Orbis pictus21. století

Tato prezentace byla vytvořenav rámci projektu

Hodnoty střídavých Hodnoty střídavých veličinveličin

OB21-OP-EL-ZEL-JANC-L-3-013OB21-OP-EL-ZEL-JANC-L-3-013

Okamžitá hodnotaOkamžitá hodnota

Velikost střídavé sinusové veličiny se během periody spojitě Velikost střídavé sinusové veličiny se během periody spojitě mění. mění.

V libovolném čase V libovolném čase t t nabývá veličina hodnotu, kterou nabývá veličina hodnotu, kterou označujeme jako označujeme jako okamžitou hodnotu střídavé veličinyokamžitou hodnotu střídavé veličiny (např. (např. napětí nebo proudu) a označujeme ji malými písmeny abecedy.napětí nebo proudu) a označujeme ji malými písmeny abecedy.

Napětí Napětí uu je okamžitá hodnota napětí je okamžitá hodnota napětí UU, proud , proud ii je okamžitá je okamžitá

hodnota proudu hodnota proudu II apod. Bude-li se jednat o velikosti v určitých apod. Bude-li se jednat o velikosti v určitých okamžicích, přidáváme k písmenu číselné indexy počínaje 1, a okamžicích, přidáváme k písmenu číselné indexy počínaje 1, a to v pořadí, jak příslušné velikosti jdou za sebou, např. to v pořadí, jak příslušné velikosti jdou za sebou, např. UU11, , ii11

atp.atp.

Okamžitá hodnotaOkamžitá hodnota

AmplitudouAmplitudou střídavé veličiny sinusového průběhu nazýváme střídavé veličiny sinusového průběhu nazýváme maximální hodnotu střídavé veličiny maximální hodnotu střídavé veličiny a označujeme ji a označujeme ji velkým písmenem s indexem max,velkým písmenem s indexem max,

Např. pro napětí Např. pro napětí UUmaxmax, pro proud , pro proud IImaxmax apod. apod.

Je-li třeba maximální hodnoty různých napětí nebo proudů Je-li třeba maximální hodnoty různých napětí nebo proudů rozlišit, provádí se číselným indexem, např. rozlišit, provádí se číselným indexem, např. UU1max1max, , UU2max2max, , II1max1max, ,

II2max2max..

Okamžitá hodnotaOkamžitá hodnota

Matematicky lze střídavý proud vyjádřit vztahemMatematicky lze střídavý proud vyjádřit vztahem

i = Ii = Imaxmax sin α sin α Argument goniometrické funkce sin je úhel α a je přímo Argument goniometrické funkce sin je úhel α a je přímo

úměrný času t.úměrný času t. Doba jedné periody T odpovídá úhlu 2π radiánů. Doba jedné periody T odpovídá úhlu 2π radiánů. Jednotka času odpovídá úhlu 2π/T. Času odpovídá úhelJednotka času odpovídá úhlu 2π/T. Času odpovídá úhel

  α = (2π/T).t = 2πft = ωtα = (2π/T).t = 2πft = ωt kde ω je úhlová frekvence (úhlový kmitočet), pro níž je kde ω je úhlová frekvence (úhlový kmitočet), pro níž je

jednotka (rad.sjednotka (rad.s-1-1).).

Okamžitá hodnotaOkamžitá hodnota

Původní rovnici Původní rovnici i = Imax sin αi = Imax sin α upravíme po dosazení za úhel α upravíme po dosazení za úhel α na tvarna tvar

ii = = IImaxmax sin sin ωtωt,,

kde kde ωtωt je úhel v radiánech.  je úhel v radiánech.  Podle uvedené rovnice lze stanovit okamžitou hodnotu proudu Podle uvedené rovnice lze stanovit okamžitou hodnotu proudu

i pro libovolný čas t. Pro výpočet se převádí úhel α z radiánů i pro libovolný čas t. Pro výpočet se převádí úhel α z radiánů na stupně či naopak. Pro převod platí vztahyna stupně či naopak. Pro převod platí vztahy

ααrr = (π/180).α = (π/180).αss

ααss = (180/π).α = (180/π).αrr

Okamžitá hodnotaOkamžitá hodnota

Úloha 1:Úloha 1: Stanovte okamžitou hodnotu napětí v čase 5 μs, je-li amplituda Stanovte okamžitou hodnotu napětí v čase 5 μs, je-li amplituda

UUmaxmax = 10 mV a frekvence = 10 mV a frekvence f f = 12 kHz.= 12 kHz.

   Řešení:Řešení: Pro okamžitou hodnotu napětí Pro okamžitou hodnotu napětí uu platí platí

uu = = UUmaxmax sin sin ωtωt Vyjádření argumentu funkce sin v radiánechVyjádření argumentu funkce sin v radiánech ααr r = 2π= 2πftft = 2π . 12000 . 5 . 10 = 2π . 12000 . 5 . 10-6-6 rad = 0,377 rad rad = 0,377 rad

Okamžitá hodnotaOkamžitá hodnota

Pro argument ve stupních platíPro argument ve stupních platí

Okamžitá hodnota napětí potom jeOkamžitá hodnota napětí potom je

uu = = UUmaxmax sin αsin αss = 10 . sin 21,6° = 3,68 mV = 10 . sin 21,6° = 3,68 mV

6,21337,0180180

rs

Okamžitá hodnotaOkamžitá hodnota

Úloha 2:Úloha 2: Určete okamžitou velikost střídavého sinusového proudu pro Určete okamžitou velikost střídavého sinusového proudu pro

úhel 330, je-li amplituda Imax = 10 A.úhel 330, je-li amplituda Imax = 10 A.

   Řešení:Řešení:

i = Ii = Imaxmax sin α sin α

   i i = 10. sin 330° = 10 . (-0,5) = - 5 A= 10. sin 330° = 10 . (-0,5) = - 5 A

Fázový posunFázový posun

Pozorujme nyní, jaké případy mohou nastat, budeme-li Pozorujme nyní, jaké případy mohou nastat, budeme-li sledovat časový průběh střídavého (sinusového) napětí i sledovat časový průběh střídavého (sinusového) napětí i střídavého (sinusového) proudu současně.střídavého (sinusového) proudu současně.

Fázový posunFázový posun

Je-li počátek otáčení obou úseček (maximálních hodnot) Je-li počátek otáčení obou úseček (maximálních hodnot) UUmaxmax

a a II1max1max zvolen v okamžiku, kdy obe úsečky splývají s kladným zvolen v okamžiku, kdy obe úsečky splývají s kladným

směrem osy x a mají-li obě úsečky stejný úhlový kmitočet ω, směrem osy x a mají-li obě úsečky stejný úhlový kmitočet ω, potom jejich časový průběh je graficky vyjádřen na obr. 1 potom jejich časový průběh je graficky vyjádřen na obr. 1 sinusovkami sinusovkami uu a a ii11..

Otáčející se úsečky Otáčející se úsečky UUmaxmax a a II1max1max se navzájem kryjí a mají se navzájem kryjí a mají

v každém okamžiku stejný směr. Sinusový proud a sinusové v každém okamžiku stejný směr. Sinusový proud a sinusové napětí dosahují svých maximálních hodnot (amplitud) a napětí dosahují svých maximálních hodnot (amplitud) a nulových hodnot ve stejném okamžiku.nulových hodnot ve stejném okamžiku.

Říkáme, že Říkáme, že obě veličiny jsou ve fáziobě veličiny jsou ve fázi..

Fázový posunFázový posun

Pokud bude počátek otáčení, např. úsečky Pokud bude počátek otáčení, např. úsečky II2max2max, okamžik , okamžik

v němž svírá s úsečkou v němž svírá s úsečkou UUmax max (který se kryje s kladným směrem (který se kryje s kladným směrem

osy x) časový úhel +φ , bude časový průběh kmitu sinusovky osy x) časový úhel +φ , bude časový průběh kmitu sinusovky střídavého proudu střídavého proudu ii22 posunut oproti časovému počátku posunut oproti časovému počátku

střídavého napětí u o úhel +φ. střídavého napětí u o úhel +φ. Tomuto úhlu Tomuto úhlu říkáme říkáme úhel fázového posunuúhel fázového posunu nebo nebo fázový posufázový posunn. . Je-li počátek sinusového kmitu proudu posunut o úhel +φ před Je-li počátek sinusového kmitu proudu posunut o úhel +φ před

časový počátek, říkáme, že jeho časový průběh časový počátek, říkáme, že jeho časový průběh předbíhápředbíhá napětí. Fázový posun φ je zde kladný. napětí. Fázový posun φ je zde kladný.

Ze vzájemné polohy úseček Ze vzájemné polohy úseček UUmaxmax a a II2max2max a z časového průběhu je a z časového průběhu je

vidět, že proud vidět, že proud ii22 předbíhápředbíhá napětí napětí uu o fázový posun +φ. o fázový posun +φ.

Fázový posunFázový posun

Je-li počátek sinusovky střídavého proudu i3 zpožděn za Je-li počátek sinusovky střídavého proudu i3 zpožděn za časovým počátkem střídavého napětí u o úhel –φ, říkáme, že časovým počátkem střídavého napětí u o úhel –φ, říkáme, že jeho časový průběh je jeho časový průběh je zpožděnzpožděn. .

Fázový posun je zde záporný. Fázový posun je zde záporný. Opět vidíme ze vzájemné polohy úseček Opět vidíme ze vzájemné polohy úseček UUmaxmax a a II3max3max a a

z časového průběhu, že proud z časového průběhu, že proud ii33 se v tomto případě se v tomto případě zpožďujezpožďuje

za napětím za napětím uu o fázový posun –φ. o fázový posun –φ.

Z obr. vyplývá, žeZ obr. vyplývá, že fázové posuny mezi veličinami, které mají fázové posuny mezi veličinami, které mají stejný úhlový kmitočet, se nemění, jsou na čase nezávisléstejný úhlový kmitočet, se nemění, jsou na čase nezávislé..

Efektivní hodnotaEfektivní hodnota

Poněvadž střídavý proud nebo napětí mají v každém okamžiku Poněvadž střídavý proud nebo napětí mají v každém okamžiku jinou velikost, mění se s časem také jejich okamžitý výkon. jinou velikost, mění se s časem také jejich okamžitý výkon.

V praxi však potřebujeme obvykle určit celkovou práci V praxi však potřebujeme obvykle určit celkovou práci střídavého proudu, popř. napětí za určitou dobu. střídavého proudu, popř. napětí za určitou dobu.

Tuto celkovou práci porovnáváme se stejně velkou prací Tuto celkovou práci porovnáváme se stejně velkou prací stejnosměrného proudu, popř. napětí, za stejnou dobu.stejnosměrného proudu, popř. napětí, za stejnou dobu.

Platí tedy, že práce vykonaná stejnosměrným proudem i práce Platí tedy, že práce vykonaná stejnosměrným proudem i práce vykonaná střídavým proudem za stejnou dobu, např. ve vařiči vykonaná střídavým proudem za stejnou dobu, např. ve vařiči za čas T, musí být v obou případech stejná.za čas T, musí být v obou případech stejná.

Efektivní hodnotaEfektivní hodnota

Efektivní hodnota střídavého proudu

a)Práce vykonaná stejnosměrným proudem za dobu jedné periody Tb)Práce vykonaná střídavým proudem za dobu jedné periody T

Efektivní hodnotaEfektivní hodnota

Pro výkon stejnosměrného proudu platí vztahyPro výkon stejnosměrného proudu platí vztahy

Pro okamžitý výkon střídavého proudu a napětí platíPro okamžitý výkon střídavého proudu a napětí platí

Tepelná energie ΔA, která vznikne za dobu Δt, prochází-li Tepelná energie ΔA, která vznikne za dobu Δt, prochází-li vodičem střídavý proud vodičem střídavý proud ii, je, je

Tepelná energie je v každém okamžiku úměrná druhé mocnině Tepelná energie je v každém okamžiku úměrná druhé mocnině okamžité hodnoty proudu okamžité hodnoty proudu ii

R

URIP

22

R

uRip

22

tRiA 2

tIi 2max

22 sin

Efektivní hodnotaEfektivní hodnota

za dobu T jedné periody je tepelná energie daná vztahemza dobu T jedné periody je tepelná energie daná vztahem

Prochází –li rezistorem s odporem R stejnosměrný proud I po Prochází –li rezistorem s odporem R stejnosměrný proud I po dobu T, vznikne v rezistoru tepelná energie A, která jedobu T, vznikne v rezistoru tepelná energie A, která je

Z rovností energií plyneZ rovností energií plyne

T

tRiA0

2

TRIA 2

T

tRiTRI0

22

Efektivní hodnotaEfektivní hodnota

Po úpravách pomocí vyšší matematiky dostaneme vztahPo úpravách pomocí vyšší matematiky dostaneme vztah

Z něhož lze vypočítat efektivní hodnotu prouduZ něhož lze vypočítat efektivní hodnotu proudu

Analogicky pro střídavé napětí platí vztahAnalogicky pro střídavé napětí platí vztah

2max

22 I

I

maxmax 707,02

II

I

2maxU

U

Efektivní hodnotaEfektivní hodnota

Efektivní hodnota střídavého proudu se rovná takové Efektivní hodnota střídavého proudu se rovná takové hodnotě stejnosměrného proudu, který vyvolá ve vodiči za hodnotě stejnosměrného proudu, který vyvolá ve vodiči za určitou dobu stejné tepelné účinky jako uvažovaný střídavý určitou dobu stejné tepelné účinky jako uvažovaný střídavý proudproud..

   Efektivní hodnota má v elektrotechnice velkou důležitost. Efektivní hodnota má v elektrotechnice velkou důležitost. Měřící tepelné a elektromagnetické přístroje ukazují efektivní Měřící tepelné a elektromagnetické přístroje ukazují efektivní

hodnoty střídavého proudu a napětí.hodnoty střídavého proudu a napětí. Na štítcích elektrotechnických strojů a přístrojů udáváme vždy Na štítcích elektrotechnických strojů a přístrojů udáváme vždy

efektivní hodnoty.efektivní hodnoty.

Střední hodnotaStřední hodnota

Střední hodnota střídavého proudu se rovná aritmetickému Střední hodnota střídavého proudu se rovná aritmetickému průměru všech okamžitých hodnot během poloviny periody, průměru všech okamžitých hodnot během poloviny periody, tedy za dobu T/2.tedy za dobu T/2. Označuje se jako Označuje se jako IIstřstř..

Porovnáváme-li elektrochemické účinky střídavého proudu se Porovnáváme-li elektrochemické účinky střídavého proudu se stejnými účinky proudu stejnosměrného, docházíme k definici stejnými účinky proudu stejnosměrného, docházíme k definici střední hodnoty střídavého proudu.střední hodnoty střídavého proudu.

Střední hodnota střídavého proudu se rovná stejnosměrnému Střední hodnota střídavého proudu se rovná stejnosměrnému proudu, kterým se např. vyloučí z elektrolytu stejné množství proudu, kterým se např. vyloučí z elektrolytu stejné množství kovu jako proudem střídavým za dobu T/2.kovu jako proudem střídavým za dobu T/2.

Střední hodnotaStřední hodnota

Střední hodnota střídavého proudu

Střední hodnotaStřední hodnota

Střední hodnotu střídavého proudu stanovíme z elektrického Střední hodnotu střídavého proudu stanovíme z elektrického náboje náboje QQ, který projde určitým průřezem za dobu T/2., který projde určitým průřezem za dobu T/2.

Pro střídavý proud platíPro střídavý proud platí

Pro stejnosměrný proud o velikosti IPro stejnosměrný proud o velikosti Istřstř je velikost náboje je velikost náboje

Protože se oba náboje musí rovnat, pro střední hodnotu tedy Protože se oba náboje musí rovnat, pro střední hodnotu tedy platí platí

2/

0

2/

0

T T

tiqQ

2

TIQ řst

2/

02

T

stř tiT

I

Střední hodnotaStřední hodnota

Pomocí vyšší matematiky bychom odvodili vztahPomocí vyšší matematiky bychom odvodili vztah

a z tohoa z toho

max2I

TTIstř

maxmax 637,02

III stř

Vztah mezi efektivní a střední Vztah mezi efektivní a střední hodnotou střídavého prouduhodnotou střídavého proudu

Při porovnání maximální hodnoty vyjádřené ze vztahu pro Při porovnání maximální hodnoty vyjádřené ze vztahu pro efektivní hodnotu a střední hodnotu střídavého proudu efektivní hodnotu a střední hodnotu střídavého proudu dostanemedostaneme

Z toho vyplývá vztah mezi efektivní a střední hodnotou Z toho vyplývá vztah mezi efektivní a střední hodnotou střídavého proudustřídavého proudu

střef II 2

2

střef II 22

Děkuji za pozornostDěkuji za pozornost

Ing. Ladislav JančaříkIng. Ladislav Jančařík

LiteraturaLiteratura

J. Kubrycht, R. Musil, L. Voženílek: Elektrotechnika pro 1. J. Kubrycht, R. Musil, L. Voženílek: Elektrotechnika pro 1. ročník učebních oborů elektrotechnických, SNTL Praha 1980ročník učebních oborů elektrotechnických, SNTL Praha 1980

A. Blahovec: Elektrotechnika II, Informatorium Praha 2005A. Blahovec: Elektrotechnika II, Informatorium Praha 2005