MODEL PLOCHY KONSTANTNÍ PŘESNOSTI PRO

HODNOCENÍ METOD 3D MAPOVÁNÍ V GEOGRAFII

R. Dušek, R. Kadlubiec

Katedra fyzické geografie a geoekologie, Přírodovědecká fakulta, Ostravská univerzita

Abstrakt

Cílem příspěvku je pro geodetickou úlohu prostorového protínání (měřeny vodorovné

směry a svislé úhly ze dvou bodů) najít takovou plochu, jejíž body budou mít

konstantní polohovou přesnost. Výpočet přesnosti probíhá v diskrétních bodech

prostorové mřížky. Pro každý bod je na základě parametrů použitého měření

vypočtena kovarianční matice a z jejích prvků následně polohová přesnost bodu.

Prostorovou interpolací mezi body mřížky jsou nalezeny plochy konstantní přesnosti

pro konkrétní hodnoty polohových směrodatných odchylek. Na základě studia

průběhů těchto ploch je možné navrhnout povrchy vhodné pro testování přesnosti

současných metod 3D mapování v geografii.

1 Úvod

Klasické geodetické metody určování prostorových souřadnic bodů při geografickém mapování

byly nahrazeny moderními technologiemi, zejména laserovým skenováním (LIDAR), průsekovou

fotogrammetrií (metoda Structure from Motion) a digitální stereofotogrammetrií. Tyto metody

mapování jsou natolik technologicky i výpočetně složité, že určovat přesnost dosažených výsledků

aplikací zákonů hromadění chyb – jak bylo běžné u geodetických úloh – již není možné. Na přesnost

metod lze usuzovat pouze srovnáváním dosažených výsledků s výsledky získaných jinou, přesnější

metodou. Mezi tyto referenční metody patří zejména geodetická měření, která mohou dosahovat řádově

vyšších přesností určení prostorové polohy bodu, než výše uvedené metody. I přesto, že jsou geodetické

metody přesnější, nejsou absolutně přesné a pro analýzu přesnosti je vhodné, aby všechny měřené body

byly geodeticky určeny se stejnou (nebo alespoň srovnatelnou) přesností. Je tedy vhodné provést

testování na takové ploše (povrchu), jehož body budou mít shodnou přesnost určení polohy.

K určení přesnosti jednotlivých bodů lze přistupovat různými způsoby. Je např. možné zjišťovat

přesnost bodu v konkrétním směru. Tento přístup se uplatní např. při monitoringu posunu bodů

v určitém směru. V tomto případě by z kovarianční matice byly počítány parametry Helmertovy plochy

a její průvodiče v požadovaném směru [1]. Tento postup byl například použit pro analýzy

geomorfologických dat v [2]. Pokud při mapování není preferován určitý směr, lze z kovarianční matice

počítat přímo polohovou chybu jako odmocninu z její stopy. Tento postup byl použit v následujících

výpočtech.

2 Teorie geodetické úlohy

Principem geodetických úloh je určování polohy neznámých bodů na základě známé polohy

daných bodů a provedeného měření. Pro cíle popsané výše byla zvolena úloha prostorového protínání,

kdy ze dvou známých bodů (A, B – viz obr. 1) jsou měřeny vodorovné úhly (A, B) a svislé, tzv.

zenitové úhly (zA, zB). I přes rozvoj elektronických dálkoměrů je stále úhlové měření přesnější a je tedy

výhodné zvolit metodu, která nevyžaduje měření délek (jako by například byl početně jednodušší rajón).

Obrázek 1: Geometrický princip určení polohy bodu P (podrobnosti v textu)

A B

P

zA zB

A B

Pro stanovení přesnosti určovaného bodu je možné použít tzv. model geodetické úlohy (MGÚ),

což je obecný postup výpočtu kovarianční matice bez ohledu na konkrétní úlohu a její konfiguraci

(rozmístění bodů), který vychází z obecného zákona hromadění chyb [3]. MGÚ je teoreticky popsán

v [4] nebo [5] a využit pro řešení konkrétních problémů geodetické praxe např. v [6] a [7].

Kovarianční matice určovaného bodu (MP) se vypočte ze vztahu:

MP= B . M . BT (1)

kde M je kovarianční matice měření obsahující čtverce směrodatných odchylek měřených veličin

a B = A–1.

Matice A je tzv. Jacobiho matice zohledňující rozložení bodů geodetické úlohy. Obsahuje

derivace měřených veličin podle souřadnic určovaného bodu:

0ρd

ΔX ρ

d

ΔY

0ρd

ΔXρ

d

ΔY

ρs

dρ

ds

ΔYΔZρ

ds

ΔXΔZ

ρs

dρ

ds

ΔYΔZρ

ds

ΔXΔZ

Z

ω

Y

ω

X

ω

Z

ω

Y

ω

X

ω

Z

z

Y

z

X

z

Z

z

Y

z

X

z

2

PB

PB

2

PB

PB

2

PA

PA

2

PA

PA

2

PB

PB

PB

2

PB

PBPB

PB

2

PB

PBPB

2

PA

PA

PA

2

PA

PAPA

PA

2

PA

PAPA

P

B

P

B

P

B

P

A

P

A

P

A

P

B

P

B

P

B

P

A

P

A

P

A

A (2)

kde

X, Y, Z jsou pravoúhlé souřadnice,

je symbol pro rozdíl,

s, d je šikmá a vodorovná délka,

hodnota radiánu ve stejných jednotkách jako jsou přesnosti úhlů v matici M.

V případě zvoleného způsobu určení bodu jsou měřeny čtyři veličiny, ale určovány pouze tři

souřadnice bodu P. Matice A je potom obdélníková a není možné provádět její inverzi. Pro řešení vztahu

(1) je možné použít výpočet pseudoinverzní matice rozkladem na singulární hodnoty – též singulární

rozklad (SVD; Singular values decomposition). Postup je popsán v četné matematické literatuře (např.

[8]) a používán v mnoha oblastech zpracování dat. Principem je nalezení matice A+ takové, že

A+ . A = E (jednotková matice). Ve vztahu (1) potom bude B = A+.

3 Řešení

Pro numerické řešení byla zvolena vzdálenost bodů AB 100 m, přesnost měřených úhlů

m = mz = 0,01 gon. Pro řešení byly využity funkce Matlabu, zejména svd()pro singulární rozklad a

isosurface() a isonormals() pro nalezení izoploch.

Na obr. 2 jsou znázorněny vypočtené plochy konstantní přesnosti pro polohovou chybu mp = 5,

10, 20 a 40 mm. Z obrázků je patrné, že pro malé hodnoty polohové chyby se plocha tvarem blíží

elipsoidu, se zvyšující se hodnotou chyby se ve svislém směru protahuje. Výsledné plochy (situace pro

chybu 40 mm) jsou uzavřené a symetrické podle svislých rovin procházejících základnou AB a její osou.

Pro chyby 5, 10 a 20 jsou znázorněny poloviny ploch tak, aby byla patrná poloha a délka základny AB

– červená úsečka.

Obrázek 2: Izoplochy konstantní přesnosti pro uvedené polohové chyby.

Průběhy ploch znázorněné na obr. 2 jsou výsledkem teoretického modelového řešení, ale pro

praktický účel srovnávání s dalšími metodami je možné je využít pouze v malém prostoru v okolí

základny AB, který je přístupný reálnému měření. Situace v tomto prostoru je zachycena na obr. 3

mp = 5 mm mp = 10 mm

mp = 20 mm mp = 40 mm

Obr. 3 Průběh izoploch konstantní přesnosti v okolí základny AB (červená úsečka). Červená

plocha pro polohovou chybu 3 mm, zelená 5 mm, žlutá 10 mm.

Na obr. 3 je patrné, že v blízkosti základny AB mají izoplochy svislý průběh. I přes jejich

zakřivení je v prostoru šířky základny možné je nahradit svislou rovinou. Takové nahrazení by bylo

výhodné, protože svislou rovinu je možné snadno realizovat průčelím budovy nebo svislou skalní

stěnou. Vhodnost nahrazení ploch konstantní přesnosti v daném místě svislými rovinami je možné ověřit

zkonstruováním svislých rovin a jejich průsečnic s izoplochami.

Pro ověření byly zvoleny čtyři svislé roviny vzdálené od základny 20, 50, 100 a 150 m. Na obr. 4

jsou znázorněny průsečnice izoploch s těmito rovinami. Průsečnice ve formě izolinií jsou popsány

hodnotami polohových chyb. Z obrázků je patrné, že rovina ve vzdálenosti 20 m není vhodnou

náhradou, ve střední části jsou sice chyby malé, ale jejich hodnota rychle narůstá směrem ke všem

rohům. Rovina v 50m vzdálenosti má průběh izolinií příznivější a jejich maximální hodnoty jsou menší,

ale nárůst hodnot je stále velký. Ve vzdálenosti 100 m se sice zvedla minimální hodnota, ale izolinie 10

a 15 mm ohraničují rozsáhlý prostor „rozumného“ oválného tvaru s pomalejším nárůstem. Pro

vzdálenost 150 m je již patrný pokles velikosti středního prostoru ohraničeného izolinií 10.

Na základě předchozího je patrné, že pro náhradu izoploch je nejvhodnější svislá rovina ve

vzdálenosti cca 100 m od základny. Při využití oválného středu takové roviny nebude přesnost polohy

bodů určená geodetickým protínáním větší než 10 až 15 mm.

4 Závěr

Prezentovaný příklad hodnocení přesnosti určování polohy bodů při geografickém mapování

ukazuje vhodnost použitých teoretických modelů i pro zcela praktické úlohy. Jako výhodný způsob

analýzy se ukazuje využít kombinaci numerických výpočtů a názorné vizualizace.

Obr. 4 Řezy izoploch svislými rovina v uvedených vzdálenostech od základny AB.

Literatura

[1] R. Dušek. Helmertova křivka v trojrozměrném prostoru. Geodetický a kartografický obzor. 2004.

roč. 50, č. 9, s. 174–179 . ISSN 0016-7096.

[2] R. Dušek, M. Drozdek. Modelování přesnosti geomorfologických dat. In Sborník příspěvků

Technical Computing Prague 2006. Praha, 2006. Dostupné z:

http://www.humusoft.cz/archive/events/tcp2006/

[3] J. Böhm, V. Radouch, M. Hampacher. Teorie chyb a vyrovnávací počet. 2. upravené vydání.

Praha: Geodetický a kartografický podnik, 1990. 416 s. ISBN 80-7011-056-2

[4] J. Jandourek. Geodézie IV: úprava měřených veličin před výpočty, geodetická úloha a její

kvalitativní hodnocení. Praha: ČVUT, 1995. 149 s. ISBN 80-01-01330-8

[5] R. Dušek, J. Vlasák. Geodézie 40. ČVUT, Praha, 1998, 127 s.

[6] R. Dušek. Užití systému MATLAB pro stanovení vlivu konfigurace na přesnost geodetických úloh.

In MATLAB 2003. Sborník příspěvků 11. ročníku konference. Praha: VŠCHT, 2003. s. 113–116.

ISBN 80-7080-526-9

rovina vzdálená 20 m rovina vzdálená 50 m

rovina vzdálená 100 m rovina vzdálená 150 m

[7] M. Mudra. Posouzení přesnosti přechodného stanoviska určeného z minimálního počtu daných bodů

a měřených veličin. Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské – Technické univerzity Ostrava.

Řada hornicko-geologická. Volume L (2004), No. 2, p. 39–48, ISSN 0474-8476

[8] E. Krajník. Maticový počet. ČVUT, Praha, 1998, 129 s.

Radek Dušek

radek.dusek@osu.cz

Radek Kadlubiec

radek.kadlubiec@gmail.com