MATEMATIKA 1
Ulohy, otazky, aplikace
•
elektronicky ucebnı text
Vaclav NYDL, Renata KLUFOVA, Radka STEPANKOVA
Katedra aplikovane matematiky a informatiky
Ekonomicka fakulta, Jihoceska univerzita v Ceskych Budejovicıch
1
Tato publikace vznikla v ramci projektu IP14 42/2b/2014 -”Inovace vyuky matematiky na
EF JU se zamerenım na zvysovanı motivace studentu“
Zvlastnı ocenenı autoru si zaslouzı studentka oboru Ekonomicka informatika EF JU AnnaStepura, ktera se vyznamnym zpusobem podılela na kontrole vysledku vetsiny uloh v tetopublikaci.
c⃝ Vaclav Nydl, 2014
2
PREDMLUVA
Tento studijnı text byl sestaven tymem pedagogu Katedry aplikovane matematiky a infor-matiky Ekonomicke fakulty JU na zaklade dlouholetych zkusenostı s vyukou predmetu mate-matika na Ekonomicke a Zemedelske fakulte JU. Ma slouzit studentum 1. rocnıku k dalsımuprocvicenı latky predmetu Matematika 1.
V sesti tematickych celcıch je pokryta latka predmetu v zimnım semestru. Kazdy tema-ticky celek zacına prehledem zakladnıch pojmu, vlastnostı a vzorcu. Mimochodem, prehledvzorcu ma student k dispozici pri kazdem psanı zapoctovych testu.
Oddıl ULOHY vyzaduje prevazne pocıtanı, ale tez analyticke cinnosti. Pro tuto situacije mozno si dosadit zname nemecke uslovı:
”Die Ubung macht den Meister“.
Oddıl OTAZKY rozvıjı logicke myslenı a prohlubuje porozumenı dane latce. Pri jehoprıprave pro kazde tema jsme meli na mysli, ze matematika je idealnı predmet pro povzbu-zovanı kreativity - ostatne jako motto nam vzdy poslouzila vseobecne znama fraze (snadnosi ji muzete i
”vygooglit“):
”The purpose of education is to replace an empty mind with an
open one.“
Zaverem tematu je pripraven oddıl APLIKACE, ktery zasazuje probırane tema do sirsıchsouvislostı. Je to i reakce na celkem casto se opakujıcı dotazy studentu typu
”k cemu to je
dobre?“ Chteli bychom zde studentovi vysvetlit, ze mozna bude jednou vykonavat povolanı,ktere dneska jeste vubec neexistuje. A pak je otazkou, jake predpoklady pro takove povolanıbudou klıcove. To, co prave studuje, nenı jen matematika pro budoucıho ekonoma. Matema-tika ma totiz presah do nejruznejsıch oblastı lidske cinnosti. Ukazme si jeden prıklad:
V geoinformatice se pracuje obvykle se dvema zakladnımi typy dat: vektorovymi arastrovymi. V podobe rastrovych dat se ukladajı letecke a druzicove snımky nebo nasnımaneobrazky. Rastr je jednoducha pravidelna sıt’ bunek, ve kterych je zaznamenan prevladajıcıjev v danem mıste (napr. dominantnı vegetacnı druh, teplota, mnozstvı srazek, nadmorskavyska apod.) Tyto jevy muzeme ukladat v pameti pocıtace jako zakladnı rastrove vrstvy.Rastr je mozno chapat jako matici.
Jednotlive rastrove vrstvy muzeme prekladat pres sebe a zıskavat tak nove informace.K tomu slouzı tzv. mapova algebra - souhrn pravidel pro matematicke operace s rastry.Pomocı mapove algebry dochazı matematickymi, ale i jinymi operacemi ke kombinaci mezivıce rastrovymi vrstvami a temito operacemi posleze k vypoctu hodnot rastru v podobe novevrstvy.
Ceske Budejovice, prosinec 2014autori
3
TEMA 1-2. Znacenı, vektory a matice
ZnacenıV1 ∨ V2 nebo V1 ∧ V2 . . . logicka disjunkce nebo konjunkce vyroku V1,V2
{a, b, c} . . . mnozina obsahujıcı prvky a, b, cx ∈ M nebo x /∈ M prvek x patrı nebo nepatrı do mnoziny MN a R . . . mnozina vsech prirozenych a mnoz. vsech realnych cısel(a, b) nebo ⟨a, b⟩ . . . otevreny nebo uzavreny interval⟨a, b), (a, b⟩ . . . dva druhy polouzavrenych (polootevrenych) intervalu
Aritmeticke vektoryVn . . . prostor vsech aritmetickych n-slozkovych vektoru (vektoru dimenze n)vi . . . i-ta slozka vektoru v = (v1, v2, . . . , vn)
Zakladnı operace s vektory
Scıtanı/odcıtanı u± v = (u1, u2, . . . , un)± (v1, v2, . . . , vn) = (u1 ± v1, u2 ± v2, . . . , un ± vn)
Nasobenı cıslem c · v = c · (v1, v2, . . . , vn) = (c · v1, c · v2, . . . , c · vn)
Norma ∥v∥ = ∥(v1, v2, . . . , vn)∥ =√v21 + v22 + · · ·+ v2n
Skalarnı soucin u · v = (u1, u2, . . . , un) · (v1, v2, . . . , vn) = u1 · v1 + u2 · v2 + . . .+ un · vnVektorovy soucin u× v = (u1, u2, u3)× (v1, v2, v3) = (u2v3 − u3v2, u3v1 − u1v3, u1v2 − u2v1)
Vzorec pro uhel dvou nenulovych vektoru u a v : cosα =u · v
∥u∥ · ∥v∥Poznamky
• o = (0, 0, . . . , 0) se nazyva nulovy vektor. Vektor v se nazyva jednotkovy, je-li ∥v∥ = 1.• Vektory u, v se nazyvajı ortogonalnı (kolme), jestlize jejich skalarnı soucin je 0.• Vektory u, v se nazyvajı paralelnı (rovnobezne), jestlize existuje cıslo c tak, ze u = c · v.• Skalarnı soucin je cıslo; vektorovy soucin je vektor - je definovan jen ve V3.
MaticeTyp matice A . . . udava pocet radku a pocet sloupcu (pıseme m× n)aij . . . prvek matice A, ktery je v radku i a sloupci jHlavnı diagonala v A tvorena vsemi prvky matice A tvaru aiiNulova matice O . . . ma vsechny prvky rovny nule,Ctvercova matice . . . jakakoliv matice typu n× n (mluvıme tez o matici radu n)Jednotkova m. E . . . ctvercova matice s diag. prvky rovnymi 1, ostatnı jsou nuly
Zakladnı maticove operace
Transponovanı je-li Z = AT a A je typu m× n, pak je Z typu n×m a vzdy zij = aji
Scıtanı/odcıtanı je-li Z = A±B, pak A,B,Z jsou stejneho typu a zij = aij ± bij
Nasobenı cıslem je-li Z = c ·A, pak A,Z jsou stejneho typu a zij = c · aij ,
Nasobenı matic je-li Z = A ·B, A typu m× s, B typu s× n, pak je Z typu m× na vzdy zij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + . . .+ ais · bsj
Poznamky
• Platı A+O = O + A = A a A ·O = O · A = O, kdykoliv jsou operace definovany.• Pro kazdou matici A je A · E = E · A = A, jestlize lze operace provest.• Mocninu ctvercove matice zıskame opakovanym nasobenım, napr. A4 = A · A · A · A.
4
ULOHY
Uloha 1-2.1 [ukony s cıselnymi intervaly] Pro dane dva otevrene intervaly I1 = (−1, 4),I2 = (3,+∞) a dva uzavrene intervaly I3 = ⟨−2, 2⟩, I4 = ⟨−3, 3⟩ proved’te zadane operace.Pokud je to opet interval (otevreny, uzavreny nebo polootevreny), napiste ho.
(a) I1 ∩ I2 (b) I3 ∩ I4 (c) I1 ∩ I4 (d) I2 ∩ I3
(e) I1 ∪ I2 (f) I3 ∪ I4 (g) I2 ∪ I4 (h) I1 ∪ I4
Uloha 1-2.2. [ukony s aritmetickymi vektory] Jsou zadany ctyri vektory u1, u2, v1, v2takto: u1 = (−2, 0), u2 = (1, 2), v1 = (−1, 1, 3), v2 = (1, 2,−4).
(A) Vypoctete (pokud je to ovsem mozne) vysledny vektor a pak urcete jeho normu.
(a) 3u1 + 2u2 (b) (v1 · v1)·v1 (c) (v1 · v2)·u1 (d) (u1+v1)− (u2+v2)
(e) v1 × 2v2 (f) (v1+v2)× (v2−v1) (g) u2 × u1 (h) (v1×v2)− (v2×v1)
(B) Urcete velikost uhlu mezi vektory (a) u1, u2, (b) v1, v2, (c) u1, v2.
Uloha 1-2.3 [ukony s maticemi] Jsou zadany ctyri matice A,B,C,D takto:
A =
[1 −2 −24 0 −1
], B =
[0 3 −41 2 3
], C =
[10 −11 0
], D =
1 −14 20 3
.(A) V kazde z uloh nıze vypoctete vysledek maticovych operacı, pokud to je mozne.
(a) 2A−B +DT (b) C3 (c) C · (A+B) (d) B ·D(e) (C · A)− 3B (f) (A ·B)− C (g) (D ·DT)T (h) D · AT
(B) Aniz byste provadeli vypocty, urcete typ vysledne matice (pokud tato existuje).
(a) AT · C8 ·B (b) (A+ 2B − 3D)3 (c) D · A ·D ·B
Uloha 1-2.4 [kreativnı ulohy](a) Je dan vektor v = (1,−1, 5, 3). Najdete aspon tri vektory x takove, ze v · x = −4.
(b) Pro matici M =
[1 −2
−4 8
]. najdete aspon dve matice X takove, ze M ·X =
[5
−20
].
(c) Sestavte matici Q typu 2× 2 tak, ze v matici Q ·Q jsou jejı prvky
(c1) 2 kladne a 2 zaporne, (c2) 1 kladny a 3 zaporne, (c3) 1 zaporny a 3 kladne.
Uloha 1-2.5 [ulohy s neznamou]
(A) Najdete nezname realne cıslo y:
(a) ∥(1, 2, y)∥ = 4 (b) (y, 8,−y) a (−7, 2, 1) jsou ortogonalnı vektory,
(c) (35 , y) je jednotkovy vektor, (d) jsou-li u = (y, 4, 0), v = (y,−y, 2), pak u · v < 3.
(B) Najdete neznamy vektor x (uzite vektory jsou z Ulohy 1.2):(a) v1 + x = v2 (b) 2u1 − 3x = 2x+ 4u2 (c) u1 · x = 5
(C) Najdete neznamou matici X (uzite matice jsou z Ulohy 1.3):(a) A+X = B (b) (A ·BT)−X = X + 2C (c) 3D −XT = BT
(D) Urcete typ nezname matice - tuto matici nehledejte (uzite matice jsou z Ulohy 1.3):(a) Y ·B = D ·DT (b) A · Y = Y · C (c) Y · Y T = C
5
OTAZKY
Otazky 1-2.1 [cıselne intervaly]
(a) Muze byt sjednocenı dvou otevrenych intervalu opet otevreny interval?
(b) Musı byt sjednocenı dvou uzavrenych intervalu opet uzavreny interval?
(c) Muze byt prunik dvou otevrenych intervalu opet otevreny interval?
(d) Musı byt prunik dvou uzavrenych intervalu opet uzavreny interval?
(e) Muze byt prunik dvou polouzavrenych intervalu otevreny interval?
(f) Muze byt prunik dvou polouzavrenych intervalu uzavreny interval?
(g) Muze byt sjednocenı dvou polouzavrenych intervalu otevreny interval?
(a) Muze byt sjednocenı dvou polouzavrenych intervalu uzavreny interval?
Otazky 1-2.2 [vektory]
(a) Je mozno povazovat vektor za matici?
(b) Trıslozkovy vektor ma mıt za slozky cısla 5,−1 a 0 v nejakem poradı. Kolik jetakovych vektoru?
(c) Jaka je minimalnı a jaka maximalnı norma vektoru v = (4,−3, 0, x), kde za x simuzeme zvolit jakekoliv realne cıslo?
(d) Ve V3 je dan vektor z = (1, 5, 7). Kolik vektoru k nemu kolmych a kolik vektorus nım rovnobeznych je mozno najıt?
(e) Je dan vektor u = (1, 2, 0). Kolik je vektoru w takovych, ze u× w = (−3, 0, 2)?
(f) Na lıstku papıru jsou napsany dva dvouslozkove vektory u a v, jejichz uhel je 35◦.O kolik stupnu se zmenı tento uhel, jestlize lıstek pootocıme o 10◦ proti smeru hodinovychrucicek?
Otazky 1-2.3 [matice]
(a) Je mozno povazovat matici typu 3× 4 za vektor?
(b) Matice D je typu 2 × 2 a takova, ze jejı dva prvky jsou dvojky a dva prvky jsoutrojky. Kolik je takovych matic?
(c) Matice F je typu 2 × 2 a takova, ze kazdy jejı prvek je bud’ 0 nebo 1. Kolik jetakovych matic?
(d) Kolik matic M typu 3× 3 je takovych, ze M = MT?
(e) Matice A je typu 2× 2 a takova, ze a11 = 2 a a12 = 4. Kolik je takovych matic A,pro nez navıc jeste platı AT = A?
(f) Vıme, ze pro matice A a B lze vypocıtat soucet A + B. Potom urcite bude moznovypocıtat take rozdıl A−B. Proc?
(g) Pro kterou matici M ma smysl soucet M +MT?
(h) Pro kterou matici M ma smysl soucin M ·MT?
(i) Za jakych podmınek je mozno provest soucet trı matic A+O +B?
(j) Vıme, ze soucin matic A ·B je typu 2×3. Jakeho typu bude pak soucin matic B ·A?
(k) Je-li C =
[0 11 0
], pak mocnina C100 se vypocte snadno. Proc?
(l) Za jakych podmınek je mozno provest soucin trı matic A ·O ·B?
6
APLIKACE
Aplikace 1-2.1 [uhly v trojuhelnıku] V △ABC vypoctete velikost vsech jeho uhlu
(a) V rovine pro A = [−1, 3], B = [3, 10], C = [8,−2],
(b) V rovine pro A = [1,−1, 3], B = [3, 7, 10], C = [0, 8,−2].
Aplikace 1-2.2 [Markovovy modely nezamestnanosti] Americky makroekonom R. Hallzkoumal v roce 1966 data o nezamestnanosti v USA. Je-li x1, . . . , xn rada tydennıch udajuo poctu zamestnanych a y1, . . . , yn rada tydennıch udaju o poctu nezamestnanych ve sle-dovane oblasti, muzeme popsat dynamiku vyvoje takto: oznacıme p pravdepodobnost, zezamestnany v danem tydnu si udrzı zamestnanı i v nasledujıcım tydnu a q pravdepodobnost,ze nezamestnany v danem tydnu zıska zamestnanı v nasledujıcım tydnu; pokud budou cıslap, q stabilnı v popisovanem obdobı, muzeme pro udaje o tydnu n a dalsım tydnu n+1 napsatrovnice xn+1 = p ·xn+ q ·yn (pro zamest.) a yn+1 = (1−p) ·xn+(1− q) ·yn (pro nezamest.).
Prıklad. V jednom z modelu bylo x1 = 5220, y1 = 105, p = 0.998, q = 0.136. Potomvypocteme x2 = 0.998 · 5220 + 0.136 · 105 .
= 5224 (pro zamestnane) a y2 = 0.002 · 5220 +0.864 · 105 .
= 101 (pro nezamestnane). Pokud vypocet jeste jednou zopakujeme, dostanemex3 = 0.998 · 5224 + 0.136 · 101 .
= 5227 a y3 = 0.002 · 5224 + 0.864 · 101 .= 98 . . . atd.
Prejdeme k maticovemu zapisu:[xn+1
yn+1
]=
[p q
1−p 1−q
]·[xnyn
]. Matice P =
[p q
1−p 1−q
]je tzv. matice prechodu - tydennı
prechod se provede vynasobenım maticı P . Stav po k tydnech bude:
[xn+k
yn+k
]= P k ·
[xnyn
].
Pokracovanı prıkladu. K vyse uvedenym udajum p = 0.998, q = 0.136 pripravte prechodovoumatici P a jejı druhou mocninu P 2. Pak pomocı maticoveho poctu urcete x3 a y3 z uvedenychhodnot x1 = 5220 a y1 = 105. Jak by se vypocetlo x6 a y6?
Aplikace 1-2.3 [matice dominance - Lay, 2003] Ve volejbalove soutezi se utkalo mezisebou 5 tymu. Kazdy hral s kazdym jednou a vysledky jsou v matici K - radky odpovıdajıpo rade tymum A,B,C,D,E a 1 je vıtezstvı. Dale vypocteme matice K2 a K +K2.
K =
0 0 1 1 01 0 1 0 10 0 0 1 00 1 0 0 01 0 1 1 0
, K2 =
0 1 0 1 01 0 2 3 00 1 0 0 01 0 1 0 10 1 1 2 0
, K +K2 =
0 1 1 2 02 0 3 3 10 1 0 1 01 1 1 0 11 1 2 3 0
.
K je matice jednostupnove dominance a K2 matice dvojstupnove dominance (napr.v K2 hodnota prvek24 = 3 znamena trikrat potvrzenou dvoustupnovou dominanci B nad D,tj. B → A → D, B → C → D, B → E → D. Prvky matice K +K2 vyjadrujı pocet jedno-i dvojstupnovych dominancı. Soucty radku matice K dajı pocet vıtezstvı - tymy B a E homajı stejny. Avsak secteme-li prvky v radcıch matice K + K2, dostaneme tyto hodnoty:A - 4, B - 9, C - 2, D - 4, E -7. Nejsilnejsı byl tedy tym B. Ktery tym byl nejslabsı?
Poznamka o aplikacıch. Vedle aplikacı vektoru v geometrii, fyzice a technice je na mıstezmınit jejich vyuzitı v pocıtacove grafice. Prıkladem je vektorova pocıtacova grafika v pro-gramu CorelDRAW. Co se tyce matic, neznamejsı je asi Microsoft Excel - data ve spread-sheetu jsou usporadana do matice (tabulky) a take se s nimi pracuje jako s prvky matice.
7
TEMA 3. Hodnost
Soubory vektoru ve Vn
S : v1, v2, . . . , vk soubor vektoru; zalezı na poradı, vektory se mohou opakovat
Linearnı kombinace . . . lin. kombinace souboru S s koeficienty c1, c2, . . . , ckje vektor v = c1 · v1 + c2 · v2 + . . .+ ck · vk
Trivialnı kombinace . . . vsechny koeficienty rovny 0 (vysledkem je nulovy vektor o)
Netrivialnı kombinace ma aspon jeden koeficient nenulovy
≪ S ≫ . . . linearnı obal souboru S, tj. mnozina vsech linearnıch kombinacı SZavisly soubor S . . . o lze z nej zıskat nejakou netrivialnı kombinacı
Nezavisly soubor S . . . o lze z nej zıskat pouze trivialnı kombinacı
P =≪ G ≫ . . . P je podprostor prostoru Vn, G je system generatoru podprostoru P
Baze podprostoru P kazdy nezavisly system generatoru podprostoru P
Souradnice vektoru v jediny soubor koeficientu c1, . . . , ck takovy, zev bazi B v = c1 · b1 + . . .+ ck · bk, kde B : b1, . . . , bk
h(S) . . . hodnost souboru S = velikost jeho maximalnıho nezav. podsouboru
h(A) . . . hodnost matice A = hodnost souboru vsech radkovych vektoru A
dim(P ) . . . dimenze podprostoru P = pocet vektoru libovolne jeho baze
Poznamky
• Prazdny soubor povazujeme za nezavisly s hodnostı 0. V zavislem souboru je jedenz vektoru lin. kombinacı ostatnıch, v nezavislem souboru takovy vektor neexistuje.• S majıcı k vektoru je zavisly, prave kdyz h(S) < k; je nezavisly, prave kdyz h(S) = k.• Vektor v patrı do lin. obalu souboru S, prave kdyz nezvysuje jeho hodnost.• Hodnost souboru vektoru urcujeme pomocı hodnosti matice. Dimenze podprostoru jedana hodnostı jeho libovolneho systemu generaroru. Specialne je dim(Vn) = n.• Bazi podprostoru P dostaneme odstranenım zavislych vektoru ze systemu generatoru.• Uloha na urcenı souradnic vektoru v bazi vede na soustavu linearnach rovnic.
Urcenı hodnosti maticeMatice je v Gaussove tvaru, jestlize neobsahuje nulovy radek a kazdy radek ma vıce levych nul
nez radek predchozı (napr. E). Hodnost matice v Gaussove tvaru je rovna poctu jejıch radku.
Kazdou nenulovou matici lze upravit na Gaussuv tvar – hodnost zustane stejna. Tak muzeme
urcit hodnost kazde matice.
Ekvivalentnı (radkove)upravy matice (operace (1) - (4) se mohou lze opakovat).
(1) Libovolne zmenit poradı radku. (4) Odstranit nebo pripojit (novy) nulovy radek.
(2) Nasobit libovolny radek nenulovym cıslem (tedy i delit).
(3) K libovolnemu radku pricıst (tedy i odecıst) linearnı kombinaci ostatnıch radku.
Poznamky
• V matici v Gaussove tvaru se radky po sobe jdoucı mohou lisit o vıce nez jednu levounulu. Navıc uz jejı prvnı radek muze obsahovat jednu nebo vıce levych nul.• Jedine nulove matice majı hodnost 0.• Ekvivalentnı upravy lze provadet i se sloupci matice (my to ale nikdy nedelame!).• Pro kazdou matici h(A) = h(AT), coz souvisı s predchozı poznamkou.
8
ULOHY
Uloha 3.1 [linearnı kombinace] Soubor vektoru S : v1 = (−1, 2), v2 = (2,−1), v3 = (3, 1)ve V2 byl zadan. Vypoctete
(a) trivialnı linearnı kombinaci vektoru souboru S,(b) nejakou linearnı kombinaci vektoru souboru S s nezapornymi koeficienty,(c) linearnı kombinaci vektoru souboru S s koeficienty c1 = 2, c2 = 10, c3 = −3,(d) linearnı kombinaci vektoru souboru S s koeficienty c1 = v1·v2, c2 = v2·v3, c3 = v3·v1.
Uloha 3.2 [linearnı zavislost] Soubor dvou a vıce vektoru je linearne zavisly, prave kdyznektery z nich je linearnı kombinacı ostatnıch. Vsechny nıze ulozene soubory trı vektoru jsoulinearne zavisle. Vasım ukolem je to prokazat a to vzdy tak, ze uhodnete vektor, ktery jelin. kombinacı ostatnıch a uhodnete potrebne koeficienty c1, c2 pro takovou kombinaci.
(a) u1 = (1, 2, 3), u2 = (4, 2,−1), u3 = (0, 0, 0), (b) u1 = (2, 1), u2 = (4, 1), u3 = (2, 1),(c) u1 = (1, 2), u2 = (100, 100), u3 = (101, 102) (d) u1 = (−1,−1), u2 = (1, 1), u3 = (0, 1).
Uloha 3.3 [matice v Gaussove tvaru] Ktere z nasledujıcıch matic jsou v Gaussove tvaru?
(a)
[1 10 −1
](b)
[0 10 0
](c)
1 0 00 3 00 1 3
(d)
0 0 10 1 01 0 0
(e)
[0 5 0 10 0 3 0
](f)
[0 0 −2 2 20 0 0 0 1
]
Uloha 3.4 [ekvivalentnı upravy (1) a (4)] Pokuste se uvest danou matici do Gaussovatvaru, pricemz jsou povoleny pouze ekvivalentnı upravy (1) a (4), ale ne upravy (2) a (3).
(a)
[1 10 0
](b)
[0 12 0
](c)
1 0 20 0 01 1 3
(d)
5 5 00 0 30 3 3
(e)
[0 0 0 11 0 3 0
](f)
0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 10 1 0 0 1 1
Uloha 3.5 [ekvivalentnı upravy (2) a (3)] Pokuste se uvest danou matici do Gaussovatvaru, pricemz jsou povoleny pouze ekvivalentnı upravy (2) a (3), ale ne upravy (1) a (4).
(a)
[1 11 3
](b)
0 12 03 1
(c)
1 2 21 4 31 0 3
(d)
5 5 00 0 30 0 3
(e)
0 1 3 01 1 0 10 0 3 0
(f)
[0 0 0 −2 2 20 0 0 2 1 1
]
Uloha 3.6 [ekvivalentnı upravy - urcenı hodnosti] Kazdou matici lze uvest do Gaussovatvaru, pokud jsou povoleny vsechny ekvivalentnı upravy (1),(2),(3) a (4). Kazdou matici nızepreved’te do Gaussova tvaru a tım urcete jejı hodnost.
(a)
[1 11 3
](b)
0 11 13 12 1
(c)
1 2 22 4 31 2 1
(d)
0 0 00 0 30 0 30 0 4
(e)
0 1 3 01 1 0 10 2 6 0
(f)
0 0 0 −2 2 20 0 0 2 1 10 0 0 1 1 1
Uloha 3.7 [ulohy s neznamou] Najdete vsechna realna cısla x tak, aby zadana matice bylav Gaussove tvaru:
(a)
1 2 20 1 30 x+2 1
(b)
1 2 20 4−x2 30 0 1
(c)
1 2 20 0 30 0 1+x2
(d)
1 2 3 2 40 0 2x2 1 50 0 0 0 1
9
OTAZKY
Otazky 3.1 [linearnı kombinace]
(a) Jaky je rozdıl mezi trivialnı a netrivialnı linarnı kombinacı?
(b) Jaky je rozdıl mezi tım, delat linearnı kombinaci s nezapornymi koeficienty a tım,delat linearnı kombinaci s kladnymi koeficienty?
(c) Jak se dela linearnı kombinace jednoho vektoru?
(d) Jak by vypadal vektor, ktery je linearnı kombinacı sebe sama?
(e) Je dan soubor dvou vektoru ve V2 a sice a = (1,−2), b = (0, 0). Kolik linearnıchkombinacı tohoto souboru lze vytvorit a proc nikdy nevznikne vektor c = (1, 2) ?
Otazky 3.2 [matice v Gaussove tvaru]
(a) Je nulova matice O maticı v Gaussove tvaru nebo ne? Proc?
(b) Je jednotkova matice E maticı v Gaussove tvaru nebo ne? Proc?
(c) Matice M majıcı jen jeden radek je skoro vzdy v Gaussove tvaru. Jak je to presne?
(d) Mohou byt v matici v Gaussove tvaru zaporna cısla?
(e) Lze nejak snadno popsat vsechny matice typu 2× 2, ktere jsou v Gaussove tvaru?
(f) Zadna matice typu 3× 2 nenı v Gaussove tvaru. Proc?
(g) A =
[1 2 4 −20 0 −1 2
], B =
[1 2 0 70 0 1 −2
]jsou dve matice v Gaussove tvaru. Ale matice
A+B ani matice A−B nejsou v Gaussove tvaru. Je to tak vzdycky?
(h) Zvolme si matici C, ktera je v Gaussove tvaru. Potom jejı matice transponovanamuze, ale nemusı byt v Gaussove tvaru. Ukazte prıklady.
Otazky 3.3 [ekvivalentnı upravy]
(a) Muzeme pri ekvivalentnıch upravach pridat do matice nulovy radek?
(b) Je-li v matici nulovy radek, muzeme ho pri ekvivalentnıch upravach delit nulou?
(c) Muzeme pri ekvivalentnıch upravach pridat do matice kopii kterehokoliv radku?
(d) Muzeme pri ekvivalentnıch upravach pricıst k prvnımu radku vsechny ostatnı?
(e) Zduvodnete spravnost:
[3 2 4 27 0 −1 2
]∼[
21 14 28 14−21 0 3 −6
]∼[21 14 28 140 14 31 8
]
(f) Zduvodnete, proc je toto nespravne:
−3 2 4 71 2 5 21 2 5 2
∼
3 2 4 70 0 0 00 0 0 0
∼[−3 2 4 7
](g) Pri ekvivalentnıch upravach se muze jeden ze dvou stejnych radku vyskrtnout. Proc?
Otazky 3.4 [hodnost matice]
(a) Jakou hodnost ma matice nulova O a jakou hodnost ma matice jednotkova E?
(b) Jakou nejvetsı hodnost muze mıt matice typu 4× 2?
(c) Jak by vypadala matice M takova, ze h(M) = h(MT)?
(d) Mam matici Q. Co se muze stat s jejı hodnostı, kdyz k nı prictu jinou matici tehoztypu? Muze se zmenit a to i hodne zmenit?
10
APLIKACE
Aplikace 3.1 [zavislost a nezavislost] Testujte zavislost ci nezavislost danych souboru:
(a) (3,−1), (−3, 1), (12,−4), (b) (1, 2, 3), (1, 1, 1), (2, 1, 8), (−2,−2,−2),
(c) (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1,−3, 1), (1, 1, 1,−4) (d) (1, 0, 2, 0, 1), (1, 2, 0, 0, 1), (1, 2, 1, 1, 1),
(e) (1, 0, 1, 1, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 0, 0, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1).
Aplikace 3.2 [nalezenı do linearnıho obalu] V kazde uloze zjistete, ktery z vektoru p, q, r, spatrı do linearnıho obalu souboru S.
(a) S : (1,−2), (−1, 2), (0, 0); p = (8, 9), q = (8,−9), r = (1, 1), s = (−2, 4),
(b) S : (1,−2, 1), (−1, 2, 2), (0, 0, 3); p = (1, 1, 1), q = (2, 8, 0), r = (1, 0, 1), s = (0, 0, 4),
(c) S : (1,−1, 1, 1), (0, 1,−1, 2), (0, 0, 0, 0);
p = (−2, 2, 2, 2), q = (0,−2, 2,−4), r = (1, 0, 0, 3), s = (1, 1, 1, 1),
(d) S : (1, 1, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 0, 0), (1, 0, 1, 0, 1);
p = (0, 0, 1, 8, 9), q = (2, 3, 3, 0, 0), r = (1, 1, 1, 1, 1), s = (2, 0, 0, 0, 0).
Aplikace 3.3 [testovanı kandidatu na bazi prostoru Vn] Baze Vn musı mıt prave n vektorua musı mıt hodnost n. V kazde uloze nıze je zadan jeden kandidat na bazi prostoru Vn pronejake n. U kazdeho proverte a zduvodnete, proc to je anebo nenı baze Vn.
(a) V2; (1,−1), (−3, 1), (1,−4), (b) V4; (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1,−3, 1), (1, 1, 1, 0)
(c) V3; (1, 2, 3), (1, 1, 1), (2, 1, 8), (0, 2, 1), (d) V5; (1, 0, 2, 0, 1), (1, 2, 0, 0, 1), (1, 2, 1, 1, 1),
(e) V6; (1, 0, 1, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 0, 1).
Aplikace 3.4 [urcenı dimenze podprostoru zadaneho generatory] Je-li podprostor P zadansystemem generatoru G, tj. P = ⟨⟨G⟩⟩, pak jeho dimenze dimP se urcı jako h(G). Urcujtedimenzi prostoru P v jednotlivych prıpadech zadanı systemu jeho generatoru G:
(a) (3,−1), (−3, 1), (12,−4), (b) (1, 2, 3), (1, 1, 1), (2, 1, 8), (−2,−2,−2),
(c) (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1,−3, 1), (1, 1, 1,−4) (d) (1, 0, 2, 0, 1), (1, 2, 0, 0, 1), (1, 2, 1, 1, 1),
(e) (1, 0, 1, 1, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 0, 0, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1).
Aplikace 3.5 [premena systemu generatoru podprostoru na jeho bazi] Pri ekvivalentnıuprave systemu generatoru G
”vypadnou nadbytecne vektory“ a zbude baze podprostoru
generovaneho systemem G. Vetsinou je vıce moznostı. Proved’te v jednotlivych prıpadech:
(a) (3,−1), (−3, 1), (6,−2), (b) (1, 2, 3), (1, 1, 1), (2, 3, 4), (−2,−2,−2),
(c) (0, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1,−3, 1), (0, 1, 1,−4) (d) (1, 0, 2, 0, 1), (1, 2, 0, 0, 1), (2, 2, 2, 0, 2),
(e) (1, 0, 1, 1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1, 0, 0, 0), (1, 1, 2, 2, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1).
11
TEMA 4. Ctvercove matice
Rad ctvercove m. A ... je pocet jejıch radku (sloupcu), tj. A je typu n× n
det(A) . . . determinant ctvercove matice A,
Aij. . . algebraicky doplnek prvku aij ve ctvercove matici A
A, adj(A) . . . matice adjungovana k matici A
A−1 . . . matice inverznı k matici A (platı A · A−1 = A−1 · A = E)
Regularnı matice . . . hodnost je rovna jejımu radu, determinant nenı roven nule;pouze regularnı matice ma matici inverznı
Singularnı matice . . . hodnost je mensı nez jejı rad, determinant se rovna nule
Poznamky
• Algebraicky doplnek Aij v A se pocıta jako Aij = (−1)i+j · det(SA,i,j), kde SA,i,j jesubmatice matice A, kterou z nı zıskame vyskrtnutım i-teho radku a j-teho sloupce.• Matici adjungovanou k A sestavujeme z doplnku a pak jeste transponujeme. Kazdactvercova matice ma matici adjungovanou.• Determinanty vyssıch radu pocıtame rozvojem (Laplaceuv rozvoj).
Vypocet determinantu
Rad 2 (krızove pravidlo): det
[a bc d
]= a · d− c · b, rad 3 (Sarrusovo pravidlo):
det
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
= a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32− (a13a22a31 + a11a23a32+ a12a21a33)
Rozvoj podle radku i: det(A) = ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . .+ ainAin
Rozvoj podle sloupce j: det(A) = a1jA1j + a2jA2j + . . .+ anjAnj
Poznamky
• Pri prehazovanı radku v A se muze zmenit znamenko det(A). Z radku lze vytknoutcıslo pred cely determinant. Determinant se nemenı, kdyz k vybranemu radku pricteme(odecteme) linearnı kombinaci radku ostatnıch.• Pro libovolne matice radu n platı det(A) = det(AT), det(A ·B) = det(A) · det(B).
Vypocet inverznı matice k matici regularnıPomocı matice adjungovane: A−1 = 1
detA· A
Eliminacı:
[A | E
]∼ . . . ∼ . . . ∼
[E | A−1
]Poznamky
• Druhy rad: pro A =
[a bc d
]je A =
[d −b
−c a
]a pak A−1 = 1
detA ·[
d −b−c a
]• V prıpade vetsıch matic muze byt vypocet inverznı matice dosti casove narocny.
• Jsou-li A,C regularnı matice, muzeme resit ruzne maticove rovnice takto:
A ·X = B −→ A−1 · A ·X = A−1 ·B −→ E ·X = A−1 ·B −→ X = A−1 ·B.
X · A = B −→ X · A · A−1 = B · A−1 −→ X · E = B · A−1 −→ X = B · A−1.
A ·X · C = B −→ A−1 · A ·X · C · C−1 = A−1 ·B · C−1 −→ X = A−1 ·B · C−1.
12
ULOHY
Uloha 4.1 [singularnı a regularnı matice pomocı hodnosti] Urcenım hodnosti zjistete, kteraze zadanych ctvercovych matic je singularnı a ktera je regularnı:
(a)
[1 −22 −1
](b)
[−3 16 −2
](c)
2 1 14 2 50 0 3
(d)
1 0 50 1 01 1 0
(e)
0 5 0 11 0 3 20 1 3 30 0 3 0
(f)
1 −1 2 01 1 1 21 0 3 0
−1 3 3 0
Uloha 4.2 [algebaicky doplnek] V matici M vpravo bude algebraickydoplnek kterehokoliv prvku mij oznacen symbolem Mij. Nynı vypoctetehodnoty zadanych vyrazu:
M =
1 −3 12 2 31 0 10
(a) M11 + 2M22 + 3M33 (b) m11M21 +m22M23 (c) m12M12 +m22M22 +m32M32
(d) M31 ·M32 +M13 (e) m13M12 −m21M21 (f) m31M21 +m32M22 +m33M23
Uloha 4.3 [singularnı a regularnı matice pomocı determinantu] Pocıtejte determinantymatic z ulohy 4.1 podle navodu nıze. Po zjistenı hodnoty determinantu vzdy rozhodnete,zda je zadana matice regularnı:
(i) Urcete determinanty matic z uloh 4.1 (c), (d) Sarrussovym pravidlem.
(ii) Urcete determinanty matic z uloh 4.1 (c), (e) rozvojem podle poslednıho radku.
(iii) Urcete determinanty matic z uloh 4.1 (d), (f) rozvojem podle poslednıho sloupce.
Uloha 4.4 [determinant upravou a naslednym rozvojem] Vypoctete determinanty matic4. a 5. radu upravou a rozvojem. Urcete, ktere z nich jsou singularnı.
(a)
1 2 0 11 0 −1 20 1 3 30 2 3 6
(b)
2 5 0 14 0 3 20 1 3 3
−1 4 3 2
(c)
2 5 0 1 −11 0 3 0 10 2 0 0 03 5 3 0 −14 −1 3 2 1
(d)
1 −1 2 0 11 1 1 1 11 0 3 −1 2
−1 3 3 −2 31 2 3 1 2
Uloha 4.5 [inverznı matice 2. radu pomocı adjungovane matice] Vpravoje zadana matice 2. radu A. Pro nıze uvedene matice B,C,D, F,G,Hurcete pomocı matice adjungovane jejich matice inverznı (pokud existujı):
A =
[1 20 −1
]
B = AT, C = A+ A, D = A · A, F = A, G = A−1, H = det(A) · A.
Uloha 4.6 [inverznı matice eliminacı] Vypoctete inverznı matice eliminacı:
(a)
[1 −20 −1
](b)
[3 11 1
](c)
1 1 10 1 10 0 1
(d)
0 1 11 0 11 1 0
(e)
0 1 0 01 0 0 00 0 1 10 0 1 0
(f)
1 0 0 01 1 0 01 0 1 0
−1 3 0 −2
Uloha 4.7 [ulohy s neznamou] Najdete vsechna realna cısla x tak, ze:
(a) matice
[−1 x0 10
]nema matici inverznı, (b) matice
[2 1
4−x2 0
]je regularnı,
(c) determinat matice
−2 2 x1 0 −31 x −7
je zaporny, (d) determinat matice
1 2 3x 1 x1 1 4
se nerovna 5.
13
OTAZKY
Otazky 4.1 [regularnı a singularnı matice]
(a) Je nulova matice O regularnı nebo singularnı?
(b) Je jednotkova matice E regularnı nebo singularnı?
(c) O matici 3. radu M vıme, ze je v Gaussove tvaru. Je M regularnı nebo singularnı?
(d) Vıme, ze matice U je regularnı a matice V je singularnı. Ktera ma vetsı determinant?
(e) Ceho je vıce - regularnıch matic nebo singularnıch matic?
Otazky 4.2 [determinant]
(a) V jednotkove matici E pro kazde i, j platı Eij = eij. Vysvetlete blıze u 4. radu.
(b) Pro matici 4. radu M platı detM = 0. Co muzeme rıci o jejı hodnosti h (M) ?
(c) Pro ctvercovou matici M platı detM = 54. Co muzeme rıci o jejı hodnosti h (M) ?
(d) Dokazete za 1 minutu sestavit 2 ruzne matice 2. radu B1, B2 takove, ze bude platitdetB1 = detB2 = 120 ?
(e) Vpravo je zadana matice Q. Snadno zjistıme, ze platı rovnostdet(Q+Q) = detQ+ detQ. Platı to pro kazdou matici Q?
[−1 23 −6
](f) Vıme, ze vztah det(A · B) = det(A) · det(B) platı pro kazde dve ma-tice stejneho radu. Za jak dlouho spoctete hodnotu det(W 19) pro matici Wzadanou vpravo?
[1 11 0
]
(g) V zadane matici vpravo najdete cıslo x tak, aby tato matice mela
(i) co nejmensı determinant, (ii) co nejvetsı determinant.
[x −14 x
]
Otazky 4.3 [inverznı matice]
(a) V zadane matici vpravo najdete vsechna cısla x takova, ze tato matice
(i) ma matici adjungovanou, (ii) nema matici adjungovanou.
[x −x4 x
](b) V zadane matici vpravo najdete vsechna cısla x takova, ze tato matice
(i) ma matici inverznı, (ii) nema matici inverznı.
[2 −14 x
]
(c) Pro jednotkovou matici E platı vztah E · E = E. To znamena, ze E−1 = E. MaticeM , pro kterou platı M−1 = M se nazyva samoinverznı. Najdete ve 2. radu jinou matici nezE, ktera je samoinverznı.
(d) Ve 2. radu umıme rychle vyrobit matici adjungovanou, takze snadno vidıme, zejednotkova matice 2. radu E je samoadjungovana, tj. E = E. Tuto vlastnost ma i nulovamatice 2. radu O, ale ta nenı samoinverznı (proc?). Najdete matici 2. radu F , ktera:
(i) je samoinverznı, ale nenı samoadjungovana,(ii) nenı samoinverznı a nenı to O, ale je samoadjungovana.
(e) Vıme, ze vztah det(A · B) = det(A) · det(B) platı pro kazde dve matice stejnehoradu. Tedy i pro matice C a C−1. Je-li napr. detC = 4, pak vıme, kolik je detC−1. Kolik?
(f) Je-li G ctvercova matice v Gaussove tvaru, pak detG je roven soucinu prvku v hlavnıdiagonale. Predved’te na prıkladu matice 4. radu.
14
APLIKACEAplikace 4.1 [vektorovy soucin] u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3)jsou dva vektory ve V3. Sestavıme matici 3. radu Z (vpravo) tak,ze do 1. radky dame vektor u, do druhe vektor v a do tretı nazvyprvku z31, z32, z33. Pak dostaneme (pomocı algebraickych doplnku)u× v = (Z31, Z32, Z33). Proverte pro u = (1, 2,−1), v = (3, 4, 1).
Z =
u1 u2 u3v1 v2 v3z31 z32 z33
Aplikace 4.2 [determinant v geometrii] A = [a1, a2], B = [b1, b2], C =[c1, c2] jsou tri body v rovine. Pripravıme matici 3. radu S vpravo.
Potom obsah △ABC je roven∣∣∣12det(S)
∣∣∣. S =
a1 a2 1b1 b2 1c1 c2 1
(a) Dany trojuhelnıky △A1B1C1 : [1, 1], [4, 3], [−2,−5], △A2B2C2 : [1, 0], [−4, 1], [−5, 3].
Ktery trojuhelnık ma vetsı obsah?
(b) Najdete cıslo x tak, aby trojuhelnık o vrcholech [x, 4], [2, 1], [−1, 2] mel obsah roven 5.
Aplikace 4.3 [testovanı bazı prostoru Vn] Vektory kazde baze prostoru Vn tvorı regularnımatici radu n. Testujte determinantem, zda dany system vektoru je bazı prıslusneho Vn:
(a) (1,−1), (−3, 1), (b) (1, 0, 2, 0, 1), (1, 2, 0, 0, 1), (1, 2, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 1, 1),
(c) (1, 2, 3), (1, 1, 1), (2, 1, 8), (d) (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1,−3, 1), (1, 1, 1, 0),
(e) (1, 0, 1, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 0, 0, 1).
Aplikace 4.4 [resenı maticovych rovnic uzitım inverznıch matic] P=
[1 21 1
], Q=
[1 2−1 0
]jsou regularnı matice, ktere vystupujı maticovych rovnicıch nıze. Reste jednotlive rovnice.
Pomucka: V uloze (d) je treba zacıt takto: X ·Q+X ·P = X · (Q+P ) = . . .; v uloze (f)je treba zacıt takto: Q ·X −X = Q ·X − E ·X = (Q− E) ·X = . . ..
(a) P ·X =
[1 2 1 2−1 0 −3 0
](b) X ·Q =
[10 −2
](c) P ·X + 2Q =
[3 −612 1
]
(d) X ·Q+X · P =[20 −12
](e) Q ·X · P =
[2 −10 4
](f) Q ·X −X =
[3132
]
Aplikace 4.5 [vstupne-vystupnı makroekonomicka analyza] Farmar vyrabı ve sve biofarmekukurici a organicke hnojivo. Na produkci 1 tuny kukurice spotrebuje 0.1 tuny kukurice(vysev) a 0.8 tuny hnojiva (hnojenı). Na produkci 1 tuny hnojiva potrebuje 0.5 tuny kukurice(krmenı krav) a zadne hnojivo. Oznacme jeste d1 a d2 mnozstvı v tunach kukurice a hnojiva,ktere chce prodat. Musı vyrobit celkem x1 tun kukurice (pro vlastnı spotrebu + na prodej)a x2 tun hnojiva (pro vlastnı spotrebu a na prodej). Hodnotove rovnice (v tunach) jsou:
kukurice: x1 = 0.1x1 + 0.5x2 + d1hnojivo: x2 = 0.8x1 + 0.0x2 + d2
maticove X =
[0.1 0.50.8 0.0
]·X+D, kdeX=
[x1x2
], D=
[d1d2
].
Dale X =
[0.1 0.50.8 0.0
]·X+D −→ E ·X−
[0.1 0.50.8 0.0
]·X = D −→
([1 00 1
]−[0.1 0.50.8 0.0
])·X = D
−→[
0.9 −0.5−0.8 1.0
]·X = D −→ X =
[0.9 −0.5
−0.8 1.0
]−1
·D. Zbyva urcit inverznı matici.
Jeslize chce farmar prodat 4 tuny kukurice a 2 tuny hnojiva (tj. d1=4, d2=2), kolik musıvyrobit techto produktu (tj. x1, x2)? Je tedy znama matice D a snadno urcıme matici X.Dokoncete vypocet.
15
TEMA 5. Soustavy linearnıch rovnic
a11 x1 + a12 x2 + . . .+ a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + . . .+ a2n xn = b2. . . . . . . . .
am1 x1 + am2 x2 + . . .+ amn xn = bm
A =
a11 a12 . . . a1n. . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn
, A∗ =
a11 a12 . . . a1n b1. . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn bm
A a A∗ . . . matice soustavy a rozsırena matice soustavym, n . . . . . . pocet rovnic, pocet neznamych (promennych)
b. . . = (b1, b2, . . . , bm), vektor pravych stranx . . . = (x1, x2, . . . , xn), vektor neznamychResenı . . . jakykoliv vektor x, ktery splnuje vsechny rovniceh(A) = h(A∗) Frobeniova podmınka; soustava je resitelna ⇔ F. p. je splnena
Regularnı soustava tj. h(A) = h(A∗) = n = m; takova soustava ma jedine resenı
Poznamky• Je-li h(A) = h(A∗) < n, soustava ma nekonecne mnoho resenı.• Je-li h(A) = h(A∗) = n, soustava ma jedine resenı.
Metody resenı regularnı soustavy rovnicCramerovo pravidlo. Oznacıme Aj matici, ktera vznikne, kdyz v A nahradıme j-tysloupec sloupcem pravych stran. Potom je xj = det(Aj)/ det(A).
Gaussova eliminace. Rozsırenou matici soustavy upravıme na Gaussuv tvar. Pakz novych rovnic postupne vypocıtavame xn, xn−1 az x1.[
A | bT]∼ . . . ∼ . . . ∼
[A′ | cT
]Jordanova eliminace. Rozsırenou matici soustavy upravujeme, az na mıste matice Adostaneme matici E. Pak na mıste vektoru pravych stran bT je prımo resenı xT.[
A | bT]∼ . . . ∼ . . . ∼
[E | xT
]Uzitı inverznı matice. Resıme matic. rov. A · xT = bT vynasobenım obou stran zleva A−1.
A · xT = bT −→ A−1 · A · xT = A−1 · bT −→ E · xT = A−1 · bT −→ xT = A−1 · bT.
Homogennı soustava, tj. b = oMnozina vsech resenı je podprostor H ve Vn a dim (H)=k=n−h(A). Po uprave Gaussovoueliminacı rozlisıme bazicke a nebazicke (volne) promenne. Vhodnou volbou volnychpromennych postupne zıskame vektory h1, . . . , hk tvorıcı bazi podprostoru H.
Obecne resenı je h = c1 · h1 + . . .+ ck · hk, kde c1, . . . , ck jsou libovolne konstanty.
Nehomogennı soustava, tj. b = oJe treba zıskat jakekoliv jedno (tzv. castecne) resenı p = (p1, . . . , pn) teto soustavy (napr.Gaussovou eliminacı a volbou nebazickych promenych rovnych nule).
Dale je treba vyresit prıslusnou homogennı soustavu - najıt jejı obecne resenı h.
Pak platı schema Obecne res. = castecne res. + homogennı res. coz znamena, ze obecneresenı je x = p+ h = p+ c1 · h1 + . . .+ ck · hk (c1, . . . , ck jsou libovolne konstanty).
16
ULOHY
Uloha 5.1 [regularnı soustava rovnic]
(a) Ktere z danych ctyrech soustav o neznamych x1, x2 jsou regularnı?
2x1 − x2 = 16x1 + 3x2 = 2
2x1 + 2x2 = 23x1 + 3x2 = 6
2x1 − x2 = 26x1 − 3x2 = 4
2x1 − 5x2 = 01x1 − 3x2 = 0
(b) Reste Cramerovym pravidlem ty soustavy z 5.1 (a), pro ktere to lze.
(c) Reste pomocı inverznı matice ty soustavy z 5.1 (a), pro ktere to lze.
(d) Reste Gauss-Jordanovou eliminacı ty soustavy z 5.1 (a), pro ktere to lze.
Uloha 5.2 [Frobeniova podmınka] Pro kazdou ze zadanych soustav rovnic o neznamychz1, z2, z3, z4 proverte Frobeniovu podmınku a urcete pocet resenı.
(a)z1 + 2 z2 + z3 + z4 = 1
3 z1 − z2 − 2 z3 + z4 = 02z1 + 4z2 + 2 z3 + z3 = 2
(b)
z1 − 2 z2 + 2 z3 + z4 = 2−3 z1 + 6 z2 − 2 z3 + z4 = −62 z1 − z2 + 3 z3 + z4 = 3
−2 z1 + 4 z2 + z3 + z4 = −4
(c)z1 − 2 z2 + 2 z3 + z4 = 2
3 z1 + 6 z2 − 2 z3 + z4 = −6(d) −4z1 − 2 z2 + 2 z3 + z4 = 2
Uloha 5.3 [homogennı soustavy] Najdete jednu moznou bazi prostoru vsech resenı homo-gennı soustavy o neznamych t1, t2, t3, t4:
(a)t1 +2t2+ t3 + t4 =02t1 +5t2+2t3− t4 =0t1 +3t2+ t3− 2t4 =0
(b)t1 + t2 + t3 + t4=02t1 +2t2 + t3 + t4=03t1 +3t2 +2t4=0
(c)t1 + t2 − t3− t4=0
−t1− t2 + t3 + t4=02t1 +2t2 − 2t3− 2t4=0
Uloha 5.4 [nehomogennı soustavy] Napiste obecne resenı nehomogennı soustavy o trechneznamych x1, x2, x3:
(a)x1 + 2x2 + x3 = 62x1 + x3 = 1
(b)x1 + 2x2 − x3 = −62x1 + 4x2 − 2x3 = 0
(c)x1 + 2x2 + x3 = 62x1 + 4x2 − x3 = 6
Uloha 5.5 [ulohy s neznamou] Najdete vsechna realna cısla p tak, ze
(a) soustavupx1 + 3x2 = 5
−6x1 − 2px2 = 1o neznamych x1, x2 nelze resit Cramerovym pravidlem;
(b) soustava2y1 +4y2 − 2y3 =3y1 +2y2 +5y3 = p
o neznamych y1, y2, y3 splnuje Frobeniovu podmınku;
(c) prostor vsech resenı homogennı soustavyy1 +2y2 − 2y3 =02y1 +4y2 + py3 =0
o neznamych y1, y2, y3
ma dimenzi 2;
(d) soustavapy1 +2y2 − 2y3 =1y1 − 4y2 + y3 =2
2y1 +4y2 =3o neznamych y1, y2, y3 ma jedine resenı.
17
OTAZKY
Otazky 5.1 [souradnice vektoru v bazi]
(a) Uloha na urcenı souradnic vektoru v bazi vede na regularnı soustavu rovnic. Petr aPavel resili stejnou ulohu: urcete souradnice c1, c2 vektoru (−4, 8) v bazi (1, 2), (1, 3). Obasestavili regularnı soustavu dvou rovnic o neznamych c1, c2 a to takto
Petr:c1 + 2c2 = −4c1 + 3c2 = 8
Pavel:c1 + c2 = −42c1 + 3x2 = 8
. Petr to ma spatne a Pavel dobre. Proc?
(b) Linda resı ulohu: urcit souradnice c1, c2 vektoru (4,−8) v bazi (−1, 2), (3,−6).Sestavı soustavu dvou rovnic o neznamych c1, c2 a resı Cramerovym pravidlem. To vsakselze. To je opravdu divne, nebot’ (4,−8) = (−1) · (−1, 2) + 1 · (3,−6). Vysvetlenı?
(c) Je zadana baze B : b1=(−1, 10), b2=(3, 5) prostoru V2. Vysvetlete, ktera z uloh (i)nebo (ii) nıze je jednodussı nez ta druha a proc.
(i) Urcit souradnice vektoru (2, 1) v B. (ii) Urcit vektor, jehoz souradnice v B jsou 2, 1.
Otazky 5.2 [Cramerovo pravidlo]
(a) Kdy je mozno resit homogennı soustavu linearnıch rovnic Cramerovym pravidlem?
(b) Vypocet souradnic zadaneho vektoru v zadane bazi prostoru Vn je mozno vzdycky
provest Cramerovym pravidlem. Proc?
(c) Mame zadanu soustavu linearnıch rovnic, kterou nelze vyresit pomocı inverznı matice.Potom ji nutne nelze vyresit ani Cramerovym pravidlem. Proc?
(d) Kolik resenı ma soustava, kterou lze vyresit Cramerovym pravidlem?
Otazky 5.3 [Frobeniova podmınka, soustava linearnıch rovnic]
(a) Homogennı soustava linearnıch rovnic vzdy splnuje Frobeniovu podmınku? Proc?
(b) Jan si nevsimnul, ze ve druhe rovnici soustavy o trechneznamych x1, x2, x3 napravo bylo (zamerne) zameneno poradı x2 ax3. Postupoval jak vidıme nıze. Jak to melo byt spravne?
x1 +2x2 +5x3 =14x1 +2x3 +5x2 =15
x1 +2x2 +5x3 =14x1 +2x3 +5x2 =15
→[1 2 5 141 2 5 25
]∼[1 2 5 140 0 0 11
]→ h(A)=1, h(A∗)=2 → soustava nema resenı.
(c) Kolik resenı muze mıt soustava 2 rovnic o 3 neznamych? Ukazte prıklady.
(d) Kolik resenı muze mıt soustava 3 rovnic o 2 neznamych? Ukazte prıklady.
(e) Kdy nehomogennı soustava jedne rovnice o 4 neznamych nesplnuje Frobeniovupodmınku?
(f) Napravo je soustava dvou rovnic o neznamych t1, t2, t3, kdecıslo p je parametr. Proc hodnota p nema vliv na pocet resenı?
t1 − 2t2 +2t3 =32t1 − 4t2 +5t3 = p
(g) Napravo je soustava dvou rovnic o neznamych u1, u2, u3, kdecıslo p je parametr. Proc hodnota p nema vliv na pocet resenı?
u1 − 2u2 +2u3 =32u1 − 4u2 + pu3 =6
(h) Napravo je soustava dvou rovnic o neznamych v1, v2, v3, kdecıslo p je parametr. Proc hodnota p ma vliv na pocet resenı?
v1 − 2v2 +2v3 =32v1 − 4v2 + pv3 =5
(i) Napravo je homogennı soustava dvou rovnic o neznamychw1, w2, w3. Jejı prostor vsech resenı P ma dimenzi 1, tj. jeho bazi tvorıjediny vektor. Proc vektor v = (1, 1, 1) nemuze byt bazı prostoru P?
w1 − 2w2 +2w3 =02w1 − 4w2 +5w3 =0
18
APLIKACEAplikace 5.1 [souradnice vektoru v bazi] Urcenı souradnic vektoruv bazi vede na regularnı soustavu rovnic. Napr. urcujeme-li souradnicec1, c2, c3 vektoru (−4, 8, 2) v bazi (1, 2, 1), (1, 3, 2), (1,−3, 2), vede to nasoustavu trı rovnic o trech neznamych napravo.
c1 + c2 + c3 =−42c1 +3c2 − 3c3 = 8c1 +2c2 +2c3 = 2
Vyreste soustavu (i) Cramerovym pravidlem, (ii) Gaussovou eliminacı. Co bylo rychlejsı?
Aplikace 5.2 [regresnı prımka] Data tvorı N dvojicsouradnic [xi, yi] bodu v rovine. Naprıklad N = 5 a body jsou[1, 2], [0, 0], [−1,−1], [4, 2], [4, 3]. Tato data chceme prolozit re-gresnı prımkou y = k · x+ q, jejız parametry jsou k, q.
N · q+∑
xi · k=∑
xi∑xi · q+
∑x2i · k=
∑xiyi
Metoda nejmensıch ctvercu dava prımo soustavu dvou rovnic k vypoctu hodnot k, q, vizvpravo. V nasem prıpade je
∑xi = 1+0+(−1)+4+4 = 8,
∑yi = 2+0+(−1)+2+3 = 6,∑
x2i = 1+0+1+16+16 = 34,
∑xiyi = 2+0+1+8+12 = 23. Dosad’te do soustavy a urcete
Cramerovym pravidlem hodnoty q, k.
Aplikace 5.3 [alternativnı rozhodovanı] Zasilka cerveneho krıze bude vypravena zeme po-stizene zemetresenım. Hodnota zasilky je 155 000 USD, kapacita nakladnıho letadla je 6 000krychlovych stop ulozneho prostoru pri maximalnı hmotnosti nakladu 40 000 liber. Zasilkaje slozena ze 4 druhu kontejneru: kontejneru krevnıch konzerv (objem 20 krychlovych stop,vaha 150 liber, cena 1 000 USD za kontejner), kontejneru lekarskych potreb (objem 30, vaha100, cena 300), kontejneru potravin (objem 8, vaha 55, cena 400) a kontejneru pitne vody(objem 6, vaha 70, cena 200). Oznacıme-li x1, x2, x3, x4 po rade pocty kontejneru jednotlivychdruhu, muzeme napsat uvedene podmınky ve tvaru soustavy trı rovnic (rovnice pro objem,rovnice pro vahu, rovnice pro cenu) o 4 neznamych. Tu pak zapıseme do rozsırene maticesoustavy a dale uvazıme, ze jedna z promennych je volna - zvolıme si za ni x4 a prevedemena druhou stranu. Pak provedeme Gauuss-Jordanovu eliminaci. Vysledek vidıte nıze:
20x1 + 30x2 + 8x3 + 6x4 =6000150x1 +100x2 + 55x3 + 70x4 =40 000
1 000x1 +300x2 +400x3 +200x4 =155 000−→
20 30 8 6 6 000150 100 55 70 40 000
1 000 300 400 200 155 000
−→
20 30 8 6 000− 6x4150 100 55 40 000− 70x4
1 000 300 400 155 000− 200x4
−→
1 0 0 927.1− 3.008x40 1 0 120.8− 0.083x40 0 1 −2021 + 7.083x4
−→x1 = 927.1− 3.008x4x2 = 120.8− 0.083x4x3 = −2021 + 7.083x4
Napr. pro volbu x4 = 290 je x1 = 54.8, x2 = 96.7, x3 = 33, tj. mozne slozenı zasilky by bylo54, 96, 33, 290. Jake by bylo slozenı zasilky odpovıdajıcı pozadavku 30 kontejneru krve?
Aplikace 5.4 [ekonomicka optimalizace] Firma vyrabı 3 podobne produkty:produkt A - spotreba na jednotku produktu: prace 5 hodin, material 15 kg,produkt B - spotreba na jednotku produktu: prace 2 hodiny, material 10 kg,produkt C - spotreba na jednotku produktu: prace 4 hodiny, material 12 kg.
Naplanujte mesıcnı vyrobu tak, aby celkovy objem byl 400 jednotek produkce, pricemz jek dispozici 1 300 pracovnıch hodin a 4 700 kg materialu. Resenı spocıva v sestavenı a vyresenısoustavy rovnic o neznamych n1, n2, n3 - po rade poctu jednotek produktu A, B, C):
5n1 + 2n2 + 4n3 =130015n1 +10n2 +12n3 =4700n1 + n2 + n3 = 400
Vyreste ji.
19
TEMA 6. Relace, zobrazenı, funkce
Pro konecnou mnozinu X znacıme |X| pocet jejıch prvku. Prazdna mnozina ∅ ma 0 prvku.
r : X −→ Y relace s def. oborem D(r) = X a oborem hodnot Y ; takovych relacı je
2|X|·|Y | a pocet takovych k-sipkovych relacı je(|X|·|Y |
k
); pro P ⊆ X, Q ⊆ Y
jsou r(P ) obraz a r−1(Q) vzor pri r; Ar je matice sousednosti relace r
r|P,Q . . . zapis restrikce relace na P ⊆ X, Q ⊆ Y ; z Ar se vyskrtnou nektereradky a sloupce; pocet takovych moznych restrikcı je 2|X|+|Y |
r−1, s ◦ r zapis inverznı relace a relace slozene; pri inverzi se Ar transponuje;
s ◦ r je zapsano v obracenem poradı, booleovske nasobenı Arb· As uz nenı.
f : D −→ H zobrazenı; D = ∅ a kazdy prvek x ∈ D ma jediny obraz f(x) ∈ H;
pocet je |H||D|; jsou-li D,H ⊆ R mluvıme o funkci
injekce je zobrazenı takove, ze pro kazde y ∈ H je |f−1(y)| ≤ 1;
pocet je |Y |!(|Y |−|X|)! pokud |X| ≤ |Y |, jinak 0 (pro bijekce =|Y |! nebo 0)
surjekce je zobrazenı, pro nez f(D) = H; naopak pro konstantu |f(D)| = 1
bijekce injekce ∧ surjekce; f je bijekce, prave kdyz f i f−1 jsou zobrazenı,
y = f(x) . . . zadanı funkce; f(x) je funkcnı hodnota v lib. bode x def. oboru; takepıseme y = y(x); x . . . nezavisle promenna, y . . . zavisle promenna
graf funkce vsechny body roviny tvaru [x, f(x)], pro x ∈ D(f),
y = |x| funkce ”absolutnı hodnota”; |x|=x pro x ≥ 0, . . .=− x pro x ≤ 0
y = sign(x) funkce ”signum”; sign(0)=0, sign(x) = 1 pro x > 0, . . . = −1 pro x < 0
y = chM(x) charakteristicka funkce mnoz. M , chM (x)=1 pro x∈M , . . .=0 pro x/∈My = ex . . . exponencialnı funkce (e
.= 2.71... zaklad prirozenych logaritmu),
D = R, H = (0,+∞); e0 = 1; funkce roste na D;pro x < 0 je ex ∈ (0, 1) a pro x > 0 je ex ∈ (1,+∞)
y = ln x . . . prirozeny logaritmus; D = (0,+∞), H = R; ln 1 = 0; roste na D,pro x ∈ (0, 1) je lnx ∈ (−∞, 0) a pro x > 1 je ln x ∈ (0,+∞)
Poznamky
• Inverznı funkce ke goniometrickym funkcım sin, cos, tg, cotg se oznacujı symbolyarcsin, arccos, arctg, arccotg a nazyvajı se funkce cyklometricke.
• y = ex a y = ln x jsou navzajem inverznı funkce, tj. elnx = x, ln(ex) = x, a dale:
ea+b = ea · eb; ea−b = ea/eb; (ea)b = ea·b, ln(a · b) = ln(a)+ ln(b); ln(a/b) = ln(a)− ln(b);
ln(ab) = b · ln(a); definice obecne mocniny: AB = eB·lnA pro A > 0.
Sestavenı predpisu pro inverznı a slozenou funkciInverznı funkce y = f−1(x): je-li f : D −→ H bijekce, pak f−1 : H −→ D je funkce, pronız platı: f−1(b) = a, prave kdyz f(a) = b. Pri sestavovanı predpisu pro f−1 postupujemetak, ze ve funkcnım predpisu y = f(x) zamenıme symboly x a y, tj. dostaneme x = f(y),a pak z teto rovnice vyjadrıme y pomocı x.
Slozena funkce y = g(f(x)): je-li a ∈ D(f) a je-li b = f(a) ∈ D(g), pak definujemeg(f(a)) = g(b); f se nazyva vnitrnı a g vnejsı funkce. Pri sestavenı predpisu pro slozenoufunkci postupujeme tak, ze zavedeme pomocne znacenı, napr. w = f(x), y = g(w); nynıve funkcnım predpisu g(w) nahradıme vsechny symboly w predpisem pro f(x).
20
ULOHY
Uloha 6.1 [operace s relacemi] U = {α, β, γ}, V = {a, b, c},W = {1, 2, 3, 4, 5} jsou trimnoziny. Dale dve relace p : U −→ V, q : V −→ W jsou zadany pomocı jejich matic
sousednosti Ap =
[1 0 11 1 00 1 1
], Aq =
[1 0 1 1 10 1 0 1 01 0 0 1 1
]. Sestavte matice sousednosti danych relacı:
(i) q|{b,c},{1,3,5} (ii) p−1 (iii) q ◦ p (iv) p−1 ◦ q−1 (v) q−1 ◦ q.
Uloha 6.2 [pocıtanı relacı a zobrazenı ] Uzijte mnoziny z Ulohy 6.1. a urcete pocet:
(i) relacı z W do V (ii) relacı z V do W (iii) 3-sipkovych relacı z W do V(iv) zobrazenı z W do V (v) zobrazenı z U do W (vi) injekcı z W do V(vii) injekcı z U do W (viii) konstant z W do U (ix) konstant z U do V
Uloha 6.3 [funkce absolutnı hodnota, signum a ”ch”](a) Vypoctete hodnoty vyrazu:
(i) (−2) · sign (4) (ii) | − 8| − |5| (iii) 5− ch(−2,3⟩ (3)
(iv) sign (4− |5|) (v) 1− sign (2)− | − 2| (vi) ch(−4,3) (| − 3|)− 3 · ch(−2,3) (1).
(b Vypoctete hodnoty vyrazu, jestlize je zvoleno x = −3:
(i) (−2) · sign (x+ 3) (ii) |x− 8| − |5 + 2x| (iii) 5− ch⟨−3,3) (x− 3)
(iv) sign (x− |5|) (v) x · sign (2x)−|x+4| (vi) ch(−4,3) (|x−3|)− ch{−1} (x+2).
Uloha 6.4 [funkce exponecialnı a logaritmicka] S pouzitım kalkulacky vypoctete hodnotydanych vyrazu pro x = −1 a vysledek zaokrouhlete na 2 desetinna mısta:
(i) e2x − e−x (ii) ln 2x− ln(2− x) (iii) ex2−3x−2
(iv) ln(x2 − 3x+ 2) (v) e + sign(ln(−x
2))
(vi) esign (x) + ch(−2,3) (ln(−x)).
Uloha 6.5 [definicnı obory] Urcete definicnı obory zadanych funkcı:
(i) y = 2x2−3x−4
(ii) y =√x2 + 2 (iii) y = ln(2− x)
(iv) y = ln(x2 − 3x+ 2) (v) y = 31−sign (x)
− 4x
(vi) y =√x+ 2 +
√4− 2x
Uloha 6.6 [grafy funkcı] Nacrtnete grafy:
(i) y = −x2 + 3x+ 4 (ii) y = 1 + sign (x) (iii) y = 1− ch⟨−3,3) (x)
(iv) y = |x2 − 3x| (v) y = sign (x2 − 1) (vi) y = ch(−3,3) (x) + ch⟨−1,1⟩ (x)
(vii) y = sign ex (viii) y = |x2 + 1| (ix) y = 3ch(−3,+∞) (x2 + 1)
Uloha 6.7 [slozena a inverznı funkce](a) Sestavte predpis pro funkci inverznı:(i) y = 2
x+2(ii) y = 4− e2x (iii) y = 1 + ln(2− x)
(iv) y =√x− 3 (v) y = x+1
x+2(vi) y = 3
ex+2
(b) Dano f(x) = x+2, g(x) = x2+2, h(x) = e2x. Sestavte predpis pro slozenou funkci:
(i) y = f(g(x)) = . . . (ii) y = g(f(x)) = . . . (iii) y = h(g(x)) = . . .
(iv) y = f(h(x)) = . . . (v) y = g(h(x)) = . . . (vi) y = f(f(x)) = . . .
21
OTAZKY
Otazky 6.1 [operace s relacemi a zobrazenımi - POZOR u zobrazenı pozadujeme VZDYneprazdny definicnı obor]
(a) Jak by vypadala relace, ktera nenı zobrazenım?(b) Jak by vypadalo zobrazenı, ktere nenı relacı?(c) Najdete relace r, s takove, ze matice Ar i As jsou typu 3× 3, ale s ◦ r nelze provest.(d) Najdete relaci r takovou, ze r nenı zobrazenı, ale r−1 je zobrazenı.(e) Najdete relaci r takovou, ze r nenı zobrazenı a r−1 take nenı zobrazenı.
(f) Najdete dve relace r : X → Y and s : Y → Z, takove, ze s ◦ r je zobrazenı, a pritom(i) r je, ale s nenı zobrazenı, (ii) r nenı, ale s je zobrazenı, (iii) r ani s nenı zobrazenı.
Otazky 6.2 [pocıtanı relacı a zobrazenı]
(a) Urcete pocet relacı z mnoziny P do mnoziny Q v nasledujıcıch prıpadech:(i) |P | = 2, |Q| = 5 , (ii) |P | = 0, |Q| = 5, (iii) |P | < |Q| < 2.
(b) Urcete pocet zobrazenı z mnoziny P do mnoziny Q v nasledujıcıch prıpadech:(i) |P | = 2, |Q| = 5 , (ii) |P | = 0, |Q| = 5, (iii) |P | < |Q| < 2.
(c) Je-li pocet relacı z A do B roven 16, kolik je zobrazenı z A do B (jsou 3 moznosti)?
Otazky 6.3 [funkce absolutnı hodnota, signum a charakteristicke funkce]
(a) U kazde ze zadanych trech funkcı urcete funkcnı hodnotu pro x = −3:
(i) y = |3− x| (ii) y = sign (2x+ 3) (iii) y = ch⟨−4,0⟩(x+ 4).
(b) Pro funkci y = ch(−6,7)(x2 − 4) + ch{−6,7}(x+ 1) urcete funkcnı hodnotu pro dane
ctyri volby promenne x: (i) x = 2 (ii) x = 6 (iii) x = −7 (iv) x = 1.
Otazky 6.4 [funkce y = ex a y = ln x] Bez kalkulacky urcete hodnoty zadanych vyrazu:
(i) 5e0 − 4 ln 1 (ii) 5eln 4 + ln e5 (iii) ln(ln e) + ee0 − e
(iv) ln(sign 5) + sign (ln 5) (v) ln(sign 12) + sign (ln 0.5) (vi) esign 5 · esign (− 1
2)
Otazky 6.5 [definicnı obory]
(a) Muze vzniknout pri urcovanı definicnıho oboru prazdna mnozina? Uved’te prıklad.
(b) Muze mıt funkce za definicnı obor jednoprvkovou mnozinu? Uved’te prıklad.
(c) Muze mıt funkce za definicnı obor mnozinu vsech realnych cısel? Uved’te prıklad.
(d) Ktera funkce ma vetsı definicnı obor y = 3 ln(x− 1) nebo y = 2√x− 1?
(e) Ktera funkce ma vetsı definicnı obor y = 2 ln(x− 1) nebo y =3√x− 1
?
Otazky 6.6 [slozena a inverznı funkce]
(a) U kazde ze zadanych trı funkcı urcete funkcnı hodnotu pro x = 5:
(i) y =|x− 6||6− x|
(ii) y = sign (sign (sign (x))) (iii) y = ch(−1,0⟩(ch(−1,0⟩(ch(−1,0⟩(x))).
(b) Funkce f se nazve samoinverznı, jestlize f a f−1 majı stejny vzorec. Ktera z danych
funkcı je samoinverznı? f1(x) = x− 2 f2(x) = 2− x f3(x) =2
xf4(x) =
2
x2.
22
APLIKACE
Aplikace 6.1 [teplotnı skaly](i) Vzorec f = 32 + 9
5c vyjadruje funkci, ktera prepocte udaje o teplote c ve stupnıch
Celsia na stupne f Fahrenheita. Napr. tedy f(20) = 32 + 95· 20 = 68 prepocte 200 C na 680
F. Sestavıme predpis pro inverznı funkci: f = 32 + 95c → f − 32 = 9
5c → c = 5
9(f − 32).
Tato funkce prepocte udaje o teplote ve stupnıch Fahrenheita F na stupne Celsia C; tedynapr. c(68) = 5
9(68− 32) = 200 C.
(ii) Pri pozorovanı urciteho druhu cvrcka v prırode bylo zjisteno, ze pocet n cvrknutıvydanych za jednu minutu zavisı na teplote f (ve 0 F) podle funkce n = 4 · f − 40, napr.n(59) = 4 · 59 − 40 = 196 vypocte, ze teplote 590 F odpovıda frekvence 196 cvrknutı/min.Sestavıme predpis pro inverznı funkci: n = 4 · f − 40 → n + 40 = 4 · f → f = 10 + n
4;
tato funkce prepocte frekvenci cvrkanı (za min) na teplotu ve stupnıch Fahrenheita f ; tedynapr. f(196) = 10 + 196
4= 590 F.
(iii) Pomocı funkcı zıskanych vyse muzeme sestavit slozenou funkci c(f(n)) = c(10 + n4),
ktera prepocte frekvenci cvrkanı (za min) na teplotu ve stupnıch Celsia c. Dokoncete.
Aplikace 6.2 [financnı matematika](a) Ve financnı matematice se pouzıva take tzv. spojite urocenı. Napr. pri urokove mıre
4% p.a. se uzije vzorec y = 800 ·e0.04x, kde x je cas v letech a y budoucı hodnota investice800 EUR po uplynutı x let. Pouzijte tento vzorec a:
(i) urcete budoucı hodnotu y investice 800 EUR po uplynutı 6 a 3/4 roku,(ii) urcete dobu potrebnou ke zdvojnasobenı investice 800 EUR,(iii) sestavte vzorec inverznı funkce k uvedene funkci a vysvetlete, co vypocıtava.
(b) Pro urcity vyrobnı stroj se jeho ucetnı hodnota y (v USD) po x letech provozu urcujepomocı funkce y = 4400 · e−0.2·x +900. Sestavte funkci inverznı a vysvetlete, co vyjadruje.
Aplikace 6.3 [zdravotnictvı](a) Matematicky model vyjadrujıcı vztah mezi vekem a normalnı urovnı klidoveho systo-
lickeho krevnıho tlaku dospeleho pacienta ma tvar funkce y = 40+25 ln(x+1), kde x je starıv letech a y odpovıdajıcı tlak v mm Hg. Sestavte inverznı funkci a vysvetlete, co vyjadruje.
(b) Podle zdravotnıch zaznamu bylo v jednom velkem meste x tydnu po vypuknutıepidemie chripky priblizne y = 80
4+76e−1.2x tisıc nakazenych. Odvod’te vzorec pro inverznıfunkci a vysvetlete, co vyjadruje.
Aplikace 6.4 [ekonomicke modely](a) Pro urcitou komoditu se odhaduje, ze po investici x tisıc EUR do reklamy bude
prodano y = 50 − 41e−0.15x tisıc jednotek. Udejte x jako funkci y. Kolik by se meloinvestovat do reklamy, abychom dosahli prodeje 40 000 jednotek?
(b) Nadnarodnı kosmeticka firma planuje uvedenı nove linie rtenky na trh. Oddelenımarketingu testovalo ve velkem tuto novou linii a zjistilo, ze poptavka odpovıdala pribliznefunkci p(x) = 10e−1.1x, kde x tisıc kusu rtenky bylo tydne prodano za cenu p dolaru zakus. Odvod’te vzorec pro inverznı funkci a vysvetlete, co vyjadruje.
(c) Pri mezinarodnım turne jedne rockove skupiny je poptavka po jejıch trickach vyjadrenafunkcı p(x) = 15−4 ln x, kde x je pocet tricek (v tisıcıch), ktera mohou byt prodana v dobejednoho koncertu za cenu p EUR / kus. Odvod’te vzorec pro inverznı funkci a vysvetlete, covyjadruje.
23
TEMA 7. Posloupnosti a rady
{an}∞n=1 . . . nebo jednoduse {an} je posloupnost, an jejı n-ty clen, n jeho index
limn→∞
an = L limita posloupnosti {an}, kdyz n se blızı k nekonecnu, je rovna L;
pro L ∈ R rıkame, ze posloupnost konverguje; pro L = ±∞ rıkame,ze posloupnost diverguje k ±∞; jinak posloupnost diverguje
sn =n∑
i=1an = a1 + a2 + . . .+ an se nazyva n-ty castecny soucet posloupnosti {an}
∞∑i=1
an = a1+a2+. . .+an+. . . se nazyva nekonecna rada; pokud existuje limitaposloupnosti castecnych souctu s∞ = lim
n→∞sn = S ∈ R, rekneme, ze
rada∑
an konverguje a jejı soucet je S; jinak rada∑
an diverguje
Platı-li v posloupnosti {an}∞n=1 pro kazde n ∈ N vztah
(1) an < an+1, je posloupnost rostoucı, (2) an > an+1, je posloupnost klesajıcı,(3) an ≤ an+1, je posloupnost neklesajıcı, (4) an ≥ an+1, je posloupnost nerostoucı.Jestlize existuje M ∈ R tak, ze pro kazde n platı an ≤ M , nazyvame {an} shora omezenou.Jestlize existuje m ∈ R tak, ze pro kazde n platı an ≥ m, nazyvame {an} zdola omezenou.
Posloupnost majıcı jak hornı mez, tak dolnı mez se nazyva omezena.
Aritmeticka posloupnost - rekurentnı vztah: an+1 = an + d, d je diference,
an = a1 + (n− 1) · d, nebo an = am + (n−m) · d; sn = a1+an2
· n = n · a1 + d · n(n−1)2
.
Geometricka posloupnost - rekurentnı vztah: an+1 = an · r, r je kvocient (tez ozn. q),
an = a1 · rn−1 nebo an = am · rn−m; sn = an+1−a1r−1
= a1 · rn−1r−1
, s∞ = a11−r
pro |r| < 1.
Dulezite limity a rady; formalnı ”kalkul”s cısly (r ∈ R) a symboly ∞
limn→∞
n = +∞, limn→∞
1n= 0; lim
n→∞rn = 0 pro |r| < 1 a = +∞ pro r > 1; lim
n→∞n√n = 1,
limn→∞
n√A = 1 pro A > 0; lim
n→∞
(1 + 1
n
)n= e =
∞∑i=0
1i!= 1+ 1
1!+ 1
2!+ 1
3!+ . . .+ 1
n!+ . . .
∞∑i=1
1ip=1+ 1
1p+ 1
2p+ 1
3p+ . . . konverguje pro p > 1; harmonicka r.
∞∑i=1
1i=1
1+1
2+1
3+ . . . = +∞,
r+∞ = ∞+ r = ∞; r−∞ = −∞+ r = −∞; +∞+∞ = +∞; −∞−∞ = −∞;
(±∞) · (∓∞) = −∞; (±∞) · (±∞) = +∞;√+∞ = ln(+∞) = log(+∞) = +∞.
r · (±∞) = ±∞ pro r>0∓∞ pro r<0
; 1±∞ = 0; 1
0=
+∞ pokud jsou vsechny cleny kladne
−∞ pokud jsou vsechny cleny zaporne.
Neurcite vyrazy - jejich hodnotu nelze obecne urcit
∥∞−∞∥, ∥0 · (±∞)∥,∥∥∥10
∥∥∥, ∥∥∥00
∥∥∥, ∥∥∥∞∞∥∥∥, ∥1±∞∥, ∥0±∞∥, ∥(±∞)0∥.
Limitnı kriteria konvergence - pro rady s nezapornymi cleny
Srovnavacı kriterium: Necht’∑
an a∑
bn jsou takove rady, ze limn→∞
anbn=L>0, L∈R.
Potom obe rady jsou bud’to konvergentnı nebo jsou obe divergentnı.
Podılove a odmocninove kriterium: Urcıme limn→∞
an+1
an= L nebo lim
n→∞
√an = L. Potom
(1) L < 1 ⇒ ∑an je konvergentnı, (2) L > 1 ⇒ ∑
an je divergentnı.
24
ULOHY
Uloha 7.1 [rekurentnı vztahy](a) Pro posloupnosti popsane nıze vzdy sepiste seznam a1, a2, a3, a4.
(i) a1 = 1, an+1 = (−1)n · an (ii) a6 = 43, an+1 = 2an − 1
(iii) a1 = 5, a2 = 6, an+2 = an+1 + an + 3 (iv) a5 = 120, an−1 =ann.
(b) Pro posloupnosti popsane nıze urcete vzdy dvojici hodnot b4, c4.
(i) b1 = 1, c1 = 2, bn+1 = bn + cn, cn+1 = bn · cn,(ii) b5 = c5 = 2, bn+1 = bn + 2cn − 1, cn+1 = 3bn − cn + 2.
Uloha 7.2 [aritmeticka a geometricka posloupnost](a) Urcete soucty zadanych konecnych posloupnostı
(i) 2+4+6+8+ . . .+600, (ii) 400+401+402+403+ . . .+600,
(iii) 2+4+8+16+ . . .+2048+4096, (iv) 10+103+10
9+10
27+ . . .+ 10
6561.
(b) Ve financnı matematice se pouzıva tzv. slozene urocenı. Napr. pri urokove mıre 4%p.a. se uzije vzorec An = 800 · 1.04n, kde n je pocet let a An budoucı hodnota investice 800EUR po uplynutı n let (geometricka posloupnost). Pouzijte tento vzorec a:
(i) urcete budoucı hodnotu investice 800 EUR po uplynutı 8 let.(ii) urcete dobu (v celych letech) potrebnou ke zdvonasobenı investice 800 EUR.
Uloha 7.3 [vypocet limit](a) Urcujte zadane limity bez uzitı kalkulu s nekonecny:
(i) limm→∞
(3
m√2 + 2
m√3)
(ii) limn→∞
(2− n
√n)
(iii) limk→∞
[(1 + 1
k
)k+ 99 · 0.999k
].
(b) Urcujte limity neurcitych vyrazu typu ∥∞−∞∥ inspirovani Ukazkou:
limn→∞
(3n2−4n+7) = limn→∞
n2
n2 (3n2−4n+7) = lim
n→∞n2 ·
(3n2−4n+7
n2
)= lim
n→∞n2 ·
(3n2
n2 −4nn2+
7n2
)=
= limn→∞
n2 ·(3− 4
n + 7n2
)=∥∥∥(+∞)2 ·
(3− 4
+∞ + 7(+∞)2
)= (+∞) · (3− 0 + 0)
∥∥∥ = +∞.
(i) limn→∞
(3n−4n2+5) (ii) limm→∞
(2 · 3m − 3 · 2m) (iii) limk→∞
(√4k + 1−
√k + 4
).
(c) Urcujte limity neurcitych vyrazu typu ∥∞∞∥ inspirovani Ukazkou:
limn→∞
3n−4n2+2
= limn→∞
(3n−4)/n(n2+2)/n
= limn→∞
3nn− 4
nn2
n+ 2
n
= limn→∞
3− 4n
n+ 2n
=
∥∥∥∥ 3− 4+∞
+∞+ 2+∞
= 3−0+∞+0 = 3
+∞
∥∥∥∥ = 0.
(i) limn→∞
3n2 − 4n+ 2
n2 + n+ 2(ii) lim
n→∞
n4 + 2
n2 + 8(iii) lim
m→∞
6 · 2m + 4
2m + 5(iv) lim
k→∞
6 · 3k + 4k
2k + 5k.
(d) Urcete: (i) limp→∞
p+2q+3
(ii) limq→∞
p+2q+3
(iii) limp→∞
(√6p−√
4q
)(iv) lim
q→∞
(√6p−√
q4
).
Uloha 7.4 [nekonecna geometricka rada] Urcete soucty nekonecnych geometrickych rad:
(i) 9+0.09+0.0009+ . . ., (ii) 5− 52+5
4−5
8+ 5
16− . . ., (iii) 51
50+(5150
)2+(5150
)3+(5150
)4+ . . ..
Uloha 7.5 [konvergencnı kriteria] Testujte konvergenci rad uzitım limitnıho kriteria
(a) podıloveho: (i)∞∑n=1
1.1n, (ii)∞∑n=1
1n+8
, (iii)∞∑
m=1
12m+3
, (iv)∞∑
m=1
1m!,
(b) odmocninoveho: (i)∞∑n=1
0.8n, (ii)∞∑n=1
1(n+8)n
, (iii)∞∑
m=1
1√m, (iv)
∞∑m=1
10.5m
.
25
OTAZKY
Otazky 7.1 [rekurentnı vztahy]
(a) Proc nestacı k zadanı posloupnosti rekurentnı vztah, napr. an+1 = 2 · an?(b) Rekurentnı popis b1 = 14, bn+2 = bn+1 + bn nestacı k zadanı posloupnosti. Proc?
(c) Je-li znamo, ze c1 = 5, c2 = 7, da se urcit, kolik bude c3?
(d) Jak vypada posloupnost zadana jako: d1 = 23, dn+1 = dn?
Otazky 7.2 [aritmeticka a geometricka posloupnost]
(a) Jak by vypadala posloupnost, ktera je zaroven aritmeticka i geometricka?
(b) Posloupnost zadana vztahy b2 = 3, bnbn+1
= 3 je geometricka. Vysvetete proc.
(c) V geometricke posloupnosti je c1 = 5, c5 = 80. Potom je hodnota c3 urcena jedno-znacne, zatımco hodnota c4 nenı urcena jednoznacne. Vysvetlete podrobneji.
(d) Pro soucet S = 200+201+202+ . . .+498+499+500 jsou navrzeny dva vzorce.
Ktery je spravny a proc? (i) S = 200+5002
× 300, (ii) S = 200+5002
× 301.
(e) K 1.1.2015 byla cena vzacneho obrazu odhadnuta na 45 000 EUR. Mame odhadnoutjeho cenu za 5 let, jestlize predpokladame jejı kazdorocnı narust o 2%. Ktery z navrzenych 3vzorcu je spravny a proc? (i) a5 = a0 · 1.025, (ii) a6 = a1 · 1.025, (iii) a5 = a1 · 1.024.
Otazky 7.3 [vypocty limit]
(a) Petr a Jan pocıtali stejnou limitu a oba spatne. Proc? Jak to je spravne?
Petr: limn→∞
2n3n=∥∥∥∥2·(+∞)3·(+∞)
=+∞+∞=
+∞/+∞/ = 1
1
∥∥∥∥ = 1, Jan: limn→∞
2x3x=∥∥∥23· (+∞) · 1
+∞=(+∞) · 0∥∥∥ = 0.
(b) Petra a Jana pocıtaly stejnou limitu a obe spatne. Proc? Jak to je spravne?
Petra: limk→∞
[3k
2k+(1+ 1
k
)k]=∥∥∥∥3+∞
2+∞ +(1+ 1
+∞
)+∞= +∞
+∞ + 1+∞ = 1 + 1∥∥∥∥ = 2.
Jana: limk→∞
[2k
3k+(1+ 1
k
)k]=∥∥∥∥2+∞· 1
3+∞ +(+∞+1+∞
)+∞= (+∞)·0 + (+∞)+∞
(+∞)+∞ = 0++∞+∞ = 0+1
∥∥∥∥=1.
(c) Dan pokazil vypocet 2 limit (n, k jsou prirozena cısla). Proc? Jak to je spravne?
Prvnı limita: limn→∞
2n+13k+1
= limn→∞
(2n+1)/n(3k+1)/k
= limn→∞
2+ 1n
3+ 1k
=∥∥∥∥2+ 1
+∞3+ 1
+∞= 2+0
3+0
∥∥∥∥ = 23.
Druha limita: limk→∞
2n+13k+1
=∥∥∥2·∞+13·∞+1
= +∞+∞ = +∞/
+∞/ = 11
∥∥∥ = 1.
Otazky 7.4 [nekonecne rady]
(a) Posloupnost 1, 12, 13, 14, . . . , 1
n, . . . lze popsat rekurentne jako a1 = 1, an+1 = an · n
n+1.
Pouzijeme vzorec pro soucet nekonecne geometricke rady s kvocientem r = nn+1
a mame:
1+12+1
3+1
4+ . . . = s∞ = a1
1−r= 1
1− nn+1
= 1(n+1)−n
n+1
= 11
n+1
= n + 1 = ∥(+∞) + 1∥ = ∞, coz je
spravny soucet harmonicke rady. Postup vypoctu ale nebyl spravny. Proc?
(b) Zvolte si realne cıslo x. Bude rada∞∑n=1
(1
x+5
)nkonvergovat?
(c) Petr a Jirı scıtali nekonecnou radu 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . .. Kdo ma pravdu?
Petr: 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . . = (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + . . . = 0 + 0 + 0 + . . . = 0,Jirı: 1−1+1−1+1−1+ . . . = 1+(−1+1)+(−1+1)+(−1+1)+ . . . = 1+0+0+0+ . . . = 1.
26
APLIKACE
Aplikace 7.1 [finance] Ve financnı matematice se pouzıva tzv. slozene urocenı. Napr. priurokove mıre 4% p.a. se uzije vzorec An = 800 · 1.04n, kde n je pocet let a An budoucıhodnota investice 800 EUR po uplynutı n let (geometricka posloupnost). Urcete:(i) budoucı hodnotu po uplynutı 8 let, (ii) dobu potrebnou ke zdvonasobenı investice.
Aplikace 7.2 [zivot v prırode] Pri sledovanı populace rysa v urcite oblasti Kanady bylozjisteno, ze: rys je dospely za rok a rozmnozuje se; polovina rysu jsou samice a v cervnu rodıvzdy prumerne 3 mlad’ata. Do prıstıho roku prezije 50% mlad’at a 70% dospelych. OznacmeAn pocet rysu dospelych v cervnu roku n a Kn pocet mlad’at narozenych v cervnu roku n.Z uvedeneho vyplyva, ze platı rekurentnı vztahy: Kn = An
2· 3, An+1 = 0.7An + 0.5Kn.
Jestlize A1987 bylo 400, pak z toho urcete (a) pocet samic, ktere rodily v cervnu 1986,(b) pocet zvırat dospelych jiz roce 1988, ktera budou zıt jeste v cervnu 1989,(c) pocet mlad’at narozenych v roce 1988, ktera jiz nebudou zıt v cervnu 1989.
Aplikace 7.3 [rovnovaha na trhu] Pri uzitı pavucinoveho modelu na studium rovnovahytrhu vztahujeme posloupnost cen p1, p2, p3, . . . za jednotku vybraneho produktu pro raduobdobı k odpovıdajıcım hodnotam nabıdky S1, S2, S3, . . . a poptavky D1, D2, D3, . . .Uvazme jednoduchy linearnı model, kde Dn = 4800−50pn (poptavkova rovnice) a Sn+1 =4000+25pn (nabıdka reaguje na cenu v predchozım obdobı). Podmınka pro rovnovahu (poptavka= nabıdka) da: Dn+1 = Sn+1 −→ 4800 − 50pn+1 = 4000 + 25pn −→ pn+1 = 16 − 0.5pn.Urcete hodnoty p2, p3, p4, S2, S3, S4, D2, D3, D4, je-li pocatecnı jednotkova cena p1 = 65 Kc.
Nynı uvazujeme dal: za urcitou dobu se jednotkova cena ustalı na hodnote p = limn→∞
pn.
Limitnım prechodem rovnice pn+1 = 16− 0.5pn dostaneme limn→∞
pn+1 = limn→∞
(16− 0.5pn) −→p = 16 − 0.5p −→ 1.5p = 16 −→ p
.= 10.67 Kc. To je konecna rovnovazna cena. Podobne
urcıme S = limn→∞
Sn+1 = limn→∞
(4000+ 25pn) = . . . a dale D = limn→∞
Dn = limn→∞
(4800− 50pn) =
. . ., tj. konecnou rovnovaznou nabıdku a poptavku. Dokoncete naznacene vypocty.
Aplikace 7.4 [ekologie] Mnohaletym sledovanım ptacı populace na trech ostrovech P, Q,R (oznacıme pn, qn, rn velikosti populacı na nich v roce n) zjistili ornitologove, ze velikostpopulace na celem souostrovı je dlouhodobe stabilnı (asi 40000 jedincu), ale kazdorocnedochazı k migraci mezi ostrovy podle modelu:
10% populace z P se prestehuje na Q, 20% populace z Q se prestehuje na R,5% populace z R se prestehuje na P. Platı tedy rekurentnı vztahy:
pn+1 = 0.05rn + 0.9pn qn+1 = 0.1pn + 0.8qn, rn+1 = 0.2qn + 0.95rn.
Jaky je podle tohoto modelu odhad velikostı populace na ostrovech P, Q, R na rok 1988,jestlize p1986 = 8200, q1986 = 10400, r1986 = 21400?
Aplikace 7.5 [financnı matematika] Firma si zalozila sporıcı fond na budoucı investici.Do fondu se ulozı na vzdy zacatku ctvrtletı 4 000 EUR, pricemz se vzdy na konci ctvrtletıse pripıse 0.8% aktualne nasporene castky (urok). Po peti letech (20 ctvrtletı) se vlozı jeste21. castka a v tomto okamziku bude potreba mıt nasporenou sumu S ≥ 90 000 EUR.
Rozbor celeho procesu sporenı: 1. castka se bude urocit 20-krat, druha 19-krat, . . . , predposlednıjedenkrat a poslednı vubec; tj. S = 4000 ·1.00820+4000 ·1.00819+ . . .+4000 ·1.0081+4000.Stacı nasadit vzorec pro soucet geometricke posloupnosti (scıtance usporadame v opacnemporadı), kde a1 = 4000, r = 1.008, n = 21 a dostaneme S = s21 = . . .. Dokoncete vypoceta zjistete, zda bude dosazeno potrebne castky.
27
VYSLEDKYTEMA 1-2 Uloha 1-2.1(a) (3, 4), (b) ⟨−2, 2⟩, (c) (−1, 3⟩, (d) ∅, (e) (−1,+∞), (f) ⟨−3, 3⟩, (g) ⟨−3,+∞), (h) ⟨−3, 4).
Uloha 1-2.2 (A) (a) (−4, 4), 2√110, (b) (−11, 11, 33), 11
√11, (c) (22, 0), 22, (d) nenı def.
(e) (−20,−2,−6), 2√110, (f) (−20,−2,−6), 2
√110, (g) nenı def. (h) (−20,−2,−6), 2
√110.
(B) (a) 116.56◦, (b) 136.36◦, (c) nenı def.
Uloha 1-2.3 (A) (a)[3 −3 06 0 −2
], (b)
[980 −9999 −10
], (c)
[5 8 −621 1 −6
], (d)
[12 −69 12
], (e)
[6 −29 −7
−2 −8 −11
],
(f) nelze provest, (g)
[2 2 −32 20 6
−3 6 9
], (h) nelze provest. (B) (a) 3× 3, (b) neex., (c) 3× 3.
Uloha 1-2.4 (a) napr. (0, 4, 0, 0), (1, 13, 1, 1), (−2, 2, 0, 0), (b) napr.[
1−2
], nebo
[50
],
(c1) napr.[−1 −12 2
], (c2) napr.
[1 1
−2 1
], (c3) napr.
[2 1
−1 2
],
Uloha 1-2.5 (A) (a) y = ±√11, (b) y = 2, (c) y = ±0.8, (c) y ∈ (2−
√7, 2 +
√7).
(B) (a) (2, 1,−7), (b) (−8/5,−8/5), (c) (−5/2, x2), x2 lib.
(C) (a)[−1 5 −2−3 2 4
], (b)
[−9 −7/21 1/2
], (c)
[3 9 4
−4 4 6
], (D) (a) 3×3, (b) neex., (c) 2×n, n lib.
Aplikace 1-2.1 (a) α.= 89.3◦, β
.= 52.4◦, γ
.= 38.3◦, (a) α
.= 71.8◦, β
.= 52.3◦, γ
.= 55.9◦.
Apl. 1-2.2 P 2=[0.996 0.2530.004 0.747
], x3=5226, y3=99, na x6, y6 je treba P 5. Apl. 1-2.3 C.
TEMA 3 Uloha 3.1 (a) (0, 0), (b) (4, 2), (c) (9,−9), (d) (11,−14).
Uloha 3.2 (a) u3 = 0 · u1 + 0 · u2, (b) u1 = 0 · u2 + 1 · u3, (c) u2 = (−1) · u1 + 1 · u3,(d) u1 = (−1) · u2+0 · u3. Uloha 3.3 a,e,f. Uloha 3.4 (a) vyskrtnout 2. r., (b) prohodit1. r. a 2. r., (c) nelze, (d) prohodit 2. r. a 3. r., (e) prohod. 1. r. a 2. r., (f) vyskrt. 1. r.
Uloha 3.5 (a) od 2. r. odecıst 1. r., (b) nelze, (c) od 2. r. odec. 1. r., od 3. r. odec. 1. r.,ke 3. r. pricıst 2. r., (d) nelze, (e) k 1. r. pric. 2. r., od 2. r. odec. 1. r., (f) ke 2. r. pric. 1. r.
Uloha 3.6 (a) 2, (b) 2, (c) 2, (d) 1, (e) 2, (f) 2. Ul. 3.7 (a) −2, (b) R−{±2}, (c) ∅, (d) R.
Aplikace 3.1 (a)(b) zav., (c)(d)(e) nezav. Aplikace 3.2 (a) s, (b) s, (c) q, r, (d) s.
Aplikace 3.3 (a) nenı - moc vektoru, (b) ano - n=k=h=4, (c) nenı - moc vekt., (d) nenı -malo vekt., (e) nenı - nektere vekt. 5-slozkove. Apl. 3.4 (a) 1, (b) 3, (c) 4, (d) 3, (e) 4.
Apl. 3.5 (a) napr. (3,−1), (b) pr. (1, 2, 3), (0, 1, 2), (c) pr. (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0,−1),(d) pr. (1, 0, 2, 0, 1), (0, 2,−2, 0, 0), (e) pr. (1, 0, 1, 1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1).
TEMA 4 Uloha 4.1 (a) reg., (b) sing., (c) sing., (d) reg., (e) reg., (f) reg.
Uloha 4.2 (a) 68, (b) 24, (c) 69, (d) 9, (e) −77, (f) 0.
Uloha 4.3 (i) 0, sing.; −5, reg., (ii) 0, sing.; 42, reg. (iii) −5, reg.; 6 reg.
Uloha 4.4 (a) −21, reg. (b) 132, reg. (c) 12, reg. (d) −6, reg.
Uloha 4.5 B−1=
[1 02 −1
], C−1=
[1/2 1
0 −1/2
], D−1=
[1 00 1
], F−1=
[−1 −20 1
], G−1=
[1 20 −1
], F−1=
[−1 −20 1
].
Uloha 4.6 (a)[1 −20 −1
], (b)
[1/2 −1/2
−1/2 3/2
], (c)
[1 −1 00 1 −10 0 1
], (d)
[−1/2 1/2 1/21/2 −1/2 1/21/2 1/2 −1/2
], (e)
0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 −1
,(f)
1 0 0 0−1 1 0 0−1 0 1 0−2 1.5 0 −0.5
. Uloha 4.7 (a) x ∈ R, (b) x = ±2, (c) x ∈ (2, 4), (d) x = −1.
Aplikace 4.2 (a) prvnı 6, druhy 2, (b) x1 = −17, x2 = 3.Aplikace 4.3 vsechny jsou baze prısl. Vn. Aplikace 4.4 (a)
[−3 −2 −7 −22 2 4 2
], (b)
[−1 −11
],
(c)[
27 12−13 −11
], (d)
[10 −52
], (e)
[−4 41/2 1/2
], (f)
[−95/231/2
], Aplikace 4.5 x1 = 10, x2 = 10
28
TEMA 5Uloha 5.1 (a) ano, ne, ne, ano, (b, c, d) prvnı: x1=5/12, x2=− 1/6; tretı: x1=0, x2=0.
Uloha 5.2 (a) F.p. ano; ∞ r., (b) F.p. ano; ∞ r., (c) F.p. ano; 1 r., (d) F.p. ano; ∞ r.
Uloha 5.3 (a) napr. b1=(−1, 0, 1, 0), b2=(−7, 3, 0, 1), (b) napr. b1=(−1, 1, 0, 0), (c) napr.
b1=(−1, 1, 0, 0), b2=(1, 0, 1, 0), b3=(1, 0, 0, 1).
Uloha 5.4 (a) napr. c1·(−0.5,−0.25, 1)+(0.5, 2.75, 0), (b) N.R., (c) napr. c1·(−2, 1, 0)+(4, 0, 2).Uloha 5.5 (a) p = ±3, (b) p ∈ R, (c) p = −4, (d) p = 5.
Aplikace 5.1 c1=−10, c2=233, c3=−5
3; Gauss 3 min., Cramer 5 min., Apl. 5.2 q= 20
106, k= 67
106,
Apl. 5.3 x1=30, x2=96, x3=91, x4=298, Apl. 5.4 n1=100, n2=200, n3=100.
TEMA 6
Uloha 6.1 (i)[0 0 01 0 1
], (ii)
[1 1 00 1 11 0 1
], (iii)
[1 0 1 1 11 1 1 1 11 1 0 1 1
], (iv)
1 1 10 1 11 1 01 1 11 1 1
, (v)
[1 1 11 1 11 1 1
].
Ul. 6.2 (i) 32768, (ii) 32768, (iii) 455, (iv) 243, (v) 125, (vi) 0, (vii) 60, (viii) 3, (ix) 3.
Uloha 6.3 (a) (i) −2, (ii) 3, (iii) 4, (iv) −1, (v) −2, (vi) −3. (b) (i) 0, (ii) 10,(iii) 5, (iv) −1, (v) 2, (vi) −1. Uloha 6.4 ) (i)
.= −2.58, (ii) mimo def. obor, (iii)
.= 7.39, (iv)
.= 1.79, (v)
.= 1.72, (vi)
.= 1.37. Uloha 6.5 (i) R−{−1, 4}, (ii) R, (iii)
(−∞, 2), (iv) (−∞, 1) ∪ (2,+∞), (v) (−∞, 0), (vi) ⟨−2, 2⟩.Uloha 6.6
(i) -
6
(ii) -
6rbb (iii) -
6rb rb (iv) -
6
(v)-
6rbbrbb (vi) -
6rb rb br rb (vii) -
6
(viii) -
6
-
6
(ix) -
6
Uloha 6.7 (a) (i) y = 2x− 2, (ii) y = 1
2ln(4 − x), (iii) y = 2 − ex−1, (iv) y = (x + 3)2,
(v) y = 1−2xx−1
, (i) y = ln(3x− 2
). (b) (i) = x2 + 4, (ii) = x2 + 2x + 6, (iii) = e2x
2+4,
(iv) = e2x + 2, (v) = e4x + 2, (vi) = x+ 4.
Aplikace 6.1 (iii) . . . = 59·[(10 + n
4
)− 32
]= 5n−440
36. Aplik. 6.2 (a) (i)
.= 1048 EUR,
(ii).= 27.47 let, (iii) x = 25 ln y
800; cas x v letech potrebny na zhodnocenı investice na uroven
y EUR. (b) x = −5 ln y−9004400
; pocet let provozu, zname-li ucetnı hodnotu stroje.
Aplikace 6.3 (a) x = ey−4025 − 1; z hodnoty tlaku pacienta y urcit jeho starı x.
(b) x = −56ln(
8076y
− 476
); z poctu nemocnych y v tis. urcit pocet tydnu x od pocatku epidemie.
Aplikace 6.4 (a) x = −203ln 50−y
41; 9.41 tis. EUR, (b) x = −10
11ln p
10; poptavka x v tis. kusu
v zav. na jedn. cene p, (c) x = e15−p
4 ; poptavka x v tis. tricek v zav. na jedn. cene p.
TEMA 7 Uloha 7.1 (a) (i) 1,−1, 1,−1, (ii) 3716, 29
8, 25
4, 23
2, (iii) 5, 6, 14, 23, (iii) 1, 2, 6, 24.
(b) (i) 11, 30, (ii) 37, 97. Uloha 7.2 (a) (i) 90 300, (ii) 100 500, (iii) 8190, (iv) 35 800
2187,
(b) (i) 1094.86, (ii) 18 let. Uloha 7.3 (a) (i) 5, (ii) 1, (iii) e. (b) (i) −∞, (ii)+∞,
(iii) +∞. (c) (i) 3, (ii) +∞, (iii) 6, (iv) 0. (d) (i) +∞, (ii) 0, (iii) −√
4q, (iv) −∞.
Ul. 7.4 (i) 10011, (ii) 10
3, (iii) +∞. Ul. 7.5 (a) (i) diverg., (ii) tımto krit. nelze rozhodnout,
(iii) konv., (iv) konv., (b) (i) konv., (ii) konv., (iii) tımto krit. nelze rozh., (iv) diverg.
Aplikace 7.1 (a) 1094.86 EUR, (b) 18 let. Aplikace 7.2 (a) 138, (b) 406, (c) 435.Aplikace 7.3 p2 = 12, p3 = 10, p4 = 11;D2 = S2 = 4200, D3 = S3 = 4300, D4 = S4 = 4250,p
.= 10.67 EUR, D = S = 4267. Aplikace 7.4 p1988 = 8725.5, q1988 = 8157, r1988 =
23117.5 . Aplikace 7.5 Ano, vyjde.= 91 093 EUR.
29
