58
0
Pijanìthtec kaiStatistik
S. Malefkh
Mjhma 70
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Statistik
To sÔnolo twn dedomènwn to opoÐo jèloume na melet soume
lègetai Plhjusmìc
'Ena mèroc tou plhjusmoÔc pou epilègetai me tuqaÐo trìpo
kaleÐtai DeÐgma
Stìqoc mac eÐnai na xekin soume apì to deÐgma kai na
exgoume sumpersmata gia ìlo ton plhjusmì.
H statistik asqoleÐtai me dÔo tÔpouc problhmtwn
th sugkèntrwsh, perigraf kai diereÔnhsh twn dedomènwn
(Perigrafik Statistik )
th melèth thc fÔshc tou sunìlou twn dedomènwn
xekin¸ntac apì èna mèroc tou (Epagwgik Statistik )
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Statistik
To sÔnolo twn dedomènwn to opoÐo jèloume na melet soume
lègetai Plhjusmìc
'Ena mèroc tou plhjusmoÔc pou epilègetai me tuqaÐo trìpo
kaleÐtai DeÐgma
Stìqoc mac eÐnai na xekin soume apì to deÐgma kai na
exgoume sumpersmata gia ìlo ton plhjusmì.
H statistik asqoleÐtai me dÔo tÔpouc problhmtwn
th sugkèntrwsh, perigraf kai diereÔnhsh twn dedomènwn
(Perigrafik Statistik )
th melèth thc fÔshc tou sunìlou twn dedomènwn
xekin¸ntac apì èna mèroc tou (Epagwgik Statistik )
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Statistik
To sÔnolo twn dedomènwn to opoÐo jèloume na melet soume
lègetai Plhjusmìc
'Ena mèroc tou plhjusmoÔc pou epilègetai me tuqaÐo trìpo
kaleÐtai DeÐgma
Stìqoc mac eÐnai na xekin soume apì to deÐgma kai na
exgoume sumpersmata gia ìlo ton plhjusmì.
H statistik asqoleÐtai me dÔo tÔpouc problhmtwn
th sugkèntrwsh, perigraf kai diereÔnhsh twn dedomènwn
(Perigrafik Statistik )
th melèth thc fÔshc tou sunìlou twn dedomènwn
xekin¸ntac apì èna mèroc tou (Epagwgik Statistik )
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Statistik
To sÔnolo twn dedomènwn to opoÐo jèloume na melet soume
lègetai Plhjusmìc
'Ena mèroc tou plhjusmoÔc pou epilègetai me tuqaÐo trìpo
kaleÐtai DeÐgma
Stìqoc mac eÐnai na xekin soume apì to deÐgma kai na
exgoume sumpersmata gia ìlo ton plhjusmì.
H statistik asqoleÐtai me dÔo tÔpouc problhmtwn
th sugkèntrwsh, perigraf kai diereÔnhsh twn dedomènwn
(Perigrafik Statistik )
th melèth thc fÔshc tou sunìlou twn dedomènwn
xekin¸ntac apì èna mèroc tou (Epagwgik Statistik )
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Statistik
To sÔnolo twn dedomènwn to opoÐo jèloume na melet soume
lègetai Plhjusmìc
'Ena mèroc tou plhjusmoÔc pou epilègetai me tuqaÐo trìpo
kaleÐtai DeÐgma
Stìqoc mac eÐnai na xekin soume apì to deÐgma kai na
exgoume sumpersmata gia ìlo ton plhjusmì.
H statistik asqoleÐtai me dÔo tÔpouc problhmtwn
th sugkèntrwsh, perigraf kai diereÔnhsh twn dedomènwn
(Perigrafik Statistik )
th melèth thc fÔshc tou sunìlou twn dedomènwn
xekin¸ntac apì èna mèroc tou (Epagwgik Statistik )
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Posotikèc kai Poiotikèc metablhtèc
Posotik lègetai mÐa metablht pou epidèqetai mètrhsh
(paÐrnei mìno arijmhtikèc timèc)
Diakritèc, SuneqeÐc
Poiotik lègetai mia metablht thc opoÐac oi timèc mporoÔn
na taxinomhjoÔn se kathgorÐec kai den ekfrzoun aparaÐthta
kti to metr simo (den epidèqetai mètrhsh)
p.q. fÔlo, qr¸ma malli¸n ktl
H perigraf twn tim¸n enìc deÐgmatoc mporeÐ na gÐnei me th
bo jeia
pinkwn suqnot twn
grafik¸n parastsewn
katllhlwn arijmhtik¸n megej¸n
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Posotikèc kai Poiotikèc metablhtèc
Posotik lègetai mÐa metablht pou epidèqetai mètrhsh
(paÐrnei mìno arijmhtikèc timèc)
Diakritèc, SuneqeÐc
Poiotik lègetai mia metablht thc opoÐac oi timèc mporoÔn
na taxinomhjoÔn se kathgorÐec kai den ekfrzoun aparaÐthta
kti to metr simo (den epidèqetai mètrhsh)
p.q. fÔlo, qr¸ma malli¸n ktl
H perigraf twn tim¸n enìc deÐgmatoc mporeÐ na gÐnei me th
bo jeia
pinkwn suqnot twn
grafik¸n parastsewn
katllhlwn arijmhtik¸n megej¸n
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Posotikèc kai Poiotikèc metablhtèc
Posotik lègetai mÐa metablht pou epidèqetai mètrhsh
(paÐrnei mìno arijmhtikèc timèc)
Diakritèc, SuneqeÐc
Poiotik lègetai mia metablht thc opoÐac oi timèc mporoÔn
na taxinomhjoÔn se kathgorÐec kai den ekfrzoun aparaÐthta
kti to metr simo (den epidèqetai mètrhsh)
p.q. fÔlo, qr¸ma malli¸n ktl
H perigraf twn tim¸n enìc deÐgmatoc mporeÐ na gÐnei me th
bo jeia
pinkwn suqnot twn
grafik¸n parastsewn
katllhlwn arijmhtik¸n megej¸n
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
PÐnakec Suqnot twn (1)
'Estw ìti èqoume tic parathr seic x1, x2, . . . , xn
Suqnìthta O fusikìc arijmìc vi pou deÐqnei pìsec forècemfanÐzetai h tim wi thc metablht c sto sÔnolo twnparathr sewn mac onomzetai suqnìthta.
Profan¸c v1 + v2 + . . .+ vk = n
Sqetik Suqnìthta
fi =vin
0 ≤ fi ≤ 1 gia kje i∑fi = 1
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
PÐnakec Suqnot twn (1)
'Estw ìti èqoume tic parathr seic x1, x2, . . . , xn
Suqnìthta O fusikìc arijmìc vi pou deÐqnei pìsec forècemfanÐzetai h tim wi thc metablht c sto sÔnolo twnparathr sewn mac onomzetai suqnìthta.
Profan¸c v1 + v2 + . . .+ vk = n
Sqetik Suqnìthta
fi =vin
0 ≤ fi ≤ 1 gia kje i∑fi = 1
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
PÐnakec Suqnot twn (1)
'Estw ìti èqoume tic parathr seic x1, x2, . . . , xn
Suqnìthta O fusikìc arijmìc vi pou deÐqnei pìsec forècemfanÐzetai h tim wi thc metablht c sto sÔnolo twnparathr sewn mac onomzetai suqnìthta.
Profan¸c v1 + v2 + . . .+ vk = n
Sqetik Suqnìthta
fi =vin
0 ≤ fi ≤ 1 gia kje i∑fi = 1
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
PÐnakec Suqnot twn (1)
'Estw ìti èqoume tic parathr seic x1, x2, . . . , xn
Suqnìthta O fusikìc arijmìc vi pou deÐqnei pìsec forècemfanÐzetai h tim wi thc metablht c sto sÔnolo twnparathr sewn mac onomzetai suqnìthta.
Profan¸c v1 + v2 + . . .+ vk = n
Sqetik Suqnìthta
fi =vin
0 ≤ fi ≤ 1 gia kje i∑fi = 1
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
PÐnakec Suqnot twn (1)
'Estw ìti èqoume tic parathr seic x1, x2, . . . , xn
Suqnìthta O fusikìc arijmìc vi pou deÐqnei pìsec forècemfanÐzetai h tim wi thc metablht c sto sÔnolo twnparathr sewn mac onomzetai suqnìthta.
Profan¸c v1 + v2 + . . .+ vk = n
Sqetik Suqnìthta
fi =vin
0 ≤ fi ≤ 1 gia kje i∑fi = 1
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
PÐnakec Suqnot twn (2)
Ajroistik Suqnìthta To pl joc twn parathr sewn pou
eÐnai mikrìterec Ðsec apì th tim wi , Ni = v1 + v2 + . . .+ vi .
Ajroistik Sqetik Suqnìthta To posostì twn
parathr sewn pou eÐnai mikrìterec Ðsec thc tim c wi ,Fi = f1 + f2 + . . .+ fi
Ta dedomèna parousizontai sÔntoma se pÐnaka suqnot twn
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
PÐnakec Suqnot twn (2)
Ajroistik Suqnìthta To pl joc twn parathr sewn pou
eÐnai mikrìterec Ðsec apì th tim wi , Ni = v1 + v2 + . . .+ vi .
Ajroistik Sqetik Suqnìthta To posostì twn
parathr sewn pou eÐnai mikrìterec Ðsec thc tim c wi ,Fi = f1 + f2 + . . .+ fi
Ta dedomèna parousizontai sÔntoma se pÐnaka suqnot twn
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
PÐnakec Suqnot twn (2)
Ajroistik Suqnìthta To pl joc twn parathr sewn pou
eÐnai mikrìterec Ðsec apì th tim wi , Ni = v1 + v2 + . . .+ vi .
Ajroistik Sqetik Suqnìthta To posostì twn
parathr sewn pou eÐnai mikrìterec Ðsec thc tim c wi ,Fi = f1 + f2 + . . .+ fi
Ta dedomèna parousizontai sÔntoma se pÐnaka suqnot twn
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
PÐnakec Suqnot twn (3)
τιμές Συχνότητες Σχετικές συχ. Αθροιστ. συχ. Αθροιστ. σχ. συχ.wi vi fi Ni Fi1 12 53 104 856 1
Σύνολο 30
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
PÐnakec Suqnot twn (4)
Ti gÐnetai ìmwc ìtan èqw suneqeÐc t.m.?
Se aut thn perÐptwsh diairoÔme to eÔroc twn tim¸n thc t.m. se
diast mata. Ta diast mata aut onomzontai klseic. To pl joc twn
parathr sewn twn opoÐwn oi timèc brÐskontai se mÐa tètoia klsh eÐnai h
suqnìthta thc klshc aut c
brc Suqnìthtec Sqetikèc suq. Ajroist. suq. Ajroist. sq. suq.
wi vi fi Ni Fi50 ≤ x < 60 1460 ≤ x < 70 2770 ≤ x < 80 3180 ≤ x < 9090 ≤ x < 100 9
SÔnolo 100
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
PÐnakec Suqnot twn (4)
Ti gÐnetai ìmwc ìtan èqw suneqeÐc t.m.?Se aut thn perÐptwsh diairoÔme to eÔroc twn tim¸n thc t.m. se
diast mata. Ta diast mata aut onomzontai klseic. To pl joc twn
parathr sewn twn opoÐwn oi timèc brÐskontai se mÐa tètoia klsh eÐnai h
suqnìthta thc klshc aut c
brc Suqnìthtec Sqetikèc suq. Ajroist. suq. Ajroist. sq. suq.
wi vi fi Ni Fi50 ≤ x < 60 1460 ≤ x < 70 2770 ≤ x < 80 3180 ≤ x < 9090 ≤ x < 100 9
SÔnolo 100
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Istìgramma (1)
Η γραφική παράσταση ενός δείγματος με ομαδοποιημένα δεδομένα
γίνεται με το ιστόγραμμα. Στον οριζόντιο άξονα σημειώνουμε τα όρια
των κλάσεων. Στη συνέχεια κατασκευάζουμε διαδοχικά ορθογώνια
που το καθένα έχει βάση ίση με το πλάτος της κλάσης και ύψος ίσο
με τη συχνότητα (ή τη σχετικά συχνότητα) της κλάσης αυτής.
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Istìgramma - PolÔgwno suqnot twn (2)
Η γραφική παράσταση ενός δείγματος με ομαδοποιημένα δεδομένα
γίνεται με το ιστόγραμμα. Στον οριζόντιο άξονα σημειώνουμε τα όρια
των κλάσεων. Στη συνέχεια κατασκευάζουμε διαδοχικά ορθογώνια
που το καθένα έχει βάση ίση με το πλάτος της κλάσης και ύψος ίσο
με τη συχνότητα (ή τη σχετικά συχνότητα) της κλάσης αυτής.
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Istìgramma - Arijmìc klsewn (3)
O arijmìc twn klsewn den eÐnai orismènoc, exarttai apì to
pl joc twn parathr sewn tou deÐgmatìc. 'Enac endeiktikìc
arijmìc eÐnai o
k = 1 + 3.3 log n
ìpou n to pl joc twn parathr sewn
'Otan to pl joc twn txewn eÐnai meglo kai to pltoc kje
txhc eÐnai mikrì to istìgramma tou sunìlou twn metr sewn
paristnetai me mia leÐa kampÔlh
'Otan to deÐgma auxhjeÐ tìso ¸ste na sumpèsei me ton
plhjusmì tìte to polÔgwno suqnot twn dÐnei th grafik
parstash thc sunrths c puknìthtac pijanìthtac thc t.m. oi
metr seic thc opoÐac èdwsan to deÐgma.
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Istìgramma - Arijmìc klsewn (3)
O arijmìc twn klsewn den eÐnai orismènoc, exarttai apì to
pl joc twn parathr sewn tou deÐgmatìc. 'Enac endeiktikìc
arijmìc eÐnai o
k = 1 + 3.3 log n
ìpou n to pl joc twn parathr sewn
'Otan to pl joc twn txewn eÐnai meglo kai to pltoc kje
txhc eÐnai mikrì to istìgramma tou sunìlou twn metr sewn
paristnetai me mia leÐa kampÔlh
'Otan to deÐgma auxhjeÐ tìso ¸ste na sumpèsei me ton
plhjusmì tìte to polÔgwno suqnot twn dÐnei th grafik
parstash thc sunrths c puknìthtac pijanìthtac thc t.m. oi
metr seic thc opoÐac èdwsan to deÐgma.
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Istìgramma - Arijmìc klsewn (3)
O arijmìc twn klsewn den eÐnai orismènoc, exarttai apì to
pl joc twn parathr sewn tou deÐgmatìc. 'Enac endeiktikìc
arijmìc eÐnai o
k = 1 + 3.3 log n
ìpou n to pl joc twn parathr sewn
'Otan to pl joc twn txewn eÐnai meglo kai to pltoc kje
txhc eÐnai mikrì to istìgramma tou sunìlou twn metr sewn
paristnetai me mia leÐa kampÔlh
'Otan to deÐgma auxhjeÐ tìso ¸ste na sumpèsei me ton
plhjusmì tìte to polÔgwno suqnot twn dÐnei th grafik
parstash thc sunrths c puknìthtac pijanìthtac thc t.m. oi
metr seic thc opoÐac èdwsan to deÐgma.
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Arijmhtik perigrafik mètra
Ta arijmhtik mètra eÐnai arijmoÐ pou upologÐzontai apì apì
to deÐgma mac kai bohjoÔn sth dhmiourgÐa miac eikìnac gia thn
katanom
Mètra jèshc (kentrik c tshc)
Metr metablhtìthtac
Mètra diasporc
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Mètra kentrik c tshc
΄Εστω x1, x2, . . . , xn παρατηρήσεις από τη Χ.
Δειγματική Μέση Τιμή
x̄ =
∑ni=1 xin
Το παρατηρούμενο στατιστικό είναι μία εκτίμηση της μέσης τιμής µτου πληθυσμού.
Για ομαδοποιημένα δεδομένα
x̄ =
∑ki=1 viκin
όπου κi το κέντρο της i κλάσης.
1 min xi ≤ x̄ ≤ max xi2∑n
i=1(xi − x̄) = 0
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Mètra kentrik c tshc
΄Εστω x1, x2, . . . , xn παρατηρήσεις από τη Χ.
Δειγματική Μέση Τιμή
x̄ =
∑ni=1 xin
Το παρατηρούμενο στατιστικό είναι μία εκτίμηση της μέσης τιμής µτου πληθυσμού.
Για ομαδοποιημένα δεδομένα
x̄ =
∑ki=1 viκin
όπου κi το κέντρο της i κλάσης.
1 min xi ≤ x̄ ≤ max xi2∑n
i=1(xi − x̄) = 0
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Mètra kentrik c tshc
΄Εστω x1, x2, . . . , xn παρατηρήσεις από τη Χ.
Δειγματική Μέση Τιμή
x̄ =
∑ni=1 xin
Το παρατηρούμενο στατιστικό είναι μία εκτίμηση της μέσης τιμής µτου πληθυσμού.
Για ομαδοποιημένα δεδομένα
x̄ =
∑ki=1 viκin
όπου κi το κέντρο της i κλάσης.
1 min xi ≤ x̄ ≤ max xi
2∑n
i=1(xi − x̄) = 0
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Mètra kentrik c tshc
΄Εστω x1, x2, . . . , xn παρατηρήσεις από τη Χ.
Δειγματική Μέση Τιμή
x̄ =
∑ni=1 xin
Το παρατηρούμενο στατιστικό είναι μία εκτίμηση της μέσης τιμής µτου πληθυσμού.
Για ομαδοποιημένα δεδομένα
x̄ =
∑ki=1 viκin
όπου κi το κέντρο της i κλάσης.
1 min xi ≤ x̄ ≤ max xi2∑n
i=1(xi − x̄) = 0
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Deigmatik Dimesoc
m =
{x[ n+1
2] gia n perittì
x[ n2 ]+x[ n2 +1]
2 gia n rtio
Gia omadopoihmèna dedomèna
m = Li +h
fi· (0.5n − Fi−1)
ìpou Fi−1 < n/2 < Fi kai
Li to aristerì kro thc klshc i
h to pltoc thc klsh
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Deigmatik Dimesoc
m =
{x[ n+1
2] gia n perittì
x[ n2 ]+x[ n2 +1]
2 gia n rtio
Gia omadopoihmèna dedomèna
m = Li +h
fi· (0.5n − Fi−1)
ìpou Fi−1 < n/2 < Fi kai
Li to aristerì kro thc klshc i
h to pltoc thc klsh
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
p�PosostiaÐo shmeÐo
qp =
{x[p·(n+1)] an p · (n + 1) akèraioc
x[k] + α(x[k+1] − x[k]) diaforetik
ìpou k kai k + 1 to ktw kai to pnw akèraio mèroc toup · (n + 1) antÐstoiqa.
Gia omadopoihmèna dedomèna
qp = Li +h
fi· (pn − Fi−1)
ìpou Fi−1 < np < Fi kai
Li to aristerì kro thc klshc i
h to pltoc thc klsh
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
p�PosostiaÐo shmeÐo
qp =
{x[p·(n+1)] an p · (n + 1) akèraioc
x[k] + α(x[k+1] − x[k]) diaforetik
ìpou k kai k + 1 to ktw kai to pnw akèraio mèroc toup · (n + 1) antÐstoiqa.
Gia omadopoihmèna dedomèna
qp = Li +h
fi· (pn − Fi−1)
ìpou Fi−1 < np < Fi kai
Li to aristerì kro thc klshc i
h to pltoc thc klsh
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
EpikratoÔsa tim
M0: H tim me th megalÔterh suqnìthta
Gia omadopoihmèna dedomèna
M0 = Li + hfi − fi−1
2fi − fi−1 − fi+1
ìpou i h klsh me th megalÔterh suqnìthta
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
EpikratoÔsa tim
M0: H tim me th megalÔterh suqnìthta
Gia omadopoihmèna dedomèna
M0 = Li + hfi − fi−1
2fi − fi−1 − fi+1
ìpou i h klsh me th megalÔterh suqnìthta
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Mètro metablhtìthtac
EÔroc
R = xmax − xmin
Diaspor
s2 =
∑ni=1(xi − x̄)n − 1
=
∑ni=1 x
2i − nx̄2
n − 1
Gia omadopoihmèna dedomèna èqoume
s2 =
∑ki=1 vi · (xi − x̄)
n − 1=
∑ni=1 vix
2i − nx̄2
n − 1
Tupik apìklish
s =√s2
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Mètro metablhtìthtac
EÔroc
R = xmax − xminDiaspor
s2 =
∑ni=1(xi − x̄)n − 1
=
∑ni=1 x
2i − nx̄2
n − 1
Gia omadopoihmèna dedomèna èqoume
s2 =
∑ki=1 vi · (xi − x̄)
n − 1=
∑ni=1 vix
2i − nx̄2
n − 1
Tupik apìklish
s =√s2
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Mètro metablhtìthtac
EÔroc
R = xmax − xminDiaspor
s2 =
∑ni=1(xi − x̄)n − 1
=
∑ni=1 x
2i − nx̄2
n − 1
Gia omadopoihmèna dedomèna èqoume
s2 =
∑ki=1 vi · (xi − x̄)
n − 1=
∑ni=1 vix
2i − nx̄2
n − 1
Tupik apìklish
s =√s2
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Mètro metablhtìthtac
EÔroc
R = xmax − xminDiaspor
s2 =
∑ni=1(xi − x̄)n − 1
=
∑ni=1 x
2i − nx̄2
n − 1
Gia omadopoihmèna dedomèna èqoume
s2 =
∑ki=1 vi · (xi − x̄)
n − 1
=
∑ni=1 vix
2i − nx̄2
n − 1
Tupik apìklish
s =√s2
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Mètro metablhtìthtac
EÔroc
R = xmax − xminDiaspor
s2 =
∑ni=1(xi − x̄)n − 1
=
∑ni=1 x
2i − nx̄2
n − 1
Gia omadopoihmèna dedomèna èqoume
s2 =
∑ki=1 vi · (xi − x̄)
n − 1=
∑ni=1 vix
2i − nx̄2
n − 1
Tupik apìklish
s =√s2
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Mètro metablhtìthtac
EÔroc
R = xmax − xminDiaspor
s2 =
∑ni=1(xi − x̄)n − 1
=
∑ni=1 x
2i − nx̄2
n − 1
Gia omadopoihmèna dedomèna èqoume
s2 =
∑ki=1 vi · (xi − x̄)
n − 1=
∑ni=1 vix
2i − nx̄2
n − 1
Tupik apìklish
s =√s2
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
'Askhsh
Amoibèc Suqnìthtec Ajroist. suq.
fi Fi400− 600 40600− 800 90
800− 10000 2501000− 1200 1801200− 1400 1001400− 1600 601600− 1800 401800− 2000 302000− 2200 10
Na upologÐsete th epikratoÔsa tim
M0 = 800 + 200 · 250−902·250−90−180 ≈ 939Na upologÐsete th dimeso
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
'Askhsh
Amoibèc Suqnìthtec Ajroist. suq.
fi Fi400− 600 40600− 800 90
800− 10000 2501000− 1200 1801200− 1400 1001400− 1600 601600− 1800 401800− 2000 302000− 2200 10
Na upologÐsete th epikratoÔsa tim
M0 = 800 + 200 · 250−902·250−90−180 ≈ 939
Na upologÐsete th dimeso
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
'Askhsh
Amoibèc Suqnìthtec Ajroist. suq.
fi Fi400− 600 40600− 800 90
800− 10000 2501000− 1200 1801200− 1400 1001400− 1600 601600− 1800 401800− 2000 302000− 2200 10
Na upologÐsete th epikratoÔsa tim
M0 = 800 + 200 · 250−902·250−90−180 ≈ 939Na upologÐsete th dimeso
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
'Askhsh
Amoibèc Suqnìthtec Ajroist. suq.
fi Fi400− 600 40 40600− 800 90 130
800− 10000 250 3801000− 1200 180 5601200− 1400 100 6601400− 1600 60 7201600− 1800 40 7601800− 2000 30 7902000− 2200 10 800
M0 = 1000 +200180 (400− 380)
Na upologÐsete th mèsh tim
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
'Askhsh
Amoibèc Suqnìthtec Ajroist. suq.
fi Fi400− 600 40 40600− 800 90 130
800− 10000 250 3801000− 1200 180 5601200− 1400 100 6601400− 1600 60 7201600− 1800 40 7601800− 2000 30 7902000− 2200 10 800
M0 = 1000 +200180 (400− 380)
Na upologÐsete th mèsh tim
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
'Askhsh
Amoibèc Suqnìthtec Ajroist. suq.
fi Fi400− 600 40 40600− 800 90 130
800− 10000 250 3801000− 1200 180 5601200− 1400 100 6601400− 1600 60 7201600− 1800 40 7601800− 2000 30 7902000− 2200 10 800
M0 = 1000 +200180 (400− 380)
Na upologÐsete th mèsh tim
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Parmetroi kai ektim seic
Parmetroi tou plhjusmoÔ
µ, σ2, σ, . . .
'Estw x1, x2, . . . , xn parathr seic
x̄ =∑
xin eÐnai mia ektÐmhsh tou m
Mpor¸ na prw pollèc diaforetikèc ektim seic gia to m
Prosoq : EÐnai diaforetikì to µ, to x̄ kai to X̄
µ gnwsth parmetroc tou plhjusmoÔ (tim )
x̄ deigmatik mèsh tim (arijmhtik tim tou sugkekrimènoudeÐgmatoc)
X̄ tuqaÐa metablht
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Parmetroi kai ektim seic
Parmetroi tou plhjusmoÔ
µ, σ2, σ, . . .
'Estw x1, x2, . . . , xn parathr seicx̄ =
∑xi
n eÐnai mia ektÐmhsh tou m
Mpor¸ na prw pollèc diaforetikèc ektim seic gia to m
Prosoq : EÐnai diaforetikì to µ, to x̄ kai to X̄
µ gnwsth parmetroc tou plhjusmoÔ (tim )
x̄ deigmatik mèsh tim (arijmhtik tim tou sugkekrimènoudeÐgmatoc)
X̄ tuqaÐa metablht
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Parmetroi kai ektim seic
Parmetroi tou plhjusmoÔ
µ, σ2, σ, . . .
'Estw x1, x2, . . . , xn parathr seicx̄ =
∑xi
n eÐnai mia ektÐmhsh tou m
Mpor¸ na prw pollèc diaforetikèc ektim seic gia to m
Prosoq : EÐnai diaforetikì to µ, to x̄ kai to X̄
µ gnwsth parmetroc tou plhjusmoÔ (tim )
x̄ deigmatik mèsh tim (arijmhtik tim tou sugkekrimènoudeÐgmatoc)
X̄ tuqaÐa metablht
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Parmetroi kai ektim seic
Parmetroi tou plhjusmoÔ
µ, σ2, σ, . . .
'Estw x1, x2, . . . , xn parathr seicx̄ =
∑xi
n eÐnai mia ektÐmhsh tou m
Mpor¸ na prw pollèc diaforetikèc ektim seic gia to m
Prosoq : EÐnai diaforetikì to µ, to x̄ kai to X̄
µ gnwsth parmetroc tou plhjusmoÔ (tim )
x̄ deigmatik mèsh tim (arijmhtik tim tou sugkekrimènoudeÐgmatoc)
X̄ tuqaÐa metablht
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Parmetroi kai ektim seic
Parmetroi tou plhjusmoÔ
µ, σ2, σ, . . .
'Estw x1, x2, . . . , xn parathr seicx̄ =
∑xi
n eÐnai mia ektÐmhsh tou m
Mpor¸ na prw pollèc diaforetikèc ektim seic gia to m
Prosoq : EÐnai diaforetikì to µ, to x̄ kai to X̄
µ gnwsth parmetroc tou plhjusmoÔ (tim )
x̄ deigmatik mèsh tim (arijmhtik tim tou sugkekrimènoudeÐgmatoc)
X̄ tuqaÐa metablht
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Stìqoc Statistik c SumperasmatologÐac
H exagwg ìso to dunatìn asfalèsterwn sumperasmtwn gia
tic gnwstec paramètrouc tou plhjusmoÔ, ìpwc h mèsh tim , h
diaspor to posostì twn atìmwn me kpoio qarakthristikì
kai llec.
Ta sumpersmata gia kpoia parmetro tou plhjusmoÔ
exgontai me th qr sh katllhlwn statistik¸n sunart sewn
(T = T (X1, . . . ,Xn) oi opoÐec basÐzontai stic timèc twnparathr sewn tou deÐgmatoc.
Qarakthristikèc statistikèc sunart seic eÐnai h deigmatik
mèsh tim X̄ =∑n
i=1 Xin kai h deigmatik diaspor
S2 =∑n
i=1(Xi−X̄ )2n−1
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Stìqoc Statistik c SumperasmatologÐac
H exagwg ìso to dunatìn asfalèsterwn sumperasmtwn gia
tic gnwstec paramètrouc tou plhjusmoÔ, ìpwc h mèsh tim , h
diaspor to posostì twn atìmwn me kpoio qarakthristikì
kai llec.
Ta sumpersmata gia kpoia parmetro tou plhjusmoÔ
exgontai me th qr sh katllhlwn statistik¸n sunart sewn
(T = T (X1, . . . ,Xn) oi opoÐec basÐzontai stic timèc twnparathr sewn tou deÐgmatoc.
Qarakthristikèc statistikèc sunart seic eÐnai h deigmatik
mèsh tim X̄ =∑n
i=1 Xin kai h deigmatik diaspor
S2 =∑n
i=1(Xi−X̄ )2n−1
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Stìqoc Statistik c SumperasmatologÐac
H exagwg ìso to dunatìn asfalèsterwn sumperasmtwn gia
tic gnwstec paramètrouc tou plhjusmoÔ, ìpwc h mèsh tim , h
diaspor to posostì twn atìmwn me kpoio qarakthristikì
kai llec.
Ta sumpersmata gia kpoia parmetro tou plhjusmoÔ
exgontai me th qr sh katllhlwn statistik¸n sunart sewn
(T = T (X1, . . . ,Xn) oi opoÐec basÐzontai stic timèc twnparathr sewn tou deÐgmatoc.
Qarakthristikèc statistikèc sunart seic eÐnai h deigmatik
mèsh tim X̄ =∑n
i=1 Xin kai h deigmatik diaspor
S2 =∑n
i=1(Xi−X̄ )2n−1
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Pardeigma
'Estw ìti mac endiafèrei na melet soume th mèsh katanlwsh
enèrgeiac µ twn ellhnik¸n noikokuri¸n.Profan¸c h melèth tou sunìlou twn ellhnik¸n noikokuri¸n
eÐnai praktik adÔnath kai gia autì to lìgo to m ja eÐnai
gnwsto.
MporoÔme ìmwc na ektim soume to m qrhsimopoi¸ntac èna
mèroc tou plhjusmoÔ (èna deÐgma).
PaÐrnoume èna t. d. x1, x2, . . . , xn kai ektimme to m me to x̄
Pìso kal ìmwc eÐnai aut h ektÐmhsh?
Pìso axiìpisth eÐnai aut h ektÐmhsh?
Gia na mporèsoume na apant soume sta parapnw erwt mata
prèpei na melet soume arqik th katanom thc t.m. X̄ .
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
Pardeigma
'Estw ìti mac endiafèrei na melet soume th mèsh katanlwsh
enèrgeiac µ twn ellhnik¸n noikokuri¸n.Profan¸c h melèth tou sunìlou twn ellhnik¸n noikokuri¸n
eÐnai praktik adÔnath kai gia autì to lìgo to m ja eÐnai
gnwsto.
MporoÔme ìmwc na ektim soume to m qrhsimopoi¸ntac èna
mèroc tou plhjusmoÔ (èna deÐgma).
PaÐrnoume èna t. d. x1, x2, . . . , xn kai ektimme to m me to x̄
Pìso kal ìmwc eÐnai aut h ektÐmhsh?
Pìso axiìpisth eÐnai aut h ektÐmhsh?
Gia na mporèsoume na apant soume sta parapnw erwt mata
prèpei na melet soume arqik th katanom thc t.m. X̄ .
S. Malefkh Tm ma QhmeÐac Pijanìthtec kai Statistik 17 IanouarÐou 2011
