Matematika IV
Diferencní rovniceDiferenciální rovnice
rešení rovnic se separovanými promennýmirešení lineárních rovnic prvního ráduteorie lineárních rovnic vyšších rádurešení lineárních rovnic vyšších rádu s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza autonomních rovnic
Soustavy diferenciálních rovnic
teorie pro existenci a jednoznacnost rešeníteorie soustav lineárních rovnic prvního rádurešení soustav lineárních rovnic s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza stacionárních bodu, stabilita
Matematika IV Program 1
Matematika IV
Diferencní rovnice
Diferenciální rovnice
rešení rovnic se separovanými promennýmirešení lineárních rovnic prvního ráduteorie lineárních rovnic vyšších rádurešení lineárních rovnic vyšších rádu s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza autonomních rovnic
Soustavy diferenciálních rovnic
teorie pro existenci a jednoznacnost rešeníteorie soustav lineárních rovnic prvního rádurešení soustav lineárních rovnic s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza stacionárních bodu, stabilita
Matematika IV Program 1
Matematika IV
Diferencní rovniceDiferenciální rovnice
rešení rovnic se separovanými promennýmirešení lineárních rovnic prvního ráduteorie lineárních rovnic vyšších rádurešení lineárních rovnic vyšších rádu s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza autonomních rovnic
Soustavy diferenciálních rovnic
teorie pro existenci a jednoznacnost rešeníteorie soustav lineárních rovnic prvního rádurešení soustav lineárních rovnic s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza stacionárních bodu, stabilita
Matematika IV Program 1
Matematika IV
Diferencní rovniceDiferenciální rovnice
rešení rovnic se separovanými promennými
rešení lineárních rovnic prvního ráduteorie lineárních rovnic vyšších rádurešení lineárních rovnic vyšších rádu s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza autonomních rovnic
Soustavy diferenciálních rovnic
teorie pro existenci a jednoznacnost rešeníteorie soustav lineárních rovnic prvního rádurešení soustav lineárních rovnic s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza stacionárních bodu, stabilita
Matematika IV Program 1
Matematika IV
Diferencní rovniceDiferenciální rovnice
rešení rovnic se separovanými promennýmirešení lineárních rovnic prvního rádu
teorie lineárních rovnic vyšších rádurešení lineárních rovnic vyšších rádu s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza autonomních rovnic
Soustavy diferenciálních rovnic
teorie pro existenci a jednoznacnost rešeníteorie soustav lineárních rovnic prvního rádurešení soustav lineárních rovnic s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza stacionárních bodu, stabilita
Matematika IV Program 1
Matematika IV
Diferencní rovniceDiferenciální rovnice
rešení rovnic se separovanými promennýmirešení lineárních rovnic prvního ráduteorie lineárních rovnic vyšších rádu
rešení lineárních rovnic vyšších rádu s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza autonomních rovnic
Soustavy diferenciálních rovnic
teorie pro existenci a jednoznacnost rešeníteorie soustav lineárních rovnic prvního rádurešení soustav lineárních rovnic s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza stacionárních bodu, stabilita
Matematika IV Program 1
Matematika IV
Diferencní rovniceDiferenciální rovnice
rešení rovnic se separovanými promennýmirešení lineárních rovnic prvního ráduteorie lineárních rovnic vyšších rádurešení lineárních rovnic vyšších rádu s konstantnímikoeficienty
kvalitativní analýza autonomních rovnicSoustavy diferenciálních rovnic
teorie pro existenci a jednoznacnost rešeníteorie soustav lineárních rovnic prvního rádurešení soustav lineárních rovnic s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza stacionárních bodu, stabilita
Matematika IV Program 1
Matematika IV
Diferencní rovniceDiferenciální rovnice
rešení rovnic se separovanými promennýmirešení lineárních rovnic prvního ráduteorie lineárních rovnic vyšších rádurešení lineárních rovnic vyšších rádu s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza autonomních rovnic
Soustavy diferenciálních rovnic
teorie pro existenci a jednoznacnost rešeníteorie soustav lineárních rovnic prvního rádurešení soustav lineárních rovnic s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza stacionárních bodu, stabilita
Matematika IV Program 1
Matematika IV
Diferencní rovniceDiferenciální rovnice
rešení rovnic se separovanými promennýmirešení lineárních rovnic prvního ráduteorie lineárních rovnic vyšších rádurešení lineárních rovnic vyšších rádu s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza autonomních rovnic
Soustavy diferenciálních rovnic
teorie pro existenci a jednoznacnost rešeníteorie soustav lineárních rovnic prvního rádurešení soustav lineárních rovnic s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza stacionárních bodu, stabilita
Matematika IV Program 1
Matematika IV
Diferencní rovniceDiferenciální rovnice
rešení rovnic se separovanými promennýmirešení lineárních rovnic prvního ráduteorie lineárních rovnic vyšších rádurešení lineárních rovnic vyšších rádu s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza autonomních rovnic
Soustavy diferenciálních rovnicteorie pro existenci a jednoznacnost rešení
teorie soustav lineárních rovnic prvního rádurešení soustav lineárních rovnic s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza stacionárních bodu, stabilita
Matematika IV Program 1
Matematika IV
Diferencní rovniceDiferenciální rovnice
rešení rovnic se separovanými promennýmirešení lineárních rovnic prvního ráduteorie lineárních rovnic vyšších rádurešení lineárních rovnic vyšších rádu s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza autonomních rovnic
Soustavy diferenciálních rovnicteorie pro existenci a jednoznacnost rešeníteorie soustav lineárních rovnic prvního rádu
rešení soustav lineárních rovnic s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza stacionárních bodu, stabilita
Matematika IV Program 1
Matematika IV
Diferencní rovniceDiferenciální rovnice
rešení rovnic se separovanými promennýmirešení lineárních rovnic prvního ráduteorie lineárních rovnic vyšších rádurešení lineárních rovnic vyšších rádu s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza autonomních rovnic
Soustavy diferenciálních rovnicteorie pro existenci a jednoznacnost rešeníteorie soustav lineárních rovnic prvního rádurešení soustav lineárních rovnic s konstantnímikoeficienty
kvalitativní analýza stacionárních bodu, stabilita
Matematika IV Program 1
Matematika IV
Diferencní rovniceDiferenciální rovnice
rešení rovnic se separovanými promennýmirešení lineárních rovnic prvního ráduteorie lineárních rovnic vyšších rádurešení lineárních rovnic vyšších rádu s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza autonomních rovnic
Soustavy diferenciálních rovnicteorie pro existenci a jednoznacnost rešeníteorie soustav lineárních rovnic prvního rádurešení soustav lineárních rovnic s konstantnímikoeficientykvalitativní analýza stacionárních bodu, stabilita
Matematika IV Program 1
XII. Diferencní rovnice
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 2
Leonardo Fibonacci (asi 1175–1250)
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 3
králíci
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 4
XII.1 Základní vlastnosti
XII.1 Základní vlastnosti
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 5
XII.1 Základní vlastnosti
DefiniceNecht’ k ∈ N. Lineární diferencní rovnicí k -tého rádu skonstantními koeficienty budeme rozumet rovnici
y(n+k)+p1y(n+k−1)+ · · ·+pky(n) = an, n ∈ N, (1)
kde neznámou je posloupnost {y(n)}∞n=1, pricemžp1, . . . ,pk ∈ R, pk 6= 0 jsou dána, stejne jako posloupnost{an}∞n=1.
PoznámkaPosloupnost {an}∞n=1 se nazývá pravou stranou rovnice(1).
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 6
XII.1 Základní vlastnosti
DefiniceNecht’ k ∈ N. Lineární diferencní rovnicí k -tého rádu skonstantními koeficienty budeme rozumet rovnici
y(n+k)+p1y(n+k−1)+ · · ·+pky(n) = an, n ∈ N, (1)
kde neznámou je posloupnost {y(n)}∞n=1, pricemžp1, . . . ,pk ∈ R, pk 6= 0 jsou dána, stejne jako posloupnost{an}∞n=1.
PoznámkaPosloupnost {an}∞n=1 se nazývá pravou stranou rovnice(1).
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 6
XII.1 Základní vlastnosti
DefiniceNecht’ k ∈ N. Lineární diferencní rovnicí k -tého rádu skonstantními koeficienty budeme rozumet rovnici
y(n+k)+p1y(n+k−1)+ · · ·+pky(n) = an, n ∈ N, (1)
kde neznámou je posloupnost {y(n)}∞n=1, pricemžp1, . . . ,pk ∈ R, pk 6= 0 jsou dána, stejne jako posloupnost{an}∞n=1.
PoznámkaPosloupnost {an}∞n=1 se nazývá pravou stranou rovnice(1).
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 6
XII.1 Základní vlastnosti
DefiniceRešením rovnice (1) rozumíme každou posloupnost{y(n)}∞n=1 splnující (1) pro každé n ∈ N.
Pokud chceme, aby rešení rovnice (1) splnovalopodmínky
y(1) = y1, . . . , y(k) = yk , (2)
kde y1, . . . , yk ∈ R jsou dána (tzv. pocátecní podmínky),pak hovoríme o pocátecní úloze.
Veta 1 (Existence a jednoznacnost rešenídiferencní rovnice)Pocátecní úloha (1), (2) má práve jedno rešení.
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 7
XII.1 Základní vlastnosti
DefiniceRešením rovnice (1) rozumíme každou posloupnost{y(n)}∞n=1 splnující (1) pro každé n ∈ N.Pokud chceme, aby rešení rovnice (1) splnovalopodmínky
y(1) = y1, . . . , y(k) = yk , (2)
kde y1, . . . , yk ∈ R jsou dána (tzv. pocátecní podmínky),pak hovoríme o pocátecní úloze.
Veta 1 (Existence a jednoznacnost rešenídiferencní rovnice)Pocátecní úloha (1), (2) má práve jedno rešení.
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 7
XII.2 Rovnice s nulovou pravou stranou
XII.2 Rovnice s nulovou pravou stranou
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 8
XII.2 Rovnice s nulovou pravou stranou
DefinicePokud an = 0 pro každé n ∈ N, pak rovnice (1) má tvar
y(n+ k)+ p1y(n+ k − 1)+ · · ·+ pky(n) = 0, n ∈ N. (3)
Tato rovnice se nazývá homogenní.
Veta 2 (Struktura množiny rešení diferencnírovnice)Množina všech rešení rovnice (3) tvorí vektorovýpodprostor dimenze k prostoru všech reálnýchposloupností.
PoznámkaBázi prostoru rešení rovnice (3) se ríká též fundamentálnísystém rešení rovnice (3).
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 9
XII.2 Rovnice s nulovou pravou stranou
DefinicePokud an = 0 pro každé n ∈ N, pak rovnice (1) má tvar
y(n+ k)+ p1y(n+ k − 1)+ · · ·+ pky(n) = 0, n ∈ N. (3)
Tato rovnice se nazývá homogenní.
Veta 2 (Struktura množiny rešení diferencnírovnice)Množina všech rešení rovnice (3) tvorí vektorovýpodprostor dimenze k prostoru všech reálnýchposloupností.
PoznámkaBázi prostoru rešení rovnice (3) se ríká též fundamentálnísystém rešení rovnice (3).
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 9
XII.2 Rovnice s nulovou pravou stranou
DefinicePokud an = 0 pro každé n ∈ N, pak rovnice (1) má tvar
y(n+ k)+ p1y(n+ k − 1)+ · · ·+ pky(n) = 0, n ∈ N. (3)
Tato rovnice se nazývá homogenní.
Veta 2 (Struktura množiny rešení diferencnírovnice)Množina všech rešení rovnice (3) tvorí vektorovýpodprostor dimenze k prostoru všech reálnýchposloupností.
PoznámkaBázi prostoru rešení rovnice (3) se ríká též fundamentálnísystém rešení rovnice (3).
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 9
XII.2 Rovnice s nulovou pravou stranou
DefinicePokud an = 0 pro každé n ∈ N, pak rovnice (1) má tvar
y(n+ k)+ p1y(n+ k − 1)+ · · ·+ pky(n) = 0, n ∈ N. (3)
Tato rovnice se nazývá homogenní.
Veta 2 (Struktura množiny rešení diferencnírovnice)Množina všech rešení rovnice (3) tvorí vektorovýpodprostor dimenze k prostoru všech reálnýchposloupností.
PoznámkaBázi prostoru rešení rovnice (3) se ríká též fundamentálnísystém rešení rovnice (3).
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 9
XII.2 Rovnice s nulovou pravou stranou
DefiniceCharakteristickým polynomem rovnice (1) budemerozumet polynom
λ 7→ λk + p1λk−1 + · · ·+ pk−1λ+ pk .
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 10
XII.2 Rovnice s nulovou pravou stranou
Veta 3 (O fundamentálním systému diferencnírovnice)Necht’ λ1, . . . , λs jsou všechny navzájem ruzné reálnékoreny charakteristického polynomu rovnice (1) snásobnostmi r1, . . . , rs. Necht’ ξ1, . . . , ξl jsou všechnynavzájem ruzné komplexní koreny charakteristickéhopolynomu rovnice (1) s kladnou imaginární cástí anásobnostmi q1, . . . ,ql , pricemž pro j = 1, . . . , l platíξj = µj(cos νj + i sin νj). Pak následující posloupnosti tvoríbázi prostoru rešení rovnice (3):
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 11
XII.2 Rovnice s nulovou pravou stranou
Veta 3 (O fundamentálním systému diferencnírovnice)Necht’ λ1, . . . , λs jsou všechny navzájem ruzné reálnékoreny charakteristického polynomu rovnice (1) snásobnostmi r1, . . . , rs. Necht’ ξ1, . . . , ξl jsou všechnynavzájem ruzné komplexní koreny charakteristickéhopolynomu rovnice (1) s kladnou imaginární cástí anásobnostmi q1, . . . ,ql , pricemž pro j = 1, . . . , l platíξj = µj(cos νj + i sin νj). Pak následující posloupnosti tvoríbázi prostoru rešení rovnice (3):
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 11
XII.2 Rovnice s nulovou pravou stranou
Veta 3 (O fundamentálním systému diferencnírovnice)Necht’ λ1, . . . , λs jsou všechny navzájem ruzné reálnékoreny charakteristického polynomu rovnice (1) snásobnostmi r1, . . . , rs. Necht’ ξ1, . . . , ξl jsou všechnynavzájem ruzné komplexní koreny charakteristickéhopolynomu rovnice (1) s kladnou imaginární cástí anásobnostmi q1, . . . ,ql , pricemž pro j = 1, . . . , l platíξj = µj(cos νj + i sin νj). Pak následující posloupnosti tvoríbázi prostoru rešení rovnice (3):
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 11
XII.2 Rovnice s nulovou pravou stranou
{λn1}, {nλn
1}, . . . {nr1−1λn1},
...{λn
s}, {nλns}, . . . {nrs−1λn
s},{µn
1 cos ν1n}, {nµn1 cos ν1n}, . . . {nq1−1µn
1 cos ν1n},{µn
1 sin ν1n}, {nµn1 sin ν1n}, . . . {nq1−1µn
1 sin ν1n},...
{µnl cos νln}, {nµn
l cos νln}, . . . {nql−1µnl cos νln},
{µnl sin νln}, {nµn
l sin νln}, . . . {nql−1µnl sin νln}
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 12
XII.2 Rovnice s nulovou pravou stranou
{λn1}, {nλn
1}, . . . {nr1−1λn1},
...{λn
s}, {nλns}, . . . {nrs−1λn
s},{µn
1 cos ν1n}, {nµn1 cos ν1n}, . . . {nq1−1µn
1 cos ν1n},{µn
1 sin ν1n}, {nµn1 sin ν1n}, . . . {nq1−1µn
1 sin ν1n},...
{µnl cos νln}, {nµn
l cos νln}, . . . {nql−1µnl cos νln},
{µnl sin νln}, {nµn
l sin νln}, . . . {nql−1µnl sin νln}
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 12
XII.2 Rovnice s nulovou pravou stranou
{λn1}, {nλn
1}, . . . {nr1−1λn1},
...{λn
s}, {nλns}, . . . {nrs−1λn
s},{µn
1 cos ν1n}, {nµn1 cos ν1n}, . . . {nq1−1µn
1 cos ν1n},{µn
1 sin ν1n}, {nµn1 sin ν1n}, . . . {nq1−1µn
1 sin ν1n},...
{µnl cos νln}, {nµn
l cos νln}, . . . {nql−1µnl cos νln},
{µnl sin νln}, {nµn
l sin νln}, . . . {nql−1µnl sin νln}
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 12
XII.2 Rovnice s nulovou pravou stranou
{λn1}, {nλn
1}, . . . {nr1−1λn1},
...{λn
s}, {nλns}, . . . {nrs−1λn
s},{µn
1 cos ν1n}, {nµn1 cos ν1n}, . . . {nq1−1µn
1 cos ν1n},{µn
1 sin ν1n}, {nµn1 sin ν1n}, . . . {nq1−1µn
1 sin ν1n},...
{µnl cos νln}, {nµn
l cos νln}, . . . {nql−1µnl cos νln},
{µnl sin νln}, {nµn
l sin νln}, . . . {nql−1µnl sin νln}
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 12
XII.2 Rovnice s nulovou pravou stranou
{λn1}, {nλn
1}, . . . {nr1−1λn1},
...{λn
s}, {nλns}, . . . {nrs−1λn
s},{µn
1 cos ν1n}, {nµn1 cos ν1n}, . . . {nq1−1µn
1 cos ν1n},{µn
1 sin ν1n}, {nµn1 sin ν1n}, . . . {nq1−1µn
1 sin ν1n},...
{µnl cos νln}, {nµn
l cos νln}, . . . {nql−1µnl cos νln},
{µnl sin νln}, {nµn
l sin νln}, . . . {nql−1µnl sin νln}
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 12
XII.2 Rovnice s nulovou pravou stranou
{λn1}, {nλn
1}, . . . {nr1−1λn1},
...{λn
s}, {nλns}, . . . {nrs−1λn
s},{µn
1 cos ν1n}, {nµn1 cos ν1n}, . . . {nq1−1µn
1 cos ν1n},{µn
1 sin ν1n}, {nµn1 sin ν1n}, . . . {nq1−1µn
1 sin ν1n},...
{µnl cos νln}, {nµn
l cos νln}, . . . {nql−1µnl cos νln},
{µnl sin νln}, {nµn
l sin νln}, . . . {nql−1µnl sin νln}
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 12
XII.2 Rovnice s nulovou pravou stranou
{λn1}, {nλn
1}, . . . {nr1−1λn1},
...{λn
s}, {nλns}, . . . {nrs−1λn
s},{µn
1 cos ν1n}, {nµn1 cos ν1n}, . . . {nq1−1µn
1 cos ν1n},{µn
1 sin ν1n}, {nµn1 sin ν1n}, . . . {nq1−1µn
1 sin ν1n},...
{µnl cos νln}, {nµn
l cos νln}, . . . {nql−1µnl cos νln},
{µnl sin νln}, {nµn
l sin νln}, . . . {nql−1µnl sin νln}
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 12
XII.3 Rovnice s nenulovou pravou stranou
XII.3 Rovnice s nenulovou pravou stranou
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 13
XII.3 Rovnice s nenulovou pravou stranou
Veta 4 (Rešení diferencní rovnice s nenulovoupravou stranou)Necht’ posloupnosti{y1(n)}∞n=1, {y2(n)}∞n=1, . . . , {y k(n)}∞n=1 tvorí fundamentálnísystém rešení rovnice (3). Necht’ posloupnost {z(n)}∞n=1je rešením rovnice (1). Potom posloupnost {y(n)}∞n=1 rešírovnici (1) práve když existují konstanty c1, . . . , ck ∈ Rtakové, že
y(n) = z(n) + c1y1(n) + · · ·+ cky k(n)
pro každé n ∈ N.
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 14
XII.3 Rovnice s nenulovou pravou stranou
Veta 5 (Rovnice se speciální pravou stranou)Necht’ posloupnost {an}∞n=1 v rovnici (1) splnuje
an = αn(P(n) cos(νn) + Q(n) sin(νn)),
kde α > 0 a P a Q jsou polynomy. Pak existuje rešenírovnice (1) ve tvaru
y(n) = αnnm(R(n) cos(νn) + S(n) sin(νn)),
kde R, S jsou vhodné polynomy stupne ne vetšího nežmax{st P, st Q} a m ∈ N ∪ {0} udává, jakou násobnostmá císlo α(cos ν + i sin ν) jakožto korencharakteristického polynomu rovnice (1).
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 15
XII.3 Rovnice s nenulovou pravou stranou
Veta 5 (Rovnice se speciální pravou stranou)Necht’ posloupnost {an}∞n=1 v rovnici (1) splnuje
an = αn(P(n) cos(νn) + Q(n) sin(νn)),
kde α > 0 a P a Q jsou polynomy. Pak existuje rešenírovnice (1) ve tvaru
y(n) = αnnm(R(n) cos(νn) + S(n) sin(νn)),
kde R, S jsou vhodné polynomy stupne ne vetšího nežmax{st P, st Q} a m ∈ N ∪ {0} udává, jakou násobnostmá císlo α(cos ν + i sin ν) jakožto korencharakteristického polynomu rovnice (1).
Matematika IV XII. Diferencní rovnice 15
XIII. Diferenciální rovnice
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 16
Základní pojmy teorie diferenciálních rovnic
Základní pojmy teorie diferenciálních rovnic
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 17
Základní pojmy teorie diferenciálních rovnic
trepka velká
a = 2.309, b = a/375
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 18
Základní pojmy teorie diferenciálních rovnic
trepka velkáa = 2.309, b = a/375
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 18
Základní pojmy teorie diferenciálních rovnic
populacní modely p′ = ap a p′ = ap − bp2
0
2
4
6
8
10
12
14
y
5 10 15 20
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 19
Základní pojmy teorie diferenciálních rovnic
DefiniceDiferenciální rovnicí rozumíme rovnici tvaru
F (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0, (4)
kde F je reálná funkce n + 2 promenných.
Rešením diferenciální rovnice (4) rozumíme funkci ydefinovanou na nejakém neprázdném otevrenémintervalu I, která má v každém bode intervalu I vlastnín-tou derivaci a jejíž hodnoty spolu s hodnotami derivacísplnují rovnici (4) v každém bode intervalu I, tj. pro každéx ∈ I platí
F(x , y(x), y ′(x), . . . , y (n)(x)
)= 0.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 20
Základní pojmy teorie diferenciálních rovnic
DefiniceDiferenciální rovnicí rozumíme rovnici tvaru
F (x , y , y ′, y ′′, . . . , y (n)) = 0, (4)
kde F je reálná funkce n + 2 promenných.Rešením diferenciální rovnice (4) rozumíme funkci ydefinovanou na nejakém neprázdném otevrenémintervalu I, která má v každém bode intervalu I vlastnín-tou derivaci a jejíž hodnoty spolu s hodnotami derivacísplnují rovnici (4) v každém bode intervalu I, tj. pro každéx ∈ I platí
F(x , y(x), y ′(x), . . . , y (n)(x)
)= 0.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 20
Základní pojmy teorie diferenciálních rovnic
DefiniceJe-li funkce y rešením rovnice (4) na intervalu I a funkcey rešením rovnice (4) na intervalu I, kde I ⊂ I, I 6= I ay(x) = y(x) pro všechna x ∈ I, pak ríkáme, že rešení y jeprodloužením rešení y na interval I. Obrácene, y jezúžením y na interval I.
Rešení rovnice (4), které nemá prodloužení, nazývámemaximálním rešením rovnice (4).
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 21
Základní pojmy teorie diferenciálních rovnic
DefiniceJe-li funkce y rešením rovnice (4) na intervalu I a funkcey rešením rovnice (4) na intervalu I, kde I ⊂ I, I 6= I ay(x) = y(x) pro všechna x ∈ I, pak ríkáme, že rešení y jeprodloužením rešení y na interval I. Obrácene, y jezúžením y na interval I.Rešení rovnice (4), které nemá prodloužení, nazývámemaximálním rešením rovnice (4).
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 21
Základní pojmy teorie diferenciálních rovnic
DefiniceRovnice tvaru
y (n) = f (x , y , y ′, . . . , y (n−1)), (5)
kde f je reálná funkce n + 1 promenných, se nazývádiferenciální rovnice (n-tého rádu) vyrešená vzhledem knejvyšší derivaci.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 22
XIII.1 Diferenciální rovnice se separovanými promennými
XIII.1 Diferenciální rovnice se separovanýmipromennými
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 23
XIII.1 Diferenciální rovnice se separovanými promennými
Rovnice se separovanými promennými je rovnice tvaru
y ′ = g(y)h(x), (6)
kde g a h jsou dané funkce.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 24
XIII.1 Diferenciální rovnice se separovanými promennými
Metoda rešení pro g a h spojité na svých definicníchoborech
1. Urcíme maximální otevrené intervaly obsažené vdefinicním oboru funkce h. (Tím máme vymezenymaximální intervaly, na kterých mužeme hledat rešení.)
2. Najdeme všechny nulové body funkce g. Je-li g(c) = 0,potom funkce y ≡ c na libovolném intervalu z 1. kroku jetzv. singulární (též stacionární) rešení rovnice (6).
3. Urcíme maximální otevrené intervaly, na kterých jefunkce g nenulová.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 25
XIII.1 Diferenciální rovnice se separovanými promennými
Metoda rešení pro g a h spojité na svých definicníchoborech
1. Urcíme maximální otevrené intervaly obsažené vdefinicním oboru funkce h. (Tím máme vymezenymaximální intervaly, na kterých mužeme hledat rešení.)
2. Najdeme všechny nulové body funkce g. Je-li g(c) = 0,potom funkce y ≡ c na libovolném intervalu z 1. kroku jetzv. singulární (též stacionární) rešení rovnice (6).
3. Urcíme maximální otevrené intervaly, na kterých jefunkce g nenulová.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 25
XIII.1 Diferenciální rovnice se separovanými promennými
Metoda rešení pro g a h spojité na svých definicníchoborech
1. Urcíme maximální otevrené intervaly obsažené vdefinicním oboru funkce h. (Tím máme vymezenymaximální intervaly, na kterých mužeme hledat rešení.)
2. Najdeme všechny nulové body funkce g. Je-li g(c) = 0,potom funkce y ≡ c na libovolném intervalu z 1. kroku jetzv. singulární (též stacionární) rešení rovnice (6).
3. Urcíme maximální otevrené intervaly, na kterých jefunkce g nenulová.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 25
XIII.1 Diferenciální rovnice se separovanými promennými
Metoda rešení pro g a h spojité na svých definicníchoborech
1. Urcíme maximální otevrené intervaly obsažené vdefinicním oboru funkce h. (Tím máme vymezenymaximální intervaly, na kterých mužeme hledat rešení.)
2. Najdeme všechny nulové body funkce g. Je-li g(c) = 0,potom funkce y ≡ c na libovolném intervalu z 1. kroku jetzv. singulární (též stacionární) rešení rovnice (6).
3. Urcíme maximální otevrené intervaly, na kterých jefunkce g nenulová.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 25
XIII.1 Diferenciální rovnice se separovanými promennými
4. Vezmeme interval I z 1. kroku a interval J z 3. kroku.
Tedy h je na I spojitá a g je na J spojitá a nenulová.Budeme hledat rešení rovnice (6), která jsou definovanánekde v intervalu I a mají hodnoty v intervalu J. Je-li ytakové rešení, pak pro nej platí
y ′(x)g(y(x))
= h(x).
Necht’ H je primitivní funkce k funkci h na intervalu I a Gje primitivní funkce k funkci 1/g na J. Potom existujekonstanta C ∈ R taková, že platí
G(y(x)) = H(x) + C
na definicním oboru rešení y , který nalezneme vnásledujícím kroku.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 26
XIII.1 Diferenciální rovnice se separovanými promennými
4. Vezmeme interval I z 1. kroku a interval J z 3. kroku.Tedy h je na I spojitá a g je na J spojitá a nenulová.
Budeme hledat rešení rovnice (6), která jsou definovanánekde v intervalu I a mají hodnoty v intervalu J. Je-li ytakové rešení, pak pro nej platí
y ′(x)g(y(x))
= h(x).
Necht’ H je primitivní funkce k funkci h na intervalu I a Gje primitivní funkce k funkci 1/g na J. Potom existujekonstanta C ∈ R taková, že platí
G(y(x)) = H(x) + C
na definicním oboru rešení y , který nalezneme vnásledujícím kroku.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 26
XIII.1 Diferenciální rovnice se separovanými promennými
4. Vezmeme interval I z 1. kroku a interval J z 3. kroku.Tedy h je na I spojitá a g je na J spojitá a nenulová.Budeme hledat rešení rovnice (6), která jsou definovanánekde v intervalu I a mají hodnoty v intervalu J.
Je-li ytakové rešení, pak pro nej platí
y ′(x)g(y(x))
= h(x).
Necht’ H je primitivní funkce k funkci h na intervalu I a Gje primitivní funkce k funkci 1/g na J. Potom existujekonstanta C ∈ R taková, že platí
G(y(x)) = H(x) + C
na definicním oboru rešení y , který nalezneme vnásledujícím kroku.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 26
XIII.1 Diferenciální rovnice se separovanými promennými
4. Vezmeme interval I z 1. kroku a interval J z 3. kroku.Tedy h je na I spojitá a g je na J spojitá a nenulová.Budeme hledat rešení rovnice (6), která jsou definovanánekde v intervalu I a mají hodnoty v intervalu J. Je-li ytakové rešení, pak pro nej platí
y ′(x)g(y(x))
= h(x).
Necht’ H je primitivní funkce k funkci h na intervalu I a Gje primitivní funkce k funkci 1/g na J. Potom existujekonstanta C ∈ R taková, že platí
G(y(x)) = H(x) + C
na definicním oboru rešení y , který nalezneme vnásledujícím kroku.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 26
XIII.1 Diferenciální rovnice se separovanými promennými
4. Vezmeme interval I z 1. kroku a interval J z 3. kroku.Tedy h je na I spojitá a g je na J spojitá a nenulová.Budeme hledat rešení rovnice (6), která jsou definovanánekde v intervalu I a mají hodnoty v intervalu J. Je-li ytakové rešení, pak pro nej platí
y ′(x)g(y(x))
= h(x).
Necht’ H je primitivní funkce k funkci h na intervalu I a Gje primitivní funkce k funkci 1/g na J.
Potom existujekonstanta C ∈ R taková, že platí
G(y(x)) = H(x) + C
na definicním oboru rešení y , který nalezneme vnásledujícím kroku.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 26
XIII.1 Diferenciální rovnice se separovanými promennými
4. Vezmeme interval I z 1. kroku a interval J z 3. kroku.Tedy h je na I spojitá a g je na J spojitá a nenulová.Budeme hledat rešení rovnice (6), která jsou definovanánekde v intervalu I a mají hodnoty v intervalu J. Je-li ytakové rešení, pak pro nej platí
y ′(x)g(y(x))
= h(x).
Necht’ H je primitivní funkce k funkci h na intervalu I a Gje primitivní funkce k funkci 1/g na J. Potom existujekonstanta C ∈ R taková, že platí
G(y(x)) = H(x) + C
na definicním oboru rešení y , který nalezneme vnásledujícím kroku.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 26
XIII.1 Diferenciální rovnice se separovanými promennými
5. Nyní zafixujeme C a nalezneme maximální neprázdnéotevrené intervaly obsažené v množine
{x ∈ I; H(x) + C ∈ G(J)}.
Na každém z techto intervalu rešení musí mít tvar
y(x) = G−1(H(x) + C),
kde G−1 znací funkci inverzní k funkci G. Ta existuje,nebot’ G je na intervalu J bud’ rostoucí nebo klesající.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 27
XIII.1 Diferenciální rovnice se separovanými promennými
5. Nyní zafixujeme C a nalezneme maximální neprázdnéotevrené intervaly obsažené v množine
{x ∈ I; H(x) + C ∈ G(J)}.
Na každém z techto intervalu rešení musí mít tvar
y(x) = G−1(H(x) + C),
kde G−1 znací funkci inverzní k funkci G. Ta existuje,nebot’ G je na intervalu J bud’ rostoucí nebo klesající.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 27
XIII.1 Diferenciální rovnice se separovanými promennými
6. Z rešení nalezených v 5. kroku a singulárních rešení z2. kroku „slepíme“ všechna maximální rešení rovnice (6).
Necht’ y1 a y2 jsou rešení rovnice (6), první na intervalu(a,b) a druhé na intervalu (b, c), pricemž b ∈ Dh.Predpokládejme, že
limx→b−
y1(x) = limx→b+
y2(x) = α ∈ Dg.
Pak funkce
y(x) =
y1(x), x ∈ (a,b);α, x = b;y2(x), x ∈ (b, c);
je rešením rovnice (6) na intervalu (a, c).
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 28
XIII.1 Diferenciální rovnice se separovanými promennými
6. Z rešení nalezených v 5. kroku a singulárních rešení z2. kroku „slepíme“ všechna maximální rešení rovnice (6).Necht’ y1 a y2 jsou rešení rovnice (6), první na intervalu(a,b) a druhé na intervalu (b, c), pricemž b ∈ Dh.
Predpokládejme, že
limx→b−
y1(x) = limx→b+
y2(x) = α ∈ Dg.
Pak funkce
y(x) =
y1(x), x ∈ (a,b);α, x = b;y2(x), x ∈ (b, c);
je rešením rovnice (6) na intervalu (a, c).
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 28
XIII.1 Diferenciální rovnice se separovanými promennými
6. Z rešení nalezených v 5. kroku a singulárních rešení z2. kroku „slepíme“ všechna maximální rešení rovnice (6).Necht’ y1 a y2 jsou rešení rovnice (6), první na intervalu(a,b) a druhé na intervalu (b, c), pricemž b ∈ Dh.Predpokládejme, že
limx→b−
y1(x) = limx→b+
y2(x) = α ∈ Dg.
Pak funkce
y(x) =
y1(x), x ∈ (a,b);α, x = b;y2(x), x ∈ (b, c);
je rešením rovnice (6) na intervalu (a, c).
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 28
XIII.1 Diferenciální rovnice se separovanými promennými
6. Z rešení nalezených v 5. kroku a singulárních rešení z2. kroku „slepíme“ všechna maximální rešení rovnice (6).Necht’ y1 a y2 jsou rešení rovnice (6), první na intervalu(a,b) a druhé na intervalu (b, c), pricemž b ∈ Dh.Predpokládejme, že
limx→b−
y1(x) = limx→b+
y2(x) = α ∈ Dg.
Pak funkce
y(x) =
y1(x), x ∈ (a,b);α, x = b;y2(x), x ∈ (b, c);
je rešením rovnice (6) na intervalu (a, c).
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 28
XIII.2. Autonomní diferenciální rovnice
XIII.2. Autonomní diferenciální rovnice
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 29
XIII.2. Autonomní diferenciální rovnice
Autonomní diferenciální rovnice jsou diferenciální rovnicenezávisející explicitne na promenné x (na „case“).Autonomní diferenciální rovnice prvního rádu vyrešenávzhledem k nejvyšší derivaci je tedy rovnice tvaru
y ′ = g(y). (7)
Predpokládejme, že g je spojitá na svém definicnímoboru.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 30
XIII.2. Autonomní diferenciální rovnice
Autonomní diferenciální rovnice jsou diferenciální rovnicenezávisející explicitne na promenné x (na „case“).Autonomní diferenciální rovnice prvního rádu vyrešenávzhledem k nejvyšší derivaci je tedy rovnice tvaru
y ′ = g(y). (7)
Predpokládejme, že g je spojitá na svém definicnímoboru.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 30
XIII.2. Autonomní diferenciální rovnice
PoznámkaJe-li funkce y : (a,b)→ R rešením rovnice (7), pak takéjejí posunutí y(x) := y(x − c), x ∈ (a + c,b + c) jerešením rovnice (7) (pro libovolné c ∈ R).
Veta 6 (O monotonii rešení autonomní rovnice)Každé rešení rovnice (7), kde g je libovolná funkce, jemonotónní.
PoznámkaNecht’ y : (a,+∞)→ R je rešením rovnice (7) alimx→+∞ y(x) = A ∈ Dg. Pak g(A) = 0, tj. y(x) = A jestacionárním rešením rovnice (7).
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 31
XIII.2. Autonomní diferenciální rovnice
PoznámkaJe-li funkce y : (a,b)→ R rešením rovnice (7), pak takéjejí posunutí y(x) := y(x − c), x ∈ (a + c,b + c) jerešením rovnice (7) (pro libovolné c ∈ R).
Veta 6 (O monotonii rešení autonomní rovnice)Každé rešení rovnice (7), kde g je libovolná funkce, jemonotónní.
PoznámkaNecht’ y : (a,+∞)→ R je rešením rovnice (7) alimx→+∞ y(x) = A ∈ Dg. Pak g(A) = 0, tj. y(x) = A jestacionárním rešením rovnice (7).
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 31
XIII.2. Autonomní diferenciální rovnice
PoznámkaJe-li funkce y : (a,b)→ R rešením rovnice (7), pak takéjejí posunutí y(x) := y(x − c), x ∈ (a + c,b + c) jerešením rovnice (7) (pro libovolné c ∈ R).
Veta 6 (O monotonii rešení autonomní rovnice)Každé rešení rovnice (7), kde g je libovolná funkce, jemonotónní.
PoznámkaNecht’ y : (a,+∞)→ R je rešením rovnice (7) alimx→+∞ y(x) = A ∈ Dg. Pak g(A) = 0, tj. y(x) = A jestacionárním rešením rovnice (7).
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 31
XIII.2. Autonomní diferenciální rovnice
Tvrzení 7 (O definicním oboru rešení autonomnírovnice)Necht’ a,b ∈ R∗, a < b, funkce g : (a,b)→ (0,+∞) jespojitá. Necht’ y : (A,B)→ (a,b) je maximální rešenírovnice (7) a c ∈ (a,b). Pak platí
B = +∞, práve když∫ b
c 1/g diverguje,
B ∈ R, práve když∫ b
c 1/g konverguje.
PoznámkaAnalogická tvrzení platí pro A a konvergenci
∫ ca 1/g a také
pro g zápornou.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 32
XIII.2. Autonomní diferenciální rovnice
Tvrzení 7 (O definicním oboru rešení autonomnírovnice)Necht’ a,b ∈ R∗, a < b, funkce g : (a,b)→ (0,+∞) jespojitá. Necht’ y : (A,B)→ (a,b) je maximální rešenírovnice (7) a c ∈ (a,b). Pak platí
B = +∞, práve když∫ b
c 1/g diverguje,
B ∈ R, práve když∫ b
c 1/g konverguje.
PoznámkaAnalogická tvrzení platí pro A a konvergenci
∫ ca 1/g a také
pro g zápornou.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 32
XIII.2. Autonomní diferenciální rovnice
Lemma 8 (O konvergenci integrálu)Necht’ a,b ∈ R, a < b, funkce g je spojitá a kladná na〈a,b) a má v bode b zleva kladnou limitu. Pak
∫ ba 1/g
konverguje.
Lemma 9 (O divergenci integrálu)Necht’ funkce g je spojitá na 〈a,b〉, kladná 〈a,b) ag(b) = 0. Pokud g′−(b) ∈ R, pak
∫ ba 1/g diverguje.
PoznámkaSpeciálne: je-li g trídy C1 na svém definicním oboru, paknedojde k napojení na stacionární rešení.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 33
XIII.2. Autonomní diferenciální rovnice
Lemma 8 (O konvergenci integrálu)Necht’ a,b ∈ R, a < b, funkce g je spojitá a kladná na〈a,b) a má v bode b zleva kladnou limitu. Pak
∫ ba 1/g
konverguje.
Lemma 9 (O divergenci integrálu)Necht’ funkce g je spojitá na 〈a,b〉, kladná 〈a,b) ag(b) = 0. Pokud g′−(b) ∈ R, pak
∫ ba 1/g diverguje.
PoznámkaSpeciálne: je-li g trídy C1 na svém definicním oboru, paknedojde k napojení na stacionární rešení.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 33
XIII.2. Autonomní diferenciální rovnice
Lemma 8 (O konvergenci integrálu)Necht’ a,b ∈ R, a < b, funkce g je spojitá a kladná na〈a,b) a má v bode b zleva kladnou limitu. Pak
∫ ba 1/g
konverguje.
Lemma 9 (O divergenci integrálu)Necht’ funkce g je spojitá na 〈a,b〉, kladná 〈a,b) ag(b) = 0. Pokud g′−(b) ∈ R, pak
∫ ba 1/g diverguje.
PoznámkaSpeciálne: je-li g trídy C1 na svém definicním oboru, paknedojde k napojení na stacionární rešení.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 33
XIII.3 Lineární diferenciální rovnice prvního rádu
XIII.3 Lineární diferenciální rovnice prvníhorádu
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 34
XIII.3 Lineární diferenciální rovnice prvního rádu
Lineární diferenciální rovnicí prvního rádu rozumímerovnici tvaru
y ′ + p(x)y = q(x) (8)
kde p,q jsou funkce na daném intervalu (a,b).
V dalším budeme predpokládat, že p,q jsou spojitéfunkce. Pak každé rešení rovnice (8) je trídy C1.Zobrazení L : C1(a,b)→ C(a,b),
L(y) = y ′ + py
je lineární.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 35
XIII.3 Lineární diferenciální rovnice prvního rádu
Lineární diferenciální rovnicí prvního rádu rozumímerovnici tvaru
y ′ + p(x)y = q(x) (8)
kde p,q jsou funkce na daném intervalu (a,b).V dalším budeme predpokládat, že p,q jsou spojitéfunkce.
Pak každé rešení rovnice (8) je trídy C1.Zobrazení L : C1(a,b)→ C(a,b),
L(y) = y ′ + py
je lineární.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 35
XIII.3 Lineární diferenciální rovnice prvního rádu
Lineární diferenciální rovnicí prvního rádu rozumímerovnici tvaru
y ′ + p(x)y = q(x) (8)
kde p,q jsou funkce na daném intervalu (a,b).V dalším budeme predpokládat, že p,q jsou spojitéfunkce. Pak každé rešení rovnice (8) je trídy C1.
Zobrazení L : C1(a,b)→ C(a,b),
L(y) = y ′ + py
je lineární.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 35
XIII.3 Lineární diferenciální rovnice prvního rádu
Lineární diferenciální rovnicí prvního rádu rozumímerovnici tvaru
y ′ + p(x)y = q(x) (8)
kde p,q jsou funkce na daném intervalu (a,b).V dalším budeme predpokládat, že p,q jsou spojitéfunkce. Pak každé rešení rovnice (8) je trídy C1.Zobrazení L : C1(a,b)→ C(a,b),
L(y) = y ′ + py
je lineární.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 35
XIII.3 Lineární diferenciální rovnice prvního rádu
Homogenní lineární diferenciální rovnicí prvního rádubudeme rozumet rovnici tvaru
y ′ + p(x)y = 0. (9)
Poznámka1. Množina všech rešení homogenní rovnice je rovnaKer L (a tedy tvorí vektorový prostor).2. Je-li yp ∈ C1(a,b) nejaké rešení nehomogenní rovnice,pak množina všech rešení nehomogenní rovnice je rovna{yp + y : y ∈ Ker L}.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 36
XIII.3 Lineární diferenciální rovnice prvního rádu
Homogenní lineární diferenciální rovnicí prvního rádubudeme rozumet rovnici tvaru
y ′ + p(x)y = 0. (9)
Poznámka1. Množina všech rešení homogenní rovnice je rovnaKer L (a tedy tvorí vektorový prostor).2. Je-li yp ∈ C1(a,b) nejaké rešení nehomogenní rovnice,pak množina všech rešení nehomogenní rovnice je rovna{yp + y : y ∈ Ker L}.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 36
XIII.3 Lineární diferenciální rovnice prvního rádu
Homogenní rovnice
y ′ + p(x)y = 0.
Jedná se o rovnici se separovanými promennými!Maximální rešení homogenní rovnice:
y(x) = Ke−P(x), x ∈ (a,b), K ∈ R,
kde P je primitivní funkce k p na intervalu (a,b).Všechna rešení homogenní rovnice tvorí vektorovýpodprostor prostoru C1(a,b) dimenze 1 (dim Ker L = 1).
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 37
XIII.3 Lineární diferenciální rovnice prvního rádu
Homogenní rovnice
y ′ + p(x)y = 0.
Jedná se o rovnici se separovanými promennými!
Maximální rešení homogenní rovnice:
y(x) = Ke−P(x), x ∈ (a,b), K ∈ R,
kde P je primitivní funkce k p na intervalu (a,b).Všechna rešení homogenní rovnice tvorí vektorovýpodprostor prostoru C1(a,b) dimenze 1 (dim Ker L = 1).
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 37
XIII.3 Lineární diferenciální rovnice prvního rádu
Homogenní rovnice
y ′ + p(x)y = 0.
Jedná se o rovnici se separovanými promennými!Maximální rešení homogenní rovnice:
y(x) = Ke−P(x), x ∈ (a,b), K ∈ R,
kde P je primitivní funkce k p na intervalu (a,b).
Všechna rešení homogenní rovnice tvorí vektorovýpodprostor prostoru C1(a,b) dimenze 1 (dim Ker L = 1).
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 37
XIII.3 Lineární diferenciální rovnice prvního rádu
Homogenní rovnice
y ′ + p(x)y = 0.
Jedná se o rovnici se separovanými promennými!Maximální rešení homogenní rovnice:
y(x) = Ke−P(x), x ∈ (a,b), K ∈ R,
kde P je primitivní funkce k p na intervalu (a,b).Všechna rešení homogenní rovnice tvorí vektorovýpodprostor prostoru C1(a,b) dimenze 1 (dim Ker L = 1).
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 37
XIII.3 Lineární diferenciální rovnice prvního rádu
Nehomogenní rovnice
y ′ + p(x)y = q(x)
Maximální rešení rovnice (8) jsou:
y(x) =(∫ x
x0
q(t)eP(t) dt)
e−P(x)+Ke−P(x), x ∈ (a,b), K ∈ R,
kde x0 ∈ (a,b) a P je primitivní funkce k p na intervalu(a,b).
Poznámka1. Partikulární rešení lze najít metodou variacekonstanty.2. Všechna rešení lze také najít metodou integracníhofaktoru.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 38
XIII.3 Lineární diferenciální rovnice prvního rádu
Nehomogenní rovnice
y ′ + p(x)y = q(x)
Maximální rešení rovnice (8) jsou:
y(x) =(∫ x
x0
q(t)eP(t) dt)
e−P(x)+Ke−P(x), x ∈ (a,b), K ∈ R,
kde x0 ∈ (a,b) a P je primitivní funkce k p na intervalu(a,b).
Poznámka1. Partikulární rešení lze najít metodou variacekonstanty.2. Všechna rešení lze také najít metodou integracníhofaktoru.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 38
XIII.3 Lineární diferenciální rovnice prvního rádu
Nehomogenní rovnice
y ′ + p(x)y = q(x)
Maximální rešení rovnice (8) jsou:
y(x) =(∫ x
x0
q(t)eP(t) dt)
e−P(x)+Ke−P(x), x ∈ (a,b), K ∈ R,
kde x0 ∈ (a,b) a P je primitivní funkce k p na intervalu(a,b).
Poznámka1. Partikulární rešení lze najít metodou variacekonstanty.2. Všechna rešení lze také najít metodou integracníhofaktoru.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 38
XIII.3 Lineární diferenciální rovnice prvního rádu
Maximální rešení rovnice (8) splnující pocátecnípodmínku y(x0) = y0:
y(x) =(∫ x
x0
q(t)eP(t) dt)
e−P(x) + y0e−P(x), x ∈ (a,b),
kde P(x0) = 0, tj. P(x) =∫ x
x0p(t) dt .
Tvrzení 10Pro každé x0 ∈ (a,b) a každé y0 ∈ R existuje práve jednomaximální rešení y rovnice (8), které splnuje pocátecnípodmínku y(x0) = y0. Toto rešení je navíc definováno nacelém (a,b).
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 39
XIII.3 Lineární diferenciální rovnice prvního rádu
Maximální rešení rovnice (8) splnující pocátecnípodmínku y(x0) = y0:
y(x) =(∫ x
x0
q(t)eP(t) dt)
e−P(x) + y0e−P(x), x ∈ (a,b),
kde P(x0) = 0, tj. P(x) =∫ x
x0p(t) dt .
Tvrzení 10Pro každé x0 ∈ (a,b) a každé y0 ∈ R existuje práve jednomaximální rešení y rovnice (8), které splnuje pocátecnípodmínku y(x0) = y0. Toto rešení je navíc definováno nacelém (a,b).
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 39
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
XIII.4 Lineární rovnice s konstantnímikoeficienty
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 40
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
DefiniceLineární diferenciální rovnicí n-tého rádu s konstantnímikoeficienty rozumíme rovnici
y (n) + an−1y (n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = f (t), (10)
kde a0, . . . ,an−1 ∈ R a f je funkce spojitá na danémintervalu (a,b).
Homogenní rovnicí príslušnou k rovnici (10) rozumímerovnici
y (n) + an−1y (n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0. (11)
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 41
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
DefiniceLineární diferenciální rovnicí n-tého rádu s konstantnímikoeficienty rozumíme rovnici
y (n) + an−1y (n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = f (t), (10)
kde a0, . . . ,an−1 ∈ R a f je funkce spojitá na danémintervalu (a,b).Homogenní rovnicí príslušnou k rovnici (10) rozumímerovnici
y (n) + an−1y (n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y = 0. (11)
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 41
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
PoznámkaKaždé rešení rovnice (10) je trídy Cn((a,b)).
Zobrazení L : Cn((a,b))→ C((a,b)),
L(y) = y (n) + an−1y (n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y
je lineární.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 42
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
PoznámkaKaždé rešení rovnice (10) je trídy Cn((a,b)).Zobrazení L : Cn((a,b))→ C((a,b)),
L(y) = y (n) + an−1y (n−1) + · · ·+ a1y ′ + a0y
je lineární.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 42
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
Veta 11 (Existence a jednoznacnost rešenílineární diferenciální rovnice)Necht’ t0 ∈ (a,b) a z0, . . . , zn−1 ∈ R. Pak existuje právejedno maximální rešení y rovnice (10), které splnujepodmínky
y(t0) = z0, y ′(t0) = z1, . . . , y (n−1)(t0) = zn−1.
Toto rešení je navíc definováno na celém intervalu (a,b).
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 43
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
Struktura množiny rešení
Veta 12 (Struktura množiny rešení lineárnídiferenciální rovnice)
(i) Množina všech maximálních rešení rovnice (11) tvorívektorový podprostor prostoru Cn((a,b)) dimenze n.
(ii) Necht’ yp je jedno maximální rešení rovnice (10) (tzv.partikulární rešení). Pak funkce y je maximálnímrešením rovnice (10), práve když ji lze zapsat vetvaru y = yp + yh, kde yh je nejaké maximální rešenírovnice (11).
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 44
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
Struktura množiny rešení
Veta 12 (Struktura množiny rešení lineárnídiferenciální rovnice)
(i) Množina všech maximálních rešení rovnice (11) tvorívektorový podprostor prostoru Cn((a,b)) dimenze n.
(ii) Necht’ yp je jedno maximální rešení rovnice (10) (tzv.partikulární rešení). Pak funkce y je maximálnímrešením rovnice (10), práve když ji lze zapsat vetvaru y = yp + yh, kde yh je nejaké maximální rešenírovnice (11).
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 44
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
Struktura množiny rešení
Veta 12 (Struktura množiny rešení lineárnídiferenciální rovnice)
(i) Množina všech maximálních rešení rovnice (11) tvorívektorový podprostor prostoru Cn((a,b)) dimenze n.
(ii) Necht’ yp je jedno maximální rešení rovnice (10) (tzv.partikulární rešení). Pak funkce y je maximálnímrešením rovnice (10), práve když ji lze zapsat vetvaru y = yp + yh, kde yh je nejaké maximální rešenírovnice (11).
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 44
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
PoznámkaBáze prostoru maximálních rešení rovnice (11) senazývá fundamentální systém rešení rovnice (11).
Jsou-li funkce y1, . . . , yn lineárne nezávislá maximálnírešení rovnice (11), pak již tvorí fundamentálnísystém.Tvorí-li funkce y1, . . . , yn fundamentální systémrovnice (11) a je-li yp partikulární rešení rovnice (10),pak všechna maximální rešení rovnice (10) jsou tvaruy = yp + c1y1 + · · ·+ cnyn, kde c1, . . . , cn ∈ R.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 45
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
PoznámkaBáze prostoru maximálních rešení rovnice (11) senazývá fundamentální systém rešení rovnice (11).Jsou-li funkce y1, . . . , yn lineárne nezávislá maximálnírešení rovnice (11), pak již tvorí fundamentálnísystém.
Tvorí-li funkce y1, . . . , yn fundamentální systémrovnice (11) a je-li yp partikulární rešení rovnice (10),pak všechna maximální rešení rovnice (10) jsou tvaruy = yp + c1y1 + · · ·+ cnyn, kde c1, . . . , cn ∈ R.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 45
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
PoznámkaBáze prostoru maximálních rešení rovnice (11) senazývá fundamentální systém rešení rovnice (11).Jsou-li funkce y1, . . . , yn lineárne nezávislá maximálnírešení rovnice (11), pak již tvorí fundamentálnísystém.Tvorí-li funkce y1, . . . , yn fundamentální systémrovnice (11) a je-li yp partikulární rešení rovnice (10),pak všechna maximální rešení rovnice (10) jsou tvaruy = yp + c1y1 + · · ·+ cnyn, kde c1, . . . , cn ∈ R.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 45
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
Fundamentální systém
DefiniceCharakteristickým polynomem rovnice (11) rozumímepolynom
χ(λ) = λn + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0.
Veta 13 (Tvar fundamentálního systému lineárnídiferenciální rovnice)Necht’ λ1, . . . , λs jsou všechny ruzné reálné korenycharakteristického polynomu χ s násobnostmi r1, . . . , rs.Necht’ α1 + β1i , . . . , αl + βl i jsou všechny navzájem ruznékoreny polynomu χ s kladnou imaginární cástí anásobnostmi q1, . . . ,ql .
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 46
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
Fundamentální systém
DefiniceCharakteristickým polynomem rovnice (11) rozumímepolynom
χ(λ) = λn + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0.
Veta 13 (Tvar fundamentálního systému lineárnídiferenciální rovnice)Necht’ λ1, . . . , λs jsou všechny ruzné reálné korenycharakteristického polynomu χ s násobnostmi r1, . . . , rs.Necht’ α1 + β1i , . . . , αl + βl i jsou všechny navzájem ruznékoreny polynomu χ s kladnou imaginární cástí anásobnostmi q1, . . . ,ql .
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 46
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
Fundamentální systém
DefiniceCharakteristickým polynomem rovnice (11) rozumímepolynom
χ(λ) = λn + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0.
Veta 13 (Tvar fundamentálního systému lineárnídiferenciální rovnice)Necht’ λ1, . . . , λs jsou všechny ruzné reálné korenycharakteristického polynomu χ s násobnostmi r1, . . . , rs.Necht’ α1 + β1i , . . . , αl + βl i jsou všechny navzájem ruznékoreny polynomu χ s kladnou imaginární cástí anásobnostmi q1, . . . ,ql .
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 46
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
Pak funkce
eλ1t , teλ1t , . . . t r1−1eλ1t ,...
eλs t , teλs t , . . . t rs−1eλs t ,eα1t cos β1t , teα1t cos β1t , . . . tq1−1eα1t cos β1t ,eα1t sin β1t , teα1t sin β1t , . . . tq1−1eα1t sin β1t ,
...eαl t cos βl t , teαl t cos βl t , . . . tql−1eαl t cos βl t ,eαl t sin βl t , teαl t sin βl t , . . . tql−1eαl t sin βl t
tvorí fundamentální systém rešení rovnice (11).
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 47
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
Partikulární rešení
Veta 14 (variace konstant)Necht’ funkce y1, . . . , yn tvorí fundamentální systém rešenírovnice (11). Pokud funkce c1, . . . , cn splnují soustavurovnic
c′1y1 + · · ·+ c′nyn = 0...
c′1y (n−2)1 + · · ·+ c′ny (n−2)
n = 0
c′1y (n−1)1 + · · ·+ c′ny (n−1)
n = f
(12)
na intervalu (a,b), pak funkceyp(t) = c1(t)y1(t) + · · ·+ cn(t)yn(t), t ∈ (a,b), je rešenímrovnice (10).
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 48
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
Partikulární rešení
Veta 14 (variace konstant)Necht’ funkce y1, . . . , yn tvorí fundamentální systém rešenírovnice (11). Pokud funkce c1, . . . , cn splnují soustavurovnic
c′1y1 + · · ·+ c′nyn = 0...
c′1y (n−2)1 + · · ·+ c′ny (n−2)
n = 0
c′1y (n−1)1 + · · ·+ c′ny (n−1)
n = f
(12)
na intervalu (a,b), pak funkceyp(t) = c1(t)y1(t) + · · ·+ cn(t)yn(t), t ∈ (a,b), je rešenímrovnice (10).
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 48
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
DefiniceNecht’ funkce y1, . . . , yn tvorí fundamentální systém rešenírovnice (11). Pak matici (ci presneji maticovou funkci)
U(t) =
y1(t) y2(t) . . . yn(t)y ′1(t) y ′2(t) . . . y ′n(t)...
.... . .
...
y (n−1)1 (t) y (n−1)
2 (t) . . . y (n−1)n (t)
, t ∈ (a,b)
nazýváme fundamentální maticí rovnice (11).
Veta 15 (Regularita fundamentální matice)Necht’ U(t) je fundamentální maticí rovnice (11). Pakmatice U(t) je regulární pro každé t ∈ R.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 49
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
DefiniceNecht’ funkce y1, . . . , yn tvorí fundamentální systém rešenírovnice (11). Pak matici (ci presneji maticovou funkci)
U(t) =
y1(t) y2(t) . . . yn(t)y ′1(t) y ′2(t) . . . y ′n(t)...
.... . .
...
y (n−1)1 (t) y (n−1)
2 (t) . . . y (n−1)n (t)
, t ∈ (a,b)
nazýváme fundamentální maticí rovnice (11).
Veta 15 (Regularita fundamentální matice)Necht’ U(t) je fundamentální maticí rovnice (11). Pakmatice U(t) je regulární pro každé t ∈ R.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 49
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
Dusledek 16 (existence rešení pro variacikonstant)Necht’ funkce y1, . . . , yn tvorí fundamentální systém rešenírovnice (11). Pak existují funkce c1, . . . , cn ∈ C1((a,b))splnující (12) na intervalu (a,b).
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 50
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
Veta 17 (Lineární diferenciální rovnice sespeciální pravou stranou)Necht’
f (t) = eµt (P(t) cos νt + Q(t) sin νt) ,
kde µ, ν ∈ R a P,Q jsou polynomy. Potom platí: Jestližecíslo µ+ iν je korenem charakteristického polynomurovnice (11) násobnosti m, pak existuje rešení rovnice(10) tvaru
yp(t) = tmeµt (R(t) cos νt + S(t) sin νt) ,
kde R,S jsou polynomy, jejichž stupne jsou nejvýše rovnyvetšímu ze stupnu polynomu P,Q.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 51
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
Poznámky o rovnicích s nekonstantními koeficienty
Nahradíme-li v rovnicích (10), (11) císla a0, . . . ,an−1
spojitými funkcemi, získáme Lineární diferenciální rovnicin-tého rádu s nekonstantními koeficienty
y (n) + an−1(t)y (n−1) + · · ·+ a1(t)y ′ + a0(t)y = f (t), (13)
a0, . . . ,an−1 ∈ C((a,b)), f ∈ C((a,b)).
PoznámkaVšechny vety, tvrzení a poznámky kapitoly XIII.4 kromevet 13 a 17 platí i pro rovnice s nekonstantními koeficienty.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 52
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
Poznámky o rovnicích s nekonstantními koeficientyNahradíme-li v rovnicích (10), (11) císla a0, . . . ,an−1
spojitými funkcemi, získáme Lineární diferenciální rovnicin-tého rádu s nekonstantními koeficienty
y (n) + an−1(t)y (n−1) + · · ·+ a1(t)y ′ + a0(t)y = f (t), (13)
a0, . . . ,an−1 ∈ C((a,b)), f ∈ C((a,b)).
PoznámkaVšechny vety, tvrzení a poznámky kapitoly XIII.4 kromevet 13 a 17 platí i pro rovnice s nekonstantními koeficienty.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 52
XIII.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty
Poznámky o rovnicích s nekonstantními koeficientyNahradíme-li v rovnicích (10), (11) císla a0, . . . ,an−1
spojitými funkcemi, získáme Lineární diferenciální rovnicin-tého rádu s nekonstantními koeficienty
y (n) + an−1(t)y (n−1) + · · ·+ a1(t)y ′ + a0(t)y = f (t), (13)
a0, . . . ,an−1 ∈ C((a,b)), f ∈ C((a,b)).
PoznámkaVšechny vety, tvrzení a poznámky kapitoly XIII.4 kromevet 13 a 17 platí i pro rovnice s nekonstantními koeficienty.
Matematika IV XIII. Diferenciální rovnice 52
XIV. Soustavydiferenciálních rovnic
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 53
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 54
0
20
40
60
80
y
20 40 60 80 100 120 140x
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 54
0
20
40
60
80
y
20 40 60 80 100 120 140x
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 54
0
20
40
60
80
y
20 40 60 80 100 120 140x
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 54
XIV.1. Základní pojmy, veta o existenci a jednoznacnosti
XIV.1. Základní pojmy, veta o existenci ajednoznacnosti
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 55
XIV.1. Základní pojmy, veta o existenci a jednoznacnosti
Soustavou diferenciálních rovnic (prvního rádu) rozumímesoustavu
x ′1 = f1(t , x1, x2, . . . , xn),
x ′2 = f2(t , x1, x2, . . . , xn),
...
x ′n = fn(t , x1, x2, . . . , xn),
(14)
kde f1, . . . , fn jsou dané funkce definované na jisténeprázdné otevrené podmnožine G ⊂ R× Rn.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 56
XIV.1. Základní pojmy, veta o existenci a jednoznacnosti
DefiniceVektorová funkce je každé zobrazení x : I ⊂ R→ Rn.
Poznámkax : I → Rn je vektorová funkce, práve když existujífunkce x1, . . . , xn : I → R, které splnujíx(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) pro všechna t ∈ I.Jsou-li xi spojité, rekneme, že x je spojitá.Mají-li xi derivaci v bode t , pak definujemex ′(t) = (x ′1(t), . . . , x
′n(t)).
Mají-li xi zobecnený Riemannuv integrál od a do b,pak definujeme∫ b
a x(t)dt = (∫ b
a x1(t)dt , . . . ,∫ b
a xn(t)dt).
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 57
XIV.1. Základní pojmy, veta o existenci a jednoznacnosti
DefiniceVektorová funkce je každé zobrazení x : I ⊂ R→ Rn.
Poznámkax : I → Rn je vektorová funkce, práve když existujífunkce x1, . . . , xn : I → R, které splnujíx(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) pro všechna t ∈ I.
Jsou-li xi spojité, rekneme, že x je spojitá.Mají-li xi derivaci v bode t , pak definujemex ′(t) = (x ′1(t), . . . , x
′n(t)).
Mají-li xi zobecnený Riemannuv integrál od a do b,pak definujeme∫ b
a x(t)dt = (∫ b
a x1(t)dt , . . . ,∫ b
a xn(t)dt).
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 57
XIV.1. Základní pojmy, veta o existenci a jednoznacnosti
DefiniceVektorová funkce je každé zobrazení x : I ⊂ R→ Rn.
Poznámkax : I → Rn je vektorová funkce, práve když existujífunkce x1, . . . , xn : I → R, které splnujíx(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) pro všechna t ∈ I.Jsou-li xi spojité, rekneme, že x je spojitá.
Mají-li xi derivaci v bode t , pak definujemex ′(t) = (x ′1(t), . . . , x
′n(t)).
Mají-li xi zobecnený Riemannuv integrál od a do b,pak definujeme∫ b
a x(t)dt = (∫ b
a x1(t)dt , . . . ,∫ b
a xn(t)dt).
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 57
XIV.1. Základní pojmy, veta o existenci a jednoznacnosti
DefiniceVektorová funkce je každé zobrazení x : I ⊂ R→ Rn.
Poznámkax : I → Rn je vektorová funkce, práve když existujífunkce x1, . . . , xn : I → R, které splnujíx(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) pro všechna t ∈ I.Jsou-li xi spojité, rekneme, že x je spojitá.Mají-li xi derivaci v bode t , pak definujemex ′(t) = (x ′1(t), . . . , x
′n(t)).
Mají-li xi zobecnený Riemannuv integrál od a do b,pak definujeme∫ b
a x(t)dt = (∫ b
a x1(t)dt , . . . ,∫ b
a xn(t)dt).
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 57
XIV.1. Základní pojmy, veta o existenci a jednoznacnosti
DefiniceVektorová funkce je každé zobrazení x : I ⊂ R→ Rn.
Poznámkax : I → Rn je vektorová funkce, práve když existujífunkce x1, . . . , xn : I → R, které splnujíx(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) pro všechna t ∈ I.Jsou-li xi spojité, rekneme, že x je spojitá.Mají-li xi derivaci v bode t , pak definujemex ′(t) = (x ′1(t), . . . , x
′n(t)).
Mají-li xi zobecnený Riemannuv integrál od a do b,pak definujeme∫ b
a x(t)dt = (∫ b
a x1(t)dt , . . . ,∫ b
a xn(t)dt).
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 57
XIV.1. Základní pojmy, veta o existenci a jednoznacnosti
Vektorový tvar soustavy (14):
x ′(t) = f (t ,x(t)), (15)
kde x(t) = [x1(t), x2(t), . . . , xn(t)] a f = [f1, f2, . . . , fn].
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 58
XIV.1. Základní pojmy, veta o existenci a jednoznacnosti
DefiniceRešením soustavy (14) rozumíme vektorovou funkcix = [x1, . . . , xn] definovanou na otevrenémneprázdném intervalu J ⊂ R s hodnotami v Rn
takovou, že pro každé t ∈ J existují vlastní derivacex ′1(t), . . . , x
′n(t), a platí (14).
Maximální rešení soustavy (14) je takové rešení xdefinované na intervalu J, které již nelze prodloužit,tj. je-li y rešení definované na intervalu I, J ⊂ I ay(t) = x(t) pro každé t ∈ J, pak J = I.Pocátecní úlohou pro (14) rozumíme úlohu, kdyhledáme rešení x soustavy (14) splnující navícpredem zadanou podmínku x(t0) = x0, kde[t0,x0] ∈ G (tzv. pocátecní podmínka).
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 59
XIV.1. Základní pojmy, veta o existenci a jednoznacnosti
DefiniceRešením soustavy (14) rozumíme vektorovou funkcix = [x1, . . . , xn] definovanou na otevrenémneprázdném intervalu J ⊂ R s hodnotami v Rn
takovou, že pro každé t ∈ J existují vlastní derivacex ′1(t), . . . , x
′n(t), a platí (14).
Maximální rešení soustavy (14) je takové rešení xdefinované na intervalu J, které již nelze prodloužit,tj. je-li y rešení definované na intervalu I, J ⊂ I ay(t) = x(t) pro každé t ∈ J, pak J = I.
Pocátecní úlohou pro (14) rozumíme úlohu, kdyhledáme rešení x soustavy (14) splnující navícpredem zadanou podmínku x(t0) = x0, kde[t0,x0] ∈ G (tzv. pocátecní podmínka).
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 59
XIV.1. Základní pojmy, veta o existenci a jednoznacnosti
DefiniceRešením soustavy (14) rozumíme vektorovou funkcix = [x1, . . . , xn] definovanou na otevrenémneprázdném intervalu J ⊂ R s hodnotami v Rn
takovou, že pro každé t ∈ J existují vlastní derivacex ′1(t), . . . , x
′n(t), a platí (14).
Maximální rešení soustavy (14) je takové rešení xdefinované na intervalu J, které již nelze prodloužit,tj. je-li y rešení definované na intervalu I, J ⊂ I ay(t) = x(t) pro každé t ∈ J, pak J = I.Pocátecní úlohou pro (14) rozumíme úlohu, kdyhledáme rešení x soustavy (14) splnující navícpredem zadanou podmínku x(t0) = x0, kde[t0,x0] ∈ G (tzv. pocátecní podmínka).
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 59
XIV.1. Základní pojmy, veta o existenci a jednoznacnosti
Tvrzení 18 (soustavy a rovnice n-tého rádu)Uvažujme rovnici n-tého rádu
y (n) = f (t , y , . . . , y (n−1)) (16)
a soustavux ′1 = x2,
...
x ′n−1 = xn,
x ′n = f (t , x1, x2, . . . , xn).
(17)
Je-li x = (x1, . . . , xn) rešení soustavy (17) na intervalu I,pak y := x1 je rešením (16) na I.
Je-li y rešení rovnice (16) na intervalu I, pakx := (y , y ′, . . . , y (n−1)) je rešením soustavy (17) na I.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 60
XIV.1. Základní pojmy, veta o existenci a jednoznacnosti
Tvrzení 18 (soustavy a rovnice n-tého rádu)Uvažujme rovnici n-tého rádu
y (n) = f (t , y , . . . , y (n−1)) (16)
a soustavux ′1 = x2,
...
x ′n−1 = xn,
x ′n = f (t , x1, x2, . . . , xn).
(17)
Je-li x = (x1, . . . , xn) rešení soustavy (17) na intervalu I,pak y := x1 je rešením (16) na I.Je-li y rešení rovnice (16) na intervalu I, pakx := (y , y ′, . . . , y (n−1)) je rešením soustavy (17) na I.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 60
XIV.1. Základní pojmy, veta o existenci a jednoznacnosti
Veta 19 (Peanova veta o existenci rešení)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná množina af : G→ Rn je spojité na G.
Pak pro každé [t0,x0] ∈ Gexistuje maximální rešení rovnice (15) splnujícíx(t0) = x0.
Veta 20 (Picardova o existenci a jednoznacnostirešení)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná množina af : G→ Rn je spojité na G. Necht’ navíc parciální derivace∂fi∂xj
, i , j = 1, . . . ,n jsou spojité na G. Pak pro každé[t0,x0] ∈ G existuje práve jedno maximální rešení rovnice(15) splnující x(t0) = x0.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 61
XIV.1. Základní pojmy, veta o existenci a jednoznacnosti
Veta 19 (Peanova veta o existenci rešení)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná množina af : G→ Rn je spojité na G. Pak pro každé [t0,x0] ∈ Gexistuje maximální rešení rovnice (15) splnujícíx(t0) = x0.
Veta 20 (Picardova o existenci a jednoznacnostirešení)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná množina af : G→ Rn je spojité na G. Necht’ navíc parciální derivace∂fi∂xj
, i , j = 1, . . . ,n jsou spojité na G. Pak pro každé[t0,x0] ∈ G existuje práve jedno maximální rešení rovnice(15) splnující x(t0) = x0.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 61
XIV.1. Základní pojmy, veta o existenci a jednoznacnosti
Veta 19 (Peanova veta o existenci rešení)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná množina af : G→ Rn je spojité na G. Pak pro každé [t0,x0] ∈ Gexistuje maximální rešení rovnice (15) splnujícíx(t0) = x0.
Veta 20 (Picardova o existenci a jednoznacnostirešení)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná množina af : G→ Rn je spojité na G.
Necht’ navíc parciální derivace∂fi∂xj
, i , j = 1, . . . ,n jsou spojité na G. Pak pro každé[t0,x0] ∈ G existuje práve jedno maximální rešení rovnice(15) splnující x(t0) = x0.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 61
XIV.1. Základní pojmy, veta o existenci a jednoznacnosti
Veta 19 (Peanova veta o existenci rešení)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná množina af : G→ Rn je spojité na G. Pak pro každé [t0,x0] ∈ Gexistuje maximální rešení rovnice (15) splnujícíx(t0) = x0.
Veta 20 (Picardova o existenci a jednoznacnostirešení)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná množina af : G→ Rn je spojité na G. Necht’ navíc parciální derivace∂fi∂xj
, i , j = 1, . . . ,n jsou spojité na G.
Pak pro každé[t0,x0] ∈ G existuje práve jedno maximální rešení rovnice(15) splnující x(t0) = x0.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 61
XIV.1. Základní pojmy, veta o existenci a jednoznacnosti
Veta 19 (Peanova veta o existenci rešení)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná množina af : G→ Rn je spojité na G. Pak pro každé [t0,x0] ∈ Gexistuje maximální rešení rovnice (15) splnujícíx(t0) = x0.
Veta 20 (Picardova o existenci a jednoznacnostirešení)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná množina af : G→ Rn je spojité na G. Necht’ navíc parciální derivace∂fi∂xj
, i , j = 1, . . . ,n jsou spojité na G. Pak pro každé[t0,x0] ∈ G existuje práve jedno maximální rešení rovnice(15) splnující x(t0) = x0.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 61
XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení
XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 62
XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení
Lemma 21 (Bolzano–Cauchyova podmínka)Necht’ a,b ∈ R, a < b, a funkce g je definována na (a,b).
Vlastní limita limt→b− g(t) existuje, práve když g splnujeBolzano-Cauchyovu podmínku
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀s, t ∈ P−(b, δ) : |g(t)− g(s)| < ε.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 63
XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení
Lemma 21 (Bolzano–Cauchyova podmínka)Necht’ a,b ∈ R, a < b, a funkce g je definována na (a,b).Vlastní limita limt→b− g(t) existuje, práve když g splnujeBolzano-Cauchyovu podmínku
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀s, t ∈ P−(b, δ) : |g(t)− g(s)| < ε.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 63
XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení
Lemma 21 (Bolzano–Cauchyova podmínka)Necht’ a,b ∈ R, a < b, a funkce g je definována na (a,b).Vlastní limita limt→b− g(t) existuje, práve když g splnujeBolzano-Cauchyovu podmínku
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀s, t ∈ P−(b, δ) : |g(t)− g(s)| < ε.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 63
XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení
Veta 22 (o opouštení kompaktu)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná, K ⊂ G jekompaktní a f : G→ Rn je spojité.
Bud’ x maximálnírešení rovnice (15) definované na intervalu (α, β),t0 ∈ (α, β) a [t0,x(t0)] ∈ K . Pak existují τ1 ∈ (α, t0) aτ2 ∈ (t0, β) taková, že [τ1,x(τ1)] /∈ K a [τ2,x(τ2)] /∈ K .
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 64
XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení
Veta 22 (o opouštení kompaktu)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná, K ⊂ G jekompaktní a f : G→ Rn je spojité. Bud’ x maximálnírešení rovnice (15) definované na intervalu (α, β),t0 ∈ (α, β) a [t0,x(t0)] ∈ K .
Pak existují τ1 ∈ (α, t0) aτ2 ∈ (t0, β) taková, že [τ1,x(τ1)] /∈ K a [τ2,x(τ2)] /∈ K .
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 64
XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení
Veta 22 (o opouštení kompaktu)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná, K ⊂ G jekompaktní a f : G→ Rn je spojité. Bud’ x maximálnírešení rovnice (15) definované na intervalu (α, β),t0 ∈ (α, β) a [t0,x(t0)] ∈ K . Pak existují τ1 ∈ (α, t0) aτ2 ∈ (t0, β) taková, že [τ1,x(τ1)] /∈ K a [τ2,x(τ2)] /∈ K .
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 64
XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení
Lemma 23 (ekvivalence diferenciální a integrálnírovnice)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná, f : G→ Rn jespojité zobrazení, (α, β) ⊂ R, t0 ∈ (α, β) a [t0,x0] ∈ G.
Bud’ x : (α, β)→ Rn spojitá vektorová funkce. Pak x jerešením rovnice (15) na (α, β) s pocátecní podmínkoux(t0) = x0, práve když pro každé t ∈ (α, β) platí
x(t) = x0 +
∫ t
t0f (s,x(s)) ds.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 65
XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení
Lemma 23 (ekvivalence diferenciální a integrálnírovnice)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná, f : G→ Rn jespojité zobrazení, (α, β) ⊂ R, t0 ∈ (α, β) a [t0,x0] ∈ G.Bud’ x : (α, β)→ Rn spojitá vektorová funkce.
Pak x jerešením rovnice (15) na (α, β) s pocátecní podmínkoux(t0) = x0, práve když pro každé t ∈ (α, β) platí
x(t) = x0 +
∫ t
t0f (s,x(s)) ds.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 65
XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení
Lemma 23 (ekvivalence diferenciální a integrálnírovnice)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná, f : G→ Rn jespojité zobrazení, (α, β) ⊂ R, t0 ∈ (α, β) a [t0,x0] ∈ G.Bud’ x : (α, β)→ Rn spojitá vektorová funkce. Pak x jerešením rovnice (15) na (α, β) s pocátecní podmínkoux(t0) = x0,
práve když pro každé t ∈ (α, β) platí
x(t) = x0 +
∫ t
t0f (s,x(s)) ds.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 65
XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení
Lemma 23 (ekvivalence diferenciální a integrálnírovnice)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná, f : G→ Rn jespojité zobrazení, (α, β) ⊂ R, t0 ∈ (α, β) a [t0,x0] ∈ G.Bud’ x : (α, β)→ Rn spojitá vektorová funkce. Pak x jerešením rovnice (15) na (α, β) s pocátecní podmínkoux(t0) = x0, práve když pro každé t ∈ (α, β) platí
x(t) = x0 +
∫ t
t0f (s,x(s)) ds.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 65
XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení
Lemma 24 (Gronwallovo lemma)Necht’ funkce u je spojitá na intervalu 〈t0, t1), t0 ∈ R,t1 ∈ R∗. Necht’ existují císla a, α, β ∈ R, α > 0, β ≥ 0taková, že
u(t) ≤ a +
∫ t
t0(αu(s) + β) ds, t ∈ 〈t0, t1).
Paku(t) ≤
(a +
β
α
)eα(t−t0), t ∈ 〈t0, t1).
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 66
XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení
Lemma 24 (Gronwallovo lemma)Necht’ funkce u je spojitá na intervalu 〈t0, t1), t0 ∈ R,t1 ∈ R∗. Necht’ existují císla a, α, β ∈ R, α > 0, β ≥ 0taková, že
u(t) ≤ a +
∫ t
t0(αu(s) + β) ds, t ∈ 〈t0, t1).
Paku(t) ≤
(a +
β
α
)eα(t−t0), t ∈ 〈t0, t1).
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 66
XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení
Lemma 25 (o lipschitzovskosti)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná a zobrazeníf : G→ Rn a ∂fi
∂xj, i , j = 1, . . . ,n jsou spojitá na G.
Bud’K ⊂ G kompaktní a její rezy Kt := {x ∈ Rn : (t ,x) ∈ K}konvexní pro všechna t ∈ R. Pak existuje L > 0 takové, že
‖f (t ,x)− f (t ,y)‖ ≤ L‖x − y‖ ∀ (t ,x), (t ,y) ∈ K . (18)
PoznámkaJednoznacnost rešení snadno plyne z Gronwallovalemmatu a vlastnosti (18).Vlastnost (18) se nazývá lipschitzovskost.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 67
XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení
Lemma 25 (o lipschitzovskosti)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná a zobrazeníf : G→ Rn a ∂fi
∂xj, i , j = 1, . . . ,n jsou spojitá na G. Bud’
K ⊂ G kompaktní a její rezy Kt := {x ∈ Rn : (t ,x) ∈ K}konvexní pro všechna t ∈ R.
Pak existuje L > 0 takové, že
‖f (t ,x)− f (t ,y)‖ ≤ L‖x − y‖ ∀ (t ,x), (t ,y) ∈ K . (18)
PoznámkaJednoznacnost rešení snadno plyne z Gronwallovalemmatu a vlastnosti (18).Vlastnost (18) se nazývá lipschitzovskost.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 67
XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení
Lemma 25 (o lipschitzovskosti)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná a zobrazeníf : G→ Rn a ∂fi
∂xj, i , j = 1, . . . ,n jsou spojitá na G. Bud’
K ⊂ G kompaktní a její rezy Kt := {x ∈ Rn : (t ,x) ∈ K}konvexní pro všechna t ∈ R. Pak existuje L > 0 takové, že
‖f (t ,x)− f (t ,y)‖ ≤ L‖x − y‖ ∀ (t ,x), (t ,y) ∈ K . (18)
PoznámkaJednoznacnost rešení snadno plyne z Gronwallovalemmatu a vlastnosti (18).Vlastnost (18) se nazývá lipschitzovskost.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 67
XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení
Lemma 25 (o lipschitzovskosti)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná a zobrazeníf : G→ Rn a ∂fi
∂xj, i , j = 1, . . . ,n jsou spojitá na G. Bud’
K ⊂ G kompaktní a její rezy Kt := {x ∈ Rn : (t ,x) ∈ K}konvexní pro všechna t ∈ R. Pak existuje L > 0 takové, že
‖f (t ,x)− f (t ,y)‖ ≤ L‖x − y‖ ∀ (t ,x), (t ,y) ∈ K . (18)
PoznámkaJednoznacnost rešení snadno plyne z Gronwallovalemmatu a vlastnosti (18).Vlastnost (18) se nazývá lipschitzovskost.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 67
XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení
Veta 26 (spojitá závislost na pocátecníchpodmínkách)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná množina af : G→ Rn, ∂fi
∂xjjsou spojité na G.
Necht’ [t0,x0] ∈ G a x jemaximální rešení rovnice (15) definované na (a,b) asplnující x(t0) = x0. Necht’ dále 〈c,d〉 ⊂ (a,b) je uzavrenýomezený interval pro který t0 ∈ (c,d). Pak pro každéε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé y0 ∈ Rn
splnující∥∥y0 − x0
∥∥ < δ platí:Maximální rešení y rovnice (15) splnující pocátecnípodmínku y(t0) = y0 je definováno na intervaluobsahujícím 〈c,d〉 a ‖x(t)− y(t)‖ < ε pro všechnat ∈ 〈c,d〉.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 68
XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení
Veta 26 (spojitá závislost na pocátecníchpodmínkách)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná množina af : G→ Rn, ∂fi
∂xjjsou spojité na G. Necht’ [t0,x0] ∈ G a x je
maximální rešení rovnice (15) definované na (a,b) asplnující x(t0) = x0.
Necht’ dále 〈c,d〉 ⊂ (a,b) je uzavrenýomezený interval pro který t0 ∈ (c,d). Pak pro každéε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé y0 ∈ Rn
splnující∥∥y0 − x0
∥∥ < δ platí:Maximální rešení y rovnice (15) splnující pocátecnípodmínku y(t0) = y0 je definováno na intervaluobsahujícím 〈c,d〉 a ‖x(t)− y(t)‖ < ε pro všechnat ∈ 〈c,d〉.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 68
XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení
Veta 26 (spojitá závislost na pocátecníchpodmínkách)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná množina af : G→ Rn, ∂fi
∂xjjsou spojité na G. Necht’ [t0,x0] ∈ G a x je
maximální rešení rovnice (15) definované na (a,b) asplnující x(t0) = x0. Necht’ dále 〈c,d〉 ⊂ (a,b) je uzavrenýomezený interval pro který t0 ∈ (c,d).
Pak pro každéε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé y0 ∈ Rn
splnující∥∥y0 − x0
∥∥ < δ platí:Maximální rešení y rovnice (15) splnující pocátecnípodmínku y(t0) = y0 je definováno na intervaluobsahujícím 〈c,d〉 a ‖x(t)− y(t)‖ < ε pro všechnat ∈ 〈c,d〉.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 68
XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení
Veta 26 (spojitá závislost na pocátecníchpodmínkách)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná množina af : G→ Rn, ∂fi
∂xjjsou spojité na G. Necht’ [t0,x0] ∈ G a x je
maximální rešení rovnice (15) definované na (a,b) asplnující x(t0) = x0. Necht’ dále 〈c,d〉 ⊂ (a,b) je uzavrenýomezený interval pro který t0 ∈ (c,d). Pak pro každéε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé y0 ∈ Rn
splnující∥∥y0 − x0
∥∥ < δ platí:
Maximální rešení y rovnice (15) splnující pocátecnípodmínku y(t0) = y0 je definováno na intervaluobsahujícím 〈c,d〉 a ‖x(t)− y(t)‖ < ε pro všechnat ∈ 〈c,d〉.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 68
XIV.2. Vlastnosti maximálních rešení
Veta 26 (spojitá závislost na pocátecníchpodmínkách)Necht’ G ⊂ R× Rn je otevrená neprázdná množina af : G→ Rn, ∂fi
∂xjjsou spojité na G. Necht’ [t0,x0] ∈ G a x je
maximální rešení rovnice (15) definované na (a,b) asplnující x(t0) = x0. Necht’ dále 〈c,d〉 ⊂ (a,b) je uzavrenýomezený interval pro který t0 ∈ (c,d). Pak pro každéε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé y0 ∈ Rn
splnující∥∥y0 − x0
∥∥ < δ platí:Maximální rešení y rovnice (15) splnující pocátecnípodmínku y(t0) = y0 je definováno na intervaluobsahujícím 〈c,d〉 a ‖x(t)− y(t)‖ < ε pro všechnat ∈ 〈c,d〉.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 68
XIV.3. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic
XIV.3. Soustavy lineárních diferenciálníchrovnic
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 69
XIV.3. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic
Soustavou lineárních diferenciálních rovnic rozumímesoustavu tvaru
x ′1(t) = a11(t)x1(t) + · · ·+ a1n(t)xn(t) + b1(t),x ′2(t) = a21(t)x1(t) + · · ·+ a2n(t)xn(t) + b2(t),
...
x ′n(t) = an1(t)x1(t) + · · ·+ ann(t)xn(t) + bn(t),
kde n ∈ N, aij : (α, β)→ R, bi : (α, β)→ R, i , j ∈ {1, . . . ,n},jsou spojité funkce.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 70
XIV.3. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic
Vektorový tvar soustavy:
x ′(t) = A(t)x(t) + b(t), (19)
kde
A(t) =
a11(t) . . . a1n(t)a21(t) . . . a2n(t)...
. . ....
an1(t) . . . ann(t)
, b(t) =
b1(t)b2(t)...
bn(t)
.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 71
XIV.3. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic
Veta 27 (o existenci a jednoznacnosti rešení)Necht’ α, β ∈ R∗, α < β, t0 ∈ (α, β) a y0 ∈ Rn. Necht’A : (α, β)→ M(n × n), b : (α, β)→ Rn jsou spojitázobrazení. Potom existuje práve jedno maximální rešeníy soustavy (19) splnující y(t0) = y0. Toto rešení je navícdefinováno na celém intervalu (α, β).
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 72
XIV.3. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic
DefiniceHomogenní soustavou k soustave (19) rozumímesoustavu
x ′(t) = A(t)x(t). (20)
Zobrazení L : C1((α, β),Rn)→ C((α, β),Rn),
L(x) = x ′ − Ax
je lineární.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 73
XIV.3. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic
DefiniceHomogenní soustavou k soustave (19) rozumímesoustavu
x ′(t) = A(t)x(t). (20)
Zobrazení L : C1((α, β),Rn)→ C((α, β),Rn),
L(x) = x ′ − Ax
je lineární.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 73
XIV.3. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic
Veta 28 (struktura množiny rešení)Necht’ n ∈ N, α, β ∈ R∗, α < β, a A : (α, β)→ M(n × n) ab : (α, β)→ Rn jsou spojitá zobrazení.
(i) Množina všech maximálních rešení homogennísoustavy (20) tvorí vektorový podprostor prostoruC1((α, β),Rn) dimenze n.
(ii) Necht’ y je jedno maximální rešení soustavy (19).Pak všechna její maximální rešení jsou tvarux = y + z , kde z je rešením homogenní soustavy(20).
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 74
XIV.3. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic
Veta 28 (struktura množiny rešení)Necht’ n ∈ N, α, β ∈ R∗, α < β, a A : (α, β)→ M(n × n) ab : (α, β)→ Rn jsou spojitá zobrazení.
(i) Množina všech maximálních rešení homogennísoustavy (20) tvorí vektorový podprostor prostoruC1((α, β),Rn) dimenze n.
(ii) Necht’ y je jedno maximální rešení soustavy (19).Pak všechna její maximální rešení jsou tvarux = y + z , kde z je rešením homogenní soustavy(20).
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 74
XIV.3. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic
Veta 28 (struktura množiny rešení)Necht’ n ∈ N, α, β ∈ R∗, α < β, a A : (α, β)→ M(n × n) ab : (α, β)→ Rn jsou spojitá zobrazení.
(i) Množina všech maximálních rešení homogennísoustavy (20) tvorí vektorový podprostor prostoruC1((α, β),Rn) dimenze n.
(ii) Necht’ y je jedno maximální rešení soustavy (19).Pak všechna její maximální rešení jsou tvarux = y + z , kde z je rešením homogenní soustavy(20).
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 74
XIV.3. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic
DefiniceBázi prostoru maximálních rešení soustavy (20)nazýváme fundamentální systém rešení soustavy (20).Je-li y1, . . . ,yn fundamentální systém soustavy (20), pakmatici
Φ(t) =(y1(t), . . . ,yn(t)
)=
y1
1 (t) . . . yn1 (t)
y12 (t) . . . yn
2 (t)...
. . ....
y1n (t) . . . yn
n (t)
nazýváme fundamentální matice soustavy (20).
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 75
XIV.3. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic
Veta 29 (regularita fundamentální matice)Necht’ Φ je fundamentální matice soustavy (20). Pakmatice Φ(t) je regulární pro každé t ∈ (α, β).
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 76
XIV.3. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic
Veta 30 (variace konstant)Necht’ n ∈ N, α, β ∈ R∗, α < β, t0 ∈ (α, β) a y0 ∈ Rn.Necht’ A : (α, β)→ M(n × n) a b : (α, β)→ Rn jsou spojitázobrazení. Pak maximální rešení y rovnice (19) spocátecní podmínkou y(t0) = y0 má tvar
y(t) = Φ(t)Φ−1(t0)y0+Φ(t)∫ t
t0Φ−1(s)b(s) ds, t ∈ (α, β),
kde Φ je fundamentální matice soustavy (20).
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 77
XIV.4. Rešení lineárních soustav s konstantními koeficienty
XIV.4. Rešení lineárních soustav skonstantními koeficienty
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 78
XIV.4. Rešení lineárních soustav s konstantními koeficienty
Soustava lineárních diferenciálních rovnic s konstantnímikoeficienty je soustava
x ′(t) = Ax(t) + b(t),
kde A ∈ M(n × n) a b : (α, β)→ Rn je daná (spojitá)vektorová funkce. Príslušná homogenní soustava jesoustava
x ′(t) = Ax(t). (21)
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 79
XIV.4. Rešení lineárních soustav s konstantními koeficienty
Tvrzení 31 (hladkost rešení soustavy rovnic)Necht’ A ∈ M(n × n) a vektorová funkce y : R→ Rn jerešením soustavy (21). Pak y ∈ C∞(R,Rn) a pro každék ∈ N platí y (k)(t) = Aky(t) pro t ∈ R.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 80
XIV.4. Rešení lineárních soustav s konstantními koeficienty
DefiniceMatici, jejíž prvky jsou polynomy v promenné λ,nazýváme λ-maticí.
Rádkovými úpravami λ-matice rozumíme:
prohození dvou rádku;vynásobení rádku nenulovou konstantou;prictení P(λ)-násobku jednoho rádku k jinému rádku,kde P(λ) je polynom v promenné λ.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 81
XIV.4. Rešení lineárních soustav s konstantními koeficienty
DefiniceMatici, jejíž prvky jsou polynomy v promenné λ,nazýváme λ-maticí.Rádkovými úpravami λ-matice rozumíme:
prohození dvou rádku;vynásobení rádku nenulovou konstantou;prictení P(λ)-násobku jednoho rádku k jinému rádku,kde P(λ) je polynom v promenné λ.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 81
XIV.4. Rešení lineárních soustav s konstantními koeficienty
DefiniceMatici, jejíž prvky jsou polynomy v promenné λ,nazýváme λ-maticí.Rádkovými úpravami λ-matice rozumíme:
prohození dvou rádku;
vynásobení rádku nenulovou konstantou;prictení P(λ)-násobku jednoho rádku k jinému rádku,kde P(λ) je polynom v promenné λ.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 81
XIV.4. Rešení lineárních soustav s konstantními koeficienty
DefiniceMatici, jejíž prvky jsou polynomy v promenné λ,nazýváme λ-maticí.Rádkovými úpravami λ-matice rozumíme:
prohození dvou rádku;vynásobení rádku nenulovou konstantou;
prictení P(λ)-násobku jednoho rádku k jinému rádku,kde P(λ) je polynom v promenné λ.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 81
XIV.4. Rešení lineárních soustav s konstantními koeficienty
DefiniceMatici, jejíž prvky jsou polynomy v promenné λ,nazýváme λ-maticí.Rádkovými úpravami λ-matice rozumíme:
prohození dvou rádku;vynásobení rádku nenulovou konstantou;prictení P(λ)-násobku jednoho rádku k jinému rádku,kde P(λ) je polynom v promenné λ.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 81
XIV.4. Rešení lineárních soustav s konstantními koeficienty
Veta 32 (úprava lambda-matice)Necht’ A ∈ M(n × n). Pak lze λ-matici λI − A prevéstkonecnou posloupností rádkových úprav na hornítrojúhelníkovou λ-matici. Výsledná λ-matice má nadiagonále nenulové polynomy, soucet jejichž stupnu je n.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 82
XIV.5. Stabilita stacionárních bodu
XIV.5. Stabilita stacionárních bodu
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 83
XIV.5. Stabilita stacionárních bodu
Uvažujme soustavu diferenciálních rovnic
x ′(t) = f (x(t)) (22)
kde f : G→ Rn je dané zobrazení trídy C1, G ⊂ Rn
otevrená.
Necht’ a ∈ G. Je-li f (a) = 0, nazveme a stacionárnímbodem soustavy (22).Vektorová funkce x(t) = a je pak stacionárním rešenímsoustavy.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 84
XIV.5. Stabilita stacionárních bodu
Uvažujme soustavu diferenciálních rovnic
x ′(t) = f (x(t)) (22)
kde f : G→ Rn je dané zobrazení trídy C1, G ⊂ Rn
otevrená.Necht’ a ∈ G. Je-li f (a) = 0, nazveme a stacionárnímbodem soustavy (22).
Vektorová funkce x(t) = a je pak stacionárním rešenímsoustavy.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 84
XIV.5. Stabilita stacionárních bodu
Uvažujme soustavu diferenciálních rovnic
x ′(t) = f (x(t)) (22)
kde f : G→ Rn je dané zobrazení trídy C1, G ⊂ Rn
otevrená.Necht’ a ∈ G. Je-li f (a) = 0, nazveme a stacionárnímbodem soustavy (22).Vektorová funkce x(t) = a je pak stacionárním rešenímsoustavy.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 84
XIV.5. Stabilita stacionárních bodu
Rekneme, že stacionární bod a jestabilní, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové,že pro každé maximální rešení x soustavy platí
‖x(0)− a‖ < δ ⇒ ‖x(t)− a‖ < ε ∀t > 0.
asymptoticky stabilní, jestliže je stabilní a navícexistuje δ > 0 takové, že pro každé maximální rešeníx platí
‖x(0)− a‖ < δ ⇒ limt→+∞
‖x(t)− a‖ = 0.
nestabilní, jestliže není stabilní.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 85
XIV.5. Stabilita stacionárních bodu
Rekneme, že stacionární bod a jestabilní, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové,že pro každé maximální rešení x soustavy platí
‖x(0)− a‖ < δ ⇒ ‖x(t)− a‖ < ε ∀t > 0.
asymptoticky stabilní, jestliže je stabilní a navícexistuje δ > 0 takové, že pro každé maximální rešeníx platí
‖x(0)− a‖ < δ ⇒ limt→+∞
‖x(t)− a‖ = 0.
nestabilní, jestliže není stabilní.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 85
XIV.5. Stabilita stacionárních bodu
Rekneme, že stacionární bod a jestabilní, jestliže pro každé ε > 0 existuje δ > 0 takové,že pro každé maximální rešení x soustavy platí
‖x(0)− a‖ < δ ⇒ ‖x(t)− a‖ < ε ∀t > 0.
asymptoticky stabilní, jestliže je stabilní a navícexistuje δ > 0 takové, že pro každé maximální rešeníx platí
‖x(0)− a‖ < δ ⇒ limt→+∞
‖x(t)− a‖ = 0.
nestabilní, jestliže není stabilní.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 85
XIV.5. Stabilita stacionárních bodu
Veta 33 (o stabilite lineární soustavy)Bud’ A ∈ M(n × n). Pak bod a = 0 je stacionárním bodemsoustavy x ′(t) = Ax(t), a to
asymptoticky stabilním, práve když všechna vlastnícísla matice A mají zápornou reálnou cást.stabilním, pokud všechna vlastní císla matice A majínekladnou reálnou cást a císla s nulovou reálnoucástí mají násobnost 1.nestabilním, pokud existuje vlastní císlo matice A skladnou reálnou cástí.
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 86
XIV.5. Stabilita stacionárních bodu
Veta 34 (o stabilite nelineární soustavy)Necht’ a je stacionárním bodem soustavy (22).
Pokud všechna vlastní císla matice ∇f (a) majízápornou reálnou cást, je a asymptoticky stabilnímstacionárním bodem soustavy (22).Pokud existuje vlastní císlo matice ∇f (a) s kladnoureálnou cástí, je a nestabilním stacionárním bodemsoustavy (22).
Matematika IV XIV. Soustavy diferenciálních rovnic 87