Operace s mocninami s celočíselným

mocnitelem

Souhrnný přehled učiva + řešené i

neřešené příklady.

Obsah: Mocnina s přirozeným mocnitele

m Sčítání a odčítání mocnin Násobení mocnin Dělení mocnin Umocňování mocnin Přezkoušej se Několik zajímavostí o mocninách

Mocnina s přirozeným mocnitelem Příklad :

Součin n stejných činitelů a zapisujeme ve tvaru an.

n činitelů

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

7

2

1

výraz zkrácený zápisvýrazu

6.6 26zzz .. 3z

4,0.4,0.4,0.4,0.4,0 54,0xxxxxxxxxxx .......... 11x

a.a.a.a............a.a an

Výraz an je n-tá mocnina libovolného čísla a, kde n je přirozené číslo.

namocnitel

mocninyzáklad

ačíslamocninatán

(exponent)

Vlastnosti mocnin s přirozeným mocnitelem

Každá přirozená mocnina nuly sa rovná nule.Když a=0, potom platí: 01=02=03= ........ 0n=0.

Když a>0, potom mocnina je kladné číslo.Například 26=2.2.2.2.2.2=64; 0,53=0,5.0,5.0,5=0,125.

Když a<0, potomnapříklad (-3)2=(-3).(-3)=+9; (-5)4=(-5).(-5).(-5).(-5)=+625

(-3)3=(-3).(-3).(-3)=-27; (-5)5=(-5).(-5).(-5).(-5).(-5)=-3 125Když n je sudé, mocnina je kladné číslo,

Když n je liché, mocnina je záporné číslo.

Úlohy na procvičování:

2x.2x.2x.2x.2x.2x =(-3,5b).(-3,5b).(-3,5b) =(x+1).(x+1).(x+1) =

75 =(-0,4a)4 =(2+x)2 =Napište mocninu, která má základ -0,1 a exponent 5.

Výsledek mocniny (3-2.5)6 bude kladný nebo záporný?

Zapište součin ve tvaru mocniny:

Zapište mocninu ve tvaru součinu:

Sčítání a odčítání mocnin

Sčítat a odčítat můžeme jen ty mocniny, které mají stejný základ a stejného mocnitele, a to tak, že sčítame jejich koeficienty.

Příklad:

Sčítance vhodně seskupíme

5x2 – 3 + 6x + 7x2 + 2 = (5x2+7x2)+6x+(-3+2) =

= (5+7)x2 + 6x + (-1) =

= 12x2 + 6x - 1koeficienty spočítáme

Vzorové řešení úloh:

4x2 +2y3 -5z -10x2 -2y3 +7z =

= (4x2-10x2)+ 0+2z= -6x2

seskupíme sčítancevypočítámeodstraníme závorky

seskupíme sčítance

vypočítame

(2y3-2y3)+(-5z+7z) =

4a2 -7b - 5(3a2 - b) =

= (4a2 - 15a2) + (-7b +5b) =

= -11a2 + (- 2b ) =-11a2 - 2b

4a2 -7b -15a2 + 5b =

Úlohy na procvičování:

7a2-6a+11a2+5a =13m3-12m2+11m-9m2-7m3 =

36a2-64ab+25b2-16a2+27ab+9b2 =8,5n2-12,6n-3,6n2-11,7n =11x2-(-6x)+(-5x2)-(2x+3x2) =12k3-3k2-4(5k3+k2)-7(-9k2) =4y-[5y2-(13y2-6y)]-(2y-3y2) =

5r-(12r2-2r)-[5r-(2r-12r2)] =

Násobení mocnin Příklad :

Mocniny se stejným základem násobíme tak, že základ umocníme součtem mocnitelů.

an.am = an+m

m,n N

43.aa )...).(..( aaaaaaaaaaaaaa ......

43a7a

Vzorové řešení úloh:

5d2.(-7d ) =

vynásobíme koeficienty

vynásobíme mocniny se stejným základem

5.(-7) d2+1 = -35d3

0,8x y2z3.10x2y z = 0,8.10 x1+2 y2+1 z3+1 =

= 8x3y3z4

(12-6m)x(12-6m)2y = (12-6m)x+2y

vynásobíme koeficienty

vynásobíme mocniny se stejným základem

vynásobíme mocniny se stejným základem

1

1 1 1

Úlohy na procvičování:

6y2.y3 =3x2y.5xy2 =

a3b7.( -3a2bc6).(-2a5c3)=0,5abc3.3a2c.(-2b4c2) =

-3xy3.(-4x5) =Dosaďte za x číslo tak, aby platila rovnost:

x.53 = 57

38.3x = 310

23.x4 = 27

Dělení mocnin

Příklad :

Mocniny se stejným základem dělíme tak, že základ umocníme rozdílem mocnitelů.

am : an = am-n

m,n N, a≠0

35 : aa 3

5

a

a aaa

aaaaa

..

.... 2a35a

Mocnitel nula

Když m = n a současně x≠0, platí:

tedy

Každé číslo (různé od nuly) umocněné na nultou se rovná jedné.

a0 = 1 a ≠ 0

44 : xx 44x 0x

4

4

x

x

xxxx

xxxx

...

...1

44 : xx0x 1

, ale také

,

.

Záporný mocnitel Když m < n a současně x≠0, platí:

tedy

Mocnina se záporným mocnitelem se dá zapsat

jako zlomek:

a≠0,s N

53 : xx53x 2x

5

3

x

xxxxxx

xxx

....

..2

1

x

53 : xx

2x 2

1

x

ss

aa

1

, ale také

,

.

Vzorové řešení úloh:

18m7n8:9m5n3 = (18:9) m7-5 n8-3 = 2m2n5

(-0,2x7y8z9) : (-0,04x6y z9) =

= [(-0,2):(-0,04)] x7-6 y8-1 z9-9 = 5x1y7z0 = 5xy7

vydělíme koeficienty

vydělíme mocniny se stejným základem

z0 = 1

vydělíme koeficienty

vydělíme mocniny se stejným základem

x1 = x

1

7c5 : (-2c8) = [7:(-2)] c5-8 =

= -3,5c-3 = -3,5. 3

1

c 3

5,3

c

vydělíme mocniny se stejným základem

vydělíme koeficienty

33 1

cc

Úlohy na provičování:

91x5:(-7x4) =18m7n8:9m5n3 =

6k3:3k7 =0,8a13b3c4:(-0,2a6b3c3) =12c3d2:(-15c5d3) =

Dosaďte za x číslo tak, aby platila rovnost:38:3x = 35

10x:1000 = 10

(-24k8h3):36k7h5 =

Umocňování mocnin Příklad:

Mocninu umocníme tak, že základ umocníme součinem mocnitelů.

(an)m = an.m

m,n N

23)(a 33.aa33a

2.3a 6a

Mocnina součinu Příklad 1.:

Příklad 2.:

Součin umocníme tak, že umocníme každého činitele.

(a.b)n = an.bn n N

xyxyxyxyxy ....5)(xyyyyyyxxxxx .........

55 yx

3)4( ab ababab 4.4.4bbbaaa ......4.4.4

3334 ba 3364 ba

Mocnina zlomku (podílu)

Příklad 1. :

Příklad 2. :

Zlomek umocníme tak, že umocníme čitatele i jmenovatele zlomku.

b≠0, n N

5

d

c

d

c

d

c

d

c

d

c

d

c

ddddd

ccccc

....

....5

5

d

c

4

3

2

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

3

2

3

2

3

2

3

2

yyyy

xxxx

3.3.3.3

2.2.2.244

44

.3

.2

y

x 4

4

3

2

y

x4

4

81

16

y

x

n

nn

b

a

b

a

Vzorové řešení úloh:

(2x2y3z )3 = 23 x2.3 y3.3 z1.3 = 8x6y9z3

(-3a5b7)2 = (-3)2 a5.2 b7.2 = 9a10b14

[(-3a2b )3.2b]2 = [(-3)3 a2.3 b1.3.2b]2 =

= (-27a6b3.2b )2 = [(-27.2)a6b3+1]2 =

= (-54a6b4)2 = 2916 a12 b8

umocníme činitele

vypočítame výraz v závoce

(-54)2 a6. 2 b4. 2 =

umocníme činitele

umocníme činitele

1

1

1

Úlohy na procvičování:

32

4

5a

(4a3b2)3 =(-5x2y3)2 =

(-2a5b)7 =

2

2

33

zy

x

4

3

2

1

1

y

x

Zapište jako mocninu se základem 2:

5

7

16

8

Zapište jako mocninu se základem 3:

3

4

27

3.81

PŘEZKOUŠEJ SE Následuje 20 úloh na ověření

vědomostí o mocninách s celočíselným mocnitelem.

Při každé úloze jsou navrženy čtyři možnosti, ale jen jedna z nich je správná. Označ ji kliknutím na písmeno před ní.

Přeji mnoho úspěchů !

1.) Který ze zápisů je správný ?

(A) y+y+y+y = y4

(B) 3x.3x.3x.3x = 3x4

(C) 2a+2a+2a+2a = 2a3

(D) 5k.5k.5k.5k = (5k)4

2.) 11a2-(-6a)+(-5a2)-(2a+3a2) =

(A) 3a2- 4a (B) 3a2+4a (C) 9a2+9a (D) 9a2- 4a

3.) Mocnina, které základ je -4y a mocnitel je 6 se dá zapsat jako:

(A) - 4y6

(B) -(4y)6

(C) (- 4y)6

(D) (4y)6

4.) Která z následujících rovností neplatí ?

(A) (-5)3 = -53

(B) -54 = (-5)4

(C) (53)2 = (52)3

(D) 5.53 = (52)2

5.) Který ze zápisů je správný ?

(A) 2a.(-3ab2).4b = 24a2b3

(B) 2a.(-3ab2).4b = -24a2b2

(C) 2a.(-3ab2).4b = -24a2b3

(D) 2a.(-3ab2).4b = -24a3b2

6.) Které z uvedených čísel je nejmenší ?

(A) 13,23

(B) (-500)3

(C) 5003

(D) (-13,2)3

7.) Výraz (-10x2y3)3 se dá upravit na tvar

(A) 100x6y3

(B) 1000x6y27

(C) -100x5y6

(D) -1000x6y9

8.) - 42x4y2:7x2y =

(A) -8x2y2

(B) 6x2y (C) -6xy2

(D) -6x2y

9.) Kolik je osmina z čísla 87 ?

(A) 17

(B) 81

(C) 77

(D) 86

10.)

4

53ba

32

2

ab

8

63ba

4

53ba

8

63ba

(A)

(B)

(C)

(D)

11.) Který ze zápisů je nesprávný ? (A) (-17)2 = 172

(B)

(C) - 5,12 = (- 5,1)2

(D) - 43 = (- 4)3

2

22

5

3

5

3

12.) 13y2-(3y+6y2)-(-5y)+(-7y2) =

(A) 2y (B) 8y2-2y (C) 3y2+2y (D) 12y2+2y

13.) Kterým výrazem musíme dělit 12a3, aby jsme dostali -3a ?

(A) 4a (B) - 4a2

(C) 4a2

(D) - 4a

14.) (-k2)3 =

(A) k5

(B) -k5

(C) -k6

(D) k6

15.) 4x2.(-5x3) =

(A) -20x6

(B) -20x5

(C) -20x (D) 20x5

16.) Který ze zápisů je správný ?

(A) -30x4:6x = 5x3

(B) -30x4:6x2 = -5x2

(C) -30x4:(-6x) = 5x2

(D) -30x4:(-6x) = -5x3

17.)

2

4

3

5

4

b

abVýraz se dá upravit na tvar

6

52

25

4

b

ba

62

52

5

4

b

ba

8

32

25

16

b

ba

8

62

25

16

b

ba

(A)

(B)

(C)

(D)

18.) Který ze zápisů je nesprávný ?

(A) 34.315 = 319

(B) 2x2.3x4 = 6x6

(C) 5a2y3.2ay5 = 10a3y15

(D) 15xy2.(-2x2y) = -30x3y3

19.) -10x3y4 : 2xy3 =

(A) -5x2y (B) -5xy (C) 5xy2

(D) -10x2y

20.)Výraz (-m5).(-7m3).(-m2).2m3 sa dá upraviť na tvar

(A) 14m19

(B) -14m90

(C) -14m13

(D) 14m13

Zajímavé vlastnosti mají druhé a třetí mocniny takových přirozených čísel, kterých desítkový zápis obsahuje pouze číslice 1 nebo 9.Čísla (nebo slova), které jsou stejné při čtení zprava nebo zleva, nazýváme PALINDRÓMY.Tuto vlastnost mají například druhé mocniny čísel složených ze samých jedniček:

Nippur

Autor : RNDr. Mária SzékelyováKontakt: szekelyova@centrum.skPřeklad do českého jazyka : IP@RK ( hrbok8.seznam.cz)

Použitá literatúra