Orbis pictus21. století

Tato prezentace byla vytvořenav rámci projektu

SčítačkySčítačky

OB21-OP-EL-CT-JANC-M-2-016OB21-OP-EL-CT-JANC-M-2-016

SčítačkySčítačky

Aritmetické operace s binárními čísly jsou základem Aritmetické operace s binárními čísly jsou základem programového vybavení mikroprocesorů a hardwarového programového vybavení mikroprocesorů a hardwarového vybavení specializovaných integrovaných obvodů. vybavení specializovaných integrovaných obvodů.

Základem těchto aritmetických operací je Základem těchto aritmetických operací je sčítání čísel sčítání čísel v binární soustavěv binární soustavě. .

Obvody, které toto hardwarové sčítání realizují se nazývají Obvody, které toto hardwarové sčítání realizují se nazývají sčítačkysčítačky..

SčítačkySčítačky

Sečtení dvou dvojkových čísel je založeno na sečtení všech Sečtení dvou dvojkových čísel je založeno na sečtení všech dvojic dvojkových míst, které si vzájemně řádově odpovídají dvojic dvojkových míst, které si vzájemně řádově odpovídají počínaje nejnižšími řády. počínaje nejnižšími řády.

Přitom je třeba brát v úvahu i přenosy z nižších do vyšších Přitom je třeba brát v úvahu i přenosy z nižších do vyšších řádů, které během sčítání vznikají.řádů, které během sčítání vznikají.

SčítačkySčítačky

Při sčítání dvou dvojkových čísel musíme nejdříve sečíst Při sčítání dvou dvojkových čísel musíme nejdříve sečíst hodnoty na nejnižším řádovém místě (tj. na řádovém místě hodnoty na nejnižším řádovém místě (tj. na řádovém místě odpovídající pozici 2odpovídající pozici 200). ).

Může přitom vzniknout aritmetický součet nula, jedna nebo Může přitom vzniknout aritmetický součet nula, jedna nebo dvě. dvě.

Vzato binárně, v posledním uvedeném případě nestačí jedno Vzato binárně, v posledním uvedeném případě nestačí jedno dvojkové místo na zapsání výsledku. dvojkové místo na zapsání výsledku.

Vznikne tedy dvojkový přenos do vyššího řádu. Vznikne tedy dvojkový přenos do vyššího řádu. Tento přenos musíme přičíst k binárním číslicím ve vyšším Tento přenos musíme přičíst k binárním číslicím ve vyšším

řádu ( v tomto případě na řádovém místě odpovídající pozici řádu ( v tomto případě na řádovém místě odpovídající pozici 2211).).

SčítačkySčítačky

00 1 11 1

00 0 10 1

----------------------------

00 1 101 10

Vlastnosti součtu binárních číslic využijeme při návrhu Vlastnosti součtu binárních číslic využijeme při návrhu logických obvodů pro aritmetické operace. logických obvodů pro aritmetické operace.

Problém sčítání dvou dvojkových číslic převedeme do oblasti Problém sčítání dvou dvojkových číslic převedeme do oblasti návrhu logických funkcínávrhu logických funkcí

SčítačkySčítačky

Máme dvě nezávisle proměnné, a to obě Máme dvě nezávisle proměnné, a to obě sčítané dvojkové číslice sčítané dvojkové číslice A, BA, B, a dvě závisle proměnné, a to , a dvě závisle proměnné, a to součet Ssoučet S odpovídající řádovému  odpovídající řádovému místu 2místu 200 a a přenos Cpřenos C (z anglického Carry – přenos) odpovídající (z anglického Carry – přenos) odpovídající řádovému místu 2řádovému místu 211. .

Hodnota C má tedy z hlediska dvojkové číselné soustavy vyšší Hodnota C má tedy z hlediska dvojkové číselné soustavy vyšší váhu řádového místa než S, jehož váha je stejná jako váha sčítanců váhu řádového místa než S, jehož váha je stejná jako váha sčítanců A i B.A i B.

Uveďme příklad součtu dvou binárních číselUveďme příklad součtu dvou binárních čísel

A = 1011A = 1011

B = 1011B = 1011

------------------------

1011010110

SčítačkySčítačky

Součet v tomto tvaru získáme za předpokladu respektování Součet v tomto tvaru získáme za předpokladu respektování přenosů z nižšího řádu do vyššího. V případě, že bychom tyto přenosů z nižšího řádu do vyššího. V případě, že bychom tyto přenosy nerespektovali,vypadal by uvedený součet 0000.přenosy nerespektovali,vypadal by uvedený součet 0000.

Obr. 1 Bloková schéma čtyřbitové sčítačky

SčítačkySčítačky

Součet dvou čtyřbitových čísel A a B můžeme znázornit pomocí Součet dvou čtyřbitových čísel A a B můžeme znázornit pomocí blokového schématu na obr. 1. blokového schématu na obr. 1.

Zde jsou tři nejvyšší řády sčítany v blocích označených Zde jsou tři nejvyšší řády sčítany v blocích označených , které , které se nazývají sčítačky nebo se nazývají sčítačky nebo úplné sčítačkyúplné sčítačky. Mají tři vstupy. . Mají tři vstupy.

V každém řádu do nich vstupují binární číslice An, Bn a přenos V každém řádu do nich vstupují binární číslice An, Bn a přenos z nižšího řádu Cn. z nižšího řádu Cn.

V nejnižším řádu do bloku označeného V nejnižším řádu do bloku označeného /2 vstupují pouze /2 vstupují pouze binární číslice A0 a B0, a proto se tento blok nazývá binární číslice A0 a B0, a proto se tento blok nazývá poloviční poloviční sčítačkasčítačka..

Poloviční sčítačku můžeme použít pouze k součtu dvou číslic na Poloviční sčítačku můžeme použít pouze k součtu dvou číslic na nejnižších řádových místech dvou binárních čísel, do kterého nejnižších řádových místech dvou binárních čísel, do kterého nevstupuje přenos z nižšího řádu.nevstupuje přenos z nižšího řádu.

Poloviční sčítačkaPoloviční sčítačka

Popis funkce poloviční sčítačky můžeme zapsat pomocí Popis funkce poloviční sčítačky můžeme zapsat pomocí pravdivostní tabulky na obr. 2. pravdivostní tabulky na obr. 2.

Pravdivostní tabulka ukazuje, že součet binárních číslic A0 a Pravdivostní tabulka ukazuje, že součet binárních číslic A0 a B0 označený jako S0 nabývá hodnoty 1 právě tehdy, jsou-li B0 označený jako S0 nabývá hodnoty 1 právě tehdy, jsou-li hodnoty A0 i B0 různé, a hodnoty 0, jsou-li A0 a B0 shodné.hodnoty A0 i B0 různé, a hodnoty 0, jsou-li A0 a B0 shodné.

Obr. 2 Pravdivostní

tabulka poloviční sčítačky

Poloviční sčítačkaPoloviční sčítačka

S0 můžeme tedy vyjádřit jako nonekvivalenci obou S0 můžeme tedy vyjádřit jako nonekvivalenci obou proměnnýchproměnných

Přenos C1 vyjádříme z pravdivostní tabulky jako logický Přenos C1 vyjádříme z pravdivostní tabulky jako logický součin vstupních proměnnýchsoučin vstupních proměnných

Z odvozených logických funkcí můžeme nakreslit zapojení Z odvozených logických funkcí můžeme nakreslit zapojení poloviční sčítačky, které je znázorněno na obr. 3 a.poloviční sčítačky, které je znázorněno na obr. 3 a.

00000 BABAS

001 BAC

Poloviční sčítačkaPoloviční sčítačka

Obr. 3 Poloviční sčítačka

a)logický obvod, b)schematická značka

Na obr. 3 b je uvedeno značení poloviční sčítačky.

Funkci obvodu nonekvivalence realizovanou pomocí hradel AND a OR je možné jednodušeji realizovat jedním obvodem XOR.

Úplná sčítačkaÚplná sčítačka

Používá se pro vyšší řádová místa vícebitových čísel. Používá se pro vyšší řádová místa vícebitových čísel.

Ke dvěma číslicím An a Bn, patřícím k oběma sčítancům, se Ke dvěma číslicím An a Bn, patřícím k oběma sčítancům, se přidává hodnota přenosu z nižšího řádového místa Cn, viz obr. přidává hodnota přenosu z nižšího řádového místa Cn, viz obr. 1.1.

Součet binárních hodnot An + Bn + Cn, označený Sn, a přenos Součet binárních hodnot An + Bn + Cn, označený Sn, a přenos do vyššího řádu Cdo vyššího řádu Cn+1n+1 mohou nabývat hodnot uvedených mohou nabývat hodnot uvedených

v pravdivostní tabulce na obr. 4.v pravdivostní tabulce na obr. 4.

Úplná sčítačkaÚplná sčítačka

Obr. 4 Pravdivostní tabulka úplné sčítačky

Úplná sčítačkaÚplná sčítačka

Jestliže nejméně dvě (tedy i všechny tři) z proměnných An, Jestliže nejméně dvě (tedy i všechny tři) z proměnných An, Bn, Cn nabývají hodnoty 1, musí zákonitě nabývat hodnoty 1 i Bn, Cn nabývají hodnoty 1, musí zákonitě nabývat hodnoty 1 i proměnná Cproměnná Cn+1n+1. .

Z pravdivostní tabulky na obr. 4 lze pro přenos CZ pravdivostní tabulky na obr. 4 lze pro přenos Cn+1n+1 a součet a součet

Sn odvodit logické výrazy.Sn odvodit logické výrazy.

nnnnnnnnnnnnn CBACBACBACBAC 1

nnnnnnnnnnnnnn BABACCCBABABAC )()()(

nnnnnnnnnnnnn CBACBACBACBAS

nnnnnnnnnnnnn BACBABACBABAC )()(

Úplná sčítačkaÚplná sčítačka

Tyto výrazy popisují možná zapojení obvodů pro realizaci Tyto výrazy popisují možná zapojení obvodů pro realizaci funkcí Cn+1 a Sn. funkcí Cn+1 a Sn.

S výhodou zde lze použít logické obvody XOR. S výhodou zde lze použít logické obvody XOR. Na obr. 5 a) je znázorněno schéma jednobitové úplné sčítačky Na obr. 5 a) je znázorněno schéma jednobitové úplné sčítačky

a na obr. 5 b) její schématická značka. a na obr. 5 b) její schématická značka. Blok sčítačky má tři vstupy a dva výstupy, jejichž funkce Blok sčítačky má tři vstupy a dva výstupy, jejichž funkce

vycházejí z odvozených vztahů pro součet a přenos. vycházejí z odvozených vztahů pro součet a přenos.

Sčítačka je realizována obvody XOR a obvody NAND.Sčítačka je realizována obvody XOR a obvody NAND.

Úplná sčítačkaÚplná sčítačka

Obr. 5 a) Schéma zapojení úplné sčítačky s obvody XOR,b) schematická značka

Úplná sčítačkaÚplná sčítačka

Sčítačku lze samozřejmě realizovat i jinými obvody jako např. Sčítačku lze samozřejmě realizovat i jinými obvody jako např. pomocí základních logických funkcí AND, OR a NOT, ale pak pomocí základních logických funkcí AND, OR a NOT, ale pak je nutné počítat s podstatně složitějším zapojením při realizaci je nutné počítat s podstatně složitějším zapojením při realizaci těchto funkcí. těchto funkcí.

Úplná jednobitová sčítačka pak vychází jako podstatně Úplná jednobitová sčítačka pak vychází jako podstatně složitější obvod. složitější obvod.

Pro ukázku je takto realizovaná sčítačka uvedena na obr.6. Pro ukázku je takto realizovaná sčítačka uvedena na obr.6. Vznikla minimalizací logických funkcí z pravdivostní tabulky Vznikla minimalizací logických funkcí z pravdivostní tabulky

uvedené na obr. 4 pomocí Karnaughových map.uvedené na obr. 4 pomocí Karnaughových map.

Úplná sčítačkaÚplná sčítačka

Obr. 6 Úplná sčítačka

realizovaná minimalizací pravdivostní

tabulky z obr. 4

Úplná sčítačkaÚplná sčítačka

Vzhledem k tomu, že hodnoty proměnných, které přicházejí na Vzhledem k tomu, že hodnoty proměnných, které přicházejí na vstup úplné sčítačky, mají stejnou váhu řádového místa, není vstup úplné sčítačky, mají stejnou váhu řádového místa, není třeba mezi vstupy této sčítačky rozlišovat. Hodnoty na výstupech třeba mezi vstupy této sčítačky rozlišovat. Hodnoty na výstupech jsou závislé vždy jen na tom, kolik jedniček se na vstupech jsou závislé vždy jen na tom, kolik jedniček se na vstupech sčítačky vyskytne, a ne na tom, na kterých vstupech tyto jedničky sčítačky vyskytne, a ne na tom, na kterých vstupech tyto jedničky jsou. Naproti tomu výstupy sčítačky nejsou zaměnitelné, protože jsou. Naproti tomu výstupy sčítačky nejsou zaměnitelné, protože odpovídají hodnotám s různou váhou řádových míst.odpovídají hodnotám s různou váhou řádových míst.

Dvojkové vícebitové sčítačky můžeme realizovat spojováním Dvojkové vícebitové sčítačky můžeme realizovat spojováním jednotlivých jednobitových sčítaček. Pro sčítání prvních dvou jednotlivých jednobitových sčítaček. Pro sčítání prvních dvou bitů můžeme použít buď sčítačku poloviční nebo sčítačku úplnou bitů můžeme použít buď sčítačku poloviční nebo sčítačku úplnou s tím, že na přenosový vstup připojíme logickou úroveň nula.s tím, že na přenosový vstup připojíme logickou úroveň nula.

Paralelní sčítačkaParalelní sčítačka

Pojmem paralelní sčítačky budeme označovat číslicové Pojmem paralelní sčítačky budeme označovat číslicové kombinační obvody, které provádějí sčítání nebo odčítání kombinační obvody, které provádějí sčítání nebo odčítání vícebitových binárních čísel. vícebitových binárních čísel.

Nejčastěji bývají realizovány jako integrované obvody.Nejčastěji bývají realizovány jako integrované obvody.

Vzhledem k tomu, že vícebitovou sčítačku lze realizovat Vzhledem k tomu, že vícebitovou sčítačku lze realizovat kaskádním spojením několika jednobitových sčítaček, bude kaskádním spojením několika jednobitových sčítaček, bude rychlost obvodu záviset na rychlosti generování přenosu rychlost obvodu záviset na rychlosti generování přenosu v nejvyšším řádu.v nejvyšším řádu.

Paralelní sčítačkaParalelní sčítačka

Z hlediska rychlosti šíření přenosu je v mnoha případech Z hlediska rychlosti šíření přenosu je v mnoha případech normální sčítačka příliš pomalá. normální sčítačka příliš pomalá.

Z tohoto důvodu se používají obvody pro „předvídání“, resp. Z tohoto důvodu se používají obvody pro „předvídání“, resp. zrychlení výpočtu přenosu. zrychlení výpočtu přenosu.

Přenos v určitém řádu je možné získat bez čekání na výsledek Přenos v určitém řádu je možné získat bez čekání na výsledek přenosu v předchozích řádech. přenosu v předchozích řádech.

Tyto obvody jsou označovány jako Tyto obvody jsou označovány jako sčítačky se zrychleným sčítačky se zrychleným přenosempřenosem..

Paralelní sčítačkaParalelní sčítačka

Příkladem paralelních sčítaček mohou být integrované obvody Příkladem paralelních sčítaček mohou být integrované obvody s označením 7483, nebo 74181. Jedná se o čtyřbitové paralelní s označením 7483, nebo 74181. Jedná se o čtyřbitové paralelní sčítačky. sčítačky.

Pomocí těchto sčítaček lze realizovat jak funkci sčítání, tak i Pomocí těchto sčítaček lze realizovat jak funkci sčítání, tak i odčítání čísel pomocí dvojkových doplňků. odčítání čísel pomocí dvojkových doplňků.

Musíme dát ovšem pozor na to aby se nám výsledek operace Musíme dát ovšem pozor na to aby se nám výsledek operace „vešel“ do potřebného počtu bitů. „vešel“ do potřebného počtu bitů.

Pokud nám tedy nestačí výsledné čtyři bity a potřebujeme Pokud nám tedy nestačí výsledné čtyři bity a potřebujeme k vyjádření výsledku použít i přenos carry (C), mluvíme o tzv. k vyjádření výsledku použít i přenos carry (C), mluvíme o tzv. přetečenípřetečení OV (z anglického Overflow). OV (z anglického Overflow).

Paralelní sčítačkaParalelní sčítačka

Přetečení výsledku při operaci aritmetického součtu binárních Přetečení výsledku při operaci aritmetického součtu binárních čísel se projevuje tím, že výsledek nemůžeme zobrazit v počtu čísel se projevuje tím, že výsledek nemůžeme zobrazit v počtu bitů, ve kterém jsou zobrazena jednotlivá čísla. bitů, ve kterém jsou zobrazena jednotlivá čísla.

Taková situace nastane, jestliže sčítáme dvě větší kladná čísla Taková situace nastane, jestliže sčítáme dvě větší kladná čísla nebo dvě záporná čísla. nebo dvě záporná čísla.

Stav, kdy došlo k přetečení, musíme nějakým způsobem Stav, kdy došlo k přetečení, musíme nějakým způsobem indikovat, abychom provedli rozšíření výsledku o přenosový indikovat, abychom provedli rozšíření výsledku o přenosový bit. Přetečení je něco jiného než přenosbit. Přetečení je něco jiného než přenos

Paralelní sčítačkaParalelní sčítačka

Indikace přetečení je závislá na hodnotách nejvyšších bitů Indikace přetečení je závislá na hodnotách nejvyšších bitů obou sčítanců, na nejvyšším bítu výsledku a na hodnotě obou sčítanců, na nejvyšším bítu výsledku a na hodnotě přenosu. přenosu.

Nejvyšším bitům binárních čísel v reprezentaci dvojkových Nejvyšším bitům binárních čísel v reprezentaci dvojkových doplňků říkáme znaménkové bity. doplňků říkáme znaménkové bity.

Pro čtyřbitová čísla můžeme napsat logickou funkci pro Pro čtyřbitová čísla můžeme napsat logickou funkci pro indikaci přetečení jako ekvivalenci znaménkových bitů indikaci přetečení jako ekvivalenci znaménkových bitů sčítanců Asčítanců A33 a B a B33, násobenou nonekvivalencí přenosového bitu , násobenou nonekvivalencí přenosového bitu

a znaménkového bitu výsledku Sa znaménkového bitu výsledku S33..

)( 3433 SCBAOV

Paralelní sčítačkaParalelní sčítačka

Schéma generování příznaku přetečení čtyřbitové sčítačky

BCD sčítačkaBCD sčítačka

Desítková sčítačka provádí součet dvou binárních čísel v kódu Desítková sčítačka provádí součet dvou binárních čísel v kódu BCD. BCD.

V každém řádu se sčítají dvě čtyřbitová BCD čísla Ad + Bd, V každém řádu se sčítají dvě čtyřbitová BCD čísla Ad + Bd, odpovídající ekvivalentům čísel 0 až 9, a přičítá se přenos C0 odpovídající ekvivalentům čísel 0 až 9, a přičítá se přenos C0 z nižšího řádu. z nižšího řádu.

Výsledkem je součet Sd opět v kódu BCD a výstupní přenos Výsledkem je součet Sd opět v kódu BCD a výstupní přenos Cd, který se generuje v případě, je-li součet čísel Ad + Bd + Cd, který se generuje v případě, je-li součet čísel Ad + Bd + C0 větší než 9. C0 větší než 9.

Při součtu dvou BCD čísel je zbytečné převádět tato čísla na Při součtu dvou BCD čísel je zbytečné převádět tato čísla na binární, pak je sečíst a potom je opět převést na číslo binární, pak je sečíst a potom je opět převést na číslo desítkové. Výhodnější je sečíst obě BCD čísla pomocí binární desítkové. Výhodnější je sečíst obě BCD čísla pomocí binární sčítačky a potom výsledný součet korigovat.sčítačky a potom výsledný součet korigovat.

Děkuji za pozornostDěkuji za pozornost

Ing. Ladislav JančaříkIng. Ladislav Jančařík

LiteraturaLiteratura

Antošová M, Davídek V.: Číslicová technika, KOPP České Antošová M, Davídek V.: Číslicová technika, KOPP České Budějovice 2008Budějovice 2008

Bernard J., Hugon J., Le Covec R.: Od logických obvodů k Bernard J., Hugon J., Le Covec R.: Od logických obvodů k mikroprocesorům I, SNTL Praha 1982mikroprocesorům I, SNTL Praha 1982