Matematika I - Univerzita Karlovabarta/FSV/mat1_zs14/Matematika_I...Matematika I Co je matematika?...

Matematika I

Co je matematika?

Je to věda o abstraktních pojmech a vztazích mezinimi.Jejím předmětem je odvozování nových vztahů mezipojmy (tzv. matematických vět).Často je účelné zavádět nové pojmy (pomocí tzv.definic)

”Mathematics is a game played according to certain simple rules withmeaningless marks on paper.”

David Hilbert

Matematika I Program 1

Matematika I

Co je matematika?Je to věda o abstraktních pojmech a vztazích mezinimi.

Jejím předmětem je odvozování nových vztahů mezipojmy (tzv. matematických vět).Často je účelné zavádět nové pojmy (pomocí tzv.definic)


David Hilbert


Matematika I

Co je matematika?Je to věda o abstraktních pojmech a vztazích mezinimi.Jejím předmětem je odvozování nových vztahů mezipojmy (tzv. matematických vět).

Často je účelné zavádět nové pojmy (pomocí tzv.definic)


David Hilbert


Matematika I

Co je matematika?Je to věda o abstraktních pojmech a vztazích mezinimi.Jejím předmětem je odvozování nových vztahů mezipojmy (tzv. matematických vět).Často je účelné zavádět nové pojmy (pomocí tzv.definic)


David Hilbert


Matematika I

K čemu je dobrá matematika?

Je krásná a zajímavá.Procvičuje mysl.Umožňuje modelovat reálné situace (z ekonomie,fyziky, biologie . . . )Umožňuje získávat přesné výsledky o modelechpřibližně odpovídajících skutečnosti.

”As far as the laws of mathematics refer to reality, they are notcertain; and as far as they are certain, they do not refer to reality.”

Albert Einstein


Matematika I

K čemu je dobrá matematika?Je krásná a zajímavá.

Procvičuje mysl.Umožňuje modelovat reálné situace (z ekonomie,fyziky, biologie . . . )Umožňuje získávat přesné výsledky o modelechpřibližně odpovídajících skutečnosti.


Albert Einstein


Matematika I

K čemu je dobrá matematika?Je krásná a zajímavá.Procvičuje mysl.

Umožňuje modelovat reálné situace (z ekonomie,fyziky, biologie . . . )Umožňuje získávat přesné výsledky o modelechpřibližně odpovídajících skutečnosti.


Albert Einstein


Matematika I

K čemu je dobrá matematika?Je krásná a zajímavá.Procvičuje mysl.Umožňuje modelovat reálné situace (z ekonomie,fyziky, biologie . . . )

Umožňuje získávat přesné výsledky o modelechpřibližně odpovídajících skutečnosti.


Albert Einstein


Matematika I

K čemu je dobrá matematika?Je krásná a zajímavá.Procvičuje mysl.Umožňuje modelovat reálné situace (z ekonomie,fyziky, biologie . . . )Umožňuje získávat přesné výsledky o modelechpřibližně odpovídajících skutečnosti.


Albert Einstein


Matematika I

ÚvodMnožina reálných číselLimita posloupnostiFunkce jedné proměnné


Matematika I

Úvod

Množina reálných číselLimita posloupnostiFunkce jedné proměnné


Matematika I

ÚvodMnožina reálných čísel

Limita posloupnostiFunkce jedné proměnné


Matematika I

ÚvodMnožina reálných číselLimita posloupnosti

Funkce jedné proměnné


Matematika I

ÚvodMnožina reálných číselLimita posloupnostiFunkce jedné proměnné


Literatura

Hájková, Johanis, John, Kalenda, Zelený:MatematikaKopáček: Matematika pro fyziky IKopáček: Příklady z matematiky pro fyziky IZajíček: Vybrané úlohy z matematické analýzyVanžura: Řešené příklady z matematické analýzy


Literatura

Hájková, Johanis, John, Kalenda, Zelený:Matematika

Kopáček: Matematika pro fyziky IKopáček: Příklady z matematiky pro fyziky IZajíček: Vybrané úlohy z matematické analýzyVanžura: Řešené příklady z matematické analýzy


Literatura

Hájková, Johanis, John, Kalenda, Zelený:MatematikaKopáček: Matematika pro fyziky I

Kopáček: Příklady z matematiky pro fyziky IZajíček: Vybrané úlohy z matematické analýzyVanžura: Řešené příklady z matematické analýzy


Literatura

Hájková, Johanis, John, Kalenda, Zelený:MatematikaKopáček: Matematika pro fyziky IKopáček: Příklady z matematiky pro fyziky I

Zajíček: Vybrané úlohy z matematické analýzyVanžura: Řešené příklady z matematické analýzy


Literatura

Hájková, Johanis, John, Kalenda, Zelený:MatematikaKopáček: Matematika pro fyziky IKopáček: Příklady z matematiky pro fyziky IZajíček: Vybrané úlohy z matematické analýzy

Vanžura: Řešené příklady z matematické analýzy


Literatura

Hájková, Johanis, John, Kalenda, Zelený:MatematikaKopáček: Matematika pro fyziky IKopáček: Příklady z matematiky pro fyziky IZajíček: Vybrané úlohy z matematické analýzyVanžura: Řešené příklady z matematické analýzy


I. Úvod

Matematika I I. Úvod 5

I.1. Množiny

I.1. Množiny


I.1. Množiny

Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájemrůzných objektů do jediného celku.

x ∈ A . . . x je prvkem množiny Ax /∈ A . . . x není prvkem množiny AA ⊂ B . . . množina A je podmnožinou množiny B(inkluze)A = B . . . množiny A a B mají stejné prvky; platíA ⊂ B a zároveň B ⊂ A∅ . . . prázdná množina


I.1. Množiny


x ∈ A . . . x je prvkem množiny A

x /∈ A . . . x není prvkem množiny AA ⊂ B . . . množina A je podmnožinou množiny B(inkluze)A = B . . . množiny A a B mají stejné prvky; platíA ⊂ B a zároveň B ⊂ A∅ . . . prázdná množina


I.1. Množiny


x ∈ A . . . x je prvkem množiny Ax /∈ A . . . x není prvkem množiny A

A ⊂ B . . . množina A je podmnožinou množiny B(inkluze)A = B . . . množiny A a B mají stejné prvky; platíA ⊂ B a zároveň B ⊂ A∅ . . . prázdná množina


I.1. Množiny


x ∈ A . . . x je prvkem množiny Ax /∈ A . . . x není prvkem množiny AA ⊂ B . . . množina A je podmnožinou množiny B(inkluze)

A = B . . . množiny A a B mají stejné prvky; platíA ⊂ B a zároveň B ⊂ A∅ . . . prázdná množina


I.1. Množiny


x ∈ A . . . x je prvkem množiny Ax /∈ A . . . x není prvkem množiny AA ⊂ B . . . množina A je podmnožinou množiny B(inkluze)A = B . . . množiny A a B mají stejné prvky; platíA ⊂ B a zároveň B ⊂ A

∅ . . . prázdná množina


I.1. Množiny


x ∈ A . . . x je prvkem množiny Ax /∈ A . . . x není prvkem množiny AA ⊂ B . . . množina A je podmnožinou množiny B(inkluze)A = B . . . množiny A a B mají stejné prvky; platíA ⊂ B a zároveň B ⊂ A∅ . . . prázdná množina


I.1. Množiny

A ∪ B . . . sjednocení množin A a B

A ∩ B . . . průnik množin A a Bdisjunktní množiny . . . A a B jsou disjunktní, pokudA ∩ B = ∅A \ B = {x ∈ A; x /∈ B} . . . rozdíl množin A a BA1 × · · · × Am = {[a1, . . . ,am]; a1 ∈ A1, . . . ,am ∈ Am}. . . kartézský součin


I.1. Množiny

A ∪ B . . . sjednocení množin A a BA ∩ B . . . průnik množin A a B

disjunktní množiny . . . A a B jsou disjunktní, pokudA ∩ B = ∅A \ B = {x ∈ A; x /∈ B} . . . rozdíl množin A a BA1 × · · · × Am = {[a1, . . . ,am]; a1 ∈ A1, . . . ,am ∈ Am}. . . kartézský součin


I.1. Množiny

A ∪ B . . . sjednocení množin A a BA ∩ B . . . průnik množin A a Bdisjunktní množiny . . . A a B jsou disjunktní, pokudA ∩ B = ∅

A \ B = {x ∈ A; x /∈ B} . . . rozdíl množin A a BA1 × · · · × Am = {[a1, . . . ,am]; a1 ∈ A1, . . . ,am ∈ Am}. . . kartézský součin


I.1. Množiny

A ∪ B . . . sjednocení množin A a BA ∩ B . . . průnik množin A a Bdisjunktní množiny . . . A a B jsou disjunktní, pokudA ∩ B = ∅A \ B = {x ∈ A; x /∈ B} . . . rozdíl množin A a B

A1 × · · · × Am = {[a1, . . . ,am]; a1 ∈ A1, . . . ,am ∈ Am}. . . kartézský součin


I.1. Množiny

A ∪ B . . . sjednocení množin A a BA ∩ B . . . průnik množin A a Bdisjunktní množiny . . . A a B jsou disjunktní, pokudA ∩ B = ∅A \ B = {x ∈ A; x /∈ B} . . . rozdíl množin A a BA1 × · · · × Am = {[a1, . . . ,am]; a1 ∈ A1, . . . ,am ∈ Am}. . . kartézský součin


I.1. Množiny

Necht’ I je nějaká neprázdná množina indexů a mějmesystém množin Aα, kde indexy α probíhají I.

⋃α∈I

Aα . . . množina všech prvků, které patří alespoň

do jedné z množin Aα⋂α∈I

Aα . . . množina prvků, které náleží do každé z

množin Aα


I.1. Množiny

Necht’ I je nějaká neprázdná množina indexů a mějmesystém množin Aα, kde indexy α probíhají I.⋃

α∈IAα . . . množina všech prvků, které patří alespoň

do jedné z množin Aα

⋂α∈I


množin Aα


I.1. Množiny

Necht’ I je nějaká neprázdná množina indexů a mějmesystém množin Aα, kde indexy α probíhají I.⋃

α∈IAα . . . množina všech prvků, které patří alespoň

do jedné z množin Aα⋂α∈I


množin Aα


I.2. Výroková logika




Výrok a logické spojkyVýrok je tvrzení, o němž má smysl říci, že je pravdivé činepravdivé.

¬, též non . . . negace& (někdy též ∧) . . . konjunkce, logické „a“∨ . . . disjunkce (alternativa), logické „nebo“⇒ . . . implikace⇔ . . . ekvivalence



Výrok a logické spojkyVýrok je tvrzení, o němž má smysl říci, že je pravdivé činepravdivé.¬, též non . . . negace

& (někdy též ∧) . . . konjunkce, logické „a“∨ . . . disjunkce (alternativa), logické „nebo“⇒ . . . implikace⇔ . . . ekvivalence



Výrok a logické spojkyVýrok je tvrzení, o němž má smysl říci, že je pravdivé činepravdivé.¬, též non . . . negace& (někdy též ∧) . . . konjunkce, logické „a“

∨ . . . disjunkce (alternativa), logické „nebo“⇒ . . . implikace⇔ . . . ekvivalence



Výrok a logické spojkyVýrok je tvrzení, o němž má smysl říci, že je pravdivé činepravdivé.¬, též non . . . negace& (někdy též ∧) . . . konjunkce, logické „a“∨ . . . disjunkce (alternativa), logické „nebo“

⇒ . . . implikace⇔ . . . ekvivalence



Výrok a logické spojkyVýrok je tvrzení, o němž má smysl říci, že je pravdivé činepravdivé.¬, též non . . . negace& (někdy též ∧) . . . konjunkce, logické „a“∨ . . . disjunkce (alternativa), logické „nebo“⇒ . . . implikace

⇔ . . . ekvivalence



Výrok a logické spojkyVýrok je tvrzení, o němž má smysl říci, že je pravdivé činepravdivé.¬, též non . . . negace& (někdy též ∧) . . . konjunkce, logické „a“∨ . . . disjunkce (alternativa), logické „nebo“⇒ . . . implikace⇔ . . . ekvivalence



Příklady „vždy pravdivých výroků“Následující složené výroky jsou pravdivé nezávisle napravdivosti výroků A, B, C:

A ∨ ¬A (vyloučení třetí možnosti)

¬(A & ¬A)((A & B) & C

)⇔(A & (B & C)

)¬(A & B)⇔ (¬A ∨ ¬B)¬(A ∨ B)⇔ (¬A & ¬B)(A⇒ B)⇔ (¬B ⇒ ¬A)¬(A⇒ B)⇔ (A & ¬B)(A⇔ B)⇔

((A⇒ B) & (B ⇒ A)

)(A⇒ B)⇔ (¬A ∨ B)




A ∨ ¬A (vyloučení třetí možnosti)¬(A & ¬A)

((A & B) & C

)⇔(A & (B & C)


((A⇒ B) & (B ⇒ A)

)(A⇒ B)⇔ (¬A ∨ B)




A ∨ ¬A (vyloučení třetí možnosti)¬(A & ¬A)((A & B) & C

)⇔(A & (B & C)

)

¬(A & B)⇔ (¬A ∨ ¬B)¬(A ∨ B)⇔ (¬A & ¬B)(A⇒ B)⇔ (¬B ⇒ ¬A)¬(A⇒ B)⇔ (A & ¬B)(A⇔ B)⇔

((A⇒ B) & (B ⇒ A)

)(A⇒ B)⇔ (¬A ∨ B)





)⇔(A & (B & C)

)¬(A & B)⇔ (¬A ∨ ¬B)

¬(A ∨ B)⇔ (¬A & ¬B)(A⇒ B)⇔ (¬B ⇒ ¬A)¬(A⇒ B)⇔ (A & ¬B)(A⇔ B)⇔

((A⇒ B) & (B ⇒ A)

)(A⇒ B)⇔ (¬A ∨ B)





)⇔(A & (B & C)

)¬(A & B)⇔ (¬A ∨ ¬B)¬(A ∨ B)⇔ (¬A & ¬B)

(A⇒ B)⇔ (¬B ⇒ ¬A)¬(A⇒ B)⇔ (A & ¬B)(A⇔ B)⇔

((A⇒ B) & (B ⇒ A)

)(A⇒ B)⇔ (¬A ∨ B)





)⇔(A & (B & C)

)¬(A & B)⇔ (¬A ∨ ¬B)¬(A ∨ B)⇔ (¬A & ¬B)(A⇒ B)⇔ (¬B ⇒ ¬A)

¬(A⇒ B)⇔ (A & ¬B)(A⇔ B)⇔

((A⇒ B) & (B ⇒ A)

)(A⇒ B)⇔ (¬A ∨ B)





)⇔(A & (B & C)

)¬(A & B)⇔ (¬A ∨ ¬B)¬(A ∨ B)⇔ (¬A & ¬B)(A⇒ B)⇔ (¬B ⇒ ¬A)¬(A⇒ B)⇔ (A & ¬B)

(A⇔ B)⇔((A⇒ B) & (B ⇒ A)

)(A⇒ B)⇔ (¬A ∨ B)





)⇔(A & (B & C)


((A⇒ B) & (B ⇒ A)

)

(A⇒ B)⇔ (¬A ∨ B)





)⇔(A & (B & C)


((A⇒ B) & (B ⇒ A)

)(A⇒ B)⇔ (¬A ∨ B)



Výrokové formyBud’ M množina. Tvrzení s proměnnou x ∈ M je výrokováforma, pokud po dosazení libovolného prvku množiny Mza x vznikne výrok.

Obecný zápis:V (x), x ∈ M

V (x1, . . . , xn), x1 ∈ M1, . . . , xn ∈ Mn

Příkladn > 5, n ∈ {1,3,5,7} je výroková forma. Po dosazenín = 7 získáme pravdivý výrok, po dosazení n = 5získáme nepravdivý výrok.



Výrokové formyBud’ M množina. Tvrzení s proměnnou x ∈ M je výrokováforma, pokud po dosazení libovolného prvku množiny Mza x vznikne výrok.Obecný zápis:

V (x), x ∈ M

V (x1, . . . , xn), x1 ∈ M1, . . . , xn ∈ Mn

Příkladn > 5, n ∈ {1,3,5,7} je výroková forma. Po dosazenín = 7 získáme pravdivý výrok, po dosazení n = 5získáme nepravdivý výrok.



KvantifikátoryJe-li A(x), x ∈ M výroková forma, pak výrok „Pro všechnax z M platí A(x).“ zapisujeme

∀x ∈ M : A(x).

Výrok „Existuje x z M, pro které platí A(x).“ zapisujeme

∃x ∈ M : A(x).Výrok „Existuje jediné x z M, pro které platí A(x).“zapisujeme

∃!x ∈ M : A(x).

Jsou-li A(x), x ∈ M a B(x), x ∈ M výrokové formy, pak∀x ∈ M,B(x) : A(x) znamená ∀x ∈ M : (B(x)⇒ A(x)),

∃x ∈ M,B(x) : A(x) znamená ∃x ∈ M : (A(x) & B(x)).




∀x ∈ M : A(x).Výrok „Existuje x z M, pro které platí A(x).“ zapisujeme

∃x ∈ M : A(x).

Výrok „Existuje jediné x z M, pro které platí A(x).“zapisujeme

∃!x ∈ M : A(x).






∀x ∈ M : A(x).Výrok „Existuje x z M, pro které platí A(x).“ zapisujeme

∃x ∈ M : A(x).Výrok „Existuje jediné x z M, pro které platí A(x).“zapisujeme

∃!x ∈ M : A(x).





Negace výroků s kvantifikátory:

¬(∀x ∈ M : A(x)) je totéž co ∃x ∈ M : ¬A(x),

¬(∃x ∈ M : A(x)) je totéž co ∀x ∈ M : ¬A(x).


I.3. Zobrazení

I.3. Zobrazení


I.3. Zobrazení

DefiniceNecht’ A a B jsou množiny. Zobrazením f množiny A domnožiny B nazveme předpis, kterým každému prvku xmnožiny A přiřadíme jediný prvek y z množiny B. Tentoprvek y značíme symbolem f (x).

Prvek y se pak nazýváobrazem prvku x , prvek x se nazývá vzorem prvku y .

Symbolem f : A→ B značíme, že f je zobrazenímmnožiny A do množiny B.Symbolem f : x 7→ f (x) značíme, že zobrazení fpřiřazuje prvku x prvek f (x).Množinu A z definice zobrazení nazýváme definičnímoborem zobrazení f a značíme ji symbolem Df .


I.3. Zobrazení

DefiniceNecht’ A a B jsou množiny. Zobrazením f množiny A domnožiny B nazveme předpis, kterým každému prvku xmnožiny A přiřadíme jediný prvek y z množiny B. Tentoprvek y značíme symbolem f (x). Prvek y se pak nazýváobrazem prvku x , prvek x se nazývá vzorem prvku y .



I.3. Zobrazení


Symbolem f : A→ B značíme, že f je zobrazenímmnožiny A do množiny B.

Symbolem f : x 7→ f (x) značíme, že zobrazení fpřiřazuje prvku x prvek f (x).Množinu A z definice zobrazení nazýváme definičnímoborem zobrazení f a značíme ji symbolem Df .


I.3. Zobrazení


Symbolem f : A→ B značíme, že f je zobrazenímmnožiny A do množiny B.Symbolem f : x 7→ f (x) značíme, že zobrazení fpřiřazuje prvku x prvek f (x).

Množinu A z definice zobrazení nazýváme definičnímoborem zobrazení f a značíme ji symbolem Df .


I.3. Zobrazení




I.3. Zobrazení

DefiniceNecht’ f : A→ B je zobrazení.

Podmnožina Gf = {[x , y ] ∈ A× B; x ∈ A, y = f (x)}kartézského součinu A× B se nazývá grafemzobrazení f .

Obrazem množiny M ⊂ A při zobrazení f se nazývámnožina

f (M) = {y ∈ B; ∃x ∈ M : f (x) = y} (= {f (x); x ∈ M}).

Množina f (A) se nazývá obor hodnot zobrazení f .(Značíme Rf nebo Hf .)Vzorem množiny W ⊂ B při zobrazení f nazvememnožinu

f−1(W ) = {x ∈ A; f (x) ∈W}.


I.3. Zobrazení


Podmnožina Gf = {[x , y ] ∈ A× B; x ∈ A, y = f (x)}kartézského součinu A× B se nazývá grafemzobrazení f .Obrazem množiny M ⊂ A při zobrazení f se nazývámnožina

f (M) = {y ∈ B; ∃x ∈ M : f (x) = y} (= {f (x); x ∈ M}).


f−1(W ) = {x ∈ A; f (x) ∈W}.


I.3. Zobrazení



f (M) = {y ∈ B; ∃x ∈ M : f (x) = y} (= {f (x); x ∈ M}).

Množina f (A) se nazývá obor hodnot zobrazení f .(Značíme Rf nebo Hf .)

Vzorem množiny W ⊂ B při zobrazení f nazvememnožinu

f−1(W ) = {x ∈ A; f (x) ∈W}.


I.3. Zobrazení



f (M) = {y ∈ B; ∃x ∈ M : f (x) = y} (= {f (x); x ∈ M}).


f−1(W ) = {x ∈ A; f (x) ∈W}.


I.3. Zobrazení

PoznámkaNecht’ f : A→ B, X ,Y ⊂ A, U,V ⊂ B. Pak platí

f−1(U ∪ V ) = f−1(U) ∪ f−1(V ),

f−1(U ∩ V ) = f−1(U) ∩ f−1(V ),f (X ∪ Y ) = f (X ) ∪ f (Y ),f (X ∩ Y ) ⊂ f (X ) ∩ f (Y ).


I.3. Zobrazení


f−1(U ∪ V ) = f−1(U) ∪ f−1(V ),f−1(U ∩ V ) = f−1(U) ∩ f−1(V ),

f (X ∪ Y ) = f (X ) ∪ f (Y ),f (X ∩ Y ) ⊂ f (X ) ∩ f (Y ).


I.3. Zobrazení


f−1(U ∪ V ) = f−1(U) ∪ f−1(V ),f−1(U ∩ V ) = f−1(U) ∩ f−1(V ),f (X ∪ Y ) = f (X ) ∪ f (Y ),

f (X ∩ Y ) ⊂ f (X ) ∩ f (Y ).


I.3. Zobrazení


f−1(U ∪ V ) = f−1(U) ∪ f−1(V ),f−1(U ∩ V ) = f−1(U) ∩ f−1(V ),f (X ∪ Y ) = f (X ) ∪ f (Y ),f (X ∩ Y ) ⊂ f (X ) ∩ f (Y ).


I.3. Zobrazení

DefiniceNecht’ A, B, C jsou množiny, C ⊂ A a f : A→ B. Zúžením(restrikcí) zobrazení f na množinu C rozumíme zobrazeníf̃ : C → B definované předpisem f̃ (x) = f (x) pro každéx ∈ C. Značíme f |C.


I.3. Zobrazení

DefiniceNecht’ f : A→ B a g : B → C jsou dvě zobrazení.Symbolem g ◦ f označíme zobrazení množiny A domnožiny C definované předpisem

(g ◦ f )(x) = g(f (x)).

Takto definované zobrazení se nazývá složenýmzobrazením.


I.3. Zobrazení

DefiniceŘekneme, že zobrazení f : A→ B

zobrazuje množinu A na množinu B, jestližef (A) = B, tj. ke každému y ∈ B existuje x ∈ A takové,že f (x) = y ,

je prosté, jestliže rozdílným prvkům přiřazuje rozdílnéhodnoty, tj.

∀x1, x2 ∈ A : x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2),

je bijekce A na B (nebo též vzájemně jednoznačnézobrazení), jestliže je zároveň prosté a zobrazuje Ana B.


I.3. Zobrazení

DefiniceŘekneme, že zobrazení f : A→ B

zobrazuje množinu A na množinu B, jestližef (A) = B, tj. ke každému y ∈ B existuje x ∈ A takové,že f (x) = y ,je prosté, jestliže rozdílným prvkům přiřazuje rozdílnéhodnoty, tj.

∀x1, x2 ∈ A : x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2),

je bijekce A na B (nebo též vzájemně jednoznačnézobrazení), jestliže je zároveň prosté a zobrazuje Ana B.


I.3. Zobrazení

DefiniceNecht’ f : A→ B je bijekce (tj. f je prosté a na). Inverznímzobrazením f−1 : B → A rozumíme zobrazení, kterékaždému prvku y ∈ B přiřadí (jednoznačně určený) prvekx ∈ A splňující f (x) = y .


I.4 Metody důkazů




přímý důkaz

nepřímý důkazdůkaz sporem



přímý důkaznepřímý důkaz

důkaz sporem



přímý důkaznepřímý důkazdůkaz sporem



Tvrzení 1 (de Morganova pravidla)Mějme neprázdné množiny S a I a dále Aα ⊂ S, α ∈ I aB ⊂ S. Pak platí

B \⋃α∈I

Aα =⋂α∈I

(B \ Aα) a B \⋂α∈I

Aα =⋃α∈I

(B \ Aα).

Příklad (iracionalita√

2)Jestliže reálné číslo x řeší rovnici x2 = 2, pak x neníracionální. Důkaz sporem


II. Množina reálných čísel

Matematika I II. Množina reálných čísel 27

II.1. Motivace k axiomatické definici




Přirozená, celá a racionální číslaMnožina přirozených čísel

N = {1,2,3,4, . . . }

Množina celých čísel

Z = N ∪ {0} ∪ {−n; n ∈ N} = {. . . ,−2,−1,0,1,2, . . . }

Množina racionálních čísel

Q ={

pq

; p ∈ Z,q ∈ N},

přičemž p1q1 =p2q2

, právě když p1 · q2 = p2 · q1.



Axiomatická definice - pojem grupy

Množina reálných čísel s operací sčítání tvoří grupu, tj.

∀x , y ∈ R : x + y = y + x (komutativita sčítání),∀x , y , z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativitasčítání),v R existuje takový prvek (značíme ho 0 a říkáme munulový prvek), že pro všechna x ∈ R platí x + 0 = x ,∀x ∈ R ∃y ∈ R : x + y = 0 (y je tzv. opačné číslo kčíslu x , takové y je jen jedno, značíme ho −x),

Poznámka: Také množiny celých, resp. racionálních číseljsou grupy (rovněž množina všech polynomů, množinavšech posloupností, množina všech spojitých funkcí).Množina přirozených čísel netvoří grupu.



Axiomatická definice - pojem grupyMnožina reálných čísel s operací sčítání tvoří grupu, tj.

∀x , y ∈ R : x + y = y + x (komutativita sčítání),∀x , y , z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativitasčítání),v R existuje takový prvek (značíme ho 0 a říkáme munulový prvek), že pro všechna x ∈ R platí x + 0 = x ,∀x ∈ R ∃y ∈ R : x + y = 0 (y je tzv. opačné číslo kčíslu x , takové y je jen jedno, značíme ho −x),




Axiomatická definice - pojem grupyMnožina reálných čísel s operací sčítání tvoří grupu, tj.∀x , y ∈ R : x + y = y + x (komutativita sčítání),

∀x , y , z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativitasčítání),v R existuje takový prvek (značíme ho 0 a říkáme munulový prvek), že pro všechna x ∈ R platí x + 0 = x ,∀x ∈ R ∃y ∈ R : x + y = 0 (y je tzv. opačné číslo kčíslu x , takové y je jen jedno, značíme ho −x),




Axiomatická definice - pojem grupyMnožina reálných čísel s operací sčítání tvoří grupu, tj.∀x , y ∈ R : x + y = y + x (komutativita sčítání),∀x , y , z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativitasčítání),

v R existuje takový prvek (značíme ho 0 a říkáme munulový prvek), že pro všechna x ∈ R platí x + 0 = x ,∀x ∈ R ∃y ∈ R : x + y = 0 (y je tzv. opačné číslo kčíslu x , takové y je jen jedno, značíme ho −x),




Axiomatická definice - pojem grupyMnožina reálných čísel s operací sčítání tvoří grupu, tj.∀x , y ∈ R : x + y = y + x (komutativita sčítání),∀x , y , z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativitasčítání),v R existuje takový prvek (značíme ho 0 a říkáme munulový prvek), že pro všechna x ∈ R platí x + 0 = x ,

∀x ∈ R ∃y ∈ R : x + y = 0 (y je tzv. opačné číslo kčíslu x , takové y je jen jedno, značíme ho −x),




Axiomatická definice - pojem grupyMnožina reálných čísel s operací sčítání tvoří grupu, tj.∀x , y ∈ R : x + y = y + x (komutativita sčítání),∀x , y , z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativitasčítání),v R existuje takový prvek (značíme ho 0 a říkáme munulový prvek), že pro všechna x ∈ R platí x + 0 = x ,∀x ∈ R ∃y ∈ R : x + y = 0 (y je tzv. opačné číslo kčíslu x , takové y je jen jedno, značíme ho −x),





Poznámka: Také množiny celých, resp. racionálních číseljsou grupy (rovněž množina všech polynomů, množinavšech posloupností, množina všech spojitých funkcí).

Množina přirozených čísel netvoří grupu.



Axiomatická definice - pojem grupy

Množina reálných čísel bez nuly s operací násobení tvořítaké grupu, tj.

∀x , y ∈ R : x · y = y · x (komutativita násobení),∀x , y , z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativitanásobení),v R existuje takový prvek (značíme ho 1 a říkáme mujednotkový prvek), že pro všechna x ∈ R platíx · 1 = x ,∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 (y je tzv. převrácenéčíslo k číslu x , takové y je jen jedno, značíme ho1/x),

Poznámka: Také množina racionálních čísel bez nuly soperací násobení tvoří grupu. Množina celých čísel soperací násobení netvoří grupu.



Axiomatická definice - pojem grupyMnožina reálných čísel bez nuly s operací násobení tvořítaké grupu, tj.

∀x , y ∈ R : x · y = y · x (komutativita násobení),∀x , y , z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativitanásobení),v R existuje takový prvek (značíme ho 1 a říkáme mujednotkový prvek), že pro všechna x ∈ R platíx · 1 = x ,∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 (y je tzv. převrácenéčíslo k číslu x , takové y je jen jedno, značíme ho1/x),




Axiomatická definice - pojem grupyMnožina reálných čísel bez nuly s operací násobení tvořítaké grupu, tj.∀x , y ∈ R : x · y = y · x (komutativita násobení),

∀x , y , z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativitanásobení),v R existuje takový prvek (značíme ho 1 a říkáme mujednotkový prvek), že pro všechna x ∈ R platíx · 1 = x ,∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 (y je tzv. převrácenéčíslo k číslu x , takové y je jen jedno, značíme ho1/x),




Axiomatická definice - pojem grupyMnožina reálných čísel bez nuly s operací násobení tvořítaké grupu, tj.∀x , y ∈ R : x · y = y · x (komutativita násobení),∀x , y , z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativitanásobení),

v R existuje takový prvek (značíme ho 1 a říkáme mujednotkový prvek), že pro všechna x ∈ R platíx · 1 = x ,∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 (y je tzv. převrácenéčíslo k číslu x , takové y je jen jedno, značíme ho1/x),




Axiomatická definice - pojem grupyMnožina reálných čísel bez nuly s operací násobení tvořítaké grupu, tj.∀x , y ∈ R : x · y = y · x (komutativita násobení),∀x , y , z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativitanásobení),v R existuje takový prvek (značíme ho 1 a říkáme mujednotkový prvek), že pro všechna x ∈ R platíx · 1 = x ,

∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 (y je tzv. převrácenéčíslo k číslu x , takové y je jen jedno, značíme ho1/x),




Axiomatická definice - pojem grupyMnožina reálných čísel bez nuly s operací násobení tvořítaké grupu, tj.∀x , y ∈ R : x · y = y · x (komutativita násobení),∀x , y , z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativitanásobení),v R existuje takový prvek (značíme ho 1 a říkáme mujednotkový prvek), že pro všechna x ∈ R platíx · 1 = x ,∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 (y je tzv. převrácenéčíslo k číslu x , takové y je jen jedno, značíme ho1/x),





Poznámka: Také množina racionálních čísel bez nuly soperací násobení tvoří grupu.

Množina celých čísel soperací násobení netvoří grupu.



Axiomatická definice - pojem tělesa

Množina reálných čísel s operacemi sčítání a násobenítvoří těleso, tj.

(R,+) je grupa,(R \ {0}, ·) je grupa,∀x , y , z ∈ R : (x + y) · z = x · z + y · z (distributivita).

Poznámka: Také množiny racionálních, resp.komplexních čísel s operacemi násobení a sčítání jsoutělesa.



Axiomatická definice - pojem tělesaMnožina reálných čísel s operacemi sčítání a násobenítvoří těleso, tj.






(R,+) je grupa,

(R \ {0}, ·) je grupa,∀x , y , z ∈ R : (x + y) · z = x · z + y · z (distributivita).





(R,+) je grupa,(R \ {0}, ·) je grupa,

∀x , y , z ∈ R : (x + y) · z = x · z + y · z (distributivita).Poznámka: Také množiny racionálních, resp.komplexních čísel s operacemi násobení a sčítání jsoutělesa.



Axiomatická definice - pojem uspořádání

Relace ≤ je uspořádání, tj.

∀x , y , z ∈ R : (x ≤ y & y ≤ z)⇒ x ≤ z (tranzitivita),∀x , y ∈ R : (x ≤ y & y ≤ x)⇒ x = y (slabáantisymetrie).

Dokonce lineární uspořádání:

∀x , y ∈ R : x ≤ y ∨ y ≤ x .



Axiomatická definice - pojem uspořádáníRelace ≤ je uspořádání, tj.

∀x , y , z ∈ R : (x ≤ y & y ≤ z)⇒ x ≤ z (tranzitivita),∀x , y ∈ R : (x ≤ y & y ≤ x)⇒ x = y (slabáantisymetrie).


∀x , y ∈ R : x ≤ y ∨ y ≤ x .



Axiomatická definice - pojem uspořádáníRelace ≤ je uspořádání, tj.∀x , y , z ∈ R : (x ≤ y & y ≤ z)⇒ x ≤ z (tranzitivita),

∀x , y ∈ R : (x ≤ y & y ≤ x)⇒ x = y (slabáantisymetrie).


∀x , y ∈ R : x ≤ y ∨ y ≤ x .



Axiomatická definice - pojem uspořádáníRelace ≤ je uspořádání, tj.∀x , y , z ∈ R : (x ≤ y & y ≤ z)⇒ x ≤ z (tranzitivita),∀x , y ∈ R : (x ≤ y & y ≤ x)⇒ x = y (slabáantisymetrie).


∀x , y ∈ R : x ≤ y ∨ y ≤ x .



Axiomatická definice - pojem uspořádáníRelace ≤ je uspořádání, tj.∀x , y , z ∈ R : (x ≤ y & y ≤ z)⇒ x ≤ z (tranzitivita),∀x , y ∈ R : (x ≤ y & y ≤ x)⇒ x = y (slabáantisymetrie).

Dokonce lineární uspořádání:∀x , y ∈ R : x ≤ y ∨ y ≤ x .



Axiomatická definice - pojem uspořádaného tělesa

Množina reálných čísel s operacemi sčítání a násobení as relací ≤ je uspořádané těleso, tj.

(R,+, ·) je těleso,≤ je lineární uspořádání,∀x , y , z ∈ R : x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z,∀x , y ∈ R : (0 ≤ x & 0 ≤ y)⇒ 0 ≤ x · y .

Poznámka: Také množina racionálních čísel jeuspořádané těleso. Množina komplexních čísel neníuspořádané těleso.



Axiomatická definice - pojem uspořádaného tělesaMnožina reálných čísel s operacemi sčítání a násobení as relací ≤ je uspořádané těleso, tj.






(R,+, ·) je těleso,

≤ je lineární uspořádání,∀x , y , z ∈ R : x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z,∀x , y ∈ R : (0 ≤ x & 0 ≤ y)⇒ 0 ≤ x · y .





(R,+, ·) je těleso,≤ je lineární uspořádání,

∀x , y , z ∈ R : x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z,∀x , y ∈ R : (0 ≤ x & 0 ≤ y)⇒ 0 ≤ x · y .





(R,+, ·) je těleso,≤ je lineární uspořádání,∀x , y , z ∈ R : x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z,

∀x , y ∈ R : (0 ≤ x & 0 ≤ y)⇒ 0 ≤ x · y .Poznámka: Také množina racionálních čísel jeuspořádané těleso. Množina komplexních čísel neníuspořádané těleso.





Poznámka: Také množina racionálních čísel jeuspořádané těleso.

Množina komplexních čísel neníuspořádané těleso.


II.2. Definice množiny reálných čísel




DefiniceMnožinou reálných čísel R budeme rozumět množinu

, naníž jsou definovány operace sčítání a násobení (značíme+ a ·), a relace menší nebo rovno (značíme ≤), přičemžjsou splněny následující tři skupiny vlastností.

I. Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah.II. Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení.III. Axiom infima.



DefiniceMnožinou reálných čísel R budeme rozumět množinu, naníž jsou definovány operace sčítání a násobení (značíme+ a ·)

, a relace menší nebo rovno (značíme ≤), přičemžjsou splněny následující tři skupiny vlastností.




DefiniceMnožinou reálných čísel R budeme rozumět množinu, naníž jsou definovány operace sčítání a násobení (značíme+ a ·), a relace menší nebo rovno (značíme ≤)

, přičemžjsou splněny následující tři skupiny vlastností.




DefiniceMnožinou reálných čísel R budeme rozumět množinu, naníž jsou definovány operace sčítání a násobení (značíme+ a ·), a relace menší nebo rovno (značíme ≤), přičemžjsou splněny následující tři skupiny vlastností.

I. Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah.

II. Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení.III. Axiom infima.




I. Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah.II. Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení.

III. Axiom infima.



Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah:∀x , y ∈ R : x + y = y + x (komutativita sčítání),

∀x , y , z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativitasčítání),v R existuje takový prvek (značíme ho 0 a říkáme munulový prvek), že pro všechna x ∈ R platí x + 0 = x ,∀x ∈ R ∃y ∈ R : x + y = 0 (y je tzv. opačné číslo kčíslu x , takové y je jen jedno, značíme ho −x),∀x , y ∈ R : x · y = y · x (komutativita násobení),∀x , y , z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativitanásobení),v R existuje nenulový prvek (tzv. jednotkový prvek,značíme ho 1), že pro všechna x ∈ R je 1 · x = x ,∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 (takové y je jen jedno,značíme ho x−1 nebo 1x ),∀x , y , z ∈ R : (x + y) · z = x · z + y · z (distributivita).



Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah:∀x , y ∈ R : x + y = y + x (komutativita sčítání),∀x , y , z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativitasčítání),

v R existuje takový prvek (značíme ho 0 a říkáme munulový prvek), že pro všechna x ∈ R platí x + 0 = x ,∀x ∈ R ∃y ∈ R : x + y = 0 (y je tzv. opačné číslo kčíslu x , takové y je jen jedno, značíme ho −x),∀x , y ∈ R : x · y = y · x (komutativita násobení),∀x , y , z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativitanásobení),v R existuje nenulový prvek (tzv. jednotkový prvek,značíme ho 1), že pro všechna x ∈ R je 1 · x = x ,∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 (takové y je jen jedno,značíme ho x−1 nebo 1x ),∀x , y , z ∈ R : (x + y) · z = x · z + y · z (distributivita).



Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah:∀x , y ∈ R : x + y = y + x (komutativita sčítání),∀x , y , z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativitasčítání),v R existuje takový prvek (značíme ho 0 a říkáme munulový prvek), že pro všechna x ∈ R platí x + 0 = x ,

∀x ∈ R ∃y ∈ R : x + y = 0 (y je tzv. opačné číslo kčíslu x , takové y je jen jedno, značíme ho −x),∀x , y ∈ R : x · y = y · x (komutativita násobení),∀x , y , z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativitanásobení),v R existuje nenulový prvek (tzv. jednotkový prvek,značíme ho 1), že pro všechna x ∈ R je 1 · x = x ,∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 (takové y je jen jedno,značíme ho x−1 nebo 1x ),∀x , y , z ∈ R : (x + y) · z = x · z + y · z (distributivita).



Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah:∀x , y ∈ R : x + y = y + x (komutativita sčítání),∀x , y , z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativitasčítání),v R existuje takový prvek (značíme ho 0 a říkáme munulový prvek), že pro všechna x ∈ R platí x + 0 = x ,∀x ∈ R ∃y ∈ R : x + y = 0 (y je tzv. opačné číslo kčíslu x , takové y je jen jedno, značíme ho −x),

∀x , y ∈ R : x · y = y · x (komutativita násobení),∀x , y , z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativitanásobení),v R existuje nenulový prvek (tzv. jednotkový prvek,značíme ho 1), že pro všechna x ∈ R je 1 · x = x ,∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 (takové y je jen jedno,značíme ho x−1 nebo 1x ),∀x , y , z ∈ R : (x + y) · z = x · z + y · z (distributivita).



Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah:∀x , y ∈ R : x + y = y + x (komutativita sčítání),∀x , y , z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativitasčítání),v R existuje takový prvek (značíme ho 0 a říkáme munulový prvek), že pro všechna x ∈ R platí x + 0 = x ,∀x ∈ R ∃y ∈ R : x + y = 0 (y je tzv. opačné číslo kčíslu x , takové y je jen jedno, značíme ho −x),∀x , y ∈ R : x · y = y · x (komutativita násobení),

∀x , y , z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativitanásobení),v R existuje nenulový prvek (tzv. jednotkový prvek,značíme ho 1), že pro všechna x ∈ R je 1 · x = x ,∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 (takové y je jen jedno,značíme ho x−1 nebo 1x ),∀x , y , z ∈ R : (x + y) · z = x · z + y · z (distributivita).



Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah:∀x , y ∈ R : x + y = y + x (komutativita sčítání),∀x , y , z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativitasčítání),v R existuje takový prvek (značíme ho 0 a říkáme munulový prvek), že pro všechna x ∈ R platí x + 0 = x ,∀x ∈ R ∃y ∈ R : x + y = 0 (y je tzv. opačné číslo kčíslu x , takové y je jen jedno, značíme ho −x),∀x , y ∈ R : x · y = y · x (komutativita násobení),∀x , y , z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativitanásobení),

v R existuje nenulový prvek (tzv. jednotkový prvek,značíme ho 1), že pro všechna x ∈ R je 1 · x = x ,∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 (takové y je jen jedno,značíme ho x−1 nebo 1x ),∀x , y , z ∈ R : (x + y) · z = x · z + y · z (distributivita).



Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah:∀x , y ∈ R : x + y = y + x (komutativita sčítání),∀x , y , z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativitasčítání),v R existuje takový prvek (značíme ho 0 a říkáme munulový prvek), že pro všechna x ∈ R platí x + 0 = x ,∀x ∈ R ∃y ∈ R : x + y = 0 (y je tzv. opačné číslo kčíslu x , takové y je jen jedno, značíme ho −x),∀x , y ∈ R : x · y = y · x (komutativita násobení),∀x , y , z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativitanásobení),v R existuje nenulový prvek (tzv. jednotkový prvek,značíme ho 1), že pro všechna x ∈ R je 1 · x = x ,

∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 (takové y je jen jedno,značíme ho x−1 nebo 1x ),∀x , y , z ∈ R : (x + y) · z = x · z + y · z (distributivita).



Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah:∀x , y ∈ R : x + y = y + x (komutativita sčítání),∀x , y , z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativitasčítání),v R existuje takový prvek (značíme ho 0 a říkáme munulový prvek), že pro všechna x ∈ R platí x + 0 = x ,∀x ∈ R ∃y ∈ R : x + y = 0 (y je tzv. opačné číslo kčíslu x , takové y je jen jedno, značíme ho −x),∀x , y ∈ R : x · y = y · x (komutativita násobení),∀x , y , z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativitanásobení),v R existuje nenulový prvek (tzv. jednotkový prvek,značíme ho 1), že pro všechna x ∈ R je 1 · x = x ,∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 (takové y je jen jedno,značíme ho x−1 nebo 1x ),

∀x , y , z ∈ R : (x + y) · z = x · z + y · z (distributivita).



Vlastnosti sčítání a násobení a jejich vzájemný vztah:∀x , y ∈ R : x + y = y + x (komutativita sčítání),∀x , y , z ∈ R : x + (y + z) = (x + y) + z (asociativitasčítání),v R existuje takový prvek (značíme ho 0 a říkáme munulový prvek), že pro všechna x ∈ R platí x + 0 = x ,∀x ∈ R ∃y ∈ R : x + y = 0 (y je tzv. opačné číslo kčíslu x , takové y je jen jedno, značíme ho −x),∀x , y ∈ R : x · y = y · x (komutativita násobení),∀x , y , z ∈ R : x · (y · z) = (x · y) · z (asociativitanásobení),v R existuje nenulový prvek (tzv. jednotkový prvek,značíme ho 1), že pro všechna x ∈ R je 1 · x = x ,∀x ∈ R \ {0} ∃y ∈ R : x · y = 1 (takové y je jen jedno,značíme ho x−1 nebo 1x ),∀x , y , z ∈ R : (x + y) · z = x · z + y · z (distributivita).



Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení:∀x , y , z ∈ R : (x ≤ y & y ≤ z)⇒ x ≤ z (tranzitivita),

∀x , y ∈ R : (x ≤ y & y ≤ x)⇒ x = y (slabáantisymetrie),∀x , y ∈ R : x ≤ y ∨ y ≤ x ,∀x , y , z ∈ R : x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z,∀x , y ∈ R : (0 ≤ x & 0 ≤ y)⇒ 0 ≤ x · y .



Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení:∀x , y , z ∈ R : (x ≤ y & y ≤ z)⇒ x ≤ z (tranzitivita),∀x , y ∈ R : (x ≤ y & y ≤ x)⇒ x = y (slabáantisymetrie),

∀x , y ∈ R : x ≤ y ∨ y ≤ x ,∀x , y , z ∈ R : x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z,∀x , y ∈ R : (0 ≤ x & 0 ≤ y)⇒ 0 ≤ x · y .



Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení:∀x , y , z ∈ R : (x ≤ y & y ≤ z)⇒ x ≤ z (tranzitivita),∀x , y ∈ R : (x ≤ y & y ≤ x)⇒ x = y (slabáantisymetrie),∀x , y ∈ R : x ≤ y ∨ y ≤ x ,

∀x , y , z ∈ R : x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z,∀x , y ∈ R : (0 ≤ x & 0 ≤ y)⇒ 0 ≤ x · y .



Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení:∀x , y , z ∈ R : (x ≤ y & y ≤ z)⇒ x ≤ z (tranzitivita),∀x , y ∈ R : (x ≤ y & y ≤ x)⇒ x = y (slabáantisymetrie),∀x , y ∈ R : x ≤ y ∨ y ≤ x ,∀x , y , z ∈ R : x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z,

∀x , y ∈ R : (0 ≤ x & 0 ≤ y)⇒ 0 ≤ x · y .



Vztah uspořádání a operací sčítání a násobení:∀x , y , z ∈ R : (x ≤ y & y ≤ z)⇒ x ≤ z (tranzitivita),∀x , y ∈ R : (x ≤ y & y ≤ x)⇒ x = y (slabáantisymetrie),∀x , y ∈ R : x ≤ y ∨ y ≤ x ,∀x , y , z ∈ R : x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z,∀x , y ∈ R : (0 ≤ x & 0 ≤ y)⇒ 0 ≤ x · y .



Axiom infima:Necht’ M ⊂ R je neprázdná a zdola omezená. Pak M máv R právě jedno infimum.



DefiniceŘekneme, že množina M ⊂ R je omezená zdola, jestližeexistuje číslo a ∈ R takové, že pro každé x ∈ M platíx ≥ a.

Takové číslo a se nazývá dolní závorou množinyM. Analogicky definujeme pojmy množina omezená shoraa horní závora. Řekneme, že množina M ⊂ R jeomezená, je-li omezená shora i zdola.



DefiniceŘekneme, že množina M ⊂ R je omezená zdola, jestližeexistuje číslo a ∈ R takové, že pro každé x ∈ M platíx ≥ a. Takové číslo a se nazývá dolní závorou množinyM.

Analogicky definujeme pojmy množina omezená shoraa horní závora. Řekneme, že množina M ⊂ R jeomezená, je-li omezená shora i zdola.



DefiniceŘekneme, že množina M ⊂ R je omezená zdola, jestližeexistuje číslo a ∈ R takové, že pro každé x ∈ M platíx ≥ a. Takové číslo a se nazývá dolní závorou množinyM. Analogicky definujeme pojmy množina omezená shoraa horní závora.

Řekneme, že množina M ⊂ R jeomezená, je-li omezená shora i zdola.



DefiniceŘekneme, že množina M ⊂ R je omezená zdola, jestližeexistuje číslo a ∈ R takové, že pro každé x ∈ M platíx ≥ a. Takové číslo a se nazývá dolní závorou množinyM. Analogicky definujeme pojmy množina omezená shoraa horní závora. Řekneme, že množina M ⊂ R jeomezená, je-li omezená shora i zdola.



DefiniceBudiž M ⊂ R neprázdná zdola omezená množina. Číslog ∈ R nazveme infimum množiny M, jestliže platí:

(i) ∀x ∈ M : x ≥ g,

(ii) ∀g′ ∈ R,g′ > g ∃x ∈ M : x < g′.Značíme g = inf M.

Poznámka

Infimum množiny M je její největší dolní závora.Axiom infima říká, že každá neprázdná zdolaomezená množina má infimum.




(i) ∀x ∈ M : x ≥ g,(ii) ∀g′ ∈ R,g′ > g ∃x ∈ M : x < g′.

Značíme g = inf M.

Poznámka

Infimum množiny M je její největší dolní závora.Axiom infima říká, že každá neprázdná zdolaomezená množina má infimum.






PoznámkaInfimum množiny M je její největší dolní závora.

Axiom infima říká, že každá neprázdná zdolaomezená množina má infimum.






PoznámkaInfimum množiny M je její největší dolní závora.Axiom infima říká, že každá neprázdná zdolaomezená množina má infimum.



PoznámkaEkvivalentní definice: Množina reálných čísel jeuspořádané těleso, které splňuje axiom infima.

Reálná čísla existují a jsou vlastnostmi I–III určenajednoznačně. (Silné tvrzení!)



PoznámkaEkvivalentní definice: Množina reálných čísel jeuspořádané těleso, které splňuje axiom infima.Reálná čísla existují a jsou vlastnostmi I–III určenajednoznačně. (Silné tvrzení!)



Přirozená čísla a matematická indukce

Množina přirozených čísel je nejmenší množina N ⊂ R,která splňuje

1 ∈ N∀ n ∈ R : n ∈ N⇒ (n + 1) ∈ N.

Metoda matematické indukce:Necht’ V (n), n ∈ N je výroková forma. Platí-li

V (1)∀ n ∈ N : V (n)⇒ V (n + 1),

pak ∀n ∈ N : V (n).



Přirozená čísla a matematická indukceMnožina přirozených čísel je nejmenší množina N ⊂ R,která splňuje

1 ∈ N∀ n ∈ R : n ∈ N⇒ (n + 1) ∈ N.


V (1)∀ n ∈ N : V (n)⇒ V (n + 1),

pak ∀n ∈ N : V (n).




1 ∈ N

∀ n ∈ R : n ∈ N⇒ (n + 1) ∈ N.Metoda matematické indukce:Necht’ V (n), n ∈ N je výroková forma. Platí-li

V (1)∀ n ∈ N : V (n)⇒ V (n + 1),

pak ∀n ∈ N : V (n).




1 ∈ N∀ n ∈ R : n ∈ N⇒ (n + 1) ∈ N.


V (1)∀ n ∈ N : V (n)⇒ V (n + 1),

pak ∀n ∈ N : V (n).




1 ∈ N∀ n ∈ R : n ∈ N⇒ (n + 1)

Date post:	31-Jan-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	6 times
Download:	1 times

Matematika I - Univerzita Karlovabarta/FSV/mat1_zs14/Matematika_I...Matematika I Co je matematika?...

Documents