ZAacutePADOČESKAacute UNIVERZITA V PLZNI
FAKULTA PEDAGOGICKAacute
KATEDRA MATEMATIKY FYZIKY A TECHNICKEacute VYacuteCHOVY
VYŠETŘOVAacuteNIacute PRŮBĚHU FUNKCIacute - ŘEŠENEacute PŘIacuteKLADY
BAKALAacuteŘSKAacute PRAacuteCE
Lucie Ceplechovaacute
Přiacuterodovědnaacute studia obor Matematickaacute studia
Vedouciacute praacutece PhDr Lukaacuteš Honziacutek PhD
Plzeň 2017
Prohlašuji že jsem bakalaacuteřskou praacuteci na teacutema Vyšetřovaacuteniacute
průběhu funkciacute ndash řešeneacute přiacutekladylsquolsquo vypracovala samostatně
s použitiacutem uvedeneacute literatury a zdrojů informaciacute
V Plzni dnehelliphelliphellip
Lucie Ceplechovaacute
Raacuteda bych poděkovala vedouciacutemu meacute bakalaacuteřskeacute praacutece panu PhDr Lukaacuteši Honziacutekovi
PhD za poskytnutiacute užitečnyacutech rad dobryacutech naacutepadů a připomiacutenek během praacutece na teacuteto
bakalaacuteřskeacute praacuteci
6
Obsah
Uacutevod 7
1 Teoretickyacute zaacuteklad vyšetřovaacuteniacute průběhu funkciacute s jednou proměnnou 8
11 Definice funkce jedneacute proměnneacute zaacutekladniacute pojmy 8
111 Definičniacute obor - přiacuteklady 10
12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y 12
121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady 12
13 Speciaacutelniacute typy funkciacute 13
14 Limity funkce 15
141 Algebra limit 17
142 Jednostranneacute limity 18
143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady 19
15 Spojitost funkce 20
151 Body nespojitosti 21
16 Derivace funkce 22
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute 23
162 LacuteHospitalovo pravidlo 24
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam 24
164 Druhaacute derivace 26
2 Řešeneacute přiacuteklady 29
Zaacutevěr 47
Resumeacute 48
Seznam literatury 49
Seznam obraacutezků a tabulek 50
7
Uacutevod
Bakalaacuteřskaacute praacutece se zabyacutevaacute vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkciacute o jedneacute a viacutece proměnnyacutech
Ačkoliv je funkce o jedneacute proměnneacute často probiacuteraneacute teacutema rozhodla jsem se ho zpracovat
komplexně a rozšiacuteřit o problematiku s viacutece proměnnyacutemi
Praacutece je rozdělena do dvou čaacutestiacute V prvniacute čaacutesti se zabyacutevaacutem teoretickyacutem vyšetřovaacuteniacutem
průběhu funkciacute V teacuteto čaacutesti jsou podrobně rozepsaacuteny všechny potřebneacute kroky ke zjištěniacute
průběhu funkce
V druheacute čaacutesti teacuteto bakalaacuteřskeacute praacutece aplikuji na konkreacutetniacutech přiacutekladech kroky uvedeneacute
v prvniacute čaacutesti Všechny uvedeneacute přiacuteklady jsou funkce s jednou proměnnou V teacuteto čaacutesti jsou
uvedeny různeacute druhy přiacutekladů o různyacutech obtiacutežnostech Každyacute přiacuteklad je doplněn grafem
tak aby čtenaacuteř dokaacutezal plně pochopit problematiku daneacuteho přiacutekladu
8
1 Teoretickyacute zaacuteklad vyšetřovaacuteniacute průběhu funkciacute s jednou proměnnou
11 Definice funkce jedneacute proměnneacute zaacutekladniacute pojmy
Pro možnost vyšetřovat funkce je důležiteacute co funkce je
Nechť Dsubℝ Zobrazeniacute f D↦ ℝ nazyacutevaacuteme reaacutelnou funkciacute jedneacute reaacutelneacute proměnneacute
(každeacutemu prvku množiny D je přiřazeno praacutevě jedno čiacuteslo z množiny ℝ)
Prvkům množiny D řiacutekaacuteme vzory argumenty nezaacutevisleacute proměnneacute a značiacuteme je
xtshellip∊D jejich obrazy značiacuteme f(x) f(t) f(s)hellip∊ ℝ a nazyacutevaacuteme funkčniacute hodnoty
Množina D se nazyacutevaacute definičniacute obor funkce a takeacute se značiacute D=D(f) množina obrazů se
nazyacutevaacute obor hodnot a značiacute se H=H(f) Nejčastěji piacutešeme
y = f(x) x∊D nebo f x↦f(x) x∊ D
Graf funkce f je množina G dvojic [x f(x)] x∊D tj Gf = DtimesHsubℝ2 Řiacutekaacuteme že funkce je
daacutena je-li daacuteno přiřazeniacute f a definičniacute obor D(f)
[1]
Nejčastějšiacute způsoby zadaacuteniacute funkciacute
a) Analytickeacute zadaacuteniacute
Funkčniacute předpis je daacuten rovniciacute nebo soustavou rovnic (zpravidla jde o jeho explicitniacute
implicitniacute nebo parametrickeacute vyjaacutedřeniacute) Pokud je funkčniacute předpis zadaacuten ve tvaru y = f(x)
jednaacute se o explicitniacute vyjaacutedřeniacute Funkčniacute předpis je zadaacuten implicitně pokud je ve tvaru
F(x y) = 0 resp F(x f(x)) = 0 Parametrickeacute vyjaacutedřeniacute znamenaacute že funkčniacute předpis
funkce f je zadaacuten ve tvaru soustavy rovnic s parametrem např x = ϕ(t) y = ϕ(t) kde t je
parametr s danyacutem oborem proměnnosti zpravidla t ∊ ltα βgt α β ∊ ℝ
(ℝ = ℝ cup -infin +infin)
b) Grafickeacute zadaacuteniacute ndash funkce je daacutena svyacutem grafem
c) Tabelaacuterniacute zadaacuteniacute ndash pro konečnyacute počet uspořaacutedanyacutech dvojic [x y] ∊ f může byacutet funkce
určena jejich vyacutečtem
[4]
9
Množina všech bodů [x f(x)] v karteacutezskeacutem souřadnicoveacutem systeacutemu se nazyacutevaacute graf funkce
f
Na naacutesledujiacuteciacutem obraacutezku je znaacutezorněn přiacutepad ve ktereacutem se nejednaacute o graf funkce jelikož
neniacute splněna podmiacutenka uvedenaacute v definici funkce Důkaz tohoto tvrzeniacute je evidentniacute např
v bodě x = 0 (bod A) pro kteryacute platiacute že f(0) = 2 (bod B) a zaacuteroveň f(0)= -2 (bod C)
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
V naacutesledujiacuteciacutem grafu se jednaacute o graf funkce jelikož je splněna vyacuteše uvedenaacute definice
funkce
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
10
Funkce g D(g) rarr ℝ se nazyacutevaacute restrikce funkce f D(f)rarrℝ jestliže D(g) sub D(f) a pro
všechna x definičniacuteho oboru platiacute g(x) = f(x)
Funkce f g se rovnajiacute jestliže D(g)=D(f) a pro všechna x definičniacuteho oboru platiacute
g(x) = f(x)
Nechť D(g) = D(f) potom pomociacute naacutesledujiacuteciacutech předpisů definujeme
součet funkciacute f + g x rarr f(x) + g(x)
rozdiacutel funkciacute f - g xrarr f(x) - g(x)
součin funkciacute f g x rarr f(x) g(x)
podiacutel funkciacute fg x rarr f(x)g(x) g(x) ne 0
naacutesobek funkce αf x rarrαf(x) α ∊ ℝ
[8]
111 DEFINIČNIacute OBOR - PŘIacuteKLADY
Př 1 Určete definičniacute obor u naacutesledujiacuteciacutech funkciacute
a) f(x) = ln(x+1)
Aby byla funkce definovaacutena musiacute byacutet argument logaritmu většiacute než 0 Definičniacute obor teacuteto
funkce zjistiacuteme naacutesledovně
x+1 gt 0
x gt -1
Tedy platiacute D(f) = (-1 + ) Na obraacutezku vidiacuteme graf funkce Z obraacutezku je naacutezorně vidět i
definičniacute obor vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
infin
11
1
x+8+radic xb) h(x) =
Tato funkce je definovaacutena pouze pokud jmenovatel funkce se nerovnaacute 0 a zaacuterověň funkce
pod odmocninou je většiacute než 0
Teď viacuteme že do definičniacuteho oboru teacuteto funkce nebude patřit bod x = -8
Definičniacute obor odmocniny x ge 0
Nyniacute musiacuteme udělat průnik podmiacutenek pro definičniacute obor funkce h(x) tedy x se nesmiacute
rovnat -8 a zaacuteroveň x musiacute byacutet většiacute nebo rovno 0 Tedy D(h) = lt0 +infin)
Spraacutevnost vyacutepočtu opět potvrdiacuteme na naacutesledujiacuteciacutem grafu
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
x+8ne0xneminus8
12
5minusx
x+1
5minusx
x+1
5minusx
x+1
12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y
Pro zjištěniacute průběhu funkce musiacuteme vypočiacutetat průsečiacuteky funkce s osou x i s osou y
Průsečiacutek s osou x
Maacuteme-li funkci y=f(x) průsečiacutek s osou x ziacuteskaacuteme tak že za y dosadiacuteme 0 (jelikož pro
všechny body na ose x platiacute souřadnice [x0]) a uacutepravami ziacuteskaacuteme z rovnice hodnotu x
Řešiacuteme tedy rovnici 0=f(x)
Průsečiacutek s osou y
Ve funkci y=f(x) ziacuteskaacuteme průsečiacutek s osou y dosazeniacutem 0 za x ve vyacuterazu f(x) (pro všechny
body na ose y platiacute naacutesledujiacuteciacute souřadnice [0y]) a opět pomociacute uacuteprav ziacuteskaacuteme hodnotu
bodu y Řešiacuteme rovnici y = f(0)
121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady
Př Zjistěte průsečiacuteky s osami x a y u naacutesledujiacuteciacute funkce
f(x) y =
Řešeniacute
Průsečiacutek s osou x funkce y = (dosadiacuteme tedy y = 0)
0 = (x+1)
0 = 5-x
x = 5
Průsečiacutek s osou y zjistiacuteme tak že za x dosadiacuteme 0
y = 5
Viacuteme tedy že zadanaacute funkce f(x) protiacutenaacute osu x v bodě X = [5 0] a osu y v bodě Y = [0 5]
Na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku grafu funkce vidiacuteme průběh funkce i vyznačeneacute průsečiacuteky
s osami x a y
13
forallxisin D( f ) existT isin Rminus0 x+T isinD( f )and f (x+T ) = f (x)
existKgt0 forallxisinA f ( x)⩽K
forallxisinD( f ) f (minusx)= f (x)
forallxisinD( f ) f (minusx)=minus f (x)
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
13 Speciaacutelniacute typy funkciacute
Funkce f y = f(x) x ∊ D(f) je
funkce sudaacute praacutevě když
funkce lichaacute praacutevě když
funkce periodickaacute praacutevě když
T se nazyacutevaacute perioda funkce
funkce omezenaacute zdola na množině AsubD(f) praacutevě když je zdola omezenaacute množina f(A)
funkce omezenaacute shora na množině AsubD(f) praacutevě když je shora omezenaacute množina f(A)
funkce omezenaacute na množině AsubD(f) praacutevě když je omezenaacute zdola i shora tj praacutevě když
je omezenaacute množina f(A)
Funkce f kteraacute je prostyacutem zobrazeniacutem D(f) rarr ℝ tj u niacutež pro každou dvojici x1 x2 ∊ D(f)
x1 ne x2 je takeacute f(x1) nef(x2) se nazyacutevaacute prostaacute funkce
[4]
existKgt0forallx isinA f (x)geminusK
existKgt0 forallxisinA ∣f (x)∣⩽K
14
Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
15
xrarralim f ( x)=b
xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
14 Limity funkce
Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu
Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke
každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute
interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho
okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0
Definice limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje
takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute
hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu
ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute
(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu
16
x0notinD( f )
xrarr x0
lim f ( x)=b
xrarr x0xrarr x0
xrarr+infinxrarrminusinfin
xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu
k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna
nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme
[2]
Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru
(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))
Definice limity podle Heineho
Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity
posloupnosti
a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0
konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute
v bodě x0 limitu b a piacutešeme
b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin
(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)
limitu b a piacutešeme
17
xrarr+infin xrarrminusinfin
xrarr+infin xrarrminusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin
lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin
x rarr x0
lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0
lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
limf (x )
g ( x)=
lim f ( x)
lim g ( x)=
b
c cne0
xrarr x0
d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když
Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu
b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku
[1]
141 Algebra limit
Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu
x0=plusmn infin)
Potom existujiacute limity funkciacute
f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D
a platiacute
1 součet a rozdiacutel limit
2 součin limit
3 podiacutel limit
[1]
forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε
0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε
Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)
18
lim f ( x)
lim f ( x)xrarra
x rarr a+
142 Jednostranneacute limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute
lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f
v bodě a budeme zapisovat takto
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η
agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě
a budeme zapisovat takto
[2]
19
lim 8 xminus6
=lim (8
x6)=+infin
xrarr0xrarr0
lim (( x
2minus1)
(x2minusx)
)=lim ((( xminus1)( x+1))
(x (xminus1)))=lim (
( x+1)
x)=2
xrarr1 xrarr1 xrarr1
lim (xminus7
1minuse2x
)=minusinfin
xrarrminusinfin
lim (minus2x
radicx2minus4
)=lim (minus2x
xradic(1minus4
x2)
)=lim (minus2
radic1minus4
x2
)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin
143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady
Vypočtěte limity
1)
V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se
bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin
2)
V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se
vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity
vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a
zleva
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
3)
e2x
jde v limitě k 0
Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno
4)
V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě
k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli
Vyacutesledek je tedy -2
20
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0
h=xminusa
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim f ( x)= f (a)xrarra
nrarr+infinnrarr+infin
lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))
+
15 Spojitost funkce
Definice spojitosti funkce
Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když
[2]
Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto
[1]
Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když
Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když
Kriteacuteria spojitosti
a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když
b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost
xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně
c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)
a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)
[1]
Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li
naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c
[5]
forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε
stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε
21
x0notinD( f )
limx
x2minus1
=+infin
xrarrminus1
xrarrminus1
limx
x2minus1
=minusinfin
limx
x2minus1
=+infin
xrarr1
limx
x2minus1
=minusinfin
xrarr1
151 Body nespojitosti
Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0
(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru
nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale
neniacute v něm spojitaacute
Když
1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti
2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce
f
3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod
nespojitosti 2 druhu
[1]
Př Najděte body nespojitosti funkce f
D(f) = R--11 body nespojitosti -11
Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem
zaacutepornyacutem čiacuteslem
Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule
Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti
II druhu
Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1
Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno
V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin
f (x )=x
x2minus1
+
+
22
lim (f ( x0+h)minus f ( x0)
h)
hrarr0
y=f ( x)
g (x )
h=xminusx0
Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II
druhu
16 Derivace funkce
Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute
limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute
Derivace funkce y = yacute
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0
derivaci a platiacute
Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)+g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě
derivaci i funkce a platiacute
Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě
z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)
[2]
yacute=kf acute( x0)
yacute= f acute( x0)+gacute (x0)
yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)
y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)
g2( x0)
23
1
xlna
1
x
1
cos2( x)
minus1
sin2(x )
1
radic1minus x2
minus1
radic1minus x2
1
1+x2
minus1
1+x2
1
cosh2(x)
minus1
sinh2(x )
1
radicx2+11
radicx2minus1
1
1minusx2
1
1minusx2
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])
Funkce Derivace funkce Podmiacutenky
k
x
xn
x-n
xα
ax
ex
loga(x)
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tg(x)
cotg(x)
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arccotg(x)
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
cotgh(x)
argsinh(x)
argcosh(x)
argtgh(x)
argcotgh(x)
0
1
nxn-1
-nx-n-1
αxα-1
axln(a)
ex
cos(x)
-sin(x)
cosh(x)
sinh(x)
k je konstanta k ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ n ∊ ℕ
x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ
xgt0 α ∊ ℝ
x ∊ agt0
x ∊ ℝ
xgt0 agt0 ane1
xgt0
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ
x ne kπ k ∊ ℤ
x ∊ (-11)
x ∊ (-11)
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ - 0
x ∊ ℝ
x ∊ (1 +infin)
x ∊ (-1 1)
x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)
24
x rarrinfin
limf (x )
g (x )=lim
f acute (x)
gacute (x )x rarrinfin
162 LacuteHospitalovo pravidlo
Věta (LHospitalovo pravidlo)
Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g
limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu
pak
za předpokladu že limita na praveacute straně existuje
LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute
f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin
a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0
b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin
[3]
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam
Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě
klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a
Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii
25
Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute
Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x) lt f(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima
b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima
Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto
bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem
[2]
Fermatova podmiacutenka extreacutemu
Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet
derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce
v tomto bodě extreacutem
[6]
Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je
miacutesto toho v bodě a spojitaacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
Prohlašuji že jsem bakalaacuteřskou praacuteci na teacutema Vyšetřovaacuteniacute
průběhu funkciacute ndash řešeneacute přiacutekladylsquolsquo vypracovala samostatně
s použitiacutem uvedeneacute literatury a zdrojů informaciacute
V Plzni dnehelliphelliphellip
Lucie Ceplechovaacute
Raacuteda bych poděkovala vedouciacutemu meacute bakalaacuteřskeacute praacutece panu PhDr Lukaacuteši Honziacutekovi
PhD za poskytnutiacute užitečnyacutech rad dobryacutech naacutepadů a připomiacutenek během praacutece na teacuteto
bakalaacuteřskeacute praacuteci
6
Obsah
Uacutevod 7
1 Teoretickyacute zaacuteklad vyšetřovaacuteniacute průběhu funkciacute s jednou proměnnou 8
11 Definice funkce jedneacute proměnneacute zaacutekladniacute pojmy 8
111 Definičniacute obor - přiacuteklady 10
12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y 12
121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady 12
13 Speciaacutelniacute typy funkciacute 13
14 Limity funkce 15
141 Algebra limit 17
142 Jednostranneacute limity 18
143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady 19
15 Spojitost funkce 20
151 Body nespojitosti 21
16 Derivace funkce 22
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute 23
162 LacuteHospitalovo pravidlo 24
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam 24
164 Druhaacute derivace 26
2 Řešeneacute přiacuteklady 29
Zaacutevěr 47
Resumeacute 48
Seznam literatury 49
Seznam obraacutezků a tabulek 50
7
Uacutevod
Bakalaacuteřskaacute praacutece se zabyacutevaacute vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkciacute o jedneacute a viacutece proměnnyacutech
Ačkoliv je funkce o jedneacute proměnneacute často probiacuteraneacute teacutema rozhodla jsem se ho zpracovat
komplexně a rozšiacuteřit o problematiku s viacutece proměnnyacutemi
Praacutece je rozdělena do dvou čaacutestiacute V prvniacute čaacutesti se zabyacutevaacutem teoretickyacutem vyšetřovaacuteniacutem
průběhu funkciacute V teacuteto čaacutesti jsou podrobně rozepsaacuteny všechny potřebneacute kroky ke zjištěniacute
průběhu funkce
V druheacute čaacutesti teacuteto bakalaacuteřskeacute praacutece aplikuji na konkreacutetniacutech přiacutekladech kroky uvedeneacute
v prvniacute čaacutesti Všechny uvedeneacute přiacuteklady jsou funkce s jednou proměnnou V teacuteto čaacutesti jsou
uvedeny různeacute druhy přiacutekladů o různyacutech obtiacutežnostech Každyacute přiacuteklad je doplněn grafem
tak aby čtenaacuteř dokaacutezal plně pochopit problematiku daneacuteho přiacutekladu
8
1 Teoretickyacute zaacuteklad vyšetřovaacuteniacute průběhu funkciacute s jednou proměnnou
11 Definice funkce jedneacute proměnneacute zaacutekladniacute pojmy
Pro možnost vyšetřovat funkce je důležiteacute co funkce je
Nechť Dsubℝ Zobrazeniacute f D↦ ℝ nazyacutevaacuteme reaacutelnou funkciacute jedneacute reaacutelneacute proměnneacute
(každeacutemu prvku množiny D je přiřazeno praacutevě jedno čiacuteslo z množiny ℝ)
Prvkům množiny D řiacutekaacuteme vzory argumenty nezaacutevisleacute proměnneacute a značiacuteme je
xtshellip∊D jejich obrazy značiacuteme f(x) f(t) f(s)hellip∊ ℝ a nazyacutevaacuteme funkčniacute hodnoty
Množina D se nazyacutevaacute definičniacute obor funkce a takeacute se značiacute D=D(f) množina obrazů se
nazyacutevaacute obor hodnot a značiacute se H=H(f) Nejčastěji piacutešeme
y = f(x) x∊D nebo f x↦f(x) x∊ D
Graf funkce f je množina G dvojic [x f(x)] x∊D tj Gf = DtimesHsubℝ2 Řiacutekaacuteme že funkce je
daacutena je-li daacuteno přiřazeniacute f a definičniacute obor D(f)
[1]
Nejčastějšiacute způsoby zadaacuteniacute funkciacute
a) Analytickeacute zadaacuteniacute
Funkčniacute předpis je daacuten rovniciacute nebo soustavou rovnic (zpravidla jde o jeho explicitniacute
implicitniacute nebo parametrickeacute vyjaacutedřeniacute) Pokud je funkčniacute předpis zadaacuten ve tvaru y = f(x)
jednaacute se o explicitniacute vyjaacutedřeniacute Funkčniacute předpis je zadaacuten implicitně pokud je ve tvaru
F(x y) = 0 resp F(x f(x)) = 0 Parametrickeacute vyjaacutedřeniacute znamenaacute že funkčniacute předpis
funkce f je zadaacuten ve tvaru soustavy rovnic s parametrem např x = ϕ(t) y = ϕ(t) kde t je
parametr s danyacutem oborem proměnnosti zpravidla t ∊ ltα βgt α β ∊ ℝ
(ℝ = ℝ cup -infin +infin)
b) Grafickeacute zadaacuteniacute ndash funkce je daacutena svyacutem grafem
c) Tabelaacuterniacute zadaacuteniacute ndash pro konečnyacute počet uspořaacutedanyacutech dvojic [x y] ∊ f může byacutet funkce
určena jejich vyacutečtem
[4]
9
Množina všech bodů [x f(x)] v karteacutezskeacutem souřadnicoveacutem systeacutemu se nazyacutevaacute graf funkce
f
Na naacutesledujiacuteciacutem obraacutezku je znaacutezorněn přiacutepad ve ktereacutem se nejednaacute o graf funkce jelikož
neniacute splněna podmiacutenka uvedenaacute v definici funkce Důkaz tohoto tvrzeniacute je evidentniacute např
v bodě x = 0 (bod A) pro kteryacute platiacute že f(0) = 2 (bod B) a zaacuteroveň f(0)= -2 (bod C)
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
V naacutesledujiacuteciacutem grafu se jednaacute o graf funkce jelikož je splněna vyacuteše uvedenaacute definice
funkce
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
10
Funkce g D(g) rarr ℝ se nazyacutevaacute restrikce funkce f D(f)rarrℝ jestliže D(g) sub D(f) a pro
všechna x definičniacuteho oboru platiacute g(x) = f(x)
Funkce f g se rovnajiacute jestliže D(g)=D(f) a pro všechna x definičniacuteho oboru platiacute
g(x) = f(x)
Nechť D(g) = D(f) potom pomociacute naacutesledujiacuteciacutech předpisů definujeme
součet funkciacute f + g x rarr f(x) + g(x)
rozdiacutel funkciacute f - g xrarr f(x) - g(x)
součin funkciacute f g x rarr f(x) g(x)
podiacutel funkciacute fg x rarr f(x)g(x) g(x) ne 0
naacutesobek funkce αf x rarrαf(x) α ∊ ℝ
[8]
111 DEFINIČNIacute OBOR - PŘIacuteKLADY
Př 1 Určete definičniacute obor u naacutesledujiacuteciacutech funkciacute
a) f(x) = ln(x+1)
Aby byla funkce definovaacutena musiacute byacutet argument logaritmu většiacute než 0 Definičniacute obor teacuteto
funkce zjistiacuteme naacutesledovně
x+1 gt 0
x gt -1
Tedy platiacute D(f) = (-1 + ) Na obraacutezku vidiacuteme graf funkce Z obraacutezku je naacutezorně vidět i
definičniacute obor vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
infin
11
1
x+8+radic xb) h(x) =
Tato funkce je definovaacutena pouze pokud jmenovatel funkce se nerovnaacute 0 a zaacuterověň funkce
pod odmocninou je většiacute než 0
Teď viacuteme že do definičniacuteho oboru teacuteto funkce nebude patřit bod x = -8
Definičniacute obor odmocniny x ge 0
Nyniacute musiacuteme udělat průnik podmiacutenek pro definičniacute obor funkce h(x) tedy x se nesmiacute
rovnat -8 a zaacuteroveň x musiacute byacutet většiacute nebo rovno 0 Tedy D(h) = lt0 +infin)
Spraacutevnost vyacutepočtu opět potvrdiacuteme na naacutesledujiacuteciacutem grafu
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
x+8ne0xneminus8
12
5minusx
x+1
5minusx
x+1
5minusx
x+1
12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y
Pro zjištěniacute průběhu funkce musiacuteme vypočiacutetat průsečiacuteky funkce s osou x i s osou y
Průsečiacutek s osou x
Maacuteme-li funkci y=f(x) průsečiacutek s osou x ziacuteskaacuteme tak že za y dosadiacuteme 0 (jelikož pro
všechny body na ose x platiacute souřadnice [x0]) a uacutepravami ziacuteskaacuteme z rovnice hodnotu x
Řešiacuteme tedy rovnici 0=f(x)
Průsečiacutek s osou y
Ve funkci y=f(x) ziacuteskaacuteme průsečiacutek s osou y dosazeniacutem 0 za x ve vyacuterazu f(x) (pro všechny
body na ose y platiacute naacutesledujiacuteciacute souřadnice [0y]) a opět pomociacute uacuteprav ziacuteskaacuteme hodnotu
bodu y Řešiacuteme rovnici y = f(0)
121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady
Př Zjistěte průsečiacuteky s osami x a y u naacutesledujiacuteciacute funkce
f(x) y =
Řešeniacute
Průsečiacutek s osou x funkce y = (dosadiacuteme tedy y = 0)
0 = (x+1)
0 = 5-x
x = 5
Průsečiacutek s osou y zjistiacuteme tak že za x dosadiacuteme 0
y = 5
Viacuteme tedy že zadanaacute funkce f(x) protiacutenaacute osu x v bodě X = [5 0] a osu y v bodě Y = [0 5]
Na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku grafu funkce vidiacuteme průběh funkce i vyznačeneacute průsečiacuteky
s osami x a y
13
forallxisin D( f ) existT isin Rminus0 x+T isinD( f )and f (x+T ) = f (x)
existKgt0 forallxisinA f ( x)⩽K
forallxisinD( f ) f (minusx)= f (x)
forallxisinD( f ) f (minusx)=minus f (x)
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
13 Speciaacutelniacute typy funkciacute
Funkce f y = f(x) x ∊ D(f) je
funkce sudaacute praacutevě když
funkce lichaacute praacutevě když
funkce periodickaacute praacutevě když
T se nazyacutevaacute perioda funkce
funkce omezenaacute zdola na množině AsubD(f) praacutevě když je zdola omezenaacute množina f(A)
funkce omezenaacute shora na množině AsubD(f) praacutevě když je shora omezenaacute množina f(A)
funkce omezenaacute na množině AsubD(f) praacutevě když je omezenaacute zdola i shora tj praacutevě když
je omezenaacute množina f(A)
Funkce f kteraacute je prostyacutem zobrazeniacutem D(f) rarr ℝ tj u niacutež pro každou dvojici x1 x2 ∊ D(f)
x1 ne x2 je takeacute f(x1) nef(x2) se nazyacutevaacute prostaacute funkce
[4]
existKgt0forallx isinA f (x)geminusK
existKgt0 forallxisinA ∣f (x)∣⩽K
14
Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
15
xrarralim f ( x)=b
xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
14 Limity funkce
Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu
Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke
každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute
interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho
okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0
Definice limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje
takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute
hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu
ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute
(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu
16
x0notinD( f )
xrarr x0
lim f ( x)=b
xrarr x0xrarr x0
xrarr+infinxrarrminusinfin
xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu
k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna
nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme
[2]
Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru
(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))
Definice limity podle Heineho
Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity
posloupnosti
a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0
konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute
v bodě x0 limitu b a piacutešeme
b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin
(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)
limitu b a piacutešeme
17
xrarr+infin xrarrminusinfin
xrarr+infin xrarrminusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin
lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin
x rarr x0
lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0
lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
limf (x )
g ( x)=
lim f ( x)
lim g ( x)=
b
c cne0
xrarr x0
d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když
Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu
b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku
[1]
141 Algebra limit
Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu
x0=plusmn infin)
Potom existujiacute limity funkciacute
f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D
a platiacute
1 součet a rozdiacutel limit
2 součin limit
3 podiacutel limit
[1]
forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε
0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε
Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)
18
lim f ( x)
lim f ( x)xrarra
x rarr a+
142 Jednostranneacute limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute
lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f
v bodě a budeme zapisovat takto
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η
agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě
a budeme zapisovat takto
[2]
19
lim 8 xminus6
=lim (8
x6)=+infin
xrarr0xrarr0
lim (( x
2minus1)
(x2minusx)
)=lim ((( xminus1)( x+1))
(x (xminus1)))=lim (
( x+1)
x)=2
xrarr1 xrarr1 xrarr1
lim (xminus7
1minuse2x
)=minusinfin
xrarrminusinfin
lim (minus2x
radicx2minus4
)=lim (minus2x
xradic(1minus4
x2)
)=lim (minus2
radic1minus4
x2
)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin
143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady
Vypočtěte limity
1)
V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se
bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin
2)
V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se
vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity
vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a
zleva
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
3)
e2x
jde v limitě k 0
Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno
4)
V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě
k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli
Vyacutesledek je tedy -2
20
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0
h=xminusa
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim f ( x)= f (a)xrarra
nrarr+infinnrarr+infin
lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))
+
15 Spojitost funkce
Definice spojitosti funkce
Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když
[2]
Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto
[1]
Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když
Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když
Kriteacuteria spojitosti
a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když
b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost
xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně
c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)
a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)
[1]
Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li
naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c
[5]
forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε
stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε
21
x0notinD( f )
limx
x2minus1
=+infin
xrarrminus1
xrarrminus1
limx
x2minus1
=minusinfin
limx
x2minus1
=+infin
xrarr1
limx
x2minus1
=minusinfin
xrarr1
151 Body nespojitosti
Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0
(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru
nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale
neniacute v něm spojitaacute
Když
1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti
2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce
f
3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod
nespojitosti 2 druhu
[1]
Př Najděte body nespojitosti funkce f
D(f) = R--11 body nespojitosti -11
Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem
zaacutepornyacutem čiacuteslem
Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule
Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti
II druhu
Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1
Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno
V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin
f (x )=x
x2minus1
+
+
22
lim (f ( x0+h)minus f ( x0)
h)
hrarr0
y=f ( x)
g (x )
h=xminusx0
Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II
druhu
16 Derivace funkce
Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute
limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute
Derivace funkce y = yacute
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0
derivaci a platiacute
Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)+g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě
derivaci i funkce a platiacute
Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě
z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)
[2]
yacute=kf acute( x0)
yacute= f acute( x0)+gacute (x0)
yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)
y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)
g2( x0)
23
1
xlna
1
x
1
cos2( x)
minus1
sin2(x )
1
radic1minus x2
minus1
radic1minus x2
1
1+x2
minus1
1+x2
1
cosh2(x)
minus1
sinh2(x )
1
radicx2+11
radicx2minus1
1
1minusx2
1
1minusx2
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])
Funkce Derivace funkce Podmiacutenky
k
x
xn
x-n
xα
ax
ex
loga(x)
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tg(x)
cotg(x)
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arccotg(x)
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
cotgh(x)
argsinh(x)
argcosh(x)
argtgh(x)
argcotgh(x)
0
1
nxn-1
-nx-n-1
αxα-1
axln(a)
ex
cos(x)
-sin(x)
cosh(x)
sinh(x)
k je konstanta k ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ n ∊ ℕ
x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ
xgt0 α ∊ ℝ
x ∊ agt0
x ∊ ℝ
xgt0 agt0 ane1
xgt0
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ
x ne kπ k ∊ ℤ
x ∊ (-11)
x ∊ (-11)
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ - 0
x ∊ ℝ
x ∊ (1 +infin)
x ∊ (-1 1)
x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)
24
x rarrinfin
limf (x )
g (x )=lim
f acute (x)
gacute (x )x rarrinfin
162 LacuteHospitalovo pravidlo
Věta (LHospitalovo pravidlo)
Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g
limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu
pak
za předpokladu že limita na praveacute straně existuje
LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute
f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin
a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0
b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin
[3]
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam
Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě
klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a
Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii
25
Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute
Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x) lt f(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima
b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima
Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto
bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem
[2]
Fermatova podmiacutenka extreacutemu
Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet
derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce
v tomto bodě extreacutem
[6]
Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je
miacutesto toho v bodě a spojitaacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
Raacuteda bych poděkovala vedouciacutemu meacute bakalaacuteřskeacute praacutece panu PhDr Lukaacuteši Honziacutekovi
PhD za poskytnutiacute užitečnyacutech rad dobryacutech naacutepadů a připomiacutenek během praacutece na teacuteto
bakalaacuteřskeacute praacuteci
6
Obsah
Uacutevod 7
1 Teoretickyacute zaacuteklad vyšetřovaacuteniacute průběhu funkciacute s jednou proměnnou 8
11 Definice funkce jedneacute proměnneacute zaacutekladniacute pojmy 8
111 Definičniacute obor - přiacuteklady 10
12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y 12
121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady 12
13 Speciaacutelniacute typy funkciacute 13
14 Limity funkce 15
141 Algebra limit 17
142 Jednostranneacute limity 18
143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady 19
15 Spojitost funkce 20
151 Body nespojitosti 21
16 Derivace funkce 22
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute 23
162 LacuteHospitalovo pravidlo 24
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam 24
164 Druhaacute derivace 26
2 Řešeneacute přiacuteklady 29
Zaacutevěr 47
Resumeacute 48
Seznam literatury 49
Seznam obraacutezků a tabulek 50
7
Uacutevod
Bakalaacuteřskaacute praacutece se zabyacutevaacute vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkciacute o jedneacute a viacutece proměnnyacutech
Ačkoliv je funkce o jedneacute proměnneacute často probiacuteraneacute teacutema rozhodla jsem se ho zpracovat
komplexně a rozšiacuteřit o problematiku s viacutece proměnnyacutemi
Praacutece je rozdělena do dvou čaacutestiacute V prvniacute čaacutesti se zabyacutevaacutem teoretickyacutem vyšetřovaacuteniacutem
průběhu funkciacute V teacuteto čaacutesti jsou podrobně rozepsaacuteny všechny potřebneacute kroky ke zjištěniacute
průběhu funkce
V druheacute čaacutesti teacuteto bakalaacuteřskeacute praacutece aplikuji na konkreacutetniacutech přiacutekladech kroky uvedeneacute
v prvniacute čaacutesti Všechny uvedeneacute přiacuteklady jsou funkce s jednou proměnnou V teacuteto čaacutesti jsou
uvedeny různeacute druhy přiacutekladů o různyacutech obtiacutežnostech Každyacute přiacuteklad je doplněn grafem
tak aby čtenaacuteř dokaacutezal plně pochopit problematiku daneacuteho přiacutekladu
8
1 Teoretickyacute zaacuteklad vyšetřovaacuteniacute průběhu funkciacute s jednou proměnnou
11 Definice funkce jedneacute proměnneacute zaacutekladniacute pojmy
Pro možnost vyšetřovat funkce je důležiteacute co funkce je
Nechť Dsubℝ Zobrazeniacute f D↦ ℝ nazyacutevaacuteme reaacutelnou funkciacute jedneacute reaacutelneacute proměnneacute
(každeacutemu prvku množiny D je přiřazeno praacutevě jedno čiacuteslo z množiny ℝ)
Prvkům množiny D řiacutekaacuteme vzory argumenty nezaacutevisleacute proměnneacute a značiacuteme je
xtshellip∊D jejich obrazy značiacuteme f(x) f(t) f(s)hellip∊ ℝ a nazyacutevaacuteme funkčniacute hodnoty
Množina D se nazyacutevaacute definičniacute obor funkce a takeacute se značiacute D=D(f) množina obrazů se
nazyacutevaacute obor hodnot a značiacute se H=H(f) Nejčastěji piacutešeme
y = f(x) x∊D nebo f x↦f(x) x∊ D
Graf funkce f je množina G dvojic [x f(x)] x∊D tj Gf = DtimesHsubℝ2 Řiacutekaacuteme že funkce je
daacutena je-li daacuteno přiřazeniacute f a definičniacute obor D(f)
[1]
Nejčastějšiacute způsoby zadaacuteniacute funkciacute
a) Analytickeacute zadaacuteniacute
Funkčniacute předpis je daacuten rovniciacute nebo soustavou rovnic (zpravidla jde o jeho explicitniacute
implicitniacute nebo parametrickeacute vyjaacutedřeniacute) Pokud je funkčniacute předpis zadaacuten ve tvaru y = f(x)
jednaacute se o explicitniacute vyjaacutedřeniacute Funkčniacute předpis je zadaacuten implicitně pokud je ve tvaru
F(x y) = 0 resp F(x f(x)) = 0 Parametrickeacute vyjaacutedřeniacute znamenaacute že funkčniacute předpis
funkce f je zadaacuten ve tvaru soustavy rovnic s parametrem např x = ϕ(t) y = ϕ(t) kde t je
parametr s danyacutem oborem proměnnosti zpravidla t ∊ ltα βgt α β ∊ ℝ
(ℝ = ℝ cup -infin +infin)
b) Grafickeacute zadaacuteniacute ndash funkce je daacutena svyacutem grafem
c) Tabelaacuterniacute zadaacuteniacute ndash pro konečnyacute počet uspořaacutedanyacutech dvojic [x y] ∊ f může byacutet funkce
určena jejich vyacutečtem
[4]
9
Množina všech bodů [x f(x)] v karteacutezskeacutem souřadnicoveacutem systeacutemu se nazyacutevaacute graf funkce
f
Na naacutesledujiacuteciacutem obraacutezku je znaacutezorněn přiacutepad ve ktereacutem se nejednaacute o graf funkce jelikož
neniacute splněna podmiacutenka uvedenaacute v definici funkce Důkaz tohoto tvrzeniacute je evidentniacute např
v bodě x = 0 (bod A) pro kteryacute platiacute že f(0) = 2 (bod B) a zaacuteroveň f(0)= -2 (bod C)
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
V naacutesledujiacuteciacutem grafu se jednaacute o graf funkce jelikož je splněna vyacuteše uvedenaacute definice
funkce
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
10
Funkce g D(g) rarr ℝ se nazyacutevaacute restrikce funkce f D(f)rarrℝ jestliže D(g) sub D(f) a pro
všechna x definičniacuteho oboru platiacute g(x) = f(x)
Funkce f g se rovnajiacute jestliže D(g)=D(f) a pro všechna x definičniacuteho oboru platiacute
g(x) = f(x)
Nechť D(g) = D(f) potom pomociacute naacutesledujiacuteciacutech předpisů definujeme
součet funkciacute f + g x rarr f(x) + g(x)
rozdiacutel funkciacute f - g xrarr f(x) - g(x)
součin funkciacute f g x rarr f(x) g(x)
podiacutel funkciacute fg x rarr f(x)g(x) g(x) ne 0
naacutesobek funkce αf x rarrαf(x) α ∊ ℝ
[8]
111 DEFINIČNIacute OBOR - PŘIacuteKLADY
Př 1 Určete definičniacute obor u naacutesledujiacuteciacutech funkciacute
a) f(x) = ln(x+1)
Aby byla funkce definovaacutena musiacute byacutet argument logaritmu většiacute než 0 Definičniacute obor teacuteto
funkce zjistiacuteme naacutesledovně
x+1 gt 0
x gt -1
Tedy platiacute D(f) = (-1 + ) Na obraacutezku vidiacuteme graf funkce Z obraacutezku je naacutezorně vidět i
definičniacute obor vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
infin
11
1
x+8+radic xb) h(x) =
Tato funkce je definovaacutena pouze pokud jmenovatel funkce se nerovnaacute 0 a zaacuterověň funkce
pod odmocninou je většiacute než 0
Teď viacuteme že do definičniacuteho oboru teacuteto funkce nebude patřit bod x = -8
Definičniacute obor odmocniny x ge 0
Nyniacute musiacuteme udělat průnik podmiacutenek pro definičniacute obor funkce h(x) tedy x se nesmiacute
rovnat -8 a zaacuteroveň x musiacute byacutet většiacute nebo rovno 0 Tedy D(h) = lt0 +infin)
Spraacutevnost vyacutepočtu opět potvrdiacuteme na naacutesledujiacuteciacutem grafu
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
x+8ne0xneminus8
12
5minusx
x+1
5minusx
x+1
5minusx
x+1
12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y
Pro zjištěniacute průběhu funkce musiacuteme vypočiacutetat průsečiacuteky funkce s osou x i s osou y
Průsečiacutek s osou x
Maacuteme-li funkci y=f(x) průsečiacutek s osou x ziacuteskaacuteme tak že za y dosadiacuteme 0 (jelikož pro
všechny body na ose x platiacute souřadnice [x0]) a uacutepravami ziacuteskaacuteme z rovnice hodnotu x
Řešiacuteme tedy rovnici 0=f(x)
Průsečiacutek s osou y
Ve funkci y=f(x) ziacuteskaacuteme průsečiacutek s osou y dosazeniacutem 0 za x ve vyacuterazu f(x) (pro všechny
body na ose y platiacute naacutesledujiacuteciacute souřadnice [0y]) a opět pomociacute uacuteprav ziacuteskaacuteme hodnotu
bodu y Řešiacuteme rovnici y = f(0)
121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady
Př Zjistěte průsečiacuteky s osami x a y u naacutesledujiacuteciacute funkce
f(x) y =
Řešeniacute
Průsečiacutek s osou x funkce y = (dosadiacuteme tedy y = 0)
0 = (x+1)
0 = 5-x
x = 5
Průsečiacutek s osou y zjistiacuteme tak že za x dosadiacuteme 0
y = 5
Viacuteme tedy že zadanaacute funkce f(x) protiacutenaacute osu x v bodě X = [5 0] a osu y v bodě Y = [0 5]
Na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku grafu funkce vidiacuteme průběh funkce i vyznačeneacute průsečiacuteky
s osami x a y
13
forallxisin D( f ) existT isin Rminus0 x+T isinD( f )and f (x+T ) = f (x)
existKgt0 forallxisinA f ( x)⩽K
forallxisinD( f ) f (minusx)= f (x)
forallxisinD( f ) f (minusx)=minus f (x)
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
13 Speciaacutelniacute typy funkciacute
Funkce f y = f(x) x ∊ D(f) je
funkce sudaacute praacutevě když
funkce lichaacute praacutevě když
funkce periodickaacute praacutevě když
T se nazyacutevaacute perioda funkce
funkce omezenaacute zdola na množině AsubD(f) praacutevě když je zdola omezenaacute množina f(A)
funkce omezenaacute shora na množině AsubD(f) praacutevě když je shora omezenaacute množina f(A)
funkce omezenaacute na množině AsubD(f) praacutevě když je omezenaacute zdola i shora tj praacutevě když
je omezenaacute množina f(A)
Funkce f kteraacute je prostyacutem zobrazeniacutem D(f) rarr ℝ tj u niacutež pro každou dvojici x1 x2 ∊ D(f)
x1 ne x2 je takeacute f(x1) nef(x2) se nazyacutevaacute prostaacute funkce
[4]
existKgt0forallx isinA f (x)geminusK
existKgt0 forallxisinA ∣f (x)∣⩽K
14
Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
15
xrarralim f ( x)=b
xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
14 Limity funkce
Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu
Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke
každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute
interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho
okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0
Definice limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje
takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute
hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu
ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute
(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu
16
x0notinD( f )
xrarr x0
lim f ( x)=b
xrarr x0xrarr x0
xrarr+infinxrarrminusinfin
xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu
k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna
nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme
[2]
Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru
(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))
Definice limity podle Heineho
Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity
posloupnosti
a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0
konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute
v bodě x0 limitu b a piacutešeme
b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin
(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)
limitu b a piacutešeme
17
xrarr+infin xrarrminusinfin
xrarr+infin xrarrminusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin
lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin
x rarr x0
lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0
lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
limf (x )
g ( x)=
lim f ( x)
lim g ( x)=
b
c cne0
xrarr x0
d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když
Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu
b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku
[1]
141 Algebra limit
Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu
x0=plusmn infin)
Potom existujiacute limity funkciacute
f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D
a platiacute
1 součet a rozdiacutel limit
2 součin limit
3 podiacutel limit
[1]
forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε
0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε
Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)
18
lim f ( x)
lim f ( x)xrarra
x rarr a+
142 Jednostranneacute limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute
lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f
v bodě a budeme zapisovat takto
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η
agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě
a budeme zapisovat takto
[2]
19
lim 8 xminus6
=lim (8
x6)=+infin
xrarr0xrarr0
lim (( x
2minus1)
(x2minusx)
)=lim ((( xminus1)( x+1))
(x (xminus1)))=lim (
( x+1)
x)=2
xrarr1 xrarr1 xrarr1
lim (xminus7
1minuse2x
)=minusinfin
xrarrminusinfin
lim (minus2x
radicx2minus4
)=lim (minus2x
xradic(1minus4
x2)
)=lim (minus2
radic1minus4
x2
)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin
143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady
Vypočtěte limity
1)
V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se
bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin
2)
V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se
vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity
vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a
zleva
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
3)
e2x
jde v limitě k 0
Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno
4)
V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě
k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli
Vyacutesledek je tedy -2
20
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0
h=xminusa
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim f ( x)= f (a)xrarra
nrarr+infinnrarr+infin
lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))
+
15 Spojitost funkce
Definice spojitosti funkce
Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když
[2]
Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto
[1]
Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když
Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když
Kriteacuteria spojitosti
a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když
b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost
xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně
c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)
a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)
[1]
Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li
naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c
[5]
forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε
stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε
21
x0notinD( f )
limx
x2minus1
=+infin
xrarrminus1
xrarrminus1
limx
x2minus1
=minusinfin
limx
x2minus1
=+infin
xrarr1
limx
x2minus1
=minusinfin
xrarr1
151 Body nespojitosti
Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0
(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru
nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale
neniacute v něm spojitaacute
Když
1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti
2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce
f
3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod
nespojitosti 2 druhu
[1]
Př Najděte body nespojitosti funkce f
D(f) = R--11 body nespojitosti -11
Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem
zaacutepornyacutem čiacuteslem
Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule
Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti
II druhu
Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1
Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno
V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin
f (x )=x
x2minus1
+
+
22
lim (f ( x0+h)minus f ( x0)
h)
hrarr0
y=f ( x)
g (x )
h=xminusx0
Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II
druhu
16 Derivace funkce
Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute
limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute
Derivace funkce y = yacute
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0
derivaci a platiacute
Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)+g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě
derivaci i funkce a platiacute
Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě
z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)
[2]
yacute=kf acute( x0)
yacute= f acute( x0)+gacute (x0)
yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)
y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)
g2( x0)
23
1
xlna
1
x
1
cos2( x)
minus1
sin2(x )
1
radic1minus x2
minus1
radic1minus x2
1
1+x2
minus1
1+x2
1
cosh2(x)
minus1
sinh2(x )
1
radicx2+11
radicx2minus1
1
1minusx2
1
1minusx2
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])
Funkce Derivace funkce Podmiacutenky
k
x
xn
x-n
xα
ax
ex
loga(x)
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tg(x)
cotg(x)
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arccotg(x)
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
cotgh(x)
argsinh(x)
argcosh(x)
argtgh(x)
argcotgh(x)
0
1
nxn-1
-nx-n-1
αxα-1
axln(a)
ex
cos(x)
-sin(x)
cosh(x)
sinh(x)
k je konstanta k ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ n ∊ ℕ
x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ
xgt0 α ∊ ℝ
x ∊ agt0
x ∊ ℝ
xgt0 agt0 ane1
xgt0
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ
x ne kπ k ∊ ℤ
x ∊ (-11)
x ∊ (-11)
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ - 0
x ∊ ℝ
x ∊ (1 +infin)
x ∊ (-1 1)
x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)
24
x rarrinfin
limf (x )
g (x )=lim
f acute (x)
gacute (x )x rarrinfin
162 LacuteHospitalovo pravidlo
Věta (LHospitalovo pravidlo)
Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g
limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu
pak
za předpokladu že limita na praveacute straně existuje
LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute
f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin
a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0
b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin
[3]
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam
Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě
klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a
Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii
25
Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute
Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x) lt f(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima
b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima
Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto
bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem
[2]
Fermatova podmiacutenka extreacutemu
Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet
derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce
v tomto bodě extreacutem
[6]
Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je
miacutesto toho v bodě a spojitaacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
6
Obsah
Uacutevod 7
1 Teoretickyacute zaacuteklad vyšetřovaacuteniacute průběhu funkciacute s jednou proměnnou 8
11 Definice funkce jedneacute proměnneacute zaacutekladniacute pojmy 8
111 Definičniacute obor - přiacuteklady 10
12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y 12
121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady 12
13 Speciaacutelniacute typy funkciacute 13
14 Limity funkce 15
141 Algebra limit 17
142 Jednostranneacute limity 18
143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady 19
15 Spojitost funkce 20
151 Body nespojitosti 21
16 Derivace funkce 22
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute 23
162 LacuteHospitalovo pravidlo 24
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam 24
164 Druhaacute derivace 26
2 Řešeneacute přiacuteklady 29
Zaacutevěr 47
Resumeacute 48
Seznam literatury 49
Seznam obraacutezků a tabulek 50
7
Uacutevod
Bakalaacuteřskaacute praacutece se zabyacutevaacute vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkciacute o jedneacute a viacutece proměnnyacutech
Ačkoliv je funkce o jedneacute proměnneacute často probiacuteraneacute teacutema rozhodla jsem se ho zpracovat
komplexně a rozšiacuteřit o problematiku s viacutece proměnnyacutemi
Praacutece je rozdělena do dvou čaacutestiacute V prvniacute čaacutesti se zabyacutevaacutem teoretickyacutem vyšetřovaacuteniacutem
průběhu funkciacute V teacuteto čaacutesti jsou podrobně rozepsaacuteny všechny potřebneacute kroky ke zjištěniacute
průběhu funkce
V druheacute čaacutesti teacuteto bakalaacuteřskeacute praacutece aplikuji na konkreacutetniacutech přiacutekladech kroky uvedeneacute
v prvniacute čaacutesti Všechny uvedeneacute přiacuteklady jsou funkce s jednou proměnnou V teacuteto čaacutesti jsou
uvedeny různeacute druhy přiacutekladů o různyacutech obtiacutežnostech Každyacute přiacuteklad je doplněn grafem
tak aby čtenaacuteř dokaacutezal plně pochopit problematiku daneacuteho přiacutekladu
8
1 Teoretickyacute zaacuteklad vyšetřovaacuteniacute průběhu funkciacute s jednou proměnnou
11 Definice funkce jedneacute proměnneacute zaacutekladniacute pojmy
Pro možnost vyšetřovat funkce je důležiteacute co funkce je
Nechť Dsubℝ Zobrazeniacute f D↦ ℝ nazyacutevaacuteme reaacutelnou funkciacute jedneacute reaacutelneacute proměnneacute
(každeacutemu prvku množiny D je přiřazeno praacutevě jedno čiacuteslo z množiny ℝ)
Prvkům množiny D řiacutekaacuteme vzory argumenty nezaacutevisleacute proměnneacute a značiacuteme je
xtshellip∊D jejich obrazy značiacuteme f(x) f(t) f(s)hellip∊ ℝ a nazyacutevaacuteme funkčniacute hodnoty
Množina D se nazyacutevaacute definičniacute obor funkce a takeacute se značiacute D=D(f) množina obrazů se
nazyacutevaacute obor hodnot a značiacute se H=H(f) Nejčastěji piacutešeme
y = f(x) x∊D nebo f x↦f(x) x∊ D
Graf funkce f je množina G dvojic [x f(x)] x∊D tj Gf = DtimesHsubℝ2 Řiacutekaacuteme že funkce je
daacutena je-li daacuteno přiřazeniacute f a definičniacute obor D(f)
[1]
Nejčastějšiacute způsoby zadaacuteniacute funkciacute
a) Analytickeacute zadaacuteniacute
Funkčniacute předpis je daacuten rovniciacute nebo soustavou rovnic (zpravidla jde o jeho explicitniacute
implicitniacute nebo parametrickeacute vyjaacutedřeniacute) Pokud je funkčniacute předpis zadaacuten ve tvaru y = f(x)
jednaacute se o explicitniacute vyjaacutedřeniacute Funkčniacute předpis je zadaacuten implicitně pokud je ve tvaru
F(x y) = 0 resp F(x f(x)) = 0 Parametrickeacute vyjaacutedřeniacute znamenaacute že funkčniacute předpis
funkce f je zadaacuten ve tvaru soustavy rovnic s parametrem např x = ϕ(t) y = ϕ(t) kde t je
parametr s danyacutem oborem proměnnosti zpravidla t ∊ ltα βgt α β ∊ ℝ
(ℝ = ℝ cup -infin +infin)
b) Grafickeacute zadaacuteniacute ndash funkce je daacutena svyacutem grafem
c) Tabelaacuterniacute zadaacuteniacute ndash pro konečnyacute počet uspořaacutedanyacutech dvojic [x y] ∊ f může byacutet funkce
určena jejich vyacutečtem
[4]
9
Množina všech bodů [x f(x)] v karteacutezskeacutem souřadnicoveacutem systeacutemu se nazyacutevaacute graf funkce
f
Na naacutesledujiacuteciacutem obraacutezku je znaacutezorněn přiacutepad ve ktereacutem se nejednaacute o graf funkce jelikož
neniacute splněna podmiacutenka uvedenaacute v definici funkce Důkaz tohoto tvrzeniacute je evidentniacute např
v bodě x = 0 (bod A) pro kteryacute platiacute že f(0) = 2 (bod B) a zaacuteroveň f(0)= -2 (bod C)
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
V naacutesledujiacuteciacutem grafu se jednaacute o graf funkce jelikož je splněna vyacuteše uvedenaacute definice
funkce
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
10
Funkce g D(g) rarr ℝ se nazyacutevaacute restrikce funkce f D(f)rarrℝ jestliže D(g) sub D(f) a pro
všechna x definičniacuteho oboru platiacute g(x) = f(x)
Funkce f g se rovnajiacute jestliže D(g)=D(f) a pro všechna x definičniacuteho oboru platiacute
g(x) = f(x)
Nechť D(g) = D(f) potom pomociacute naacutesledujiacuteciacutech předpisů definujeme
součet funkciacute f + g x rarr f(x) + g(x)
rozdiacutel funkciacute f - g xrarr f(x) - g(x)
součin funkciacute f g x rarr f(x) g(x)
podiacutel funkciacute fg x rarr f(x)g(x) g(x) ne 0
naacutesobek funkce αf x rarrαf(x) α ∊ ℝ
[8]
111 DEFINIČNIacute OBOR - PŘIacuteKLADY
Př 1 Určete definičniacute obor u naacutesledujiacuteciacutech funkciacute
a) f(x) = ln(x+1)
Aby byla funkce definovaacutena musiacute byacutet argument logaritmu většiacute než 0 Definičniacute obor teacuteto
funkce zjistiacuteme naacutesledovně
x+1 gt 0
x gt -1
Tedy platiacute D(f) = (-1 + ) Na obraacutezku vidiacuteme graf funkce Z obraacutezku je naacutezorně vidět i
definičniacute obor vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
infin
11
1
x+8+radic xb) h(x) =
Tato funkce je definovaacutena pouze pokud jmenovatel funkce se nerovnaacute 0 a zaacuterověň funkce
pod odmocninou je většiacute než 0
Teď viacuteme že do definičniacuteho oboru teacuteto funkce nebude patřit bod x = -8
Definičniacute obor odmocniny x ge 0
Nyniacute musiacuteme udělat průnik podmiacutenek pro definičniacute obor funkce h(x) tedy x se nesmiacute
rovnat -8 a zaacuteroveň x musiacute byacutet většiacute nebo rovno 0 Tedy D(h) = lt0 +infin)
Spraacutevnost vyacutepočtu opět potvrdiacuteme na naacutesledujiacuteciacutem grafu
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
x+8ne0xneminus8
12
5minusx
x+1
5minusx
x+1
5minusx
x+1
12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y
Pro zjištěniacute průběhu funkce musiacuteme vypočiacutetat průsečiacuteky funkce s osou x i s osou y
Průsečiacutek s osou x
Maacuteme-li funkci y=f(x) průsečiacutek s osou x ziacuteskaacuteme tak že za y dosadiacuteme 0 (jelikož pro
všechny body na ose x platiacute souřadnice [x0]) a uacutepravami ziacuteskaacuteme z rovnice hodnotu x
Řešiacuteme tedy rovnici 0=f(x)
Průsečiacutek s osou y
Ve funkci y=f(x) ziacuteskaacuteme průsečiacutek s osou y dosazeniacutem 0 za x ve vyacuterazu f(x) (pro všechny
body na ose y platiacute naacutesledujiacuteciacute souřadnice [0y]) a opět pomociacute uacuteprav ziacuteskaacuteme hodnotu
bodu y Řešiacuteme rovnici y = f(0)
121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady
Př Zjistěte průsečiacuteky s osami x a y u naacutesledujiacuteciacute funkce
f(x) y =
Řešeniacute
Průsečiacutek s osou x funkce y = (dosadiacuteme tedy y = 0)
0 = (x+1)
0 = 5-x
x = 5
Průsečiacutek s osou y zjistiacuteme tak že za x dosadiacuteme 0
y = 5
Viacuteme tedy že zadanaacute funkce f(x) protiacutenaacute osu x v bodě X = [5 0] a osu y v bodě Y = [0 5]
Na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku grafu funkce vidiacuteme průběh funkce i vyznačeneacute průsečiacuteky
s osami x a y
13
forallxisin D( f ) existT isin Rminus0 x+T isinD( f )and f (x+T ) = f (x)
existKgt0 forallxisinA f ( x)⩽K
forallxisinD( f ) f (minusx)= f (x)
forallxisinD( f ) f (minusx)=minus f (x)
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
13 Speciaacutelniacute typy funkciacute
Funkce f y = f(x) x ∊ D(f) je
funkce sudaacute praacutevě když
funkce lichaacute praacutevě když
funkce periodickaacute praacutevě když
T se nazyacutevaacute perioda funkce
funkce omezenaacute zdola na množině AsubD(f) praacutevě když je zdola omezenaacute množina f(A)
funkce omezenaacute shora na množině AsubD(f) praacutevě když je shora omezenaacute množina f(A)
funkce omezenaacute na množině AsubD(f) praacutevě když je omezenaacute zdola i shora tj praacutevě když
je omezenaacute množina f(A)
Funkce f kteraacute je prostyacutem zobrazeniacutem D(f) rarr ℝ tj u niacutež pro každou dvojici x1 x2 ∊ D(f)
x1 ne x2 je takeacute f(x1) nef(x2) se nazyacutevaacute prostaacute funkce
[4]
existKgt0forallx isinA f (x)geminusK
existKgt0 forallxisinA ∣f (x)∣⩽K
14
Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
15
xrarralim f ( x)=b
xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
14 Limity funkce
Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu
Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke
každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute
interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho
okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0
Definice limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje
takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute
hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu
ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute
(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu
16
x0notinD( f )
xrarr x0
lim f ( x)=b
xrarr x0xrarr x0
xrarr+infinxrarrminusinfin
xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu
k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna
nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme
[2]
Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru
(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))
Definice limity podle Heineho
Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity
posloupnosti
a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0
konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute
v bodě x0 limitu b a piacutešeme
b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin
(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)
limitu b a piacutešeme
17
xrarr+infin xrarrminusinfin
xrarr+infin xrarrminusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin
lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin
x rarr x0
lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0
lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
limf (x )
g ( x)=
lim f ( x)
lim g ( x)=
b
c cne0
xrarr x0
d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když
Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu
b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku
[1]
141 Algebra limit
Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu
x0=plusmn infin)
Potom existujiacute limity funkciacute
f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D
a platiacute
1 součet a rozdiacutel limit
2 součin limit
3 podiacutel limit
[1]
forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε
0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε
Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)
18
lim f ( x)
lim f ( x)xrarra
x rarr a+
142 Jednostranneacute limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute
lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f
v bodě a budeme zapisovat takto
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η
agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě
a budeme zapisovat takto
[2]
19
lim 8 xminus6
=lim (8
x6)=+infin
xrarr0xrarr0
lim (( x
2minus1)
(x2minusx)
)=lim ((( xminus1)( x+1))
(x (xminus1)))=lim (
( x+1)
x)=2
xrarr1 xrarr1 xrarr1
lim (xminus7
1minuse2x
)=minusinfin
xrarrminusinfin
lim (minus2x
radicx2minus4
)=lim (minus2x
xradic(1minus4
x2)
)=lim (minus2
radic1minus4
x2
)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin
143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady
Vypočtěte limity
1)
V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se
bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin
2)
V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se
vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity
vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a
zleva
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
3)
e2x
jde v limitě k 0
Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno
4)
V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě
k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli
Vyacutesledek je tedy -2
20
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0
h=xminusa
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim f ( x)= f (a)xrarra
nrarr+infinnrarr+infin
lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))
+
15 Spojitost funkce
Definice spojitosti funkce
Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když
[2]
Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto
[1]
Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když
Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když
Kriteacuteria spojitosti
a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když
b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost
xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně
c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)
a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)
[1]
Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li
naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c
[5]
forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε
stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε
21
x0notinD( f )
limx
x2minus1
=+infin
xrarrminus1
xrarrminus1
limx
x2minus1
=minusinfin
limx
x2minus1
=+infin
xrarr1
limx
x2minus1
=minusinfin
xrarr1
151 Body nespojitosti
Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0
(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru
nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale
neniacute v něm spojitaacute
Když
1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti
2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce
f
3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod
nespojitosti 2 druhu
[1]
Př Najděte body nespojitosti funkce f
D(f) = R--11 body nespojitosti -11
Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem
zaacutepornyacutem čiacuteslem
Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule
Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti
II druhu
Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1
Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno
V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin
f (x )=x
x2minus1
+
+
22
lim (f ( x0+h)minus f ( x0)
h)
hrarr0
y=f ( x)
g (x )
h=xminusx0
Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II
druhu
16 Derivace funkce
Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute
limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute
Derivace funkce y = yacute
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0
derivaci a platiacute
Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)+g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě
derivaci i funkce a platiacute
Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě
z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)
[2]
yacute=kf acute( x0)
yacute= f acute( x0)+gacute (x0)
yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)
y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)
g2( x0)
23
1
xlna
1
x
1
cos2( x)
minus1
sin2(x )
1
radic1minus x2
minus1
radic1minus x2
1
1+x2
minus1
1+x2
1
cosh2(x)
minus1
sinh2(x )
1
radicx2+11
radicx2minus1
1
1minusx2
1
1minusx2
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])
Funkce Derivace funkce Podmiacutenky
k
x
xn
x-n
xα
ax
ex
loga(x)
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tg(x)
cotg(x)
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arccotg(x)
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
cotgh(x)
argsinh(x)
argcosh(x)
argtgh(x)
argcotgh(x)
0
1
nxn-1
-nx-n-1
αxα-1
axln(a)
ex
cos(x)
-sin(x)
cosh(x)
sinh(x)
k je konstanta k ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ n ∊ ℕ
x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ
xgt0 α ∊ ℝ
x ∊ agt0
x ∊ ℝ
xgt0 agt0 ane1
xgt0
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ
x ne kπ k ∊ ℤ
x ∊ (-11)
x ∊ (-11)
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ - 0
x ∊ ℝ
x ∊ (1 +infin)
x ∊ (-1 1)
x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)
24
x rarrinfin
limf (x )
g (x )=lim
f acute (x)
gacute (x )x rarrinfin
162 LacuteHospitalovo pravidlo
Věta (LHospitalovo pravidlo)
Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g
limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu
pak
za předpokladu že limita na praveacute straně existuje
LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute
f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin
a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0
b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin
[3]
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam
Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě
klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a
Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii
25
Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute
Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x) lt f(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima
b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima
Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto
bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem
[2]
Fermatova podmiacutenka extreacutemu
Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet
derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce
v tomto bodě extreacutem
[6]
Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je
miacutesto toho v bodě a spojitaacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
7
Uacutevod
Bakalaacuteřskaacute praacutece se zabyacutevaacute vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkciacute o jedneacute a viacutece proměnnyacutech
Ačkoliv je funkce o jedneacute proměnneacute často probiacuteraneacute teacutema rozhodla jsem se ho zpracovat
komplexně a rozšiacuteřit o problematiku s viacutece proměnnyacutemi
Praacutece je rozdělena do dvou čaacutestiacute V prvniacute čaacutesti se zabyacutevaacutem teoretickyacutem vyšetřovaacuteniacutem
průběhu funkciacute V teacuteto čaacutesti jsou podrobně rozepsaacuteny všechny potřebneacute kroky ke zjištěniacute
průběhu funkce
V druheacute čaacutesti teacuteto bakalaacuteřskeacute praacutece aplikuji na konkreacutetniacutech přiacutekladech kroky uvedeneacute
v prvniacute čaacutesti Všechny uvedeneacute přiacuteklady jsou funkce s jednou proměnnou V teacuteto čaacutesti jsou
uvedeny různeacute druhy přiacutekladů o různyacutech obtiacutežnostech Každyacute přiacuteklad je doplněn grafem
tak aby čtenaacuteř dokaacutezal plně pochopit problematiku daneacuteho přiacutekladu
8
1 Teoretickyacute zaacuteklad vyšetřovaacuteniacute průběhu funkciacute s jednou proměnnou
11 Definice funkce jedneacute proměnneacute zaacutekladniacute pojmy
Pro možnost vyšetřovat funkce je důležiteacute co funkce je
Nechť Dsubℝ Zobrazeniacute f D↦ ℝ nazyacutevaacuteme reaacutelnou funkciacute jedneacute reaacutelneacute proměnneacute
(každeacutemu prvku množiny D je přiřazeno praacutevě jedno čiacuteslo z množiny ℝ)
Prvkům množiny D řiacutekaacuteme vzory argumenty nezaacutevisleacute proměnneacute a značiacuteme je
xtshellip∊D jejich obrazy značiacuteme f(x) f(t) f(s)hellip∊ ℝ a nazyacutevaacuteme funkčniacute hodnoty
Množina D se nazyacutevaacute definičniacute obor funkce a takeacute se značiacute D=D(f) množina obrazů se
nazyacutevaacute obor hodnot a značiacute se H=H(f) Nejčastěji piacutešeme
y = f(x) x∊D nebo f x↦f(x) x∊ D
Graf funkce f je množina G dvojic [x f(x)] x∊D tj Gf = DtimesHsubℝ2 Řiacutekaacuteme že funkce je
daacutena je-li daacuteno přiřazeniacute f a definičniacute obor D(f)
[1]
Nejčastějšiacute způsoby zadaacuteniacute funkciacute
a) Analytickeacute zadaacuteniacute
Funkčniacute předpis je daacuten rovniciacute nebo soustavou rovnic (zpravidla jde o jeho explicitniacute
implicitniacute nebo parametrickeacute vyjaacutedřeniacute) Pokud je funkčniacute předpis zadaacuten ve tvaru y = f(x)
jednaacute se o explicitniacute vyjaacutedřeniacute Funkčniacute předpis je zadaacuten implicitně pokud je ve tvaru
F(x y) = 0 resp F(x f(x)) = 0 Parametrickeacute vyjaacutedřeniacute znamenaacute že funkčniacute předpis
funkce f je zadaacuten ve tvaru soustavy rovnic s parametrem např x = ϕ(t) y = ϕ(t) kde t je
parametr s danyacutem oborem proměnnosti zpravidla t ∊ ltα βgt α β ∊ ℝ
(ℝ = ℝ cup -infin +infin)
b) Grafickeacute zadaacuteniacute ndash funkce je daacutena svyacutem grafem
c) Tabelaacuterniacute zadaacuteniacute ndash pro konečnyacute počet uspořaacutedanyacutech dvojic [x y] ∊ f může byacutet funkce
určena jejich vyacutečtem
[4]
9
Množina všech bodů [x f(x)] v karteacutezskeacutem souřadnicoveacutem systeacutemu se nazyacutevaacute graf funkce
f
Na naacutesledujiacuteciacutem obraacutezku je znaacutezorněn přiacutepad ve ktereacutem se nejednaacute o graf funkce jelikož
neniacute splněna podmiacutenka uvedenaacute v definici funkce Důkaz tohoto tvrzeniacute je evidentniacute např
v bodě x = 0 (bod A) pro kteryacute platiacute že f(0) = 2 (bod B) a zaacuteroveň f(0)= -2 (bod C)
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
V naacutesledujiacuteciacutem grafu se jednaacute o graf funkce jelikož je splněna vyacuteše uvedenaacute definice
funkce
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
10
Funkce g D(g) rarr ℝ se nazyacutevaacute restrikce funkce f D(f)rarrℝ jestliže D(g) sub D(f) a pro
všechna x definičniacuteho oboru platiacute g(x) = f(x)
Funkce f g se rovnajiacute jestliže D(g)=D(f) a pro všechna x definičniacuteho oboru platiacute
g(x) = f(x)
Nechť D(g) = D(f) potom pomociacute naacutesledujiacuteciacutech předpisů definujeme
součet funkciacute f + g x rarr f(x) + g(x)
rozdiacutel funkciacute f - g xrarr f(x) - g(x)
součin funkciacute f g x rarr f(x) g(x)
podiacutel funkciacute fg x rarr f(x)g(x) g(x) ne 0
naacutesobek funkce αf x rarrαf(x) α ∊ ℝ
[8]
111 DEFINIČNIacute OBOR - PŘIacuteKLADY
Př 1 Určete definičniacute obor u naacutesledujiacuteciacutech funkciacute
a) f(x) = ln(x+1)
Aby byla funkce definovaacutena musiacute byacutet argument logaritmu většiacute než 0 Definičniacute obor teacuteto
funkce zjistiacuteme naacutesledovně
x+1 gt 0
x gt -1
Tedy platiacute D(f) = (-1 + ) Na obraacutezku vidiacuteme graf funkce Z obraacutezku je naacutezorně vidět i
definičniacute obor vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
infin
11
1
x+8+radic xb) h(x) =
Tato funkce je definovaacutena pouze pokud jmenovatel funkce se nerovnaacute 0 a zaacuterověň funkce
pod odmocninou je většiacute než 0
Teď viacuteme že do definičniacuteho oboru teacuteto funkce nebude patřit bod x = -8
Definičniacute obor odmocniny x ge 0
Nyniacute musiacuteme udělat průnik podmiacutenek pro definičniacute obor funkce h(x) tedy x se nesmiacute
rovnat -8 a zaacuteroveň x musiacute byacutet většiacute nebo rovno 0 Tedy D(h) = lt0 +infin)
Spraacutevnost vyacutepočtu opět potvrdiacuteme na naacutesledujiacuteciacutem grafu
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
x+8ne0xneminus8
12
5minusx
x+1
5minusx
x+1
5minusx
x+1
12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y
Pro zjištěniacute průběhu funkce musiacuteme vypočiacutetat průsečiacuteky funkce s osou x i s osou y
Průsečiacutek s osou x
Maacuteme-li funkci y=f(x) průsečiacutek s osou x ziacuteskaacuteme tak že za y dosadiacuteme 0 (jelikož pro
všechny body na ose x platiacute souřadnice [x0]) a uacutepravami ziacuteskaacuteme z rovnice hodnotu x
Řešiacuteme tedy rovnici 0=f(x)
Průsečiacutek s osou y
Ve funkci y=f(x) ziacuteskaacuteme průsečiacutek s osou y dosazeniacutem 0 za x ve vyacuterazu f(x) (pro všechny
body na ose y platiacute naacutesledujiacuteciacute souřadnice [0y]) a opět pomociacute uacuteprav ziacuteskaacuteme hodnotu
bodu y Řešiacuteme rovnici y = f(0)
121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady
Př Zjistěte průsečiacuteky s osami x a y u naacutesledujiacuteciacute funkce
f(x) y =
Řešeniacute
Průsečiacutek s osou x funkce y = (dosadiacuteme tedy y = 0)
0 = (x+1)
0 = 5-x
x = 5
Průsečiacutek s osou y zjistiacuteme tak že za x dosadiacuteme 0
y = 5
Viacuteme tedy že zadanaacute funkce f(x) protiacutenaacute osu x v bodě X = [5 0] a osu y v bodě Y = [0 5]
Na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku grafu funkce vidiacuteme průběh funkce i vyznačeneacute průsečiacuteky
s osami x a y
13
forallxisin D( f ) existT isin Rminus0 x+T isinD( f )and f (x+T ) = f (x)
existKgt0 forallxisinA f ( x)⩽K
forallxisinD( f ) f (minusx)= f (x)
forallxisinD( f ) f (minusx)=minus f (x)
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
13 Speciaacutelniacute typy funkciacute
Funkce f y = f(x) x ∊ D(f) je
funkce sudaacute praacutevě když
funkce lichaacute praacutevě když
funkce periodickaacute praacutevě když
T se nazyacutevaacute perioda funkce
funkce omezenaacute zdola na množině AsubD(f) praacutevě když je zdola omezenaacute množina f(A)
funkce omezenaacute shora na množině AsubD(f) praacutevě když je shora omezenaacute množina f(A)
funkce omezenaacute na množině AsubD(f) praacutevě když je omezenaacute zdola i shora tj praacutevě když
je omezenaacute množina f(A)
Funkce f kteraacute je prostyacutem zobrazeniacutem D(f) rarr ℝ tj u niacutež pro každou dvojici x1 x2 ∊ D(f)
x1 ne x2 je takeacute f(x1) nef(x2) se nazyacutevaacute prostaacute funkce
[4]
existKgt0forallx isinA f (x)geminusK
existKgt0 forallxisinA ∣f (x)∣⩽K
14
Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
15
xrarralim f ( x)=b
xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
14 Limity funkce
Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu
Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke
každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute
interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho
okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0
Definice limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje
takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute
hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu
ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute
(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu
16
x0notinD( f )
xrarr x0
lim f ( x)=b
xrarr x0xrarr x0
xrarr+infinxrarrminusinfin
xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu
k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna
nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme
[2]
Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru
(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))
Definice limity podle Heineho
Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity
posloupnosti
a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0
konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute
v bodě x0 limitu b a piacutešeme
b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin
(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)
limitu b a piacutešeme
17
xrarr+infin xrarrminusinfin
xrarr+infin xrarrminusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin
lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin
x rarr x0
lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0
lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
limf (x )
g ( x)=
lim f ( x)
lim g ( x)=
b
c cne0
xrarr x0
d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když
Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu
b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku
[1]
141 Algebra limit
Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu
x0=plusmn infin)
Potom existujiacute limity funkciacute
f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D
a platiacute
1 součet a rozdiacutel limit
2 součin limit
3 podiacutel limit
[1]
forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε
0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε
Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)
18
lim f ( x)
lim f ( x)xrarra
x rarr a+
142 Jednostranneacute limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute
lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f
v bodě a budeme zapisovat takto
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η
agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě
a budeme zapisovat takto
[2]
19
lim 8 xminus6
=lim (8
x6)=+infin
xrarr0xrarr0
lim (( x
2minus1)
(x2minusx)
)=lim ((( xminus1)( x+1))
(x (xminus1)))=lim (
( x+1)
x)=2
xrarr1 xrarr1 xrarr1
lim (xminus7
1minuse2x
)=minusinfin
xrarrminusinfin
lim (minus2x
radicx2minus4
)=lim (minus2x
xradic(1minus4
x2)
)=lim (minus2
radic1minus4
x2
)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin
143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady
Vypočtěte limity
1)
V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se
bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin
2)
V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se
vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity
vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a
zleva
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
3)
e2x
jde v limitě k 0
Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno
4)
V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě
k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli
Vyacutesledek je tedy -2
20
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0
h=xminusa
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim f ( x)= f (a)xrarra
nrarr+infinnrarr+infin
lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))
+
15 Spojitost funkce
Definice spojitosti funkce
Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když
[2]
Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto
[1]
Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když
Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když
Kriteacuteria spojitosti
a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když
b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost
xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně
c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)
a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)
[1]
Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li
naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c
[5]
forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε
stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε
21
x0notinD( f )
limx
x2minus1
=+infin
xrarrminus1
xrarrminus1
limx
x2minus1
=minusinfin
limx
x2minus1
=+infin
xrarr1
limx
x2minus1
=minusinfin
xrarr1
151 Body nespojitosti
Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0
(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru
nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale
neniacute v něm spojitaacute
Když
1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti
2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce
f
3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod
nespojitosti 2 druhu
[1]
Př Najděte body nespojitosti funkce f
D(f) = R--11 body nespojitosti -11
Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem
zaacutepornyacutem čiacuteslem
Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule
Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti
II druhu
Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1
Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno
V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin
f (x )=x
x2minus1
+
+
22
lim (f ( x0+h)minus f ( x0)
h)
hrarr0
y=f ( x)
g (x )
h=xminusx0
Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II
druhu
16 Derivace funkce
Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute
limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute
Derivace funkce y = yacute
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0
derivaci a platiacute
Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)+g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě
derivaci i funkce a platiacute
Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě
z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)
[2]
yacute=kf acute( x0)
yacute= f acute( x0)+gacute (x0)
yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)
y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)
g2( x0)
23
1
xlna
1
x
1
cos2( x)
minus1
sin2(x )
1
radic1minus x2
minus1
radic1minus x2
1
1+x2
minus1
1+x2
1
cosh2(x)
minus1
sinh2(x )
1
radicx2+11
radicx2minus1
1
1minusx2
1
1minusx2
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])
Funkce Derivace funkce Podmiacutenky
k
x
xn
x-n
xα
ax
ex
loga(x)
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tg(x)
cotg(x)
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arccotg(x)
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
cotgh(x)
argsinh(x)
argcosh(x)
argtgh(x)
argcotgh(x)
0
1
nxn-1
-nx-n-1
αxα-1
axln(a)
ex
cos(x)
-sin(x)
cosh(x)
sinh(x)
k je konstanta k ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ n ∊ ℕ
x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ
xgt0 α ∊ ℝ
x ∊ agt0
x ∊ ℝ
xgt0 agt0 ane1
xgt0
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ
x ne kπ k ∊ ℤ
x ∊ (-11)
x ∊ (-11)
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ - 0
x ∊ ℝ
x ∊ (1 +infin)
x ∊ (-1 1)
x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)
24
x rarrinfin
limf (x )
g (x )=lim
f acute (x)
gacute (x )x rarrinfin
162 LacuteHospitalovo pravidlo
Věta (LHospitalovo pravidlo)
Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g
limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu
pak
za předpokladu že limita na praveacute straně existuje
LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute
f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin
a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0
b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin
[3]
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam
Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě
klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a
Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii
25
Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute
Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x) lt f(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima
b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima
Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto
bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem
[2]
Fermatova podmiacutenka extreacutemu
Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet
derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce
v tomto bodě extreacutem
[6]
Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je
miacutesto toho v bodě a spojitaacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
8
1 Teoretickyacute zaacuteklad vyšetřovaacuteniacute průběhu funkciacute s jednou proměnnou
11 Definice funkce jedneacute proměnneacute zaacutekladniacute pojmy
Pro možnost vyšetřovat funkce je důležiteacute co funkce je
Nechť Dsubℝ Zobrazeniacute f D↦ ℝ nazyacutevaacuteme reaacutelnou funkciacute jedneacute reaacutelneacute proměnneacute
(každeacutemu prvku množiny D je přiřazeno praacutevě jedno čiacuteslo z množiny ℝ)
Prvkům množiny D řiacutekaacuteme vzory argumenty nezaacutevisleacute proměnneacute a značiacuteme je
xtshellip∊D jejich obrazy značiacuteme f(x) f(t) f(s)hellip∊ ℝ a nazyacutevaacuteme funkčniacute hodnoty
Množina D se nazyacutevaacute definičniacute obor funkce a takeacute se značiacute D=D(f) množina obrazů se
nazyacutevaacute obor hodnot a značiacute se H=H(f) Nejčastěji piacutešeme
y = f(x) x∊D nebo f x↦f(x) x∊ D
Graf funkce f je množina G dvojic [x f(x)] x∊D tj Gf = DtimesHsubℝ2 Řiacutekaacuteme že funkce je
daacutena je-li daacuteno přiřazeniacute f a definičniacute obor D(f)
[1]
Nejčastějšiacute způsoby zadaacuteniacute funkciacute
a) Analytickeacute zadaacuteniacute
Funkčniacute předpis je daacuten rovniciacute nebo soustavou rovnic (zpravidla jde o jeho explicitniacute
implicitniacute nebo parametrickeacute vyjaacutedřeniacute) Pokud je funkčniacute předpis zadaacuten ve tvaru y = f(x)
jednaacute se o explicitniacute vyjaacutedřeniacute Funkčniacute předpis je zadaacuten implicitně pokud je ve tvaru
F(x y) = 0 resp F(x f(x)) = 0 Parametrickeacute vyjaacutedřeniacute znamenaacute že funkčniacute předpis
funkce f je zadaacuten ve tvaru soustavy rovnic s parametrem např x = ϕ(t) y = ϕ(t) kde t je
parametr s danyacutem oborem proměnnosti zpravidla t ∊ ltα βgt α β ∊ ℝ
(ℝ = ℝ cup -infin +infin)
b) Grafickeacute zadaacuteniacute ndash funkce je daacutena svyacutem grafem
c) Tabelaacuterniacute zadaacuteniacute ndash pro konečnyacute počet uspořaacutedanyacutech dvojic [x y] ∊ f může byacutet funkce
určena jejich vyacutečtem
[4]
9
Množina všech bodů [x f(x)] v karteacutezskeacutem souřadnicoveacutem systeacutemu se nazyacutevaacute graf funkce
f
Na naacutesledujiacuteciacutem obraacutezku je znaacutezorněn přiacutepad ve ktereacutem se nejednaacute o graf funkce jelikož
neniacute splněna podmiacutenka uvedenaacute v definici funkce Důkaz tohoto tvrzeniacute je evidentniacute např
v bodě x = 0 (bod A) pro kteryacute platiacute že f(0) = 2 (bod B) a zaacuteroveň f(0)= -2 (bod C)
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
V naacutesledujiacuteciacutem grafu se jednaacute o graf funkce jelikož je splněna vyacuteše uvedenaacute definice
funkce
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
10
Funkce g D(g) rarr ℝ se nazyacutevaacute restrikce funkce f D(f)rarrℝ jestliže D(g) sub D(f) a pro
všechna x definičniacuteho oboru platiacute g(x) = f(x)
Funkce f g se rovnajiacute jestliže D(g)=D(f) a pro všechna x definičniacuteho oboru platiacute
g(x) = f(x)
Nechť D(g) = D(f) potom pomociacute naacutesledujiacuteciacutech předpisů definujeme
součet funkciacute f + g x rarr f(x) + g(x)
rozdiacutel funkciacute f - g xrarr f(x) - g(x)
součin funkciacute f g x rarr f(x) g(x)
podiacutel funkciacute fg x rarr f(x)g(x) g(x) ne 0
naacutesobek funkce αf x rarrαf(x) α ∊ ℝ
[8]
111 DEFINIČNIacute OBOR - PŘIacuteKLADY
Př 1 Určete definičniacute obor u naacutesledujiacuteciacutech funkciacute
a) f(x) = ln(x+1)
Aby byla funkce definovaacutena musiacute byacutet argument logaritmu většiacute než 0 Definičniacute obor teacuteto
funkce zjistiacuteme naacutesledovně
x+1 gt 0
x gt -1
Tedy platiacute D(f) = (-1 + ) Na obraacutezku vidiacuteme graf funkce Z obraacutezku je naacutezorně vidět i
definičniacute obor vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
infin
11
1
x+8+radic xb) h(x) =
Tato funkce je definovaacutena pouze pokud jmenovatel funkce se nerovnaacute 0 a zaacuterověň funkce
pod odmocninou je většiacute než 0
Teď viacuteme že do definičniacuteho oboru teacuteto funkce nebude patřit bod x = -8
Definičniacute obor odmocniny x ge 0
Nyniacute musiacuteme udělat průnik podmiacutenek pro definičniacute obor funkce h(x) tedy x se nesmiacute
rovnat -8 a zaacuteroveň x musiacute byacutet většiacute nebo rovno 0 Tedy D(h) = lt0 +infin)
Spraacutevnost vyacutepočtu opět potvrdiacuteme na naacutesledujiacuteciacutem grafu
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
x+8ne0xneminus8
12
5minusx
x+1
5minusx
x+1
5minusx
x+1
12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y
Pro zjištěniacute průběhu funkce musiacuteme vypočiacutetat průsečiacuteky funkce s osou x i s osou y
Průsečiacutek s osou x
Maacuteme-li funkci y=f(x) průsečiacutek s osou x ziacuteskaacuteme tak že za y dosadiacuteme 0 (jelikož pro
všechny body na ose x platiacute souřadnice [x0]) a uacutepravami ziacuteskaacuteme z rovnice hodnotu x
Řešiacuteme tedy rovnici 0=f(x)
Průsečiacutek s osou y
Ve funkci y=f(x) ziacuteskaacuteme průsečiacutek s osou y dosazeniacutem 0 za x ve vyacuterazu f(x) (pro všechny
body na ose y platiacute naacutesledujiacuteciacute souřadnice [0y]) a opět pomociacute uacuteprav ziacuteskaacuteme hodnotu
bodu y Řešiacuteme rovnici y = f(0)
121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady
Př Zjistěte průsečiacuteky s osami x a y u naacutesledujiacuteciacute funkce
f(x) y =
Řešeniacute
Průsečiacutek s osou x funkce y = (dosadiacuteme tedy y = 0)
0 = (x+1)
0 = 5-x
x = 5
Průsečiacutek s osou y zjistiacuteme tak že za x dosadiacuteme 0
y = 5
Viacuteme tedy že zadanaacute funkce f(x) protiacutenaacute osu x v bodě X = [5 0] a osu y v bodě Y = [0 5]
Na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku grafu funkce vidiacuteme průběh funkce i vyznačeneacute průsečiacuteky
s osami x a y
13
forallxisin D( f ) existT isin Rminus0 x+T isinD( f )and f (x+T ) = f (x)
existKgt0 forallxisinA f ( x)⩽K
forallxisinD( f ) f (minusx)= f (x)
forallxisinD( f ) f (minusx)=minus f (x)
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
13 Speciaacutelniacute typy funkciacute
Funkce f y = f(x) x ∊ D(f) je
funkce sudaacute praacutevě když
funkce lichaacute praacutevě když
funkce periodickaacute praacutevě když
T se nazyacutevaacute perioda funkce
funkce omezenaacute zdola na množině AsubD(f) praacutevě když je zdola omezenaacute množina f(A)
funkce omezenaacute shora na množině AsubD(f) praacutevě když je shora omezenaacute množina f(A)
funkce omezenaacute na množině AsubD(f) praacutevě když je omezenaacute zdola i shora tj praacutevě když
je omezenaacute množina f(A)
Funkce f kteraacute je prostyacutem zobrazeniacutem D(f) rarr ℝ tj u niacutež pro každou dvojici x1 x2 ∊ D(f)
x1 ne x2 je takeacute f(x1) nef(x2) se nazyacutevaacute prostaacute funkce
[4]
existKgt0forallx isinA f (x)geminusK
existKgt0 forallxisinA ∣f (x)∣⩽K
14
Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
15
xrarralim f ( x)=b
xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
14 Limity funkce
Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu
Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke
každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute
interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho
okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0
Definice limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje
takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute
hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu
ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute
(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu
16
x0notinD( f )
xrarr x0
lim f ( x)=b
xrarr x0xrarr x0
xrarr+infinxrarrminusinfin
xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu
k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna
nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme
[2]
Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru
(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))
Definice limity podle Heineho
Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity
posloupnosti
a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0
konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute
v bodě x0 limitu b a piacutešeme
b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin
(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)
limitu b a piacutešeme
17
xrarr+infin xrarrminusinfin
xrarr+infin xrarrminusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin
lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin
x rarr x0
lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0
lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
limf (x )
g ( x)=
lim f ( x)
lim g ( x)=
b
c cne0
xrarr x0
d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když
Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu
b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku
[1]
141 Algebra limit
Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu
x0=plusmn infin)
Potom existujiacute limity funkciacute
f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D
a platiacute
1 součet a rozdiacutel limit
2 součin limit
3 podiacutel limit
[1]
forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε
0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε
Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)
18
lim f ( x)
lim f ( x)xrarra
x rarr a+
142 Jednostranneacute limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute
lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f
v bodě a budeme zapisovat takto
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η
agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě
a budeme zapisovat takto
[2]
19
lim 8 xminus6
=lim (8
x6)=+infin
xrarr0xrarr0
lim (( x
2minus1)
(x2minusx)
)=lim ((( xminus1)( x+1))
(x (xminus1)))=lim (
( x+1)
x)=2
xrarr1 xrarr1 xrarr1
lim (xminus7
1minuse2x
)=minusinfin
xrarrminusinfin
lim (minus2x
radicx2minus4
)=lim (minus2x
xradic(1minus4
x2)
)=lim (minus2
radic1minus4
x2
)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin
143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady
Vypočtěte limity
1)
V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se
bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin
2)
V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se
vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity
vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a
zleva
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
3)
e2x
jde v limitě k 0
Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno
4)
V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě
k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli
Vyacutesledek je tedy -2
20
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0
h=xminusa
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim f ( x)= f (a)xrarra
nrarr+infinnrarr+infin
lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))
+
15 Spojitost funkce
Definice spojitosti funkce
Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když
[2]
Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto
[1]
Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když
Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když
Kriteacuteria spojitosti
a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když
b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost
xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně
c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)
a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)
[1]
Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li
naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c
[5]
forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε
stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε
21
x0notinD( f )
limx
x2minus1
=+infin
xrarrminus1
xrarrminus1
limx
x2minus1
=minusinfin
limx
x2minus1
=+infin
xrarr1
limx
x2minus1
=minusinfin
xrarr1
151 Body nespojitosti
Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0
(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru
nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale
neniacute v něm spojitaacute
Když
1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti
2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce
f
3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod
nespojitosti 2 druhu
[1]
Př Najděte body nespojitosti funkce f
D(f) = R--11 body nespojitosti -11
Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem
zaacutepornyacutem čiacuteslem
Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule
Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti
II druhu
Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1
Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno
V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin
f (x )=x
x2minus1
+
+
22
lim (f ( x0+h)minus f ( x0)
h)
hrarr0
y=f ( x)
g (x )
h=xminusx0
Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II
druhu
16 Derivace funkce
Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute
limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute
Derivace funkce y = yacute
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0
derivaci a platiacute
Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)+g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě
derivaci i funkce a platiacute
Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě
z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)
[2]
yacute=kf acute( x0)
yacute= f acute( x0)+gacute (x0)
yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)
y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)
g2( x0)
23
1
xlna
1
x
1
cos2( x)
minus1
sin2(x )
1
radic1minus x2
minus1
radic1minus x2
1
1+x2
minus1
1+x2
1
cosh2(x)
minus1
sinh2(x )
1
radicx2+11
radicx2minus1
1
1minusx2
1
1minusx2
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])
Funkce Derivace funkce Podmiacutenky
k
x
xn
x-n
xα
ax
ex
loga(x)
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tg(x)
cotg(x)
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arccotg(x)
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
cotgh(x)
argsinh(x)
argcosh(x)
argtgh(x)
argcotgh(x)
0
1
nxn-1
-nx-n-1
αxα-1
axln(a)
ex
cos(x)
-sin(x)
cosh(x)
sinh(x)
k je konstanta k ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ n ∊ ℕ
x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ
xgt0 α ∊ ℝ
x ∊ agt0
x ∊ ℝ
xgt0 agt0 ane1
xgt0
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ
x ne kπ k ∊ ℤ
x ∊ (-11)
x ∊ (-11)
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ - 0
x ∊ ℝ
x ∊ (1 +infin)
x ∊ (-1 1)
x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)
24
x rarrinfin
limf (x )
g (x )=lim
f acute (x)
gacute (x )x rarrinfin
162 LacuteHospitalovo pravidlo
Věta (LHospitalovo pravidlo)
Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g
limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu
pak
za předpokladu že limita na praveacute straně existuje
LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute
f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin
a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0
b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin
[3]
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam
Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě
klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a
Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii
25
Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute
Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x) lt f(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima
b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima
Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto
bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem
[2]
Fermatova podmiacutenka extreacutemu
Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet
derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce
v tomto bodě extreacutem
[6]
Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je
miacutesto toho v bodě a spojitaacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
9
Množina všech bodů [x f(x)] v karteacutezskeacutem souřadnicoveacutem systeacutemu se nazyacutevaacute graf funkce
f
Na naacutesledujiacuteciacutem obraacutezku je znaacutezorněn přiacutepad ve ktereacutem se nejednaacute o graf funkce jelikož
neniacute splněna podmiacutenka uvedenaacute v definici funkce Důkaz tohoto tvrzeniacute je evidentniacute např
v bodě x = 0 (bod A) pro kteryacute platiacute že f(0) = 2 (bod B) a zaacuteroveň f(0)= -2 (bod C)
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
V naacutesledujiacuteciacutem grafu se jednaacute o graf funkce jelikož je splněna vyacuteše uvedenaacute definice
funkce
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
10
Funkce g D(g) rarr ℝ se nazyacutevaacute restrikce funkce f D(f)rarrℝ jestliže D(g) sub D(f) a pro
všechna x definičniacuteho oboru platiacute g(x) = f(x)
Funkce f g se rovnajiacute jestliže D(g)=D(f) a pro všechna x definičniacuteho oboru platiacute
g(x) = f(x)
Nechť D(g) = D(f) potom pomociacute naacutesledujiacuteciacutech předpisů definujeme
součet funkciacute f + g x rarr f(x) + g(x)
rozdiacutel funkciacute f - g xrarr f(x) - g(x)
součin funkciacute f g x rarr f(x) g(x)
podiacutel funkciacute fg x rarr f(x)g(x) g(x) ne 0
naacutesobek funkce αf x rarrαf(x) α ∊ ℝ
[8]
111 DEFINIČNIacute OBOR - PŘIacuteKLADY
Př 1 Určete definičniacute obor u naacutesledujiacuteciacutech funkciacute
a) f(x) = ln(x+1)
Aby byla funkce definovaacutena musiacute byacutet argument logaritmu většiacute než 0 Definičniacute obor teacuteto
funkce zjistiacuteme naacutesledovně
x+1 gt 0
x gt -1
Tedy platiacute D(f) = (-1 + ) Na obraacutezku vidiacuteme graf funkce Z obraacutezku je naacutezorně vidět i
definičniacute obor vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
infin
11
1
x+8+radic xb) h(x) =
Tato funkce je definovaacutena pouze pokud jmenovatel funkce se nerovnaacute 0 a zaacuterověň funkce
pod odmocninou je většiacute než 0
Teď viacuteme že do definičniacuteho oboru teacuteto funkce nebude patřit bod x = -8
Definičniacute obor odmocniny x ge 0
Nyniacute musiacuteme udělat průnik podmiacutenek pro definičniacute obor funkce h(x) tedy x se nesmiacute
rovnat -8 a zaacuteroveň x musiacute byacutet většiacute nebo rovno 0 Tedy D(h) = lt0 +infin)
Spraacutevnost vyacutepočtu opět potvrdiacuteme na naacutesledujiacuteciacutem grafu
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
x+8ne0xneminus8
12
5minusx
x+1
5minusx
x+1
5minusx
x+1
12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y
Pro zjištěniacute průběhu funkce musiacuteme vypočiacutetat průsečiacuteky funkce s osou x i s osou y
Průsečiacutek s osou x
Maacuteme-li funkci y=f(x) průsečiacutek s osou x ziacuteskaacuteme tak že za y dosadiacuteme 0 (jelikož pro
všechny body na ose x platiacute souřadnice [x0]) a uacutepravami ziacuteskaacuteme z rovnice hodnotu x
Řešiacuteme tedy rovnici 0=f(x)
Průsečiacutek s osou y
Ve funkci y=f(x) ziacuteskaacuteme průsečiacutek s osou y dosazeniacutem 0 za x ve vyacuterazu f(x) (pro všechny
body na ose y platiacute naacutesledujiacuteciacute souřadnice [0y]) a opět pomociacute uacuteprav ziacuteskaacuteme hodnotu
bodu y Řešiacuteme rovnici y = f(0)
121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady
Př Zjistěte průsečiacuteky s osami x a y u naacutesledujiacuteciacute funkce
f(x) y =
Řešeniacute
Průsečiacutek s osou x funkce y = (dosadiacuteme tedy y = 0)
0 = (x+1)
0 = 5-x
x = 5
Průsečiacutek s osou y zjistiacuteme tak že za x dosadiacuteme 0
y = 5
Viacuteme tedy že zadanaacute funkce f(x) protiacutenaacute osu x v bodě X = [5 0] a osu y v bodě Y = [0 5]
Na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku grafu funkce vidiacuteme průběh funkce i vyznačeneacute průsečiacuteky
s osami x a y
13
forallxisin D( f ) existT isin Rminus0 x+T isinD( f )and f (x+T ) = f (x)
existKgt0 forallxisinA f ( x)⩽K
forallxisinD( f ) f (minusx)= f (x)
forallxisinD( f ) f (minusx)=minus f (x)
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
13 Speciaacutelniacute typy funkciacute
Funkce f y = f(x) x ∊ D(f) je
funkce sudaacute praacutevě když
funkce lichaacute praacutevě když
funkce periodickaacute praacutevě když
T se nazyacutevaacute perioda funkce
funkce omezenaacute zdola na množině AsubD(f) praacutevě když je zdola omezenaacute množina f(A)
funkce omezenaacute shora na množině AsubD(f) praacutevě když je shora omezenaacute množina f(A)
funkce omezenaacute na množině AsubD(f) praacutevě když je omezenaacute zdola i shora tj praacutevě když
je omezenaacute množina f(A)
Funkce f kteraacute je prostyacutem zobrazeniacutem D(f) rarr ℝ tj u niacutež pro každou dvojici x1 x2 ∊ D(f)
x1 ne x2 je takeacute f(x1) nef(x2) se nazyacutevaacute prostaacute funkce
[4]
existKgt0forallx isinA f (x)geminusK
existKgt0 forallxisinA ∣f (x)∣⩽K
14
Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
15
xrarralim f ( x)=b
xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
14 Limity funkce
Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu
Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke
každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute
interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho
okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0
Definice limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje
takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute
hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu
ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute
(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu
16
x0notinD( f )
xrarr x0
lim f ( x)=b
xrarr x0xrarr x0
xrarr+infinxrarrminusinfin
xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu
k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna
nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme
[2]
Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru
(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))
Definice limity podle Heineho
Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity
posloupnosti
a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0
konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute
v bodě x0 limitu b a piacutešeme
b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin
(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)
limitu b a piacutešeme
17
xrarr+infin xrarrminusinfin
xrarr+infin xrarrminusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin
lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin
x rarr x0
lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0
lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
limf (x )
g ( x)=
lim f ( x)
lim g ( x)=
b
c cne0
xrarr x0
d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když
Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu
b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku
[1]
141 Algebra limit
Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu
x0=plusmn infin)
Potom existujiacute limity funkciacute
f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D
a platiacute
1 součet a rozdiacutel limit
2 součin limit
3 podiacutel limit
[1]
forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε
0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε
Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)
18
lim f ( x)
lim f ( x)xrarra
x rarr a+
142 Jednostranneacute limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute
lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f
v bodě a budeme zapisovat takto
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η
agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě
a budeme zapisovat takto
[2]
19
lim 8 xminus6
=lim (8
x6)=+infin
xrarr0xrarr0
lim (( x
2minus1)
(x2minusx)
)=lim ((( xminus1)( x+1))
(x (xminus1)))=lim (
( x+1)
x)=2
xrarr1 xrarr1 xrarr1
lim (xminus7
1minuse2x
)=minusinfin
xrarrminusinfin
lim (minus2x
radicx2minus4
)=lim (minus2x
xradic(1minus4
x2)
)=lim (minus2
radic1minus4
x2
)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin
143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady
Vypočtěte limity
1)
V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se
bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin
2)
V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se
vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity
vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a
zleva
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
3)
e2x
jde v limitě k 0
Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno
4)
V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě
k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli
Vyacutesledek je tedy -2
20
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0
h=xminusa
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim f ( x)= f (a)xrarra
nrarr+infinnrarr+infin
lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))
+
15 Spojitost funkce
Definice spojitosti funkce
Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když
[2]
Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto
[1]
Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když
Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když
Kriteacuteria spojitosti
a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když
b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost
xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně
c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)
a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)
[1]
Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li
naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c
[5]
forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε
stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε
21
x0notinD( f )
limx
x2minus1
=+infin
xrarrminus1
xrarrminus1
limx
x2minus1
=minusinfin
limx
x2minus1
=+infin
xrarr1
limx
x2minus1
=minusinfin
xrarr1
151 Body nespojitosti
Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0
(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru
nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale
neniacute v něm spojitaacute
Když
1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti
2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce
f
3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod
nespojitosti 2 druhu
[1]
Př Najděte body nespojitosti funkce f
D(f) = R--11 body nespojitosti -11
Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem
zaacutepornyacutem čiacuteslem
Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule
Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti
II druhu
Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1
Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno
V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin
f (x )=x
x2minus1
+
+
22
lim (f ( x0+h)minus f ( x0)
h)
hrarr0
y=f ( x)
g (x )
h=xminusx0
Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II
druhu
16 Derivace funkce
Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute
limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute
Derivace funkce y = yacute
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0
derivaci a platiacute
Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)+g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě
derivaci i funkce a platiacute
Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě
z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)
[2]
yacute=kf acute( x0)
yacute= f acute( x0)+gacute (x0)
yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)
y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)
g2( x0)
23
1
xlna
1
x
1
cos2( x)
minus1
sin2(x )
1
radic1minus x2
minus1
radic1minus x2
1
1+x2
minus1
1+x2
1
cosh2(x)
minus1
sinh2(x )
1
radicx2+11
radicx2minus1
1
1minusx2
1
1minusx2
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])
Funkce Derivace funkce Podmiacutenky
k
x
xn
x-n
xα
ax
ex
loga(x)
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tg(x)
cotg(x)
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arccotg(x)
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
cotgh(x)
argsinh(x)
argcosh(x)
argtgh(x)
argcotgh(x)
0
1
nxn-1
-nx-n-1
αxα-1
axln(a)
ex
cos(x)
-sin(x)
cosh(x)
sinh(x)
k je konstanta k ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ n ∊ ℕ
x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ
xgt0 α ∊ ℝ
x ∊ agt0
x ∊ ℝ
xgt0 agt0 ane1
xgt0
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ
x ne kπ k ∊ ℤ
x ∊ (-11)
x ∊ (-11)
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ - 0
x ∊ ℝ
x ∊ (1 +infin)
x ∊ (-1 1)
x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)
24
x rarrinfin
limf (x )
g (x )=lim
f acute (x)
gacute (x )x rarrinfin
162 LacuteHospitalovo pravidlo
Věta (LHospitalovo pravidlo)
Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g
limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu
pak
za předpokladu že limita na praveacute straně existuje
LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute
f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin
a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0
b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin
[3]
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam
Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě
klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a
Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii
25
Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute
Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x) lt f(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima
b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima
Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto
bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem
[2]
Fermatova podmiacutenka extreacutemu
Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet
derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce
v tomto bodě extreacutem
[6]
Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je
miacutesto toho v bodě a spojitaacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
10
Funkce g D(g) rarr ℝ se nazyacutevaacute restrikce funkce f D(f)rarrℝ jestliže D(g) sub D(f) a pro
všechna x definičniacuteho oboru platiacute g(x) = f(x)
Funkce f g se rovnajiacute jestliže D(g)=D(f) a pro všechna x definičniacuteho oboru platiacute
g(x) = f(x)
Nechť D(g) = D(f) potom pomociacute naacutesledujiacuteciacutech předpisů definujeme
součet funkciacute f + g x rarr f(x) + g(x)
rozdiacutel funkciacute f - g xrarr f(x) - g(x)
součin funkciacute f g x rarr f(x) g(x)
podiacutel funkciacute fg x rarr f(x)g(x) g(x) ne 0
naacutesobek funkce αf x rarrαf(x) α ∊ ℝ
[8]
111 DEFINIČNIacute OBOR - PŘIacuteKLADY
Př 1 Určete definičniacute obor u naacutesledujiacuteciacutech funkciacute
a) f(x) = ln(x+1)
Aby byla funkce definovaacutena musiacute byacutet argument logaritmu většiacute než 0 Definičniacute obor teacuteto
funkce zjistiacuteme naacutesledovně
x+1 gt 0
x gt -1
Tedy platiacute D(f) = (-1 + ) Na obraacutezku vidiacuteme graf funkce Z obraacutezku je naacutezorně vidět i
definičniacute obor vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
infin
11
1
x+8+radic xb) h(x) =
Tato funkce je definovaacutena pouze pokud jmenovatel funkce se nerovnaacute 0 a zaacuterověň funkce
pod odmocninou je většiacute než 0
Teď viacuteme že do definičniacuteho oboru teacuteto funkce nebude patřit bod x = -8
Definičniacute obor odmocniny x ge 0
Nyniacute musiacuteme udělat průnik podmiacutenek pro definičniacute obor funkce h(x) tedy x se nesmiacute
rovnat -8 a zaacuteroveň x musiacute byacutet většiacute nebo rovno 0 Tedy D(h) = lt0 +infin)
Spraacutevnost vyacutepočtu opět potvrdiacuteme na naacutesledujiacuteciacutem grafu
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
x+8ne0xneminus8
12
5minusx
x+1
5minusx
x+1
5minusx
x+1
12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y
Pro zjištěniacute průběhu funkce musiacuteme vypočiacutetat průsečiacuteky funkce s osou x i s osou y
Průsečiacutek s osou x
Maacuteme-li funkci y=f(x) průsečiacutek s osou x ziacuteskaacuteme tak že za y dosadiacuteme 0 (jelikož pro
všechny body na ose x platiacute souřadnice [x0]) a uacutepravami ziacuteskaacuteme z rovnice hodnotu x
Řešiacuteme tedy rovnici 0=f(x)
Průsečiacutek s osou y
Ve funkci y=f(x) ziacuteskaacuteme průsečiacutek s osou y dosazeniacutem 0 za x ve vyacuterazu f(x) (pro všechny
body na ose y platiacute naacutesledujiacuteciacute souřadnice [0y]) a opět pomociacute uacuteprav ziacuteskaacuteme hodnotu
bodu y Řešiacuteme rovnici y = f(0)
121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady
Př Zjistěte průsečiacuteky s osami x a y u naacutesledujiacuteciacute funkce
f(x) y =
Řešeniacute
Průsečiacutek s osou x funkce y = (dosadiacuteme tedy y = 0)
0 = (x+1)
0 = 5-x
x = 5
Průsečiacutek s osou y zjistiacuteme tak že za x dosadiacuteme 0
y = 5
Viacuteme tedy že zadanaacute funkce f(x) protiacutenaacute osu x v bodě X = [5 0] a osu y v bodě Y = [0 5]
Na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku grafu funkce vidiacuteme průběh funkce i vyznačeneacute průsečiacuteky
s osami x a y
13
forallxisin D( f ) existT isin Rminus0 x+T isinD( f )and f (x+T ) = f (x)
existKgt0 forallxisinA f ( x)⩽K
forallxisinD( f ) f (minusx)= f (x)
forallxisinD( f ) f (minusx)=minus f (x)
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
13 Speciaacutelniacute typy funkciacute
Funkce f y = f(x) x ∊ D(f) je
funkce sudaacute praacutevě když
funkce lichaacute praacutevě když
funkce periodickaacute praacutevě když
T se nazyacutevaacute perioda funkce
funkce omezenaacute zdola na množině AsubD(f) praacutevě když je zdola omezenaacute množina f(A)
funkce omezenaacute shora na množině AsubD(f) praacutevě když je shora omezenaacute množina f(A)
funkce omezenaacute na množině AsubD(f) praacutevě když je omezenaacute zdola i shora tj praacutevě když
je omezenaacute množina f(A)
Funkce f kteraacute je prostyacutem zobrazeniacutem D(f) rarr ℝ tj u niacutež pro každou dvojici x1 x2 ∊ D(f)
x1 ne x2 je takeacute f(x1) nef(x2) se nazyacutevaacute prostaacute funkce
[4]
existKgt0forallx isinA f (x)geminusK
existKgt0 forallxisinA ∣f (x)∣⩽K
14
Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
15
xrarralim f ( x)=b
xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
14 Limity funkce
Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu
Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke
každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute
interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho
okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0
Definice limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje
takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute
hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu
ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute
(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu
16
x0notinD( f )
xrarr x0
lim f ( x)=b
xrarr x0xrarr x0
xrarr+infinxrarrminusinfin
xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu
k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna
nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme
[2]
Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru
(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))
Definice limity podle Heineho
Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity
posloupnosti
a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0
konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute
v bodě x0 limitu b a piacutešeme
b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin
(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)
limitu b a piacutešeme
17
xrarr+infin xrarrminusinfin
xrarr+infin xrarrminusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin
lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin
x rarr x0
lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0
lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
limf (x )
g ( x)=
lim f ( x)
lim g ( x)=
b
c cne0
xrarr x0
d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když
Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu
b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku
[1]
141 Algebra limit
Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu
x0=plusmn infin)
Potom existujiacute limity funkciacute
f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D
a platiacute
1 součet a rozdiacutel limit
2 součin limit
3 podiacutel limit
[1]
forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε
0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε
Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)
18
lim f ( x)
lim f ( x)xrarra
x rarr a+
142 Jednostranneacute limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute
lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f
v bodě a budeme zapisovat takto
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η
agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě
a budeme zapisovat takto
[2]
19
lim 8 xminus6
=lim (8
x6)=+infin
xrarr0xrarr0
lim (( x
2minus1)
(x2minusx)
)=lim ((( xminus1)( x+1))
(x (xminus1)))=lim (
( x+1)
x)=2
xrarr1 xrarr1 xrarr1
lim (xminus7
1minuse2x
)=minusinfin
xrarrminusinfin
lim (minus2x
radicx2minus4
)=lim (minus2x
xradic(1minus4
x2)
)=lim (minus2
radic1minus4
x2
)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin
143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady
Vypočtěte limity
1)
V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se
bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin
2)
V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se
vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity
vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a
zleva
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
3)
e2x
jde v limitě k 0
Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno
4)
V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě
k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli
Vyacutesledek je tedy -2
20
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0
h=xminusa
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim f ( x)= f (a)xrarra
nrarr+infinnrarr+infin
lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))
+
15 Spojitost funkce
Definice spojitosti funkce
Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když
[2]
Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto
[1]
Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když
Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když
Kriteacuteria spojitosti
a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když
b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost
xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně
c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)
a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)
[1]
Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li
naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c
[5]
forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε
stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε
21
x0notinD( f )
limx
x2minus1
=+infin
xrarrminus1
xrarrminus1
limx
x2minus1
=minusinfin
limx
x2minus1
=+infin
xrarr1
limx
x2minus1
=minusinfin
xrarr1
151 Body nespojitosti
Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0
(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru
nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale
neniacute v něm spojitaacute
Když
1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti
2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce
f
3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod
nespojitosti 2 druhu
[1]
Př Najděte body nespojitosti funkce f
D(f) = R--11 body nespojitosti -11
Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem
zaacutepornyacutem čiacuteslem
Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule
Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti
II druhu
Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1
Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno
V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin
f (x )=x
x2minus1
+
+
22
lim (f ( x0+h)minus f ( x0)
h)
hrarr0
y=f ( x)
g (x )
h=xminusx0
Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II
druhu
16 Derivace funkce
Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute
limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute
Derivace funkce y = yacute
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0
derivaci a platiacute
Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)+g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě
derivaci i funkce a platiacute
Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě
z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)
[2]
yacute=kf acute( x0)
yacute= f acute( x0)+gacute (x0)
yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)
y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)
g2( x0)
23
1
xlna
1
x
1
cos2( x)
minus1
sin2(x )
1
radic1minus x2
minus1
radic1minus x2
1
1+x2
minus1
1+x2
1
cosh2(x)
minus1
sinh2(x )
1
radicx2+11
radicx2minus1
1
1minusx2
1
1minusx2
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])
Funkce Derivace funkce Podmiacutenky
k
x
xn
x-n
xα
ax
ex
loga(x)
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tg(x)
cotg(x)
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arccotg(x)
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
cotgh(x)
argsinh(x)
argcosh(x)
argtgh(x)
argcotgh(x)
0
1
nxn-1
-nx-n-1
αxα-1
axln(a)
ex
cos(x)
-sin(x)
cosh(x)
sinh(x)
k je konstanta k ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ n ∊ ℕ
x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ
xgt0 α ∊ ℝ
x ∊ agt0
x ∊ ℝ
xgt0 agt0 ane1
xgt0
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ
x ne kπ k ∊ ℤ
x ∊ (-11)
x ∊ (-11)
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ - 0
x ∊ ℝ
x ∊ (1 +infin)
x ∊ (-1 1)
x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)
24
x rarrinfin
limf (x )
g (x )=lim
f acute (x)
gacute (x )x rarrinfin
162 LacuteHospitalovo pravidlo
Věta (LHospitalovo pravidlo)
Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g
limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu
pak
za předpokladu že limita na praveacute straně existuje
LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute
f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin
a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0
b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin
[3]
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam
Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě
klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a
Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii
25
Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute
Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x) lt f(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima
b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima
Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto
bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem
[2]
Fermatova podmiacutenka extreacutemu
Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet
derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce
v tomto bodě extreacutem
[6]
Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je
miacutesto toho v bodě a spojitaacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
11
1
x+8+radic xb) h(x) =
Tato funkce je definovaacutena pouze pokud jmenovatel funkce se nerovnaacute 0 a zaacuterověň funkce
pod odmocninou je většiacute než 0
Teď viacuteme že do definičniacuteho oboru teacuteto funkce nebude patřit bod x = -8
Definičniacute obor odmocniny x ge 0
Nyniacute musiacuteme udělat průnik podmiacutenek pro definičniacute obor funkce h(x) tedy x se nesmiacute
rovnat -8 a zaacuteroveň x musiacute byacutet většiacute nebo rovno 0 Tedy D(h) = lt0 +infin)
Spraacutevnost vyacutepočtu opět potvrdiacuteme na naacutesledujiacuteciacutem grafu
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
x+8ne0xneminus8
12
5minusx
x+1
5minusx
x+1
5minusx
x+1
12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y
Pro zjištěniacute průběhu funkce musiacuteme vypočiacutetat průsečiacuteky funkce s osou x i s osou y
Průsečiacutek s osou x
Maacuteme-li funkci y=f(x) průsečiacutek s osou x ziacuteskaacuteme tak že za y dosadiacuteme 0 (jelikož pro
všechny body na ose x platiacute souřadnice [x0]) a uacutepravami ziacuteskaacuteme z rovnice hodnotu x
Řešiacuteme tedy rovnici 0=f(x)
Průsečiacutek s osou y
Ve funkci y=f(x) ziacuteskaacuteme průsečiacutek s osou y dosazeniacutem 0 za x ve vyacuterazu f(x) (pro všechny
body na ose y platiacute naacutesledujiacuteciacute souřadnice [0y]) a opět pomociacute uacuteprav ziacuteskaacuteme hodnotu
bodu y Řešiacuteme rovnici y = f(0)
121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady
Př Zjistěte průsečiacuteky s osami x a y u naacutesledujiacuteciacute funkce
f(x) y =
Řešeniacute
Průsečiacutek s osou x funkce y = (dosadiacuteme tedy y = 0)
0 = (x+1)
0 = 5-x
x = 5
Průsečiacutek s osou y zjistiacuteme tak že za x dosadiacuteme 0
y = 5
Viacuteme tedy že zadanaacute funkce f(x) protiacutenaacute osu x v bodě X = [5 0] a osu y v bodě Y = [0 5]
Na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku grafu funkce vidiacuteme průběh funkce i vyznačeneacute průsečiacuteky
s osami x a y
13
forallxisin D( f ) existT isin Rminus0 x+T isinD( f )and f (x+T ) = f (x)
existKgt0 forallxisinA f ( x)⩽K
forallxisinD( f ) f (minusx)= f (x)
forallxisinD( f ) f (minusx)=minus f (x)
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
13 Speciaacutelniacute typy funkciacute
Funkce f y = f(x) x ∊ D(f) je
funkce sudaacute praacutevě když
funkce lichaacute praacutevě když
funkce periodickaacute praacutevě když
T se nazyacutevaacute perioda funkce
funkce omezenaacute zdola na množině AsubD(f) praacutevě když je zdola omezenaacute množina f(A)
funkce omezenaacute shora na množině AsubD(f) praacutevě když je shora omezenaacute množina f(A)
funkce omezenaacute na množině AsubD(f) praacutevě když je omezenaacute zdola i shora tj praacutevě když
je omezenaacute množina f(A)
Funkce f kteraacute je prostyacutem zobrazeniacutem D(f) rarr ℝ tj u niacutež pro každou dvojici x1 x2 ∊ D(f)
x1 ne x2 je takeacute f(x1) nef(x2) se nazyacutevaacute prostaacute funkce
[4]
existKgt0forallx isinA f (x)geminusK
existKgt0 forallxisinA ∣f (x)∣⩽K
14
Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
15
xrarralim f ( x)=b
xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
14 Limity funkce
Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu
Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke
každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute
interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho
okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0
Definice limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje
takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute
hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu
ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute
(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu
16
x0notinD( f )
xrarr x0
lim f ( x)=b
xrarr x0xrarr x0
xrarr+infinxrarrminusinfin
xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu
k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna
nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme
[2]
Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru
(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))
Definice limity podle Heineho
Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity
posloupnosti
a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0
konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute
v bodě x0 limitu b a piacutešeme
b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin
(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)
limitu b a piacutešeme
17
xrarr+infin xrarrminusinfin
xrarr+infin xrarrminusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin
lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin
x rarr x0
lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0
lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
limf (x )
g ( x)=
lim f ( x)
lim g ( x)=
b
c cne0
xrarr x0
d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když
Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu
b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku
[1]
141 Algebra limit
Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu
x0=plusmn infin)
Potom existujiacute limity funkciacute
f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D
a platiacute
1 součet a rozdiacutel limit
2 součin limit
3 podiacutel limit
[1]
forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε
0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε
Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)
18
lim f ( x)
lim f ( x)xrarra
x rarr a+
142 Jednostranneacute limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute
lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f
v bodě a budeme zapisovat takto
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η
agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě
a budeme zapisovat takto
[2]
19
lim 8 xminus6
=lim (8
x6)=+infin
xrarr0xrarr0
lim (( x
2minus1)
(x2minusx)
)=lim ((( xminus1)( x+1))
(x (xminus1)))=lim (
( x+1)
x)=2
xrarr1 xrarr1 xrarr1
lim (xminus7
1minuse2x
)=minusinfin
xrarrminusinfin
lim (minus2x
radicx2minus4
)=lim (minus2x
xradic(1minus4
x2)
)=lim (minus2
radic1minus4
x2
)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin
143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady
Vypočtěte limity
1)
V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se
bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin
2)
V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se
vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity
vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a
zleva
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
3)
e2x
jde v limitě k 0
Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno
4)
V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě
k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli
Vyacutesledek je tedy -2
20
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0
h=xminusa
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim f ( x)= f (a)xrarra
nrarr+infinnrarr+infin
lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))
+
15 Spojitost funkce
Definice spojitosti funkce
Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když
[2]
Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto
[1]
Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když
Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když
Kriteacuteria spojitosti
a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když
b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost
xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně
c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)
a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)
[1]
Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li
naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c
[5]
forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε
stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε
21
x0notinD( f )
limx
x2minus1
=+infin
xrarrminus1
xrarrminus1
limx
x2minus1
=minusinfin
limx
x2minus1
=+infin
xrarr1
limx
x2minus1
=minusinfin
xrarr1
151 Body nespojitosti
Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0
(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru
nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale
neniacute v něm spojitaacute
Když
1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti
2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce
f
3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod
nespojitosti 2 druhu
[1]
Př Najděte body nespojitosti funkce f
D(f) = R--11 body nespojitosti -11
Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem
zaacutepornyacutem čiacuteslem
Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule
Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti
II druhu
Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1
Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno
V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin
f (x )=x
x2minus1
+
+
22
lim (f ( x0+h)minus f ( x0)
h)
hrarr0
y=f ( x)
g (x )
h=xminusx0
Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II
druhu
16 Derivace funkce
Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute
limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute
Derivace funkce y = yacute
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0
derivaci a platiacute
Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)+g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě
derivaci i funkce a platiacute
Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě
z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)
[2]
yacute=kf acute( x0)
yacute= f acute( x0)+gacute (x0)
yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)
y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)
g2( x0)
23
1
xlna
1
x
1
cos2( x)
minus1
sin2(x )
1
radic1minus x2
minus1
radic1minus x2
1
1+x2
minus1
1+x2
1
cosh2(x)
minus1
sinh2(x )
1
radicx2+11
radicx2minus1
1
1minusx2
1
1minusx2
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])
Funkce Derivace funkce Podmiacutenky
k
x
xn
x-n
xα
ax
ex
loga(x)
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tg(x)
cotg(x)
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arccotg(x)
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
cotgh(x)
argsinh(x)
argcosh(x)
argtgh(x)
argcotgh(x)
0
1
nxn-1
-nx-n-1
αxα-1
axln(a)
ex
cos(x)
-sin(x)
cosh(x)
sinh(x)
k je konstanta k ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ n ∊ ℕ
x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ
xgt0 α ∊ ℝ
x ∊ agt0
x ∊ ℝ
xgt0 agt0 ane1
xgt0
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ
x ne kπ k ∊ ℤ
x ∊ (-11)
x ∊ (-11)
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ - 0
x ∊ ℝ
x ∊ (1 +infin)
x ∊ (-1 1)
x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)
24
x rarrinfin
limf (x )
g (x )=lim
f acute (x)
gacute (x )x rarrinfin
162 LacuteHospitalovo pravidlo
Věta (LHospitalovo pravidlo)
Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g
limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu
pak
za předpokladu že limita na praveacute straně existuje
LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute
f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin
a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0
b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin
[3]
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam
Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě
klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a
Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii
25
Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute
Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x) lt f(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima
b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima
Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto
bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem
[2]
Fermatova podmiacutenka extreacutemu
Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet
derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce
v tomto bodě extreacutem
[6]
Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je
miacutesto toho v bodě a spojitaacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
12
5minusx
x+1
5minusx
x+1
5minusx
x+1
12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y
Pro zjištěniacute průběhu funkce musiacuteme vypočiacutetat průsečiacuteky funkce s osou x i s osou y
Průsečiacutek s osou x
Maacuteme-li funkci y=f(x) průsečiacutek s osou x ziacuteskaacuteme tak že za y dosadiacuteme 0 (jelikož pro
všechny body na ose x platiacute souřadnice [x0]) a uacutepravami ziacuteskaacuteme z rovnice hodnotu x
Řešiacuteme tedy rovnici 0=f(x)
Průsečiacutek s osou y
Ve funkci y=f(x) ziacuteskaacuteme průsečiacutek s osou y dosazeniacutem 0 za x ve vyacuterazu f(x) (pro všechny
body na ose y platiacute naacutesledujiacuteciacute souřadnice [0y]) a opět pomociacute uacuteprav ziacuteskaacuteme hodnotu
bodu y Řešiacuteme rovnici y = f(0)
121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady
Př Zjistěte průsečiacuteky s osami x a y u naacutesledujiacuteciacute funkce
f(x) y =
Řešeniacute
Průsečiacutek s osou x funkce y = (dosadiacuteme tedy y = 0)
0 = (x+1)
0 = 5-x
x = 5
Průsečiacutek s osou y zjistiacuteme tak že za x dosadiacuteme 0
y = 5
Viacuteme tedy že zadanaacute funkce f(x) protiacutenaacute osu x v bodě X = [5 0] a osu y v bodě Y = [0 5]
Na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku grafu funkce vidiacuteme průběh funkce i vyznačeneacute průsečiacuteky
s osami x a y
13
forallxisin D( f ) existT isin Rminus0 x+T isinD( f )and f (x+T ) = f (x)
existKgt0 forallxisinA f ( x)⩽K
forallxisinD( f ) f (minusx)= f (x)
forallxisinD( f ) f (minusx)=minus f (x)
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
13 Speciaacutelniacute typy funkciacute
Funkce f y = f(x) x ∊ D(f) je
funkce sudaacute praacutevě když
funkce lichaacute praacutevě když
funkce periodickaacute praacutevě když
T se nazyacutevaacute perioda funkce
funkce omezenaacute zdola na množině AsubD(f) praacutevě když je zdola omezenaacute množina f(A)
funkce omezenaacute shora na množině AsubD(f) praacutevě když je shora omezenaacute množina f(A)
funkce omezenaacute na množině AsubD(f) praacutevě když je omezenaacute zdola i shora tj praacutevě když
je omezenaacute množina f(A)
Funkce f kteraacute je prostyacutem zobrazeniacutem D(f) rarr ℝ tj u niacutež pro každou dvojici x1 x2 ∊ D(f)
x1 ne x2 je takeacute f(x1) nef(x2) se nazyacutevaacute prostaacute funkce
[4]
existKgt0forallx isinA f (x)geminusK
existKgt0 forallxisinA ∣f (x)∣⩽K
14
Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
15
xrarralim f ( x)=b
xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
14 Limity funkce
Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu
Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke
každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute
interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho
okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0
Definice limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje
takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute
hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu
ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute
(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu
16
x0notinD( f )
xrarr x0
lim f ( x)=b
xrarr x0xrarr x0
xrarr+infinxrarrminusinfin
xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu
k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna
nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme
[2]
Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru
(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))
Definice limity podle Heineho
Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity
posloupnosti
a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0
konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute
v bodě x0 limitu b a piacutešeme
b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin
(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)
limitu b a piacutešeme
17
xrarr+infin xrarrminusinfin
xrarr+infin xrarrminusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin
lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin
x rarr x0
lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0
lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
limf (x )
g ( x)=
lim f ( x)
lim g ( x)=
b
c cne0
xrarr x0
d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když
Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu
b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku
[1]
141 Algebra limit
Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu
x0=plusmn infin)
Potom existujiacute limity funkciacute
f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D
a platiacute
1 součet a rozdiacutel limit
2 součin limit
3 podiacutel limit
[1]
forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε
0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε
Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)
18
lim f ( x)
lim f ( x)xrarra
x rarr a+
142 Jednostranneacute limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute
lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f
v bodě a budeme zapisovat takto
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η
agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě
a budeme zapisovat takto
[2]
19
lim 8 xminus6
=lim (8
x6)=+infin
xrarr0xrarr0
lim (( x
2minus1)
(x2minusx)
)=lim ((( xminus1)( x+1))
(x (xminus1)))=lim (
( x+1)
x)=2
xrarr1 xrarr1 xrarr1
lim (xminus7
1minuse2x
)=minusinfin
xrarrminusinfin
lim (minus2x
radicx2minus4
)=lim (minus2x
xradic(1minus4
x2)
)=lim (minus2
radic1minus4
x2
)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin
143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady
Vypočtěte limity
1)
V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se
bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin
2)
V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se
vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity
vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a
zleva
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
3)
e2x
jde v limitě k 0
Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno
4)
V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě
k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli
Vyacutesledek je tedy -2
20
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0
h=xminusa
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim f ( x)= f (a)xrarra
nrarr+infinnrarr+infin
lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))
+
15 Spojitost funkce
Definice spojitosti funkce
Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když
[2]
Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto
[1]
Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když
Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když
Kriteacuteria spojitosti
a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když
b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost
xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně
c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)
a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)
[1]
Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li
naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c
[5]
forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε
stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε
21
x0notinD( f )
limx
x2minus1
=+infin
xrarrminus1
xrarrminus1
limx
x2minus1
=minusinfin
limx
x2minus1
=+infin
xrarr1
limx
x2minus1
=minusinfin
xrarr1
151 Body nespojitosti
Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0
(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru
nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale
neniacute v něm spojitaacute
Když
1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti
2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce
f
3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod
nespojitosti 2 druhu
[1]
Př Najděte body nespojitosti funkce f
D(f) = R--11 body nespojitosti -11
Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem
zaacutepornyacutem čiacuteslem
Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule
Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti
II druhu
Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1
Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno
V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin
f (x )=x
x2minus1
+
+
22
lim (f ( x0+h)minus f ( x0)
h)
hrarr0
y=f ( x)
g (x )
h=xminusx0
Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II
druhu
16 Derivace funkce
Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute
limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute
Derivace funkce y = yacute
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0
derivaci a platiacute
Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)+g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě
derivaci i funkce a platiacute
Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě
z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)
[2]
yacute=kf acute( x0)
yacute= f acute( x0)+gacute (x0)
yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)
y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)
g2( x0)
23
1
xlna
1
x
1
cos2( x)
minus1
sin2(x )
1
radic1minus x2
minus1
radic1minus x2
1
1+x2
minus1
1+x2
1
cosh2(x)
minus1
sinh2(x )
1
radicx2+11
radicx2minus1
1
1minusx2
1
1minusx2
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])
Funkce Derivace funkce Podmiacutenky
k
x
xn
x-n
xα
ax
ex
loga(x)
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tg(x)
cotg(x)
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arccotg(x)
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
cotgh(x)
argsinh(x)
argcosh(x)
argtgh(x)
argcotgh(x)
0
1
nxn-1
-nx-n-1
αxα-1
axln(a)
ex
cos(x)
-sin(x)
cosh(x)
sinh(x)
k je konstanta k ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ n ∊ ℕ
x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ
xgt0 α ∊ ℝ
x ∊ agt0
x ∊ ℝ
xgt0 agt0 ane1
xgt0
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ
x ne kπ k ∊ ℤ
x ∊ (-11)
x ∊ (-11)
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ - 0
x ∊ ℝ
x ∊ (1 +infin)
x ∊ (-1 1)
x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)
24
x rarrinfin
limf (x )
g (x )=lim
f acute (x)
gacute (x )x rarrinfin
162 LacuteHospitalovo pravidlo
Věta (LHospitalovo pravidlo)
Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g
limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu
pak
za předpokladu že limita na praveacute straně existuje
LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute
f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin
a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0
b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin
[3]
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam
Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě
klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a
Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii
25
Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute
Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x) lt f(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima
b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima
Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto
bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem
[2]
Fermatova podmiacutenka extreacutemu
Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet
derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce
v tomto bodě extreacutem
[6]
Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je
miacutesto toho v bodě a spojitaacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
13
forallxisin D( f ) existT isin Rminus0 x+T isinD( f )and f (x+T ) = f (x)
existKgt0 forallxisinA f ( x)⩽K
forallxisinD( f ) f (minusx)= f (x)
forallxisinD( f ) f (minusx)=minus f (x)
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
13 Speciaacutelniacute typy funkciacute
Funkce f y = f(x) x ∊ D(f) je
funkce sudaacute praacutevě když
funkce lichaacute praacutevě když
funkce periodickaacute praacutevě když
T se nazyacutevaacute perioda funkce
funkce omezenaacute zdola na množině AsubD(f) praacutevě když je zdola omezenaacute množina f(A)
funkce omezenaacute shora na množině AsubD(f) praacutevě když je shora omezenaacute množina f(A)
funkce omezenaacute na množině AsubD(f) praacutevě když je omezenaacute zdola i shora tj praacutevě když
je omezenaacute množina f(A)
Funkce f kteraacute je prostyacutem zobrazeniacutem D(f) rarr ℝ tj u niacutež pro každou dvojici x1 x2 ∊ D(f)
x1 ne x2 je takeacute f(x1) nef(x2) se nazyacutevaacute prostaacute funkce
[4]
existKgt0forallx isinA f (x)geminusK
existKgt0 forallxisinA ∣f (x)∣⩽K
14
Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
15
xrarralim f ( x)=b
xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
14 Limity funkce
Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu
Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke
každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute
interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho
okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0
Definice limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje
takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute
hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu
ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute
(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu
16
x0notinD( f )
xrarr x0
lim f ( x)=b
xrarr x0xrarr x0
xrarr+infinxrarrminusinfin
xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu
k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna
nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme
[2]
Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru
(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))
Definice limity podle Heineho
Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity
posloupnosti
a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0
konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute
v bodě x0 limitu b a piacutešeme
b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin
(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)
limitu b a piacutešeme
17
xrarr+infin xrarrminusinfin
xrarr+infin xrarrminusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin
lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin
x rarr x0
lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0
lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
limf (x )
g ( x)=
lim f ( x)
lim g ( x)=
b
c cne0
xrarr x0
d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když
Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu
b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku
[1]
141 Algebra limit
Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu
x0=plusmn infin)
Potom existujiacute limity funkciacute
f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D
a platiacute
1 součet a rozdiacutel limit
2 součin limit
3 podiacutel limit
[1]
forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε
0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε
Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)
18
lim f ( x)
lim f ( x)xrarra
x rarr a+
142 Jednostranneacute limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute
lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f
v bodě a budeme zapisovat takto
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η
agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě
a budeme zapisovat takto
[2]
19
lim 8 xminus6
=lim (8
x6)=+infin
xrarr0xrarr0
lim (( x
2minus1)
(x2minusx)
)=lim ((( xminus1)( x+1))
(x (xminus1)))=lim (
( x+1)
x)=2
xrarr1 xrarr1 xrarr1
lim (xminus7
1minuse2x
)=minusinfin
xrarrminusinfin
lim (minus2x
radicx2minus4
)=lim (minus2x
xradic(1minus4
x2)
)=lim (minus2
radic1minus4
x2
)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin
143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady
Vypočtěte limity
1)
V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se
bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin
2)
V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se
vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity
vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a
zleva
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
3)
e2x
jde v limitě k 0
Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno
4)
V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě
k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli
Vyacutesledek je tedy -2
20
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0
h=xminusa
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim f ( x)= f (a)xrarra
nrarr+infinnrarr+infin
lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))
+
15 Spojitost funkce
Definice spojitosti funkce
Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když
[2]
Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto
[1]
Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když
Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když
Kriteacuteria spojitosti
a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když
b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost
xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně
c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)
a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)
[1]
Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li
naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c
[5]
forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε
stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε
21
x0notinD( f )
limx
x2minus1
=+infin
xrarrminus1
xrarrminus1
limx
x2minus1
=minusinfin
limx
x2minus1
=+infin
xrarr1
limx
x2minus1
=minusinfin
xrarr1
151 Body nespojitosti
Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0
(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru
nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale
neniacute v něm spojitaacute
Když
1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti
2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce
f
3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod
nespojitosti 2 druhu
[1]
Př Najděte body nespojitosti funkce f
D(f) = R--11 body nespojitosti -11
Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem
zaacutepornyacutem čiacuteslem
Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule
Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti
II druhu
Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1
Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno
V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin
f (x )=x
x2minus1
+
+
22
lim (f ( x0+h)minus f ( x0)
h)
hrarr0
y=f ( x)
g (x )
h=xminusx0
Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II
druhu
16 Derivace funkce
Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute
limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute
Derivace funkce y = yacute
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0
derivaci a platiacute
Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)+g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě
derivaci i funkce a platiacute
Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě
z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)
[2]
yacute=kf acute( x0)
yacute= f acute( x0)+gacute (x0)
yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)
y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)
g2( x0)
23
1
xlna
1
x
1
cos2( x)
minus1
sin2(x )
1
radic1minus x2
minus1
radic1minus x2
1
1+x2
minus1
1+x2
1
cosh2(x)
minus1
sinh2(x )
1
radicx2+11
radicx2minus1
1
1minusx2
1
1minusx2
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])
Funkce Derivace funkce Podmiacutenky
k
x
xn
x-n
xα
ax
ex
loga(x)
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tg(x)
cotg(x)
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arccotg(x)
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
cotgh(x)
argsinh(x)
argcosh(x)
argtgh(x)
argcotgh(x)
0
1
nxn-1
-nx-n-1
αxα-1
axln(a)
ex
cos(x)
-sin(x)
cosh(x)
sinh(x)
k je konstanta k ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ n ∊ ℕ
x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ
xgt0 α ∊ ℝ
x ∊ agt0
x ∊ ℝ
xgt0 agt0 ane1
xgt0
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ
x ne kπ k ∊ ℤ
x ∊ (-11)
x ∊ (-11)
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ - 0
x ∊ ℝ
x ∊ (1 +infin)
x ∊ (-1 1)
x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)
24
x rarrinfin
limf (x )
g (x )=lim
f acute (x)
gacute (x )x rarrinfin
162 LacuteHospitalovo pravidlo
Věta (LHospitalovo pravidlo)
Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g
limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu
pak
za předpokladu že limita na praveacute straně existuje
LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute
f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin
a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0
b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin
[3]
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam
Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě
klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a
Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii
25
Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute
Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x) lt f(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima
b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima
Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto
bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem
[2]
Fermatova podmiacutenka extreacutemu
Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet
derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce
v tomto bodě extreacutem
[6]
Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je
miacutesto toho v bodě a spojitaacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
14
Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
15
xrarralim f ( x)=b
xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
14 Limity funkce
Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu
Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke
každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute
interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho
okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0
Definice limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje
takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute
hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu
ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute
(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu
16
x0notinD( f )
xrarr x0
lim f ( x)=b
xrarr x0xrarr x0
xrarr+infinxrarrminusinfin
xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu
k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna
nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme
[2]
Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru
(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))
Definice limity podle Heineho
Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity
posloupnosti
a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0
konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute
v bodě x0 limitu b a piacutešeme
b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin
(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)
limitu b a piacutešeme
17
xrarr+infin xrarrminusinfin
xrarr+infin xrarrminusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin
lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin
x rarr x0
lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0
lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
limf (x )
g ( x)=
lim f ( x)
lim g ( x)=
b
c cne0
xrarr x0
d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když
Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu
b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku
[1]
141 Algebra limit
Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu
x0=plusmn infin)
Potom existujiacute limity funkciacute
f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D
a platiacute
1 součet a rozdiacutel limit
2 součin limit
3 podiacutel limit
[1]
forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε
0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε
Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)
18
lim f ( x)
lim f ( x)xrarra
x rarr a+
142 Jednostranneacute limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute
lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f
v bodě a budeme zapisovat takto
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η
agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě
a budeme zapisovat takto
[2]
19
lim 8 xminus6
=lim (8
x6)=+infin
xrarr0xrarr0
lim (( x
2minus1)
(x2minusx)
)=lim ((( xminus1)( x+1))
(x (xminus1)))=lim (
( x+1)
x)=2
xrarr1 xrarr1 xrarr1
lim (xminus7
1minuse2x
)=minusinfin
xrarrminusinfin
lim (minus2x
radicx2minus4
)=lim (minus2x
xradic(1minus4
x2)
)=lim (minus2
radic1minus4
x2
)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin
143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady
Vypočtěte limity
1)
V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se
bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin
2)
V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se
vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity
vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a
zleva
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
3)
e2x
jde v limitě k 0
Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno
4)
V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě
k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli
Vyacutesledek je tedy -2
20
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0
h=xminusa
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim f ( x)= f (a)xrarra
nrarr+infinnrarr+infin
lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))
+
15 Spojitost funkce
Definice spojitosti funkce
Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když
[2]
Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto
[1]
Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když
Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když
Kriteacuteria spojitosti
a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když
b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost
xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně
c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)
a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)
[1]
Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li
naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c
[5]
forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε
stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε
21
x0notinD( f )
limx
x2minus1
=+infin
xrarrminus1
xrarrminus1
limx
x2minus1
=minusinfin
limx
x2minus1
=+infin
xrarr1
limx
x2minus1
=minusinfin
xrarr1
151 Body nespojitosti
Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0
(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru
nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale
neniacute v něm spojitaacute
Když
1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti
2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce
f
3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod
nespojitosti 2 druhu
[1]
Př Najděte body nespojitosti funkce f
D(f) = R--11 body nespojitosti -11
Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem
zaacutepornyacutem čiacuteslem
Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule
Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti
II druhu
Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1
Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno
V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin
f (x )=x
x2minus1
+
+
22
lim (f ( x0+h)minus f ( x0)
h)
hrarr0
y=f ( x)
g (x )
h=xminusx0
Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II
druhu
16 Derivace funkce
Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute
limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute
Derivace funkce y = yacute
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0
derivaci a platiacute
Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)+g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě
derivaci i funkce a platiacute
Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě
z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)
[2]
yacute=kf acute( x0)
yacute= f acute( x0)+gacute (x0)
yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)
y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)
g2( x0)
23
1
xlna
1
x
1
cos2( x)
minus1
sin2(x )
1
radic1minus x2
minus1
radic1minus x2
1
1+x2
minus1
1+x2
1
cosh2(x)
minus1
sinh2(x )
1
radicx2+11
radicx2minus1
1
1minusx2
1
1minusx2
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])
Funkce Derivace funkce Podmiacutenky
k
x
xn
x-n
xα
ax
ex
loga(x)
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tg(x)
cotg(x)
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arccotg(x)
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
cotgh(x)
argsinh(x)
argcosh(x)
argtgh(x)
argcotgh(x)
0
1
nxn-1
-nx-n-1
αxα-1
axln(a)
ex
cos(x)
-sin(x)
cosh(x)
sinh(x)
k je konstanta k ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ n ∊ ℕ
x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ
xgt0 α ∊ ℝ
x ∊ agt0
x ∊ ℝ
xgt0 agt0 ane1
xgt0
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ
x ne kπ k ∊ ℤ
x ∊ (-11)
x ∊ (-11)
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ - 0
x ∊ ℝ
x ∊ (1 +infin)
x ∊ (-1 1)
x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)
24
x rarrinfin
limf (x )
g (x )=lim
f acute (x)
gacute (x )x rarrinfin
162 LacuteHospitalovo pravidlo
Věta (LHospitalovo pravidlo)
Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g
limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu
pak
za předpokladu že limita na praveacute straně existuje
LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute
f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin
a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0
b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin
[3]
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam
Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě
klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a
Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii
25
Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute
Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x) lt f(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima
b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima
Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto
bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem
[2]
Fermatova podmiacutenka extreacutemu
Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet
derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce
v tomto bodě extreacutem
[6]
Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je
miacutesto toho v bodě a spojitaacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
15
xrarralim f ( x)=b
xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
14 Limity funkce
Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu
Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke
každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute
interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho
okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0
Definice limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje
takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute
hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu
ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute
(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu
16
x0notinD( f )
xrarr x0
lim f ( x)=b
xrarr x0xrarr x0
xrarr+infinxrarrminusinfin
xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu
k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna
nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme
[2]
Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru
(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))
Definice limity podle Heineho
Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity
posloupnosti
a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0
konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute
v bodě x0 limitu b a piacutešeme
b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin
(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)
limitu b a piacutešeme
17
xrarr+infin xrarrminusinfin
xrarr+infin xrarrminusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin
lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin
x rarr x0
lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0
lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
limf (x )
g ( x)=
lim f ( x)
lim g ( x)=
b
c cne0
xrarr x0
d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když
Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu
b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku
[1]
141 Algebra limit
Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu
x0=plusmn infin)
Potom existujiacute limity funkciacute
f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D
a platiacute
1 součet a rozdiacutel limit
2 součin limit
3 podiacutel limit
[1]
forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε
0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε
Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)
18
lim f ( x)
lim f ( x)xrarra
x rarr a+
142 Jednostranneacute limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute
lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f
v bodě a budeme zapisovat takto
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η
agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě
a budeme zapisovat takto
[2]
19
lim 8 xminus6
=lim (8
x6)=+infin
xrarr0xrarr0
lim (( x
2minus1)
(x2minusx)
)=lim ((( xminus1)( x+1))
(x (xminus1)))=lim (
( x+1)
x)=2
xrarr1 xrarr1 xrarr1
lim (xminus7
1minuse2x
)=minusinfin
xrarrminusinfin
lim (minus2x
radicx2minus4
)=lim (minus2x
xradic(1minus4
x2)
)=lim (minus2
radic1minus4
x2
)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin
143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady
Vypočtěte limity
1)
V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se
bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin
2)
V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se
vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity
vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a
zleva
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
3)
e2x
jde v limitě k 0
Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno
4)
V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě
k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli
Vyacutesledek je tedy -2
20
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0
h=xminusa
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim f ( x)= f (a)xrarra
nrarr+infinnrarr+infin
lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))
+
15 Spojitost funkce
Definice spojitosti funkce
Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když
[2]
Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto
[1]
Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když
Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když
Kriteacuteria spojitosti
a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když
b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost
xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně
c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)
a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)
[1]
Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li
naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c
[5]
forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε
stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε
21
x0notinD( f )
limx
x2minus1
=+infin
xrarrminus1
xrarrminus1
limx
x2minus1
=minusinfin
limx
x2minus1
=+infin
xrarr1
limx
x2minus1
=minusinfin
xrarr1
151 Body nespojitosti
Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0
(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru
nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale
neniacute v něm spojitaacute
Když
1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti
2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce
f
3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod
nespojitosti 2 druhu
[1]
Př Najděte body nespojitosti funkce f
D(f) = R--11 body nespojitosti -11
Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem
zaacutepornyacutem čiacuteslem
Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule
Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti
II druhu
Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1
Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno
V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin
f (x )=x
x2minus1
+
+
22
lim (f ( x0+h)minus f ( x0)
h)
hrarr0
y=f ( x)
g (x )
h=xminusx0
Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II
druhu
16 Derivace funkce
Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute
limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute
Derivace funkce y = yacute
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0
derivaci a platiacute
Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)+g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě
derivaci i funkce a platiacute
Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě
z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)
[2]
yacute=kf acute( x0)
yacute= f acute( x0)+gacute (x0)
yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)
y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)
g2( x0)
23
1
xlna
1
x
1
cos2( x)
minus1
sin2(x )
1
radic1minus x2
minus1
radic1minus x2
1
1+x2
minus1
1+x2
1
cosh2(x)
minus1
sinh2(x )
1
radicx2+11
radicx2minus1
1
1minusx2
1
1minusx2
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])
Funkce Derivace funkce Podmiacutenky
k
x
xn
x-n
xα
ax
ex
loga(x)
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tg(x)
cotg(x)
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arccotg(x)
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
cotgh(x)
argsinh(x)
argcosh(x)
argtgh(x)
argcotgh(x)
0
1
nxn-1
-nx-n-1
αxα-1
axln(a)
ex
cos(x)
-sin(x)
cosh(x)
sinh(x)
k je konstanta k ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ n ∊ ℕ
x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ
xgt0 α ∊ ℝ
x ∊ agt0
x ∊ ℝ
xgt0 agt0 ane1
xgt0
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ
x ne kπ k ∊ ℤ
x ∊ (-11)
x ∊ (-11)
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ - 0
x ∊ ℝ
x ∊ (1 +infin)
x ∊ (-1 1)
x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)
24
x rarrinfin
limf (x )
g (x )=lim
f acute (x)
gacute (x )x rarrinfin
162 LacuteHospitalovo pravidlo
Věta (LHospitalovo pravidlo)
Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g
limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu
pak
za předpokladu že limita na praveacute straně existuje
LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute
f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin
a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0
b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin
[3]
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam
Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě
klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a
Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii
25
Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute
Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x) lt f(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima
b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima
Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto
bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem
[2]
Fermatova podmiacutenka extreacutemu
Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet
derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce
v tomto bodě extreacutem
[6]
Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je
miacutesto toho v bodě a spojitaacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
16
x0notinD( f )
xrarr x0
lim f ( x)=b
xrarr x0xrarr x0
xrarr+infinxrarrminusinfin
xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin
lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu
k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna
nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme
[2]
Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru
(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))
Definice limity podle Heineho
Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity
posloupnosti
a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0
konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute
v bodě x0 limitu b a piacutešeme
b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin
(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)
limitu b a piacutešeme
17
xrarr+infin xrarrminusinfin
xrarr+infin xrarrminusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin
lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin
x rarr x0
lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0
lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
limf (x )
g ( x)=
lim f ( x)
lim g ( x)=
b
c cne0
xrarr x0
d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když
Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu
b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku
[1]
141 Algebra limit
Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu
x0=plusmn infin)
Potom existujiacute limity funkciacute
f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D
a platiacute
1 součet a rozdiacutel limit
2 součin limit
3 podiacutel limit
[1]
forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε
0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε
Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)
18
lim f ( x)
lim f ( x)xrarra
x rarr a+
142 Jednostranneacute limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute
lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f
v bodě a budeme zapisovat takto
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η
agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě
a budeme zapisovat takto
[2]
19
lim 8 xminus6
=lim (8
x6)=+infin
xrarr0xrarr0
lim (( x
2minus1)
(x2minusx)
)=lim ((( xminus1)( x+1))
(x (xminus1)))=lim (
( x+1)
x)=2
xrarr1 xrarr1 xrarr1
lim (xminus7
1minuse2x
)=minusinfin
xrarrminusinfin
lim (minus2x
radicx2minus4
)=lim (minus2x
xradic(1minus4
x2)
)=lim (minus2
radic1minus4
x2
)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin
143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady
Vypočtěte limity
1)
V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se
bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin
2)
V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se
vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity
vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a
zleva
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
3)
e2x
jde v limitě k 0
Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno
4)
V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě
k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli
Vyacutesledek je tedy -2
20
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0
h=xminusa
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim f ( x)= f (a)xrarra
nrarr+infinnrarr+infin
lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))
+
15 Spojitost funkce
Definice spojitosti funkce
Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když
[2]
Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto
[1]
Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když
Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když
Kriteacuteria spojitosti
a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když
b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost
xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně
c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)
a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)
[1]
Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li
naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c
[5]
forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε
stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε
21
x0notinD( f )
limx
x2minus1
=+infin
xrarrminus1
xrarrminus1
limx
x2minus1
=minusinfin
limx
x2minus1
=+infin
xrarr1
limx
x2minus1
=minusinfin
xrarr1
151 Body nespojitosti
Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0
(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru
nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale
neniacute v něm spojitaacute
Když
1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti
2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce
f
3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod
nespojitosti 2 druhu
[1]
Př Najděte body nespojitosti funkce f
D(f) = R--11 body nespojitosti -11
Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem
zaacutepornyacutem čiacuteslem
Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule
Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti
II druhu
Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1
Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno
V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin
f (x )=x
x2minus1
+
+
22
lim (f ( x0+h)minus f ( x0)
h)
hrarr0
y=f ( x)
g (x )
h=xminusx0
Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II
druhu
16 Derivace funkce
Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute
limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute
Derivace funkce y = yacute
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0
derivaci a platiacute
Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)+g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě
derivaci i funkce a platiacute
Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě
z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)
[2]
yacute=kf acute( x0)
yacute= f acute( x0)+gacute (x0)
yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)
y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)
g2( x0)
23
1
xlna
1
x
1
cos2( x)
minus1
sin2(x )
1
radic1minus x2
minus1
radic1minus x2
1
1+x2
minus1
1+x2
1
cosh2(x)
minus1
sinh2(x )
1
radicx2+11
radicx2minus1
1
1minusx2
1
1minusx2
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])
Funkce Derivace funkce Podmiacutenky
k
x
xn
x-n
xα
ax
ex
loga(x)
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tg(x)
cotg(x)
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arccotg(x)
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
cotgh(x)
argsinh(x)
argcosh(x)
argtgh(x)
argcotgh(x)
0
1
nxn-1
-nx-n-1
αxα-1
axln(a)
ex
cos(x)
-sin(x)
cosh(x)
sinh(x)
k je konstanta k ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ n ∊ ℕ
x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ
xgt0 α ∊ ℝ
x ∊ agt0
x ∊ ℝ
xgt0 agt0 ane1
xgt0
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ
x ne kπ k ∊ ℤ
x ∊ (-11)
x ∊ (-11)
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ - 0
x ∊ ℝ
x ∊ (1 +infin)
x ∊ (-1 1)
x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)
24
x rarrinfin
limf (x )
g (x )=lim
f acute (x)
gacute (x )x rarrinfin
162 LacuteHospitalovo pravidlo
Věta (LHospitalovo pravidlo)
Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g
limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu
pak
za předpokladu že limita na praveacute straně existuje
LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute
f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin
a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0
b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin
[3]
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam
Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě
klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a
Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii
25
Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute
Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x) lt f(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima
b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima
Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto
bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem
[2]
Fermatova podmiacutenka extreacutemu
Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet
derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce
v tomto bodě extreacutem
[6]
Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je
miacutesto toho v bodě a spojitaacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
17
xrarr+infin xrarrminusinfin
xrarr+infin xrarrminusinfin
lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin
lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin
x rarr x0
lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0
lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0
limf (x )
g ( x)=
lim f ( x)
lim g ( x)=
b
c cne0
xrarr x0
d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost
f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme
Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když
Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu
b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku
[1]
141 Algebra limit
Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu
x0=plusmn infin)
Potom existujiacute limity funkciacute
f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D
a platiacute
1 součet a rozdiacutel limit
2 součin limit
3 podiacutel limit
[1]
forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε
0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε
Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)
18
lim f ( x)
lim f ( x)xrarra
x rarr a+
142 Jednostranneacute limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute
lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f
v bodě a budeme zapisovat takto
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η
agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě
a budeme zapisovat takto
[2]
19
lim 8 xminus6
=lim (8
x6)=+infin
xrarr0xrarr0
lim (( x
2minus1)
(x2minusx)
)=lim ((( xminus1)( x+1))
(x (xminus1)))=lim (
( x+1)
x)=2
xrarr1 xrarr1 xrarr1
lim (xminus7
1minuse2x
)=minusinfin
xrarrminusinfin
lim (minus2x
radicx2minus4
)=lim (minus2x
xradic(1minus4
x2)
)=lim (minus2
radic1minus4
x2
)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin
143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady
Vypočtěte limity
1)
V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se
bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin
2)
V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se
vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity
vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a
zleva
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
3)
e2x
jde v limitě k 0
Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno
4)
V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě
k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli
Vyacutesledek je tedy -2
20
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0
h=xminusa
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim f ( x)= f (a)xrarra
nrarr+infinnrarr+infin
lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))
+
15 Spojitost funkce
Definice spojitosti funkce
Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když
[2]
Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto
[1]
Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když
Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když
Kriteacuteria spojitosti
a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když
b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost
xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně
c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)
a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)
[1]
Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li
naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c
[5]
forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε
stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε
21
x0notinD( f )
limx
x2minus1
=+infin
xrarrminus1
xrarrminus1
limx
x2minus1
=minusinfin
limx
x2minus1
=+infin
xrarr1
limx
x2minus1
=minusinfin
xrarr1
151 Body nespojitosti
Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0
(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru
nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale
neniacute v něm spojitaacute
Když
1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti
2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce
f
3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod
nespojitosti 2 druhu
[1]
Př Najděte body nespojitosti funkce f
D(f) = R--11 body nespojitosti -11
Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem
zaacutepornyacutem čiacuteslem
Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule
Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti
II druhu
Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1
Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno
V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin
f (x )=x
x2minus1
+
+
22
lim (f ( x0+h)minus f ( x0)
h)
hrarr0
y=f ( x)
g (x )
h=xminusx0
Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II
druhu
16 Derivace funkce
Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute
limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute
Derivace funkce y = yacute
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0
derivaci a platiacute
Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)+g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě
derivaci i funkce a platiacute
Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě
z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)
[2]
yacute=kf acute( x0)
yacute= f acute( x0)+gacute (x0)
yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)
y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)
g2( x0)
23
1
xlna
1
x
1
cos2( x)
minus1
sin2(x )
1
radic1minus x2
minus1
radic1minus x2
1
1+x2
minus1
1+x2
1
cosh2(x)
minus1
sinh2(x )
1
radicx2+11
radicx2minus1
1
1minusx2
1
1minusx2
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])
Funkce Derivace funkce Podmiacutenky
k
x
xn
x-n
xα
ax
ex
loga(x)
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tg(x)
cotg(x)
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arccotg(x)
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
cotgh(x)
argsinh(x)
argcosh(x)
argtgh(x)
argcotgh(x)
0
1
nxn-1
-nx-n-1
αxα-1
axln(a)
ex
cos(x)
-sin(x)
cosh(x)
sinh(x)
k je konstanta k ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ n ∊ ℕ
x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ
xgt0 α ∊ ℝ
x ∊ agt0
x ∊ ℝ
xgt0 agt0 ane1
xgt0
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ
x ne kπ k ∊ ℤ
x ∊ (-11)
x ∊ (-11)
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ - 0
x ∊ ℝ
x ∊ (1 +infin)
x ∊ (-1 1)
x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)
24
x rarrinfin
limf (x )
g (x )=lim
f acute (x)
gacute (x )x rarrinfin
162 LacuteHospitalovo pravidlo
Věta (LHospitalovo pravidlo)
Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g
limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu
pak
za předpokladu že limita na praveacute straně existuje
LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute
f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin
a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0
b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin
[3]
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam
Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě
klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a
Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii
25
Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute
Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x) lt f(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima
b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima
Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto
bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem
[2]
Fermatova podmiacutenka extreacutemu
Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet
derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce
v tomto bodě extreacutem
[6]
Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je
miacutesto toho v bodě a spojitaacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
18
lim f ( x)
lim f ( x)xrarra
x rarr a+
142 Jednostranneacute limity
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute
lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f
v bodě a budeme zapisovat takto
Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu
kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η
agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě
a budeme zapisovat takto
[2]
19
lim 8 xminus6
=lim (8
x6)=+infin
xrarr0xrarr0
lim (( x
2minus1)
(x2minusx)
)=lim ((( xminus1)( x+1))
(x (xminus1)))=lim (
( x+1)
x)=2
xrarr1 xrarr1 xrarr1
lim (xminus7
1minuse2x
)=minusinfin
xrarrminusinfin
lim (minus2x
radicx2minus4
)=lim (minus2x
xradic(1minus4
x2)
)=lim (minus2
radic1minus4
x2
)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin
143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady
Vypočtěte limity
1)
V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se
bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin
2)
V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se
vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity
vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a
zleva
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
3)
e2x
jde v limitě k 0
Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno
4)
V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě
k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli
Vyacutesledek je tedy -2
20
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0
h=xminusa
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim f ( x)= f (a)xrarra
nrarr+infinnrarr+infin
lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))
+
15 Spojitost funkce
Definice spojitosti funkce
Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když
[2]
Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto
[1]
Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když
Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když
Kriteacuteria spojitosti
a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když
b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost
xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně
c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)
a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)
[1]
Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li
naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c
[5]
forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε
stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε
21
x0notinD( f )
limx
x2minus1
=+infin
xrarrminus1
xrarrminus1
limx
x2minus1
=minusinfin
limx
x2minus1
=+infin
xrarr1
limx
x2minus1
=minusinfin
xrarr1
151 Body nespojitosti
Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0
(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru
nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale
neniacute v něm spojitaacute
Když
1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti
2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce
f
3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod
nespojitosti 2 druhu
[1]
Př Najděte body nespojitosti funkce f
D(f) = R--11 body nespojitosti -11
Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem
zaacutepornyacutem čiacuteslem
Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule
Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti
II druhu
Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1
Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno
V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin
f (x )=x
x2minus1
+
+
22
lim (f ( x0+h)minus f ( x0)
h)
hrarr0
y=f ( x)
g (x )
h=xminusx0
Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II
druhu
16 Derivace funkce
Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute
limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute
Derivace funkce y = yacute
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0
derivaci a platiacute
Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)+g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě
derivaci i funkce a platiacute
Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě
z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)
[2]
yacute=kf acute( x0)
yacute= f acute( x0)+gacute (x0)
yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)
y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)
g2( x0)
23
1
xlna
1
x
1
cos2( x)
minus1
sin2(x )
1
radic1minus x2
minus1
radic1minus x2
1
1+x2
minus1
1+x2
1
cosh2(x)
minus1
sinh2(x )
1
radicx2+11
radicx2minus1
1
1minusx2
1
1minusx2
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])
Funkce Derivace funkce Podmiacutenky
k
x
xn
x-n
xα
ax
ex
loga(x)
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tg(x)
cotg(x)
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arccotg(x)
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
cotgh(x)
argsinh(x)
argcosh(x)
argtgh(x)
argcotgh(x)
0
1
nxn-1
-nx-n-1
αxα-1
axln(a)
ex
cos(x)
-sin(x)
cosh(x)
sinh(x)
k je konstanta k ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ n ∊ ℕ
x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ
xgt0 α ∊ ℝ
x ∊ agt0
x ∊ ℝ
xgt0 agt0 ane1
xgt0
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ
x ne kπ k ∊ ℤ
x ∊ (-11)
x ∊ (-11)
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ - 0
x ∊ ℝ
x ∊ (1 +infin)
x ∊ (-1 1)
x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)
24
x rarrinfin
limf (x )
g (x )=lim
f acute (x)
gacute (x )x rarrinfin
162 LacuteHospitalovo pravidlo
Věta (LHospitalovo pravidlo)
Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g
limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu
pak
za předpokladu že limita na praveacute straně existuje
LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute
f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin
a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0
b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin
[3]
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam
Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě
klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a
Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii
25
Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute
Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x) lt f(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima
b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima
Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto
bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem
[2]
Fermatova podmiacutenka extreacutemu
Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet
derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce
v tomto bodě extreacutem
[6]
Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je
miacutesto toho v bodě a spojitaacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
19
lim 8 xminus6
=lim (8
x6)=+infin
xrarr0xrarr0
lim (( x
2minus1)
(x2minusx)
)=lim ((( xminus1)( x+1))
(x (xminus1)))=lim (
( x+1)
x)=2
xrarr1 xrarr1 xrarr1
lim (xminus7
1minuse2x
)=minusinfin
xrarrminusinfin
lim (minus2x
radicx2minus4
)=lim (minus2x
xradic(1minus4
x2)
)=lim (minus2
radic1minus4
x2
)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin
143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady
Vypočtěte limity
1)
V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se
bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin
2)
V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se
vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity
vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a
zleva
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
3)
e2x
jde v limitě k 0
Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno
4)
V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě
k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli
Vyacutesledek je tedy -2
20
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0
h=xminusa
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim f ( x)= f (a)xrarra
nrarr+infinnrarr+infin
lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))
+
15 Spojitost funkce
Definice spojitosti funkce
Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když
[2]
Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto
[1]
Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když
Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když
Kriteacuteria spojitosti
a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když
b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost
xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně
c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)
a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)
[1]
Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li
naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c
[5]
forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε
stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε
21
x0notinD( f )
limx
x2minus1
=+infin
xrarrminus1
xrarrminus1
limx
x2minus1
=minusinfin
limx
x2minus1
=+infin
xrarr1
limx
x2minus1
=minusinfin
xrarr1
151 Body nespojitosti
Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0
(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru
nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale
neniacute v něm spojitaacute
Když
1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti
2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce
f
3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod
nespojitosti 2 druhu
[1]
Př Najděte body nespojitosti funkce f
D(f) = R--11 body nespojitosti -11
Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem
zaacutepornyacutem čiacuteslem
Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule
Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti
II druhu
Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1
Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno
V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin
f (x )=x
x2minus1
+
+
22
lim (f ( x0+h)minus f ( x0)
h)
hrarr0
y=f ( x)
g (x )
h=xminusx0
Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II
druhu
16 Derivace funkce
Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute
limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute
Derivace funkce y = yacute
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0
derivaci a platiacute
Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)+g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě
derivaci i funkce a platiacute
Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě
z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)
[2]
yacute=kf acute( x0)
yacute= f acute( x0)+gacute (x0)
yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)
y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)
g2( x0)
23
1
xlna
1
x
1
cos2( x)
minus1
sin2(x )
1
radic1minus x2
minus1
radic1minus x2
1
1+x2
minus1
1+x2
1
cosh2(x)
minus1
sinh2(x )
1
radicx2+11
radicx2minus1
1
1minusx2
1
1minusx2
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])
Funkce Derivace funkce Podmiacutenky
k
x
xn
x-n
xα
ax
ex
loga(x)
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tg(x)
cotg(x)
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arccotg(x)
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
cotgh(x)
argsinh(x)
argcosh(x)
argtgh(x)
argcotgh(x)
0
1
nxn-1
-nx-n-1
αxα-1
axln(a)
ex
cos(x)
-sin(x)
cosh(x)
sinh(x)
k je konstanta k ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ n ∊ ℕ
x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ
xgt0 α ∊ ℝ
x ∊ agt0
x ∊ ℝ
xgt0 agt0 ane1
xgt0
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ
x ne kπ k ∊ ℤ
x ∊ (-11)
x ∊ (-11)
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ - 0
x ∊ ℝ
x ∊ (1 +infin)
x ∊ (-1 1)
x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)
24
x rarrinfin
limf (x )
g (x )=lim
f acute (x)
gacute (x )x rarrinfin
162 LacuteHospitalovo pravidlo
Věta (LHospitalovo pravidlo)
Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g
limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu
pak
za předpokladu že limita na praveacute straně existuje
LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute
f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin
a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0
b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin
[3]
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam
Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě
klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a
Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii
25
Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute
Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x) lt f(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima
b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima
Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto
bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem
[2]
Fermatova podmiacutenka extreacutemu
Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet
derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce
v tomto bodě extreacutem
[6]
Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je
miacutesto toho v bodě a spojitaacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
20
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0
h=xminusa
lim f ( x)= f (a)xrarra
lim f ( x)= f (a)xrarra
nrarr+infinnrarr+infin
lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))
+
15 Spojitost funkce
Definice spojitosti funkce
Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když
[2]
Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto
[1]
Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když
Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když
Kriteacuteria spojitosti
a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když
b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost
xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně
c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)
a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)
[1]
Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li
naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c
[5]
forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε
stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε
21
x0notinD( f )
limx
x2minus1
=+infin
xrarrminus1
xrarrminus1
limx
x2minus1
=minusinfin
limx
x2minus1
=+infin
xrarr1
limx
x2minus1
=minusinfin
xrarr1
151 Body nespojitosti
Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0
(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru
nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale
neniacute v něm spojitaacute
Když
1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti
2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce
f
3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod
nespojitosti 2 druhu
[1]
Př Najděte body nespojitosti funkce f
D(f) = R--11 body nespojitosti -11
Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem
zaacutepornyacutem čiacuteslem
Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule
Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti
II druhu
Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1
Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno
V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin
f (x )=x
x2minus1
+
+
22
lim (f ( x0+h)minus f ( x0)
h)
hrarr0
y=f ( x)
g (x )
h=xminusx0
Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II
druhu
16 Derivace funkce
Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute
limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute
Derivace funkce y = yacute
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0
derivaci a platiacute
Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)+g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě
derivaci i funkce a platiacute
Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě
z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)
[2]
yacute=kf acute( x0)
yacute= f acute( x0)+gacute (x0)
yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)
y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)
g2( x0)
23
1
xlna
1
x
1
cos2( x)
minus1
sin2(x )
1
radic1minus x2
minus1
radic1minus x2
1
1+x2
minus1
1+x2
1
cosh2(x)
minus1
sinh2(x )
1
radicx2+11
radicx2minus1
1
1minusx2
1
1minusx2
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])
Funkce Derivace funkce Podmiacutenky
k
x
xn
x-n
xα
ax
ex
loga(x)
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tg(x)
cotg(x)
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arccotg(x)
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
cotgh(x)
argsinh(x)
argcosh(x)
argtgh(x)
argcotgh(x)
0
1
nxn-1
-nx-n-1
αxα-1
axln(a)
ex
cos(x)
-sin(x)
cosh(x)
sinh(x)
k je konstanta k ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ n ∊ ℕ
x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ
xgt0 α ∊ ℝ
x ∊ agt0
x ∊ ℝ
xgt0 agt0 ane1
xgt0
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ
x ne kπ k ∊ ℤ
x ∊ (-11)
x ∊ (-11)
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ - 0
x ∊ ℝ
x ∊ (1 +infin)
x ∊ (-1 1)
x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)
24
x rarrinfin
limf (x )
g (x )=lim
f acute (x)
gacute (x )x rarrinfin
162 LacuteHospitalovo pravidlo
Věta (LHospitalovo pravidlo)
Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g
limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu
pak
za předpokladu že limita na praveacute straně existuje
LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute
f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin
a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0
b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin
[3]
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam
Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě
klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a
Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii
25
Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute
Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x) lt f(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima
b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima
Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto
bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem
[2]
Fermatova podmiacutenka extreacutemu
Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet
derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce
v tomto bodě extreacutem
[6]
Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je
miacutesto toho v bodě a spojitaacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
21
x0notinD( f )
limx
x2minus1
=+infin
xrarrminus1
xrarrminus1
limx
x2minus1
=minusinfin
limx
x2minus1
=+infin
xrarr1
limx
x2minus1
=minusinfin
xrarr1
151 Body nespojitosti
Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0
(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru
nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale
neniacute v něm spojitaacute
Když
1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti
2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce
f
3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod
nespojitosti 2 druhu
[1]
Př Najděte body nespojitosti funkce f
D(f) = R--11 body nespojitosti -11
Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem
zaacutepornyacutem čiacuteslem
Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule
Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti
II druhu
Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1
Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno
V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin
f (x )=x
x2minus1
+
+
22
lim (f ( x0+h)minus f ( x0)
h)
hrarr0
y=f ( x)
g (x )
h=xminusx0
Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II
druhu
16 Derivace funkce
Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute
limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute
Derivace funkce y = yacute
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0
derivaci a platiacute
Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)+g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě
derivaci i funkce a platiacute
Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě
z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)
[2]
yacute=kf acute( x0)
yacute= f acute( x0)+gacute (x0)
yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)
y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)
g2( x0)
23
1
xlna
1
x
1
cos2( x)
minus1
sin2(x )
1
radic1minus x2
minus1
radic1minus x2
1
1+x2
minus1
1+x2
1
cosh2(x)
minus1
sinh2(x )
1
radicx2+11
radicx2minus1
1
1minusx2
1
1minusx2
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])
Funkce Derivace funkce Podmiacutenky
k
x
xn
x-n
xα
ax
ex
loga(x)
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tg(x)
cotg(x)
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arccotg(x)
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
cotgh(x)
argsinh(x)
argcosh(x)
argtgh(x)
argcotgh(x)
0
1
nxn-1
-nx-n-1
αxα-1
axln(a)
ex
cos(x)
-sin(x)
cosh(x)
sinh(x)
k je konstanta k ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ n ∊ ℕ
x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ
xgt0 α ∊ ℝ
x ∊ agt0
x ∊ ℝ
xgt0 agt0 ane1
xgt0
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ
x ne kπ k ∊ ℤ
x ∊ (-11)
x ∊ (-11)
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ - 0
x ∊ ℝ
x ∊ (1 +infin)
x ∊ (-1 1)
x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)
24
x rarrinfin
limf (x )
g (x )=lim
f acute (x)
gacute (x )x rarrinfin
162 LacuteHospitalovo pravidlo
Věta (LHospitalovo pravidlo)
Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g
limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu
pak
za předpokladu že limita na praveacute straně existuje
LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute
f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin
a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0
b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin
[3]
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam
Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě
klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a
Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii
25
Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute
Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x) lt f(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima
b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima
Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto
bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem
[2]
Fermatova podmiacutenka extreacutemu
Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet
derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce
v tomto bodě extreacutem
[6]
Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je
miacutesto toho v bodě a spojitaacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
22
lim (f ( x0+h)minus f ( x0)
h)
hrarr0
y=f ( x)
g (x )
h=xminusx0
Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II
druhu
16 Derivace funkce
Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute
limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute
Derivace funkce y = yacute
Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0
derivaci a platiacute
Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)+g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce
y=f(x)g(x) a platiacute
Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě
derivaci i funkce a platiacute
Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě
z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)
[2]
yacute=kf acute( x0)
yacute= f acute( x0)+gacute (x0)
yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)
y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)
g2( x0)
23
1
xlna
1
x
1
cos2( x)
minus1
sin2(x )
1
radic1minus x2
minus1
radic1minus x2
1
1+x2
minus1
1+x2
1
cosh2(x)
minus1
sinh2(x )
1
radicx2+11
radicx2minus1
1
1minusx2
1
1minusx2
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])
Funkce Derivace funkce Podmiacutenky
k
x
xn
x-n
xα
ax
ex
loga(x)
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tg(x)
cotg(x)
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arccotg(x)
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
cotgh(x)
argsinh(x)
argcosh(x)
argtgh(x)
argcotgh(x)
0
1
nxn-1
-nx-n-1
αxα-1
axln(a)
ex
cos(x)
-sin(x)
cosh(x)
sinh(x)
k je konstanta k ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ n ∊ ℕ
x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ
xgt0 α ∊ ℝ
x ∊ agt0
x ∊ ℝ
xgt0 agt0 ane1
xgt0
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ
x ne kπ k ∊ ℤ
x ∊ (-11)
x ∊ (-11)
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ - 0
x ∊ ℝ
x ∊ (1 +infin)
x ∊ (-1 1)
x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)
24
x rarrinfin
limf (x )
g (x )=lim
f acute (x)
gacute (x )x rarrinfin
162 LacuteHospitalovo pravidlo
Věta (LHospitalovo pravidlo)
Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g
limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu
pak
za předpokladu že limita na praveacute straně existuje
LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute
f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin
a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0
b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin
[3]
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam
Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě
klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a
Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii
25
Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute
Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x) lt f(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima
b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima
Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto
bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem
[2]
Fermatova podmiacutenka extreacutemu
Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet
derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce
v tomto bodě extreacutem
[6]
Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je
miacutesto toho v bodě a spojitaacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
23
1
xlna
1
x
1
cos2( x)
minus1
sin2(x )
1
radic1minus x2
minus1
radic1minus x2
1
1+x2
minus1
1+x2
1
cosh2(x)
minus1
sinh2(x )
1
radicx2+11
radicx2minus1
1
1minusx2
1
1minusx2
161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])
Funkce Derivace funkce Podmiacutenky
k
x
xn
x-n
xα
ax
ex
loga(x)
ln(x)
sin(x)
cos(x)
tg(x)
cotg(x)
arcsin(x)
arccos(x)
arctg(x)
arccotg(x)
sinh(x)
cosh(x)
tgh(x)
cotgh(x)
argsinh(x)
argcosh(x)
argtgh(x)
argcotgh(x)
0
1
nxn-1
-nx-n-1
αxα-1
axln(a)
ex
cos(x)
-sin(x)
cosh(x)
sinh(x)
k je konstanta k ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ n ∊ ℕ
x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ
xgt0 α ∊ ℝ
x ∊ agt0
x ∊ ℝ
xgt0 agt0 ane1
xgt0
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ
x ne kπ k ∊ ℤ
x ∊ (-11)
x ∊ (-11)
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ
x ∊ ℝ - 0
x ∊ ℝ
x ∊ (1 +infin)
x ∊ (-1 1)
x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)
24
x rarrinfin
limf (x )
g (x )=lim
f acute (x)
gacute (x )x rarrinfin
162 LacuteHospitalovo pravidlo
Věta (LHospitalovo pravidlo)
Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g
limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu
pak
za předpokladu že limita na praveacute straně existuje
LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute
f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin
a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0
b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin
[3]
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam
Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě
klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a
Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii
25
Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute
Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x) lt f(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima
b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima
Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto
bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem
[2]
Fermatova podmiacutenka extreacutemu
Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet
derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce
v tomto bodě extreacutem
[6]
Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je
miacutesto toho v bodě a spojitaacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
24
x rarrinfin
limf (x )
g (x )=lim
f acute (x)
gacute (x )x rarrinfin
162 LacuteHospitalovo pravidlo
Věta (LHospitalovo pravidlo)
Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g
limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu
pak
za předpokladu že limita na praveacute straně existuje
LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute
f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin
a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0
b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin
[3]
163 Prvniacute derivace - vyacuteznam
Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě
klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)
pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)
pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a
Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii
25
Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute
Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x) lt f(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima
b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima
Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto
bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem
[2]
Fermatova podmiacutenka extreacutemu
Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet
derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce
v tomto bodě extreacutem
[6]
Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je
miacutesto toho v bodě a spojitaacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
25
Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute
Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute
Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute
a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x) lt f(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima
b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je
f(x)gtf(a)
pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima
Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto
bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem
[2]
Fermatova podmiacutenka extreacutemu
Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet
derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce
v tomto bodě extreacutem
[6]
Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je
miacutesto toho v bodě a spojitaacute
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
26
limf acute ( x+h)minus f acute ( x)
h
h rarr 0
Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0
pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou
funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum
[2]
164 Druhaacute derivace
Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace
funkce f acute(x) tj limita
nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)
Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento
graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t
a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t
b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute
že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod
tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute minimum
Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a
lokaacutelniacute maximum
[2]
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
27
Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t
Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem
grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na
okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou
polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti
grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t
Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute
miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že
b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0
pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0
pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a lt x ltb
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J
f (x )gtf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
28
Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže
některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto
bodě (jednostranně) spojitaacute
Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute
Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro
libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute
a ltx lt b
je splněna nerovnost
řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J
[2]
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])
f (x )ltf (b)minus f (a )
bminusa( xminusa )+ f (a )
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
29
f (x )=x+3
x2minus1
x2minus1=0 (+1)
x2=1
x=plusmn1
x+3
x2minus1
=0
x+3=0
x=minus3
0+3
02minus1
= y
y=minus3
x rarrinfinx rarrinfinlim
x+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrinfin
2 Řešeneacute přiacuteklady
Př 1 Vyšetřete průběh funkce
Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve
kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule
Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1
Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11
Funkce je spojitaacute v D(f)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3
Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin
V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy
maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0
Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
30
+
+
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarrminus1
limx+3
x2minus1
=minusinfin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=+infin
x rarr 1
limx+3
x2minus1
=lim
x2sdot(
1
x+
3
x2)
x2sdot(1minus
1
x2)
=lim
1
x+
3
x2
1minus1
x2
=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin
V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1
Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je
zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin
Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem
kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin
U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem
čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute
o body nespojitosti druheacuteho druhu
Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se
nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu
Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule
(x+3
x2minus1
)acute=(x
2minus1)minus( x+3)sdot2x
(x2minus1)
2=minusx
2minus6xminus1
( x2minus1)
2
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
31
(minusx
2minus6xminus1
(x2minus1)
2)acute=
(minus2xminus6)sdot(x2minus1)
2minus(minusx
2minus6xminus1)sdot2(x
2minus1)sdot2x
(x2minus1)
4=
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3
2x3+18x
2+6x+6
(x2minus1)
3=0
2x3+18x
2+6x+6=0
2 (x3+9x
2+3x+3)=0
x=minus869464
Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem
maacute souřadnice [-5828 -00858]
(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)
zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute
derivace
kladnaacute derivace
klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve
kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute
zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute
pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute
V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod
konkaacutevnost a konvexnost funkce
Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0
Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu
konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na
intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute
graf
minusx2minus6xminus1=0
x2+6x+1=0
x12=minus6plusmnradic36minus4
2
x1=minus017158 rarr y1=minus29142
x2=minus5828 rarr y 2=minus00858
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
32
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
33
f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2
=5x2sdoteminusx2
= f (x)
lim 5x2sdote
minusx2
=lim5x
2
ex
2 =lim10x
ex
2
sdot2x=lim
5
ex
2 =0x rarr+infin x rarr+infin
x rarr+infin x rarr+infin
x rarr 0
lim 5x2sdote
minusx2
=0
0=5x2sdote
minusx2
x=0
Př 2
Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je
funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti
Daacutele platiacute
Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y
Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0
Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin
Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto
faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute
děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0
V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0
Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace
funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud
zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute
f (x )=5x2sdoteminusx
2
f ( x)=(5x2sdote
minusx2
) =(5x2
ex
2 )=10xsdotex
2
minus5x2sdotex
2
sdot2x
(ex
2
)2
=e
x2
sdot(10xminus10x3)
(ex
2
)2
=10xsdot(1minus x
2)
ex
2
10xsdot(1minusx2)
ex
2 =0 D( f )=R
10xsdot(1minus x2)=0
x1=0
x2=1
x3=minus1
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
34
(10xsdot(1minusx
2)
ex
2 ) =(10(1minus x
2)minus20x
2)sdote
x2
minusex
2
sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))
(ex
2
)2
=10sdot(2x
4minus5x
2+1)
ex
2
10sdot(2x4minus5x
2+1)
ex
2 =0 D( f )=R
10sdot(2x4minus5x
2+1)=0
2x4minus5x
2+1=0
substituce y=x2
2y2minus5y+1=0
y1 2=5plusmnradic17
4
y1=5+radic17
4
y2=5minusradic17
4
x1=radic5+radic17
4x2=minusradic
5+radic17
4
x3=radic5minusradic17
4x4=minusradic
5minusradic17
4
Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech
V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute
V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute
V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu
klesajiacuteciacute
V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0
V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e
Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
35
2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute
konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1
a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve
ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak
je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute
Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(0radic5minusradic17
4) (radic
5minusradic17
4radic
5+radic17
4) (radic
5+radic17
4+infin)
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
36
f (x)=ln (radicx2+1)
radic x2+1gt0
f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)
2+1)= f (minusx)
x rarr 0lim ln radic x2
+1=0
x rarr+infin
lim ln radicx2+1=+infin
(ln radic x2+1)=
1
radicx2+1
1
2sdot
1
radicx2+1
sdot2x=x
x2+1
x
x2+1
=0
x=0
Př 3
Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0
Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ
Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]
Pro tuto funkci platiacute
Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na
intervalu lt0 +infin)
Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu
Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0
Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna
Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci
Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0
Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce
sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
37
(x
x2+1
) =(x
2+1)minus(xsdot2x)
( x2+1)
2=
1minusx2
( x2+1)
2
1minusx2
(x2+1)
2=0
1minusx2=0
x1=1
x2=minus1
Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace
Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule
Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1
(f(x1)=lnradic2)
V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute
V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu
konkaacutevniacute
Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
38
f (x)=arccos(x+3)
minus1⩽x+3⩽1
minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2
D( f )=ltminus4minus2gt
(arccos( x+3))=minus1
radic1minus(x+3)2
(minus1
radic1minus(x+3)2) =
minusxminus3
(1minus(x+3)2)(3 2 )
minusxminus3
(1minus( x+3)2)(3 2 )
=0
minusxminus3=0x=minus3
Př 4
Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou y
Derivace funkce f
Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute
Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute
Druhaacute derivace funkce
0=arccos(x+3)
cos0 = x+3
1=x+3x=minus2
Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]
y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
39
Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]
Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute
Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute
Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
40
x rarr+infinx rarr+infin
x rarrminusinfin x rarrminusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=minusinfin
x rarr 0+
x rarr 0minus
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=+infin
limx
3+2x
2+7xminus3
x2
=lim (x+2+7
xminus
3
x2)=minusinfin
Př 5
Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0
Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech
Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit
Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute
byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo
Určiacuteme prvniacute derivaci funkce
f (x )=x
3+2x
2+7xminus3
x2
(x
3+2x
2+7xminus3
x2
) =(x+2+7
xminus
3
x2) =1minus
7
x2+
6
x3=
x3minus7x+6
x3
xne0
x3minus7x+6
x3
=0
x3minus7x+6=0
( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0
x1=1
x2=2
x3=minus3
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
41
(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
1 derivace
zaacutepornaacute
1 derivace
kladnaacute
rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute
Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute
V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce
Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f
2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute
konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
(x
3minus7x+6
x3
) =(1minus7
x2+
6
x3)=
14
x3minus
18
x4=
14xminus18
x4
pro xne0
14xminus18
x4
=0
14xminus18=0
x=18
14
(minusinfin 0)(0
18
14) (
18
14+infin)
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
42
x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3
0=∣x+5
minusx+3∣x=minus5
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
Př 6
Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body
funkce
Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je
D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0
Průsečiacutek s osou x
Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]
Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]
Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich
funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již
nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute
interval zvlaacutešť
(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)
zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce
a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)
V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru
ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat
f (x )=∣x+5
minusx+3∣
y=∣0+5
minus0+3∣
y=5
3
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
43
x rarrminusinfinlim
minusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarrminusinfin
x rarrminusinfin
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minusxminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin
Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute
jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1
Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě
protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0
Prvniacute derivace funkce
Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem
intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem
Druhaacute derivace funkce
Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve
vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto
intervalu konkaacutevniacute
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
44
x+5
minusx+3
limx+5
minusx+3=+infin
x rarr3minus
b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)
V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru
Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše
Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme
vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu
zleva
Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme
velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin
Vypočteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je
vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute
Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce
Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace
je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu
konkaacutevniacute
(x+5
minusx+3)=
(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)
(minusx+3)2
=minusx+3+x+5
(minusx+3)2
=8
(minusx+3)2
(8
(minusx+3)2) =
minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=minus16x+48
(minusx+3)4
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
45
∣x+5minusx+3∣=
minusxminus5minusx+3
x rarr3+
limminusxminus5
minusx+3=+infin
limminusxminus5
minusx+3=lim
minusxsdot(1+5
x)
minusxsdot(1minus3
x)
=lim
1+5
x
1minus3
x
=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin
c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)
Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez
absolutniacute hodnoty
Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu
ve ktereacute jde x k 3 zprava
Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin
Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce
Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto
intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute
Zjistiacuteme druhou derivaci funkce
Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute
na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem
nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce
(minusxminus5
minusx+3)=
(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)
(minusx+3)2
=
=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5
(minusx+3)2
=xminus3minus xminus5
(minusx+3)2
=minus8
(minusx+3)2
(minus8
(minusx+3)2) =
minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)
(minusx+3)4
=minus16sdot(minusx+3)
(minusx+3)4
=16xminus48
(minusx+3)2
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
46
Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute
funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
47
Zaacutevěr
V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy
ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute
s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň
jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti
teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla
k vyacutesledku
V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute
než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce
Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu
vyšetřovaneacute funkce
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
48
Resumeacute
This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of
function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)
This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue
better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
49
Seznam literatury
[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute
univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8
[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty
2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy
(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)
[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]
Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm
[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a
elektrotechnickaacute 1983
[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute
pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987
[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1
[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z
httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-
konkavnost-funkcephp
[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006
[online] [20 3 2017]
Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
50
Seznam obraacutezků a tabulek
Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9
Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10
Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11
Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13
Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14
Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15
Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19
Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28
Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32
Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35
Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37
Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39
Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41
Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46
Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23
I
I