, tedy

|SC ′| = |SB′|.

Navíc ze shodnosti úhlů BSC ′ a CSB′ plyne, že

|C ′SB′| = |BSC| = |BAC| = α.

Tedy bod S je také středem oblouku C ′AB′ kružnice opsané trojúhelníkuAB′C ′.

ααA

BC

B′

C ′

S

a

a

a

Obr. 4


Dále z rovnosti |BC| = |B′C| a z podobnosti trojúhelníků BSC a C ′SB′

plyne|B′C||C ′B′|

=|BC||C ′B′|

=|SB||SC ′|

=|SC||SC ′|

,

tedy|B′C||SC|

=|B′C ′||SC ′|

.

Body C ′ a C tak mají stejný poměr vzdáleností od bodů B′ a S, ležíproto na téže Apolloniově kružnici vzhledem k bodům B′ a S (v případěα = 60 se jedná o přímku). Takovou kružnici již umíme sestrojit, jejímprůměrem (α 6= 60) je průsečík os vnitřního a vnějšího úhlu u vrcholu C ′

trojúhelníku B′C ′S s přímkou B′S.Odtud již plyne konstrukce. Sestrojíme trojúhelník AB′C ′ a střed S

oblouku C ′AB′ kružnice jemu opsané. Dále sestrojíme příslušnou Apollo-niovu kružnici a její průsečík s úsečkou AB′ je hledaný bod C.

Správná řešení zaslali Karol Gajdoš z Trnavy, Jozef Mészáros z Jelkya Radek Olšák z Mensa G v Praze 6.

Po uzávěrce minulého čísla ještě redakce obdržela správná řešení úloh245 a 246 od Martina Raszyka z ETH Zürich.

Pavel Calábek


FYZIKA

Využití mezipředmětovýchvztahů k motivaci žákůRENATA HOLUBOVÁ

Přírodovědecká fakulta UP, Olomouc

Děti narozené po roce 1994 jsou zařazeny do tzv. generace Z. Zájemo studium technických oborů u žáků generace Z je velmi malý. Modernítechnologie jsou pro ně prostředkem, jak vstoupit do svého virtuálníhosvěta a komunikovat s přáteli. Škola řeší problém, jak překlenout propastmezi tím, co by měli žáci zvládnout podle jednotlivých studijních pro-gramů, a tím, jak učí naši učitelé a jaké metody používají. Otázkou je, jakžáky motivovat a jak změnit postupy výuky v dnešní škole. Jednou z cest,která se ve školní praxi ukázala jako úspěšná, je využití mezipředmětovýchvztahů v rámci projektů, které ukazují vzájemný vztah techniky, přírodo-vědných předmětů a každodenního života. Námět na aplikaci vybranýchtémat učiva fyziky v praktickém životě uvádíme v tomto příspěvku.

Téma aerodynamika (profil křídla letadla, vztlak, fyzika letu,letadla)

Letadlo je létající dopravní prostředek. Podle normy ČSN 310001 jeletadlo: Zařízení způsobilé létat v atmosféře nezávisle na zemském povrchu,nést na palubě osoby nebo jiný náklad, je schopné bezpečného vzletu apřistání a je alespoň částečně řiditelné.

Rozdělení letadel

Podle způsobu vzniku vztlaku:• lehčí než vzduch (aerostaty)– bezmotorové (balón), motorové (vzducholoď);


• těžší než vzduch (aerodyny)– bezmotorové – s nepohyblivými nosnými plochami (rogalo, padák,

kluzák), s rotujícími nosnými plochami (rotorový kluzák),– motorové – bez nosných ploch (raketa), s nepohyblivými nosnými

plochami (letoun), s rotujícími nosnými plochami (vrtulník), s kom-binovanými nosnými plochami (konvertoplán), s mávajícími nosnýmiplochami (ornitoptéra), s prstencovými nosnými plochami (koleop-téra).

Podle účelu: civilní, vojenské, speciální (spojovací letadlo, sanitní letadlo,výsadkové letadlo)

Obr. 1 Konvertoplán a koleoptéra

Historie

První létající stroje využívaly jako pohon pouze sílu lidských svalů.Leonardo da Vinci nakreslil první plány létajících strojů. Vít Fučík (zvanýKudlička) v letech 1760–1795 sestrojil letadlo s mávavými křídly (bylynadlehčovány měchy naplněnými bahenním plynem) a později s pevnýmkřídlem (předchůdce rogala).

První letoun schopný řízeného letu vynalezli a zkonstruovali bratři Or-wille a Wilbur Wrigtové 17. prosince 1903 v Severní Karolíně. LetounWright Flyer byl postaven ze dřeva a látky, konstrukce byla vyztuženadráty, byl vybaven dvěma tlačnými vrtulemi a poháněn motorem o výkonu9 kW. První vzlet letadla v Československu je datován v dubnu 1910.

Největší rozmach letecké dopravy nastal až po první světové válce, kdyv Evropě začaly vznikat letecké společnosti. Nejstarší je KLM (1920), ČSA(1923), letadla výrobců Airbus a Boening (střední a dálkové lety), ATR aFokker (krátké a střední lety).


Letecká doprava

Výhody: rychlost a spolehlivost, frekvence spojů, dobře předvídatelnéčasy přeprav (přílety a odlety), nízké náklady na balení u přepravy na delšívzdálenosti, minimální vlivy počasí.

Nevýhody: náklady na přepravu, omezenost zásilek, při přepravě nakrátké vzdálenosti je výhoda rychlosti relativní, znehodnocení přepravníchčasů pomalými navazujícími operacemi, které mohou dosáhnout i 90 %podílu (celní odbavení, překládka).

Odmrazování letadel (fázové přeměny, infračervené záření)

I sebemenší námraza může ovlivnit profil křídla, a tím i letové vlast-nosti letadel. S námrazou na letadlech se v našich podmínkách setkávámenejčastěji v zimních měsících (říjen až duben, kdy venkovní teploty klesajík nule). Námraza vzniká přibližně od +3 C níže. Vznik závisí kromě tep-loty i na vlhkosti či hustotě vzduchu a při letu i na rychlosti letu. Námrazumůže způsobit podchlazené palivo i v letních měsících!

Podle rychlosti vzniku námrazy rozeznáváme:

• slabá (do 0,6 mm za 1 minutu)

• mírná (od 0,7 mm do 1 mm za 1 minutu)

• silná (od 1,1 mm do 2 mm za 1 minutu)

• velmi silná (od 2,1 mm za 1 minutu)

Intenzitu námrazy lze vyjádřit pomocí vztahu

I = 10−2δv,

kde δ vyjadřuje „vodní obsahÿ oblaku v g/m3, v je rychlost letounu v km/h,I je intenzita v mm/min.

Dělení námrazy podle charakteru: jíní; jinovatka; bílý zrnitý led (přiletu v oblacích s kapkami do 10 mikrometrů, většinou samovolně opadá);průhledný led (přechlazená vodní pára při mrholení v zimě, vede ke zvy-šování hmotnosti a změně těžiště. Nejnebezpečnější je matný led, kterývzniká z vodních kapek a krystalků ledu hlavně na náběžných hranáchletounu.

Vznik námrazy na letadlech je dán tepelnými poměry ve vrstvě vzduchupřiléhající k obtékanému povrchu a v samotném tělese. Rychlým proudě-ním vzduchu kolem tělesa se plášť zahřívá u náběžné hrany, převládá adi-abatické oteplování vzduchu. Za náběžnou hranou se uplatňuje především


vliv tření vzduchu o obtékaný povrch. Zvýšení teploty ∆t v přiléhajícímezní vrstvě vzduchu se dá vyjádřit vztahem

∆t = 3,87 · 10−5v2kγ,

kde v je rychlost letu v km/h, k je součinitel vystihující tvar tělesa (u ná-běžných hran k = 1), γ je vertikální nasyceně adiabatický gradient tep-loty [2].

Při obtékání vzduchu kolem letounu se mění teplota aerodynamickýchploch také vlivem tření (kinetický ohřev) a vlivem stlačování proudu vzdu-chu před letounem (dynamický ohřev). Při kinetickém ohřevu platí prozvýšení teploty ∆t ploch vztah

∆t =v2

2 000.

Např. při rychlosti 100 km/h je změna teploty 0,4C, při rychlosti 800 km/hje to již 24,6 C.

Obr. 2 Námraza

Pro odmrazování se používají dvě kapaliny. První kapalina (tzv. de--icing) má za úkol rozpuštění ledu a odstranění případného nánosu sněhu,ředí se horkou vodou o teplotě kolem 75 C. Poměr složení směsi závisína okolní teplotě. Nevýhodou je její krátká účinnost (10–15 min). Druhákapalina (tzv. anti-icing) má účinnost až 45 minut. Má protinámrazovéúčinky, vytvoří na povrchu křídla film, který nedovolí dalšímu tvoření ná-mrazy. Odmrazování letounu zabere 5–7 min, spotřeba kapaliny je 200 l(extrém 700 l).

Kromě dalších možností odmrazování (elektrická ochrana – energetickynáročná, na malých plochách, pneumatická ochrana – pro odstranění již


vzniklé námrazy, na náběžných hranách se umisťují pryžové pásy) se jakozajímavé z hlediska fyziky jeví využití infračerveného záření. Pomocí in-fračerveného zářiče se ohřívá plášť letadla. Vlnová délka záření, a tím ijeho energie, závisí na teplotě zdroje. Čím vyšší je teplota, tím kratší jevlnová délka záření. Záření je pohlceno ledem, aniž by došlo ke zvýšeníteploty pláště letadla nebo paliva. Primární zdroj je zahříván na teplotuvyšší než 1 000 C, účinnost využití energie je 75 %. Vlnová délka zářeníje potom kontrolována sekundárním zářičem. Výhodou je, že nedocházík ohřevu okolního vzduchu, navíc rozmístění zářičů umožňuje kopírovattvar letadla. Nevýhodou je to, že po odmrazení není letadlo chráněno předdalší námrazou. Je proto třeba tuto metodu kombinovat s použitím vhodnékapaliny (v mnohem menším množství) pro zajištění ochrany letounu.

Obr. 3 Odmrazování

Při námraze není nebezpečná ani tak samotná hmotnost ledu, ale změnaaerodynamických vlastností letadla. Vrstva ledu o tloušťce 0,1 mm na kří-dlech letadla sníží vztlak až o 30 % a odpor se zvýší až o 40 %. Dalšínebezpečí představují vibrace, změna těžiště, pokles rychlosti.

Úkol : Odhadněte, jaká je hmotnost námrazy o tloušťce 1 mm, kterápokryla letadlo? (hustota ledu 916,7 kg/m3)

Infračervené záření, záření absolutně černého tělesa

Základní učivo: elektromagnetické spektrum, infračervené záření, ter-mografie jako měřicí metoda, která umožňuje graficky zobrazit teplotuzkoumaného objektu. Infračervené záření je emitováno všemi tělesy, jejichžteplota je vyšší než 0 K. Vztahy, které termografie využívá, jsou součástístředoškolského vzdělávacího programu:


Planckův zákon – závislost spektrální intenzity vyzařování Hλ povrchučerného tělesa o termodynamické teplotě T na této teplotě a vlnové délce λ:

Hλ =1λ5

2phc2

ehcλkT − 1

,

kde je k Boltzmannova konstanta, h Planckova konstanta, c rychlost světlaa λ vlnová délka záření.

Wienův posunovací zákon – maximum spektrální intenzity vyzařováníse s rostoucí teplotou T posouvá ke kratším vlnovým délkám. Vlnová délkaλmax záření s maximální intenzitou

λmax =b

T,

kde b = 2,898 · 10−3 m ·K.

Stefanův–Boltzmannův zákon – intenzita vyzařování černého tělesa jeúměrná čtvrté mocnině termodynamické teploty. V reálné situaci nepra-cujeme s absolutně černým tělesem, ale s tělesem reálným, kde je potřebapočítat s emisivitou ε materiálu tělesa. To je poměr intenzity vyzařovánípovrchu tělesa k intenzitě vyzařování absolutně černého tělesa, jehož emi-sivita ε0 = 1. Vztah zapisujeme ve tvaru

Me = εσT 4,

kde σ je Stefanova–Boltzmannova konstanta (σ = 5,670·10−8W·m−2·K−4).Termogram – je výstupem termovizní kamery v infračervené oblasti vl-

nových délek. Protože je infračervené záření pro oko neviditelné, jsou ob-rázky z kamery převáděny do viditelné oblasti pomocí různých barevnýchpalet. Každé barvě je potom přiřazena určitá teplota. Nejčastěji používanépalety jsou polární, železo, duha.

Obr. 4 Barevné palety


Pomocí termogramu je možné diskutovat řadu jevů z různých oblastífyziky: transport tepla, tepelná vodivost – kulinářská fyzika (porovnáníprůběhu ohřevu vody na různých typech vařičů, tání ledu ve vodě o různéhustotě – environmentální fyzika a tání ledovců), závady v solárních pa-nelech – porovnání reálného snímku a termogramu (environmentální fy-zika – extrémně zahřívané plošky v solárním panelu mohou vést až k jehopožáru), prokrvení ušního boltce – lékařství, kriminalistika.

Obr. 5 Termogram ušního boltce

Obr. 6 Tání ledu, ohřev vody na plynovém vařiči a indukční varné desce

Obr. 7 Klasická fotografie a termogram solárních panelů


Vyzařování mobilních telefonů – SAR

Všechna mobilní zařízení emitují ne-ionizující elektromagnetické zářenív oblasti rádiových vln (bluetooth, wifi, mobilní telefony) a velmi nízkýchfrekvencí (emitované hardwarem telefonu). V České republice vysílají mo-bilní operátoři na frekvencích 800 MHz, 1 800 MHz a 2 600 MHz ve vy-sokorychlostní síti LTE (Long Term Evolution). Protože telefony držímev blízkosti našeho těla, dochází k absorpci elektromagnetického záření.Zdravotní rizika souvisí zejména s tepelným působením pohlceného zá-ření.

Množství záření, které je hmotou absorbováno, se vyjadřuje pomocíčísla SAR (z anglického Specific Absorption Rate). Číslo vyjadřuje vý-kon elektromagnetického záření, které absorbuje hmota s definovanýmivlastnostmi (vztahuje se k jednotce hmotnosti). Pohlcené záření se v látcepřeměňuje na teplo.

Pokud jde o mobilní telefony (smartphony), pak se SAR hodnotí pře-devším kvůli průniku záření do lidské mozkové tkáně. Při porovnávánímobilních telefonů podle SAR je třeba dát pozor na to, že v různých čás-tech světa je uváděná hodnota SAR vztahována k různým hmotnostnímjednotkám.

Existují hodnoty SAR, které nesmí žádný mobilní telefon překročit.V Evropě je limitní hodnotou 2,0 W/kg v deseti gramech tkáně pro hlavu atrup (končetiny 4 W/kg). V USA a v Austrálii jsou hodnoty SAR vztaženyna 1 gram tkáně. Hodnoty SAR se vztahují k frekvenční oblasti 10 MHzaž 10 GHz, do které spadají i frekvence systému GSM. V jiných pásmechmohou být povolené limity jiné.

Vzorec pro výpočet hodnoty SAR lze psát jako

SAR =σE2

ρ,

kde σ (S·m−1) je elektrická měrná vodivost tkáně, E (V·m−1) je intenzitaelektrického pole, ρ (kg ·m−3) je objemová hustota tkáně. Hodnota SARtak představuje výkon absorbovaný na 1 kg tkáně, jednotka W · kg−1.

Hraniční hodnoty pro SAR lze odvodit jednoduchou úvahou. Lidskétělo lze modelovat jako 100 wattový zdroj tepla, povrch těla je asi 1 m2,z podmínky rovnováhy absorbovaného a vyzařovaného výkonu dostávámehledanou hodnotu. Pro SAR byla dohodou stanovena desetina této úrovněpro pracovníky s elektromagnetickým zářením, pro běžného uživatele jenorma přísnější.


Obr. 8 Záření smartphonů ve wattech na kilogram (***dual SIM) (Forbes Sta-tistica)

Měření SAR je realizováno pomocí modelů – lidská hlava je předsta-vována koulí, která je vyplněna tekutinou s elektrickými vlastnostmi jakomá lidská tkáň. Ke kouli se v daném místě přikládá zkoumané zařízení,speciálními sondami je snímána intenzita elektromagnetického pole.

Obr. 9 Měření SAR

Ve školní laboratoři lze lidskou hlavu simulovat nafukovacím balónkemo dané velikosti, který naplníme kapalinou požadovaných vlastností – vodao teplotě 37 C, rozpuštěné soli, které zaručí vlastnosti podobné lidské


tkáni. Místo speciální sondy lze použít termokameru a pomocí termogramuzkoumat změny teploty v místě kontaktu mobilního zařízení s povrchemmodelu.

Závěr

Uvedený příspěvek zahrnuje poznatky z různých oborů fyziky, využívámezipředmětové vztahy (historie, chemie, environmentální problematika),ukazuje na aplikaci fyziky v každodenním životě.

I když např. téma využití termokamery ve výuce fyziky bylo zpraco-váno mnoha autory (viz příspěvky na Veletrhu nápadů učitelů fyziky čisemináři ve Vlachovicích), považujeme za vhodné upozorňovat na možnévyužití moderní techniky ve výuce fyziky. Také vzhledem k tomu, že ter-mokamery se stávají dostupnějšími a lze je pořídit jako součást mobilníchtelefonů (CAT S60), bude možné jejich širší využití ve výuce přírodověd-ných předmětů.

L i t e r a t u r a

[1] Frňková, Z.: Využití termokamery ve výuce fyziky. Bakalářská práce, Uni-verzita Palackého, Olomouc, 2013. https://theses.cz/id/gfd4th

[2] Pechala, F., Bednář, J.: Příručka dynamické meteorologie. Academia,Praha, 1991.

[3] http://www.aeroweb.cz/clanek.asp?ID=2215&kategorie=3)

[4] http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/130-zaklady-fyziky-letu

[5] Internetové zdroje:http://fyzweb.cz/materialy/vlachovice/2013/materialy/tesar/c-tesar-termokamera_ve_fyzice.pdf

https://www.forbes.com/sites/niallmccarthy/2018/03/01/which-smartphones-emit-the-most-radiation-infographic/#61dec5b81b04

https://mobil.idnes.cz/prehled-zareni-sar-0n3-/mob_tech.aspx?c=A151009_155202_mob_tech_oma

https://www.davidwolfe.com/cell-phones-highest-lowest-radiation/

https://www.mobilmania.cz/clanky/mobilni-zahady-tajemny-udaj-sar/sc-3-a-1116722/default.aspx

https://www.mobilmania.cz/clanky/sar-jak-nam-mobily-zari-do-hlavy/sc-3-a-1120169/default.aspx


https://theses.cz/id/gfd4th

http://www.aeroweb.cz/clanek.asp?ID=2215&kategorie=3)

http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/130-zaklady-fyziky-letu

http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/130-zaklady-fyziky-letu

http://fyzweb.cz/materialy/vlachovice/2013/materialy/tesar/c-tesar-termokamera_ve_fyzice.pdf

http://fyzweb.cz/materialy/vlachovice/2013/materialy/tesar/c-tesar-termokamera_ve_fyzice.pdf





https://www.davidwolfe.com/cell-phones-highest-lowest-radiation/





Z d r o j e v y o b r a z e n í

Obr. 1: https://21stoleti.cz/2006/05/19/letadlo-nebo-helikoptera/

http://letectviletadla.blog.cz/1308/deleni-letadel

Obr. 2: http://www.aeroweb.cz/clanek.asp?ID=2215&kategorie=3

Obr. 3: http://www.aeroweb.cz/clanek.asp?ID=2215&kategorie=3

Obr. 7: http://www.elektroprumysl.cz/merici-technika/fotovoltaicke-moduly-a-instalace-fotovoltaickych-elektraren-pod-kontrolou-termokamer

Obr. 9: https://www.mobilmania.cz/clanky/sar-jak-nam-mobily-zari-do-hlavy/sc-3-a-1120169/default.aspx

Udělejte si sami:jednoduché aplikace polovodičů(nejen) pro ZŠLEOŠ DVOŘÁK – ZDEŇKA KAMARÁDOVÁ

MFF UK, Praha – ZŠ a MŠ Ústavní, Praha

Polovodiče jsou důležitým prvkem moderních technologií a jako takovémají ve výuce fyziky na školách jednoznačně své místo. Svědčí o tom iřada článků v MFI v uplynulých více než dvaceti letech [1–13]. Na dru-hou stranu, většina těchto článků byla publikována již před zhruba dvěmadesítkami let; v dalším období se zde s nimi setkáváme spíše ojediněle.

Že je tato problematika stále aktuální, dokládá nedávný článek [1]. Vy-tipoval a prezentoval řadu obvodů, zejména s tranzistory (ale i s integro-vanými obvody), a uvedl množství odkazů převážně na internetové zdroje.Díky šíři záběru však již neměl prostor věnovat se podrobněji tomu, jakdané obvody konstruovat, a neuvedl také konkrétní zkušenosti, jak si jeučitelé vyrábějí a jak je používají ve výuce.

Náš příspěvek je k článku [1] v jistém smyslu komplementární. Sou-středíme se na velmi jednoduché obvody se svítivými diodami a jedním


https://21stoleti.cz/2006/05/19/letadlo-nebo-helikoptera/

http://letectviletadla.blog.cz/1308/deleni-letadel

http://www.aeroweb.cz/clanek.asp?ID=2215&kategorie=3

http://www.aeroweb.cz/clanek.asp?ID=2215&kategorie=3

http://www.elektroprumysl.cz/merici-technika/fotovoltaicke-moduly-a-instalace-fotovoltaickych-elektraren-pod-kontrolou-termokamer

http://www.elektroprumysl.cz/merici-technika/fotovoltaicke-moduly-a-instalace-fotovoltaickych-elektraren-pod-kontrolou-termokamer



tranzistorem a ukážeme, jak je lze realizovat tak, aby byly pro žáky conejnázornější. (Leccos může zájemce najít v publikaci [14], zde však při-dáme některé další detaily či úpravy obvodů.) Popíšeme také zkušenostis tím, když si dané obvody učitelé sami vyrábějí, a okomentujeme kon-krétní možnosti jejich využití ve výuce fyziky.

Dále popsané obvody si v různých variantách vyrobilo od roku 2008 jižvíce než sto padesát učitelů fyziky na seminářích projektu Heuréka [15].Krátký průzkum v roce 2015, v němž odpovědělo třicet učitelů, ukázal, žedevadesát procent z nich použilo tyto vyrobené pomůcky ve výuce, 37 % sivyrábělo další exempláře a 43 % nechalo tyto konstrukce vyrábět své žáky(blíže viz [16]). Tyto a podobné konstrukce se dnes šíří i prostřednictvímregionálních center Elixíru do škol [17]. Zkušenost ale ukazuje, že stáleještě zbývá hodně učitelů fyziky, kteří se s nimi nesetkali. Pokud tentočlánek ukáže některým dalším zájemcům, jak jednoduché může být začítsi s polovodičovými prvky „hrátÿ a názorně ukazovat jejich chování vevýuce, pak splní svůj účel.

Dvě LED a rezistor

Používat svítivou diodu (tedy LED, slangově „ledkuÿ) místo běžné maléžárovičky bude zřejmě čím dál běžnější i v pokusech uvádějících žáky doelektrických obvodů. Drobným problémem může být skutečnost, že LEDvede proud jen jedním směrem. Pro řadu pokusů je tedy vhodné použítvelmi jednoduché zapojení se dvěma LED zapojenými antiparalelně (tedy„vedle sebe, ale obráceněÿ), jak to ukazuje obr. 1.

Obr. 1 Jednoduchá pomůcka se dvěma antiparalelně zapojenými LED (pronapájení z baterie 4,5 V nebo méně)


Fotografie ukazuje i jednoduchý způsob, jak danou konstrukci praktickyrealizovat: do destičky z měkkého dřeva zatlouci malé mosazné hřebíčky(dají se sehnat ve větších železářstvích) a k nim součástky připájet. Zkuše-nost ukázala, že po několika pokusech zvládli pájení na hřebíčky účastnícii účastnice seminářů, kteří říkali, že snad páječku nikdy nedrželi v ruce.

Svítivé diody mohou být o průměru 5 nebo 10 mm, při demonstracíchjsou samozřejmě lépe vidět větší LED. Dají se běžně sehnat v prodejnáchelektronických součástek v cenách kus za několik korun. (Nabídka typůse ovšem dost mění, proto neuvádíme konkrétní označení. Je vhodné volittypy s vyšší svítivostí.) Rezistory stačí miniaturní, na nejmenší výkonovézatížení Do dalších obvodů připojujeme pomůcku pomocí vodičů a kro-kosvorek (případně vodiči s krokosvorkami, viz [14]).

Pro zájemce: trocha úvah o vhodné hodnotě odporuPodstatné je, že do série k LED je zapojen rezistor omezující proud.

Pokud žáci už znají Ohmův zákon, lze daný obvod využít k diskusi, jakvelký má mít tento rezistor odpor. Na svítivé diodě je napětí cca 2 V až3 V (na červené o něco méně než 2 V, na zelené přes 2 V, na modré kolem3 V). Připojíme-li náš obvod k ploché baterii o napětí 4,5 V, musí tedy narezistoru být (teče-li proud červenou LED) asi 2,5 V. Někdy se v hantýrceříká, že rezistor „srazíÿ napětí ze 4,5 V o 2,5 V, tedy na 2 V. Hodnotuproudu, který má protékat malými LED, udávají výrobci většinou 20 mA.Odtud R = U/I = 2,5 V/0,02 A = 125 Ω. Hodnota 120 Ω uvedená veschématu znamená, že červenou LED poteče z „čerstvéÿ ploché baterietrochu více než 20 mA (což vydrží), naopak modrou LED poteče méně,cca 12 mA, ale i při tomto proudu svítí dostatečně.

V naší jednoduché konstrukci si tedy pro omezení proudu vystačímes jediným rezistorem a nemusíme používat například složitější zapojenís tranzistorem, Zenerovou diodou a dalšími rezistory uvedené např. v [5].Ovšem pozor! Pokud budeme chtít naši pomůcku připojit k baterii 9 V,musí být odpor rezistoru vyšší! Laskavý čtenář si jistě sám spočte, ževyhoví rezistor o odporu 330 Ω. Nebo, chcete-li ledku více šetřit, 390 Ω.Můžete také k zapojení na obr. 1 přidat do série rezistor o odporu 220 Ωa budete mít zapojení pro obě napájecí napětí (obr. 2).

Zkušenější čtenáři si teď nepochybně říkají, proč zde „rozpitvávámeÿtak jednoduché a samozřejmé věci. Ovšem jde nám o to, že takto krokza krokem můžeme problematiku připojování LED k baterii diskutovat ise žáky. Minimálně proto, aby nepřipojovali LED k baterii rovnou, bezsériového rezistoru! Jistě, některé LED to vydrží, alespoň chvíli, ale ně-


které se přehřejí a přestanou svítit. A u některých, dle naší zkušenostizejména u miniaturních typů o průměru 3 mm, může s poměrně hlasitýmprásknutím odletět kus jejich plastové čepičky. Takže pozor i na oči!

Pro podrobnější rozbor mluví ještě jeden důvod: Abychom my ani našižáci nebyli „otroky hodnotÿ, které vidíme někde ve schématu. Jistě, stačiloby autoritativně konstatovat „pro baterii 4,5 V použijte odpor 120 Ω, pro9 V baterii 330 Ωÿ. Ale fyzika není o bezmyšlenkovitém přebírání hodnotuvedených ve schématu. A navíc, co když naše baterie bude mít 6 V nebo12 V? Na jaké úrovni a s jakými žáky hodnotu odporu blíže diskutovatsamozřejmě závisí na řadě konkrétních okolností, ale minimálně my samibychom měli mít v dané problematice jasno.

Obr. 2 Pomůcka z obr. 1 doplněná o další rezistor pro napájení napětím 9 V

K uvedenému odvozování hodnoty odporu je možná vhodné zdůraznitještě jednu věc: Ohmův zákon zde používáme pro napětí a proud na re-zistoru, nikoli pro LED! Pro svítivou diodu Ohmův zákon neplatí, ta jeprvkem výrazně nelineárním. (Opět trochu slangově můžeme říci, že LEDse „snaží držetÿ na sobě téměř konstantní napětí v poměrně širokém roz-mezí hodnot proudu.)

K čemu lze pomůcku využít

První pomůcku tedy máme hotovou. K čemu a jak ji využijeme? Mož-ností je řada, například:

• Indikátor polarity napětí a rozlišení stejnosměrného a střídavého na-pětí.

• Demonstrace, že střídavé napětí opravdu střídá polaritu.


• Indikátor proudu (včetně směru proudu a rozlišení stejnosměrnéhoa střídavého proudu, podle jasu LED můžeme alespoň kvalitativněusuzovat i na velikost proudu).

• Demonstrace nabíjení a vybíjení kondenzátorů.

• Demonstrace napětí indukovaného v cívce.

Samozřejmě, naše pomůcka má řadu omezení. Nemůže indikovat napětínižší než asi 1,7 V, proud zvládá jen do zmíněných 20 mA, při demonstracinabíjení a vybíjení kondenzátoru je potřeba mít kondenzátor o kapacitěminimálně mikrofaradů či desítek mF (jinak je bliknutí diody téměř nepo-střehnutelné) apod. Přesto jde o pomůcku užitečnou.

Jedna z výše zmíněných možností možná není na první pohled srozu-mitelná. Jak pomocí naší dvojice LED demonstrovat, že střídavé napětíopravdu střídá polaritu? Když pomůcku připojíme ke střídavému napětídejme tomu 4 až 5 V o frekvenci 50 Hz (získanému transformací ze sítě),svítí obě LED. Když pomůckou, připojenou pomocí delších vodičů, rychlepohybujeme sem a tam, vidíme díky setrvačnosti oka střídavé proužkyjedné a druhé barvy (obr. 3).

Obr. 3 Demonstrace, že ve střídavém napětí se polarita opravdu střídá

V tomto pokusu lze s případnými zájemci jít i trochu „do hloubkyÿ, dovětších podrobností. Například je-li střídavé napětí jen 3 V nebo o něconižší, vidíme mezi proužky barev mezeru, při napětí dejme tomu 5 V avyšším (zde se hodí pomůcka z obr. 2, abychom nepřetížili diody) mezeraprakticky zmizí. Proč tomu tak je, může být drobnou problémovou úlohou.

Jednoduchá zkoušečka

Doplníme-li naše zapojení baterií, získáme velice jednoduchou, ale uži-tečnou zkoušečku. Ve verzi s plochou baterií si ji učitelé vyráběli již nadílně [18]; verzi s malou 9 V baterií ukazuje obr. 4.


Mezi svorkami A a C funguje zkoušečka stejně jako výše uvedená za-pojení, takže může sloužit třeba jako zkoušečka polarity baterií o napětí3 V až 9 V. Mezi svorkami A a B ji můžeme využít na:

• zkoušení vodivého spojení (až do odporu desítek kiloohmů),

• zkoušení LED,

• zjišťování polarity diod a přechodů tranzistorů.

Obr. 4 Jednoduchá zkoušečka

Graetzův usměrňovač s LED

Inspirací k následující pomůcce byl před lety příspěvek viděný na kon-ferenci Veletrh nápadů učitelů fyziky. Ve sborníku [19] je však popsánbohužel až příliš stručně, zde proto jednoduchou konstrukci této pomůckya její využití okomentujeme podrobněji. Jedná se o Graetzův usměrňovač,v němž jsou na místě diod použity červené a zelené (nebo červené a modré)LED (obr. 5).

Obr. 5 Graetzův usměrňovač s LED


Když připojíme vstup usměrňovače ke střídavému napětí (vhodné je5 V až 7 V), občas někoho překvapí, že LED nesvítí. To je ovšem samo-zřejmé. Není-li k výstupu usměrňovače připojena žádná zátěž, diodamineprochází proud. Stačí k výstupu připojit třeba rezistor (např. 390 Ω)nebo naši pomůcku z obr. 2 a diody obou barev svítí.

Pro demonstraci činnosti usměrňovače ovšem potřebujeme ukázat, kudyproud teče při jedné a druhé polaritě vstupního střídavého napětí. Protento účel se osvědčilo složit z výše uvedených pomůcek obvod na obr. 6. KeGraetzovu usměrňovači jsou k němu na vstup a výstup připojeny pomůckyse dvěma paralelními LED a na vstup přepínačem připojujeme bateries opačnou polaritou. Názorně je vidět, že polarita napětí na vstupu sestřídá, zatímco na výstupu svítí stále LED jedné barvy, tj. napětí je tamopravdu usměrněné.

Obr. 6 Propojení pomůcek pro demonstraci činnosti Graetzova usměrňovače

Technické poznámky :Je třeba použít baterie o napětí 9 V. Napětí 4,5 V je příliš malé, protože

proud prochází třemi LED v sérii a zejména na zelených (či modrých)LED toto napětí nestačí k jejich „otevřeníÿ. Na vstupu bychom mohliušetřit jednu baterii, pokud bychom polaritu měnili dvojitým přepínačem –zapojení se dvěma bateriemi a jednoduchým přepínačem je ale pro žákynázornější. (Navíc, nemáme-li přepínač, stačí se prostě koncem přívodníhovodiče střídavě dotýkat kontaktu jedné a druhé baterie.) Přepínačem lze„cvakatÿ i v dosti rychlém rytmu (několikrát za sekundu) a navodit takdojem skutečného střídavého napětí. Ve skutečnosti o střídavé napětí jde,ovšem nikoli s harmonickým ale s obdélníkovým průběhem.


Začínáme s tranzistorem, aneb „nikdo nejsme nekonečně od-pornýÿ

Zapojení s jedním tranzistorem zesilujícím proud je samozřejmě po-psáno v řadě pramenů (je i v článku [1]). Obr. 7 ukazuje konstrukci naprkénku s hřebíčky. Připojíme-li baterii, LED nesvítí. Spojíme-li svorkyA a + (ve schématu vyznačeno čárkovanou čarou), LED se rozsvítí. Tran-zistor tedy funguje jako spínač.

Se žáky pak můžeme diskutovat, jak velký, či spíše jak malý je proud dobáze B (tj. v našem případě do svorky A), kterým řídíme proud kolekto-rem C (tedy proud svítivou diodou, ten je asi 20 mA). Z Ohmova zákonamůžeme spočítat, že proud rezistorem 100 kΩ je asi 40 mA, tedy zhruba500krát menší, než proud kolektorem. Přesvědčivější než teoretická úvaha(zejména pro žáky ZŠ) bude spojit svorky A a + nikoli přímo vodičem,ale přes pomůcku z obr. 1. Malý proud 40 mA svítivou diodu v dané po-můcce prakticky nerozsvítí. (Jen ve tmě nebo při velkém zastínění je vidětslabý svit.) I bez měřicích přístrojů je tedy vidět, že velmi malým proudemřídíme větší proud.

Technické poznámky :V uvedeném zapojení jsme používali tranzistor BC547C. Písmeno C na

konci typového označení znamená, že má velké proudové zesílení, právězhruba 500 (podle údajů výrobce v rozmezí 420 až 800). Jde o součástkuv doslova korunové hodnotě; současná cena dohledaná na webu jednohoz prodejců součástek je 1,50 Kč. Uspořádání vývodů tohoto tranzistorunajdete v [14] nebo samozřejmě v materiálech výrobců.

Obr. 7 Obvod demonstrující, že tranzistor zesiluje proud


Vodivě spojit svorky A a + můžeme též vlastními prsty resp. přes vlastnítělo. (Na jednu svorku přiložíme prst, kablíkem připojeným k druhé svorcese dotkneme třeba nosu. . . ) I v tomto případě LED v kolektoru svítí, byťvětšinou ne naplno. Dokládá to, že námi prochází slabý elektrický proud,aneb (slovy prvního z autorů), že „nikdo nejsme nekonečně odpornýÿ.Podobně můžeme zkoumat vodivost dalších materiálů.

Pokud by někdo měl hodně suché ruce a svit LED byl velmi slabý,můžeme proud zesílit druhým tranzistorem. Toto „vylepšené zapojeníÿ senavíc ukázalo užitečné i při pokusech z elektrostatiky. Zaslouží si podrob-nější popis, který by ovšem tento článek již příliš protáhl; budeme muproto věnovat samostatný příspěvek.

Zkušenosti s využitím těchto zapojení na ZŠ1)

Na naší škole mají žáci výhodu zachování dílenské výuky, proto se mo-hou s polovodičovými součástkami seznámit více, než umožňuje pouze do-tace hodin fyziky. Prvotně se seznamují s vlastnostmi diod a tranzistorův 6. ročnících, kdy pracují s elektronickými stavebnicemi Otty Jandy (žá-kovská souprava z 80. let, viz stručná informace v [20]) nebo s jednotlivýmidíly žákovské soupravy pro vyučování elektřině na ZŠ z 60. let a sledujípouze efekty – žárovka při zapojení s diodou svítí/nesvítí, LED diodav propustném/závěrném směru svítí/nesvítí. Zkoušejí i základní využitítranzistoru jako zesilovače či v zapojení jako stmívač.

Obr. 8 Zapojení využívající stavebnice O. Jandy

Blíže se s funkcemi základních polovodičových součástek – diod a tran-zistorů – seznamují chlapci v hodinách pracovních činností v 8. ročníku.

1)Jde o konkrétní zkušenosti spoluautorky článku z výuky na ZŠ; text této části jeproto psán v první osobě.


V rámci hodin pracovních činností se hoši učí i základům pájení. Mo-tivovaná náměty ze seminářů Heuréky, rozhodla jsem se rozšířit základnívýbavu stavebnic o další moduly, které si žáci sami vyrábí. Zpočátku opra-vovali poškozené moduly s LED diodami ze stavebnic, později vyrábělinové, aby byl dostatek pomůcek na experimenty (obr. 9). Na Heuréce adalších seminářích mne zaujalo protisměrné zapojení LED diod pro jehonázornost. Tyto moduly nadchly dle očekávání i samotné žáky.

Obr. 9 Pomůcky vyrobené žáky 8. ročníku

Zatím nejnáročnější zapojení, které děti vyráběly samy, byl Graetzůvmůstek (obr. 10). Výroba modulů s LED diodami je pro žáky velmi atrak-tivní a rádi s nimi pracují i ve výuce fyziky. Barevné rozlišení pomocí LEDdiod napomáhá žákům k lepšímu pochopení směru procházejícího proudu.

Obr. 10 Graetzův můstek vyrobený žáky


Na základě předchozích zkušeností není již pro chlapce v 9. ročníkuučivo o polovodičích takovou neznámou. Pokusy jsou jim bližší, někdy si ivzpomenou, že je již dělali. Snažím se proto do výuky zařadit i praktickoupráci týmů složených z dívek a chlapců. Ti ochotněji dívkám v případěpotřeby pomohou se zapojováním a rádi se pochlubí, že dané součástkysami předchozí rok vyráběli či opravovali.

Vzájemná konzultace s kolegy a samotná aktivní účast v projektu OPVVV mi přinesla mnoho dalších nápadů pro využití polovodičů ve vý-uce, jako je pomůcka pro určování elektrostatického náboje, náměty navětší využití práce s fotodiodami a fotorezistory. Ráda bych s žáky zkusilavytvořit i moduly s tranzistory, protože obvody s nimi ze stavebnic jsoupro ně rovněž atraktivní – spínač hladiny, stmívač apod. Jako zajímavoulaboratorní práci považuji nápad vytvoření stupnice u termistoru.

Mám zkušenost, že pochopení vnitřní struktury a činnosti polovodičo-vých součástek složitějších než je dioda, je pro většinu žáků obtížné. Protose domnívám, že zejména na základní škole bychom měli děti zejménazaujmout efekty polovodičových součástek. A to i za cenu, že si podrob-nější informace z časových důvodů v případě zájmu vyhledají sami, či sedozvědí v kroužcích nebo na vyšším stupni školy. Již samotné podnícenízájmu o toto učivo neobvyklými funkcemi polovodičových součástek mádle mého názoru významnou úlohu pro další bádání a touhu po poznánížáků. Možnost vytvořit si nějakou konstrukci nebo pomůcku je příjemnýmbonusem. Po zvládnutí základů pájení se děti rády pouštějí do složitějšíchzapojení. Například na festivalu „Řemesla živěÿ, který pořádá Novoměst-ská radnice, si někteří moji žáci vyrobili za pomoci středoškoláků blikač,což už je poměrně náročné zapojení.

PoděkováníVznik tohoto příspěvku byl podpořen projektem OPVVV CZ.02.3.68/

0.0/0.0/16 011/0000664 „Zvýšení kvality vzdělávání žáků, rozvoje klíčo-vých kompetencí, oblastí vzdělávání a gramotnostíÿ.

L i t e r a t u r a

[1] Adámek, P., Varnuška, P.: Jednoduché elektronické obvody s možným uni-verzálním použitím, MFI, roč. 27 (2018), č. 3, s. 206–2016.

[2] Adámek, P., Tesař, J.: Školní generátor TTL a synchronizační obvod, MFI,roč. 23 (2014), č. 3, s. 130–139.


[3] Baránek, M.: Optické diody v pokusech z fyziky, MFI, roč. 18 (2008/2009),č. 10, s. 597–611.

[4] Kusala, J.: Pár pokusů z elektřiny, MFI, roč. 17 (2007/2008), č. 9, s. 537–540.

[5] Hubeňák, J.: Superjasné LED, MFI, roč. 16 (2006-2007), č. 8, s. 473–478.

[6] Füzerová, J., Kollár, P.: Výklad činnosti tyristora pre študentov gymnázií,MFI, roč. 11 (2001/2002), č. 2, s. 101–104.

[7] Lepil, O.: Operační zesilovač v učivu o magnetismu, MFI, roč. 8(1998/1999), č. 3, s. 147–154.

[8] Lepil, O.: EMA a tyristor, MFI, roč. 7 (1997/1998), č. 10, s. 598–605.

[9] Hrdý, J.: Spínací obvody s výkonovými tranzistory, MFI, roč. 7 (1997/1998),č. 9, s. 546–556.

[10] Mušková, M.: Čierne skrinky s diodami, MFI, roč. 7 (1997/1998), č. 8,s. 486–492.

[11] Dufková, M.: EMA – demonstrační stavebnice pro pokusy z elektřiny, mag-netsimu a elektroniky, MFI, roč. 7 (1997/1998), č. 4, s. 215–217.

[12] Svoboda, M.: Fotorezistor a fotodioda v obvodech s tranzistorem, MFI, roč.6 (1996/1997), č. 4, s. 193–196.

[13] Svoboda, M.: Přechod PN a polovodičová dioda, MFI, roč. 5 (1995/1996),č. 8, s. 417.

[14] Dvořák, L.: Polovodiče a jejich aplikace. P3K, Praha, 2012. Dostupné online:http://kdf.mff.cuni.cz/projekty/oppa/polovodice.pdf

[15] Projekt Heuréka. Online: http://kdf.mff.cuni.cz/heureka

[16] Dvořák, L.: How to Increase Teachers’ Self-Confidence: An Example Con-cerning Semiconductors. In: Proceedings of the conference GIREP-EPEC2015. University of Wroc law, 2016, s. 292–297.

[17] https://www.elixirdoskol.cz/regionalni-centra/

[18] Dvořák, L.: Nebojte se pájet a postavte si jednoduchou zkou-šečku. In: Dílny Heuréky 2003–2004. Prometheus, Praha, 2005,s. 79–88. Dostupné online: http://kdf.mff.cuni.cz/heureka/sborniky/DilnyHeureky_2003-2004.pdf

[19] Čapková, G.: Grätzův usměrňovač. In: Sborník z konference Veletrh ná-padů učitelů fyziky VI, Univerzita Palackého, Olomouc, 2001, s. 87–88. Do-stupné online: http://vnuf.cz/sbornik/rocniky/Veletrh_6_(Olomouc_2001).pdf

[20] Elektroráj: Elektrotechnická stavebnice Z3/III. Dostupné online:http://www.elektroraj.cz/2018/03/22/elektrotechnicka-stavebnice-z3-iii/


http://kdf.mff.cuni.cz/projekty/oppa/polovodice.pdf

http://kdf.mff.cuni.cz/heureka

https://www.elixirdoskol.cz/regionalni-centra/

http://kdf.mff.cuni.cz/heureka/sborniky/DilnyHeureky_2003-2004.pdf

http://kdf.mff.cuni.cz/heureka/sborniky/DilnyHeureky_2003-2004.pdf

http://vnuf.cz/sbornik/rocniky/Veletrh_6_(Olomouc_2001).pdf

http://vnuf.cz/sbornik/rocniky/Veletrh_6_(Olomouc_2001).pdf

http://www.elektroraj.cz/2018/03/22/elektrotechnicka-stavebnice-z3-iii/

http://www.elektroraj.cz/2018/03/22/elektrotechnicka-stavebnice-z3-iii/

INFORMATIKA

Aritmetický průměr posloupnosti(Úlohy z MO kategorie P, 37. část)

PAVEL TÖPFER

MFF UK, Praha

V našem dlouhodobém seriálu o zajímavých úlohách z Matematickéolympiády kategorie P (programování) jsme se již vícekrát věnovali různýmúlohám o číselných posloupnostech. Tentokrát téma posloupností oboha-tíme o jednu úlohu z krajského kola 63. ročníku MO (školní rok 2013/14),která velmi názorně ukazuje, jak užitečné při řešení úloh může být použitírůzných jednoduchých programátorských postupů, jako jsou vhodný před-výpočet, prefixové součty posloupnosti nebo třeba šikovné seřazení dat.Začneme jako obvykle přesným zadáním úlohy.

* * * * * * * * * * * *

Dostanete číslo k a posloupnost n čísel. Napište program, který v zadanéposloupnosti čísel určí nejdelší souvislou podposloupnost, jejíž aritmetickýprůměr je přesně roven hodnotě k.

Popis vstupu:Na prvním řádku vstupu jsou dvě čísla n, k. Na druhém řádku je n klad-

ných celých čísel: prvky posloupnosti. Můžete předpokládat, že vstupníposloupnost čísel vždy obsahuje alespoň jednu souvislou podposloupnosts průměrem prvků přesně rovným k. Můžete také předpokládat, že se sou-čet všech prvků posloupnosti vejde do běžné celočíselné proměnné.

Popis výstupu:Program vypíše dvě celá čísla – pozici začátku a pozici konce nejdelší

souvislé podposloupnosti s aritmetickým průměrem k. Pozice čísel v po-


sloupnosti číslujeme od 1 do n. Pokud existuje více různých vhodnýchpodposloupností téže maximální délky, program vypíše jednu libovolnouz nich.

Hodnocení:Plných 10 bodů získáte za řešení, které zvládne efektivně vyřešit libo-

volný vstup délky n < 200 000.Až 6 bodů dostanete za řešení, které efektivně vyřeší každý vstup délky

n < 5 000.Za jakékoliv funkční řešení bez ohledu na jeho efektivitu můžete získat

až 4 body.

Příklady:

vstup 7 41 1 3 8 1 5 2

výstup 4 7

Existují tři podposloupnosti s průměrem rovným přesně 4, a to (1, 3, 8),(3, 8, 1) a (8, 1, 5, 2). Třetí z nich je nejdelší, takže vypíšeme pozici jejíhozačátku a konce.

vstup 4 52 3 5 1

výstup 3 3

* * * * * * * * * * * *

Ukážeme si několik způsobů řešení, které se budou lišit svou časovousložitostí. Nejsnadnějším řešením, které napadne asi každého, je vyzkou-šet postupně každý souvislý úsek posloupnosti a spočítat jeho aritmetickýprůměr. Ze všech úseků s průměrem rovným přesně k si průběžně pama-tujeme pozici toho dosud nejdelšího. V programu použijeme dva cyklyurčující začátek a konec úseku, ve třetím vnořeném cyklu budeme počítatsoučet prvků v aktuálním úseku. Spočítaný součet prvků v úseku vždyvydělíme jejich počtem a výsledek porovnáme s hodnotou k. Časová složi-tost tohoto řešení je O(n3), neboť uvažujeme O(n2) různých úseků a každýz nich procházíme v čase O(n).


program Prumer1 ;var n , k : i n t e g e r ;

a : array [ 1 . . 2 0 0 0 0 0 ] of i n t e g e r ;zac , kon , soucet : i n t e g e r ; zkoumaný úsekzacv , konv : i n t e g e r ; výsledný úseki : i n t e g e r ;

beginread (n , k ) ;for i :=1 to n do read ( a [ i ] ) ;zacv :=1; konv :=0;for zac := 1 to n dofor kon:= zac to n dobeginsoucet :=0;for i := zac to kon do

soucet := soucet + a [ i ] ;i f ( soucet = ( kon−zac +1)∗k ) and ( konv−zacv < kon−zac ) thenbegin zacv := zac ; konv:=kon end

end ;w r i t e l n ( zacv , konv )end .

Program není moc zajímavý, ale všimněte si, že jsme v něm použili jedenšikovný technický trik. Chtěli jsme se vyhnout operaci dělení, která se pro-vádí v pomalejší reálné aritmetice a navíc může být nepřesná. Označíme-lisoučet prvků ve zkoumaném úseku soucet a jejich počet p, pak místo tes-tování, zda soucet/p = k v programu raději testujeme, zda soucet = p ∗ k.Výsledek je matematicky ekvivalentní, výpočet se ale provede v celočí-selné aritmetice, tedy rychleji a zaručeně přesně. Podobný obrat můžetevyužívat i v jiných vašich programech.

Za výše uvedené řešení s asymptotickou časovou složitostí O(n3) mohlisoutěžící získat nejvýše 4 body z celkových 10 možných. Zkusíme protovýpočet programu zrychlit. Často pomůže zamyslet se, zda se některé ope-race neprovádějí při výpočtu zbytečně vícekrát. V právě popsaném řešeníspočívá neefektivita výpočtu zejména v tom, že součet prvků v každémzkoumaném úseku počítáme zvlášť, takže opakovaně sčítáme stejná čísla.Namísto toho můžeme součet prvků ve zkoumaném úseku počítat průběžněpři každém zvýšení proměnné kon. Zvýšením proměnné kon o 1 se před-chozí zkoumaný úsek prodlouží o jeden prvek posloupnosti, takže součetnového úseku získáme přičtením tohoto prvku a[kon] k součtu předchozíhoúseku. Dostáváme tak řešení, které opět projde všech O(n2) souvislýchúseků zadané posloupnosti, ale každý z nich zpracuje v konstantním čase.


Časová složitost řešení se tak sníží na O(n2), což v soutěži stačilo na ziskaž 6 bodů.


a : array [ 1 . . 2 0 0 0 0 0 ] of i n t e g e r ;zac , kon , soucet : i n t e g e r ; zkoumaný úsekzacv , konv : i n t e g e r ; výsledný úseki : i n t e g e r ;

beginread (n , k ) ;for i :=1 to n do read ( a [ i ] ) ;zacv :=1; konv :=0;for zac := 1 to n dobeginsoucet :=0;for kon:= zac to n dobeginsoucet := soucet + a [ kon ] ;i f ( soucet = ( kon−zac +1)∗k ) and ( konv−zacv < kon−zac ) thenbegin zacv := zac ; konv:=kon end

endend ;

w r i t e l n ( zacv , konv )end .

Řešením s kvadratickou asymptotickou časovou složitostí naše úsilí ještěnekončí. Pro další zrychlení výpočtu ale budeme potřebovat přetransfor-movat náš problém do trochu jednodušší podoby. Je totiž obtížné ve zkou-maných úsecích posloupnosti sledovat a porovnávat zároveň dva parame-try, na nichž závisí aritmetický průměr – totiž délku úseku a součet jehoprvků. Hodilo by se nám sledovat jenom jeden parametr.

Má-li mít výsledný úsek původní posloupnosti aritmetický průměr k,nabízí se možnost upravit posloupnost tak, že snížíme hodnotu všech jejíchprvků právě o k. Stejný úsek v takto upravené posloupnosti pak bude mítaritmetický průměr 0. Platí to samozřejmě i naopak: úsek s průměrem 0v upravené posloupnosti má v původní posloupnosti aritmetický průměr k.Je tomu tak proto, že když od každého prvku posloupnosti odečteme k,snížíme tím aritmetický průměr libovolného úseku přesně o k.

Nyní provedeme v naší úvaze druhý krok. Jakýkoliv úsek posloupnostimá aritmetický průměr rovný 0 právě tehdy, když má součet 0. Při hledáníúseků s nulovým součtem přitom už nemusíme hledět na jejich délku. Nášpůvodní problém jsme tedy převedli na jinou, jednodušší úlohu: v upra-


vené posloupnosti nalézt nejdelší souvislý úsek se součtem 0. Pozice tohotoúseku pak přímo určuje pozici nejdelšího souvislého úseku s aritmetickýmprůměrem k v původní posloupnosti. Zadanou posloupnost čísel si tedynejprve upravíme tak, že od každého prvku odečteme k. To je jednoduchýpředvýpočet s lineární časovou složitostí O(n). Od této chvíle budeme slo-vem „posloupnostÿ označovat tuto novou posloupnost, ve které hledámeúseky se součtem 0.

Kdybychom posloupnost jednoduše procházeli a počítali v ní součtyvšech možných souvislých úseků, dostali bychom se opět k řešení s časo-vou složitostí O(n3) nebo s trochou šikovnosti O(n2). Úseky ale můžemesčítat i jiným způsobem, využijeme tzv. prefixové součty. To je další z tech-nických obratů, který se při práci s číselnými posloupnostmi často využívá.Vytvoříme si pomocné pole P[0. .n] a naplníme ho takovými hodnotami,aby hodnota P[i] byla rovna součtu prvních i prvků naší posloupnosti. Prv-kům takového pole P říkáme prefixové součty dané posloupnosti. Hodnotypole P snadno spočítáme jedním průchodem v čase O(n). Položíme P[0]=0,neboť úsek nulové délky má i nulový součet. Každé další P[i] určíme jakosoučet již známé hodnoty P[i − 1] a i-tého prvku posloupnosti. Když po-tom potřebujeme zjistit součet všech čísel v souvislém úseku posloupnostiod pozice zac do pozice kon (včetně prvků z obou těchto krajních pozic),spočítáme ho v konstantním čase jako rozdíl P[kon]− P[zac − 1].

Vraťme se nyní k naší úloze. Už víme, že pomocí dalšího předvýpo-čtu s lineární časovou složitostí získáme pole P prefixových součtů našíposloupnosti. V posloupnosti hledáme souvislé úseky s nulovým součtem,tzn. úseky, pro které platí P[kon]−P[zac−1] = 0 neboli P[kon] = P[zac−1].Jinými slovy řečeno, zajímají nás dvojice stejných hodnot v poli P. Chcemeurčit v poli P takovou dvojici stejných čísel, aby tato čísla byla od sebeco nejvíce vzdálena. Tím bude určen nejdelší úsek posloupnosti s nulovýmsoučtem.

Nejjednodušší cestou řešení je využít obyčejné třídění. To je v progra-mování opět jedna z často užívaných metod – při práci s daty se mnohdyvyplatí seřadit si je jinak. Místo pole s hodnotami prefixových součtů P[0],P[1], P[2], . . . , P[n] vytvoříme pole uspořádaných dvojic (P[0],0), (P[1],1),(P[2],2), . . . , (P[n], n). S každým prefixovým součtem si tedy uložíme na-víc informaci, o kolikátý prefixový součet se jedná. Toto pole nyní vze-stupně uspořádáme primárně podle první souřadnice, tedy podle odpoví-dajícího prefixového součtu, a sekundárně podle indexu, který mu odpo-vídá. V takto uspořádaném poli budou všechny indexy, kterým odpovídá


stejná hodnota prefixového součtu, tvořit vždy souvislý rostoucí úsek. Nej-vzdálenější dvojici indexů, kterým odpovídá stejný prefixový součet, pakdokážeme snadno určit při jednom průchodu polem, tzn. s lineárním ča-sovou složitostí O(n).

Celé řešení zadané úlohy se tedy skládá ze čtyř postupně prováděnýchfází:

– úprava zadané posloupnosti snížením všech prvků o k,

– výpočet prefixových součtů P[i] takto upravené posloupnosti,

– seřazení pole dvojic (P[i], i) výše popsaným způsobem,

– nalezení výsledku průchodem seřazeného pole.

První, druhá a čtvrtá fáze výpočtu mají asymptotickou časovou složitostO(n). Časově nejnáročnější je setřídění pole ve třetí fázi, které provedemeněkterým ze standardních třídicích algoritmů v čase O(n log n). Výslednáčasová složitost řešení úlohy je proto O(n log n). Za řešení s touto složitostíobdrželi soutěžící plný počet bodů.


a : array [ 0 . . 2 0 0 0 0 0 ] ofrecord p : i n t e g e r ; prefixový součet

x : i n t e g e r ; indexend ;

zac , kon : i n t e g e r ; zkoumaný úsekzacv , konv : i n t e g e r ; výsledný úsekc , i : i n t e g e r ;

beginNačteme posloupnost , zároveň hned snižujeme hodnoty o "k"a počítáme prefixové součty posloupnosti:read (n , k ) ;a [ 0 ] . p :=0; a [ 0 ] . x :=0; úsek nulové délkyfor i :=1 to n dobeginread ( c ) ; i-tý prvek posloupnostia [ i ] . p:=a [ i −1] . p + c − k ; i-tý prefixový součeta [ i ] . x:= i jeho index je "i"end ;

Seřazení pole "a" vzestupně ,primárně podle "p" a sekundárně podle "x":Sort ( a ) ;

Určení výsledku:zacv :=1; konv :=0;


zac :=0; kon :=0;while kon < n dobeginwhile ( kon < n) and ( a [ kon +1] .p = a [ kon ] . p ) do kon:=kon+1;i f a [ kon ] . x−a [ zac ] . x > konv−zacv thenbegin zacv :=a [ zac ] . x ; konv:=a [ kon ] . x end ;

zac :=kon+1; kon:=kon+1end ;

w r i t e l n ( zacv +1, konv )end .

V programu jsme použili drobný technický trik na úsporu paměti. Všim-něte si, že po spočítání prefixových součtů upravené vstupní posloupnostiuž nikdy nebudeme potřebovat původní posloupnost čísel. Nemusíme si jiproto ani ukládat. Postupně načítané prvky posloupnosti ihned snižujemeo k, průběžně z nich rovnou počítáme prefixové součty a až tyto hodnotyprefixových součtů si ukládáme do pole. Navíc si do tohoto pole ukládámehned dvojice typu (P[i], i), které budeme následně třídit. V programu takvystačíme jen s jediným polem velikosti n.

Ve výše uvedené programové ukázce jsme pro jednoduchost a pro zkrá-cení zápisu vynechali deklaraci třídicí procedury Sort. Zde by se použilněkterý standardní třídicí algoritmus s asymptotickou časovou složitostíO(n log n), například třídění haldou nebo třídění sléváním.

Na závěr poznamenejme, že nalézt v poli P dvojici stejných hodnots maximální vzájemnou vzdáleností můžeme i jinými způsoby. Pokud znáteněkteré pokročilejší datové struktury, jako jsou třeba vyvažované binárnívyhledávací stromy, můžete je zde výhodně využít. Pole prefixových součtůP budeme postupně procházet a do binárního vyhledávacího stromu si bu-deme ukládat všechny navzájem různé hodnoty dosažených prefixovýchsoučtů. Ke každé z nich si zároveň uložíme index jejího prvního výskytu.Když tedy v i-tém kroku zpracováváme hodnotu P[i], zkusíme ji nejprvevyhledat ve stromě. Pokud tam ještě není, přidáme do stromu dvojiciúdajů (P[i], i). Pokud tam už je, pak rozdíl u ní uloženého indexu a aktu-álního indexu určuje délku dalšího nalezeného úseku s nulovým součtem.Průběžně si zaznamenáváme maximum z takto nalezených délek, jemupříslušné indexy budou výsledkem řešení úlohy.

Časová složitost této varianty řešení je rovněž O(n log n). Výpočet seprovádí v n krocích a vyhledání resp. přidání každé hodnoty ve vyváženémbinárním vyhledávacím stromu s n uzly má časovou složitost O(log n).


Podpora informatického myšlenís využitím Lego robotůFILIP FRANK – JAN FRANK

Fakulta pedagogická ZČU v Plzni

Informatické myšlení a digitální gramotnost jsou pojmy, které jsou v sou-časné době velmi skloňované odbornou i laickou veřejností. Učitelé na zá-kladních a středních školách by měli tyto kompetence u žáků rozvíjet, a tonejen v rámci hodin informatiky, často ovšem chybí náměty, kterými byse mohli vyučující řídit či inspirovat. Článek je proto věnován metodice,která vznikla v rámci diplomové práce na Katedře výpočetní a didaktickétechniky Fakulty pedagogické ZČU v Plzni a může být jistou inspirací prozákladoškolské a středoškolské učitele (nejen) informatiky. Testování pro-běhlo v rámci dvou projektových dnů na Gymnáziu v Aši a díky vzniklépřípadové studii bylo možné metodiku zpětně analyzovat. Obecným zá-měrem při tvorbě uvedené metodiky byla podpora informatického myšleníprostřednictvím řešení zadaného problému spjatého se stavbou a progra-mováním vlastního Lego robota. Při zmíněném programování jsou vyu-žívány bloky kódu, můžeme tedy hovořit o objektově orientovaném pro-gramování, což je v souladu s podmínkami informatického myšlení, jak jedefinují Wang [1] či Wingová [2].

Konkrétní cíle a postupy vedoucí k jejich naplnění

Stanovené cíle představují dílčí kroky vedoucí ke schopnosti žáků praco-vat s Lego roboty a plnit zadané úkoly. Je zřejmé, že se žáci nejprve musíseznámit s obecnými možnostmi stavebnice a s programovacím prostředímLego robota, je třeba žákům ukázat, jakým způsobem mohou jednotlivéstavební bloky propojovat, odstraňovat nebo nastavovat. Žáci musí taképochopit základní konstrukce programování, jako například cykly, pod-mínky nebo přepínače. Konkrétní cíle tedy mohou být formulovány násle-dovně:

1. Žák vysvětlí a používá základní konstrukce programování, jako napří-klad cykly, podmínky nebo přepínače.


2. Žák používá části stavebnice a propojuje jednotlivé díly tak, aby dosáhlsvého cíle.

3. Žák používá programovací prostředí Lego robotů k vyřešení zadanéhoúkolu, ale i k dosažení vlastních cílů s nimi.

4. Žák naprogramuje Lego robota v programovacím prostředí způsobem,aby robot plnil požadovanou funkci.

1. Základní konstrukce a prvky programovacího jazykaZákladními konstrukcemi a prvky programování rozumíme cykly, pod-

mínky, konstanty a proměnné. V době realizace testování na Gymnáziuv Aši nebyli žáci seznámeni s žádným způsobem programování a bylo ne-zbytné začít od úplných základů. Tento stav lze očekávat i na řadě dalšíchškol a je tedy možné využít popsaného přístupu.

Základní pojmy lze žákům objasnit výkladem, který prokládáme krát-kou diskusí. Získané poznatky musí žáci okamžitě aplikovat při řešení jed-noduchých teoretických problémů ve skupinách. Hlavním záměrem ovšemje rozvíjet informatické myšlení s využitím Lego robotů. Netrváme protona striktním užívání vývojového diagramu a správném značení, postačujícíje popis běžným jazykem.

Jedním z jednoduchých úkolů pro žáky může být popis cesty do školyzvoleného zástupce skupiny pomocí základních „příkazůÿ ve spojení s pod-mínkami. To znamená, že pokud žák přijde k silnici, nestačí napsat „Roz-hlédnu se!ÿ, je potřeba rozhlédnutí buď dříve definovat, abychom jej mohlipoužívat jako funkci, nebo pokaždé vypisovat, co je rozhlédnutí a za jakýchpodmínek žák přejde. Skupiny po dokončení úkolu postupně před třídouprezentují svůj postup cesty do školy. Ostatní žáci reagují na případnéchyby a pokouší se je opravit. Vyučující poukazuje na chyby, kterých sinevšimli ostatní žáci, případně odůvodňuje, proč se o chybu nejedená.

Mohlo by se zdát, že v tomto bodě metodiky nedochází k podpoře in-formatického myšlení, nicméně žáci jsou ve skupinách nuceni rozebrat pro-blém cesty do školy na dílčí podproblémy a nahlížet na problém z několikastran. Nejenže musí očekávat přijíždějící auto při přecházení, ale už sa-motná volba cesty může být nezvyklým úhlem pohledu na věc. Žáci senavíc musí dopředu rozhodnout, která cesta bude pro jejich popis nejvý-hodnější. V neposlední řadě je rozvíjena schopnost komunikace nebo řešeníproblému v daném čase.

Pokud jsou žáci schopni vyřešit zadaný problém, můžeme považovat cíl„Žák vysvětlí a používá základní konstrukce programování, jako napříkladcykly, podmínky nebo přepínače.ÿ za splněný.


2. Používání stavebnice Lego

Čtenář by mohl namítnout, že tento cíl je při záměru rozvíjet u žákůinformatické myšlení nadbytečný, nicméně nelze předpokládat, že všichnižáci již dříve přišli do styku s používanou stavebnicí Lego, zvláště pakna základní škole, kde se setkávají žáci z různých kulturních a sociálníchprostředí. Při seznamování žáků s obecnými možnostmi stavebnice Legose zprvu zaměříme na jednotlivé díly a jejich možnosti využití, následněpřejdeme k řídící jednotce a rozdělení jednotlivých konektorů. Žáky jedobré upozornit, že na řídící jednotce se nachází konektory určené promotory a konektory určené pro senzory, které jsou sice na první pohledstejné, ale odlišné je označení – čísla a písmena.

Začínáme jednoduššími konstrukcemi, kdy žáci zpravidla pracují ve sku-pinách, což je mimo jiné dáno i finanční náročností pořízení stavebnic Lego,kdy cena základní sady se pohybuje kolem 8 000 Kč [3]. Lze tedy očekávat,že počet stavebnic bude nižší než je počet žáků ve třídě, a proto je lepší jižpředem počítat s faktem, že žáci budou pracovat ve dvojicích či trojicích.Vyšší počet však nedoporučujeme.

První zadávané konstrukce žákům by měly představovat jednuduchéútvary, u kterých je ovšem nutné použít i jiné než jen základní kompo-nenty stavebnice. Jako příklad lze uvést šestiúhelník, pro který jsou siceve stavebnici připraveny zahnutné díly, nicméně při sestavování útvaruje nutné užít i další spojovací materiál, přechodové díly a žáci navíc musívyřešit problém s propojením dílů ležících vedle sebe. Je důležité, aby kon-strukci dokončily všechny, i pomalejší, skupiny než se přejde k náročnějšímúkolům.

V další fázi požadujeme od žáků jednoduchou konstrukci splňující za-dané vlastnosti. Kupříkladu je možné požadovat konstrukci automobilu sedvěma motory. Žákům může být zadán úkol sestavit tříkolku se dvěmazadními, nebo dvěma předními koly (volby předního či zadního pohonuje na žácích). Každé z poháněných kol bude mít vlastní motor, aby bylomožné naprogramovat zatáčení smykem (tzn. vozidlo je schopné se oto-čit na místě na základě opačného směru rotace poháněných kol). Místotřetího kola může vyučující žákům doporučit použití rejdovací kuličky.V konstrukci musí být pochopitelně zakomponována řídící jednotka, de-signové prvky jsou pak na vlastní kreativitě žáků. Díky této aktivitě se žácinejen detailněji seznámí s možnostmi stavebnice, ale zároveň musí vyřešitněkteré konstrukční problémy, jako například způsob pohybu a zatáčenívozidla či přejezd po nerovnostech.


Pro tento bod metodiky jsou zřejmě nejvýraznějšími částmi informa-tického myšlení schopnost abstrakce, komunikace s ostatními a náhled nařešený problém z několika stran, který je možné ilustrovat na zkoumánímožností Lega při konstruování. Pokud jsou žáci schopni sestavit požado-vanou konstrukci automobilu, můžeme prohlásit cíl „Žák používá části sta-vebnice a propojuje jednotlivé díly tak, aby dosáhl svého cíle.ÿ za splněný.

3. Využití programovacího prostředí Lego

Základní podmínkou pro řešení problémů s využitím Lego robotů je po-chopení programovacího prostředí stavebnice Lego. Pozitivem je, že totoprostředí je značně intuitivní a vytváření kódu probíhá prostřednictvímbloků s různými funkcemi (ovládání motoru, čidla, tlačítek, práce s pro-měnnými, . . . ). Při plnění úkolů vyžívají žáci dříve zkonstruovanou vlastnítříkolku. Vyučující nejprve demonstruje funkci základních stavebních ka-menů, jako například ovládání motorů a sekce s podmínkami a cykly, nasvém autíčku, pak již žáci pracují v utvořených skupinách samostatně.Vyučující slouží jako mentor či poradce.

Náročnost zadávaných úkolů by se měla stupňovat – zprvu mají žáciza úkol naprogramovat vozidlo, aby jelo rovně po dobu zvoleného času,později lze zadání doplnit o zatočení a pokračování v cestě jiným směrem.Po zvládnutí těchto úkolů si žáci vymýšlí vlastní dráhu pohybu, kterounásledně prezentují. Pochopitelně je možná celá řada modifikací uvedenýchúkolů, nicméně je nutné poznamenat, že jsme vždy limitováni senzory,které mají žáci k dispozici. Je tedy kupříkladu možné zadávat i složitějšíúkoly v podobě simulace popojíždění vozidla v koloně bez nabourání neboaby v případě nabourání začalo troubit.

Je zřejmé, že i třetí bod metodiky podporuje rozvoj informatickéhomyšlení. Při vytváření programu je potřeba nahlížet na zadaný problémz několika stran. Může se totiž stát, že má problém úplně jiné řešení, nežjaké žáci zkouší, nebo jej lze vyřešit změnou konstrukce modelu místoprogramu. Zároveň musí žáci rozložit složitý problém na jednodušší.

Pokud žáci předvedou funkční model tříkolky, který se pohybuje zada-ným způsobem, můžeme považovat cíl „Žák používá programovací pro-středí Lego robotů k vyřešení zadaného úkolu, ale i k dosažení vlastníchcílů s nimi.ÿ za splněný.

4. Programování složitějšího Lego robota

Posledním cílem a úkolem pro žáky je naprogramovat Lego robota,který bude konstrukcí i funkcemi napodobovat reálnou funkci zadaného


přístroje. Žáci se tedy musí nejprve vypořádat s konstrukcí robota a ná-sledně s programovým vybavením takovým způsobem, aby robot splňo-val co nejvěrněji chování určitého přístroje. Pokud žáci vymyslí vylepšení,které by bylo vhodné i u reálného přístroje, mohou jej zařadit, ale je nutnéfunkčnost tohoto vylepšení obhájit při závěrečné demonstraci robota. Za-dání mohou být různá – mixér (ať už tyčový nebo klasický), adaptabilnítempomat, posuvná vrata, křídlová vrata, dávkovač cereálií, alarm s kó-dem nebo robotický vysavač. Uvedená zadání slouží především pro ukázkumožností a inspiraci, každý vyučující si může vymyslet svá vlastní. Nynípodrobněji rozeberme nyní některá z nich.

V případě zadání mixéru by měl vyučující požadovat téměř reálné bez-pečnostní prvky. Pokud se žáci rozhodnou pro tyčový mixér, jsou bezpeč-nostní prvky minimální. Mixér je buď zapnutý, nebo vypnutý, případnělze měnit rychlost otáček nebo jej rychle zastavit. U klasického mixérumůže být škála požadovaných prvků pestřejší. Žáci mohou mít za úkolmixér postavit a naprogramovat tak, aby při otevřeném víku nešel spus-tit. Zároveň bychom opět měli mít možnost zvyšovat a snižovat rychlost.U obou verzí mixéru by měl vyučující trvat na konstrukci převodů s využi-tím ozubených koleček, prostřednictvím kterých se dosáhne vyšších otáček,protože ve stavebnici dodávané motory nemají dostatečnou rychlost. Žáciby ovšem měli řešení naleznout sami a učitel je pouze navádí pokládá-ním otázek, jako například „Nebylo by možné úpravou konstrukce zvýšitotáčky mixéru?ÿ

V případě adaptabilního tempomatu by měl vyučující požadovat, abysestrojené vozidlo nejprve snižovalo rychlost, případně i zastavilo. V oka-mžiku, kdy vozidlo jedoucí před ním zrychlí, mělo by se opět samo rozjeta zrychlovat až k nastavené maximální rychlosti.

Úkoly s posuvnými a křídlovými vraty jsou poměrně podobné. Cílemje vymyslet, jakým způsobem se budou vrata otevírat a jak zařídit, abyvrata žádné projíždějící vozidlo neskřípla. Zároveň by se vrata po průjezduměla sama zavřít.

Vzhledem k tomu, že poslední bod metodiky využívá všechna předchozízjištění, je zřejmé, že bude průběžně podporovat všechny dříve uvedenépodmínky informatického myšlení.

Cíl „Žák naprogramuje Lego robota v programovacím prostředí způso-bem, aby robot plnil požadovanou funkci.ÿ je považován za splněný, pokudžáci předvedou funkčního Lego robota, který splňuje zadaná kritéria.


Hardwarové a softwarové nároky

Kromě stavebnic samotných je nutné mít k dispozici počítač s dosta-čujícími systémovými požadavky pro běh programovacího prostředí. Propočítač s MS Windows jsou tyto požadavky následující [4]: Windows Vista(32/64 bitů) s nejnovějšími aktualizacemi nebo novější verze systému Win-dows; dual core processor 2.0 GHz nebo vyšší; paměť RAM 2 GB nebovětší; 2 GB místa na disku; displej XGA (1024× 768); 1 volný USB port.Volitelným materiálem při vytváření robotů mohou být různé krabice, pa-píry, nůžky nebo další stavebnice Lego.

Analýza metodiky a závěr

Cílem uvedené metodiky bylo naučit žáky základní prvky programo-vacího jazyka ve spojení s Lego roboty, čímž dochází k podpoře infor-matického myšlení. Hlavní cíl byl rozdělen do několika dílčích cílů, kterév případě naplnění zaručují, že je dosaženo i cíle hlavního.

Prvním z cílů bylo seznámení žáků se základními prvky a konstrukcemiprogramovacího jazyka, za něž byly označeny proměnná, konstanta, cyklusa podmínka. S ohledem na schopnost žáků pojmy definovat, uvést příklada následně využívat prvky a konstrukce při programování Lego robotů,považujeme cíl za splněný.

Druhým cílem bylo seznámení žáků se stavebnicí Lego a vytváření kon-strukce dle zadání. Tuto část považujeme za problematickou a je potřebana ni klást větší důraz. Při testování měli žáci problém sestavit i jedno-duchou konstrukci a neuměli používat jiné než rovné díly. Navrhovanýmřešením je vytvoření sady příkladů konstrukcí, které by žáci měli sestavit.Zároveň je však možné, že kdyby žáci pracovali se stavebnicí pravidelně apo delší dobu, byla by situace lepší. I přes prvotní potíže se sestavením kon-strukce však žáci byli schopni druhý den sestavit vlastního robota, a protoi tento dílčí cíl můžeme považovat za splněný.

Třetím dílčím cílem bylo naprogramování jednoduchého robota. Bylzvolen automobil, kterému byly zvyšovány nároky na jeho program. Oprotipůvodnímu předpokladu zvládli žáci plnit programovací část bez většíchobtíží. Opět jim však dělala problém konstrukce, která zabrala více času,než se čekalo. I přes komplikace s konstrukcí můžeme považovat cíl zasplněný.

Posledním dílčím úkolem bylo řešení komplexního problému. Toto za-dání spočívalo v úkolu zkonstruovat a následně naprogramovat model pří-stroje, který se standardně používá v běžném životě. Žáci s drobnými


obtížemi zvládli konstrukční část a bez jakýchkoli problémů pak robotanaprogramovali. Proto i poslední cíl považujeme za splněný.

Díky splnění všech dílčích cílů považujeme i hlavní cíl za splněný a me-todiku funkční, byť se vyskytly některé výhrady v hodnocení jejího prů-běhu. Nejzásadnější částí metodiky, kterou bude potřeba upravit je částzabývající se seznamováním se se stavebnicí Lego a základními konstruk-cemi. Žáci potřebují na seznámení se stavebnicí a osvojení si konstrukčníchdovedností více času, než se původně předpokládalo.

Díky faktu, že metodika splnila svůj účel, tedy naučila žáky základníprogramování Lego robotů, můžeme hovořit o podpoře informatickéhomyšlení, jak jej vnímá Wang [1] a Wingová [2]. Žáci prokázali, že v prů-běhu práce si umí problém rozložit na základní prvky. Dále docházelok podpoře informatického myšlení díky komplexnosti problému, který žácimuseli řešit a v jehož průběhu si museli uvědomovat souvislosti mezi pro-gramovacím prostředím a problémy konstrukce. Zároveň museli předchá-zet problémům, které mohly přijít, jako třeba pád robotického vysavačeze schodů. Za zásadní přínos považujeme fakt, že v původních zadáních semuseli žáci vypořádat i s nedostatkem dílů, kdy museli využívat některédíly nebo senzory i jiným způsobem, než je na první pohled zřejmé.

Data pro analýzu byla získána z případové studie, která zkoumala, zdaje možné pomocí vytvořené metodiky vyučovat informatiku za účelem pod-pory informatické myšlení. Z analýzy metodiky nám vyplynulo, že až naproblém v části zabývající se samotným konstruováním robotů, je meto-dika nastavena správně.

L i t e r a t u r a

[1] Wang, P.: From computing to computational thinking. CRCPress, Ohio,2016.

[2] Wing, J. M.: Computational Thinking: What and Why? Carnegie MellonUniversity. [Online] 17. 11. 2010 [Citace: 27. 11. 2017.] Dostupné z: https://www.cs.cmu.edu/~CompThink/resources/TheLinkWing.pdf

[3] Robot world. [Online] [Citace: 13. 2. 2018] Dostupné z:https://www.robotworld.cz/lego-mindstorms-ev3?gclid=CjwKCAiAtorUBRBnEiwAfcp YzWm135iFNW36OTxmgRvzfev1sKmH6eQJQ1IIvPoOVHIvtXiD4TtwBoCMpEQAvD BwE

[4] Lego: Stažení softwaru. [Online] Lego. [Citace: 7. 3. 2018] Dostupné z:https://www.lego.com/cs-cz/mindstorms/downloads/download-software


https://www.cs.cmu.edu/~CompThink/resources/TheLinkWing.pdf

https://www.cs.cmu.edu/~CompThink/resources/TheLinkWing.pdf

https://www.robotworld.cz/lego-mindstorms-ev3?gclid=CjwKCAiAtorUBRBnEiwAfcp_YzWm135iFNW36OTxmgRvzfev1sKmH6eQJQ1IIvPoOVHIvtXiD4TtwBoCMpEQAvD_BwE



https://www.lego.com/cs-cz/mindstorms/downloads/download-software

https://www.lego.com/cs-cz/mindstorms/downloads/download-software

Date post:	21-Sep-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	7 times
Download:	0 times

MATEMATIKA { FYZIKA { INFORMATIKA · otoŁení R(H;’), jestli¾e k= 1. NÆsledující tvrzení...

Documents