Matematika Komputer

7/25/2019 Matematika Komputer

1/56

PENDAHULUAN

MATEMATIKA

KOMPUTER

Irma Amelia

Dewi.,S.Kom.,MT


2/56

Matematika Komputer

Kontrak Kuliah

GBPP (Garis Besar ProgramPengajaran

Pustaka

Pertemuan ! Pen"ahuluan


3/56

Kontrak

Dalam menentukan nilai akhir, akan"igunakan pem#o#otan se#agai#erikut$

Kegiatan Bobot Nilai

%jian Tengah Semester (%TS &'

%jian Akhir Semester (%AS &'

Tugas )'

*%I+ )'


4/56

Apa ang "ipelajari

1. Logika Matematika : Konsep logika, operator logika an", or, -or,

penerjemahan ke "alam kalimat logika, implikasi "an#iimplikasi

Pem#uktian ali"itas kalimat "engan ta#elke#enaran, pohon keputusan

Aturan inter/erensi, pem#uktian kalimat proposisi"engan meto"e "e"uksi

Teori 0impunan

1ungsi "an 2elasi

In"uksi Matematika

Pohon "an Gra/

2angkaian 3ogika Dasar


5/56

2. Matematika Diskrit : 3ogika

Teori 0impunan

2elasi Bilangan Bulat

Kom#inatorial

Peluang Diskrit Gra/

Tree


6/56

P%STAKA

2inal"i Munir, 4 Matematika Diskrit5, e"isike tiga, pener#it In/ormatika Ban"ung,)''6

Kenneth 0. 2osen, 4Dis7rete Mathemati7san" Appli7ation5, 6the"ition, M7Graw0ill,8ew 9ork, )''&

Kolman Bernar",Bus# : 2o#ert,5Dis7reteMathemati7al Stru7tures /or :omputerS7ien7e5, )the"ition, Prenti7e;0all.In7, 8ew

?


7/56

MAT@MATIKA DISK2IT

:a#ang matematika g mempelajari tentang o#ek"iskrit.

Apa ang "imaksu" "engan kata diskrit(discrete

#jek "ise#ut "iskrit jika$

ter"iri "ari sejumlah #erhingga elemen ang #er#e"a

elemen;elemenna ti"ak #ersam#ungan(unconnected.

:ontoh$ himpunan #ilangan #ulat (integer

3awan kata "iskrit$ kontinyuatau menerus(continuous.

:ontoh$ himpunan #ilangan riil (real

Komputer "igital #ekerja se7ara "iskrit. In/ormasi ang"isimpan "an "imanipulasi oleh komputer a"alah "alam#entuk "iskrit.


8/56

Kenapa #elajar

Matematika "iskrit merupakan ilmu "asar "alampen"i"ikan in/ormatika atau ilmu komputer.

Matematika "iskrit mem#erikan lan"asanmatematis untuk kuliah;kuliah lain "i

in/ormatika $ algoritma, struktur "ata, #asis"ata, otomata "an teori #ahasa /ormal, jaringankomputer, keamanan komputer, sistem operasi,teknik kompilasi, "s#.

Matematika "iskrit a"alah matematika angkhas in/ormatika Matematika Informatika.


9/56

Persoalan "alam kehi"upan sehari;

hari

!. Berapa #anak alamat internet ali"g mungkin pa"a suatu jaringankomputer

). Berapa pro#a#ilitas menang suatuun"ian

&. Bagaimana menentukan lintasanterpen"ek antar kota

C. Bagaimana mengurutkan suatukumpulan "ata


10/56

3ogika Matematika

3ogika merupakan stu"i penalaran(reasoning, aitu 7ara #erpikir "enganmengem#angkan sesuatu #er"asarkan akalang "i/okuskan pa"a hu#ungan antarapernataan statement

:ontoh aplikasi $ pemrograman, analisiske#enaran algoritma, ke7er"asan #uatan,

jaringan, "s# Tujuan $ untuk mem#entuk lan"asan

pemahaman logika ang #erhu#ungan"engan ilmu komputer


11/56

Proposisi

Pengertian Proposisi

perator 3ogika

Ta#el Ke#enaran


12/56

Pengertian Proposisi

Proposisi a"alah se#uah pernataanang #isa #ernilai benar (trueT

atau salah(/alse1 tetapi ti"aksekaligus ke"uana.

Ke#enaran atau kesalahan "aise#uah kalimat "ise#ut nilaike#enaranna (Truth value

Dalam rangkaian "ijital, nilai ini

"inatakan se#agai 1"an 0


13/56

Proposisi atau Pernataan

4> a"alah #ilangan genap5

Apakah ini sebuah pernyataan? YA

Apakah ini sebuah proposisi? YA

Apakah nilai kebenarandari proposisi ini?

BENAR


14/56


4!) !=5




SALAH


15/56


4 E 65

Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut

bergantung pada y, tapi nilainya belu

ditentukan!


Apakah ini sebuah proposisi? "#$A%

Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai fungsiproposisiatau kalimat terbuka.


16/56


4Sekarang tahun )''C "an == F 6.5




SALAH


17/56


4Tolong untuk ti"ak ti"ur selama kuliah5

4


18/56


4- F jika "an hana jika E -.5

Apakah ini pernyataan ? YA

Apakah ini proposisi ? YA

Apakah nilai kebenaran

dari proposisi ini ? BENAR

' karena nilai kebenarannya

tidak bergantung harga

spesi(ik ) aupun y!


19/56

Pengga#ung Proposisi

Be#erapa 7ontoh ter"ahulu menunjukkan #ahwa#e#erapa proposisi "apat "iga#ung menja"ise#uah proposisi ga#ungan.

0al ini kita /ormal;kan "engan melam#angkanproposisi se#agai huru/;huru/ sepertip, q, r, s;"an memperkenalkan operator;operator logika.


20/56

perator logika

Kita akan mem#ahas operator;operator #erikut$

8egasi (8T

Konjungsi (A8D

Disjungsi (2

@ksklusi/ 2 (H2

Implikasi (jika maka

Bikon"isional (jika "an hana jika

Ta#el logika (ta#el ke#enaran truth table "apat "ipakai

untuk menunjukkan #agaimana operator;operator ts#"iatas mengga#ungkan #e#erapa proposisi menja"i satuproposisi ga#ungan.


21/56

8egasi (8T

perator %ner, 3am#ang$

P P

Benar Salah

Salah Benar


22/56

Konjungsi (A8D

perator Biner, 3am#ang$

P * P*

Benar Benar Benar

Benar Salah Salah

Salah Benar SalahSalah Salah Salah


23/56

Disjungsi (2

perator Biner, 3am#ang$ amu Boleh Menyumbang barang atau uang

P * P*

Benar Benar Benar

Benar Salah Benar

Salah Benar BenarSalah Salah Salah


24/56

@ksklusi/ r (H2

perator Biner, 3am#ang$

!aya akan melihat "ertandingan itu di # atau di la"angan

$ % $%

T T 1

T 1 T

1 T T1 1 1


25/56

Implikasi (jika ; maka

&"erator Biner' Lambang: (ika besok )erah *"+' maka aku akan datang ke rumahmu *%+

$ , hi"otesis' % , konklusi

a.


26/56

/ontoh Kalimat Im"likasi


27/56

/ontoh Kalimat Im"likasi *lanut..+

- $ An"a #erusia !? tahun

$ An"a "apat memperoleh SIM

40ana jika an"a #erusia !? tahun maka an"a "apat memperoleh SIM5

(ket. ingat pJ, #isa "i#a7a p hana jika J

An"a "apat memperoleh SIM hana jika An"a #erusia !? tahun.

maka preposisi "alam notasi implikasi a"alah s##, -

4Sarat 7ukup agar an"a "apat memperoleh SIM a"alah an"a #erusia !?tahun5

(ket. ingat pJ, #isa "i#a7a p sarat 7ukup untuk J

An"a #erusia !? tahun a"alah sarat 7ukup untuk "apat memperoleh SIM.


4Sarat perlu agar an"a "apat memperoleh SIM a"alah an"a #erusia !?tahun5

(ket. ingat pJ, #isa "i#a7a J sarat perlu untuk p

An"a #erusia !? tahun a"alah sarat perlu untuk "apat memperoleh SIM.



28/56

/ontoh Kalimat Im"likasi*lanut..+

- $ An"a #erusia !? tahun

$ An"a "apat memperoleh SIM

4


29/56

Ta#el Ke#enaran Implikasi (jika ;

maka

$ % $%

T T T

T 1 1

1 T T

1 1 T


30/56

Bentuk 3ain Implikasi

Buktikan "engan ta#el ke#enaran#ahwa$

"- " -$ % " "

- " -

T T 1 T T

T 1 1 1 1

1 T T T T

1 1 T T T


31/56

Ta#el @kialen 3ogis DenganKalimat Implikasi

Tautologi (Taut ! pJ p J

pJ (pJ

Tautologi (Taut ) (pJ p J

Tautologi (Taut & pJ Jp

Tautologi (Taut C p J pJTautologi (Taut 6 p J (pJ

p J (p J

Tautologi (Taut L (pJ (pr p(J r

Tautologi (Taut ? (pr (Jr (p Jr

Tautologi (Taut > (pJ (pr p(J r

Tautologi (Taut = (pr (Jr (p Jr


32/56

arian Proposisi Bersarat

Prosposisi #ersarat awal a"alah p J

Koners (ke#alikan$ Jp

Iners $ pJ

Kontraposisi $ Jp


33/56

Koners, Iners "anKontraposisi

ariasi proposisi "engan 45

Koners (Ke#alikan $ J p

Iners $ pJ

Kontraposisi $ Jp

:ontoh$ Tentukan Koners' Iners dan kontra"osisi "ari4


34/56

TAB@3 K@B@8A2A8 K8@2S,

I8@2S

abel kebenaran Koners

p J Jp

1 1 t

1 T 1

T 1 TT T T

abel kebenaran Iners

p J p J pJ

1 1 T T T

1 T T 1 1

T 1 1 T T

T T 1 1 T


35/56

TAB@3 K@B@8A2A8 K8T2APSISI

abel kebenaran Kontra"osisi

p J p J Jp

1 1 T T T

1 T T 1 T

T 1 1 T 1

T T 1 1 T


36/56

:ontoh kontraposisi


37/56

Perlu a"a angin agar laang;laang #isater#ang


38/56

BIK8DISI8A3 (


39/56

BIIMP3IKASI (lanjut..

Bukti "engan ta#el ke#enaran #entukP Q (P Q) ( Q P)

" - "- -" *" -+ * -

"+1 1 T T T

1 T T 1 1

T 1 1 T 1

T T T T T


40/56

Ta#el @kialen 3ogis DenganKalimat Biimplikasi

Tautologi ! PJ (pJ (Jp

Tautologi ) PJ pJ

Tautologi & PJ (pJ (pJ

Tautologi C (PJ PJ

Tautologi 6 PJ Jp


41/56

/ara Lain MenyatakanBiim"likasi "-

p jika "an hana jika J (p i/ an" onl i/J

p a"alah sarat perlu "an 7ukup untuk J

(p is ne7essar an" suN7ient /or J


42/56

/ontoh Kalimat Biim"likasi

!!Q) jika "an hana jika ))QC

Sarat 7ukup "an sarat perlu agarhari hujan a"alah kelem#a#an u"aratinggi


43/56

/ontoh Kalimat Biim"likasi *Lanut..+

:ontoh$natakan setiap proposisi #erikut "alam#entuk 4p jika "an hana jika J5


44/56


45/56

Pene"erhanaan Proposisi (lanjut..

Kalimat proposisi logika "ikatan se"erhanajika ti"ak ter"apat tan"a penghu#ung lainke7uali $ , ,

Tan"a penghu#ung

, harus "ihilangkanmenggunakan kalimat lain ang ekialen"engan logis tan"a terse#ut

Kalimat proposisi "ikatakan kompleks jika

"alam kalimat terse#ut ter"apat #anakjenis operator logika atau tan"a;tan"aoperator logika seperti ,


46/56

Pene"erhanaan Proposisi (lanjut..

Kalimat proposisi logika "ikatan se"erhanajika ti"ak ter"apat tan"a penghu#ung lainke7uali $ , ,

Tan"a penghu#ung

, harus "ihilangkanmenggunakan kalimat lain ang ekialen"engan logis tan"a terse#ut

Kalimat proposisi "ikatakan kompleks jika

"alam kalimat terse#ut ter"apat #anakjenis operator logika atau tan"a;tan"aoperator logika seperti ,


47/56

Pernataan "an perasi

Pernataan;pernataan "an operator;operator"apat "iga#ungkan menja"i suatu pernataan

#aru.

$ %

$

% *

$+

*

%+

T T 1 1 1

T 1 1 T T

1 T T 1 T

1 1 T T T

P " i


48/56

Pernataan "an perasi

$ % $

%

*$

%+ *

$+

*

%+

T T T 1 1

T 1 1 T T

1 T 1 T T

1 1 1 T T

*ernyataan+pernyataan dan operator+operator dapatdigabungkan en&adi suatu pernyataan baru!


49/56

Pernataan;pernataan ang ekialen

Pernatan (P* "an (P(* a"alah ekialen se7ara logis,

karena (P*(P(* selalu #enar.

$ % *$%+

*$+*%+

*$%+*$+*%+

T T 1 1 T

T 1 T T T

1 T T T T

1 1 T T T

Tautologi "an Kontra"iksi


50/56

Tautologi "an Kontra"iksi

Suatu tautologia"alah pernataan ang selalu bernilaibenar

:ontoh$

2(2

(P*

(

P(

*


51/56

Kontra"iksi

Suatu kontradiksia"alah pernataan ang selalubernilai salah.

:ontoh$

2(2

((P*(P(*

8egasi "ari se#arang tautologi a"alah se#uahkontra"iksi, se#alikna, negasi "ari se#uah kontra"iksia"alah se#uah tautologi.


52/56

3atihan

Di#erikan pernataan 4Perlu memiliki passwor" ang sah agar An"a #isa log onke serer5

a. 8atakan pernataan "i atas "alam #entuk proposisi 4jika p, maka J5

#. Tentukan ingkaran, koners "an kontraposisi pernatan terse#ut


53/56

3ATI0A8

%ntuk menerangkan mutu se#uah hotel,

misalkan p$ Pelaananna #aik

J$ tari/ kamarna murah

r$ hotelna #er#intang tiga

Terjemahkan proposisi;proposisi #erikut "alam#entuk notasi sim#olik (menggunakan p,J,r

a. Tari/ kamarna murah, tapi pelaananna #uruk

#. Tari/ kamarna mahal atau pelaananna #aik,namun ti"ak ke"uana

7. Salah #ahwa hotel #er#intang tiga #erarti tari/kamarna murah "an pelaanna #uruk

J p

J p

(r(Jp


54/56

34! 1 4B5L K5B5N464N

Buat ta#el ke#enaran untuk (pJ(Jr" - r "---r *"-+ *-r+

1 1 1

1 1 T

1 T 1

1 T T

T 1 1T 1 T

T T 1

T T T


55/56

34! 2 4B5L K5B5N464N $5MBKI4N 4&L&3I

Kita tahu tautologi #erikut$(pJ (p(J

Tunjukkan #ahwa (pJ (p(J.

" - "- *"-+ " - *"+*-+

1 1

1 T

T 1

T T


56/56

DA1TA2 P%STAKA

Barmawi,Musrini,Mira. )'!'. DiktatMatematika Diskrit. Ban"ung.

Munir, 2inal"i. )''6. Matematika Diskrit.

Ban"ung.In/ormatika2ao,Shanker.)''=.Dis7rete Mathemati7alStru7tures. 8ew Delhi. 8ew Age

International 3t"2osen,K,Kenneth. )'!). Dis7reteMathemati7s an" Appli7ations

Date post:	26-Feb-2018
Category:	Documents
Upload:	irma-amelia
View:	224 times
Download:	0 times

Matematika Komputer

Documents