Návrh FIR filtr ů

• Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy:– volba frekvenční odezvy požadovaného filtru; nejčastěji volíme ideální

charakteristiku normovanou k Nyquistově frekvenci, popř. tzv. toleranční schema

– stanovení délky (řádu) filtru M; nejčastěji odhadem (první krok) a v dalších krocích se iterativním postupem se zpřesňuje

– zavedení kriteria kvality posouzení skutečné frekvenční charakteristiky. Jako kritérium pro hodnocení aproximace frekvenční charakteristiky lze použít:

a) Průměr kvadratické chyby (kritérium nejmenších čtverců), kterým minimalizujeme chybu Eminimalizujeme chybu E

b) Maximální chybu frekvenční charakteristiky ve specifikované oblasti (propustné, popř. nepropustné) - tzv. Čebyševova aproximace

c) Kritérium založené na aproximaci Taylorovým rozvojem požadované frekvenční charakteristiky – tzv. Butterworthova aproximace

– volba metody stanovení koeficientů filtru

∑−

=

−=1

0

2)()(

N

kd jHjHE ωω

• metoda Fourierových řad s využitím funkce okna

• metoda frekvenčního vzorkování

Metody návrhu koeficientů filtru

• Remezův algoritmus optimalizovaného návrhu používající Čebyševovu aproximaci chyby

Metoda Fourierových řadMetoda Fourierových řad

Postup 1• Princip metody vychází z toho, že frekvenční charakteristika filtru je

periodická a je ji možné reprezentovat jako Fourierovu řadu, tj. frekvenční odezva se rozvine do Fourierovy řady a tento rozvoj se omezí na konečný počet koeficientů. Výsledná odezva aproximuje originální požadovanou charakteristiku.

Algoritmus : 1. Specifikace požadavků na frekvenční charakteristiku filtru Hd(jω)2. Stanovení délky filtru3. Výpočet koeficientů filtru h[n], pro hodnoty n=0,1,…,M s použitím vztahu3. Výpočet koeficientů filtru h[n], pro hodnoty n=0,1,…,M s použitím vztahu

kde m=n-M/2

4. Výsledné koeficienty vynásobíme vhodným oknem abychom omezili zákmity ve frekvenční charakteristice (Gibbsův jev)

5. Pro výsledné koeficienty vypočteme skutečnou odezvu filtru, pokud nevyhovuje, zvolíme jiné N a postup opakujeme.

[ ] ∫ +=π

ωωωπ 2

)sin()cos()(2

1mjmjHnh dd

Příklad 1: Návrh dolní propusti

Navrhněte FIR filtr, který bude aproximovat amplitudovou charakteristikuideálního filtru s dolní mezní frekvencí fd=2kHz při vzorkovací frekvenci fv=8kHz

frekvenční charakteristika dolní propusti

[ ] ωωπ

ωωπ

ωωωπ

ω

ω

ω

ωπ

dmjdmmjmjHnhd

d

d

d

dd )sin(2

1)cos(

2

1)sin()cos()(

2

12 ∫∫∫

−−

+=+=

m

m

m

mhd π

ππ

ω π

π

)2/sin(

2

)sin(2/

2/

==−

kde m=n-10

Řešení: Mezní frekvence ωc normovaná k vzorkovacímu kmitočtu fv bude ωd=2πfd/fv.

Aplikujeme rovnici:

Pro výpočet vzorku hd[n] pro m=0 a n=10 se použije l´Hositalovo pravidlo(derivujeme čitatel podle m a dosadíme m=0)

5.0)2/cos()2/(

/]2[

/)][sin(

00

===== mm

d

m

dmmd

dmmdh

πππ

πω

koeficienty dolní propusti

Příklad 2: Návrh horní propusti

Navrhněte filtr FIR délky N=21, který bude aproximovat amplitudovou charakteristiku ideálního filtru typu horní propust s normovanou horní mezní frekvencí ωh= 3π/5.

Řešení: Impulsní charakteristika filtru je dána vztahem

0)sin(

01

≠−

=−

mprom

m

mpro

h

h

πω

πω

h[n]

mπ

frekvenční charakteristika horní propusti

koeficienty horní propusti

Příklad 3: Návrh pásmové propusti

Navrhněte filtr FIR délky N=21, který bude aproximovat amplitudovou charakteristiku ideálního filtru typu pásmová propust. Normované kmitočty nechť jsou: spodní mez propustného pásma ωh= 2π/5, horní mez propustného pásmaí ωh= 3π/5.

Řešení: Impulsní charakteristika je dána vztahem

0)sin()sin(

0

≠−

=−

mpromm

mpro

dh

dh

ωω

πωω

h[n]

0)sin()sin( ≠−

mprom

mm dh

πωω

frekvenční charakteristika pásmové propusti

koeficienty pásmové propusti

01 =−− mprodh

πωω

h[n]

Příklad 4: Návrh pásmové zádrže

Navrhněte filtr FIR délky N=21, který bude aproximovat amplitudovou charakteristiku ideálního filtru typu pásmová propust. Mezní kmitočty nepropustného pásma jsou 1.6kHz a 2.4kHz. Normované kmitočty nechť jsou: spodní mez propustného pásma ωd= 2π/5, horní mez propustného pásmaí ωh= 3π/5.

Řešení: Impulsní charakteristika je dána vztahem

0)sin()sin( ≠−

mprom

mm hd

πωω

frekvenční charakteristika pásmové zádrže

Koeficienty impulsní odezvy

Příklad 4: Návrh diferenciátoru

Ideální diferenciátor může být aproximován filtrem FIR s lineární fází. Frekvenční odezva diferenciátoru je H(jω)=jω. Navrhujeme-li diferenciátor se symetrií typu 3, bude mít lichý počet vzorků.

Řešení: Impulsní charakteristika je dána vztahem

[ ] =−= ∫−

ωωωπ

π

π

dmnhd )sin(2

1

0)cos(

00

≠

=

mpron

n

mpro

π

Frekvenční charakteristika Koeficienty impulsní odezvy

Okna používaná k omezení zákmitů frekvenční charakteristiky

V uvedených příkladech bylo využito pravoúhlé okno. K většímu omezení zákmitů se však častěji používá některé z následujících oken:

Průběhy oken v časové oblasti a jejich frekvenční charakteristiky

Speciální typy oken u kterých lze změnou parametrů měnit vlastnosti:• Čebyševovo okno

)](coscosh[

coscoscos

)(1

1

α

πα

−

−

=M

M

nM

nwCH( )

= − γα 10cosh1

cosh 1

Nn=0,1,…,M

• Kaiserovo okno

( ))(

])]/[1([)(

0

2/120

βααβ

I

nInw K

−−= 0 ≤ n ≤ M

Postup 2

• Stejný princip jako v předchozím případě, ale umožňuje určit řád filtru a vhodné okno na základě pararametrů Asa Ap použitých v tolerančním schématu

Parametry filtru (toleranční schéma)

Postup návrhu FIR filtru

• normalizace analogové frekvence vzorkovací frekvencí (převod na digitální frekvenci F ∈<0,1>

• stanovení Fp a Fs dolní propusti• určení frekvemce Fc (cut-off frequency) Fc=0.5(Fp+Fs) • Volba okna (z následující tabulky), které splňuje podmínku Aws≥As a

Awp≤Ap

• stanovení délky okna N z hodnoty FT=F -F =F =C/N (hodnota C z • stanovení délky okna N z hodnoty FT=Fs-Fp=Fws=C/N (hodnota C z tabulky)

• výpočet impulsové odezvy filtru h(n)=2Fcsinc(2nFc) , |n|≤0.5(N-1)• vynásobení odezvy zvoleným oknem hlp(n)=w(n)h(n)• provedení spektrální transformace na (pokud je to nutné)• Ověření frekvenční charasteristiky a případné doladění N a Fc tak,

aby odpovídaly specifikaci

Tabulky parametrů a vlastnosti používaných oken

Metoda frekvenčního vzorkovánívzorkování

Princip : – Vycházíme z amplitudové frekvenční charakteristiky, kterou

navzorkujeme a určíme pro ní impulsovou odezvu.– Výhodné, pokud máme složitejší tvar frekvenční charakteristiky

Postup:1. Vybereme M ekvidistantních hodnot (vzorků) požadované

amplitudové frekvenční odezvy2. Pro amplitudové hodnoty určíme hodnoty fázové charakteristiky

ze vztahu Ф(k)= (πk(N-1))/N pro k=0,1,…, 0.5(N-1), zbývající vzorky doplníme tak aby byly komplexně sdružené pro daný typ vzorky doplníme tak aby byly komplexně sdružené pro daný typ symetrie filtru. Podle typu symetrie zvolíme vzorky H(0) a H(N) (u horní a pásmové propusti musí být H(0) popř. H(N), pro N sudé, vždy rovno 0)

3. Na takto získanou poskoupnost aplikujeme IDFT (IFFT)4. Ze získaných koeficientů určíme frekvenční charakteristiku,

porovnáme s požadovanou a popř. upravíme amplitudy koeficientů frekv. Charakteristiky a pokračujeme krokem 3.

5. Výslednou impulsovou odezvu násobíme vhodným oknem