АКА nJ:VИI НАУК ОСС1'

СНSИW ОТДЕ.1Юt ИЕ

1!1!СП1ТУТ llAТlllA Т11111

В. М. l•fopoк~.<w"

KOHTll.H}'A"ThПЫE \IOДE.1JI ОБ~fЕН \ С BREШHllMU В:IJIJIHIHIMП

СУIЦЕСТВОВАНТfЕ P.\BllOBECl\Я

11080Cl!6111'CK 19~~

055(02)5

УДК 519.865.З

Ответственный за выпуск

С'.И.Суслов

(§) Институт математики СО АН СССР, 1964

Введение

Данная рабо'l'а продолжае'!' изучение моделей обмена с внеш­

ними влияниями. Единственное отличие 'N1ких моделей от традици"

онных состоит в том, ч•1•0 уровень полезнос'l'И зкономцческих аген­

'l'О:В оnредедмся состоянием экономики в uелом, а не только ик

собственнъш поft'реблением. Другими словами, полезность аген1rа

может измен.итьсf;, если: изменИ'l'СЯ: потреои1•ельское меню ос1•аль~

ных учасt'ЮW:~iВ экономики. Указанное отличие существенно усдоz~­

няеt• модемь~ !В час'l'ности~ оказалось [r} , Ч'l'О в этом случ&е обычноо р.s.виовесие по Валь расу как 11равило неэф!Jек·1'иыю ( 'r, е, не nаре1'~-оrtтима.льно). Последнее С'l'иыу1шролало noиcir таких оа · ред,елек~й равновесия:, которые 6ы приводили к парето-ош1ныаJ(Ь-·

fШМ СО<Сt'ояниям с одной стороны, и чтобы вальрасовские равнове­

см 'ОС'!'а.вались равновsсиями в новом смысле для. экономик без

sнеши~их влияний - с другой.

Впервые такое равновесие было введено В.Л, Макарошш в [ 2] . Оно получило :название информационного, так ю1к определ11лось с

wомощьn ва.льрасовского в специмьным образом цос'l·роенном рас­

ширении модели экономики• в ко•rором аген·1ъ1, согласно ин1€ рпре­

тации, обмениваются ( 'l'оргуют) информацией о собственном пот­реб.пении. Впоследствии, независимо автором было предложе110 мо­

женме экономики с внешними wщ;rnит.ш в модель с общественНЪ!МИ

това.раыи [ЗJ • Линдалевское равновесие в такоt.( "общественном расширении" и принималось в качестве равноввсия исходной моде­

ди экономики. Оба подхода прюэоди.nи к одному и тому же nоня­

тию равновесия, для ~соторого харак'!'ерно на.пичие индивидуаль­

ных цен зкономическщс агентов. В да.дьне.йwеы ето понятие под­

робно исопедовал.ось в работах [4-бJ, В час'l'ности. в Lб] была получена теорема сущестБО&U1ю1 равновесия в t.l!Yчae nроиэооль­

ных функций распредедени.я: дохода и caIOIX общюс npeдnoяonIOUIX на nрвдпочтения агентов. С.педУЩЮt .nоrичесrцщ шагом в из;уче-

з

нии этого понятия може'f быть рассмо'l'рение моделей с 1:онтинуу­

мом учhстников. Нам кажется, что с помощью таких моделей мож­

но четче опредепить кахие именно свойства экономики ямлются

наиболее ВЗЖНЬIНИ ДJtЯ теоремы существования равновесия. Немало­

важно и то, кахсе оnреде.~tение разновесия окажется наиболее под•

ходящим в этой ситуации.

В ма.~ематическоА экономике континуальные модели иссяе,цу­юrся давно и интенсивно. Изначально их иэ;учение бьtпо, 1-1ацепено

на получение теоремн эк!"ивален'l'Ности ядра И равновесия, ибо

именно такие модели·наиболее 'J'ОЧНО отраitали идею совершенной

конкуренции. Начиная с фущамеи1'альноrо реэупьтата Дж~Дебре и Х.Скарфа [?] , Э'l'а программа получила свое завершение в работе Р.Ауммана [8]. Им же впервые была доказана теорема существова- · ния равновесия { 9 J (ДJJя рын1ЮВ с ко11'1'инуумом аrен'Юв). Довольно noJJнoe изложение э1'0й просШемэ.uхИ можно найти в монографии · В.Хияьдебран'lа [10). Бnocneдo'IJIИtt рr.ссма'l'риамись и '1'оварно-бес• конечномерные моде.ям (с конеЧНШt числом аrеwюв). 11эр:вьtй и на• ибмее эначи'fеJIЪН111й реэупь'М.'1 в этом наnраваении t1ыа nо.пучен

Т.Вьwrи [II), который днаааа морему qщесiоюваюся равновесия. Твхие моде.аи наиболее педхо.ц,...·ДRЯ описания сwr,уаций. коrда участникам экономиаи .· npaoДIRCЛ • npюuucatъ решения с бесконеч• НЬ111 rориэомом JJllaНllP088.IOlll.

IЬмимо чиоtо·...,..ТИЧ8С...rо юrнреса, морем& существо"' вания равноаесu & моделях о ~м are"9Qэ· и вившнюоt uиllIOtJUOI моаи .~ ПО88на и при иауuюtи укаэанной :JЪ11118 про­

блемы со-в"км алра и · ре.ВНОмаа. Дело в 'J.'Od• Ч'Ю если в еко­номИке беа ~х MIUНIA· .. ~ А0МИНИW'$8ОО'IИ СОС'lОЯИИЙ И lfAP& воа~ JЩН118 ectec....., .•. r.т~еное. о,mt0эначно. '.1'О. nрк ИХ tlUJlt&Jlll МО81О NtD DollieC'flO С)СМЫСJI4'Нны:х · '()Dp$Д,8JleИИR доминиwемооw. Пм.19•.,. ..... с>~ом ццрJ • .,." Мь весь-.·.·. на ра&JИЧНl\I ...._~(~;они l\fOrrl со.Ц.р&нь utt Ре. · СОАера1'• ра8'8еае). " •асНо· ....... И8 HR МО17f nравесtи к

. tеореме &MH1811i8~ ltmt~ * ifO n ~. Д11'1'Ь ~ оnис11НМ с~м..а paltfOiJeclUI~· оdр&щенu.а.сис~rеМ&,цен. Пpti­Ull DAte.awto. r.t'l'Odll ра8Щ)МОilе к ~ Qo!Q8Дa.p 11Менно ·в. 'IOJ,t . с~. кQrда· 8*rt ·8HeautИX JJJ1иiOOttt.t:JнaчJiм11eн. · ti)cne;v!eto .. Про1'8 ДОС'l'И'IЬ . JiЩlocpe:Цё'l'NHftO ~С·тРиlая. КОН~рьнj1;J М0 _;, .· Д8.1Ь t 'tatr каJС ~poЦe.Ц.VfW J>eMIЩKpOS4JiSl,lt 1lacto пp~ВOAit'f • СНIВ~ . Н1111 э.Jфеnа В.!fе111Ю1х маiщнИJ\. · fЬэтоuу, J(~e'1'ca еесыщ эаv.mчи"

' " " '. - _. ' - '· ~. ' . · .

. · .. 4

:вша, nроизвес'l'и выбор опреде.пения доминируемости на основе 'fе­

оремы эквивuентнос'l'и, находясь уже в рамках кон'l'Инуа.J1ьной мо­

де.пи. Здесь необходимо указать на аль,-ернативный подход, ис­

поJJьэованный дхя nо.яучения теореын эквивмен'!'ности а {12] • В этой работе рассматривалась модель с конечным чис~ом учас'l'ников, а

понл'l'ие домv.нируеыоС'rи оnредел.1U1ось в термннюс нечетkих коали­

ций. Несомненный ин'l'ерес представяяи аналоrи э'l'ой теоремы,

сделанные в терминах рбМИк рuнхов, которые 6WJ1и по.яуqены в

[12]. Оба эти результата noзвoлlW'l' 1щцея·rься, чrо теорему о совпадении а,цра и равновесия можно до1t~а'1'ь и в общей ситуа ... ции, имея деяо уже неnосредствеюtо с континуuьньw рынком.

В эамJDЧение O'N8'1'Иl4, Ч'l'О с техниче.::ной УОЧКИ зрения ока-

88.JIИСЬ noJJeЭIOlМИ неко'l'Орые .щеи из хнкrи П. Райоа [1зj , исnОJiь­аующей двойс'l'вениый nодход к мэучеНИI) ~кожщик с общеотвенннми

rомрами <мя конечноrо·чнс.~rа аrен'1'0&). Особую помощь 01tаэа.па 1помsщутая 11ыше рабо'fа Т.Выши [1I]. Мдеа рассмо'l'])еть в качес'l'­ве совокупности доцустИМ!ilх расnредuения еаrономики Jонус нео.,..

рицатеаьнwх неыеН'Юв в L_( J1 1 0Т. /U1 Rt) ~ бW1&1 в чacir-H(IO'fll, sэ нее ЭEU{МCt't!O B/Uia. ..

f'асnредепение •Nриа.ка no nа.раrрафвм оле.цущее, В § I (!Qрt<У~ется ыо.це.1ь &ROJIONИXИ • дае'l'Ся РQИЯ'fие рерномсия и рдпо.~rоаения, · ДОС'1'а\"ОЧЮ18 даа ~Р8161. с1щес'tвованиа. Во в'l'о" ром fJВ.parpeфa оnисывае"011 асонмноvернм wдоь и .Цокаэw&аеNя 8cnoмora'l'&Jiьнaa ~~ t'penl Царе.rр$ф co.цepu'f дохааан.1ьс~-1.!О основноl ~ремы сущесtвоJаНИЯ i ·а в че'1'ве])'l'<Щ приводится 'llQllМвP еконоt.Щхи, yдouetвopaliqeй еае~ tpe~В(Ut11iщ теоремы. -. '8суsДаеNя необt~тное fCЛ.Ollltt ~1'•~*'1• ~,_.,0'1'11 npeдnoч-'ff!IOCA •1tOИOUIAeCltQ eremoa. . . .

НщсоlНЩ, lk1"J'OP 11Wp8.i8.&f otюiJ мсаре~ СJае.rо.царнос'l'ь ~.И.О,саоцv, coВfmJ 11 ~ '"°JI01'9 ощщ en~ftelЩ)1» ~ 8 pЩJote. . . ' .. · ... ·. -.· .. · .. ·. . .. ··. ,.

· 1 i. и.,~ ~~,во •~~ее~ ~н'1'0в • MOJWИ ~··() .......... ...,,.~~'. Тfopewa сJЩОс'tвоtщ.!"•11 .,..,~~она.• · ~~ 'f!~ · · · .. , ·~"4·~,~~·:\ --~. --. - -; :- ', J' . ~--

а,е.-н"t&РfЮ•. ~...;, *1~· · ~,"~ " • ._. ... 'IЩС tJO~ ~~· •••tto~cщa!t Ч!!lt"\f <~fИКЩС) i в д~щ-- а с~ ' , .- ;· .... : _"--,. ·.. ' . : ,',' •, " .. •, :-·

б.

вокупность обозначается символом }/ • Мы считаем задв.ннъши на r.с-~ожестве fi- некоторую G' -алгебру его подмножеств Ог и конеч­ную положитеJ1ыtую меру. определенную на ( Л, Ol). Таким об~оu фиксируе1•сл неIСоторое пространство с мерой ( :fl, С!,Jч) • Агенты экономики. '!'.е. элементы множества J/ , поrrреблsmт про,цукты или товары:. общее хо.юtчество их типов конечно и равно еЕ!Лf. l~змернмые отобрuеиия из li :е . liг: - 'Н) "Л ~ !R: называются расп­ределеhи.ями товаров. Мы говорим, что распределвние -х': JJ _.. 1г: допус1·имо, ecJUt om Jll ... существеt:но ограничено, т. е. есл» ко­

нечна величина

€4;1. ~нр /'X(t1J/;; /hf (е>о/ f'X(l:.J/ !':С .;1'-и.€'. йf::llj (#f- .11

Символом l.,.. { 1/, {}/, J!f, i(e) прИНЯ'l'о обозначать пространство всесозможных 'J'tt'ltИX отображений (фактор-классов) со значениями в // (факторизация опреде11яе'1'ся СJЩЦ,ующим отношением эквива­лентности: ·Отобрщкения ,f.. и g эквивалентны, есхи принимают различнне значения на множео'l'ве мерw НОJ[Ь, см. [!4] ) , это прооf-раиство банахово относительно нормы U. 11.,. , мо'1'0ра.я зг,цае'l'Ся

фoplqJIOЙ:

11:f1100 == f!_,, н"р l .f r4l / , .:f. t? L.,.. ( /(#). G~~ f

В дальнеИшем мы будем чщ:то обозначать L- ( 1/, tll, .JU1 IR ) бо-пее кратко - L_(l<'j или nросто Lco •

Итак, если множество всех доцvстимых расnределений обоз-

начить симвОJ[ОМ Х • то, по определению, Х ~ L;:. ( tКе) " множес'l'во 0'1'0бражениR из L,,.Jil'} , нео'lрицанnьЮJХ ;и -поч'l'И ВСJ3дУ В .J •

Кзждому участнику r. t= :11 в модеп:t соnоС'l'амен вектор ero исходных запасов vroJ€ il' , причем отображение w: r# _,.. /l' zrO'l'opoe nри Э'!'ОМ вознккае'!', является доnустИJАIМ расnреде.пениеы.

Ч'l'обw эакончьть описание экономическоrо areН'J'a необходиwо оnредепитъ ero предпочтения ИJJи вкусы. Предnо'l'J.'ения учас'l'НИков

_описwв~тся с nо~ощью_~Е!чно-мнощ.~с:твенноrо _9~rобраеЮ1я · .. _ 9t".): А•Х -~. 11но•ество 7'r11,x) сле.цует понимать ка.х совокуп­

ность доцус'l'ИМП распредеаений, не худших :х ДJIЯ aretrta. ае 11 • В ДQJrьнеАmем мw будем таJа(е исnопьзоватЬ более привычное обоэ­

наченме :х ~ :.t' , которое означает, что т 't: J}r., :я.) " в соою очередь запись -r-f.-x' эквивалентн~;. тому, что x'~·?rи,z) , но

7 i )},,, "t') • MJIИ моде.11ь зкоНО!.tИХИ обозначить сиыволом Е.. ,

то определкющие ее данные 'tрп,цинионво за.nисывают :э сuлее кр<tт­

жой rf>opмe:

С= ((Ji,Ol,j"), 'У(.,.), W(.}>

СеИчас МЪ! опин;ем один npнu;ep такой экономию~. При:меы O'l'··

резок (О, Ij в качестве совокуш-юс•rи экономических a.f't;H'l'OD Я ы рассмотрим на [О, I] бореле векую G--алгебру его подмножес1~в совместно с меро~ Лебега JЧ • Предпоч~:ени1\ агентов оnредедNм с

помощью функций полезности, которые будuн представшtть кtш су­

nер~юзицию функции типа Куо6а-Дугш1са о~!' 11ес1{Оl!ЬЮ1Х параметров

(фушщий) s отрwкающю: опреде11енные х<::рак'l·ерыстики распределе­

ний t'Оваров. Э·rи харак•.rерис'!'ЮШ для разных агентов могут бы1·ь

разаmч:ны, но оощее их чиело (ддя разных щ"ентов) ограничено"

Кд.щ;имер, в щэ.чrsс•rве таких характеристик MOJPiO взять <fi't'шщии,

ЦОкi>-зыва.ющие минимальный уровень потребления: Itatюгo-щ;:~r; това­

ра. Именно t определнм набор ':3 t функций {.; : Х _.,, IR t i = ,..,.-е. m формуле

(I)

3,цесь ~: означае'!1 ; -ю 1соординатную функцию распределекил х , Примером характеристики другого типа мотет служить Юi'i'еграль­

ная оценка уровней удовле•rворенности (с ·••очки зрения нe1to·ropo"· го фиксированного аген'l'а. o.t: [O,Jj) набора.ми товаровt которые потребляются отдельными аге1·тани экономики. Формально nослед=

l'!ee ножно определить сде,цующим образом. Цусть g(i 1 R~ к {0,1]...,,.

_,,. i<._ - осrображение, удоме't'Еоря.ющеа усдОВИН14~

I) для любого s ·~- [ 0 , ;1] функция _ 9" (., s)' J?: __,,. ~- во1"ну'l'а 8 не= nрерwвна и MOHO'l'OHHO Н5 убывш~'I'i

2) для люб_оrо ~Е f(, фущщця ;;"' 9, .);{Q,Jj ~ i?.,,, измериыа. Теперь мы можем положить:

1

:f. (а,~)== Jg с'}_ш,~)J$-. rл.GX -е+я о 'ц

(2}

ето и будет JtнтегрtJЩьная ха.рмтерис'1'.1цса,. Здесь чис.по 3,,_ Сж:щ ,.s-) асожно nоюшать хан иНД11видуа.пь\'\)"11 оце~-щу е.Nнтом G€ с.:, J.] '1'0-

ro. что агент S!:'Го, 1] no'l.'peб.11яet нЩSор 'l'оваров но

• Итак. в цчест&е фую<фfи nо4езнос'1'и учасf'!iиха аконоWИЮ1 .. ~-= tv,.1) ЩА оозьыеt.t сlwИ!Щ}iЮ % :Х -1" /( • оnре.цеJ1еину» с хю·

?

мощью равенства

(3)

~" ", 1f+1 .

гдэ на6(;р чис~ел· ~ t;{&Jf;., удовлвтвоfтет условиз:н!;; i; (c.J = J_ ,

1.-, (с,) > о , ,: = 1.--i~j • Далее, юз.к только эа;1анw индивидУальные

фушщии 1101н~зност-1'! , .,. ::<;-<J • мы можем определи'!'ь функцию -U · , [о,;] _,.. 1f< •. i!О,.'l&Гал ll r-;, с.) ::__ V 4 (Х) , xt:--X i

и .с z.,,_ 1) • Наю:шец; ес7н·: " ;tэ.чество исх~1диого распре Деления: 1>/f:_) ' -v

ВЗJI'!'Ь nроиэ вольнът~ ~:~1еыент ./\. ~ то мн получим модальный пример

экономики Е -

<-,... J ~- -\ LO,J. , t-( -' 1,./ /

(4) В четвертом rхарп<'j>е.фэ мы ттриледеы доащши:теАЫШ~i услоеил

на о•.rсбра.т.ения 3:!?~-•1°,1Jz." Rr ~:J(.,.,ч)::: rfJ,1 , а t=-Сй,.~] и ·i. Jl . ...,, ~ i{•) ~ ({,(q) i,J4)," '-ft,,(c,)) • qt•/:o,i]. при J3НПО!!-

нении ноторwх экономющ (4) буде·r удометворять всем услови.пм теоремы сущес:твонэлия :равнРfiесм.п.

: Jc аналогии со сЛ)"''ш.ем, Rогда /1 конечное ююжес1'Бо. мы рассмотрим t~исгему ш-шивидуальных цен экономических агентов.

Гlричины" rю которым мы это делаем, та:кие же как н 19m э:кономик с конеч11ЫМ числом участнnков (сы. [2-~1), IЪд 1шдиrщцуальной ценоft агента i. Е !/ мы будем понимать проиэволънwJ:\ э.nемен'l' cott·· рпжен:ю.-~ к Llx>{lit() :пространства, !, •. е.~.<Wнкциона.n y;~(L.,,,<i!',d - - -~ ИзМС'l"rЮ J ::f'ГО ИЭОМО:рr',f}-ШМ к 'L_.(R ]) IlfJJJ.Яeтcл npoc-rpaP.C'l':f\O См AJl, /'4) zюех ii:OHeчoo амити11нюс фуh1щий множества на. (Jl,01}, абсолютно непрерывных относительно меры JI< , см. [!4]. В дмь-нейmеt.1 для краткости вместо fo(.J,01,,J<} мы пи111ем просто Се; • Далее, иэоwорфн.ым к (L<>:>(l?PJ/ будет, соответс7венно, nространс.,.. во ( (" ).е • Здесь (lt1/' означает е -кратное nроизведвние f.; на себя. Смстеыой индив1щумыwх цен нааым.етсн с1ШJ1ярно ,/' -ин­тегрируемое отображение '7Г иэ ./1 1J f/" / • Нмоюmы определение схалярной кнтегрируемости. Цустъ ':1:' ... неv.оторое банахооо npoc'1' .... ·ранст!.!о-;·а"?-:.. ero "сопряженное. n;;op;.;, чТОо'l'Обр&;.;Юiа /:А- ...;.r сиа.uрно измеримо, ес.ии измерю61 отображения (./.,~> : J _,. Р д:llЯ !.!сех :х: t: Х • В иатем cJ(f'Qae О'Юбражение r: J _,.. 1 f {i 1 е будет индизн,цу1Э.Jtьноя системой цен, ecJJи интеrрируеww cJ<aJiяpнwe

о'l'Обрахения < -х, '/(.J) : Q _,.. < ?(, 'Тr~J> nри JJюбом х t l,Ji?r)_ YcJIO!'IИЯ сt<а.пярной ин-rеrрируемости отображения 4': ;lf - *"" оказw-

вается достаточныы, чтобы сущест:еовм 1'W'1.'XЭl'JPЫ! от f. по проиэ­волыюму измеримому подмн-:..;;;:ес'l'ВУ [с j} ~ ~ i!Э~П,реде.:rениz~. ин·­

тэгралом по Е о•rо6рsженин 4' на.зы:еа.е~r.с.а з..~~т zE.; 1·" , дл!\ которого справедливо <.·t",·.r/ :-с j<f'(.p,·x.>d.i"' при всех 'Xl"t·. В литературе такой интеграл обычно &$ы~1· №11f1':В.гралом по Гель···

фа.иду (см. [15] , с.53). Состоянием экономики

допустимое распределение,

Со~:;топние эконоюши ех ,7П

распределение х :

называ.еах:м .S91Jm tfa:, m) , Рде х -а '7i - с,иеmе:м.й. jft:Щ;J,t!iJЗИДYaJJЪHЫX ЦGН.

сб1lJ!аJ;IСl:Щ,ЭС1'>1>1н1пп <ее •Ш сбыа.нс.1ро ъанr·

(5)

( {11(.)dJ", А

lВе~К~·ор f с:- /i?r;_ ~ фигуриrующнfi в форм:уле • y·r;;щьиi{cii на;"ывв·t·ь .()бЩественной или рыночной ценок, Ы.ы гонорщ .. , что lblOe состояние эхоном~1ки ( юш с;1.;'r•ема

оонно.11 ценой Р'" , Е'~ли вентор р

В· Дмьнейшем: всегды. ечи•rаеы рш101шые цены 11:;1)миро1:1ашп1м~~ 11 1эыб··

раrпn.-'МИ ИЗ ~f1-10ЖG(:'!1 :Ca .:i-- :::.:.~ { р ,_~ / ,·/ р) I / ~ J / ( елг c:1)1Jf1·"~ !!'ельно, если fc."c!;1,;10 , •ro н рuночные 11е.;1н ~нщулРРШ~),

Сейчас все готово для: 'I'UГO, 11тобы :;::·ня•1·ш::

нnаsновесного состы1ш1я зко1юы!'.ки Е

11!LJ>OC!t'JЭIШC'l.'!30 \! df' ". Hl?.!to'l'Г)pot; отоб'рf:_'f:еt:Ф3 ИсJ в j ~·J;ЮpilY

11/JIIIO о!J:•ображение ::<:: Ji ·~)'; и:змерич:~ ec11:r юш ;шбО!"v о·иt~··;гот о

;111о;цмножества С:;:: а: иэмери-,;о м.ноr.:э1~·1·;.;::, ., с 1';)

ОПР~ЦЕЛЕШ1Е I Criaл,".HC:H!J(J!\SHHOC C·Jc~ ! с11ЫНе (;; ) ! ::m'Jfci."

СО!ЩННОе С ООЩе~'!'ВЕ!ННОr\ ПОНОЙ !i- 1 t1118kt.13Э.G'!'CЯ р8!ШОВt:(;;\,1!/,~ е,: •

ди для. дюбого и;;мершю1'0 отобрШttенни ::..:. . Л . ..,,х ·1·1:шо1 u ! Ч'!'О

(><'(«)~ i' ДЛJ'! J'' п, в .. о. (' 11 ВWr!ОЩ!Я:~Т()Я нepaBOHCI'!JO

ПрИ'lен в (7) нера!!енс·rво с'Грого~, дла 11(!1-nоц-тv. всех 11 с !! ~ удовлетворшщм.х уелоЕию aac.J >,;. -:t •

.Условие (7) Аtожно рассматривэ:tь ка1t ан1ЭJ1ог nрю:1Циnа W!У.С>«­ыиззции t!олезнr:И'!'И ЭКОНОМИЧ6СЮiМ}! аrенr-аии на б~рдже•tr!ЬIХ МНОЖ6С··

т»а.х. В данном случае Э'l'i.t ыноJ;1ес'f'м мо.жно nредстаьить в виде

13 ra, if, 'fJ) "'Г;; е·)( f <.t 1 -ё/(()) ~ (р', w(r;.J)}, r. .f-J/,

9

Хоти в ot:1\€M СJ•\1чае эдЕ:с:ь и t1e1· полного сов.rшдениfl' (даже, с:::с-

Ef:e dJo;;JГ:<.:ГИJ! /'.РС<О.'1::'['0ЧiЮ ;;роэра.ч~!а и можно ГОВОрИ'сЪ, что вве­

,;ц,:iШ{)"; 'Ш'"'·" r:r;нятсrе рнвноРес:и,, •'t>pt:.Hf'CЫIO со С'!:'fЧЫ! модели об-

~Ji п,г-· л:t.:i<1Я r-e:·~~ 0r'i)OJл1н ·;. ot:/•:.;ori{o;ec ких нe1'ttj1opн1t1x nрос.транств

·' 7 •7 I \ ~ . ...) ~ "

JЪr.~ть С~ н "_ r,.:it•rop}TT.JIO прос'1'ра.rют:еа. Гоrю11ят, что na-_) !':Р1Ходи1:'оя ъ д!юt1 стr1ен;-ю:.~'-r~~, если ОП];.J(~делен би;шней-·

(е1\МЯ/>i'<1 nроиэr,едс)r1:1е) на G" Г' , его значе--т-ч-нr обс..-~·;J.:1.Ч&JОТСЯ нак (~~;; /) , .JE- {[ ., !~ Р ;, &;ли (; - тоао~""

-4 -логичес'><.\нэ ве~;~·орное прс:•"':'.'Р''-НС'.НЮ, ю через i.:; обозначается

npor~тpaнl''t'DO всщ: нenpS_!;i'БHt:X .i'И'!-ШЙНЫХ фуню.~ОfШЛОЭ на с; . Симвоr~ Р) озЕ"·"ает t;:,абе!Jш;"ж: тополоиш нп с; t дшr :кото-рой С/~ ь·' (СООТ!ЮТ,;ТН.'{ЮЩl-'iМ О6р~1.30М ОПределне•rен {.(17, (i.) ). Си.лы~ей!;•ан локально~:щ.~пук.r::м тонслогин ~ш. Ci· , .:~л;; которой _ G'"" Г' -на.~;.1ваетt>я тщюлnгиэй Маюш и обозначаrи•сл 1щк r(с:Т J~i. С другой стороны, простра.нст:Rа. G и (;" находтrсл я ес'l'ест1юн-ной дrо йс•1•:uенности, заданной 1-'iз сооrноwения < ,'/, -f ., f' r !! ) 91? Cr , с;" , В этом (.~.11учае тоrюлогип 6'( СТ, t;~) на.зывается: слабой, а (}'(Ст", Cf) - ~1ло,6ой ео Звеэ,r,ой. Прострt.tнство L.,,(IRPy ямяется соnршкенннм к L, (/,!~} ~ билинейный фующиона.л, опреде­.11mсщий 11воf\с•rвешю~тп, зэ.дмтся ф0рму110А <. ./" х) :.-: J (./-(.), x(.J)d,J" :f ~ L, огеJ t хе 1~ .... J 1111) • Эта двойстt~енность определяет на L,,., (#2f) тапо.nuгии - <;лабую со звездой и Макки.

ЛI, Д;1л ,pt -no~tт" всех и G .i а) отображение 'J'(a,.) опреде­.11яе'!' полное, трrоiзитивное. рефпемивное отношение предпочтения

на )[ ; 6) r;ри тобом х tX множество ?(11,:i:) DWnyRлo и замхн;vто а топологии Нажюi nростраж~-rва L,,. (R'J ; в) при Jiюбок ;н.·Х l!wno.11няe'l'cя вмючени~ 1'(4,Х) +Х с ?ас1,х). .

Пусть Х w- ... [ -нХ l f-;.: .114 -' S w d,t< J • СиМ11олом е."'с.) мw обоэначtlем о'Юбрuеняе из А в R~ , определенное по формуле .fJ(")•(4) .•• ,o,.t,o, ... ,o) • t1 fi i . Соответствею-ю, ef.J эадаетоя из ". ООО'lНОll!еНИЯ e(f<) :::(.{, J, .. "1). а (·JI.

А2. Дл11 ,JU . -nочти 11сех а t> А и любом а) j"·t,., ':?(c;,:i:)-= frt-X/ f>; :t J ; б) сущестsует кое, что ( f.e ..-Х) 17 Х...,,, ::::> ']>(и, :r) ОХ.,,, при .11160111 _; .,. i:C •

.r е ,·"f,.,..,X f-= f(ц,х) >о

; в) 'Х.~~">-х "

та-

Предложенные здесь требованил Аiб) и А2а) являются услови­

ями на непрерывность '?сч,.) , ч Е-1!- , а Аlв) означает монотон­ность предпочтений, т.к. в нашем случае Х"' L:a (R') • Предполо­жение А2б) можно трактовать как слабое условие желательности

всех типов товаров для всех агентов экономики. Фактически оно

означает t что для любого агента о Е- Jf и распределения х t' •-..tu.7 (1 ~lr.11cC

существует минимальный уровень о(и,z)>о потребленияУагентами экономики, единый д.ля всех сбалансированных распределений, .ко­

торwе "не хуже" х для а €- !! , Это условие можно сравнить с 'i'гебованием ?rr., х) с «"fq.v Х • если л е ."1.1f11.нХ , кот\ .)Ое в случае конечного J1 будет более жестким, чем А2б). В литерату­

ре иногда используются предположения такого типа (в СИ'!'Уации без внешних влияний), они обычно носят технический характер.

Предположение А2в} представляет иной тип желатеяьностир cwwcл

его ясен из формального определенид.

АЗ. При любом -х "'Х отображение '?r., -х): 11 - г!" измеримо относительно топологии rJ'( L,,.,, L,) • ин.ц.уцированной на Х .

Это сугубо техническое предположение. На.помним определе­

ние измеримости многозначного отображения. !1усть У- - тополо­гическое пространство, 'J, /1-? У - точечно-ыножественное ото­бражение. Говорят. что отображение Т измеримо, если для любо­

го замкнутого подмножества Cf с У измеримо множество

') ... ( <;-) :: { и f' :;; / J( r.) (} G- -f "!. А4. Для ,JU - почти всех а.: /1 1.rrr.) >о , причем fvcf.r>o. Есди с; G ре , то обозначение !J>O оэначьет J' :!? о и l t" ,

соответственно, №.! пишем /»о , ес.1н1 JJ;.o при всех J,,, .1.-:е. Смwс.11 данного предположения совершенно ясен. Оно озиачает, что

иаждwЯ агент иыеет ненулевой исходный запас хотя бы одного то­

вара, и для любого типа товара общие его заласw ненулевые.

Нихеследующее усло~ие мо)(Но 6ЫJ10 бы назвать условием пото­

чечно~ насwщаемосоrи эконоwическюс агентов. Ес.11и ,у, z. € 1.-.аО/), to символ ._r11 :z означает 1 как обwцно, :~11 if, ё f.

А5. Существует константа }(:>о • 'fакая, tiтo ДJIЯ JJ'Jбoro сбмансированноrо рвсnр1щеяения х t' Х

Необходимость в nослед.нвы npeдn0Jtm1eни1r 06ъясtU1етск tе)(tiК­ческиwи cooбpueни.f!Wlf. Константу J< , фмгyp1tpYfJUtY11i эдещ,, мoiwo

II

экономиvески осмысливать как некиi'\ максимальный уровень потре­

б;rения 'l'Оваров" принятый в дышом обществе (экономике), Моr::но

также говорить с моральных нормах, общественном мнении или прос­

'!"' о фаэической невоз~.южности по•rребить их большее 1>:олич:ес·rвоо

Сс:мо /М! это :rr:ловие о:значйе·:•, ч1•0, если распределение с6s.ла~сс:и=

ровано" 10 эге "обре~~э.ние'' по ве:{оторому, доста·rочно большому

YJX.!FHIO i< не прю;юди'l' ir уменьшению полезнос·rи агентов. Т&JРЕ2Л.А ( освовная). Еr;ли ,{t .,.. метрический ~сомпак.т, jLI -·

мера Ре•;,она на JI 9 а ЭУО!юмика Е удовлетsоряет предположени-

ям: АI-Л5, то равновесие существует,

Докаэательс~·во Э'rой •rеоремы будет состоять из двух э<r<а­

поно На первом 0 ю § 2, мы ~·с:1'А.новим вспомогательную теорем;'/, в 1<01юрой утверждается сущес'l.'воrщ.ние "равновесной парыi> относи -'!(3.l!JЫIO п1юизвольного 1шнечномерного подпространства простых

функций 1,13 L,,.,, (Rt) , Ери до:казательс';!'ве :этого факт4 использует­ся теорема Ка!\,\'таки применительно к надле~r.а.щим образом пос'i'рО··

еюшм ~ыnунлому комr;:ак~r ~ '.!'очечно-множественному отображению.

На втором э•гапе, в § З& мi-,.i докажем собственно теоремJ сущее'!'~

~ю;эа:ния равноюесип 13 Е , Доказательство дос•J.'иrается с помощью предельного перехода 110 сети :конечномерных nодnространств прос­

'!'ИХ функций 9 относи 'lельно их. »>равновесий"', сущестJЗ,ующих в cи­

:rry вспомога~ельной теоремы.

§ 2. Формулировка и доказательство вспомогательной теоремы

Сейчас мы приступим I< пос'I'роени:rо ":конечномерного" аналога

экономики е . Цусть .:f,., - произволь11ое конечномерное подпрост­ранство простых (с'!'упе~а.тых:) функций е. L..,(\R ). Напомним. что простой называете~ функция, опрзделенная с помощью конечного

разбиения множестВ& J\ на измеримые подмножества. Если J\, 1 Ai.;·· · ·, it" - разбиение .~ ; причем 41; .i t: Ot 1 ; = I;;. , то npoc'l'Oй буд~т ~нкцюt (масс экzивален·rнwх), заданная набором чисеп .{ S..~ \;.i ИЭ усЛОВИЯ ~l'-)" ). ~ ДЛЯ j'4 -ПОЧТИ всех <\ Е- .\j , 3 "'_r;;. • Если разбиение А фиксировано. то множес'1'во всевозможных простых фуыщиR, оnредепенЮ11х: с его помо:цью, обрг.зует конечно:'lерное

мхторно~ подnрос'!.'ранство ··-&r- с L_(R) ~Очевидн::\, чтu nодnрост­ра.нст~о J_F" , где ин,'1,екс Р фиксирузт некоторое разбиение .Н., \:О!!м~стно с ющvциnnванной из L 1' Jt О!. "" \К) тополоrией r-- ЬС3 , ; "1 - ' ,

12

(нормы) и порядковой структурой будет изоморфно , как уш:..·· рядоченнос нормированное векторное пространство. Далее, обоз­

нг.чим через ;f.~. -· ~<онус нео•rрица.тельных элеме!И'ОВ в ~ , м.о­торый' по построашш, порсждаетсл !Ф!fУСОМ ИЗ L.JQ.'1 по форму·· ле ;::: ::.. ;f."л L.;: о;~\ ' в начес'I·ве допуr.:тимых распределений моде~­

JН! Е1= мы возьмеммножес'I'DО .:Ь"'(3_'::.')~ • изоморфное, очб -. ~ . . . ВИДНО, \R. .. , АГ8НТЫ конечномерной МОД8ЛН t,i' ОПИСЫВаIО'!'С!l ИС-ХОДJ;Ым простр:шством с мерой = ( Jf ,01 , \") , "нача.JJыюе" распре­деление товаров таюке ос'!'эе•гся прежним ·· W<..) • Предпоч1'енин

F учас'I·нин:ов из Сг И!i.lJ.УЦИроваtч;~_ нредпоч·rениН11и модели .._, , ОНИ ОПредеJJЯЮ'l'<.:Я ПО форМ:/!1Э 'У (u. ;•) ~- rJ\,ч., ~) (\ J.'э 1 'Xi;- .;.'&, о с.. Е- :!! • Таким образом, щшно•1~ика Е., - зто 'l'ройка

Ь ~tачестве системы и1щив1щуыiьных цен мы буд~м рассма'!~р&i-· ' -f' ~ . ( р' '" 1 r, , ват.ь ин•rегрирусмLю отображени,-, из-ft в o1-'J =l_~"'\c1-~J 1 <1,х/~о,,

-x<;;f,;;\ • Ска.лярное проиэведе~-ше(~;,<> элемtJ1гrа ~t- f/' на эле -ме:а• ~ е Ь- мы час·r·о оудем sаш~сыва'rь ь ь1-ще < :, , .,., ) "" l -1- "'- ...\ )" ,

Под знаком ин1•еграл& здесt. имее•х·ся !HJ\i,Ц}" функция о.__,,,.(<\(-.\, цс.\>

"по'l'очечных" скаллрных uроиэведений. Из пострuёння и с1юйс'I'Е ,,,i~ r •·

nоложи'l>едьного конуса в 1К очевидно следует .1э "" j'S> .

Мы говорим, что система цен и-;,.' .J\--·~ i>' сба.~rансиJЮ.ван<:t, если найдется ьектор rf' Е fК\, , '!'акой Р что нрн зщбом ~ е· Js БЫnолняе'rсл равенс•1•1ю ~<"F·C.),'{>ci.J< =::<:"", ~~;J.J<). Это~· мк-· тор :r.-E ·w_~ мъ1 будем называ'l'Ь, как и в общем случае, общас•.1 .. "

венной ценой. согласованной о индивидуальной система И ц1:;н 'Т~-<..)

Состолние ( 1.r ;\ г.) сбалансировано, если сба;;ансиро:ва1ы расп··

редение 'X.r v. сис•1•ема цен "if . OIJPEДEJIEHИE 2. Состоянн~:т равновесиff ыодели ~ нaзiJiilвa.e·t"·

ся: сбалансированная пара t ::К.F ,~·F) , ко•r•орая для ['4 -notiтw всsх ц Е- :\\ удовлетворне·r свойству (8) -

<1Ifl'c"),~) ~· <~ ,w(v..)), 'df?c.o.,-XF). (8)

TillPEМA ( всnомога.те.льная), Цусть эконо~.шка. f. удов.жtтьорл-

8'1' nредполажениrе..t ЛI-А4. Тогда найдется чис.nо ~>о » таиое 0 что любая модель Ev обда,цает состояюtеы равновесия,.;.""~,) тuмы, что 'iv;.8~ и ?"»о.

ДОКАЗАТЕЛЬС'ГОО. Предварит~J[ЬНО ьщ за.метим, что 11 ыоделю Е., бур;ут вwnопненw предположФния Аl-АЗ, при условии эа.ыонw r ra:

13

ФОР~4J'лировках множества Х на .Ь и отображения 13","~ на 'l\. ,.) Действительно, ввиду конечномерности,пространство \-J_'P")~. будет G"(l..,. ,L,} ·замкнуто как rтодмножество L""'(~() . Далее, так как ,f.F - подnространство лpoc·F..rx: фунв:цин. Бну'l•ренность конуса ..fЭ Бзятая О'l'носительно (!" ''{ , соБnада.ет с множеством ~ ... -\- Х f'\ (j. ")~. Неnосредственноя проверка показывает, что из этих двух смйсте

следует сnраведдивость AI, д.2 для модели ~? • Если подмножест­во G,.c J'э замкнуто Б топологии ии.цуцируемой нормой ~.11.... , то оно будет замкнуто и в слабой со звездой топологии, индуциро -

~ ' ~анной на (.:!.~) • ибо все отделимые топологии конечномернwх про-стра.нст1'3 coвnaдnJll.1' между собой (см. (.I4, I? J). Следовательно, G­буДет ( (L°". l,) замкнуто в l ... (~'), n~скольку тако5wм· ямяется \iг>r;_ • С друrой стороны. так как <'S>(.,'1-")-'cG:'):?c.,~)- 1 (C\-) при .пюбом "1..~ J:r • а множес'l'во r'Yc. ,'!:)_, ( G.-) -измеримо, то по оп­

ределению" иэмеримwм будет и отобрsЖение ?$>(.,'r..) • Таким обра­зом, мw ус'J'8НОвияи спрэ.веддивос'l'ь предположения АЗ ддя моде.пи

.tv:. Вначале мы докажем спедующ,ую лемму. Для произвольной из­

мериыой на ( А,О!.) функции э символом ~~ мы будем обозначать множество i ,._'" :11 \ 3<«) ~о l.

ЛЕММА I. Цусть д, .~ •• " .• ~ интеrрируемwе на ( J\,Q 1 ~) ФУнк­ции, удоелетвор.mощие ус.nовию ~ ~; d.J" "о , : " i;"S , и 1. их линей­на.я: оболочка. Тогда. сущест11ует чис.ио g ... о тв.хое, что для .11юбой

SE J.. справедливо J4 ( 1\;) ~ ~. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вo-nep!IWC, заметим, что ее.пи ~..,.о , 'Ю

.t~" ~; д.я.я .uюбоl! функции ~ • 0'1'СЦЦ~ сле.цует возможность оr­раничиться рассмо'l'ренИеМ JIИШЬ 'НХ 3=,Z. .>-;~: 1 ДЛЯ XO'l'OpblX

\ ).~ 1 :!! .l ~ "' L:":. , •• Ут11ерждение леымw будем доJСSЭwвать, 11едя ин.цукцию по 1> •

При :; "t утвера:день~ очевидно, noxueм, что оно выполняется и

дяя S•... • ес.nи спра11едлиео для <:. s i..-1 • Предпо.nоJSИЫ против­

ное. В этом сJ11ЧАе можно вwбрать nоспедо11ательность фующий. ..... ("' . + ~-

~-.,.. ,f. )..: ~ ; , 11= г.- тaJC,YI), что J< с ils. )- о цри "'"'""' • .,,.,э ограничения общности моано счита'fь nос.11едоеаоrе.1ьности чисе.а

i ..... ~,\- ; . ...-... схо'дящимисА: и npeдnoiara'lь, вви.ц,у с,цu8нноrо -·· " ' - с:, ... ) . -Jllillle замечания, Ч'1'О ""~ 1 >- ~ \ = .L , '.' ".i , .... • Цусть, напри-

t ... , 1.", • "." ..... " - - ,", мер, А, ".1 11)., \ ~ .& .,. • .г;;., , ....... (с.nучай )1 "-.L рассматривается

анаJJоrкчно)- и е. ... ,,.~·) ".).· ;" i";'"'... • Последовэ.тельнос'!'ь функ-1-'1_,..... • ~ ' цкй { ~~ ,:, ~будет• очееи.цно, Ji -'почти всю,цу сходящейся к tункцшс '\"' .Z.-'· . ..i\ .• &J1и 3t0 , то,тз.к как 1.шожестео

... .-: !

{С\ Е ~ l ~щ > 0 \ имеет ненулевую меру, ыw приходим к протиао-речию с усло"Бием !:-' ( ~;J __,.. о nри "'-4"""~ • Следовательно, долж-но быть 5 =- .Z: >.J'; =о • Но тогда 4, = - .2 >-; ~' , и функции i-

,"Z-,! ~ ('llo") d!..•t. \,,>о. ~ представляются в виде ~~ "'.2.. л, .&.; "'.z. >-, 1 ~. - .z.. ", ~; = =.i \.1.~·)-:..;'J ~ ~ • Последнее озн~~'ает t что ·~оследова'тельность ~ ~-) :. со~1'оит из элементов линейной оболо.чки множества { ~L, .t,"-, ~ -J · , но, по индуктивному предположению, должно сущестео:еать число

S > о 0 для которого J" ( Я~.)~ 8 >о • Получили проти~зоречие, Лемма I доказана,

Сейчас мы перейдем к построению выпуклого компакта w то­чечно-множественного отображения из этого компакта в себя 0 не­

подвижная точка которого будет соответс~Еовать "равнове~ию" мо­

дели Er-. Сиыволс;м У обозl!ачим совокупность распредеJ1ений из ~ •

удовлетворяющих условию материального баланса

'! "' Х.., n :!э = { 'J. ~ !э 1 ) "t. с\ t- ~ S -.J J t \ .

В дальнейшем для простоты мы будем считать, что ,JV-(k)=-i 1:1

$-.J c\J" =С~,.1, "., .1.) • Напомним~ что через ее) м.w обозначаем по-

" рядковую единицу пространства L ... CIQt) , т.е. полаrаем ее") =(.1.,1,."

.",J),o.1'J. ~ построения пространстl!а Jт , следует BltJllDtleниe ~(.)ЕУ.

Пусть .дf~ = { н: ~\ Xwn ?сс..,~·е) с g е *х \ t ЮIО:Жестео Х..; было определено в § I • а е. и 8 ~ неотрицательные числа. Из предположения А2б) следует 0 что для ~ -почти всех о.. Е.' &t спра­

мдливо - для .пюбого е. >о существует g"" о , такое 8 что о.. t: :!ttЯ 1 при о:!- S' ~ ~ • Измеримость множеств ~i 1аыте1<ает ыэ АЗ. Сле­довательно, мы приходим к сооrноwениям ~Y0 ~t~DA\C где Jl<CC)=o и .Я ,i • ::. J\i" при S 1 ~ ~ ц , которые мекут

z"~:-t" 0 .f'1 ( !\to ') -= J-ц( К) для всех е ?о. <9 >

Даяее о 13Ыберем ~ '>Q ДОСt'а'l'ОЧНО MaJ.IЬD&o '1'и.К Ч'l'ОбЬ'/ &i!OJP& ЮIО-~еотва ~\'"' {o.E~l<I',"''")> ~ 1j бWRa строго бо~ь1а0 н дла асех t Е' r -.: .f '1 cr: ~\ \ -~ \' i " ! ) о '11' о е о $"с JI '') -.> н '? ~ I. о В0зwо»1ооt-~ь тuoro Рwборе. oдe.!Qft'J1' 111.'З )16МШ:J I. Ч'f'•бw убоди'!rьс.11 1

etow достаtочне применить Jl~WJ"IY I х Ш\бору 41Уt1кцкй w 1 - J(. ~ , w'- -У"; ... , w"'- '/..;i ~ rдо "-Nt.) - j ~!! координатнм фун~ otoCS­pauниtt w(,) • ~ <&•JХ'З 'J,./t ебuэначФиа :сара.кнрко'tl«Чоска.м 4utИ1t­ЦИ8 NНOEtjtOfN. ~ •

15

По €>о вwберем ~>о так~ чтобw 11wпопнялось нера!!енство JU (JI \ fi ~ 8) ~ Е • Э'l'О ВОЗМОЖНО D СИJ!У ( 9). По l!Wбopy !!8JIИЧИН

Е- и S М1'l np~ к неравенству (!О), сnравеДJiивwм при. мех f'IO 2, -

(10)

и не за~ от мора Р • Нам потребуется медУщее nодмно:жест110 У - Z -=~ n {~~+

"'.Ь.} • Мw ~ !llСПОЛЬЗОВА'i'Ъ 'Jl'alate noдr.moжec'l'JJO :р с jJ j ко-'l'Орое onpeдuьm no ФOP!lfY»• J>-=Hf.;!9 .... k~,t> .!: f \ . Здесь j.,.. - соnраеНН»Я конус к .:1У 0 JЗ .... ::; Ц. ~ (;1-i)~ \ < ~. ~'? ~ ('.

:r i: ofu 1 . Очеем.цно ~ llНODcna 'Z. и 1' будут ЗWJ!УКМI ц itowaк'fнw. Нмомюш ?аа&0 Ч'Ю через 2 w обозначаеч мноиес't80 ~vриночнwх

цен" -

~ = {ре i<: 1 :i'I'•" 1\. Теперь • можем rюлomrrь ...

(II)

&'te и есть ИC-ltO№ilЙ l!ЫП)"UНЙ ICOМПIUC'l'.

Одно важное с1Юйс'l'~ю компц'!'а-Р w сформу.пруем е кв.чес.,... iso утеерж,ценил.

УТВЕРЖДЕНИЕ I. Если ~~ S,. ~ и сущеJтеуе'l' ~Е 2. такой• чю <~,'Х.) ""i I '1'0 ~Е'~ 0

ДОКАЗАТFJIЬСТБО. Ие 'l'oro~ чtо "1.Е- t аледуе<r "'">~е • Следо• вa'l'eJ1ЫiO, есви ~" S: • '!'О <. ~."..,. ~ ~<: ~.Q.> • Таким образом, усло11ие <~.-·.:;-",_мечет g<~.c?lllJ." что и 'l'ребоеалось до1tа­эаУь.

Прис'1')'П.ИМ к построеНИD точечио-мнозествемноrо о'l'Обраzения

\f t.1 its Е> в себя. Опреде.tим отображение q. : Z .... !. по форrqле:

q.(~)~{,'ez \ .:;::"•, ~~.:>-= i..a.(<?, 5·х> ,{~'Z: \ ,~"~. (12)

Из э'l'Oro определения непосредст11енно спедует н~ра11енст!!о

<у С"'),"') d::- .!. , причем ра!!енстsо 1!1 этом соо'!'ношеюtи 6удет вwnоJ1няться тогда и. только тогда, когда 'Х f ;.+У . Г.Ьпунеnре -рw!!ность смрху, !!Wпук.лость и комnактность значений 'У'·> nро­

l'l~ря~тся стам~ртНWNС образом.

Iб

Произвольной паре Cf,..f) с- Z: ~ Р ooct'&lllitМ в соот11етс'!'11ие 11инейЮо1й функциона.п 30 на (;!.f')N " .:ша~ iФТ.орого находят­ся wз равенства ';$ Cl<) .,., .с:{,"' ;:. - .( ;i~ ") 11. "> • 1сЕ- ( j_ !f' У. Точечно-множественное отобра.жеюш 1t.;: z:."-p .... z определиы с по­мощью таких функционаловt ПDJiaru

*!(:р,.0-= {rt.'E'lt §С?: 1 )-;.!м~ 'i:JC~) ,-x~z~ ,с.у.~)Е.О2.х1?. (IЗ)

Нетрудно 1:1идеть. что 'U.) будет а.олунепрерывно сверху j а

1'8.Юl(е иметь въmуклые и компактные значения"

Отображение ~ : 2" Z. ..... :р 0 сопоставляющее распределеiНию 'Х.~ '2. и рыночной цене ~ i; Z: множество .линейных: Щункционыов z (f ,""-) с'Р построить более тру дно. Зафиксируем не!Сотор~,;е '1lE -Z и '1! е -11 · • Рассмотрим совоJКупность вс1!!возможных линейных футщио-

* ~ На.1!ОБ 'J>C"-,~) с: J.; , i>тделяющих точ~су '1t от множества '1 \ . ..С•»") .u Щ>Инимающих значение единица на -х: " То ес?ь ~ положим

'::Dcc.,'1<.)-;: { ~«' Ь*" \.:::.. ~ ,{> ';:!: <-k~-"> w1.., ::iE Р]l(ц,"ЖС) \ (14)

~!J.'\ИNf~ что из неравенс•rва '1: "?8 е и предположения AI с:ле.цует tNell!\:fC1rO'!l'a" выпуклость и компактность "])сч.;ь:) для ~ -почти

~ •ц Е М • Ес.1и положи7ь

С.со.,~,-.:)=- <.у,...,<«)/ ._])(tt,"I:.) , " ~ Я (I5)

'WФ /№jJ получим точечно-миожесwвеиное отображение С C;\';k ') из :\\ ~

lJI ~ • Наконец, в качестве значения отображенмя =l(.) на паре <r;x"' 4fuZ мw возьмем

'S.. tt,'k.) =- S ( (. ,f,')() cl,r< • (Iб) А

Эдесь под <с с. , ~ ;x>d--1" мw понимаем интеграл no ~ от точечt10-" Юiожественного отображенияD опреде.11ени~ ы свойс'!'l\а котороrо мож-

JiО найти _в Iro]. Измеримость отоСiражsиия ((.;f,').) (и 0 следо11а­тельно1 иоррвк'l'иость форwулы (16)) м замкнутсс'l'ь rрзqика -lC.) устанавливается в леммах 2,3 9 которwе будут дока.заIО.-1 в конце

етого параграфа. Далее, nокажеw, что -if<1»"i'> с;р . Дейс'!'вмтель-но, пусть .f.,; zc",-.:) • По ОПР\!/деJ1ению интеграле, wы Noxeia на-rтсать 4"== fk1 ..1r- , где ln<.) .,. интеrрируl'мое отобрцоныФ; ;rдовпетвор.QИЦее уа.о;овиn \.,("J"' с с",~-"' для J4 -почти всех а t= J1 • В силу ут11ерцения I, нщ.~ досrаточ1tо уста,но11ить рамн-а.тао < .( ..... '>"' i • Но, из свойств интегрuа сяедуе't', чrо

I?

c_.f,7:':;>= Хl,,С),'·'';н!!' , В СВОЮ очередь. ИЗ формул (14) И (15)

вытекае'l' .::, L(c..',"'> -=<~,w(c.)'> для J" -почти всех ~ ,,._ ~. Таким образом, мы приходим к цепочке равенств ..::. ~, -х "> =

f<::t>,"''·'> dr::: <'f, Swc.C.t> = J. • которая и доказывает :вмm-ченив Z::C\',"<)c:i? • Так как i'< .) имеет замкнутый график, а 'Р -компакт, оно будет полунелрерывно Cl'lepxJ' (см. fIQ] , утв. 2 на стр. 23). Выnук.nозначность '2(.) очевидна, она следует из опредеяе­нил интеграла и nримечани~ к формулэ.м (14), (15).

Итакр теперь ыы мож~м определить отобрахение lSt.) , · дейст-. вующее из компакта ~-='2 x'J?-.2 в себя. Положим "6 :t:yx ~x't • Иначе 0 '\ (..) сопоста!l.l!яет тройке (~ ,~,.,.) (;; ~ множество q (!х.) х х .:СС'\';х.)х 't(\),~) " Выше бшо показано, что q_,c") , 't.C) и ~С.)

по.пунепрерыsны сверху и имеют непустые, выпуклые и компактные

значения~ поэто~ этими ge свойствш1и будет обладать и 15'(.) • Посяеднее означает применимость теоремы Кахутани к 't\\.) , и,

следовательно 0 '5<. ') обладав'!' неnодви.mой точкой t? .~ ,:Т.) • Сей­час мы пока~tемр используя построение CS'<.) и ~ , что с~ ,1; .~) соответствует равновесиь модеяи € ~ .

Рассмотрим три воз:моmюсти. Предположим -х:~ : .... t 'l . Из пос'i'роениJ\ ~ будет следовать, вви,п.у ~Е 1ц~.~) м формулы 03), что §"<~)-= ':;.'.~ sc11:) , rде ~<..) - функционм, эадrо~ный из соотношения ~с~).,,. <}у"~'> - <~" 5:i"> • ~ Е ( i.fl ") '<.. • В на-шем случае мы с неиэбежностыо подучаем ~ а о , в час'!'но~тк,

доDНо бьrть '9(11:}"'0 • Однако, с друrой стороны 1;Е i!C~1~) р иi rшrывая построение 'i!l.) (формуJIН (14)-(Iб)) 0 приходим к <'t,:X) ,,,.&. • Kpoмtt тоrо, ~е-су<.:Х:) , но так как 'tE-~"tl Р то из форм:,•льr (!2) мн подучаем <'V. 5i: ':> .с: J. • Таким образом, до.uно быть ~с!):)=:<:\,~/ _ <' 1 ~~) > о - по.пучипи nроткворечие.

Итак, ~ ~ \ "{ ~ • Напомним, ~то р ПQ построению, Z ... "'f f\ { g;,. ~ \ Допустим :;:. 4:. ;"t ~ g.~" &э \ ~ В эт?м сЛУ'.!_ае для :ооех агеН'l'Ов из · мяо:кества л,, ВЬIПОJIНЯЗ'l'СЯ BIUIJOЧeниe !?<~.~·(')(\'{ <::: g(! + ~ но еви,цу nредnо.иоаний Аiа),б), А2а) и сдел11НИОrо допущения,

w мо.сем дaКJIIOIUl'l'Ь, что 'f <tt,~·") с '1><о.,;:) д:ля ~-почти всех а Е JI t i • ДaJJee, подсчитаем значени~. фуЮtциоFм.а ~ на злемеtrrе е 1"- Z • IЬ опрэделениn, i <cJ "(~.е ;> - <'f', ! е '> = • <~.~'> - :! • Пoct<oJlь!<'J ;(.;; '2.(-i°.1') , то из !fормул (14)-{16) и оnр-:щс.11ениn ин'!'егра.11а сле,цует сущестrюмние измеримого отоб-

рааения lн.) • удовле'l'ворnr.цего условию ~ ,::.J .:. .) "" .:\'") для

18

.f"' - почти всех а~~ и такого~ что Теперь мы вправе написать

~; ) С::~, IWC.)) k(.) с\~, А

<(~,'2.) = }<-?,\JC./)(~C),'l.) c\r, А

Оценим правую час'l.'Ь тождества (l?). Цусть Я'=- :ltt~ Гl -1\iv гда (17) переписывается в виде

<.~,<i.):: f<~,wO)(\.,(.j,«)clf+ \<-?,v1(.)><.\...c1,ci.')dg<. Д\АI А'

(I?)

t то-

(18)

ll:pвoe слагаемое в правой части формулы (18) неотрицательно. второе, вви.цу условия < ~ , vco.) > ~ i. , Q. €' 9ti" и !\' с -9'~ оценивается неравенством

S <v ,wc'>)( 1,.,с>,.11.) J,~ ~ ~<\...с),~) с.\.~ . N .

Однако, так как c~ef1>cv.,~) для S"-почти всех a.e-1\-,S и в сиау формулы (14) 3 мы nодучае)4

) <. t..c1\e..)dJ~ ... J. S<\..c),'l.·t/ J.,s.; ~ J..) .1.r = l ~СА'). А' е. ~' ~ t<' t

8 ~тоге п учитывая ф)рмулу ( IO) , мы приходим к неравенству ~ ~ с <.~, 12..) > i • откуда сле,пуе•r ~(~)>о • другой стороны, рас-

смотрим значение фуикЦ111онала ~ НВ;. элементе ~ • Если ;_ ~ ~""' '{ ~ ~) б t•o неравенство 8 c-i. '>о невозможно 1 и о это противоречит усло-

вию '% <.~} ... ~'1: ~с~) 0 следоваоrеJiьно 0 имеем ~\.~)~о • Цусть ~ ~ \.:t ':! t ~гда. так как 1 е: q,c~) получаем "-l, ~;:. > -,,. .1..

Н9, поскольку <~ .~'/:.i n приходим к ~(-t) = < 'д,~) _ - <~, )-1:) = l - .&.. ... о • В обоих случаях 'i tli) ~о 1 что противоречит условию '% <..-1')"'" \.>.\о.;,.:~ \.'"k) n ибо, ка~с показано вы-

,,... ~t-'it

ще. i 1...~) >о.

,._Таким образом, мы уств.но0ил~1 р что ~ ~ ( ~"J Не ... ;!, ~) (\ "{ 14 -х. f. \,,t ~ . Из поояедиего, в частности, вытекает иеравенс-r вс ~ -;ао • Но, так как ~<.~)""о и fi...,~ о ~должно быть ~:о. п~ ,,.... '\ ,... ,.._ ,... цu определению ~с 1 , усл() вие ~=-о влечет < Jr , ~ ! = < "(. , \ 1 ) дяя: всех ~ ~ Jэ • С другой o""oJ»mi~ оnреде.пение интеграла и tJюрыу.nы (14)-(16) дают суще<;_твов8.t!ие изыеримоrо отображени.я ~ \ -!\ - ~ такого, что \. t«) Е 'Ъ се..,'!;; ) для ,'1 -поч'l'и всех а.~11 ·и ~ = )<~ ,,.Jч>\.t.)cif' iЪлоа:иw ~<о.)': <~,1.Jщ"'>· • ~tc.) , ... ""• и возьмеы ~ в качестве cиoтelilhl ин.цнеидумьных цен. Теперь НШ11 остВJ1ось установить, чtо пара С ::t. ~ ~ ') " раемье-сие и ,- - coгiacoвa.iiНAJ-1 с тш цена, nричеw ~ -..'> с::. •

19

Действительно, по построению~ 6/if с.)) удовлетворяет условию (3} определения 2, а согласованность '\t(.) и ~ фs.кти­ч.ески бы.лз толыrо хz:то доказана. Дмее 9 если ~-:.'>"' 9 ~о из то-

~::ществв. ,' ~~ ") "" v..Wj.( < '\/ ., S ~ "> сле,цует сбалансирован~· ,.._ ;+'t ' -

нос<rь "r. ,, Итак r, достатоtшо показать '\>~">о " Предположим про-тивное. Цусть ·~i ~о прw некотороl\/l ;,,.;.,11. • Если через ~ ~ (.) 1;бобзначить ~. ·-е координатное 1Jтображение ~ Ц (которое прини-· мае'!' ::тачгния в l~r:J ) 9 то и::1 согласованности ~ w :\-(.) с 1Необ-ходимостыо rлопучае1'f ~.Т; r'.1dr"' о " Ta.R как~ по построению ~ ~ to. '\ ";1; о , дJls J-1 -поч'fи всех о. ~ ~ , !'! силу предположения !йв), мы можем заюпочить~ что q;: "'о • Рассмотрим распределе-ние ~ ~-= ·~ " Q.: - S> ;f, 11.1 9 эдесь J!> :>,с о • Если обознэ.чить * ~ "" "'ic..e-:!! ( ~.\" '>.;: t \ ~ то, в силу А2. w получаем sц ( (ь) -4> ~ \:11) при ~"> <!) ~ ~"""'о • С другой c'Ji'opoНЫJ~ танка.к J<i,v\.)>d,;<~ .! ме-

ра мно;:tества i = ~ чЕ- .!\ \<'v" w("-':.> > 0 )"' ненулеооя~ nмтому длл ДOC'l'Э.TOl'.IHO MaJ~;!X !" °:"' (> буде'i t ( 'i ~· П .\\ l > С ,, Далее~ ДЛЯ J1- .,. лочти :всех а. f !} вьтолня:етс fl ~ (с..) t tЬ 11 та11t кам rшаче это про,:

тиворе:.uило бы усJюв111ю (8), Отсrr.ща~ дЛЯ J< ~ПоЧ!'!'И всех o.if ~.t' () 4\ ~ ~ - ~ о

потrцаем <, 1-Сс..) , ~ Q '> ::-· ~"ll ~"'1 , 'Оз-'> i :rде "а" е'.\: .,, Q. ~ • ПОс-~еднее р з свою очередь, влечет цепочку нерэ.вемств

<~с..:),~>~ <.Т(с."J, ~..,) '> <1i<"'~a':> ~.::~\"-'С")'> 09)

. ,~

ко<?орые выполняются для S"' ·~почт\11 всех о.@ .fl~ <i А • Но из ( I9) 11 (8) будет следовать ~ < '1i i..1 5 ·;;" . .\$" > S < ~, wч> '-'J-1 " l. что про1'иворечит включению ii'"'i и сбалансированности ~(.) , , Теорема доказана.

в Эа:КдЮ"Ц18НИ0 О'I'ОГО параграф& w докажем ИСПОЛЫ:ННз&НМЬJ/0" при дока.эательстве l'!CПON10l111J.Te.!2ьнoi'l 'J!'eopew леwы 2 111 3.

ЛЕММА 2. В усnовwях тeopei\IJЬI отображение С C-,-~;i) , опреде"".

леиное по форt~лам (14)-05)\)измеримо при любою 1l€-~ , 'E-I ОТИОСИ'l'едЫЮ .rneбeJi"OBCL!tOГO nОПОЛНfiНИЯ [" ·-алгебры О( • •

ДОКАЗАТЕЛЬСТОО. В дальнеt4шем -t<"_~ считаеЬi фиХtсированНЮt. Сначuа мы докажем измеримость О'l'обрuения J)c_.,tt.") , задан»urо

фoplG'JiiOЙ (14}. Для $~ОГО ДОс'r&1'0ЧНО.ДО!t8.88.'1'Ь (см. утверждение ~5 и теорему З.5 работы tI9]) слэбую измеримость о'l'ображения :])(.) , которое определяется условиец -

:Ъсс..)': { ~е ~""\~~ ,~)> 1 ~dE.Fffi<.i:.,--..1),<н~. (20)

20

Из предположения AI следует~ что это отображение ииеет непус-тыэ ~ замкнутые, вылумые значения i~ -почти всюду в .Я • Мы rо-ворим ~ iR соответс'!'вии с "l'ерминологией из [ 19] ~ что :Dc.) ела~ бо измеримо & еслм для жюбого откры•rого подмножества Gi с .:Ь" из-·­меримо множество

ъ-·сеr)= {н-.JI/])c .... >n44i:6'I Цусть Gr - некоторое o·1'KJЩ'l'oe подмножество S ,, Так как -;)··~ Ь-и изоморфно €<t" v то оно сспарабелr.но, Цус~ъ ;:; с с.;. = счетное~

-\-

всюду плотное цодмножес'l·во (~ i т. е' с12 s "'cl? с. и положим s"' { !!.,,;.",".,s"" .. \ , Обозначим -Я._"' { ц е :!! t ;, "'""- j) с 0-) \ ~ '!'еперъ дос--'!'аточно показать' что j)-'ce;.>0 я" и саг~ для всех к~л-;,,," ; Эдесь йt~ -· лебы•овское попошi-;;~ие О\ {опредеде!iие и с~зойс·;;'ва см. в [14}}. Во-первых~ установим включение J) "'(~)с U R « " мбо включение в другую сторону оче:в:v.,~'1НО. Цус1·ь Q Е -9< "~! ~. E'.i> (<>)JJ (~ Та.11: как множество G n{ h _,, ;"+, :Ь} непус'r'О 1 ввиду- О'l'.КРЫ'!:'ос~·и z:; а S ruroтнo в G- • можно выбрать :s~ ~ S такой D что ;," ??- \, JJoc кольку включение &1E15tc.) означМ'l' (\..,~)-Pi д;ш Бсех ~,,,_':\J(a,~11 t'O это свойство будет выполнено и для. :s.,. , Последнее 0 в еилу

(20) ~ влечет s~ Gs:; lt.) 9 откуда следует <>. Е -:!t,< • И«rа:к ~ i1'c,"' ==V .JI" (на самом де.ле М1'! доиазали это равенство с '!'OЧ!HQ(~T&>)IJ до а~1 •. · /

множества меры нуль u но, в силу полноты Ot· , нам этого дос'!'а-, точно).

Да.лее установИ14 измеримость . -й" , /< ~ Соо , Цусть 11=-\7.(~.Ь \ {·х c\,r- · ~ 2. \"" d_t<" х ~ -~ е. ~ , Оче еидно э J::I .,. выnуклая 3 rюмnа.ктвая

о~<рестность Z . Если положить М се.),,, '}'( ч, -х) () Н ~ (\ Е: ~ "

то ~ (.) будет компактно:щачно и измеримо, в силу утвер1!"дения

2,5 из [I~! и предположений AI, АЗ. Теперt> мы можем применить теорему 9,2 из [I91 {или утверi!(Дения З и 4 ~з [I01 на с.60-б!), ~o'.ll'opaя в наших усло1Эитс .цает пз1,iеримосrrь отображ~ния ~: ~-..,. R , ;щцанJlого на.к Э<::)"''-~f{<::::.".~>1 ~G. t\(Q)\ _, c.f-J\ • HoD из µр~дп9.ложений щ11 'J' ц nос'l'роенщя 1--1 таюtе с;Ае . .цует ~ Ч'fР Яw совпа­дает с множеством { <'<€ ~ ! ~ t<1) <:r- .! J 9 ~оторое из"еримо, ,-аж «ак измеримо ~С-) • Та.1шц Qбrэ.эс.м 1i1s~e1.=щцoc~li> ])с;1) устано~цtша.

~эмерИМОСТЬ ((. ,-р;х} ~ ~ОТорре 01-'.!lИ1-ЩеfС~ Of ]){"~) 11 С0Ьl.НО~'1'6·

~емl< < f, v1.--i). ( С\;11. ФoP!>"YJJ.Y' Об )1 ~ ПР9 вep~efCf. '!!'Ot;;H(I tlilt ~ ~аос мэ-"ерЩ4РСТЪ цроизвмения двух иэмериМl;!~ Фl»-1-{ЦИ~· Для цо.:,нс~-щ №ЭРо­fен.ия ~ ДQ~Щ(8М ЗТО'!' фа.К'1". Гас СМО'!!'р;щ с.1щцурЧее О'fоб.~еюt~ "Т' ,цеiiствуtQЩе~ ыэ ~ 13 .t::·~ 6?-t· э nо.поци~ 'Т'cl.):dJ><;c.,';o::.) )(t~f, W'(-eJ>),

41

ц"' J/- • Ввиду измеримости J)(.;i) и (:rг,w<.» , таковым бу-11ет и 'l' \..) . Так как операция произведения на cJ<aJiяp непрерыв-

4' . на, то. если Gr открыто в ;S; - открытым будет и его прообраз в ~· ~ 1<+ , относите.п:ьно ( ·) • т. е. множество

·J.

(•J \.~) = {(-t,.).) Е 1,"><~+\ .,\.·XE~J.

Но МЬI можем написать сс .•• "х.)-·(~)= '1'- 1 (\.·)"'(Ст)J 'где, в си.пу ука.занных: выше свойств, ll правой части стоит измеримое w~ожество. Лемма 2 доказана.

ЛЕММА 3. В ус.nовиях теоремы отображение 2 (.) , определенное

формулой (Iб), имеет замкнутый график и нenyc'l'Ьle значения.

ДОК.~ЗАТЕЛЬСТОО. Напомним, 2 С v;x.) = ~с.<., t,11.) dJ" , (\', °") е f; 2 "Z . Так Rax С c'>r;x.) измеримо для всех (l',"N.) е z x'Z, и поч• ти всю.nу в ~ замкнутсзначно, то из теоремы З.5 работы [I9) еле ... .nует, Ч'l'О оно имеет измеримый график. Прочие услоюия теоремы о

сущес'l'вовании измеримого селектора также выnоJJнены (см.'!'еорему I на с.54 иэ [Io] или fI9J ) • поэтому существует измеримое отобреже" няе ~(.) • такое, что для ~ -почти всех 4 .:: 4i выпояняе'!'С.Я h <!>,}Е­Е C<.~~"i:.~ • Таким образом, i h,,"~J" Е 'lCy,'1) и 1! <1~,.,.,)'#:/ для всех .{'\',1.) 6- "2. :< t..

С другой C'l'Opoю.t, из предположений А2 и AI следуе'l'~ что для Jl4 -почти всех ц. € Я отобрааение ,С(~~· •. ) имеет заыкнутый графfк в 2. х Z ( -!1 • Это•r фак'l' леrко доказа'1'ь неnосредд~tвеЮiо. Далее, для ,rщ -nочти всех 14 ~1 • справедлива оцеюса, выполнен" ная для любой пары ((>,-х) € '%,к Е

11.

\с lc.,:t;x.')\ f: 1< ( ~. W'{")) ~ \о( z. '" :, ... ) '~ J. 1)

Здесь к - неко'!'орое число, удов.11етворm>Щее усповиf ~ ~ IH~ а w' - t -я координатная фуикция \J' (,) • Функция :z. w' t.) иwret>-, .. рируема, поэтому оказывl'UО'l'с.я выnопненliЫNи условия утйе:р11Дения 8 на с. 73 кннrи Хильдеибранта [IO) • Ч'l'О и дохаэывае'l' лемму.

ЗАМЕЧАНИЕ I. В .11емме 2 w nо.11учили измеримость о'fнсюJWельно

.1ебеrовского nоnо.1иения ( -мгебры О( • Ддя нас е'l'ого ~mояне дос­'fаточно, 'fax Jеак любое отобра1:ение, измеримое относИ'l'8JIЫЮ попол­

нения, мо1tно мзмеmrrь ма множестве меры нуль так, чтоба оно бЬIJlo

JЧ -мзwерммо. IЪэrом;у мы можем счита'l'ь, что ыt101tество J <:.( .,-r,,; 1J.r сос"ом'!' мз кн'!'еrрыоа от ()( -измеримых селекторов. д

~~АННЕ Z. Отмотим. ч'l'о в ус:ло1111ях: F1сnомоl'ательноr. теоремы

HEJ npe.цi:ioJ1araE1тc.1t HPJIИЧli~ какоi1-.11и~о с rя::нr ь -мгебры Ot с тоnо-

логической структурой на д • Эта связь будет играть существен­ную роль в доказательстве основной теоремы, так как там будет

использоваться обобщение теоремы Лузина на случай многозначных

отображений.

ЗАМЕЧАНИЕ З. Мы могли бы доказать вспомогательную теорему

для произвольного конечномерного подпространства Lc. L • ..(R), име­ющего неnустое пересечение с 1"-t L: (li() • fuследнее прос.пеживает­ся непосредственно ~о ход:1 доказательства. Однако в дальнейшем

мы пользуемся лишь подпространства.ми простых функций, поэтому

мы и ограничили себя их рассмотрением.

§ З. ДоказатеJ(ьство основной теоремы

Обозначим через 'r совокупность всевозмож.ных конечных раз­биений ~ на измеримые подмножества (массы эквивалентных:). Каж­дому разбиению f'E='f мы сопоставим состояние равновесия (-х"''"")

модели Е!" ~ существование которого бЫJо установлено во вспо-могатеяьной теореме (мы выбираем лишь '1'е равновесия, которые

удовлетвор.IШ'i' условию -х, ~i·e и '"";Q о ) • На множестве ':f наво­ДИ'J.'СЯ струtстура частичного порядка ~ 1 которое превращает егсt

в направленное множес'1'во ( 1 , " ) (определения см. в ( I?] гл. 2). Этот порядок задается иэ условия более мелкоrо разбиения, т.е.

условие Р, ';!! р& ' r'. Fi "; ЭKtlИBSJieН'l'НO тому' Ч'l'О при .любом 'Ъ,Е"'F', найдется s.~F'" , для которого s.c~" • Итак, МЬ1 полу­чили наnраменность ( 't", т" )f•1' состояний равновесия из моде ... лей Е."" , F' E-'t и моzем теперь говорит~ о пределе этой направ­ленности (иJIИ поднаправленности). В сле.цущей лемме будет ус­

тановлена ограниченность мно.ества (~v)i:.; , ч'l'О дает нам воз­

можность, nриыенив 'l'еОрему .Алаоrлу 1 ус'l'анови'l'ь существование

сходтце/i\ся nоднапразлениости ('Х.f!~.')1.м-л. В дальнейшем будет до­казано, что ее преде.11 х JmJU[0'1'CЯ равновесным распределением.

ЛЕШIА 4. Напрамеююсть· (11:р)~•Т ограничена. ДОitАЗАТЕЛЪСТЮ. 11реДПОJJОIСИМ. ДJIЯ некоторо1•0 f' fi т вшrо.11-

няе'l'СЯ неравенство 1 ).""11.,., >W' , r.це t< - константа, существу»­щал no npeдrюJioжeНИll А5. Рассмотрим распределение ~"-х"лк.е • Здесь, как и ранее, ее.) - О'l'обрцение, эа,цанное по форrqле

t<1o) :(!,!, .. "!) t <t fi j\; • В силу А5, ДОmtНО б!п'Ь ~~ "(f." , ДJl.Я ~ - поч'!'И всех 114< k- • Учитывгл (8). nолуtшем <т..-сс..),~'>~ ~ <t>"", -w<o.''> 1 rде сн- ~\~ и ,\'<<))=О • Но, 'l'ЗК как 'Тvl:') -сбалансированная система цен, мы имеем цепочху неравенств

23

~ <:::.ru""~·), ~> df "<\>fi" ~~ JJ-1>? <-Pr:, S\J'\t'> = (t>", }x"dt)' ио'l'орая влече'l' <?F; 5c~-~1r)d..t') ~о • Однакоь по nостроению, ~~<xF и ~~'Ir;Фo ~ поэтоwу дощшg быть {(0--x.)dJ, .::.о • Следо­ва!fе.n:ьно~ ввиду условия !\'F">>o, получаем <vF, \<<J·'-l"'><iJ-?). ..:.о,.. про'fиворечие. Jle1.шa доказана.

Рассмотриы пространство всевозможны~ интеrрируемы..х (па Бох­неру, см. [14~15] отображений со значениями в L""' (\R~) - 1Е "" L/:il,Ot ,J1 1 L"°) • Это пространство буде'!' ба.наховымJ его норма за..., даете.я: формулой ~см, [I4~I5]) ..,., ·

idt'l!"' f ll~c.1lle<> dJЧ ) (;R 6~, А

(21)

Из (2I)э в частнос'!'и~ сле,u.ует 9 чiio qwн:~щия ct _.,..\\ Qe(«)\\°" интегри­

руема.

Дмее, равновесная: система це!i - ~с.) , F co:-'f ~ суть естъ

ин~егрируемое отображение, со значениями в (;t; ;"':;;; i-F~ • ГJоэто­иу ~ для J" "почтf:I всех а~~ и произвольном ~ ~ L00 (М:) существуе'l'

интеграJJ - ) ·Q- .... (й) ~ dJЧ = (":i~сч), ~ ') 'ТЭ...'\ как 'V"c:-1 - простая функ-ция на Jl. ) • Цус'lъ ~ € i{ , Ясно D что отображение q ...,.. .::: ..,, с с.), 1Гr:С«)> из14еримо. О.но буде'С и v.нтегрируеW>JМэ пос~ольку справед-

\ ~ ~ ~ Ц ,~Гii: (.) > J J"i \ ~ ~ \ < di.' С), '1it С))\ d J"' ~

1 u ~(.) u"". ( '1Г F (,)' \/. > d. jЦ ~ 1/ ('1!1"' (.), ~ > 11 VФ l ll 1i? (.) """ с1_,, !

Величина U<'Тvc.1, e')U.., о.rран!4Чена, ибо, в силу всnомога~дыюй оrеореыы ~ для JA -почти всех "е f! дол~но 6ы·п,

j_ < 1' '( ) \. с 'i ~ .. 1 ! . i 1 . . • З F ' w ч 7 .... · 'f , "'- "' С"") ~ - Z. " \!/ ' !\""'» ~ ,:.:: \\ Ч 1(

1t.J.. 8 i~l . ·. ~ Q6 ~

ы 1 '1'aJ( ia~ wEX v й1~,11еец ~ w11"" ~оо • В итоге flOJIY,Чa~ PЧe»It;J{

1 ~ < ~ () ,'11\-- (..) > d.fr' 1 ~ 1.11W" 1( 11 "!е il (~2) А . . J . О<> .. 'f t

которая выполняется независимо от FE-:'f • Из (22) теграла сле.цует линейность сьответствующего '11~

~r 9 которое задается формулой

и свойств :ин­

отображения

~"Ссе'):.\<"1Г~:-с·'~~с1>~, ~e)f. . А

(23)

1 . Сейчас мы покажем. что flr- Е- ~ , т.е. §F - элемент цространстм

всех лине~НЪJХ~ напреры:щш:х в '!·апологии нормы .~ ~ Щvю<:ционалов.

дt\'!Иствите.льноt длi1 этого дос'l'а.точно поRазать конечность ве1lmи­

ны 11 ~f' 1111- • По определеюtю 1 • 11* имеем

n 3" 11t- = i" ~ ~ 1 ~ 1" ' ";!€) 1 1 ~ Е- '* , u ~ 11 ~ ~:~ ,

откуда, из (22) сразу следует

\1 ~j:: Н~ ~ f \tW!!"°, (24)

Правая часть (24) не зависит от выбора F€-';\ , поэтому о:каэыва ... етс.я сnраьедлюзым следующее утверццение.

УТБЕЩЦЕНИЕ 2. Нartpaмeiiliocтй <'1;\.'"1' будет соответствоват~ напраменност~ f3~)~~ элементов из~* t определенных no форr~­пе (23). Более того, эта на.прамеЮ:1ос'J.•ь будет огра..чwtена no нор­ме ~·. «" nространства ?l" • "

Д&.лее, n cиJty теоремы .Алаог.пу (см. n (!?] утв. !. 7 JNI. IY или в {I8] теорему 3.7 гл.3) ограниченные no норме nодмнОХ\ества соп­рЯ1!!енноrо пространства относительно компакты в слабой со эвеэ -.цой '!:'ополоr•ии. С другой стороны J из .nюбой имравленнос'l'и ~очск

ttoмn&.к'l'a мо№о выбрать сходящуюся nоднаnравленtюсть (см. ( Iб] rл.5, rюорема 2 на с.183}, Таким образо!\1!~ ~а основа.нии 11еммы 4 я У'J!'IЗерждеНИ.!'1 2, мы мохtем замючить сущест~ова.IО!iе сходящейся ru()днаnраменнос'l'и налрамеипости (-:..-.~"" )t•'t • fWсть (-iA:.Q, ~"")),.;;l с.'!,~) и ФСТЬ Э'№. nодна.пра.ВJIЕН!НОС'l'Ьо в наmе1$1 cJ11tfM !Е/'51.'& CXOДl.fМOC'ii'Ь. оэ­

на~ает. что для любоvо :; е L, (~~ ~ схоД}'l'J.'ся ~менность чхсе~ <"z~,,·{>"ж<'i'.:J). и дnя JI!O()QI'O ~ €1€ СХОД!«'!'СЯ !)WЛравJJSННООТЬ

,< 9t:tл'P :ЪС > "-;). < i ~ ~'). • . . .. · . . . . . /t . . .. • . · ДМее, для .пюбоrо э.nемеН'l'~ ~·е :?! . ~С'tвуе'!' сJ!або изr.rерн ... мое отобрвженJiе ~ : ll -"" ( L_ cR')) 10 <~С\} t , те.кое, Ч'l'О 1 ~cr.) Н ~ ~ • ~*" и . '

~·С~)~ \<~с.)" hc.))dt ; ~ f ~ • <25> 4

(Это представление мощно найти в контексте доказательства тео­

ремы 5I гл.ХI на с.304 книги Мейера [20]. К сожалению, нам не известна более удобная: ссшка). В качестБе "i' с) мы возьмем отображение, которое соответствует функционалу 'ij' согласно (25). Вез ограничения общности будем· также считать сходящейся направленность ( ~f(~J ) ;-t л ?' r=- Z. .

Итак, теnерь мы ДОJШНЫ установи•rь, что ci') ТО) - равнове­сие модели Е. • Это будет сделано в несколько этапов, !{усть Ъ11.. - шар радиуса R '>о в Lw (\1i) и XR.,.. ЪR. ()Х • В силу теоре­мы Бишопа (см. утв.I.? гл.IУ в (I?] или теорему З.? гл.З в (18] ) , индуцированнц на (?,t слабая со звездой топологИя -G'(L"", L,) ыетризуема, ББ\.ЩУ сеnарабельности L1 C~r) • и. следо­вательно, xi - метрическ.\1Й КОМЛЭ.!(Т. Э'l'у метрику мы обозначим через dC,.) • Для произвольного -xt-X определим точечно-множест-венное О'l'ображение "в точке 'Х " - '1\. : ~ ~ ro, i] - .Х R , полагая

l\>"L(c.i.,~) •<i\ц,.,-x.,.de) ri.X\ ate .j-1, tt.Eto,1], (26)

Обозначим символом Hd метрику Хаусдорфа., определенную на сово­куnаости всевозможных нецvстых d -эамкнутых подмножествах Y..<J.. (определение и свойства +.!d можно найти в [IO] } •

Л~\!А 5. Цусть R ~ ~'111...,+-.i и ~ Е ;"~Х • Тогда. отображение '\\. l" .i) измеримо при .щрбом н (с, J] и для Jц -почти всех а е: Я отображение 'У ~и1") непрерьншо в метрике Hd

ДОКАЗАТЕЛЬСТОО. Измеримость отображения 'iit".i) сле,цует из построения и Из!>fериыостц 'J1(" j) , :J с J( , Установим вторую часть утвер11tДения леммы. Дальнейшие р&соуждеиия бу,цут вполне отанда.р~­ны, они nриьодятс~ здесь для полноты изложения.

Ьыберем ei f ~ так, чtобы предполо11tения .Af-A2 для '1 са") бы­ли выполнены. Из резулъ'l'а-Сов гл.В части I книги Хильдебранта [IO] следует, что достатоqно показать, в терминах последователь­ностей, nол;унепрерывньсть оверху и снизу оtобра.жения r:Px_(«, .) • Докажем nолунеnрерывность сверху, Дnя этого необходимо, по оп­ределению, nоrа.еать. Ч'l'О, если at, "а, и i" <11 'f,., t«,<1), 'd·.--. ~ при

1< _,,""' , то ~ е ~Сч,<А). Предположим ~ 1!'1xt<>,o1), В сипу замкну-тоr.:ти ~cr. 1 :c1) в :Xi- (rаи как выпуклые, з~кну'l'Ьlе в тоnолоrии ЫыоtИ подwно:«еJтва L •. .c~~) f4ур;ут G""(L..,,L,) - еаt.1:кн;уты (I4,I7,I8ll. на&\де'J·ся Oltptctнoc'tь \Г tOllKИ ~ , удов11;зrворnr>1Цая Ь'с:nовию V() 'V.,.ci.,o<\=P. litl6ept._ • cV тц, чrolii. выtю.11ш~аось ·~ ~ • Еоли

'l'a11Gr·o г: не ~.YЩer:tвy•r, !1'.е. еr.:л._ ~ ~ ~ , '<!. F V , nодожим

Zб

'!:;: '!- • Опять, множество tfcci,-a) nX~ - d -замкнуто и существует окрестностьV точки d такая:. что V<'l'r(c..,~)=? (если i!"'1 0

возьмем V: V ) . Поскольку :J" ~ if , то для достаточно больших 11

имеем :}" .,;"'1" , откуда следует ~, ~ il • Однако, из вмючения ~, Е

1'1(.сс.,с1.") вытекае'l' ~" ~ 7. -+J."e • В v.'I'oгe, для достаточно больших и получаем "L + с1 "е ~i6. С другой стороны, по построению, пос-

ледовательность "1:+.i..e сходится к "А."с1.е в топологии нормы. Но,

так кан -x.toie>.; & • '!'О для достаточно больших \.-\ должно быть

"l;.+d"e ~ ~ • Получили nро'rиворечие. Теперь установим полунепрерывность снизу. Цусть ~ 6<"Y~(t.,d)

и J." ... d. при "'_,,, °" , Необходимо пока:;ать существование последо­вательности ~"Е:'1.,_(с.,о1~) , 1. "'.t.,"" , сходящейся к ~· .• ПредполоJ1tИМ противное. В этом случае МЬ1 можем считать, без ограничения общ­

ности, что существует окрестность'\{ точки ~ , удов..1етворяюща.я условию Vn 9.,,tц,о<")"'.~ для всех 14 ... i;Oa • Условие R '> 11т.u.,.,+~ влече'l' телесность множест№ '1>~<с.).;.) в топологии нормы. Отсюда сJщцу~т ~"t1V()~~<.c.c,a\}~p' • дlсть ~«=;i.t{VГ\'J>'l..<.tt,<1.)\ • В силу предnоложени.я .А2а) • доJJЖНо бЬ!'l'ь i '::. "Х.+ t1.e • С другой сторо­ны, по построени10, ~ ~ ').-1- с1" е , переходя к преде.nу по i. ... о-о nо.лучаем ~ ~ -х." с1. е - nрО'l'иворечие. Лемма докмана. . " В дальней1uем нам r1отребуется обобщение теоремы Лузина на

сяучай мноrозначНЪIХ отображеtiиf.t. Приведем формулиро:вку одной

такой теоремы, эаимствованную из рабо'l'Ы Химмельберrа \.2I]. Цусть'\' -локаJiьно компактное хаусдорфо:во пространство с ме­

рой Радона. j\4 , '{ • польское (полное, "еnарабельное, метричес­кое) пространство, а 'Z - сепарабельное метрическое с метрикой 4 • Через Нс1 мы обозначаем, как и ранее метуику Х&усдорфа.

ТЕОРОО. Цусть ~ :t'{'"'J• 2 - точечно-множестве1тое отобра­жение, rде '1'· , '\{ 1 °2, Выбраны как указано Bbl!lie li TaROe • Ч'1'0 О'Юб• р9Жение q. '·~~) '1эмеримо nри .nюбом ~ f'1.. и 'f(-t,.) непрерывно в метриttе Нс1 при любом 1:&~ ·• Тогда ДJIЯ кшщого 'Е.-:>о ~уществу" e'f tJШ(Кну'1'08 ПОДШIОаеС'l'ВО ТГ" С:.~ , 'l'attOe t ЧТ(\ J't{'i' \'\',_)са. И "' 1'ц.а'!( . - nолунеnрерЬ11'1Н<1 СНИЗУ• Если, ДОПОЛНИ'1'8JIЬНО, ~ ПрИ­ИИN8.8'1' замкнутые значения, югда ~\ ....... ~"i · имевт эамк~vтuя. rpa-. фик. . .

· ЛЕММА б. Для Jmбого nро<;того отобр8жеюfя 'х. еХ и ~ -r1очти всех ц t- j , удовлетворяющих ус.nоеию 'Х. ~ ~ • вып9'Iняется не}Jэ.~ венет во

<( ~ \<.) ~ 'Х. > ~ < f) \A{(r..}) • (27)

ДОКАЗАТЕl/ЬСТОО. Выберем ~> 11-Х Q v~'ll\t.t и рассмотрим 9То6ра­ие~:ие !)\(. ") ~ опреде.пенное, согласно (26), в точке :t. • В силу new.fbl 5, ~(ц"):to,J)..,.Xlt непрерывно для всех с..Е А\$ , rде ~(!.'\•О • Мы "подправим" этс отображение на. множестве ~,

таж, чтобы оно было непрерывны.\\ для всех о. r:: Л • Например, мож-но положить его для всех с.."'~ рав.ным 1\ ( ~ .. ) . при некотором е, G l, \$ . Вместе с этой огово~:,:кой омэываютс.я выполненными все условия теоремы из [20], ибо +. - метрический компакт, [i>,i] -

польское о е. х(<. - сепарабельноэ метрическое ( сепарабелънОСТL следует из компактности и метр;1зуемости Х 'R ) пространство.

Да.uее, рассмотрим множество ~: -= ~ о. Ei 1\ \ ~ ~ :Х- ... с:/. е \ ~ ~\;; to,1) • Ясно• что формулу (27) достаточно показать для .]"' -поч­ти всех "Е: м~ и произвольном .,i.e (().~) • Цусть -!t1. - замкнутое nод­ыножество ~ , такое, что ']\ 11 .~ro,!) - непрерывно. Для каждого ц .,_ ~... выберем функционал ~" G L .С tRt) ~ строго разделяющий мно-жества\~\ и ~~(о.,~) • Действительно, в силу еторой теоре-мы отделимости (см, теорему 9.2 гл.2 на с.86 мэ tr7)), сущест­вует ПL"", L,) непрерывный линейный функционал. строго разде­ляющий множества ~ Ч и '~\ ('<, d.) • Но & ввиду ('(L"", L,) - непрерыв­ности, он явJшется элементом Lг(IR~) (см •. пункт I.2 гл.4 на с.159 книги (I7j). Цусть, например, будет ~ ... с-:1:) .:.1 и ~ ... l~)>~ для всех: ~ G 'Th (i..,o1.) • Положим Vr... ":.';' ~ ~ e)\Q. \ .\- ... (';!) ';> i. ~ и v ... " \ e.G -5\i.l'Т';:<.e,"yc..V ... ~ • Так Ka!t.Vv.. открыто в метрике cl р то V"' - открытая окрестно~ть точки ~ в *'- , поскольку отобра-жение 'l>tC.,.; н·епрерывно на я.._([О,i} ' Итак, 'i;w"~C,(, о .- откры-

1 ......

тое покрытие множества ~t , котороеn в свою очередь, компактно.

Цусть 1 Va. 1 "..... его конечное подпокрытие. С помощью набора '\ к) ~:Ji. 1 \,(""

фующионмов { ~"'~ 1 ~·~ построим окрестносrь V точки .:Х: 1 по-Jtагая

"\f t \_ ~ Е 'J.. Q. \ ~ "'~ l ~ ) <. 1 , к " Ц ) .

Далее, та.к как направленность { -i:rti.i \ ....... сходится к 'k в то-nо.11огии ПL..., 1 L,) и .... v - окрестность точки :J: , найдется ,\"сА такой, что 'Х.;:-ел) <:\J для всех >-~>-о ,;..Е-А. • Мы предподага.ли, что 'Х. - простое атсбражение, поето~ мы можем также считать

\t • чtо 'Х. Е \ .;! Fv..\ J • &~берем неJюfорый а. F. -А~ n t\: . Тогда, так как XF'r.;.)E'V w '?t(c.,o.)riVaJ.1 •должно быть.,_ f:_ .:Хт~~ ~ Х1=щ для всех J. ..- А.о , л .;:. А • Но, '-x.r-щ,'ilr:c..i) - равновесие ыоделк Ее- , пo-

rU-) arowy, в си.rу (8), получаем

28

('1"F'{.I.)<."),"(.) <:- <~r--C..)1'-'<.c..)). ~/\!>. ~· .... «. c...~.!l"n:R:,>-:~>..,·xtJ\. (2В) Цусть Ъс ~,n :А~ • Тогда. в силу (28), имеем

s <rтs:'(.\,(.,,"> c\r- ~ I~~~(.\)''"'")>d.r ,·>- )..)." , ).f:.л.. (29)

~ ~ . F.спи Х ь - харахтеристическая функция мНожества ~ и ".t е. "Х 0 ·'):, то неравенсtво (29) можно переписать в виде

~f°Cll) ('Х•) ~ ( ~ f'().) ~ ~.., JJ') \ >. ">>-о 1 >. (f- J\. • (30)

Но. так как { irc.i.)\~•л сходится к t в топологии r(';{\~) в (30) можно перейти к пределу по лe-JL · • В итоге приходим н неравенст­ву

,.., O'l'll;Yдa, используя интеrрsльное предстамение ~ , получаем

\ < i (.,) ,i-~ > ~ ... 1111 ~ < 1 ) ~ ..,. J .r '> . ъ . f> ..

{ЗI)

Формула. (ЭI) сnраведnива дм J1Юбоrо иэмеримоrо подмножества

ь с~" 11 ~~ • Спедова'l'еJIЬНО, д.nя .r -ПОЧ'l'И всех Q.~ л"n fl~ ДОЛЖНО BЬIIIOJIНЯ'l'ЬCЯ неразенство

(32)

Ус'l'ремnяя t. к нyJII), мы получим неравенство (32) выnолненным длJ\

~ -почти всех t..E .Я~ • Теперь устремим к flYJll) а< , и, .анапо" rично пptt~erq ~ получим (32) выполненным уже дпя JA -почти всех о.. • i t удоВJl&'l'ВОря!DЩИХ услоsию 'Х ~ ~ , Лемма доказана.

У'l'верадение с.1щцующеЯ леммы nоч'1'и дает равновесность сос­

i!'ояния

Цусtь 11 ~ --= ~ " ~ -й 1 't ~ -У: } , т. f 'Х . ЛЕММА 7. Сос'l'ояние t"J: ,i') экономики f.. сбмансиромно и дяя

а11боrо -х''Х и ,ri -поч'l'и всех С\ е di,i: sюtоJ1НЯется иеравенс'l'во

(т<.")~~х.> ~ <l',\t.l'(C..))

npиtieм, дпя .r -noчirи всех Q. Е- ~ будет таае справедливо

< -t (fo.) '.:х: ) :::: < 1) 1./( С\)> •

ДОRАЗАТЕ11ЬСТЮ. Чтобы убедиться в сба.лtн1сироnаино~ти ci ;f) достаточно перейти к пределу по .>.~Л. в раеен~твз.:~с :

29

~'I•c•)&.!"= ~"'dJ< 1 )'rr"щc.1,~>dJ"=<,.c,_), \-a.dJ<> 1 ~ЕХ. Докажем вторую часть леммы. Положим ~·-= 'Х.~ о1·е. • где О.Е (0,1].

Из предположений А! и А2 следует, чтu ~" :-._ "Jt ~ ~ для J' -почти всех Q.E~,_. Г{уСТЬ а ... ~х - Простое отображение И n~.-~"\lo., .... 0

nри ._",... и некотором ot>o • Если _r~оложить ./t"={~-= J\-.. \ ~"'!;; ~) 1<-:~ 1 , то .\\ ~.:: .g"~1 • \\".!,""" и И :Jt"= *" . Вс:е это следует из

! "''" А2а), Но, в силу леммы б, для любого \\•~оо , должно 5ыть

(Ti<.1,~") e:.<ti,W"(c..)) ~Л5'. ,f'-"'·~· c.E.J\" 1 l<:o\,,oo.

Интегрируя последнее неравенство по произвольному измеримому

подмножеству б с. ti" , получаем

\<'1i~.),~"/d,iч ~<~, ~wd,r-), к"~,оо. ь ~

Если положить ~" = Х ъ' ~ w , 2R 1:..: "'* , то мы можем написать ~ (.11?1<) ;i. <~' ~ .,,,J,j'-) , ~" ...--;OQ.

ь

(33)

Однако, 1' 6 ~4 - функционал, непрерывный в топологии нормы

пространства ~ • Следовательно, М!:' можем в (33} перейти к пре-делу по \< _., ""' • В итоге получаем

~(~°')~(~,\vdJ">, L

(34)

где ~"'= ~а"·'Хъ, ~о1<?-~ • Опять, неравенство (34) справедливо ДJIЯ любого измеримого ~ с~" , поэтому доJIЖНо быть

Устремляя h к бесконечности, приходим к

для t -п. в. r. (;. ~".

Ч'f'Обы получить утверждение леммы, достаточно перейти в послед­

нем соотношении к пределу по J. ... о и рассмотреть случай -х."' rx.-. Jlell(bla докаэан11.

Итахр теперь Ыk1 можем приступить ~ доказательству основной

~ореwы. Цусть ~ - иэwериыое о'l'ображение со зна.ченияыи ·в Х , удоuеt>вормщее усJ1озЮn '!е<"~ б lj">cc.,~) д./JЯ .f - :~очти ваех " Е- 4 • IЬ ~ WЪ1 оnре,цехю.& .цруРое оs-обрамШiе )е .i: 4\ .... Х

30

по формуле ~ "(c..J =--ьс <с.) + •Н! , а. Е .Ji • Здесь ,;..,." и е. "х -отображение, тождественно разное ( j·'~ ... , 1) е 1R~ Ясно, что формулу (7) определения I достаточно доказать д.ля всех .i .,.с ,

d..e 1< • Измеримость отображения 'd!.' очевидна. В работе \22] бы ... по установлено, что из измеримос•.rи отображения ~ со знечения" ми в метризуемом пространстве, слерует его сепарабельно-знач­

ность ('1'.е. существует Sc::.U тuое, что f"Щ"о и Ц-А\S) сепарабельное пространство). Иначе, да.же если область значений измеримого отображения не является СJПарабельным прос~rранством,

усповие его измеримости РJiечет силъну_ю измеримость, т;е. воз­

можность представить его как nоточечный предел последователь•

ности nрос'1'Ых отображений,.сходящихся к нему почти всю,nу. Цус.,.

.( ~"} ::. поспедовательиость простых О'Юбражений, сход.ящаяс.в на -!i почти ВСD,113 к ';!е" • Иэ СХОДИМОС'!'И почти всю.иу получаем. Ч'l'О ~я любоrо i >о существует i ... с 1' и "'·fii lif '!'а.кие, что .f'-( :11\Ь.,)<t. и !\<!е"<")-х•мu~;: ДJl.Я Jt -n.в. <1.Е'В~ ,~";Jt.1t".

Если положить ~"" С!<'.,'Х "$. ... ff .х""" д,11я воех "'~ 1t.o , 'l'O из .пем­мw ? можно эамючить, nоскольку •" - простое отображение, Ч'l'О /1iЯЯ k ~ k" спраIЭеДJIИВО

<;'oi,t.) ,)е",о.)/ ~ (f,V(й)) \Acft. ,t-\o..e, "~~~. f {35)

Dереход.я к пределу по "'..,.°'" получаем (35) :вьmо.лнеЮiЫМ дяя }it-.. Но. ввид,у nроиэвОJ1а в выборе t .... nриходю.~ R .

Ч'l'О и '1)?ебоМЛОСЬ докnза'l'Ь.

Вторую часть определенин равновесия .иеrко получить из

предположения А2а) и условия '..-о . Доказа'l'ельство посJiедк.,,. ro достиrае-tея 'l'еми же арr;умен-rами. что и в с.вучае экономики S.. Оlf!tОситеяыю '" • Эти рассуждения со.цержа'l'Оя в конце дока­эатель&rва. всnомогаrе.яьиоR теореw a··s 2; эдесь мы их опуска­ем. Теорема доI<азана.

§ 4 •. Усяовие nоточечноЯ> насыщаемости. Прю.сер экономики, удовлетвор11Щей nред.nолоаениsм основноя теоремы

·~ Мы сейчас рассмотрюi условие на экономику С.. • артельна­.тиt;ное предположению о "поточечноf.1 Nасыщаемости" агентов ~хово­мики. Это уСJiовие, на наш взгляд, более точно отвечает интуи-

ЗI

тивным представлениям и является срг.внителыю менее жестким

требованиемj чем А5. Сразу оговоримся - мы докажем лишь то,

что зто условие будет достаточным для. теореwLЫ существоваНИJ'J

равновесия (при наличии прочих предположений) в случае един~

ственного типа физических ·rоваров. Неформально суть его мож­

но выразить высказыванием: "если в распределении -х. '° :Х группа агентов tc R потребляет "слиш!{ОМ много", то число аген·r·ов,

не согласных с ;уменьше:~ием уровня по'rреоления товаров аген"

та~.~и из Е> t соизмеримо с числом агентов в Е> ". Таким обра· зом,·мы хотим сказатьt что :величины .f(&;) и J'i(-:A$.) i где Ь~, "" { "е -М 1 -:c1i:.J ~,p>Cц, ... ,i)j и ·И~::: {а._ -R 1 х /\ у,·е 1/· \С j должны быть "одинаково малы"• если х с) сбаJJансироване; • скаляр J''

стремится rc ll'X: 11.., , а i:"' и"" - достаточно большая нелю-~инс.,

Формально это условие можно оnредели·rь сле.цующим обра~

зом. Если -х&:Х ~ то величину

назовем характеристикой распределения С\' , Интегральной ха,

рактеристин:ой Э'l'ОГО распределения условимся называть ведич:·1 · ну

Теперь сформулируем предположение Аб, О'l'вечающее сделанном,у выше выска~ыва.нию.

Аб. Исходное распределение w Е'·Х имее·r ненулевую ин•н1• ральную характерцс~ику .Av >-о.

Расшифруем ~'Ю nредnоложение. Оно означае'I', что для дос та1·очно большоrо "'"-..о • сущес1·вует ~-:.о ТЩ\t)Й, что M:JJ ~g

для всех ;JtX • уд.авлетворяющих условиям )~d1,~ \"""JЧ и 11 ~и.,,"" к' " Далее, для всех таких распр~делений можно выбра'l'Ь число .j>(J) <..J. иv11.,., ' бл.изкое н 11 ifll.ю t так, чтобы ,,м( 6~ )1 JI' (А/ ) -;.- " uрм .11юбом .f> ~ .fЛ JI и ,р ..::: и~ ll,,,, •

rJрадположе•t>t~ А6 t очевидно, слабее, чем А5, поскольку .А5 влечет: для досts.точно больших к-...с величина .;v.(llJ) • где r 't "\ ..t и v ;! и.._,./<(' ~ обращается в ноль при " .... h"'jИ... ' Однако. в

'!'Оже время f"'{ t>_:)>OJ , и, тем са.~.шм ). "'" "..,... УТВЕР11!ДЕНИК 3. Ее.як f.,,,J, и Е удовлетворяет AI-A4 и Аб.

'1'О в Е;. существi~Т ра~оъесие.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, Заметим. что при докайательстве С\сновной

теоремы nрl;iдположение А5 было исnольэовано лишь один раз - в

доказа·rельстве леммы 4, Поэтому, чтобы доказать данное ут:вер7.t­

дение дсстаточно получить существование ограниченной по норме

11. u00 поднаправленнос'l'и направленности С'1Ср lpf'"f равновесных

распределений моделей ~" • Проделаем :этоо Предположим

il'Xpll...,--;;,;;"""' , Так ка.к "'"' , ~"':Т равновесные распределения, то они сбалансироваr1ы, и на основании Аб можнrу, без ограниче­

ню1 общности, считать~ что >.<<X~l-;;;; >."';;>.'>.,.,.. Для простоты так­же предположим, что ) w<!f' =l • Цусть ,;. -= ll"Xp 11 fu и ,р,.:: cl. • Обоз­

начим .~$> "°'Хр л JH~ • Очевидно, ~J>"' ;J.f' , и можно выбрать число . .р достаточно близким к <;.\ так, чтобы вьшо.тrнялось условие

\'Jt!'~J" - 5~.;>Jif'"" (ci-,?)..fr(Б) '.rде &= 1>;..-= f~,;=:fl/X;:C«)'>#>}. Последнее возможно• посколы\У х, - ступенчата.я фующия. Опре-

делим ЧИСЛО (f-;. о ИЗ усдОВИЯ f 15'· /JiP.,. f 'Х; ~ Т. е. ПОЛОЖИМ о=

J./.1-r.1.-p),fU(f3). Обозначим 11;г={ci~ЛIJJJ>;;t'X."J, Теперь 0 учи­тывая, что 'Х; - равновесие модели г.,,. и J-!f~~"'r: , мы получаем:

• qf?J/-\.Jt;"

Q. € .JJ'X" ? J'; •

{36)

Ввиду сбмансированности ('jj'"' (.) должно быть 1'" · ~ <~"''·'· ~ei> "'.i ,

поэто:,~у, умножая (Зб) на 'lf и интегрируя его, получаем нера­

венство

'(. J.,. w<.)dJW + U f wc.;cl.? :!f J.. ;\\,\ ' ci\ AXJ!'

" "" Преобразуя его, приходим к

{ w(.) с~11 + ~ ) wC)dJk ~ j. -(J.-JJ \f (5). д\Jl'X' '~~ .

!> ",,. Учитывая } "" dt = 1. , посл~днее неравенство представим в виде

А

l 5 w<.)d.f! - r w(.)c/f'::: -(c;J.-p)J11{13}. 6\ ..4;' !t''; .

ПроБОдя дмы1ейшие преобразования:, получаем

oi·.JUCf>)·(?.-.p~ $f J W(.}dvм .(d-/,) 11.~"

Наконец, так как Е." f>j , мы можем написать

!l-xi:Uoo ::G //w~~ • /v1{.д;'"J / JU(e>,fr'XF).

Устремляя. .}' к 11 xF v ... , получаем оценку

fl~#~ S llW'lf00 /).{"lF) ~ 2.·lfw'/1 00 /.Лw',

которая спраьддлива для всех Pi:<:;: 1·аких, что ). стF )~ ~..,. Последнее противоречит сделанному ранее допущению, что

1\~н" -"·.v е><> •• Утверждение доказано.

(3?)

Теперь мы приведем некоторые рассуждения, с помощью кото­

рых можно было бы попытаться доказать утверждение 3 в СЛJ'Чае t.-:,.. z. • Мы будем рассматривать проэкции предпочтений на соот-ветствующее н~которому j.:Ц подпространство ;J..F и в дальней­шем используем тот фа.кт, что(?:", т"") - равновесие модели E.F •

Фиксируем номер j , j" J.-;ё • I{усть -xJ - j -е координат-ное отображение распределения -х >Е: (:.; )~ = Jэ. • Рассмотрим предпочтения - проэ1щию на .t; из ;Ь , полагая

's';(~,i!.)={3€;J..; 1(-t"!Jj)Ef'1'(0.,c"f;/г 1 )))1 -i!-€..f.;,

Здесь символ (?:i:/ ~j) означает, что Б '"l;"#(r/,т;"."xj) функция '-~ заменена на ';f • Пусть 'ХЕ'iэ • Если обо~начитъ 5~ = { н J / -xS(~) > J!> f , 'I'O. очевиJ!.НО, получаем ;~ В~ " !:>; . • По-добным образом, с помощью 1>'r.") можно определить ..;; ~r = [" F Ji{ -х :,,. />:Х r; ;Е rp f а, rJ; f • В этом случае получаем включение

<t ,; • •

/!,11,{' с ll; r' Теперь w можем написать .f"( в;)/ .Jl'(I!/) ~ iJ"'(б'_;)/,f{-17,rt) , откуда сле,цует цепочка неравенств

~ мr5i•1 f- .;ц(8~') ,;11(5;) / ,_,_U- ~ _i•.i ~ --

j•~ v"<O/) ::--- /"(Jt'}.) Jw(llJ).

Jереасодя ·. пределу no .Р-+ м-rv.., , ыы в итоге цопучаем оценку

2::. ). ;rx) Р А (;с) j/12.;il-"' lrl"' •

Здесь ;.·;(-,:.) - хара.чтеристика. "одномерного" расnределения xi

0'1'нuсите.1ьно nредлочтени~ 'YJ·r".) . В сьою очередь, последнее нер&венс'f&о il.ЗНf..1Чae'l' существование Н()мера j"' .J-:i таl<оrо,что

11 ~:а,.. ~ f'% ~ ., и >. ;(.,_) -;... ,A(xJ/t • Tcni:!pь можно расс1"отреть "од­ноuер;;ую• &R\JHO~-'if!IJ f; с соо1·ветr:т11:;щшtн е.й nре,ц11очтенинми

34

'YJc.,:; (индекс j выбран 1raкi чтQбЫ выполнялось неравенство ·,) р:' , ;;... А.,, r) / г ) , ПоЮ!!'Но, что распределение ?:-',, будет рав­

!<ОВG"~ем относительно Е..~ ; в :которой ~з качестве исходного распр;:;деления выбрана фун.кция (.::",,,,",..(.)> " . . ~.с:..т;(.J,сх~>)/ .1"Р~, ~ <. t',, wf,J / / ?--;,. • Наконец, если бы совокуп·· ностъ этих "исходных распределений" была равномерно ограниче­

на по ГЕ 'Т , та мы могли бы, рассуждая: как в утверждении 3, ШJ. основании l)Ценки ( 37) прийти к противоречию с предположе­нием il 'Х" 11~~",,.. • Тем сшшм было бы доказано утFерждение 3 в ~;бщем случае. Длл этого дос•rаточно t чтобы условие r~ ;;.. / >о было выполнена для .всех J ::.i-:e и равномер1ш по FIF-':F (или

ХО'I'Я бы для поднаправленнос 1rи (:PFJpq ) • Здесь и заключена гла:анаR тр;;rдность. почему утвер.ж,дение 3 не удает~н обобщить на случай С~ г . ::..i.'1 не знаем, можно ли получить ·rекую равно­

мерную ограниченность Pl от нуля: по ",_,. Т 1 находясь в рам~ ках предположений AI··A1. Знолне возможно, что для этого пот"

ребуе•гсл ,r,ополнительно~ условие.

В заключении этого параграфа мы в~рнемся к рассмотрсниn

примера (см.фор.мулы (I)-(4)) экономики Е. , приведенного в § I.

Чтобы экономика (4) yдoВJieтвop.FIJJa всем условиям теоремы

существования равновесия необходимо ввасти дополнительные ог­

раничения на функции полезности аген'!'ов в этой модели. Имен-но, пусть функции ~": ~: x[o,i] __ .,. R.,. (см.формулу (2))

для .;ц -п. в. й tz f/. удовлетворяют условиям:

I) Существует константа М> о такая:, что

c;i...,. ('r.,~)=9" ('r.н,:!>)-:::..1. '/ Zjl! 'rн=:"/{'t, N·(.J.~, ... ,1Jj для всех '!: ~ !il! и if1t -п. в. ~<f fo,f.J. 2) Для JU -п. в. s, f"Го,.1] выполняете.я равенство //о (с,$}"' о.

Далее, для того, чтобы предпочтения агентов были в совокуn­

НО'3'1'И измеримы. достаточно 11о~rребовать иэмеримссти отображе­

нип 11 :Х.,, ft!,JJ ~ /R , I'ДС 'У4 ( .) = 'ff(. •о), t1 Е 't:e,.1). i1оэ'1'о­ыу мы будем дополнит$J!ьно nредnо.лагать (см.формулу (3)). что \ШНIЩИИ /J't ;['l),.J]2 - fl t J'"t. {., ~):: jq {"t1 ,) t Q~ f"c,.1J t

измеримы относи'!'&АЬНО ( r•,JJ" , О!" fJl) для всех · · r.'"JR ·t-t-н ·.А-Ь,

't. f<' 1К + • а отображение -t: ГDlLJ--"' ", 2- , гд~ ''"..' z... ::: , --- .,, } :: { -t 1 е- е<.t:н / iJ. >о, ;" .1, 4 +1; ;! i:; = .:J. , измеримо 01носи-

J" тельно ( t:o,JJ, Cll) •

35

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Вид функций, определяемых в формуле (2) -4,,,ra,x) = { 'J-• rx(.J,. > d.f< , х ~х . был нами заимство-

ван из рабо0ты Т.Вьюли [II] (см.приложение 2). Вьюли называет такие функции функциями полезности типа Ноймана-МоргеН!!Iтерна

обобщенного вида. Замечательное свойство этих nолезностей

состоит в том, что они являются непрерывными относительно

'Nnологии Макки, инд.Уцированной на Х . В тоже время они мо­гуть не быть нtnрерывными относи'l'ельно слабой со звездой то­

пологии (СМ, tl ~ ) , Итак, теперь нам осталось показа'rь, ч1·0 при сделанных

выше (и в § 1) предположения:хt экономика (4) удовлетворим· всем условиям теоремы существования. Сначала мы установим сле­

дующе.е утверждение 4. Пусть 1j - топологическое векторное проu•rрыютво, У с. 1f -

За~.~кнутое выпуклее подмножество, и { - неко1орр,,л функцин из 'i в IR , Тогда через "\ft обозначим множество уровня о1~Р полагая:

Ч'ГО ыножес·rва и.х уровней 3fi.МIЩy'l'bl в 'ГО!JОJlСГНИ П{IOC'PIJШIC'f'Btl У'.

Тогда, если фун1щия tr: У.>->-~ нtепрврыы1а а МОi!<Ношю не убыва" ~'1', множес•1•;за уровня О'r·о6ре.:кеш1я ·ч "1л+,"~ , .. ь 'tf '

ДОКАЗАТЕJI!l.:'ШО., Зафию:;ируе1,; d.c:l;; и пу.:;т" { х, 11 щ. сходя­

~1аяся в топологии пространс~гна. 1f направлеiншо•r·1, эл~мен•rов из

~ 'X;.J :-::~: .. 'J/' • До:.~'ГЕ11l'ОЧНСj ПОl{.:"iЗа 1ГЬ i что ,~..- ,,, Г{уеrг1_) J:~ -~·~('"!:;.)~ ). __ f· . .JL,;:~1:-;; е Мы MO;it·:cм СЧИ'ГЕ--.ТЬ;; t)("':3 огганичСl-!ИЯ

Hi:iC'l»i, !i~1правлt1ш,;сть { S' ~\мл с.ход)Щеf:сн к ii'; Е [У,,-<',;] , при лю · бом .> 1',1., ' Предноложи~1. о'(= +D-> для !!Ы(()'Г!)рОГО, ,~.t.« ' Цусть

~ р ( ) ' - - • tt f {} •

б"' ·r; "I:, ·• :L и рзс:смо1·рvu'\1 множеспю V;; , ВЕИдJ' ;;·;, J": = +Р<> ДОЛ!\!"

но най·гиr~ь А" ЕЛ. '1'акы1, что 1f>~ ~ 6' для всех л ?· >." , ;. Е-Л

ДpyГJ.t\!li CJ!ObliJ>!At ДОЛЖliО 6Ы1LЬ :t~, <=-'V/; , >;;.Ас, ;.е,;1. • Но, по ус11ови11, множес·rво УХ "" замкнуто, поэтоМJ' получаем х Е- v·:; , что лроt»Еоречи'l' выбору о , И1·юс; мы получю1и 6: < +.,., для

в:::~х i=i~·. 3.::Jl)икснруем некоторый i••-;i; и покажем, что ~;(1:)~ о' • Да!\ств1и·е11ы-ю. если ~'"о • '!'О все очевидно. Если 15°>0

Т'О ДJJя .l!юбоrо Е>4 ~йд(;;1'ся .1..<'·_л т1i.ш>й, tiro /,>~ ):(}"':f дл5! ,

36

V r·',i всех >.?; >.." , >. "'.А . • Опять J та.к как. множество -f.~ замкнуто, должно быть -х"' v;,:-r. • т.е • .fJ-x)~o~i: • Откуда, в силу произ­вола ~-:;.о , приходим к

(38)

Далее, из непрерывности {.Г и усло13ия и СХл) ~о\ , -' &Л- получаем

!i~ IГ(J>; , />1.···· !'Z) = lff~'. ~', "., <r") • Но, монотонность v- и (38) совместно с пtюледни~ неравенством дают 'И(~) ""11( .f.Jx), ...

. ",1k(-x)) г: о( - что и тре6овмось доказать. ЗАМЕЧАНИЕ 5. Особо отметим тот факт, что в утверждеюш 4

не требовалась непрерывность функций .f, • .f,,.",.f" , а лишь З?-мкну­тость их МhОЖеств уровня. Как нетрудно убедиrься:, последнее

является: существенно более слабым условием: (собственно только поэтому и потребова.nось доказательство).

Теперь мы прис'l>уnи:м к непосредственной проверке предполо-

жений AI-A5. Цус•rь а'° JI - фиксировано. Тогда, в силу утвержде-ния 1, множества уровнf! функции ':1~ (.) (см. формулу (3)) за.мкну­

'l'Ы в rопо.nогии Макки (замечание. 4), и, следовательно, выполне­

но условие Аiб). Предположения Аiа),в) ,А2в}, очевидно, бущгr также выполнятьс.я, IJ. справедливость А2а) сле,пует из непрерыв-ности 'ИаС.J Б топологии нормы 11.11.,. • Проверим А2б). Пусть

х,::/"1Х • Если бы зто условие было нарушено, т.е. не сущест-вовало бы f"f(",-x)>" такого. что 1'.е~ Рса,<Х)ПХw , то наш­лась бы последовательность xk Е> Х , .ц"' cr.) ~ u"rrr) , k"'i-;;.. та­кая, что c-;r"J,,,5j..,,e1 ... и f"_,.,g,и.,..,.,, где e~=r--i.м.f;e•). В этом ) v - 1/. 1•.l,l

случае без оrрiШИЧения: общнос'l'и можно считать, что €." 0 ,/,('r,J , и окэ.эывается справедливой оценка

'Чс, ('Х") ~ \Г( (( 1 fм 1 J,4, ... ,l),

Здесь предполага~'!'ся:, что f•.r.Jr,..ц.i,.",J) , а функция ir:[o,J.J•~;· .,,.!К. оnре.цеnенs."через 11r,(.) о nомощью ооотно:пенил t.· 11 (х) :с irr c:i, .(,r~J ,,f..ev" . .,.fq.,.,ta.'k.)J. 'lr. ~х (т. е. л~ ,.) - функция типа Кrбба-Дугласа, ом.формуJ!у (3)). ОднаI<о, 'l'l!Ut как €~ ... о при 11 ..-.со , то для доо'1'а'1'очно 60.лы11их и доJrЖНо быть 'U" ('r ~) < it" ("t) - ПОJJУ'ЧИЛИ nроtиворечие. OcтdJtocь про.верить Пf~щпо.nо-жение Аб. В качестве константы /(-,." мсЮ10 мять чисJtо IЧ ? о , которое участ!)'ет в определении функции ~ : r-: xf•,J] 1.., R (до'1оr -нительное предположение 1)). Непосредственно по пос'l'~емию. по­~Rем

37

-и ч ('1- ,;11(-е) "" (f"(q~J, (Х), .. ".f.e (1'], fe.,., {й, 'Х ,1 lf'·f') • ж Е Xw, т. е. достат6чно 110кtiэа.ть, что 4'e+t (е;, х /i k·e) :::4'-e+/ч,'IL), -х EXw, Однако, пос.nеднее сразу следует из построения 0тображения 3(.J_, что и заканчивает проверку.

38

Литера'fУра

1. Марэжулин В.М. Неэфfх!ктивность равновесия в гладк~ экетомиках: с !flун.1щиями полезности общего вида.- Оптимизация,

вып.27(44), I98I, с.44-64. 2. Макаров В.Л. Модели согласования эксномических интере­

сов./Уче6ное пособие.- Но:восибирск, НГУ, 198!.- 67 с. З. Макаров В.Л., Васильев В.А., Козырев А.Н., Мараку -

лин В.М. О некоторых проблемах и результатах соврем~нной матt•

матической экономики.- Оптимизация, вып.30(46), 1982, с.5-87. 4. Козырев А.Н., Маракулин В.М. 06 определении экономи­

ttеского равновесия в модели рЫНJ\а с взаимомияниями.- Новоси"

бирск, 1983.- 51 с. (Препринт/ИМ СО АН СССР, J 32). 5, ВааИльеtэ В.А. Существование информациоЮiого равно:весu

в экономиках: чистого обмена.- Оптимиэаци.я, выn.З3(50), 1983, с.79-94.

б. Мара:кулин В.М. Равновесие и субравновесие в конечных экономиках с внешними влилниями. Теоремы существования:.- Ново­

сибирск, 1984.- 24 с. (Препринт/ИМ СО АН СССР, 11& SI ). ?. Debreu G., Boarf н. А limit theorem on the core of вц

econom;y, Inter. Eoon. Rev. 4, N 3 (1963). 8. Aume.nn R.J. Ma.rkets w1th а continuwn of trade:re, Eoo­

nometrica, v.32, N. 1-2 (1964), р.39-50. 9, Auznann R.J. Existence of compe·titive equilibria 1n

markets with а continuwn of tradeз:.'s.- Eoonometrica, v. 34, N 1 (1966), р.1-17.

IO. RildenЬra:o.d w. Core вnd equ1libr1a oi а large eoo­nom;y .... Princeton, New Jersey, 1974.

II. Bewley T.F. Existenoe of equilibria in eoonomics with infinite man;r coD1111odit:t.es.-.:r.Econ.Theo~. N 4, 1972, р.514-54(),

12. Ма1tаров B.Jt., Васмьев В.А. Инфо.Р№ЩИQННО• равновесие и ццро в обобщенных смоделях обмена.- Доц.АН t:CCP, 1964, т.275, f з. · .

IЭ. Ru:rв Р.н.м. РuЫ1с · good& ahd decentralization .... The ~otherlanss TЦ.burg Un, Press, 1914. .

14. ДанфоВЦ Н. 1 llJвapц Дs. Т. JUtнeRНNe Ottepe.'l'OP!fo 0бЩаа те" рия. - М., Ин.11итера~r.fР$, 1962. . .

15. D1estel J., Uhl J. Voctor щeasures.- !,.f.,r. •• surve7e 15, Providenee, R.I •. 1 Amer. Yatb. Soc. 1977.

39

16. Кu.uв Д..Jl. Общая 'l'OПO.toriия.- Ы.: Нqка, 1981. 17. Пlефер Х. Топо.аоrические мкторJfЫе npoc~aиcfJ&.." 11,r

Мир, 1971. . . 18. Канторович JI.B., Аюшов Г.U. ФущщионапьныА щwщэ.•

11., Наука. lf/77. 19. Hiшmelberg o.J, MeasuraЫe rel&Чons .... J'und. Math.

v.в7, в 1, 19?5, р.53"72. 20. Мейер П.А. Вероятнос'!'ь 11 потенциu .... М., М..р, 19?3, 21. Hi11Ш1elЬe:rg С. J, Prec0mpaot cont~ction o"t 111etric

'1tliformit1es, and cont1nuty of :f(t,x) .... Seщ.14atem, UniVEtl"-'> eita d1 Padova. v L, 19?3, p.1s~1ss.

22. :rrem11n D,И. MeasuraЫe ftЩotion №d alщ9st conti• nuous functions.• •anuscripta Matb., V JJ, 1981; p.J87.Jf05•

•

УДК 519.ебб.З

РЕФЕРАТ

Конtин;rмъные модели обмена с :внешними мм.яниями. Существ•ва•· ние равновесия.· Ма.рц;упмн· В.М .... Препринт J В2. 42 с~ '

В раоие иССJrед,уе'ЮЯ it0И'llЩYuыw1 модель рюша с внеiu­ними миян~ в nредnо11'Нюiях аNН1'011. ·В Данной t1одели сова-. цуnн0о'l'ь экономмчеехах аrенма оmюнеае'lоя км пространс'l'l'!о .. , •рой (;. • tJt, /1) • а дос~ ·раеПРfделения то:еаров ~ыбира• ю't011 из конуса НIOТfицa'i'tJiЪнiilx ел~нfе)а nространмва . Lt10fA10!,Jt,·it,J =.~ , вве.-ио nOSтilt cиctteмif инди11и.цуuь ... иых ЦIИt а на. ero. OefloM ;.; DOJUmle раВМОМсмя. lТод СИС'l'еМОА ~nдya.t,blfJillt !fH tаони.ися. ~аuярио .. ИWМ:rриwемое мобра .... 11ение из / . D ~ ~ tJpOC\'plifl0'1'JO ioeJ .nииёАных непреры!НЫХ (no норме) ~JЩИOЩUiO\J нsд. L0of J~ t?l; JЧj ~') .. ·. ; .• Доtс83а"" на теоремr. ~otataimA равtt0Мом1. SиФВюrрафiя 22 иаиме-

- . . , . . ~ ,

'. · .. '~ .

Маракулин Валерий Михайлович

Континуы1ьные модели обмена с внешнимн

влияниями. Существование равнове~ил

Препринт № 82

Отве1•стванный за выnус1'

С.И.Суслов

Подписано \i печа·.ги OI.I0.!984 r. МН 06154

Формат бумаги 60х84 I/Iб. Объем 2,62 п.л., 2,5. уч.-иэд.л.

За.наз 270 Ти:раж 200 эка.

О\'nсча.11·ано в Инс•rитуте ма•rе_матики СО АН СССР•

630090 1 Ноьосибирск, 90