142

o možných světech, filozofii a logice

Petr Hromek

Následující úvahy chtějí čtenáři posloužit jako stručný komentář, resp. jako několik postřehů k článku Saula Kripkeho "Sémantické úvahy o modální logice" (Semantical Considerations on Modal Logic), jehož překlad je publikován v tomto čísle Aluze. Nejde však o žádný "kanonický výklad" modální logiky, ale spíše o jakési zamyšlení nad mo­dální logikou a její sémantikou, nad některými využitími i "zneužitími" pojmu možných světů a v neposlední řadě nad cestami, jakými se modální logika ve 20. století ubírala. Hlavním účelem těchto úvah je pomoci čtenáři zasadit si Kripkeho technicky poměrně náročný a strohý článek do širších souvislostí.

o Saulu Kripkem Saul A. Kripke, jeden ze zakladatelů sémantiky moderní modální logiky, je významným

současným analytickým filozofem. I Narodil se v roce 1940 jako syn rabína a učitelky a již velmi záhy začal projevovat zájem o filozofii a matematiku. O problémy modální logiky se Kripke začal zajímat v šestnácti letech a prvního velkého úspěchu dosáhl v osmnácti. Jedná se o jeho slavný článek "A Completeness Theorem in Modal Logic" publikovaný v roce 1959.2 V tomto článku Kripke formuloval sémantiku modální logiky pomocí pojmu možných světů a dokázal úplnost systému S5'= vůči této sémantice.3

V tomtéž roce Kripke oznámil, že pomocí jeho sémantiky lze dokázat úplnost pro řadu dalších formálních systémů modální logiky. Logikové R. Montague a D. Kalish, kteří v té době pracovali na podobných problémech, byli tímto oznámením natolik zaskočeni, že odvolali svůj příspěvek, připravovaný na konferenci, která se měla ko­nat v prosinci téhož roku. B. J. Copeland uvádí humornou vzpomínku Davida Kaplana, kterého se prý Richard Montague v té době ptal, zda "S. Kripke je muž nebo žena; všichni jsme byli velmi překvapeni, když se ukázalo, že Kripke je vlastně ještě dítě".4

V roce 1958 začal Kripke studovat na Harvardově univerzitě, kde se jej někteří jeho učitelé snažili odradit od zkoumání té obskurní disciplíny, za niž modální logiku pova­žovali. Copeland konstatuje, že právě to byl možná hlavní důvod, proč další Kripkeho zásadní články rozvíjející sémantiku modální logiky byly publikovány se značným zpož­děním až v roce 1963.5 Po absolvování Harvardovy univerzity působil Kripke jako uči­tel postupně na Princetonské univerzitě, na Harvardově univerzitě a od roku 1968 na Rockfellerově univerzitě. Od roku 1977 do roku 2003, tj. většinu své akademické dráhy, přednášel jako profesor znovu na Princetonské univerzitě. Od roku 2003 se stal jejím emeritním profesorem a aktivně začal působit jako profesor na City University of New York Graduate Centre. V roce 200 I mu byla udělena Schockova cena za logiku a filozofii Švédské akademie věd, která je v této oblasti svým významem srovnávána s Nobelo­vou cenou.

Po výzkumech v oblasti modální logiky se Kripke zabýval řadou dalších filozofických témat. V roce 1970 přednesl na Princetonské univerzitě tři přednášky, z nichž později vznikla kniha Naming and Necessity.6 V těchto přednáškách Kripke využil modální lo­giku ke zkoumání sémantiky vlastních jmen, kritice deskriptivní teorie vlastních jmen (Kripke zde formuloval vlastní, tzv. kauzální teorii vlastních jmen) a k filozofickému zkou­mání mysli. V souvislosti s vlastními jmény Kripke zavedl rozlišení mezi pevnými zna­ky (rigid designator), které mají stejný význam ve všech možných světech, a mezi vol­nými znaky (non-rigid designator), jejichž význam se v různých možných světech může měnit. Vlastní jména Kripke analyzoval pomocí pojmu pevného znaku. Další Kripkeho práce se zabývaly teorií pravdy, sémantickými paradoxy a Wittgensteinovou filozofií.

o modální logice, filozofii a množinách Kripke ve svých "Sémantických úvahách o modální logice" formuloval jeden ze způ­

sobů, jak konstruovat sémantiku modální predikátové logiky. Avšak co vlastně rozumí-

me modální logikou a co máme očekávat od sémantiky možných světů? Pokusím se naznačit jednu z možných odpovědí na tyto dvě otázky.

Na první otázku, tj ... Co je to modální logika?", by někteří filozofové a lingvisté prav­děpodobně podali odpověď, že modální logika je jednoduše teoretický nástroj ke stu­dování modalit. (Odpovědí, kterou by na tuto otázku podal logik či matematik, se zabý­váme v závěrečné části tohoto zamyšlení.) Je-Ii tomu tak, potom můžeme prostředky modální logiky studovat celou řadu různých modalit jako jsou modality aletické (nutná pravdivost, možná pravdivost), deontické (při kázanost něčeho, zakázanost něčeho apod.), epistemické (uvěřitelnost něčeho, vědomost o něčem), temporální, modality gramatic­kých časů, dynamické modality, modality dokazatelnosti atd. Může však existovat nějaká jednotná teorie všech těchto modalit, a pokud ne, je tato různorodost prospěšná nebo je věci spíše na škodu, jak tvrdí někteří autoři? Kupříkladu český logik Pavel Tichý tvrdí, že chceme-Ii pochopit povahu nutné pravdivosti, tj. proč nějaký výrok je nutně pravdivý, pak u modální logiky hledat radu nemáme. Modální logik nám totiž nenabídne žádnou konkrétní teorii nutnosti, ale spíše .. celé menu rozličných teorií, z nichž on sám žádnou nikterak nepreferuje - a podobně jako v restauraci se musíte rozhodnout, zda máte chuť na teorii T nebo spíše na S I, na S3.5 či na S4.3, a přejete-Ii si ji [tj. tuto teorii] s formulí Ruth Barcanové nebo bez ní. "7

Je tedy nesporným faktem, že máme co do činění nikoli s jednou modální logikou, ale s celou řadou nejrůznějších systémů. Kupříkladu následující diagram uvádí několik běžných normálních systémů modální výrokové logiky, které dostaneme tak, že k sys­tému K postupně přidáváme různé modální axiomy.8 Systémem K přitom rozumíme systém výrokové logiky rozšířený o modální axiom K, tj. o(P-7Q)-7(oP-7oQ), který obsahuje pravidlo modus ponens a pravidlo přidání nutnosti. Podle pravidla přidání nut­nosti platí, že pokud f-A, pak f-oA, čili jestliže formule A je teorémem (logickým záko­nem) systému, pak můžeme vyvodit, že tato formule je nutně pravdivá.

~ .KD~ .KB~ Triv S5~S4 ~T "D /--~ ---~ --------~ -

L ~ ~K

~~r~~- ---------

Obrázek: Diagram normálních modálních systémů L, Triv, Ver, SS, 54, K4, KYV. B, KDB, T. O, KB a K

V diagramu jsou vlevo zakresleny .. bohatší" systémy, tj. systémy, které vycházejí z vět­šího množství axiomů, a vpravo méně .. bohaté" systémy. Vede-Ii z jednoho systému šipka směrem k jinému systému, rozumíme tím, že systém zakreslený vpravo je podsystémem systému zakresleného vlevo. Všechny v diagramu uvedené systémy jsou podsystémy systému modální výrokové logiky L. Systém L je již natolik .. bohatý", že v něm lze dokázat všechny modální výrokové formule, tj. mimo jiné formule oP a -,oP. Systém L tedy ob­sahuje formální spor, proto říkáme, že je sporný. Triv a Ver jsou systémy modální výro­kové logiky, které sice již nejsou sporné, ale jsou stále ještě natolik .. bohaté", že v nich dochází ke kolapsu modalit, tj. v těchto systémech je každá modální formule ekvivalentní formuli, v níž jsou smazány všechny modální operátory. Další modální systémy se dělí podle toho, zda jsou podsystémy Triv nebo Ver, přičemž mezi vodorovnými přerušova­nými čarami jsou uvedeny systémy, které jsou podsystémy Triv a zároveň Ver. Velmi oblíbené systémy jsou SS, S4, T (Kripke tento systém označuje jako M), D a B, další systémy lze získat pomocí jejich různých kombinací. Velmi důležitý systém představuje I<YV (někdy se označuje jako G, případně jako GL), který lze právem považovat za modální logiku dokazatelnosti. Uvedený diagram však představuje pouhý zlomek existujících normálních modálních systémů, o nenormálních9 modálních systémech ani nemluvě.

"'O O > ....::J

143

c' < o c..

I :-o I ., o 3 Cl) i'

144

Tolik pro ilustraci rozmanitosti modální logiky. Poznámka Pavla Tichého tuto rozmani­tost komentuje s neskrývanou ironií, zároveň nás však přivádí k takovému pojetí modální logiky, podle něhož bychom ji měli považovat nikoli za nástroj k teoretickému, resp. konceptuálnímu zkoumání modalit, ale spíše za nástroj k jejich mode/ování. RozdO mezi teorií nějaké věci a jejím modelem nemusí být u natolik abstraktní disciplíny, jakou je logika, právě zřejmý, proto se jej pokusíme vysvětlit pomocí dvou příkladů. lo

Podívejme se nejprve na pojem uspořádané dvojice (x,y). S uspořádanými dvojicemi se zcela běžně setkáváme v celé řadě oblastí: napřfklad body v rovině ztotožňujeme s uspořádanými dvojicemi čísel, které vyjadřují souřadnice bodu na ose x a ose y; jed­noargumentové funkce definujeme jako soubor uspořádaných dvojic, kde prvním čle­nem je argument funkce a druhým členem jeho funkční hodnota; můžeme také hovo­řit o množině uspořádaných dvojic hráčů šachového turnaje, kde v každé dvojici jsou jednomu hráči přiřazeny bílé a druhému černé figurky (tj. hráč s bOými figurkami "má přednost" před hráčem s černými figurkami) atd. V moderní matematice standardně pracujeme s definicí uspořádané dvojice, kterou podal K. Kuratowski. Podle této de­finice uspořádanou dvojicí (x,y) rozumíme jednoduše množinu {{x},{x,y}}. Tato mno­žina má dva prvky, které jsou rovněž množinami. jmenovitě jde o množinu obsahující prvek x a množinu obsahující prvky x a y. Představuje však tato definice teoretickou analýzu pojmu uspořádané dvojice, nebo pouze její model? Odpověď, že se jedná o teoretickou analýzu, je zřejmě absurdní, protože v pojmu množiny {{x},{x,y}} je obsažena celá řada teoretických množinových pojmů, které nejsou nijak zřejmě obsa­ženy ve výchozím pojmu uspořádané dvojice. Navíc, existují i jiné množinové definice, které vyhovují definující vlastnosti uspořádané dvojice, tj. že (a,b)=(c,d) jedině tehdy, jestliže a=c a zároveň b=d, například Wienerova definice (historicky první množinová definice pojmu uspořádané dvojice) prostřednictvím množiny {{0,{x} },{ {y}}}. Je tedy zřejmé, že Kuratowského definice neposkytuje poznání, co je to uspořádaná dvojice - představuje množinový model, nikoli teoretickou analýzu daného pojmu.

Druhý příklad je ještě markantnější. Známou elementární matematickou teorií je aritmetika přirozených čísel," tj. čísel O, I, 2, 3, 4, 5, ... , která považujme za dobře ustanovené matematické objekty, jež chceme teoreticky zkoumat. Pojem přirozeného čísla lze opět efektivně studovat pomocí teorie množin. Standardní množinově-teoretická definice ztotožňuje přirozená čísla s von Neumannovými ordinály. Podle této definice ztotožňujeme číslo O s prázdnou množinou 0, číslo I s množinou, která má jediný prvek - prázdnou množinu, tj. s množinou {0}, číslo 2 se sjednocením obou předchozích množin, neboli s množinou {0,{0}}, číslo 3 se sjednocením všech předchozích množin, tj. množinou {0,{0},{0,{0}}} atd. Pro každé takto definované "číslo" platí, že x+ (tj. množina, která bezprostředně následuje za x) je množina xu{x}, což dobře kores­ponduje s aritmetickým pojmem následníka čísla y (následníkem y čísla x rozumíme číslo x+ I, například následnlkem čísla 9 je číslo 10). Na základě axiomů Zermelovy-Fraen­kelovy teorie množin lze dokázat, že takto definovaná "přirozená čísla" splňují všechny axiomy Peanovy aritmetiky, tj. že se skutečně chovají jako přirozená čísla. Můžeme tedy definovat množinu všech "přirozených čísel" N jako nejmenší množinu, která obsahuje číslo O, neboli prázdnou množinu 0, a je uzavřená na operaci následníka. Tato uzavřenost na operaci následníka znamená, že pro všechna x platí, že pokud x je "přirozené číslo", pak rovněž x+ je přirozené číslo. Znovu zde platí, že definovaný pojem obsahuje celou řadu množinových pojmů, které nejsou nijak samozřejmě obsaženy ve výchozím pojmu přirozeného čísla. Evidentně se tedy jedná o model tohoto pojmu, nikoli o jeho koncep­tuální analýzu (tj. nedozvíme se nic o tom, co přirozené číslo vlastně je). Kdybychom zaměňovali teoretické zkoumání tohoto pojmu s jeho exaktním modelováním, dopustili bychom se přinejmenším konceptuálního omylu. II

Na základě těchto úvah je zřejmé, že analogická situace platí i v případě různých systémů modální logiky. Tyto různé systémy nám zřejmě umožňují konstruovat teore­tické modely modalit a jejich fungování, nikoli však konceptuální analýzu modalit (pomocí modální logiky se nedobereme podstaty možnosti, nutnosti atd.). Tento názor potvrzuje rovněž fakt, že systémy modální logiky přímo oplývají formulemi s iterovanými moda­litami, jako je například formule oOoOoOP~OP apod. Zatímco ve formálních systémech

mohou takové formule být smysluplné a lze jim přiřadit netriviální sémantický význam, neměly by výroky s takto formulovanými aletickými, epistemickými, deontickými apod. modalitami pravděpodobně žádný rozumný smysl. Uako slovní přepis výše uvedené formule bychom s použitím aletických modalit dostali tvrzení .. Jestliže nutně platí, že je možné, že nutně je možné, že výrok P nutně může být pravdivý, pak nutně je možné, že je pravdivý".) Pavel Tichý má tedy určitě pravdu v tom, že pokud chceme teoreticky zkoumat povahu modalit, pak modální logika nám má pramálo co říci.

o sémantice modální logiky Ještě než stručně prozkoumáme druhou otázku položenou v předchozí části, tj ... Co

je sémantika modální logiky?", připomeneme si ve stručnosti, co rozumíme sémantikou klasické logiky.

V případě výrokové logiky formule interpretujeme tak, že atomickým formulím přiřa­zujeme určité pravdivé či nepravdivé atomické výroky. Kupříkladu formuli P-'hQ můžeme interpretovat tak, že atomické formuli P přiřadíme výrok .. Pavel je slaboch", atomické formuli Q výrok .. Marie je Pavlovi věrná", čímž dostaneme složený výrok .. Jestliže je Pavel slaboch, pak Marie je Pavlovi nevěrná". Protože však na úrovni výrokové logiky nezáleží vlastně na ničem jiném než na tom, zda atomické výroky, které přiřazujeme atomickým formulím, jsou pravdivé či nepravdivé, interpretace formulí výrokové logiky se často zto­tožňuje s procedurou, s jejíž pomocí je atomickým formulím přiřazen jakýsi .. libovolný" pravdivý či .. libovolný" nepravdivý výrok. Typickým případem této procedury jsou pravdi­vostní tabulky formulí, které dostaneme tak, že všem atomickým formulím přiřadíme nějakým jednotným způsobem symboly .. I" a .. O" a výslednou pravdivostní hodnotu formule určíme pomocí základních pravdivostních tabulek výrokových spojek.

Pohlížíme-Ii na pravdivostní tabulky formulí tímto způsobem, pak vlastně existují dvě rozdOné sémantiky, z nichž jednu John Etchemendy pojmenovává jako interpretační sé­mantika a druhou jako reprezentační sémantika. II Interpretační sémantika předpoklá­dá, že svět je takový, jaký je, a neuvažuje o žádných jeho alternativách. Jakýkoli ato­mický výrok tak buď je pravdivý, nebo nepravdivý, ale nemůže změnit svoji pravdivostní hodnotu. Uvažujeme-Ii kupříkladu složenou formuli P--';-,Q, pak v případě, že Pavel není slaboch a Marie je Pavlovi nevěrná, dostaneme jeden řádek tabulky, v němž P má pravdivostní hodnotu O a Q pravdivostní hodnotu I. Uvažujeme-Ii nějaký jiný řádek, kupřfkladu řádek, kde oba výroky P a Q mají hodnotu O, pak podle interpretační sé­mantiky musíme dosadit nějaké jiné dva atomické výroky, například .. Lze dělit nulou" a .. Aritmetika je sporná", protože předchozí výroky .. Pavel není slaboch" a .. Marie je Pavlovi nevěrná" nemohou - za předpokladu, že svět zůstává takový, jaký je - mít jiné pravdivostní hodnoty než mají, čili vystihují pouze jeden řádek tabulky.

Naopak podle reprezentační sémantiky ve všech řádcích uvažujeme tytéž atomické výroky .. Pavel je slaboch" a .. Marie je Pavlovi věrná", různé řádky tabulky však vypoví­dají o různých stavech světa (případně o různých .. možných světech"). V jednom sta­vu světa (v jednom řádku tabulky) pak platí, že Pavel je slaboch a Marie je Pavlovi přesto věrná, v jiném stavu světa (v jiném řádku tabulky) je Pavel slaboch a Marie mu není věrná atd.

Sémantika predikátové logiky, resp. přesněji logiky prvního řádu vychází z představy, že její formule jsou o nějakých objektech. 14 Kupříkladu formule :lx[P(x)J\--.Q(x)] ( .. Exis­tuje x, které má vlastnost P a nemá vlastnost Q"), 'dx:ly[P(x)"-"7R(x,y)] ( .. Ke každému x, které má vlastnost P, existuje takové y, které je s ním ve vztahu R") apod. považujeme za tvrzení o nějakých objektech, které mají či nemají určité vlastnosti, platí či neplatí mezi nimi nějaké vztahy apod. Sémantika logiky prvního řádu tak vychází především z univerza individuí D, tj. množiny individuí, o nichž příslušné formule mají při dané interpretaci vypovídat. Na základě této množiny jsou poté interpretovány monadické predikáty jako podmnožiny D (jako vlastnosti individu0, binární relace jako množiny uspořádaných dvojic individuí z D, ternární relace jako množiny uspořádaných trojic individuí z množiny D atd. ls

Sémantika modální výrokové logiky relativizuje interpretaci formulí vůči další třídě ob­jektů (v Kripkeho článku je tato třída označena jako K), které Kripke neformálně pojme-

~ Q)

E e I a..=

145

146

novává jako "možné světy". Jedná se o velmi sugestivní pojem zavedený G. W. Leibni­zem, který jej původně použil v teologickém argumentu na podporu tvrzení, že idea Boha, který je zcela prost jakékoli zlovolnosti, není v rozporu s faktem, že se ve světě vyskytuje zlo. Kripke ovšem pojem "možného světa" použil čistě v technickém význa­mu, tj. jako čehokoli, vůči čemu modální tvrzení nabývají pravdivostní hodnoty. Oproti Leibnizově statickému pojetí možných světů (podle Leibnize jsou všechny možné světy neaktualizovanými variantami našeho světa) navíc Kripke zavedl zcela nový pojem do­sažitelnosti (accessibility) mezi možnými světy. Nějaké tvrzení P tak podle Kripkeho po­važujeme v možném světě w za nutně pravdivé právě tehdy, jestliže je pravdivé ve všech světech w', které jsou dosažitelné ze světa w. Analogicky Kripke považuje tvrzení P za možná pravdivé v nějakém možném světě w právě tehdy, jestliže je pravdivé v alespoň jednom světě w', který je dosažitelný ze světa w. Svět w' Kripke označuje jako možnou alternativu vůči světu w (possible relative to W).16 Podle Leibnizova pojetí jsou všechny světy navzájem možnými alternativami. tj. každému světu je dosažitelný libovolný jiný svět. Tímto způsobem dostaneme pouze jeden modální systém SS. v němž relace dosa­žitelnosti je relací ekvivalence. Odvoláme-Ii tuto podmínku, dostaneme celou řadu růz­ných modálních systémů. Proto je Kripkeho pojetí značně obecnější.

Kripke definuje sémantiku modální výrokové logiky pomocí pojmu modelové struk­tury (G,K.R), která specifikuje "aktuální svět" G. množinu všech "možných světů" K a relaci dosažitelnosti R. V současné modální logice se pro Kripkeho modelové struktury používá spíše pojem kripkovské rámce (frame). resp. "kripkovské struktury". Kripke definuje. že nějaká formule je platnou formulí určitého modálního systému (např. systému 54. SS apod.), je-Ii pravdivá ve všech kripkovských rámcích odpovídajícího systému, tj. podle Kripkeho terminologie: je-Ii platná ve všech modelových strukturách daného systému (napřlklad všech 54-modelových strukturách, SS-modelových strukturách apod.).

K čemu je však sémantika modální logiky vůbec užitečná? Za jakým účelem ji budu­jeme? Jedním z hlavních cílů této sémantiky je prozkoumání úplnosti modálních systé­mů. čímž rozumíme problém, zda každá formule určitého systému, kterou považujeme za pravdivou formuli systému. je rovněž teorémem tohoto systému. tj. zda ji lze dokázat na základě axiomů systému. Této otázce se také budeme ve zbývající části tohoto oddnu věnovat především.

Jelikož modální výpovědi často hovoří o nějakých kontrafaktuálních skutečnostech. byla modální logika po dlouhou dobu rozvíjena pouze na syntaktické úrovni. Vskutku, uvažujme například větu "Je možné. aby se lidstvo samo zničilo jadernou válkou". Je tato věta pravdivá? Můžeme sice postulovat, že je pravdivá, avšak tím není nijak vysvět­len její význam. Protože věta vypovídá o tom, co se (přinejmenším dosud) nestalo. nevypovídá nic pravdivého o našem aktuálním světě. A nehovoří-Ii o našem světě, pak o čem vlastně hovoří? S kontrafaktuálními tvrzeními se tedy docela dobře zachází ze syntaktického hlediska, avšak obtížně se hledá jejich význam. tj. to, o čem vypoví­dají. C. I. Lewis, který inicioval moderní exaktní bádání na poli modální logiky, proto postupoval výhradně axiomatickou metodou a spokojil se s tím, že studoval různé modální axiomatické systémy. Čistě syntaktickým způsobem popisuje modální logiku kupříkladu ještě v sedmdesátých letech 20. století M. Mleziva ve své knížce o nekla­sických logikách, kde modální logice věnuje jednu poměrně rozsáhlou kapitolu. 17 Jsme-Ii však v situaci, kdy se pohybujeme výhradně na úrovni syntaxe, a přitom zkoumáme systémy z hlediska jejich úplnosti. čelíme dvěma problémům: (I) Uvažujme situaci, kdy máme dva odlišné systémy axiomů (tj. dvě odlišné množiny formulí, které považu­jeme za axiomy), s jejichž pomocí lze dokázat podobné teorémy. Lze v takovém přípa­dě zjistit, zda se jedná skutečně o dva odlišné axiomatické systémy, nebo pouze o je­den axiomatický systém popsaný dvěma různými způsoby? (2) Je zvolený axiomatický systém úplný v tom smyslu, že na základě daných axiomů lze dokázat všechna tvrzení, která považujeme za pravdivá tvrzení o zkoumaných modalitách?

Když zůstáváme pouze na úrovni axiomů, získáváme při pokusu o odpověď na tyto otázky poměrně komplikovaný problém. Celá řada technických prací v rané éře mo­derní modální logiky, tj. v "syntaktické éře", se proto zabývala jednou či druhou otázkou, často bez jednoznačných výsledků. Nemáme-Ii k dispozici žádnou "realitu", s níž by-

chom modální axiomatické systémy mohli porovnat, pak skutečně mnohdy nelze zjistit, zda se jedná o dva či více popisu jedné a téže "reality", nebo o více popisu navzájem odlišných "realit". jako jednoduchého příkladu použijme modální systém D, který je ob­vykle definován pomocí rozšíření systému výrokové logiky o dva speciální modální axiomy, axiom K, tj. formuli o(P~Q)~(DP~DQ) Oestliže implikace P~Q je nutně pravdivá, pak je-Ii nutně pravdivé tvrzení P, je nutně pravdivé také tvrzení Q), a axiom D, tj. formuli oP~OP Oe-Ii tvrzení P nutně pravdivé, pak je možné, resp. možná pravdivé). Alternativně mužeme tento jednoduchý modální systém popsat pomocí axiomu K a jiné formule O(P~P) (Formule P~P muže být pravdivá), kterou označme např. jako D'. Formuli D' sice lze vyvodit na základě formule D, to však ještě nijak neznamená, že pomocí axiomu K a D' nemužeme získat systém, který je ve skutečnosti slabší než systém D. (Máme-Ii totiž dvě formule A a B, pak v případě, že B plyne z A, řekneme, že formule B je slabší než A. Avšak nedokážeme-Ii navíc implikaci v opačném směru, tj. že z B plyne A, nemu­žeme obě formule považovat za ekvivalentní. Analogicky je tomu i v případě systému. jestliže systém S' je podsystémem systému S, pak řekneme, že S' je slabší než S. V našem případě je systém, který dostaneme pomocí axiomu K a D' slabší než systém, který dostaneme na základě axiomu K a D. První systém je tedy podsystémem druhého systému. Zatím nemáme žádnou záruku, že oba systémy jsou stejně silné.) Záruku, že se jedná pouze o dva alternativní popisy jednoho a téhož axiomatického systému, však snadno dostaneme v případě, že se nám podaří dokázat, že oba axiomatické systémy popisují stejnou "realitu". Zapojíme-Ii do hry možné světy, pak musíme zjistit, že těmto systémum vyhovuje třída kripkovských rámcu se sériovou (seriaD relací dosažitelnosti, tj. takovou relací, která neobsahuje žádné "izolované světy" (tzv. "slepé uličky"), jimž nejsou dosažitelné žádné jiné světy. Uvažujme nejprve formuli D, tj. oP~OP, a dokaž­me, že musí být pravdivá ve všech kripkovských rámcích s touto relací dosažitelnosti. Použijme dukaz sporem, tj. předpokládejme, že formule oP~OP je ve skutečnosti v ně­jakém světě uvažovaného kripkovského rámce nepravdivá, neboli existuje svět w, v němž je pravdivá formule oP a nepravdivá formule OP. je-Ii pravdivá formule oP, pak ve všech světech w' dosažitelných ze světa w musí být pravdivý výrok P. jelikož relace R je sé­riová, existuje alespoň jeden takový možný svět w, o němž toto platí. Na druhou stra­nu, formule OP je nepravdivá, jestliže neexistuje žádný možný svět w' dosažitelný ze světa w, v němž by výrok P byl pravdivý. To však není možné, protože předpokládáme, že ve všech světech dosažitelných ze světa w je výrok P pravdivý a že existuje alespoň jeden takový svět. Tím je tvrzení dokázáno. Nyní se podívejme na formuli D', tj. O(P~P). Toto tvrzení je ve světě w pravdivé, existuje-Ii alespoň jeden svět w' dosažitelný ze světa w, v němž je pravdivý výrok P~P. To je však tautologie výrokové logiky, neboli formule pravdivá "ve všech možných světech". jestliže je tedy světu w dosažitelný alespoň jeden svět w', pak v něm musí být tato formule pravdivá. jelikož předpokládáme, že relace R je sériová, je tím tvrzení dokázáno. Touto úvahou jsme dokázali sémantickou korektnost dvou axiomatických systému vuči třídě všech kripkovských rámcu se sériovou relací dosažitelnosti. 18 Abychom dokázali, že se skutečně jedná pouze o dvě ruzné axiomatizace jednoho a téhož systému, museli bychom dále dokázat úplnost obou systému vuči třídě všech uvažovaných kripkovských struktur. Nějaký formální systém S považujeme za úplný vuči interpretaci I, jestliže každé tvrzení, které je při dané interpretaci pravdivé Oe platnou formulí systému), je zároveň teorémem systému S, tj. dá se dokázat na základě axiomu systému S. Úplnost obou axiomatizací zde s ohledem na omezený prostor nebudeme dokazovat, 19 zde pouze čtenáře ujistíme, že obě axiomatizace jsou úplné a že se skutečně jedná jen o dva alternativní zpusoby popisu jednoho a téhož modálního systému. To je pouze jeden příklad, k čemu muže být tato sémantika užitečná. Pro spravedlnost ještě dodejme, že ekvivalenci obou systému, tj. systému K + D a systému K + D' mužeme snad­no dokázat i na syntaktické úrovni. Existuje však celá řada složitějších systému, u nichž ekvivalenci čistě syntakticky dokázat nelze.

o ontologické povaze možných světů Ukázali jsme si, že "možné světy" slouží jako vhodný nástroj k obecnému séman­

tickému studiu modálních systému. Původní význam "možných světu" byl tedy čistě

"'O O >

"::J

147

148

technický - mělo se jednoduše jednat o něco, vůči čemu modální tvrzení nabývají prav­divostní hodnoty. Jakmile však vstoupil tento pojem do moderní logiky, filozofičtěji fundo­vaní badatelé si přirozeně začali klást otázky .. Co vlastně jsou možné světy?", .. Jak si je máme představit?" apod. Samotná modální logika se těmito otázkami jednoduše nezabý­vá. Kupříkladu M. Fitting a R. L. Mendelsohn tento fakt komentují slovy: .. Aby bylo jasno, přestože pojem možných světu je terminologicky velmi sugestivní, nezavazuje nás [v jeho technickém užívána k ničemu. V matematickém zacházení s kripkovskými rámci mohou roli možných světů hrát jakékoli objekty - čísla, množiny, zlaté rybičky apod. "20

Je dále zřejmé, že přesně v tomto technickém významu pojem možného světa použil Saul Kripke ve své práci z roku 1959, kdy tento pojem zavedl: .. Základním východiskem, které motivovalo tyto definice [tj. definice platnosti modálních formula, byla intuice, že nějaký výrok je nutný [nutně pravdivý] právě tehdy, jestliže je pravdivý ve všech ,možných světech'. (Pro naše potřeby však pojem ,možného světa' nemusíme nijak blíže analyzovat.t21 Později Kripke toto pojetí ještě blíže vysvětlil: .. Hlavní a původní motivace ,analýzy možných světů' - a způsobu, jakým měla vyjasnit modální logiku - spočívala

v tom, že měla modální logice umožnit používat tytéž množinově-teoretické nástroje teorie modelů, které se ukázaly tolik úspěšné a užitečné při aplikaci na [sémantiku] extenzionální logiky."u Poznamenejme, že tímto .. technickým způsobem" Kripke možné světy používá i v článku .. Sémantické úvahy o modální logice", zejména v závěrečné části, kde naznačuje možnosti, jak vybudovat modální logiku dokazatelnosti. V této části jsou za .. možné světy" považovány jednoduše modely Peanovy aritmetiky.

Nicméně Kripke nezůstal pouze u .. technického" pojetí, ale pokusil se pojem možného světa blíže explikovat. Sám použil přfkladu s hodem dvěma hracími kostkami. Máme-Ii dvě kostky, pak existuje celkem 36 možných výsledků daného hodu, přičemž pouze jeden z nich nastane, tj. pouze jeden hod bude .. aktuální". Představme si dále, že jsme tento pokus skutečně provedli, tj. že na hracím stole máme určitý výsledek - jeden konkrétní hod. Zbývajících 35 neuskutečněných hodů jistě nebudeme považovat za ja­kési .. přízračné" hody, jež jsou nějakým mystickým způsobem závislé na aktuálním hodu, resp. které se .. vznášejí" kdesi nad naším stolem. Podobným způsobem, říká Kripke, můžeme pohlížet na možné světy. Příklad s hodem dvěma kostkami představuje jakýsi .. minisvět"; jeden z těchto .. minisvětů" je aktuální, ostatní jsou neaktuální. Možné světy jsou podle Kripkeho jen dalším zobecněním pojmů teorie pravděpodobnosti a můžeme je podle něj přirovnat k pojmu prostoru možných výsledku (sample space) používanému v teorii pravděpodobnosti.ll Kripke tak konstatuje: .. ,Možné světy' jsou úplné ,způsoby, jakými by svět mohl býť, resp. stavy nebo historiemi celého světa. "24

Vraťme se však znovu k hodům kostkami a zamysleme se nad tím, co je pro něja­kou událost podstatné pro to, aby byla .. hodem kostkami". Z tohoto hlediska nás na události zajímá pouze to, jaká čísla padla na obou kostkách, rozhodně však .. hod kostka­mi" neztotožňujeme s nějakou fyzikální událostí. Jinými slovy, na tom, zda jde o .. hod kostkami", je rozhodující to, zda na událost takto pohlížíme - pak nás ovšem zajímá pouze výsledek hodu, a nikoli například rychlost kostek, jejich teplota atd. Analogicky je tomu s možnými světy, které rovněž nemůžeme ztotožňovat s fyzikálními objekty, událostmi apod. V takovém případě nás zajímá pouze to, jakým způsobem můžeme s pomocí těchto .. věcí" zkoumat modální tvrzení, a nikoli například to, jakou ontologic­kou povahu mají individua, která .. existují" v neaktuálních světech, a zda se v různých světech vůbec mohou vyskytovat stejná individua (tzv. problém mezisvětové identity - transworld identity).25 Kripke tyto otázky považuje vesměs za pseudoproblémy, které vznikly nesprávným používáním pojmu možného světa: .. Náš, tj. ,aktuální svěť Oak s ním pracujeme v modální logice] - a možná lépe aktuální stav nebo historii tohoto světa - bychom rozhodně neměli zaměňovat s oním nesmírným a samostatně existujícím objektem, který nás obklopuje. Možné a neaktuální světy nejsou žádné iluzorní kopie ,světa' v tomto druhém smyslu. Tato nedorozumění by možná nevznikla nebýt oné terminologické nehody, že hovoříme o ,možných světech', a nikoli spíše o ,možných stavech' světa, ,historiích' světa, případně ,kontrafaktuálních situacích'. Určitě by však nevznikla v případě, kdyby se filozofové řídili praxí [ ... ] odborníků na teorii pravděpo­dobnosti."26

Na základě tohoto úryvku je rovněž zřejmé, že Kripke na možné světy pohlížel jako na modely modalit (jak jsme o nich rovněž hovořili výše). Rozhodně možné světy nepovažoval za něco, co by nám s konečnou platností mělo umožnit analyzovat pojem nutnosti, resp. redukovat metafyzickou či logickou nutnost na něco základnějšího. Taková očekávání jsou podle Kripkeho zcela neopodstatněná: "Nepovažuji ,možné světy' za něco, co by nám v jakémkoli relevantním filozofickém smyslu - ať už z epistemo­logického nebo metafyzického hlediska - mohlo poskytnout reduktivní analýzu, tj. od­halení konečné podstaty modálních operátorů, modálních výroků atd., ani za něco, co by [tyto operátory, výroky apod.] mohlo jakkoli ,vysvětliť."27 Kripke by tedy zřejmě souhlasil s Pavlem Tichým v tom, že modální logika nemůže být žádným směrodat­ným průvodcem při filozofickém zkoumání samotného pojmu nutnosti (tj. v jeho "ne­technickém" významu).

o využití sémantiky možných světů Vraťme se však k citátu, v němž Kripke označuje zavedení pojmu možného světa

za "terminologickou nehodu". V návaznosti na zavedení pojmu možných světů do lo­giky totiž vznikla celá řada filozofických interpretací, analýz a aplikací tohoto pojmu. Termín "možný svět" je možná přespřniš sugestivní. V případě tohoto původně zcela technického pojmu se tak opakuje zkušenost s jinými podobně "lákavými" pojmy: vez­měme si například matematickou teorii klasifikací singularit diferencovatelných zobrazení - pojmenujme ji jako "teorie katastrof" a rázem o ni bude zájem (začnou se o tuto teorii zajímat všichni ekonomové a ekologové); vezměme si matematickou teorii ne­stabilního a aperiodického chování nelineárních dynamických systémů - pojmenujme ji jako "teorie chaosu" a rázem bude populární a vynoří se celá řada prací, které budou "teorii chaosu" interpretovat a aplikovat, ale někdy také dezinterpretovat a "zneužívat". Podobné je to se sémantikou možných světů.

Za aplikaci této teorie můžeme považovat například Kripkeho analýzu vlastních jmen jako pevných znaků a jejich odlišení od volných znaků a určitých deskripcí. Za zajíma­vou aplikaci můžeme snad považovat i Plantingovu analýzu problému teodiceje. Plan­tinga se v návaznosti na Leibnize snaží dokázat bezespornost takové představy světa, který byl stvořen všemohoucím a dobrotivým Bohem a kde přesto existuje zlo a lidé mají svobodnou vůli. 28 Jedná se o konceptuální, tj. logickou, a nikoli metafyzickou ana­lýzu (příklad metafyzické analýzy viz níže) proto ji považuji za "využití", a nikoli za "zneužití" teorie možných světů. Za aplikaci (možná s určitými výhradami) můžeme také považovat Lewisovu teorii plurality světů, s jejíž pomocí se Lewis snaží vybudo­vat jakési "filozofické univerzum" analogické univerzu teorie množin. 29 V tomto uni­verzu může mít filozof k dispozici nástroj, s jehož pomocí bude konstruovat (modelo­vat) a teoreticky zkoumat pojmy nutnosti a kontingence, kontrafaktuálních situací, epistemických, deontických modalit atd., to vše v analogickém smyslu, v jakém může matematik využít teorii množin k modelování přirozených čísel, funkcí, geometrických obrazců, integrálů apod.

Význačné využití sémantiky možných světů představuje vytvoření intenzionálních a hy­perintenzionálních logik, jakými je například Montaguova intenzionální logika, JO trans­parentní intenzionální logika Pavla Tichého,JI Cresswellova hyperintenzionální 10gika,Jl různé filozofické sémantikťJ apod. Výčet potenciálních aplikací sémantiky možných světů by zřejmě nebral konce.

Velmi vzdálené aplikacím v technických oborech (matematika, logika) jsou pokusy o vybudování tzv. modální metafyziky. Pro názornost se podívejme na některé problémy, které vznikají právě v důsledku "zmetafyzičtění" sémantiky možných světů. Takovým problémem je například povaha možných objektů, posibilií, která existují v neaktualizo­vaných možných světech. Tento problém byl předveden na příkladu Vetřelce (Alien), tj. tvora který aktuálně neexistuje, ale mohl by existovat.J4 Podle realistického pojetí možných světů (např. David Lewis) tvrzení, že by Vetřelec mohl existovat, znamená, že existuje takový možný svět w, v němž Vetřelec aktuálně existuje (je aktuálním objektem v tomto - z hlediska našeho světa - neaktuálním světě). Podle aktualistic­kého pojetí možných světů, které je v rámci modální metafyziky velmi populární, toto

.::t­O)

E e

I a..:

"'O O >

':::s

149

150

tvrzení znamená, že v aktuálním, tj. našem světě existuje takový objekt, který by za jiného stavu věcí mohl být Vetřelcem. Co však toto tvrzení znamená? Podívejme se například na odpověď, kterou podává A. Plantinga.l5 Podle něj funkce ll' v Kripkeho kvantifikační modelové struktuře nepřiřazuje možným světům množiny individuí, která v těchto světech existují, ale pouze množiny individuálních esencí. Individuální esenci si můžeme představit jako soubor těch vlastností, které nějaké individuum má pod­statně (tj. nikoli pouze akcidentál ně) a které má pouze uvažované individuum a žádné jiné. Klíčem k Plantingově modální metafyzice je pojem koexemplifikace (tj. exempli­fikace dvou či více vlastností zároveň). Tvrzení, že Vetřelec by mohl existovat, tak podle Plantingy znamená, že existuje neaktuální svět w, v němž nějaká individuální esence e, kterou v našem světě má určité aktuálně existující individuum, např. pes Blek, je spolu s vlastností "být Vetřelcem" koexemplifikována nějakým individuem "existujícím" v tomto světě. Toto individuum není na stejné ontologické úrovni jako pes Blek z našeho světa, ale je spíše nějakým abstraktním pojmem "individua". Takto by se tedy mohlo zdát, že se nám podařilo vysvětlit smysluplnost uvažovaného mo­dálního tvrzení bez poukazu na neaktualizovaná posibilia. Proti Plantingově verzi aktu­alismu však byla vznesena tato námitka: Jestliže Vetřelec není aktuálně existujícím in­dividuem, pak všechna aktuálně existující individua esenciálně mají vlastnost "nebýt Vetřelcem". Jak potom může individuální esence e psa Bleka z našeho světa být ve světě w koexemplifikována spolu s vlastností "být Vetřelcem"? Takové individuum by totiž mělo sporné vlastnosti (exemplifikovalo by vlastnost "být Vetřelcem" a zároveň vlastnost "nebýt Vetřelcem"), žádné takové individuum tedy nemůže existovat. To je pouze jeden z problémů modální metafyziky a pouze jedna verze aktualismu. Další problém pro modální metafyziku představují například formule Ruth Barcanové VxoP(x)~oVxP(x), resp. v ekvivalentní kontraponované verzi 03xP(x)~3xOP(x) (např.: "Je-Ii možné, že by mohl existovat Vetřelec, pak aktuálně existuje individuum, které by mohlo být Vetřelcem."), konverze formule Ruth Barcanové oVxP(X)~VXDP(x), resp. opět v kontraponované verzi 3xOP(x)~03xP(x) (např.: "Existuje-Ii aktuálně individuum, které by mohlo být Vetřelcem, pak je možné, že existuje individuum, které je Vetřel­cem. "), princip nutné existence Vxo3y(y=x) (tj. "Ke každému x nutně existuje y, které je identické s x", neboli všechny věci existují nutně.) apod.l6

Je zcela zřejmé, že ať jsou tyto problémy pro metafyzika či teologa jakkoli zajímavé, jedná se zřejmě o problémy, které jsou velmi vzdáleny původním c~ům modální logi­ky. Podobně se to má také s pokusy o fikcionalistickou teorii literatury, tj. teorii pra­cující s pojmem možných světů. (Docela jinou otázkou je to, zda je tato teorie příno­sem pro literární vědu. Odpověď na tuto otázku samozřejmě musí přijít od literárního vědce, a nikoli od logika či filozofa.) "Logika" fikcionalistického diskurzu vychází z pojmu možných světů, které obsahují konečný počet individuí. l7 Avšak takto chápané možné světy se zásadně rozchází s logickým pojetím, protože v takovýchto světech jsou hrubě deformovány standardní sémantické definice pojmů logické pravdy a logického vyplývá­ní.lB Uvažujme kupříkladu formule VxVy(x=y) a VxVyVz{[x;tyAY';éZ]~X=Z}. První for­mule říká, že existuje nejvýše jedna věc, druhá říká, že existují nejvýše dvě věci. Pro každé číslo n můžeme sestrojit analogickou formuli - označme si ji jako En - tj. že existuje nejvýše n věcí. Uvažujeme-Ii svět w, v němž existuje pouze konečný počet individuí, pak skutečně existuje takové číslo n, že tvrzení En je pravdivé. Avšak toto tvrzení je ve světě w pravdivé nutně, tj. neexistuje možnost, jak je v rámci tohoto světa falzifikovat - nemůžeme jednoduše poukázat na n+ I či n+2 od sebe odlišných objektů a říci, že formule je nepravdivá. Podle sémantické definice logické pravdy po­važujeme nějakou formuli za tautologii, jestliže všechny interpretace tvoří její model; podobně řekneme, že úsudek je logicky platný, jestliže každý model všech premis úsudku je zároveň modelem jeho závěru. Pak každá interpretace formule En' v níž všem od sebe odlišným individuálním proměnným přiřadíme od sebe odlišné objekty svě­ta w, bude jejím modelem. En je tedy jakousi "tautologií" světa w a každý úsudek, jehož závěrem je tvrzení En' bude "logicky platným" úsudkem světa w. Přesto se zdráháme považovat En za tautologii (mohlo by tomu přece být tak, že by ve světě w existovalo více než n objektů) a příslušné úsudky za logicky platné úsudky. Zdá se, že konečné

světy nejsou vhodnými objekty pro sémantické zkoumání pojmu logické pravdy a logic­kého vyplývání. Toto tvrzení mužeme rovněž obrátit: chceme-Ii něco smysluplného vy­povídat o konečných světech, pak vhodným jazykem k formulování těchto poznatku není logika, a to ani logika možných světu.

o modální logice z hlediska logiky Toto zamyšlení nad modální logikou a sémantikou možných světu zakončíme po­

hledem na modální logiku striktně z hlediska logiky, tj. poté, co jsme zvažovali ruzná ne-logická pojetí a výklady, dáme slovo také samotným logikum.

V předmluvě ke své monografii o modální logice konstatují nizozemští logikové Patrick Blackburn, Maarten de Rijke a Yde Venema,39 že položíme-Ii třem modálním logikum otázku "Co je to modální logika?", dostaneme pravděpodobně tři ruzné odpovědi, ja­kési tři slogany: (I) Modální jazyky jsou jednoduché, avšak velmi expresivní jazyky, které nám umožňují hovořit o relačních strukturách. (2) Modální jazyky jsou systémy, které nám poskytují vnitřní, jakýsi lokální náhled na relační struktury. (3) Modální jazyky nejsou žádnými izolovanými systémy, ale spíše skupinami navzájem provázaných systému.

Tyto tři slogany nám říkají, jakým zpusobem mužeme na modální logiku pohlížet z matematického hlediska. Dostaneme následující charakteristiku: Systémy modální logi­ky jsou v zásadě systémy klasické logiky, k nimž byly přidány modální operátory. Tyto systémy nám umožňují hovořit o relačních strukturách, když relační strukturou rozumí­me systém tvořený nějakou neprázdnou množinou, na níž bylo definováno určité množ­ství relací. V případě dosud uvažovaných modálních systému jsme pracovali s binární relací dosažitelnosti R, tj. uvažovali jsme relační strukturu danou množinou všech mož­ných světu a na ní definovanou relací R. To je velmi jednoduchý příklad relační struktury. Mějme modální formuli 1: tj. DP~P. Z "vnitřního" pohledu, tj. z hlediska samotné modální logiky jde o to, že relace dosažitelnosti R je reflexivní. Tuto modální formuli však lze charakterizovat také "zvenčí", tj. pomocí formule logiky druhého řádu \ix\iy{[xRy~y(P)]~x(P)}. Tato formule nám řJ'ká, že pro všechny možné světy x a y platí, že je-Ii světu x dosažitelný svět y, pak jestliže výrok P je pravdivý ve světě y, musí být pravdivý rovněž ve světě x. Systémy modální výrokové logiky tedy mužeme ztotožnit s určitými systémy logiky druhého řádu. Avšak logika druhého řádu představuje značně komplikovanější typ systému než je výroková logika, proto je uvedená "vnitřní" perspektiva jednodušší než "vnější" perspektiva. O vztazích mezi modálními systémy a systémy logiky druhého řádu hovoří tzv. teorie korespondence.

Na relační struktury v matematice obvykle pohlížíme z algebraického hlediska. Mo­dální systémy tedy mužeme interpretovat rovněž algebraicky, čímž dostaneme alge­braickou sémantiku modální logiky. O vztazích mezi systémy modální logiky a algebraický­mi systémy hovoří tzv. teorie dualit. Jak lze vidět, existuje zde tedy celá řada navzájem provázaných vztahu a interpretací napříč logikou a matematikou, a nikoli "izolované" systémy. Tím jsme podali komentář k druhému a zároveň třetímu sloganu.

Na závěr ještě blíže okomentujeme první slogan, tj. že modální jazyky jsou jedno­duché, avšak expresivní jazyky, které nám umožňují obecně hovořit o relačních struktu­rách. Nicméně, relace dosažitelnosti v sémantice možných světu je binární relací, avšak v matematice se častěji setkáváme se strukturami, které obsahují ternární, někdy i více­místné relace. Vezměme si jako příklad pojem grupy. Tuto strukturu obvykle definuje­me prostřednictvím nějaké binární operace o definované na určité množině objektu. Aby struktura byla grupou, musí operace o být na zvolené množině neomezeně de­finovaná, tj. pro všechny objekty x a y musí v množině existovat takový objekt z, že platí z=xoy. Operace musí být rovněž asociativní, neboli pro všechny objekty x, y a z musí platit (xoy)oz=xo(yoz). Množina navíc musí obsahovat neutrální prvek e, který pro všechna x splňuje podmínku xoe=eox=x. Konečně, ke každému prvku x musí existovat inverzní prvek x* takový, že pro něj platí xox*=x*ox=e. Binární operaci o však lze alternativně charakterizovat pomocí ternární relace R, kde definujeme, že R(x,y,z) platí právě tehdy, když platí xoy=z. Každou z uvedených podmínek mužeme tedy místo operace o popsat pomocí ternární relace R. Například poslední podmínka dostane tvar \ix3x*[R(x,x*,e)f',.R(x*,x,e)].

.:::L Q)

E e I ~

"'O O >

'::J

151

c' ~ c..

I ~

I .., o 3 (I) 7'

152

Nyní si můžeme položit otázku: Existuje nějaká sémantika možných světů, která by

byla založena na vícemístné, a nikoli pouze na binární relaci dosažitelnosti; tj. má sémantika

možných světů význam i pro relační struktury, které obsahují vícemístné, a nikoli pouze

binární relace? A vskutku, modální logika nám může mnohé říci i k těmto strukturám

(přestože příslušné systémy nejsou zřejmě ještě natolik prozkoumány jako systémy s binár­

ní relací dosažitelnosti). Jako příklad logických systémů, které jsou založeny na ternární

relaci dosažitelnosti můžeme uvést různé systémy relevantní logiky (systémy s relevantní

implikacQ.40 Jedním z cnů těchto logik je vypořádat se s tzv. "paradoxy implikace", jimiž

rozumíme některé tautologie klasické logiky, které mají "paradoxní" interpretaci v případě,

že materiální implikaci interpretujeme jako vyplývání.41 Jedním z "paradoxů" je formule

P~(Q~P), kterou můžeme číst jako "Jestliže je tvrzení P pravdivé, pak je implikováno

čímkoliv", resp. "Pravdivý výrok vyplývá z jakéhokoli výroku." Například formule Q~Q,

protože je tautologií, je implikována jakýmkoli výrokem P, tj. platí P~(Q~Q). K eliminaci

této formule relevantní logika zavádí ternární relaci dosažitelnosti R mezi světy w, w', w". Relevantní implikace P~Q je v této interpretaci pravdivá ve světě w právě tehdy, je-Ii

antecedent implikace nepravdivý ve všech světech w' nebo konsekvent pravdivý ve všech

světech w" takových, že platí R(w,w',w"). Při této interpretaci skutečně může nastat pří­

pad, kdy formule Q~Q je nepravdivá, tj. situace, kdy formule Q je pravdivá ve svě­

tě w', nepravdivá ve světě w", a tudíž formule Q~Q nepravdivá ve světě w. Tím se

zároveň podařilo eliminovat formuli P~(Q~Q).42

Tolik k našemu zamyšlení o modální logice a sémantice možných světů. Viděli jsme,

jaký je rozdíl mezi pojmem možných světů v jejich původním "technickém" významu

a v jejich různých interpretacích. Účelem tohoto příspěvku bylo podat - pokud možno

sine ira et studio - alespoň částečný obraz toho, jakými směry se modální logika a sé­

mantika možných světů ubírala ve dvacátém století, a umožnit čtenáři učinit si vlastní

názor na tuto problematiku.

I Podrobnější Kripkeho biografii najde čtenář například v J. Nida-Rumelin (ed.), Slovník součas­ných filosofU, Praha, Garamond 200 I.

2 Saul A. Kripke, "A Completeness Theorem in Modal Logic", The Journal of Symbolic Logic 24, 1959, s. 1-15.

3 Zkratkou SS'= Kripke rozumí systém modální predikátové logiky SS rozšířený o teorii identity.

4 B. J. Copeland, "The Genesis of Possible Worlds Semantics", Journal of Phi/osophical Logic 31,

2002, s. 99-137, citace s. 113. K podrobnějšímu výkladu složitého procesu konstituování sé­

mantiky možných světu odkazujeme čtenáře na tuto přehledovou práci.

5 Jde zejména o článek "Semantical Considerations on Modal Logic", Acta Phi/osophica Fennica

16, 1963, s. 83-94, dále o články "Semantical Analysis of Modal Logic I: Normal Modal Pro­

positional Calculi", Zeitschrift fůr mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik 9, 1963,

s. 67-96, a "Semantical Analysis of Modal Logic II: Non-normal Modal Propositional Calculi",

in: J. W Adsison, L. Henkin, A Tarski (eds.), The Theory of Mode/s, Amsterdam, North-Hol­

land 1965.

6 Kniha byla publikována ve slovenském překladu pod názvem Pomenovanie a nevyhnutnosť, Bratislava, Kalligram 2002, přeložil A. Riška.

7 P. Tichý, The Foundations of Frege's Logic, Berlin - New York, Walter de Gruyter 1988, s. 278.

8 Jedná se o zjednodušenou verzi diagramu ze s. 367 v knize G. E. Hughes, M. J. Cresswell,

A New Introduction to Modal Logic, London and New York, Routledge 1996.

9 Nenormálními systémy rozumíme takové systémy, které neobsahují formuli K nebo pravidlo přidání

nutnosti. Příklad nenormálních systému představují některé systémy striktní implikace C. I. Lewise.

10 Rozdfl mezi oběma pojmy muže být ještě nejasnější, uvědomíme-Ii si, že logika pracuje s teorií

modelů. Tato disciplína zkoumá vztahy mezi formálními teoriemi a objekty teorie množin, s jejichž

pomocí jsou formální teorie interpretovány. (Interpretací formální teorie rozumíme procedu­

ru, s jejíž pomocí je teorii přiřazen význam. Zatímco formální teorie přísně vzato nevypovídá

"o ničem", interpretovaná teorie již vypovídá o něčem, tj. například o množinách.) V tomto

významu používáme termín "model" v úvahách o sémantice logiky. V komentáři však hovoříme

o modelech v podobném významu, v němž například Bohrův model atomu považujeme za je­

den z modelů atomu (za jednu z možných alespoň částečně fungujících představ), a nikoli za

definitivní odhalení samotné podstaty atomu.

II Číslo O někdy je a někdy není považováno za přirozené číslo. Na základě Dedekindovy, resp.

Peanovy axiomatizace (objevitelem axiomů je německý matematik Richard Dedekind, výsled­

ný systém je však znám pod názvem Peanova aritmetika) aritmetiky přirozených čísel a jiných

moderních teorií je však přirozenější, považujeme-Ii O za přirozené číslo.

12 Této záměny se kupříkladu dopouští ve své popularizační knížce K. Devlin, který se von Ne­

umannově konstrukci věnuje v kapitolce pojmenované jako "Čísla z ničeho". Viz K. Devlin,

jazyk matematiky: jak zviditelnit neviditelné, Praha, Argo a Dokořán 2002.

13 Viz J. Etchemendy, The Concept or Logical Consequence, Cambridge, Harvard University Press 1990.

14 Jde o tzv. objektovou sémantiku, podle níž interpretované tvrzení "Nějaké x je P" je pravdivé

v případě, že existuje objekt a, který má vlastnost P. Existuje však rovněž tzv. substituční sé­

mantika, která tvrzení "Nějaké x je P" považuje za pravdivé v případě, kdy za ,,x" můžeme

substituovat nějaké jméno tak, že dostaneme pravdivou větu. Kupříkladu tvrzení "Nějaké x je

mytologické zvíře" nemá žádnou pravdivou objektovou interpretaci, ale má pravdivou substi­

tuční interpretaci, například dosadíme-Ii za ,,x" jméno "Pegas", tj. jméno známého mytologic­

kého okřídleného koně.

15 Monadický predikát P tedy interpretujeme tak, že mu přiřadíme určitou podmnožinu D. Do­

hodneme-Ii se například na tom, že D budeme rozumět množinu všech lidí a predikátem P

vlastnost "být plešatý", pak interpretací predikátu P je množina všech plešatých lidí, tj. pod­

množina D. Binární relace interpretujeme jako množiny všech uspořádaných dvojie individuí,

mezi nimiž platí určitý vztah. Například při dané interpretaci D, kdy relací R rozumíme vztah

"má rád", je interpretací této relace množina všech uspořádaných dvojie individuí, kdy první

individuum má rádo druhé individuum. Analogickým způsobem jsou interpretovány individuální

funkce. Interpretujeme-Ii formule, které obsahují volné proměnné, pak musíme navíc uvažovat

o tzv. ohodnocení proměnných. Formule obsahující volné proměnné tedy získají určitý význam

až po interpretaci všech predikátů a relací, popř. rovněž funkcí, které se v nich vyskytují, a při

určitém ohodnocení volných proměnných. Podrobný výklad detailů sémantiky logiky prvního

řádu lze najít v každé standardní učebnici klasické logiky. J. Etchemendy tvrdí, že rovněž séman­

tiku logiky prvního řádu lze chápat interpretačním a reprezentačním způsobem. Otázkou, čím

se tyto dvě interpretace liší, se však pro naše účely zde nemusíme zabývat.

16 Viz následující studie "Sémantické úvahy o modální logice".

17 M. Mleziva, Neklasické logiky, Praha, Svoboda 1970. K diskusi systémů modální logiky viz

s.95-135.

18 K důkazu korektnosti systému D bychom přísně vzato měli dokázat také to, že v uvažova­

ných kripkovských rámcích je pravdivý rovněž axiom K. Tento axiom je teorémem všech nor­

málních modálních systémů a je tedy pravdivou formulí i při uvažované interpretaci. Důkaz

tohoto tvrzení je analogický důkazu korektnosti formule D.

19 Přestože důkaz není v zásadě složitý, bylo by k jeho provedení zapotřebí definovat celou řadu

nových pojmů a výklad by se neúměrně prodloužil. Příklady důkazů úplnosti systémů modální

výrokové i modální predikátové logiky najde čtenář například v knize G. E. Hughes, M. J. Cres­

swell, A New Introduction to Modal Logic, London and New York, Routledge 1996. Samostatné

a velmi zajímavé téma představují neúplné formální systémy.

20 M. Fitting, R. L. Mendelsohn, First-Order Modal Logic, Kluwer Academie Publishers, 1999, s. 12.

21 S. Kripke, "A Completeness Theorem in Modal Logie" , The journal or Symbolic Logic 24, 1959,

s. 1-14, citát s. 2.

22 Viz S. Kripke, Naming and Necessity, Oxford, Basil Blackwell Ltd. 1980, s. 19.

23 Přesněji bychom je přirovnali k množinovým a-polím (a-algebrám).

24 S. Kripke, tamtéž, s. 18.

25 Viz článek "Možné světy v literární teorii: hra interdisciplinarity" od Ruth Ronenové, otištěný

v tomto čísle Aluze, s. 166-179.

26 S. Kripke, tamtéž, s. 20.

27 S. Kripke, tamtéž, s. 19.

28 Např. A. Plantinga, ,Which Worlds Could God have Created?", The journal or Philosophy 70, 1973,

s. 539-552. Viz též A. Plantinga, God, Freedom, and Evil, New York, Harper & Row 1974.

.:::t­Q)

E O ~

I a..:

"'O O >

'::J

153

154

29 Viz D. Lewis, On the Plurality or Worlds, Oxford, Basil Blackwell Ltd 1986.

30 Viz např. R. Montague, Formal Philosophy: Se/ected Papers or Richard Montague, ed. R. H. Tho­

mason, Yale University Press 1974 a úvod R. Thomasona, tamtéž, s. 1-69.

3 I Viz např. P. Tichý, The Foundations or Frege 's Logic; P. Tichý, O čem mluvíme? Vybrané stati k logice

a sémantice, Praha, Filosofia 1996; P. Materna, Svět pojmu a logika, Praha, Filosofia 1995; P. Ma­

terna, J. Štěpán, Filozofická logika: Nová cesta?, Olomouc, Univerzita Palackého 2000 aj.

32 Viz např. M. J. Cresswell, Structured Meanings: The Semantics or Propositional Attitudes, Cam­

bridge, MIT Press 1985.

33 Např. J. L. Pollock, The Foundations or Philosophical Semantics, Princeton University Press 1984.

34 C. Menzel, "Actualism", in: The Stanrord Encyclopedia or Philosophy, Edward N. Zalta (ed.),

2005, URL: http://plato.stanford.edu/entries/actualism/

35 Např. A. Plantinga, ,World and Essence", The Philosophical Review 79, 1970, s. 461-492. Po­

drobněji Plantinga tuto koncepci zpracoval ve The Nature or Necessity, Oxford, Oxford University

Press, 1974. Viz též A. Plantinga, "Two Concepts of Modality: Modal Realism and Modal Re­

ductionism", Philosophical Perspectives I, 1987. Metaphysics, s. 189-231. Zde vycházíme z for­

mální sémantiky navržené pro Plantingovu koncepci aktualismu T. Jagerem. Viz T. Jager, "An

Actualist Semantics for Quantified Modal Logic", Notre Dame journal or Formal Logic 23, 1982,

s. 335-349.

36 Další problémy modální metafyziky a různé verze aktualismu viz Menzel, tamtéž.

37 " ... traktuji možné světy empirických oborů včetně fikční sémantiky jako makrostruktury ...

tvořené konečným počtem možných jednotlivin." L. Doležel, Heterocosmica: Fikce a možné

světy, Praha, Karolinum 2003, s. 30.

38 Na tento problém přesvědčivě poukázal J. Etchemendy, viz pozn. 13.

39 P. Blackburn, M. de Rijke, Y. Venema, Modal Logic, Cambridge University Press 200 I.

40 Viz například J. M. Dunn, "Relevance Logic and Entailment", in: Handbook or Philosophical Logic,

D. M. Gabbay, F. Guenthner (eds.), Dordrecht, Reidel, Vol. III: s. 117-224. Stručný a ele­

mentární výklad viz např. E. Mares, "Relevance Logic", in: The Stanrord Encyclopedia or Philo­

sophy, Edward N. Zalta (ed.), 1998, URL: http://plato.stanford.edu/entries/logic-relevance/

41 Jedná se o pouze zdánlivě paradoxní formule, proto výraz "paradox" důsledně obepínáme

uvozovkami. Můžeme poznamenat, že problematičnost těchto formulí spočívá v nejednoznač­

ném rozlišení mezi materiální implikací a jinými typy implikace.

42 Ternární relaci R(w,w',w") lze interpretovat různým způsobem. Jednou z možností je například

informační interpretace, podle níž w představuje informačně-teoretický kanál mezi světy w' a w".

Implikace je pravdivá právě tehdy, nese-Ii antecedent implikace informaci, která je relevantní

pro konsekvent implikace, a naopak nepravdivá, pokud mezi antecedentem a konsekventem

neexistuje žádný "informační kanál".