Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Stavební statika, 1.ročník kombinovaného studia
Nosné stavební konstrukce
Výpočet reakcí
• Prut(geometrický popis, vnější vazby, nehybnost, silové zatížení, složky reakcí)
• Reálné zatížení nosných stavebních konstrukcí
6
Nosná stavební konstrukce
Nosná stavební konstrukce slouží k přenosu zatížení objektu do horninového masívu, na němž je objekt založen. Musí mít dostatečnou únosnost a dlouhodobou použitelnost (blíže předmět Pružnost a plasticita).
Kongresové centrum, Brno
Skládá se z horní konstrukce a ze základové konstrukce
7
Třídění nosných konstrukcí podle geometrického tvaru
1 . Prutový konstrukční prvek (prut) – délka je výrazně větší než dva příčnérozměry, idealizace dokonale tuhou čarou (přímá nebo zakřivená)
Konstrukce je obecně složena z konstrukčních prvků:
2 . Plošný konstrukční prvek – tloušťka je výrazně menší než zbývající dvarozměry, idealizace rovinným nebo prostorově zakřiveným obrazcem.
3 . Masivní trojrozměrný konstrukční prvek
Dělí se na stěny (zatížení ve vlastní rovině), desky (zatížení kolmok rovině) a skořepiny (zakřivený plošný prvek).
Nosnou konstrukci může tvořit jediný konstrukční prvek, zpravidla je tvořena několika konstrukčními prvky – soustavakonstrukčních prvků.
Nosná konstrukce z lepeného lamelového dřeva, soustava prutových prvků a desky, Lahti, Finsko,
foto: Ing. Antonín Lokaj, Ph.D.
8
Zatížení nosné konstrukce
Rozdělení zatížení:
a) silové - vnější síly a momentyb) deformační - oteplení, sedání, poddolování
a) statické - velikost, směr a umístění sil se v čase nemění,např. zatížení obytných budov
b) dynamické - vyvoláno rychlou změnou velikosti, polohynebo směru sil, vede k rozkmitání konstrukce, např. zatížení mostů jedoucími vozidly
a) deterministické - vlastnosti jednoznačně vymezeny normou,např. měrné tíhy staviv
b) stochastické (pravděpodobnostní přístup) – velikost zatížení nenípředepsáno jednou hodnotou, nýbrž pravděpodobnostní funkcí
9
Příklad stropní konstrukce
Stropní konstrukce výzkumného energetického centra VŠB-TU Ostrava
10
Základní pojmy:
+z
+y +x
a b
l
h
d
F2
F1=2F
FF
12
Rovina souměrnosti prutu
Řídící čára, osa prutu (přímý prut), střednice(přímý i zakřivený prut)
P1 P2
1 2
Raz Rbz
Rax
a b
l
Statické schéma –statický model nosné konstrukce
Těžiště průřezu
Prut - geometrický popis prutu, idealizace
1,0,
≅l
dh
Průřez prutu
Prut rovinně nebo prostorově lomený.
11
Idealizované silové zatížení prutů
Bodové momentyObr. 6.11. / str. 81
Bodová zatíženíObr. 6.10. / str. 81
(a)
(b)
(c) (b)
(a)
Bodová síla F (P)[kN], [N]
Bodový moment M[kNm], [Nm]
a) kroutícíb) ohýbající
Nejčastěji vzniká při přeložení excentrické síly do působiště na ose prutu (obr.6.10.c)
12
Liniová zatížení
Příklad příčného silového
liniového zatížení nosníkuObr. 6.12. / str. 82
Silové liniové zatížení – příčné p
[kN/m], [N/m]
Příklady:
• tíha zděné příčky působící na stropnínosník
• nahodilé zatížení stropu [kN/m2]soustředěné na nosník formousběrného pásu
13
• volný hmotný bod v rovině: nv=2
(posun v obecném směru rozložen do 2 kolmých směrů – osy souřadného systému)
• volný tuhý prut (deska) v rovině:nv=3 (posun ve dvou osách a pootočení)
• volný hmotný bod v prostoru:nv=3 (posun rozložen do tří os)
• tuhé těleso v prostoru: nv=6 ( obecný posun a pootočení)
Pohybové možnosti volných hmotných objektů
+x
+z
m[xm,zm]
x’
z’
γ
Stupeň volnosti nv : možnost vykonat jednu složku posunu v ose souřadného systému nebo pootočení.
14
Vnější vazby reakcemi odebírají objektu stupně volnosti.
Název vazby Násobnost vazby Označení vazby a reakce
Kyvný prut
Posuvná kloubová podpora
Pevný kloubová podpora
Posuvné vetknutí
Dokonalé vetknutí
Příklady jednoduchých vazeb tuhého prutu v rovině
n–násobná vazba ruší objektu n stupňů volnosti.
Raz
Raz
Raz
Rax
Raz
Rax
Ma
Raz
Ma
1
2
2
3
1
nebo
nebo
Raz
Raz
Rax
15
Zajištění nehybnosti prutu
K pevnému podepření objektu je potřeba tolika vazeb v, aby zrušily všechny stupně volnosti nv . (v rovině 3°volnosti)
v = nvPodepření objektu je kinematicky určité, zajištěna nehybnost objektu, použitelná jako stavební konstrukce.
v < nvPodepření objektu je kinematicky neurčité, nehybnost objektu není zajištěna, jako stavební konstrukce nepřípustná (nedostatečný počet vazeb).
v > nvPodepření objektu je kinematicky přeurčité, nehybnost objektu zajištěna, použitelná jako stavební konstrukce(větší počet vazeb než je nezbytně nutné).
Vazby (reakce v podporách) musí být vhodně uspořádány, aby skutečně zajišťovaly nehybnost objektu – nesmí se jednat o tzv. výjimkový případkinematicky určité nebo přeurčité konstrukce.
16
321 .3.2 aaav ++=
a1 ... počet jednonásobných vazeb
a2 ... počet dvojnásobných vazeb
a3 ... počet trojnásobných vazeb
nv = v
nv < v
nv > v
staticky i kinematicky určitá soustava
staticky neurčitá, kinematicky přeurčitá soustava
staticky přeurčitá, kinematicky neurčitá soustava
Stupeň statické neurčitosti nosníku v rovině
3=vn
Stupeň statické neurčitosti s = v - nv
v = ve ... počet vnějších vazeb nosníku nv ... počet stupňů volnostinosníku v rovině
17
Kinematicky i staticky určitá konstrukce
Podepření objektu je kinematicky určité
Raz
Rax
a
b
Rbz
a
Raz
Rax
P1P2
MayP1
P2
v = nv
v = 3, nv = 3Prut je staticky určitý(3 složky reakcí určíme ze 3 podmínek rovnováhy)
Prostý nosník:
Konzola:
Podmínka rovnováhy může být silová nebo momentová a splněním této rovnice je zajištěna nehybnost objektu proti posunutí či pootočení. V rovině jsou 3 nezávislé podmínky rovnováhy a jejich splněním jsou zatížení a reakce v podporách v rovnováze. Podmínky rovnováhy v rovině xz :
Fi,x = 0 (silová) Fi,z = 0 (silová) ∑ Mi = 0 (momentová)
18
Kinematicky přeurčitá, staticky neurčitá konstrukce
kinematicky přeurčité, staticky neurčité podepření
b
Rbz
a
Raz
Rax
P1 P2
Raz
RaxMay
P1 P2
a
Rbx
Rbz
Rbx
Mby
b
v > nv
v = 4
nv = 3
s = 1
v = 6
nv = 3
s = 3
Stupeň statické neurčitosti: s = v - nv
Neznámých reakcí je více než podmínek rovnováhy, k jejich vyřešení je zapotřebí další rovnice – deformační podmínky, předmět SSK1.
19
Kinematicky neurčitá konstrukce
b
Rbz
a
Raz
P1 P2
Objekt v rovnováze jen za určitého zatížení
Ve stavební praxi nepoužitelné.
kinematicky neurčité podepřenív < nv
20
Výjimkové případy podepření
Vazby musí být vhodně uspořádány – nesmí vzniknout výjimkové případy podepření, které jsou ve stavební praxi nepoužitelné.
b Rbxa
Raz
Rax
P1 P2
P1 P2
c
Rcz
a
Raz Rbz
b
Determinant soustavy roven nule – jde o výjimkový případ.
21
Výpočet reakcístaticky určitě podepřený nosník – vazbami zrušeny právě jeho 3 stupně
volnosti a zatížený nosník je v rovnovázevazby (= reakce = rovnovážné síly nebo momenty) jsou jednoznačně dány
typem podpory a místem uložením nosníku
Výpočet reakcí:• odhadnout směr reakcí podle zatížení a zakreslit je do obrázku• sestavit 3 podmínky rovnováhy (v každé rovnici jen jedna neznámá reakce)• sestavit 4.kontrolní rovnici
=Rax a b
Raz Rbz
Rax a b
Raz Rbz
Rax a b
Raz
Ma
22
1) konzola
3 podmínky rovnováhy1. ∑ Fix = 0 (silová) Rax
2. ∑ Fiz = 0 (silová) Raz
3. ∑ Mia = 0 (momentová) Ma
4.kontrolní rovnice 4. Kontrola: ∑ Mib = 0 (momentová)
Rax a b
Raz
Ma
Pokud reakce vyjde záporná, směr působeníopačný než předpoklad, do dalších výpočtůpřekreslit nosník a reakce ve správném směrus kladnými hodnotami.
a b
+
23
=Rax a b
Raz Rbz
Rax a b
Raz Rbz
2) prosté podepření nosníku
3 podmínky rovnováhy1. ∑ Fi,x = 0 (silová) Rax
2. ∑ Mi,a = 0 (momentová) Rbz
3. ∑ Mi,b = 0 (momentová) Raz
4.kontrolní rovnice Kontrola: ∑ Fi,z = 0 (silová)
=a b a b
+
24
Rax - Px = 0 Rax = 6,36kN ( )
- Raz + Pz = 0 Raz = 6,36kN ( )
Ma – Pz .5 = 0 Ma = 31,82kNm ( )
Ma – Raz . 5 = 0
:0, =∑ xiF
:0, =∑ ziF
:0, =∑ aiM
:0, =∑ biM
Podmínky rovnováhy
Kontrola:
Rax
a b
Raz
Ma45°
P = 9kN
Pz
Px
5
Px = Pz = 6,36kN
Příklad 1: KONZOLA
+
Snaha odhadnout směr reakcí
25
Příklad 2: PROSTÝ NOSNÍK
0F x,i =∑
0F z,i =∑
3 3
P =6kN
Snaha odhadnout směr reakcí
Rbx
RbzRaz
a b
Podmínky rovnováhy
0M a,i =∑
0M b,i =∑
Po dosazení:
Rbx
RbzRaz
P
=
Rbx = 0kN
Rbz = P/2 = 3kN ( ) skut.sm.
Raz = P/2 = 3kN ( ) skut.sm.
26
:0, =∑ xiF
:0, =∑ ziF
l = 6m
Snaha odhadnout směr reakcíRbx
RbzRaz
a b
Podmínky rovnováhy
:0, =∑ aiM
:0, =∑ biM
Kontrola:
M=12kNm
Příklad 3: PROSTÝ NOSNÍK
+
Rbx = 0
-M + 6.Rbz = 0 Rbz = 2 kN ( ) skut. směr
-M + 6.Raz = 0 Raz = 2kN ( ) skut. směr
Raz - Rbz = 0
27
Příklad 4: PROSTÝ NOSNÍK – superpozice předešlých úloh
3 3
P=6kN
Rbz,P = 3kNRaz,P = 3kN
a b
M=12kNm
Rbz,M = 2kNRaz,M = 2kN
3 3
P=6kN
Rbz,cel = 5kNRaz,cel =1kN
a b
M=12kNm
=
28
0F x,i =∑
0F z,i =∑
3 3
P=6kN Rbx
RbzRaz
a b
Podmínky rovnováhy
0M a,i =∑
0M b,i =∑Kontrola:
M=12kNm
Rbx = 0kN
Rbz = 5kN ( ) skut.směr
Raz = 1kN ( ) skut.směr
Příklad 5: PROSTÝ NOSNÍK – doma – doplňte podmínky rovnováhy a vyřešte reakce
+
29
Rax - Px = 0 Rax = 60,62 kN ( ) skut. směr
-2.Pz + 6.Rbz = 0 Rbz = 11,67 kN ( ) skut. směr
4.Pz - 6.Raz = 0 Raz = 23,33kN ( ) skut. směr
- Raz - Rbz + Pz = 0
Px = 60,62 kNPz = 35 kN
a bc
Rax
Raz Rbz
P = 70 kN
Px
Pz
2 46
60° 60°
Px
Pz
P
γ
γ
cos
sin
⋅=
⋅=
PP
PP
z
x
:0, =∑ xiF
:0, =∑ ziF
:0, =∑ aiM
:0, =∑ biM
Podmínky rovnováhy
Kontrola:
Příklad 6: PROSTÝ NOSNÍK
+
30
Okruhy problémů k ústní části zkoušky
• Zatížení nosných stavebních konstrukcí
• Zajištění nehybnosti prutu, kinematická a statická určitost, neurčitost, přeurčitost, stupeň statické neurčitosti
• Typy podpor, složky reakcí ve vnějších vazbách
• Výjimkové případy kinematicky určitého podepření prutů
