Čtyřúhelník

25

Čtyřúhelník

O b s a h :

1. Jak definovat čtyřúhelník – základní vlastnosti

2. Názvy čtyřúhelníků

2.1. Deltoid

2.2. Tětivový čtyřúhelník

2.3. Tečnový čtyřúhelník

2.4. Rovnoběžník

2.4.1. Základní vlastnosti

2.4.2. Výšky a střední příčky rovnoběžníka

2.4.3. Pravoúhlý rovnoběžník

2.4.4. Kosodélník

2.5. Lichoběžník

3. Konstrukce čtyřúhelníka

4. Příklady k procvičení

Čtyřúhelník

26

1. Jak definovat čtyřúhelník – základní vlastnosti

Čtyřúhelník se na základní škole definuje pomocí svých základních vlastností.

Čtyřúhelník má čtyři vrcholy, čtyři strany, čtyři vnitřní úhly. Dvě strany, které mají

společný vrchol, jsou sousední. Dvě strany, které nemají společný vrchol, jsou protější.

Také dva vrcholy a dva vnitřní úhly čtyřúhelníku jsou buď sousední, nebo protější.

Úsečka, jejímiž krajními body jsou dva protější vrcholy čtyřúhelníku, nazývá se

úhlopříčka. Každý čtyřúhelník má dvě úhlopříčky.

Úhlopříčka rozdělí čtyřúhelník na dva trojúhelníky. Součet vnitřních úhlů

v každém trojúhelníku je 180o, proto součet vnitřních úhlů v každém čtyřúhelníku je

360o.

A, B; B, C; atd. sousední vrcholy

A, C; B, D protější vrcholy

a, b; b, c; atd. sousední strany

a, c; b, d protější strany

AC = e, BD = f úhlopříčky

, ; , ; atd. sousední vnitřní úhly

, ; , protější vnitřní úhly

N průsečík úhlopříček

= úhel u vrcholu A, = úhel u vrcholu B, = úhel u vrcholu C, = úhel u vrcholu D

2. Názvy čtyřúhelníků

Jestliže všechny body čtyřúhelníku leží v téže polorovině, jejíž hranice obsahuje

kteroukoli stranu čtyřúhelníka, pak se takový čtyřúhelník nazývá čtyřúhelník konvexní.

Není-li tomu tak, je to čtyřúhelník nekonvexní.

O b s a h

Čtyřúhelník

27

Podle vlastností stran a úhlů dáváme čtyřúhelníkům zvláštní jména.

Čtyřúhelník, který má každé dvě protější strany různoběžné, se nazývá

různoběžník. Jestliže má čtyřúhelník dvě strany rovnoběžné a zbývající dvě strany

různoběžné, nazývá se lichoběžník. Čtyřúhelník, jehož každé dvě protější strany jsou

rovnoběžné, je rovnoběžník.

2.1 Deltoid

Zvláštním případem různoběžníka je deltoid. Je

to různoběžník souměrný podle právě jedné úhlopříčky.

Skládá se ze dvou neshodných rovnoramenných

trojúhelníků se společnou základnou a z toho plynou

některé jeho vlastnosti:

a) dvě sousední strany jsou shodné, AB=BC,

zbývající dvě sousední strany jsou rovněž shodné,

AD=DC;

b) úhlopříčka DB půlí vnitřní úhly, jimiž prochází, a je osou souměrnosti

úhlopříčky AC i celého deltoidu;

c) úhly, jimiž prochází úhlopříčka AC, jsou shodné, tedy DAB=DCB (je-li

deltoid vepsán do kružnice, jsou tyto úhly pravé);

d) deltoidu lze vepsat kružnici, její střed O leží na osách shodných úhlů a na

úhlopříčce BD.

Příklad 1.1: a) Sestrojte deltoid ABCD, je-li dáno: a = 2,5 cm, b = 3,5 cm, = 145o

b) Sestrojte tomuto deltoidu kružnici vepsanou.

c) Lze mu také sestrojit kružnici opsanou? Kdy lze sestrojit kružnici

opsanou deltoidu?

Řešení 1.1:

O b s a h

Čtyřúhelník

28

2.2 Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník, jehož vrcholy leží na kružnici,

nazývá se čtyřúhelník tětivový. Součet velikostí

libovolných dvou jeho protilehlých úhlů je 180o.

O tětivovém čtyřúhelníku také platí tzv.

Ptolemaiova věta, která říká: V každém tětivovém

čtyřúhelníku je součin délek úhlopříček roven součtu

součinů délek protilehlých stran.

Příklad 1.2: Sestrojte čtyřúhelník ABCD tak, aby to byl tětivový čtyřúhelník, pro nějž

platí: úhel = 90o, = 60o, c = 2,75 cm, d = 4,9 cm.

Řešení 1.2:

Zápis konstrukce:

1. ; = XBY = 145o

2. k; k (B; a = 2,5 cm)

3. A; A k BX

4. l; l (B; b = 3,5 cm)

5. C; C l BY

6. m; m (A; |AB|)

7. n; n (C; |CB|)

8. D; D m n

9. deltoid ABCD

Zápis konstrukce:

1. CD; |CD| = 2,75 cm

2. p; p CD, C p

3. ; =CDX = 180o - 60o =120o

4. l; l (D; d=4,9 cm)

5. A; A l DX

6. q; q DA, A q

7. B; B p q

8. čtyřúhelník ABCD

9. O; O je průnik os stran ABCD

10. k; k (O; |OC|)

X

O b s a h

Čtyřúhelník

29

2.3 Tečnový čtyřúhelník

Čtyřúhelník, který je opsán kružnici, nazývá se

čtyřúhelník tečnový. Součty délek jeho protilehlých

stran se navzájem rovnají.

Příklad 1.3: Sestrojte čtyřúhelník ABCD tak, aby to byl tečnový čtyřúhelník.

Řešení 1.3:

2.4 Rovnoběžník

Čtyřúhelník, jehož každé dvě protější strany jsou rovnoběžné, nazývá se

rovnoběžník.

Podle úhlů se rovnoběžníky dělí na rovnoběžníky kosoúhlé (mají úhly kosé) a

rovnoběžníky pravoúhlé neboli pravoúhelníky (mají všechny úhly pravé).

Podle velikostí stran mají rovnoběžníky ještě zvláštní jména: kosodélník,

kosočtverec, obdélník, čtverec.

2.4.1 Základní vlastnosti

Základní vlastnosti každého rovnoběžníka:

Zápis konstrukce:

1. k; k (S; r = libovolně)

2. P4; P4 k

3. d; d SP4, P4 d

4. P3; P3 k

5. c; c SP3, P3 c

6. P2; P2 k

7. b; b SP2, P2 b

8. P1; P1 k

9. a; a SP1, P1 a

10. A; A a d

11. B; B a b

12. C; C c b

13. D; D c d

14. čtyřúhelník ABCD

O b s a h

Čtyřúhelník

30

a) každé dvě protější strany jsou navzájem rovnoběžné;

b) každé dvě protější strany jsou shodné

c) úhlopříčky se navzájem půlí.

Zjistíme-li, že daný čtyřúhelník má některou z uvedených vlastností, potom

je to rovnoběžník.

O vnitřních úhlech každého rovnoběžníka platí:

a) každé dva protější úhly jsou shodné;

b) součet velikostí každých dvou sousedních úhlů je 180o.

2.4.2 Výšky a střední příčky rovnoběžníka

Úsečka, jejímiž krajními body jsou středy

rovnoběžných stran, je střední příčka rovnoběžníka.

Každý rovnoběžník má dvě střední příčky.

Rovnoběžník ABCD má střední příčky EF a

GH. Platí EF=AB=CD, EFABCD; GH=AD=BC,

GH ADBC.

Průsečík středních příček S splývá s průsečíkem úhlopříček a nazývá se

střed rovnoběžníka.

Vzdálenost přímek, v nichž leží protější strany rovnoběžníka, je jeho

výška. Rovnoběžník má tedy dvě výšky.

Příklad 1.4: Sestrojte obdélník ABCD, znáte-li velikosti středních příček (7 cm, 5cm).

Sestrojte kosodélník KLMN, který bude mít stejně dlouhé strany jako

obdélník ABCD, tzn. AB = KL, BC = LM. Porovnejte délky středních

příček.

Řešení 1.4:

Zápis konstrukce:

1. AB; |AB| = 7 cm

2. p; p AB, B p

3. k,l; k (B; |BC|=5cm), l (A; |BC|=5cm)

4. C; C k p

5. q; q BC, C q

6. D; D q l

7. obdélník ABCD

8. M; M k

9. s; s BM, A s

10. N; N s l

11. kosodélník KLMN

O b s a h

Čtyřúhelník

31

2.4.3 Pravoúhlý rovnoběžník

Jestliže má rovnoběžník jeden úhel pravý, má i všechny ostatní úhly

pravé, neboť protější úhly jsou shodné a součet každých dvou sousedních úhlů

rovnoběžníka je 180o. Takový rovnoběžník se nazývá pravoúhlý.

Má-li pravoúhlý rovnoběžník sousední strany shodné, jmenuje se

čtverec; nemá-li sousední strany shodné, nazývá se obdélník. V praxi dáváme

rozměrům obdélníka názvy šířka, délka, výška apod.

Každý pravoúhlý rovnoběžník má tyto vlastnosti:

a) každé dvě sousední strany jsou k sobě kolmé;

b) úhlopříčky jsou shodné;

c) pravoúhlému rovnoběžníku lze opsat kružnici;

d) má dvě osy souměrnosti (jsou jimi přímky, které obsahují střední

příčky).

Jestliže rovnoběžník má některou z uvedených čtyř vlastností, je

pravoúhlý.

Pravoúhlý rovnostranný rovnoběžník se nazývá čtverec. Má vlastnosti

každého pravoúhlého rovnoběžníka (obdélníka) a navíc některé další,

například:

a) všechny strany i obě střední příčky čtverce jsou shodné;

b) úhlopříčky čtverce stojí na sobě kolmo a půlí jeho vnitřní úhly;

c) čtverci lze opsat i vepsat kružnici;

d) čtverec má čtyři osy souměrnosti (jsou jimi přímky obsahující stření

příčky a přímky obsahující úhlopříčky).

Příklad 1.5: Sestrojte libovolný čtverec a obdélník. Sestrojte jejich kružnice opsané a

vepsané, jejich osy souměrnosti a vyzkoušejte, zda platí výše uvedená

pravidla.

Řešení 1.5:

O b s a h

Čtyřúhelník

32

2.4.4 Kosodélník

Kosodélník, který má všechny strany shodné, nazývá se kosočtverec;

nemá-li sousední strany shodné, nazývá se kosodélník.

Kosočtverec má všechny vlastnosti rovnoběžníka a kromě shodných

stran ještě další vlastnosti, například:

a) úhlopříčky kosočtverce jsou k sobě kolmé a půlí úhly, z nichž

vycházejí;

b) kosočtverec má právě dvě osy souměrnosti (jsou jimi přímky, které

obsahují úhlopříčky);

c) kosočtverci lze vepsat kružnici, jejím středem je průsečík úhlopříček.

Zápis konstrukce:

1. obdélník KLMN

2. S; S je průnik středních příček

3. k; k (S; |SN|) – kružnice opsaná

obdélníku KLMN

Zápis konstrukce:

1. čtverec ABCD

2. S; S AC BD

3. k1; k1 (S; |SC|) – kružnice

opsaná čtverci ABCD

4. k2; k2 (S; |ST|) - kružnice

vepsaná čtverci ABCD

T

O b s a h

Čtyřúhelník

33

Příklad 1.6: Sestrojte libovolný kosodélník KLMN a kosočtverec ABCD. Ověřte, zda

platí výše uvedené věty. Sestrojte jejich osy souměrnosti.

Řešení 1.6:

2.5 Lichoběžník

Čtyřúhelník, který má dvě protější strany

rovnoběžné a zbývající dvě strany různoběžné,

nazývá se lichoběžník. Rovnoběžné strany

mají vždy různé velikosti a jmenují se

základny, různoběžným stranám říkáme

ramena. Ramena lichoběžníka mohou, ale

nemusí být shodné úsečky. Vzdálenost

přímek, v nichž leží základny, je výška lichoběžníka.

Úsečka, jejímiž krajními body jsou středy ramen, nazývá se střední příčka

lichoběžníka. Střední příčka lichoběžníka je rovnoběžná se základnami a její délka je

rovna polovině součtu délek obou základen. Označíme-li základny z1, z2 a střední

příčku p, platí:

p = (z1 + z2)/2

Součet velikostí vnitřních úhlů přilehlých k ramenu lichoběžníka je 180o.

Zápis konstrukce:

1. KL; |KL| = libovolně

2. t; t KL

3. N; N t

4. s; s KN, L s

5. M; M t s

6. kosodélník KLMN

Zápis konstrukce:

1. AB; |AB| = libovolně

2. p; p AB

3. k; k (A; |AB|)

4. D; D k p

5. q; q AD, B q

6. C; C q p

7. kosočtverec ABCD

O b s a h

Čtyřúhelník

34

Jestliže má lichoběžník jeden vnitřní úhel pravý, nazývá

se pravoúhlý lichoběžník. Protože součet úhlů při ramenu

je 180o, má pravoúhlý lichoběžník dva pravé úhly; jsou to

vždy úhly přilehlé k témuž ramenu.

Výška pravoúhlého lichoběžníka rovná se menšímu

ramenu.

Lichoběžník, jehož ramena jsou shodné

úsečky, nazývá se rovnoramenný lichoběž-

ník.

Kromě shodných ramen má rovnoramenný

lichoběžník tyto další vlastnosti:

a) Úhly při téže základně jsou shodné.

Při větší základně jsou úhly ostré, při

menší základně jsou úhly tupé.

b) Rovnoramenný lichoběžník má jednu osu souměrnosti; osou souměrnosti je

společná osa obou základen.

c) Úhlopříčky jsou shodné a protínají se na ose souměrnosti.

d) Rovnoramennému lichoběžníku lze opsat kružnici.

Jestliže má lichoběžník některou z uvedených vlastností, je rovnoramenný.

Příklad 1.7: Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnou AB délky

a = 10 cm a s úhlem DAB o velikosti 60o, jestliže úhlopříčka AC svírá

s ramenem BC pravý úhel.

Řešení 1.7:

Zápis konstrukce:

1. AB; |AB| = a = 10 cm

2. ; = BAX = 60o

3. S; S je střed strany AB

4. k; k (S; |AS|)

5. ; = ABY = 60o

6. C; C k BY

7. D; D k AX

8. lichoběžník ABCD

X Y

O b s a h

Čtyřúhelník

35

3. Konstrukce čtyřúhelníka

Postup pro sestrojení čtyřúhelníka je následující: Úhlopříčka rozdělí čtyřúhelník na

dva trojúhelníky, takže čtyřúhelník sestrojíme tak, že sestrojíme postupně oba tyto

trojúhelníky. Trojúhelník, který sestrojujeme nejdříve, je určen třemi prvky.

K sestrojení druhého trojúhelníka je třeba znát další dva prvky, neboť oba trojúhelníky

mají jednu stranu společnou. Je tedy čtyřúhelník určen pěti vhodnými prvky.

Příklad 1.8: Sestrojte čtyřúhelník ABCD, je-li dáno: a = 4,5 cm, d = 3,8 cm, = 85o,

= 78o, = 115o.

Řešení 1.8:

Konstrukce rovnoběžníka - kosodélníka

Rovnoběžník se skládá ze dvou shodných trojúhelníků. Můžeme-li sestrojit jeden

z těchto trojúhelníků, můžeme sestrojit i druhý, proto rovnoběžník je určen třemi

vhodnými prvky. Velikosti daných prvků musí také vyhovovat vlastnostem

rovnoběžníka.

Příklad 1.9: Sestrojte kosodélník ABCD, znáte-li délky úseček AB = 5 cm, BC = 6 cm a

úhel = 60o.

Řešení 1.9:

Zápis konstrukce:

1. AB; |AB| = a = 4,5 cm

2. ; = BAX = 85o

3. ; = ABY = 78o

4. k; k (A; d = 3,8 cm)

5. D; D k AX

6. ; = ADZ = 115o

7. C; C DZ BY

8. čtyřúhelník ABCD

X Z

Y

Zápis konstrukce:

1. AB; |AB| = 5 cm

2. ; = BAX = 60o

3. p; p AX, B p

4. k; k (B; |BC| = 6 cm)

5. C; C k p

6. q; q AB, C q

7. D; D q AX

8. kosodélník ABCD

X

O b s a h

Čtyřúhelník

36

Konstrukce pravoúhlého rovnoběžníka - obdélníka

Pravoúhlý rovnoběžník rozdělí jeho úhlopříčka na dva pravoúhlé trojúhelníky.

Pravoúhlý trojúhelník je určen dvěma prvky, oba trojúhelníky jsou shodné, je tedy

pravoúhlý rovnoběžník určen dvěma vhodnými prvky.

Příklad 1.10: Sestrojte obdélník ABCD, znáte-li délky úseček AB = 4 cm, BC = 6 cm.

Řešení 1.10:

Konstrukce čtverce

Čtverec je určen jediným vhodným prvkem, neboť se skládá ze dvou shodných

pravoúhlých rovnoramenných trojúhelníků a pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník je

určen jediným prvkem. Určovacím prvkem čtverce nemůže být úhel.

Příklad 1.11: Sestrojte čtverec ABCD, je-li strana čtverce dána úsečkou AB = 5 cm.

Řešení 1.11:

Zápis konstrukce:

12. AB; |AB| = 4 cm

13. p; p AB, B p

14. k; k (B; |BC|=6 cm)

15. C; C k p

16. q; q BC, C q

17. s; s AB, A s

18. D; D q s

19. obdélník ABCD

Zápis konstrukce:

1. AB; |AB| = 5 cm

2. k; k (A; |AB|=5 cm)

3. p; p AB, B p

4. q; q AB, A q

5. D; D k q

6. s; s AD, D s

7. C; C p s

8. čtverec ABCD

O b s a h

Čtyřúhelník

37

Konstrukce kosočtverce

Úhlopříčka rozdělí kosočtverec na dva shodné rovnoramenné trojúhelníky.

Rovnoramenný trojúhelník je určen dvěma prvky, proto i kosočtverec je určen dvěma

vhodnými prvky. Dané prvky musí odpovídat vlastnostem kosočtverce.

Příklad 1.12: Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dáno: a = 4,6 cm, = 60o.

Řešení 1.12:

Konstrukce lichoběžníka

Lichoběžník má dvě strany rovnoběžné a tato jeho vlastnost nahrazuje jeden

určovací prvek, takže lichoběžník je určen čtyřmi vhodnými prvky, které vyhovují

vlastnostem lichoběžníka. Lichoběžník rovnoramenný a lichoběžník pravoúhlý mají

další speciální vlastnosti a jsou proto určeny jen třemi prvky.

Příklad 1.13: Sestrojte lichoběžník ABCD, je-li dáno: a = 6,2 cm, b = 4 cm, e = 7,5 cm,

f = 5 cm.

Řešení 1.13:

Zápis konstrukce:

3. AB; |AB| = a = 4,6 cm

4. ; = BAX = 60o

5. p; p AX, B p

6. k; k (A; a = 4,6 cm)

7. D; D k AX

8. q; q AB, D q

9. C; C q p

10. kosočtverec ABCD

Zápis konstrukce:

1. AB; |AB| = a = 6,2 cm

2. k; k (B; b=4 cm)

3. l; l (A; e=7,5 cm)

4. C; C k l

5. m; m (B; f=5 cm)

6. p; p AB, C p

7. D; D m p

8. lichoběžník ABCD

O b s a h

Čtyřúhelník

38

4. Příklady k procvičení

Příklad 1.14: Konvexní čtyřúhelník pro který platí: |AB| = 10 cm, |CB| = 4 cm a délka

příčky SaSc je 4 cm. Dále víme, že v tomto čtyřúhelníku jsou dva

pravoúhlé trojúhelníky a to trojúhelník ABD s přeponou AB a ABC s

přeponou AB.

Příklad 1.15: Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li dáno strany a, b, úhlopříčka e.

Příklad 1.16: Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li dáno strana a = 4,2 cm, úhlopříčky

e = 5,4 cm, f.= 3,8 cm.

Příklad 1.17: Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD se stranami AB = 6 cm,

BC = 3,5 cm, CD = 3 cm.

Příklad 1.18: Sestrojte čtyřúhelník ABCD, jehož všechny strany jsou navzájem

různoběžné (různoběžník), je-li dáno a = 5 cm, b = 3 cm, e = 5 cm,

f = 4,5 cm, = 60o.

Příklad 1.19: Sestrojte rovnoramenný lichoběžník, jestliže je dána střední příčka

p = 4 cm, výška v = 5 cm a rameno r = 6 cm.

Příklad 1.20: Sestrojte lichoběžník se základnami AB = 8,5 cm, CD = 3,5 cm, znáte-li

v = 3,5 cm a velkost úhlu ABC = 60o.

Příklad 1.21: Sestrojte kosočtverec ABCD, jsou-li dány úhlopříčky e = 5,2 cm,

f = 3,6 cm.

Příklad 1.22: Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li dána strana b = 5,4 cm, úhel = 120o.

Příklad 1.23: Sestrojte deltoid ABCD, jsou-li dány strany a = 2,5 cm, b = 3,5 cm, úhel

= 145o.

Příklad 1.24: Sestrojte deltoid ABCD, jsou-li dány strany a = 6 cm, b = 3 cm a

úhlopříčka f = 7 cm.

O b s a h