Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel HanzlíkObchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace.Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám,registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.

Nerovnice s kombinačními čísly12. února 2013 VY_32_INOVACE_110213_Nerovnice_s_kombinacnimi_cisly_DUM

Kombinační čísloNa úvod prezentace si připomeňme pojem kombinační číslo.Kombinační číslo (binomický koeficient) odpovídá počtu k-členných kombinací z n prvků (tj. k-tic, v níž nezáleží na pořadí prvků)

Označení čteme: kombinace k-té třídy z n prvků čteme: n nad kPlatí:

obr. 1

Připomeňme si taky základní vlastnosti kombinačních čísel: 1) Pro 2) Pro

Vlastnosti kombinačních čísel

obr. 1

Praktická část výukového materiálu „Nerovnice s kombinačními čísly“ se zabývá využitím vzorce pro počet kombinací bez opakování při řešení čtyř nerovnic s kombinačními čísly.

Kombinace bez opakování – praktická část

obr. 2

Nabídka úloh a jejich řešeníÚloha 1

Řešení úlohy 3

Úloha 3

Úloha 2 Řešení úlohy 2

Řešení úlohy 4

Řešení úlohy 1

Úloha 4

Shrnutí

Úloha 1 Řešte nerovnici:

zpět do nabídky úloh

obr. 3

Řešení úlohy 1V nerovnici si nejprve vyjádříme kombinační číslo pomocí faktoriálů:

Nyní stanovíme podmínky platnosti výrazů s faktoriály: Následně nerovnici dále upravujeme do tvaru kvadratické nerovnice: Kořeny příslušné kvadratické rovnice určíme pomocí Viétových vzorců. Platí: Ze vzorců vyplývá, že kořeny rovnice jsou: .

pokračování

Řešení úlohy 1 pokračováníKvadratickou nerovnici následně řešíme graficky pomocí paraboly, která je grafem kvadratické funkce . Výše uvedená funkce protíná osu x ve dvou bodech (kořenech kvadratické rovnice): Tyto dva body rozdělují číselnou osu na tři intervaly (viz. graf):

Z grafu je zřejmé, že uvedená kvadratická funkce nabývá kladných hodnot v intervalech: .

+ +

_1 12

(−∞ ;1 ⟩ ⟨12 ;+∞ )

⟨1 ;12 ⟩ x

Řešením zadané nerovnice s kombinačním číslem jsou ta čísla, která odpovídají podmínce platnosti výrazů s faktoriály, a která současně jsou řešením výsledné kvadratické nerovnice. Z reálné osy rozpoznáme, o která čísla se bude jednat:

… přirozená čísla, která vyhovují podmínce platnosti výrazů s faktoriály … řešení kvadratické nerovnicePodmínce platnosti i řešení kvadratické nerovnice vyhovují přirozená čísla , která jsou větší nebo rovna číslu 12.

Řešení úlohy 1 zpět do nabídky úloh

I I I I I I I I I I I

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

I I

Řešte nerovnici:

Úloha 2 zpět do nabídky úloh

obr. 4

Řešení úlohy 2 pokračováníV nerovnici si nahradíme kombinační číslo (z vlastnosti kombinačních čísel). Na levé straně nerovnice se nacházejí dva výrazy s faktoriály, stanovíme tedy podmínky platnosti těchto výrazů:Nerovnici poté upravujeme do kvadratického tvaru:

Pomocí Viétových vzorců určíme kořeny příslušné kvadratické rovnice Platí: Z toho plyne, že kořeny rovnice jsou:

Kvadratickou nerovnici opět řešíme graficky pomocí paraboly, která je grafem kvadratické funkce . Uvedená funkce protíná osu x ve dvou bodech (kořenech kvadratické rovnice): Číselná reálná osa je těmito dvěma body rozdělena na tři intervaly (viz. graf):

Z grafu kvadratické funkce je zřejmé, že kvadratická funkce nabývá záporných hodnot v intervalu Řešením nerovnice je

Řešení úlohy 2 pokračování

+

(−6 ;8 )

+-6 8

(8 ;+∞ )(−∞;−6 ) _ 𝒙

Řešením dané nerovnice s kombinačním číslem jsou ta čísla, která odpovídají podmínce platnosti výrazů s faktoriály, a která současně jsou řešením výsledné kvadratické nerovnice. Z reálné osy určíme, o která čísla se bude jednat:

… přirozená čísla, která vyhovují podmínce platnosti výrazů s faktoriály … řešení kvadratické nerovnicePodmínce platnosti i řešení kvadratické nerovnice vyhovují ta přirozená čísla , která jsou větší nebo rovna číslu 4, ale menší než číslo 8.

Řešení úlohy 2 zpět do nabídky úloh

I I I I I I I I I I I I I I I -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Určete, pro která přirozená čísla má řešení nerovniceÚloha 3 zpět do nabídky úloh

obr. 5

Řešení úlohy 3 pokračováníZ vlastnosti kombinačních čísel plyne, že .

Nyní určíme podmínky platnosti výrazů s faktoriály: (nerovnici řešíme v oboru přirozených čísel)Nerovnici dále upravujeme, převedeme ji opět do kvadratického tvaru: Kořeny příslušné kvadratické rovnice určíme pomocí Viétových vzorců. Platí: Ze vzorců plyne, že kořeny rovnice jsou

Řešení úlohy 3 pokračováníKvadratickou nerovnici znovu řešíme graficky pomocí paraboly, která je grafem kvadratické funkce . Uvedená funkce protíná osu x ve dvou bodech (kořenech kvadratické rovnice): Číselná reálná osa je těmito dvěma body rozdělena na tři intervaly (viz. graf):

Z grafu kvadratické funkce je zřejmé, že kvadratická funkce nabývá nekladných hodnot v intervaluŘešením nerovnice je n

+ +¿ ⟨2 ;+∞¿

⟨−9 ;2 ⟩_

−𝟗 2 𝒙

Řešením dané nerovnice s kombinačním číslem jsou přirozená čísla, která odpovídají podmínce platnosti výrazů s faktoriály, a která současně jsou řešením výsledné kvadratické nerovnice. Z číselné osy určíme, o která přirozená čísla se bude jednat:

… přirozená čísla, která vyhovují podmínce platnosti výrazů s faktoriály … řešení kvadratické nerovnicePodmínce platnosti i řešení kvadratické nerovnice vyhovují ta přirozená čísla , která jsou menší nebo rovna dvěma, tj. čísla 1 a 2.

Řešení úlohy 3 zpět do nabídky úloh

I I I I I I I I I I I I I I I 9 8 7 6 5 4 0 1 2 3 4 5

Určete, pro která přirozená čísla n má řešení nerovnice Úloha 4 zpět do nabídky úloh

obr. 6

Z vlastnosti kombinačních čísel plyne, že =(n+1). Nyní stanovíme podmínky platnosti výrazů s faktoriály:Nerovnici dále upravujeme do výsledné podoby kvadratické nerovnice:

Řešení úlohy 4 pokračování

Řešení příslušné kvadratické rovnice opět určíme z Viétových vzorců. Platí: Odtud vyplývá, že vyhovuje dvojnásobný kořen Kvadratickou nerovnici řešíme graficky pomocí paraboly, jež je grafem kvadratické funkce Daná funkce se dotýká osy x v jediném bodě (jedná se o kořen příslušné kvadratické rovnice).Číselná osa je tímto bodem rozdělena na dva intervaly (viz. graf):

Z grafu je patrné, že kvadratická funkce nabývá nekladných hodnot pouze pro Řešením kvadratické nerovnice je

Řešení úlohy 4 pokračování

+ +(−∞ ; 2 ⟩ ⟨2 ;+∞ )

2 𝒙

Řešením dané nerovnice s kombinačním číslem jsou přirozená čísla, která odpovídají podmínce platnosti výrazů s faktoriály, a zároveň jsou řešením výsledné kvadratické nerovnice. Matematickou situaci si znázorníme na číselné ose:

… přirozená čísla, jenž vyhovují podmínce platnosti výrazů s faktoriály … řešení příslušné kvadratické nerovnice Podmínce platnosti výrazů s faktoriály i řešení kvadratické nerovnice vyhovuje pouze přirozené číslo 2.Řešením nerovnice s kombinačními čísly je číslo 2.

Řešení úlohy 4 zpět do nabídky úloh

I I I I

−∞−10123+∞I

Při řešení nerovnic s kombinačními čísly stanovujeme podmínky pro všechny výrazy, které obsahují proměnnou ve tvaru faktoriálu čísla. Řešení nerovnice (zpravidla ve kvadratickém tvaru) musíme sloučit s podmínkami, abychom určili čísla, která vyhovují původní nerovnici.Při řešení kvadratické nerovnice si vypomáháme grafem příslušné kvadratické funkce (ve tvaru paraboly).Kombinační čísla mají své využití nejen v rovnicích či nerovnicích, ale jsou to tzv. binomické koeficienty. O této problematice bude pojednávat výukový materiál „Binomická věta.“

Shrnutí obr. 2

Použitá literatura:1) HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 202-203, 319, 332, 334. ISBN 80-7196-165-5.

CITACE ZDROJŮ

Použité obrázky:1) SOUL, Obsidian. File:Stick figure - choosing.jpg - Wikimedia Commons [online]. 29 January 2012 [cit. 2013-02-12]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stick_figure_-_choosing.jpg 2) File:Math.png - Wikimedia Commons [online]. 19 April 2008 [cit. 2013-02-12]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Math.png3) RÖTZSCH, Jens. File:BMS classrooms.jpg - Wikimedia Commons [online]. 4 May 2009 [cit. 2013-02-12]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:BMS_classrooms.jpg 4) INNOVAT. File:Class-room.png - Wikimedia Commons [online]. 20 September 2012 [cit. 2013-02-12]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Class-room.png

CITACE ZDROJŮ

Použité obrázky: 5) TUNGSTEN. File:Math lecture at TKK.JPG - Wikimedia Commons [online]. 31 May 2005 [cit. 2013-02-12]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Math_lecture_at_TKK.JPG 6) QUIMBERO. File:SIAS students.jpg - Wikimedia Commons [online]. 24 May 2009 [cit. 2013-02-12]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:SIAS_students.jpg Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint.

CITACE ZDROJŮ

Konec prezentace. Děkuji Vám za pozornost.

Mgr. Daniel Hanzlík