Západočeská univerzita v PlzniFakulty aplikovaných věd

katedra matematikyobor geomatiky

G E O D É Z I E

matematickávyrovnávací počet 1

geodetické sítě v 2D prostorutrojrozm ěrná geodézie

geodetické sítě v 3D prostorutriangulace na vysoké cíle

hvězdná triangulacedružicové sítě

Josef KabeláčPavel Novák

Plzeň 2006

2006 Josef Kabeláč, Pavel Novák. Všechna práva vyhrazena.Žádná část této publikace nesmí být vytištěna nebo rozeslána, v žádném tvaru a žádnýmzpůsobem: elektronicky, mechanicky, fotokopiemi nebo jiným způsobem, bez předchozíhonapsaného svolení autorů.

iii

PŘEDMLUVA

Na počátku oboru geomatiky byl pan Doc. Ing. Jiří Pyšek, CSc., který se zasadil o realizacioboru matematické kartografie. Oblíbil si ji z nedostižných přednášek pana Prof. Ing. Dr.Františka Fialy, který tento předmět přednášel na půdě ČVUT v Praze. Nejprve tento předmětzakotvil na Pedagogické fakultě a později rozkvetl na Západočeské univerzitě (ZČU), a to přiFakultě aplikovaných věd (FAV). Tohoto rozkvětu se však již sympatický a vždy ochotnýJiří nedožil. Připomeňme aspoň jeho fundamentální práce: Matematická kartografie. ZČU 1995. Kartografie, kartometrie a matematická geografie v příkladech. ZČU 2000.Na jeho práci bezprostředně navázali jeho žáci a následovníci. Předně Mgr. et Mgr. MonikaČechurová, PhD. Z prací uveďme: Mapy ještě ortodromické. Miscellanea geographica, ZČU, Plzeň 1995. Zjištění ortodromičnosti mapy daného kartografického zobrazení. Geod. a kart. obzor, č. 11, Praha 1997.Z dalších pak Mgr. Milan Bořík, PhD., z jehož publikací uveďme: Derivation of Formulas for Projections for Variational Type of Projection Odvození zobrazovacích rovnic pro variační typ konformního zobrazeníAby učební obor řádně a napevno zakotvil, je podmínkou nutnou, aby byl vyzbrojen řadoupotřebných skript, učebních textů a učebnic. A tak se pomalu, ale jistě, dělo. Byla to skripta z fotogrammetrie, astronomie, vyrovnávacího počtu a nyní jsou předkládána skripta z Vyššígeodézie. Jsou dělena do IV částí a tyto opět do kapitol, jichž je celkem 8. Dělení je odvisléod rozsahu a od různorodosti námětů.

V předloženém tvaru jsou tyto studijní texty prozatímní, tedy neúplné. Další části budoupřipojovány, a to především z oboru fyzikální geodézie.

V odborné literatuře nám nejbližší a s tématikou vyšší geodézie vyjmenujme vezpětném časovém pořadí díla nejzávažnější. Jsou to:

Skriptum o dvou dílech Vyšší geodézie 1 a 2 napsali a vydali v r. 1999 autoři Prof. Ing.Miloš Cimbálník a Doc. Dr. Ing. Leoš Mervart, PhD. Krom obvykle uváděných statí je novema současně předností této práce pozornost věnovaná organizaci geodézie u nás i ve světě, alepředevším partie společné jak geodézii, tak i astronomii, družicové a kosmické geodézii.

Několikeré vydání Vyšší geodézie od Prof. J. Böhma později doplněné Doc. Ing. L.Horou, CSc. a Ing. E. Kolenatým, CSc. Jde vlastně o kompendium z uvedeného oboru.

Josef Ryšavý: Vyšší geodesie vydané již v r. 1947 je již moderně pojatá učebnice,zahrnující i potřebné partie z vyrovnávacího počtu, geodézie dynamické, ale i četné partiepotřebné pro praktické realizace měření.

Josef Vykutil: Vyšší geodézie. Je důkladně propracovaná učebnice s patřičnou váhou nadetail. O metodách družicové a kosmické geodézie jen stručná zmínka. Ze starších děl české odborné literatury jmenujeme: Novotný Fr.: Geodesie vyšší, I. díl. Praha 1909. Láska V.: Vyšší geodesie, I. díl. Praha 1896. Toto posledně jmenované dílo obsahuječetné náměty k zamyšlení. Doporučuje se.

Uznání zasluhuje kniha Kapitoly z vyššej geodézie pana Prof. Fr. Kusky, která značněpředběhla vývoj v oblasti vyšší geodézie i kosmické geodézie. Vydaná byla již v r. 1983.

Zahraničních knih, příruček, nemluvě o skriptech či jiných učebních pomůckách, ježpojednávají o vyšší geodézii, je neobyčejně velké množství. Čtenář je najde např. ve výšejmenovaných českých textech. Nám je blízká kniha autorů P. Vaníček a E. Krakiwsky:Geodesy – the concepts. Ještě poznámka k názvu „Vyšší geodézie“. Tento název naráží u mnohých geodetů, ne-lina odpor, pak na nechuť jej užívat. Upřímně řečeno, nevíme, jak tuto nevraživost obejít.

iv

Především ono slůvko „Vyšší“ je nerado slyšeno. Sám jsem byl svědkem, kdy pan Prof. J.Ryšavý před přednáškou z „Nižší geodézie“ vystoupil na stupínek posluchárny v Husově ul. 5v Praze a prohlásil, že žádná „Nižší geodézie“neexistuje a že tento název je znehodnocenímgeodézie. Což se stalo, především mezi studenty, námětem různých víceméně neodbornýchúvah. Jak tedy dál.

- Zaměnit „Nižší geodézii“ za „Zeměměřičství“ jak je tomu obdobně v němčině a vangličtině a „Geodézii“ ponechat „Vyšší geodézii“ nebo např. - zaměnit slůvko „Vyšší“ za „Planetární“ či jiné obdobné? Ono slůvku „Planetární“ by bylojistě velmi přiléhavé, neboť k tomuto typu geodézie, resp. dézie, spěje.

Na závěr této krátké předmluvy mně dovolte, abych vzpomenul mnohých studentů,především z ČVUT v Praze a později ze ZČU v Plzni, s kterými jsme společně řešili námětydiplomních prací a kteří mně vždy jen „ve svatém nadšení“ pomáhali při náročnýchpraktických měřických realizacích. Děkuji a nezapomínám. A co se týče předloženého textu,nespatřil by světlo světa, kdyby se přepisu neujala slečna Ing. Magda Baranová, která náročnýtext zvládala vždy v krátké době a bez chyb, naopak i s věcnými připomínkami, kterénapomohly srozumitelnosti textu. Dále část skript sama sepsala a tak značně ulehčila prácipředevším v počátcích sepisování tohoto textu, paní Mgr. et Mgr. Monika Čechurová, PhD.Hluboce děkuji. Katedře matematiky ZČU v Plzni děkuji za finanční podporu.

Nebudu daleko od skutečnosti, když prohlásím, že internet, ve kterém budou uveřejněnynásledující řádky, nezaručuje zachování autorství v takové míře jako uveřejnění knižní. Protosi dovoluji upozornit všechny sběratele cizích myšlenek: pracujte tak, abyste se nemuselipozději za sebe stydět.

A tak Vám, vážené studentky a vážení studenti, připomínám ještě jednu moudrost méhomilovaného pana učitele: „V práci a snažení je naše spasení“. Držte se jí. Snad ještě platí.

V Jičíně dne 7. března 2006. Josef Kabeláč Pavel Novák

v

OBSAH

I. ČÁST – ZEMĚ A GEODÉZIE

1 Úvod ... 11.1 Historie měření velikosti a tvaru Země ... 1

1.1.1 První určení poloměru Zeměkoule ... 11.1.2 Středověké měření Země ... 11.1.3 Nové názory na tvar Země ... 11.1.4 První stupňová měření na našem území ... 2

1.2 Vztah geodézie a ostatních vědních oborů ... 31.2.1 Geodézie a ostatní přírodní vědy ... 31.2.2 Obory, v kterých je geodézie aplikována ... 4

1.3 Definice vyšší geodézie a její úkoly ... 41.4 Vztahy mezi dvěma elipsoidy ... 7

1.4.1 Besselův elipsoid ... 81.4.2 Elipsoid WGS84 ... 81.4.3 Odvození transformačních rovnic mezi dvěma souřadnicovými

systémy ... 8Literatura ... 10

2 Fyzikální charakteristiky Země ... 112.1 Země a její pohyb ... 11

Literatura ... 112.2 Tíhové pole Země ... 11

2.2.1 Vliv přitažlivé síly ... 112.2.2 Vliv odstředivé síly ... 122.2.3 Složky celkové síly ... 132.2.4 Tíhový potenciál a jeho vlastnosti ... 132.2.5 Geoid a jeho rovnice ... 15Literatura ... 15

2.3 Atmosféra ... 162.3.1 Hustota atmosféry ... 162.3.2 Změny v hustotě atmosféry ... 162.3.3 Rotace atmosféry ... 18Literatura ... 18

II. ČÁST – VYŠŠÍ GEODÉZIE MATEMATICKÁ

3 Referenční plochy a soustavy ... 213.1 Referenční koule a výpočty na referenční kouli ... 21

3.1.1 Sférické zeměpisné souřadnice [U; V] ... 213.1.2 Geodetická křivka. Geodetická křivost. Ortodroma a loxodroma na

kouli ... 21PŘÍKLAD 1 Obecně položená ortodroma ... 22PŘÍKLAD 2 Průběh ortodromy ... 23PŘÍKLAD 3 Průběh loxodromy ... 263.1.3 Exces ... 26

vi

3.1.4 Meridiánová konvergence ... 273.1.5 Řešení sférických trojúhelníků větami sférické trigonometrie ... 27

3.1.5.1 Řešení 1. základní geodetické úlohy (ve sférickýchzeměpisných souřadnicích) ... 27

PŘÍKLAD 4 1. základní geodetická úloha ... 283.1.5.2 Řešení 2. základní geodetické úlohy (ve sférických

zeměpisných souřadnicích) ... 29PŘÍKLAD 5 2. základní geodetická úloha ... 30

Literatura ... 313.2 Referenční elipsoid a výpočty na referenčním elipsoidu ... 31

3.2.1 Souřadnicové soustavy a jejich transformace ... 323.2.1.1 Vybrané transformace souřadnic ... 34PŘÍKLAD 6 Transformace B, L, H na X, Y, Z ... 37PŘÍKLAD 7 Transformace X, Y, Z na B, L, H ... 38

3.2.2 Křivky na rotačním elipsoidu ... 383.2.3 Poloměry křivosti na elipsoidu ... 433.2.4 Základní výpočty na rotačním elipsoidu ... 463.2.5 Řešení sféroidických trojúhelníků ... 47

3.2.5.1 Řešení přechodem na náhradní kouli ... 47Literatura ... 48

3.3 Vztahy mezi dvěma elipsoidy ... 483.3.1 Úvod ... 483.3.2 Odvození transformačních rovnic mezi dvěma souřadnicovými

soustavami dvou elipsoidů ... 493.3.3 Odvození zprostředkujících rovnic oprav pro určení transformačního

klíče ... 523.3.4 Základní geometrické úlohy mezi dvěma rotačními elipsoidy ... 54PŘÍKLAD 8 Výpočet (X, Y, Z)W a (α, β, γ)W ... 55PŘÍKLAD 9 Výpočet (X´, Y´, Z)B a (α´, β´, γ´)B ... 56PŘÍKLAD 10 Výpočet (B, L, H)B a (α, β, γ)B ... 56PŘÍKLAD 11 Výpočet (X, Y, Z)1B a (α, β, γ)1B... 57PŘÍKLAD 12 Výpočet (X´, Y´, Z)1 a (α´, β´, γ´)1... 58PŘÍKLAD 13 Výpočet odlehlosti elipsoidu Besselova a WGS84 ... 59Literatura ... 61

III. ČÁST – VYROVNÁVACÍ POČET 1 - MNČ4 Základní poznatky MNČ ... 63

4.1 Úvod ... 634.2 Vyrovnání metodou nejmenších čtverců ... 63

4.2.1 Výpočet odhadu přesnosti ... 654.2.2 Kontroly ... 66

4.3 Podmínková pozorování ... 674.3.1 Přímé řešení podmínkových pozorování ... 684.3.2 Postupné řešení podmínkových pozorování ... 69

4.4 Zprostředkující pozorování ... 694.5 Zprostředkující pozorování s neznámými parametry a podmínková

pozorování s neznámými parametry ... 72

vii

4.6 Zprostředkující pozorování s neznámými parametry a podmínkovápozorování s neznámými parametry převedením podmínkovýchpozorování na zprostředkující ... 73

4.7 Závěrem stručné, ale zásadní porovnání metody zprostředkujících ametody podmínkových pozorování, především s ohledem navyrovnání geodetických sítí ... 76

Literatura ... 76

IV. ČÁST – GEODETICKÉ SÍTĚ5 Geodetické sítě – 2D ... 77

5.1 Úvod ... 775.1.1 Váhy měřených veličin ... 78

5.2 Vyrovnání geodetických sítí v 2D prostoru pomocí podmínkovýchměření/pozorování ... 785.2.1 Vyrovnání triangulace ... 79PŘÍKLAD 14 Vyrovnání rovinné trojúhelníkové sítě podle podmínkových

pozorování ... 805.2.2 Vyrovnání trilaterace ... 845.2.3 Vyrovnání měření kombinovaných ... 84PŘÍKLAD 15 Vyrovnání rovinného trojúhelníka podle podmínkových měření/

pozorování, jsou-li měřeny úhly a délky stran – vyrovnáníměření kombinovaných ... 85

5.3 Vyrovnání geodetických sítí ve 2D prostoru pomocízprostředkujících pozorování ... 87

Literatura ... 89

6 Trojrozm ěrná geodézie – 3D ... 916.1 Teoretické základy 3D geodézie ... 91

6.1.1 Úvod ... 916.1.2 Teoretické základy trojrozměrné geodézie ... 92

6.1.2.1 Souřadnicové systémy a základní vztahy ... 936.1.2.2 Vyjádření diferenciálů neznámých veličin v obzorníkovém

systému ... 986.1.2.3 Zprostředkující rovnice oprav ... 1006.1.2.4 Přehled výpočetního postupu ... 102

6.1.3 Závěr ... 103Literatura ... 103

6.2 Podmínka komplanarity ... 104Literatura ... 105

6.3 Společné vyrovnání směrových a délkových veličin ... 105Literatura ... 108

6.4 Vyrovnání sítě v 3D prostoru bez závislosti na svislici .. 1086.4.1 Sestavení podmínkových rovnic ... 108Literatura ... 112

6.5 Vyrovnání prostorové sítě metodou družicové geodézie ... 1136.5.1 Stanovení základních vztahů pro určení směru strany prostorové

sítě ... 1136.5.2 Sestavení podmínkových rovnic pro variantu A ... 115

viii

6.5.3 Stanovení počtu podmínkových rovnic ... 1176.5.4 Zhodnocení a závěr ... 118Literatura ... 119

6.6 Vyrovnání prostorové trilaterační sítě objemovou podmínkou ... 1196.6.1 Úvod ... 1196.6.2 Tvar objemové podmínky a její úprava ... 1196.6.3 Číselná aplikace ... 1236.6.4 Závěr ... 123Literatura ... 124

6.7 Prostorové protínání z délek ... 1246.7.1 Úvod ... 1246.7.2 Teoretické řešení úlohy ... 124

6.7.2.1 Řešení pro nadbytečný počet n měření ... 126PŘÍKLAD 16 Prostorové protínání z délek s vyrovnáním... 1266.7.2.2 Řešení pro nutný počet n měření ... 128PŘÍKLAD 17 Prostorové protínání z délek bez vyrovnání ... 129

Literatura ... 131

7 Triangulace na vysoké cíle – síť 0-tého řádu – hvězdná triangulace ... 133

7.1 Úvodem několik slov na vysvětlenou ... 1337.2 Dvě základní souřadnicové soustavy sférické astronomie ... 133

7.2.1 Obzorníková souřadnicová soustava ... 1347.2.2 Rovníkové souřadnicové soustavy ... 135

7.3 Základní geometrické úlohy družicové geodézie (DG) ... 1367.4 Teorie Väisälä-ho metody hvězdné triangulace – síť 0-tého

řádu ... 1397.4.1 Část 1 – Určení směru strany sítě ... 1397.4.2 Část 2 – Vyrovnání celé sítě ... 140

7.5 Zobecnění Väisälä-ho metody hvězdné triangulace ... 1427.6 Měření na velké vzdálenosti před „družicovou érou“ ... 1447.7 Triangulace na vysoké cíle – síť 0-tého řádu ... 146

7.7.1 Použití balónů k budování finské sítě 0-tého řádu ... 1467.7.2 Přenos směru a délky pomocí letadla ... 146

Literatura ... 149

8 Družicové sítě ... 1538.1 Geometrické úlohy družicové geodézie (DG) ... 153

Literatura ... 1548.2 Družicové sítě z počátku „družicové éry“ ... 154

8.2.1 Družicová síť Smithsoniánské astrofyzikální observatoře (SAO) ... 1558.2.1.1 Vyrovnání bloku Evropa – Asie ... 1568.2.1.2 Vyrovnání bloku Atlantik – Amerika – Pacifik ... 158

8.2.2 Vyrovnání trojúhelníku východoevropské sítě ... 159Literatura ... 161

8.3 Celosvětová geometrická družicová síť BC-4 ... 161Literatura ... 162

ix

8.4 Propojení pěti geodetických referenčních soustav pomocícelosvětové geometrické družicové sítě BC-4 ... 1638.4.1 Směrové veličiny ... 1638.4.2 Délkové veličiny ... 1638.4.3 Vyrovnání světové sítě BC-4 jako celku ... 164

8.4.3.1 Úplné základnové podmínkové rovnice ... 1648.4.3.2 Rozšířené základnové podmínkové rovnice ... 1658.4.3.3 Výsledky vyrovnání družicové světové sítě BC-4 ... 166

8.4.4 Určení vzájemných posunutí středů referenčních elipsoidů, jejichstočení vzhledem k astronomickému systému a délkovýchměřítek ... 1668.4.4.1 Určení pravoúhlých souřadnic ... 1668.4.4.2 Sestavení zprostředkujících rovnic oprav ... 1678.4.4.3 Výsledné hodnoty posunutí, stočení a délkových měřítek

referenčních elipsoidů ... 168Literatura ... 169

8.5 Závěr ... 1698.5.1 Metody a měřené veličiny – jejich využití v geodézii ... 170Literatura ... 172

1

I. část Země a geodézie

1 Úvod

1.1 Historie měření velikosti a tvaru Země

V dobách starých národů jako byli Babyloňané nebo Egypťané, byl tvar Země všeobecněpovažován za jakousi desku, která se pohybuje na vodní hladině. Mezi prvními, kdo vyslovil teoriio tom, že Země má kulový tvar byl zřejmě Pythagoras.

1.1.1 První určení poloměru Zeměkoule

První důkaz o kulovitosti Země však podal až Erathostenes (276-195 př.n.l.). Ten zvolil dvě místa,ležící přibližně na stejném poledníku a jejich vzdálenost odhadl podle cestovních dní kupeckýchkaravan. Rozdíl zeměpisných šířek určil podle sklonu slunečních paprsků v jednotlivých místechv okamžiku polední kulminace. Měření prováděl v době letního slunovratu. Pro poloměrZeměkoule získal hodnotu R = 6 844 km; chyba byla 7,3%. Uvážíme-li podmínky při určenítohoto poloměru, musíme obdivovat Eratosthenovy znalosti a jeho měřičské umění.

Stejným způsobem jako Eratosthenes určil velikost Země asi o 150let později řecký filozofPoseidonios (135-51 př.n.l.). Pozoroval, že v určité době je vidět hvězdu Canopus na ostrověRhodos přímo na mořském horizontu, kdežto v Alexandrii je asi 7o30´ nad obzorem. Vzdálenostobou míst určil odhadem podle plavby lodí. Z jeho výpočtů vyšel poloměr Zeměkoule R = 6 570km. Tento velmi dobrý výsledek byl náhodný, neboť rozdíl zeměpisných šířek Alexandria-Rhodosnení 7o30´, ale jen 5o14´ a i vzdálenost mezi oběma místy nebyla určena přesně. Není známo, jestliPoseidonos měřil obvod Země ještě jindy, ale řecký geograf Strabo uvádí, že Poseidonos určilpoloměr Země rovný 5 300 km, tedy o celých 1 000 km menší než ve je skutečnosti. Je zajímavé,že tento rozměr použil asi v r. 130 n.l. astronom a geograf Ptolemaios pro konstrukci mapy světa.Dále od Ptolemaia převzali tuto nízkou hodnotu zemského poloměru středověcí mořeplavci, např.Kryštof Kolumbus.

1.1.2 Středověké měření Země

Kalif Al-Manun vydal v r. 827 rozkaz k určení poloměru Země. Arabští učenci tehdy zaměřilizápadně od Bagdádu délku oblouku odpovídající 2o na zemském poledníku. Zeměpisné šířkykoncových bodů určili astronomicky. Výsledek byl pouze o 4% větší než hodnota správná.

Uplynulo bezmála 1000 let od Erathosténových měření, než se začala prosazovat teorie otom, že Země nemá kulovitý tvar a začala epocha Země jako elipsoidu. V tomto dlouhém obdobínejsou žádné zprávy o určování poloměru Země. Výsledky antických učenců byly zničeny,křesťanství nepřálo rozvoji přírodních věd a po pádu Říše římské nastal v Evropě obrovský úpadekpřírodních věd. Dokonce v této době znovu ožil názor, že Země je plochý kotouč, který pluje navodě. Není bez zajímavosti, že Kryštof Kolumbus musel 2 000 let po Pythagorovi těžce prosazovatnázor o kulovém tvaru Země.

1.1.3 Nové názory na tvar Země

Závislost mezi tíží a tvarem Země prvně precizoval Clairaut svým teorémem. a po praktické

2

stránce vystupují v „elipsoidické éře“ geodézie vedle astronomicko-geodetických metod i měřenítíže a Snelliem v r. 1615 zavedená měření triangulační. Triangulační metoda dovolila přesnéurčení poledníkových či rovnoběžkových oblouků. Stupňová měření metodu triangulace pozdějivyužila a rozvinula. Kopernikovy, Keplerovy, Galileovy a především Newtonovy a Huygensovy práce bylypříčinou toho, že se na tvar Země začalo pohlížet jako na rotační elipsoid. K tomuto názoru sedošlo v důsledku nových teoretických znalostí a přesných triangulačních měření. K potvrzenítohoto názoru přispěly zkušenosti astronoma Richera, který byl v r.1672 vyslán do Cayenne v JižníAmerice, aby zaměřil paralaxu planety Mars. Richer zjistil, že jeho kyvadlové hodiny, které šlyv Paříži správně, se v Cayenne zpožďují o 2,5 minuty za den. K obnovení jejich správného choduproto musel zkrátit kyvadlo téměř o 3 mm. Toto zkrácení je ve shodě se zmenšením zemské tížepro místa bližší rovníku.

Isaac Newton, který znal již od roku 1665 všeobecný gravitační zákon a Christian Huygens(autor teorie fyzického kyvadla) vysvětlovali zpožďování Richerových kyvadlových hodin pojejich přemístění z Paříže do místa na rovníku jako nutný důsledek zploštění Země na pólech –místo na rovníku je vzdálenější od středu Země než na 50o zeměpisné šířky (Paříž) a je zde protonejen menší gravitační síla, ale i větší síla odstředivá, a tím je i doba kyvu stejného kyvadla větší.

Teoretické úvahy a výpočty většiny slavných matematiků a fyziků (Clairaut, Bouguer aj.)potvrzovaly Newtonův názor o zploštění Země na pólech. Přesto se ale dál vedly učené spory.Když v roce 1725 zahájila svou vědeckou činnost petrohradská Akademie věd, obhajoval tehdyjejí nejstarší a nejváženější člen J.Herman Newtonovu teorii o sféroidickém tvaru Země, s kratšíosou procházející póly. Bouguer v roce 1733 napsal, že se mu zdá, že jsou geometrie a fyzikav rozporu a pochybnosti, že se mohou odstranit pouze porovnáním dvou oblouků o délce 1o ,z nichž jeden bude zaměřen blízko polárního kruhu a druhý blízko rovníku. K ukončeníneplodných sporů o zploštění Země rozhodla v r.1735 francouzská Akademie věd a vypravila dvěexpedice, aby vykonaly stupňová měření. Jedno měření se provádělo v Laponsku (blízkoseverního polárního kruhu) a druhé v Peru na rovníku. Obě slavné expedice tak navždy vešly dodějin geodézie. Bližší o těchto pracech a, z hlediska geodézie, revoluční době najde čtenář v pracech [1],[2], [3], [5], [6], [7] a [8].

1.1.4 První stupňová měření na našem území

Stupňová měření a přesnější mapování se považovaly za důkaz vědecké, technické a hospodářskévyspělosti jednotlivých států. Proto jednotliví panovníci podporovali geodetické práce na svýchúzemích. V druhé polovině 18. století byla vykonána celá řada stupňových měření nejen v Evropě,ale i v Americe, Africe a Asii. Často však bylo měření překotné a s malou přesností a výsledkyproto byly málo spolehlivé.

V bývalém Rakousku-Uhersku se rovněž uvažovalo o vyhotovení podrobnějších map.Jedním z geodetických podkladů pro toto mapování mělo být stanovení délky 1o na vídeňskémpoledníku. Touto prací pověřila císařovna Marie Terezie ředitele vídeňské hvězdárny JosefaLiesganiga, který zvolil řetězec trojúhelníků mezi Brnem, Vídní, Štýrským Hradcem aVaraždínem. Počátečním bodem řetězce byl střed věže kaple sv. Kříže na území Soběšic, asi 5kmseverně od Brna. Řetězec trojúhelníků vedl přes vídeňskou hvězdárnu a končil na věži kostela veVaraždíně. Astronomická a geodetická měření vykonával Liesganig v letech 1759-1768. Délkyměřil 6 sáhů (asi 11,4 m) dlouhými dřevěnými latěmi a úhly v trojúhelnících pomocí kvadrantu opoloměru 79 cm, s jedním pevným a jedním pohyblivým dalekohledem, viz obr. 1.1.1.

3

Obr. 1.1.1 Kvadrant o poloměru 79 cm s jedním pevným a jedním pohyblivým dalekohledem

Rozdíl zeměpisných šířek Soběšic a Varaždína určil Liesganig 2o56´45,85´´. Změřil takéazimut potřebný k promítnutí řetězce na poledník procházející věží chrámu sv. Štěpána ve Vídni.Výsledkem těchto prací bylo určení délky 1o na poledníku u Vídně hodnotou 58664,2 vídeňskýchsáhů (111 255,716 m). Tyto výsledky však byly krátce po uveřejnění ostře kritizovány. Liesganigbyl obviněn z toho, že upravoval výsledky měření tak, aby dosáhl lepšího souhlasu při výpočtech.Z pozdějších triangulací skutečně vycházejí větší délky stran. Např. Ing. Šimek vypočítal z novýchměření délku strany Soběšice – Děvín 42 162,91 m. Rozdíl od Liesgangova měření je 189,93 m,což je téměř přesně 100 vídeňských sáhů, což spíše ukazuje na hrubou chybu ve výpočtech, než naúpravy výsledků měření.

1.2 Vztah geodézie a ostatních vědních oborů

V této kapitole se budeme snažit stručně vyjádřit sepjatost geodézie s mnoha obdobnými vědnímiobory. Toto třídění je jistě subjektivní a jsme si jisti, jak je zvykem v povaze lidí, že nebudouněkteří čtenáři souhlasit s předloženými názory. Nejdříve se pokusíme vyjmenovat obory, kteréjsou ve vzájemném vztahu s geodézií a poté obory, ve kterých je geodézie aplikována.

1.2.1 Geodézie a ostatní přírodní vědy

Astronomie. Určení polohy bodů geodetických sítí na povrchu Země změřením astronomickýchzeměpisných šířek a délek pomocí hvězd, jakož i určení astronomických azimutů pro zorientovánígeodetických sítí. Zjišťování velikosti a tvaru Země. Konzervace času. Zjišťování tíhového

4

zrychlení. Určení průběhu hladinových ploch, geoidu a kvazigeoidu. Využití umělých družic Zeměk vyřešení základních vědeckých úloh geodézie. Studium precese a nutace. Aplikace teorierelativity. Studium poruch v drahách družic.Geofyzika. Měření tíhového zrychlení a jeho rozložení na povrchu i uvnitř Země. Studium nitraZemě a jeho změn. Pohyby litosférických desek, horotvorné procesy. Mezi obory geofyzikyrovněž patří seizmologie, atmosféra, ionosféra i geotermika, kterým geodézie napomáhá přímýmměřením i studiem poruch a jejich příčin. Geologie. Moderními způsoby měření kontroluje geodézie číselně teorie geologie, např. pohybykontinentů. Výsledky prostorových metod napomáhají k objasnění vzniku a vývoje nejen Země, alei Měsíce a planet. Zasahuje i do geomorfologie, studia půdy ad.Meteorologie. Těkdy též fyzika atmosféry studuje stav a změny atmosféry, ionosféry a troposféry.V minulosti šlo především o podchycení vlivu atmosféry na astronomicko-geodetická měření, tj.vliv refrakce. V současnosti jde o podchycení vlivu při měření na družice.

1.2.2 Obory, v kterých je geodézie aplikována

Urbanistika. V městském prostředí s rychlým rozvojem je důležité, aby byl dochován azdokumentován/zmapován současný stav pro budoucí generace.Projektové inženýrství. Při budování velkých staveb jako jsou např. hráze, mosty nebo velkétovárny je v mnoha případech nezbytně nutné vytipovat předem vhodné lokality pro tyto stavby.Pro tato strategická místa je často nezbytně nutné znát pohyby země a pohyby vodních hladinpřed, během a po stavbě. V případě staveb hrází, hydrodynamických tunelů, zavlažovacíchprojektů a pod. je třeba znát přesný tvar ekvipotenciálních ploch spádových oblastí.Vytyčování hranic. Znalost průběhu hranic jak v mezinárodním tak i ve vnitrostátním měřítku jev dnešní době velice důležité. V nedávné době se začal klást důraz na přesnou znalost hranic takév takových částí světa, jakou jsou polární oblasti a Severní moře. Umístění a vytyčení těchtohranic je vhodné zejména z ekonomického hlediska.Ekologie. Z nedávné minulosti je patrné, že je nezbytné studovat jak lidská činnost ovlivňuježivotní prostředí. Příkladem mohou být pohyby na povrchu Země, které jsou způsobenypodpovrchovou těžbou nerostných surovin nebo podpovrchovou likvidací různých odpadů. Zde jegeodézie nezbytná. Současnost tuto naléhavost jen podporuje.Zeměpis. Veškeré polohové informace, které se využívají v geografii, vycházejí z geodézie.Přestože geografové využívají méně přesná data, jen geodézie jim může poskytnou tyto podklady.Planetologie. I v planetologii se využívá mnohých geodetických metod, příkladem jsouprostorové techniky. Pomocí nich můžeme sledovat pohyby těles sluneční soustavy a tím i jejichporuchy.Hydrografie. Z různých zdrojů je patrno, že někteří odborníci hydrografii slučují s oceánografií ajiní ji přikládají zvláštní význam. Je možné na hydrografii pohlížet jako na zvláštní (námořní)větev mapování, kdy geodézii využijeme při určení přesné polohu na moři nebo při zjišťováníhloubky sondování pod mořskou hladinou.

1.3 Definice vyšší geodézie a její úkoly

Vyšší geodézie vznikla již ve starověku, neboť bylo zcela přirozené, že se lidé zajímali o velikost atvar Země, nositelky života. Tenkrát ovšem nedosáhla takové úrovně jako matematika, astronomie

5

nebo geografie. Její velký rozvoj začal teprve v 17. století, kdy se stala skutečnou vědou.Základním vědeckým úkolem vyšší geodézie je určení rozměrů a tvaru Země, jejího

vnějšího tíhového pole a jejich změn s časem. Tato oblast geodetických prací se označuje,,teoretická” nebo ,,základní” též „fyzikální“ geodézie a patří do skupiny věd o Zemi (geověd),které zkoumají naší planetu v celku i v částech.

Da1ším, velmi dů1ežitým vědeckotechnickým úkolem vyšší geodézie je vybudovat naúzemí jednotlivých států, skupin států nebo na celé Zemi základní geodetické sítě (sítě I. případně i0. řádu) pro řešení technických úkolů (vyměřování a mapování).

Je samozřejmé, že oba hlavní úkoly vyšší geodézie spolu úzce souvisejí a navzájem seprolínají.

Při formování tvaru zemského tělesa působí dvě síly: přitaž1ivá síla F podle obecnéhogravitačního zákona a odstředivá síla P jako důsledek zemské rotace. Výslednicí obou sil je sílazemské tíže G, viz obr. 1.3.1. Prostor, ve kterém se projevuje působeni zemské tíže, je tíhové poleZemě.

Obr. 1.3.1 Působení přitažlivé F a odstředivé síly P

Uzavřené plochy, které jsou v každém svém bodě kolmé na směr tíže, jsou plochy hladinové.Jejich průsečnice s fyzickým zemským povrchem si můžeme představit jako vrstevnice natopografických mapách.

Pro geodézii a geofyziku je nejdůležitější plocha, která prochází nulovým výškovýmbodem. Toto těleso se obecně nazývá geoid.

V důsledku toho, že v zemské kůře je hmota o různé hustotě rozložena nepravidelně, jetaké nepravidelné skutečné tíhové pole Země a proto geoid jako takový je těleso velmi složité.Geoid si můžeme představit jako plochu, která je velmi blízká klidným hladinám oceánů a moří,avšak ovšem pokračuje pod kontinenty.

V roce 1945 přišel ruský geofyzik a geodet M. S. Moloděnskij s novou teorií, která uvažujegeodetické, astronomické a gravimetrické veličiny, naměřené jen na fyzickém zemském povrchu.Předmětem určení není geoid, ale plocha obecná, která není plochou hladinovou. Tato plocha bylanazvána kvazigeoid. Jednotlivé body této plochy dostaneme, odměříme-li od bodů na fyzickémzemském povrchu příslušné normální výšky (měříme po tížnicích), které se určují jenz nivelačních a gravimetrických měření. Základním úkolem vyšší geodézie je tedy rovněž, kromě

6

velikosti Země, určení tvaru Země a jejího vnějšího tíhového pole. Toto řešení nepotřebuje žádnéhypotézy a jeho přesnost je omezena jen přesností měřených veličin.

Kvazigeoid je blízký geoidu. Odlehlost obou ploch se liší maximálně o 2m ve vysokýchhorách a v oblasti oceánů obě plochy splývají. Jelikož však geoid a kvazigeoid mají velice složitýtvar, jsou tyto plochy nevhodné k matematickým zpracováním výsledků jednotlivých měření.K matematickým účelům se proto volí jednoduše a přesně definovatelná plocha rotačníhoelipsoidu o vhodných rozměrech (zemský elipsoid).

Elipsoid, jehož parametry nejlépe vystihují geoid, respektive kvazigeoid jako celek, a kterýmá střed So totožný s hmotným středem Země Sz a malou osu totožnou s osou rotace Země senazývá obecný elipsoid. Zemský elipsoid, který svými parametry aproximuje geoid nebokvazigeoid jen v určité oblasti Země, nemá střed Sr totožný s hmotným středem Země a malou osumá jen rovnoběžnou s osou rotace Země se nazývá referenční elipsoid, viz obr. 1.3.2 a bližší vizkap. 3.

Obr. 1.3.2 Rozdíl mezi obecným zemským a referenčním elipsoidem

Referenční elipsoidy, které se používají pro geodetické, mapovací a kartografické práce v různýchstátech se proto liší nejen svými parametry, ale také svou polohou v 3D prostoru a orientací vůčigeoidu, respektive kvazigeoidu.

Pro přesný převod výsledků geodetických, astronomických a gravimetrických měřeníz fyzického zemského povrchu na referenční elipsoid je nutné znát výšky bodů zemského povrchunad tímto elipsoidem. Pro bod A je situace znázorněna na obr. 1.3.3.A0 je průmět bodu A po normále n na referenční elipsoid E; t je tížnice/svislice, procházejícíbodem A; ϑ je úhel mezi tížnicí/svislicí a normálou (tížnicová odchylka); HN je normální výškabodu A nad kvazigeoidem Q; ζ je výška kvazigeoidu nad referenčním elipsoidem. Výška H bodu Anad elipsoidem je tedy zřejmě dána součtem

H = HN + ζ

7

Obr. 1.3.3 Určení výšky H bodu A zemského povrchu nad elipsoidem

Jak je tedy patrné, k přesnému zjištění elipsoidické výšky H bodu A potřebujeme znát nejenvýšku HN z nivelace nebo trigonometrických měření, ale také výšku ζ kvazigeoidu nadelipsoidem. Takové řešení je tedy možné jen v moderních astronomicko-geodetických sítích a přivyužití gravimetrických údajů.

Řešení hlavních úkolů vyšší geodézie se opírá o síť pevných bodů, účelně rozložených nafyzickém zemském povrchu. Měřické a výpočetní práce musí mít nejvyšší dosažitelnou přesnost.Je proto důležité pracovat s dokonalými přístroji, volit vhodné měřické metody, výsledkyanalyzovat a zpracovávat vhodnými matematickými metodami.

1.4 Vztahy mezi dvěma elipsoidy

Podle vazby souřadnicového systému elipsoidu na zemské těleso rozeznáváme 2 druhy rotačníchelipsoidů.

Elipsoid referenční nemá střed totožný s těžištěm Země. Vedlejší poloosa nemusí býtrovnoběžná s osou zemské rotace. Referenční elipsoid aproximuje těleso (geoid) jen v určitéoblasti. V 18.-20. století byla odvozena řada elipsoidů, které se lišily kromě rozměrů i svoupolohou a orientací vzhledem ke geoidu. Pro geodetické výpočty se užívaly elipsoidy, kteréodvodil např. Bessel, Hayford, Clark, Krasovskij aj.

Elipsoid obecný (absolutní) vystihuje Zemi jako celek. Musí splňovat následující čtyřipodmínky.

1. Jeho geometrický střed je totožný s těžištěm Země.2. Jeho vedlejší poloosa splývá s osou zemské rotace.3. Součet čtverců převýšení geoidu od tohoto obecného elipsoidu je minimální.4. Rotační rychlost je stejná jako rotační rychlost Země.

Tento elipsoid se nejlépe přimyká k povrchu celé Země. Příkladem je elipsoid systémuWGS84 (World Geodetic Systém 1984).

8

Pro řešení řady aktuálních výpočtů v geodézii je nezbytné znát vztahy pro souřadnicovétransformace mezi oběma typy elipsoidů. Tak se určí nejen vzájemná poloha těchto elipsoidů, alezíská se i možnost převedení souřadnic z jednoho elipsoidu na druhý a naopak. Tím, že se určípřevodní vztahy mezi různými referenčními elipsoidy na straně jedné a obecným elipsoidem nastraně druhé, získají se i převodní vztahy mezi referenčními elipsoidy.

1.4.1 Besselův elipsoid

Besselův elipsoid byl odvozen v roce 1841 tzv. obloukovou metodou. Bessel využil výsledkůměření deseti různých poledníkových oblouků a parametry elipsoidu vypočítal vyrovnáním podleMNČ. Oblouková metoda je ryze geometrická, při jejím užití se neuvažuje vliv tížnicovýchodchylek. Nezohledněné větší tížnicové odchylky v koncových bodech měřených poledníkovýchoblouků negativně ovlivnily přesnost výsledků. Parametry Besselova elipsoidu jsou:

hlavní poloosa a = 6 377 397,155 00 mvedlejší poloosa b = 6 356 078,963 25 m

Tento elipsoid je vhodný zejména v oblastech střední Evropy, byl použit pro geodetické akartografické výpočty na našem území (např. vojenská triangulace 1862-1898, po r.1918 systémJTSK).

1.4.2 Elipsoid WGS84

WGS84 je globální geocentrický geodetický systém, který užívá armáda USA. Parametryelipsoidu WGS84 jsou:

primární: hlavní poloosa a = 6 378 137 m

zploštění i = 1 : 298,257223563 geocentrická gravitační konstanta GM = 398 600,4418 km3. s –2

úhlová rychlost rotace Země ω = 7,292115.10-5 rad.s-1

sekundární: definují model struktury zemského tíhového pole pomocí geopotenciálních harmonických(Stokesových) koeficientů.

Počátek souřadnicové soustavy WGS84 je v těžišti Země, a to s chybou asi 1 dm. OsaZ směřuje ke konvenčnímu terestrickému pólu. Osa X je průsečnice základního poledníku a rovinyrovníku, vztažené ke konvenčnímu terestrickému pólu. Osa Y doplňuje systém na pravoúhlýpravotočivý systém (směr kladné části osy Y je 90o východně vzhledem k ose X). V systémuWGS84 pracuje i globální polohy systém GPS.

1.4.3 Odvození transformačních rovnic mezi dvěma souřadnicovými systémy

Podle výše uvedeného obrázku uvažujme souřadnicový systém S[X,Y,Z]. Tento systém posunemetak, že počátek přejde z C do 0´, čímž vznikne rovnoběžně posunutý systém S´[X´,Y´,Z ]. Posun jedán vektorem C0´ = [∆X,∆Y,∆Z], označme jej ∆S. Poté dojde k natočení do systému s[x,y,z] vždy

v kladném smyslu kolem osy X´o +εx, kolem osy Y o +εy a kolem osy Z´ o +εz. Počátek zůstávánezměněn o = 0 . Žádný z těchto dvou systémů s a S neupřednostňujeme. Pro odvozenítransformačních rovnic budeme nyní převádět systém s do systému S´ a ten do S. Transformaceprobíhá ve třech krocích:

9

Obr. 1.4.1

1) Rotace (otočení)

Maticový zápis otočení je S´= Rs, kde matice rotace R takto definovaného modelu je

=

)´,cos()´,cos()´,cos(

)´,cos()´,cos()´,cos(

)´,cos()´,cos()´,cos(

zZyZxZ

zYyYxY

zXyXxX

R

Kosiny úhlů, které spolu svírají jednotlivé souřadnicové osy, lze vyjádřit pomocí rotačníchparametrů. Podle výše uvedeného obr. 1.4.1 je

cos(X´,y) = cos(90o+εz) = -sin εz = - εz

cos(X´,z) = cos(90o-εz) = sin εy = εy

cos(Y´,x) = cos(90o-εz) = sin εz = εz

cos(Y´,z) = cos(90o+εx) = -sin εx = -εx

cos(Z´,x) = cos(90o+εy) = -sin εy = -εy

cos(Z´,y) = cos(90o-εx) = sin εx = εx

cos(X´,x) = cos(Y´,y) = cos(Z´,z) = 1a matice rotace bude ve tvaru

−−

−=

1

1

1

xy

xz

yz

R

εεεε

εε

10

2) Změna měřítka

Systém s má jiný rozměr než systém S, resp. S´. Měřítkový koeficient k vyjadřuje změnudélkového měřítka při přechodu mezi oběma systémy.Tedy

S´ = (1 + k) Rs.

3) Translace (posunutí)

Souřadnicové systémy S[X,Z,Y] a S [X´,Y´,Z] jsou pouze rovnoběžně posunuty. Lze tedypsát S = S´+ ∆∆∆∆S,kde ∆∆∆∆S = [∆X,∆Y,∆Z]. Takže konečný tvar rovnice je

−−

−++

∆∆∆

=

z

y

x

k

Z

Y

X

Z

Y

X

xy

xz

yz

1

1

1

)1(

εεεε

εε

Poznámka. Úvahy i údaje uvedené v této kap. 1 nejsou jistě úplné co do rozsahu i co dohloubky. Pokud se čtenář s nimi nespokojí najde další v [7]. Při sepisování této kapitoly byločerpáno z prací [7] a [4].

Další a hlubší rozpracovaní této tématiky je v kap. 3.3.

LITERATURA:

[1] Böhm J., Hora L., Kolenatý E.: Vyšší geodézie – díl I. Vydavatelství ČVUT, Praha 1981.[2] Grušinskij N. P.: Teorija figury Zemli. Gosud. izdat. fiziko-matem. liter., Moskva 1963.[3] Karský G.: Sborník výzkumných prací VÚGTK, sv.16, Praha 1986.[4] Lahoda P.: Diplomová práce. ZČU, Plzeň 2006.[5] Mueller I. I.: Spherical and Practical Astronomy as Applied to Geodesy. Frederick Ungar

Publishing Co., New York 1969.[6] Ryšavý J.: Vyšší geodesie. Nákladem České matice technické, Praha 1947.[7] Vaníček P., Krakiwsky E.: GEODESY – the concepts. North-Holland, New York 1986.[8] Vykutil J.: Vyšší geodézie. Vydavatelství Kartografie, Praha 1982.

11

2 Fyzikální charakteristiky Země

2.1 Země a její pohyb

Pohyby Země jsou především podmíněny různým především gravitačním vlivům. Proto ipohyby Země jsou různorodé. Možno je dělit na pravidelné a nepravidelné. Pravidelnépohyby lze podchytit, aspoň v prvním přiblížení, pouze Keplerovými pohybovými zákony.Nepravidelné pohyby Země jsou poruchy způsobené třetími tělesy či dalšími negravitačnímivlivy.Pravidelné pohyby:

- pohyb Země společný s pohybem naší galaxie vůči ostatním galaxiím- pohyb Země vůči těžišti naší galaxie- pohyb Země kolem Slunce- pohyb Země kolem těžiště soustavy Země-Měsíc- rotační pohyb Země kolem vlastní osy

Nepravidelné pohyby – poruchy:- gravitační vlivy Měsíce, planet a dalších těles sluneční soustavy- negravitační: záření, odpor hmotných částic v prostoru dráhy Země, relativistické ad.

O těchto vlivech pojednává nebeská mechanika a astrodynamika, viz např. [1] a [2].

LITERATURA:

[1] Andrle P.: Základy nebeské mechaniky. ACADEMIA, Praha 1971[2] Burša M., Karský G., Kostelecký J.: Dynamika omělých deružic v tíhovém poli Země. ACADEMIA, Praha 1993.

2.2 Tíhové pole Země

Jak ukazuje obr. 1.3.1, je každý bod na povrchu Země pod vlivem dvou základních sil,přitažlivé F a odstředivé P*). Výslednicí je pak tíže G. Jelikož jde o povrch Země, který jemožno nahradit plochou vztažného elipsoidu, pak velikost průvodiče SA se zmenšuje směremk pólům a přitažlivá síla F se tedy k pólům zvětšuje. Síla P se naopak k pólům zmenšuje. Ajelikož působí protichůdně vůči síle F, pak obě síly způsobuji zvětšování tíže směrem kpólům.

1) Tíže směrem k pólům stoupá. Minimální je na rovníku a maximální na pólech.

2.2.1 Vliv p řitažlivé sílyPodle obr. 2.2.1 označme diferenciál hmoty Země dm jeho souřadnice ξ, η, ζ a souřadnicebodu m jako x, y, z, přičemž bod m leží vně Země a je pevně spojen se Zemí. V tomto buděo hmotnosti m budeme vyšetřovat sílu přitažlivou i odstředivou, přičemž jeho hmotnost m = 1.Pro vzdálenost r mezi body dm a m platí _______________________________*) Krom těchto sil však působí další silové vlivy, které jsou však mnohem řádově menší než tyto dvě základní, aje tudíž možno je v dalším textu zanedbat. Jsou to např. slapové účinky Měsíce a Slunce, vlivy atmosféry vevyšších polohách,vliv vodních hmot, volná nutace a další.

12

( ) ( ) ( )2222 ζηξ −+−+−= zyxr ,

takže ( )

3

1

r

x

xr −=

∂

∂ ξ a podobně pro y a z.

X

Y

Z

dm

(x y z)m=1

r

Y

X

Z

(x h z)

Obr. 2.2.1

Diferenciál přitažlivé síly, která působí na hmotnost m = 1, je

2

1dd

r

mF

⋅= κ

a celková přitažlivá síla Země, která působí na hmotnost m = 1, je

∫⊕

=2

d

r

mF κ

kde se integrace vztahuje na Zemi jako celek. Její složky v osách x, y, z jsou

mr

zFm

r

yFm

r

xF zyx d , d , d

333 ∫∫∫⊕⊕⊕

−=−=−= ζκηκξκ , (2.2.1)

kde κ je Newtonova-Cavendishova konstanta.

2.2.2 Vliv odstředivé síly

Podle obr. 2.2.1 budeme opět vyšetřovat vliv odstředivé síly v bodě m, tedy sílu P. Platí, že

ρω 2mP = ,

kde, v našem případě je m = 1, ω je úhlová rychlost a ρ vzdálenost bodu m od osy rotace. Pak

ρω 2=P

13

a složky v osách x, y, z jsou

0,, 22 ==== zyx PyPxx

PP ωωρ (2.2.2)

2.2.3 Složky celkové síly

Vektorovým součtem dvou předchozích sil dostaneme sílu G, kterou nazýváme tíže. Působí-lina jednotku hmoty, m = 1, hovoříme o intenzitě (síly) tíže. Její složky získáme sečtenímsložek obou sil, tj. rov. (2.2.1) a rov. (2.2.2). Dostaneme

∫∫∫⊕⊕⊕

−=+−=+−= mr

zgym

r

ygxm

r

xg zyx d ,d ,d

32

32

3

ζκωηκωξκ (2.2.3)

a celková intenzita síly tíže je

( ) 21

222zyx gggg ++=

v bodě m způsobená celou Zemí, g je číselně shodné se zrychlením, leč jeho rozměr je m·s-2.Intenzita síly tíže má rozměr kg·m·s-2. Složky v rov. (2.2.3) je možno též vyjádřit jakoprůměty intenzity síly tíže g do souřadnicových os. Jsou

ϕλϕλϕ sin,sincos,coscos gggggg zyx === . (2.2.4)

2.2.4 Tíhový potenciál a jeho vlastnosti

Zavedeme výraz

( )222

2

1dyx

r

mW ++−= ∫

⊕

ωκ . (2.2.5)

Pak platí, že xWgx ∂

∂= a podobně pro y a z. Přesvědčme se derivováním rov. (2.2.5) podle

x. Dostáváme, že

,dd1

22

1d

1

23

22

22

xmr

xxm

r

x

r

xmx

r

rx

W

ωξκωξκ

ωκ

+−=+−−=

+

∂∂

−−=

∂∂

∫∫∫

⊕⊕

⊕

což se shoduje s první rov. (2.2.3). Obdobné platí pro derivace podle y a z. Pro tíhovýpotenciál (2.2.5) tedy platí.

2) Derivací tíhového potenciálu W, rov. (2.2.5), podle určeného směru, dostávámesílu tíže v tomto směru*),

3) potenciál W je skalár,4) uvedené vtahy platí i pro samostatný potenciál přitažlivé síly, viz rov. (2.2.1), i pro

samostatný potenciál síly odstředivé, viz rov. (2.2.2).

*) Zde je toto dokázáno jen pro směry souřadnicových os x, y, z.

14

V rov. (2.2.5) je prvý člen roven gravitačnímu potenciálu U a druhý člen rotačnímupotenciálu V. Pak tedy:

5) celkový potenciál W, tj. tíhový potenciál, jest roven součtu gravitačního potenciáluU a odstředivého potenciálu V , takže

VUW += , (2.2.6)

6) hladinovou plochu definujme jako plochu, která má v každém svém bodě stejnouhodnotu tíhového potenciálu

konstWW == 0 . (2.2.7)

Potom přírůstek dW, postupujeme-li po povrchu hladinové plochy, je nulový. Hladinováplocha je proto plochou ekvipotenciální. Tudíž dW = 0.Podle rov. (2.2.6) je rovněž

0dd =+ VU (2.2.8)

dU a dV považujme za totální diferenciály funkce U = U (x, y, z) a funkce V = V (x, y, z). Jsou

,dddd

,dddd

zz

Vy

y

Vx

x

VV

zz

Uy

y

Ux

x

UU

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂=

a po dosazení do rov. (2.2.8) a užitím bodu 5) dostáváme

0ddd =∂

∂+∂

∂+∂

∂z

z

Wy

y

Wx

x

W. (2.2.9)

Výrazy xW

∂∂ atd. jsou složky (2.2.4) tíhového zrychlení g a dx, dy, dz jsou hledané složky

(směrové parametry) hledaných souřadnicových přírůstků v hledaném směru*), který označmen. Pak

( ) 0;cos =ng ,

takže

( ) °=∠ 90;ng .

7) Směr tíže je stále kolmý k ekvipotenciální hladinové ploše. Leží tedy na normálek této ploše, nebo-li na svislici v bodě m, viz obr. 2.2.1,

8) hladinová plocha je plochou uzavřenou, z vnějšku vždy konvexní, jenedeformovaná a bez ostrých hran.

Protože platí vztah (2.2.7), pak platí pro dvě blízké hladinové plochy, že rozdíl jejichpotenciálů je rovněž konstantní, tedy

konstWWW =∆=− 12 .

*) Pro větší názornost čtenáře, je možno si představit, že rov. (2.2.9) je dělena výškovým přírůstkem dh. Pak

hx

dd jsou směrové kosiny směru tíže g.

15

Podle bodu 2) je

gn

W =∂∂

,

z čehož

konstngW =∆⋅=∆ .

A protože tíhové zrychlení k pólům vzrůstá, pak musí ∆n v důsledku předchozího vzorce,klesat.

9) Hladinové plochy (pro Zemi) se k pólům sbíhají a na rovníku jsou vzájemněnejvzdálenější.

Bližší a obdobné úvahy o této tématice uvádí např. [4].

2.2.5 Geoid a jeho rovnice

Geoid je hladinová plocha o jistém tíhovém potenciálu Wg, která prochází body o nulovýchvýškách. Tyto body jsou reálně dány značkami vodočtů pobřežních stanic.

Při odvozování rovnice geoidu se vychází ze vztahu (2.2.5), jehož pravá strana sevyjádří proměnnými souřadnicemi ρ, φ, Λ, což jsou geocentrický průvodič, geocentrickázeměpisná šířka a délka. Dojde se k diferenciální rovnici 2. řádu, která se řeší separacíneznámých, viz [2]. Výsledkem je rovnice

( ) ( )

,

+

+⋅Λ+Λ

+⋅=

⊕

=

∞

=

⊕⊕ ∑∑

φωρ

φρ

ρ

223

0,,,

2

cos2

sinsincos1

GM

PkSkCa

W

GM n

kknknkn

n

ngg

kde GM⊕ je geocentrická gravitační konstanta, Wg přijatá hodnota tíhového potenciálu naploše geoidu, a⊕ poloměr rovníku Země, Cn,k a Sn,k jsou geopotenciální harmonické(Stokesovy) koeficienty stupně n a řádu k, ω je rotační rychlost Země a Pn,k jsou Legendrovypolynomy pro k = 0, a Lagendrovy přidružené funkce pro k ≠ 0. Bližší o těchto pojmech a oužití uvedených vzorců bude následovat v části IX.

Převýšení ζ geoidu nad elipsoidem je pak

eg ρρζ −=& ,

kde ρe je geocentrický průvodič elipsoidu pro dané φ. Bližší o uvedené problematice v [1],[2], [3], a [4].

LITERATURA:

[1] Burša M., Pěč K.: Tíhové pole a dynamika Země. ACADEMIE, Prha 1988.[2] Heiskanen W. A., Moritz H.: Physical Geodesy. Freeman, 1967.[3] Vaníček P., Krakiwsky E.: Geodesy-the concepts. Amsterdam 1986.[4] Zeman A.: Fyzikální geodézie. Vydavatelství ČVUT, Praha 1998.

16

2.3 Atmosféra

Vliv atmosféry je i z hlediska astrodynamiky zásadní důležitosti, neboť značnou měrouovlivňuje dráhu nízkých družic Země. Proto je jí třeba věnovat pozornost, předevšíms ohledem na vystižení hustoty a její změny v daném čase a místě. Uveďme již v úvodu, žestoprocentní postižení prozatím neexistuje. Navíc k tomu přistupuje ještě rotace atmosféry ajejí nepravidelné proudění nazývané vítr. Těmto tématům se budeme ve vší stručnosti věnovatv této kap. 2.3.

2.3.1 Hustota atmosféry

Hustota atmosféry se mění exponenciálně v závislosti na výšce. Její změny jsou závislé nejenna výšce, ale i na čase, a to ve značně složité závislosti.

Mezi nejjednodušší vzorce pro výpočet hustoty ρ, ale nejméně přesné, patří vztah

( )hk ⋅−= exp0ρρ ,

kde h je výška družice, R poloměr Země a k = 0,1082. ρ0 je hustota atmosféry pro h = 0. Jinývztah zní

+=2

cos10

ψβρρ n ,

kde β, n jsou koeficienty a ψ je úhel mezi geocentrickým průvodičem a vzdutím atmosféry.Hustota ρ0 se určuje ze vztahu ( )hcbha dexplog 0 ++=ρ , kde a, b, c, d jsou koeficienty

závisející na sluneční aktivitě a společně s β a n jsou určovány přístroji na palubě družice.V diplomní práci [3] je uveden empiricky získaný vzorec

⋅−=

h

h

ln

5,22exp

3

0ρρ ,

kde ρ0 = 1,225 kg·m-3 a h v km je výška družice. Tento vzorec platí jen přibližně pro výšky od200 km do 2000 km a byl sestaven pro hodnoty hustoty atmosféry uváděnými v [2]. Složitějšía přesnější vzorce uvádí např. [1]. Podle nich jsou zakresleny průběhy hustot ρi s výškou h naobr. 2.3.1.

2.3.2 Změny v hustotě atmosféry

1) Denní efekt. Tento jev způsobuje maximální vzrůst hustoty v dané výšce kolem14. hodiny a minimum mezi půlnocí a svítáním. Ve výšce 650 km je maximální hustota10krát větší než minimální. Ve výšce 200 km dosahuje tento vliv až 40% průměrné hustoty.Velikost denní změny tedy závisí i na výšce.Tento efekt je způsoben změnou teplotyatmosféry v závislosti na výšce Slunce nad horizontem. Ve dne jako by se atmosféravydouvala – linie stejné hustoty vytváří vzdutí, viz obr. 2.3.2 a mírně se opožďovala zaSluncem. Ve výšce 500 km dosahuje hodnot 100 km. Tj. denní hodnota hustoty ve výšce 600km je rovna průměrné noční hustotě v 500 km.

17

2) Dvacetisedmidenní perioda odpovídá periodě rotace Slunce kolem své osy vzhledemk Zemi. Tento efekt je závislý na množství a aktivitě slunečních skvrn na přivrácené straněSlunce. Ve výšce 200 km (600 km) může vyvolat 20% (70%) změny od průměrné hustoty.3) Šestiměsíční cyklus vyvolává amplitudu ve výšce 350 km asi 40% střední hustoty.Maxima dosahují změny v dubnu a říjnu, minima v lednu a červnu.

Obr. 2.3.1 (významy hustot ρi jsou uvedeny v textu)

Zde znamená:ρ1 průměr z maximálních denních hodnot, maximum střední sluneční aktivity,ρ2 průměr z minimálních denních hodnot, maximum střední sluneční aktivity,ρ3 průměr z minimálních nočních hodnot, maximum střední sluneční aktivity,ρ4 průměr z minimálních denních hodnot, minimum střední sluneční aktivity,ρ5 průměr z minimálních nočních hodnot, minimum střední sluneční aktivity.

4) Jedenáctiletý cyklus vyvolává nejpomalejší, ale největší změny. Porovnáním hodnotz roku 1958, kdy byla sluneční aktivita maximální a z roku 1964, kdy byla minimální,vyplývá, že ve dne ve výšce 300 km klesla hustota průměrně 3krát a ve výšce 600 km asi20krát.5) Nepravidelné změny jsou svým způsobem výjimečné. Závisí rovněž na činnosti Slunce aje těžké je předvídat. Mohou trvat jen několik dní nebo hodin, ale mohou dosáhnout poměrněvelkých hodnot.

18

2.3.3 Rotace atmosféry

Pokud předpokládáme, že atmosféra rotuje stejnou úhlovou rychlostí jako Zem, potom je jejíúhlová rychlost Λ = 1. Ve skutečnosti ovšem Λ ≠ 1 a v důsledku toho vzniká tak zvanýzonální vítr, což je vítr ve směru rovnoběžek. Pro Λ = 1,0 je postupná rychlost větru vůčiZemi VA = 0. Pro Λ > 1,0 je postupná rychlost větru VA > 0 vůči Zemi a směr větru od západu

Obr. 2.3.2

k východu. Pro Λ < 1,0 je postupná rychlost větru VA < 0 vůči Zemi a směr větru od východuk západu. Velikost rychlosti rotace Λ atmosféry závisí především na výšce, dále na ročnímobdobí a místním čase. Její střední hodnota od 125 km, kde je Λ = 1,0, stoupá na Λ = 1,22 pro325 km, pak opět klesá na 1,0 pro 430 km a na 0,82 pro 600 km. Další změny jsou způsobenyefektem ‘den – noc’. Hodnota Λ dosahuje maxima „večer“, tj. od 18 do 24 h a minima „ráno“,tj. od 6 do 12 h. Rotace závisí také na roční době. Oproti střední hodnotě je v zimě o 0,15vyšší a v létě o 0,1 nižší. Postupnou rychlost větru VA pro obecnou zeměpisnou šířku ϕ určímeze vzorce

( ) ϕπcos

86400

21

rVA −Λ= ,

kde r je geocentrický průvodič družice.Bližší o atmosféře a o jejím vlivu na pohyb družice najde čtenář v publikacích [3], [4],

[7], českých autorů a zahraničních v [1], [2], [5], [6] a [9].

V práci [10] jsou popsány další jevy související se Zemí.

LITERATURA:

[1] CIRA 61: Report of the Preparatory Group for an International Reference Atmosphere.Amsterdam 1961.

19

[2] CIRA 72: Complited by the Committee for the Cospar International ReferenceAtmosphere (CIRA). Berlin 1972.

[3] Jansa T.: Poruchové působení atmosféry na dráhu družice. Diplomová práce, Praha 1984.[4] Kabeláč J., Sehnal Vl.: Atmospheric effects on the dynamics of the MIMOSA satellite.

Journal of Geodesy (2003) 76: 536-542.[5] King-Hale D. G.: Theory of Satellite Orbits in an Atmosphere. Butterworths, London

1964.[6] King-Hale D. G.: Upper-Stmosphere Zonal Winds from Satellite Orbit Analysis. Planet.

Space Sci., Vol. 31, No. 5, 1983.[7] Lála P.: Computer Program PRIOR Used for Orbit Determination at the Ondřejov

Observatory. Space Res., Vol. 1.[8] Sehnal Vl.: Non-gravitational Forces in Satellite Dynamics. Symposium Sao Paulo,

1974.[9] Spravočnoe rukavodstvo po něbesnoj mechanike i astrodinamike. Nauka, Moskva 1971.[10] Vaníček P., Krakiwsky E.: Geodesy - the concepts. Amsterdam 1986.

20

21

II. část Vyšší geodézie matematická

3 Referenční plochy a soustavy

3.1 Referenční koule a výpočty na referenční kouli

Pro realizaci geodetických a kartografických výpočtů s nižší přesností je možné zemské tělesonebo jeho část nahradit kulovou plochou (tzv. referenční koulí). Narozdíl od elipsoidicképlochy, viz kap. 3.2, má plocha kulová o poloměru R konstantní křivost, všechny její normályse protínají v jejím středu. Normálové roviny procházejí také středem koule a protínají jiv hlavních kružnicích o poloměru R. Oblouky hlavních kružnic (ortodrom), které spojují 3body na kouli, které ovšem neleží na společné hlavní kružnici (její rovina prochází středemkoule), tvoří sférický trojúhelník. Roviny, které neprocházejí středem koule, protínají ji vevedlejších kružnicích.

3.1.1 Sférické zeměpisné souřadnice [U, V]

Souřadnicový systém sférických zeměpisných souřadnic tvoří jednotný systém pro celoukouli, viz obr. 3.1.1.Sférická zeměpisná šířka U je úhel, který svírá normála n bodu P s rovinou rovníku. Je

- od rovníku k severnímu pólu v intervalu 0° až 90° a označuje se jako severní šířka(kladná, +, N)

- od rovníku k jižnímu pólu v intervalu od 0° do -90° a označuje se jako jižní šířka(záporná, –, S)

Rovnoběžka je geometrické místo bodů s konstantní zeměpisnou šířkou. Poloměr r libovolnérovnoběžky je dán vztahem cosr R U= . Rovnoběžky nejsou obecně hlavní kružnice, alevedlejší, a netvoří strany sférického trojúhelníka.Sférická zeměpisná délka V je úhel, který svírá rovina místního poledníku (procházejícíbodem P) s rovinou základního (nultého V = 0°) poledníku. Počítá se

- na východ od nultého poledníku v intervalu 0° až 180° a označuje se jako východnídélka (kladná, +, E)

- na západ od nultého poledníku v intervalu 0° až -180° a označuje se jako západní délka(záporná, –, W)

Poledník (meridián) je geometrické místo bodů s konstantní zeměpisnou délkou.Póly jsou singulárními body, jejich zeměpisná délka je v rozsahu 0° až 180° a 0° až -180°.

Učebnice vyšší geodézie tradičně dále uvádějí pravoúhlé (Soldnerovy) souřadnice,jejich převody na souřadnice [U,V] a naopak. Bližší viz např. [1], [2] nebo [3].

3.1.2 Geodetická křivka. Geodetická křivost. Ortodroma a loxodroma na kouli

Geodetická křivka bývá definována různými způsoby. Nejčastěji se užívá definice:„Geodetická křivka (čára) je nejkratší ze všech čar, které je možno na zvolené ploše vést mezidvěma body.“ V rovině je geodetickou křivkou úsečka, na kouli oblouk hlavní kružnice (jejížrovina prochází středem koule), na válcové ploše to je šroubovice. Sestrojíme ji, jestližerozvineme válcovou plochu do roviny, oba dané body spojíme přímkou a plochu opětsvineme do válce. Další viz kap. 3.2.

22

V

Sp

P

S U

Obr. 3.1.0.1

Geodetická křivost je křivost průmětu infinitesimálně malého délkového elementukřivky do tečné roviny. V případě geodetické křivky je geodetická křivost v kterémkoliv jejímbodě nulová. Ortodroma na kouli. Mějme rovinu, která prochází středem koule. Potom tuto kouliprotíná v tzv. hlavní kružnici. Část/oblouk této kružnice spojující např. 2 body A a B napovrchu koule se nazývá ortodroma. Je to nejkratší spojnice těchto dvou bodů. Ortodroma jerovněž celá kružnice, jdoucí od bodu A do téhož bodu A. Ortodroma je geodetická křivkav prostoru zakřivená, avšak geodeticky přímá. V terénu ji lze vytyčit jako polygon ovrcholových úhlech 180o. Přímou by se jevila např. z letadla. Ortodromě odpovídá v roviněúsečka a přímka. Na kouli nemůžeme vést dvě rovnoběžné ortodromy, vždy jsou různoběžné,dvakrát se protínají a tvoří dva sférické dvojúhelníky. Délka celé ortodromy je 2πR, kde R jepoloměr koule. Průběh ortodromy na kouli je dán kružnicí a řídí se vzorci sférickétrigonometrie. Průběh analogické křivky v rovině je úsečka nebo přímka a řídí se vzorcirovinné trigonometrie.

PŘÍKLAD 1Obecně položená ortodroma o je znázorněna na obr. 3.1.2.Je dáno:

Poloměr R koule: 1Sférická šířka U0 výchozího bodu P0 na kouli: 30o

Sférická délka V0 výchozího bodu P0 na kouli: 0o

Azimut A0 na výchozím bodě P0 na kouli: 45o

Rozdíl sférických délek ∆V mezi body P a P0: 20o

Máme určit:Sférickou šířku U obecného bodu PSférickou délku V obecného bodu PAzimut A na bodě PDélku RlPP =0

Výpočet:Podle vět sférické trigonometrie dostaneme

( ) ( )o o0 0 0cos 180 cos cos sin sin cos 90A A V A V U− = − ∆ + ∆ − → A na bodě P: 57,0750074°

23

( ) ( ) ( )o o o0 0sin 180 sin 90 sin sin 90A U A U− − = − → U bodu P: 43,15125018°

( ) ( ) ( ) ( )o o o o0 0 0cos cos cos 90 cos 90 sin 90 sin 90 cos

lP P U U U U V

R= = − − + − − ∆ →

→ P0P = 20o,66333046

P0

P

l/R

90o-U0

A0

V0

V 90o-U

90o-ISp

DV.

o

1

A

Obr. 3.1.0.1

P0

90o-U

V0 DV

Sp

VA

1

P

IA0

90o-I

90o-DV

.

90o-P0P

Obr. 0.2.1.3

Dále 0V V V= + ∆ = 20o, event. kontrolně dalšími větami sférické trigonometrie. Délka

1800 π⋅⋅= RPPl = 0,360643151.

Odvození Clairautovy věty. Rovina ortodromy je v poloze neměnná. Její sklonoznačíme I a je rovněž neměnný, obr. 3.1.3. Tudíž i vzdálenost o90 I− nejvyššího boduortodromy od severního pólu Sp je neměnná, viz obr. 3.1.2 a 3.1.3. Z pravoúhlého sférického

trojúhelníka ∆P1Sp platí jednoduchá věta sinová ( ) ( )o o osin 90 sin sin 90 sin90U A I− = − a

po vynásobení poloměrem R koule platí

0cos sin .R U A konst k= = (3.1.1)

což je věta Clairautova. Platí nejen pro kouli, ale i pro rotační elipsoid.

PŘÍKLAD 2Průběh ortodromy. Vycházíme z obr. 3.1.3.Nechť je dáno:

Poloměr R koule: 1Sférická šířka U0 výchozího bodu P0 na kouli: 0o

Sférická délka V0 výchozího bodu P0 na kouli: 0o

Rozdíl sférických délek ∆V mezi body P a P0: 10o

Sklon l roviny ortodromy: 60o

Máme určit:Sférickou šířku U obecného bodu P

24

Sférickou délku V obecného bodu PAzimut A na bodě PDélku RlPP =0

Výpočet:Nejprve z rov. (3.1.1): 0 0 0 0cos sin cos sin sin cos 0,5k R U A R U A R A R I= = = = =Poté 0V V V= + ∆ v obecném bodě P: 10o

Z trojúhelníku P1Sp : cos cos sinA V I= ∆ . Azimut A v obecném bodě P: 31o,47494888

0cos / sinU k R A= : U = 16o,73957747

VUPP ∆= coscoscos 0 , takže délka 1800 π⋅⋅= RPPl = 0,33903719.

Vhodné je sestavení kontrolních vzorců nebo i jiných postupů.Loxodroma na kouli protíná všechny poledníky pod stejným azimutem A. Jestliže A

= 0o, je loxodromou poledník, jestliže A = 90o, je loxodromou rovnoběžka. V obecnémpřípadě, kdy 0 90A A≠ ∧ ≠o o , se loxodroma blíží v závitech k severnímu a jižnímu pólu.Přestože je těchto závitů nekonečně mnoho, je délka loxodromy konečná, jak uvidímepozději. S ohledem na ortodromu, která spojuje tytéž dva body jako loxodroma, procházíloxodroma na severní (jižní) zemské polokouli jižně (severně) od ortodromy. Loxodroma aani diferenciálně malé úseky této křivky neleží na hlavní kružnici. Pro odvození dalších jejíchvlastností je proto nutné vycházet z diferenciálního okolí obecného bodu P´, viz obr. 3.1.4, nakterém l označuje právě loxodromu, Sp je severní pól a význam ostatních symbolů je zřejmýz předchozího textu.

Protože se jedná o infinitesimálně malý trojúhelník P1P , je možno jej považovat zarovinný. Pak platí vztahy

VURlA dcosdsin = URlA ddcos = VUUA dcosdtan = , (3.1.2)

A

Al

R U

R cosU V

P´

P

90 -U

V

Sp

1

l

Obr. 3.1.0.3

r

Obr. 3.1.0.4

ve kterých jsme diference ∆ změnili na diferenciály d. Připomeňme, že A a R jsou konstanty.Ostatní veličiny, tj. U, V a l jsou proměnné a tedy podléhají integraci. Z druhé rov. (3.1.2)dostaneme ihned jednoduchý vztah

( )cos ´l A R U U= − (3.1.3)

25

pro výpočet délky l loxodromy mezi koncovými body o zeměpisných šířkách U´ a U. Bude-liležet bod P na rovníku a P na severním pólu, pak U = 0o, U´ = 90o a / 2cosl R Aπ= ,vyjádřeno již v míře obloukové. Je to tedy délka loxodromy od rovníku k severnímu pólu Sp.Délka loxodromy od jižního k severnímu pólu je tedy / cosl R Aπ= . Je-li azimut A = 60o, jedélka loxodromy mezi póly 2l Rπ= , což je 2x více, než délka poledníku mezi oběma póly.Ve zvláštních případech je A = 0o (poledník) a A = 90o (rovnoběžka). Pro A = 0o je délkamezi póly 2l Rπ= a pro A = 90o, viz první rov. (3.1.2), v níž U = konst., je 2 cosl R Uπ= .

Integrujme nyní třetí rov. (3.1.2). Postupně dostáváme, viz též obr. 3.1.4,

( )[ ] =+°==−′= ∫ ∫∫ ′ ′−

′ U

U

U

U

V

V

UUAU

UAVVV d90sintan

cos

dtand 1

∫′ −

°+

°+′

=

°+

°+=U

U U

U

AUUU

A

452

tan

452

tanlntand45

2cos45

2sin2tan

1

,

takže výraz

tan 452

tan lntan 45

2

U

V V AU

′ + ° ′ = − ⋅ + ° (3.1.4)

je použitelný pro výpočet V´, je-li dáno U´ obecného bodu P´ na loxodromě. Pro opačnýpřípad platí

( )ln tan 45 cot ln tan 452 2

U UV V A

′ ′+ ° = − + + ° ,

ln tan 45 cot cot ln tan 45 cot2 2

U UV A V A V A ψ

′ ′ ′+ ° = − + + ° = + kde cot ln tan 45

2

UV Aψ = − + + ° je konstanta pro danou loxodromu. Z předešlého vyplývá

výraz

( ) o2arctan exp cot 90U V A ψ′ ′= + − (3.1.5)

použitelný pro případ výpočtu U´, je-li dáno V bodu P´ na loxodromě. Tím jsou v oboupřípadech známy souřadnice U´, V´, viz rov. (3.1.4) a (3.1.5), je-li loxodroma určenavstupními veličinami U, V, A. Její délku l v obecném případě, tj. od bodu P k bodu P´, vizobr. 3.1.4, určuje rov. (3.1.3).

Rov. (3.1.4) a (3.1.5) se zjednoduší pro případy zvláštní. Tak pro azimut A = 0o, tj.pro loxodromu jako poledník, nabývají souřadnice hodnot 90 ,90 ,U V V′ ′∈ − ° ° = a pro A =

90o, tj. pro loxodromu jako rovnoběžku, nabývají souřadnice hodnot , 0 ,360U U V′ ′= ∈ ° ° .

26

Integrace prvé rov. (3.1.2) by vyžadovala nejprve nahrazení veličiny U veličinami V a l. Potéby následovala její integrace. Nebude jí však třeba.

PŘÍKLAD 3Průběh loxodromy. Viz obr. 3.1.4.Jsou dány:

Zeměpisná šířka U = 0o a zeměpisná délka V = 0o výchozího bodu P loxodromyAzimut A = 45o loxodromy na bodě PPoloměr koule R = 10Zeměpisné délky V´ se budou měnit tak, jak ukazuje 1. řádek tab.3.1.1

Máme určit:Zeměpisné šířky U´ odpovídající V loxodromy a délku l = PP´ loxodromy

Výpočet:Nejprve určíme ( )cot ln tan / 2 45 0V A Uψ = − + + ° = , což je konstanta pro danou loxodromu.

Poté z rov. (3.1.5) určíme šířku ( ) o2arctan exp cot 90 2arctan 90VU V A eψ ′′ ′ = + − = − ° ,

kde jednotlivá V´ udává 1. řádek a vypočtená U´ 2. řádek tab. 3.1.1. Délku l určuje rov. (3.1.3)

( ) ( )´ / cos 10 ´ 0 cos45 /180 0,24682683l R U U A U Uπ ′= − = − °⋅ ° = ° . Výsledky uvádí 3. řádek

tab. 3.1.1.

Tab. 3.1.1 Souřadnice a délka loxodromy

V [o] 30 60 90 120 150 180 270 360 720 7200U´ [o] 28,72 51,33 66,51 75,96 81,66 85,05 88,97 89,79 89,9996 90l 7,089 12,670 16,416 18,749 20,156 20,993 21,960 22,163 22,214316 22,214415

Z tab. 3.1.1 vyplývá, že loxodroma se blíží k pólům v závitech, jejichž počet je neomezený,její délka l je však určitá a blíží se k poslední hodnotě v posledním řádku.

3.1.3 Exces

Sférický exces εεεε ve sférickém trojúhelníku je hodnota, o kterou je součet vnitřních úhlů vesférickém trojúhelníku větší než 180o. Obecně je to nadbytek součtu vnitřních úhlů sférickéhoobrazce nad součtem úhlů příslušného rovinného obrazce. Velikost excesu lze vypočítatpomocí měřených úhlů α, β, γ podle rovnice

o180ε α β γ= + + − . (3.1.6)

Chyby úhlových měření však mohou být větší než hodnota sférického excesu. V tom případěse rov. (3.1.6) používá jako kontrolní a výpočet excesu se provede podle vztahu

2

P

Rε ρ′′ ′′= , (3.1.7)

kde P je obsah sférického trojúhelníka, R poloměr koule a ρ´´ je radián ve vteřinách. Sférický exces εεεε ve sférickém mnohoúhelníku je opět řešitelný rov. (3.1.7), kde P jeovšem plocha sférického mnohoúhelníka.

27

3.1.4 Meridiánová konvergence

Meridiánová konvergence (sbíhavost poledníků) je dána úhlem γ, viz obr. 3.1.5, který svíráv bodě P poledník o zeměpisné délce ∆ V s rovnoběžkou r. Tečna, vedená v bodě Pk rovnoběžce r je rovnoběžná s tečnou k základnímu poledníku v patě Q. Řešenímpravoúhlého sférického trojúhelníka PQSp s využitím Neperových pravidel lze získat vztahpro výpočet meridiánové konvergence. Zní

tg sin tanU Vγ = ∆ . (3.1.8)

3.1.5 Řešení sférických trojúhelníků větami sférické trigonometrie

3.1.5.1 Řešení 1. základní geodetické úlohy (ve sférických zeměpisných souřadnicích)

Na kouli o poloměru R je dán bod P1[U1,V1], délka ortodromy l mezi body P1 a P2 a jejíazimut A1 v bodě P1. Počítají se souřadnice [U2,V2] bodu P2 a azimut A2 v tomto bodě. Situaceje naznačena na obr. 3.1.6, zadané veličiny jsou zvýrazněny podtržením. Pro výpočet zeměpisné šířky U2 užijeme kosinovou větu ve sférickém trojúhelníku

P1P2Sp. Má tvar ( ) ( ) ( )2 1 1 1cos 90 cos 90 cos sin 90 sin cosl l

U U U AR R

− = − + −o o o . Z řady

dalších možných variant řešení výpočtu souřadnice V2 a azimutu A2 vybíráme tu variantu,která vychází pouze ze zadaných veličin. Ve sférickém trojúhelníku P1P2Sp platí sinová věta

( )o2 1sin 90 sin sin sin

lU V A

R− ∆ = ⋅ (3.1.9)

a sinuskosinová věta pro stranu a úhel

( ) ( ) ( )2 1 1 1sin 90 cos sin 90 cos sin cos 90 cosl l

U V U U AR R

− ∆ = − − −o o o (3.1.10)

Vydělením rov. (3.1.9) a (3.1.10) a dalšími algebraickými úpravami dostaneme rovnici

1

1 1 1

sin sintan

cos cos sin sin cos

lA

RVl l

U U AR R

∆ =−

.

Vykrácením čitatele i jmenovatele výrazem ( )sin /l R získáme tvar

1

1 1 1

sintan

cos cot sin cos

AV

lU U A

R

∆ =−

,

který je funkcí pouze zadaných veličin. Obdobný způsob výpočtu lze použít pro azimut A2.Ve sférickém trojúhelníku P1P2 Sp se vyskytuje u bodu P2 úhel (180°−A´2), kde A 2 = A2 −180°. Pro výpočet A 2 opět využijeme sinovou a sinuskosinovou větu pro stranu a úhel. Jsou

( ) ( ) ( )o o2 2 1 1sin 90 sin 180 sin 90 sinU A U A′− − = − ⋅o (3.1.11)

28

( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 1sin 90 cos 180 cos 90 sin sin 90 cos cosl l

U A U U AR R

′− − = − − −o o o o (3.1.12)

Vydělením rov. (3.1.11) a (3.1.12) a vykrácením výrazem cosU1 obdržíme

12

1 1

sintan

tan sin cos cos

AA

l lU A

R R

′ =− +

.

Hledaný úhel A2 je pak 2 2 180A A′= + o , viz obr. 3.1.6.

Sp

V

V2

180° A´2

A´2

A2

P2

P

A1l / R

90° U1

90° U2

pol.

Obr. 3.1.0.1

PŘÍKLAD 41. základní geodetická úloha. Vycházíme z obr. 3.1.6.Jsou dány:

Poloměr R koule: 6378000 mSférická šířka U1 bodu P1 na kouli: 50o 40´Sférická délka V1 bodu P1 na kouli: 14o 25´Délka l ortodromy mezi body P1 a P2: 600000 mAzimut A1 v bodě P1: 80o

Máme určit:Sférická šířka U2 bodu P2 na kouliSférická délka V2 bodu P2 na kouliAzimut A2 na bodě P2

Výpočet:Nejprve určíme úhel l / R odpovídající délce l ortodromy. Je l / R = 0,0940733772 rad == 180o l / π R = 5o,39000748. Poté podle kap. 3.1.5 postupně zjišťujeme U2 z kosinové větypro stranu, ∆V ze sinové věty, 2 1 2,V V V A′= + ∆ např. ze sinové věty a 2 2 180A A′= + ° .

Výsledek:U2 = 51o,29633124 V2 = 22o,92440003 A2 = 266o,6149359

Kontrola Clairautovou větou:

1 1cos sinR U A = 3981158,129 m 2 2cos sinR U A′ = 3981158,128 m

Viz též obr. 3.1.6.

29

3.1.5.2 Řešení 2. základní geodetické úlohy (ve sférických zeměpisnýchsouřadnicích)

Na kouli o poloměru R jsou dány body P1[U1,V1] a P2[U2,V2]. Počítá se délka ortodromy lmezi body P1 a P2 a oba její azimuty A1, A2 v těchto bodech. Situace je naznačena na obr.3.1.7, kde jsou podtrženy zadané veličiny. Pro výpočet délky ortodromy l užijeme kosinovou větu ve sférickém trojúhelníkuP1P2Sp. Je

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2cos cos 90 cos 90 sin 90 sin 90 cosl

U U U U VR

= − − + − − ∆o o o o ,

kde 2 1V V V∆ = − , neboli

1 2 1 2cos sin sin cos cos cosl

U U U U VR

= + ∆ .

Pro výpočet azimutu A1 použijeme princip výpočtu uvedený v kap. 3.1.5.1. Vesférickém trojúhelníku P1P2Sp platí sinová věta

( )o1 2sin sin sin 90 sin

lA U V

R= − ⋅ ∆ (3.1.13)

a sinuskosinová věta pro stranu a úhel

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1sin cos sin 90 cos 90 sin 90 cos 90 cosl

A U U U U VR

= − − − − − ∆o o o o (3.1.14)

Vydělením rov. (3.1.13) a (3.1.14) a dalšími algebraickými úpravami dostaneme rovnici

21

1 2 2 1

cos sintan

cos sin cos sin cos

U VA

U U U U V

∆=− ∆

.

Vykrácením výrazem cosU2 obdržíme rovnici

11 2 1

sintan

cos tan sin cos

VA

U U U V

∆=− ∆

.

Pro azimut A2 je zapotřebí nejprve vypočítat A 2, a to vydělením následující sinové asinuskosinové věty pro stranu a úhel

( ) ( )o2 1sin sin 180 sin 90 sin

lA U V

R′− = − ⋅ ∆o

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 2sin cos 180 sin 90 cos 90 sin 90 cos 90 cosl

A U U U U VR

′− = − − − − − ∆o o o o o

Získáme rovnici

( ) 12

2 1 1 2

cos sintan 180

cos sin cos sin cos

U VA

U U U U V

∆′− =− ∆

o ,

která vykrácením výrazem cosU1 přejde na tvar

22 1 2

sintan

cos tan sin cos

VA

U U U V

∆′ =− + ∆

.

30

Azimut A2 vypočteme z výrazu 2 2180A A′= +o .

PŘÍKLAD 52. základní geodetická úloha. Vycházíme z obr. 3.1.7. Je použito výsledných hodnotPŘÍKLADU 4.Je dáno:

Poloměr R koule: 6378000 mSférická šířka U1 bodu P1 na kouli: 50o 40´Sférická délka V1 bodu P1 na kouli: 14o 25´Sférická šířka U2 bodu P2 na kouli: 51o 17´46´´, 792464Sférická délka V2 bodu P2 na kouli: 22o 55´27´´,840108

Máme určit:Azimut A1 v bodě P1 na kouliAzimut A2 v bodě P2 na kouliDélku l ortodromy mezi body P1 a P2

Výpočet:Podle prvních vzorců v této kap. 3.1.5.2 určíme úhlovou hodnotu l / R ortodromy, kde

2 1 8 30 27 ,840108V V V ′ ′′∆ = − = ° . Je l / R = 0,094073377 rad = 5o,39000747 a l = (l / R) R.

Poté podle dalších vzorců kap. 3.1.5.2 určíme azimuty A1, A2 a konečně 2 2 180A A′= + o .

Výsledek:A1 = 79o,99999997 A2 = 266o,61493589 l = 599999,998 m,

což je ve shodě s PŘÍKLADEM 4. Další kontroly jsou zbytečné.

Pro zájemce o tuto disciplínu jsou uvedeny náměty dalších, složitějších příkladů na kouli:- Určete sférické zeměpisné souřadnice průsečíků ortodromy i loxodromy s danýmpoledníkem, rovnoběžkou, obecnou hlavní i vedlejší kružnicí.- Určete sférické zeměpisné souřadnice extrémních bodů na ortodromě.- Určete sférické zeměpisné souřadnice průsečíků dvou ortodrom, dvou loxodrom, ortodromys loxodromou.- Vypočtěte excesy, jsou-li dány sférické zeměpisné souřadnice minimálně tří bodů na kouli.- Určete meridiánové konvergence pro různé souřadnicové soustavy a pro různé bodyrůzných obrazců.

Závěrečná poznámka ke kap. 3.1.5.Dlužno poznamenat, že byly odvozeny i jiné metody, které však již patří minulosti. Bylyodvozeny z důvodů snížení počtu desetinných míst při zachování přesnosti výpočtu. Délkytrigonometrických stran nepřesahují zpravidla 30 km, takže zeměstředné úhly jsou menší než16´ a excesy trojúhelníků menší než 2´´. Pro milimetrovou přesnost je nutno počítattrigonometrické funkce na 11 desetinných míst. Obecné vzorce sférické trigonometrie nebylyvhodné pro řešení takovýchto „malých“ trojúhelníků. Tyto okolnosti vedly k určité úpravěrovnic pro řešení sférických trojúhelníků. Tím se např. sférické řešení nahradí řešenímrovinným. Uveďme aspoň některé názvy. Metoda excesová (Legendre 1787) a metodaaditamentová (Soldner 1820). Naše odborná literatura uvádí tyto metody a mnohé další např.v [1], [2] a [3].

Tyto „základní“ geodetické úlohy bývají též označovány jako „hlavní“ geodetickéúlohy.

31

LITERATURA:

[1] Böhm J., Hora L., Kolenatý E.: Vyšší geodézie – díl 1. Vydavatelství ČVUT, Praha,1979.

[2] Ryšavý J.: Vyšší geodesie. Nákladem ČMT, Praha 1947.[3] Vykutil J.: Vyšší geodézie. Vydavatelství Kartografie n. p., Praha 1982.

3.2 Referenční elipsoid a výpočty na referenčním elipsoidu

Pro přesnější geodetické výpočty již nevyhovuje nahrazení zemského tělesa plochou kulovou.Skutečný tvar Země lépe vystihuje plocha elipsoidická. Trojosý elipsoid má však složitějšígeometrii, proto se užívá elipsoid rotační pro určitou oblast (na rozdíl od elipsoidu obecného,který platí pro celou Zemi). Vznikne rotací poledníkové elipsy o hlavní ose a a vedlejší ose b.Parametry a, b je tvarově i rozměrově rotační elipsoid jednoznačně definován. Z nich jsouodvozeny další veličiny, které charakterizují tento elipsoid.

První výstřednost (excentricita poledníkové elipsy)2 2

22

a be

a

−=

Druhá výstřednost2 2

22

a be

b

−′ =

První zploštění (poledníkové elipsy)a b

ia

−=

Druhé zploštění (poledníkové elipsy)a b

na b

−=+

Poloměr křivosti na pólech2a

cb

=

Sp

p

S

a

b

rovník

Obr. 3.2.1

32

Rovina, která prochází středem S elipsoidu a je kolmá na vedlejší osu b, je rovinageodetického∗) rovníku (viz obr. 3.2.2). Rovník je kružnice o poloměru a. Řezy rovinrovnoběžných s rovinou rovníku jsou geodetické rovnoběžky – kružnice, jejichž poloměr sezmenšuje od rovníku k pólům. Svazek rovin, procházejících vedlejší osou elipsoidu b, protínápovrch elipsoidu v geodetických polednících (meridiánech). Jsou to elipsy s poloosami a, b.

Plocha rotačního elipsoidu má proměnlivou křivost podle směru řezu i polohy. Normályk ploše obecně neprocházejí středem elipsoidu, ale jsou různoběžné s vedlejší osou.

3.2.1 Souřadnicové soustavy∗∗∗∗∗∗∗∗)))) a jejich transformace

Geodetická zeměpisná šířka B∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗)))) je úhel, který svírá normála v bodě P k povrchu elipsoidu.Počítá se

- od rovníku k severnímu pólu v intervalu 0° až 90° a označuje se jako severní šířka(kladná,+, N)

- od rovníku k jižnímu pólu v intervalu od 0° do -90° a označuje se jako jižní šířka(záporná, –, S)

Geodetická zeměpisná délka L je úhel, který svírá rovina poledníku bodu P s rovinounultého poledníku. Počítá se

- na východ od nultého poledníku v intervalu 0° až 180° a označuje se jako východnídélka (kladná, +, E)

- na západ od nultého poledníku v intervalu 0° až -180° a označuje se jako západní délka(záporná, –, W)Jako základní (nultý) poledník je mezinárodně označován poledník greenwichský.

Tento základní geodetický poledník byl v minulosti definován jako astronomický poledník,který prochází stabilizovaným bodem na observatoři v Greenwichi u Londýna. Byl definovánpomocí astronomických měření na této observatoři a proto byl též nazýván greenwichským.V současné době je to již jen historická setrvačnost v tomto názvu, neboť základní poledník jevlivem kolísání pólu s časem proměnný. V současnosti je permanentně zaměřován avypočítáván Mezinárodní časovou službou v Paříži a neodpovídá původnímu poledníku(neprochází oním základním bodem v Greenwichi).

Do počátku 20. století se zeměpisné délky počítaly od poledníku procházejícímostrovem Ferro (nejzápadnějším z Kanárských ostrovů, hranicí tehdejšími Evropanypoznaného světa). Poledník Ferro byl základním i pro naši Jednotnou trigonometrickou síťkatastrální. Přibližný převodní vztah mezi oběma délkovými soustavami

FERRO GR 17 40L L ′= + ° je velmi často uvádě. Hodnotu správnou, tj. 17o 39‘ 46,02‘’ , cituje E.

Buchar v práci Tížnicové odchylky a geoid v ČSR. Tato prace sice vyšla, ale do prodeje senedostala, neboť byla prohlášena za tajnou.Geocentrická šířka β. β. β. β. V astronomických aplikacích se místo B užívá geocentrická∗) šířka β.Je dána úhlem, který svírá spojnice SP s hlavní poloosou (viz obr. 3.2.3). Druhou souřadnicízůstává L. ∗) Všechny veličiny vztažené k takto definovanému elipsoidu jsou veličinami geodetickými.∗∗) Termín zeměpisná šířka a délka se užívá od starověku. Původně se měřilo a mapovalo především v oblastiStředozemního moře a vynášení v mapě se konalo „po šířce“ nebo „po délce“ Středozemního moře. Z dobystarověku pochází také měření souřadnic od rovníku, protože polární oblasti nebyly známé.∗∗∗) Označení B, L je z německého Breite (šířka) a Länge (délka). Souřadnice [B, L] jsou geodetické, vztažené kezvolenému elipsoidu. Souřadnice [ϕ, λ] jsou astronomické souřadnice, které se měří na skutečném zemskémtělese (jsou s časem proměnné vlivem poruch jako je kolísání pólu, změna směru svislice v prostoru atd.).

33

Redukovaná šířka ψ. ψ. ψ. ψ. Pro teoretické účely byla zavedena redukovaná šířka ψ. Uvažovanýmbodem P (viz obr. 3.2.2) se vede rovnoběžka s osou y. Průsečíkem této rovnoběžky s osou xvznikne bod P1. Na kružnici o poloměru a se středem S se sestrojí bod Q jako

( ) 1 1, , kdeQ k S a PP PP b= ∩ . Redukovaná šířka ψ je úhel QSP1. Druhou souřadnicí zůstává

geocentrická délka L.Pravoúhlé souřadnice v rovině poledníkové elipsy [x, y]Volíme-li počátek rovinné souřadnicové soustavy ve středu S meridiánové elipsy, osu

x vložíme do hlavní poloosy a osu y do vedlejší poloosy meridiánové elipsy, bude její rovnice2 2

2 21

x y

a b+ = , nebo 2 2 2 2 2 2 0b x a y a b+ − = . Pravoúhlé souřadnice bodu P jsou definovány

1x SP= , 1y PP= .

S

b

a

e

Sp

p

P

1

B

Qn

p´

90 +B90 -

90 -B

k(S,a)

Obr. 3.2.1

Prostorové pravoúhlé souřadnice [X, Y, Z]Počátek souřadnicové soustavy je ve středu elipsoidu S. Osa X je průsečnicí

geodetické roviny rovníku s rovinou základního geodetického poledníku, osa Y leží v roviněrovníku a je kolmá na osu X v pravotočivé soustavě. Osa Z je vložena do vedlejší osy. OsyX,Y,Z tvoří pravoúhlou pravotočivou soustavu. Prostorové pravoúhlé souřadnice bodu P,který leží na ploše elipsoidu (H = 0), jsou definovány vztahy

cos cosX N B L= , cos sinY N B L= , ( )21 sinZ N e B= − (3.2.1)

∗) Zde je geocentrickou šířkou míněn úhel, který má vrchol ve středu referenčního elipsoidu. V současné době setermín „geocentrický“ většinou užívá pro střed elipsoidu totožný s těžištěm Země. Elipsoid se středem v těžištiZemě má název obecný (absolutní) elipsoid. Vzdálenosti středů referenčních elipsoidů od těžiště Země sepohybují řádově ve stovkách metrů.

34

kde N je příčný poloměr křivosti, viz rov. (3.2.9) a e je první výstřednost. Pro bod, který ležíve směru normály k elipsoidu ve výšce H nad elipsoidem, platí

( )cos cosX N H B L= + , ( )cos sinY N H B L= + , ( )( )21 sinZ N e H B= − + (3.2.2)

Odvození viz při rov. (3.2.10) a (3.2.11).

3.2.1.1 Vybrané transformace souřadnic

ββββ ↔ ψψψψNásledující úlohy budeme řešit za předpokladu znalosti velmi jednoduchého (afinního) vztahumezi elipsou e a kružnicí k(S,a), viz obr. 3.2.2. Zní

1 1/ /PP PQ b a= (3.2.3)

pro všechny souřadnice ve směru osy y. Souřadnice ve směru osy x zůstávají neměnné. Z obr.3.2.2 vyplývá, že

1tan /PQ xψ = , tan /y xβ = ,

z čehož, viz též rov. (3.2.3),

1 1 1 2tan / tan / /

1

a aPQ y PQ PP

b a eψ β = = = =

−,

takže

( ) 0.52tan 1 taneψ β−

= − , ( )2tan 1 taneβ ψ= − (3.2.4)

ψψψψ ↔ BPodle obr. 3.2.2 je ( ) 1tan 90 /PQ pψ ′− =o , ( ) 1tan 90 /B PP p′− =o , z čehož

( )1

21

cotg / cotg tan / tan1

PQ a aB B

PP b a eψ ψ= = = =

−,

jak vyplývá z rov. (3.2.3). Takže

ψtan1tan 2eB −= , ( )2tan 1 tane Bψ = − (3.2.5)

B ↔ β β β βZřejmě platí pomocí rov. (3.2.4) a (3.2.5), že

( )( )

2

20.52

1tan / tantan / tan 1

tan / tan 1

eB e

B e

β ψβψ −

−= = = −

−,

( )2tan 1 tane Bβ = − , ( ) 12tan 1 tanB e β−

= − .

35

B ↔ x,yOpět použijeme obr. 3.2.2. Vyplývá z něho, že

cosx a ψ= , siny b ψ= (3.2.6)

Použijeme-li známých pouček z goniometrie, je možno cos ψ a sin ψ vyjádřit jako tg ψ. Zní

2

1cos

1 tanψ

ψ=

+,

2

tansin

1 tan

ψψψ

=+

(3.2.7)

Za tanψ dosadíme z rov. (3.2.5) do předchozích rovnic, tyto do rov. (3.2.6) a postupnědostáváme, že

( )2 2

1

1 1 tanx a

e B=

+ −,

( )( )

2

2 2

1 tan

1 1 tan

e By b

e B

−=

+ −

( )2 2 2

cos

cos 1 sin

a Bx

B e B=

+ −,

( )( )

2

2 2 2

1 sin

cos 1 sin

a e By

B e B

−=

+ −

2 2

cos

1 sin

a Bx

e B=

−,

( )2

2 2

1 sin

1 sin

a e By

e B

−=

−

(3.2.8)

kde 2 21 sinW e B= − je tzv. druhá základní (fundamentální, hlavní) geodetická funkce. Pakje také možno psát

cos /x a B W= , ( )21 sin /y a e B W= −

Pro úplnost uveďme první základní (fundamentální, hlavní) geodetickou funkci2 21 sinV e B′= + . Vztahy mezi nimi jsou

21 eVW −= , 21 eWV ′+=

Obě funkce se v geodézii často používají, především ve vyšší geodézii. Druhá základnígeodetická funkce V se užívá s polárním poloměrem křivosti c. Obě funkce W a V závisí jenna geodetické šířce B a bývaly tabelovány k tomuto argumentu B. Důvodem pro jejichzavedení bylo počtářské zjednodušení. Dnes již toho není třeba. S rov. (3.2.8) souvisí další důležitá veličina, a to je příčný poloměr křivosti

2 21 sin

a aN

We B= =

−(3.2.9)

což je poloměr oskulační kružnice v rovině rovnoběžky daného bodu, tzv. příčný poloměrkřivosti. Odvození je v kap. 3.2.3.Geocentrický průvodič, viz obr. 3.2.2, je

( )2 2 2 2 2 2 2cos 1 sin 1 sinx y a e a eρ ψ ψ ψ= + = + − = −

36

S pomocí rov. (3.2.6) nebo též s pomocí rov. (3.2.8)

( ) ( )2 2 2 2 2 2cos 1 sin / 1 2 sin /a B e B W a e e B Wρ = + − = + −

a s pomocí první rov. (3.2.4) a druhé rov. (3.2.7) je

2 22 2

2 2 2 2 2 2

tan tan1 1

1 tan 1 tan cos sin

ba e a e

e e

ψ βρψ β β β

= − = − =+ − + −

Transformace v prostoru (3-D transformace)

a) B, L, H=0 → X, Y, ZZ obr. 3.2.3 a z trojúhelníku vpravo nahoře vyplývají pro souřadnice X, Y, Z vztahy

cosX x L= , sinY x L= , Z y= , které lze upravit dosazením vztahů (3.2.8) a (3.2.9).Dostáváme

( )2cos cos , cos sin , 1 sinX N B L X N B L Z N e B= = = − (3.2.10)

S90 -L

X

L

.

P

Y

x

p

p

Z

Obr. 3.2.1

b) B, L, H → X, Y, ZV rov. (3.2.10) příčný poloměr křivosti N se nahradí výrazem (N+H), čímž se získají rovnice,viz též rov. (3.2.2),

( ) ( ) ( )( )2cos cos , cos sin , 1 sinX N H B L Y N H B L Z N e H B= + = + = − + (3.2.11)

Elipsoidická výška H bodu P je rovna součtu jeho „normální“ výšky Hn a výšky kvζkvazigeoidu nad elipsoidem, takže n kvH H ζ= + .

c) X, Y, Z → B, L, HZpětnou transformaci lze provést nepřímým i přímým způsobem.

37

a) Nepřímý způsob (postupná aproximace)Geodetická délka L se vyjádří vydělením druhé a první rov. (3.2.11). Je tg /L Y X= . Z týchžrovnic získáme

( )2 2 cosX Y N H B p+ = + = , (3.2.12)

kde p je hodnota známá. Touto hodnotou vydělíme třetí rov. (3.2.11) a máme

( )( )

2

2

2 2

sin 1tan tan

cos 1 /

N H Ne BZ ZB e B

p N H B H NX Y

+ −= = = −

+ ++,

z čehož vyplývá pro geodetickou šířku B vztah

( )2 21tan sin sin

Z NB e B Z Ne B

p p p= + = + , (3.2.13)

který řešíme postupnou aproximací, neboť druhý člen pravé strany rov. (3.2.13) obsahujemalou veličinu 2e . Neznámou je ovšem i příčný poloměr křivosti N, viz rov. (3.2.9), který serovněž postupně upřesňuje společně s výrazem B. Takže postup bude tan /IB Z p= ,

( ) 0.52 21 sinI IN a e B−

= − , ( )2 21tan sin tan sin

III I I I IN

B Z N e B B e Bp p

= + = + ,

( ) 0.52 21 sinII IIN a e B−

= − , 2tan tan sinII

III I IINB B e B

p= + atd.

Zpravidla již třetí aproximace dává hledanou hodnotu B.

Elipsoidickou výšku H uvádí rov. (3.2.12).

b) Přímý způsob, viz [4]Nejdříve se vypočítají konstanty k1, k2, k3 , které jsou pro daný referenční elipsoid neměnné a

stačí je tedy vypočítat jen jednou, 2 2

1 2 3, ,a E E

k k kb a b

= = = , kde a, b viz úvod kap. 3.2 a

2 2 2E a b= − . Zavedeme 1arctank Z

pθ = , pak

32 23

32

sintan , tan , cos sin 1 sin

cos

Z k YB L H p B Z B a e B

p k X

θθ

+= = = + − −−

(3.2.14)

PŘÍKLAD 6Transformace B, L, H na X, Y, ZJsou dány parametry Besselova elipsoidu a, e2 a elipsoidické zeměpisné souřadnice B,L,Hbodu P, který leží vně Besselova elipsoidu:a = 6377397,155 m, e2 = 0,0066743722 , B = 50o , L = 15o , H = 10 m.Určete pravoúhlé prostorové souřadnice X,Y,Z bodu P.Výpočet:Použijeme jednoduše rov.(3.2.11). Dříve je však nutné vypočítat příčný poloměr křivosti Nz rov. (3.2.9).

38

Výsledek:N = 6 389 923,082 m, X = 3 967 414,579 m, Y = 1 063 065,533 m, Z = 4 862 301,910 m.

PŘÍKLAD 7Transformace X, Y, Z na B, L, H.a) Nepřímý způsobTuto úlohu budeme nejprve řešit postupnými aproximacemi, viz bod c) v předchozím textu.Dány jsou opět parametry Besselova elipsoidu a a e2 a pravoúhlé prostorové souřadnice X,Y,Zbodu P, viz výše.Výpočet:Geodetickou délku L určíme z výrazu tan L = Y/X, který jsme získali z druhé a první rov.(3.2.11). Geodetickou šířku B určíme postupným přibližováním, viz rov.(3.2.13) a text za ní.V jednotlivých aproximacích dostáváme ve [o]: 49,810095874469, 49,999475608660,49,999998548200, 49,999999995981 a 49,999999999989. Elipsoidickou výšku určujerov.(3.2.12), která zní H = p/cosB - N.Výsledky:B = 50o , L = 15o , H =10 m, což se shoduje se zadanými veličinami v úvodu příkladu 6.

b) Přímý způsob, viz [4].Dány jsou parametry Besselova elipsoidu a, e2 a pravoúhlé prostorové souřadnice X,Y,Z boduP, který leží vně Besselova elipsoidu:a = 6377397,155 m , e2 = 0,0066743722X = 3967414,58 m , Y = 1063065,533 m , Z = 4862301,91 mUrčete geodetické souřadnice B,L,H téhož bodu P, a to přímým postupem, viz bod b)v předchozím textu. Jde tedy o tutéž úlohu, řešenou bezprostředně před touto úlohou, lečnepřímým způsobem, tj. pomocí aproximací.Výpočet: Nejprve vypočteme vedlejší poloosu b = a (1 – e2) 0,5 = 6 356 078,962 919 936 m, potépomocnou veličinu E = (a2 - b2)0,5 = 521 013,137 769 800 8 a dálek1 = 1,003 353 984 776 531, k2 = 42 565,122 279 691 77 m, k3 = 42 707,885 051 829 05 m,P = (X2 + Y2)0,5 = 4 107 369,812 550 259 m a θ = 49o,905 506 477 093 72.Výsledky:Viz rov. (3.2.14): B = 49o,999 999 991 6 , L = 15o,000 000 001 644 86,H = 10,000 364 988 m, což je zcela vyhovující.

3.2.2 K řivky na rotačním elipsoidu

Zemský poledník je množina bodů s konstantní geodetickou zeměpisnou délkou. Má tvarelipsy, která spojuje severní a jižní pól. Na ploše elipsoidu je jich nekonečně mnoho. Výpočetdélky poledníkového oblouku je v kap. 3.2.4.Zemská rovnoběžka. Z obr. 3.2.4 vyplývá, že rovnoběžka, která prochází bodem P ogeodetické šířce B, je kružnice o poloměru cosr x N B= = .Oblouk sr rovnoběžky mezi body o geodetických délkách L1, L2 je tedy obloukem kružnice opoloměru r při středovém úhlu 2 1L L L∆ = − , takže cosrs N B L= ∆ , kde L∆ je v radiánech.Tečny k ploše elipsoidu, kolmé k oblouku rovnoběžky, jsou tečnami k poledníkům, směřujído bodu V a tvoří kuželový plášť.

39

Normálové řezy. Mezi body [ ]1 1 1,P B L a [ ]2 2 2,P B L lze obecně vést dva normálové řezy (viz

obr. 3.2.5). První normálový řez vytváří rovina daná normálou n1 a bodem P2 a druhýnormálový řez normálou n2 a bodem P1, přičemž normály n1, n2 jsou obecně mimoběžky.Normála n1 v bodě P1 protne rotační osu elipsoidu v bodě V1, normála n2 v bodě V2. Rovinaurčená body 1 1 2PV P obsahuje normálu n1 a protíná elipsoid v normálovém řezu s1. Rovina

1 2 2PV P obsahuje normálu n2 a protíná elipsoid v normálovém řezu s2.

B

B .

S

x

t

P n

B

Sp

V´

N

y

Obr. 3.2.1

Normály n1, n2 nebudou mimoběžné a obě roviny se ztotožní, jestliže body P1, P2 leží:- na stejném poledníku – obě normály leží v jedné meridiánové rovině a oba normálové

řezy splývají v jednu křivku, která je totožná s meridiánovou elipsou- na stejné rovnoběžce – bod V1 splyne s V2.

Pozn.: Naznačená situace nastává v praxi v okamžiku, kdy v bodě P1 urovnáme svislou osuteodolitu do směru normály n1 a zaměříme na bod P2. Záměrná rovina protne elipsoidv normálovém řezu s1. Při měření z bodu P2 na P1 záměrná rovina protne elipsoidv normálovém řezu s2.

Geodetická křivka. Definice geodetické křivky, resp. ortodromy pro kouli, byla uvedenav kap. 3.1.2. Na elipsoidu bychom geodetickou křivku vyznačili tak, že bychom mezi dvěmabody napjali poddajný provazec, který by ve všech svých bodech přiléhal k elipsoidu. Stejnětak by tomu bylo i u jiných ploch, ovšem vždy s přihlédnutím k výše uvedené definici.K představě geodetické čáry na elipsoidu lze dospět ještě poněkud jinak. Vyjděme z jistéhopočátečního bodu A a v malé vzdálenosti vytýčíme bod B. Poté přejdeme na bod B, urovnámestroj/teodolit, zaměříme na bod A a ve směru odchýleném o 180o vytýčíme bod C, opět v malévzdálenosti. A tak pokračujeme až ke konečnému bodu Z pořadu. Křivka A, B, C, … , Z jekřivkou geodetickou na elipsoidu. Zde je křivkou prostorovou. Uveďme další doplnění jejíchvlastností pro elipsoid.

40

n1

2

1

2

12

1

2

1

2

Obr. 3.2.2

1. Geodetická křivka na elipsoidu je obecně prostorová křivka. Ve speciálním případě jekřivkou rovinnou, a to poledníkem, spojuje-li zemské póly.

2. Geodetická křivka protíná každý poledník (tj. jinou geodetickou křivku téže plochy)pod dvěma azimuty. Měříme-li jeden od severní a druhý od jižní větve poledníku, majístejnou velikost.

3. Pro geodetickou křivku platí Clairautova věta: součin poloměru rovnoběžkovékružnice r a sinu azimutu A je pro každý bod P geodetické křivky konstantní. Platí

0sin cos sinr A N B A k= = , kde 0k je konstanta.4. Průběh geodetické křivky:

- azimut geodetické křivky 0A ≠ °Pro křivku jdoucí na sever platí, že se zmenšujícím se poloměrem rovnoběžek se musí

zvětšovat azimut geodetické křivky. Geodetická křivka protínající rovník pod azimutem A0

(A0 je minimální azimut křivky, rovník je maximální rovnoběžka s poloměrem a) jde na severnejdále k mezní rovnoběžce, kterou nepřejde (zde o90 sin 1A A= ⇒ = ⇒ cosr k N B= = ).Výchozí azimut A0 na rovníku zároveň udává poloměr této mezní rovnoběžky (je-li

0 0 0 090 0 sinA B N a r k a A< ° ∧ = ∧ = ⇒ = = ). Nastává její obrat k jihu, pod azimutem A

> 90° přejde rovník a celý průběh se opakuje s tím rozdílem, že se nevrátí přesně dovýchozího bodu na rovníku, ale obíhá elipsoid mezi oběma mezními rovnoběžkamiv nekonečné řadě vln.

- azimut geodetické křivky 0A = °Je-li v některém bodě 0A = ° , platí to pro celý její průběh. Této podmínce vyhovujípoledníky.

5. Geodetická křivka je nejkratší spojnicí obou koncových bodů a obecně leží mezivzájemnými normálovými řezy, jejichž úhel rozděluje v poměru 1:2. Příčná vzdálenost

41

vzájemných normálových řezů je největší právě uprostřed a je geodetickou křivkoupůlena.

6. Leží-li oba koncové body na společném poledníku, normálové řezy splývají a s nimi igeodetická křivka. Leží-li oba koncové body na téže rovnoběžce, normálové řezysplývají, ale geodetická křivka probíhá mimo. Při azimutech geodetické křivkyblízkých 90° geodetická křivka protíná nebo se dotýká normálových řezů.

Mezi dvěma body na elipsoidu existují obecně 2 normálové řezy, ale jen jedna geodetickákřivka. Řešení sféroidických trojúhelníků bude jednoznačné jen tehdy, spojíme-li jejichvrcholy geodetickými čarami. Při měření teodolitem ale záměrné roviny protínají elipsoidv normálových řezech a tedy měřené úhly se vztahují k nim. Pro velmi přesné výpočty senaměřené úhly redukují z normálových řezů na geodetické křivky.

d

Sp

Jp

SB

1

2

3

4

Obr. 3.2.3

Diferenciální rovnice geodetické křivky. Na obr. 3.2.6 je ds délkový element geodetickékřivky vedené z bodu P1, do bodu P2 pod azimutem A. Body P1 a P3 prochází rovnoběžkydiferenciálně blízké; rozdíl jejich zeměpisných šířek je dB. Body P1 a P4 prochází rovněž dvadiferenciálně blízké poledníky; rozdíl jejich zeměpisných délek je dL. Hlavní poloměrykřivosti (bližší v kap. 3.2.3) v bodě P1 jsou M, N.Průmětem elementu ds geodetické křivky na poledník, procházející bodem P1, je délkovýelement poledníku mezi body P1 a P3. Platí pro něj první diferenciální rovnice geodetickékřivky d d cosM B s A= . Průmětem elementu ds geodetické křivky na rovnoběžku,

42

procházející body P1 a P4, je délkový element rovnoběžky mezi body P1 a P4. Druhádiferenciální rovnice geodetické křivky je cos d d sinN B L s A= . Délkový element

rovnoběžky mezi body P1 a P4 lze také vyjádřit z trojúhelníka 1 4PVP .Je cos d cotg dN B L N B A= , kde cotgN B je délka VP1 na povrchovém kuželu. Dělenímdvou posledních diferenciálních rovnic se obdrží třetí diferenciální rovnice geodetické křivkyve tvaru

sin d sin tgd sin d d

cotg

A s A BA B L s

N B N= = = .

Geodetická křivka je tedy popsána soustavou diferenciálních rovnic

d cos

d

B A

s M= ,

d sin

d cos

L A

s N B= ,

d sin

d cotg

A A

s N B= (3.2.15)

Poučné bude tyto rovnice porovnat s rov. (3.1.2).Loxodroma na elipsoidu. Jak již bylo uvedeno v kap. 3.1.2, loxodroma je křivka, protínajícívšechny poledníky pod konstantním azimutem. Její rovnici lze odvodit s využitím obr. 3.2.7.

V diferenciálním trojúhelníku platí cos d

tgd

N B LA

M B= , neboli

dd tg

cos

M BL A

N B= . Jedná se

sice o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, ale řešení integrálu na pravé straněje poněkud složitější. Po vyřešení

( )22 1 2 2

2

1

tg 11 d

1 sin cos

B

B

L L A eB

e B B− = −

−∫má rovnice loxodromy na elipsoidu tvar

22 2

2 12 1

1 2 1

tan 451 sin 1 sin2

tan ln1 sin 1 sin

tan 452

e eBe B e B

L L AB e B e B

− + ° − − = + + + + °

.

1

23

4

Obr. 3.2.4

Podle trojúhelníku na obr. 3.2.7 lze sestavit rovnici vhodnou pro výpočet délkyloxodromy s12. Nesplývá-li loxodroma s rovnoběžkou, pak v diferenciálním trojúhelníku platí

43

dcos

d

M BA

s= , viz též první rov. (3.2.15). A protože azimut A je konstantní, je pak

12

2

1

1d

cos

B

B

s M BA

= ∫ . Je-li loxodroma zároveň rovnoběžkou (tj. má-li azimut 90A = o a tudíž

cos 0A = ), používá se pro výpočet délky loxodromy vztah cos d

sind

N B LA

s= , viz druhá

rov. (3.2.15), a platí 12

2

1

cos d

L

L

s N B L= ∫ .

3.2.3 Poloměry k řivosti na elipsoidu

Normálou k elipsoidu v daném bodě P lze proložit nekonečně mnoho rovin kolmýchk povrchu elipsoidu. Tyto roviny protínají elipsoid v normálových řezech, viz též kap. 3.2.2.Křivost plochy rotačního elipsoidu se mění s azimutem uvažovaného normálového řezu anavíc se zeměpisnou šířkou. V každém bodě na elipsoidu existují dva extrémní normálovéřezy, tzv. hlavní normálové řezy, jejichž křivost je minimální a maximální. Odpovídajícímipoloměry křivosti jsou hlavní poloměry křivosti: poledníkový poloměr křivosti M a příčnýpoloměr křivosti N. Z hlavních poloměrů křivosti se odvozují: poloměr křivosti Rαnormálového řezu v libovolném směru a střední poloměr křivosti Rm, jak bude uvedenov dalším textu. Křivost je převrácená hodnota poloměru křivosti.

dB

S x

B

yM

A

P´

P

ds .

poledník B

Obr. 3.2.1

44

Poledníkový poloměr k řivosti M. Bod P má geodetickou šířku B a jeho pravoúhlésouřadnice v rovině poledníku jsou x,y, viz obr. 3.2.8. Při posunu z bodu P do bodu P odélkový element ds se změní geodetická šířka o dB a pravoúhlé souřadnice o –dx a +dy(souřadnice x se zmenší). Z obr. 3.2.8 plyne pro elementární oblouček ds vztah dds M B= .

Oblouček ds lze vyjádřit i z trojúhelníku PP´A, který lze považovat za rovinný, d

sin

xds

B= − .

Dosazením tohoto vztahu do předchozího se dostane d

dsin

xM B

B− = . Odtud

1 d

sin d

xM

B B= − .

Hodnota d

d

x

B se vypočte derivací souřadnice x, viz první rov. (3.2.8), podle B. Jest

( )( )

( )( )

2 2 2 2 2

32 2 2 2 2 22 2 2

sin 1 sin sin cos 1 sind d cos

d d 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin

a B e B ae B B a e Bx a B

B B e B e B e B e B

− − + − = = = −

− − − −

Vzorec pro poledníkový poloměr křivosti je tedy ( )

( )( )2 2

3 32 2 2

1 1

1 sin

a e a eM

We B

− −= =

−.

Minimální hodnoty nabývá pro o0B = : ( )20 1M a e= − .

Maximální hodnoty nabývá pro o90B = : 2

90 21

a aM c

be= = =

−.

Poledníkový poloměr křivosti je funkcí zeměpisné šířky B. Pro argument B byly protohodnoty M tabelovány. Dnes se tyto výpočty realizují na PC.Příčný poloměr k řivosti N. Řez elipsoidu rovinou proloženou normálou v daném bodě P akolmou k rovině meridiánu se nazývá příčný normálový řez. Je to obecně elipsa, kroměrovníku, kde je to kružnice. Normály k elipsoidu, sestrojené ve všech bodech téže rovnoběžkyo geodetické šířce B, se protínají v bodě V ležícím na malé ose b, obr. 3.2.9. Množina všechnormál téže rovnoběžky tvoří povrch kužele o vrcholu V. Normála PV a její diferenciálněblízká normála jsou současně normálami i příčného normálového řezu. Platí, že průsečík dvoudiferenciálně blízkých normál - bod V - je středem křivosti příčného normálového řezu.

V

n

x

Pøíènýnormálovýøez

Obr. 3.2.2

45

Příčný poloměr křivosti N je proto dán úsečkou N=PV. N je zároveň poloměr koule o středuV, která se dotýká elipsoidu podél rovnoběžky r. Podle obr. 3.2.9 platí cosx N B= , tedy

cos

xN

B= , kde

2 2

cos

1 sin

a Bx

e B=

−, viz první rov. (3.2.8). Dosazením se obdrží vyjádření pro

příčný poloměr křivosti 2 21 sin

aN

e B=

−.

Minimální hodnoty nabývá pro o0B = : 0N a= .

Maximální hodnoty nabývá pro o90B = : 2

90 21

a aN c

be= = =

−.

Pozn.1.: Příčný poloměr křivosti je také funkcí B. Pro libovolný bod na elipsoidu je N M>

s výjimkou pólů. Poměr obou hlavních poloměrů křivosti je 2 2

2

1 sin

1

N e B

M e

−=−

. Čím víc se

blíží 1N

M→ , tím více se přibližuje elipsoidický povrch kulovému. Na pólu 1

N

M= , tedy

2

90 90 21

a aM N c

be= = = =

−. Maximální rozdíl meridiánového a příčného poloměru křivosti

je na rovníku, kde 2

1

1

N

M e=

−.

Pozn.2.: Délka normály mezi bodem P a rovníkem, s užitím druhé rov. (3.2.8), je

( ) ( )2

2

2 2

11

sin 1 sin

a eyPQ N e

B e B

−= = = −

−.

Poloměr k řivosti Rα v libovolném azimutu α. Z poloměrů křivostí M, N lze určit poloměrkřivosti Rα normálového řezu v obecném azimutu α podle Eulerovy∗) věty

2 21 cos sin

R M Nα

α α= + . Na pólech je poloměr Rα ve všech směrech stejný.

Střední poloměr k řivosti Rm. Elipsoidickou plochu lze s určitou přesností nahradit plochoukulovou o středním poloměru a pak elipsoidické trojúhelníky řešit pomocí sférickétrigonometrie. Střední poloměr koule je vztažen ke střední šířce B zobrazovaného území.Protože mM R N< < , mohou se obě plochy ztotožnit jen v jednom bodě [ ]0 0 0,P B L . Koule o

poloměru Rm jde pak ve směru poledníku L0 nad elipsoidem, ve směru rovnoběžky B0 podplochou elipsoidu. Střední poloměr křivosti v určitém bodě je aritmetický průměr všechnormálových poloměrů křivosti v tomto bodě. Podle věty Grunertovy5 je tento aritmetickýprůměr roven geometrickému průměru hlavních poloměrů křivosti M, N, tedy

2

2 2

1

1 sinm

a eR MN

e B

−= =−

.Reciproká hodnota čtverce středního poloměru křivosti

2

1 1 1

m

KM NR

= ⋅ = je Gaussova míra křivosti plochy v bodě P. Je to součin křivostí hlavních

normálových řezů, vedených tímto bodem.

∗) Důkaz věty Eulerovy a Grunertovy přesahuje rámec tohoto učebního textu.

46

3.2.4 Základní výpočty na rotačním elipsoidu

Výpočet délky poledníkového oblouku (rektifikace meridiánu). Jsou dány geodetickézeměpisné šířky B1, B2 koncových bodů a počítá se délka poledníkového oblouku. Jedná se ooblouk eliptický a obecné řešení vede k eliptickému integrálu. Oblouček ds poledníkovéelipsy, odpovídající diferenciálně malé změně dB, se vypočte jako oblouk kruhový opoloměru M, tj. d ds M B= .Délka poledníkového oblouku s od rovníku k bodu P o šířce B se vypočte integrací první rov.(3.2.15). Dostáváme

( )( )

23

2 2 20 0

1d

d1 sin

BB

s a eB

M Be B

= = −−

∫ ∫ .

Délka poledníkového oblouku s mezi dvěma rovnoběžkami o šířkách B1, B2 se vypočte jako

rozdíl 1 2s s s= − , kde 1

1

0

d

B

s M B= ∫ , 2

2

0

d

B

s M B= ∫ , viz obr. 3.2.10.

Délka poledníkového oblouku je funkcí B a byla tabelována k tomuto argumentu. Dříve sevýpočet prováděl rozvojem funkce ve jmenovateli v řadu (odvození řad pro výpočet délkypoledníkového oblouku viz např. [3], [6]). Dnes se výpočet provádí numericky na PC.Výpočet ploch. Plošný element dP elipsoidického lichoběžníku, omezeného dvěmadiferenciálními rovnoběžkami , dB B B+ a poledníky , dL L L+ , viz obr. 3.2.7, je dánvztahem

d cos d dP M N B B L= . (3.2.16)

Plošný obsah elipsoidického lichoběžníku, omezeného dvěma rovnoběžkami 1 2,B B a

poledníky 1 2,L L , se vypočte integrací rovnice (3.2.16). Postupně se získá

( ) ( )( )( ) ( )∫

∫ ∫∫ ∫

−−−=

=−

−==

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2221222

222

22

sin1

cos1

sin1

cos1cos

B

B

L

L

B

B

B

B

L

L

Be

BdBLLea

Be

BdBdLeaBdBdLMNP

kde rozdíl 2 1L L− je v radiánech.

Byly vyčísleny tabulky ploch lichoběžníků mezi dvěma poledníky 1 2,L L od rovníku

( )0B = až po obecnou rovnoběžku. Při výpočtu bylo užito rozvoje funkce ve jmenovateli

v řadu. Výsledný vztah pro výpočet povrchu celého elipsoidu pomocí řady je

2 2 4 62 3 44 1 ...

3 5 7P b e e eπ = + + + + (3.2.17)

47

S

B1 B2

P1

P2

s1

s2

dB

ds

Obr. 3.2.1

Poloměr náhradní koule. V méně náročných výpočtech lze celý elipsoid nahradit koulí.Poloměr je možno odvodit třemi způsoby:

Koule má stejný objem jako elipsoid, tj. 3 24 4

3 3R a bπ π= , odtud 3 2R a b=

Koule má stejný povrch jako elipsoid, s dosazením (3.2.17), platí

2 2 2 4 62 3 44 4 1 ...

3 5 7R b e e eπ π = + + + + , tedy 2 4 62 3 4

1 ...3 5 7

R b e e e= + + + + .

Koule má poloměr rovný aritmetickému průměru všech tří poloos rotačního elipsoidu,

tj. 2

3

a bR

+= .

Všechny tři způsoby výpočtů poloměrů pro daný elipsoid jsou po zaokrouhlení na 0,1km stejné. Pro elipsoid Besselův činí RBess = 6370,3 km, Krasovského RKras = 6371,1 km,elipsoid GRS80 RGRS80 = 6371,0 km.

3.2.5 Řešení sféroidických trojúhelníků3.2.5.1 Řešení přechodem na náhradní kouli

Metoda excesová. Pro délky stran trojúhelníků kratší než 60 km lze postupovat takto:Sféroidický trojúhelník se řeší jako sférický na náhradní kouli o poloměru rovném střednímupoloměru křivosti v těžišti trojúhelníku Rm (viz kap. 3.2.2), který je vztažen ke střední šířce.

Exces se počítá ze vzorce ´ ´ ´P

PKMN

ε ρ ρ= = , kde P je obsah trojúhelníka a K je Gaussova

míra křivosti (viz kap. 3.2.2). Následuje řešení v rovině, které je uvedeno v četnýchučebnicích vyšší geodézie, např. [2], [6].Metoda aditamentová. Střední poloměr křivosti se v důsledku malého zploštění elipsoidupoměrně málo mění se zeměpisnou šířkou. Pro celé území bývalé ČSSR lze volit jeden

48

poloměr Rm= 6381,6 km, který je vztažen k 49°30´B = . Lineární aditamenty v metrech se

počítají ze vzorce 6 34,093 10sA s−= ⋅ , kde délka strany s je v kilometrech, např. [2], [6].

Moderní postupy jsou založeny na numerické integraci rov. (3.2.15).

LITERATURA:

[1] Böhm J.: Vyšší geodézie. Díl I. ČVUT, Praha 1979.[2] Cimbálník M., Mervart L.: Vyšší geodézie 1. ČVUT, Praha 1999.[3] Kabeláč J.: Příspěvek k rektifikaci meridiánu. Geod. a kart. obzor, sv. 1/43, č. 3, Praha

1955.[4] Pick M.: O exaktnosti v geodézii. V: Voj.-tech. informace, č. 58/1998, s.6-9.[5] Ryšavý J.: Vyšší geodézie. ČMT, Praha 1947.[6] Vykutil J.: Vyšší geodézie. Vydavatelsrví Kartografie, Praha 1982.

3.3 Vztahy mezi dvěma elipsoidy

3.3.1 Úvod

Připomeňme, že nasledující asi tři stránky jsou opakováním a doplněním kap. 1.4. Podle vazby souřadnicového systému elipsoidu na zemské těleso rozeznáváme 2druhy rotačních elipsoidů.

Elipsoid referenční nemá střed totožný s těžištěm Země. Vedlejší poloosa nemusíbýt rovnoběžná s osou zemské rotace. Referenční elipsoid aproximuje těleso (geoid) jenv určité oblasti. V 18.-20. století byla odvozena řada elipsoidů, které se lišily kromě rozměrů isvou polohou a orientací vzhledem ke geoidu. Jde o tzv. geodetické datum∗). Pro geodetickévýpočty se užívaly elipsoidy, které odvodil např. Bessel, Hayford, Clarke, Krasovskij aj.

Elipsoid obecný (absolutní) vystihuje Zemi (geoid) jako celek. Musí splňovatnásledující čtyři podmínky:

- jeho geometrický střed je totožný s těžištěm Země,- jeho vedlejší poloosa splývá s osou zemské rotace,- součet čtverců převýšení geoidu od tohoto obecného elipsoidu je minimální,- rotační rychlost je stejná jako rotační rychlost Země.

Tento elipsoid se nejlépe přimyká k povrchu celé Země. Příkladem je elipsoid systémuWGS84 (World Geodetic System 1984).

Pro řešení řady aktuálních výpočtů v geodézii je nezbytné znát vztahy prosouřadnicové transformace mezi oběma typy elipsoidů. Tak se určí nejen vzájemná polohatěchto elipsoidů, ale získá se i možnost převedení souřadnic z jednoho elipsoidu na druhý anaopak. Tím, že se určí převodní vztahy mezi různými referenčními elipsoidy na jedné straněa obecným elipsoidem na straně druhé, získají se i převodní vztahy mezi referenčnímielipsoidy navzájem. Úloha je též známa pod názvem nalezení transformačního klíče.

∗) Geodetické datum obsahuje velikost hlavní osy a číselnou výstřednost použitého referenčního rotačníhoelipsoidu. Dále obsahuje údaje, které jednoznačně určují jeho polohu vůči fyzikálnímu tělesu zemskému, resp.vůči geoidu. Jsou to: výška základního (výchozího, referenčního) bodu a orientace elipsoidu pomocí tížnicovýchodchylek a astronomických azimutů na referenčním bodě. Prostřednictvím měření na družice byly tyto orientačníparametry nahrazeny sedmi transformačními, které jsou nazývány transformační klíč.

49

V kap. 3.3.2 budou odvozeny základní transformační rovnice pro převody mezisouřadnicovými systémy. V kap. 3.3.3 budou odvozeny zprostředkující rovnice pro určenítransformačního klíče podle metody nejmenších čtverců (MNČ). Úlohy v kap. 3.3.4 jsouprezentovány jako vztahy mezi Besselovým elipsoidem a elipsoidem WGS84. Uvedenéaplikace však platí pro libovolnou dvojici (rotačních) elipsoidů.

Besselův elipsoid byl odvozen v roce 1841 tzv. obloukovou metodou. Bessel využilvýsledků měření deseti různých poledníkových oblouků a parametry elipsoidu vypočítalvyrovnáním podle MNČ. Oblouková metoda je ryze geometrická, při jejím užití se neuvažujevliv tížnicových odchylek. Nezohledněné větší tížnicové odchylky v koncových bodechměřených poledníkových oblouků negativně ovlivnily přesnost výsledku (podrobné odvozeníviz např. [4]). Parametry Besselova elipsoidu jsou:

hlavní poloosa a = 6 377 397,155 08 m,vedlejší poloosa b = 6 356 078,962 90 m,výstřednost e2 = 0,006 674 372 230 62

Besselův elipsoid je vhodný zejména v oblastech střední Evropy, byl použit pro geodetickévýpočty na našem území.WGS84 je globální geocentrický geodetický systém, užívaný armádou USA. Parametryelipsoidu WGS84 jsou:

- primární:hlavní poloosa a = 6 378 137 mvýstřednost e2 = 0,006 694 379 990 14geocentrická gravitační konstanta GM = 398600,4418 km3. s-2

úhlová rychlost rotace Země ω = 7,292115 . 10-5 rad . s-1

- sekundární:definují model struktury zemského tíhového pole pomocí geopotenciálních harmonických(Stokesových) koeficientů.

Počátek souřadnicové soustavy WGS84 je v těžišti C Země, viz obr. 3.3.1. Osa Zsměřuje ke konvenčnímu terestrickému pólu∗). Osa X je průsečnice základního poledníku aroviny rovníku, vztažené ke konvenčnímu terestrickému pólu. Osa Y doplňuje systém napravoúhlý pravotočivý systém (směr kladné části osy Y je 90° východně vzhledem k ose X).V systému WGS84 pracuje globální systém určování polohy GPS.

3.3.2 Odvození transformačních rovnic mezi dvěma souřadnicovými soustavamidvou elipsoidů

Podle obr. 3.3.1 uvažujme souřadnicový systém [ ], ,X Y ZS . Tento systém posuneme

rovnoběžně tak, že počátek přejde z C do O , čímž vznikne rovnoběžně posunutý systém

[ ], ,X Y Z′ ′ ′ ′S . Posun je dán vektorem [ ]ZYXOC ∆∆∆′ ,, , označme jej ∆∆∆∆S. Poté dojde

k natočení do systému [ ], ,x y zs vždy v kladném smyslu kolem osy X o xε+ , kolem osy Y´ o

∗) Přesná měření ukázala, že dochází k posunu pólů po zemském povrchu. Zemská osa kolísá, tedy její průsečíks povrchem – tzv. okamžitý pól – není stálý. Opisuje na zemském povrchu složitou křivku přibližně kruhovéhotvaru, která nevychází ze čtverce o straně asi 20 m. Pohyb má periodický charakter. Střední hodnota pólu, tzv.konvenční terestrický pól (Conventional Terrestrial Pole – CTP) nebo také mezinárodní konvenční počátek(Conventional International Origin – CIO), je na základě přesných výpočtů definován mezinárodní službou vesmluveném geocentrickém souřadnicovém systému. Tato služba udává také polohu základního (nultého)poledníku (viz též kap. 3.2.1). Rovněž i střední pól se pohybuje, a to přibližně lineárně.

50

xy

y

xX

Y

Z

z

y

zX´

Y´

Z´

X

Z

´

Y

x

z

Obr. 3.3.1

yε+ a kolem osy Z´ o zε+ . Počátek zůstává nezměněn, o O′≡ . Žádný z těchto dvou systémůs a S neupřednostňujeme. Pro odvození transformačních rovnic budeme nyní postupněpřevádět systém s do systému S´ a ten do systému S.Transformace probíhá ve třech krocích:

a) Rotace (otočení)Maticový zápis otočení je

′ =S R s (3.3.1)

kde matice rotace R takto definovaného modelu je

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

cos , cos , cos ,

cos , cos , cos ,

cos , cos , cos ,

X x X y X z

Y x Y y Y z

Z x Z y Z z

′ ′ ′ ′ ′ ′= ′ ′ ′ R (3.3.2)

Kosiny úhlů, které spolu svírají jednotlivé souřadnicové osy, lze vyjádřit pomocí rotačníchparametrů. Podle obr. 3.3.1 je

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 1,cos,cos,cos

,sin90cos,cos

,sin90cos,cos

,sin90cos,cos

=′=′=′=−=+°=′

==−°=′=−=+°=′

&&&

&

&

&

zZyYxX

xZ

xY

yX

yyy

zzz

zzz

εεεεεε

εεε

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ,sin90cos,cos

,sin90cos,cos

,sin90cos,cos

xxx

xxx

yyy

yZ

zY

zX

εεεεεε

εεε

==−°=′=−=+°=′

==−°=′

&

&

&

a matice rotace (3.3.2) bude ve tvaru

1

1

1

z y

z x

y x

ε εε εε ε

− = − −

R (3.3.3)

51

b) Změna měřítkaSystém s má jiný rozměr než systém S, resp. S . Měřítkový koeficient k vyjadřuje změnudélkového měřítka při přechodu mezi oběma systémy. Tedy

( )1 k′ = +S R s (3.3.4)

c) Translace (posunutí)Souřadnicové systémy [ ], ,X Y ZS a [ ], ,X Y Z′ ′ ′ ′S jsou pouze rovnoběžně posunuty. Lze psát

′= + ∆S S S (3.3.5)

kde [ ], ,X Y Z∆ = ∆ ∆ ∆S .Takže konečný tvar transformační rovnice je ( )1 k= ∆ + +S S Rs, čili

( )1

1 1

1

z y

z x

y x

X X x

Y Y k y

Z Z z

ε εε εε ε

∆ − = ∆ + + − ∆ − (3.3.6)

Pro ilustraci je v tab. 3.3.1 uvedeno sedm parametrů, tj. parametrů transformačníhoklíče, pro převod ze souřadnicového systému Besselova elipsoidu do systému elipsoiduWGS84 a sedm parametrů pro převod ze systému elipsoidu WGS84 do systému Besselovaelipsoidu, viz [2].

Tab. 3.3.1 Transformační koeficienty mezi geocentrickým elipsoidem WGS84 aelipsoidem Besselovým

Pro transformaci systémuBESSEL → WGS84

Pro transformaci systémuWGS84 → BESSEL

X∆ 570,83789 [m] x∆ -570,82850 [m]

Y∆ 85,682641 [m] y∆ -85,676889 [m]Z∆ 462,84673 [m] z∆ -462,84202 [m]k 3,5610256 . 10-6 k -3,5623099 10-6

xε 4 ,9984501

3600 180

π′′ [rad] xε -

4 ,9984037

3600 180

π′′ [rad]

yε 1 ,5867074

3600 180

π′′ [rad] yε -

1 ,5867164

3600 180

π′′ [rad]

zε 5 ,2611106

3600 180

π′′ [rad] zε -

5 ,2610779

3600 180

π′′ [rad]

Pozn. Pro méně přesné výpočty je dostačující uvažovat pro obě transformace shodné číselnéhodnoty koeficientů zaokrouhlené na dvě desetinná místa. Pokud by chtěl čtenář zdůvodnitnestejnost parametrů v druhém a čtvrtém sloupci, nechť si vyjádří transformační rovnicejednak podle rov. (3.3.6), jednak z rovnic pro opačnou transformaci a pak tyto výrazyporovná. Hodnoty uvedené v tab. 3.3.1. jsou upřesňovány podle počtu naměřenýchidentických bodů.

52

3.3.3 Odvození zprostředkujících rovnic oprav pro určení transformačníhoklíče

Úpravou rov. (3.3.6) postupně dostaneme

0

0

0

z y

z x

y x

X X x x x

Y Y y k y y

Z Z z z z

ε εε εε ε

∆ − = ∆ + + + − ∆ − ,

po zanedbání veličin , ,x y zk k kε ε ε , jakožto malých veličin 2. řádu. Dále je

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

x x

y y

z z

X x z y x X v

Y k y z x y Y v

Z z y x z Z v

εεε

∆ − − ∆ + + − + − = ∆ − − ,

kde opravy vx, vy, vz byly přisouzeny souřadnicím X, Y, Z. Po součtu prvních tří členů

( )1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

xT

x y z y

z

x z y x X v

y z x X Y Z k y Y v

z y x z Z v

ε ε ε− − − ∆ ∆ ∆ + − = − −

(3.3.7)

Uvedená rov. (3.3.7) poskytuje jeden identický bod (bod, jehož souřadnice jsou známyv obou systémech). Pro zjištění sedmi neznámých parametrů, tj. pro zjištění transformačníhoklíče, nám postačí 3 identické body a již tyto dávají 2 nadbytečné rovnice. Přirozeně, že sesnažíme znát co nejvíce identických bodů a pokud možno co nejrovnoměrněji rozmístěnév oblasti, pro niž transformační klíč určujeme.

Jak souvisí změna parametru transformačního klíče se změnou oblastí sidemonstrujme na síti DOPNUL České republiky, která je znázorněna na obr. 3.3.2. SíťDOPNUL obsahuje 174 bodů. Údaje spojené s těmito body uvádí tab. 3.3.2. V práci [1] jeČeská republika rozdělena do osmi částí, viz obr. 3.3.3. V tab. 3.3.3 jsou pro tyto oblastiuvedeny transformační klíče a je z nich zřejmá vysoká závislost na dané oblasti. Proto itransformační klíče, uvedené v tab. 3.3.1 platí jen pro danou lokalitu a daný výběr (poloha apočet) měřických bodů.

Obr. 3.3.1 174 bodů sítě DOPNUL

53

Tab. 3.3.2 Údaje v soustavě JTSK a WGS. Celkem pro 174 bodů sítě DOPNUL

Poř.č.

Y [m](JTSK)

X [m](JTSK)

Hn

[m]B[°]

(ETRF-89)L[°]

(ETRF-89)HWe

[m]1 671228,90 962503,27 1124,11 50,88912629 15,27305379 1167,2952 802514,00 980297,52 900,52 50,56899173 13,46561403 945,4143 599837,23 1036805,53 1114,95 50,30130288 16,39765364 1158,7674 851807,13 1074256,58 539,10 49,66660336 12,98430729 586,0565 548455,98 1131166,65 260,19 49,50590845 17,24645657 303,6876 771364,60 1176247,64 1104,33 48,86554726 14,28322618 1151,0417 623031,56 1158574,23 522,19 49,19004126 16,26554921 567,6388 515832,65 1200120,27 911,28 48,91671590 17,78265838 954,6819 482482,54 1083309,25 239,19 49,98978154 18,09578083 335,59710 775279,26 1069759,49 428,29 49,80874333 14,02499053 474,375:

170 469040,65 1149871,52 1024,25 49,40396401 18,360939571067,429171 494681,45 1129445,20 546,07 49,56689118 17,98387554 589,228172 465970,53 1131440,14 421,98 49,57143050 18,38170686 464,915173 439668,58 1137022,90 481,79 49,54074431 18,75032945 524,567174 472799,37 1117429,51 384,88 49,69173388 18,27104899 427,502

Obr. 3.3.2 Rozdělení ČR do oblastí pro sledování vývoje transformačního klíče

54

Tab. 3.3.3 Transformační klíče pro sedmiparametrickou transformaci (s výškamikvazigeoidu) pro transformaci S-JTSK → WGS84

OblastPoč.bodů

∆X[m]

∆Y[m]

∆Z[m]

k εx

[´´]εy

[´´]εz

[´´]CeláČR

174 572.7531 88.4641 460.7861 0.000003551 -0.000024620 -0.000007261 -0.000024001

ZápadČR

87 575.3402 86.2578 463.6695 0.000003003 -0.000023586 -0.000007055 -0.000023431

VýchodČR

87 572.9331 85.7568 458.4731 0.000003893 -0.000025709 -0.000007425 -0.000025917

1. ¼ 36 583.4203 86.4433 462.0009 0.000002399 -0.000022830 -0.000005723 -0.0000226132. ¼ 51 572.3573 85.2308 462.4271 0.000003472 -0.000024233 -0.000007491 -0.0000243563. ¼ 49 576.1692 92.6572 461.9987 0.000002958 -0.000026042 -0.000007267 -0.0000248474. ¼ 38 570.4024 78.6306 460.6493 0.000004101 -0.000026155 -0.000008378 -0.000028219

Horní½

90 570.7430 88.8592 468.7941 0.000002771 -0.000024333 -0.000008254 -0.000023751

Dolní½ 84 567.8608 86.8981 455.3753 0.000004724 -0.000024488 -0.000007274 -0.000023916

3.3.4 Základní geometrické úlohy mezi dvěma rotačními elipsoidy

Odvozované vztahy budou demonstrovány na elipsoidu WGS84 a na Besselově elipsoidu.Zaveďme pro ně následující označení:

C těžiště Země, počátek systému WGS84O střed referenčního elipsoidu, počátek systému Besselova elipsoidu

[ ]W W W W, ,x y zS souřadnicový systém elipsoidu WGS84, počátek C, osy xW, yW, zW

[ ]B B B B, ,x y zS souřadnicový systém Besselova elipsoidu, počátek O, osy xB, yB, zB

[ ]W W W, ,P X Y Z pravoúhlé souřadnice bodu P v systému elipsoidu WGS84

[ ]B B B, ,P X Y Z pravoúhlé souřadnice bodu P v systému Besselova elipsoidu

[ ]W W W, ,P B L H geodetické zeměpisné souřadnice bodu P v systému elipsoidu WGS84

[ ]B B B, ,P B L H geodetické zeměpisné souřadnice bodu P v systému Besselova

elipsoidu

W W W, ,α β γ směrové kosiny normály k elipsoidu WGS84 v souřadnicovém systému

elipsoidu WGS84

B B B, ,α β γ směrové kosiny normály k Besselovu elipsoidu v souřadnicovémsystému Besselova elipsoidu

Poznámka k převodu směrových kosinů. Nebude-li řečeno jinak, pak původní ipřevedené směrové kosiny se vztahují k jednomu a témuž směru. Převodní vzorce jsou dányrov. (3.3.4), v níž vektory S a s zaměníme za vektory směrových kosinů v souřadnicovýchsystémech S a s. Od této transformace je třeba odlišovat případ, kdy přecházíme nejen dodruhé soustavy, ale současně i na normálu k druhému elipsoidu. Např. přecházíme zesouřadnicového systému WGS84 do souřadnicového systému Besselova elipsoidu a současněi z normály k elipsoidu WGS84 na normálu k elipsoidu Besselovu. Ty je nutno spočítat

55

pomocí přetransformovaných souřadnic B , L´ ze vzorců cos ´cosB Lα ′= , cos sinB Lβ ′ ′= ,sinBγ ′= .

Úlohy uvedené v dalším textu na sebe navazují a společně tak tvoří jednu úlohurozsáhlejší.

PŘÍKLAD 8Jsou dány geodetické zeměpisné souřadnice BW, LW a výška HW v systému WGS84, aW =6378137 m, 2

We = 0,006 694 379 991, BW = 50o, LW = 15o, HW = 10m. Vypočtěte prostorové

pravoúhlé souřadnice W W W, ,X Y Z a směrové kosiny W W W, ,α β γ normály n k elipsoidu

WGS84, viz obr. 3.3.4.Dáno: [ ]W W W, ,P B L H

Určit: [ ]W W W, ,P X Y Z , W W W, ,α β γVýpočet:Podle rov. (3.2.2) v kap. 3.2.1 platí

( ) ( )( )( )

W W W W W W W W W W

2W W W W

cos cos , cos sin ,

1 sin ,

X N H B L Y N H B L

Z N e H B

= + = +

= − +(3.3.8)

kde NW je příčný poloměr křivosti (definici viz kap. 3.2.3) elipsoidu WGS84. Směrové kosinynormály n se vypočtou ze vztahů

W W W W W W W Wcos cos , cos sin , sinB L B L Bα β γ= = = (3.3.9)

a splňují rovnost

2 2 2W W W 1α β γ+ + = . (3.3.10)

n

B ,L

P [XW,YW,ZW]

zW

HW

C

yW

xWW

W W W

Obr. 3.3.1

56

Výsledek:NW = 6 390 702,045, XW = 3 967 898,226, YW = 1 063 195,125, ZW = 4 862 796,699,α W = 0,620 885 153, β W = 0,166 365 675 3 , γ W = 0,766 044 443 1.

PŘÍKLAD 9Jsou dány prostorové pravoúhlé souřadnice W W W, ,X Y Z bodu P a směrové kosiny

W W W, ,α β γ normály n k elipsoidu WGS84 v bodě P. Obojí v geocentrickém systému

WGS84, viz obr. 3.3.5.XW = 3 967 898,226, YW = 1 063 195,125, ZW = 4 862 796,699,α W = 0,620 885 153, β W = 0,166 365 675 3 , γ W = 0,766 044 443 1Vypočtěte prostorové pravoúhlé souřadnice B B B, ,X Y Z′ ′ ′ téhož bodu a směrové kosiny

B B B, ,α β γ′ ′ ′ uvedené normály n v souřadnicovém systému Besselova elipsoidu. Známo je sedm

parametrů určujících vzájemnou polohu obou elipsoidů, viz tab. 3.3.1 a obr. 3.3.5.Dáno: [ ]W W W, ,P X Y Z , W W W, ,α β γUrčit: [ ]B B B, ,P X Y Z′ ′ ′ , B B B, ,α β γ′ ′ ′Výpočet:Prostorové pravoúhlé souřadnice W W W, ,X Y Z bodu P v systému WGS84 se převedou na

prostorové pravoúhlé souřadnice B B B, ,X Y Z′ ′ ′ v systému Besselova elipsoidu podle rov. (3.3.6),

kde za parametry transformačního klíče dosadíme ze čtvrtého sloupce tab. 3.3.1.Směrové parametry se vypočítají ze vztahů

( )( ) ( )( )( )( )

B W W W B W W W

B W W W

1 , 1 ,

1

z y z x

y x

k k

k

α α ε β ε γ β ε α β ε γ

γ ε α ε β γ

= + − + = + + −

= + − + +(3.3.11)

Směrové kosiny pak určují vztahy

B B BB B B2 2 2 2 2 2 2 2 2

B B B B B B B B B

, , .α β γα β γ

α β γ α β γ α β γ′ ′ ′= = =

+ + + + + +(3.3.12)

a musí splňovat rovnost

2 2 2B B B 1α β γ′ ′ ′+ + = (3.3.13)

Výsledek:

BX ′ = 3 967 302,974, BY′ = 1 063 122,294, BZ′ = 4 862 321,293,

B Bα α′ = = 0,620 883 503 5, B Bβ β′ = = 0,166 368 402 3, B Bγ γ′ = = 0,766 045 187 8

PŘÍKLAD 10Jsou dány prostorové pravoúhlé souřadnice B B B, ,X Y Z bodu P v souřadnicovém systému

Besselova elipsoidu, jakož i parametry Besselova elipsoidu.aB = 6 377 397,155, 2Be = 0,006 674 372 231

XB = 3 967 414,58, YB = 1 063 065,533, ZB = 4 862 301,91

57

Obr. 3.3.2

Vypočtěte geodetické zeměpisné souřadnice BB, LB a elipsoidickou výšku HB nad Besselovýmelipsoidem. Dále určete směrové kosiny B B B, ,α β γ normály n k Besselově elipsoiduv souřadnicovém systému Besselova elipsoidu.Dáno: [ ]B B B, ,P X Y Z

Určit: [ ]B B B, ,P B L H , B B B, ,α β γVýpočet:Podle PŘÍKLADU 7 v kap. 3.2.Výsledek:BB = 50o, LB = 15o, HB =10 m, B B Bcos cosB Lα = = 0,620 885 1531,

B B Bcos sinB Lβ = = 0,166 365 675 4, B BsinLγ = = 0,766 044 443 1

Kontrola podle rov. (3.3.10), resp. (3.3.13) vyhovuje.

PŘÍKLAD 11Jsou dány geodetické zeměpisné souřadnice B B B, ,B L H bodu P v systému Besselova

elipsoidu, obr. 3.3.6.BB = 50o, LB = 15o, HB = 10 mVypočtěte prostorové pravoúhlé souřadnice 1B 1B 1B, ,X Y Z podbodu P1 ve stejném systému.

Podbod P1 (vzhledem k bodu P) leží na Besselově elipsoidu a na společné normále n. Dáleurčete směrové kosiny 1B 1B 1B, ,α β γ normály n, a to rovněž v souřadnicovém systémuBesselova elipsoidu.Dáno: [ ]B B B, ,P B L H

58

Určit: [ ]1 1B 1B 1B, ,P X Y Z , 1B 1B 1B, ,α β γVýpočet:Podle rov. (3.2.1) v kap. 3.2.1 platí

( )21B B B B 1B B B B 1B B Bcos cos , cos sin , 1 sinX N B L Y N B L Z N e B= = = − , (3.3.14)

kde NB je příčný poloměr křivosti v bodě P1.

n

[BB,LB,HB]

P [XB,YB,ZB]zB

HB

O

yB

xB

B

1B 1B 1B

P1 [X1B, Y1B, Z1B]

Obr. 3.3.3

Pro směrové kosiny platí rov. (3.3.15), neboť bodem P i podbodem P1 na elipsoidu procházístejná normála n. Tedy

1B B B B 1B B B B 1B B Bcos cos , cos sin , sin .B L B L Bα α β β γ γ= = = = = = (3.3.15)

Kontrola se provede vyčíslením rov. (3.3.13).Výsledky:X1 = 3 967 408,371, Y1 = 1 063 063,869, Z1 = 4 862 294,250,

1Bα = 0,620 885 153 1, 1Bβ = 0,166 365 675 4,1Bγ = 0,766 044 443 1

PŘÍKLAD 12Jsou dány 1B 1B 1B, ,B L H = 0 m bodu P1 v souřadnicovém systému Besselova elipsoidu. Rovněžjsou známé prostorové pravoúhlé souřadnice 1B 1B 1B, ,X Y Z v souřadnicovém systému

Besselova elipsoidu. Bodem P1 prochází normála n k Besselovu elipsoidu, obr. 3.3.7. Je tedydáno:

1BB = 50o, 1BL = 15o, 1BH = 0 m

X1B = 3 967 408,371, Y1B = 1 063 063,869, Z1B = 4 862 294,2501) Určete směrové kosiny 1B 1B 1B, ,α β γ normály n v souřadnicovém systému Bessselova

elipsoidu.2) Dále vypočtěte hodnoty prostorových pravoúhlých pravotočivých souřadnic 1W 1W 1W, ,X Y Z′ ′ ′

59

bodu P1 v souřadnicovém systému WGS84. A stejně tak převeďte hodnoty 1B 1B 1B, ,α β γ do

souřadnicového systému WGS84 a označte je 1W 1W 1W, ,α β γ′ ′ ′ . Sedm parametrů potřebných pro

převod mezi elipsoidy převezměte z tab. 3.3.1. Kontrola se provede vyčíslením rov. (3.3.13) azpětnou transformací podle rov. (3.3.6).Dáno: [ ]1 1B 1B 1B, , 0P B L H = , [ ]1 1B 1B 1B, ,P X Y Z , 7 převodních parametrůUrčit: 1) n [ ]1B 1B 1B, ,α β γ 2) [ ]1 1W 1W 1W, ,P X Y Z′ ′ ′ , n [ ]1W 1W 1W, ,α β γ′ ′ ′

Obr. 3.3.4

Výpočet:ad 1) Jednoduše ze vztahů 1B 1B 1Bcos50 cos15 , cos50 sin15 , sin50 .α β γ= ° ° = ° ° = °ad 2) Převod do souřadnicového systému WGS84 se uskuteční pomocí rov. (3.3.6),rov. (3.3.11) a parametrů ve druhém sloupci tab. 3.3.1.Výsledky:

1Bα = 0,620 885 153 1, 1Bβ = 0,166365 675 4,1Bγ = 0,766 044 443 1

1WX ′ = 3 968 083,625, 1WY′ = 1 063 136,703, 1WZ′ = 4 862 769, 653

1Wα ′ = 0,620 886 802 5, 1Wβ ′ = 0,166 362 948 4, 1Wγ ′ = 0,766 043 698 5

PŘÍKLAD 13Jsou dány prostorové pravoúhlé souřadnice 1W 1W 1W, ,X Y Z′ ′ ′ bodu P1, který leží na povrchu

Besselova elipsoidu a směrové kosiny normály n v bodě P1 vůči Besselově elipsoidu, a toobojí v souřadnicovém systému elipsoidu WGS84.

1WX ′ = 3 968 083,625, 1WY′ = 1 063 136,703, 1WZ′ = 4 862 769, 653

1Wα ′ = 0,620 886 802 5, 1Wβ ′ = 0,166 362 948 4, 1Wγ ′ = 0,766 043 698 5

60

Určete odlehlost Besselova elipsoidu a elipsoidu WGS84 pro bod P1, viz obr. 3.3.8.Dáno: [ ]1 1W 1W 1W, ,P X Y Z , 1W 1W 1W, ,α β γ′ ′ ′Určit: odlehlost t Besselova elipsoidu a elipsoidu WGS84 měřenou po normále n.

yW

xW

´1W ´1W ´1W

C

zW

P1[X1W,Y1W,Z1W]

n

t

Obr. 3.3.5

Výpočet:Parametrická rovnice přímky určená bodem [ ]1 1W 1W 1W, ,P X Y Z′ ′ ′ a směrovými kosiny

1W 1W 1W, ,α β γ′ ′ ′ je

1W 1W 1W 1W 1W 1W, ,x X t y Y t z Z tα β γ′ ′ ′ ′ ′ ′= + = + = + , (3.3.16)

kde t je hledaný parametr. Rovnice elipsoidu WGS84 v souřadnicovém systému elipsoiduWGS84 je

( )2 2 2

2 2 2 21

1

x y z

a a a e+ + =

−, (3.3.17)

kde a,e jsou parametry tohoto elipsoidu (viz kap. 3.3.1). Po úpravě má rovnice elipsoidu tvar

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 21x y z e x y a e+ + − + = − (3.3.18)

Dosazením rov. (3.3.16) do (3.3.18) se získá

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2 21W 1W 1W 1W 1W 1W 1W 1W 1W 1W 1X t Y t Z t e X t Y t a eα β γ α β ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ + + + + − + + + = −

a po dalších algebraických úpravách

( )[ ]( )[ ]

( ) 0

22222

12

122

12

12

1

11112

111111

21

21

221

21

21

2

=+−′+′−′+′+′+

+′′+′′−′′+′′+′′+

+′+′−′+′+′

eaaYXeZYX

YXeZYXt

et

WWWWW

WWWWWWWWWW

WWWWW

βαγβαβαγβα

(3.3.19)

61

Označí-li se v rov. (3.3.19)( )[ ] ( )

( )[ ] ( )( )( ) ( )( ) 2

1222

12

12222

12

122

12

12

1

112

111111112

111111

21

221

21

221

21

21

1

1

11

WWWWWWWW

WWWWWWWWWWWWWWWW

WWWWWW

ZeaYXeaaYXeZYXC

ZeYXYXeZYXB

eeA

′+−−′+′=+−′+′−′+′+′=

′′+−′′+′′=′′+′′−′′+′′+′′=

′−−=′+′−′+′+′=

γβαβαγβαγβαγβα

ře

ší se kvadratická rovnice 2 2 0At Bt C+ + = pro neznámý parametr t. Řešením úlohy je menšíze dvou kořenů této rovnice. To odpovídá geometrické představě, že řešením úlohyvzdálenosti dvou elipsoidů je ten průsečík normály s povrchem elipsoidu WGS84, který jebližší k bodu P1. Druhý průsečík je na opačné straně elipsoidu. t vyjadřuje tedy výslednouodlehlost obou elipsoidů, která je zde počítána jako vzdálenost po normále k Besselověelipsoidu. Též je ovšem možné počítat vzdálenost obdobným způsobem po normálek elipsoidu WGS84.

LITERATURA:

[1] Hálová L.: Porovnání transformačních klíčů z různých oblastí ČR. Diplomová práce,ZČU, Plzeň, 2000.

[2] Kostelecký J.: Určení transformačních koeficientů pro převod ze soustavy Besselovaelipsoidu do soustavy elipsoidu WGS-84 a naopak. Práce VÚGTK, Praha.

[3] Pick M.: O exaktnosti v geodézii. Vojensko-technická informace, č. 58, Praha 1998.[4] Vykutil J.: Vyšší geodézie. Vydavatelství Kartografie, Praha 1982.

62

63

III. část Vyrovnávací počet 1 – MNČ

4 Základní poznatky MNČ4.1 Úvod

Předložená kapitola z vyrovnávacího počtu je nutným doplňkem zde uvedené učební látkyz předmětů vyšší geodézie, fyzikální geodézie a kosmické geodézie. Je určena studentůmČVUT v Praze, ZČU v Plzni, VŠB Ostravské univerzity a dalším zájemcům. Některé částimají být prezentovány na stránkách Internetu.

Úkolem předložené práce je podat návod, a to jen s minimem odvozování a důkazů,jak zpracovávat naměřené veličiny, jakého způsobu vyrovnání použít pro daný případ, jakýchvzorců a jak, již jen velmi stručně, výsledky zhodnotit. Vše je prováděno pomocí maticovéhozápisu a pomocí operací s maticemi a vektory. Proto zde čtenář nenajde Gaussův eliminačníalgoritmus pro řešení normálních rovnic, řadu tradičních kontrol aj.

Vyrovnání MNČ je jedním z oborů matematiky. Za jeho zakladatele je považovánKarel Bedřich Gauss, i když práce Legendrea předběhla Gausse o několik let. Gaussova práce[1], která vznikla z potřeb souhrnného zpracování řad pozorování v různých časovýchobdobích, na různých místech, různými metodami a různými pozorovateli, byla iniciovánaastronomickým pozorováním komet. Vyšla v roce 1809, tedy o tři roky později nežanalogická práce [2] Legendrea. Gauss vděčí své prvořadosti důkladnému propracování a jehosrozumitelnému podání MNČ a jistě i odpovídající prezentaci. Zcela samostatně dospěl k tétometodě P. S. Laplace, viz práce [3] z roku 1812.

U nás bylo nejprve čerpáno z cizí, francouzské a německé odborné literatury. Jednaz prvních vysoce kvalitních, česky psaných prací je práce F. Čuříka [4], v níž je uvedenbohatý odkaz na práce zahraniční, především německé, francouzské a anglické. Z českých jezde citována práce [5] autorů F. Müllera a F. Novotného a [6] A. Semeráda. Z českých autorůjmenujme ještě V. Lásku [7], F. Čechuru [8], J. Ryšavého [9] a F. Fialu[10].

Předložené skriptum je zpracováno podle již moderního pojetí MNČ. Je jímkompendium H. Wolfa [11] a podle vyčerpávající práce [12] nestorů MNČ J. Böhma,V. Radoucha a M. Hampachera. Číselné příklady, uvedené v následujících řádcích jsou dílemautora a studentů-posluchačů Fakulty aplikovaných věd (FAV) Západočeské univerzity(ZČU). Práce je psána co nejstručněji, rádoby přehledně, nepodstatné úseky jsou bezodvození, případně jsou uvedeny jen odvolávky. Text navazuje na práci [13]. Tam najdečtenář další. Při studiu je však možno pokračovat i bez těchto odvolávek.

V předložené části je používána řada symbolů. Vždy při jejich prvním užití jsouvysvětleny. V následné části X. budou uvedeny další kapitoly o MNČ.

4.2 Vyrovnání metodou nejmenších čtverců

Zaveďme nejprve potřebnou symboliku

il …………………… naměřená hodnota

iv ……………………oprava naměřené hodnoty

il …………………… opravená hodnota

Pak platí, že

iiiiii llvvll −=→+= (4.2.1)

64

Chyba io je definována jako

iiii llvo −=−= (4.2.2)

pro ni ,,1= L , kde n je počet měření. Uvedené opravy iv mají náhodný charakter. Podleteorie MNČ musí splňovat následující tři podmínky:

• kladné a záporné opravy téže absolutní velikosti jsou stejně pravděpodobné• malé opravy jsou pravděpodobnější než opravy velké• opravy nad určitou mezní hodnotu se nevyskytují

Tyto požadavky splňuje tzv. Gaussův zákon

( ) )( 22vheh

v −=π

ϕ (4.2.3)

kde h je jistý parametr. Rov. (4.2.3) je graficky znázorněna Gaussovou křivkou četnosti, vizobr. 4.2.1. Zde platí, že 21 > hh . Parametr h tedy určuje strmost Gaussovy křivky četnosti.

Pravděpodobnost, že se oprava objeví v intervalu ( )∞∞− , je 1. Pravděpodobnost, že

se oprava objeví v intervalu dvvv +, , je ( ) ( ) dvvvp ϕ= . Gaussova křivka četnosti, obr.

4.2.1, znázorňuje pravděpodobnost výskytu (četnost) náhodných oprav podle jejich velikosti.Krom těchto oprav iv s náhodným charakterem, existují ještě opravy:

• systematické (pro celou oblast měření) a polosystematické (proměnné pro dílčíoblasti měření) s nimiž pracuje rozšířená metoda MNČ, tzv. kolokace. Úplnástřední chyba m se zde rovná součtu střední chyby m z náhodných oprav plusstřední chyba Sm z vlivu chyb systematických a polosystematických, vše

v kvadrátech. Používaný, leč přibližný vztah, je222

Smmm +=• hrubé, s nimiž MNČ nepracuje a je proto nutné je z měřického souboru vyloučit

ještě před vlastním početním zpracováním.

)(vϕ

)(1 vϕ

)(2 vϕ

v−

Obr. 4.2.1 Gaussova křivka četnosti - Gaussův zákon chyb

65

Dodejme, že vše, co bylo napsáno o opravách iv , platí i o chybách io . Soubor

„nekonečně“ velký opatřujeme přívlastkem základní a soubor s malým počtem měřeníoznačujeme přívlastkem výběrový nebo též empirický.

ÚKOLEM VYROVNÁNÍ MNČ JE

• vypočítat nejpravděpodobnější hodnoty hledaných neznámých,• odhadnout výpočtem přesnost výsledků vyrovnání.

Tyto úkoly splňuje podmínka

minT =vPv ∗∗∗∗)))) (4.2.4)

kdeT

nvvv )( 21 L=v (4.2.5)a

=

np

pp

L

MOMM

L

L

00

0000

2

1

P (4.2.6)

Zde jsou iv opravy naměřených hodnot il a ip jejich váhy, kde ni ,,1L= a n je počet

měření. Je možno užít i jiných podmínek než podmínky (4.2.4). Tato je však používánanejčastěji a platí pro jakýkoliv počet měření [4]. Minimum se odvodí derivováním rov. (4.2.4)podle v nebo podle jiné proměnné, která v nahradí.

Váhy ip jsou proměnná čísla, která charakterizují kvalitu, tj. přesnost naměřenýchhodnot. Určujeme je početně nebo i odhadem.

Způsoby vyrovnání budeme dělit do těchto hlavních skupin:a) vyrovnání měření∗∗) podmínkových, kap. 4.3b) vyrovnání měření**) zprostředkujících, kap. 4.4c) složitější vyrovnání, kap. 4.5, 4.6 a X. část.

Každý z těchto postupů volí svůj způsob splnění obou požadavků, tj. určení pravděnejpodobnějších hodnot a určení odhadů jejich přesností, jak bude uvedeno v následujícíchkapitolách.

4.2.1 Výpočet odhadu přesnosti

Výpočet odhadu přesnosti začíná zpravidla výpočtem střední jednotkové chyby

nm

T

′= Pvv

0 (4.2.7)

kde /měřenípozorovánínutných počet −=′ nn je počet nadbytečných pozorování ve výraze

PvvT , viz rov. (4.2.4) ad. Protože platí vztahy222

1120 nnii mpmpmpm ===== KK (4.2.8)

vypočteme střední chybu jednotlivých měření il ze vztahu

mi = m0 / ip = m0 iq

∗) Z této podmínky vychází Legendre a odvozuje svoji metodu, k níž dospěl empiricky. Vztah ∑=

n

iiii vvp

1

=vT Pv

převzal z mechaniky konkrétně pro statický moment celku.∗∗) Podle vzoru zahraniční literatury budeme výraz „měření“ často zaměňovat výrazem „pozorování“ (observace)

66

kde i

ip

q1= je váhový součinitel a ni ,,1K= a n je počet pozorování/měření.

Střední chyba vyrovnaných hledaných neznámých ix , případně jejich přírůstků idx , ki ,,1K=

a k je počet těchto neznámých. Je

iiii xxxx Qmm 0= ,

kde iixxQ leží na hlavní diagonále xxQ , nebo-li ( )

kkxxxxxxxx QQQdiag K

2211=Q

a matice váhových součinitelů( ) 11 −− == PAANQ T

xx

viz kap. 4.4.Střední chyba funkce naměřených veličin il nechť má tvar ( )nlllff K21= , který

rozvedeme do Taylorova rozvoje s užitím pouze veličin prvního řádu. Jsou

nn

dll

fdl

l

fdl

l

fdf

∂∂++

∂∂+

∂∂= L2

21

1

,

v kterém diferenciály nahradíme diferencemi a tyto středními chybami im jednotlivých

měření, viz výše. Získaný vztah povýšíme na druhou a výrazy s různými koeficientyvypustíme, a to za předpokladu, že ∞→n a tudíž tyto výrazy vypadnou. Výsledná středníchyba funkce naměřených veličin je pak

Qff Tn

ii

if mm

l

fm 2

0

2

1

2 =

∂∂=∑

=

, (4.2.9)

kde

∂∂

∂∂=

n

T

l

f

l

fL

1

f . Tento vztah představuje odhad střední chyby funkce měřených

veličin. Zavedeme-li do rov. (4.2.9) rov. (4.2.8), dostáváme výraz

Qff Tn

i iif pl

f

p=

∂∂= ∑

=1

211

, (4.2.10)

který představuje odhad váhy funkce měřených veličin.Střední chyba funkce vyrovnaných neznámých (přírůstků). Nechť tato funkce má tvar

( )kxxxFF L21= . Pak zcela analogicky k rov. (4.2.9) a (4.2.10) dostáváme

FQF xxT

k

ix

iF mm

x

Fm

i

20

1

2 =

∂∂= ∑

=

a

FQF xxT

k

k

i iF px

F

p=

∂∂=∑

=

112

1

, kde

∂∂

∂∂=

k

T

x

F

x

FL

1

F .

Téměř při každém zpracování měření MNČ se musíme ptát, které měření je třebavypustit a která ponechat. Kritériem vypuštění měření je nerovnice

00i mkv ≤ (4.2.11)

kde 0k je jistá, do značné míry subjektivně určená veličina. Obvykle se volí 52k0 ,= .

4.2.2 Kontroly

Důležitými kroky výpočtu MNČ jsou kontroly. Průběžně je nutné, a to již při teoretickýchodvozováních, kontrolovat rozměry matic a vektorů a souhlas rozměrových jednotek. Tentojednoduchý způsob může odhalit mnohé chyby.

67

Číselnými kontrolami je rovnost vztahůPLAPAxA TT −= , 0PvA =T (4.2.12)

dále dvojí výpočet oprav1. LAxv += , resp. LxAv += d

2. ( ) LxFv −= (4.2.13)

kde F(x) je nelinearizovaná zprostředkující funkce, která obsahuje vyrovnané neznámé x.V dřívějších postupech vyrovnání, před použitím počítačů, se používali ještě tři tzv. sigmovézkoušky. V případě, že výpočetní program je naprogramován a odladěn, je možno od nichupustit. Zní

PLLPAxL TT +=∑1, vLT=∑'

2, PvvT

3=∑ (4.2.14)

a má být splněno, že ∑∑∑ ==321

'. Klasická sigmová zkouška ∑2

užívá početního

výrazu, který zde není obsažen. Proto byla zvolena jiná alternativa. Sigmové zkoušky budouprováděny jen sporadicky.

4.3 Podmínková pozorování∗)

Úkolem je vypočítat MNČ opravy nvvv ,,, 21 L naměřených hodnot nlll ,,, 21 L při splnění

podmínky minT =Pvv a současně, aby opravené naměřené hodnoty ii vl + splňovaly určité,

předem dané, podmínky v počtu nr < a n je počet měřených veličin a tudíž i počet oprav.Pro názornost milému čtenáři uveďme příklad vyrovnání velmi často vystupující v geodeticképraxi. Totiž, měříme-li úhly v trojúhelníku, pak jejich součet musí být 180°. Toto vyjadřujepodmínková rovnice

0180111 =°−++ ααα ,

což je podmínka nutně splnitelná. Jistě se tak, jen s pomocí naměřených hodnot, nestane.Nutno připojit opravy. Je pak

0180332211 =°−+++++ vvv ααα

0321 =+++ Uvvv(4.3.1)

kde

°−++= 180321 αααU

je tzv. uzávěr. Rov. (4.3.1) je tzv. přetvořenou podmínkovou rovnicí. Takovýchto rovnic můžebýt celá řada, viz PŘÍKLAD 14 v kap. 5.2. Poznamenejme ještě, že namísto 180o je častouvedeno 200g .

Vraťme se k našemu výkladu. Zapišme r přetvořených rovnic oprav ve tvaru

0

0

11

11111

=+++

=+++

rnnrr

nn

Uvava

Uvava

L

M

L

(4.3.2)

a maticově ∗) Ve starší literatuře, ještě např. v [4], jsou označována: závislá pozorování. Ta nyní označují naprosto jinýpřípad pozorování, viz část X.

68

0UvB =+ (4.3.3)

kde

{

=

×nrr

n

nraa

aa

1

111

L

MOM

L

B{

=

×n

n v

v

M

1

1

v{

=

×r

r U

U

M

1

1

U{

=

× 0

0

1

M

r

0

Zde je r počet podmínek a tedy i uzávěrů a n počet oprav. Nyní musíme uvážit podmínkuminima

vT P v = min

ovšem při zachování platnosti (vedlejších) daných podmínek (4.3.2). Proto použijemeLagrangeova postupu pro nalezení minima. Zní

{ { { { { { {min

rnnr

T

rnnn

T

n

=

++

××××××× 11111

2 UvBkvPv (4.3.4)

kde k je vektor neznámých korelát

{( )T

rr

kkk L211

=×k (4.3.5)

Rov. (4.3.4) derivujeme podle v , položíme rovnou nule a společně s rov. (4.3.3) dostáváme

UBv

0kBPv

−==+ T

(4.3.6)

4.3.1 Přímé řešení podmínkových pozorování

Rov. (4.3.6) je možno napsat ve tvaru

( ) ( )[ ] ( ) ( )3214434421

11

1

×+×+×+×+

−=

rnrnrnrn

T

U

0

k

v

0B

BP(4.3.7)

takže

−

=

−

U

0

0B

BPk

v1

1

T

(4.3.8)

Uvedenou matici je možno invertovat jako celek nebo postupně invertovat jednotlivépodmatice, viz [13]. Tímto jsou určeny nejpravděpodobnější hledané hodnoty neznámýchnáhodných oprav a korelát.

Odhady přesností výsledků. Nejprve se vypočte střední jednotková chyba

[ ] 21

0 / rm T Pvv= . Poté – netradičně – použijeme z rov. (4.3.8) inverzní matici 1

1

−

=0B

BPQ

T

xx a

z ní vyjmeme prvky ( )rrnn kkkkllll QQQQdiag LL

1111. Pomocí nich střední chyby

vyrovnaných úhlů jsou

iiii llll Qmm 0= (4.3.9)

a střední chyby korelát jsou

iiii kkkk Qmm 0= (4.3.10)

69

4.3.2 Postupné řešení podmínkových pozorování

Z první rov. (4.3.6) vyplývá, že

{ { { {

1

1

1 ××

−

××

−=r

T

rnnnn

kBPv (4.3.11)

Po jejím dosazení do druhé rov. (4.3.6) máme UkBBP −=− − T1 , z čehož

{ { { {

1

11

1

×

−−

×××

=r

T

nnnrr

UBPBk (4.3.12)

Zavedeme obligátně{

T

rr

BBPN 1−

×

= (4.3.13)

a je pak

{ { {

1

1

1 ×

−

××=

rrrr

UNk (4.3.14)

kde

{

1−

×

=rr

kk NQ (4.3.15)

je váhová matice korelát. Postup výpočtu je velmi jednoduchý, nejprve se zjistí z rov. (4.3.14)koreláty a poté opravy z rov. (4.3.11).

Odhady přesnosti výsledků. Stejně jako u 1. řešení, i zde vypočteme středníjednotkovou chybu 0m . Pomocí ( )

rrkkkk QQdiag L

11 pak střední chyby korelát jsou

iiii kkkk Qmm 0= (4.3.16)

Další výpočet středních chyb oprav viz přímé řešení nebo [12, str.201].Zcela odlišný postup číselného zpracování nejpravděpodobnějších hodnot i odhadu

jejich přesnosti z podmínkových pozorování spočívá v převodu na pozorovánízprostředkující, jak je uvedeno v [13]. Tím se nabízí aspoň číselné ověření výše navrženého 1.řešení.

Jiné by bylo odvození v případě, kdyby podmínky platily mezi neznámými hledanýmiveličinami x apod.

Číselnou aplikaci viz PŘÍKLAD 14 v kap. 5.2.

4.4 Zprostředkující pozorování

V geodézii, ale i v jiných oborech technických věd, se často vyskytuje úkol určit číselnéhodnoty veličin, které nelze přímo, bezprostředně, měřit a tedy určit. Proto je nutno jejichzjištění zprostředkovat pomocí jiných veličin, které je možno měřit a které jsou s hledanýmineznámými veličinami ve známém funkčním vztahu. Označme

( )Tkxx L1=x ………… vektor neznámých hledaných veličin( )T

kxx 010 L=0x ……… vektor jejich známých přibližných hodnot

( )Tk1 dxdxd .........=x …….…vektor jejich neznámých, vyrovnávaných přírůstků)(xiF ……………………funkční vztah mezi hledanými x a měřenými il veličinami

70

il …………………………naměřená zprostředkující veličina

iv .………………………...její oprava

il ………………………….její vyrovnaná hodnota

i ………………………….index i-té zprostředkující rovnicePak platí

( )( ) iikki

iiki

ii

vldxxdxxF

vlxxF

lF

+=+++=

=

0110

1

)(

L

L

x

Levou stranu rozvedeme do Taylorova rozvoje, pokud není již v lineárním tvaru, a zanedbámečleny 2. řádu a vyšší. Dostáváme

( )

( ) iiikk

ii

iikk

iii

vlFxx

Fx

x

F

vlxx

Fx

x

FF

=−+∂∂++

∂∂

+=∂∂

++∂∂

+

011

11

dd

dd

x

x0

L

L

Upravme symboliku a dostávámeai1 dx1 + ai2 dx2 + ... + aik dxk +Fi (xo ) – l i = vi (4.4.1)

kde ni ,,1L= a n je počet linearizovaných zprostředkujících rovnic oprav a k je počethledaných neznámých. Výraz

iii LlF =−)( 0x

je tzv. absolutní člen. Rov. (4.4.1) rozepišme pro všechna i a zaveďme symboly matic avektorů. Dostaneme

vLxA =+d 1−= QP (4.4.2)

kde

{

=

×

nknn

k

k

kn

aaa

aaa

aaa

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

A{

=

×

k

k

dx

dx

dx

dM

2

1

1

x{

−

−−

=×

nn

n

lF

lF

lF

)(

)(

)(

0

202

101

1

x

x

x

LM

{

=

×

n

nn

p

p

p

L

MOMM

L

L

00

00

00

2

1

P{

=

×

n

n

v

v

v

M

2

1

1

v{

=

−

−

−

×1

12

11

00

00

00

n

nn

p

p

p

L

MOMM

L

L

Q

Zde je xd vektor hledaných neznámých, L vektor absolutních členů, a v něm )( 0xiF

hodnoty vypočtené z přibližně známých vstupních veličin a il jsou hodnoty naměřené, v je

vektor oprav, P matice vah a Q je její inverzní matice, tzv. matice váhových koeficientů.Systém rov. (4.4.2) podrobíme podmínce minima. Dostáváme

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )PLLxPALPLAxxPAAx

x

LxAPLAxx

LxAPLxAxx

PvvT

TTTTTT

TTTT

ddddd

ddd

dddd

+++∂∂=

=++∂∂=++

∂∂=

∂∂

Po derivování a úpravách dostáváme postupně rovnice

71

0PLAPLAxPAA =++ TTT d2

0PLAxPAA =+ TT d

které nazýváme normální rovnice. Hledané neznámé přírůstky pak jsou

( ) PLAPAAx TTd1−−= (4.4.3)

V této rovnici se často zavádí

{

kk

T

×

= NPAA (4.4.4)

kde

{ xxkk

QN =×

−1

(4.4.5)

je matice váhových koeficientů hledaných neznámých přírůstků xd . Jednotková střední chyba

[ ]2

1

0 )( knm T −= Pvv (4.4.6)

a střední chyby vyrovnaných neznámých resp. jejich přírůstků jsou

iii xxdx Qmm 0= (4.4.7)

kde

( )kkii xxxxxxxxxx QQQQdiag LL

2211=Q (4.4.8)

Střední chybu fm funkce přímo měřených veličin jakož i střední chybu Fm funkce

vyrovnaných neznámých zjistíme podle vztahů v kap. 4.2.1. Střední chyba funkcevyrovnaných neznámých je vyjádřena rovnicí

FQF xxT

F mm 20

2 = (4.4.9)

která je rozepsaná pod čarou∗).Kontrolně následuje výpočet rovnic počínaje rov. (4.2.12) event. včetně sigmových

zkoušek.

∗)Je

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂=

kx

F

x

F

x

F

kkxxQ

kx

FxxQ

x

Fm

kx

F

x

F

x

F

kkxxQ

xxQ

xxQ

kx

F

x

FmFm

M

L

ML

MOMM

L

L

L2

1

111

202

1

00

022

0

0011

1

20

2

∂

∂++

∂

∂+

∂

∂=

kkxxQ

kx

FxxQ

x

FxxQ

x

FmFm

2

22

2

211

2

1

20

2L a zavedením rov. (4.4.7) je a tedy

∑= ∂

∂=

k

i idxm

ix

FFm

1

22 pro případ, že je matice Qxx diagonální.

72

Vyrovnání podle zprostředkujících pozorování/měření je v současnosti metodou číslojedna. Jak uvidíme v kap. 4.6, je možno libovolné úlohy vyrovnávacího počtu převést na tutometodu. Proto jí bude i zde kladen upřednostněný význam.

JINÉ ODVOZENÍ PODMÍNKY MINIMAVyjděme z výrazu minT =Pvv , který derivujeme podle v . Dostaneme 0Pv =2 a po

dosazení 1. rov. (4.2.13) dostaneme ( )x+ =P A L 0 . Vynásobením zleva maticí TA máme

0PLAPAA =+ TT x , což je shodně s rov. (4.4.3).

4.5 Zprostředkující pozorování s neznámými parametry apodmínková pozorování s neznámými parametry

Uveďme nejprve přehled vyrovnání, která souvisejí s případy, uvedenýmiv předchozím textu. Jsou, resp. byla:

• podmínková pozorování – kap. 4.3• zprostředkující pozorování – kap. 4.4• zprostředkující pozorování a podmínková pozorování – viz [13]• podmínková pozorování s neznámými parametry – viz [13]• zprostředkující pozorování s neznámými parametry – viz [13]• podmínková pozorování s neznámými parametry a zprostředkující pozorování -

viz[13]• zprostředkující pozorování s neznámými parametry a podmínková pozorování -

viz[13]Proto v dalším textu se budeme věnovat zprostředkujícímu pozorování s neznámýmiparametry a podmínková pozorování s neznámými parametry. Tento postup představujezobecnění MNČ, neboť je možno tohoto způsobu použít pro všechny druhy vyrovnání, kterábyla uvedena výše.

Dvěmi výchozími rovnicemi, jistěžě v maticovém tvaru, budou rovnice

{ { {{

{ { {{

{ { { { { {

1111

1

1111

××××××

×

−

×××××××

=++

==++

rrhhrkkr

nnnnnnllnkkn

0UzDxB

QP ,vLyCxA

(4.5.1)

a jsou jimi podchyceny zprostředkující rovnice a podmínkové rovnice pro hledané neznáméx a neznámé parametry y a z . Matice A , B , C a D obsahují koeficienty při neznámých avektory L , v a U obsahují absolutní členy, opravy a uzávěry. Počet rovnic oprav je n, početpodmínek r, počet hledaných neznámých je k, počet parametrů ve vektoru y je l a ve vektoruz je h.

Protože rov. (4.5.1) obsahují přidružené podmínky v 2. rov. (4.5.1) , je nutno opětpoužít Lagrangeova postupu pro zjištění minima. Za v ovšem dosadíme první rov. (4.5.1).Dostáváme vztah

{{{{ { { { { {

{{ { { { { { {

minrhhrkkrr

T

nllnkknnnn

T

nl

T

l

T

nk

T

k

T =

+++

++

++××××××××××××××××× 1111111111

UzDxBk2LyCxAPLCyAx

který postupně derivujeme podle x , y , z a k . k je opět vektor korelát resp. Lagrangeovýchsoučinitelů. Dostaneme pak výslednou rovnici pro neznámé, která je

73

( ){

( )43421

11 ×+++×+++

−=

rhlk

T

T

xx

rhlk

U

0

PLC

PLA

Q

k

z

y

x

(4.5.2)

kde

( ) ( ){

{ {

{ {

{ { { {

{ { { {

1−

××××

××××

××××

××××

+++×+++

=

rrhrlrkr

rh

T

hhlhkh

rlhlll

T

kl

Trk

T

hklk

T

kk

T

rhlkrhlk

xx

0D0B

D000

00PCCPAC

B0PCAPAA

Q321321

321321

(4.5.3)

je matice váhových součinitelů. Poté se vypočte střední jednotková chyba 0m z výrazu

( )hlkrnm T −−−+= Pvv20

a střední chyby neznámých a korelát z výrazůiiii xxxx Qmm 0=

, iiii yyyy Qmm 0=, iiii zzzz Qmm 0=

, iiii kkkk Qmm 0=.

kde výrazy pod odmocninami jsou prvky na hlavní diagonále matice xxQ .

Všechny tyto výše uvedené úlohy vyrovnání MNČ je možno nahradit úlohou jedinou,a to úlohou danou rov. (4.5.1): zprostředkující pozorování s neznámými parametry pluspodmínková pozorování s neznámými parametry. Způsob řešení pozůstává v tom, že bychomprostě vynechali výrazy v rov. (4.5.1) až (4.5.3), jež se v zadané úloze neuvažují.

4.6 Zprostředkující pozorování s neznámými parametry apodmínková pozorování s neznámými parametry převedenímpodmínkových pozorování na zprostředkující

Tato kapitola je dovršením části IV. o vyrovnávacím počtu a představuje zobecněnípředchozích kapitol. Jinými slovy: vše, co bylo uvedeno ve všech předchozích částech,kapitolách a odstavcích, bylo a je odvoditelné z teorie kap. 4.6, jako její zvláštní případy.Rovněž tak tomu bylo i v kap. 4.5. Zde navíc jde o použití pouze pozorovánízprostředkujících. Jsou proto výchozími rovnicemi rov. (4.5.1) o počtu n měření, k hledanýchneznámých, l neznámých parametrů, viz 1. rov. (4.5.1), a o počtu r přidružených podmínek sh neznámými parametry mezi hledanými neznámými x , viz 2. rov. (4.5.1). MNČ by tedyvyžadovala Lagrangeovo vyjádření minima, např. rov. (4.3.4). Náhodné opravy v jsou všakobsaženy pouze v 1. rov. (4.5.1). Abychom vyhověli oběma těmto požadavkům budemepostupovat tak, že nejprve se zbavíme podmínkových rovnic, tj. 2. rov. (4.5.1), a topřevedením na zprostředkující a poté budeme řešit tyto převedené zprostředkující společněs původními zprostředkujícími, viz 1. rov. (4.5.1). Za tímto účelem přepíšeme rov. (4.5.1) dotvarů

{{

( ){

( ){

{{

{ {

1111

22

1

11×××××−−×××

=+++nnllnrkrknrrn

vLyCxAxA(4.6.1)

74

{{

( ){

( ){

{ { { {

1111

22

1

11×××××−−×××

=+++rrhhrrkrkrrrr

0UzDxFxF(4.6.2)

kde 1x je vektor o r neznámých a vektor 2x o n - r neznámých. Dále y a z jsou opětněvektory s neznámými parametry, A1 a A2 jsou matice koeficientů při neznámých ve vektorech

1x a x2, C a D jsou matice koeficientů při neznámých parametrech y a z . L , v a U jsouvektory absolutních členů, náhodných oprav a uzávěrů přidružených podmínkových rovnic.Abychom učinili první krok k výše naznačenému řešení, je nutné odstranit podmínkovérov. (4.6.2). Proto ji vynásobíme inverzní maticí 1

1−F a získáme

( )UDzxFFxFF ++−= −−22

1111

11

z čehož

{ {

( ){

( ){

{ { {

++−=××××−−××

−

× 111

221

1

1

1rhhrrkrkrrrr

UzDxFFx (4.6.3)

které dosadíme do rov. (4.6.1). Dostáváme

( ) vLCyxAUDzxFFA =+++++− −2222

111

( ) vLUFADzFACyxAFFA =+−−++− −−− 111

111222

111

(4.6.4)

čímž máme co do činění pouze a jen se soustavou zprostředkujících rovnic. Pro zvýšenínázornosti zavedeme

( ){ {{

( ){

( ){

rknrkrrrrnrkn −×−××

−

×−×

+−= 221

11 AFFAAAAA

, {

{{{

hrrrrnhn ××

−

××

−= DFA 111DDDD

, {

{{{ {

11

111

1 ×××

−

××

+−=nrrrrnn

LUFAL(4.6.5)

Rov. (4.6.4) pak přejde v tvar

( ){

( ){

{{

{ { { { {{

nnnnnnhhnllnrkrkn ×

−

××××××××−−×

==+++ 11

11111

2 QP vzyCx LDDDDAAAA (4.6.6)

Podmínka minima bude mít tvar minT =Pvv , jde totiž již jen o zprostředkující pozorování.Po zavedení rov. (4.6.6) zní

( ) ( ) minTTTTTTT =++++++ LL zyCxPzCyx DDDDAAAADDDDAAAA 22

a po vynásobení je

minTTTTTTT

TTTTTTT

TTTTTTT

TTTTTTT

=++++

+++++

+++++

++++

LLLLL

L

L

L

PPzPCyPx

zPzPzzPCyzPx

yCPyCPzyCPCyyCPx

xPxPzxPCyxPx

DDDDAAAA

DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDAAAA

DDDDAAAA

AAAAAAAADDDDAAAAAAAAAAAA

2

2

2

22222

Nyní postupně derivujeme podle proměnných 2x , y , z , derivace položíme rovny nule a opětpři PP =T . Dostáváme

75

( ) ( ) ( ){

( ){

( ){

( ) ( ){

( ) ( ){ {

{{

( ) ( ){ {

{{

1111

2

1111

2

1111

2

:

:

:2

×××××××−×

×××××××−×

×−××××××−−×

=+++∂∂

=+++∂∂

=+++∂∂

h

z

h

TT

ll

T

rk

T

l

y

l

T

hl

T

lll

T

rkl

T

rk

xT

h

T

ll

T

rkrk

T

0PzPyPCxPz

0PCzPCyPCCxPCy

0PzPyPCxPx 2

32143421321321

321321321321

32143421321321

L

L

L

DDDDDDDDDDDDDDDDAAAADDDD

DDDDAAAA

AAAADDDDAAAAAAAAAAAAAAAA

1hhhhr-kh

1hr-k

r-k1hr-kr-kr-k

(4.6.7)

což jsou normální rovnice v tvaru maticového počtu. Zavedeme

( ) ( ){

=

−++×−++DDDDDDDDDDDDAAAADDDD

DDDDAAAA

DDDDAAAAAAAAAAAAAAAA

PCPP

PCCPCPC

PCPP

NTTT

TTT

TTT

rhlkrhlk(4.6.8)

( ) ( ){

rhlkrhlkxx

−++×−++

−= 1NQ (4.6.9)

takže neznámé zjistíme z rovnice

( ){

( )44 344 21

11

2

×−++×−++

−=

rhlk

T

T

T

xx

rhlk

L

L

L

P

PC

P

Q

z

y

x

DDDD

AAAA

(4.6.10)

Vektor 1x zbývajících hledaných neznámých určíme z rov. (4.6.3), náhodné opravy

z rov. (4.6.1) nebo (4.6.6) a střední jednotkovou chybu z tvaru ( )hlkrnm T −−−+= Pvv20 .

Střední chyby jednotlivých neznámých vektorů 2x , y , z opětně určíme podle známéhopředpisu

iiii xxxx Qmm 202 = iiii yyyy Qmm 0= iiii zzzz Qmm 0=

kde iixxQ 2 ,

iiyyQ , iizzQ jsou prvky na hlavní diagonále matice xxQ . Zde je nedostatkem, že

nezískáme přímo iixxQ 1 pro hledané neznámé vektoru 1x . Kontrolami jsou rov. (4.2.12) až

(4.2.14). Konečně musí platit i rov. (4.6.10), (4.6.1) a (4.6.2). Tím je výpočet ukončen.Postup výpočtu. Vstupními veličinami jsou:

{

rn×1A ,

( ){

rkn −×2A ,

{

ln×

C , {

1×n

L , {

rr×1F ,

( ){

rkr −×2F ,

{

hr×D ,

{

1×r

U , viz

rov. (4.6.1), (4.6.2) a PŘÍKLAD 16 v kap. 5.3. Poté již následuje výpočet AAAA , D , L

v rov. (4.6.5), submatice ( ) ( )

43421K

43421

hh

T

rkrk

T

×−×−

DDDDDDDDAAAAAAAA ,, PP pro rov. (4.6.8), čímž získáme matice N a xxQ ,

rov. (4.6.8) i rov. (4.6.9) a konečně neznámé z rov. (4.6.10) po výpočtu subvektorů ( )

321

1×−rk

TLPAAAA ,

321

1×l

TLPC a

321

1×h

TLPDDDD . Další již uvádí text za rov. (4.6.10).

Rov. (4.6.7) až (4.6.10) plně nahrazují veškeré případy vyrovnání, uvedenév předchozím textu, včetně základních metod vyrovnání v kap. 4.3 a 4.4. Navíc je možno všepřevést na vyrovnání zprostředkujících pozorování. Bude-li např. scházet vektor y , resp. z ,resp. oba vektory, pak odpadá 2. řádek a 2. sloupec rov. (4.6.7), resp. 3. řádek a 3. sloupecrov. (4.6.7), resp. 2. i 3. řádek a 2. i 3. sloupec rov. (4.6.7).

76

4.7 Závěrem stručné, ale zásadní porovnání metodyzprostředkujících a metody podmínkových pozorování,především s ohledem na vyrovnání geodetických sítí

Zprostředkující pozorováníPřednosti Nedostatky

Jednoduchost a přehlednost při Závislost na zavedené souřadnicové při sestavování rovnic oprav. soustavě. Všeobecně zavedení jejich po- Počet normálních rovnic je obvykle větší užití, především pro možnost než u podmínkových pozorování. automatizece výpočtů.

Podmínková pozorováníPřednosti Nedostatky

Nezávislost na zavedené souřadnicové Často velmi obtížné sestavení potřebného soustavě. počtu podmínkových rovnic. Obvykle menší počet normálních rovnic. Obtížná automatizace výpočtů.

LITERATURA:

[1] Gauss K. B.: Theoria motus corporum coelestium. 1809.[2] Legendre A. M.: Nouvelle méthodes pour la détermination des orbites des cométes.

Appendice: Sur la méthode des moindres carrés. Paris 1806.[3] Laplace P. S.: Théorie analytique des probabilités. Paris 1812.[4] Čuřík F.: Počet vyrovnávací … . Nákladem ČMT, Praha 1936.[5] Müller F., Novotný F.: Geodézie vyšší. Praha 1913.[6] Semerád A.: Příručka praktické geometrie. Praha 1921.[7] Láska V.: Počtářství geodetické. Praha 1894.[8] Čechura F.: Důlní měřictví I, počet vyrovnávací). Praha 1948.[9] Ryšavý J.: Vyšší geodesie. Nakladatelství ČMT, Praha 1947.[10] Fiala F.: Geodetické počtářství I., II. a III. běh. Komise při ČVUT, Praha 1938.[11] Wolf H.: Ausgleichungsrechnung – Formeln zur praktischen Anwendung. Dümler

Verlag, Bonn 1975.[12] Böhm J., Radouch V., Hampacher M.: Teorie chyb a vyrovnávací počet. Vydal

Geodetický a kartografický podnik, Praha 1990.[13] Kabeláč J.: Geodetické metody vyrovnání – metoda nejmenších čtverců. Západočeská

univerzita v Plzni, Plzeň 2004.

77

IV. část Geodetické sítě

5 Geodetické sítě – 2D

5.1 Úvod

Tato 5. kapitola patří plně mezi klasické kapitoly vyšší geodézie. Uvádí ve stručnostimatematickou teorii metod vyrovnání, kterých bylo obvykle používáno v geodézii provyrovnání geodetických sítí, řekněme od dob Gaussových. Protože však hlavním úkolempředkládaného textu je podat nejmodernější měřické a výpočetní postupy, včetně metoddružicové geodézie, budou uvedeny tyto klasické metody vyšší geodézie jenv nejzákladnějších myšlenkách a postupech.

V naší současné odborné literatuře jsou tyto metody důkladně, včetně příkladůprojednávány v [5], [1] a velmi přehledně v [6]. A podle posledně citované práce budemev následujícím textu postupovat.

Dělení úloh této části vyšší geodézie je možno uskutečnit podle různých aspektů.Domníváme se, že základním dělením je dělení podle měřených veličin v dané síti. Podle tohohovoříme o

- triangulaci, jsou-li měřeny směrové veličiny - trilateraci, jsou-li měřeny délkové veličiny - kombinovaném měření, jsou-li měřeny obě tyto veličiny

V případě triangulace a kombinovaného měření rozeznáváme měření - úhlů - směrůPodle velikosti dělíme geodetické sítě na

- místní, - národní,

- mezinárodní, - kontinentální, kap. 7 a 8, - světové, kap. 8.

V následujícím textu bude postup výkladu dělen podle způsobu vyrovnání na - vyrovnání podle podmínkových pozorování, kap. 5.2,

- vyrovnání podle zprostředkujících pozorování, kap. 5.3.

Počty měření budou ve všech případech nadbytečné, aby tak bylo možno přistoupitk vyrovnání MNČ. Význam těchto nadbytečných pozorování je v

- kontrole, - zvýšení kvality měřického materiálu, - posouzení vhodnosti metod a přístrojů.

Ještě dříve, před vlastním výpočtem/vyrovnáním, je nutné naměřené veličiny, ať jsouto směry či délky, redukovat na výpočetní plochu. V našem případě bude výpočetní plochourovina kartografického zobrazení. Může jí však být i plocha elipsoidu, koule a pod. O těchtoredukcích, které zaujímají značně rozsáhlé místo v oblasti vyšší geodézie, nebude zdepojednáno. Potřebnému čtenáři doporučujeme výše uvedenou literaturu [5], [1] a [6]. Ještědodejme, že tyto redukce jsou nejen početně, ale i po teoretické stránce obtížné. Do značnémíry jsou redukcemi zbaveny výpočty, které se provádějí v 3D prostoru, viz kap. 6. Rovněžnebude v následujícím textu pojednáno o přenosu chyb, o optimalizaci sítí ap., viz [5], [1] a[6].

78

5.1.1 Váhy měřených veličin

Již na tomto místě se zmíníme o zavádění vah měřených veličin. Především proto, že budoupoužívány dva druhy těchto veličin (směry a délky) a také proto, že vyjadřování jejichvelikostí v různých rozměrových jednotkách, např. v metrech či centimetrech, přináší zřetelněodlišné výsledky. Tyto rozpory je možno odstranit vhodným zaváděním vah.Metoda nejmenších čtverců používá podmínky

min1

=∑=

n

iiii vvp ,

pro získání nejpravděpodobnějších veličin. Index i = 1, ..., n přestavuje i-té měření, při čemžv souhrnu těchto měření mohou vystupovat, a také vystupují, různé druhy měřených veličin.Váhy pi můžeme získat různými způsoby. Např. z předchozích měření (z vyrovnání směrů nastanovisku, z průměrné hodnoty měřené vzdálenosti), nebo z předchozích všeobecnýchzkušeností (střední chyba úhlu v základní síti), či z jiných měřických aspektů (počet měření)ap. Výsledkem těchto předcházejících měření budou tzv. apriorní středních chyby mi. Platí

pak [2, s. 203] kmmp ii == 20

2 , z čehož 2i

i mkp = . Konstantu k volíme tak, aby se všechny

váhy pi pohybovaly kolem 1. Např. podle výrazu

n

mk

n

ii∑

== 1

2

,

leč lze ji též určit podle jiných požadavků. Jelikož konstanta k je volitelná, možno jipovažovat za číslo nepojmenované a tudíž má váha pi rozměr [ 2−

im ]. Po jejím dosazení do

vTPv dostaneme

∑=

=n

i i

ii

m

vvk

12

min.

Zavedeme-li, jen formálně, i

ii mkvv =′ , platí .min

1

=′′∑=

n

iiivv Opravy v jsou tzv. normované

opravy a jejich předností je, že jsou bez rozměru, neboť vi a mi jsou týchž rozměrů. Tím se icelý postup vyrovnání stává nezávislým na druhu měřených veličin a tedy na volběrozměrových jednotek. Z toho též vyplývá, že rozměrové jednotky měřené veličiny a jejístřední chyby musí být vyjádřený v týchž jednotkách, viz též PŘÍKLAD 15.Číselné ověření je v PŘÍKLAD Ě 15.

5.2 Vyrovnání geodetických sítí v 2D prostoru pomocípodmínkových měření/pozorování.

Prosíme hned zpočátku: nepřehlédněte, že tato kapitola navazuje na kap. 4.3 a doporučujemeproto, se s ní aspoň dočasně seznámit.

Původní název pro podmínková pozorování zněl závislá pozorování. Ten teďpředstavuje zcela jiný druh vyrovnání, viz část X.

Základním pravidlem podmínkových pozorování je: počet r podmínkových rovnic semusí rovnat počtu r nadbytečných měření, přičemž r = n – počet nutných měření/pozorování,kde n je počet všech pozorování. Sestavené podmínky musí být vyrovnáním splněny.

79

V případě kap. 5.2 se též tato měření, jakož i tato vyrovnání, označují jako úhlová čikorelovaná.

1

2

34

56s

A

P1

2

s

P

1

2

1A 2

N

N

1

2

3

4

1

2 3

45

6

7 8

95

a) b)

Obr. 5.2.1

5.2.1 Vyrovnání triangulace

Jednotlivé podmínky demonstrujme na obr. 5.2.1a) a b). Budou platit pro rovinnou síť a proměřené úhly. Pro měřené směry je postup obdobný.

Trojúhelníková podmínka platí pro každý trojúhelník a podle obr. 5.2.1a) to jsouvztahy

,0180

,0180

,0180

965

843

721

=°−++=°−++=°−++

ααααααααα

(5.2.1)

viz též rov. (4.3.1) a (4.3.2). Jejich počet t je roven počtu trojúhelníků.Uzávěrová (vrcholová) podmínka má tvar

0360987 =°−++ ααα (5.2.2)

a jejím smyslem je uzavřít úhly při centrálním bodě na 360o, viz obr. 5.2.1a). Jejich počet c jeroven počtu centrálních vrcholů.

Stranová podmínka. Jestliže vyjdeme v obr. 5.2.1a) např. ze strany 4,5 a pomocíobecné sinové věty vyjadřujeme postupně strany ve směru šipky, nedostaneme přesně tutéžhodnotu strany 4,5 ale hodnotu strany 1,5. Proto je nutné zavést podmínku

0sinsinsinsinsinsin 642531 =− αααααα , (5.2.3)

kterou je nutno sestavit a splnit nejen pro každý centrální obrazec, viz např. 5.2.1a), ale i prokaždý čtyřúhelník s oběma zaměřenými úhlopříčkami. Jejich počet označme s .

Základnová podmínka vyjadřuje, a to obvykle opět pomocí obecné sinové věty, vztahmezi délkově změřenými stranami (základnami) s1 a s2. Zní

0sinsinsinsin 632511 =− αααα ss . (5.2.4)

Jejich počet je z – 1, je-li z počet zaměřených stran (základen) v uvažované síti. Azimutální (směrníková) podmínka vyjadřuje vztah mezi zaměřenými azimuty A1 a

A2. V obecném tvaru zní

( )∑ =°⋅±−+ 018021 iAAiα , (5.2.5)

80

viz obr. 5.2.1b). Zde Σ je součet příslušných vodorovných úhlů od A1 do A2. Počet těchtopodmínkových rovnic je a – 1, jestliže a je počet zaměřených azimutů.

Souřadnicová podmínka vystupuje tehdy, jsou-li v síti aspoň dva body P1 a P2 oznámých rovinných souřadnicích x1, y1 a x2, y2 a nemají-li být tyto souřadnice vyrovnánímpozměněny. Pak má platit

∑∑ +=+=i

iii

ii AsyyAsxx sin,cos 1212 . (5.2.6)

Jejich počet je 2 k – 2, je-li k počet výše uvedených bodů.Jak bylo již uvedeno v kap. 4.3, je nutné nyní do uvedených rov. (5.2.1) až (5.2.6)

dosadit naměřené veličiny l a jejich opravy v (indexy jsou vynechány) a linearizací těchtorovnic přejít k přetvořeným podmínkovým rovnicím typu rov. (4.3.2).

V případě trojúhelníkových podmínkových rovnic (5.2.1) byla tato úprava jižnaznačena v rov. (4.3.1). Pro první rov. (5.2.1) zní

0127721 =+++ Uvvv ,

kde °−++= 180721127 lllU je uzávěr. V případě uzávěrových (vrcholových) podmínkových rovnic (5.2.2) se rovněž jedná o

již linearizavané rovnice, takže jejich přetvořené podmínkové rovnice mají tvar

0789987 =+++ Uvvv ,

kde °−++= 360987789 lllU je uzávěr.V případě zbývajících podmínkových rov. (5.2.3) až (5.2.6) je nutno provést příslušné

parciální derivace těchto rovnic podle měřených veličin a rovněž i definovat potřebnéuzávěry. Tak bude učiněno až v konkrétních číselných příkladech v dalším textu.

Po vytvoření potřebných přetvořených podmínkových rovnic sestavíme matici B, dálevypočteme potřebné uzávěry a sestavíme pomocí nich vektor U, viz rov. (4.3.3). Poténásleduje vlastní vyrovnání MNČ podle kap. 4.3.1 resp. 4.3.2.

Problematika velmi obdobná se týká vyrovnání, v němž nevystupují úhly ale směry.Podobně je tomu, neprovádí-li se vyrovnání v rovině, ale na kouli či elipsoidu, viz [5], [1] a[6].

Poznámka k sestavení potřebného počtu podmínkových rovnic. V učebnici [5] jeuvedena tato, praxí ověřená rada.

Při vyrovnávání složitých sítí, jaké se naskýtají například při vytyčování dlouhých ostunelových, se musí při sestavování rovnic postupovat velmi pozorně. Sestavují-li se rovnicetrojúhelníkové, doporučuje se nakreslit náčrtek sítě tak zjednodušený, že se nejdříve vypustívšechny přebytečné úhlopříčny. Tímto zjednodušením dostaneme obrazec představujícísouvislou skupinu jednoduchých trojúhelníků. Podle tohoto náčrtku napíšeme pro všechnytrojúhelníky podmínkové rovnice. Skončivše tuto práci, přikreslujeme postupně dalšíúhlopříčny a pro každou píšeme ihned příslušnou rovnici.Sestavování závěrových rovnic podle náčrtku nepůsobí obtíží.Při sestavování rovnic stranových vyjdeme nejlépe opět ze zjednodušené sítě (vynechámekřižující úhlopříčny) a sestavíme stranové rovnice pro všechny body ležící uvnitř sítě,aplikujíce při tom obecnou poučku sinovou pro ony body jako póly. Potom síť doplňujemedalšími úhlopříčkami, přičemž pro každou nově zakreslenou úhlopříčnu ihned sestavímejednu rovnici stranovou. Za pól lze volit kterýkoli vrchol příslušného čtyřúhelníka neboprůsečík obou uvažovaných úhlopříčen.

PŘÍKLAD 14Vyrovnání rovinné trojúhelníkové sítě podle podmínkových pozorování/měření.

81

Použijeme seminární úlohu [4]. Mějme rovinnou trojúhelníkovou síť, obr. 5.2.2,v které byly měřeny všechny označené úhly il a délka jedné, libovolně zvolené výchozí

strany. Opravy úhlů jsou iv . Podle rov. (4.3.1), v které symboly α nahradíme symboly l, viz

též rov. (5.2.1), sestavíme potřebné podmínkové rovnice.Trojúhelníkové přetvořené podmínkové rovnice jsou

0

0

0

0

0

5´4´2´´´1

4´´94´´1

310´9´´8

29´81

1821

=+++=+++=+++=+++=+++

Uvvv

Uvvv

Uvvv

Uvvv

Uvvv

(5.2.7)

kde

°−++=°−++=°−++=

°−++=°−++=

180

180

180

180

180

´4´2´´´15

´´94´´14

10´9´´83

9´812

8211

lllU

lllU

lllU

lllU

lllU

(5.2.8)

Vrcholová přetvořená podmínková rovnice

06´´´1´´111 =++++ Uvvvv

kde

°−+++= 360´´´1´´1116 llllU

(5.2.9)

Stranová podmínková rovnice

0sinsinsinsinsinsinsinsin 984´2´´98´42 =⋅⋅−⋅⋅⋅ llllllll

byla sestavena podle rozšířené sinové věty a je nelineární. Proto je nutno ji linearizovat.Stranová podmínková rovnice přetvořená pak zní

079999888844442222 =++++++++ ′′′′′′′′′′ Uvcvcvcvcvcvcvcvc (5.2.10)

,sinsincossin

,sinsincossin

,sinsinsincos

,sinsinsincos

98424

98424

98422

98422

′′′′′

′

′

′′′′

=−=−=

=

llllc

llllc

llllc

llllc

,cossinsinsin

,cossinsinsin

,sincossinsin

,sincossinsin

98429

98429

98428

98428

′′′′′′

′

′′′′

′

=−=

=−=

llllc

llllc

llllc

llllc

984298427 cossinsinsinsinsinsinsin llllllllU ′′′′′ −= .

(5.2.11)

Uzávěry, včetně uzávěru 7U , a tím i opravy jsou vyjádřeny v šedesátinných vteřinách.

Koeficienty při opravách jsou bez rozměru. Matice B v rov. (4.3.6) má pak tvar, pro 15=n ar = 7.

82

{

=×

0000000

000000000001111

000000010101000

010000001000100

101010000000000

000101000000010

000000100010001

´9988´44´22 cccccccc

nr

B

2

2´

1

1´

1´´

1´´´

88´

8´´ 9´ 9

9´´

4´4

2

8 9

10

1

4

10

Obr. 5.2.1 Rovinná trojúhelníková síť

Číselné hodnoty koeficientů ic jsou v posledním řádku následující matice A .

{

−−−−

−

−

−−

=

=×

00000000354,00187,00015,0182,0151,0156,0320,0294,00000

0000000000000000001111

0000000000000010101000

0000000010000001000100

0000000101010000000000

0000000000101000000010

0000000000000100010001

0000100100000000000000

354,0001000010000000000000

0000100001000000000000

187,0000010000100000000000

0000100000010000000000

015,0000010000001000000000

182,0000001000000100000000

151,0010000000000010000000

156,0001000000000001000000

320,0010000000000000100000

294,0000001000000000010000

0110000000000000001000

0101000000000000000100

0100010000000000000010

0100001000000000000001

12222 0B

BPA

T

{( )7,07,18,35,09,75,4"1,2000000000000000

221

−−−−=−

=×

TTTU0L

83

PŘÍMÉ ŘEŠENÍ PODMÍNKOVÝCH POZOROVÁNÍ – ODST. 4.3.1Jde o řešení rov. (4.3.7), v které je váhová matice P rovna jednotkové o rozměru 15x15.Zaveďme dále do rov. (4.3.8) označení A a L , jejichž významy jsou uvedeny výše. Výpočet

oprav v a korelát k se uskuteční společně z výrazu 1− = v

A Lk

. Jsou

{

( )6,20,16,24,16,28,10,17,01,07,10,05,13,03,1"1,1151

−−−−−−−−−−=×

Tv

{( )122,253,097,0204,0633,2798,16,0

71

−−−=×

Tk

Střední chyba jednotková

28,270 == vvTm

Střední chyby vyrovnaných úhlů [“] a korelát [0], viz rov. (4.3.9) pro 1, ,15i = L a (4.3.10)pro 16, , 22i = L jsou

( )1,6 1,6 1,6 1,6 1,5 1,5 1,6 1,6 1,6 1,8 1,9 1,7 1,9 1,5 1,9Tll =m

( )63414141314141 ,,,,,,,Tkk =m

POSTUPNÉ ŘEŠENÍ PODMÍNKOVÝCH POZOROVÁNÍ – ODST. 4.3.2Podle rov. (4.3.13) je

{

−−

−

−

=== −

×

430,00169,0198,00172,0112,0

0410011

169,0130000

198,0003000

0000300

172,0100030

112,1100003

1

77

TT BBBBPN

Vektor uzávěrů je číselně určen a činí

{( )738,0689,1798,3500,0900,7500,4090,2

17

−−−=×

TU , ["]

Výpočet korelát z rov. (4.3.14) je pak

{( ) ( )122,2530,0970,0204,0633,2798,1600,0

17

−−−== −

×

TT UNk 1 , [0]

Výpočet oprav z rov. (4.3.11)

{( )6,20,16,24,16,28,10,17,01,07,10,05,13,03,1"1,1

151

−−−−−−−−−−=×

v

Střední chyba jednotková, viz kap. 4.3.1

28,270 == vvTm

Střední chyby korelát, rov. (4.3.16),( )6,34,14,14,13,14,14,1=T

kkm

Výpočet llm viz přímé řešení nebo [2, str. 201]. Shoda mezi přímým a postupným řešením je

bezvadná. Čímž by měl být posvěcen netradiční postup přímého řešení. Výsledkyvyrovnaných hodnot v a k se shodují úplně.

Další výpočetní postup je společný pro obě řešení, viz odst. 4.3.2. Nejprve 1. kontroladosazením oprav do přetvořených podmínkových rov. (5.2.7), první rov. (5.2.9) a rov.(5.2.10). Odchylky dosahují nejvýše pouze 001,0± . Kontrola 2. pozůstává ve výpočtuvyrovnaných úhlů iii vll += , viz tab. 5.2.1, a ve výpočtu nových uzávěrů určených pomocítěchto vyrovnaných hodnot.

84

Tab. 5.2.1 Vypočtené vyrovnané úhly iii vll +=

Úhel hodnota

1 103°57´36.960´´1´ 51° 3´35.268´´1´´ 104° 8´33.537´´1´´´ 100°50´14.198´´2 31°23´17.625´´2´ 29°17´56.151´´4 48°57´48.772´´4´ 49°51´49.651´´8 44°39´ 5.415´´8´ 85° 9´54.231´´8´´ 14°28´48.767´´9 43°46´30.501´´9´ 47°41´33.667´´9´´ 26°53´37.654´´10 117°49´37.567´´

Nové uzávěry, tj. vypočtené po vyrovnání dosazením hodnot z tab. 5.2.1 do rov. (5.2.8),druhé rov. (5.2.9) a do rov. (5.2.10), jsou

45

41

100,4

106,1−

−

⋅=

⋅=

U

U4

6

42

103,7

103,9−

−

⋅=

⋅−=

U

U4

7

63

106,4

107,1−

−

⋅−=

⋅−=

U

U 114 106,2 −⋅−=U

a opět v jednotkách šedesátinné vteřiny.

5.2.2 Vyrovnání trilaterace

Základní postup je opět shodný s postupem předchozím. Poněkud odlišný je způsobsestavování podmínkových rovnic. Odlišnost pozůstává v tom, že podmínky mezi úhly jetřeba vyjádřit pomocí měřených délek stran. K nim přistupují ovšem další podmínky, ježvyplynou z naměřených délek. Pak teprve naměřeným veličinám, tj. délkám stran, připíšemeopravy a takto získané rovnice až nyní linearizujeme. Vyrovnání je možno provést v rovině,např. v rovině kartografického zobrazení, na kouli, či na elipsoidu. Trilaterační podmínkovérovnice pro různé druhy geometrických obrazců najde čtenář v [6, s. 245 až 254]. Následujícípostup v kap. 5.2.3 zahrnuje v sobě vyrovnání trilaterační jako zvláštní případ.

5.2.3 Vyrovnání měření kombinovaných

O zavádění vah bylo již pojednáno v kap. 5.1.1.Přirozeně, že i zde platí nutnost sestavení podmínkové rovnice pro každé nadbytečné

měření. Pro jednoduchost, ale i pro zvýšení přehlednosti použijeme příkladu v [6, s. 260],který číselně vyrovnáme, a to nejprve podle pozorování podmínkových (PŘÍKLAD 15). Rovněžbude určen potřebný počet podmínkových rovnic a další charakteristiky.

Jistě by bylo možné postupovat obdobně jako v kap. 5.2.1 při vyrovnání triangulace,totiž vypisovat jednotlivé typy podmínkových rovnic. Bylo by to vlastně opakování rov.(5.2.1) až (5.2.6), k nimž by přibyly další podmínky vystihující vzájemné závislosti mezinaměřenými délkami stran studované sítě. Zdá se však, že možnosti konfigurací měřenýchstran jsou značně bohaté a jejich uspořádání do určitého schématu obtížné a možná i

85

samoúčelné. Schéma pro schéma. Snad vhodnější bude odvozování použitých podmínkovýchrovnic samostatně příklad od příkladu, jak bude učiněno i v následujícím případě.PŘÍKLAD 15Vyrovnání rovinného trojúhelníka podle podmínkových měření/pozorování, jsou-li měřenyúhly a délky stran – vyrovnání měření kombinovaných.

Protože základním obrazcem geodetické sítě v rovině je rovinný trojúhelník, bude našenásledující demonstrace uskutečněna s rovinným trojúhelníkem P1P2P3, v němž jsou měřenyvšechny úhly a všechny délky stran, viz obr. 5.2.3.Veličiny α1, α2, α3, s1, s2, s3 budemepovažovat za dané a bezvadné. Obecné řešení stejné úlohy ve 3D prostoru je v kap. 6.3.

P

P

P

s s

sa

a

a

1 2

3

1

1

2

2

3

3

Obr. 5.2.1 Rovinný trojúhelník

Protože trojúhelník P1P2P3 je dán třemi nezávislými veličinami a dáno jich je šest, jenutné sestavit tři podmínkové rovnice. Bude to jedna rovnice trojúhelníková a dvě rovnices užitím rovinných sinových vět. Jsou

.0sinsin

,0sinsin

,0180

1331

1221

321

=−=−=°−++

αααα

ααα

ss

ss

Podle obvyklých zvyklostí vyrovnávacího počtu – MNČ nahradíme bezvadné hodnotynaměřenými l1, l2, l3 a l4, l5, l6 a jejich opravami v1, v2, ..., v6. Získáme rovnice

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) .0sinsin

,0sinsin

,0180

11663344

11552244

332211

=++−++=++−++

=°−+++++

vlvlvlvl

vlvlvlvl

vlvlvl

(5.2.12)

Abychom vytvořili přetvořené podmínkové rovnice, viz rov. (4.3.1), je nutno rov. (5.2.12)linearizovat. Stačí rozvést druhou a třetí s ponecháním malých veličin prvního řádu.Dostáváme po malých úpravách vztahy

,0sinsincoscos

,0sinsincoscos

,0

31634343161

21524242151

1321

=+−++−=+−++−

=+++

Ulvlvllvllv

Ulvlvllvllv

Uvvv

(5.2.13)

kde uzávěry jsou:

.sinsin

,sinsin

,180

16341

15241

3211

llllU

llllU

lllU

−=−=

°−++=(5.2.14)

86

Počet podmínkových rovnic r = 3 a počet měřených veličin n = 6. Rozepišme matici B avektor U, viz rov. (4.3.3) a (4.3.2). S uvážením rov. (5.2.13) a (5.2.14) dostáváme

−−−−=

×

133416

12241563

sin0sincos0cos

0sinsin0coscos

000111

llllll

llllllB

=

×

3

2

1

13

U

U

U

U

(5.2.15)

Abychom vyhověli požadavkům v kap. 5.1.1 o zavádění vah, je nutno uvážit střední chybynaměřených veličin.

Případ 1) Podle [6, s. 260] platí pro úhly 13,2,1 ′′±=m a pro délky 16,5,4 ±=m dm. Podle

kap. 5.1.1 zavedeme dále konstantu k = 1, takže váhy všech měřených veličin jsou 1.Rozměry středních chyb jsou ″ a dm, takže váhy jsou bezrozměrné. Pro uvedený příkladpoužijeme

l1 = 63°19′25,20″ l4 = 287 356,6 dml2 = 75°13′21,10″ l5 = 310 948,9 dml3 = 41°27′12,40″ l6 = 212 895,5 dm

Pomocí nich a rov. (5.2.15) naplňujme rovnice v kap. 4.3.1. Pro výrazy v rov. (4.3.7)dostáváme

−−−−

−−

−−

=

×

000894,00662,0044,10463,0

0000894,0967,00355,0677,0

000000111

894,000100000

0894,00010000

662,0967,00001000

044,101000100

0355,01000010

463,0677,01000001

99

0ΒΒP Τ

( )dm938,0dm384,13,1 −′′−=TU , takže, viz rov. (4.3.8), výsledky jsou

( )( )626,0824,0224,0

dm560,0dm736,0dm382,0887,0906,0149,0

−−=−−′′′′−′′=

T

T

k

v

Což je v souladu s [6, s. 262].

Případ 2) Druhá varianta výpočtu, ověřující kap. 5.1.1 o zavádění vah, vyjadřovalaopětně úhly ve ″, ale délky v metrech. Střední chyby, co do velikosti, zůstaly stejné, takže

13,2,1 ′′±=m , ale 1,06,5,4 ±=m m! Rovněž konstanta k = 1, takže váhy úhlů 13,2,1 =p , ale délek

1006,5,4 =p a opět byly bezrozměrné.

Výpočet prošel stejným algoritmem a dal opět výsledky výše uvedené.

87

5.3 Vyrovnání geodetických sítí ve 2D prostoru pomocízprostředkujících pozorování

Rovněž i zde upozorňujeme, že tato kapitola navazuje na kap. 4.4 a doporučujemesvědomitému čtenáři jí pročíst. Základní, a pro nás zde výchozí, jsou vztahy

1QP vLAx −==+ , ,

viz rov. (4.4.2), v níž dx přešlo v x. Vektor x je vektor neznámých, kterými budou opravy dxi,dyi, doi přibližných hodnot souřadnic x0, y0 bodů Pi sítě a ev. i orientačních posunů oi nabodech Pi, pokud půjde o vyrovnání směrů. Pokud půjde o vyrovnání úhlů αi, pak odpadajíorientační posuny a tudíž i jejich opravy. Měřenými veličinami by tedy opět byly úhly αi adélky stran si. A tento případ si zvolíme k demonstrování potřebných zprostředkujících rovnicoprav a k vyrovnání tohoto typu geodetických sítí podle zprostředkujících měření/pozorováníMNČ. Je též nazýváno vyrovnáním souřadnicovým.

y

x

s

s

P

P

P

s

a

ijsij

jik

ik

ijij

i

j

k

Obr. 5.3.1

Zprostředkující rovnice oprav pro měřenou délku strany PiPj, obr. 5.3.1. Nechť sij, ijs0 , ijsl a

ijsv představuje bezchybnou (správnou) délku, přibližně známou, naměřenou a její opravu. Pak

platí, že

ijij ssijijij vlsss +=+= d0 , (5.3.1)

kde dsij je totální diferenciál funkce

( ) ( )222ijijij yyxxs −+−= *) (5.3.2)

a zní

( ) ( )ijij

ijij

ij

ijij yy

s

yyxx

s

xxs ddddd 0000 −

−+−

−= , (5.3.3)

kde index 0 značí jejich přibližně známé hodnoty. Rov. (5.3.3) dosadíme do rov. (5.3.1),upravíme a dostaneme

ijij ssjij

iji

ij

ijj

ij

iji

ij

ij vLys

yyy

s

yyx

s

xxx

s

xx=+

−+

−−

−+

−− dddd 00000000 , (5.3.4)

*) Připojením (zj - zi)

2 vstupujeme do 3D prostoru

88

kde ijij sijs lsL −= 0 . Délku s0ij vypočteme z rov. (5.3.2) dosazením přibližně známých hodnot

x0i, ..., y0i.

Zprostředkující rovnice oprav pro směr PiPj, obr. 5.3.1. Nechť σij, σ0ij, ij

lσ , ∆σij a

ijvσ představuje správný směrník, přibližný, naměřený, orientační posun a jeho náhodnou

opravu. Pak platí, že

ijijvl ijijijij σσ σσσσ +∆+=+= d0 , (5.3.5)

kde dσij je totální diferenciál funkce

ij

ijij yy

xx

−−

= arctgσ , (5.3.6)

a zní

jij

iji

ij

ijj

ij

iji

ij

ijij y

s

xxy

s

xxx

s

yyx

s

yyddddd

20

00

20

00

20

00

20

00 −−

−+

−+

−−=σ . (5.3.7)

Rov. (5.3.7) dosadíme do rov. (5.3.5), upravíme a dostaneme

ijijvL

ys

xxy

s

xxx

s

yyx

s

yy

ij

jij

iji

ij

ijj

ij

iji

ij

ij

σσσ =+∆−

−−

−−

+−

+−

− dddd20

00

20

00

20

00

20

00

(5.3.8)

kde prostý člen ijij

lL ij σσ σ −= 0 . Směrník σ0ij vyjádříme z rov. (5.3.6) dosazením přibližněznámých hodnot x0i, ..., y0j. Stejně tak se sestaví rovnice oprav pro opravy směru Pj, Pi asměry zbývající.

Zprostředkující rovnice pro úhel PjPiPk, obr. 5.3.1. Podle rov. (5.3.8) získáme zprostředkujícírovnice oprav i pro spojnici PiPk, když v rov. (5.3.8) zaměníme index j indexem k. Má tvar

ikikvL

ys

xxy

s

xxx

s

yyx

s

yy

ik

kik

iki

ik

ikk

ik

iki

ik

ik

σσσ =+∆−

−−−−+−+−− dddd20

0020

0020

0020

00

(5.3.8´)

kde ikik

lL ik σσ σ −= 0 . Od rov. (5.3.8´) odečteme rov. (5.3.8) a dostaneme zprostředkující

linearizovanou rovnici oprav pro úhel αijk, viz obr. 5.3.1. Zní

jikjikvL

ys

xxy

s

xxy

s

xx

s

xx

xs

yyx

s

yyx

s

yy

s

yy

kij

ikj

ik

iji

ij

ij

ik

ik

kij

ikj

ik

iji

ij

ij

ik

ik

αα =+

+−−−

+

−

−−+

+−

+−

−

−

+−

−

ddd

ddd

20

0020

00

20

00

20

00

20

0020

00

20

00

20

00

(5.3.9)

kde jikijikijikjik

lllLLL jikijik ασσσσα ασσ −=+−−=−= 000 , ijikjik 000 σσα −= , se zjistí

dosazenim přibližně známých souřadnic x0i, y0i, x0j, y0j, x0k, y0k do rov. (5.3.6) a

ijikjikvvv σσα −= je náhodná oprava naměřeného úhlu

jiklσ .

89

Rov. (5.3.4), (5.3.8) resp. (5.3.8´) a (5.3.9) jsou základními rovnicemi pro vyrovnánírovinných geodetických sítí podle zprostředkujících měření/pozorování, jsou-li měřeny úhly adélky stran nebo směry/azimuty a délky stran.

Toto vyrovnání se též nazývá souřadnicové vyrovnání.Při použití předchozích rovnic je nutno věnovat zvýšenou pozornost zaváděným

jednotkám. Ve tvaru předchozích rovnic jsou délky vyjádřeny v délkových jednotkách, úhly a

směry v radiánech. Chceme-li je mít např. ve stupních, je třeba je vynásobit °180π atp.

Obecné řešení této úlohy ve 3D prostoru je v kap. 6.3.

LITERATURA:

[1] Böhm J., Radouch V., Hampacher M.: Teorie chyb a vyrovnávací počet. Vydal Geode- tický a kartografický podnik, Praha 1990.[2] Böhm J., Hora L., Kolenatý E.: Vyšší geodézie.Vydavatelství ČVUT, Praha 1979.[3] Kabeláč J.: Geodetické metody vyrovnání – metoda nejmenších čtverců. ZČU, Plzeň 2004.[4] Kesl M.: Podmínková pozorování. Seminární úloha. ZČU, Plzeň 2004.[5] Ryšavý J.: Vyšší geodesie. Nakladatelství ČMT, Praha 1947.[6] Vykutil J.: Vyšší geodézie. Vydavatelství Kartografie, Praha 1982.

90

91

6 Trojrozm ěrná geodézie – 3D

6.1 Teoretické základy 3D geodézie

6.1.1 Úvod

Trojrozměrná geodézie má svůj původ v práci H. Brunse z r. 1878 „Die Figur der Erde, einBeitrag zur europäischen Gradmessung“. Jejím cílem je určení pravoúhlých prostorovýchsouřadnic x,y,z libovolného bodu povrchu Země v systému, jehož počátkem je těžiště Země.V témže systému vyjadřuje i směry. K tomuto účelu mají sloužit veškerá klasická i moderníměření: úhlová, délková, nivelační měření, měření tíhová, dále hvězdná triangulace, měřenína Měsíc, na umělé družice Země (UDZ) a měření na vzdálené mimogalaktické objekty.

Zde uvedená měření lze dělit do tří skupin:1) statistická měření – obvyklá měření,2) kinetická měření – sledující změny,3) dynamická měření – sledující příčiny změn.Též možno říci, že geodetická měření slouží především k určení rozměru a tvaru,

astronomická k orientaci a tíhová k definování vztažné plochy.I když klasická geodézie používala též tří rozměrů, záměrně oddělovala – na rozdíl od

trojrozměrné geodézie – měření polohopisná a měření výšková, a to tím způsobem, žepolohopisné úlohy řešila na referenční ploše, výškopis pak mimo ni. Zatímco polohováměření byla vztažena k ploše geometrické, výšková k ploše hladinové – tedy definovanéfyzikálně. Dalším nedostatkem bylo to, že naměřené údaje, např. při stupňových měřeních,bylo nutno redukovat určitým způsobem na plochu referenční – jíž byl obvykle rotačníelipsoid – leč tato plocha má být výsledkem měření.

H

s

zenit sever

z a

hladinová plocha

elipsoid

Obr. 6.1.1

Trojrozměrná geodézie má uvedené nedostatky odstranit či alespoň zásadně potlačit.Bruns ideu prostorové triangulace demonstruje na polyedru, obr. 6.1.1, jehož vrcholy jsoutrigonometrické body prostorové sítě. Veličiny, vázané na směr tíže (azimut, zenitovávzdálenost) jsou vztaženy ke svislicím v těchto bodech, jejichž směr je dán zeměpisnou šířkou

92

astronomickou a zeměpisnou délkou astronomickou. Další veličiny jsou invariantní délkahran polyedru a refrakční koeficienty. V tomto modelu je možno provádět libovolné početníoperace a tak řešit úlohy geodézie. Pro redukci – která již ovšem nemá význam redukceklasické geodézie – přistupují geopotenciální kóty a pro řešení geocentričnosti systému –hodnoty tíže. I když základy trojrozměrné geodézie byly položeny Brunsem v předminulémstoletí, uplatňuje se tato disciplína prakticky teprve až v současné době, a to především proto,že dochází k použití samočinných počítačů, které usnadňují velice zdlouhavé a obsažnévýpočty, které jsou typické pro trojrozměrnou geodézii a jsou jejím nedostatkem oprotiklasické.

Dále byly rozpracovány některé teoretické problémy především pracemi, kteréuveřejnili Moloděnský, Hotine, Marussi, Dufour a v současnosti další. Z našich pracovníkůuveďme Hradilka.

Trojrozměrná pozemní geodézie je harmonickým protějškem družicové geodézie.Definice veličin, výpočetní postupy, souřadnicové systémy a i celkové pojetí úloh je velmipodobné. Proto jednou z příčin vzestupu trojrozměrné prostorové geodézie je rovněž použitíUDZ pro účely řešení geodetických úloh.

V současné době existují již speciální studijní skupiny Mezinárodní geodetické ageofyzikální unie, jejichž úkolem jsou studie i praktická měření v oboru trojrozměrnépozemní i družicové triangulace a jejich nejvhodnější spojení. Programem těchto skupin je:

1) Systematický průzkum možností určování pozemních sítí pomocí souřadnic,vzdáleností a směrů získaných z družicových sítí. Numerický průzkum nasférických modelech a propojení světových, kontinentálních, národních a místníchsítí.

2) Vypracovat praktické návrhy pro zpevnění kontinentálních a národních sítí včetněstudia přesnosti.

3) Systematický výzkum možností doplnění družicových sítí pro velká území včetněsvětové, pomocí pozemních měření.

4) Vypracovat praktické návrhy světové a kontinentálních družicových sítí*).5) Návrhy pro společné vyrovnání pozemních a družicových naměřených dat*).Úkolem této kap. 6 „Trojrozměrná geodézie – 3D“ je přispět především k řešení

problematiky pozemních prostorových sítí, aby tak co nejvhodněji charakterem měřické avýpočetní metodiky navazovaly na družicové sítě.

Dříve než přistoupíme k řešení konkrétních problémů, které jsou předmětemnásledujících kapitol, uvedeme v této první odvození zprostředkujících rovnic oprav provyrovnání prostorové sítě. Podmínková měření přistoupí později.

6.1.2 Teoretické základy trojrozměrné geodézie

Trojrozměrná geodézie používá měřených geodetických veličin: vodorovný směr a nebovodorovný úhel ω, zenitová vzdálenost z a délka spojnice s; odvozených geodetickýchveličin: šířka B, délka L (kladná na východ) a elipsoidická výška H; měřenýchastronomických veličin: šířka ϕ, délka λ (kladná na východ) a azimut α. Je-li měřena zenitovávzdálenost, je nutno určovat i refrakční koeficient R. Pro delší záměry je nutno ji nahraditúdaji výškovými (získanými z nivelačních měření) a astronomicko-geodetickými. Úkolem

*) Překonáno a pokračuje se.

93

geodetických veličin je určit velikost a tvar zaměřované sítě. Úkolem astronomických veličinpak její orientaci vůči hvězdám, tj. vůči rotační ose Země (zajišťuje ϕ a λ) a vůči základnímupoledníku (zajišťuje λ). Hledanými, výslednými veličinami jsou opravy geodetických aastronomických veličin, rov. (6.1.28).

Zde uvedený text vychází z [4], i když existuje řada prací dalších, modernějších.Z nich uveďme aspoň [2], který vyvozuje rovnice oprav přímo z měřených dat, bez použitísouřadnic rovníkového systému, viz dále.

Obr. 6.1.1

6.1.2.1 Souřadnicové systémy a základní vztahyNejprve definujme pravoúhlý souřadnicový systém obzorníkový s = o(x, y, z), jehož počátekvolíme v bodě Pi, který leží na topografickém povrchu Země, obr. 6.1.2. Osa z je totožná sesvislicí a směřuje k zenitu bodu Pi, osa y směřuje k astronomickému severu a osa xk astronomickému východu. Osy x,y leží v obzorníkové rovině, tečné k hladinové ploše vbodě Pi. Dále zvolíme bod Pj, jehož pravoúhlé souřadnice v systému s jsou

,coscossin,sinsin ijijjijijijjijijijj zszzsyzsx === , αα (6.1.1)

kde sij je délka spojnice PiPj, zij její zenitová vzdálenost měřená z bodu Pi na bod Pj a αij

astronomický azimut téže spojnice, měřený od astronomického severu kladně na východ.Dále definujeme pravoúhlý souřadnicový systém rovníkový S = O(X, Y, Z), obr. 6.1.3,

jehož počátek O leží ve středu referenčního elipsoidu, použitého pro danou geodetickou síť.Osa Z je totožná s malou osou elipsoidu a směřuje na sever, osa X leží v průsečnici základníhogeodetického poledníku s geodetickým rovníkem a osa Y leží rovněž v rovině geodetickéhorovníku a má L = 90°. Souřadnice bodů Pi a Pj v rovníkovém systému S označíme (X, Y, Z)i a(X, Y, Z)j. Mezi souřadnicemi systémů s a S platí vztahy

( ) ( ) ,,,,, Tijijij

Tjjj ZZYYXXzyx −−−=R (6.1.2)

94

Obr. 6.1.1

kde index T značí transponované matice. Matice rotace R v obecném tvaru zní

=

zZzYzX

yZyYyX

xZxYxX

coscoscos

coscoscos

coscoscos

R (6.1.3)

kde xX, ... značí úhly sevřené osami x a X, ... Označme ϕi, λi astronomické souřadnice boduPi. Na obr. 6.1.4 představují body X, Y, Z průsečíky odpovídajících os s jednotkovou sférou.Systém rovníkový S otočíme nejprve o úhel 90° + λi kolem osy Z, takže osy X, Y přejdou dopoloh x , y . Dále osy y , Z otočíme o úhel 90° – ϕi kolem osy x , čímž přejdeme doobzorníkového systému s. Kosiny úhlů xX, ... v rov. (6.1.3) získáme ze sférickýchtrojúhelníků o vrcholech x, X, Z, ..., viz obr. 6.1.4. Po dosazení rov. (6.1.3) do (6.1.2) pakdostaneme

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ,sinsincoscoscos

,cossinsincossin

,cossin

iijiiijiiijj

iijiiijiiijj

iijiijj

ZZYYXXz

ZZYYXXy

YYXXx

ϕλϕλϕϕλϕλϕ

λλ

−+−+−=

−+−−−−=

−+−−=

(6.1.4)

Obr. 6.1.2

95

přičemž

( ) ( ) ( ) ,2222ijijijij ZZYYXXs −+−+−= (6.1.5)

Podle obr. 6.1.2 platí pro astronomický azimut a zenitovou vzdálenost vztahy

.cos,tgij

jij

j

jij s

zz

y

x== α

Po dosazení rov. (6.1.4) a (6.1.5) dostáváme

( ) ( )( ) ( ) ( ) ,

cossinsincossin

cossintg

iijiiijiiij

iijiijij ZZYYXX

YYXX

ϕλϕλϕλλ

α−+−−−−

−+−−= (6.1.6)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ,

sinsincoscoscoscos

21

222ijijij

iijiiijiiijij

ZZYYXX

ZZYYXXz

−+−+−

−+−+−=

ϕλϕλϕ(6.1.7)

které společně s rov. (6.1.5) podávají základní vztahy trojrozměrné geodézie podle teorieuvedené v [1].

Připomeňme však, že počátek O není totožný s těžištěm Země a osy X, Y, Z jsou vůčiodpovídajícím osám astronomického systému stočeny o malé úhly, které mají příčinuv hromadění systematických chyb triangulačních měření. Jestliže bychom chtěli použítrov. (6.1.4), (6.1.6) a (6.1.7) pro společné vyrovnání s měřeními družicovými nebokosmickými*), bylo by nutno k těmto rovnicím, jakož i k dále uvedeným rovnicím opravpřipojit opravné členy z neparalelnosti odpovídajících si os a z netotožnosti počátku O atěžiště Země, případně zavést nové neznámé, [1].

Odvození diferenciálů neznámých veličin v rovníkovém systému

Dříve než budou sestaveny zprostředkující rovnice oprav, je nutno rov. (6.1.5), (6.1.6) a(6.1.7) linearizovat. Bude platit

,dd,dd,dd JJ

ssJ

JzJ

J J

ijij

J

ijij

J

ijij ∑∑∑ ∂

∂=

∂∂

=∂

∂=

ααα (6.1.8)

kde dJ jsou hledané neznámé opravy jednak souřadnic, J = Xi, Yi, Zi, Xj, Yj a Zj, jednakměřených veličin, J = ϕi a λi.

Odvození diferenciálu dαij astronomického azimutu αij

Z tvaru rov. (6.1.6) vyplývá

,,,j

ij

i

ij

j

ij

i

ij

j

ij

i

ij

ZZYYXX ∂∂

−=∂∂

∂∂

−=∂∂

∂∂

−=∂∂ αααααα

proto odvodíme parciální derivace pouze pro veličiny s indexem i. S použitím rov. (6.1.4) a(6.1.1) platí, že

*) Např. laserová měření na Měsíc apod.

96

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) .cotgcoscossin

,cossin

,sin

sincos

,sinsinsincoscossin

1

,sincossincossinsin

1

cossinsincos

5

4

3

2

221

ijijiii

ijij

ijiji

ijij

ijij

iji

i

ijij

ijiiijiijiji

ijij

ijiiijiijij

j

iij

i

iij

i

ijij

zA

zA

zsZA

zsYA

zs

y

x

yXA

αϕϕλα

αϕα

αϕα

αλϕαλα

αλϕαλ

λϕλαα

−=∂∂

≡

=∂∂

≡

=∂∂

≡−

−−=∂∂

≡−

−=

=

−=∂∂

≡−

(6.1.9)

Podle rov. (6.1.8), s užitím pomocných symbolů Aij, má diferenciál dαij astronomickéhoazimutu tvar

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) .ddddddddd 54321iijiijijijijijijijij AAZZAYYAXXA λϕα ++−+−+−= (6.1.10)

Odvození diferenciálu dzij zenitové vzdálenosti zij

Z tvaru rov. (6.1.7) je patrno, že platí

.,,j

ij

i

ij

j

ij

i

ij

j

ij

i

ij

Z

z

Z

z

Y

z

Y

z

X

z

X

z

∂∂

−=∂∂

∂∂

−=∂∂

∂∂

−=∂∂

Proto opět odvodíme parciální derivace pouze pro veličiny s indexem i. S použitímrov. (6.1.4) a (6.1.1) dostaneme parciálním derivováním rov. (6.1.7)

( )

( )

( ).

sin

cossin

,sin

cossincos

,sin

coscoscos

2

2

2

ijij

ijijiij

i

ij

ijij

ijijiiij

i

ij

ijij

ijijiiij

i

ij

zs

zZZs

Z

z

zs

zYYs

Y

z

zs

zXXs

X

z

−−=

∂∂

−−=

∂∂

−−=

∂∂

ϕ

λϕ

λϕ

(6.1.11)

Abychom vyloučili rozdíly rovníkových pravoúhlých souřadnic, přepíšeme rov. (6.1.2) dotvaru

( ) ( ) ,,,,, 1 Tjjj

Tijijij zyxZZYYXX −=−−− R

kde R-1 je inverzní matice k matici R, rov. (6.1.2) a (6.1.3). Za xj, yj, zj dosadíme z rov. (6.1.1)a dostaneme výrazy

97

,cossinsincoscos

,cossincos

sincossinsinsinsincos

,coscoscos

sincoscossinsinsinsin

ijiijijiij

ij

ijii

ijijiiijijiij

ij

ijii

ijijiiijijiij

ij

zzs

ZZ

z

zzs

YY

z

zzs

XX

ϕαϕ

λϕ

αλϕαλ

λϕ

αλϕαλ

+=−

+

+−=−

+

+−−=−

(6.1.12)

které dosadíme do rov. (6.1.11) a po úpravě získáme

( ) ( )[]

( ) ( )[]

( ) ( ) .sinsincoscoscos1

,sinsincos

coscossinsinsincos1

,sincoscos

coscossinsinsin1

3

2

1

iiijijiiji

ijij

ijii

ijijiiijiiji

ijij

ijii

ijiiijiiji

ijij

zzsZ

zB

z

zsY

zB

z

zsX

zB

ϕαϕ

λϕ

αλϕαλ

λϕ

λϕαλ

+−=∂∂

≡−

+

++−=∂∂

≡−

+

++=∂∂

≡−

(6.1.13)

Zbývající dvě parciální derivace, opět s užitím rov. (6.1.7), (6.1.4) a (6.1.1), jsou

( )

( ) .sincos

,cos

5

4

ijii

ijij

iji

ijij

zB

zB

αϕλ

αϕ

−=∂∂

≡

−=∂∂

≡(6.1.13)

Po zavedení pomocných symbolů Bij má diferenciál dzij zenitové vzdálenosti tvar, vizrov. (6.1.8),

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) .ddddddddd 54321iijiijijijijijijijij BBZZBYYBXXBz λϕ ++−+−+−= (6.1.14)

Odvození diferenciálu dsij délky spojnice sijS použitím rov. (6.1.12) získáme jednoduše z rov. (6.1.5) parciální derivace

( ) ( ),coscoscos

sincoscossinsinsin1

ijii

ijijiiijii

ij

j

ijij

z

zX

s

X

sC

λϕ

αλϕαλ

+

+−−=∂∂

−=∂∂

≡

(6.1.15)

98

( ) ( ),cossincos

sincossinsinsincos2

ijii

ijijiiijii

ij

j

ijij

z

zY

z

Y

zC

λϕ

αλϕαλ

+

+−=∂∂

−=∂∂

≡

( ) .cossinsincoscos3iiijiji

i

ij

j

ijij zz

Z

z

Z

zC ϕαϕ +=

∂∂

−=∂∂

≡

S užitím pomocných symbolů Cij má diferenciál dsij délky spojnice tvar, viz rov. (6.1.8)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .ddddddd 321 ijijijijijijij ZZCYYCXXCs −+−+−= (6.1.16)

Odvozených diferenciálů v rov. (6.1.10), (6.1.14) a (6.1.16) bychom použili prosestavení rovnic oprav, jestliže bychom za neznámé, hledané veličiny považovali právěopravy dXi, ... dZj pravoúhlých prostorových souřadnic v souřadnicové soustavě rovníkové aopravy dϕi, dλi bodů Pi a Pj. Ovšem s ohledem na odst. za rov. (6.1.7).

6.1.2.2 Vyjádření diferenciálů neznámých veličin v obzorníkovém systémuČasto se však ukazuje výhodným diferenciály dXi, ... dZj vyjádřit pomocí diferenciálův systému obzorníkovém především již proto, že měření jsou konána právě v tomto systému.Při převodu se vychází ze známých vztahů pro výpočet pravoúhlých souřadnic X, Y,Z v referenčním geodetickém systému S. Platí (indexy i, j jsou vynechány)

( ) ( )( ) ,sin

,sincos,coscos2 BNeHNZ

LBHNYLBHNX

−+=

+=+= (6.1.17)

kde H je elipsoidická výška a ( ) 2122 sin1−

−= BeaN je příčný poloměr křivosti (a, e je hlavnípoloosa a číselná výstřednost poledníkové elipsy daného referenčního rotačního elipsoidu).Rov. (6.1.17) derivujeme, diferenciály dX, dY, dZ vyjádříme pomocí diferenciálů dB, dL, dH atyto ještě nahradíme diferenciály dx, dy v obzorníkové rovině, obr. 6.1.2. Diferenciál dH ležína svislici t, tedy v ose z, a proto jej ponecháme. Platí, obr. 6.1.2,

( ) ( ) .dd,dd,dcosd HzBHMyLBHNx =+=+= (6.1.18)

Diferenciály dX, dY, dZ pak mají tvar

.dsindcosd

,dsincosdsinsindcosd

,dcoscosdcossindsind

HByBZ

HLByLBxLY

HLByLBxLX

+=+−=

+−−=(6.1.19)

Po zavedení symbolů i, j do rov. (6.1.19) dostáváme

,

d

d

d

d

d

d

333231

232221

131211

indindindH

y

x

MMM

MMM

MMM

Z

Y

X

=

kde mezi prvky čtvercové matice a koeficienty při neznámých diferenciálech dx, dy, dH v rov.(6.1.19) platí identita. Např.

99

( ) ,sin11 indind LM −= atd.,

kde ind = i, j. Nyní se vraťme k rov. (6.1.10), (6.1.14) a (6.1.16), které přepíšeme dospolečného vztahu. Zní

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) .d

d

00d

d

d

d

d

d

d

d

d54

54

321

321

321

i

ijjiijij

BB

AA

Z

Y

X

Z

Y

X

CCC

BBB

AAA

s

z

+

+

−

=

λϕ

α

A platí pro záměru z bodu Pi na bod Pj, obr. 6.1.2. Význam symbolů ( )1ijA , ..., ( )3

ijC udávají rov.

(6.1.9), (6.1.13) a (6.1.15). Do této rovnice dosadíme předcházející a dostáváme( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) .d

d

00

d

d

d

d

d

d

d

d

d

54

54

333231

232221

131211

333231

232221

131211

321

321

321

i

ij

jjiiijij

BB

AA

H

y

x

MMM

MMM

MMM

H

y

x

MMM

MMM

MMM

CCC

BBB

AAA

s

z

+

+

+

−

=

λϕ

α

Kdybychom nyní provedli naznačení úlohy, dostáváme koeficienty při neznámých dxi, ... dλi

a dxj, dyj, dHj. Zaveďme

( ) ( ) ( ) ,dd,dd,dd6

1

8

1

8

1

IcsIbzIaI

Iijij

I

Iijij

I

Iijij ∑∑∑

====== α (6.1.20)

kde dI jsou nové neznámé opravy vztažené k systému obzorníkovému. Jest I = 1, 2, ... 8,přičemž 1 = xi, 2 = yi, 3 = Hi, 4 = xj, 5 = yj, 6 = Hj, 7 = ϕi a 8 = λi

*). Koeficienty pro totálnídiferenciál dα jsou

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ,

,

,

3323133

3222122

3121111

T

iijij

T

iijij

T

iijij

MMMa

MMMa

MMMa

AAA

−=

−=

−=

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ,

,

,

3323136

3222125

3121114

T

jijij

T

jijij

T

jijij

MMMa

MMMa

MMMa

A

A

A

=

=

=

( ) ( )

( ) ( ),

,58

47

ijij

ijij

a

a

AA

=

=

(6.1.21)

kde ( ) ( ) ( )( )321ijijijij AAA=A . Pro totální diferenciály dZij a dβij platí obdobné tvary, pouze

symboly A zaměníme za symboly B a C. Tvary (6.1.21) je možno nahradit jinými, viz [3].

*) I = 1, ..., 6 značí veličiny odvozené a I = 7 a 8 veličiny měřené.

100

V případě diferenciálu dsij odpadají poslední dva výrazy s dϕ a dλ (indexy jsouvynechány). Astronomické souřadnice ϕ, λ v rov. (6.1.21) je možno nahradit geodetickýmisouřadnicemi B, L (indexy jsou vynechány).

6.1.2.3 Zprostředkující rovnice opravTato část je již přípravou pro závěrečné vyrovnání zprostředkujících pozorování MNČ.Navazuje tak na kap. 4.4.

Měřenými veličinami jsou: vodorovný směr aij nebo vodorovný úhel ωkij, zenitovávzdálenost zij (pouze u kratších vzdáleností), délka strany sij, astronomický azimut αij,astronomická šířka ϕi a astronomická délka λi. Každá naměřená veličina poskytuje jednuzprostředkující rovnici oprav. V následujícím budou odvozeny jejich linearizované tvary.

Rovnici oprav pro vodorovný směr sestavíme podle obr. 6.1.5. Body Pi, Pj

představují vyrovnáním určované (hledané) polohy a body Pio, Pjo přibližné (dané). Dále αij aαijo je vyrovnaný a přibližný astronomický azimut, aij + vaij

měřený směr a jeho oprava, dαij,

viz první rov. (6.1.20), vliv nesprávných poloh bodů Pio, Pjo a vliv nesprávného směrusvislice, která je dána přibližně známými astronomickými souřadnicemi ϕio a λio (na obr. 6.1.5je znázorněn jen vliv z nesprávných poloh) a d∆ai orientační posun. Podle obr. 6.1.5 platí

.dd ijijoaiji ijvaa αα +=++∆

Obr. 6.1.1

Dosadíme-li za dαij z první rov. (6.1.20), dostaneme( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )ijaijijoiijiij

jijjijjijiijiijiiji

vaaa

HayaxaHayaxaa

=−+++

+++++++∆−

αλϕ dd

ddddddd87

654321

(6.1.22)

kde koeficienty aij(1), ... jsou dány vztahy (6.1.21) a αijo se určí z rov. (6.1.6) a (6.1.17), do

kterých dosadíme přibližně známé geodetické a astronomické veličiny. O výrazu d∆ai

předpokládáme, že je dostatečně malý.

101

Rovnici oprav pro zenitovou vzdálenost sestavíme podle obr. 6.1.6. Úhly Zij a zijo

představují vyrovnanou a přibližnou zenitovou vzdálenost, zij + vzij měřenou zenitovou

vzdálenost a její opravu (u kratších vzdáleností), dzij1 a dzij2, viz 2. rov. (6.1.20), vlivnesprávných poloh bodů Pio, Pjo a vliv nesprávného směru svislice, daný přibližně známýmiastronomickými souřadnicemi ϕio a λio. Výraz ijij Rψ5,0 vyjadřuje vliv refrakce na měřenou

zenitovou vzdálenost, v němž je ψij úhel svislic v bodech Pi, Pj a Rij je refrakční koeficient.Podle obr. 6.1.6 platí

.dd5,0 21 ijijijozijijij zzzvzRij

++=++ψ

Dosadíme za dzij1 + dzij2 výraz dzij, viz druhá rov. (6.1.20), dostaneme( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ,5,0ddd

dddddd5,0876

54321

ijzijoijijijoiijiijjij

jijjijiijiijiijijij

vRzzbbHb

ybxbHbybxbR

=−−++++

++++++−

ψλϕ

ψ(6.1.23)

kde koeficienty bij(1), ... určíme pomocí vztahů (6.1.21), zijo z rov. (6.1.7) a (6.1.17), do kterých

dosadíme přibližně známé geodetické a astronomické veličiny, Rijo je přibližně známáhodnota refrakčního koeficientu a ijRd jeho oprava.

Zenitová vzdálenost při délkách stran větších než asi 15 km bývá nahrazovánavýškovými nivelačními údaji, délkami stran a pod. Důvodem je skutečnost, že zenitovouvzdálenost pro větší délky stran není možno věrohodně zaměřit pro velké a nepravidelnéchyby z refrakce. Tato skutečnost je detailně projednána v [5].

Rovnice oprav pro délku strany zní

ijijosij ssvsij

d+=+

kde naměřené hodnotě strany sij byla přisouzena oprava vsij. Za diferenciál dsij, představující

vliv nesprávných poloh bodů Pio, Pjo, dosadíme třetí rov. (6.1.20) a dostaneme( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,dddddd 654321

ijsijijojijjijjijiijiijiij vssHcycxcHcycxc =−++++++ (6.1.24)

kde koeficienty cij(1), ... určíme pomocí vztahů (6.1.21) a sijo z rov. (6.1.5) a (6.1.17), do

kterých dosadíme přibližně známé geodetické veličiny.

Rovnici oprav pro astronomický azimut sestavíme podle obr. 6.1.5. Platí

,d ijijoij ijv ααα α +=+

kde naměřené hodnotě astronomického azimutu αij byla přisouzena oprava vαij (v obr. 6.1.5

není znázorněno). Za diferenciál dαij, představující vliv nesprávných poloh bodu Pio, Pjo avliv nesprávného směru svislice, dosadíme první rov. (6.1.20) a dostaneme

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ,dddd

dddd8765

4321

ijvaaHaya

xaHayaxa

ijijoiijiijjijjij

jijiijiijiij

αααλϕ =−+++++

++++(6.1.25)

102

kde koeficienty aij(1), ... určíme ze vztahů (6.1.21) a αijo z rov. (6.1.6) a (6.1.17), do kterých

dosadíme přibližně známé geodetické a astronomické veličiny.

Obr. 6.1.2

Rov. (6.1.25) obsahuje naměřený astronomický azimut αij, rov. (6.1.22) vodorovný směr aij aorientační posun d∆ai. V tom je jejich rozdíl.

Rovnice oprav pro astronomickou šířku a astronomickou délku jsou

iviioi ϕϕϕϕ =−+d (6.1.26)

iviioi λλλλ =−+d (6.1.27)

kde naměřeným hodnotám šířky ϕi a délky λi byly přisouzeny opravy vϕi a vλi

. Za přibližněznámé hodnoty ϕio, λio je možno zvolit hodnoty naměřené. Pak neznámé diferenciály dϕi, dλi

jsou rovny opravám vϕi a vλi

.

Rovnici oprav pro vodorovný směr je možno nahradit rovnicí oprav pro vodorovnýúhel. Podle obr. 6.1.5 vznikne odečtením dvou rovnic typu (6.1.22), sestavené pro spojnicePiPj a PiPk. Její výhodou oprati původní rov. (6.1.22) je vyloučení neznámého orientačníhoposunu d∆ai, který nevystupuje pak ani v rov. (6.1.28).

Linearizované rovnice oprav (6.1.22-27) obsahují neznámé opravy vztažené k systémuobzorníkovému. Jestliže bychom užili při sestavování linearizovaných rovnic oprav vztahů(6.1.10). (6.1.14) a (6.1.16), pak vypočtené neznámé opravy jsou vztaženy k systémurovníkovému.

K sestavení linearizovaných rovnic oprav, obdobných rov. (6.1.22-27), je možnopoužít přímo rov. (6.1.1).

6.1.2.4 Přehled výpočetního postupu

103

Výpočetní postup při použití neznámých oprav v systému obzorníkovém je následující.Z hodnot Bio, Lio, Hio, Bjo, Ljo, Hjo vypočteme pro daný referenční elipsoid přibližně pravoúhlésouřadnice Xio, Yio, Zio, Xjo, Yjo, Zjo, rov. (6.1.17), a pomocí nich a hodnot ϕio, λio přibližnéhodnoty αijo, zijo, sijo, rov. (6.1.5-7), jež vystupují v absolutních členech rovnic oprav (6.1.22-25). Hodnoty koeficientů se určí z rov. (6.1.21). Ve jmenovaných rovnicích je index ovynechán. Výsledkem vyrovnání jsou opravy dxi, dyi, dHi, dxj, dyj, dHj, dϕi, dλi, d∆ai a dRij

vystupující v rovnicích oprav (6.1.22-27). Pomocí rov. (6.1.19) převedeme prvních 6uvedených oprav na opravy dXi, dYi, dZi, dXj, dYj, dZj. Konečné hodnoty jsou

,d

,d

,d

,d

,d

iioi

iioi

iioi

iioi

iioi

ZZZ

YYY

XXX

λλλϕϕϕ

+=+=+=

+=+=

,d

,dd

,d

,d

,d

ijijoij

ii

jjoj

jjoj

jjoj

RRR

aa

ZZZ

YYY

XXX

+=∆=∆

+=

+=

+=

(6.1.28)

pro i = 1, 2, ... n, kde n je počet zprostředkujících rovnic oprav.Výpočetní postup při použití neznámých oprav v systému rovníkovém, rov. (6.1.10),

(6.1.14) a (6.1.16), je ve výpočtu absolutních členů shodný s postupem předchozím. Výsledkyje ale možno dosadit již přímo do rov. (6.1.28). Výpočet rov. (6.1.18) a dalších je tedyvynechán. Koeficienty v rovnicích oprav se určí z rov. (6.1.9), (6.1.13) a (6.1.15).

V této kap. 6.1 vystupují délkové a úhlové směrové veličiny. Jsou-li úhlové a směrovéveličiny zaváděny např. ve ″, je nutné zavést převod na ně z míry obloukové pomocí

8,206264180 ==′′ πρ . Podobně je nutné dbát obou zavedených jednotek při zavádění vah a

výpočtu středních chyb.Detailní projednání předložené problematiky včetně numerické aplikace je uvedeno

v [5], kde jsou i další odkazy na literaturu.

6.1.3 Závěr

Metody trojrozměrné geodézie mohou posloužit k řešení samostatných úloh jak geodézieinženýrské, tak i vyšší geodézie. Má-li být použito metod trojrozměrné geodézie kespolečnému zpracování měření z jiného oboru, např. z družicové geodézie nebo kosmickégeodézie, je nutné, aby použité prostorové systémy byly shodné co do počátku i orientace os,či aby jejich neshodnost byla uvážena.

LITERATURA:

[1] Burša M.: Základy družicové geodézie, I. díl. Naše vojsko. Praha 1960.[2] Hradilek L.: Adjustment of Tree-Dimensional Networks in the Geodetic Coordinate

System. IAG Symposium on Optimalization of Design and Computation of ControlNetworks. Sopron 1977.

[3] Kabeláč J.: Příspěvek k problematice trojrozměrné geodézie. Geod. a kart. obzor, roč.24/66, č. 12, Praha 1978.

[4] Wolf H.: Die Grundgleichung der Dreidimenzionalen Geodäzie in elementalerDarstellung. Zeitschrift für Vermessungswesen, 6 (1963), 225.

104

[5] Zelenka J.: Diplomní úkol. Knihovna katedra vyšší geodézie, Praha 1976.

6.2 Podmínka komplanarity

Podmínka komplanarity stanoví závislost mezi (třemi) směry, ležícími v jedné rovině. Mějmena obr. 6.2.1 tyto tři směry, jejichž směrové kosiny, které jsou ovšem závislé na svolenésouřadnicové soustavě, označme (a b c)index, kde index = ij, jk, ki.

k

j

i

Obr. 6.2.1

Mezi nimi však platí závislost daná vztahem

1222 =++ cba

(indexy jsou vynechány), který ale není vhodný pro vyrovnání. Proto nahradíme směrovýkosinus c vztahem

( ) .1 21

22 bac −−=

Podmínku komplanarity pak udává determinant

( )( )( )

.0

1

1

1

21

22

21

22

21

22

=

−−

−−

−−

=

kikikiki

jkjkjkjk

ijijijij

ijk

baba

baba

baba

D (6.2.1)

Jeho aplikace je např. v kap. 8.2. Pro použití ve vyrovnání je však zapotřebí získatpřetvořenou podmínku, viz rov. (4.3.1), která ovšem vyžaduje linearizaci rov. (6.2.1), a topodle zavedených neznámých. Protože tyto veličiny se různí případ od případu, nebudemezde linearizaci provádět. Navíc prvky v determinantu rov. (6.2.1) nejsou nejvhodnější.Vhodné je nahradit jen dvěma nezávislými proměnnými veličinami, jak ukazuje obr. 6.2.2,kde jsou označeny u, v.

105

y

x

z

u

90°v

arccosc

arccosb

arcc

osa

u

90°

Obr. 6.2.2

Pak platí ,cos,sinsin,cossin vcuvbuva === přičemž není (prozatím) nutno pravoúhlousouřadnicovou soustavu blíže definovat. Upravená rov. (6.2.1) přejde do tvaru

.0

cotgsincos

cotgsincos

cotgsincos

==

kikiki

jkjkjk

ijijij

ijk

vuu

vuu

vuu

D (6.2.2)

Budeme-li považovat jen směr ij za neznámý a tudíž hledaný MNČ, je nutno zavést

,d,d 00 vvvuuu ijij +=+=

Ostatní symboly ponechat a rov. (6.2.2) linearizovat. Dostaneme přetvořenou podmínkovourovnici

,dd ijkijkijkijk vlvbua =++

kde

( ).

,sincosec

,

cotgsincos

cotgsincos

0cossin

0

02

00

ijkijk

kijkijk

kikiki

jkjkjkijk

Dl

uuvb

vuu

vuu

uu

a

=

−=

−=

Po dosazení přibližných hodnot u0, v0. Absolutní člen l ijk je odchylka úhlu normályk rovině dané směry ik a jk, viz obr. 6.2.1, s přibližným směrem ij o. Podmínka komplanaritynahrazuje podmínku trojúhelníkovou, viz kap. 5. Oproti ní je však citlivější, jestliže ony třisměry neleží v jedné rovině. Dále stanoví (zajišťuje) orientaci roviny ijk v 3D prostoru. Blíže,včetně číselného příkladu, je v [1]. Taktéž viz kap. 5.2.3 a 5.3.

Linearizace rov. (6.2.1) a její číselná aplikace je uvedena v kap. 8.2.1.

LITERATURA:

[1] Kabeláč J., Skořepová J.: Vyrovnání prostorové družicové sítě. Geod. a kart. obzor, roč.17/59, s. 167 – 174, Praha 1971.

106

6.3 Společné vyrovnání směrových a délkových veličin

V kap. 4 bylo uvedeno srovnání použití zprostředkujících a podmínkových pozorování přivyrovnání MNČ. V kap. 6.3 a dalších bude preferováno vyrovnání pomocí podmínkovýchpozorování přesto, že sestavení potřebného počtu podmínek je někdy velmi obtížné. Vede násk tomu skutečnost, že vyrovnání podmínkových pozorování, resp. podmínky samotné, nejsouobvykle závislé na souřadnicové soustavě na rozdíl od vyrovnání pozorovánízprostředkujících.

Takže nejbližším úkolem bude sestavení podmínkových rovnic a eventuálně i jejichlinearizace. Pozornost bude věnována i zavádění vah, neboť jde o dva různé druhy měřenýchveličin. Teorii budeme demonstrovat na trojúhelníku A, B, C, obr. 6.3.1.

y

Ax

a

z

s

C

B

1

2

3

a

a

s

3s

2

1

Obr. 6.3.1

Danými veličinami jsou směrové veličiny: u1, v1, u2, v2, u3, v3 a délkové veličiny: s1,s2, s3.

Tedy počet daných veličin n = 9. Nutný počet ν = 6 pro zajištění polohy trojúhelníkuA, B, C v 3D prostoru. Počet nadbytečných měření r = n – ν = 3. Takže je nutno sestavit třipodmínky. První podmínkou je podmínka komplanarity z rov. (6.2.2). Zbývající dvě volmenapříklad ve tvaru

,0coscos221331 sDsss ≡=−+ αα (6.3.1)

.0coscos331221 sDsss ≡=−+ αα (6.3.2)

Linearizací rov. (6.2.2), (6.3.1) a (6.3.2) dostaneme v uvedeném pořadí

,0dd

ddddddd

,0dd

ddddddd

,0dddddd

332

1321321

232

1321321

123321321

032

1321321

032

1321321

0321321

=+++

+++++++

=+++

+++++++

=++++++

s

s

Dscsc

scvcvcvcucucuc

Dsbsb

sbvbvbvbububub

Dvavavauauaua

ss

svvvuuu

ss

svvvuuu

vvvuuu

(6.3.3)

107

Derivace aindex zjistíme z rov. (6.2.2). Postupně derivujeme podle všech prvků tohotodeterminantu, přičemž indexy ijk nahrazujeme indexy 123. Nejprve pro první rov. (6.3.3).Dostáváme

0333

22

111

02

123

0333

222

11

01

123

cotgsincos

0cossin

cotgsincos

cotgsincos

cotgsincos

0cossin

2

1

vuu

uu

vuu

u

Da

vuu

vuu

uu

u

Da

u

u

−=∂

∂=

−=

∂∂=

033

222

111

03

123

0cossin

cotgsincos

cotgsincos

3

uu

vuu

vuu

u

Dau

−=

∂∂=

( )

( )

( )02132

03

123

01322

02

123

03212

01

123

sincosec

sincosec

sincosec

03

02

01

uuvv

Da

uuvv

Da

uuvv

Da

v

v

v

−=∂

∂=

−=∂

∂=

−=∂

∂=

Pro druhou a třetí rov. (6.3.3) jsou derivace složitější, neboť vznikaly z rov. (6.3.1) a (6.3.2)obsahujících úhly αindex, takže např.

( ) .cossinsincoscoscos 2332321 uuvvvv −+=α

Derivování rov. (6.3.1) a (6.3.2) bude proto nutno provést podle vztahu

01

1

11

3

301

222

1

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂

=u

D

u

D

u

Db sss

u

αα

αα

atd. Postupně dostáváme výrazy

( )( ) ( )( )

( )[ ]( )[ ]( )[ ]( )[ ] ,cossincoscossin

,coscossinsincos

cossincoscossin

,coscossinsincos

,sincoscos

,sincoscossincoscos

,sincoscos

3232323

3232323

2121211

2121211

32323

2332321211

12211

3

2

1

3

2

1

uuvvvvsb

uuvvvvs

uuvvvvsb

uuvvvvsb

uuvvsb

uuvvsuuvvsb

uuvvsb

v

v

v

u

u

u

−−=−−+

+−−=

−−=

−=

−+−=

−=

,cos,1,cos 13 321αα =−== sss bbb

108

( )( )( ) ( )

( )[ ]( )[ ]

( )[ ]( )[ ] ,cossincoscossin

cossincoscossin

,coscossinsincos

,coscossinsincos

,sincoscossincoscos

,sincoscos

,sincoscos

3232322

1331311

3232322

1331311

3232231311

23322

13311

3

2

1

3

2

1

uuvvvvs

uuvvvvsc

uuvvvvsc

uuvvvvsc

uuvvsuuvvsc

uuvvsc

uuvvsc

v

v

v

u

u

u

−−+

+−−=

−−=

−−=

−+−=

−=

−=

.1,cos,cos321 12 −=== sss ccc αα

Podmínkové rov. (6.3.1) a (6.3.2) možno volit i v jiných tvarech a derivace upravit dovhodnějších výrazů, viz [1] nebo obdobně [2]. Systém rovnic (6.3.3) podrobíme podmínceminima, když dříve do těchto výrazů dosazujeme přibližně známé vstupní hodnoty (index 0byl vynechán). Blíže o teorii včetně číselného použití je rovněž v [2].

Problematika obdobná, leč pro rovinu, byla uvedena v PŘÍKLAD Ě 15 v kap. 5. Ozpůsobu zavádění vah viz kap. 5.1.1 a číselná ověření různých vahových variant jsouv kap. 8.2.1 a 8.2.2.

LITERATURA:

[1] Hubeny K.: Die Auzgleichung von Dreiecknetzen mit direkt geomessenen Seiten. Öster.Zeit. für Vermes., No. 5, 6, 1950.

[2] Kabeláč J.: Pozemní a družicové sítě v trojrozměrném prostoru. Fakultní úkol č. 420A/70-71, knihovna katedry vyšší geodézie, Praha 1972.

6.4 Vyrovnání sítě v 3D prostoru bez závislosti na svislici

V následujícím textu je ukázáno, že postup s pomocí podmínkových pozorování je možnopoužít v případě, kdy nechceme pracovat s veličinami, které jsou závislé na svislici, tj.s vodorovnými směry a především ne se zenitovými vzdálenostmi. Princip pozůstávájednoduše v tom, že tyto veličiny převedeme na tzv. šikmé úhly α, viz obr. 6.4.1. Tím,společně s měřenými délkami, bude použito pouze veličin invariantních, nezávislých nasměru svislic, ale i na souřadnicovém systému vůbec.

V dalším textu budou postupně sestavovány podmínkové rovnice trojúhelníkové,stranové a základnové, tedy obdobně jako při vyrovnání v 2D prostoru, leč zde pro prostor3D. Rovněž bude uvážen vliv pozemní refrakce.

6.4.1 Sestavení podmínkových rovnic

1) Podmínkové rovnice trojúhelníkovéNa obr. 6.4.1 jsou body i, j, k vrcholy prostorové sítě. O šikmých (polohových, posičních)úhlech, které jsou invariantní, platí (indexování je vždy ve smyslu kladném) již linearizovanýtvar

109

k

j

jk

i

a

kij

jki

ijk

ij

ki

s

s

s

a

a

Obr. 6.4.1

.0180 =°−++ jkiijkkij ααα (6.4.1)

k

jjk

i

a

jikjki

ijk

ji Rj

z

a´

x j v12

o ji

Rjj v12

x

ijk

jko

jkjiz

smìr alhidádovéosy teodolitu

Obr. 6.4.2

Např. úhel αijk zjistíme, obr. 6.4.2, když bod j ztotožníme se středem jednotkové koule. Platí

( )jijkjkjijkjiijk oozzzz −+= cossinsincoscoscosα, (6.4.2)

kde zji, zjk jsou zenitové vzdálenosti bez vlivu refrakce a oji, ojk vodorovné směry z bodu j nabody i a k. Stejně tak zjistíme i ostatní šikmé úhly. Vliv refrakce, působící na zenitovouvzdálenost, zaveďme tvarem (pro demonstraci užito záměry zji)

,2

1jjijiji Rzz ϕ+′= (6.4.3)

kde z ji je naměřená zenitová vzdálenost a ϕji úhel svislic na bodech i a j. Refrakční koeficient

,0 jRj vRR += (6.4.4)

kde R0 = 0,14 je přibližná hodnota refrakčního koeficientu a byla společná pro všechny body;vRj

je jeho oprava pro bod j. Rov. (6.4.4) dosadíme do rov. (6.4.3) a získáme

110

.2

1

2

10 jRjijijiji vRzz ϕϕ ++′=

Výrazy 02

1Rz jiji ϕ+′ jsou známé a zavedeme místo nich symbol jiz′′ a vše dosadíme, rovněž

tak pro záměru jk, do rov. (6.4.2). Jest

( ) ,cos2

1sin

2

1sin

2

1cos

2

1coscos

jkjiRjkjkRjiji

RjkjkRjijiijk

oovzvz

vzvz

jj

jj

−

+′′

+′′+

+

+′′

+′′=

ϕϕ

ϕϕα(6.4.5)

kde jRji vϕ2

1 je oprava zenitové vzdálenosti záměry ji v důsledku refrakce. Obdobně je tomu

pro záměru jk a další. Rov. (6.4.5) nejprve upravíme. Po zanedbání malých veličin 2. avyšších řádů a po malé úpravě dostaneme

( )[( )],cossincossincos

coscossinsincos2

1coscos

jkjijkjijijk

jkjijkjijkjiRijkijk

oozzzz

oozzzzvj

−′′′′+′′′′

−−′′′′+′′′′−+′= αα

kde, viz obr. 6.4.2,

( ),cossinsincoscosarccos jkjijkjijkjiijk oozzzz −′′′′+′′′′=′α

a je to tedy veličina známá, ovlivněná refrakcí, a budeme ji považovat za „naměřenou“.Výrazy v hranaté závorce nahradíme sinus-kosinusovými větami pro sférický trojúhelník naobr. 6.4.2 a dostáváme

( ).coscossin2

1coscos jkijkjikjiijkRijkijk j

v ξϕξϕααα +′−=′−

Výraz na levé straně upravíme podle známé věty rovinné trigonometrie. Po úpravě má tvar

,2

1jRjikijkijk vA+′= αα (6.4.6)

kde

( ),coscos2

1 jkijkjikjiijkA ξϕξϕ += (6.4.7)

Úhly ξ určíme z obr. 6.4.2. Hodnota α ijk je hodnota známá, které byl dán významveličiny naměřené. A jí bude příslušet náhodná oprava

ijkvα .

Jak jsme postupovali při odvození rov. (6.4.6), stejně tak by platilo i pro úhly αjki aαkij, viz obr. 6.4.1. Po jejich dosazení do rov. (6.4.1) včetně dosazení náhodných oprav

ijkvα ,

jkivα a

kijvα , dostáváme

,0=++++++ ∆ijkjkiRijkRkijR UAvAvAvvvvkjijkiijkkij ααα (6.4.8)

111

kde uzávěr je.180°−′+′+′=∆ jkiijkkijijkU ααα

Rovnice typu (6.4.8) je nutno sestavit pro každý trojúhelník, na jehož všech vrcholechbyly měřeny vodorovné směry a zenitové vzdálenosti.

2) Podmínkové rovnice stranovéPři studiu sítí v dvourozměrném prostoru je základním obrazcem trojúhelník. Při sestavovánípodmínkových rovnic stranových v třírozměrném prostoru se ukázalo, že nejvhodnějšímzákladním tělesem je čtyřstěn. V obr. 6.4.3 bod p představuje pól a body i, j, k vrcholyzákladny.

k

j

pjk i

a

ijp

pij

pik

ikp

jkp

p

a

a

a

a

a

Obr. 6.4.3

Platí pak

,1sinsinsin

sinsinsin =

jkpijppik

ikppjkpij

ααααα

(6.4.9)

kde ramena úhlů v čitateli jsou stejnosměrná a ve jmenovateli protisměrná.Rov. (6.4.9) můžeme převést na logaritmický tvar. Za úhly α dosadíme výrazy (6.4.6),

včetně náhodných oprav, poté rov. (6.4.9) linearizujeme a po úpravě dostáváme

( )( )( ) ,0cotgcotg

cotgcotg

cotgcotg

cotgcotgcotg

cotgcotgcotg

=+′−′+

+′−′+

+′−′+

+′−′−′−

−′+′+′

pijkk

j

i

jkpijppik

ikppjkpij

ojkpjkpikpikpR

ijpijppjkpjkR

pikpikpijpijR

jkpijppik

ikppjkpij

UAAv

AAv

AAv

vvv

vvv

αα

αααα

ααα

ααα

ααα

ααα

(6.4.10)

kde význam symbolů A je dán rov. (6.4.7). Uzávěr

.sinsinsin

sinsinsinlog

jkpijppik

ikppjkpijo MU

pijk ααααα

=

Pro čtyřstěn na obr. 6.4.3 je možno sestavit 3 nezávislé stranové rovnice, je-li početměřených veličin úplný. Je přirozené, že je možno sestavit stranové rovnice i pro základny

112

víceúhelníkové. To však již záleží na tvaru prostorové sítě a na rozložení měřených veličinv síti.

3) Podmínkové rovnice základnovéByly-li změřeny v trojúhelníku i, j, k, obr. 6.4.1, strany sij a ski, platí

.1sin

sin=

jkiki

ijkij

s

s

αα

(6.4.11)

Rov. (6.4.11) můžeme převést na logaritmický tvar Za úhly α dosadíme nejprve výrazy(6.4.6), včetně náhodných oprav, a za délky stran s výrazy svss +′= , kde s je naměřená

délka strany (indexy jsou vynechány) a vs její oprava. Rovnici linearizujeme a po úpravědostaneme

,0cotgcotg

cotgcotg

=+′−′+

+′

−′

+′−′

skj

kiij

jkiijk

ijkjkijkiRijkijkR

ki

s

ij

s

jkiijk

UAvAv

s

v

s

vvv

αα

αα αα(6.4.12)

kde význam symbolů A je dán rov. (6.4.7). Uzávěr

.sin

sinlog

jkiki

ijkijijk s

sMU

s αα

′′′′

=

Počet základnových rovnic je vždy o 1 menší než počet změřených délek stran. Neleží-li obězákladny v témže trojúhelníku, získáme pro ně vztah pomocí rozšířené sinové věty.

Linearizované rov. (6.4.8), (6.4.10) a (6.4.12) obsahují neznámé opravy vα, vs

měřených veličin a neznámé parametry vR neměřených veličin. Vyrovnání je tedy nutnouskutečnit podle podmínkových pozorování s neznámými parametry, viz závěr kap. 4.7,v které je nutno zanedbat zprostředkující pozorování s neznámými parametry. Výslednéhodnoty jsou

.

,

,0

s

R

R

vss

Avv

vRR

+′=++′=

+=

ααα

(indexy jsou vynechány). Bližší je v [1], [2], [3] a [4].Vyrovnání prostorových sítí v třírozměrném prostoru podle podmínkových pozorování

je prozatím v literatuře méně propracováno než podle zprostředkujících pozorování. Přednostípodmínkových pozorování je vyšší nezávislost na referenčním tělese oproti zprostředkujícímpozorování, viz závěr kap. 4.

Jistou potíží je sestavování potřebných a nutných podmínkových rovnic. Nutné je, abyjejich počet nebyl přebytečný, tj. aby nebyly na sobě závislé. Navíc jejich počet je menší nežpočet rovnic oprav u zprostředkujících pozorování.

V předchozím textu bylo rovněž ukázáno, že uvedený postup je též nezávislý na směrusvislic. Znamená to, že je využíváno čistě geometrických závislostí v třírozměrném prostorubez ohledu na gravitační účinky v souřadnicové soustavě. A rovněž není nutné oddělovatveličiny polohové od výškových.

113

LITERATURA:

[1] Hradilek L.: Space Triangulation in the Western Part of the High Tatras. Studia geoph. etgeod., 7 (1963), 338.

[2] Kabeláč J.: Adjustment of a Spatial Network Independently of the Plumb-line. Studiageoph. et geod., 14 (1970), 110.

[3] Kabeláč J.: Pozemní a družicové sítě v třírozměrném prostoru. Fakultní úkol, č. 420 A/70-71, knihovna katedry vyšší geodézie, Praha 1972.

[4] Kabeláč J.: Využití umělých družic k budování geodetických základů – upřesnění teorieporuch. Doktorská disertační práce. Soukromá knihovna autora. Nepublikováno, Praha1988.

6.5 Vyrovnání prostorové sítě metodou družicové geodézie

I když bude o družicových sítích pojednáno v samostatné kap. 8, ale i 7, zařazujeme aplikacivyrovnání sítí metodou družicové geodézie (DG) již nyní. Princip budování není nikteraksložitý.

Půjde o zjištění všech směrů stran a alespoň některých jejich délek v danésouřadnicové soustavě.

Budou použita taková vyjádření, aby tyto všechny směrové veličiny byly vyjádřenystejnými nebo obdobnými symboly jako při vyrovnání sítí družicových. Obvykle to jehodinový úhel greenwichský a deklinace, jejich definice ap. jsou v kap. 7.2, kterýmžtoveličinám budou zde odpovídat astronomická zeměpisná délka a astronomická zeměpisnášířka, viz obr. 6.5.1 a obr. 6.5.2. Tento postup je sledován úmyslně, neboť je snahouvyrovnání družicové sítě a prostorové pozemní sítě spojit v jeden vyrovnávaný celek. Použitérovnice pro obě sítě si potom svým charakterem odpovídají. Rovněž bude použitopodmínkových rovnic, neboť – jak již bylo poznamenáno – je jejich předností podstatněmenší závislost na referenčním tělese a tudíž i na zavedené souřadnicové soustavě.

Z prací obdobných této kapitole jmenujme aspoň [5], [1] a [4]. Poznamenejmeještě, že zde nejsou zaváděny refrakční koeficienty, jak by se mělo stát s ohledem na nejvyššípřesnost. Teorie je aplikována na modelový příklad v [3]. Ještě poznamenejme, že zde – narozdíl od předchozí kap. 6.4 – není zcela odstraněna závislost na směru svislic. O variantáchvyrovnání bude pojednáno později.

6.5.1 Stanovení základních vztahů pro určení směru strany prostorové sítě

Na obr. 6.5.1 představuje bod Pi pozemské stanoviště o zeměpisných astronomickýchsouřadnicích ϕi a λi (kladná na východ), na němž jsou měřeny azimuty αij a zenitovávzdálenost zij na bod Pj. Azimut je počítán od astronomického severu N a je kladný navýchod. Přenesme směr PiPj, směr ti k astronomickému zenitu Zi a směr o k severnímusvětovému pólu P do bodu Pi, obr. 6.5.2. Tyto směry protnou jednotkovou kouli, opsanoubodu Pi ve vrcholech sférického trojúhelníka Pij, Zi, P. Potom úhly ϕij a λij (kladné na východ)charakterizují směr strany PiPj v soustavě astronomických rovníkových souřadnic.Z obr. 6.5.2 je možno odvodit základní vztahy.

,sinsinsincos ijijijij z αλϕ =∆ (6.5.1)

114

,cossinsincoscoscoscos ijiijiijijij zz αϕϕλϕ −=∆ (6.5.2)

,coscossinsincossin ijiijiijij zz αϕϕϕ += (6.5.3)

,cossincoscotg

sintg

ijiiij

ijij z αϕϕ

αλ

−=∆ (6.5.4)

,ijiij λλλ ∆+= (6.5.5)

Z

t

P

o

pól

N

Greenwichskýpoledník

PP

P

za

l

j90° -i

ijij

i

j

j

i

ii

Pi

Obr. 6.5.1

115

o

Greenwichskýpoledník

P

P

P

t

Z

Z

90°-

P P

i

i

ij

i j

i

ij

ij

iji

iji

a

jjl

ij

D

ll90°-

Obr. 6.5.2

takže

( )ijijijji fPP λϕ ,=

resp.

( ).,,, iiijijijji zgPP λϕα=

(6.5.6)

V obecném případě hodnota azimutu αij nebude známa. Pišme, že

, iijij ααα ∆+′= (6.5.7)

Kde azimut ijα ′ na pravé straně je hodnota známá a ∆αi je neznámý orientační posun.

116

Z

t

i

N

Z

Z

i

ik

ijij

ik

Z

Nt

Z

Z

a

a

a

a

ji

jk

ji

jkj

j

j

Z

N

ZZ

k

a

a

kj

ki

kikj

kt

P

P

P

Obr. 6.5.3

Naši úvahu rozšiřme na trojúhelník Pi, Pj, Pk, obr. 6.5.3, v němž jsou známy (určeny)všechny azimuty a zenitové vzdálenosti. Směry ti, tj, tk svislic jsou dány zeměpisnýmiastronomickými souřadnicemi. Obdobně první rov. (6.5.6) platí

( )( )

( ) ,,

,,

,,

kikikiik

jkjkjkkj

ijijijji

fPP

fPP

fPP

λϕλϕ

λϕ

=

=

=

( )( )( ) ,,

,,

,,

ikikikki

kjkjkjjk

jijijiij

fPP

fPP

fPP

λϕλϕλϕ

=

=

=

kde výrazy v závorkách určíme z rov. (6.5.3), (6.5.4) a (6.5.5) po dosazení příslušnýchindexů.

Dříve než přistoupíme k sestavení podmínkových rovnic, zmíníme se o variantáchvyrovnání, kterých je možné užít k dalším úvahám.A – ve variantě A budou opravy přisuzovány přímo směrům ϕij a λij, rov. (6.5.3) a (6.5.5).B – ve variantě B budou opravy či neznámé parametry přisuzovány veličinám ∆αi, zij, ϕi, λi,druhá rov. (6.5.6) a rov. (6.5.7). Mohou následovat další varianty, viz [3].

6.5.2 Sestavení podmínkových rovnic pro variantu A

Budou sestaveny podmínkové rovnice pro shodnost protisměrů, podmínka komplanarity azákladnová podmínková rovnice pro případ, že nahodilé opravy jsou přisuzovány přímosměrům ϕij a λ ij.

Podmínková rovnice pro shodnost protisměrůTyto podmínky vycházejí ze vztahu °=+ 180jiij ϕϕ , jestliže obě hodnoty jsou měřeny na

poledníku od severního pólu P a nejsou větší než 180°. Platí pak podmínková rovnice φij. Zní

117

.0180 =°−+≡ jiijij ϕϕφ (6.5.8)

Pro zeměpisné délky stran PiPj a PjPi platí °±=− 180ijji λλ , takže podmínková rovnice Λij je

.180°±−≡ jiijijΛ λλ (6.5.9)

Přetvořené podmínkové rovnice, viz kap. 4.3, jsou jednoduše

,0

,0

=+−≡

=++≡

ijjiij

ijjiij

Λij

ij

UvvΛUvv

λλ

φϕϕφ

kde °−+= 180jioijoijU ϕϕφ a °±−= 180jioijoΛij

U λλ jsou uzávěry. Index o značí přibližné

hodnoty.

Podmínka komplanarity, nebo-li podmínka pro tři směry, ležící v jedné rovině, která jerovněž používaná při vyrovnání družicových sítí DG, viz [2], je vektorově vyjádřena tvarem

,0=⋅×ik

ik

kj

kj

ji

ji

PP

PP

PP

PP

PP

PP

který je možno zjednodušit na tvar, viz též kap. 6.2,

.0

tgsincos

tgsincos

tgsincos

=

≡

kikiki

jkjkjk

ijijij

ijkK

ϕλλϕλλϕλλ

(6.5.10)

Linearizací pro všech devět veličin jej převedeme na přetvořenou podmínkovou rovnici

,0=+∑ ijkKJ

JJ UvK

kde o

ijkJ J

KK

∂∂= , Kijk je dáno rov. (6.5.10) a indexy J = ϕij, λij, ..., λki. Absolutní/prostý

člen, či též uzávěr, viz kap. 4.3, je

( ) ,oijkK KU

ijk=

kde index o opět značí, že byly dosazeny přibližně známé hodnoty do rov. (6.5.10).

Základnová podmínková rovnicePro jednoduchý případ, obr. 6.5.4, platí

,0sinsin

sinsin=−≡

ij

jk

lkjilj

jlkjilijk s

sS

ωωωω

(6.5.11)

kde ωjil , ... jsou šikmé úhly na stěnách polyedru a sij, sjk jsou měřené délky stran. Úhly ωjil , ...možno vyjádřit

( ),...coscoscossinsincos ilijilijilijjil λλϕϕϕϕω −+= (6.5.12)

118

l

i

k

j

s

s

ij

jk

lkj

jil

ilj

jlk

w

w

w

w

Obr. 6.5.1

V rov. (6.5.11) je nyní možno úhly ωjil ,... nahradit veličinami měřenými a neznámými,prostřednictvím vztahů (6.5.12). Tak by se dělo ve variantě B. My zde ve variantě Apřisuzujeme opravy přímo směrovým veličinám ϕij, λ ij atd. Základnová podmínková rovnicelinearizovaná, která má tvar

,0=+∑ ijklSJ

JJ UvS

má indexy J = ϕij, λij, ϕil, λil, ϕli, λli, ϕlj, λlj, ϕlk, λlk, ϕkl, λkl, ϕkj, λkj, sij, sjk. Dále je

ijklSo

ijklJ SUJ

SS

ijkl=

∂∂= , .

Úplné a exaktní tvary derivací a zjednodušený postup pro jejich odvození je v [3]. Obdobnýpostup odvození, leč poněkud složitější, vyžaduje varianta B.

6.5.3 Stanovení počtu podmínkových rovnic

Následující úvahu uskutečníme pro jednoduchou síť, ve které se žádné spojnice nekříží. Jdetedy o jednoduchou síť, která má:

v – vrcholů, kde nový vrchol vytvoří jen 2 spojnice,p – příček, kdy se z jedné příčky vytvořil vždy jen jeden trojúhelník,s – počet stran sítě včetně příček.

Bude-li síť, viz obr. 6.5.5, obsahovat v vrcholů a p příček (při předpokládaném a uvedenémzjednodušení), pak pro počet s všech stran včetně příček p platí, že

32 −+= pvs .

Počty podmínkových rovnic jsou

prostisměrných: ( )3222, −+== pvsΛφ

komplanarity: 2−+=∆ pv

základnových: 1−= stranměřených početz

(6.5.13)

119

kde φ, Λ je počet podmínek pro shodnost protisměrů, viz rov. (6.5.8) a (6.5.9), ∆ je početpodmínek komplanarity, viz rov. (6.5.10) a z je počet podmínek základnových, viz příkladněrov. (6.5.11). V přehledu viz tab. 6.5.1.

a)b) c) d)

Obr. 6.5.1 a, b, c, d

Tab. 6.5.1 udává aplikace rov. (6.5.13) pro obrazce sítí na obr. 6.5.5 a), ..., d).

Tab. 6.5.1 Počty vrcholů v, příček p, stran s včetně příček p, podmínkovýchrovnic φ, Λ, ∆ a z, viz rov.(6.5.13)

Obr. 6.5.5 v p s φ, Λ ∆ za) 3 0 3 á 3 1b) 4 0 5 á 5 2c) 6 0 9 á 9 4d) 6 1 10 á 10 5

Početzměřenýchzákladenmínus 1

Toto jsou ovšem počty všech možných podmínkových rovnic. U posledního případud) v tab. 6.5.1 by to bylo n – 2 plus podmínky základnové. Počet nutných pozorování proumístění jednoho trojúhelníku v souřadnicové soustavě je 6. Pro ν vrcholů je nutný počet

( ) 33336 −=⋅−+= vvν . Počet nadbytečných pozorování a tudíž i počet podmínkovýchrovnic bude ν−= nr .

6.5.4 Zhodnocení a závěr

V této kap. 6.5 byl projednáván případ vyrovnání prostorové sítě opětně podle podmínkovýchpozorování MNČ. Jde či vlastně šlo jen o přípravu ke zvolenému vyrovnání. Vlastnívyrovnání by se dělo podle teorie uvedené v kap. 4.3. Snahou bylo přiblížit se v teorii ive výpočetní praxi postupům používaným v DG, a tak přiblížit navzájem vyrovnánípozemních prostorových sítí s vyrovnáním sítí družicových pro jejich společné vyrovnání.Byl opět použit postup podmínkových pozorování především proto, že nejsou závislá nareferenčním tělese. Sestavení podmínkových rovnic je však oproti sestavení rovniczprostředkujících složitější (ba v některých případech svízelné). Viz též zhodnocení v kap. 4.

V předchozím textu byla řešena varianta A, kdy opravy byla přisuzovány směrovýmcharakteristikám ϕij, λij, které ovšem nejsou veličinami přímo měřenými, což z hlediska MNČnení po teoretické stránce správné. Ze zkušenosti je však známo, že po praktické stráncevýsledky nedoznají nepřístupných změn. Správnější by bylo náhodné opravy přisoudit přímoměřeným veličinám zij, αij, ϕi, λi, jak ukazují rov. (6.5.1) a další. Tento postup předvádívarianta B, která však zde uvedena není. Snaživý student ji najde v práci [3].

Nahodilé opravy by zde měly být správně přepsány nejen směrům, ale i délkám. Otom bylo pojednáno v kap. 6.3 a bude se o tomto postupu jednat v dalších částech.

120

Ještě dodejme, že do varianty A je možno vstoupit s upravnými veličinami( ) 2180°+− jiij ϕϕ a ( ) 2180°±+ jiij λλ , viz rovněž [3]. V této citaci najde čtenář i příklad

numerické aplikace. Výsledky z použitého modelu jsou v obou variantách A a B praktickyschodné. Nejlepší poskytuje varianta A. Oba postupy souhlasí s hodnotami modelovými.

Závislost na referenčním tělese by ovšem vzrostla, kdyby zenitové vzdálenosti bylypočítány z výšek. Výsledné hodnoty orientace spojnice dvou bodů sítě jsou přímo vastronomickém rovníkovém systému. Použití tohoto postupu vyrovnání se nabízí při pracechsouvisejících s proměřováním základny pro družicová měření. V případě, že bychom chtěliznát orientaci základny v systému geodetickém, provedeme buď převod ze systémuastronomického do systému geodetického nebo uskutečníme vyrovnání celé sítě přímo vsystému geodetickém. Posledně uvedený postup by ovšem vyžadoval převedení vstupníchhodnot astronomických na geodetické.

LITERATURA:

[1] Filippov A. E.: Uslovnye uravnenija v seti prostranstvennoj trianguljacii. Geod., kart. iaerofoto., 7 (1968), 69, Lvov.

[2] Kabeláč J., Skořepová J.: Vyrovnání prostorové družicové sítě. Geod. a kart. obzor, roč.17/59, s. 167 – 174, Praha 1971.

[3] Kabeláč J.: Pozemní a družicové sítě v třírozměrném prostoru. Vyrování prostorové sítěbez závislosti na směru tížnic. Fakultní úkol, Observatoř astronomie a geofyziky ČVUT,Praha 1972.

[4] Ramsayer K.: Dreidimensionaler Polygonzug im geozentrischen Koordinatensystem.Zeitschrift für Vermessungswesen, 95 (1970), 471.

[5] Rinner K.: Determination of Scale in Spatial Direction Networks. Proceedings of theInternational Symposium Figure of the Earth and Refraction, Vienna, March 14th – 17th,1967, p. 90.

6.6 Vyrovnání prostorové trilaterační sítě objemovou podmínkou

6.6.1 Úvod

Tato kapitola popisuje prostorovou síť, v níž jsou měřeny jen délky stran této sítě. Jde tedy osíť trilaterační. Vyrovnání bude uskutečněno opět podle podmínkových pozorování MNČz důvodů, uvedených v závěru předchozího textu. Síť bude vyrovnána v trojrozměrnémprostoru 3-D pomocí tzv. objemové podmínky. Její odvození vychází ze vzorce pro objemčtyřstěnu, jehož autorem je N. Tartaglio [1], a to již před téměř půl tisíciletím.

6.6.2 Tvar objemové podmínky a její úprava

Při vyrovnání rovinné sítě, ať triangulační, trilaterační nebo kombinované, je základnímobrazcem trojúhelník. Mluvíme pak o trigonometrii a všechny potřebné vztahy pro vyrovnánítakovéto sítě jsou odvozeny z trigonometrických vztahů.

Při vyrovnání prostorové sítě jest se domnívati, že základním geometrickým obrazemje čtyřstěn. O jeho vlastnostech pojednává tzv. tetragonometrie, např. [5]. Mnohé geometrickévztahy pro čtyřstěn (tetraedron) jsou odvozeny nebo jen uvedeny v [1] a [6]. V práci [1] jsme

121

nalezli vzorec pro výpočet objemu V čtyřstěnu, když jsou známy délky a, b, c, p, q, r všechšesti hran, obr. 6.6.1a. Má tvar

( )[( )( )

] 2

1222222222222

22222222

22222222

22222222

12

1

cbaqpcprbrqa

rqpcbarc

qprbacqb

prqacbpaV

−−−−

−−++−+++−++−++

+−++−+=

(6.6.1)

a jeho autorem je N. Tartaglio (1500? – 1557), viz [1]. Rov. (6.6.1) je též možno zapsat vetvaru determinantu

.

11111

10

10

10

10

288

1

222

222

222

222

2

rqp

rab

qac

pbc

V = (6.6.2)

Předností těchto vzorců je vyjádření objemu pouze z délek hran.

2

3

4

P

b)1

4

3

5

2

p rq

b

c a

vtw

s

a)

3

2

4P

c)

Obr. 6.6.1 a, b, c

Podmínkovou rovnici objemovou sestavíme podle obr. 6.6.1a, který znázorňuje dvačtyřstěny 1, 2, 3, 4, a 2, 3, 4, 5. Je zřejmé, že součet jejich objemů je rovněž roven součtuobjemů tří čtyřstěnů o společné tělesové úhlopříčce 1–5. Tedy

12451345123523451234 VVVVV ++=+ . (6.6.3)

Podle polohy průsečíku P tělesové úhlopříčky 1–5 v rovině trojúhelníka 2, 3, 4rozeznáváme tři případy:

122

1. Průsečík P leží uvnitř trojúhelníka 2, 3, 4. Pro tento případ platí rov. (6.6.3), vizobr. 6.6.1a.

2. Průsečík P leží vně trojúhelníka 2, 3, 4 proti jedné z jeho stran, viz obr. 6.6.1b. Potombude platit podmínková objemová rovnice ve tvaru

13451245123523451234 VVVVV −+=+ .

3. Průsečík P leží vně trojúhelníka 2, 3, 4 proti jednomu z jeho vrcholů, viz obr. 6.6.1c.Potom platí podmínková objemová rovnice

13451245123523451234 VVVVV −−=+

Jestliže písmeny a, b, c, p, q, r, s, t, v jsou označeny hrany šestistěnu a písmenem wjeho tělesová úhlopříčka, obr. 6.6.1a, pak pro obecný šestistěn má podmínková objemovárovnice tvar

0=±±±+ cpqstwbprsvwaqrtvwabcstvabcpqr VVVVV, (6.6.4)

Kde se znaménko řídí podle předchozích bodu 1, 2 a 3. Uvedené hrany a, ..., w mají významměřených délek stran sítě. Dosadíme-li do rov. (6.6.4) objemy podle rov. (6.6.1), bude mítpodmínková rovnice, platící pro jeden šestičlen, tvar

( )[( )( )

]( )[

( )( )

]( )[

( )( )

] ±−−−−

−−++−+++−++−++

+−++−+±

±−−−−

−−++−++

+−++−++

+−++−++

+−−−−

−−++−+++−++−++

+−++−+

2

1222222222222

22222222

22222222

22222222

2

1222222222222

22222222

22222222

22222222

2

1222222222222

22222222

22222222

22222222

12

1

12

1

12

1

rqavwrwtqvta

tvwrqatr

vwtqarvq

wvtarqwa

cbatscsvbvta

vtscbavc

tsvbactb

svtacbsa

cbaqpcprbrqa

rqpcbarc

qprbacqb

prqacbpa

(6.6.5)

123

( )[( )

( )]

( )[( )( )

] .

0

12

1

12

1

2

1222222222222

22222222

22222222

22222222

21

222222222222

22222222

22222222

22222222

=−−−−

−−++−++

+−++−++

+−++−+±

±−−−−

−−++−++

+−++−++

+−++−+±

qpctwqwsptsc

stwqpcsq

twspcqtp

wtscqpwc

rpbvwrwspvsb

svwrpbsr

vwspbrvp

wvsbrpwb

Označme levou stranu rov. (6.6.5) jako funkci U, takže

( )wvtsrqpcbaUU ,,,,,,,,,=

a linearizujeme ji (za předpokladu existence potřebných derivací) podle Taylorova rozvoje.Dostaneme přetvořenou objemovou rovnici podmínkovou, viz kap. 4.3,

,00 =+∂∂+

∂∂+

+∂

∂+∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

Uvw

Uv

v

U

vt

Uv

s

Uv

r

Uv

q

Uv

p

Uv

c

Uv

b

Uv

a

U

wv

tsrqpcba

(6.6.6)

ve které vyjádříme parciální derivace a uzávěr U0 pomocí měřených veličin. Parciálníderivace byly zjištěny z rov. (6.6.5) derivováním podle jednotlivých proměnných a, b, c, p, q,r, s, t, v, w. Tak např. derivováním podle proměnné a s přihlédnutím, že

( )[( )( )

]2

1222222222222

22222222

22222222

2222222212

cbaqpcprbrqa

rqpcbarc

qprbacqb

prqacbpaVabcpqr

−−−−

−−++−++

+−++−++

+−++−+=

a obdobně pro další objemy, dostaneme po úpravě( ) ( )[{ ( )( )]

( ) ( )[ ( )( )]( ) ( )[ ( )( )]}.

144

1

2222222222221

2222222222221

2222222222221

tqrvawvtarqwV

vbctasvtacbsV

rbcqaprqacbpVaa

U

aqrtvw

abcstv

abcpqr

−−+−−++−+±

±−−+−−++−++

+−−+−−++−+=∂∂

−

−

−

Obdobným způsobem získáme derivace podle zbývajících proměnných v rov. (6.6.5).Jednotlivé derivace je taktéž možno vyjádřit pomocí determinantů užitím rov. (6.6.2).

124

6.6.3 Číselná aplikace

Nejprve je nutno určit počet podmínkových rovnic. Podle obr. 6.6.2 je počet vrcholů n = 8.Počet všech možných spojnic (stran sítě) je 28. Strany 5-7, 5-8, 4-8 však nebyly měřeny.Počet měřených stran je tedy 25. Počet nutných známých stran je ( ) 1823 =−n . Početnadbytečných měření je 71825 =−=r . Bylo tedy nutno podle obr. 6.6.2 určit 7 šestistěnů,pro které byly sestaveny objemové podmínkové rovnice typu (6.6.4), resp. (6.6.5).

Použity byly tyto šestistěny:1.: 1, 2, 3, 4, 5 5.: 2, 3, 4, 6, 72.: 2, 3, 4, 5, 6 6.: 2, 3, 6, 7, 83.: 1, 3, 4, 5, 6 7.: 1, 3, 6, 7, 84.: 1, 2, 3, 6, 7

Blíže o teorii viz kap. 4.3. Číselné hodnoty dané i průběžné jsou uvedeny v [3] a částečně i v[4].

1 km

Hincùv potok1625 m

Kopky2275 m

Rysy2498 m

�abia ve�a2335 m

Olga2175 m

Hincùv potok1800 m

�abie pleso1975 m

7

8

26

3

4

1

�abie pleso1950 m

5

Obr. 6.6.1

6.6.4 ZávěrTato kapitola uvedla tzv. „objemovou“ podmínku pro vyrovnání trilaterační sítě v 3D.

Její přednosti je možno spatřovat v tom, že je neobyčejně citlivá na chyby v délkách,neboť velikost těchto chyb roste s velikostí objemu uvažovaného čtyřstěnu. Vyrovnání pouzez délek nám dále jednoznačně odhalí chyby systematické, případně hrubé, a to bez vlivu chybv měřených zenitových úhlech. Předností odvozené podmínkové „objemové“ rovnice je ivyloučení vnitřních funkcí. Tuto skutečnost nám umožnil vzorec Tartagliův pro výpočetobjemu čtyřstěnu, jen s pomocí délek. Vyrovnání podle podmínkových měření poskytuje idalší přednost – nevyžaduje definici souřadnicové soustavy, jak je tomu např. uzprostředkujících měření. Tím odpadají těžkosti při redukci měřených veličin.

125

Nedostatkem vyrovnání podle podmínkových měření je všeobecně známá obtížnostv sestavení obecného tvaru podmínkové rovnice a často i v podchycení potřebného počtutěchto rovnic. Mají-li být výsledkem souřadnice v prostoru nebo alespoň výšky jednotlivýchbodů, je nutné vyrovnané hodnoty získané z podmínek transformovat do příslušné soustavy.

Předložená metoda dává tedy možnost použití nové, nezávislé podmínky provyrovnání prostorových trilateračních sítí a tím i možnost k odstranění systematických nebohrubých chyb.

LITERATURA:

[1] ENCYKLOPÄDIE der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrerAnwendungen. Dritter Band: Geometrie, erster Teil, zweite Hälfte. Leipzig, B.G. Teubner1914-31.

[2] Kabeláč J.: Výškové vyrovnání vysokohorské sítě „Rysy 1988“. Geod. a kart. obzor, roč.40(82), č. 1/1994.

[3] Kabeláč J.: Über die Volumensbedingung bei der Ausgleichung eines dreidimensionalenTrilaterationssnetzes. Öster. Zeitsch. für Verme. und Photo., J. 81, No. 2/1993.

[4] Kabeláč J.: O „objemové“ podmínce při vyrovnání trilaterační sítě v trojrozměrnémprostoru. Geod. a kart. obzor, r.39/81, č.4/1993.

[5] Lambert J. H.: Beiträge zum Gebrauch der Mathematik. 2, Berlin 1767.[6] Naas J. – Schmid H. L.: Mathematisches Wörterbuch. B. I. a II., Berlin, Stuttgart 1967.

6.7 Prostorové protínání z délek

6.7.1 Úvod

Nechť v libovolném pravoúhlém prostorovém systému S , na obr. 6.7.1 dole, jsou dánysouřadnice ix′ , iy′ , iz′ bodů Pi a šikmé naměřené vzdálenosti APd iAi ,= mezi těmito body a

bodem A, kde i = 1, ... , n a n je počet bodů a počet měřených délek, viz obr. 6.7.1. Úkolem jepřevést souřadnice ix′ , iy′ , iz′ ze soustavy S na souřadnice xi, yi, zi v soustavě S, zde najít

souřadnice xA, yA, zA bodu A a tyto převést zpět do soustavy S , což znamená zjistit souřadnice

Ax′ , Ay′ , Az′ . V geodetické praxi je úloha protínání obvykle řešena na referenční ploše, tedyv dvourozměrném prostoru. Prostorového řešení se užívá v třírozměrné a družicové geodézii,viz např. [2] a [7]. Při nadbytečném počtu měření jsou zde hledány neznámé přírůstky vůčiznámým vstupním hodnotám, viz např. [2], [3], [4], [5], [7] aj. Některé práce, např. [1] a [6]aj., určují při nutném počtu pozorování neznámé veličiny přímo, avšak řešením tříkvadratických rovnic.

Úkolem této kapitoly je nejen podat informace o postupu řešení, ale i tento postup conejvíce zjednodušit oproti výše citovaným pracem.

6.7.2 Teoretické řešení úlohy

Souřadnice ix′ , iy′ , iz′ systému S (místní, referenční – geodetický, geocentrický rovníkový

atp.) o počátku O (obecný bod, střed elipsoidu, těžiště Země atp.) transformujme translací(posunem) do systému S, jehož osy Xx´, Yy´, Zz a počátek O leží v těžišti bodů Pi.

126

X

Y

Z

O

P (x y z )

A (x y z )

r

i

i

A

A

r

i i i

A A

dAi

X ´

Y ´

Z ´

O ´

X

Y

Z

O

P (x y z )

A (x y z )

r

i

i

A

A

r

i i i

A A

dAi

X ´

Y ´

Z ´

O ´

Obr. 6.7.1

Nové souřadnice vypočteme ze vztahů

∑=

′−′=n

iiii x

nxx

1

1(6.7.1)

a analogicky pro yi a zi. Takže o nich musí platit, že

.0111

=== ∑∑∑===

n

ii

n

ii

n

ii zyx (6.7.2)

Z obr. 6.7.1 dále vyplývá, že

,2222iiii zyx ++=ρ (6.7.3)

,2222AAAA zyxr ++= (6.7.4)

kde ρi je tedy veličina známá a rA je veličina hledaná. Naměřenou vzdálenost dAi dálevyjádříme vztahem

( ) ( ) ( ) ,2222AiAiAiAi zzyyxxd −+−+−=

který rozvedeme a pomocí rov. (6.7.3) a (6.7.4) upravíme. Dostáváme

( ) ,2 2222222AAAAiAiAiiiiAi zyxzzyyxxzyxd +++++−++=

( ) 222 2 AAiAiAiiAi rzzyyxxd +++−= ρ (6.7.5)

Posledně uvedenou rovnici vyjádřenou pro všechna i = 1, ... n sečteme. Pro hledanou veličinurA pak dostaneme výraz

.21111

2

1

22

+++−=⋅ ∑∑∑∑∑=====

n

iiA

n

iiA

n

iiA

n

ii

n

iAiA zzyyxxdrn ρ

127

A protože platí rov. (6.7.2), platí

,1 2

1

22

−= ∑=

i

n

iAiA d

nr ρ (6.7.6)

čímž je určena vzdálenost rA, viz obr. 6.7.1. Zbývá určit souřadnice xA, yA, zA bodu Av soustavě S a posléze hledané souřadnice ix′ , iy′ , iz′ bodu A v soustavě S , čímž bude úloha

vyřešena.

6.7.2.1 Řešení pro nadbytečný počet n měřeníToto řešení uskutečníme metodou MNČ. Za zprostředkující rovnici zvolíme rov. (6.7.5),kterou přepíšeme do tvaru

( ) .02

1 222 =−−+++ AiAiAiAiAi rdzzyyxx ρ (6.7.7)

Jak se patří na MNČ, přisoudíme měřené hodnotě dAi opravu vi, dosadíme do předchozírovnice a upravujeme. Postupně dostáváme

( )[ ] 02

1 222 =−−++++ AiiAiAiAiAi rvdzzyyxx ρ

( ) 02

1

2

1 2222 =++−−+++ ïiAiAiAiAiAiAi vvdrdzzyyxx ρ

a po vypuštění výrazu s 2iv a po prodělení celé linearizované zprostředkující rovnice výrazem

dAi dostáváme

( ).

2

1 222

iAi

AiAiA

Ai

iA

Ai

iA

Ai

i vd

rdz

d

zy

d

yx

d

x−=

−−+++

ρ

Po vynásobení (-1) a zavedení

( )Ai

AiiAi

Ai

ii

Ai

ii

Ai

ii d

drl

d

zc

d

yb

d

xa

222

2

1 , , ,

−+=−=−=−=

ρ(6.7.8)

získáme konečný tvar rovnice oprav. Je

,, iiiAiAiAi pvlzcybxa =+++ (6.7.9)

kde pi je váha. Řešme podle teorie v kap. 4.4.

PŘÍKLAD 16Jsou dány souřadnice ix′ , iy′ , iz′ bodů Pi, kde i = 1, 2, 3 a 4 v pravoúhlé pravotočivé

prostorové soustavě S . Dále jsou dány měřené vzdálenosti dAi z bodů Pi na body A, viz tab.6.7.1. Jejich váhy pi = 1.Vypočtěte prostorové souřadnice Ax′ , Ay′ , Az′ bodu A v souřadnicové soustavě S , též viz obr.6.7.1.

128

Tab. 6.7.1 Dané hodnoty pro příklad 1. Souřadnicová soustava S .

Bodix′ iy′ iz′ 2

Aid

P1 1 2 1 6P2 -3 3 -2 26P3 -2 -1 3 30P4 -1 1 4 14

Výpočet:Úlohu budeme řešit MNČ, neboť počet měření n = 4 a je nadbytečný. Nejprve však, podlerov. (6.7.1), převedeme souřadnice ze souřadnicové soustavy S do souřadnicové soustavy S,jejíž počátek O je v těžišti bodů Pi, viz tab. 6.7.2. Hodnoty 2

iρ jsou dále spočteny

z rov. (6.7.3). Souřadnice počátku O, viz obr. 6.7.1, v soustavě S jsou 45− , 45 a 23 .

Tab. 6.7.2 Výpočet hodnot v souřadnicové soustavě S pro řešení MNČBod xi yi zi

2iρ ai bi ci l i dAi

P1 49 43 21− 847 -0,9186 -0,3062 0,2041 1,8881 6

P2 47− 47 27− 8147 0,3432 -0,3432 0,6864 0,1716 26

P3 43− 49− 23 863 0,1369 0,4108 -0,2739 -1,1639 30

P4 41 41− 25 851 -0,0668 0,0668 -0,6682 0,2339 14

Σ 0 0 0 8308

Kontroly podle rov. (6.7.2) vyhovují. Z rov. (6.7.6) pak dostáváme

061862,38

30876

2

1

2

1 4

1

24

1

2 =−=−= ∑∑== i

ii

AiA dr ρ.

Dále zjistíme souřadnice xA, yA, zA vyrovnáním pomocí MNČ. Zprostředkující rovnicí oprav jerov. (6.7.9). Její koeficienty ai, bi, ci a absolutní členy l i udávají vztahy (6.7.8) a čtenář jerovněž najde v tab. 6.7.2. Podle kap. 4.4 zapišme soustavu zprostředkujících rovnicv maticovém tvaru

vlAx =+ , EP =

kde matice vah P je maticí jednotkovou. Po dosazení dostáváme

,, l A

−=

−−−

−−−

=

2339,0

1639,1

1716,0

8881,1

6682,00668,00668,0

2739,04108,01369,0

6864,03432,03432,0

2041,03062,09186,0

z čehož ( ) ( )TTT 5,075,225,11

=−=−

lAAAx . Prvky v posledním vektoru jsou souřadnicexA, yA, zA v soustavě S. Pomocí rov. (6.7.1) získáme

129

.2235,0,44575,2,04525,1 =+=′=+=′=−=′ AAA zyx

Závěrečnou a zásadní kontrolou je výpočet hodnot měřených délek pomocí souřadnic ix′ , iy′ ,

iz′ a vyrovnaných Ax′ , Ay′ , Az′ , tedy z výrazů

( ) ( ) ( )[ ] .21

222AiAiAiAi zzyyxxd

vyp′−′+′−′+′−′=

Výsledky jsou přesvědčující.Tím je úloha vyřešena. Jelikož šlo o pouhou demonstraci předložené teorie, byly

vstupní číselné hodnoty výhodně zvoleny a neodpovídají skutečnosti. Tím se také vysvětluje,že všechny opravy vi v rov. (6.7.9) jsou prakticky nulové: v1 = - 0,00015, v2 = 0, v3 = -0,00002, v4 = 0. Rovněž proto nebylo zapotřebí zavádět do vyrovnání podmínku

2222AAAA rzyx =++ a vyrovnání neprovádět jako zprostředkujících plus podmínkových

pozorování, viz kap. 4.

6.7.2.2 Řešení pro nutný počet n měřeníPočet n = 3. I zde posuneme souřadnicovou soustavu S paralelně tak, aby těžiště trojúhelníkazadaných bodů Pi, i = 1, 2, 3, se stalo novým počátkem O souřadnicové soustavy S, viz obr.6.7.2.

P

X

Y

Z

A (x y z )

r

d

r

1

A

O

P2

P3A A

A3

dA2

dA1

A3

r2

r1

Obr. 6.7.1

Rovina P1P2P3 tedy prochází počátkem. Z tohoto obrázku dále vyplývá, že

,2222iiii zyx ++=ρ (6.7.10)

kde ρi jsou těžnice, neboť trojúhelník byl vytvořen pomocí rov. (6.7.1). Zaměřovaným bodemje bod A, a to pomocí délek dA1, dA2 a dA3.Opět platí

( ) ( ) ( ) ,2222AiAiAiAi zzyyxxd −+−+−=

kterou rozepíšeme a dostáváme rov. (6.7.5) a posléze rov. (6.7.6) ve tvaru

130

( )∑=

−=3

1

222

3

1

iiAiA dr ρ , (6.7.11)

rA viz obr. 6.7.2 jako tečkovaná spojnice OA. Souřadnice xA, yA, zA máme řešením rov. (6.7.7)a (6.7.4). Tedy z rovnic

0

02222 =−++

=′+++

AAAA

iAiAiAi

rzyx

lzzyyxx(6.7.12)

kde ( )222

2

1AiAii rdl −−=′ ρ a rA určuje rov. (6.7.11), i = 1, 2, 3. Tím se zde řešený problém

převedl na řešení dvou rovnic lineárních a jedné rovnice kvadratické.

PŘÍKLAD 17Jsou dány souřadnice ix′ , iy′ , iz′ bodů Pi, kde i = 1, 2, 3, v souřadnicové soustavě S , jakož iodpovídající měřené vzdálenosti dAi, viz tab. 6.7.3 z bodů Pi na bod A.Vypočtěte prostorové souřadnice Ax′ , Ay′ , Az′ bodu A v téže soustavě S , viz obr. 6.7.2 i 6.7.1.Dané hodnoty viz tab. 6.7.3.

Tab. 6.7.1 Dané hodnoty pro příklad 2. Souřadnicová soustava S´

Bod ix′ iy′ iz′Aid

P1 -1 -1 2 14P2 2 1 -1 18

P3 0 2 -2 26

Výpočet:Výpočet bude uskutečněn bez použití způsobů MNČ. Tedy přímým řešením rov. (6.7.12).Pročež musíme opět převést souřadnice ze soustavy S do soustavy S pomocí rov. (6.7.1).

Použito však bude výrazů 3

1

3

1 3

1

=′∑=i

ix , 3

2

3

1 3

1

=′∑=i

iy a 3

1

3

1 3

1

−=′∑=i

iz , viz tab. 6.7.4, kde je

rovněž uvedeno ρi, získané z rov. (6.7.10). Kontroly podle rov. (6.7.2) vyhovují. Z

rov. (6.7.11) pak dostáváme ( ) 651,33185833

1

23

1

2 =−=

−= ∑∑== i

ii

AiA dr ρ . Pomocí rA

pak získáme absolutní členy il ′ pro rov. (6.7.12). Uvádí je rovněž tab. 6.7.4.

Tab. 6.7.2 Výpočet hodnot v souřadnicové soustavě S pro přímé řešení

Bod xi yi zi iρ il ′

P1 34− 35− 37 3,162 -4,667

P2 35 31 32− 1,826 0,667

P3 31− 34 35− 2,160 4,000

Σ 0 0 0

131

Pro konkrétní řešení sestavíme rov. (6.7.12), pro i = 1, 2, 3, viz tab. 6.7.4. v obecném tvaruzní

0

/0

/0

//0

2222

13333

12222

321111

=−++

−=′+++−=′+++

=′+++

AAAA

AAA

AAA

AAA

rzyx

xlzzyyxx

ylzzyyxx

xylzzyyxx

(6.7.13)

Po naznačených úpravách získáváme výrazy

,1221

1221

1221

1221AA z

yxyx

zyzy

yxyx

lylyx

−−+

−′−′

= (6.7.14)

,1331

3113

1331

3113AA z

yxyx

zxzx

yxyx

lxlxy

−−+

−′−′

= (6.7.15)

za které zavedeme AA zx βα += a AA zy δγ += a po dosazení do čtvrté rov. (6.7.13) je

,02 =++ CBzAz AA (6.7.16)

kde 221 δβ ++=A , ( )γδαβ += 2B , 222ArC −+= γα . Řešení je dvouznačné, takže pro zA

dostáváme dva kořeny z rov. (6.7.16) a zrovna tak pro xA a yA z rov. (6.7.14) a (6.7.15).Kontrolou je dosazení do rov. (6.7.16) a (6.7.13). Výsledky jsou

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 514,0613,3117,0

333,3333,1667,0

222

111

−=−=====

AAA

AAA

zyx

zyx

(6.7.17)

kde indexy 1 a 2 představují 1. a 2. řešení. Z nich platí jen jedno. Kontroly dosazením do čtyřrov. (6.7.13) ovšem vyhovují. Převod do souřadnicové soustavy S uskutečníme pomocí rov.(6.7.1). Pro 1. kořeny platí

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 33

1333,3

3

1

23

2333,1

3

1

13

1667,0

3

1

3

111

3

111

3

111

=−=′+=′

=+=′+=′

=+=′+=′

∑∑∑

=

=

=

iiAA

iiAA

iiAA

zzz

yyy

xxx

Stejně učiníme i pro 2. kořeny rov. (6.7.17). Získáváme

( ) ( ) ( ) .847,0946,2450,0 222 =′−=′=′ AAA zyx

Závěrečnou a zásadní kontrolu získaných souřadnic v soustavě S , je jejich dosazení dovztahu

( ) ( ) ( ) .2222AiAiAiAi zzyyxxd ′−′+′−′+′−′=

Dosazením vyplývá, že reálné jsou pouze 1. kořeny. Konečně ověření platnosti jednotlivýchkořenů může provést měřič eventuálně i počtář.

132

Pilnému a zvídavému čtenáři doporučuji provést řešení tohoto příkladu obdobně, jakčiní MNČ.

LITERATURA:

[1] Giering O.: Analytische Behandlung des räumlichen Trilaterationsproblems [4, 6, 0, 0].Deutsche geodätische Kmmission, Reihe A, Nr. 104, München 1986.

[2] Hradilek L.: Vysokohorská geodézie. Nakladatelství ACADEMIA, Praha 1984.[3] Jordan – Eggert – Kneissl: Handbuch der Vermessungskunde. Band VI.: K.Rinner, F.

Benz: Die Entfernungsmessung mit elektro-magnetischen Wellen und ihre geodätischeAnwendung. J. B. Metzlersche Verlagsbuchhandlung, Stuttgart 1966.

[4] Kabeláč J.: Ausgleichung eines Dreieckes des Astronomischgeodätischen Netzes mittelsMethode der dreidimensionalen Geodäsie. Práce stavební fakulty, Praha 1978.

[5] Kotva J.: Určení souřadnic bodu protínáním při měřené délce a směrníku. Vojenskýtopografický obzor, 1972, str. 51 – 62.

[6] Rinner K.: Geometrie mit Raumstrecken. Zeitschrift für Vermessungswesen, 83 (1958),str. 91 – 105.

[7] Wolf H.: Die Grundgleichungen der dreidimensionalen Geodäsie in elementarerDarstellung. Zeitschrift für Vermessungswesen, 88 (1963), str. 225 – 233.

133

7 Triangulace na vysoké cíle – síť 0-tého řádu – hvězdnátriangulace

7.1 Úvodem několik slov na vysvětlenou

Námětem i obsahem předkládaného textu, jak bylo již vzpomenuto v předmluvě, mělo býtpojednání o vyšší geodézii. Tento název, jak se jeví, je nevhodný ze dvou důvodů:- předně s ním nesouhlasí mnozí, kteří v oboru vyšší geodézie nepracují. A těch je dost a

navíc se značným vlivem, což je jev všeobecně lidský,- s rostoucím vlivem technizace a vědeckých poznatků přijala geodézie zcela nové metody

měření a zpracování. Jednou z nich je využívání kosmických jevů a speciálně umělýchdružic Země (UDZ). Je to ještě vyšší geodézie?

Co z toho vyplývá? Především náplň vyšší geodézie se obohatila. A to do značné míry.Svou kvalitou a bohatstvím sledovaných metod. Dézie*) se již nezajímá jen o Zemi, ale i ojiná tělesa sluneční soustavy. A k jejich studiu a jistěže i ke studiu Země nepoužívá jenprostoru a jevů na Zemi, ale i v blízkém i vzdáleném kosmu.

Přejdeme proto z názvu „Vyšší geodézie“ k názvu „Planetární geodézie“?! Čik jakému? Či nepřejdeme?

A ještě jednu poznámku. Je totiž pozoruhodné, jak se mnozí staví k těmto změnámnepřátelsky. Příkladem je odpor ke všemu, co souvisí s hvězdným nebem. To bylo, je a patrněbude. A nejde zde o pilíře naší geodézie, ale i o studenty v extrému druhém. Myslím, ževysvětlením je myšlenková lenost, která napadá lidská individua bez rozdílu, nezávisle navěku.

A je to velká, citelná ztráta. Vždyť tím by obor jen rostl a nabýval na důležitosti a tím ina vážnosti nejen odborné, ale i společenské. A proto přejte doslovnému naplnění ušlechtilémyšlenky „Per aspera ad astra“.

A protože v dalším odborném textu přecházíme z oné klasické „vyšší geodézie“ dořekněme „planetární geodézie“, je nutné upozornit členění na doplnění znalostí ze sférickéastronomie. Ač je v dostačující míře uvedena ve skriptech [11], jsou v dalším popsány aspoňdvě nejzákladnější souřadnicové soustavy, obzorníková a rovníková, kterých bude v kap. 7 i 8nejen používáno, ale s jejich užitím budou vypracovány další metody pro budovánígeodetických základů, zejména geodetických sítí.

7.2 Dvě základní souřadnicové soustavy sférické astronomie

Použijeme skriptum [11], ze kterého vyjmeme upravenou a zredukovanou kap. 1.3.Abychom mohli zavést sférickou souřadnicovou soustavu, musíme zvolit sféru (kouli)

s určitým poloměrem a základní směry a roviny, které je možné fyzikálně realizovat.Z matematického hlediska je vhodné zvolit poloměr koule roven 1 (Gaussova sféra).

Za základní směry zvolíme: svislici v daném bodě pozorování nebo směr rota čníosy Země. Za základní roviny volíme: rovinu horizontu (obzorníku) v daném bodě *) Podle učebnice J. Ryšavého: Nižší geodézie, s.5, znamená doslovný překlad názvu geodesie „dělení země,půdy“, což charakterizovalo činnost starověkých měřičů. Podle F.R.Helmerta je to „věda o měření a mapovánízemského povrchu“. Je-li tento pojem přenesen na Měsíc či obecně na planetu, mluvíme o selenodesii čiplanetodesii. Podobně i pro další tělesa sluneční soustavy.

134

pozorování nebo rovinu rovníku. Půjde tedy o- obzorníkovou souřadnicovou soustavu,- rovníkovou souřadnicovou soustavu (závislou na čase),- rovníkovou souřadnicovou soustavu (nezávislou na čase).

Některé z uvedených souřadnicových soustav dělíme ještě podle polohy středu koule na- topocentrickou,- geocentrickou.

7.2.1 Obzorníková souřadnicová soustava

Základním směrem obzorníkové souřadnicové soustavy je směr svislice v bodě, ze kteréhopozorujeme kosmické objekty. Do tohoto bodu umístíme střed jednotkové koule O – vizobr. 7.2.1. Svislice protne jednotkovou kouli v bodě Z, který nazýváme zenit (nadhlavník), av bodě Na, který nazýváme nadir . Rovina kolmá ke svislici procházející bodem O se nazývárovina obzorníku. Protíná jednotkovou kouli v hlavní kružnici, která se nazývá obzorník nebotéž horizont. Horizont rozděluje kouli na dvě poloviny, z nichž pouze horní je viditelná.Vedeme-li rovnoběžku s rotační osou bodem O, protíná jednotkovou kouli v severním póluPn a jižním pólu Ps.

Obr. 7.2.1

Hlavní kružnice procházející zenitem a nadirem se nazývají výškové kružnice(vertikály) . Z nich jsou dvě význačné, a to místní poledník (meridián) a první vertikál.Místní poledník definujeme jako kružnici procházející zenitem, nadirem, severním a jižnímpólem. Rovina proložená touto kružnicí se nazývá rovina místního poledníku. Slunce přisvém zdánlivém pohybu po obloze prochází touto rovinou v pravé místní poledne (termínybudou upřesněny v dalších odstavcích), proto název poledník. Rovina prvního vertikáluprochází zenitem a nadirem a je kolmá na rovinu místního poledníku. Průsečnice této rovinys jednotkovou koulí se nazývá první vertikál . Průsečíky místního poledníku, resp. prvníhovertikálu s obzorníkem se nazývají severní bod N, jižní bod S, západní bod W a východníbod E.

Obzorník a poledník definují obzorníkovou soustavu. Sférické souřadnice se nazývajíazimut a, zenitová vzdálenost z resp. výška h hvězdy.

135

Zvolme na jednotkové kružnici polohu hvězdy H a proložme hvězdou svislou rovinu(rovinu vertikálu).Azimut a je pak úhel, který svírá rovina vertikálu s rovinou místního poledníku. Měří se odjižní větve místního poledníku v matematicky záporném smyslu (k západu) a nabývá hodnotv intervalu 0° až 360°.

Zenitová vzdálenost z je úhel měřený po výškové kružnici od zenitu ke hvězdě.Nabývá hodnot 0° až 180°. Výška hvězdy h je úhel, který svírá směr ke hvězdě s rovinouobzorníku. Mezi výškou a zenitovou vzdáleností platí jednoduchý vztah

°=+ 90hz .

7.2.2 Rovníkové souřadnicové soustavy

Základním směrem rovníkové soustavy je směr osy rotace Země, která protne jednotkovoukouli v severním světovém pólu Pn a jižním světovém pólu Ps, viz obr. 7.2.2. Základnírovinou je rovina rovníku, kolmá k ose rotace a procházející počátkem O. Rovina rovníkuprotne kouli v hlavní kružnici, kterou nazýváme světovým rovníkem. Na obr. 7.2.2 jeoznačena jako rovník. Roviny procházející světovými póly nazveme deklinačními rovinami ajejich průsečnice s jednotkovou koulí deklinační kružnice, viz obr. 7.2.2. Polohu hvězdyvůči rovníku určuje souřadnice, zvaná deklinace δ. Je to úhlová vzdálenost hvězdy odrovníku měřená po deklinační kružnici. Deklinace nabývá hodnot v intervalu – 90° až 90°,měřeno od jižního pólu k severnímu pólu. Vedlejší roviny rovnoběžné s rovinou rovníkuprotínají jednotkovou kouli v kružnicích, které se nazývají deklinační rovnoběžky. Podeklinačních rovnoběžkách hvězdy vykonávají svůj zdánlivý denní pohyb jako odrazskutečné rotace Země. Polohu hvězdy vůči pólu můžeme také vyjádřit pomocí pólovévzdálenosti p. Je to úhlová vzdálenost hvězdy, měřená po deklinační kružnici od severníhopólu. Pro deklinaci a pólovou vzdálenost platí jednoduchý vztah

°=+ 90pδ .

Druhou rovníkovou souřadnici můžeme volit dvěma způsoby, podle zvolené pomocnézákladní roviny. Rozlišujeme tak první a druhou rovníkovou souřadnicovou soustavu Sr1 aSr2.

Obr. 7.2.1 Rovníková soustava Sr1 Obr. 7.2.2 Rovníková soustava Sr2

136

První rovníková souřadnicová soustava Sr1, „závislá na čase“

V první rovníkové souřadnicové soustavě, viz obr. 7.2.2., zvolíme za základní rovinu rovinumístního poledníku. Polohu hvězdy pak určuje hodinový úhel t a deklinace δ, která již byladefinována. Hodinový úhel je úhel, který svírá rovina místního poledníku s deklinačnírovinou, procházející hvězdou. Měříme ho od jižní větve místního poledníku v matematickyzáporném smyslu. Může nabývat hodnot 0° až 360°, většinou ho však vyjadřujemev hodinové míře v intervalu 0h až 24h.

Jak vyplývá z definice, hodinový úhel je závislý na poloze místního poledníku vůčihvězdám. Ten však v důsledku rotace Země mění neustále svou polohu a z toho vyplývá izměna hodinového úhlu. První rovníková soustava je tedy vázána na Zemi a spolu s ní rotuje.Má proto zásadní význam pro měření času odvozeného z rotace Země, to je také důvod, pročje hodinový úhel vyjadřován v hodinové míře.

Podle obr. 7.2.2 též platí, že úhel, který svírá rovina rovníku s rovinou obzorníku, jeroven 90° – ϕ.

Druhá rovníková souřadnicová soustava Sr2, „nezávislá na čase“

Země obíhá kolem Slunce v rovině, která svírá s rovinou světového rovníku úhelpřibližně rovný 23,5° a nazývá se rovina ekliptiky . Název pochází z řeckého slova„ekleipsis“ a znamená zatmění. Ekliptika protíná světový rovník ve dvou bodech, obr. 7.2.3.Průsečík, kterým prochází Slunce v den jarní rovnodennosti, nazýváme jarní bod aoznačujeme symbolem souhvězdí Berana, �. Druhý průsečík, kterým prochází Slunce v denpodzimní rovnodennosti, se nazývá podzimní bod a označujeme jej symbolem souhvězdíVah, �.

Za pomocnou základní rovinu druhé rovníkové soustavy zvolme deklinační rovinuprocházející jarním bodem. Ji zvolíme za nulovou. Polohu hvězd v této soustavě určujemepomocí rektascenze α a již definované deklinace δ. Rektascenze je úhel mezi deklinačnírovinou procházející jarním bodem a deklinační rovinou hvězdy, nebo na jednotkové kouliúhel mezi jarním bodem a deklinační kružnicí hvězdy, který měříme od jarního bodu � vmatematicky kladném smyslu od 0h do 24h. Někdy se také označuje z latinského „ascensiorecta – pravá vzdálenost“.

Porovnáním obou soustav zjišťujeme, že deklinace je v obou soustavách stejná,„nezávislá“ na rotaci Země a na poloze pozorovatele, ale hodinový úhel a rektascenze se liší.Uvědomme si, že rektascenze nezávisí na poloze místa pozorovatele ani na rotaci Země,protože se měří od jarního bodu. Z těchto důvodů druhá rovníková soustava nerotuje a je dojisté míry „nezávislá“ na čase. Proto se používá pro sestavení katalogů (efemerid) souřadnichvězd, Slunce, Měsíce, planet a družic.

7.3 Základní geometrické úlohy družicové geodézie (DG)

Kromě geometrických úloh existují ještě úlohy orbitální a dynamické, o kterých budepojednáno později v části XI. Protože tato kap. 7.3 spadá do IV. části, nazvané „geodetickésítě“, budeme se zde zabývat toliko těmi úlohami geometrickými, které s geodetickými sítěmiúzce souvisí.

137

Základní geometrickou úlohu formuloval a i prakticky ověřil finský geodet Y.Väisäläa je popsána např. v [39] nebo [21]. Její vznik, tj. ověřování, zkušební měření např. vevysokých horách, studium oprav a sestavování teorie však spadají již do let předválečných.

Ještě dříve, než dojde k popisu geometrických metod poznamenejme, že tyto metodysehrály svou nezanedbatelnou úlohu na počátku družicové éry a v současnosti jsou však téměřzcela opuštěny. Jejich, silně zestručněné, uvedení, má zde opodstatnění v porozumění vývojea v pedagogickém smyslu.

Princip úlohy pozůstává v tom, že z družicových stanic 1 a 2, obr. 7.3.1, je současněči kvazisoučasně vyfotografována dráha d umělé družice Země (UDZ), jež se promítne nahvězdné pozadí. Expozice trvá po dobu přeletu a je prováděna speciálními pevnýmikomorami, např. [8], [14] aj., opatřenými uzávěrkami, které pracují s přesností řádově 0,1 msnebo lepší. S touto přesností jsou přerušovány expozice dráhy družice, takže se na snímku jevídráhy d1 a d2 jako přerušované. Čas je s uvedenou přesností zaznamenáván. Rovněž expozicehvězd, H1 a H2 na obr. 7.3.1, jsou přerušované. Přesnost v jejich časovém záznamu jepostačující na 10 ms.

H ( )a d H ( )a d

d

1

2

4

3

d d

12 2 2

2

1

1

1

Obr. 7.3.1

Popsaný postup platí pro družicové fotografické komory, které jsou pevně spojeny seZemí včetně fotografického materiálu. Jinou variantou byly komory, jež byly opatřenyhodinovým pohybem za hvězdami. Nejdokonalejšími byly komory, které mohly střídavěprovádět pohyb za hvězdami a pohyb za družicí. Tím se zvýšila možnostsledování/exponování slabých družic.

Ve všech těchto případech následovalo proměření obrazů hvězd i obrazů UDZ nakoordinátometru s přesností min. 1 µm. Pomocí různých transformačních metod, viz např. [2],[5], [6], [17], [20], [24], [25], [26], [38], jsou snímkové souřadnice UDZ převedeny natopocentrické rovníkové souřadnice α1i, δ1i, α2i, δ2i (rektascenze a deklinace), případně na gr

it1 ,

δ1i, grit2 , δ2i (hodinový úhel greenwichský a deklinace), viz kap. 7.2, kde i = 1, …, n a n je

počet proměřených a použitých poloh UDZ, které jsou společné pro oba snímky, obr. 7.3.1.

138

Expozice ze stanic 1 a 2 nejsou zpravidla přesně současná (simultánní, synchronní), ale jsoukvazisoučasná. Na přesně stejné okamžiky se expozice převádějí matematickou cestou.

Získáním směrových veličin z obou snímků na polohu UDZ, která je společná pro oběstanice 1 i 2, získáme jednu dvojici synchronních pozorování, které nám definují jednu tzv.synchronní rovinu 12⊗, viz obr. 7.3.1. Další synchronní roviny je možno získat z dalšíchexpozic použité dvojice snímků. Jistě je žádoucí, aby bylo co nejvíce takovýchto vhodnýchsynchronních rovin. Jejich polohu vůči družicovým stanicím 1 a 2 charakterizuje tzv.poddružicový bod, což je kolmý průmět družice (právě exponované) na povrch Země (Zemioznačujeme ♀ nebo ⊕). Obr. 7.3.2 ukazuje konkrétní situaci při měření, prováděných v letech1962 až 1966, na jasné družice Echo1, Echo2 a PAGEOS, bližší viz [33]. Optimální je, aby setyto poddružicové body nacházely na ose symetrie spojnice obou zúčastněných družicovýchstanic. Tímto je princip metody hvězdné (stelární, astronomické) triangulace, jak doufám,vysvětlen.

Obr. 7.3.2

Bližší o geodetických aplikacích DG, jmenovitě pro budování geodetických sítí, jeuvedeno v literatuře [39] a [33].

139

7.4 Teorie Väisälä-ho metody hvězdné triangulace∗∗∗∗)))) - síť 0-tého řádu

Zaveďme nejprve souřadnicovou soustavu pravoúhlých prostorových souřadnic X, Y, Z, okteré platí:- osa X leží v průsečnici rovin greenwichského astronomického poledníku a astronomického

rovníku,- osa Y leží v rovině astronomického rovníku a její astronomická délka je 90° směrem

východním,- osa Z je rovnoběžná s okamžitou severní rotační poloosou,- počátek tohoto systému nemusí ležet v těžišti Země. 7.4.1 Část 1 – Určení směru strany sítěAstronomické rovníkové souřadnice měřených a hledaných směrů jsou: hodinový úhelgreenwichský tgr a deklinace δ. Zahrnut je vliv precese, nutace a aberace světla.

V kap. 6.2 byla diskutována podmínka komplanarity, rov. (6.2.1), kterou použijeme izde. Směry 1⊗, 2⊗ a 12, viz obr. 7.3.1 musí totiž ležet v jedné rovině. Tyto směry vyjádřímepomocí směrových kosinů, takže platí determinant

.0

222

111

121212

=

⊗⊗⊗

⊗⊗⊗

cba

cba

cba

(7.4.1)

y

x

z

-t

90°

arccosc

arccosb

arcc

osa

90°gr

d

Obr. 7.4.1

Protože měřenými i hledanými veličinami jsou hodinové úhly a deklinace, zavedeme vztahy,viz obr. 7.4.1,

,sin,cossin,coscos δδδ =−== ctbta grgr (7.4.2)

v nichž jsme vynechali indexy. Tyto výrazy dosadíme do rov. (7.4.1), determinant dělímepříslušnými kosiny deklinací, upravíme a dostáváme

∗) O dalších úlohách DG vhodných pro geodézii je pojednáno v kap. 8 a v části XI.

140

.0

sincos

sincos

sincos

222

111

121212

12 ==

⊗⊗⊗

⊗⊗⊗⊗

δδδ

tgtt

tgtt

tgtt

Dgrgr

grgr

grgr

(7.4.3)

ve kterém indexy 1 a 2 představují družicovou stanici 1 a 2 a ⊗ = 1, …, n, kde n je celkovýpočet synchronních rovin. Neznámými a hledanými veličinami jsou rovníkové souřadnice grt12 ,

δ12 směru 12, které nahradíme vztahy

12120121212012 , δδδ ddttt grgr +=+= .

V nich grt120, δ120 jsou přibližné hodnoty a dt12, dδ12 jejich hledané opravy. Zjistíme je MNČvyrovnáním zprostředkujících pozorování, viz kap. 4.4. Za tímto účelem je nutno rov. (7.4.3)linearizovat pomocí Taylorova rozvoje. Dostaneme rovnici oprav

⊗⊗⊗⊗ =++ 121212121212 vldbdta gr δ ,

kde

( )grgr

grgr

grgr

grgr

tttgb

tgtt

tgtt

tt

a

010212012

020202

010101

120120

12

sin

,

sincos

sincos

0cossin

⊗⊗⊗

⊗⊗⊗

⊗⊗⊗⊗

−=

−=

δ

δδ

a absolutní člen

01212 ⊗⊗ = Dl

po zavedení přibližně známých veličin grt120, δ120 do rov. (7.4.3). Absolutní člen je odchylka

úhlu normály k rovině 12⊗ a přibližného směru 120 od 90°.Po připojení vah, viz např. [36], zavedení oprav a vyloučení nevhodných měření

následuje vyrovnání MNČ, čímž je ukončena 1. část vyrovnání. Jejím výsledkem jsourovníkové souřadnice grt a δ (indexy jsou vynechány) pro jednu každou stranu sítě 12, 23, 31,

atd., viz obr. 7.3.1, z nichž každá byla určena samostatně. Mezi nimi není tedy žádnézávislosti.

7.4.2 Část 2 – Vyrovnání celé sítě

V předchozí části 7.4.1 byly vypočteny hodnoty grt a δ (indexy jsou vynechány) směrů stran

družicové prostorové sítě z pozorování UDZ. Tyto směry nemají žádnou vzájemnou vazbu.Každý z nich byl totiž určen samostatně. Není tedy zajištěna podmínka komplanarity třísměrů v každém trojúhelníku sítě. Aby bylo dosaženo toho, že tyto tři směry pro jeden každýtrojúhelník leží ve společné rovině, je opět nutné zavést podmínku komplanarity, danourov. (7.4.3), resp. již rov. (6.2.1). Tuto podmínku zapíšeme, např. pro trojúhelník 123, kdyžprostě v rov. (7.4.3) zaměníme indexy. Je pak

141

0

sincos

sincos

sincos

313131

232323

121212

123 ==δδδ

tgtt

tgtt

tgtt

Dgrgr

grgr

grgr

(7.4.4)

Na rozdíl od determinantu rov. (7.4.3), kde jsou neznámými/vyrovnanými veličinami jen dvěveličiny s indexem 12, je v rov. (7.4.4) neznámých veličin šest. Po linearizaci rov. (7.4.4)dostáváme linearizovanou přetvořenou rovnici podmínkovou ve tvaru

,01230313123231212

313123231212

=+++++++

Ddadada

dtadtadta grt

grt

grt

δδδ δδδ(7.4.5)

kde aindex a bindex jsou derivace výrazu D123 podle jednotlivých hledaných neznámých. Jejichvýznam je uveden v [4].

Zbývá určit počet těchto podmínkových rovnic. Uvažujme: jsou-li dány v trojúhelníkudva směry hodinovými úhly a deklinacemi a z 3. směru jen jedna z těchto veličin, je možnodruhou již vypočítat z podmínky komplanarity. Je-li i tato veličina dána, je nadbytečná, a jedlužno přistoupit k vyrovnání. Zkoumejme toto blíže. Předpokládejme, že směry spojnic(stran) trojúhelníku jsou vždy dány jak hodinovým úhlem t, tak deklinací δ. Označme: m –počet všech pozorování, v – počet nutných pozorování, r – počet nadbytečných pozorování =počet podmínkových rovnic. Pro 3 body (např. 1, 2, 3 v obr. 7.3.1) platí: m = 6, v = 5, r = 1.Pro čtyři body (např. 1, 2, 3 a 4) platí: m = 12, v = 8, r = 4. Dále pro n vrcholů máme

( )12

−= nn

s spojnic a všech měření ( )12 −== nnsm . Počet nutných měření jest

( ) 43335 −=−+= nnv , takže počet nadbytečných měření

( )22 244 −=+−=−= nnnvmr

a je roven počtu podmínkových rovnic. Celá tato úvaha platí, jsou-li známy obě sférickésouřadnice tgr a δ pro všechny možné spojnice (strany). Pakliže však 1 spojnice není měřena,pak odpadají 2 měření a pro s naměřených spojnic odpadne 2s měření. Celkový početnadbytečných měření rovný počtu výsledných podmínkových rovnic je pak

( ) snsrr ′−−=′−=′ 222 2 , kde s je počet neměřených spojnic. Tab. 7.4.1 uvádí číselnépříklady.

Tab. 7.4.1 n je počet vrcholů, s počet všech stran (spojnic), m je počet všech, v početnutných a r počet nadbytečných měření = počtu podmínkových rovnic.

n s m v r3 3 6 5 14 6 12 8 45 10 20 11 96 15 30 14 16M

n ( )12

−nn ( )1−nn 43 −n ( )22−n

142

Po sestavení příslušných podmínkových rov. (7.4.5) následuje vyrovnání MNČ podlepodmínkových pozorování, viz kap. 4.3. Příklad takovýchto měření a výpočtů je uveden např.v [33]. Splněním podmínky (7.4.4) je dosaženo toho, že směry stran v trojúhelnících 1, 2, 3;1, 3, 4; ..., viz obr. 7.3.1, jsou komplanární a tuto síť je možno považovat za vyrovnanou. Jenazývána síť 0-tého řádu a my se o ní ještě zmíníme v kap. 7.7.

7.5 Zobecnění Väisälä-ho metody hvězdné triangulace

Zobecněním se zde rozumí to, že kromě měřených směru jsou rovněž měřeny vzdálenostimezi družicovou stanicí a UDZ. Tato měření se provádějí laserovými aparaturami∗).

Zavedením délkových veličin se ovšem mění i teorie zobecnění metody hvězdnétriangulace. Tab. 7.5.1 uvádí různé případy měřených veličin. Vycházet budeme ze vztahu(vodorovná čárka znamená vektor)

21 ρρ −=d , (7.5.1)

viz obr. 7.5.1. Vektorům přisoudíme směrové kosiny a, b, c, ai, bi, ci pro i = 1, 2. Rov. (7.5.1)rozepíšeme do souřadnicových složek. Jsou

,,, 221122112211 cccdbbρbdaaad ρρρρρ −=⋅−=⋅−=⋅ (7.5.2)

kde význam směrových kosinů udávají rov. (7.4.2), v nichž nejsou uvedeny indexy.Neznámými jsou d, a, b, c či lépe d, tgr, δ (opět bez indexů) spojnice (strany) 12. Měřenými di,

grit , δi, z nichž ovšem některé mohou být vynechány, jak ukazuje tab. 7.5.1.

Tab. 7.5.1 Různé případy měřených veličin pro zobecněnou Väisälä-ho metodu hvězdnétriangulace

Případ Je měřeno∗∗) Počet rovnic oprav1 d1

grt1 δ1 d2 grt2 δ2 3

2 d1 grt1 δ1

grt2 δ2 2

3 d1 grt1 δ1 d2 1

4 grt1 δ1grt2 δ2 1

∗) Obvykle je užíváno rubínových pulsních laserů o energii 1 Joule a o vlnové délce 694,3 nm. Úzký divergenčníúhel 1´ až 3´ vyžaduje odpovídající přesnost v justáži celé aparatury, jejímiž hlavními součástmi jsou zdrojsvětelného impulsu (vlastní laser), receptor odražených paprsků (např. reflektor o průměru asi 30 – 50 cm)s citlivým fotonásobičem, hledáček, naváděcí zařízení, chladící zařízení atp. Vše je umístěno na 2 až 4 - osémontáži. Časový interval ∆t mezi příjmem a vysláním světelného signálu je měřen elektronickým čítačems přesností až 0,1 ns a přiřazen k času UTC s přesností 1 µs. Vzdálenost d stanoviska – UDZ se získá ze vzorce

212

1ddtcd ∆+∆+∆= ,

kde c je rychlost světla, ∆d1 a ∆d2 opravy z vlivu hustoty atmosféry a ze zpoždění měřící aparatury. Původnípřesnost asi 1,5 m stoupla v současnosti (r. 2005) asi na 2 až 1 cm. První laserová měření byla uskutečněnav USA ve 2. polovině 60. let 20. století. Zcela nahradila měření směrů, především pro podstatně vyšší přesnost ajednodušší zpracování. U nás v této době dosáhla světové úrovně hvězdárna v Hradci Králové.∗∗) Indexy je možno zaměnit.

143

Obr. 7.5.1

Případ 1. Rov. (7.5.2) nabízí tři nezávislé zprostředkující rovnice. Zavedeme

,d

,d

,d

0

0

0

δδδ +=+=

+=grgrgr ttt

ddd

(7.5.3)

kde d0, grt0 , δ0 jsou přibližné známé hodnoty a dd, dtgr, dδ jejich hledané opravy, vztažené ke

spojnici 12, obr. 7.5.1. Rov. (7.5.3) dosadíme do rov. (7.4.2) a ty pak do rov. (7.5.2), kterélinearizujeme. Po úpravě dostáváme

( ) vLMMM =+++ δδ δ dcosdd 000 dtdd grtd , (7.5.4)

kde vektory známých koeficientů zní

−

′′=

−−

′′=

=

0

00

000

0

0

0

cos

sinsin

cossin1

,

0

cos

sin1

,

δδδ

ρρ δgr

grgr

td t

t

c

t

c

b

a

M M M . (7.5.5)

Vektory absolutních členů a oprav jsou

=

−

+

=

z

y

x

v

v

v

c

b

a

d

c

b

a

d

c

b

a

d v L ,

1

1

1

1

2

2

2

2

0

0

0

0 , (7.5.6)

a mají rozměr délky.

Případ 2. Kromě neznámých d, tgr, δ v rov. (7.5.3) je zde neznámou délka d2, která nebylaměřena. Systém rovnic (7.5.2) poskytne tedy jen dvě zprostředkující rovnice. Jejichlinearizovaný tvar je

( ) vLQMQMQM =+++ δδ δ dcosdd 000 dtdd grtd , (7.5.7)

kde vektory M d, M t, M δ uvádějí rov. (7.5.5) a

−

=

−−

−=

1

1

1

1

0

0

0

0

22

22

22

0

0

0

c

b

a

d

c

b

a

d

ac

bc

ab

QL ,Q .

144

Výpočet jejích prvků opět uskutečníme pomocí rov. (7.4.2). Podobně je možno zapsat rov.

(7.5.7) při záměně stanovisek. Vektor oprav ( )Tzyx vvv ,,=v má opět rozměr délky. V rov.

(7.5.7) jsou jen dvě z uvedených tří rovnic na sobě nezávislé.

Případ 3. Kromě neznámých d, tgr, δ, rov. (7.5.3) jsou zde neznámými i směrové veličinygrt2 , δ2. Systém rov. (7.5.2) poskytne tedy jen jednu zprostředkující rovnici oprav. Její

linearizovaný tvar je

( ) vLRMRMRM =+++ dδdδdtddd δgr

td 000 cos , (7.5.8)

kde vektory M d, M t, M δ uvádějí rov. (7.5.5) a ( )222 cba R = , 220dd −=L . Směrové kosiny

a2, b2, c2 přísluší neměřeným směrovým veličinám, a proto je nutno je určit z výrazů( )( )( )( ) ( ) ( ) .

,

,

,

20011

20011

20011

22

200112

200112

200112

0cdcdbdbdadadd

dcdcdc

dbdbdb

dadada

−+−+−=

−=−=−=

Výpočet jednotlivých veličin opět uskutečníme pomocí rov. (7.4.2). Vektor oprav( )Tzyx vvv ,,=v má opět rozměr délky.

Případ 4. Respektuje klasickou metodu hvězdné triangulace a bylo o ní detailně pojednánov kap. 7.4.

Tím jsou případy zobecnění Väisälä-ho metody vyčerpány.

7.6 Měření na velké vzdálenosti před „družicovou érou“

Dříve, než přistoupíme k vlastnímu popisu měřických realizací v kap. 7.7, zmíníme se oměřických postupech, které předcházely „družicovou éru“. V práci [32] je stručná zmínka opropojení evropského a afrického pobřeží přes Gibraltarský průliv, jež bylo uskutečněnov osmdesátých letech předminulého století. Oba kontinenty zde byly propojeny obdélníkem orozměrech asi 94 x 248 km, v němž byly trigonometricky zaměřeny směry stran i úhlopříček.Signalizace měla být původně prováděna pomocí heliotropů (odrážejících sluneční paprsky),ale po dobu třech měsíců se nepodařilo záblesky z druhého pobřeží zachytit. Bylo protopoužito reflektorů a elektronických zdrojů, a to z obou dvou pobřeží.

Velmi úplný popis takovýchto měřických realizací uvádí [42]. Vyjmeme několikpříkladů.

Pro spojení trigonometrických sítí Dánska a Norska v r. 1945 byly zaměřoványsvětelné signály, nesené letadlem a ovládané z letadla. Asi uprostřed vzdálenosti, která seměla měřicky zjistit, byly spuštěny záblesky, které byly měřiči soustavně sledovány. V danýokamžik, řízený obvykle z paluby letadla, se současně vyfotografovaly potřebné údaje, a to navšech zúčastněných stanicích. Teodolity fotograficky zaznamenávaly údaje kruhů, polohylibel atd.

145

Další systém SHORAN byl zkušebně použit v r. 1945 a dovoloval pomocí letadelzměřit vzdálenosti do několika set kilometrů. V letech 1949 – 1957 byla v Kanadě zaměřenatímto způsobem plošná síť zobrazená v obr. 7.6.1 s relativní chybou 1:56 000 v naměřenýchvzdálenostech. Systémem SHORAN byla v letech 1946 až 1957 zaměřena síť, spojujícíFloridu s Bahamskými ostrovy. Systému HIRAN bylo použito při spojení ostrovů Kréta aRhodos s Lybií a Egyptem. V letech 1953 – 1956 byla propojena trigonometrická síť USA aKanady přes Grónsko a Island s Norskem a Skotskem. Pravděpodobná chyba v měřenýchdélkách (v průměru 440 km) činila ± 3,7 m, viz obr. 7.6.2.

Obr. 7.6.1

Obr. 7.6.2

146

7.7 Triangulace na vysoké cíle – síť 0-tého řádu

Triangulace na vysoké cíle, jak napovídá sám nadpis této kapitoly, představuje jistou úpravuhvězdné triangulace užívané v geometrických metodách DG. Odlišnost pozůstává v tom, ženamísto družice je použit balon nebo letadlo jako nositelé zábleskového zařízení.

7.7.1 Použití balónů k budování finské sítě 0-tého řádu

Prvně byla tato metoda prakticky aplikována pro vybudování sítě 0-tého řádu ve Finsku.Navázala tak na teorii rozpracovanou finským profesorem Y. Väisälä-m, viz [39], [21] amnohé další, a zde podrobně uvedenou v kap. 7.3 a 7.4. Pro vynesení zábleskového zařízenído výšky asi 20 – 30 km použili finští geodeti speciálních balónů, viz obr. 7.7.1. Vzdálenostpozemních stanic byla asi 200 km. Z trojúhelníků této velikosti měla být po celém územíFinska vybudována geodetická síť 0-tého řádu.

Přesnost v určení hodinového úhlu a deklinace spojnic pozemních stanic byla asi ± 1”.Detailněji je popsáno v [39] a [21].

7.7.2 Přenos směru a délky pomocí letadla

V této kapitole bude popsána realizace měření na vysoké cíle, jejímž nositelem je letadlo.Nejde o nic jiného než o hvězdnou triangulaci, v níž je družice nahrazena záblesky z palubyletadla. Princip zůstává shodný. Poněkud odlišný je postup měření, výpočetní zpracování aorganizace příprav. Sníží se přirozeně výška a tím i vzdálenost pozemních stanic. Je tedypostup s užitím letadla vhodný pro měření v rámci státu. Prvně byl použit v naší republice, viz[12] a [13].

Použité přístrojeNa stanici 1, viz obr. 7.7.5, Hvězdárna a planetarium

v Hradci Králové, bylo použito fotografické komory AFA 1000(f = 1000 mm, ∅ = 140 mm, zorné pole 14° × 14°)v azimutální montáži. Komora byla opatřena žaluziovouuzávěrkou, která byla ovládána a napojena na námořníchronometr Nardin. Otevření a uzavření uzávěrky trvalo vždy 1s. Celý systém zaručoval přesnost lepší než 20 ms a posloužiljen pro registraci času přerušovaných stop drah hvězd. Nastanici 2, VTOPÚ v Dobrušce, bylo použito družicové komoryAFU 75 (f = 750 mm, ∅ = 200 mm, zorné pole 14° × 14°), a tov režimu sledujícím zdánlivý pohyb hvězd, viz obr. 7.7.2. Jakofotomateriálu bylo použito filmu Izopanchrom o citlivostiv červené barvě asi 33° DIN. Na stanici 1 byl dále umístěnpulsní rubínový laser, obr. 7.7.3, o vlnové délce 694,3 nm,výstupní energie 0,5 J, šíře pulsu 30 ns, disperzní úhel 2´,kadence 1,2 s-1 a průměr reflektoru přijímače 440 mm. Přesnostkaždého měření byla lepší než 1,5 m. Na stanici 2 byl použitobdobný typ laser, leč větší optické a energetické mohutnosti,s kadencí 0,4 s-1 a přesností měření lepší než 0,4 m. Dopříslušenství patří dále osciloskopy 70 MHz a 10 ns čítače. Obr. 7.7.1

147

Jako nosiče zábleskového zařízení a laserových odrážečů bylo použito cvičného letounu L 29– Delfín, obr. 7.7.4, s možností výstupu až do výšky 10 km. Záblesky byly vytvářeny pomocídvou xenonových výbojek X, umístěných na špici letadla a spouštěných v intervalu 2 s. jejichpřesnost byla větší než 1 ms. Nesynchronnost záblesků byla hluboce pod 0,1 ms. Celkovýmožný počet záblesků je asi 1000. Příjem a časová registrace světelných záblesků bylyuskutečněny pomocí reflektorů a časových zařízení laserových aparatur. Dva laserovéodrážeče L každý o ploše asi 400 cm2, s disperzním úhlem po odrazu 1°, byly umístěny navnějších stranách přídavných palivových nádrží pod křídly ve vzájemné vzdálenosti 4,4 m,obr. 7.7.4.

Obr. 7.7.2 Družicová komora AFU 75 na stanici 2 Obr. 7.7.3 Rubínový pulsní laser na stanici 1

Obr. 7.7.4 Letadlo L-29 – Delfín: X – xenonové výbojky, L – laserové odrážeče

148

Popis realizace měřeníK realizaci měření došlo v nocích z 23. na 24. a z 24. na 25. srpna 1976, obr. 7.7.6 ukazujetuto situaci. Body 1 a 2, na nichž se nacházela vždy 1 fotografická komora a 1 laserováaparatura, jsou měřicí stanice. Přímka l značí letovou čáru ve výši asi 7 km. Je optimální, abybyla kolmá na spojnici 12 a procházela jejím středem. Vyznačené úsečky bodů A a B značíúseky letové čáry, ve kterých byly prováděny fotografické expozice a snímány záblesky zešpice letadla. Je optimální, aby OA = OB = výška letu H.

Tato měření byla simultánní a použilo se jich pouze pro určení topocentrického směrustanice – záblesk. Naopak v okolí bodu O byla prováděna laserová měření vzdáleností.Některé odražené laserové paprsky byly exponovány týmiž fotografickými komorami. Tatoměření byla kvazisimultánní. Výsledkem je délka, případně délka i směr stanice – laserovýodrážeč. V okolí bodů A a B bylo měřeno, jestliže se letadlo vzdalovalo od spojnice 12 av okolí bodu O v obou směrech letu. Při jednom přeletu celou laserovou čárou l bylouskutečněno měření (fotografické nebo laserové) jen v okolí jediného z uvedených bodů A, B,O. Při jednom vzletu letadla, který trval asi 50 až 60 minut, bylo uskutečněno 5 až 11 přeletůa v obou nocích celkem 5 vzletů, viz tab. 7.7.1.

Obr. 7.7.5 Situace měření 23. – 24. a 24. – 25. srpna 1976

Komora AFA 1000 při sledování záblesků i odražených laserových paprsků bylanejprve nastálo otevřena a teprve po výstupu letadla ze zorného pole komory zapnut režimuzávěrky pro registraci času přerušovaných stop drah hvězd. U komora AFU 75 bylo zornépole stále otevřeno. Během přeletu nad body A a B bylo získáno na snímcích z každé stanice1 a 2 až 25 obrazů záblesků. Na fotografickém materiálu se jevily jako ostře ohraničenékotouče o průměru až 100 µm. Během přeletů bodem O rovněž až 25 laserových obrazů,ovšem převážně ze stanice 2, neboť zde použité přístroje byly mohutnější a letová čára l(obr. 7.7.5) byla ke stanici 2 bližší. Ze stanice 1 byly expozice laserových obrazů velmineúplné. Průměry obrazů činily 20 µm a 50 µm pro stanice 1 a 2. Zjišťování délek nepůsobiložádné potíže. Pravidelná kadence záblesků i laserových pulsů byla uprostřed snímkupřerušena, což dovolilo snadné vzájemné přiřazení obrazů z obou stanic, jakož i přiřazeníčasů. Všechny druhy časových registrací byly převedeny na čas TUC srovnáním s časovýmsignálem OMA 50.

Během obou nocí bylo získáno asi 500 délek, exponováno 300 obrazů odraženýchlaserových paprsků a 150 obrazů záblesků. Je nutno uvést, že více než polovina měření (viztab. 7.7.1) měla experimentální charakter.

149

Rozdíl azimutů mezi záměrami ze stanice 1 byl asi 67° a ze stanice 2 asi 77°. Zenitovévzdálenosti byly v průměru 67° pro stanici 1 a 63° pro stanici 2. Výška letu se pohybovala od6,3 km do 7,3 km. Průměrná rychlost letu byla 370 km/hod.

Tab. 7.7.1 Přehled měření

Datum VzletPočetpřeletů Číslo

snímku Případ∗)

23./24. 8. 1976 1 5 1 až 5 1 a 32 11 6 až 16 1 a 3

24./25. 8. 1976 3 9 17 až 25 1 a 34 7 26 až 32 1 a 35 7 33 až 39 4

VýsledkySpolečné vyrovnání všech 56 rovnic oprav (7.5.4), (7.5.8) a linearizované rovnice oprav(7.4.3) poskytlo výsledné hodnoty

d = 26 134, 85 m ± 0,33 m,tgr = – 128° 38´58,0” ± 1,09”,

δ = 17° 49´14,8” ± 1,06”,

kde střední jednotková chyba je ± 1,22. Hodnoty korelačních koeficientů neznámýchbyly 0,18, - 0,05, - 0,21. Vyrovnáním pouze směrových veličin (případ 4, snímky 36 a 37)pomocí 28 rovnic oprav byly získány výsledné hodnoty

tgr = – 128° 38´58,9” ± 0,57”,δ = 17° 49´12,9” ± 0,57”,

kde střední jednotková chyba je ± 0,61”. Vyrovnáním délkových a směrových veličin (příklad1 a 3, snímky 09) pomocí 28 rovnic (7.5.4) a (7.5.8) byla získána výsledná hodnota délky

d = 26 136,04 m ± 0,26 m,

kde střední jednotková chyba je ± 0,77 m. Výsledné směrové veličiny spojnice 12 nemajív tomto posledním případě platnost, neboť synchronní roviny svírají příliš malé úhly.

Spojnice 12 tak byla určena směrem i délkou. Blíže v [9], [12], [13], [15], [23], [24],[39].

Uvedená metoda byla uskutečněna prakticky v ČR a byla rovněž použita v letectví a ivojenství. Posloužila i k obdobným projektům v tehdejší SRN, dále v Maďarsku a Rakousku.Obdobná triangulace na vysoké cíle je popsána v [23].

LITERATURA:

[1] Arnold K.: Zur Bestimmung geodätischer Azimute aus Simultanbeobachtungen vonSatelliten. Gerlands Beitr. zur Geoph., No. 6, 1965.

∗) Viz tab. 7.5.1.

150

[2] Bugoslavskaja E. I.: Fotografičeskaja astrometrija. Moskva 1947.[3] Burša M.: Teorija opredelenija neparalelnostej maloj osi referenc-elipsoida, poljarnoj osi

inercii Zemli ... Stud. geoph. et geod., 6 (1962), str. 209.[4] Burša M.: Základy kosmické geodézie (díl I: Kosmická geodézie geometrická). MNO,

Praha 1967.[5] Currie J. P.: The Calibration of Ballistic Cameras and Their Use for the Triangulation of

Satellite Position. Rés. géod. eur. obs. satel., Symp. de Paris, 1964.[6] Deekr H.: Die Anwendung der Photogrammetrie in der Satellitengeodäsie

(Satellitenphotogrammetrie). Deut. geod. Kom. Bayer. Akad. Wissen., Reihe C, No. 111,München 1967.

[7] Dobaczewska W., Baran W.: Vyrównanie eksperymentalnej środkowoewropejskiej siecitriangulaci satelitarnej i analiza wyników wyrownania. Geod. i kart., 15, 1966, str. 4,Warszawa.

[8] Groupe d´Etudes Spatiales: Chambres Ballistiques. Inst. Géogr. Nat., Paris 1964.[9] Hovorka F., Konrád M., Utěkal I.: Satellite ranging of Hradec Králové. 3rd Inter.

Sympos. Geodesy and Physics of the Earth, Weimar 1976.[10] Jelínková, J.: Diplomní práce. Knihovna Observatoře astronomie a geofysiky, Praha

1968.[11] Kabeláč J., Kostelecký, J.: Kosmická geodésie. Skriptum FAV ZČU, Plzeň 2005.[12] Kabeláč J.: Die Erweiterung und Realisation der Metode der Stellartriangulation. Wiss.

Zeit. der TU Dresden, 1980.[13] Kabeláč J.: Projekt triangulace na vysoké cíle. Zpráva o řešení státního úkolu č. II-1-4/7.

Praha, ČVUT 1980.[14] Kabeláč J.: Úvod do kosmické geodézie – II. díl. Ediční středisko ČVUT, Praha 1991.[15] Kakkuri J.: Stellar triangulation with balloon-borne beacons. Veröff. des Finn. Geod.

Inst., No. 76, Helsinky 1973.[16] Karský G., Synek I.: Metodika použití komor Rb 75. Výzkumná práce VÚGTK, Praha

1969.[17] Kiselev A. A., Firago B. B., Ščegolev G. E.: Instrukcija po opredeleniju koordinat ISZ …

Bjul. stan. opt. nabl. ISZ, No. 3, Moskva 1960.[18] Klenickij B. H., Ustinov, G. A.: Uravnivanie prostranstvennoj kosmičeskoj trianguljacii

v sisteme prjamougolnych geocentričeskich koordinat. Geod. i kart., No. 5, 1964, str. 3,Moskva.

[19] Klenickij B. M., Ustinov, G.A.: Vyčislenie ekvatorialnych topocentičeskich koordinatISZ. Bjul. stan. opt. nabl. ISZ, No. 39, Moskva 1964.

[20] Krátký V., Fixel J.: Rozbor metod sledování UDZ pro geodeticko-astronomické účely.Výzkumná zpráva VAAZ, Brno 1966.

[21] Kukkamäki T. J.: Stellar Triangulation. Bull. Géodésique, No. 54, 1959, str. 53.[22] Lambeck K.: A Spatial Triangulation Solution for a Global Network and the Position of

the North American Datum within it. Ann. Meet. of the Amer. Geoph. Union,Washington, April 1969.

[23] Marek K. H., Rehse H.: A technology of stellar triangulation by means of balloon-bornebeacons. 3rd Inter. Sympos. Geodesy and Physics of the Earth, Weimar 1976.

[24] Maršík Z.: Transformation of Plate Co-ordinates to Equatorial Co-ordinates. Stud. geoph.et geod., 12 (1968), 2.

[25] Merritt E. L.: Analytical Photogrammetry. Pitman Publ. Corp., New York 1958.

151

[26] Michajlov A. A., Dejč A. N., Krat B. A. i dr.: Kurs astrofiziki a zvezdnoj astronomii.Tom 1, str. 183. Moskva-Leningrad 1951.

[27] Mueller J. J.: Introduction to Satellite Geodesy. New York, 1964.[28] Nabljudenija ISZ. No. 3, str. 150, Berlin 1965; No. 6, str. 28, Moskva 1967; No. 7,

str. 195, Sofija 1968.[29] Pachelski W.: The Method for Adjustment of a Satellite Triangulation Network by

Means of the Filtering Equations. COSPAR, Praha 1969.[30] Rajchl R.: Photographische Beobachtung künstlicher Erdsatelliten ohne Hilfe

registrierender Zeiteinrichtungen. Bull. Astr. Inst. Czecho., No. 6, 20 (1969), str. 331.[31] Rezultaty sinchronnych nabljudenij – vesna 1965.[32] Ryšavý J.: Vyšší geodézie. Nakladatelství ČMT, Praha 1947.[33] Skořepová J., Kabeláč J.: Vyrovnání prostorové družicové sítě. Geod. a kart. obzor, č. 7,

Praha 1971.[34] Spisok ekvatorialnych koordinat sputnika „Pageos“ ..., oseň 1966.[35] Spisok ekvatorialnych koordinat sputnikov Echo – I a Echo – II ..., 1964.[36] Standard Earth. Vol. 1 and 2. Smith. Astro. Obs., Spec. Rep. 200 and 201, 1966. Edited

by C. A. Lundquist and G. Veis.[37] Tablica značenij topocentričeskich ekvatorialnych koordinat položenij ISZ „Echo – I“,

1962 a 1963.[38] Turner H. H.: How to Obtain a Star´s Right Ascencion and Declination from a

Photograph. The Observatory, Vol. 16, 1893.[39] Väisälä Y., Oterma L.: Anwendung der astronomischen Triangulationsmethode. Veröff.

fin. geod. Inst., No. 53, Helsinky 1960.[40] Veis G.: The Determination of Absolute Directions in Space with Artificial Satellites.

Smith. Astro. Obs., Spec. Rep. No. 133, 1963.[41] Vondrák J.: Výpočet azimutu spojnice družicových stanic z quasisimultánních snímků

UDZ. Výzkumná zpráva VÚGTK, Praha 1969.[42] Vykutil J.: Vyšší geodézie. Vydavatelství Kartografie, Praha 1982.[43] Žongolovič J. D.: Projekt edinoj mirovoj kosmičeskoj trianguljacii. Stud. geoph. et geod.,

9 (1965), str. 185.[44] Žongolovič J. D.: Sputniki Zemli i geodetika, Astr. žurnal, No. 1, Tom XLI (1964), str.

156.

152

153

8 Družicové sítě

8.1 Geometrické úlohy družicové geodézie (DG)

V úvodu této kapitoly připomeneme, že souvisí s předchozími kapitolami, především s kap. 6a zvláště s kap. 7 a upozorněme, že taktéž souvisí s textem následujícím, především paks částí XI.

Geometrické úlohy družicové geodézie jsou relativního charakteru [3], neboť nejsou –či lépe nemusí být – vázány na těžiště Země. Jde totiž o určení relativní polohy určovanéhobodu vůči bodu výchozímu. Souřadnice určovaného bodu přísluší do systému souřadnic boduvýchozího a může tedy jít o systém místní, geodetický-referenční, ale i geocentrický. Zásadníje, že nepracujeme s žádnými souřadnicemi družice ani s jinými charakteristikami spojenýmis pohybem UDZ. UDZ je využívána jako „bezejmenný“ bod.

Úkoly geometrických úloh začínají určením relativní polohy dvou bodů, kap. 6 a 7, viztéž [13], a končí vybudováním celosvětové družicové sítě, viz kap. 8.3, viz též [11] a [12].Měřickými informacemi, potřebnými k vyřešení tohoto úkolu byly především směry a délky(ale i rozdíly délek) ad., přičemž z hlediska současné měřící techniky patří měření směrůminulosti. Nicméně platnost geometrických úloh přechází i do současnosti. Jejich přednostívůči dynamickým úlohám je jejich vyšší přesnost (relativní) a skutečnost, že není třebapracovat s dráhovými elementy, podchycovat jejich poruchy atd. Body jsou vzájemně vázánya síť je třeba chápat jako celek. Základní geometrickou úlohou bylo či ještě je budovánídružicových sítí, viz [14]. Postup jejich budování je dělen do dvou etap:1. etapa: Určování relativních poloh dvou bodů (družicových stanovisek), zde kap. 6 a 7,spec. kap. 7.4.1.2. etapa: Vyrovnání družicové sítě jako celek, zde kap. 7, spec. kap. 7.4.2.

ad 1) K určování relativních poloh dvou bodů (1. etapa) slouží metoda protínání pomocísměrů, metoda protínání pomocí rovin a metoda hvězdné (družicové) triangulace [13]nazývaná též metodou tětiv. Všechny uvedené metody vyžadují synchronnost měření, která jevšak získávána matematickou cestou z uskutečněných kvazisynchronních měření, př. [5] a[9], pomocí Čebyševových polynomů, Lagrange-ova interpolačního vzorce i metodykolokace. Vyrovnání je možno uskutečnit podle zprostředkujících nebo podle podmínkovýchměření, obojí s neznámými parametry. Opravy lze připisovat směrům a délkám, ale isouřadnicím atp. Tyto a další úvahy např. o přesnosti, viz [1] a [2].

ad 2) Vyrovnání družicových sítí (2. etapa) je obdobné vyrovnání geodetických sítí na ploše atéměř shodné s vyrovnáním pozemních sítí prostorových, viz [15]. Odlišnosti a současně ipřednosti družicových sítí – budovaných pouze a jen geometrickým způsobem, oprotipozemním, je možno spatřovat v tom, že:

- Každý směr je zcela samostatně určen a orientován, a je přímo v astronomickémsystému. Tím se nehromadí chyby např. z refrakce, jak tomu je při triangulaci.

- Naměřené a tím i výsledné hodnoty nejsou závislé na tíhovém poli Země, tj. naelipsoidických výškách a na směrech svislic, viz př. kap. 6.4.

- Družicové sítě jsou trojrozměrné a vytvářejí systémy mezikontinentální acelosvětové, viz dále v této kap. 8.

154

Uvažme ještě další/jiný pohled na dělení základních geometrických úloh DG. Jsou to úlohy:1) Určení směru a délky spojnice dvou družicových stanic.2) Určení rozměru geometrické družicové sítě.3) Určení transformačního klíče.

O určení směru bylo detailně pojednáno v kap. 6.2, 6.5.1, 7.4.1 a 7.7. Podobně i o určenídélky v kap. 6.3, 6.6, 6.7, 7.5 a 7.7.2. Existují však další, zde neuvedené možnosti získánísměru i délky, a tím i určení rozměru geometrické družicové sítě, viz [6, str. 106]. Tím jsousplněny body 1) a 2) výše uvedených úloh. Bod 3), tj. určení transformačního klíče mezidvěma geodetickými soustavami, bylo popsáno v kap. 3.3.1 a rovněž viz kap. 8.4.4.2.Splněním bodů 1), 2) a 3) je splněn konečný cíl, tj. vybudování geometrické družicové sítě.Bližší najde čtenář v [4], [7], [8], [10] a [16].

LITERATURA:

[1] Baranov V. N. a kol.: Kosmičeskaja geodezija. Nedra, Moskva 1986.[2] Bojko E. G. a kol.: Postroenie, uravnivanie i ocenka točnosti kosmičeskich

geodezičeskich setej. Nedra, Moskva 1972.[3] Burša M.: Přednášky „Úvod do kosmické geodézie“. Praha 1968/1969.[4] Burša M.: The Theory of the Determination of the Nonparallelismus of the Minor Axis...

Studia geophysica et geod. No. 6, 1962.[5] Hovorka F., Konrád M., Utěkal J.: 3rd Inter. Sympos. Geodesy and Physics of the Earth.

Weimar 1976.[6] Kabeláč J.: Geodetická astronomie II. Ediční středisko ČVUT, Praha 1989.[7] Karský G., Kostelecký J.: On the Application of the Method of Synchronous Planes.

Referáty VÚGTK, ř. 8, Zdiby 1974.[8] Krakiwsky E. J., Thomson D. B.: Mathematical Model for the Combination of Terrestrial

and Satellite Networks. The Canadian Surveyor, Vol. 28, No. 5, 1974.[9] Lála P., Bui Van Thao: Bull. Astro. Inst. Czecho., 37, p. 334, Praha 1986.[10] Mueller I. I.: Global Satellite Triangulation and Trilateration Results. Journal of

Geophysical Research, Vol. 79, No. 35, 1974.[11] Schmid H. H.: Worldwide Geometric Satellite Triangulation. Journal of Geophysical

Research, Vol. 79, No. 35, 1974.[12] Smithsonian Standard Earth (III). SAO Special Report, No. 353, Cambridge,

Massachusetts 1973.[13] Väisälä Y.: An astronomical mehod of triangulation. Sitz. der Finn. Akad. der Wiss.

1946, Helsinki 1947.[14] Veis G.: Geodezičeskoje ispolzovanije iskusstvennych Sputnikov Zemli. Nedra, Moskva

1967.[15] Wolf H.: Die Grundgleichungen der dreidimensionalen Geodäsie in elementaren

Darstellung. Zeit. für Vermes. 88, s. 257-264, Stuttgart 1963.[16] Zajíček L.: Kandidátská disertační práce. Stavební fakulta ČVUT, Praha 1982.

8.2 Družicové sítě z počátku „družicové éry“

Krom popisu budování družicových sítí bude též pojednáno o vlivu různých váhovýchvariant.

155

8.2.1 Družicová síť Smithsoniánské astrofyzikální observatoře (SAO)

V této části bylo použito materiálu [5], který se nejprve zabýval směrovým vyrovnánímspojnic mezi družicovými komorami (Baker – Nunn) sítě SAO. Obr. 8.2.1 zachycuje tuto síť.Číslo v kroužcích spojnic představují počet simultánně zaměřených dvojic. Použito bylo 12UDZ. Počet všech zaměřených simultánních dvojic byl 1680, mimo to vypuštěno pouze 20.Síť SAO obsahuje 15 stanic, číslovaných od 1 do 17 s vypuštěním 13 a 16. Z počtu spojnic 30bylo směrově určeno 28.

Obr. 8.2.1

Přibližné hodnoty směrových kosinů byly zjištěny podle [3]. Redukce naměřených datbyla uskutečněna podle [4]. Vyrovnání bylo provedeno ve 2 etapách. První etapa (z přímýchměření na UDZ), viz kap. 8.1, poskytla směrové kosiny spojnic družicových stanic a typosloužily jako vstupní pro 2. etapu vyrovnání, používající podmínky komplanarity mezisměry spojnic pozemních stanic. Jelikož síť SAO netvoří nepřerušený sled trojúhelníků, bylovyrovnání rozděleno do dvou bloků.Blok Evropa – Asie obsahuje stanice 4, 6, 8 a 15, obr. 8.2.2 i 8.2.1.Blok Atlantik – Amerika – Pacifik obsahuje stanice 1, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 14 a 17, obr.8.2.1.

V následujícím postupu této práce, řešené na Observatoři astronomie a geofyzikyČVUT, viz [1], byla síť rozdělena do týchž dvou bloků a vyrovnání zde uvedená odpovídají 2.etapě kap. 8.1. Vyrovnáním 1. etapy se zabývat nebudeme. Proto vstupními hodnotami směrůpro vyrovnání 2. etapy budou směrové kosiny převzaté z 1. etapy [5], které budeme označovat

( ) 21

221,, bacba −−= . Podmínka komplanarity je pak vyjádřena determinantem, viz kap. 6.2,

( )( )( )

ijk

kikikiki

jkjkjkjk

ijijijij

D

baba

baba

baba

≡=

−−

−−

−−

0

1

1

1

21

22

21

22

21

22

, (8.2.1)

156

kde i, j, k jsou čísla stanic ve vrcholech použito trojúhelníka. Střední chyby směrových kosinůma, mb byly zjištěny z grafického vynesení chybových elips a příslušných směrů na glóbu ajsou uvedeny v tab. 8.2.1 pro 1. a 2. blok. Linearizaci rov. (8.2.1) provedeme opět rozvedenímv Taylorův rozvoj s užitím členů pouze 1. řádu. Přetvořenou rovnici závislosti je možnozapsat ve tvaru, viz kap. 4.3,

0=+

∂∂∑ ijko

oJ

ijk DdJJ

D,

kde ijkoD je uzávěr rov. (8.2.1), o

ijk

JD

∂∂

derivace podle neznámých J a dJ jejich opravy.

Neznámé J = aij, bij, ajk, bjk a aki, bki. Celkem 6 neznámých pro 1 podmínkovou rovnicikomplanarity.

Tab. 8.2.1 Střední chyby směrových kosinů a, b v [rad] a v jednotkách 6. desetinného místa

Blok Evropa – Asie

Spojnice 4 – 6 4 – 8 4 – 15 6 – 8 6 – 15 8 – 15

ma 1,2 1,8 2,1 0,8 1,6 1,2mb 1,1 0,7 2,2 1,8 1,9 1,4

Blok Atlantik – Amerika – Pacifik

Spojnice 1 – 7 1 – 9 1 – 10 1 – 12 1 – 14 1 – 17 4 – 9 4 – 10 5 – 12 5 – 17

ma 0,8 0,5 0,3 1,2 1,9 4,7 1,7 1,5 12,2 4,0mb 3,9 1,9 1,0 1,6 1,4 2,6 2,3 1,2 0,8 1,0

Spojnice 7 – 9 7 – 10 7 – 11 9 – 10 9 – 11 9 – 14 10 – 14 12 – 14 12 - 17

ma 1,5 1,0 3,3 1,1 1,9 1,5 1,2 5,5 5,4mb 1,9 1,5 3,0 2,9 2,9 4,4 2,4 5,2 2,0

Na rozdíl od vyrovnání v [5] jsme provedli současné vyrovnání směrů i délek – jde o2. etapu. Podmínkové rovnice základnové mají tvar sinových nebo rozšířených sinových vět abudou uvedeny vždy speciálně pro každý jednotlivý blok.

8.2.1.1 Vyrovnání bloku Evropa – AsiePodle obr. 8.2.2 byly sestaveny čtyři podmínkové rovnice splňující komplanaritu směrův následujících trojúhelnících:

i j k4 6 84 6 154 8 156 8 15

157

4

8

6

15

s4,156,15

6,84,8

1

2 3

48

15

a

a

a

a

aa

s

s

s

Obr. 8.2.1

Základnová podmínková rovnice byla sestavena pro strany s4,8 a s4,15 v trojúhelníku 4,8, 15, obr. 8.2.2, a má tvar

SDss ≡=− 0sinsin 1515,488,4 αα . (8.2.2)

Délky stran byly zjištěny z pravoúhlých prostorových souřadnic, které uvádí [5]. Přilinearizaci této rovnice je nutno uvážit, že úhly α jsou funkcí směrových kosinů stran, jimiž jetento úhel tvořen, např.

( )

( ) ( ) 21

22

1215,8

215,8

21

215,4

215,415,815,415,815,4

21

152

15

111

cos1sin

−−⋅−−++−=

=−=

bababbaa

αα

a podobně pro sin α8. Linearizovaná rov. (8.2.2) má pak tvar

0=+

∂

∂∑ oSoJ

S DdJJ

D(8.2.3)

kde oSD je uzávěr rov. (8.2.2). Výrazy J = a4,8, a4,15, a8,15, b4,8, b4,15, b8,15, s4,8, s4,15 označují

vyrovnávané veličiny, tedy 8 neznámých. Pro výpočet derivací bylo použito numerickéhoderivování podle programu pana Ing. F. Charamzy, CSc. Opravy ve směrových veličináchmusí být vždy přiřazeny podle smyslu šipek v obr. 8.2.2. Celkový počet podmínkovýchrovnic byl 5. Neznámými byly směrové kosiny a, b 6-ti spojnic a 2 délky, tedy 14 veličin.Délky stran s byly zaváděny v jednotkách 107 metrů a jejich střední chyby položeny rovnys·10-5 nebo 5·s·10-6. Jsou-li tedy délky stran s4,8 = 0,5289953 [107 m] a s4,15 = 0,2879794 [107

m], musí být jejich střední chyby rovněž v jednotkách [107 m], jak udává tab. 8.2.2. V těchtovelikostech byly zaváděny do dalších výpočtů.

Rovněž pro úhly byly voleny různé varianty. Celkem bylo vyrovnání uskutečněno 7xpro 7 různých vahových variant, z nichž jako optimální vyšla varianta, v níž byly dospolečného vyrovnání směrů i délek zavedeny jako vstupní hodnoty směrových kosinůvýsledné hodnoty z 2. etapy pouze směrového vyrovnání SAO tohoto bloku. Tři opravysměrových kosinů vyšly 1·10-7 a devět 0·10-7. Opravy stran 1 a -2 m.

Tab. 8.2.2 Střední chyby délek stran v [m]

Spojnice 4 – 8 4 – 15m = s·10-5 5,3·10-5 2,9·10-5

m = 5·s·10-6 2,7·10-6 1,5·10-6

158

8.2.1.2 Vyrovnání bloku Atlantik – Amerika – PacifikStanoveno bylo 11 podmínkových rovnic splňujících podmínku komplanarity, viz rov.(8.2.1), a to pro trojúhelníky (trojúhelník 9, 10, 14 byl vynechán):

ijk

179

1710

1910

1914

11014

11214

ijk

11217

4910

51217

7910

7911

159

5

17

12

14

1 10

4

9

7

11

a17

a16

a14

a26

a25 a12

a23

a24

a1

a18

a15

a13 a10

a11

a20a2

a8

a21

a4

a21

a21a9

a5a3 a7

a22

a6

Obr. 8.2.1

Základnová podmínka byla sestavena jedna a to mezi stranami s1,10 a s7,9 a má tvar,obr. 8.2.3,

SDss ≡=− 0sinsinsinsin 439,72110,1 αααα

a její linearizace je obdobná linearizaci rov. (8.2.2). V rov. typu (8.2.3) vystupují pak tytoindexy vyrovnávaných veličin J = a1,7, a1,10, a7,9, a7,10, a9,10, b1,7, b1,10, b7,9, b7,10, b9,10, s1,10, s7,9,tedy 12 neznámých. Opět bylo použito numerického derivování. Celkový početpodmínkových rovnic byl 12 a počet neznámých 40, a to 2x19 pro směrové kosiny a 2 prodélky stran. Délky stran, jako vstupní hodnoty, byly zjištěny opět z pravoúhlých prostorovýchsouřadnic uvedených v [5]. Délky byly zaváděny v jednotkách 107 metrů, s1,10 = 0,2601970[107 m] a s7,9 = 0,3139322 [107 m]. Jejich stř. chyby byly položeny pouze ms = s·10-5, tedy

10,1sm = 2,6·10-6 a 9,7sm = 3,1·10-6 opět v jednotkách [107 m].

Síť tohoto bloku byla vyrovnána celkem 4x pro 4 různé vahové varianty. Z výsledkůrůzných váhových variant vyrovnání z obou bloků je možno na závěr konstatovat:

1) Vliv změn střední kvadratické chyby v délkách, při malém počtu podmínkovýchrovnic základnových, je nepodstatný.

2) Všechny způsoby zaváděných vah ve variantách, celkem 6, dávají prakticky tytéžvýsledky.

3) Opět varianta s vahami vesměs 1 je v mezích výsledků variant předchozích.4) Separátní vyrovnání v bloku Evropa – Asie, se jeví jako nejvhodnější. O zavádění

vah viz též odst. 5.1.1.

8.2.2 Vyrovnání trojúhelníku východoevropské sítě

O této síti se již psalo v kap. 7.3. Zde uvedeme jeden příklad využití této sítě.

160

Použijeme trojúhelník NRU, který byl konkrétně tvořen družicovými body stanicNikolaev, Riga a Užhorod, viz obr. 7.3.2, Greenwichské hodinové úhly a deklinace směrůstran, vyznačených v obr. 8.2.4 uvádí tab. 8.2.3. Pravoúhlé prostorové souřadnice geodetickébyly určeny z geodetických zeměpisných souřadnic B, L a z elipsoidické výšky H, uveřejněnév [1]. Z pravoúhlých souřadnic pak spočteny délky stran s1, s2, s3.

R

U N

Y

X

Z

s (T ; )d

a

2

3a

a1

3 3

s (T ; )d

s (T ; )d

1 1

2 2

2

1

3

Obr. 8.2.1

Tab. 8.2.3 Vstupní hodnoty viz obr. 8.2.4

i griT

iTm δi imδ

Početsimult.dvojic

si

1 106°28′43,2″ ± 30,1″ -9°34′49,2″ ± 33,0″ 9 746847,6 m

2 239°52′23,7″ ± 5,6″ 33°39′45,9″ ± 9,6″ 8 1232310,0 m

3 194°02′13,4″ ± 1,9″ 36°50′59,1″ ± 5,4″ 11 931909,6 m

Vyrovnání uskutečníme podle podmínkových pozorování. Pro určení polohytrojúhelníka v prostoru je počet nutných veličin ν = 6. V našem případě je počet danýchveličin n = 9. Tedy počet podmínkových rovnic r = n – ν = 3. První podmínkou bude opětpodmínka komplanarity pro směry

0123 =D , (8.2.4)

viz rov. (8.2.1) ev. již rov. (6.2.1). Zbývající 2 volme např. ve tvaru

221331 0coscos sDsss ≡=−+ αα ,

331221 0coscos sDsss ≡=−+ αα .

(8.2.5)

(8.2.6)

Linearizací rov. (8.2.1), (8.2.5) a (8.2.6) dostaneme v uvedeném pořadí

0dddddd 123321321 321321=++++++ oTTT DaaaTaTaTa δδδ δδδ ,

161

,0ddd

dddddd

2321

321321

321

321321

=++++

++++++

ossss

TTT

Dsbsbsb

bbbTbTbTb δδδ δδδ

.0ddd

dddddd

3321

321321

321

321321

=++++

++++++

ossss

TTT

Dscscsc

cccTcTcTc δδδ δδδ

Derivace typu a byly již uvedeny v kap. 6.1. Derivace typu b a c pro směry jsou složitější,neboť tyto směry vystupují v goniometrických funkcích úhlu α rov. (8.2.5) a (8.2.6) ve tvarunapř.

( ) .coscoscossinsincos

,cos

1221213

2

2

1

13

TT

s

s

s

s

−−−=

⋅−=

δδδδα

αr

r

r

r

Takže příkladně

∂∂

⋅∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=2

3

3

2

2

1

1

22 T

D

T

Db ss

T

αα

αα

atd.

Tvary derivací typu b a c jsou v kap. 6.3, v kterýchžto výrazech je nutné u a v zaměnitsymboly T a δ. Znění váhových variant najde čtenář v [2]. Výsledky z různých váhovýchvariant uvádí tab. 8.2.4.

Tab. 8.2.4 Výsledky váhových variant

Varianta1. 2. 3. 4. 5. 6.

δcosdT 14″ 15″ 21″ 25″ 26″ 16″dδ 47″ 38″ 50″ 44″ 29″ 33″ds 8 m 17 m 3 m 7 m 33 m 25 m

m0 63 46 62 49 91 46

Z výsledné tab. 8.2.4 není možno vyslovit jednotný závěr, pokud ovšem uvedenévýsledky jsou vůbec směrodatnými kritérii pro vyslovení jakýchkoliv závěrů. Snad jen toto:

1) Jsou-li měření malé nebo menší přesnosti, není možné výsledky vylepšitzavedením jakýchkoliv vah.

2) Překvapující je, že varianta 6., pro váhy rovné vesměs 1, zcela zapadá mezipředchozí, což je v souhlase s vývodem kap. 8.2.1.

LITERATURA:

[1] Hovorka F.: Diplomní práce. Praha 1964.

162

[2] Kabeláč J.: Pozemní a družicové sítě v trojrozměrném prostoru. Fakultní úkol č. 420A/70-71, knihovna katedry vyšší geodézie, Praha 1972.

[3] Köhnlein W. J.: Determination of Station Coordinates from optical observations ofartificial satellites. SAO Spec. Rep., No. 189, 1965.

[4] Smithsonian Standard Earth. Vol. 1, SAO Special Report, No. 199, 1966.[5] Smithsonian Standard Earth. Vol. 2, SAO Special Report, No. 200, 1966.

8.3 Celosvětová geometrická družicová síť BC-4

Mezi nejúspěšnější projekty geometrické geodézie patří jistě vybudování celosvětovégeometrické družicové sítě BC-4.

Byla vybudována již v letech 1966 až 1970, viz obr. 8.3.1 a [6]. Její realizaciuskutečnila Národní geodetická služba NGS (National Geodetic Survey) pomocí Wildovýchbalistických komor BC-4 (odtud její název). Bylo získáno celkem 2157 kvazisimultánníchfotografických dvojic s časovou přesností 0,1 ms s výhradním použitím pasivní balonovédružice Pageos. Síť BC-4 obsahuje 48 bodů (družicových stanic), označených číslicemi 6001až 6134 a 152 spojnic, vyznačených plnými čarami, jež vytvářejí nad Zemí mnohostěn, jehožstěny tvoří většinou trojúhelníky. Síť je celosvětová. Obsahuje družicové stanice na pětikontinentech včetně Antarktidy. Délky 174 spojnic jsou 2000 až 5000 km včetně sedmizákladen kosmické triangulace, které určily rozměr sítě, viz kap.8.1. Na obr. 8.3.1 jsouvyznačeny silnějšími úsečkami. Jejich koncové body (systém EUR) jsou 6006, 6015, 6016 a6065, systém severoamerický (NAD) s body 6001, 6002, 6003, 6004, 6111, 6123 a 6134,systém jihoamerický (SAD) s body 6008, 6009, 6019 a 6067, systém africký (ARC) s body6043 a 6064 a systém australský (AUS) s body 6023, 6032 a 6060. Síť tedy prochází pětirůznými geodetickými referenčními systémy, viz tab. 8.4.1 sloupec 2. Jde vlastně o propojeníkontinentálních sítí, neboť družicové body uvedené v určité skupině EUR, NAD, atd., patří doodpovídajícího samostatného referenčního systému. Žádný z uvedených systémů nenígeocentrický a není tedy napojen na těžiště Země. Vzájemně jsou propojeny trigonometricky,nejčastěji trojúhelníky. Pouze v oblasti východního bloku jde o polygonový obrazec, neboť naúzemí tehdejšího Sovětského svazu neexistovaly v tomto projektu žádné družicové stanice.Podobně tomu bylo i v oblasti, která je vůči těžišti Země souměrná k této oblasti.

Ze známých geodetických souřadnic stanic, viz [7], byly určeny jejich pravoúhléprostorové souřadnice SYS

iSYS

iSYSi ZYX ,, bodů Pi v daném geodetickém referenčním systému

SYS = EUR, ..., AUS. Střední kvadratická chyba v poloze stanice po vyrovnání sítě BC-4činila ± 4,5 m a zjištěná velikost určovaného poloměru rovníku Země je 6 378 130 m.

163

Obr. 8.3.1 Celosvětová geometrická družicová síť BC-4

Předností této sítě je:- homogenita přístrojů – na všech stanicích bylo použito jen balistických komor BC-4,- stejné metody měření,- stejné způsoby matematického zpracování pro přípravu společného vyrovnání,- společné vyrovnání,- bohaté možnosti dalších aplikací, př. viz kap. 8.4.Geometrická síť BC-4 byla později doplněna dopplerovskými měřeními a výsledky

byly ve velmi dobré shodě, viz [6] a [7]. Bližší o síti BC-4 včetně význačné aplikace uvádínásledující kap. 8.4, též viz [4].

Obecné další informace o vyrovnání geometrických družicových sítí uvádějí práce [1]až [7].

LITERATURA:

[1] Baranov V. N. a kol.: Kosmičeskaja geodezija. Izdatelstvo Nedra, Moskva 1986.[2] Bojko E. G., Klenickij B. M., Landis I. M., Ustinov G. A.: Postroenie, uravnivanie i

ocenka točnosti kosmičeskich geodezičeskich setej. Nedra, Moskva 1972.[3] Ehrnsperger W.: Modelle zur Ausgleichung von Satellitentriangulationen unter

besonderer Berücksichtigung des Zeitfehlers. Deutsche Geodätische Komission, Reihe C,H. 218, München 1976.

[4] Kabeláč J. a kol.: Propojení pěti geodetických referenčních systémů pomocí družicovésvětové sítě BC-4. Geod. a kart. obzor, roč. 23/65, č. 6, str. 127 – 132, Praha 1977.

[5] Mueller I. I.: Global Satellite Triangulation and Trilateration Results. Journal ofGeophysical Research, Vol. 79, No. 35, 1974.

[6] Schmid H. H.: Worldwide Geometric Satellite Triangulation. Journal of GeophysicalResearch, Vol. 79, No. 35, 1974.

[7] Smithsonian Standard Earth (III). SAO Special Report, No. 353, Cambridge,Massachusetts 1973.

164

8.4 Propojení pěti geodetických referenčních soustav pomocícelosvětové geometrické družicové sítě BC-4

Před studiem této kap. 8.4 doporučujeme naléhavě panu čtenáři/paní čtenářce aspoň povrchnípročtení kap. 8.3. Kap. 8.4 na ni zřetelně navazuje.

8.4.1 Směrové veličiny

Směrové vyrovnání družicové sítě bylo popsáno v kap. 8.1. Přesto postup vyrovnání stručnězopakujeme. Vyrovnání je děleno do dvou etap. V obou etapách je použito podmínkykomplanarity, viz kap. 6.2.

Směrové kosiny všech 152 spojnic, získané ze společného vyrovnání stě BC-4, tj. po2. etapě, jsou uvedeny v [3] a odtud byly převzaty do tohoto textu. Jsou označovány aij, bij, cij

pro spojnici PiPj družicových stanic (vrcholů mnohostěnu) Pi a Pj. Uvedené směrové kosinyplatí v pravoúhlé soustavě S(X, Y, Z), jejíž osa X je průsečnicí nultého poledníku aastronomického rovníku (zeměpisné astronomické souřadnice jsou ϕ = λ = 0°), pro osu Y platí(ϕ = 0°, λ = 90° – kladně na východ) a osa Z (ϕ = 90°) prochází středním severním pólem.Počátek souřadnicové soustavy S není třeba definovat, neboť jde jen o směrové veličiny. Jsouv dalším považovány za bezvadné, opravy jim tedy nejsou připisovány a ony nedoznajívyrovnáním žádných změn. Podmínek komplanarity nebylo tudíž třeba užít.

8.4.2 Délkové veličiny

V práci [3] jsou dány zeměpisná geodetická šířka, délka a elipsoidická výška všech bodů Pi

sítě BC-4, a to vždy vzhledem k vlastnímu referenčnímu elipsoidu daného geodetickéhosystému. Z nich jsou spočteny jejich pravoúhlé geodetické (referenční) souřadnice

( )SYSiZYX ,, vždy v odpovídajícím systému ( )SYSSYSSYS ZYXS ,,0≡ podle vztahů (3.3.8).

Počátek 0SYS je ve středu referenčního elipsoidu daného geodetického systému SYS, osa XSYS jeprůsečnicí nultého geodetického poledníku a geodetického rovníku (zeměpisné geodetickésouřadnice jsou B = L = 0°), pro osu YSYS platí (B = 0°, L = 90° – kladně na východ), a osaZSYS (B = 90°) je totožná s malou osou odpovídajícího referenčního elipsoidu; a to pro SYS =EUR, NAD, SAD, ARC a AUS. Z pravoúhlých souřadnic bodů Pi, Pj, jež leží ve společnémgeodetickém (referenčním) systému, zjistíme jejich vzdálenost z výrazu

( ) ( ) ( )[ ] 21

222 SYSi

SYSj

SYSi

SYSj

SYSi

SYSjij ZZYYXXs −+−+−= . (8.4.1)

Použité délky jsou v obr. 8.3.1 zakresleny silně plně. V systému EUR jich je 6, 12 v NAD, 5v SAD, 1 v ARC a 3 v AUS. Celkem tedy 27. Tab. 8.4.1 udává jejich koncové body Pi, Pj avstupní hodnoty délek sij, spočtené podle rov. (8.4.1). Jsou invariantní a použijeme jich jakozákladen pro získání délkového měřítka sítě BC-4 společným vyrovnáním MNČ. Již zde jenutno upozornit, že každému systému je nutno přisoudit jiné délkové měřítko (1 + KSYS), kdeKSYS je neznámý délkový koeficient.

165

Tab. 8.4.1 Vstupní a výsledné hodnoty délek (základen)

SYStém Body Pi – Pj sij vij ( )SYSij KS +1

EUR 6006 – 60156006 – 60166006 – 60656015 – 60166015 – 60656016 – 6065

4 356 941,1 m3 545 873,6 m2 457 768,4 m3 879 297,5 m4 077 396,1 m1 194 793,8 m

0,0 m-4,8 m

7,5 m5,6 m2,7 m

-14,5 m

4 356 941,1 m3 545 868,8 m2 457 775,9 m3 879 303,1 m4 077 398,7 m1 194 779,3 m

NAD 6001 – 60026001 – 60036001 – 60046001 – 61236002 – 60036002 – 61116002 – 61346003 – 60046003 – 61116003 – 61236003 – 61346004 – 6123

4 117 954,3 m3 900 754,6 m4 879 596,2 m2 501 232,4 m3 485 364,3 m3 606 918,9 m3 607 003,0 m4 540 831,9 m1 425 868,8 m3 280 413,0 m1 426 166,4 m2 505 876,0 m

-61,7 m-34,1 m40,4 m19,6 m

-12,7 m-9,1 m-8,8 m28,8 m

8,9 m-23,0 m13,7 m35,0 m

4 117 920,9 m3 900 747,3 m4 879 670,2 m2 501 269,2 m3 485 375,6 m3 606 934,6 m3 607 019,0 m4 540 891,9 m1 425 887,5 m3 280 412,5 m1 426 189,8 m2 505 928,2 m

SAD 6008 – 60096008 – 60196008 – 60676009 – 60196019 – 6067

2 633 785,2 m4 189 295,2 m2 540 700,2 m3 737 932,2 m4 162 800,3 m

-21,2 m-2,2 m4,8 m

-2,1 m15,8 m

2 633 744,9 m4 189 262,7 m2 540 686,7 m3 737 903,0 m4 162 786,0 m

ARC 6042 – 6064 2 630 161,8 m 0,0 m 2 630 164,2 mAUS 6023 – 6032

6023 – 60606032 – 6060

3 533 143,5 m2 300 205,6 m3 163 622,3 m

-1,8 m1,0 m

-0,2 m

3 533 139,2 m2 300 204,9 m3 163 619,9 m

8.4.3 Vyrovnání světové sítě BC-4 jako celku

V dalším nebudou měněny směry převzaté z [3] a tudíž nebudou použity podmínkykomplanarity. Důvodem k tomu je apriorní domněnka, že již vyrovnané směry jsou určenydostatečně přesně. Jako neznámé vstoupily proto do vyrovnání jen veličiny délkové.

8.4.3.1 Úplné základnové podmínkové rovniceÚplné základnové podmínkové rovnice byly sestaveny jen v těch trojúhelnících, ve kterýchleží všechny 3 vrcholy ve společném geodetickém systému. Délky jejich spojnic bylyvypočteny z rov. (8.4.1). Označíme tyto body Pi, Pj, Pk a délky a směrové kosiny indexy ij;jk; ki. Úplná základnová podmínková rovnice má tvar

0=++ kijkij SSSrrr

, (8.4.2)

kde S (index je vynechán) jsou správné délky stran. Přisuďme jim opravy v, takže platí

vsS += . (8.4.3)

166

Rov. (8.4.2) rozložíme do souřadnicových složek a po úpravě dostaneme

0=+⋅zijk

yijk

xijk

ki

jk

ij

kijkij

kijkij

kijkij

U

U

U

v

v

v

ccc

bbb

aaa

, (8.4.4)

ve kterých uzávěry mají tvar

ki

jk

ij

kijkij

kijkij

kijkij

zijk

yijk

xijk

s

s

s

ccc

bbb

aaa

U

U

U

⋅= .

Mezi rov. (8.4.4) platí lineární závislost. Byly proto při konkrétním sestavování použity jen tydvě, resp. jen ta jedna, v kterých, resp. v které, dosahovaly směrové kosiny maximálníchhodnot. Celkem 22 úplných základnových podmínkových rovnic. V absolutních hodnotáchprůměrný uzávěr činil 11,1 m, minimální 0,0 m a maximální 40,7 m v trojúhelníku 6001,6123, 6003.

8.4.3.2 Rozšířené základnové podmínkové rovniceRozšířené základnové podmínkové rovnice slouží k propojení jednotlivých geodetických(referenčních) systémů – vlastně kontinentálních sítí – obr. 8.3.1. Děje se tak pomocí řetězců,na obr. 8.3.1 vyznačeny slabě plně, pro něž byly sestaveny rozšířené sinové věty. Označme Sl

správnou délku strany v systému SYS ≡ l a Sp v systému SYS ≡ p. Rozšířená základnovápodmínková rovnice má tvar

0sinsin =Π−Π ppplll SS αα , (8.4.5)

kde symbol Πl značí součin výrazů sinαl pro všechna l, přičemž index l přísluší všem šikmým(pozičním) úhlům αl trojúhelníkového řetězce při přechodu ze strany Sl v systému SYS ≡ l nastranu Sp v systému SYS ≡ p. Index p přísluší šikmým úhlům αp v opačném přechodu. Uhly αl,αp byly vypočteny ze směrových kosinů a podle předchozího jim nebyly přisuzovány žádnéopravy. Naopak byly přisouzeny opravy vl, vp stranám sl, sp. Dále je předpokládáno, žedélková měřítka SYSK+1 , kap. 8.4.2, v geodetických systémech SYS ≡ l a SYS ≡ p, jsou různá.

Označme je lK+1 a pK+1 . Po dosazení a úpravě nabývá rov. (8.4.5) tvaru

( ) ( )( ) ( ) .0sinsin

sinsin

=+Π−+Π+

+Π−+Π

lpppppllll

ppplll

UKsKs

vv

αααα

(8.4.6)

Z daného materiálu není však možno zjistit absolutní hodnoty obou délkových měřítek. Jeproto zaveden jejich rozdíl

pllp KKK −=∆ (8.4.7)

a dosazen do rov. (8.4.6). Po její úpravě, s použitím rov. (8.4.5) nabývá tvaru

( ) ( ) ( ) 0sinsinsin =+∆Π+Π−+Π lplplllppplll UKvv αβαα , (8.4.8)

v které uzávěr má tvar

167

pppllllp ssU αα sinsin Π−Π= .

Světová družicová síť BC-4 obsahuje 5 geodetických (referenčních) systémů. Byly protosestaveny 4 rovnice typu (8.4.8), a to mezi systémy SAD-NAD, NAD-EUR, EUR-AUS,EUR-ARC. Uzávěry Ulp v uvedeném pořadí činily 17,1 m, -3,2 m, -3,4 m a -0,9 m. Početzákladnových podmínkových rovnic obou druhů je tedy 26 pro 27 daných základen, tab.8.4.1. Vyrovnání bylo uskutečněno metodou nejmenších čtverců podle podmínkovýchpozorování s neznámými parametry, kap. 4. MNČ podléhaly opravy vij stran a uvádí jetab. 8.4.1. Neznámými parametry jsou rozdíly délkových měřítek ∆KSAD,NAD, ∆KNAD,EUR,∆KEUR,AUS, ∆KEUR,ARC. Dále bylo zvoleno KEUR = 0 a ostatní délkové koeficienty spočtenypomocí rov. (8.4.7). Výrazy SYSK+1 uvádí tab. 8.4.2.

Tab. 8.4.2 Délková měřítka geodetických (referenčních) systémůSYStém

SYSK+1

EUR 1 + 0,0NAD 1 + 6,9·10-6

SAD 1 – 7,2⋅10-6

ARC 1 + 0,9⋅10-6

AUS 1 – 0,7⋅10-6

8.4.3.3 Výsledky vyrovnání družicové světové sítě BC-4.Střední jednotková chyba je ± 20,2 m. Závislost mezi neznámými opravami, daná korelačníváhovou maticí prokázala malou korelaci (r < 0,4, [1]). Z náhledu do tab. 8.4.1 zjišťujemeznačně velké opravy vij stran v systému NAD jdoucích z bodů 6001, 6004, 6123. Podlegrafického ověření by došlo k podstatnému zmenšení oprav, pakliže by byla zeměpisná šířkabodu 6001 a zeměpisná délka bodu 6004 o 2″ zmenšena. Jako nejlepší vychází australskýsystém AUS. Z tab. 8.4.2 vyplývá shoda mezi délkovými měřítky systémů EUR, AUS a ARC.Naopak je značný rozdíl v měřítkách systémů NAD a SAD. Výsledné hodnoty délek stran Sij,získané z rov. (8.4.3), je nutno vynásobit příslušným výrazem ( )SYSK+1 ještě dříve, než se

jich použije k dalším výpočtům. Uvádí je opět tab. 8.4.1. Je-li koeficient KSYS kladný znamenáto, že k proměření sítě v systému SYS bylo použito „delšího metru“ než pro síť v systémuEUR a naopak.

8.4.4 Určení vzájemných posunutí středů referenčních elipsoidů, jejich stočenívzhledem k astronomickému systému a délkových měřítek

Pro vyřešení nadepsané úlohy je třeba znát pravoúhlé souřadnice jak v systému S ≡ 0 (X, Y, Z)

družicové sítě BC-4, tak v systémech geodetických ( )SYSSYSSYS ZYXS ,,0≡ , kap. 8.4.1 a 8.4.2.Jejich porovnáním je úloha řešena.

8.4.4.1 Určení pravoúhlých souřadnicPravoúhlé geodetické (referenční) souřadnice ( )SYS

iZYX ,, bodu Pi jsou určeny

z geodetické zeměpisné šířky, délky a elipsoidické výšky, rov. (3.3.8), s užitím parametrůpříslušného referenčního elipsoidu. Bližší o SSYS je v kap. 8.4.2.

168

Pravoúhlé souřadnice (X, Y, Z)i bodu Pi ve společném systému družicové sítě BC-4.Z předchozího vyrovnání známe hodnoty délek Sij některých stran – základen, tab. 8.4.1,směrových kosinů aij, bij, cij všech spojnic a délkových koeficientů KSYS. Zvolme libovolnéstanovisko P0

*) sítě, které považujme nyní za počátek O systému S´ ≡ O´ (X, Y, Z), přičemžplatí X || X, Y || Y, Z || Z. Souřadnice (X, Y, Z)n obecného bodu Pn v systému S jsou

( )

( )

( ) ,1

,1

,1

01,1,

01,1,

01,1,

∑∑∑

=++

=++

=++

+=′

+=′

+=′

n

iiiSYSiin

n

iiiSYSiin

n

iiiSYSiin

cKSZ

bKSY

aKSX

kde sumace se vztahuje na všechny strany jež propojují počátek O´ ≡ P0 s bodem Pn.Vynásobením výrazem SYSK+1 převádíme všechny použité délky do systému EUR. Délky,

které nejsou výsledkem vyrovnání, je nutno propočítat pomocí již vypočtených délek ašikmých (pozičních) úhlů, jež opět zjistíme ze směrových kosinů. Souřadnice (X, Y, Z)n

zjišťujeme jen u bodů, které leží v těch geodetických (referenčních) systémech, jejichž posun,stočení a měřítko chceme zjišťovat. Dále byl systém S transformován translací do systémuS ≡ O (X, Y, Z), jehož počátek O leží v blízkosti těžiště Země. O osách X, Y, Z platí definicev kap. 8.4.1. Prvky translace je možno určit několika způsoby.

8.4.4.2 Sestavení zprostředkujících rovnic opravNásledující úvaha je obdobná úvaze uvedené v kap. 3.3.

Označme střed referenčního elipsoidu symbolem OSYS. Jeho poloha v systému S je

dána souřadnicemi ( )SYSSYS ZYXS ∆∆∆≡∆ ,, . Pak SYSSS ∆− značí systém s počátkem vestředu OSYS referenčního elipsoidu geodetického systému SYS a s osami X, Y, Z, definovanýmiv systému astronomických souřadnic, kap. 8.4.1. Systémy ( )ZYXOSS SYSSYS ,,≡∆− a

( )SYSSYSSYS ZYXOS ,,≡ mají společné počátky, jsou však vůči sobě vzájemně natočeny o

úhly ( )SYSZYX εεε ,, , jež značí absolutní stočení referenčního elipsoidu vůči systému

astronomickému. V symbolickém vyjádření platíSYSSYS SSS ⋅+∆= R , (8.4.9)

kde rotační matici

1

1

1

SYSX

SYSY

SYSX

SYSZ

SYSY

SYSZ

εεεε

εε

−−

−=R

je možno napsat ve zjednodušeném tvaru, neboť úhly stočení jsou velmi malé. Podle [3]připojme k pravé straně rov. (8.4.9) výraz ( )0SYSSYS

SYS SSK − , kterýžto bere ohled na nestejně

*) Zvoleno stanovisko 6016, Catania

169

velká délková měřítka geodetických systémů. Symbol ( ) 00 ,, SYSSYSSYS ZYXOS ≡ značísouřadnice referenčního bodu systému SYS. Rov. (8.4.9) přejde v symbolický tvar

( )0SYSSYSSYS

SYSSYS SSKSSS −+⋅+∆= R (8.4.10)

a platí pro jeden každý bod Pi (v předchozím byl index i vynechán) systému SYS. Rov.(8.4.10) rozepíšeme do souřadnicových složek a souřadnicím (X, Y, Z)i přisoudíme opravy(vx, vy, vz)i. Po úpravě dostáváme tři rovnice oprav.

Zi

Yi

Xi

iSYSi

iSYS

i

iSYSi

T

SYSSYSZ

SYSY

SYSX

SYSSYSSYS

SYSSYSi

SYSi

SYSi

SYSSYSi

SYSi

SYSi

SYSSYSi

SYSi

SYSi

v

v

v

ZZ

YY

XX

KZYX

ZZXY

YYXZ

XXYZ

=−−−

+∆∆∆⋅

⋅−−−−−−

,,,,,,

0100

0010

0001

0

0

0

εεε

(8.4.11)

pro bod Pi, i = 1, 2, ..., n, kde n značí počet všech bodů použitých k získání neznámých prodaný geodetický (referenční) systém. Počet neznámých je celkem 7. Jsou to 3 prvky translace

( )SYSZYX ∆∆∆ ,, , 3 prvky rotace ( )SYSZYX εεε ,, a délkový koeficient KSYS. Pro jejich určení

je zapotřebí sedmi rovnic oprav, tedy více než 2 bodů. Nebyl proto vzat do dalšího výpočtuafrický systém ARC, neboť obsahuje pouze 2 body. V systému EUR je n = 4 (použity 4 bodysítě BC-4), v systému NAD je n = 7, v systému SAD je n = 4 a v systému AUS je n = 3.

Hodnoty stočení ( )SYSZYX εεε ,, a délkového koeficientu KSYS získané z vyrovnání,

považujeme za konečné. Hodnoty translace ( )SYSZYX ∆∆∆ ,, převedeme však na středreferenčního elipsoidu evropského geodetického systému AUR, neboť poloha počátku Osystému S je víceméně náhodná. Použijeme vztahů

EURSYSSYS SSS ∆−∆=∆∆ , (8.4.12)

kde

( )SYSSYS ZYXS ∆∆∆∆∆∆≡∆∆ ,, .

8.4.4.3 Výsledné hodnoty posunutí, stočení a délkových měřítek referenčníchelipsoidů

Hledané hodnoty byly získány vyrovnáním MNČ podle zprostředkujících pozorování. Bylopoužito rovnic oprav (8.4.11). Pro výpočet posunutí vzhledem k systému EUR byla dále

použita rov. (8.4.12). Tab. 8.4.3 uvádí hodnoty posunutí ( )SYSZYX ∆∆∆∆∆∆ ,, středůreferenčních elipsoidů systému NAD, SAD a AUS vůči středu referenčního elipsoidu systému

EUR, dále hodnoty úhlů stočení ( )SYSZYX εεε ,, systémů EUR, NAD, SAD, AUS vzhledem

k astronomickému rovníkovému systému a konečně délkové koeficienty KSYS všech čtyřgeodetických systémů včetně jejich středních kvadratických chyb. Vyrovnání každéhogeodetického systému bylo provedeno samostatně. Jejich střední jednotkovou chybu m0 uvádípředposlední sloupec tab. 8.4.3. Poslední pak počet bodu Pi, i = 1, 2, ..., n, použitých pro

170

získání hledaných hodnot. Hodnoty KSYS by měly být shodné s hodnotami v tab. 8.4.2.Rozdílnost je patrně způsobena různě zaváděnými vahami. Co do velikosti středních chybjednotkových i výsledků je nejlépe určen australský systém AUS a nejhůře jihoamerickýSAD. Pro objektivnější ohodnocení výsledných hodnot uvedených v tab. 8.4.3 bylyporovnány s týmiž hodnotami odvozenými v [3]. Až na 2 případy jsou rozdíly malé a většinouv mezích středních kvadratických chyb. Průměr absolutních hodnot rozdílů v posunech je 9 ma ve stočení 0,6″.

Bližší o této tématice najde čtenář v původní práci [2].

Tab. 8.4.3 Výsledné hodnoty posunutí vůči systému EUR, stočení vzhledem k astronomickému systému a délkových koeficientů

Hodnoty posunů [m] Hodnoty stočení [″]SYS SYSX∆∆ SYSY∆∆ SYSZ∆∆ SYS

Xε SYSYε SYS

Zε KSYS·106 m0 n

EUR 0,0 ± 15,8 0,0 ± 22,3 0,0 ± 13,6 -1,2 ± 0,7 -0,1 ±0,6

0,5 ± 0,6 0,0 ± 2,4 ± 11,4 4

NAD 58,4 ± 25,4 268,0 ± 27,1 289,8 ± 14,1 -0,8 ± 0,7 0,3 ± 0,7 -0,3 ±0,5

4,9 ± 2,3 ± 15,7 7

SAD 38,3 ± 38,6 165,3 ± 31,3 83,5 ± 53,1 0,6 ± 1,6 -0,1 ±1,2

-1,3 ±1,3

-11,1 ±5,1 ± 23,9 4

AUS -35,2 ±16,0

68,4 ± 22,5 251,5 ± 14,1 0,7 ± 0,1 0,4 ± 0,1 0,3 ± 0,1 -0,8 ± 0,4 ± 1,6 3

LITERATURA:[1] Böhm J., Radouch Vl.: Vyrovnávací počet. Vydavatelství ČVUT, Praha 1974.[2] Kabeláč J. a kol.: Propojení pěti geodetických referenčních systémů pomocí družicové

světové sítě BC-4. Geod. a kart. obzor, roč. 23/65, č. 6, str. 127 – 132, Praha 1977.[3] Smithsonian Standard Earth (III). SAO Special Report, No. 353, Cambridge,

Massachusetts 1973.

8.5 Závěr

V předchozích kapitolách, tedy v kap. 7, ale především v kap. 8, bylo pojednáno ogeometrických metodách DG. Měřenými veličinami byly směry a délky. A tyto naměřenéveličiny, a není možné by tomu bylo jinak, určovaly metody výpočtů a ev. další aplikace. Jsouto metody relativně jednoduché, které již patří z části minulosti a v případě měřených směrůpřináleží minulosti zcela.

S rozvojem prostorových technik vznikaly možnosti měření nových veličin. Tím bylyzískávány nové zprostředkující veličiny, které umožňovaly zcela odlišné postupy nejen probudování geodetických sítí, o kterých se především hovořilo v předchozích textech, ale ik získání dalších charakteristik nejen geometrických, ale i fyzikálních.

Vyjmenujme proto zde ty základní úkoly, které nám družice umožnily řešit, neboťpřed „érou“ družicovou řešitelné nebyly. A máme na mysli úkoly vhodné nejen pro geodézii,ale i pro obory příbuzné. Jsou to:

1) Určení vzájemné polohy bodů pomocí hvězdné (stelární) triangulace.2) Vybudování kontinentálních a světových družicových sítí.3) Propojení různých geodetických (referenčních) systémů.

171

4) Určení vzájemných posunutí středů referenčních elipsoidů a stočení elipsoidůvzhledem k astronomickému systému.

5) Určení délkového měřítka sítě.6) Určení geocentrických souřadnic stanice.7) Určení posunutí středů referenčních elipsoidů vzhledem k těžišti Země.8) Vybudování jednotného světového geodetického systému.9) Určení velikosti a tvaru obecného elipsoidu.10) Určení geopotenciálních harmonických (Stokesových) koeficientů v rozvoji pro

gravitační potenciál Země.11) Zjištění průběhu geoidu vůči obecnému elipsoidu.12) Upřesnění některých geodetických konstant.13) Určení pohybů pólů a pohybů zemské kůry.14) Studium atmosféry atp.Způsob řešení uvedených úloh závisí od druhu měřených veličin a jistěže i od

žádaného cíle. Dělíme je na:α) Geometrické úlohy, které nevyžadují vázanost na těžiště Země a

měřenými/zprostředkujícími veličinami jsou délky a směry.β) Orbitální úlohy , též polodynamické či semidynamické, kdy získané veličiny musí

být vázány na těžiště Země, a to pomocí geocentrických souřadnic družice.Měřené/zprostředkující veličiny jsou odvislé od metody měření, viz kap. 8.5.1.Výpočtem získané veličiny jsou tudíž, či mohou být, vázány/vztaženy na/k těžištiZemě.

γ) Dynamické úlohy užívají veličin vázaných na těžiště Země. Měřenými veličinamimohou být rovněž geocentrické souřadnice družice ev. jiné, opět odvislé odmetody měření, viz kap. 8.5.1. Výpočtem získané veličiny však udávají změnyžádaných veličin.

Vraťme se nyní ke stručnému popisu metod prostorových technik a tím ik principiálnímu popisu získávání nových měřických informací, jakož i nových informacíplynoucích z jejich aplikací.

8.5.1 Metody a měřené veličiny – jejich využití v geodézii

Uveden bude stručný přehled. Jeho úkolem je rozšířit obzor v oboru družicové geodézie a zdeupozornit na další možnosti využití v geodézii. Detailněji bude pojednáno v části XI, pokudnebylo učiněno v kap. 7 a 8.

A) Měření směrů, viz poslední odstavec v kap. 8.1, rovněž viz [2, s.92].

B) Měření délek, viz poslední odstavec v kap. 8.1, rovněž viz [2, s. 98].

C) Měření dopplerovské. První průzkumná dopplerovská měření byla provedena již napočátku družicové éry, kdy tento efekt byl pozorován a numericky aplikován na družiciSputnik 1. Po prvních měřeních v letech 1957 a 1958 sloužila dopplerovská měřenívojenským účelům v USA. V roce 1967 byl tento systém odtajněn a pod názvem TRANSITbyl užíván jako námořní navigační družicový systém NNSS (Navy Navigation SatelliteSystem) i k účelům civilním. Přesnost byla nízká a ještě koncem šedesátých let dosahovalaněkolik set metrů. Po zvýšení přesnosti o dva řády se stala v sedmdesátých a osmdesátých

172

letech nejužívanější metodou DG pro určování poloh v civilním, vědeckém a vojenskémsektoru. Na zvýšení přesnosti se podíleli i čeští geodeti.

Dopplerovské metody jsou založeny na Dopplerově efektu. Konkrétně na změněfrekvence signálu vysílaného z družice v důsledku pohybu družice a pozemní stanice, tedyv důsledku změny radiální vzdálenosti stanice – družice. Způsoby měření těchto změn prošlyvývojem.

Použití dopplerovské metody je, především však bylo, všestranné a bohaté v geodézii,mapování, inženýrské geodézii a ve vědeckých aplikacích. Předností je i možnost kombinacedopplerovské metody s jinými prostorovými technikami. Výslednými veličinamidopplerovských měření jsou geocentrické souřadnice. Patří tedy do úloh orbitálních a můžeřešit úlohy 4 až 11, viz kap. 8.5.

Na dopplerovské měření navázal francouzský program GEOLE a současný programDORIS. Systém dopplerovských měření pracoval až do roku 1995. Nahradil jej Globálnípolohový systém GPS. Bližší viz [2, s. 134] a [4].

D) Globální polohové systémy. Podobně jako metoda dopplerovská, tak i metoda globálníchpolohových systémů GPS (Global Positioning System) poskytuje zcela automaticky třiprostorové pravoúhlé souřadnice stanice v souřadnicové soustavě elipsoidu WGS-84 a navíckorekci staničních hodin. V současnosti je v plném provozu navigační systém NAVSTAR(USA) a budovány jsou systémy GLONASS (Rusko) a GALILEO (Evropa). Bližší [2, s. 136]a především [4].

Výsledné hodnoty, získané měřením a výpočtem, mohou posloužit k řešení úloh podbody 1 až 14.

Pomocí této prostorové techniky byly na území ČR vybudovány, či jsou ve stavuzrodu, sítě:1) CS-NULRAD-92 – Projekt, jehož cílem bylo vybudování národní prostorové sítě nultého*)

řádu, [1].2) NULRAD – Síť nultého řádu na území České republiky, [1].3) DOPNUL – DOPlnění sítě NULtého řádu*), [1].4) CZEPOZ – Česká síť permanentních stanic GPS pro určování polohy.

E) Družicová altimetrie je moderní a neustále progresivní metoda DG. Měřící přístroje(radarový altimetr, radiolokační výškoměr) je umístěn na palubě družice a tím obsáhne velkésouvislé mořské plochy v krátkém čase. Měřenou veličinou je výška družice nad hladinoumoře. Nad kontinenty metoda není použitelná. Konečným výsledkem aplikace je zjištěníprůběhu geoidu nad zvoleným elipsoidem v oblastech oceánů a moří, jakož i určení tzv.topografie vodních hladin. Patří zřetelně do úloh orbitálních a dynamických a řeší úlohy 9 až11. Užití je krom geodézie i v geodynamice a v oceánografii. Bližší [2, s. 132].

F) Sledování družice z družice SST (Satellite to Satellite Tracking). Vzájemně jsou vysílánya přijímány signály. Jejich zpracováním se získá vzdálenost mezi použitými družicemi,vzájemná rychlost i zrychlení. Tyto výsledky by měly posloužit k detailnímu podchycenítíhového pole, viz [2, s. 139], úlohy 11 až 13. Patří do úloh dynamických.

*) Nejde o nultou síť ve smyslu finského budování sítě s užitím balónů.

173

G) Družicová gradientometrie umožňuje zjistit druhé derivace (gradienty) tíhovéhopotenciálu podle směrů pravoúhlých souřadnic. Z takto získaných hodnot je možno řešitněkteré základní úlohy fyzikální geodézie, jako je např. zjištění poloměru křivostihladinových ploch, jejich orientace, přenos hodnot tíhového zrychlení atd. Viz úlohy 11 a 12.Patří do úloh dynamických, viz [2, s. 140].

H) Mikroakcelerometrie slouží ke zjištění diferenciálního zrychlení družice na draháchkolem Země, způsobených silami negravitačního původu, viz úloha 14, a hovoříme opět oúloze dynamické. Bližší [2, s. 140].

Kombinací uvedených metod pozorování/měření dochází k upřesnění studovaných jevů,k upřesňování konstant a k objektivnějšímu zhodnocení použitých metod. Příkladem je síťBC-4 původně určená čistě geometricky a poté ověřená dopplerovským měřením, viz [5] a[6]. Jiná rozsáhlejší vzájemná porovnání výsledků metod DG a tím i jejich zhodnocení jsouuvedena v [3].

LITERATURA:

[1] Cimbálník M., Mervart L.: Vyšší geodézie 1 a 2. Vydavatelství ČVUT, Praha 1999.[2] Kabeláč J.: Úvod do kosmické geodézie, II. díl, Ediční středisko ČVUT, Praha 1991.[3] Mueller I. I. et all.: Global Satellite Triangulation and Trilateration. Report of the Depart.

of Geod. Sc., No. 199, the Ohio State University, 1973.[4] Novák P.: Evaluation of gravity data for the Stokes-Helmert solution of the geodetic

boundary – value problem. Report of the Department of Geodesy and GeomaticsEngineering 207, UNB, p. 1 – 218, Fredericton 2000.

[5] Schmid H. H.: Worldwide Geometric Satellite Triangulation. Journal of GeophysicalResearch, Vol. 79, No. 35, 1974.

[6] Smithsonian Standard Earth (III). SAO Special Report, No. 353, Cambridge,Massachusetts 1973.