Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia

Přednáška 4ODM, řešení rovinných rámů

1

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

• Transformace parametrů deformace a koncových sil z lokálního do globálního souřadnicového systému a zpět

• Globální matice tuhosti a globální vektor koncových sil prutu• Příklad řešení rovinného rámu• Výpočet koncových sil, reakcí a složek vnitřních sil rámu• Kontrola správnosti řešení rámu

Lokální a globální parametry prutu

Parametry deformace:a) lokální (pro prut ab, souřadnice x*, z*, počátek v bodě a)

b) globální (pro celou konstrukci, souřadnice x, z, počátek v libovolném bodě)

2

v libovolném bodě)

Vektor globálních parametrů deformace

Vektor lokálních parametrů deformace

22 )()(

cos

sin

ababab

ab

abab

ab

abab

zzxxl

cl

xx

sl

zz

−+−=

=−=

=−=

γ

γ

{ }{ }T

bbbaaa

Tbbbaaa

wuwu

wuwu

****** ϕϕ

ϕϕ

=

=*ab

ab

r

r

Transformace složek posunutí

3

*

**

**

γwγuw

γwγuu

ϕϕ =

⋅+⋅=

⋅−⋅=

cossin

sincos

ϕϕ

γγ

γγ

=

⋅+⋅−=

⋅+⋅=

*

*

*

cossin

sincos

wuw

wuu

Transformační matice

Maticově lze zapsat abab*ab rTr ⋅=

aa

aa

a

a

abab

abab

a

a

cwsu

swcu

w

u

w

u

γγ

γγ

+−

+

− 0000cossin

0000sincos

*

*

4

b

bb

bb

a

aa

b

b

b

a

a

abab

abab

abab

b

b

b

a

a

cwsu

swcu

cwsu

w

u

w

w

u

w

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

γγ

γγ

γγ

ϕ

ϕ

+−

+

+−

=⋅

−

−

==

100000

0cossin000

0sincos000

000100

0000cossin

*

*

*

*

*abr

Transformační matice Tab vyjadřuje geometrickou závislost lokálních parametrů deformace na globálních.

Transformační matice

**

**

*

*

0000cossin

0000sincos

aa

aa

a

a

abab

abab

a

a

cwsu

swcu

w

u

w

u

γγ

γγ

+

−−

Z maticového zápisu lze odvodit:abab*ab rTr ⋅= *

ab1

abab rTr ⋅= −

5

*

**

**

*

*

*

*

*

100000

0cossin000

0sincos000

000100

b

bb

bb

a

b

b

b

a

abab

abab

b

b

b

a

cwsu

swcu

w

u

w

u

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

γγ

γγ

ϕ

ϕ

+

−=⋅

−==abr

Invertovaná transformační matice vyjadřuje geometrickou závislost lokálních parametrů deformace na globálních. Transformační matice je Tab ortogonální, platí:

1abT−

Tab

1ab TT =−

Transformační matice

XX 0000sincos* γγ

Transformační matice Tab, případně transponovaná transformační matice , se využije pro výpočet lokálních koncových sil z globálních případně pro výpočet globálních koncových sil z lokálních.

TabT

6

ba

ba

ba

ab

ab

ab

abab

abab

abab

abab

ba

ba

ba

ab

ab

ab

M

Z

X

M

Z

X

M

Z

X

M

Z

X

⋅

−

−

==

100000

0cossin000

0sincos000

000100

0000cossin

0000sincos

*

*

*

*

*

*

γγ

γγ

γγ

γγ

*abR

*ab

Tabababab

*ab RTRRTR ⋅=⋅= případně

Koncové síly prutu v GSS

Z rovnice vyplývá:*ab

Tabab RTR ⋅=

*T*T

*ab

*ab

Tab

*ab

Tab

*ab

Tab

*ab

Tab

*ab

*ab

Tabab rkTRTRTRT)RR(TR

+=+=

+=+=+=∧∧

7

ababababab*ab

Tab

*ab

Tabab rkRrTkTRTR +=+=

*ab

Tabab RTR =

ab*ab

Tabab TkTk =

V globálním souřadném systému platí pro:

a) primární vektor koncových sil

b) matici tuhosti prutu

Globální vektor primárních koncových sil

*

**

**

*

*

*

000100

0000cossin

0000sincos

abab

abab

ab

ab

abab

abab

ab

ab

M

cZsX

sZcX

M

Z

X

M

Z

X

+

−−

γγ

γγ

8

*

**

**

*

*

*

*

*

100000

0cossin000

0sincos000

000100

ba

baba

baba

ab

ba

ba

ba

ab

abab

abab

ba

ba

ba

ab

M

cZsX

sZcX

M

M

Z

X

M

M

Z

X

M

+

−=⋅

−==

γγ

γγabR

abab sc γγ sin cos ==

Globální matice tuhosti prutu konstantního průřezu oboustranně monoliticky připojeného

EIEIEAEIEAEIEIEAEIEA

sl

EIcs

l

EI

l

EAs

l

EIc

l

EAs

l

EIcs

l

EI

l

EAs

l

EIc

l

EA

6121261212

6)

12()

12(

6)

12(

12

2222

232

32

232

32

−+−−−−+−

−−+−−+

ab*ab

Tabab TkTk =

9

l

EIc

l

EIs

l

EI

l

EIc

l

EIs

l

EI

cl

EIc

l

EIs

l

EAcs

l

EI

l

EAc

l

EIc

l

EIs

l

EAcs

l

EI

l

EA

sl

EIcs

l

EI

l

EAs

l

EIc

l

EAs

l

EIcs

l

EI

l

EAs

l

EIc

l

EAl

EIc

l

EIs

l

EI

l

EIc

l

EIs

l

EI

cl

EIc

l

EIs

l

EAcs

l

EI

l

EAc

l

EIc

l

EIs

l

EAcs

l

EI

l

EA

466266

612)

12(

6)

12()

12(

6)

12(

126)

12()

12(

266466

6)

12()

12(

612)

12(

2222

22

32

322

32

3

232

32

232

32

2222

22

32

322

32

3

−−

+−+−−−

−−+−−−+−

−−

−+−−−−+−

=abk

Matice tuhosti prutu v GSS dle [1]

10

Matice tuhosti prutu v GSS dle [1]

11

Matice tuhosti prutu v GSS dle [1]

12

Matice tuhosti prutu v GSS dle [1]

13

Příklad 3,kosoúhlý rám, zadání

2

kN4=FkN/m81 =g

kN/m4=gm12,0

m003125,0

m15,0

223

412

212

=

=

=

A

I

A

14

x

z

1

2

3

kN/m42 =g

5 3 45,0

4

6,0

5,1 1

2GPa20

m0016,0

m12,0

423

23

=

=

=

E

I

A

Příklad 3,kosoúhlý rám, výpočtový model

2

kN4=F

kN/m81 =g

( )321

15

1kN/m42 =g1

2

4=pn

( )000

( )321

( )400

3

kN3=qF

kNm675,0−=qM

Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 1 (1 - 2)

1

2

kN/m81 =g

5,1 10

0

1

1

==

z

x

m5,1

m5

2

2

−=

=

z

x

m22,5=l

16

15

m22,512 =l

°=°−=⇒

==−=

−=−=−=

3,3437,16

958,022,55

cos

287,022,55,1

sin

12

12

12

12

12

12

12

γ

γ

γ

l

xx

l

zz

11211

11211

kNm663,7cos

kNm299,2sin−

−

==

−==

γ

γ

gq

gn

Lokální primární vektor koncových sil

Prut oboustranně monolitický:

62/* − lnXVstupy:

Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 1 (1 - 2)

17

4,17

20

6

4,17

20

6

12/

2/

2/

12/

2/

2/

2121

121

121

2121

121

121

*21

*21

*21

*12

*12

*12

−

−

−

=

−

−

−

−

−

==

lq

lq

ln

lq

lq

ln

M

Z

X

M

Z

X

*12R

m22,5

kNm663,7

kNm299,2

12

11

11

=

=

−=−

−

l

q

n

Vstupy:

09578,02874,0000

02874,09578,0000

000100

00009578,02874,0

00002874,09578,0

0cossin000

0sincos000

000100

0000cossin

0000sincos

1212

1212

1212

−

−

=

−

−

γγ

γγ

γγ

γγ

=12T

Transformační matice

Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 1 (1 - 2)

18100000

09578,02874,0000

02874,09578,0000

000100

00009578,02874,0

00002874,09578,0

100000

0cossin000

0sincos000

000100

0000cossin

0000sincos

100000

09578,02874,0000

100000

0cossin000

1212

1212

1212

1212

1212

−

−

=−

−

−−

γγ

γγ

γγ

γγ

γγ

Transponovaná transformační matice

=T12T

0

Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 1 (1 - 2)

Globální primární vektor koncových sil

0206

** ⋅+⋅−

⋅=

scsZcXX

*12

T1212 RTR

19

0

0

0

1

2

3400,17

881,20

0

400,17

881,20

0

4,17

206

206

4,17

206

206

*21

*21

*21

*21

*21

*12

*12

*12

*12

*12

21

21

21

12

12

12

−

−

−

=

−

⋅−⋅

⋅+⋅

⋅−⋅

⋅+⋅

=

+

−

+

−

==

cs

sc

cs

sc

M

cZsX

sZcX

M

cZsX

sZcX

M

Z

X

M

Z

X

12R

Lokální matice tuhosti

007,574007,574612612

0000

−

−

EIEIEIEIl

EA

l

EA

Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 1 (1 - 2)

20

3

22

2323

22

2323

10

9,478,1309,238,130

8,133,508,133,50

007,574007,574

9,2381,1309,478,130

8,133,508,133,50

007,574007,574

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

⋅

−

−

−

−

−−−

−

=

−

−

−

−

−−−

=

l

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EA

l

EAl

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EI

l

EI

l

EI

l

EI

*12k

12*12

T1212 TkTk =

0 0 0 1 2 3

95,37,1567,52795,37,1567,527 −−−−

Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 1 (1 - 2)

0

Globální matice tuhosti

21

310

8,4718,1395,39,2318,1395,3

18,139,5227,15618,1329,527,156

95,37,1567,52795,37,1567,527

9,2318,1395,39,4718,1395,3

18,1329,527,15618,139,5227,156

95,37,1567,52795,37,1567,527

⋅

−−

−−

−−

−−

−−−−

−−−−

=12k

0

0

0

1

2

3

m5,1

m5

2

2

−=

=

z

x

m5,2

m8

3

3

=

=

z

x

m523 =l

( ) =−−=−= 8,05,15,2

sin 23γ zz

2 mkNg /42 =

Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 2 (2 - 3)

22

( )

°=⇒

=−=

=−−=−=

13,53

6,0cos

8,05

5,15,2sin

23

23

23

23

23

23

23

γ

γ

γ

l

xx

l

zz

12322

12322

kNm4,2cos

kNm2,3sin

−

−

==

==

γ

γ

gq

gn3

3

42

82/232

*

*23 −− lnX

Lokální primární vektor (oboustranně monoliticky):

Vstupy:

Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 2 (2 - 3)

23

5

6

8

5

6

12/

2/

2/

12/

2/

2232

232

232

2232

232

*32

*32

*32

*23

*23

−

−

−

−

=

−

−

−

−

==

lq

lq

ln

lq

lq

M

Z

X

M

Z

*23R

m5

kNm4,2

kNm2,3

23

12

12

=

=

=−

−

l

q

n

08,06,0000

000100

00006,08,0

00008,06,0

0sincos000

000100

0000cossin

0000sincos

2323

2323

2323

−

−

=

−

−

=

γγ

γγ

γγ

γγ

23T

Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 2 (2 - 3)

Transformační matice

24

100000

06,08,0000

08,06,0000

000100

00006,08,0

00008,06,0

100000

0cossin000

0sincos000

000100

0000cossin

0000sincos

100000

06,08,0000

100000

0cossin000

2323

2323

2323

2323

2323

−

−

=−

−

=

−−

γγ

γγ

γγ

γγ

γγ

T23T

Transponovaná transformační matice

068

** ⋅+⋅−−

⋅=

scsZcXX

*23

T2323 RTR

Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 2 (2 - 3)

Globální primární vektor koncových sil

1

25

5

10

0

5

10

0

5

68

68

5

68

68

*32

*32

*32

*32

*32

*23

*23

*23

*23

*23

32

32

32

23

23

23

−

−

−

=

−

⋅−⋅−

⋅+⋅−

⋅−⋅−

⋅+⋅−

=

+

−

+

−

==

cs

sc

cs

sc

M

cZsX

sZcX

M

cZsX

sZcX

M

Z

X

M

Z

X

23R

1

2

3

0

0

4

Lokální matice tuhosti

0048000480612612

0000

−

−−−

−

EIEIEIEIl

EA

l

EA

Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 2 (2 - 3)

26

3

22

2323

22

2323

10

6,2568,708,1268,70

68,7072,3068,7072,30

0048000480

8,1268,706,2568,70

68,7072,3068,7072,30

0048000480

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

⋅

−

−

−

−

−−−

−

=

−

−

−

−

−−−

=

l

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EA

l

EAl

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EI

l

EI

l

EI

l

EI

*23k

23*23

T2323 TkTk =

14,69,2288,17414,69,2288174 −−,

Příklad 3,kosoúhlý rám, analýza prutu 2 (2 - 3)

Globální matice tuhosti

1 2 3 0 0 4

1

27

310

6,2561,414,68,1261,414,6

61,43,3089,22861,43,3089,228

14,69,2288,17414,69,2288,174

8,1261,414,66,2561,414,6

61,43,3089,22861,43,3089,228

14,69,2288,17414,69,2288174

⋅

−−

−−

−−−−

−−

−−−−

−−

=

,

23k

1

2

3

0

0

4

Příklad 3, rovnice rovnováhy

0:0

0 :0

0:0

23212

23212

23212

z

x

MMM

FZZF

XXF

=+−=

=−−=

=+−−=

=−−=

∑

∑

∑

∑

1

2

kN4=F

kN/m81 =g

kN/m42 =g1

24=n

( )000

( )321

kN3=qF

28Obecně: FRSrK =−=⋅

ˆ

0ˆˆ

ˆ ˆ

0ˆ ˆ

0 :0

3232

23232121

23232121

23232121

323

g

g

MMM

MMMM

FZZZZ

XXXX

MMM

=+

=+++

=+++

=+++

=+−=∑ 4=pn

( )400

3kNm675,0−=qM

MMM

MMM M

ZZ FZ Z

XXX X

g 3232

23212321

23212321

23212321

ˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

−=⇒

−−=+⇒

−−=+⇒

−−=+⇒

Příklad 3, zatěžovací vektor

Zatěžovací vektor F představuje pravou stranu řešených lineárních rovnic:

RSF −=S … vektor uzlových zatížení, do řešení lineárních rovnic vstupuje tam,

29

=

−

−+

−

−=

+

=

−

=

=

325,4

4,12

88,34

0

5

5

10

0

0

40,17

88,20

0

0

675,0

0

4

0

0

0

32

23

23

23

21

21

21

F R S

M

M

Z

X

M

Z

X

M

F

g

1

2

3

4

S … vektor uzlových zatížení, do řešení lineárních rovnic vstupuje tam, kde hledáme neznámý parametr deformace (dle kódových čísel)

… součet vektorů primárních koncových sil prutů v GSS působící v uzlech ve smyslu hledaných parametrů deformace (dle kód. čísel)

R

Příklad 3, tvorba matice tuhosti konstrukce

Matice tuhosti konstrukce se tvoří z částí matic tuhostí prutů konstrukce, v daném případě prutů 1 a 2:

14,614,69,2288,174095,37,1567,527 − 11 2 3 4 1 2 3 4

30

3

33

10

6,258,1261,414,6

8,125,7357,81,10

61,457,86,3600,722

14,61,100,7224,702

10

6,258,1261,414,6

8,126,2561,414,6

61,461,43,3089,228

14,614,69,2288,174

10

0000

09,472,1395,3

02,133,527,156

095,37,1567,527

⋅

−

−=

⋅

−

−

−−+⋅

−

−

=+=

K

KKK 21

1

2

3

4

1

2

3

4

1 2 3 4

Příklad 3,řešení soustavy lineárních rovnic

u2 0144,6098,10203,72445,702

FrK =⋅

31

{ } { }TTwu

w

33553222

3

2

23

1021,11038,11076,9103,1

325,4

400,12

880,3410

6,258,12608,4144,6

8,12491,73573,8098,10

608,4573,8595,360203,72

−−−− ⋅⋅⋅⋅−==

=

⋅⋅

−

−

ϕϕ

ϕ

ϕ

r

Příklad 3, výpočet koncových sil prutu 1 v GSS a LSS

−

−

=

−

−

+

−

=

⋅−+

−

=

+

=

=

+=

− 65,21

94,21

85,29

65,21

65,21

54,4

97,8

65,21

0

40,17

88,20

0

103,1

0

0

0

0

40,17

88,20

0

52

1

1

1

21

12

12

12

21

12

12

12

u

w

u

X

M

Z

X

X

M

Z

X

121212

12121212

kkR

rkRR

ϕ

32

−

−

−

−

=

⋅

−

−

=

=

=

−

−

−

−

−

−

⋅

⋅

⋅−

−

−

−

−

55,9

63,17

31,17

94,21

37,22

31,29

100000

09578,02873,0000

02873,09578,0000

000100

00009578,02873,0

00002873,09578,0

55,9

91,11

65,21

85,7

97,8

65,21

40,17

88,20

0

1035,1

1076,9

103,1

40,17

88,20

0

21

21

21

12

12

12

*21

*21

*21

*12

*12

*12

3

5

2

2

2

21

21

21

21

21

21

M

Z

X

M

Z

X

M

Z

X

M

Z

X

w

u

M

Z

X

M

Z

X

*12

1212*12

R

RTR

ϕ

Příklad 3, výpočet koncových sil prutu 2 v GSS a LSS

−=

−+

−

=

⋅

⋅

⋅−

+

−

=

+

=

=

+=

−

−

−

65,21

55,9

91,15

65,21

65,21

55,4

91,25

65,21

0

5

10

0

0

1035,1

1076,9

103,1

0

5

10

0

3

5

5

3

2

2

2

32

23

23

23

32

23

23

23

u

w

u

X

M

Z

X

X

M

Z

X

232323

23232323

kkR

rkRR

ϕ

33

−

−

−

−

=

⋅

−

−

=

=

=

−

−

−

−

−

−

−

⋅

−

−

−

675,0

23,4

72,41

55,9

77,7

72,25

100000

06,08,0000

08,06,0000

000100

00006,08,0

00008,06,0

675,0

91,35

65,21

33,4

91,25

65,21

5

10

0

1021,1

0

0

5

10

0

32

32

32

23

23

23

*32

*32

*32

*23

*23

*23

33

3

3

32

32

32

32

32

32

M

Z

X

M

Z

X

M

Z

X

M

Z

X

w

u

M

Z

X

M

Z

X

*23

2323*23

R

RTR

ϕ

Příklad 3,podmínky rovnováhy a reakce ve styčníku 1

1 Z

12Z 12X

12X

12M

12M

R1M

34

1 12Z12X

zR1

xR1

kNm94,210

kN85,290

kN65,210

121121

121121

121121

−=−=⇒=−−

=−=⇒=−−

==⇒=−

MMMM

ZRZR

XRXR

zz

xx

Příklad 3, podmínky rovnováhy ve styčníku 2

223X

21M21X

21M23M

F

35

23Z21Z

21X23X

21Z

23X

23M

23Z

055,955,90

091,1591,1140

065,2165,210

2321

2123

2321

=−=−−

=−+=−−

=−=−−

K

K

K

MM

ZZF

XX

Příklad 3, podmínky rovnováhy a reakce ve styčníku 3

X32M

0675,0675,00

kN91,380

kN65,210

32

323323

323323

=−=+−

=+−=⇒=+−−

−==⇒=−

Kg

gzgz

xx

MM

FZRFZR

XRXR

36

3

32X

32M32Z 32X

32Z

32

zR3

xR3

gM

gF

0675,0675,0032 =−=+− KgMM

Příklad 3,kontrola řešení

2

kNF 4=mkNg /81 =

mkNg /42 =1kN65,211 =xR

37

1

3

2kN85,291 =zR

kN65,211 =xRkNm94,211 −=M

kN65,213 −=xR

kN91,383 =zR065,2165,21

0

0

31

=−

=+

=∑

xx

x

RR

F

Příklad 3,kontrola řešení

2

kNF 4=mkNg /81 =

mkNg /42 =1kN65,211 =xR

38

1

3

2kN85,291 =zR

kN65,211 =xRkNm94,211 −=M

kN65,213 −=xR

kN91,383 =zR( ) 091,3885,2975,05422,584

0

0

3122121

=−−+⋅+⋅+

=−−++

=∑

zzk

z

RRlglgF

F

k

Příklad 3,podklady pro kontrolu ΣMk = 0

2

kNF 4=mkNg /81 =

mkNg /42 =5,1 1

39

x

z

1

3

5 3 45,0

4

6,0

5,1 1

2l12 = 5,22 m

l23 = 5,00 m

l3k = 0,75 m

k

Příklad 3,kontrola řešení

2

kNF 4=mkNg /81 =

mkNg /42 =1kN65,211 =xR

40

1

3

2kN85,291 =zR

kN65,211 =xRkNm94,211 −=M

kN65,213 −=xR

kN91,383 =zR

06,065,2145,091,38725,175,54

45,3495,522,581,365,2145,885,2994,21

06,045,0725,1

45,395,51,345,8

0

3322

121111

=⋅−⋅+⋅⋅−

−⋅−⋅⋅−⋅+⋅+−

=⋅+⋅+⋅−

−⋅−⋅−⋅+⋅+

=∑

xzk

xz

k

RRlg

FlgRRM

M

k

Příklad 3,normálové síly

31,29*12 =X

94,21*12 =M

55,9*21 −=M

63,17*21 −=Z

31,17*21 −=X

mkNn /30,21 =

mkNq /66,71 = 72,25*23 =X

77,7*23 −=Z

55,9*23 =M

mkNn /2,3=

mkNq /4,22 =

41

31,2912 =X37,22*

12 −=Z68,0*

32 −=M23,4*

32 −=Z72,41*

32 −=X

mkNn /2,32 =

N

T

T

675,023,472,4155,977,772,25

55,963,1731,1794,2137,2231,29

−−−−=

−−−−=

*23

*12

R

R

Příklad 3,posouvající síly

31,29*12 =X

94,21*12 =M

55,9*21 −=M

63,17*21 −=Z

31,17*21 −=X

mkNn /30,21 =

mkNq /66,71 = 72,25*23 =X

77,7*23 −=Z

55,9*23 =M

mkNn /2,3=

mkNq /4,22 =

42

V

31,2912 =X37,22*

12 −=Z68,0*

32 −=M23,4*

32 −=Z72,41*

32 −=X

mkNn /2,32 =

T

T

675,023,472,4155,977,772,25

55,963,1731,1794,2137,2231,29

−−−−=

−−−−=

*23

*12

R

R

Příklad 3,ohybové momenty

31,29*12 =X

94,21*12 =M

55,9*21 −=M

63,17*21 −=Z

31,17*21 −=X

mkNn /30,21 =

mkNq /66,71 = 72,25*23 =X

77,7*23 −=Z

55,9*23 =M

mkNn /2,3=

mkNq /4,22 =

43

M

31,2912 =X37,22*

12 −=Z68,0*

32 −=M23,4*

32 −=Z72,41*

32 −=X

mkNn /2,32 =

T

T

675,023,472,4155,977,772,25

55,963,1731,1794,2137,2231,29

−−−−=

−−−−=

*23

*12

R

R

Použitá literatura

[1] Kadlčák, J., Kytýr, J., Statika stavebních konstrukcí II. VUTIUM, Brno 2001.

44