Příklady (Fyzika II pro KyR)(123 problémů na dlouhé zimní večery)

Milan Červenka, 8. ledna 2018

Některé fyzikální konstantygravitační konstanta G = 6, 6742× 10−11Nm2 kg−2

rychlost světla ve vakuu c = 299 792 458ms−1

Boltzmannova konstanta kB = 1,3807× 10−23 JK−1

Avogadrovo číslo NA = 6,0221× 1023mol−1

molární plynová konstanta Rm = 8,3145 JK−1mol−1

Planckova konstanta h = 6,6261× 10−34 J sredukovaná Planckova konstanta ~ = 1, 0546× 10−34 J snáboj elektronu qe = −1,6022× 10−19Chmotnost elektronu me = 9,1094× 10−31 kghmotnost protonu mp = 1,6726× 10−27 kghmotnost neutronu mn = 1,6749× 10−27 kgStefanova-Boltzmannova konstanta σ = 5,6704× 10−8Wm−2K−4

konstanta Wienova zákona b = 2,8978× 10−3mKmagnetická konstanta µ0 = 4π × 10−7Hm−1

elektrická konstanta ε0 = 1/µ0c2 Fm−1

Příklad 1: Pro intenzitu jistého fyzikálního pole platí

K =(

3x2y, yz2,−xz)

.

Zjistěte, zda je toto pole potenciálové. Pokud ano, najděte jeho potenciál ϕ tak, aby platiloK = −∇ϕ.

Pole není potenciálové.

Příklad 2: Pro intenzitu jistého fyzikálního pole platí

K =(

2xy + z3, x2 + 2y, 3xz2 − 2)

.

1

Zjistěte, zda je toto pole potenciálové. Pokud ano, najděte jeho potenciál ϕ tak, aby platiloK = −∇ϕ.

Je potenciálové, platí ϕ = −x2y − xz3 − y2 + 2z + c.

Příklad 3: Pro intenzitu jistého fyzikálního pole platí

K =(

1 + 2xy, x2 + 3y2, 0)

.

Zjistěte, zda je toto pole potenciálové. Pokud ano, najděte jeho potenciál ϕ tak, aby platiloK = −∇ϕ.

Je potenciálové, platí ϕ = −x2y − x− y3 + c.

Příklad 4: Hliníkový váleček o hmotnosti mh = 100 g zahřátý na teplotu th = 300 C bylvhozen do kádinky obsahující mv = 400 g vody. Vypočítejte, na jaké teplotě t se soustava(váleček + voda + kádinka) ustálí, jestliže počáteční teplota kádinky s vodou t0 = 20 C,pro měrnou tepelnou kapacitu hliníku a vody platí ch = 900 J kg−1K−1, cv = 4190 J kg−1K−1

a tepelná kapacita kádinky C = 200 JK−1. Předpokládejte, že nedochází k výměně teplasoustavy s okolím.

t = 32,8 C

Příklad 5: Automobil o hmotnosti M = 2000 kg brzděním zastavil z rychlosti 25ms−1. Okolik Celsiových stupňů se zvýšila teplota každého ze čtyř železných brzdových bubnů o hmot-nosti m = 9 kg, můžeme-li předpokládat, že veškeré teplo generované třením brzd se akumu-lovalo v brzdových bubnech? Pro měrnou tepelnou kapacitu železa platí cž = 450 J kg−1K−1.

∆t = 38,6 C

Příklad 6: Ponorný vařič má příkon P = 620W. Za jakou dobu ∆τ ohřeje 1 litr vodyz teploty t1 = 20 C na teplotu t2 = 100 C, jestliže pro hustotu a měrnou tepelnou kapacituvody platí ρ = 1000 kgm−3, cv = 4190 J kg−1K−1 a únik tepla do okolí můžeme zanedbat?

∆τ = 541 s

Příklad 7: Vypočítejte hustotu vodíku (tvořeného molekulami H2) za atmosférického tlakup = 105 Pa při teplotě t = 0 C.

ρ = 8,9× 10−2 kgm−3

2

Příklad 8: Vnitřek kosmické lodi má objem V = 20m3, teplotu t = −100 C a v lodi jevakuum. Jaký bude v lodi tlak vodních par, pokud do ní z prasklého potrubí pronikne kapičkavody o hmotnosti m = 1 g? (kyslík = 16

8O)

p = 4Pa

Příklad 9: Jaký objem bude mít plynný oxid uhličitý (CO2) po úplné sublimaci m = 1 kgsuchého ledu, při teplotě t = 20 C a atmosférickém tlaku p = 105 Pa? Jakou bude míthustotu?

V = 554 l, ρ = 1,80 kgm−3

Příklad 10: Ze dna rybníka z hloubky h = 10m unikla bublinka plynu o objemu Vd =1 cm3. Jaký objem Vh měla u hladiny, jestliže pro teplotu vody u dna a hladiny platí td =10 C, th = 20 C, hustota vody ρ = 1000 kgm−3 a atmosférický tlak u hladiny ph = 105 Pa?Předpokládejte, že počet molekul plynu v bublince je konstantní a jeho teplota se vždy rovnáteplotě vody.

Vh = 2,05 cm3

Příklad 11: Bomba o objemu V1 = 20 l je naplněna vzduchem (ideální plyn), který má přiteplotě t1 = 20 C tlak p1 = 120 · 105 Pa. Jaký objem vody V2 lze tímto vzduchem vytlačit zkomory ponorky, která se nachází v hloubce h = 30m? Teplota vody t2 = 5 C, hustota vodyρ = 1000 kgm−3, atmosférický tlak na hladině pA = 105 Pa.

V2 = 557,5 l

Příklad 12: Na jakou teplotu je třeba ohřát vzduch v balónu o objemu V = 1000m3, má-li unést hmotnost m = 200 kg? Víme přitom, že hustota vzduchu při teplotě t0 = 20 C aatmosférickém tlaku p0 = 105 Pa je ρ0 = 1,2 kgm−3.

t = 78,6 C

Příklad 13: Ve vratně pracujícím tepelném stroji bylo izobaricky ohřáto n molů ideálníhoplynu s molární tepelnou kapacitou CV z teploty T1 na T2, T1 < T2. Jakou práci W plynvykonal? Jak se změnila jeho vnitřní energie ∆U? Jaké teplo Q bylo plynu dodáno?

W = nRm(T2 − T1), ∆U = nCV(T2 − T1), Q = nCp(T2 − T1)

3

Příklad 14: Ve vratně pracujícím tepelném stroji bylo izotermicky při teplotě T stlačeno nmolů ideálního plynu z objemu V1 na objem V2, V1 > V2. Jakou práci W plyn vykonal? Jakse změnila jeho vnitřní energie ∆U? Jaké teplo Q bylo plynu dodáno?

W = Q = nRmT ln (V2/V1), ∆U = 0

Příklad 15: Ve vratně pracujícím tepelném stroji byl izochoricky snížen tlak nmolů ideálníhoplynu o teplotě T1 z hodnoty p1 na p2. Jakou práciW plyn vykonal? Jak se změnila jeho vnitřníenergie ∆U? Jaké teplo Q bylo plynu dodáno?

W = 0, ∆U = Q = nCVT1(p2/p1 − 1)

Příklad 16: Cyklus vratně pracujícího tepelného stroje tvoří následující procesy:

1. izobarická expanze při tlaku p1 z objemu V1 na V2,

2. izochorické snížení tlaku z p1 na p2,

3. izobarická komprese z objemu V2 na V1 a

4. izochorické zvýšení tlaku z p2 na p1.

Jakou práci tento stroj během jednoho cyklu vykoná?

W = (p1 − p2)(V2 − V1)

Příklad 17: Cyklus vratně pracujícího tepelného stroje, jehož pracovní médium tvoří n molůideálního plynu, tvoří následující procesy:

1. izotermická expanze při teplotě T1 z objemu V1 na V2,

2. izochorické ochlazení na teplotu T2,

3. izotermická komprese na objem V1 a

4. izochorický ohřev na teplotu T1.

Jakou práci plyn během jednoho cyklu vykoná?

W = nRm(T1 − T2) ln (V2/V1)

Příklad 18: V dieselovém motoru stlačuje píst směs vzduchu a paliva o teplotě t1 = 45 Cz objemu V1 = 630 cm3 na objem V2 = 30 cm3. Jakou teplotu t2 má stlačená směs, jestliže

4

stlačení můžeme považovat za adiabatický proces a pro adiabatický exponent směsi platíκ = 1,37?

t2 = 708 C

Příklad 19: Jakou práci je třeba vykonat na adiabatické stlačení ideálního plynu na n-tinujeho původního objemu V0? Plyn měl před stlačením tlak p0, jeho adiabatický exponent je κ.

W = p0V0 (nκ−1 − 1) /(κ − 1)

Příklad 20: Vratný Carnotův motor pracuje s účinností η = 0,4. O kolik Celsiových stupňůmusíme zvětšit teplotu ohříváku, aby účinnost tohoto stroje vzrostla na η′ = 0,5? Pro teplotuchladiče v obou případech platí tch = 27 C.

∆toh = 100 C

Příklad 21: Vratně pracujícímu Carnotovu motoru je v průběhu každého cyklu dodáno teplo|QH| = 500 kJ z rezervoáru o teplotě tH = 652 C. Jestliže pro teplotu studeného rezervoáruplatí tS = 30 C, vypočítejte a) účinnost motoru η a b) množství tepla |QS| odcházejícíhov každém cyklu z motoru do studeného rezervoáru.

η = 0,672, |QS| = 164 kJ

Příklad 22: Vypočítejte minimální příkon P tepelného čerpadla, které má vytápět dům nateplotu tH = 21 C, jestliže z domu uniká teplo rychlostí 135MJ/h a pro venkovní teplotuplatí tS = −5 C.

P = 3,31 kW

Příklad 23: Domácí chladnička má příkon P = 450W a chladicí faktorK = 2,5. Vypočítejte,jak dlouho v ní bude trvat ochlazení pěti melounů o celkové hmotnosti 50 kg z teploty t1 =20 C na teplotu t2 = 8 C. Předpokládejte, že melouny jsou v zásadě voda o měrné tepelnékapacitě c = 4190 J kg−1K−1.

∆τ = 37minut 15 sekund

Příklad 24: Vratný tepelný stroj vykonávající tzv. Ottův cyklus pracuje následujícím způ-sobem:

5

1. adiabatická expanze z objemu V1 na V2,

2. izochorické ochlazení,

3. adiabatická komprese zpět na objem V1,

4. izochorický ohřev na původní teplotu.

Vypočítejte účinnost tohoto tepelného stroje, jestliže pracovním médiem je ideální plyn s adi-abatickým exponentem κ.

η = 1− (V1/V2)κ−1

Příklad 25: Cyklus vratně pracujícího tepelného stroje se sestává z těchto tří procesů:

1. izobarický ohřev z teploty T1 na T2,

2. adiabatická expanze s poklesem teploty zpět na T1,

3. izotermická komprese na počáteční objem.

Vypočítejte účinnost tohoto tepelného stroje, jehož pracovním médiem je ideální plyn.

η = 1− T1 ln(T2/T1)/(T2 − T1)

Příklad 26: Vypočítejte, jak se změní entropie m = 10 g kyslíku, pokud jej ve vratně pracu-jícím tepelném stroji ochladíme z teploty t1 = 50 C na teplotu t2 = −10 C 1) izochoricky, 2)izobaricky. Měrná tepelná kapacita kyslíku (O2) při konstantním objemu cV = 651 J kg−1K−1,molární hmotnost kyslíku M = 32 gmol−1.

∆Sizochor = −1,34 JK−1, ∆Sizobar = −1,87 JK−1

Příklad 27: Vypočítejte, jak se změní entropie, smícháme-li m1 = 80 g vody o teplotět1 = 90 C a m2 = 20 g vody o teplotě t2 = 10 C. Pro měrnou tepelnou kapacitu vody platíc = 4190 J kg−1K−1, výměnu tepla s okolím zanedbejte.

∆S = 1,97 JK−1

Příklad 28: Vypočítejte, jak se změní entropie n molů ideálního plynu při volné expanziz objemu V0 do V > V0. Při volné expanzi se plyn rozpíná do vakua. Termodynamickousoustavu při volné expanzi můžete považovat za izolovanou.

6

∆S = nRm lnV/V0

Příklad 29: Mosazná a hliníková tyč mají při teplotě t1 = 20 C stejnou délku l1 = 2m. Jakýje rozdíl jejich délek ∆l při teplotě t2 = 100 C? Pro součinitele teplotní délkové roztažnostimosazi a hliníku platí αm = 1,9× 10−5K−1, αh = 2,4× 10−5K−1.

∆l = 0,80mm

Příklad 30: Z minulého semestru si možná pamatujete, že když zavěsíte homogenní tyčdélky l za jeden konec, bude po vychýlení kývat s dobou kyvu

τ = π

√

2l

3g,

kde g je velikost tíhového zrychlení. Pokud hodiny s takovýmto kyvadlem vyrobeným z mědijdou při teplotě t1 = 10 C přesně, jak dlouho na nich trvá jedna „sekundaÿ při teplotět2 = 25 C? Pro součinitel teplotní délkové roztažnosti mědi platí α = 1,7× 10−5K−1.

τt2 = 1,00013 s

Příklad 31: Skleněná nádobka o objemu V = 200 cm3 je až po okraj naplněna rtutí. Jakýobjem rtuti Vv vyteče, zahřeje-li se nádobka i se rtutí o ∆t = 30 C? Pro teplotní součiniteldélkové roztažnosti skla nádobky platí α = 9,0 × 10−6K−1, pro teplotní součinitel objemovéroztažnosti rtuti β = 0,182× 10−3K−1.

Vv = 0,93 cm3

Příklad 32: Dvě tyče o stejném průřezu S = 4 cm2, měděná, o délce lm = 1,2m a ocelová,o délce lo = 1m, jsou navzájem spojeny a na koncích udržovány na teplotách tm = 100 C ato = 0 C. Jakou teplotu ts má spoj tyčí a jaký je tepelný tok tyčemi? Pro součinitel tepelnévodivosti mědi a oceli platí λm = 380 Wm−1K−1 a λo = 50 Wm−1K−1.

ts = 86,4 C, Q = 1,73W

Příklad 33: Na vařiči uvedeme V = 2 litry vody o teplotě t = 10 C k varu za dobu τ1 =5minut. Za jakou dobu τ2 se veškerá voda vyvaří, jestliže tepelný výkon vařiče je konstantní,měrná tepelná kapacita vody c = 4190 J kg−1K−1 a měrné skupenské teplo varu vody lv =2,256× 106 J kg−1?

7

τ2 = 29minut 55 sekund

Příklad 34: Jakou rychlostí musí být vystřelena olověná kulka o teplotě t1 = 27 C do terče,aby se po nárazu roztavila? Předpokládejte, že se veškerá kinetická energie kulky přemění nateplo. Měrná tepelná kapacita pevného olova c = 129 J kg−1K−1, měrné skupenské teplo táníolova lt = 23,2× 103 J kg−1, teplota tání olova tt = 328 C.

v = 352ms−1

Příklad 35: V termosce je V = 0,5 litru čaje o teplotě tč = 80 C. Vhodíme do ní m = 200 gledu o teplotě tl = −10 C. Jakou teplotu tx bude mít čaj poté, co všechen led roztaje?Tepelnou kapacitu termosky a únik tepla do okolí zanedbejte. Měrná tepelná kapacita čaje(vody) cv = 4190 J kg−1K−1 a ledu cl = 2220 J kg−1K−1, měrné skupenské teplo tání ledult = 333 000 J kg−1.

tx = 32,9 C

Příklad 36: Vypočítejte teplotu tání ledu tt při tlaku p = 400 000Pa, víte-li, že při nor-málním atmosférickém tlaku p0 = 101 325Pa led taje při teplotě 0 C. pro měrné skupenskéteplo tání ledu platí lt = 333 000 J kg−1, pro hustotu vody a ledu platí ρv = 1000 kgm−3,ρl = 920 kgm−3.

tt = −0,0213 C

Příklad 37: Pomocí rozměrové analýzy nalezněte kombinaci Boltzmannovy konstanty k,termodynamické teploty T a hmotnosti m, která má rozměr rychlosti.

v =√

kTm

Příklad 38: V nádobě se nacházejí 2 moly helia při teplotě t = 25 C. Spočítejte celko-vou translační kinetickou energii všech molekul, průměrnou kinetickou energii připadající najednu molekulu a střední kvadratickou rychlost molekul. Helium za těchto podmínek můžetepovažovat za ideální plyn.

Ecelk = 7436 J, E1 = 6,17× 10−21 J, vk = 1363ms−1

Příklad 39: Nádoba je naplněna kyslíkem (id. plynem) o teplotě t = 25 C. Jaká část molekulmá rychlost v intervalu 599m s−1 – 601m s−1? Interval ∆v je natolik malý, že v něm můžeteuvažovat rozdělení rychlostí molekul jako konstantní.

8

Rychlost v tomto intervalu má 0,261% molekul.

Příklad 40: Pro Maxwellovo rozdělení velikostí rychlostí molekul ideálního plynu můžemepsát

f(v) = Av2e−mv2

2kT .

Vypočítejte hodnotu koeficientu A, víte-li, že pro α > 0 platí

∫ ∞

0

x2e−αx2

dx =1

4

√

π

α3.

A =√

2m3

πk3T 3

Příklad 41: Z Maxwellova rozdělení velikostí rychlostí molekul ideálního plynu odvoďtenejpravděpodobnější rychlost molekul.

vn =√

2kTm

Příklad 42: Z Maxwellova rozdělení velikostí rychlostí molekul ideálního plynu odvoďtestřední rychlost molekul.

vn =√

8

πkTm

Příklad 43: Z astrofyziky je známo, že planeta si může dlouhodobě (řádově miliardy let)udržet atmosféru, pokud je splněna podmínka, že úniková rychlost z jejího povrchu je ale-spoň 10× větší, než střední kvadratická rychlost molekul, jimiž je atmosféra planety tvořena.Vypočítejte kritickou teplotu tk, při níž by již výše zmíněná podmínka nebyla na Zemi spl-něna pro molekuly dusíku N2 tvořené izotopem 14

7N . Pro poloměr a hmotnost Země platí

RZ = 6378 km, MZ = 5,97× 1024 kg.

tk = 1130 C

Příklad 44: Pohybová rovnice pro vlny na tuhé struně má tvar

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2− α2c2

∂4u

∂x4,

9

kde u(x, t) je výchylka struny a koeficienty c, α jsou konstantní. Najděte disperzní relaci afázovou rychlost těchto vln.

ω2 = c2k2 + α2c2k4, vf = c√1 + α2k2

Příklad 45: Vypočítejte fázovou a grupovou rychlost vln na hluboké vodě, pro něž platídisperzní relace ω =

√gk (g je velikost tíhového zrychlení).

vf =√

g/k, vg = vf/2

Příklad 46: Pro fázovou rychlost příčných vln v pružné tyči platí vf = a/λ, kde a jekonstanta. Vypočítejte grupovou rychlost těchto vln.

vg = 2vf

Příklad 47: Vypočítejte fázovou a grupovou rychlost kapilárních vln na povrchu kapaliny,pro něž platí disperzní relace ω =

√

αk3/ρ (α je povrchové napětí kapaliny, ρ je její hustota).

vf =√

αk/ρ, vg = 3vf/2

Příklad 48: Pro vlny šířící se plazmatem můžeme psát disperzní relaci ω2 = ω2

p + c2k2, kdec je rychlost světla ve vakuu a ωp = konst. je tzv. plazmová frekvence. Vypočítejte fázovou agrupovou rychlost těchto vln.

vf = c√

1 + (ωp/ck)2, vg = c/√

1 + (ωp/ck)2

Příklad 49: Stojatá vlna vznikla interferencí dvou proti sobě jdoucích vln o kmitočtu f =500Hz. Vzdálenost dvou sousedních uzlů je l = 1,2m. Jaká je fázová rychlost vln v prostředí,ve kterém se vlny šíří?

vf = 1200ms−1

Příklad 50: Jakou silou F musí být napnuta na obou koncích upevněná struna délkyl = 64 cm, průměru d = 0,41mm, a hustoty ρ = 7,8 g cm−3, aby její základní mód mělfrekvenci f = 247,5Hz?

F = 103N

10

Příklad 51: Na napnuté, na obou koncích upevněné struně délky l = 160 cm, byly naměřenydvě po sobě jdoucí rezonanční frekvence fn = 85Hz a fn+1 = 102Hz. Určete rychlost šířenívln strunou.

vf = 54,4ms−1

Příklad 52: Struna „eÿ na houslích je naladěna na kmitočet fe2 = 660Hz. O kolik procentmusíme stiskem hmatníku strunu zkrátit, aby na ní zněl tón a2 o kmitočtu fa2 = 880Hz?

Strunu je třeba zkrátit o 25% její původní délky.

Příklad 53: Polouzavřená píšťala (čtvrtvlnný rezonátor) má délku l = 17 cm. Vypočítejtetři nejnižší kmitočty, na kterých tato píšťala zní, pokud pro rychlost zvuku (při dané teplotě)platí c = 340ms−1.

f1 = 500Hz, f2 = 1500Hz, f3 = 2500Hz

Příklad 54: Vypočítejte rychlost zvuku v héliu 4

2He při teplotě t = 20 C, víte-li, že molekuly

hélia jsou jednoatomové.

c = 1007ms−1

Příklad 55: O kolik procent se zhruba změní kmitočet píšťaly, jestliže se teplota v kelvinechzvýší o cca jedno procento?

Kmitočet píšťaly se zvýší zhruba o půl procenta.

Příklad 56: Pod jakým největším úhlem αmax může dopadat zvuková vlna na rozhranívzduch–voda, aby pronikla do vody, když pro rychlost zvuku ve vodě platí v2 = 1450ms−1 arychlost zvuku ve vzduchu při dané teplotě v1 = 340ms−1?

αmax = 13 34′

Příklad 57: Amplituda akustického tlaku rovinné zvukové vlny o kmitočtu f = 1000Hzp′0= 3×10−5 Pa (hranice slyšitelnosti). Vypočítejte amplitudu akustické rychlosti a akustické

výchylky, jestliže pro rychlost zvuku a hustotu vzduchu při dané teplotě platí c = 345ms−1,ρ0 = 1,2 kgm−3.

11

v = 7,25× 10−8ms−1, y = 1,15× 10−11m

Příklad 58: Určete, o kolik decibelů se zvýší hladina intenzity zvuku, pokud se a) zvýšífyzikální intenzita 4×, b) zvýší akustický tlak 4×.

a) ∆L = 6,02 dB, b) ∆L = 12,04 dB

Příklad 59: O kolik procent se musí zvýšit intenzita zdroje zvuku, aby se hladina intenzityzvýšila o 1 dB?

Intenzita se musí zvýšit o 25,9%.

Příklad 60: V prostředí, jehož hladina hluku pozadí je Lp = 60 dB, byl změřen hluk stroje.Byla naměřena hladina hluku Ls = 64 dB. Jak velká hladina hluku stroje Lst by byla na-měřena, kdyby měření probíhalo v tiché místnosti?

Lst = 61,8 dB

Příklad 61: Hladina hluku jednoho stroje v tovární hale je L1. O kolik decibelů se zvýšíhladina hluku, bue-li současně zapnuto 2, 5, 10 stejných strojů?

∆L = 3,01 dB, 6,99 dB, 10 dB

Příklad 62: Okno, jehož plocha S = 2m2 je otevřeno do ulice, pouliční ruch v rovině oknamá hladinu intenzity L = 80 dB. Jak velký je akustický výkon vstupující oknem do pokoje?

P = 0,2mW

Příklad 63: Ve vzdálenosti r1 = 10m od zdroje zvuku velmi malých rozměrů je hladinaintenzity zvuku L1 = 20 dB. Vypočítejte, zanedbávaje útlum, jaká je hladina intenzity zvukuL2 ve vzdálenosti r2 = 5m od zdroje zvuku.

L2 = 26 dB

Příklad 64: Jakou rychlostí by se musel pohybovat zdroj zvuku, aby pozorovatel, ke kterémuse zdroj přibližuje, slyšel dvojnásobný kmitočet oproti pozorovateli, od kterého se stejný zdrojvzdaluje? Rychlost zdroje vyjádřete jako násobek rychlosti zvuku.

12

v = c/3

Příklad 65: Dva vozíky se pohybují proti sobě rychlostmi o stejné velikosti v = 1,6ms−1. Nakaždém z vozíků je ladička znící tónem „komorní aÿ o kmitočtu fa1 = 440Hz. Jaký kmitočetzáznějů fz vnímá pozorovatel sedící na jednom z vozíků? Pro rychlost zvuku při dané teplotěplatí c = 345ms−1.

fz = 4,1Hz

Příklad 66: Jeden ze dvou navzájem se přibližujících vlaků jede rychlostí v1 = 72 kmh−1

a píská s frekvencí f = 620Hz. Určete, jakou frekvenci vnímá cestující druhého vlaku, jede-li rychlostí v2 = 54 kmh−1, před setkáním, a po minutí obou vlaků. Rychlost zvuku c =335ms−1.

fpřed = 689Hz, fpo = 559Hz

Příklad 67: Souprava TGV, jedoucí rychlostí v = 575 kmh−1, píská 2 sekundy. Jak dlouhotrvá zvuk, který vnímá v klidu stojící pozorovatel, pokud se a) k němu souprava přibližuje,b) od něho vzdaluje? Rychlost zvuku c = 335ms−1.

a) τpřibliž = 1,05 s, b) τvzdal = 2,95 s

Příklad 68: Při jakém úhlu dopadu bude světlo odražené od vodní hladiny zcela polarizo-váno? Pro index lomu vody platí n = 1,33.

αB = 53 04′

Příklad 69: Vypočítejte efektivní hodnotu intenzity elektrického a magnetického pole sluneč-ního záření v blízkosti Země, víte-li, že v blízkosti Země je intenzita záření I = 1395Wm−2.

Eef = 725Vm−1, Hef = 1,92Am−1

Příklad 70: Jaká část energie elektromagnetické vlny se odrazí, dopadá-li vlna kolmo narozhraní vzduch-voda? Index lomu vody (pro světlo) nvoda = 1,33.

R = 2%

13

Příklad 71: Vypočítejte, jaká část intenzity nepolarizovaného světla projde ideálním pola-rizačním filtrem.

I = I0/2

Příklad 72: Dva ideální polarizační filtry (polarizátor a analyzátor) jsou zařazeny za sebou aprochází přes ně světelný paprsek. Pokud jsou osy polarizace obou filtrů totožné, má intenzitasvětla za druhým filtrem velikost I0. Vypočítejte, jak musí byt osy polarizace filtrů navzájemstočeny, aby intenzita světla za druhým filtrem měla velikost a) I0/2, b) I0/10.

a) ∆ϕ = 45, b) ∆ϕ = 71 34’

Příklad 73: V Youngově pokusu jsou štěrbiny, vzdálené od sebe d = 0,1mm, kolmo osvětlenymonochromatickým světlem o vlnové délce λ = 650 nm. Na stínítku vzdáleném x = 0,5m seobjeví světlé interferenční proužky. Spočítejte vzdálenost ∆y dvou sousedních proužků.

∆y = 3,25mm

Příklad 74: Na optickou mřížku s hustotou 600 vrypů na jeden milimetr dopadá kolmolaserový paprsek o vlnové délce λ = 532 nm. Vypočítejte, pod jakými úhly αm je v prošlémsvětle možné pozorovat interferenční maxima.

αm = 0,±1837′,±3940′,±7315′

Příklad 75: Spočítejte mřížkovou konstantu optické mřížky, která na stínítku vzdálenémx = 0,5m vytváří maxima 1. řádu vzdálená od hlavního (centrálního) maxima y = 10,789 cm.Mřížka je osvětlena kolmo laserovým světlem o vlnové délce λ = 632,8 nm.

d = 3µm

Příklad 76: Štěrbina šířky a = 0,5mm, osvětlovaná kolmo fialovým laserovým světlem, jevzdálena x = 2,5m od stínítka. První dva tmavé proužky na stínítku, ležící na téže straně odhlavního maxima, jsou od sebe vzdáleny ∆y = 2mm. Určete vlnovou délku použitého světla.

λ = 400 nm

Příklad 77: Bílé světlo o stejné intenzitě v celé viditelné oblasti vlnových délek (400 nm –750 nm) dopadá kolmo na vrstvu o tloušťce h = 350 nm a indexu lomu n = 1,33, která se

14

nachází ve vzduchu. Při jakých vlnových délkách se pozorovateli jeví vrstva nejvíce osvětlená?Pozorovatel vnímá odražené světlo.

λ = 621 nm

Příklad 78: Na čočce ze skla o indexu lomu n2 = 1,5 je umístěna antireflexní vrstva z mate-riálu o indexu lomu n1 = 1,4. Jaká musí být nejmenší tloušťka této vrstvy, aby interferenčněpotlačovala odraz světla o vlnové délce λ = 550 nm? Předpokládejte, že světlo na čočku do-padá kolmo.

h = 98,2 nm

Příklad 79: Dvě čtvercové desky ze skla o indexu lomu n = 1,5 a hraně l = 200mm jsoupoloženy na sebe, přičemž je mezi ně podél jedné z hran vložen tenký drátek o průměrud = 0,05mm. Na desky dopadá kolmo svazek světla o vlnové délce λ = 633 nm, díky čemužna vzduchové vrstvě mezi nimi vznikají interferenční proužky. Jaká je vzájemná vzdálenost∆x dvou sousedních světlých proužků?

∆x = 1,27mm

Příklad 80: Bílé světlo se odráží od tenké olejové vrstvy, plovoucí na vodní hladině, podúhlem α = 60. Vypočítejte, které vlnové délky jsou v odraženém viditelném světle nejvícezesíleny, pokud olejová vrstva má tloušťku d = 1000 nm, index lomu oleje no = 1,45 a indexlomu vody nv = 1,33 .

λ = 423 nm, 517 nm, 665 nm

Příklad 81: Jaká musí být minimální výška h svislého rovinného zrcadla, aby se v němviděla celá osoba výšky H?

h = H/2

Příklad 82: Do jaké vzdálenosti so před vyduté zrcadlo o poloměru velikosti |r| musímeumístit předmět, aby jeho obraz byl převrácený a pro velikost jeho zvětšení platilo |m| = 3?V jaké vzdálenosti si od zrcadla se obraz nahází? Je skutečný?

so = 2|r|/3, si = 2|r|, obraz leží před zrcadlem a je skutečný

15

Příklad 83: Do jaké vzdálenosti so před vyduté zrcadlo o poloměru velikosti |r| musímeumístit předmět, aby jeho obraz byl vzpřímený a pro velikost jeho zvětšení platilo |m| = 3?V jaké vzdálenosti si od zrcadla se obraz nahází? Je skutečný?

so = |r|/3, si = −|r|, obraz leží za zrcadlem a je virtuální

Příklad 84: Do jaké vzdálenosti so před vypuklé zrcadlo o poloměru velikosti |r| musímeumístit předmět, aby jeho obraz měl zvětšení o velikosti |m| = 1/4? V jaké vzdálenosti si odzrcadla se obraz nahází? Je skutečný?

so = 3|r|/2, si = −3|r|/8, obraz leží za zrcadlem a je virtuální

Příklad 85: Tenká skleněná čočka, umístěná ve vzduchu, má optickou mohutnost D = +12dioptrií. Jakou optickou mohutnost D′ bude mít ve vodě? Pro index lomu skla a vody platíns = 1,5, nv = 1,33.

D′ = 3,07 dioptrie

Příklad 86: Tenká skleněná čočka, umístěná ve vzduchu, má optickou mohutnost D = +5dioptrií. Umístíme-li ji do kapaliny, optická mohutnost se změní na D′ = −1 dioptrie. Jakýindex lomu nk má kapalina? Index lomu skla ns = 1,5.

nk = 1,67

Příklad 87: Do jaké vzdálenosti si od objektivu diaprojektoru (spojné tenké čočky) musímeumístit projekční plátno o velikosti 1,8m× 1,2m, aby na celou jeho plochu byl ostře promít-nut diapozitiv o velikosti 36mm× 24mm, jestliže pro ohniskovou vzdálenost objektivu platíf = 0,2m? Jak je obraz diapozitivu orientován?

si = 10,2m, obraz je převrácený

Příklad 88: S fotoaparátem, jehož objektiv (tenká spojná čočka) má ohniskovou vzdálenostf = 50mm, chceme zachytit předmět výšky 20 cm tak, aby na kinofilmu měl výšku 20mm.Do jaké vzdálenosti so od objektivu musíme předmět umístit? Jakou má obraz vzhledemk předmětu orientaci?

so = 55 cm, obraz je převrácený

16

Příklad 89: Fotoaparátem s objektivem o ohniskové vzdálenosti f = 0,2m byl ze vzdálenostil = 100m vyfotografován strom, jehož obraz na kinofilmu má výšku h = 15mm. Jakou výškumá strom?

Výška stromu je 7,49m.

Příklad 90: Vypočtěte, jakou povrchovou teplotu má Slunce a jaký celkový výkon vyzařuje,jestliže vyzařuje jako AČT s maximem na vlnové délce λm = 500 nm. Poloměr Slunce jeRS = 695 500 km.

T = 5796K, P = 3,89× 1026W

Příklad 91: Hvězda Sírius má povrchovou teplotu TSi = 9940K a poloměr RSi = 1,711×větší, nežli je poloměr Slunce. Kolikrát větší výkon vyzařuje Sírius oproti Slunci, víte-li, žeSlunce vyzařuje s maximem na vlnové délce λm = 500 nm?

PSi/PSl = 25,3

Příklad 92: Vypočítejte, jaký proud by měl protékat kovovým vláknem o průměru d =0,1mm, umístěným ve vyčerpané baňce, aby se jeho teplota ustálila na hodnotě T = 2500K.Pro měrný odpor vlákna platí ρ = 2,5× 10−6 Ωm, vlákno vyzařuje jako AČT.

I = 1,48A

Příklad 93: Prahová vlnová délka pro fotoelektrickou emisi u wolframu je λ0 = 230 nm.Jakou vlnovou délku dopadajícího světla musíme použít, aby vyletovaly elektrony s maximálníkinetickou energií 2 eV?

λ = 168 nm

Příklad 94: Výstupní práce pro sodík A = 2,3 eV. Jaká maximální vlnová délka dopadajícíhosvětla ještě způsobí fotoelektrickou emisi?

λ = 539 nm

Příklad 95: Zdroj světla s vlnovou délkou λ osvětluje kovový povrch a způsobuje fotoemisielektronů s maximální kinetickou energií 1 eV. Použijeme-li zdroj světla s poloviční vlnovou

17

délkou, mají fotoelektrony maximální kinetickou energii 4 eV. Jaká je výstupní práce kovovéhopovrchu?

A = 2 eV

Příklad 96: Jakou vlnovou délku musí mít foton, aby jeho hmotnost odpovídala klidovéhmotnosti elektronu?

λ = 2,43 pm

Příklad 97: Určete energii, hybnost a hmotnost fotonu rentgenového záření s vlnovou délkouλ = 1 A.

E = 12,4 keV, p = 6,63× 10−24 kgm s−1, m = 2,21× 10−32 kg

Příklad 98: Laserové ukazovátko vyzařuje svazek světla o vlnové délce λ = 405 nm a výkonuP = 100mW. Kolik fotonů toto ukazovátko emituje každou sekundu?

n = 2,04× 1017 s−1

Příklad 99: Svazek rentgenových paprsků se rozptyluje na volných elektronech. Paprskyodchýlené o úhel ϕ = 45 od původního směru mají vlnovou délku λ′ = 2 pm. Jaká je vlnovádélka dopadajících paprsků?

λ = 1,29 pm

Příklad 100: Foton rentgenového záření o vlnové délce λ = 10 pm se čelně srazil s volnýmelektronem, který byl v klidu, a odrazil se zpět. Jaká je vlnová délka fotonu a kinetická energieelektronu po srážce?

λ′ = 14,9 pm, Ek = 40,5 keV

Příklad 101: Jestliže maximální kinetická energie dodaná elektronům při Comptonově roz-ptylu je 30 keV, jaká je vlnová délka λ0 dopadajících fotonů?

λ0 = 11,9 pm

Příklad 102: Jakou kinetickou energii musí mít elektron letící vodou s indexem lomu n =1,33, aby se stal zdrojem Čerenkovova záření?

18

Ek & 264 keV

Příklad 103: Z povrchu bílého trpaslíka o poloměru R = 10 000 km a hmotnosti M =2×1030 kg byl vyzářen foton o vlnové dálce λ0 = 500 nm. Jakou vlnovou délku bude mít tentofoton, vzdálí-li se do nekonečné vzdálenosti od hvězdy?

λ = 500,074 nm

Příklad 104: Vypočtěte rychlost a de Broglieho vlnovou délku elektronu, jehož kinetickáenergie Ek = 20 keV. Výpočet proveďte relativisticky.

v = 0,272 c, λ = 8,59 pm

Příklad 105: Vypočtěte de Broglieho vlnovou délku elektronu, který byl urychlen potenci-álovým rozdílem U = 100V. Výpočet můžete provést nerelativisticky.

λ = 123 pm

Příklad 106: Stanovte neurčitosti rychlostí elektronu a protonu, pokud jsou tyto částiceuzavřeny v oblasti s lineárním rozměrem ∆x = 1 nm.

∆ve ≈ 58 km s−1, ∆vp ≈ 32ms−1

Příklad 107: Předpokládejte, že nejistota určení polohy částice je úměrná de Brogliehovlnové délce této částice. Vyjádřete nejistotu určení rychlosti částice jako funkci rychlosti.

∆v ≈ v/4π

Příklad 108: Jistá elementární částice má dobu života ∆t ≈ 10−23 s. Jaká je neurčitost jejíklidové hmotnosti?

∆m ≈ 6× 10−29 kg

Příklad 109: Porovnejte velikost Coulombovy a gravitační síly, kterou na sebe působí protona elektron.

FC/FG = 2,27× 1039

19

Příklad 110: Vypočítejte poloměry prvních dvou kvantových orbit elektronu v atomu vodíkupodle Bohrova modelu.

r1 = 5,29× 10−11m, r2 = 2,12× 10−10m

Příklad 111: Vypočítejte rychlosti elektronu na prvních dvou kvantových orbitách v atomuvodíku podle Bohrova modelu.

v1 = 2,19× 106ms−1, v2 = 1,09× 106ms−1

Příklad 112: Vypočítejte oběžné frekvence elektronu na prvních dvou kvantových orbitáchv atomu vodíku podle Bohrova modelu. Kdyby elektrony na těchto frekvencích vyzařovaly,jakým vlnovým délkám ve vakuu by to odpovídalo?

f1 = 6,58× 1015Hz, f2 = 8,23× 1014Hz, λ1 = 45,6 nm, λ2 = 364 nm

Příklad 113: Vypočítejte poměr obvodu n-té kvantové orbity a de Broglieho vlnové délkyelektronu na této orbitě podle Bohrova modelu atomu vodíku.

on/λn = n

Příklad 114: S využitím Bohrova modelu, vypočítejte ionizační energii atomu vodíku s elek-tronem v základním stavu. Jakou maximální vlnovou délku musí mít foton, který může atomvodíku v základním stavu ionizovat?

Ei = 13,6 eV, λ = 91,1 nm

Příklad 115: S využitím Bohrova modelu, vypočítejte ionizační energii jednou ionizovanéhoatomu hélia (atomu hélia s pouze jedním elektronem) s elektronem v základním stavu.

Ei = 54,4 eV

Příklad 116: S využitím Bohrova modelu, vypočítejte vlnovou délku fotonu, který je emi-tován, když elektron v atomu vodíku přechází z 6., 5., 4. a 3. na 2. kvantovou orbitu.

λ62 = 410 nm, λ52 = 434 nm, λ42 = 486 nm, λ32 = 656 nm

20

Příklad 117: Na základě Pauliho vylučovacího principu ukažte, jaký je nejvyšší možný početelektronů na 1., 2., 3. a 4. kvantové orbitě.

N = 2, 8, 18, 32

Příklad 118: Částice o hmotnosti m se nachází v jednorozměrné, nekonečně hluboké, pravo-úhlé potenciálové jámě šířky a. Řešením stacionární Schrödingerovy rovnice najděte energie,které může částice mít.

En = π2~2

2ma2n2, n = 1, 2, 3, . . .

Příklad 119: Určete normovací konstantu A pro vlnovou funkci Ψ(x) = A sin(nπx/a), kden = 1, 2, 3, . . ., v oboru proměnné x ležící v intervalu 0 ≤ x ≤ a.

A = ±√

2/a

Příklad 120: Vlnová funkce jisté částice má tvar

Ψ(x) = Ce−|x|/x0 ,

kde C a x0 > 0 jsou konstanty a x ∈ (−∞,∞). Najděte normovací konstantu C a pravděpo-dobnost P , že částice se nachází v intervalu 〈−x0, x0〉.

C = ±1/√x0, P = 0,865

Příklad 121: Vlnová funkce pro částici s nejmenší možnou energií, uvězněnou v nekonečněhluboké, pravoúhlé, jednorozměrné potenciálové jámě šířky, a má tvar Ψ(x) =

√

2/a sin πx/a,kde x ∈ 〈0, a〉. Vypočítejte pravděpodobnost, že částice se nachází v intervalu x ∈ 〈a/4, 3a/4〉.

P = 0,818

Příklad 122: Částice o hmotnosti m = 1mg se může pohybovat kolmo mezi dvěma tuhýmistěnami vzdálenými od sebe a = 1 cm. Jaká je minimální možná rychlost této částice?

vmin = 3,31× 10−26ms−1

Příklad 123: Kvantový oscilátor. Víme, že pro potenciální energii lineárního harmonickéhooscilátoru (např. hmotný bod o hmotnosti m na pružině) platí V = −kx2/2, kde k je tuhost

21

pružiny. Řešením pohybové rovnice pak dostaneme pro kruhový kmitočet ω =√

k/m, takžepotenciální energii můžeme psát jako V = −mω2x2/2. Dosazením do Schrödingerovy rovnicedostaneme

− ~2

2m

d2Ψ

dx2+

1

2mω2x2Ψ = EΨ.

Ukažte, že funkce Ψ(x) = Ce−αx2

je řešením této rovnice. Najděte hodnotu koeficientu α aenergii, pro kterou je daná funkce řešením Schrödingerovy rovnice.

α = mω2~, E = 1

2~ω

22