Matematika IIIbarta/FSV/mat3_zs09/M3_Prezentace.… · Matematika III VIII. Primitivní funkce a...

Matematika III

Primitivní funkce a Riemannův integrálLineární algebraTaylorův polynomExtrémy funkcí více proměnných

Matematika III Program

Matematika III

Primitivní funkce a Riemannův integrál

Lineární algebraTaylorův polynomExtrémy funkcí více proměnných


Matematika III

Primitivní funkce a Riemannův integrálLineární algebra

Taylorův polynomExtrémy funkcí více proměnných


Matematika III

Primitivní funkce a Riemannův integrálLineární algebraTaylorův polynom

Extrémy funkcí více proměnných


Matematika III

Primitivní funkce a Riemannův integrálLineární algebraTaylorův polynomExtrémy funkcí více proměnných


VIII.2. Riemannův integrál – opakování


Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál



2.56

1.34

S(f ,D) =n∑

j=1

Mj(xj − xj−1)

S(f ,D) =n∑

j=1

mj(xj − xj−1)




2.56 1.34

S(f ,D) =n∑

j=1

Mj(xj − xj−1) S(f ,D) =n∑

j=1

mj(xj − xj−1)




2.15 1.84

S(f ,D) =n∑

j=1


j=1

mj(xj − xj−1)




2.08 1.92

S(f ,D) =n∑

j=1


j=1

mj(xj − xj−1)




2.08 1.92

S(f ,D) =n∑

j=1


j=1

mj(xj − xj−1)

inf S(f ,D) ?= sup S(f ,D)




2.08 1.92

S(f ,D) =n∑

j=1


j=1

mj(xj − xj−1)

∫ ba

f (x) dx := inf S(f ,D) = sup S(f ,D)



VětaNecht’ f je spojitá funkce na intervalu 〈a,b〉 a necht’

c ∈ 〈a,b〉. Označíme-li F (x) =∫ x

cf (t) dt pro x ∈ (a,b),

pak F ′(x) = f (x) pro každé x ∈ (a,b).


VIII.3. Primitivní funkce


DefiniceNecht’ funkce f je definována na neprázdném otevřenémintervalu I. Řekneme, že funkce F : I → R je primitivnífunkce k f na intervalu I, jestliže pro každé x ∈ I existujeF ′(x) a platí F ′(x) = f (x).

Věta 7 (jednoznačnost primitivní funkce)Necht’ F a G jsou primitivní funkce k funkci f naotevřeném intervalu I. Pak existuje c ∈ R tak, žeF (x) = G(x) + c pro každé x ∈ I.



PoznámkaMnožinu všech primitivních funkcí k funkci f značímesymbolem ∫

f (x) dx .

Skutečnost, že F je primitivní funkcí k f na I zapisujeme∫f (x) dx c= F (x), x ∈ I.

Věta 8 (o existenci primitivní funkce)Necht’ f je spojitá funkce na neprázdném otevřenémintervalu I. Pak f má na I primitivní funkci.



Věta 9 (linearita neurčitého integrálu)Necht’ funkce f má na otevřeném intervalu I primitivnífunkci F , funkce g má na I primitivní funkci G a α, β ∈ R.Potom funkce αF + βG je primitivní funkcí k αf + βg na I.



Primitivní funkce k některým důležitým funkcím

∫xn dx c=

xn+1

n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};

na (−∞,0) a na (0,∞) pro n ∈ Z, n < −1,∫xα dx c=

xα+1

α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},∫

1x

dx c= log x na (0,+∞),∫1x

dx c= log(−x) na (−∞,0),∫ex dx c= ex na R,



Primitivní funkce k některým důležitým funkcím∫xn dx c=

xn+1

n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};

na (−∞,0) a na (0,∞) pro n ∈ Z, n < −1,

∫xα dx c=

xα+1

α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},∫

1x






xn+1

n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};


xα+1

α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},

∫1x






xn+1

n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};


xα+1

α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},∫

1x

dx c= log x na (0,+∞),

∫1x





xn+1

n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};


xα+1

α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},∫

1x


dx c= log(−x) na (−∞,0),

∫ex dx c= ex na R,




xn+1

n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};


xα+1

α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},∫

1x




VIII.3. Primitivní funkce∫sin x dx c= − cos x na R,

∫cos x dx c= sin x na R,∫

1cos2 x

dx c= tg x na každém z intervalů

(−π2 + kπ,π2 + kπ), k ∈ Z,∫

1sin2 x

dx c= − cotg x na každém z intervalů(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,∫

11 + x2

dx c= arctg x na R,∫1√

1− x2dx c= arcsin x na (−1,1),∫

− 1√1− x2

dx c= arccos x na (−1,1).


VIII.3. Primitivní funkce∫sin x dx c= − cos x na R,∫cos x dx c= sin x na R,

∫1

cos2 xdx c= tg x na každém z intervalů

(−π2 + kπ,π2 + kπ), k ∈ Z,∫

1sin2 x


11 + x2



− 1√1− x2



VIII.3. Primitivní funkce∫sin x dx c= − cos x na R,∫cos x dx c= sin x na R,∫

1cos2 x


(−π2 + kπ,π2 + kπ), k ∈ Z,

∫1

sin2 xdx c= − cotg x na každém z intervalů

(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,∫1

1 + x2dx c= arctg x na R,∫

1√1− x2

dx c= arcsin x na (−1,1),∫− 1√

1− x2dx c= arccos x na (−1,1).



1cos2 x


(−π2 + kπ,π2 + kπ), k ∈ Z,∫

1sin2 x

dx c= − cotg x na každém z intervalů(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,

∫1

1 + x2dx c= arctg x na R,∫

1√1− x2

dx c= arcsin x na (−1,1),∫− 1√




1cos2 x


(−π2 + kπ,π2 + kπ), k ∈ Z,∫

1sin2 x


11 + x2

dx c= arctg x na R,

∫1√


− 1√1− x2




1cos2 x


(−π2 + kπ,π2 + kπ), k ∈ Z,∫

1sin2 x


11 + x2


1− x2dx c= arcsin x na (−1,1),

∫− 1√




1cos2 x


(−π2 + kπ,π2 + kπ), k ∈ Z,∫

1sin2 x


11 + x2



− 1√1− x2




Věta 10 (o substituci)(i) Necht’ F je primitivní funkce k f na (a,b). Necht’ je ϕ

funkce definovaná na (α, β) s hodnotami v intervalu(a,b), která má v každém bodě t ∈ (α, β) vlastníderivaci. Pak∫

f(ϕ(t)

)ϕ′(t) dt c= F

(ϕ(t)

)na (α, β).

(ii) Necht’ funkce ϕ má v každém bodě intervalu (α, β)vlastní derivaci, která je bud’ všude kladná, nebovšude záporná, a ϕ

((α, β)

)= (a,b). Necht’ funkce f

je definovaná na intervalu (a,b) a platí∫f(ϕ(t)

)ϕ′(t) dt c= G(t) na (α, β).

Pak ∫f (x) dx c= G

(ϕ−1(x)

)na (a,b).



Věta 11 (integrace per partes)Necht’ I je neprázdný otevřený interval, funkce f a g jsouspojité na I, F je primitivní funkce k f na I a G je primitivnífunkce ke g na I. Pak platí∫

g(x)F (x) dx = G(x)F (x)−∫

G(x)f (x) dx na I.



Integrace racionálních funkcí

DefiniceRacionální funkcí budeme rozumět podíl dvou polynomů,kde polynom ve jmenovateli není identicky roven nule.

Věta („základní věta algebry“)Necht’ n ∈ N, a0, . . . ,an ∈ C, an 6= 0. Pak rovnice

anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0 = 0

má alespoň jedno řešení z ∈ C.



Lemma 12 (o dělení polynomů)Necht’ P a Q jsou dva polynomy (s komplexnímikoeficienty), přičemž polynom Q není identicky rovennule. Pak existují jednoznačně určené polynomy R a Zsplňující:

Polynom Z je nulový nebo má stupeň menší nežstupeň Q.P(x) = R(x)Q(x) + Z (x) pro všechna x ∈ C.

Pokud mají P a Q reálné koeficienty, mají i R a Z reálnékoeficienty.

DůsledekJe-li P polynom a λ ∈ C je jeho kořen (tj. P(λ) = 0), pakexistuje polynom R, pro který platí P(x) = (x − λ)R(x)pro x ∈ C.



Věta 13 (o rozkladu na kořenové činitele)Necht’ P(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0 je polynom stupně n.Pak existují čísla x1, . . . , xn ∈ C taková, že

P(x) = an(x − x1) · · · (x − xn), x ∈ R.

DefiniceNecht’ P je polynom, λ ∈ C a k ∈ N. Řekneme, že λ jekořen násobnosti k polynomu P, jestliže existuje polynomR, který splňuje R(λ) 6= 0 a P(x) = (x − λ)kR(x) prox ∈ C. (Tj. násobnost kořene λ je rovna počtu výskytůčísla λ v n-tici x1, x2, . . . , xn z věty 13.)




P(x) = an(x − x1) · · · (x − xn), x ∈ R.

DefiniceNecht’ P je polynom, λ ∈ C a k ∈ N. Řekneme, že λ jekořen násobnosti k polynomu P, jestliže existuje polynomR, který splňuje R(λ) 6= 0 a P(x) = (x − λ)kR(x) prox ∈ C.

(Tj. násobnost kořene λ je rovna počtu výskytůčísla λ v n-tici x1, x2, . . . , xn z věty 13.)




P(x) = an(x − x1) · · · (x − xn), x ∈ R.

DefiniceNecht’ P je polynom, λ ∈ C a k ∈ N. Řekneme, že λ jekořen násobnosti k polynomu P, jestliže existuje polynomR, který splňuje R(λ) 6= 0 a P(x) = (x − λ)kR(x) prox ∈ C. (Tj. násobnost kořene λ je rovna počtu výskytůčísla λ v n-tici x1, x2, . . . , xn z věty 13.)



Věta 14 (o kořenech polynomu s reálnýmikoeficienty)Necht’ P je polynom s reálnými koeficienty a z ∈ C jekořen P násobnosti k ∈ N. Pak i komplexně sdruženéčíslo z je kořenem P násobnosti k.



Věta 15 (o rozkladu polynomu s reálnýmikoeficienty)Necht’ P(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0 je polynom stupně n sreálnými koeficienty. Pak existují reálná čísla x1, . . . , xk ,α1, . . . , αl , β1, . . . , βl a přirozená čísla p1, . . . ,pk , q1, . . . ,qltaková, že

P(x) = an(x − x1)p1 · · · (x − xk )pk (x2 + α1x + β1)q1· · · (x2 + αlx + βl)ql ,

žádné dva z mnohočlenů x − x1, x − x2, . . . , x − xk ,x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemají společnýkořen,mnohočleny x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemajížádný reálný kořen.




P(x) = an(x − x1)p1 · · · (x − xk )pk (x2 + α1x + β1)q1· · · (x2 + αlx + βl)ql ,žádné dva z mnohočlenů x − x1, x − x2, . . . , x − xk ,x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemají společnýkořen,

mnohočleny x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemajížádný reálný kořen.




P(x) = an(x − x1)p1 · · · (x − xk )pk (x2 + α1x + β1)q1· · · (x2 + αlx + βl)ql ,žádné dva z mnohočlenů x − x1, x − x2, . . . , x − xk ,x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemají společnýkořen,mnohočleny x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemajížádný reálný kořen.



Věta 16 (o rozkladu na parciální zlomky)Necht’ P,Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové,že stupeň P je ostře menší než stupeň Q aQ(x) = an(x − x1)p1 · · · (x − xk )pk (x2 + α1x + β1)q1· · · (x2 + αlx + βl)ql je rozklad polynomu Q(x) z věty 15.Pak existují jednoznačně určená reálná číslaA11, . . . ,A

1p1 , . . . ,A

k1, . . . ,A

kpk ,

B11 ,C11 , . . . ,B

1q1 ,C

1q1 , . . . ,B

l1,C

l1, . . . ,B

lql ,C

lql taková, že platí

P(x)Q(x) =

A11(x−x1)

+ · · ·+ A1p1

(x−x1)p1+ · · ·+ A

k1

(x−xk )+ · · ·+ A

kpk

(x−xk )pk

+B11x+C

11

(x2+α1x+β1)+ · · ·+ B

1q1

x+C1q1(x2+α1x+β1)q1

+ · · ·

+Bl1x+C

l1

(x2+αl x+βl )+ · · ·+ B

lql

x+C lql(x2+αl x+βl )ql

.




1p1 , . . . ,A

k1, . . . ,A

kpk ,

B11 ,C11 , . . . ,B

1q1 ,C

1q1 , . . . ,B

l1,C

l1, . . . ,B

lql ,C


P(x)Q(x) =

A11(x−x1)

+ · · ·+ A1p1

(x−x1)p1+

· · ·+ Ak1

(x−xk )+ · · ·+ A

kpk

(x−xk )pk

+B11x+C

11

(x2+α1x+β1)+ · · ·+ B

1q1


+ · · ·

+Bl1x+C

l1

(x2+αl x+βl )+ · · ·+ B

lql


.




1p1 , . . . ,A

k1, . . . ,A

kpk ,

B11 ,C11 , . . . ,B

1q1 ,C

1q1 , . . . ,B

l1,C

l1, . . . ,B

lql ,C


P(x)Q(x) =

A11(x−x1)

+ · · ·+ A1p1

(x−x1)p1+ · · ·+ A

k1

(x−xk )+ · · ·+ A

kpk

(x−xk )pk

+

B11x+C11

(x2+α1x+β1)+ · · ·+ B

1q1


+ · · ·

+Bl1x+C

l1

(x2+αl x+βl )+ · · ·+ B

lql


.




1p1 , . . . ,A

k1, . . . ,A

kpk ,

B11 ,C11 , . . . ,B

1q1 ,C

1q1 , . . . ,B

l1,C

l1, . . . ,B

lql ,C


P(x)Q(x) =

A11(x−x1)

+ · · ·+ A1p1

(x−x1)p1+ · · ·+ A

k1

(x−xk )+ · · ·+ A

kpk

(x−xk )pk

+B11x+C

11

(x2+α1x+β1)+ · · ·+ B

1q1


+ · · ·

+

Bl1x+Cl1

(x2+αl x+βl )+ · · ·+ B

lql


.




1p1 , . . . ,A

k1, . . . ,A

kpk ,

B11 ,C11 , . . . ,B

1q1 ,C

1q1 , . . . ,B

l1,C

l1, . . . ,B

lql ,C


P(x)Q(x) =

A11(x−x1)

+ · · ·+ A1p1

(x−x1)p1+ · · ·+ A

k1

(x−xk )+ · · ·+ A

kpk

(x−xk )pk

+B11x+C

11

(x2+α1x+β1)+ · · ·+ B

1q1


+ · · ·

+Bl1x+C

l1

(x2+αl x+βl )+ · · ·+ B

lql


.


VIII.4. Dodatky k Riemannovu integrálu


DefiniceNecht’ f je spojitá funkce na (a,b), −∞ ≤ a < b ≤ +∞ anecht’ c ∈ (a,b). Nevlastním Riemannovým integrálem oda do b z funkce f rozumíme

limα→a+

∫ cα

f (x) dx + limβ→b−

∫ βc

f (x) dx ,

pokud limity existují a jejich součet má smysl.



Věta 17 (Newtonův vzorec)Necht’ f je spojitá na intervalu (a,b), a < b, a necht’ F jeprimitivní funkce k f na (a,b).

1. Integrál∫ b

a f (x) dx existuje, právě když existují limitylimx→a+ F (x), limx→b− F (x) a jejich rozdíl má smysl. Vtomto případě platí∫ b

af (x) dx = lim

x→b−F (x)− lim

x→a+F (x). (1)

2. Pokud a, b ∈ R a f je spojitá na (omezeném!)uzavřeném intervalu 〈a,b〉, pak existují vlastní limitylimx→a+ F (x), limx→b− F (x) a platí (1).



Důsledek 18 (linearita Riemannova Integrálu)Necht’ f , g jsou spojité na intervalu (a,b),−∞ ≤ a < b ≤ +∞ a mají nevlastní Riemannovyintegrály na tomto intervalu. Necht’ α, β ∈ R. Pak platí∫ b

aαf (x) + βg(x) dx = α

∫ ba

f (x) dx + β∫ b

ag(x) dx ,

pokud má výraz na pravé straně smysl.


VIII.5. Vícerozměrný Riemannův integrál


DefiniceŘekneme, že A ⊂ Rn je buňka, jestliže

A = 〈a1,b1〉 × 〈a2,b2〉 × · · · × 〈an,bn〉,

přičemž −∞ < ai < bi < +∞, i = 1, . . . ,n.Objem buňky A budeme značit symbolem vol A adefinujeme jej jako

vol A =n∏

i=1

(bi − ai).





A = 〈a1,b1〉 × 〈a2,b2〉 × · · · × 〈an,bn〉,

přičemž −∞ < ai < bi < +∞, i = 1, . . . ,n.

Objem buňky A budeme značit symbolem vol A adefinujeme jej jako

vol A =n∏

i=1

(bi − ai).





A = 〈a1,b1〉 × 〈a2,b2〉 × · · · × 〈an,bn〉,

přičemž −∞ < ai < bi < +∞, i = 1, . . . ,n.Objem buňky A budeme značit symbolem vol A adefinujeme jej jako

vol A =n∏

i=1

(bi − ai).



DefiniceNecht’ I = 〈a,b〉, a < b. Řekneme, že posloupnostintervalů {〈xj−1, xj〉}kj=1 je dělením intervalu I, jestližea = x0 < x1 < · · · < xk = b.

Necht’ A = I1 × I2 × · · · × In ⊂ Rn je buňka. Řekneme, žesystém D složený z buněk je dělením buňky A, jestliže

D = {J1 × · · · × Jn; J1 ∈ D1, . . . , Jn ∈ Dn},

kde Dj je dělením intervalu Ij , j = 1, . . . ,n.



DefiniceNecht’ I = 〈a,b〉, a < b. Řekneme, že posloupnostintervalů {〈xj−1, xj〉}kj=1 je dělením intervalu I, jestližea = x0 < x1 < · · · < xk = b.Necht’ A = I1 × I2 × · · · × In ⊂ Rn je buňka. Řekneme, žesystém D složený z buněk je dělením buňky A, jestliže

D = {J1 × · · · × Jn; J1 ∈ D1, . . . , Jn ∈ Dn},

kde Dj je dělením intervalu Ij , j = 1, . . . ,n.



DefiniceNecht’ A je buňka a D,D0 jsou dvě dělení buňky A.Řekneme, že dělení D je zjemněním dělení D0, jestližekaždá buňka dělení D je obsažena v nějaké buňce děleníD0.

Normou dělení D rozumíme číslo

ν(D) = maxD∈D{ sup

x ,y∈Dρ(x ,y)}.



DefiniceNecht’ A je buňka a D,D0 jsou dvě dělení buňky A.Řekneme, že dělení D je zjemněním dělení D0, jestližekaždá buňka dělení D je obsažena v nějaké buňce děleníD0.Normou dělení D rozumíme číslo

ν(D) = maxD∈D{ sup

x ,y∈Dρ(x ,y)}.



Integrace funkce přes buňku

DefiniceNecht’ A ⊂ Rn je buňka a f je funkce definovaná alespoňna A, kde je omezená. Označme

S(f ,D) =∑D∈D

supD

f · vol D,

S(f ,D) =∑D∈D

infD

f · vol D,

∫Af = inf{S(f ,D); D je dělení A},∫

Af = sup{S(f ,D); D je dělení A}.



DefiniceV případě, že

∫Af =

∫Af , definujeme zobecněný

Riemannův integrál funkce f přes buňku A jako∫

A f =∫

Af .Někdy používáme také symbol

∫A f (x) dx , kde je

vyznačena proměnná funkce f .



PoznámkaPokud D1, D2 jsou dvě dělení buňky A a D je děleníbuňky A zjemňující D1 i D2, pak

S(f ,D1) ≤ S(f ,D) ≤ S(f ,D) ≤ S(f ,D2).

Odtud lze snadno odvodit∫

Af ≤∫

Af .



Lemma 19 (ekvivalentní definicevícerozměrného integrálu)Necht’ f je funkce omezená na buňce A ⊂ Rn.(a)

∫A f = I ∈ R právě tehdy, když ke každému ε ∈ R,ε > 0 existuje dělení D buňky A takové, že

I − ε < S(f ,D) ≤ S(f ,D) < I + ε.

(b) Funkce f má na buňce A zobecněný Riemannůvintegrál právě tehdy, když ke každému ε ∈ R, ε > 0existuje dělení D buňky A takové, že

S(f ,D)− S(f ,D) < ε.



Tvrzení 20 (integrál přes rozdělenou buňku)Necht’ f je funkce omezená na buňce A ⊂ Rn a necht’ Dje dělení buňky A. Jestliže pro každé D ∈ D existuje

∫D f ,

pak existuje i∫

A f a platí∫A

f =∑D∈D

∫D

f .

Důsledek 21Necht’ A,B ⊂ Rn jsou buňky, A ⊂ B. Necht’ f je funkcedefinovaná alespoň na B, pro kterou platí f (x) = 0 pokudx ∈ B \ A. Potom jestliže existuje

∫A f , pak existuje i

∫B f a

oba integrály se rovnají.



Integrace funkce přes množinu

DefiniceNecht’ M ⊂ Rn a f je funkce n proměnných, která jedefinována alespoň na M a je na M omezená. Definujmefunkci f̃ : Rn → R takto:

f̃ (x) =

{f (x) x ∈ M,0 x ∈ Rn \M.

Zobecněný Riemannův integrál∫

M f definujeme jako∫M

f = limr→+∞

∫〈−r ,r〉n

f̃ ,

pokud uvedená limita existuje. (Především tedy musíexistovat

∫〈−r ,r〉n f̃ pro všechna r ∈ (0,+∞).)



Pokud integrál funkce f přes množinu M ⊂ Rn existuje apřitom je konečný, pak říkáme, že

∫M f konverguje. Pokud

je roven +∞ nebo −∞, pak říkáme, že diverguje. Mámepak následující schéma:

∫M

f

existuje a je roven

reálnému číslu, tj. konverguje;

+∞, tj. diverguje;−∞, tj. diverguje;

neexistuje.



Věta 22 (linearita vícerozměrného integrálu)Necht’ M ⊂ Rn, α ∈ R \ {0} a f a g jsou funkce nproměnných takové, že integrály

∫M f a

∫M g existují.

Potom(i)∫

M(f + g) existuje a platí∫M

(f + g) =∫

Mf +

∫M

g,

pokud má výraz na pravé straně rovnosti smysl.(ii)

∫M αf existuje a platí∫

Mαf = α

∫M

f .



Věta 23 (integrál přes sjednocení množin)Necht’ M,N ⊂ Rn, M ∩ N = ∅ a f je funkce n proměnnýchtaková, že integrály

∫M f a

∫N f existují. Potom existuje i

integrál∫

M∪N f a platí∫M∪N

f =∫

Mf +

∫N

f ,

pokud má výraz na pravé straně rovnosti smysl.



Věta 24 (integrál a uspořádání)Necht’ M ⊂ Rn a f a g jsou funkce n proměnných takové,že integrály

∫M f a

∫M g existují.

(i) Je-li f ≥ 0, potom i∫

M f ≥ 0.(ii) Je-li f ≤ g, potom i

∫M f ≤

∫M g.

(iii)∫

M |f | existuje a platí∣∣∣∣∫M

f∣∣∣∣ ≤ ∫

M|f | .



Věta 25 (o konvergenci a existenci integrálu)

(i) Necht’ K ⊂ Rn je omezená konvexní množina a f jeomezená funkce na K , která je spojitá ve všechbodech K (vzhledem ke K ) vyjma nejvýše konečněmnoha bodů z K . Potom

∫K f konverguje.

(ii) Necht’ K ⊂ Rn je konvexní množina a f je omezenánezáporná funkce na K , která je spojitá ve všechbodech K (vzhledem ke K ) vyjma nejvýše konečněmnoha bodů z K . Potom

∫K f existuje.



Věta 26 (Fubiniova věta)

(i) Necht’ M1 ⊂ Rm a M2 ⊂ Rn. Předpokládejme dále, žemnožiny M1 a M2 jsou buňky. Necht’ f je funkcedefinovaná alespoň na M1 ×M2 a necht’ existuje∫

M1×M2f . Pokud pro každé x ∈ M1 existuje

F (x) =∫

M2f (x ,y) dy ∈ R, potom platí∫

M1×M2f =

∫M1

F (x) dx .

(ii) Necht’ f : Rm × Rn → R je nezáporná funkce a necht’existuje

∫Rm×Rn f . Pokud pro každé x ∈ R

m existujeF (x) =

∫Rn f (x ,y) dy ∈ R a pokud existuje∫

Rm F (x) dx , pak platí∫Rm×Rn

f =∫

RmF (x) dx .


IX.1. Vektorové prostory


Symbol K značí množinu R nebo C.

Matematika III IX. Lineární algebra


Definice

Vektorovým prostorem nad K rozumíme trojici (V ,+, ·),kde V je neprázdná množina, + je operace z V × V doV a · je operace z K× V do V , přičemž tyto operace majínásledující vlastnosti:



Definice

∀u,v ∈ V : u + v = v + u (komutativita sčítání),

∀u,v ,w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w)(asociativita sčítání),množina V obsahuje prvek, který značíme o (aříkáme mu nulový prvek), splňující

∀v ∈ V : o + v = v .

∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,∀v ∈ V : 1 · v = v .



Definice

∀u,v ∈ V : u + v = v + u (komutativita sčítání),∀u,v ,w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w)(asociativita sčítání),

množina V obsahuje prvek, který značíme o (aříkáme mu nulový prvek), splňující

∀v ∈ V : o + v = v .




Definice

∀u,v ∈ V : u + v = v + u (komutativita sčítání),∀u,v ,w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w)(asociativita sčítání),množina V obsahuje prvek, který značíme o (aříkáme mu nulový prvek), splňující

∀v ∈ V : o + v = v .




Definice


∀v ∈ V : o + v = v .

∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,

∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,∀v ∈ V : 1 · v = v .



Definice


∀v ∈ V : o + v = v .

∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,

∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,∀v ∈ V : 1 · v = v .



Definice


∀v ∈ V : o + v = v .

∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,

∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,∀v ∈ V : 1 · v = v .



Definice


∀v ∈ V : o + v = v .

∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,

∀v ∈ V : 1 · v = v .



Definice


∀v ∈ V : o + v = v .




DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor nad K a U ⊂ V ,U 6= ∅. Řekneme, že U je vektorový podprostor prostoruV , jestliže∀u,v ∈ U : u + v ∈ U,

∀a ∈ K ∀u ∈ U : a · u ∈ U.



DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor nad K a U ⊂ V ,U 6= ∅. Řekneme, že U je vektorový podprostor prostoruV , jestliže∀u,v ∈ U : u + v ∈ U,∀a ∈ K ∀u ∈ U : a · u ∈ U.



DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, m ∈ N,u1, . . . ,um ∈ V a λ1, . . . , λm ∈ K. Výraz

λ1u1 + · · ·+ λmum

nazýváme lineární kombinací vektorů u1, . . . ,um.

Pokudalespoň jedno z čísel λ1, . . . , λm je nenulové, pakhovoříme o netriviální lineární kombinaci, v opačnémpřípadě jde o triviální lineární kombinaci. Lineárníkombinací prázdné množiny vektorů rozumíme nulovývektor.




λ1u1 + · · ·+ λmum

nazýváme lineární kombinací vektorů u1, . . . ,um. Pokudalespoň jedno z čísel λ1, . . . , λm je nenulové, pakhovoříme o netriviální lineární kombinaci, v opačnémpřípadě jde o triviální lineární kombinaci.

Lineárníkombinací prázdné množiny vektorů rozumíme nulovývektor.




λ1u1 + · · ·+ λmum

nazýváme lineární kombinací vektorů u1, . . . ,um. Pokudalespoň jedno z čísel λ1, . . . , λm je nenulové, pakhovoříme o netriviální lineární kombinaci, v opačnémpřípadě jde o triviální lineární kombinaci. Lineárníkombinací prázdné množiny vektorů rozumíme nulovývektor.



DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, u1, . . . ,um ∈ V .Řekneme, že vektory u1, . . . ,um jsou lineárně závislé,pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jež jerovna nulovému vektoru.

Pokud vektory u1, . . . ,um nejsoulineárně závislé, pak říkáme, že jsou lineárně nezávislé.Řekneme, že množina M ⊂ V je lineárně nezávislá,jestliže libovolná m-tice po dvou různých vektorů z M jelineárně nezávislá.

DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, M ⊂ V . Řekneme, žemnožina M generuje V , jestliže každý vektor z V jelineární kombinací konečně mnoha vektorů z M.



DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, u1, . . . ,um ∈ V .Řekneme, že vektory u1, . . . ,um jsou lineárně závislé,pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jež jerovna nulovému vektoru. Pokud vektory u1, . . . ,um nejsoulineárně závislé, pak říkáme, že jsou lineárně nezávislé.

Řekneme, že množina M ⊂ V je lineárně nezávislá,jestliže libovolná m-tice po dvou různých vektorů z M jelineárně nezávislá.




DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, u1, . . . ,um ∈ V .Řekneme, že vektory u1, . . . ,um jsou lineárně závislé,pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jež jerovna nulovému vektoru. Pokud vektory u1, . . . ,um nejsoulineárně závislé, pak říkáme, že jsou lineárně nezávislé.Řekneme, že množina M ⊂ V je lineárně nezávislá,jestliže libovolná m-tice po dvou různých vektorů z M jelineárně nezávislá.




DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor a B ⊂ V . Řekneme,že B je báze prostoru V , jestliže množina B je lineárněnezávislá a generuje V .



Věta 1 (o bázi vektorového prostoru)

(i) Každou lineárně nezávislou podmnožinuvektorového prostoru lze doplnit na bázi tohotoprostoru.

(ii) Každý vektorový prostor má bázi.(iii) Počet prvků báze prostoru V je určen jednoznačně a

nazýváme ho dimenze prostoru V (značíme dim V).

DefiniceJe-li dim V < +∞, řekneme, že V je konečněrozměrný(konečnědimenzionální). Je-li dim V = +∞, mluvíme onekonečněrozměrném (nekonečnědimenzionálním)vektorovém prostoru.





(ii) Každý vektorový prostor má bázi.

(iii) Počet prvků báze prostoru V je určen jednoznačně anazýváme ho dimenze prostoru V (značíme dim V).






(ii) Každý vektorový prostor má bázi.(iii) Počet prvků báze prostoru V je určen jednoznačně a

nazýváme ho dimenze prostoru V (značíme dim V).




Tvrzení 2 (o bázi konečněrozměrného prostoru)Necht’ V je vektorový prostor dimenze n ∈ N nad K.

(i) Jsou-li v1, . . . ,vn lineárně nezávislé vektory vprostoru V , pak množina {v1, . . . ,vn} je bázíprostoru V .

(ii) Jestliže pro vektory v1, . . . ,vn ∈ V platílinK{v1, . . . ,vn} = V, je množina {v1, . . . ,vn} bázíprostoru V .


IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustav lineárních rovnic

IX.2. Lineární zobrazení a řešení soustavlineárních rovnic

DefiniceNecht’ U a V jsou vektorové prostory nad K. ZobrazeníL : U → V se nazývá lineární, jestliže platí:

∀u1,u2 ∈ U : L(u1 + u2) = L(u1) + L(u2),∀a ∈ K ∀u ∈ U : L(au) = aL(u).




DefiniceNecht’ U a V jsou vektorové prostory nad K. ZobrazeníL : U → V se nazývá lineární, jestliže platí:∀u1,u2 ∈ U : L(u1 + u2) = L(u1) + L(u2),

∀a ∈ K ∀u ∈ U : L(au) = aL(u).




DefiniceNecht’ U a V jsou vektorové prostory nad K. ZobrazeníL : U → V se nazývá lineární, jestliže platí:∀u1,u2 ∈ U : L(u1 + u2) = L(u1) + L(u2),∀a ∈ K ∀u ∈ U : L(au) = aL(u).



DefiniceNecht’ U a V jsou vektorové prostory nad K, L : U → Vnecht’ je lineární zobrazení. Jádrem lineárního zobrazeníL nazveme množinu

Ker(L) = L−1({o}) = {u ∈ U : L(u) = o}.

Symbolem Im(L) značíme obor hodnot zobrazení L, tedy

Im L = L(U) = {v ∈ V ; ∃u ∈ U : L(u) = v}.



Věta 3 (vlastnosti jádra a obrazu)Necht’ U a V jsou vektorové prostory nad K, L : U → Vnecht’ je lineární zobrazení. Potom platí:

(i) Množina Ker(L) je vektorovým podprostorem U.

(ii) Množina Im(L) je vektorovým podprostorem V.(iii) Pro dimenze platí: dim U = dim Ker(L) + dim Im(L).




(i) Množina Ker(L) je vektorovým podprostorem U.(ii) Množina Im(L) je vektorovým podprostorem V.

(iii) Pro dimenze platí: dim U = dim Ker(L) + dim Im(L).




(i) Množina Ker(L) je vektorovým podprostorem U.(ii) Množina Im(L) je vektorovým podprostorem V.(iii) Pro dimenze platí: dim U = dim Ker(L) + dim Im(L).



Necht’ U, V jsou vektorové prostory, L : U → V je lineárnízobrazení a b ∈ V . Uvažujme rovnici

L(x) = b. (2)

Věta 4 (řešení nehomogenní rovnice)Necht’ x0 ∈ U je řešením rovnice (2). Potom množina

{x0 + w : w ∈ Ker(L)}

je množinou všech řešení rovnice (2).



Necht’ A ∈ M(m × n), b ∈ Rm. Uvažujme soustavu mrovnic o n neznámých

Ax = b. (3)

Důsledek 5Má-li soustava (3) řešení x0 ∈ Rn, pak množina všechřešení má tvar

{x0 + w : Aw = o}.


IX.3. Bilineární formy


DefiniceŘekneme, že zobrazení B : Rn × Rn → R je bilineárníforma, jestliže platí:

(i) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u + v ,w) = B(u,w) + B(v ,w),(ii) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(au,v) = aB(u,v),(iii) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w),(iv) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(u,av) = aB(u,v).





(i) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u + v ,w) = B(u,w) + B(v ,w),

(ii) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(au,v) = aB(u,v),(iii) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w),(iv) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(u,av) = aB(u,v).





(i) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u + v ,w) = B(u,w) + B(v ,w),(ii) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(au,v) = aB(u,v),

(iii) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w),(iv) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(u,av) = aB(u,v).





(i) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u + v ,w) = B(u,w) + B(v ,w),(ii) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(au,v) = aB(u,v),(iii) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w),

(iv) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(u,av) = aB(u,v).





(i) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u + v ,w) = B(u,w) + B(v ,w),(ii) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(au,v) = aB(u,v),(iii) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w),(iv) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(u,av) = aB(u,v).



Věta 6 (reprezentace bilineárních forem)Zobrazení B : Rn × Rn → R je bilineární forma, právě kdyžexistuje matice A ∈ M(n × n) taková, že

∀u,v ∈ Rn : B(u,v) = uT Av .

DefiniceMatice A ∈ M(n × n) z předchozí věty se nazýváreprezentující maticí formy B.



DefiniceŘekneme, že bilineární forma B : Rn × Rn → R jesymetrická, jestliže platí

∀u,v ∈ Rn : B(u,v) = B(v ,u).

PoznámkaBilineární forma B je symetrická, právě když jejíreprezentující matice A je symetrická, tj. A = AT .



DefiniceNecht’ B : Rn × Rn → R je symetrická bilineární forma.Řekneme, že B je

pozitivně definitní (PD), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) > 0,

negativně definitní (ND), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) < 0,pozitivně semidefinitní (PSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≥ 0,negativně semidefinitní (NSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≤ 0,indefinitní (ID), neplatí-li nic z předchozího, tj.∃u,v ∈ Rn : B(u,u) > 0 & B(v ,v) < 0.




pozitivně definitní (PD), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) > 0,negativně definitní (ND), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) < 0,

pozitivně semidefinitní (PSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≥ 0,negativně semidefinitní (NSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≤ 0,indefinitní (ID), neplatí-li nic z předchozího, tj.∃u,v ∈ Rn : B(u,u) > 0 & B(v ,v) < 0.




pozitivně definitní (PD), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) > 0,negativně definitní (ND), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) < 0,pozitivně semidefinitní (PSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≥ 0,

negativně semidefinitní (NSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≤ 0,indefinitní (ID), neplatí-li nic z předchozího, tj.∃u,v ∈ Rn : B(u,u) > 0 & B(v ,v) < 0.




pozitivně definitní (PD), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) > 0,negativně definitní (ND), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) < 0,pozitivně semidefinitní (PSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≥ 0,negativně semidefinitní (NSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≤ 0,

indefinitní (ID), neplatí-li nic z předchozího, tj.∃u,v ∈ Rn : B(u,u) > 0 & B(v ,v) < 0.




pozitivně definitní (PD), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) > 0,negativně definitní (ND), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) < 0,pozitivně semidefinitní (PSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≥ 0,negativně semidefinitní (NSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≤ 0,indefinitní (ID), neplatí-li nic z předchozího, tj.∃u,v ∈ Rn : B(u,u) > 0 & B(v ,v) < 0.



DefiniceŘekneme, že matice A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální,jestliže aij = 0 pro každé i , j ∈ {1, . . . ,n}, i 6= j .

Tvrzení 7 (definitnost diagonální matice)Necht’ A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální. Pak platí:

A je PD, právě když aii > 0, i = 1, . . . ,n;A je ND, právě když aii < 0, i = 1, . . . ,n;A je PSD, právě když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;A je NSD, právě když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;A je ID, právě když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.





A je PD, právě když aii > 0, i = 1, . . . ,n;

A je ND, právě když aii < 0, i = 1, . . . ,n;A je PSD, právě když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;A je NSD, právě když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;A je ID, právě když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.





A je PD, právě když aii > 0, i = 1, . . . ,n;A je ND, právě když aii < 0, i = 1, . . . ,n;

A je PSD, právě když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;A je NSD, právě když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;A je ID, právě když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.





A je PD, právě když aii > 0, i = 1, . . . ,n;A je ND, právě když aii < 0, i = 1, . . . ,n;A je PSD, právě když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;

A je NSD, právě když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;A je ID, právě když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.





A je PD, právě když aii > 0, i = 1, . . . ,n;A je ND, právě když aii < 0, i = 1, . . . ,n;A je PSD, právě když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;A je NSD, právě když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;

A je ID, právě když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.





A je PD, právě když aii > 0, i = 1, . . . ,n;A je ND, právě když aii < 0, i = 1, . . . ,n;A je PSD, právě když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;A je NSD, právě když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;A je ID, právě když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.



DefiniceSymetrickou elementární úpravou matice A ∈ M(n × n)budeme rozumět úpravu, kdy provedeme jistouelementární řádkovou úpravu matice A a vzniklou maticiupravíme odpovídající sloupcovou úpravou.Symetrickou transformací matice A budeme rozumětkonečnou posloupnost symetrických elementárních úprav.



Lemma 8 (o matici transformace)Necht’ T je transformace matic o m řádcích. Potomexistuje regulární matice B ∈ M(m ×m) taková, žekdykoli A′ ∈ M(m × n) vznikla z A ∈ M(m × n) pomocí T ,tak platí BA = A′.

Věta 9 (o matici symetrické transformace)Uvažujme symetrickou transformaci T matic typu n × n.Potom existuje regulární matice B ∈ M(n × n) taková, žekdykoli matice A′ ∈ M(n × n) vznikne z A ∈ M(n × n)pomocí T , tak platí BABT = A′.



Lemma 10 (o symetrické transformacisymetrické matice)

(i) Je-li A ∈ M(n × n) symetrická matice aC ∈ M(n × n), pak CACT je opět symetrická matice.

(ii) Symetrická transformace zachovává symetrii matice.

Věta 11 (symetrické transformace a definitnost)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice a necht’B ∈ M(n × n) vznikla z A pomocí symetrickétransformace. Matice A je pozitivně definitní (negativnědefinitní, pozitivně semidefinitní, negativně semidefinitní,indefinitní), právě když B je pozitivně definitní (negativnědefinitní, . . . ).



Věta 12 (diagonalizace symetrické matice)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak ji lzesymetrickou transformací převést na diagonální matici.



Věta 13 (Sylvestrovo kritérium)Necht’ A = (aij) ∈ M(n×n) je symetrická matice. Pak A je

pozitivně definitní, právě když∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1k...

...ak1 . . . akk

∣∣∣∣∣∣∣ > 0 pro každé k = 1, . . . ,n,

negativně definitní, právě když

(−1)k

∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1k...

...ak1 . . . akk

∣∣∣∣∣∣∣ > 0 pro každé k = 1, . . . ,n,



Věta 13 (Sylvestrovo kritérium)Necht’ A = (aij) ∈ M(n×n) je symetrická matice. Pak A je

pozitivně definitní, právě když∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1k...

...ak1 . . . akk

∣∣∣∣∣∣∣ > 0 pro každé k = 1, . . . ,n,negativně definitní, právě když

(−1)k

∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1k...

...ak1 . . . akk

∣∣∣∣∣∣∣ > 0 pro každé k = 1, . . . ,n,



pozitivně semidefinitní, právě když pro každou k -ticipřirozených čísel 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n, k = 1, . . . ,n,platí ∣∣∣∣∣∣∣

ai1i1 . . . ai1ik...

...aik i1 . . . aik ik

∣∣∣∣∣∣∣ ≥ 0,

negativně semidefinitní, právě když pro každou k -ticipřirozených čísel 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n, k = 1, . . . ,n,platí

(−1)k

∣∣∣∣∣∣∣ai1i1 . . . ai1ik...


∣∣∣∣∣∣∣ ≥ 0.



pozitivně semidefinitní, právě když pro každou k -ticipřirozených čísel 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n, k = 1, . . . ,n,platí ∣∣∣∣∣∣∣

ai1i1 . . . ai1ik...


∣∣∣∣∣∣∣ ≥ 0,negativně semidefinitní, právě když pro každou k -ticipřirozených čísel 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n, k = 1, . . . ,n,platí

(−1)k

∣∣∣∣∣∣∣ai1i1 . . . ai1ik...


∣∣∣∣∣∣∣ ≥ 0.


IX.4. Vlastní čísla a vektory


DefiniceNecht’ A ∈ M(n × n). Řekneme, že λ ∈ C je vlastní číslomatice A, jestliže existuje nenulový vektor x ∈ Cn takový,že Ax = λx . Vektor x pak nazýváme vlastním vektoremmatice A příslušným k vlastnímu číslu λ.

Věta 14Necht’ A ∈ M(n × n).

(i) Prvek λ ∈ C je vlastním číslem matice A, právě kdyždet(λI − A) = 0.

(ii) Matice A má nejvýše n různých vlastních čísel.



DefiniceNecht’ A ∈ M(n× n). Polynom λ 7→ det(λI −A) se nazývácharakteristický polynom matice A. Vzhledem k tvrzení (i)předchozí věty definujeme násobnost vlastního číslamatice jako násobnost tohoto čísla jakožto kořenecharakteristického polynomu.

Věta 15 (vlastní čísla symetrické matice)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak jsouvšechna její vlastní čísla reálná.



DefiniceŘekneme, že matice Q ∈ M(n × n) je ortogonální, jestližeplatí QT Q = QQT = I .

Věta 16 (spektrální rozklad matice)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak existujeortogonální matice Q ∈ M(n × n) taková, že

QAQT =

λ1 . . . 0... . . . ...0 . . . λn

,kde λ1, . . . , λn jsou vlastní čísla matice A.



Věta 17 (vlastní čísla a definitnost)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak platí:

A je pozitivně definitní, právě když jsou všechna jejívlastní čísla kladná,

A je negativně definitní, právě když jsou všechna jejívlastní čísla záporná,A je pozitivně semidefinitní, právě když jsou všechnajejí vlastní čísla nezáporná,A je negativně semidefinitní, právě když jsouvšechna její vlastní čísla nekladná,A je indefinitní, právě když má kladné vlastní číslo izáporné vlastní číslo.




A je pozitivně definitní, právě když jsou všechna jejívlastní čísla kladná,A je negativně definitní, právě když jsou všechna jejívlastní čísla záporná,

A je pozitivně semidefinitní, právě když jsou všechnajejí vlastní čísla nezáporná,A je negativně semidefinitní, právě když jsouvšechna její vlastní čísla nekladná,A je indefinitní, právě když má kladné vlastní číslo izáporné vlastní číslo.




A je pozitivně definitní, právě když jsou všechna jejívlastní čísla kladná,A je negativně definitní, právě když jsou všechna jejívlastní čísla záporná,A je pozitivně semidefinitní, právě když jsou všechnajejí vlastní čísla nezáporná,

A je negativně semidefinitní, právě když jsouvšechna její vlastní čísla nekladná,A je indefinitní, právě když má kladné vlastní číslo izáporné vlastní číslo.




A je pozitivně definitní, právě když jsou všechna jejívlastní čísla kladná,A je negativně definitní, právě když jsou všechna jejívlastní čísla záporná,A je pozitivně semidefinitní, právě když jsou všechnajejí vlastní čísla nezáporná,A je negativně semidefinitní, právě když jsouvšechna její vlastní čísla nekladná,

A je indefinitní, právě když má kladné vlastní číslo izáporné vlastní číslo.




A je pozitivně definitní, právě když jsou všechna jejívlastní čísla kladná,A je negativně definitní, právě když jsou všechna jejívlastní čísla záporná,A je pozitivně semidefinitní, právě když jsou všechnajejí vlastní čísla nezáporná,A je negativně semidefinitní, právě když jsouvšechna její vlastní čísla nekladná,A je indefinitní, právě když má kladné vlastní číslo izáporné vlastní číslo.



DefiniceNecht’ A = (aij) ∈ M(n × n). Stopou matice A rozumímečíslo

tr(A) =n∑

i=1

aii .

Věta 18 (vlastnosti stopy)Necht’ A,B,C ∈ M(n × n), a ∈ R. Pak platí:

(i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B),(ii) tr(aA) = a tr(A),(iii) tr(AB) = tr(BA),(iv) tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA).




tr(A) =n∑

i=1

aii .


(i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B),

(ii) tr(aA) = a tr(A),(iii) tr(AB) = tr(BA),(iv) tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA).




tr(A) =n∑

i=1

aii .


(i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B),(ii) tr(aA) = a tr(A),

(iii) tr(AB) = tr(BA),(iv) tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA).




tr(A) =n∑

i=1

aii .


(i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B),(ii) tr(aA) = a tr(A),(iii) tr(AB) = tr(BA),

(iv) tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA).


Date post:	20-Oct-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	4 times
Download:	0 times

Matematika IIIbarta/FSV/mat3_zs09/M3_Prezentace.… · Matematika III VIII. Primitivní funkce a...

Documents