+ All Categories
Home > Documents > Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování...

Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování...

Date post: 14-Jul-2020
Category:
Upload: others
View: 1 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
49
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY VYŠETŘOVÁNÍ PRŮBĚHU FUNKCÍ - ŘEŠENÉ PŘÍKLADY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Lucie Ceplechová Přírodovědná studia, obor Matematická studia Vedoucí práce: PhDr. Lukáš Honzík, Ph.D. Plzeň, 2017
Transcript
Page 1: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

ZAacutePADOČESKAacute UNIVERZITA V PLZNI

FAKULTA PEDAGOGICKAacute

KATEDRA MATEMATIKY FYZIKY A TECHNICKEacute VYacuteCHOVY

VYŠETŘOVAacuteNIacute PRŮBĚHU FUNKCIacute - ŘEŠENEacute PŘIacuteKLADY

BAKALAacuteŘSKAacute PRAacuteCE

Lucie Ceplechovaacute

Přiacuterodovědnaacute studia obor Matematickaacute studia

Vedouciacute praacutece PhDr Lukaacuteš Honziacutek PhD

Plzeň 2017

Prohlašuji že jsem bakalaacuteřskou praacuteci na teacutema Vyšetřovaacuteniacute

průběhu funkciacute ndash řešeneacute přiacutekladylsquolsquo vypracovala samostatně

s použitiacutem uvedeneacute literatury a zdrojů informaciacute

V Plzni dnehelliphelliphellip

Lucie Ceplechovaacute

Raacuteda bych poděkovala vedouciacutemu meacute bakalaacuteřskeacute praacutece panu PhDr Lukaacuteši Honziacutekovi

PhD za poskytnutiacute užitečnyacutech rad dobryacutech naacutepadů a připomiacutenek během praacutece na teacuteto

bakalaacuteřskeacute praacuteci

6

Obsah

Uacutevod 7

1 Teoretickyacute zaacuteklad vyšetřovaacuteniacute průběhu funkciacute s jednou proměnnou 8

11 Definice funkce jedneacute proměnneacute zaacutekladniacute pojmy 8

111 Definičniacute obor - přiacuteklady 10

12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y 12

121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady 12

13 Speciaacutelniacute typy funkciacute 13

14 Limity funkce 15

141 Algebra limit 17

142 Jednostranneacute limity 18

143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady 19

15 Spojitost funkce 20

151 Body nespojitosti 21

16 Derivace funkce 22

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute 23

162 LacuteHospitalovo pravidlo 24

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam 24

164 Druhaacute derivace 26

2 Řešeneacute přiacuteklady 29

Zaacutevěr 47

Resumeacute 48

Seznam literatury 49

Seznam obraacutezků a tabulek 50

7

Uacutevod

Bakalaacuteřskaacute praacutece se zabyacutevaacute vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkciacute o jedneacute a viacutece proměnnyacutech

Ačkoliv je funkce o jedneacute proměnneacute často probiacuteraneacute teacutema rozhodla jsem se ho zpracovat

komplexně a rozšiacuteřit o problematiku s viacutece proměnnyacutemi

Praacutece je rozdělena do dvou čaacutestiacute V prvniacute čaacutesti se zabyacutevaacutem teoretickyacutem vyšetřovaacuteniacutem

průběhu funkciacute V teacuteto čaacutesti jsou podrobně rozepsaacuteny všechny potřebneacute kroky ke zjištěniacute

průběhu funkce

V druheacute čaacutesti teacuteto bakalaacuteřskeacute praacutece aplikuji na konkreacutetniacutech přiacutekladech kroky uvedeneacute

v prvniacute čaacutesti Všechny uvedeneacute přiacuteklady jsou funkce s jednou proměnnou V teacuteto čaacutesti jsou

uvedeny různeacute druhy přiacutekladů o různyacutech obtiacutežnostech Každyacute přiacuteklad je doplněn grafem

tak aby čtenaacuteř dokaacutezal plně pochopit problematiku daneacuteho přiacutekladu

8

1 Teoretickyacute zaacuteklad vyšetřovaacuteniacute průběhu funkciacute s jednou proměnnou

11 Definice funkce jedneacute proměnneacute zaacutekladniacute pojmy

Pro možnost vyšetřovat funkce je důležiteacute co funkce je

Nechť Dsubℝ Zobrazeniacute f D↦ ℝ nazyacutevaacuteme reaacutelnou funkciacute jedneacute reaacutelneacute proměnneacute

(každeacutemu prvku množiny D je přiřazeno praacutevě jedno čiacuteslo z množiny ℝ)

Prvkům množiny D řiacutekaacuteme vzory argumenty nezaacutevisleacute proměnneacute a značiacuteme je

xtshellip∊D jejich obrazy značiacuteme f(x) f(t) f(s)hellip∊ ℝ a nazyacutevaacuteme funkčniacute hodnoty

Množina D se nazyacutevaacute definičniacute obor funkce a takeacute se značiacute D=D(f) množina obrazů se

nazyacutevaacute obor hodnot a značiacute se H=H(f) Nejčastěji piacutešeme

y = f(x) x∊D nebo f x↦f(x) x∊ D

Graf funkce f je množina G dvojic [x f(x)] x∊D tj Gf = DtimesHsubℝ2 Řiacutekaacuteme že funkce je

daacutena je-li daacuteno přiřazeniacute f a definičniacute obor D(f)

[1]

Nejčastějšiacute způsoby zadaacuteniacute funkciacute

a) Analytickeacute zadaacuteniacute

Funkčniacute předpis je daacuten rovniciacute nebo soustavou rovnic (zpravidla jde o jeho explicitniacute

implicitniacute nebo parametrickeacute vyjaacutedřeniacute) Pokud je funkčniacute předpis zadaacuten ve tvaru y = f(x)

jednaacute se o explicitniacute vyjaacutedřeniacute Funkčniacute předpis je zadaacuten implicitně pokud je ve tvaru

F(x y) = 0 resp F(x f(x)) = 0 Parametrickeacute vyjaacutedřeniacute znamenaacute že funkčniacute předpis

funkce f je zadaacuten ve tvaru soustavy rovnic s parametrem např x = ϕ(t) y = ϕ(t) kde t je

parametr s danyacutem oborem proměnnosti zpravidla t ∊ ltα βgt α β ∊ ℝ

(ℝ = ℝ cup -infin +infin)

b) Grafickeacute zadaacuteniacute ndash funkce je daacutena svyacutem grafem

c) Tabelaacuterniacute zadaacuteniacute ndash pro konečnyacute počet uspořaacutedanyacutech dvojic [x y] ∊ f může byacutet funkce

určena jejich vyacutečtem

[4]

9

Množina všech bodů [x f(x)] v karteacutezskeacutem souřadnicoveacutem systeacutemu se nazyacutevaacute graf funkce

f

Na naacutesledujiacuteciacutem obraacutezku je znaacutezorněn přiacutepad ve ktereacutem se nejednaacute o graf funkce jelikož

neniacute splněna podmiacutenka uvedenaacute v definici funkce Důkaz tohoto tvrzeniacute je evidentniacute např

v bodě x = 0 (bod A) pro kteryacute platiacute že f(0) = 2 (bod B) a zaacuteroveň f(0)= -2 (bod C)

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

V naacutesledujiacuteciacutem grafu se jednaacute o graf funkce jelikož je splněna vyacuteše uvedenaacute definice

funkce

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

10

Funkce g D(g) rarr ℝ se nazyacutevaacute restrikce funkce f D(f)rarrℝ jestliže D(g) sub D(f) a pro

všechna x definičniacuteho oboru platiacute g(x) = f(x)

Funkce f g se rovnajiacute jestliže D(g)=D(f) a pro všechna x definičniacuteho oboru platiacute

g(x) = f(x)

Nechť D(g) = D(f) potom pomociacute naacutesledujiacuteciacutech předpisů definujeme

součet funkciacute f + g x rarr f(x) + g(x)

rozdiacutel funkciacute f - g xrarr f(x) - g(x)

součin funkciacute f g x rarr f(x) g(x)

podiacutel funkciacute fg x rarr f(x)g(x) g(x) ne 0

naacutesobek funkce αf x rarrαf(x) α ∊ ℝ

[8]

111 DEFINIČNIacute OBOR - PŘIacuteKLADY

Př 1 Určete definičniacute obor u naacutesledujiacuteciacutech funkciacute

a) f(x) = ln(x+1)

Aby byla funkce definovaacutena musiacute byacutet argument logaritmu většiacute než 0 Definičniacute obor teacuteto

funkce zjistiacuteme naacutesledovně

x+1 gt 0

x gt -1

Tedy platiacute D(f) = (-1 + ) Na obraacutezku vidiacuteme graf funkce Z obraacutezku je naacutezorně vidět i

definičniacute obor vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

infin

11

1

x+8+radic xb) h(x) =

Tato funkce je definovaacutena pouze pokud jmenovatel funkce se nerovnaacute 0 a zaacuterověň funkce

pod odmocninou je většiacute než 0

Teď viacuteme že do definičniacuteho oboru teacuteto funkce nebude patřit bod x = -8

Definičniacute obor odmocniny x ge 0

Nyniacute musiacuteme udělat průnik podmiacutenek pro definičniacute obor funkce h(x) tedy x se nesmiacute

rovnat -8 a zaacuteroveň x musiacute byacutet většiacute nebo rovno 0 Tedy D(h) = lt0 +infin)

Spraacutevnost vyacutepočtu opět potvrdiacuteme na naacutesledujiacuteciacutem grafu

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

x+8ne0xneminus8

12

5minusx

x+1

5minusx

x+1

5minusx

x+1

12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y

Pro zjištěniacute průběhu funkce musiacuteme vypočiacutetat průsečiacuteky funkce s osou x i s osou y

Průsečiacutek s osou x

Maacuteme-li funkci y=f(x) průsečiacutek s osou x ziacuteskaacuteme tak že za y dosadiacuteme 0 (jelikož pro

všechny body na ose x platiacute souřadnice [x0]) a uacutepravami ziacuteskaacuteme z rovnice hodnotu x

Řešiacuteme tedy rovnici 0=f(x)

Průsečiacutek s osou y

Ve funkci y=f(x) ziacuteskaacuteme průsečiacutek s osou y dosazeniacutem 0 za x ve vyacuterazu f(x) (pro všechny

body na ose y platiacute naacutesledujiacuteciacute souřadnice [0y]) a opět pomociacute uacuteprav ziacuteskaacuteme hodnotu

bodu y Řešiacuteme rovnici y = f(0)

121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady

Př Zjistěte průsečiacuteky s osami x a y u naacutesledujiacuteciacute funkce

f(x) y =

Řešeniacute

Průsečiacutek s osou x funkce y = (dosadiacuteme tedy y = 0)

0 = (x+1)

0 = 5-x

x = 5

Průsečiacutek s osou y zjistiacuteme tak že za x dosadiacuteme 0

y = 5

Viacuteme tedy že zadanaacute funkce f(x) protiacutenaacute osu x v bodě X = [5 0] a osu y v bodě Y = [0 5]

Na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku grafu funkce vidiacuteme průběh funkce i vyznačeneacute průsečiacuteky

s osami x a y

13

forallxisin D( f ) existT isin Rminus0 x+T isinD( f )and f (x+T ) = f (x)

existKgt0 forallxisinA f ( x)⩽K

forallxisinD( f ) f (minusx)= f (x)

forallxisinD( f ) f (minusx)=minus f (x)

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

13 Speciaacutelniacute typy funkciacute

Funkce f y = f(x) x ∊ D(f) je

funkce sudaacute praacutevě když

funkce lichaacute praacutevě když

funkce periodickaacute praacutevě když

T se nazyacutevaacute perioda funkce

funkce omezenaacute zdola na množině AsubD(f) praacutevě když je zdola omezenaacute množina f(A)

funkce omezenaacute shora na množině AsubD(f) praacutevě když je shora omezenaacute množina f(A)

funkce omezenaacute na množině AsubD(f) praacutevě když je omezenaacute zdola i shora tj praacutevě když

je omezenaacute množina f(A)

Funkce f kteraacute je prostyacutem zobrazeniacutem D(f) rarr ℝ tj u niacutež pro každou dvojici x1 x2 ∊ D(f)

x1 ne x2 je takeacute f(x1) nef(x2) se nazyacutevaacute prostaacute funkce

[4]

existKgt0forallx isinA f (x)geminusK

existKgt0 forallxisinA ∣f (x)∣⩽K

14

Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

15

xrarralim f ( x)=b

xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

14 Limity funkce

Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu

Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke

každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute

interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho

okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0

Definice limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje

takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute

hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu

ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute

(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu

16

x0notinD( f )

xrarr x0

lim f ( x)=b

xrarr x0xrarr x0

xrarr+infinxrarrminusinfin

xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu

k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna

nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme

[2]

Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru

(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))

Definice limity podle Heineho

Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity

posloupnosti

a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0

konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute

v bodě x0 limitu b a piacutešeme

b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin

(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)

limitu b a piacutešeme

17

xrarr+infin xrarrminusinfin

xrarr+infin xrarrminusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin

lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin

x rarr x0

lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0

lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

limf (x )

g ( x)=

lim f ( x)

lim g ( x)=

b

c cne0

xrarr x0

d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když

Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu

b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku

[1]

141 Algebra limit

Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu

x0=plusmn infin)

Potom existujiacute limity funkciacute

f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D

a platiacute

1 součet a rozdiacutel limit

2 součin limit

3 podiacutel limit

[1]

forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε

0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε

Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)

18

lim f ( x)

lim f ( x)xrarra

x rarr a+

142 Jednostranneacute limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute

lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f

v bodě a budeme zapisovat takto

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η

agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě

a budeme zapisovat takto

[2]

19

lim 8 xminus6

=lim (8

x6)=+infin

xrarr0xrarr0

lim (( x

2minus1)

(x2minusx)

)=lim ((( xminus1)( x+1))

(x (xminus1)))=lim (

( x+1)

x)=2

xrarr1 xrarr1 xrarr1

lim (xminus7

1minuse2x

)=minusinfin

xrarrminusinfin

lim (minus2x

radicx2minus4

)=lim (minus2x

xradic(1minus4

x2)

)=lim (minus2

radic1minus4

x2

)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin

143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady

Vypočtěte limity

1)

V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se

bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin

2)

V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se

vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity

vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a

zleva

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

3)

e2x

jde v limitě k 0

Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno

4)

V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě

k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli

Vyacutesledek je tedy -2

20

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0

h=xminusa

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim f ( x)= f (a)xrarra

nrarr+infinnrarr+infin

lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))

+

15 Spojitost funkce

Definice spojitosti funkce

Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když

[2]

Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto

[1]

Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když

Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když

Kriteacuteria spojitosti

a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když

b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost

xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně

c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)

a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)

[1]

Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li

naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c

[5]

forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε

stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε

21

x0notinD( f )

limx

x2minus1

=+infin

xrarrminus1

xrarrminus1

limx

x2minus1

=minusinfin

limx

x2minus1

=+infin

xrarr1

limx

x2minus1

=minusinfin

xrarr1

151 Body nespojitosti

Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0

(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru

nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale

neniacute v něm spojitaacute

Když

1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti

2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce

f

3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod

nespojitosti 2 druhu

[1]

Př Najděte body nespojitosti funkce f

D(f) = R--11 body nespojitosti -11

Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem

zaacutepornyacutem čiacuteslem

Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule

Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti

II druhu

Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1

Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno

V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin

f (x )=x

x2minus1

+

+

22

lim (f ( x0+h)minus f ( x0)

h)

hrarr0

y=f ( x)

g (x )

h=xminusx0

Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II

druhu

16 Derivace funkce

Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute

limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute

Derivace funkce y = yacute

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0

derivaci a platiacute

Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)+g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě

derivaci i funkce a platiacute

Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě

z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)

[2]

yacute=kf acute( x0)

yacute= f acute( x0)+gacute (x0)

yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)

y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)

g2( x0)

23

1

xlna

1

x

1

cos2( x)

minus1

sin2(x )

1

radic1minus x2

minus1

radic1minus x2

1

1+x2

minus1

1+x2

1

cosh2(x)

minus1

sinh2(x )

1

radicx2+11

radicx2minus1

1

1minusx2

1

1minusx2

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])

Funkce Derivace funkce Podmiacutenky

k

x

xn

x-n

ax

ex

loga(x)

ln(x)

sin(x)

cos(x)

tg(x)

cotg(x)

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arccotg(x)

sinh(x)

cosh(x)

tgh(x)

cotgh(x)

argsinh(x)

argcosh(x)

argtgh(x)

argcotgh(x)

0

1

nxn-1

-nx-n-1

αxα-1

axln(a)

ex

cos(x)

-sin(x)

cosh(x)

sinh(x)

k je konstanta k ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ n ∊ ℕ

x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ

xgt0 α ∊ ℝ

x ∊ agt0

x ∊ ℝ

xgt0 agt0 ane1

xgt0

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ

x ne kπ k ∊ ℤ

x ∊ (-11)

x ∊ (-11)

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ - 0

x ∊ ℝ

x ∊ (1 +infin)

x ∊ (-1 1)

x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)

24

x rarrinfin

limf (x )

g (x )=lim

f acute (x)

gacute (x )x rarrinfin

162 LacuteHospitalovo pravidlo

Věta (LHospitalovo pravidlo)

Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g

limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu

pak

za předpokladu že limita na praveacute straně existuje

LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute

f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin

a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0

b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin

[3]

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam

Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě

klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a

Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii

25

Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute

Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x) lt f(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima

b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima

Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto

bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem

[2]

Fermatova podmiacutenka extreacutemu

Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet

derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce

v tomto bodě extreacutem

[6]

Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je

miacutesto toho v bodě a spojitaacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 2: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

Prohlašuji že jsem bakalaacuteřskou praacuteci na teacutema Vyšetřovaacuteniacute

průběhu funkciacute ndash řešeneacute přiacutekladylsquolsquo vypracovala samostatně

s použitiacutem uvedeneacute literatury a zdrojů informaciacute

V Plzni dnehelliphelliphellip

Lucie Ceplechovaacute

Raacuteda bych poděkovala vedouciacutemu meacute bakalaacuteřskeacute praacutece panu PhDr Lukaacuteši Honziacutekovi

PhD za poskytnutiacute užitečnyacutech rad dobryacutech naacutepadů a připomiacutenek během praacutece na teacuteto

bakalaacuteřskeacute praacuteci

6

Obsah

Uacutevod 7

1 Teoretickyacute zaacuteklad vyšetřovaacuteniacute průběhu funkciacute s jednou proměnnou 8

11 Definice funkce jedneacute proměnneacute zaacutekladniacute pojmy 8

111 Definičniacute obor - přiacuteklady 10

12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y 12

121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady 12

13 Speciaacutelniacute typy funkciacute 13

14 Limity funkce 15

141 Algebra limit 17

142 Jednostranneacute limity 18

143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady 19

15 Spojitost funkce 20

151 Body nespojitosti 21

16 Derivace funkce 22

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute 23

162 LacuteHospitalovo pravidlo 24

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam 24

164 Druhaacute derivace 26

2 Řešeneacute přiacuteklady 29

Zaacutevěr 47

Resumeacute 48

Seznam literatury 49

Seznam obraacutezků a tabulek 50

7

Uacutevod

Bakalaacuteřskaacute praacutece se zabyacutevaacute vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkciacute o jedneacute a viacutece proměnnyacutech

Ačkoliv je funkce o jedneacute proměnneacute často probiacuteraneacute teacutema rozhodla jsem se ho zpracovat

komplexně a rozšiacuteřit o problematiku s viacutece proměnnyacutemi

Praacutece je rozdělena do dvou čaacutestiacute V prvniacute čaacutesti se zabyacutevaacutem teoretickyacutem vyšetřovaacuteniacutem

průběhu funkciacute V teacuteto čaacutesti jsou podrobně rozepsaacuteny všechny potřebneacute kroky ke zjištěniacute

průběhu funkce

V druheacute čaacutesti teacuteto bakalaacuteřskeacute praacutece aplikuji na konkreacutetniacutech přiacutekladech kroky uvedeneacute

v prvniacute čaacutesti Všechny uvedeneacute přiacuteklady jsou funkce s jednou proměnnou V teacuteto čaacutesti jsou

uvedeny různeacute druhy přiacutekladů o různyacutech obtiacutežnostech Každyacute přiacuteklad je doplněn grafem

tak aby čtenaacuteř dokaacutezal plně pochopit problematiku daneacuteho přiacutekladu

8

1 Teoretickyacute zaacuteklad vyšetřovaacuteniacute průběhu funkciacute s jednou proměnnou

11 Definice funkce jedneacute proměnneacute zaacutekladniacute pojmy

Pro možnost vyšetřovat funkce je důležiteacute co funkce je

Nechť Dsubℝ Zobrazeniacute f D↦ ℝ nazyacutevaacuteme reaacutelnou funkciacute jedneacute reaacutelneacute proměnneacute

(každeacutemu prvku množiny D je přiřazeno praacutevě jedno čiacuteslo z množiny ℝ)

Prvkům množiny D řiacutekaacuteme vzory argumenty nezaacutevisleacute proměnneacute a značiacuteme je

xtshellip∊D jejich obrazy značiacuteme f(x) f(t) f(s)hellip∊ ℝ a nazyacutevaacuteme funkčniacute hodnoty

Množina D se nazyacutevaacute definičniacute obor funkce a takeacute se značiacute D=D(f) množina obrazů se

nazyacutevaacute obor hodnot a značiacute se H=H(f) Nejčastěji piacutešeme

y = f(x) x∊D nebo f x↦f(x) x∊ D

Graf funkce f je množina G dvojic [x f(x)] x∊D tj Gf = DtimesHsubℝ2 Řiacutekaacuteme že funkce je

daacutena je-li daacuteno přiřazeniacute f a definičniacute obor D(f)

[1]

Nejčastějšiacute způsoby zadaacuteniacute funkciacute

a) Analytickeacute zadaacuteniacute

Funkčniacute předpis je daacuten rovniciacute nebo soustavou rovnic (zpravidla jde o jeho explicitniacute

implicitniacute nebo parametrickeacute vyjaacutedřeniacute) Pokud je funkčniacute předpis zadaacuten ve tvaru y = f(x)

jednaacute se o explicitniacute vyjaacutedřeniacute Funkčniacute předpis je zadaacuten implicitně pokud je ve tvaru

F(x y) = 0 resp F(x f(x)) = 0 Parametrickeacute vyjaacutedřeniacute znamenaacute že funkčniacute předpis

funkce f je zadaacuten ve tvaru soustavy rovnic s parametrem např x = ϕ(t) y = ϕ(t) kde t je

parametr s danyacutem oborem proměnnosti zpravidla t ∊ ltα βgt α β ∊ ℝ

(ℝ = ℝ cup -infin +infin)

b) Grafickeacute zadaacuteniacute ndash funkce je daacutena svyacutem grafem

c) Tabelaacuterniacute zadaacuteniacute ndash pro konečnyacute počet uspořaacutedanyacutech dvojic [x y] ∊ f může byacutet funkce

určena jejich vyacutečtem

[4]

9

Množina všech bodů [x f(x)] v karteacutezskeacutem souřadnicoveacutem systeacutemu se nazyacutevaacute graf funkce

f

Na naacutesledujiacuteciacutem obraacutezku je znaacutezorněn přiacutepad ve ktereacutem se nejednaacute o graf funkce jelikož

neniacute splněna podmiacutenka uvedenaacute v definici funkce Důkaz tohoto tvrzeniacute je evidentniacute např

v bodě x = 0 (bod A) pro kteryacute platiacute že f(0) = 2 (bod B) a zaacuteroveň f(0)= -2 (bod C)

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

V naacutesledujiacuteciacutem grafu se jednaacute o graf funkce jelikož je splněna vyacuteše uvedenaacute definice

funkce

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

10

Funkce g D(g) rarr ℝ se nazyacutevaacute restrikce funkce f D(f)rarrℝ jestliže D(g) sub D(f) a pro

všechna x definičniacuteho oboru platiacute g(x) = f(x)

Funkce f g se rovnajiacute jestliže D(g)=D(f) a pro všechna x definičniacuteho oboru platiacute

g(x) = f(x)

Nechť D(g) = D(f) potom pomociacute naacutesledujiacuteciacutech předpisů definujeme

součet funkciacute f + g x rarr f(x) + g(x)

rozdiacutel funkciacute f - g xrarr f(x) - g(x)

součin funkciacute f g x rarr f(x) g(x)

podiacutel funkciacute fg x rarr f(x)g(x) g(x) ne 0

naacutesobek funkce αf x rarrαf(x) α ∊ ℝ

[8]

111 DEFINIČNIacute OBOR - PŘIacuteKLADY

Př 1 Určete definičniacute obor u naacutesledujiacuteciacutech funkciacute

a) f(x) = ln(x+1)

Aby byla funkce definovaacutena musiacute byacutet argument logaritmu většiacute než 0 Definičniacute obor teacuteto

funkce zjistiacuteme naacutesledovně

x+1 gt 0

x gt -1

Tedy platiacute D(f) = (-1 + ) Na obraacutezku vidiacuteme graf funkce Z obraacutezku je naacutezorně vidět i

definičniacute obor vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

infin

11

1

x+8+radic xb) h(x) =

Tato funkce je definovaacutena pouze pokud jmenovatel funkce se nerovnaacute 0 a zaacuterověň funkce

pod odmocninou je většiacute než 0

Teď viacuteme že do definičniacuteho oboru teacuteto funkce nebude patřit bod x = -8

Definičniacute obor odmocniny x ge 0

Nyniacute musiacuteme udělat průnik podmiacutenek pro definičniacute obor funkce h(x) tedy x se nesmiacute

rovnat -8 a zaacuteroveň x musiacute byacutet většiacute nebo rovno 0 Tedy D(h) = lt0 +infin)

Spraacutevnost vyacutepočtu opět potvrdiacuteme na naacutesledujiacuteciacutem grafu

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

x+8ne0xneminus8

12

5minusx

x+1

5minusx

x+1

5minusx

x+1

12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y

Pro zjištěniacute průběhu funkce musiacuteme vypočiacutetat průsečiacuteky funkce s osou x i s osou y

Průsečiacutek s osou x

Maacuteme-li funkci y=f(x) průsečiacutek s osou x ziacuteskaacuteme tak že za y dosadiacuteme 0 (jelikož pro

všechny body na ose x platiacute souřadnice [x0]) a uacutepravami ziacuteskaacuteme z rovnice hodnotu x

Řešiacuteme tedy rovnici 0=f(x)

Průsečiacutek s osou y

Ve funkci y=f(x) ziacuteskaacuteme průsečiacutek s osou y dosazeniacutem 0 za x ve vyacuterazu f(x) (pro všechny

body na ose y platiacute naacutesledujiacuteciacute souřadnice [0y]) a opět pomociacute uacuteprav ziacuteskaacuteme hodnotu

bodu y Řešiacuteme rovnici y = f(0)

121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady

Př Zjistěte průsečiacuteky s osami x a y u naacutesledujiacuteciacute funkce

f(x) y =

Řešeniacute

Průsečiacutek s osou x funkce y = (dosadiacuteme tedy y = 0)

0 = (x+1)

0 = 5-x

x = 5

Průsečiacutek s osou y zjistiacuteme tak že za x dosadiacuteme 0

y = 5

Viacuteme tedy že zadanaacute funkce f(x) protiacutenaacute osu x v bodě X = [5 0] a osu y v bodě Y = [0 5]

Na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku grafu funkce vidiacuteme průběh funkce i vyznačeneacute průsečiacuteky

s osami x a y

13

forallxisin D( f ) existT isin Rminus0 x+T isinD( f )and f (x+T ) = f (x)

existKgt0 forallxisinA f ( x)⩽K

forallxisinD( f ) f (minusx)= f (x)

forallxisinD( f ) f (minusx)=minus f (x)

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

13 Speciaacutelniacute typy funkciacute

Funkce f y = f(x) x ∊ D(f) je

funkce sudaacute praacutevě když

funkce lichaacute praacutevě když

funkce periodickaacute praacutevě když

T se nazyacutevaacute perioda funkce

funkce omezenaacute zdola na množině AsubD(f) praacutevě když je zdola omezenaacute množina f(A)

funkce omezenaacute shora na množině AsubD(f) praacutevě když je shora omezenaacute množina f(A)

funkce omezenaacute na množině AsubD(f) praacutevě když je omezenaacute zdola i shora tj praacutevě když

je omezenaacute množina f(A)

Funkce f kteraacute je prostyacutem zobrazeniacutem D(f) rarr ℝ tj u niacutež pro každou dvojici x1 x2 ∊ D(f)

x1 ne x2 je takeacute f(x1) nef(x2) se nazyacutevaacute prostaacute funkce

[4]

existKgt0forallx isinA f (x)geminusK

existKgt0 forallxisinA ∣f (x)∣⩽K

14

Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

15

xrarralim f ( x)=b

xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

14 Limity funkce

Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu

Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke

každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute

interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho

okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0

Definice limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje

takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute

hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu

ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute

(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu

16

x0notinD( f )

xrarr x0

lim f ( x)=b

xrarr x0xrarr x0

xrarr+infinxrarrminusinfin

xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu

k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna

nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme

[2]

Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru

(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))

Definice limity podle Heineho

Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity

posloupnosti

a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0

konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute

v bodě x0 limitu b a piacutešeme

b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin

(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)

limitu b a piacutešeme

17

xrarr+infin xrarrminusinfin

xrarr+infin xrarrminusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin

lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin

x rarr x0

lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0

lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

limf (x )

g ( x)=

lim f ( x)

lim g ( x)=

b

c cne0

xrarr x0

d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když

Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu

b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku

[1]

141 Algebra limit

Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu

x0=plusmn infin)

Potom existujiacute limity funkciacute

f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D

a platiacute

1 součet a rozdiacutel limit

2 součin limit

3 podiacutel limit

[1]

forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε

0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε

Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)

18

lim f ( x)

lim f ( x)xrarra

x rarr a+

142 Jednostranneacute limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute

lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f

v bodě a budeme zapisovat takto

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η

agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě

a budeme zapisovat takto

[2]

19

lim 8 xminus6

=lim (8

x6)=+infin

xrarr0xrarr0

lim (( x

2minus1)

(x2minusx)

)=lim ((( xminus1)( x+1))

(x (xminus1)))=lim (

( x+1)

x)=2

xrarr1 xrarr1 xrarr1

lim (xminus7

1minuse2x

)=minusinfin

xrarrminusinfin

lim (minus2x

radicx2minus4

)=lim (minus2x

xradic(1minus4

x2)

)=lim (minus2

radic1minus4

x2

)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin

143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady

Vypočtěte limity

1)

V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se

bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin

2)

V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se

vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity

vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a

zleva

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

3)

e2x

jde v limitě k 0

Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno

4)

V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě

k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli

Vyacutesledek je tedy -2

20

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0

h=xminusa

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim f ( x)= f (a)xrarra

nrarr+infinnrarr+infin

lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))

+

15 Spojitost funkce

Definice spojitosti funkce

Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když

[2]

Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto

[1]

Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když

Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když

Kriteacuteria spojitosti

a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když

b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost

xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně

c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)

a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)

[1]

Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li

naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c

[5]

forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε

stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε

21

x0notinD( f )

limx

x2minus1

=+infin

xrarrminus1

xrarrminus1

limx

x2minus1

=minusinfin

limx

x2minus1

=+infin

xrarr1

limx

x2minus1

=minusinfin

xrarr1

151 Body nespojitosti

Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0

(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru

nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale

neniacute v něm spojitaacute

Když

1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti

2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce

f

3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod

nespojitosti 2 druhu

[1]

Př Najděte body nespojitosti funkce f

D(f) = R--11 body nespojitosti -11

Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem

zaacutepornyacutem čiacuteslem

Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule

Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti

II druhu

Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1

Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno

V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin

f (x )=x

x2minus1

+

+

22

lim (f ( x0+h)minus f ( x0)

h)

hrarr0

y=f ( x)

g (x )

h=xminusx0

Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II

druhu

16 Derivace funkce

Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute

limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute

Derivace funkce y = yacute

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0

derivaci a platiacute

Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)+g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě

derivaci i funkce a platiacute

Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě

z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)

[2]

yacute=kf acute( x0)

yacute= f acute( x0)+gacute (x0)

yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)

y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)

g2( x0)

23

1

xlna

1

x

1

cos2( x)

minus1

sin2(x )

1

radic1minus x2

minus1

radic1minus x2

1

1+x2

minus1

1+x2

1

cosh2(x)

minus1

sinh2(x )

1

radicx2+11

radicx2minus1

1

1minusx2

1

1minusx2

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])

Funkce Derivace funkce Podmiacutenky

k

x

xn

x-n

ax

ex

loga(x)

ln(x)

sin(x)

cos(x)

tg(x)

cotg(x)

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arccotg(x)

sinh(x)

cosh(x)

tgh(x)

cotgh(x)

argsinh(x)

argcosh(x)

argtgh(x)

argcotgh(x)

0

1

nxn-1

-nx-n-1

αxα-1

axln(a)

ex

cos(x)

-sin(x)

cosh(x)

sinh(x)

k je konstanta k ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ n ∊ ℕ

x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ

xgt0 α ∊ ℝ

x ∊ agt0

x ∊ ℝ

xgt0 agt0 ane1

xgt0

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ

x ne kπ k ∊ ℤ

x ∊ (-11)

x ∊ (-11)

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ - 0

x ∊ ℝ

x ∊ (1 +infin)

x ∊ (-1 1)

x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)

24

x rarrinfin

limf (x )

g (x )=lim

f acute (x)

gacute (x )x rarrinfin

162 LacuteHospitalovo pravidlo

Věta (LHospitalovo pravidlo)

Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g

limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu

pak

za předpokladu že limita na praveacute straně existuje

LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute

f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin

a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0

b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin

[3]

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam

Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě

klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a

Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii

25

Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute

Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x) lt f(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima

b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima

Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto

bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem

[2]

Fermatova podmiacutenka extreacutemu

Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet

derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce

v tomto bodě extreacutem

[6]

Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je

miacutesto toho v bodě a spojitaacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 3: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

Raacuteda bych poděkovala vedouciacutemu meacute bakalaacuteřskeacute praacutece panu PhDr Lukaacuteši Honziacutekovi

PhD za poskytnutiacute užitečnyacutech rad dobryacutech naacutepadů a připomiacutenek během praacutece na teacuteto

bakalaacuteřskeacute praacuteci

6

Obsah

Uacutevod 7

1 Teoretickyacute zaacuteklad vyšetřovaacuteniacute průběhu funkciacute s jednou proměnnou 8

11 Definice funkce jedneacute proměnneacute zaacutekladniacute pojmy 8

111 Definičniacute obor - přiacuteklady 10

12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y 12

121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady 12

13 Speciaacutelniacute typy funkciacute 13

14 Limity funkce 15

141 Algebra limit 17

142 Jednostranneacute limity 18

143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady 19

15 Spojitost funkce 20

151 Body nespojitosti 21

16 Derivace funkce 22

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute 23

162 LacuteHospitalovo pravidlo 24

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam 24

164 Druhaacute derivace 26

2 Řešeneacute přiacuteklady 29

Zaacutevěr 47

Resumeacute 48

Seznam literatury 49

Seznam obraacutezků a tabulek 50

7

Uacutevod

Bakalaacuteřskaacute praacutece se zabyacutevaacute vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkciacute o jedneacute a viacutece proměnnyacutech

Ačkoliv je funkce o jedneacute proměnneacute často probiacuteraneacute teacutema rozhodla jsem se ho zpracovat

komplexně a rozšiacuteřit o problematiku s viacutece proměnnyacutemi

Praacutece je rozdělena do dvou čaacutestiacute V prvniacute čaacutesti se zabyacutevaacutem teoretickyacutem vyšetřovaacuteniacutem

průběhu funkciacute V teacuteto čaacutesti jsou podrobně rozepsaacuteny všechny potřebneacute kroky ke zjištěniacute

průběhu funkce

V druheacute čaacutesti teacuteto bakalaacuteřskeacute praacutece aplikuji na konkreacutetniacutech přiacutekladech kroky uvedeneacute

v prvniacute čaacutesti Všechny uvedeneacute přiacuteklady jsou funkce s jednou proměnnou V teacuteto čaacutesti jsou

uvedeny různeacute druhy přiacutekladů o různyacutech obtiacutežnostech Každyacute přiacuteklad je doplněn grafem

tak aby čtenaacuteř dokaacutezal plně pochopit problematiku daneacuteho přiacutekladu

8

1 Teoretickyacute zaacuteklad vyšetřovaacuteniacute průběhu funkciacute s jednou proměnnou

11 Definice funkce jedneacute proměnneacute zaacutekladniacute pojmy

Pro možnost vyšetřovat funkce je důležiteacute co funkce je

Nechť Dsubℝ Zobrazeniacute f D↦ ℝ nazyacutevaacuteme reaacutelnou funkciacute jedneacute reaacutelneacute proměnneacute

(každeacutemu prvku množiny D je přiřazeno praacutevě jedno čiacuteslo z množiny ℝ)

Prvkům množiny D řiacutekaacuteme vzory argumenty nezaacutevisleacute proměnneacute a značiacuteme je

xtshellip∊D jejich obrazy značiacuteme f(x) f(t) f(s)hellip∊ ℝ a nazyacutevaacuteme funkčniacute hodnoty

Množina D se nazyacutevaacute definičniacute obor funkce a takeacute se značiacute D=D(f) množina obrazů se

nazyacutevaacute obor hodnot a značiacute se H=H(f) Nejčastěji piacutešeme

y = f(x) x∊D nebo f x↦f(x) x∊ D

Graf funkce f je množina G dvojic [x f(x)] x∊D tj Gf = DtimesHsubℝ2 Řiacutekaacuteme že funkce je

daacutena je-li daacuteno přiřazeniacute f a definičniacute obor D(f)

[1]

Nejčastějšiacute způsoby zadaacuteniacute funkciacute

a) Analytickeacute zadaacuteniacute

Funkčniacute předpis je daacuten rovniciacute nebo soustavou rovnic (zpravidla jde o jeho explicitniacute

implicitniacute nebo parametrickeacute vyjaacutedřeniacute) Pokud je funkčniacute předpis zadaacuten ve tvaru y = f(x)

jednaacute se o explicitniacute vyjaacutedřeniacute Funkčniacute předpis je zadaacuten implicitně pokud je ve tvaru

F(x y) = 0 resp F(x f(x)) = 0 Parametrickeacute vyjaacutedřeniacute znamenaacute že funkčniacute předpis

funkce f je zadaacuten ve tvaru soustavy rovnic s parametrem např x = ϕ(t) y = ϕ(t) kde t je

parametr s danyacutem oborem proměnnosti zpravidla t ∊ ltα βgt α β ∊ ℝ

(ℝ = ℝ cup -infin +infin)

b) Grafickeacute zadaacuteniacute ndash funkce je daacutena svyacutem grafem

c) Tabelaacuterniacute zadaacuteniacute ndash pro konečnyacute počet uspořaacutedanyacutech dvojic [x y] ∊ f může byacutet funkce

určena jejich vyacutečtem

[4]

9

Množina všech bodů [x f(x)] v karteacutezskeacutem souřadnicoveacutem systeacutemu se nazyacutevaacute graf funkce

f

Na naacutesledujiacuteciacutem obraacutezku je znaacutezorněn přiacutepad ve ktereacutem se nejednaacute o graf funkce jelikož

neniacute splněna podmiacutenka uvedenaacute v definici funkce Důkaz tohoto tvrzeniacute je evidentniacute např

v bodě x = 0 (bod A) pro kteryacute platiacute že f(0) = 2 (bod B) a zaacuteroveň f(0)= -2 (bod C)

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

V naacutesledujiacuteciacutem grafu se jednaacute o graf funkce jelikož je splněna vyacuteše uvedenaacute definice

funkce

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

10

Funkce g D(g) rarr ℝ se nazyacutevaacute restrikce funkce f D(f)rarrℝ jestliže D(g) sub D(f) a pro

všechna x definičniacuteho oboru platiacute g(x) = f(x)

Funkce f g se rovnajiacute jestliže D(g)=D(f) a pro všechna x definičniacuteho oboru platiacute

g(x) = f(x)

Nechť D(g) = D(f) potom pomociacute naacutesledujiacuteciacutech předpisů definujeme

součet funkciacute f + g x rarr f(x) + g(x)

rozdiacutel funkciacute f - g xrarr f(x) - g(x)

součin funkciacute f g x rarr f(x) g(x)

podiacutel funkciacute fg x rarr f(x)g(x) g(x) ne 0

naacutesobek funkce αf x rarrαf(x) α ∊ ℝ

[8]

111 DEFINIČNIacute OBOR - PŘIacuteKLADY

Př 1 Určete definičniacute obor u naacutesledujiacuteciacutech funkciacute

a) f(x) = ln(x+1)

Aby byla funkce definovaacutena musiacute byacutet argument logaritmu většiacute než 0 Definičniacute obor teacuteto

funkce zjistiacuteme naacutesledovně

x+1 gt 0

x gt -1

Tedy platiacute D(f) = (-1 + ) Na obraacutezku vidiacuteme graf funkce Z obraacutezku je naacutezorně vidět i

definičniacute obor vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

infin

11

1

x+8+radic xb) h(x) =

Tato funkce je definovaacutena pouze pokud jmenovatel funkce se nerovnaacute 0 a zaacuterověň funkce

pod odmocninou je většiacute než 0

Teď viacuteme že do definičniacuteho oboru teacuteto funkce nebude patřit bod x = -8

Definičniacute obor odmocniny x ge 0

Nyniacute musiacuteme udělat průnik podmiacutenek pro definičniacute obor funkce h(x) tedy x se nesmiacute

rovnat -8 a zaacuteroveň x musiacute byacutet většiacute nebo rovno 0 Tedy D(h) = lt0 +infin)

Spraacutevnost vyacutepočtu opět potvrdiacuteme na naacutesledujiacuteciacutem grafu

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

x+8ne0xneminus8

12

5minusx

x+1

5minusx

x+1

5minusx

x+1

12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y

Pro zjištěniacute průběhu funkce musiacuteme vypočiacutetat průsečiacuteky funkce s osou x i s osou y

Průsečiacutek s osou x

Maacuteme-li funkci y=f(x) průsečiacutek s osou x ziacuteskaacuteme tak že za y dosadiacuteme 0 (jelikož pro

všechny body na ose x platiacute souřadnice [x0]) a uacutepravami ziacuteskaacuteme z rovnice hodnotu x

Řešiacuteme tedy rovnici 0=f(x)

Průsečiacutek s osou y

Ve funkci y=f(x) ziacuteskaacuteme průsečiacutek s osou y dosazeniacutem 0 za x ve vyacuterazu f(x) (pro všechny

body na ose y platiacute naacutesledujiacuteciacute souřadnice [0y]) a opět pomociacute uacuteprav ziacuteskaacuteme hodnotu

bodu y Řešiacuteme rovnici y = f(0)

121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady

Př Zjistěte průsečiacuteky s osami x a y u naacutesledujiacuteciacute funkce

f(x) y =

Řešeniacute

Průsečiacutek s osou x funkce y = (dosadiacuteme tedy y = 0)

0 = (x+1)

0 = 5-x

x = 5

Průsečiacutek s osou y zjistiacuteme tak že za x dosadiacuteme 0

y = 5

Viacuteme tedy že zadanaacute funkce f(x) protiacutenaacute osu x v bodě X = [5 0] a osu y v bodě Y = [0 5]

Na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku grafu funkce vidiacuteme průběh funkce i vyznačeneacute průsečiacuteky

s osami x a y

13

forallxisin D( f ) existT isin Rminus0 x+T isinD( f )and f (x+T ) = f (x)

existKgt0 forallxisinA f ( x)⩽K

forallxisinD( f ) f (minusx)= f (x)

forallxisinD( f ) f (minusx)=minus f (x)

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

13 Speciaacutelniacute typy funkciacute

Funkce f y = f(x) x ∊ D(f) je

funkce sudaacute praacutevě když

funkce lichaacute praacutevě když

funkce periodickaacute praacutevě když

T se nazyacutevaacute perioda funkce

funkce omezenaacute zdola na množině AsubD(f) praacutevě když je zdola omezenaacute množina f(A)

funkce omezenaacute shora na množině AsubD(f) praacutevě když je shora omezenaacute množina f(A)

funkce omezenaacute na množině AsubD(f) praacutevě když je omezenaacute zdola i shora tj praacutevě když

je omezenaacute množina f(A)

Funkce f kteraacute je prostyacutem zobrazeniacutem D(f) rarr ℝ tj u niacutež pro každou dvojici x1 x2 ∊ D(f)

x1 ne x2 je takeacute f(x1) nef(x2) se nazyacutevaacute prostaacute funkce

[4]

existKgt0forallx isinA f (x)geminusK

existKgt0 forallxisinA ∣f (x)∣⩽K

14

Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

15

xrarralim f ( x)=b

xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

14 Limity funkce

Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu

Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke

každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute

interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho

okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0

Definice limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje

takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute

hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu

ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute

(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu

16

x0notinD( f )

xrarr x0

lim f ( x)=b

xrarr x0xrarr x0

xrarr+infinxrarrminusinfin

xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu

k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna

nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme

[2]

Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru

(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))

Definice limity podle Heineho

Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity

posloupnosti

a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0

konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute

v bodě x0 limitu b a piacutešeme

b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin

(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)

limitu b a piacutešeme

17

xrarr+infin xrarrminusinfin

xrarr+infin xrarrminusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin

lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin

x rarr x0

lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0

lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

limf (x )

g ( x)=

lim f ( x)

lim g ( x)=

b

c cne0

xrarr x0

d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když

Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu

b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku

[1]

141 Algebra limit

Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu

x0=plusmn infin)

Potom existujiacute limity funkciacute

f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D

a platiacute

1 součet a rozdiacutel limit

2 součin limit

3 podiacutel limit

[1]

forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε

0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε

Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)

18

lim f ( x)

lim f ( x)xrarra

x rarr a+

142 Jednostranneacute limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute

lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f

v bodě a budeme zapisovat takto

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η

agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě

a budeme zapisovat takto

[2]

19

lim 8 xminus6

=lim (8

x6)=+infin

xrarr0xrarr0

lim (( x

2minus1)

(x2minusx)

)=lim ((( xminus1)( x+1))

(x (xminus1)))=lim (

( x+1)

x)=2

xrarr1 xrarr1 xrarr1

lim (xminus7

1minuse2x

)=minusinfin

xrarrminusinfin

lim (minus2x

radicx2minus4

)=lim (minus2x

xradic(1minus4

x2)

)=lim (minus2

radic1minus4

x2

)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin

143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady

Vypočtěte limity

1)

V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se

bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin

2)

V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se

vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity

vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a

zleva

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

3)

e2x

jde v limitě k 0

Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno

4)

V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě

k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli

Vyacutesledek je tedy -2

20

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0

h=xminusa

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim f ( x)= f (a)xrarra

nrarr+infinnrarr+infin

lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))

+

15 Spojitost funkce

Definice spojitosti funkce

Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když

[2]

Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto

[1]

Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když

Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když

Kriteacuteria spojitosti

a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když

b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost

xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně

c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)

a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)

[1]

Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li

naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c

[5]

forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε

stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε

21

x0notinD( f )

limx

x2minus1

=+infin

xrarrminus1

xrarrminus1

limx

x2minus1

=minusinfin

limx

x2minus1

=+infin

xrarr1

limx

x2minus1

=minusinfin

xrarr1

151 Body nespojitosti

Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0

(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru

nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale

neniacute v něm spojitaacute

Když

1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti

2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce

f

3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod

nespojitosti 2 druhu

[1]

Př Najděte body nespojitosti funkce f

D(f) = R--11 body nespojitosti -11

Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem

zaacutepornyacutem čiacuteslem

Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule

Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti

II druhu

Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1

Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno

V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin

f (x )=x

x2minus1

+

+

22

lim (f ( x0+h)minus f ( x0)

h)

hrarr0

y=f ( x)

g (x )

h=xminusx0

Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II

druhu

16 Derivace funkce

Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute

limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute

Derivace funkce y = yacute

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0

derivaci a platiacute

Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)+g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě

derivaci i funkce a platiacute

Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě

z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)

[2]

yacute=kf acute( x0)

yacute= f acute( x0)+gacute (x0)

yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)

y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)

g2( x0)

23

1

xlna

1

x

1

cos2( x)

minus1

sin2(x )

1

radic1minus x2

minus1

radic1minus x2

1

1+x2

minus1

1+x2

1

cosh2(x)

minus1

sinh2(x )

1

radicx2+11

radicx2minus1

1

1minusx2

1

1minusx2

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])

Funkce Derivace funkce Podmiacutenky

k

x

xn

x-n

ax

ex

loga(x)

ln(x)

sin(x)

cos(x)

tg(x)

cotg(x)

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arccotg(x)

sinh(x)

cosh(x)

tgh(x)

cotgh(x)

argsinh(x)

argcosh(x)

argtgh(x)

argcotgh(x)

0

1

nxn-1

-nx-n-1

αxα-1

axln(a)

ex

cos(x)

-sin(x)

cosh(x)

sinh(x)

k je konstanta k ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ n ∊ ℕ

x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ

xgt0 α ∊ ℝ

x ∊ agt0

x ∊ ℝ

xgt0 agt0 ane1

xgt0

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ

x ne kπ k ∊ ℤ

x ∊ (-11)

x ∊ (-11)

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ - 0

x ∊ ℝ

x ∊ (1 +infin)

x ∊ (-1 1)

x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)

24

x rarrinfin

limf (x )

g (x )=lim

f acute (x)

gacute (x )x rarrinfin

162 LacuteHospitalovo pravidlo

Věta (LHospitalovo pravidlo)

Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g

limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu

pak

za předpokladu že limita na praveacute straně existuje

LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute

f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin

a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0

b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin

[3]

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam

Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě

klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a

Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii

25

Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute

Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x) lt f(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima

b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima

Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto

bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem

[2]

Fermatova podmiacutenka extreacutemu

Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet

derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce

v tomto bodě extreacutem

[6]

Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je

miacutesto toho v bodě a spojitaacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 4: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

6

Obsah

Uacutevod 7

1 Teoretickyacute zaacuteklad vyšetřovaacuteniacute průběhu funkciacute s jednou proměnnou 8

11 Definice funkce jedneacute proměnneacute zaacutekladniacute pojmy 8

111 Definičniacute obor - přiacuteklady 10

12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y 12

121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady 12

13 Speciaacutelniacute typy funkciacute 13

14 Limity funkce 15

141 Algebra limit 17

142 Jednostranneacute limity 18

143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady 19

15 Spojitost funkce 20

151 Body nespojitosti 21

16 Derivace funkce 22

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute 23

162 LacuteHospitalovo pravidlo 24

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam 24

164 Druhaacute derivace 26

2 Řešeneacute přiacuteklady 29

Zaacutevěr 47

Resumeacute 48

Seznam literatury 49

Seznam obraacutezků a tabulek 50

7

Uacutevod

Bakalaacuteřskaacute praacutece se zabyacutevaacute vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkciacute o jedneacute a viacutece proměnnyacutech

Ačkoliv je funkce o jedneacute proměnneacute často probiacuteraneacute teacutema rozhodla jsem se ho zpracovat

komplexně a rozšiacuteřit o problematiku s viacutece proměnnyacutemi

Praacutece je rozdělena do dvou čaacutestiacute V prvniacute čaacutesti se zabyacutevaacutem teoretickyacutem vyšetřovaacuteniacutem

průběhu funkciacute V teacuteto čaacutesti jsou podrobně rozepsaacuteny všechny potřebneacute kroky ke zjištěniacute

průběhu funkce

V druheacute čaacutesti teacuteto bakalaacuteřskeacute praacutece aplikuji na konkreacutetniacutech přiacutekladech kroky uvedeneacute

v prvniacute čaacutesti Všechny uvedeneacute přiacuteklady jsou funkce s jednou proměnnou V teacuteto čaacutesti jsou

uvedeny různeacute druhy přiacutekladů o různyacutech obtiacutežnostech Každyacute přiacuteklad je doplněn grafem

tak aby čtenaacuteř dokaacutezal plně pochopit problematiku daneacuteho přiacutekladu

8

1 Teoretickyacute zaacuteklad vyšetřovaacuteniacute průběhu funkciacute s jednou proměnnou

11 Definice funkce jedneacute proměnneacute zaacutekladniacute pojmy

Pro možnost vyšetřovat funkce je důležiteacute co funkce je

Nechť Dsubℝ Zobrazeniacute f D↦ ℝ nazyacutevaacuteme reaacutelnou funkciacute jedneacute reaacutelneacute proměnneacute

(každeacutemu prvku množiny D je přiřazeno praacutevě jedno čiacuteslo z množiny ℝ)

Prvkům množiny D řiacutekaacuteme vzory argumenty nezaacutevisleacute proměnneacute a značiacuteme je

xtshellip∊D jejich obrazy značiacuteme f(x) f(t) f(s)hellip∊ ℝ a nazyacutevaacuteme funkčniacute hodnoty

Množina D se nazyacutevaacute definičniacute obor funkce a takeacute se značiacute D=D(f) množina obrazů se

nazyacutevaacute obor hodnot a značiacute se H=H(f) Nejčastěji piacutešeme

y = f(x) x∊D nebo f x↦f(x) x∊ D

Graf funkce f je množina G dvojic [x f(x)] x∊D tj Gf = DtimesHsubℝ2 Řiacutekaacuteme že funkce je

daacutena je-li daacuteno přiřazeniacute f a definičniacute obor D(f)

[1]

Nejčastějšiacute způsoby zadaacuteniacute funkciacute

a) Analytickeacute zadaacuteniacute

Funkčniacute předpis je daacuten rovniciacute nebo soustavou rovnic (zpravidla jde o jeho explicitniacute

implicitniacute nebo parametrickeacute vyjaacutedřeniacute) Pokud je funkčniacute předpis zadaacuten ve tvaru y = f(x)

jednaacute se o explicitniacute vyjaacutedřeniacute Funkčniacute předpis je zadaacuten implicitně pokud je ve tvaru

F(x y) = 0 resp F(x f(x)) = 0 Parametrickeacute vyjaacutedřeniacute znamenaacute že funkčniacute předpis

funkce f je zadaacuten ve tvaru soustavy rovnic s parametrem např x = ϕ(t) y = ϕ(t) kde t je

parametr s danyacutem oborem proměnnosti zpravidla t ∊ ltα βgt α β ∊ ℝ

(ℝ = ℝ cup -infin +infin)

b) Grafickeacute zadaacuteniacute ndash funkce je daacutena svyacutem grafem

c) Tabelaacuterniacute zadaacuteniacute ndash pro konečnyacute počet uspořaacutedanyacutech dvojic [x y] ∊ f může byacutet funkce

určena jejich vyacutečtem

[4]

9

Množina všech bodů [x f(x)] v karteacutezskeacutem souřadnicoveacutem systeacutemu se nazyacutevaacute graf funkce

f

Na naacutesledujiacuteciacutem obraacutezku je znaacutezorněn přiacutepad ve ktereacutem se nejednaacute o graf funkce jelikož

neniacute splněna podmiacutenka uvedenaacute v definici funkce Důkaz tohoto tvrzeniacute je evidentniacute např

v bodě x = 0 (bod A) pro kteryacute platiacute že f(0) = 2 (bod B) a zaacuteroveň f(0)= -2 (bod C)

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

V naacutesledujiacuteciacutem grafu se jednaacute o graf funkce jelikož je splněna vyacuteše uvedenaacute definice

funkce

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

10

Funkce g D(g) rarr ℝ se nazyacutevaacute restrikce funkce f D(f)rarrℝ jestliže D(g) sub D(f) a pro

všechna x definičniacuteho oboru platiacute g(x) = f(x)

Funkce f g se rovnajiacute jestliže D(g)=D(f) a pro všechna x definičniacuteho oboru platiacute

g(x) = f(x)

Nechť D(g) = D(f) potom pomociacute naacutesledujiacuteciacutech předpisů definujeme

součet funkciacute f + g x rarr f(x) + g(x)

rozdiacutel funkciacute f - g xrarr f(x) - g(x)

součin funkciacute f g x rarr f(x) g(x)

podiacutel funkciacute fg x rarr f(x)g(x) g(x) ne 0

naacutesobek funkce αf x rarrαf(x) α ∊ ℝ

[8]

111 DEFINIČNIacute OBOR - PŘIacuteKLADY

Př 1 Určete definičniacute obor u naacutesledujiacuteciacutech funkciacute

a) f(x) = ln(x+1)

Aby byla funkce definovaacutena musiacute byacutet argument logaritmu většiacute než 0 Definičniacute obor teacuteto

funkce zjistiacuteme naacutesledovně

x+1 gt 0

x gt -1

Tedy platiacute D(f) = (-1 + ) Na obraacutezku vidiacuteme graf funkce Z obraacutezku je naacutezorně vidět i

definičniacute obor vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

infin

11

1

x+8+radic xb) h(x) =

Tato funkce je definovaacutena pouze pokud jmenovatel funkce se nerovnaacute 0 a zaacuterověň funkce

pod odmocninou je většiacute než 0

Teď viacuteme že do definičniacuteho oboru teacuteto funkce nebude patřit bod x = -8

Definičniacute obor odmocniny x ge 0

Nyniacute musiacuteme udělat průnik podmiacutenek pro definičniacute obor funkce h(x) tedy x se nesmiacute

rovnat -8 a zaacuteroveň x musiacute byacutet většiacute nebo rovno 0 Tedy D(h) = lt0 +infin)

Spraacutevnost vyacutepočtu opět potvrdiacuteme na naacutesledujiacuteciacutem grafu

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

x+8ne0xneminus8

12

5minusx

x+1

5minusx

x+1

5minusx

x+1

12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y

Pro zjištěniacute průběhu funkce musiacuteme vypočiacutetat průsečiacuteky funkce s osou x i s osou y

Průsečiacutek s osou x

Maacuteme-li funkci y=f(x) průsečiacutek s osou x ziacuteskaacuteme tak že za y dosadiacuteme 0 (jelikož pro

všechny body na ose x platiacute souřadnice [x0]) a uacutepravami ziacuteskaacuteme z rovnice hodnotu x

Řešiacuteme tedy rovnici 0=f(x)

Průsečiacutek s osou y

Ve funkci y=f(x) ziacuteskaacuteme průsečiacutek s osou y dosazeniacutem 0 za x ve vyacuterazu f(x) (pro všechny

body na ose y platiacute naacutesledujiacuteciacute souřadnice [0y]) a opět pomociacute uacuteprav ziacuteskaacuteme hodnotu

bodu y Řešiacuteme rovnici y = f(0)

121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady

Př Zjistěte průsečiacuteky s osami x a y u naacutesledujiacuteciacute funkce

f(x) y =

Řešeniacute

Průsečiacutek s osou x funkce y = (dosadiacuteme tedy y = 0)

0 = (x+1)

0 = 5-x

x = 5

Průsečiacutek s osou y zjistiacuteme tak že za x dosadiacuteme 0

y = 5

Viacuteme tedy že zadanaacute funkce f(x) protiacutenaacute osu x v bodě X = [5 0] a osu y v bodě Y = [0 5]

Na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku grafu funkce vidiacuteme průběh funkce i vyznačeneacute průsečiacuteky

s osami x a y

13

forallxisin D( f ) existT isin Rminus0 x+T isinD( f )and f (x+T ) = f (x)

existKgt0 forallxisinA f ( x)⩽K

forallxisinD( f ) f (minusx)= f (x)

forallxisinD( f ) f (minusx)=minus f (x)

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

13 Speciaacutelniacute typy funkciacute

Funkce f y = f(x) x ∊ D(f) je

funkce sudaacute praacutevě když

funkce lichaacute praacutevě když

funkce periodickaacute praacutevě když

T se nazyacutevaacute perioda funkce

funkce omezenaacute zdola na množině AsubD(f) praacutevě když je zdola omezenaacute množina f(A)

funkce omezenaacute shora na množině AsubD(f) praacutevě když je shora omezenaacute množina f(A)

funkce omezenaacute na množině AsubD(f) praacutevě když je omezenaacute zdola i shora tj praacutevě když

je omezenaacute množina f(A)

Funkce f kteraacute je prostyacutem zobrazeniacutem D(f) rarr ℝ tj u niacutež pro každou dvojici x1 x2 ∊ D(f)

x1 ne x2 je takeacute f(x1) nef(x2) se nazyacutevaacute prostaacute funkce

[4]

existKgt0forallx isinA f (x)geminusK

existKgt0 forallxisinA ∣f (x)∣⩽K

14

Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

15

xrarralim f ( x)=b

xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

14 Limity funkce

Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu

Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke

každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute

interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho

okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0

Definice limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje

takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute

hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu

ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute

(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu

16

x0notinD( f )

xrarr x0

lim f ( x)=b

xrarr x0xrarr x0

xrarr+infinxrarrminusinfin

xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu

k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna

nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme

[2]

Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru

(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))

Definice limity podle Heineho

Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity

posloupnosti

a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0

konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute

v bodě x0 limitu b a piacutešeme

b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin

(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)

limitu b a piacutešeme

17

xrarr+infin xrarrminusinfin

xrarr+infin xrarrminusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin

lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin

x rarr x0

lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0

lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

limf (x )

g ( x)=

lim f ( x)

lim g ( x)=

b

c cne0

xrarr x0

d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když

Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu

b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku

[1]

141 Algebra limit

Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu

x0=plusmn infin)

Potom existujiacute limity funkciacute

f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D

a platiacute

1 součet a rozdiacutel limit

2 součin limit

3 podiacutel limit

[1]

forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε

0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε

Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)

18

lim f ( x)

lim f ( x)xrarra

x rarr a+

142 Jednostranneacute limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute

lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f

v bodě a budeme zapisovat takto

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η

agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě

a budeme zapisovat takto

[2]

19

lim 8 xminus6

=lim (8

x6)=+infin

xrarr0xrarr0

lim (( x

2minus1)

(x2minusx)

)=lim ((( xminus1)( x+1))

(x (xminus1)))=lim (

( x+1)

x)=2

xrarr1 xrarr1 xrarr1

lim (xminus7

1minuse2x

)=minusinfin

xrarrminusinfin

lim (minus2x

radicx2minus4

)=lim (minus2x

xradic(1minus4

x2)

)=lim (minus2

radic1minus4

x2

)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin

143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady

Vypočtěte limity

1)

V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se

bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin

2)

V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se

vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity

vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a

zleva

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

3)

e2x

jde v limitě k 0

Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno

4)

V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě

k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli

Vyacutesledek je tedy -2

20

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0

h=xminusa

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim f ( x)= f (a)xrarra

nrarr+infinnrarr+infin

lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))

+

15 Spojitost funkce

Definice spojitosti funkce

Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když

[2]

Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto

[1]

Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když

Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když

Kriteacuteria spojitosti

a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když

b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost

xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně

c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)

a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)

[1]

Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li

naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c

[5]

forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε

stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε

21

x0notinD( f )

limx

x2minus1

=+infin

xrarrminus1

xrarrminus1

limx

x2minus1

=minusinfin

limx

x2minus1

=+infin

xrarr1

limx

x2minus1

=minusinfin

xrarr1

151 Body nespojitosti

Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0

(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru

nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale

neniacute v něm spojitaacute

Když

1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti

2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce

f

3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod

nespojitosti 2 druhu

[1]

Př Najděte body nespojitosti funkce f

D(f) = R--11 body nespojitosti -11

Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem

zaacutepornyacutem čiacuteslem

Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule

Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti

II druhu

Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1

Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno

V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin

f (x )=x

x2minus1

+

+

22

lim (f ( x0+h)minus f ( x0)

h)

hrarr0

y=f ( x)

g (x )

h=xminusx0

Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II

druhu

16 Derivace funkce

Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute

limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute

Derivace funkce y = yacute

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0

derivaci a platiacute

Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)+g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě

derivaci i funkce a platiacute

Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě

z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)

[2]

yacute=kf acute( x0)

yacute= f acute( x0)+gacute (x0)

yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)

y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)

g2( x0)

23

1

xlna

1

x

1

cos2( x)

minus1

sin2(x )

1

radic1minus x2

minus1

radic1minus x2

1

1+x2

minus1

1+x2

1

cosh2(x)

minus1

sinh2(x )

1

radicx2+11

radicx2minus1

1

1minusx2

1

1minusx2

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])

Funkce Derivace funkce Podmiacutenky

k

x

xn

x-n

ax

ex

loga(x)

ln(x)

sin(x)

cos(x)

tg(x)

cotg(x)

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arccotg(x)

sinh(x)

cosh(x)

tgh(x)

cotgh(x)

argsinh(x)

argcosh(x)

argtgh(x)

argcotgh(x)

0

1

nxn-1

-nx-n-1

αxα-1

axln(a)

ex

cos(x)

-sin(x)

cosh(x)

sinh(x)

k je konstanta k ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ n ∊ ℕ

x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ

xgt0 α ∊ ℝ

x ∊ agt0

x ∊ ℝ

xgt0 agt0 ane1

xgt0

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ

x ne kπ k ∊ ℤ

x ∊ (-11)

x ∊ (-11)

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ - 0

x ∊ ℝ

x ∊ (1 +infin)

x ∊ (-1 1)

x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)

24

x rarrinfin

limf (x )

g (x )=lim

f acute (x)

gacute (x )x rarrinfin

162 LacuteHospitalovo pravidlo

Věta (LHospitalovo pravidlo)

Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g

limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu

pak

za předpokladu že limita na praveacute straně existuje

LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute

f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin

a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0

b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin

[3]

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam

Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě

klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a

Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii

25

Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute

Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x) lt f(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima

b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima

Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto

bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem

[2]

Fermatova podmiacutenka extreacutemu

Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet

derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce

v tomto bodě extreacutem

[6]

Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je

miacutesto toho v bodě a spojitaacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 5: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

7

Uacutevod

Bakalaacuteřskaacute praacutece se zabyacutevaacute vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkciacute o jedneacute a viacutece proměnnyacutech

Ačkoliv je funkce o jedneacute proměnneacute často probiacuteraneacute teacutema rozhodla jsem se ho zpracovat

komplexně a rozšiacuteřit o problematiku s viacutece proměnnyacutemi

Praacutece je rozdělena do dvou čaacutestiacute V prvniacute čaacutesti se zabyacutevaacutem teoretickyacutem vyšetřovaacuteniacutem

průběhu funkciacute V teacuteto čaacutesti jsou podrobně rozepsaacuteny všechny potřebneacute kroky ke zjištěniacute

průběhu funkce

V druheacute čaacutesti teacuteto bakalaacuteřskeacute praacutece aplikuji na konkreacutetniacutech přiacutekladech kroky uvedeneacute

v prvniacute čaacutesti Všechny uvedeneacute přiacuteklady jsou funkce s jednou proměnnou V teacuteto čaacutesti jsou

uvedeny různeacute druhy přiacutekladů o různyacutech obtiacutežnostech Každyacute přiacuteklad je doplněn grafem

tak aby čtenaacuteř dokaacutezal plně pochopit problematiku daneacuteho přiacutekladu

8

1 Teoretickyacute zaacuteklad vyšetřovaacuteniacute průběhu funkciacute s jednou proměnnou

11 Definice funkce jedneacute proměnneacute zaacutekladniacute pojmy

Pro možnost vyšetřovat funkce je důležiteacute co funkce je

Nechť Dsubℝ Zobrazeniacute f D↦ ℝ nazyacutevaacuteme reaacutelnou funkciacute jedneacute reaacutelneacute proměnneacute

(každeacutemu prvku množiny D je přiřazeno praacutevě jedno čiacuteslo z množiny ℝ)

Prvkům množiny D řiacutekaacuteme vzory argumenty nezaacutevisleacute proměnneacute a značiacuteme je

xtshellip∊D jejich obrazy značiacuteme f(x) f(t) f(s)hellip∊ ℝ a nazyacutevaacuteme funkčniacute hodnoty

Množina D se nazyacutevaacute definičniacute obor funkce a takeacute se značiacute D=D(f) množina obrazů se

nazyacutevaacute obor hodnot a značiacute se H=H(f) Nejčastěji piacutešeme

y = f(x) x∊D nebo f x↦f(x) x∊ D

Graf funkce f je množina G dvojic [x f(x)] x∊D tj Gf = DtimesHsubℝ2 Řiacutekaacuteme že funkce je

daacutena je-li daacuteno přiřazeniacute f a definičniacute obor D(f)

[1]

Nejčastějšiacute způsoby zadaacuteniacute funkciacute

a) Analytickeacute zadaacuteniacute

Funkčniacute předpis je daacuten rovniciacute nebo soustavou rovnic (zpravidla jde o jeho explicitniacute

implicitniacute nebo parametrickeacute vyjaacutedřeniacute) Pokud je funkčniacute předpis zadaacuten ve tvaru y = f(x)

jednaacute se o explicitniacute vyjaacutedřeniacute Funkčniacute předpis je zadaacuten implicitně pokud je ve tvaru

F(x y) = 0 resp F(x f(x)) = 0 Parametrickeacute vyjaacutedřeniacute znamenaacute že funkčniacute předpis

funkce f je zadaacuten ve tvaru soustavy rovnic s parametrem např x = ϕ(t) y = ϕ(t) kde t je

parametr s danyacutem oborem proměnnosti zpravidla t ∊ ltα βgt α β ∊ ℝ

(ℝ = ℝ cup -infin +infin)

b) Grafickeacute zadaacuteniacute ndash funkce je daacutena svyacutem grafem

c) Tabelaacuterniacute zadaacuteniacute ndash pro konečnyacute počet uspořaacutedanyacutech dvojic [x y] ∊ f může byacutet funkce

určena jejich vyacutečtem

[4]

9

Množina všech bodů [x f(x)] v karteacutezskeacutem souřadnicoveacutem systeacutemu se nazyacutevaacute graf funkce

f

Na naacutesledujiacuteciacutem obraacutezku je znaacutezorněn přiacutepad ve ktereacutem se nejednaacute o graf funkce jelikož

neniacute splněna podmiacutenka uvedenaacute v definici funkce Důkaz tohoto tvrzeniacute je evidentniacute např

v bodě x = 0 (bod A) pro kteryacute platiacute že f(0) = 2 (bod B) a zaacuteroveň f(0)= -2 (bod C)

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

V naacutesledujiacuteciacutem grafu se jednaacute o graf funkce jelikož je splněna vyacuteše uvedenaacute definice

funkce

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

10

Funkce g D(g) rarr ℝ se nazyacutevaacute restrikce funkce f D(f)rarrℝ jestliže D(g) sub D(f) a pro

všechna x definičniacuteho oboru platiacute g(x) = f(x)

Funkce f g se rovnajiacute jestliže D(g)=D(f) a pro všechna x definičniacuteho oboru platiacute

g(x) = f(x)

Nechť D(g) = D(f) potom pomociacute naacutesledujiacuteciacutech předpisů definujeme

součet funkciacute f + g x rarr f(x) + g(x)

rozdiacutel funkciacute f - g xrarr f(x) - g(x)

součin funkciacute f g x rarr f(x) g(x)

podiacutel funkciacute fg x rarr f(x)g(x) g(x) ne 0

naacutesobek funkce αf x rarrαf(x) α ∊ ℝ

[8]

111 DEFINIČNIacute OBOR - PŘIacuteKLADY

Př 1 Určete definičniacute obor u naacutesledujiacuteciacutech funkciacute

a) f(x) = ln(x+1)

Aby byla funkce definovaacutena musiacute byacutet argument logaritmu většiacute než 0 Definičniacute obor teacuteto

funkce zjistiacuteme naacutesledovně

x+1 gt 0

x gt -1

Tedy platiacute D(f) = (-1 + ) Na obraacutezku vidiacuteme graf funkce Z obraacutezku je naacutezorně vidět i

definičniacute obor vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

infin

11

1

x+8+radic xb) h(x) =

Tato funkce je definovaacutena pouze pokud jmenovatel funkce se nerovnaacute 0 a zaacuterověň funkce

pod odmocninou je většiacute než 0

Teď viacuteme že do definičniacuteho oboru teacuteto funkce nebude patřit bod x = -8

Definičniacute obor odmocniny x ge 0

Nyniacute musiacuteme udělat průnik podmiacutenek pro definičniacute obor funkce h(x) tedy x se nesmiacute

rovnat -8 a zaacuteroveň x musiacute byacutet většiacute nebo rovno 0 Tedy D(h) = lt0 +infin)

Spraacutevnost vyacutepočtu opět potvrdiacuteme na naacutesledujiacuteciacutem grafu

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

x+8ne0xneminus8

12

5minusx

x+1

5minusx

x+1

5minusx

x+1

12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y

Pro zjištěniacute průběhu funkce musiacuteme vypočiacutetat průsečiacuteky funkce s osou x i s osou y

Průsečiacutek s osou x

Maacuteme-li funkci y=f(x) průsečiacutek s osou x ziacuteskaacuteme tak že za y dosadiacuteme 0 (jelikož pro

všechny body na ose x platiacute souřadnice [x0]) a uacutepravami ziacuteskaacuteme z rovnice hodnotu x

Řešiacuteme tedy rovnici 0=f(x)

Průsečiacutek s osou y

Ve funkci y=f(x) ziacuteskaacuteme průsečiacutek s osou y dosazeniacutem 0 za x ve vyacuterazu f(x) (pro všechny

body na ose y platiacute naacutesledujiacuteciacute souřadnice [0y]) a opět pomociacute uacuteprav ziacuteskaacuteme hodnotu

bodu y Řešiacuteme rovnici y = f(0)

121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady

Př Zjistěte průsečiacuteky s osami x a y u naacutesledujiacuteciacute funkce

f(x) y =

Řešeniacute

Průsečiacutek s osou x funkce y = (dosadiacuteme tedy y = 0)

0 = (x+1)

0 = 5-x

x = 5

Průsečiacutek s osou y zjistiacuteme tak že za x dosadiacuteme 0

y = 5

Viacuteme tedy že zadanaacute funkce f(x) protiacutenaacute osu x v bodě X = [5 0] a osu y v bodě Y = [0 5]

Na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku grafu funkce vidiacuteme průběh funkce i vyznačeneacute průsečiacuteky

s osami x a y

13

forallxisin D( f ) existT isin Rminus0 x+T isinD( f )and f (x+T ) = f (x)

existKgt0 forallxisinA f ( x)⩽K

forallxisinD( f ) f (minusx)= f (x)

forallxisinD( f ) f (minusx)=minus f (x)

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

13 Speciaacutelniacute typy funkciacute

Funkce f y = f(x) x ∊ D(f) je

funkce sudaacute praacutevě když

funkce lichaacute praacutevě když

funkce periodickaacute praacutevě když

T se nazyacutevaacute perioda funkce

funkce omezenaacute zdola na množině AsubD(f) praacutevě když je zdola omezenaacute množina f(A)

funkce omezenaacute shora na množině AsubD(f) praacutevě když je shora omezenaacute množina f(A)

funkce omezenaacute na množině AsubD(f) praacutevě když je omezenaacute zdola i shora tj praacutevě když

je omezenaacute množina f(A)

Funkce f kteraacute je prostyacutem zobrazeniacutem D(f) rarr ℝ tj u niacutež pro každou dvojici x1 x2 ∊ D(f)

x1 ne x2 je takeacute f(x1) nef(x2) se nazyacutevaacute prostaacute funkce

[4]

existKgt0forallx isinA f (x)geminusK

existKgt0 forallxisinA ∣f (x)∣⩽K

14

Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

15

xrarralim f ( x)=b

xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

14 Limity funkce

Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu

Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke

každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute

interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho

okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0

Definice limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje

takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute

hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu

ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute

(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu

16

x0notinD( f )

xrarr x0

lim f ( x)=b

xrarr x0xrarr x0

xrarr+infinxrarrminusinfin

xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu

k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna

nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme

[2]

Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru

(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))

Definice limity podle Heineho

Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity

posloupnosti

a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0

konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute

v bodě x0 limitu b a piacutešeme

b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin

(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)

limitu b a piacutešeme

17

xrarr+infin xrarrminusinfin

xrarr+infin xrarrminusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin

lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin

x rarr x0

lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0

lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

limf (x )

g ( x)=

lim f ( x)

lim g ( x)=

b

c cne0

xrarr x0

d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když

Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu

b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku

[1]

141 Algebra limit

Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu

x0=plusmn infin)

Potom existujiacute limity funkciacute

f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D

a platiacute

1 součet a rozdiacutel limit

2 součin limit

3 podiacutel limit

[1]

forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε

0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε

Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)

18

lim f ( x)

lim f ( x)xrarra

x rarr a+

142 Jednostranneacute limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute

lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f

v bodě a budeme zapisovat takto

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η

agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě

a budeme zapisovat takto

[2]

19

lim 8 xminus6

=lim (8

x6)=+infin

xrarr0xrarr0

lim (( x

2minus1)

(x2minusx)

)=lim ((( xminus1)( x+1))

(x (xminus1)))=lim (

( x+1)

x)=2

xrarr1 xrarr1 xrarr1

lim (xminus7

1minuse2x

)=minusinfin

xrarrminusinfin

lim (minus2x

radicx2minus4

)=lim (minus2x

xradic(1minus4

x2)

)=lim (minus2

radic1minus4

x2

)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin

143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady

Vypočtěte limity

1)

V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se

bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin

2)

V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se

vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity

vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a

zleva

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

3)

e2x

jde v limitě k 0

Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno

4)

V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě

k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli

Vyacutesledek je tedy -2

20

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0

h=xminusa

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim f ( x)= f (a)xrarra

nrarr+infinnrarr+infin

lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))

+

15 Spojitost funkce

Definice spojitosti funkce

Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když

[2]

Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto

[1]

Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když

Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když

Kriteacuteria spojitosti

a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když

b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost

xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně

c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)

a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)

[1]

Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li

naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c

[5]

forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε

stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε

21

x0notinD( f )

limx

x2minus1

=+infin

xrarrminus1

xrarrminus1

limx

x2minus1

=minusinfin

limx

x2minus1

=+infin

xrarr1

limx

x2minus1

=minusinfin

xrarr1

151 Body nespojitosti

Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0

(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru

nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale

neniacute v něm spojitaacute

Když

1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti

2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce

f

3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod

nespojitosti 2 druhu

[1]

Př Najděte body nespojitosti funkce f

D(f) = R--11 body nespojitosti -11

Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem

zaacutepornyacutem čiacuteslem

Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule

Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti

II druhu

Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1

Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno

V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin

f (x )=x

x2minus1

+

+

22

lim (f ( x0+h)minus f ( x0)

h)

hrarr0

y=f ( x)

g (x )

h=xminusx0

Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II

druhu

16 Derivace funkce

Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute

limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute

Derivace funkce y = yacute

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0

derivaci a platiacute

Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)+g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě

derivaci i funkce a platiacute

Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě

z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)

[2]

yacute=kf acute( x0)

yacute= f acute( x0)+gacute (x0)

yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)

y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)

g2( x0)

23

1

xlna

1

x

1

cos2( x)

minus1

sin2(x )

1

radic1minus x2

minus1

radic1minus x2

1

1+x2

minus1

1+x2

1

cosh2(x)

minus1

sinh2(x )

1

radicx2+11

radicx2minus1

1

1minusx2

1

1minusx2

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])

Funkce Derivace funkce Podmiacutenky

k

x

xn

x-n

ax

ex

loga(x)

ln(x)

sin(x)

cos(x)

tg(x)

cotg(x)

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arccotg(x)

sinh(x)

cosh(x)

tgh(x)

cotgh(x)

argsinh(x)

argcosh(x)

argtgh(x)

argcotgh(x)

0

1

nxn-1

-nx-n-1

αxα-1

axln(a)

ex

cos(x)

-sin(x)

cosh(x)

sinh(x)

k je konstanta k ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ n ∊ ℕ

x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ

xgt0 α ∊ ℝ

x ∊ agt0

x ∊ ℝ

xgt0 agt0 ane1

xgt0

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ

x ne kπ k ∊ ℤ

x ∊ (-11)

x ∊ (-11)

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ - 0

x ∊ ℝ

x ∊ (1 +infin)

x ∊ (-1 1)

x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)

24

x rarrinfin

limf (x )

g (x )=lim

f acute (x)

gacute (x )x rarrinfin

162 LacuteHospitalovo pravidlo

Věta (LHospitalovo pravidlo)

Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g

limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu

pak

za předpokladu že limita na praveacute straně existuje

LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute

f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin

a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0

b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin

[3]

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam

Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě

klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a

Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii

25

Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute

Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x) lt f(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima

b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima

Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto

bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem

[2]

Fermatova podmiacutenka extreacutemu

Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet

derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce

v tomto bodě extreacutem

[6]

Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je

miacutesto toho v bodě a spojitaacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 6: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

8

1 Teoretickyacute zaacuteklad vyšetřovaacuteniacute průběhu funkciacute s jednou proměnnou

11 Definice funkce jedneacute proměnneacute zaacutekladniacute pojmy

Pro možnost vyšetřovat funkce je důležiteacute co funkce je

Nechť Dsubℝ Zobrazeniacute f D↦ ℝ nazyacutevaacuteme reaacutelnou funkciacute jedneacute reaacutelneacute proměnneacute

(každeacutemu prvku množiny D je přiřazeno praacutevě jedno čiacuteslo z množiny ℝ)

Prvkům množiny D řiacutekaacuteme vzory argumenty nezaacutevisleacute proměnneacute a značiacuteme je

xtshellip∊D jejich obrazy značiacuteme f(x) f(t) f(s)hellip∊ ℝ a nazyacutevaacuteme funkčniacute hodnoty

Množina D se nazyacutevaacute definičniacute obor funkce a takeacute se značiacute D=D(f) množina obrazů se

nazyacutevaacute obor hodnot a značiacute se H=H(f) Nejčastěji piacutešeme

y = f(x) x∊D nebo f x↦f(x) x∊ D

Graf funkce f je množina G dvojic [x f(x)] x∊D tj Gf = DtimesHsubℝ2 Řiacutekaacuteme že funkce je

daacutena je-li daacuteno přiřazeniacute f a definičniacute obor D(f)

[1]

Nejčastějšiacute způsoby zadaacuteniacute funkciacute

a) Analytickeacute zadaacuteniacute

Funkčniacute předpis je daacuten rovniciacute nebo soustavou rovnic (zpravidla jde o jeho explicitniacute

implicitniacute nebo parametrickeacute vyjaacutedřeniacute) Pokud je funkčniacute předpis zadaacuten ve tvaru y = f(x)

jednaacute se o explicitniacute vyjaacutedřeniacute Funkčniacute předpis je zadaacuten implicitně pokud je ve tvaru

F(x y) = 0 resp F(x f(x)) = 0 Parametrickeacute vyjaacutedřeniacute znamenaacute že funkčniacute předpis

funkce f je zadaacuten ve tvaru soustavy rovnic s parametrem např x = ϕ(t) y = ϕ(t) kde t je

parametr s danyacutem oborem proměnnosti zpravidla t ∊ ltα βgt α β ∊ ℝ

(ℝ = ℝ cup -infin +infin)

b) Grafickeacute zadaacuteniacute ndash funkce je daacutena svyacutem grafem

c) Tabelaacuterniacute zadaacuteniacute ndash pro konečnyacute počet uspořaacutedanyacutech dvojic [x y] ∊ f může byacutet funkce

určena jejich vyacutečtem

[4]

9

Množina všech bodů [x f(x)] v karteacutezskeacutem souřadnicoveacutem systeacutemu se nazyacutevaacute graf funkce

f

Na naacutesledujiacuteciacutem obraacutezku je znaacutezorněn přiacutepad ve ktereacutem se nejednaacute o graf funkce jelikož

neniacute splněna podmiacutenka uvedenaacute v definici funkce Důkaz tohoto tvrzeniacute je evidentniacute např

v bodě x = 0 (bod A) pro kteryacute platiacute že f(0) = 2 (bod B) a zaacuteroveň f(0)= -2 (bod C)

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

V naacutesledujiacuteciacutem grafu se jednaacute o graf funkce jelikož je splněna vyacuteše uvedenaacute definice

funkce

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

10

Funkce g D(g) rarr ℝ se nazyacutevaacute restrikce funkce f D(f)rarrℝ jestliže D(g) sub D(f) a pro

všechna x definičniacuteho oboru platiacute g(x) = f(x)

Funkce f g se rovnajiacute jestliže D(g)=D(f) a pro všechna x definičniacuteho oboru platiacute

g(x) = f(x)

Nechť D(g) = D(f) potom pomociacute naacutesledujiacuteciacutech předpisů definujeme

součet funkciacute f + g x rarr f(x) + g(x)

rozdiacutel funkciacute f - g xrarr f(x) - g(x)

součin funkciacute f g x rarr f(x) g(x)

podiacutel funkciacute fg x rarr f(x)g(x) g(x) ne 0

naacutesobek funkce αf x rarrαf(x) α ∊ ℝ

[8]

111 DEFINIČNIacute OBOR - PŘIacuteKLADY

Př 1 Určete definičniacute obor u naacutesledujiacuteciacutech funkciacute

a) f(x) = ln(x+1)

Aby byla funkce definovaacutena musiacute byacutet argument logaritmu většiacute než 0 Definičniacute obor teacuteto

funkce zjistiacuteme naacutesledovně

x+1 gt 0

x gt -1

Tedy platiacute D(f) = (-1 + ) Na obraacutezku vidiacuteme graf funkce Z obraacutezku je naacutezorně vidět i

definičniacute obor vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

infin

11

1

x+8+radic xb) h(x) =

Tato funkce je definovaacutena pouze pokud jmenovatel funkce se nerovnaacute 0 a zaacuterověň funkce

pod odmocninou je většiacute než 0

Teď viacuteme že do definičniacuteho oboru teacuteto funkce nebude patřit bod x = -8

Definičniacute obor odmocniny x ge 0

Nyniacute musiacuteme udělat průnik podmiacutenek pro definičniacute obor funkce h(x) tedy x se nesmiacute

rovnat -8 a zaacuteroveň x musiacute byacutet většiacute nebo rovno 0 Tedy D(h) = lt0 +infin)

Spraacutevnost vyacutepočtu opět potvrdiacuteme na naacutesledujiacuteciacutem grafu

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

x+8ne0xneminus8

12

5minusx

x+1

5minusx

x+1

5minusx

x+1

12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y

Pro zjištěniacute průběhu funkce musiacuteme vypočiacutetat průsečiacuteky funkce s osou x i s osou y

Průsečiacutek s osou x

Maacuteme-li funkci y=f(x) průsečiacutek s osou x ziacuteskaacuteme tak že za y dosadiacuteme 0 (jelikož pro

všechny body na ose x platiacute souřadnice [x0]) a uacutepravami ziacuteskaacuteme z rovnice hodnotu x

Řešiacuteme tedy rovnici 0=f(x)

Průsečiacutek s osou y

Ve funkci y=f(x) ziacuteskaacuteme průsečiacutek s osou y dosazeniacutem 0 za x ve vyacuterazu f(x) (pro všechny

body na ose y platiacute naacutesledujiacuteciacute souřadnice [0y]) a opět pomociacute uacuteprav ziacuteskaacuteme hodnotu

bodu y Řešiacuteme rovnici y = f(0)

121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady

Př Zjistěte průsečiacuteky s osami x a y u naacutesledujiacuteciacute funkce

f(x) y =

Řešeniacute

Průsečiacutek s osou x funkce y = (dosadiacuteme tedy y = 0)

0 = (x+1)

0 = 5-x

x = 5

Průsečiacutek s osou y zjistiacuteme tak že za x dosadiacuteme 0

y = 5

Viacuteme tedy že zadanaacute funkce f(x) protiacutenaacute osu x v bodě X = [5 0] a osu y v bodě Y = [0 5]

Na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku grafu funkce vidiacuteme průběh funkce i vyznačeneacute průsečiacuteky

s osami x a y

13

forallxisin D( f ) existT isin Rminus0 x+T isinD( f )and f (x+T ) = f (x)

existKgt0 forallxisinA f ( x)⩽K

forallxisinD( f ) f (minusx)= f (x)

forallxisinD( f ) f (minusx)=minus f (x)

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

13 Speciaacutelniacute typy funkciacute

Funkce f y = f(x) x ∊ D(f) je

funkce sudaacute praacutevě když

funkce lichaacute praacutevě když

funkce periodickaacute praacutevě když

T se nazyacutevaacute perioda funkce

funkce omezenaacute zdola na množině AsubD(f) praacutevě když je zdola omezenaacute množina f(A)

funkce omezenaacute shora na množině AsubD(f) praacutevě když je shora omezenaacute množina f(A)

funkce omezenaacute na množině AsubD(f) praacutevě když je omezenaacute zdola i shora tj praacutevě když

je omezenaacute množina f(A)

Funkce f kteraacute je prostyacutem zobrazeniacutem D(f) rarr ℝ tj u niacutež pro každou dvojici x1 x2 ∊ D(f)

x1 ne x2 je takeacute f(x1) nef(x2) se nazyacutevaacute prostaacute funkce

[4]

existKgt0forallx isinA f (x)geminusK

existKgt0 forallxisinA ∣f (x)∣⩽K

14

Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

15

xrarralim f ( x)=b

xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

14 Limity funkce

Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu

Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke

každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute

interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho

okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0

Definice limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje

takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute

hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu

ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute

(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu

16

x0notinD( f )

xrarr x0

lim f ( x)=b

xrarr x0xrarr x0

xrarr+infinxrarrminusinfin

xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu

k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna

nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme

[2]

Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru

(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))

Definice limity podle Heineho

Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity

posloupnosti

a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0

konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute

v bodě x0 limitu b a piacutešeme

b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin

(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)

limitu b a piacutešeme

17

xrarr+infin xrarrminusinfin

xrarr+infin xrarrminusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin

lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin

x rarr x0

lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0

lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

limf (x )

g ( x)=

lim f ( x)

lim g ( x)=

b

c cne0

xrarr x0

d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když

Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu

b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku

[1]

141 Algebra limit

Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu

x0=plusmn infin)

Potom existujiacute limity funkciacute

f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D

a platiacute

1 součet a rozdiacutel limit

2 součin limit

3 podiacutel limit

[1]

forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε

0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε

Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)

18

lim f ( x)

lim f ( x)xrarra

x rarr a+

142 Jednostranneacute limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute

lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f

v bodě a budeme zapisovat takto

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η

agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě

a budeme zapisovat takto

[2]

19

lim 8 xminus6

=lim (8

x6)=+infin

xrarr0xrarr0

lim (( x

2minus1)

(x2minusx)

)=lim ((( xminus1)( x+1))

(x (xminus1)))=lim (

( x+1)

x)=2

xrarr1 xrarr1 xrarr1

lim (xminus7

1minuse2x

)=minusinfin

xrarrminusinfin

lim (minus2x

radicx2minus4

)=lim (minus2x

xradic(1minus4

x2)

)=lim (minus2

radic1minus4

x2

)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin

143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady

Vypočtěte limity

1)

V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se

bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin

2)

V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se

vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity

vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a

zleva

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

3)

e2x

jde v limitě k 0

Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno

4)

V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě

k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli

Vyacutesledek je tedy -2

20

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0

h=xminusa

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim f ( x)= f (a)xrarra

nrarr+infinnrarr+infin

lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))

+

15 Spojitost funkce

Definice spojitosti funkce

Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když

[2]

Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto

[1]

Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když

Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když

Kriteacuteria spojitosti

a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když

b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost

xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně

c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)

a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)

[1]

Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li

naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c

[5]

forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε

stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε

21

x0notinD( f )

limx

x2minus1

=+infin

xrarrminus1

xrarrminus1

limx

x2minus1

=minusinfin

limx

x2minus1

=+infin

xrarr1

limx

x2minus1

=minusinfin

xrarr1

151 Body nespojitosti

Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0

(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru

nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale

neniacute v něm spojitaacute

Když

1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti

2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce

f

3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod

nespojitosti 2 druhu

[1]

Př Najděte body nespojitosti funkce f

D(f) = R--11 body nespojitosti -11

Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem

zaacutepornyacutem čiacuteslem

Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule

Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti

II druhu

Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1

Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno

V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin

f (x )=x

x2minus1

+

+

22

lim (f ( x0+h)minus f ( x0)

h)

hrarr0

y=f ( x)

g (x )

h=xminusx0

Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II

druhu

16 Derivace funkce

Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute

limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute

Derivace funkce y = yacute

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0

derivaci a platiacute

Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)+g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě

derivaci i funkce a platiacute

Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě

z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)

[2]

yacute=kf acute( x0)

yacute= f acute( x0)+gacute (x0)

yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)

y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)

g2( x0)

23

1

xlna

1

x

1

cos2( x)

minus1

sin2(x )

1

radic1minus x2

minus1

radic1minus x2

1

1+x2

minus1

1+x2

1

cosh2(x)

minus1

sinh2(x )

1

radicx2+11

radicx2minus1

1

1minusx2

1

1minusx2

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])

Funkce Derivace funkce Podmiacutenky

k

x

xn

x-n

ax

ex

loga(x)

ln(x)

sin(x)

cos(x)

tg(x)

cotg(x)

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arccotg(x)

sinh(x)

cosh(x)

tgh(x)

cotgh(x)

argsinh(x)

argcosh(x)

argtgh(x)

argcotgh(x)

0

1

nxn-1

-nx-n-1

αxα-1

axln(a)

ex

cos(x)

-sin(x)

cosh(x)

sinh(x)

k je konstanta k ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ n ∊ ℕ

x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ

xgt0 α ∊ ℝ

x ∊ agt0

x ∊ ℝ

xgt0 agt0 ane1

xgt0

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ

x ne kπ k ∊ ℤ

x ∊ (-11)

x ∊ (-11)

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ - 0

x ∊ ℝ

x ∊ (1 +infin)

x ∊ (-1 1)

x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)

24

x rarrinfin

limf (x )

g (x )=lim

f acute (x)

gacute (x )x rarrinfin

162 LacuteHospitalovo pravidlo

Věta (LHospitalovo pravidlo)

Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g

limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu

pak

za předpokladu že limita na praveacute straně existuje

LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute

f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin

a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0

b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin

[3]

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam

Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě

klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a

Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii

25

Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute

Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x) lt f(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima

b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima

Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto

bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem

[2]

Fermatova podmiacutenka extreacutemu

Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet

derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce

v tomto bodě extreacutem

[6]

Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je

miacutesto toho v bodě a spojitaacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 7: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

9

Množina všech bodů [x f(x)] v karteacutezskeacutem souřadnicoveacutem systeacutemu se nazyacutevaacute graf funkce

f

Na naacutesledujiacuteciacutem obraacutezku je znaacutezorněn přiacutepad ve ktereacutem se nejednaacute o graf funkce jelikož

neniacute splněna podmiacutenka uvedenaacute v definici funkce Důkaz tohoto tvrzeniacute je evidentniacute např

v bodě x = 0 (bod A) pro kteryacute platiacute že f(0) = 2 (bod B) a zaacuteroveň f(0)= -2 (bod C)

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

V naacutesledujiacuteciacutem grafu se jednaacute o graf funkce jelikož je splněna vyacuteše uvedenaacute definice

funkce

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

10

Funkce g D(g) rarr ℝ se nazyacutevaacute restrikce funkce f D(f)rarrℝ jestliže D(g) sub D(f) a pro

všechna x definičniacuteho oboru platiacute g(x) = f(x)

Funkce f g se rovnajiacute jestliže D(g)=D(f) a pro všechna x definičniacuteho oboru platiacute

g(x) = f(x)

Nechť D(g) = D(f) potom pomociacute naacutesledujiacuteciacutech předpisů definujeme

součet funkciacute f + g x rarr f(x) + g(x)

rozdiacutel funkciacute f - g xrarr f(x) - g(x)

součin funkciacute f g x rarr f(x) g(x)

podiacutel funkciacute fg x rarr f(x)g(x) g(x) ne 0

naacutesobek funkce αf x rarrαf(x) α ∊ ℝ

[8]

111 DEFINIČNIacute OBOR - PŘIacuteKLADY

Př 1 Určete definičniacute obor u naacutesledujiacuteciacutech funkciacute

a) f(x) = ln(x+1)

Aby byla funkce definovaacutena musiacute byacutet argument logaritmu většiacute než 0 Definičniacute obor teacuteto

funkce zjistiacuteme naacutesledovně

x+1 gt 0

x gt -1

Tedy platiacute D(f) = (-1 + ) Na obraacutezku vidiacuteme graf funkce Z obraacutezku je naacutezorně vidět i

definičniacute obor vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

infin

11

1

x+8+radic xb) h(x) =

Tato funkce je definovaacutena pouze pokud jmenovatel funkce se nerovnaacute 0 a zaacuterověň funkce

pod odmocninou je většiacute než 0

Teď viacuteme že do definičniacuteho oboru teacuteto funkce nebude patřit bod x = -8

Definičniacute obor odmocniny x ge 0

Nyniacute musiacuteme udělat průnik podmiacutenek pro definičniacute obor funkce h(x) tedy x se nesmiacute

rovnat -8 a zaacuteroveň x musiacute byacutet většiacute nebo rovno 0 Tedy D(h) = lt0 +infin)

Spraacutevnost vyacutepočtu opět potvrdiacuteme na naacutesledujiacuteciacutem grafu

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

x+8ne0xneminus8

12

5minusx

x+1

5minusx

x+1

5minusx

x+1

12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y

Pro zjištěniacute průběhu funkce musiacuteme vypočiacutetat průsečiacuteky funkce s osou x i s osou y

Průsečiacutek s osou x

Maacuteme-li funkci y=f(x) průsečiacutek s osou x ziacuteskaacuteme tak že za y dosadiacuteme 0 (jelikož pro

všechny body na ose x platiacute souřadnice [x0]) a uacutepravami ziacuteskaacuteme z rovnice hodnotu x

Řešiacuteme tedy rovnici 0=f(x)

Průsečiacutek s osou y

Ve funkci y=f(x) ziacuteskaacuteme průsečiacutek s osou y dosazeniacutem 0 za x ve vyacuterazu f(x) (pro všechny

body na ose y platiacute naacutesledujiacuteciacute souřadnice [0y]) a opět pomociacute uacuteprav ziacuteskaacuteme hodnotu

bodu y Řešiacuteme rovnici y = f(0)

121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady

Př Zjistěte průsečiacuteky s osami x a y u naacutesledujiacuteciacute funkce

f(x) y =

Řešeniacute

Průsečiacutek s osou x funkce y = (dosadiacuteme tedy y = 0)

0 = (x+1)

0 = 5-x

x = 5

Průsečiacutek s osou y zjistiacuteme tak že za x dosadiacuteme 0

y = 5

Viacuteme tedy že zadanaacute funkce f(x) protiacutenaacute osu x v bodě X = [5 0] a osu y v bodě Y = [0 5]

Na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku grafu funkce vidiacuteme průběh funkce i vyznačeneacute průsečiacuteky

s osami x a y

13

forallxisin D( f ) existT isin Rminus0 x+T isinD( f )and f (x+T ) = f (x)

existKgt0 forallxisinA f ( x)⩽K

forallxisinD( f ) f (minusx)= f (x)

forallxisinD( f ) f (minusx)=minus f (x)

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

13 Speciaacutelniacute typy funkciacute

Funkce f y = f(x) x ∊ D(f) je

funkce sudaacute praacutevě když

funkce lichaacute praacutevě když

funkce periodickaacute praacutevě když

T se nazyacutevaacute perioda funkce

funkce omezenaacute zdola na množině AsubD(f) praacutevě když je zdola omezenaacute množina f(A)

funkce omezenaacute shora na množině AsubD(f) praacutevě když je shora omezenaacute množina f(A)

funkce omezenaacute na množině AsubD(f) praacutevě když je omezenaacute zdola i shora tj praacutevě když

je omezenaacute množina f(A)

Funkce f kteraacute je prostyacutem zobrazeniacutem D(f) rarr ℝ tj u niacutež pro každou dvojici x1 x2 ∊ D(f)

x1 ne x2 je takeacute f(x1) nef(x2) se nazyacutevaacute prostaacute funkce

[4]

existKgt0forallx isinA f (x)geminusK

existKgt0 forallxisinA ∣f (x)∣⩽K

14

Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

15

xrarralim f ( x)=b

xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

14 Limity funkce

Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu

Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke

každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute

interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho

okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0

Definice limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje

takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute

hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu

ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute

(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu

16

x0notinD( f )

xrarr x0

lim f ( x)=b

xrarr x0xrarr x0

xrarr+infinxrarrminusinfin

xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu

k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna

nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme

[2]

Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru

(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))

Definice limity podle Heineho

Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity

posloupnosti

a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0

konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute

v bodě x0 limitu b a piacutešeme

b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin

(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)

limitu b a piacutešeme

17

xrarr+infin xrarrminusinfin

xrarr+infin xrarrminusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin

lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin

x rarr x0

lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0

lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

limf (x )

g ( x)=

lim f ( x)

lim g ( x)=

b

c cne0

xrarr x0

d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když

Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu

b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku

[1]

141 Algebra limit

Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu

x0=plusmn infin)

Potom existujiacute limity funkciacute

f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D

a platiacute

1 součet a rozdiacutel limit

2 součin limit

3 podiacutel limit

[1]

forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε

0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε

Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)

18

lim f ( x)

lim f ( x)xrarra

x rarr a+

142 Jednostranneacute limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute

lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f

v bodě a budeme zapisovat takto

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η

agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě

a budeme zapisovat takto

[2]

19

lim 8 xminus6

=lim (8

x6)=+infin

xrarr0xrarr0

lim (( x

2minus1)

(x2minusx)

)=lim ((( xminus1)( x+1))

(x (xminus1)))=lim (

( x+1)

x)=2

xrarr1 xrarr1 xrarr1

lim (xminus7

1minuse2x

)=minusinfin

xrarrminusinfin

lim (minus2x

radicx2minus4

)=lim (minus2x

xradic(1minus4

x2)

)=lim (minus2

radic1minus4

x2

)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin

143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady

Vypočtěte limity

1)

V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se

bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin

2)

V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se

vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity

vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a

zleva

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

3)

e2x

jde v limitě k 0

Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno

4)

V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě

k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli

Vyacutesledek je tedy -2

20

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0

h=xminusa

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim f ( x)= f (a)xrarra

nrarr+infinnrarr+infin

lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))

+

15 Spojitost funkce

Definice spojitosti funkce

Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když

[2]

Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto

[1]

Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když

Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když

Kriteacuteria spojitosti

a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když

b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost

xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně

c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)

a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)

[1]

Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li

naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c

[5]

forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε

stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε

21

x0notinD( f )

limx

x2minus1

=+infin

xrarrminus1

xrarrminus1

limx

x2minus1

=minusinfin

limx

x2minus1

=+infin

xrarr1

limx

x2minus1

=minusinfin

xrarr1

151 Body nespojitosti

Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0

(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru

nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale

neniacute v něm spojitaacute

Když

1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti

2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce

f

3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod

nespojitosti 2 druhu

[1]

Př Najděte body nespojitosti funkce f

D(f) = R--11 body nespojitosti -11

Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem

zaacutepornyacutem čiacuteslem

Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule

Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti

II druhu

Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1

Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno

V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin

f (x )=x

x2minus1

+

+

22

lim (f ( x0+h)minus f ( x0)

h)

hrarr0

y=f ( x)

g (x )

h=xminusx0

Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II

druhu

16 Derivace funkce

Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute

limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute

Derivace funkce y = yacute

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0

derivaci a platiacute

Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)+g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě

derivaci i funkce a platiacute

Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě

z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)

[2]

yacute=kf acute( x0)

yacute= f acute( x0)+gacute (x0)

yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)

y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)

g2( x0)

23

1

xlna

1

x

1

cos2( x)

minus1

sin2(x )

1

radic1minus x2

minus1

radic1minus x2

1

1+x2

minus1

1+x2

1

cosh2(x)

minus1

sinh2(x )

1

radicx2+11

radicx2minus1

1

1minusx2

1

1minusx2

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])

Funkce Derivace funkce Podmiacutenky

k

x

xn

x-n

ax

ex

loga(x)

ln(x)

sin(x)

cos(x)

tg(x)

cotg(x)

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arccotg(x)

sinh(x)

cosh(x)

tgh(x)

cotgh(x)

argsinh(x)

argcosh(x)

argtgh(x)

argcotgh(x)

0

1

nxn-1

-nx-n-1

αxα-1

axln(a)

ex

cos(x)

-sin(x)

cosh(x)

sinh(x)

k je konstanta k ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ n ∊ ℕ

x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ

xgt0 α ∊ ℝ

x ∊ agt0

x ∊ ℝ

xgt0 agt0 ane1

xgt0

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ

x ne kπ k ∊ ℤ

x ∊ (-11)

x ∊ (-11)

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ - 0

x ∊ ℝ

x ∊ (1 +infin)

x ∊ (-1 1)

x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)

24

x rarrinfin

limf (x )

g (x )=lim

f acute (x)

gacute (x )x rarrinfin

162 LacuteHospitalovo pravidlo

Věta (LHospitalovo pravidlo)

Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g

limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu

pak

za předpokladu že limita na praveacute straně existuje

LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute

f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin

a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0

b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin

[3]

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam

Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě

klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a

Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii

25

Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute

Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x) lt f(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima

b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima

Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto

bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem

[2]

Fermatova podmiacutenka extreacutemu

Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet

derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce

v tomto bodě extreacutem

[6]

Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je

miacutesto toho v bodě a spojitaacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 8: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

10

Funkce g D(g) rarr ℝ se nazyacutevaacute restrikce funkce f D(f)rarrℝ jestliže D(g) sub D(f) a pro

všechna x definičniacuteho oboru platiacute g(x) = f(x)

Funkce f g se rovnajiacute jestliže D(g)=D(f) a pro všechna x definičniacuteho oboru platiacute

g(x) = f(x)

Nechť D(g) = D(f) potom pomociacute naacutesledujiacuteciacutech předpisů definujeme

součet funkciacute f + g x rarr f(x) + g(x)

rozdiacutel funkciacute f - g xrarr f(x) - g(x)

součin funkciacute f g x rarr f(x) g(x)

podiacutel funkciacute fg x rarr f(x)g(x) g(x) ne 0

naacutesobek funkce αf x rarrαf(x) α ∊ ℝ

[8]

111 DEFINIČNIacute OBOR - PŘIacuteKLADY

Př 1 Určete definičniacute obor u naacutesledujiacuteciacutech funkciacute

a) f(x) = ln(x+1)

Aby byla funkce definovaacutena musiacute byacutet argument logaritmu většiacute než 0 Definičniacute obor teacuteto

funkce zjistiacuteme naacutesledovně

x+1 gt 0

x gt -1

Tedy platiacute D(f) = (-1 + ) Na obraacutezku vidiacuteme graf funkce Z obraacutezku je naacutezorně vidět i

definičniacute obor vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

infin

11

1

x+8+radic xb) h(x) =

Tato funkce je definovaacutena pouze pokud jmenovatel funkce se nerovnaacute 0 a zaacuterověň funkce

pod odmocninou je většiacute než 0

Teď viacuteme že do definičniacuteho oboru teacuteto funkce nebude patřit bod x = -8

Definičniacute obor odmocniny x ge 0

Nyniacute musiacuteme udělat průnik podmiacutenek pro definičniacute obor funkce h(x) tedy x se nesmiacute

rovnat -8 a zaacuteroveň x musiacute byacutet většiacute nebo rovno 0 Tedy D(h) = lt0 +infin)

Spraacutevnost vyacutepočtu opět potvrdiacuteme na naacutesledujiacuteciacutem grafu

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

x+8ne0xneminus8

12

5minusx

x+1

5minusx

x+1

5minusx

x+1

12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y

Pro zjištěniacute průběhu funkce musiacuteme vypočiacutetat průsečiacuteky funkce s osou x i s osou y

Průsečiacutek s osou x

Maacuteme-li funkci y=f(x) průsečiacutek s osou x ziacuteskaacuteme tak že za y dosadiacuteme 0 (jelikož pro

všechny body na ose x platiacute souřadnice [x0]) a uacutepravami ziacuteskaacuteme z rovnice hodnotu x

Řešiacuteme tedy rovnici 0=f(x)

Průsečiacutek s osou y

Ve funkci y=f(x) ziacuteskaacuteme průsečiacutek s osou y dosazeniacutem 0 za x ve vyacuterazu f(x) (pro všechny

body na ose y platiacute naacutesledujiacuteciacute souřadnice [0y]) a opět pomociacute uacuteprav ziacuteskaacuteme hodnotu

bodu y Řešiacuteme rovnici y = f(0)

121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady

Př Zjistěte průsečiacuteky s osami x a y u naacutesledujiacuteciacute funkce

f(x) y =

Řešeniacute

Průsečiacutek s osou x funkce y = (dosadiacuteme tedy y = 0)

0 = (x+1)

0 = 5-x

x = 5

Průsečiacutek s osou y zjistiacuteme tak že za x dosadiacuteme 0

y = 5

Viacuteme tedy že zadanaacute funkce f(x) protiacutenaacute osu x v bodě X = [5 0] a osu y v bodě Y = [0 5]

Na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku grafu funkce vidiacuteme průběh funkce i vyznačeneacute průsečiacuteky

s osami x a y

13

forallxisin D( f ) existT isin Rminus0 x+T isinD( f )and f (x+T ) = f (x)

existKgt0 forallxisinA f ( x)⩽K

forallxisinD( f ) f (minusx)= f (x)

forallxisinD( f ) f (minusx)=minus f (x)

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

13 Speciaacutelniacute typy funkciacute

Funkce f y = f(x) x ∊ D(f) je

funkce sudaacute praacutevě když

funkce lichaacute praacutevě když

funkce periodickaacute praacutevě když

T se nazyacutevaacute perioda funkce

funkce omezenaacute zdola na množině AsubD(f) praacutevě když je zdola omezenaacute množina f(A)

funkce omezenaacute shora na množině AsubD(f) praacutevě když je shora omezenaacute množina f(A)

funkce omezenaacute na množině AsubD(f) praacutevě když je omezenaacute zdola i shora tj praacutevě když

je omezenaacute množina f(A)

Funkce f kteraacute je prostyacutem zobrazeniacutem D(f) rarr ℝ tj u niacutež pro každou dvojici x1 x2 ∊ D(f)

x1 ne x2 je takeacute f(x1) nef(x2) se nazyacutevaacute prostaacute funkce

[4]

existKgt0forallx isinA f (x)geminusK

existKgt0 forallxisinA ∣f (x)∣⩽K

14

Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

15

xrarralim f ( x)=b

xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

14 Limity funkce

Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu

Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke

každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute

interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho

okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0

Definice limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje

takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute

hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu

ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute

(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu

16

x0notinD( f )

xrarr x0

lim f ( x)=b

xrarr x0xrarr x0

xrarr+infinxrarrminusinfin

xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu

k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna

nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme

[2]

Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru

(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))

Definice limity podle Heineho

Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity

posloupnosti

a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0

konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute

v bodě x0 limitu b a piacutešeme

b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin

(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)

limitu b a piacutešeme

17

xrarr+infin xrarrminusinfin

xrarr+infin xrarrminusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin

lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin

x rarr x0

lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0

lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

limf (x )

g ( x)=

lim f ( x)

lim g ( x)=

b

c cne0

xrarr x0

d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když

Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu

b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku

[1]

141 Algebra limit

Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu

x0=plusmn infin)

Potom existujiacute limity funkciacute

f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D

a platiacute

1 součet a rozdiacutel limit

2 součin limit

3 podiacutel limit

[1]

forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε

0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε

Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)

18

lim f ( x)

lim f ( x)xrarra

x rarr a+

142 Jednostranneacute limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute

lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f

v bodě a budeme zapisovat takto

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η

agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě

a budeme zapisovat takto

[2]

19

lim 8 xminus6

=lim (8

x6)=+infin

xrarr0xrarr0

lim (( x

2minus1)

(x2minusx)

)=lim ((( xminus1)( x+1))

(x (xminus1)))=lim (

( x+1)

x)=2

xrarr1 xrarr1 xrarr1

lim (xminus7

1minuse2x

)=minusinfin

xrarrminusinfin

lim (minus2x

radicx2minus4

)=lim (minus2x

xradic(1minus4

x2)

)=lim (minus2

radic1minus4

x2

)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin

143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady

Vypočtěte limity

1)

V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se

bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin

2)

V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se

vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity

vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a

zleva

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

3)

e2x

jde v limitě k 0

Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno

4)

V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě

k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli

Vyacutesledek je tedy -2

20

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0

h=xminusa

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim f ( x)= f (a)xrarra

nrarr+infinnrarr+infin

lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))

+

15 Spojitost funkce

Definice spojitosti funkce

Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když

[2]

Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto

[1]

Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když

Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když

Kriteacuteria spojitosti

a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když

b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost

xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně

c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)

a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)

[1]

Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li

naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c

[5]

forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε

stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε

21

x0notinD( f )

limx

x2minus1

=+infin

xrarrminus1

xrarrminus1

limx

x2minus1

=minusinfin

limx

x2minus1

=+infin

xrarr1

limx

x2minus1

=minusinfin

xrarr1

151 Body nespojitosti

Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0

(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru

nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale

neniacute v něm spojitaacute

Když

1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti

2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce

f

3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod

nespojitosti 2 druhu

[1]

Př Najděte body nespojitosti funkce f

D(f) = R--11 body nespojitosti -11

Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem

zaacutepornyacutem čiacuteslem

Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule

Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti

II druhu

Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1

Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno

V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin

f (x )=x

x2minus1

+

+

22

lim (f ( x0+h)minus f ( x0)

h)

hrarr0

y=f ( x)

g (x )

h=xminusx0

Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II

druhu

16 Derivace funkce

Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute

limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute

Derivace funkce y = yacute

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0

derivaci a platiacute

Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)+g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě

derivaci i funkce a platiacute

Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě

z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)

[2]

yacute=kf acute( x0)

yacute= f acute( x0)+gacute (x0)

yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)

y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)

g2( x0)

23

1

xlna

1

x

1

cos2( x)

minus1

sin2(x )

1

radic1minus x2

minus1

radic1minus x2

1

1+x2

minus1

1+x2

1

cosh2(x)

minus1

sinh2(x )

1

radicx2+11

radicx2minus1

1

1minusx2

1

1minusx2

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])

Funkce Derivace funkce Podmiacutenky

k

x

xn

x-n

ax

ex

loga(x)

ln(x)

sin(x)

cos(x)

tg(x)

cotg(x)

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arccotg(x)

sinh(x)

cosh(x)

tgh(x)

cotgh(x)

argsinh(x)

argcosh(x)

argtgh(x)

argcotgh(x)

0

1

nxn-1

-nx-n-1

αxα-1

axln(a)

ex

cos(x)

-sin(x)

cosh(x)

sinh(x)

k je konstanta k ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ n ∊ ℕ

x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ

xgt0 α ∊ ℝ

x ∊ agt0

x ∊ ℝ

xgt0 agt0 ane1

xgt0

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ

x ne kπ k ∊ ℤ

x ∊ (-11)

x ∊ (-11)

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ - 0

x ∊ ℝ

x ∊ (1 +infin)

x ∊ (-1 1)

x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)

24

x rarrinfin

limf (x )

g (x )=lim

f acute (x)

gacute (x )x rarrinfin

162 LacuteHospitalovo pravidlo

Věta (LHospitalovo pravidlo)

Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g

limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu

pak

za předpokladu že limita na praveacute straně existuje

LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute

f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin

a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0

b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin

[3]

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam

Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě

klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a

Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii

25

Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute

Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x) lt f(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima

b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima

Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto

bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem

[2]

Fermatova podmiacutenka extreacutemu

Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet

derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce

v tomto bodě extreacutem

[6]

Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je

miacutesto toho v bodě a spojitaacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 9: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

11

1

x+8+radic xb) h(x) =

Tato funkce je definovaacutena pouze pokud jmenovatel funkce se nerovnaacute 0 a zaacuterověň funkce

pod odmocninou je většiacute než 0

Teď viacuteme že do definičniacuteho oboru teacuteto funkce nebude patřit bod x = -8

Definičniacute obor odmocniny x ge 0

Nyniacute musiacuteme udělat průnik podmiacutenek pro definičniacute obor funkce h(x) tedy x se nesmiacute

rovnat -8 a zaacuteroveň x musiacute byacutet většiacute nebo rovno 0 Tedy D(h) = lt0 +infin)

Spraacutevnost vyacutepočtu opět potvrdiacuteme na naacutesledujiacuteciacutem grafu

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

x+8ne0xneminus8

12

5minusx

x+1

5minusx

x+1

5minusx

x+1

12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y

Pro zjištěniacute průběhu funkce musiacuteme vypočiacutetat průsečiacuteky funkce s osou x i s osou y

Průsečiacutek s osou x

Maacuteme-li funkci y=f(x) průsečiacutek s osou x ziacuteskaacuteme tak že za y dosadiacuteme 0 (jelikož pro

všechny body na ose x platiacute souřadnice [x0]) a uacutepravami ziacuteskaacuteme z rovnice hodnotu x

Řešiacuteme tedy rovnici 0=f(x)

Průsečiacutek s osou y

Ve funkci y=f(x) ziacuteskaacuteme průsečiacutek s osou y dosazeniacutem 0 za x ve vyacuterazu f(x) (pro všechny

body na ose y platiacute naacutesledujiacuteciacute souřadnice [0y]) a opět pomociacute uacuteprav ziacuteskaacuteme hodnotu

bodu y Řešiacuteme rovnici y = f(0)

121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady

Př Zjistěte průsečiacuteky s osami x a y u naacutesledujiacuteciacute funkce

f(x) y =

Řešeniacute

Průsečiacutek s osou x funkce y = (dosadiacuteme tedy y = 0)

0 = (x+1)

0 = 5-x

x = 5

Průsečiacutek s osou y zjistiacuteme tak že za x dosadiacuteme 0

y = 5

Viacuteme tedy že zadanaacute funkce f(x) protiacutenaacute osu x v bodě X = [5 0] a osu y v bodě Y = [0 5]

Na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku grafu funkce vidiacuteme průběh funkce i vyznačeneacute průsečiacuteky

s osami x a y

13

forallxisin D( f ) existT isin Rminus0 x+T isinD( f )and f (x+T ) = f (x)

existKgt0 forallxisinA f ( x)⩽K

forallxisinD( f ) f (minusx)= f (x)

forallxisinD( f ) f (minusx)=minus f (x)

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

13 Speciaacutelniacute typy funkciacute

Funkce f y = f(x) x ∊ D(f) je

funkce sudaacute praacutevě když

funkce lichaacute praacutevě když

funkce periodickaacute praacutevě když

T se nazyacutevaacute perioda funkce

funkce omezenaacute zdola na množině AsubD(f) praacutevě když je zdola omezenaacute množina f(A)

funkce omezenaacute shora na množině AsubD(f) praacutevě když je shora omezenaacute množina f(A)

funkce omezenaacute na množině AsubD(f) praacutevě když je omezenaacute zdola i shora tj praacutevě když

je omezenaacute množina f(A)

Funkce f kteraacute je prostyacutem zobrazeniacutem D(f) rarr ℝ tj u niacutež pro každou dvojici x1 x2 ∊ D(f)

x1 ne x2 je takeacute f(x1) nef(x2) se nazyacutevaacute prostaacute funkce

[4]

existKgt0forallx isinA f (x)geminusK

existKgt0 forallxisinA ∣f (x)∣⩽K

14

Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

15

xrarralim f ( x)=b

xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

14 Limity funkce

Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu

Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke

každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute

interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho

okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0

Definice limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje

takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute

hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu

ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute

(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu

16

x0notinD( f )

xrarr x0

lim f ( x)=b

xrarr x0xrarr x0

xrarr+infinxrarrminusinfin

xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu

k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna

nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme

[2]

Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru

(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))

Definice limity podle Heineho

Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity

posloupnosti

a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0

konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute

v bodě x0 limitu b a piacutešeme

b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin

(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)

limitu b a piacutešeme

17

xrarr+infin xrarrminusinfin

xrarr+infin xrarrminusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin

lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin

x rarr x0

lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0

lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

limf (x )

g ( x)=

lim f ( x)

lim g ( x)=

b

c cne0

xrarr x0

d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když

Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu

b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku

[1]

141 Algebra limit

Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu

x0=plusmn infin)

Potom existujiacute limity funkciacute

f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D

a platiacute

1 součet a rozdiacutel limit

2 součin limit

3 podiacutel limit

[1]

forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε

0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε

Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)

18

lim f ( x)

lim f ( x)xrarra

x rarr a+

142 Jednostranneacute limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute

lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f

v bodě a budeme zapisovat takto

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η

agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě

a budeme zapisovat takto

[2]

19

lim 8 xminus6

=lim (8

x6)=+infin

xrarr0xrarr0

lim (( x

2minus1)

(x2minusx)

)=lim ((( xminus1)( x+1))

(x (xminus1)))=lim (

( x+1)

x)=2

xrarr1 xrarr1 xrarr1

lim (xminus7

1minuse2x

)=minusinfin

xrarrminusinfin

lim (minus2x

radicx2minus4

)=lim (minus2x

xradic(1minus4

x2)

)=lim (minus2

radic1minus4

x2

)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin

143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady

Vypočtěte limity

1)

V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se

bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin

2)

V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se

vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity

vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a

zleva

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

3)

e2x

jde v limitě k 0

Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno

4)

V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě

k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli

Vyacutesledek je tedy -2

20

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0

h=xminusa

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim f ( x)= f (a)xrarra

nrarr+infinnrarr+infin

lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))

+

15 Spojitost funkce

Definice spojitosti funkce

Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když

[2]

Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto

[1]

Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když

Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když

Kriteacuteria spojitosti

a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když

b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost

xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně

c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)

a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)

[1]

Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li

naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c

[5]

forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε

stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε

21

x0notinD( f )

limx

x2minus1

=+infin

xrarrminus1

xrarrminus1

limx

x2minus1

=minusinfin

limx

x2minus1

=+infin

xrarr1

limx

x2minus1

=minusinfin

xrarr1

151 Body nespojitosti

Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0

(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru

nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale

neniacute v něm spojitaacute

Když

1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti

2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce

f

3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod

nespojitosti 2 druhu

[1]

Př Najděte body nespojitosti funkce f

D(f) = R--11 body nespojitosti -11

Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem

zaacutepornyacutem čiacuteslem

Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule

Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti

II druhu

Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1

Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno

V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin

f (x )=x

x2minus1

+

+

22

lim (f ( x0+h)minus f ( x0)

h)

hrarr0

y=f ( x)

g (x )

h=xminusx0

Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II

druhu

16 Derivace funkce

Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute

limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute

Derivace funkce y = yacute

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0

derivaci a platiacute

Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)+g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě

derivaci i funkce a platiacute

Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě

z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)

[2]

yacute=kf acute( x0)

yacute= f acute( x0)+gacute (x0)

yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)

y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)

g2( x0)

23

1

xlna

1

x

1

cos2( x)

minus1

sin2(x )

1

radic1minus x2

minus1

radic1minus x2

1

1+x2

minus1

1+x2

1

cosh2(x)

minus1

sinh2(x )

1

radicx2+11

radicx2minus1

1

1minusx2

1

1minusx2

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])

Funkce Derivace funkce Podmiacutenky

k

x

xn

x-n

ax

ex

loga(x)

ln(x)

sin(x)

cos(x)

tg(x)

cotg(x)

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arccotg(x)

sinh(x)

cosh(x)

tgh(x)

cotgh(x)

argsinh(x)

argcosh(x)

argtgh(x)

argcotgh(x)

0

1

nxn-1

-nx-n-1

αxα-1

axln(a)

ex

cos(x)

-sin(x)

cosh(x)

sinh(x)

k je konstanta k ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ n ∊ ℕ

x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ

xgt0 α ∊ ℝ

x ∊ agt0

x ∊ ℝ

xgt0 agt0 ane1

xgt0

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ

x ne kπ k ∊ ℤ

x ∊ (-11)

x ∊ (-11)

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ - 0

x ∊ ℝ

x ∊ (1 +infin)

x ∊ (-1 1)

x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)

24

x rarrinfin

limf (x )

g (x )=lim

f acute (x)

gacute (x )x rarrinfin

162 LacuteHospitalovo pravidlo

Věta (LHospitalovo pravidlo)

Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g

limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu

pak

za předpokladu že limita na praveacute straně existuje

LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute

f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin

a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0

b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin

[3]

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam

Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě

klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a

Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii

25

Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute

Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x) lt f(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima

b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima

Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto

bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem

[2]

Fermatova podmiacutenka extreacutemu

Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet

derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce

v tomto bodě extreacutem

[6]

Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je

miacutesto toho v bodě a spojitaacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 10: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

12

5minusx

x+1

5minusx

x+1

5minusx

x+1

12 Zjištěniacute průsečiacuteků funkce s osami x a y

Pro zjištěniacute průběhu funkce musiacuteme vypočiacutetat průsečiacuteky funkce s osou x i s osou y

Průsečiacutek s osou x

Maacuteme-li funkci y=f(x) průsečiacutek s osou x ziacuteskaacuteme tak že za y dosadiacuteme 0 (jelikož pro

všechny body na ose x platiacute souřadnice [x0]) a uacutepravami ziacuteskaacuteme z rovnice hodnotu x

Řešiacuteme tedy rovnici 0=f(x)

Průsečiacutek s osou y

Ve funkci y=f(x) ziacuteskaacuteme průsečiacutek s osou y dosazeniacutem 0 za x ve vyacuterazu f(x) (pro všechny

body na ose y platiacute naacutesledujiacuteciacute souřadnice [0y]) a opět pomociacute uacuteprav ziacuteskaacuteme hodnotu

bodu y Řešiacuteme rovnici y = f(0)

121 Zjištěniacute průsečiacuteků ndash řešeneacute přiacuteklady

Př Zjistěte průsečiacuteky s osami x a y u naacutesledujiacuteciacute funkce

f(x) y =

Řešeniacute

Průsečiacutek s osou x funkce y = (dosadiacuteme tedy y = 0)

0 = (x+1)

0 = 5-x

x = 5

Průsečiacutek s osou y zjistiacuteme tak že za x dosadiacuteme 0

y = 5

Viacuteme tedy že zadanaacute funkce f(x) protiacutenaacute osu x v bodě X = [5 0] a osu y v bodě Y = [0 5]

Na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku grafu funkce vidiacuteme průběh funkce i vyznačeneacute průsečiacuteky

s osami x a y

13

forallxisin D( f ) existT isin Rminus0 x+T isinD( f )and f (x+T ) = f (x)

existKgt0 forallxisinA f ( x)⩽K

forallxisinD( f ) f (minusx)= f (x)

forallxisinD( f ) f (minusx)=minus f (x)

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

13 Speciaacutelniacute typy funkciacute

Funkce f y = f(x) x ∊ D(f) je

funkce sudaacute praacutevě když

funkce lichaacute praacutevě když

funkce periodickaacute praacutevě když

T se nazyacutevaacute perioda funkce

funkce omezenaacute zdola na množině AsubD(f) praacutevě když je zdola omezenaacute množina f(A)

funkce omezenaacute shora na množině AsubD(f) praacutevě když je shora omezenaacute množina f(A)

funkce omezenaacute na množině AsubD(f) praacutevě když je omezenaacute zdola i shora tj praacutevě když

je omezenaacute množina f(A)

Funkce f kteraacute je prostyacutem zobrazeniacutem D(f) rarr ℝ tj u niacutež pro každou dvojici x1 x2 ∊ D(f)

x1 ne x2 je takeacute f(x1) nef(x2) se nazyacutevaacute prostaacute funkce

[4]

existKgt0forallx isinA f (x)geminusK

existKgt0 forallxisinA ∣f (x)∣⩽K

14

Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

15

xrarralim f ( x)=b

xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

14 Limity funkce

Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu

Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke

každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute

interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho

okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0

Definice limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje

takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute

hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu

ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute

(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu

16

x0notinD( f )

xrarr x0

lim f ( x)=b

xrarr x0xrarr x0

xrarr+infinxrarrminusinfin

xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu

k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna

nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme

[2]

Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru

(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))

Definice limity podle Heineho

Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity

posloupnosti

a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0

konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute

v bodě x0 limitu b a piacutešeme

b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin

(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)

limitu b a piacutešeme

17

xrarr+infin xrarrminusinfin

xrarr+infin xrarrminusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin

lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin

x rarr x0

lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0

lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

limf (x )

g ( x)=

lim f ( x)

lim g ( x)=

b

c cne0

xrarr x0

d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když

Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu

b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku

[1]

141 Algebra limit

Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu

x0=plusmn infin)

Potom existujiacute limity funkciacute

f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D

a platiacute

1 součet a rozdiacutel limit

2 součin limit

3 podiacutel limit

[1]

forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε

0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε

Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)

18

lim f ( x)

lim f ( x)xrarra

x rarr a+

142 Jednostranneacute limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute

lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f

v bodě a budeme zapisovat takto

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η

agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě

a budeme zapisovat takto

[2]

19

lim 8 xminus6

=lim (8

x6)=+infin

xrarr0xrarr0

lim (( x

2minus1)

(x2minusx)

)=lim ((( xminus1)( x+1))

(x (xminus1)))=lim (

( x+1)

x)=2

xrarr1 xrarr1 xrarr1

lim (xminus7

1minuse2x

)=minusinfin

xrarrminusinfin

lim (minus2x

radicx2minus4

)=lim (minus2x

xradic(1minus4

x2)

)=lim (minus2

radic1minus4

x2

)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin

143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady

Vypočtěte limity

1)

V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se

bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin

2)

V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se

vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity

vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a

zleva

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

3)

e2x

jde v limitě k 0

Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno

4)

V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě

k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli

Vyacutesledek je tedy -2

20

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0

h=xminusa

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim f ( x)= f (a)xrarra

nrarr+infinnrarr+infin

lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))

+

15 Spojitost funkce

Definice spojitosti funkce

Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když

[2]

Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto

[1]

Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když

Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když

Kriteacuteria spojitosti

a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když

b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost

xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně

c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)

a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)

[1]

Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li

naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c

[5]

forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε

stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε

21

x0notinD( f )

limx

x2minus1

=+infin

xrarrminus1

xrarrminus1

limx

x2minus1

=minusinfin

limx

x2minus1

=+infin

xrarr1

limx

x2minus1

=minusinfin

xrarr1

151 Body nespojitosti

Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0

(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru

nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale

neniacute v něm spojitaacute

Když

1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti

2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce

f

3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod

nespojitosti 2 druhu

[1]

Př Najděte body nespojitosti funkce f

D(f) = R--11 body nespojitosti -11

Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem

zaacutepornyacutem čiacuteslem

Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule

Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti

II druhu

Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1

Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno

V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin

f (x )=x

x2minus1

+

+

22

lim (f ( x0+h)minus f ( x0)

h)

hrarr0

y=f ( x)

g (x )

h=xminusx0

Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II

druhu

16 Derivace funkce

Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute

limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute

Derivace funkce y = yacute

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0

derivaci a platiacute

Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)+g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě

derivaci i funkce a platiacute

Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě

z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)

[2]

yacute=kf acute( x0)

yacute= f acute( x0)+gacute (x0)

yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)

y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)

g2( x0)

23

1

xlna

1

x

1

cos2( x)

minus1

sin2(x )

1

radic1minus x2

minus1

radic1minus x2

1

1+x2

minus1

1+x2

1

cosh2(x)

minus1

sinh2(x )

1

radicx2+11

radicx2minus1

1

1minusx2

1

1minusx2

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])

Funkce Derivace funkce Podmiacutenky

k

x

xn

x-n

ax

ex

loga(x)

ln(x)

sin(x)

cos(x)

tg(x)

cotg(x)

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arccotg(x)

sinh(x)

cosh(x)

tgh(x)

cotgh(x)

argsinh(x)

argcosh(x)

argtgh(x)

argcotgh(x)

0

1

nxn-1

-nx-n-1

αxα-1

axln(a)

ex

cos(x)

-sin(x)

cosh(x)

sinh(x)

k je konstanta k ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ n ∊ ℕ

x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ

xgt0 α ∊ ℝ

x ∊ agt0

x ∊ ℝ

xgt0 agt0 ane1

xgt0

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ

x ne kπ k ∊ ℤ

x ∊ (-11)

x ∊ (-11)

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ - 0

x ∊ ℝ

x ∊ (1 +infin)

x ∊ (-1 1)

x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)

24

x rarrinfin

limf (x )

g (x )=lim

f acute (x)

gacute (x )x rarrinfin

162 LacuteHospitalovo pravidlo

Věta (LHospitalovo pravidlo)

Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g

limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu

pak

za předpokladu že limita na praveacute straně existuje

LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute

f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin

a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0

b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin

[3]

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam

Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě

klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a

Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii

25

Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute

Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x) lt f(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima

b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima

Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto

bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem

[2]

Fermatova podmiacutenka extreacutemu

Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet

derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce

v tomto bodě extreacutem

[6]

Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je

miacutesto toho v bodě a spojitaacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 11: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

13

forallxisin D( f ) existT isin Rminus0 x+T isinD( f )and f (x+T ) = f (x)

existKgt0 forallxisinA f ( x)⩽K

forallxisinD( f ) f (minusx)= f (x)

forallxisinD( f ) f (minusx)=minus f (x)

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

13 Speciaacutelniacute typy funkciacute

Funkce f y = f(x) x ∊ D(f) je

funkce sudaacute praacutevě když

funkce lichaacute praacutevě když

funkce periodickaacute praacutevě když

T se nazyacutevaacute perioda funkce

funkce omezenaacute zdola na množině AsubD(f) praacutevě když je zdola omezenaacute množina f(A)

funkce omezenaacute shora na množině AsubD(f) praacutevě když je shora omezenaacute množina f(A)

funkce omezenaacute na množině AsubD(f) praacutevě když je omezenaacute zdola i shora tj praacutevě když

je omezenaacute množina f(A)

Funkce f kteraacute je prostyacutem zobrazeniacutem D(f) rarr ℝ tj u niacutež pro každou dvojici x1 x2 ∊ D(f)

x1 ne x2 je takeacute f(x1) nef(x2) se nazyacutevaacute prostaacute funkce

[4]

existKgt0forallx isinA f (x)geminusK

existKgt0 forallxisinA ∣f (x)∣⩽K

14

Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

15

xrarralim f ( x)=b

xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

14 Limity funkce

Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu

Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke

každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute

interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho

okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0

Definice limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje

takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute

hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu

ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute

(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu

16

x0notinD( f )

xrarr x0

lim f ( x)=b

xrarr x0xrarr x0

xrarr+infinxrarrminusinfin

xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu

k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna

nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme

[2]

Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru

(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))

Definice limity podle Heineho

Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity

posloupnosti

a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0

konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute

v bodě x0 limitu b a piacutešeme

b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin

(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)

limitu b a piacutešeme

17

xrarr+infin xrarrminusinfin

xrarr+infin xrarrminusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin

lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin

x rarr x0

lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0

lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

limf (x )

g ( x)=

lim f ( x)

lim g ( x)=

b

c cne0

xrarr x0

d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když

Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu

b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku

[1]

141 Algebra limit

Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu

x0=plusmn infin)

Potom existujiacute limity funkciacute

f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D

a platiacute

1 součet a rozdiacutel limit

2 součin limit

3 podiacutel limit

[1]

forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε

0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε

Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)

18

lim f ( x)

lim f ( x)xrarra

x rarr a+

142 Jednostranneacute limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute

lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f

v bodě a budeme zapisovat takto

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η

agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě

a budeme zapisovat takto

[2]

19

lim 8 xminus6

=lim (8

x6)=+infin

xrarr0xrarr0

lim (( x

2minus1)

(x2minusx)

)=lim ((( xminus1)( x+1))

(x (xminus1)))=lim (

( x+1)

x)=2

xrarr1 xrarr1 xrarr1

lim (xminus7

1minuse2x

)=minusinfin

xrarrminusinfin

lim (minus2x

radicx2minus4

)=lim (minus2x

xradic(1minus4

x2)

)=lim (minus2

radic1minus4

x2

)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin

143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady

Vypočtěte limity

1)

V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se

bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin

2)

V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se

vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity

vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a

zleva

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

3)

e2x

jde v limitě k 0

Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno

4)

V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě

k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli

Vyacutesledek je tedy -2

20

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0

h=xminusa

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim f ( x)= f (a)xrarra

nrarr+infinnrarr+infin

lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))

+

15 Spojitost funkce

Definice spojitosti funkce

Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když

[2]

Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto

[1]

Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když

Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když

Kriteacuteria spojitosti

a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když

b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost

xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně

c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)

a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)

[1]

Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li

naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c

[5]

forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε

stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε

21

x0notinD( f )

limx

x2minus1

=+infin

xrarrminus1

xrarrminus1

limx

x2minus1

=minusinfin

limx

x2minus1

=+infin

xrarr1

limx

x2minus1

=minusinfin

xrarr1

151 Body nespojitosti

Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0

(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru

nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale

neniacute v něm spojitaacute

Když

1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti

2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce

f

3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod

nespojitosti 2 druhu

[1]

Př Najděte body nespojitosti funkce f

D(f) = R--11 body nespojitosti -11

Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem

zaacutepornyacutem čiacuteslem

Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule

Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti

II druhu

Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1

Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno

V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin

f (x )=x

x2minus1

+

+

22

lim (f ( x0+h)minus f ( x0)

h)

hrarr0

y=f ( x)

g (x )

h=xminusx0

Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II

druhu

16 Derivace funkce

Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute

limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute

Derivace funkce y = yacute

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0

derivaci a platiacute

Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)+g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě

derivaci i funkce a platiacute

Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě

z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)

[2]

yacute=kf acute( x0)

yacute= f acute( x0)+gacute (x0)

yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)

y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)

g2( x0)

23

1

xlna

1

x

1

cos2( x)

minus1

sin2(x )

1

radic1minus x2

minus1

radic1minus x2

1

1+x2

minus1

1+x2

1

cosh2(x)

minus1

sinh2(x )

1

radicx2+11

radicx2minus1

1

1minusx2

1

1minusx2

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])

Funkce Derivace funkce Podmiacutenky

k

x

xn

x-n

ax

ex

loga(x)

ln(x)

sin(x)

cos(x)

tg(x)

cotg(x)

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arccotg(x)

sinh(x)

cosh(x)

tgh(x)

cotgh(x)

argsinh(x)

argcosh(x)

argtgh(x)

argcotgh(x)

0

1

nxn-1

-nx-n-1

αxα-1

axln(a)

ex

cos(x)

-sin(x)

cosh(x)

sinh(x)

k je konstanta k ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ n ∊ ℕ

x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ

xgt0 α ∊ ℝ

x ∊ agt0

x ∊ ℝ

xgt0 agt0 ane1

xgt0

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ

x ne kπ k ∊ ℤ

x ∊ (-11)

x ∊ (-11)

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ - 0

x ∊ ℝ

x ∊ (1 +infin)

x ∊ (-1 1)

x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)

24

x rarrinfin

limf (x )

g (x )=lim

f acute (x)

gacute (x )x rarrinfin

162 LacuteHospitalovo pravidlo

Věta (LHospitalovo pravidlo)

Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g

limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu

pak

za předpokladu že limita na praveacute straně existuje

LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute

f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin

a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0

b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin

[3]

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam

Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě

klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a

Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii

25

Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute

Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x) lt f(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima

b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima

Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto

bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem

[2]

Fermatova podmiacutenka extreacutemu

Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet

derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce

v tomto bodě extreacutem

[6]

Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je

miacutesto toho v bodě a spojitaacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 12: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

14

Na naacutesledujiacuteciacutech obraacutezciacutech vidiacuteme naacutezorneacute přiacuteklady vyacuteše definovanyacutech funkciacute

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

15

xrarralim f ( x)=b

xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

14 Limity funkce

Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu

Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke

každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute

interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho

okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0

Definice limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje

takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute

hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu

ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute

(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu

16

x0notinD( f )

xrarr x0

lim f ( x)=b

xrarr x0xrarr x0

xrarr+infinxrarrminusinfin

xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu

k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna

nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme

[2]

Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru

(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))

Definice limity podle Heineho

Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity

posloupnosti

a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0

konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute

v bodě x0 limitu b a piacutešeme

b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin

(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)

limitu b a piacutešeme

17

xrarr+infin xrarrminusinfin

xrarr+infin xrarrminusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin

lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin

x rarr x0

lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0

lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

limf (x )

g ( x)=

lim f ( x)

lim g ( x)=

b

c cne0

xrarr x0

d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když

Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu

b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku

[1]

141 Algebra limit

Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu

x0=plusmn infin)

Potom existujiacute limity funkciacute

f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D

a platiacute

1 součet a rozdiacutel limit

2 součin limit

3 podiacutel limit

[1]

forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε

0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε

Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)

18

lim f ( x)

lim f ( x)xrarra

x rarr a+

142 Jednostranneacute limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute

lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f

v bodě a budeme zapisovat takto

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η

agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě

a budeme zapisovat takto

[2]

19

lim 8 xminus6

=lim (8

x6)=+infin

xrarr0xrarr0

lim (( x

2minus1)

(x2minusx)

)=lim ((( xminus1)( x+1))

(x (xminus1)))=lim (

( x+1)

x)=2

xrarr1 xrarr1 xrarr1

lim (xminus7

1minuse2x

)=minusinfin

xrarrminusinfin

lim (minus2x

radicx2minus4

)=lim (minus2x

xradic(1minus4

x2)

)=lim (minus2

radic1minus4

x2

)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin

143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady

Vypočtěte limity

1)

V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se

bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin

2)

V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se

vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity

vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a

zleva

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

3)

e2x

jde v limitě k 0

Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno

4)

V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě

k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli

Vyacutesledek je tedy -2

20

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0

h=xminusa

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim f ( x)= f (a)xrarra

nrarr+infinnrarr+infin

lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))

+

15 Spojitost funkce

Definice spojitosti funkce

Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když

[2]

Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto

[1]

Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když

Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když

Kriteacuteria spojitosti

a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když

b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost

xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně

c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)

a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)

[1]

Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li

naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c

[5]

forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε

stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε

21

x0notinD( f )

limx

x2minus1

=+infin

xrarrminus1

xrarrminus1

limx

x2minus1

=minusinfin

limx

x2minus1

=+infin

xrarr1

limx

x2minus1

=minusinfin

xrarr1

151 Body nespojitosti

Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0

(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru

nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale

neniacute v něm spojitaacute

Když

1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti

2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce

f

3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod

nespojitosti 2 druhu

[1]

Př Najděte body nespojitosti funkce f

D(f) = R--11 body nespojitosti -11

Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem

zaacutepornyacutem čiacuteslem

Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule

Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti

II druhu

Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1

Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno

V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin

f (x )=x

x2minus1

+

+

22

lim (f ( x0+h)minus f ( x0)

h)

hrarr0

y=f ( x)

g (x )

h=xminusx0

Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II

druhu

16 Derivace funkce

Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute

limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute

Derivace funkce y = yacute

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0

derivaci a platiacute

Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)+g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě

derivaci i funkce a platiacute

Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě

z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)

[2]

yacute=kf acute( x0)

yacute= f acute( x0)+gacute (x0)

yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)

y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)

g2( x0)

23

1

xlna

1

x

1

cos2( x)

minus1

sin2(x )

1

radic1minus x2

minus1

radic1minus x2

1

1+x2

minus1

1+x2

1

cosh2(x)

minus1

sinh2(x )

1

radicx2+11

radicx2minus1

1

1minusx2

1

1minusx2

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])

Funkce Derivace funkce Podmiacutenky

k

x

xn

x-n

ax

ex

loga(x)

ln(x)

sin(x)

cos(x)

tg(x)

cotg(x)

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arccotg(x)

sinh(x)

cosh(x)

tgh(x)

cotgh(x)

argsinh(x)

argcosh(x)

argtgh(x)

argcotgh(x)

0

1

nxn-1

-nx-n-1

αxα-1

axln(a)

ex

cos(x)

-sin(x)

cosh(x)

sinh(x)

k je konstanta k ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ n ∊ ℕ

x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ

xgt0 α ∊ ℝ

x ∊ agt0

x ∊ ℝ

xgt0 agt0 ane1

xgt0

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ

x ne kπ k ∊ ℤ

x ∊ (-11)

x ∊ (-11)

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ - 0

x ∊ ℝ

x ∊ (1 +infin)

x ∊ (-1 1)

x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)

24

x rarrinfin

limf (x )

g (x )=lim

f acute (x)

gacute (x )x rarrinfin

162 LacuteHospitalovo pravidlo

Věta (LHospitalovo pravidlo)

Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g

limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu

pak

za předpokladu že limita na praveacute straně existuje

LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute

f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin

a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0

b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin

[3]

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam

Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě

klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a

Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii

25

Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute

Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x) lt f(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima

b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima

Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto

bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem

[2]

Fermatova podmiacutenka extreacutemu

Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet

derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce

v tomto bodě extreacutem

[6]

Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je

miacutesto toho v bodě a spojitaacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 13: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

15

xrarralim f ( x)=b

xrarrminusinfinxrarr+infinlim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

14 Limity funkce

Abychom mohli definovat pojem limita definujeme nejprve pojem okoliacute bodu

Pojmem okoliacute bodu rozumiacuteme každyacute otevřenyacute interval kteryacute obsahuje čiacuteslo a Ke

každeacutemu čiacuteslu je možneacute sestrojit okoliacute rozmanityacutemi způsoby Okoliacutem bodu a je každyacute

interval (a- η1 a + η2) kde η1 η2 jsou kladnaacute čiacutesla Často použiacutevaacuteme tzv symetrickeacuteho

okoliacute bodu a tj intervalu (a- η a + η) kde ηgt0

Definice limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu b jestliže ke každeacutemu kladneacutemu čiacuteslu ε existuje

takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z okoliacute (a- η a + η) čiacutesla a patřiacute funkčniacute

hodnoty f(x) do okoliacute (b - ε b + ε) čiacutesla b Piacutešeme pak

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v nevlastniacutem bodě +infin (resp - infin) limitu b když ke každeacutemu čiacuteslu

ε gt 0 existuje takoveacute čiacuteslo x0 že pro každeacute x gt x0 (resp x lt x0) padne hodnota f(x) do okoliacute

(b ndash ε b + ε) bodu b Pro takto definovaneacute limity užiacutevaacuteme zaacutepisu

16

x0notinD( f )

xrarr x0

lim f ( x)=b

xrarr x0xrarr x0

xrarr+infinxrarrminusinfin

xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu

k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna

nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme

[2]

Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru

(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))

Definice limity podle Heineho

Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity

posloupnosti

a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0

konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute

v bodě x0 limitu b a piacutešeme

b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin

(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)

limitu b a piacutešeme

17

xrarr+infin xrarrminusinfin

xrarr+infin xrarrminusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin

lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin

x rarr x0

lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0

lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

limf (x )

g ( x)=

lim f ( x)

lim g ( x)=

b

c cne0

xrarr x0

d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když

Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu

b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku

[1]

141 Algebra limit

Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu

x0=plusmn infin)

Potom existujiacute limity funkciacute

f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D

a platiacute

1 součet a rozdiacutel limit

2 součin limit

3 podiacutel limit

[1]

forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε

0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε

Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)

18

lim f ( x)

lim f ( x)xrarra

x rarr a+

142 Jednostranneacute limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute

lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f

v bodě a budeme zapisovat takto

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η

agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě

a budeme zapisovat takto

[2]

19

lim 8 xminus6

=lim (8

x6)=+infin

xrarr0xrarr0

lim (( x

2minus1)

(x2minusx)

)=lim ((( xminus1)( x+1))

(x (xminus1)))=lim (

( x+1)

x)=2

xrarr1 xrarr1 xrarr1

lim (xminus7

1minuse2x

)=minusinfin

xrarrminusinfin

lim (minus2x

radicx2minus4

)=lim (minus2x

xradic(1minus4

x2)

)=lim (minus2

radic1minus4

x2

)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin

143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady

Vypočtěte limity

1)

V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se

bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin

2)

V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se

vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity

vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a

zleva

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

3)

e2x

jde v limitě k 0

Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno

4)

V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě

k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli

Vyacutesledek je tedy -2

20

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0

h=xminusa

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim f ( x)= f (a)xrarra

nrarr+infinnrarr+infin

lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))

+

15 Spojitost funkce

Definice spojitosti funkce

Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když

[2]

Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto

[1]

Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když

Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když

Kriteacuteria spojitosti

a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když

b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost

xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně

c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)

a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)

[1]

Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li

naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c

[5]

forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε

stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε

21

x0notinD( f )

limx

x2minus1

=+infin

xrarrminus1

xrarrminus1

limx

x2minus1

=minusinfin

limx

x2minus1

=+infin

xrarr1

limx

x2minus1

=minusinfin

xrarr1

151 Body nespojitosti

Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0

(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru

nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale

neniacute v něm spojitaacute

Když

1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti

2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce

f

3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod

nespojitosti 2 druhu

[1]

Př Najděte body nespojitosti funkce f

D(f) = R--11 body nespojitosti -11

Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem

zaacutepornyacutem čiacuteslem

Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule

Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti

II druhu

Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1

Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno

V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin

f (x )=x

x2minus1

+

+

22

lim (f ( x0+h)minus f ( x0)

h)

hrarr0

y=f ( x)

g (x )

h=xminusx0

Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II

druhu

16 Derivace funkce

Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute

limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute

Derivace funkce y = yacute

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0

derivaci a platiacute

Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)+g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě

derivaci i funkce a platiacute

Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě

z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)

[2]

yacute=kf acute( x0)

yacute= f acute( x0)+gacute (x0)

yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)

y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)

g2( x0)

23

1

xlna

1

x

1

cos2( x)

minus1

sin2(x )

1

radic1minus x2

minus1

radic1minus x2

1

1+x2

minus1

1+x2

1

cosh2(x)

minus1

sinh2(x )

1

radicx2+11

radicx2minus1

1

1minusx2

1

1minusx2

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])

Funkce Derivace funkce Podmiacutenky

k

x

xn

x-n

ax

ex

loga(x)

ln(x)

sin(x)

cos(x)

tg(x)

cotg(x)

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arccotg(x)

sinh(x)

cosh(x)

tgh(x)

cotgh(x)

argsinh(x)

argcosh(x)

argtgh(x)

argcotgh(x)

0

1

nxn-1

-nx-n-1

αxα-1

axln(a)

ex

cos(x)

-sin(x)

cosh(x)

sinh(x)

k je konstanta k ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ n ∊ ℕ

x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ

xgt0 α ∊ ℝ

x ∊ agt0

x ∊ ℝ

xgt0 agt0 ane1

xgt0

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ

x ne kπ k ∊ ℤ

x ∊ (-11)

x ∊ (-11)

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ - 0

x ∊ ℝ

x ∊ (1 +infin)

x ∊ (-1 1)

x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)

24

x rarrinfin

limf (x )

g (x )=lim

f acute (x)

gacute (x )x rarrinfin

162 LacuteHospitalovo pravidlo

Věta (LHospitalovo pravidlo)

Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g

limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu

pak

za předpokladu že limita na praveacute straně existuje

LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute

f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin

a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0

b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin

[3]

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam

Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě

klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a

Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii

25

Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute

Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x) lt f(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima

b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima

Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto

bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem

[2]

Fermatova podmiacutenka extreacutemu

Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet

derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce

v tomto bodě extreacutem

[6]

Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je

miacutesto toho v bodě a spojitaacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 14: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

16

x0notinD( f )

xrarr x0

lim f ( x)=b

xrarr x0xrarr x0

xrarr+infinxrarrminusinfin

xrarraxrarralim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=minusinfin

lim f ( x)=b resp lim f ( x)=b

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a nevlastniacute limitu +infin (resp -infin) jestliže ke každeacutemu čiacuteslu

k existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro každeacute x ne a z okoliacute (a- η a + η) bodu a je splněna

nerovnost f(x) gt k (resp f(x) lt k) Tuto okolnost zapisujeme

[2]

Mějme funkci f definovanou v D(f) sub ℝ a nechť x0 je hromadnyacute bod definičniacuteho oboru

(tj může byacutet ale v každeacutem okoliacute x0 ležiacute nekonečně mnoho bodů D(f))

Definice limity podle Heineho

Hlavniacute myšlenka teacuteto definice je probleacutem limity funkce převeacutest na probleacutem limity

posloupnosti

a) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) xn ne x0

konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute

v bodě x0 limitu b a piacutešeme

b) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) konvergujiacuteciacute k čiacuteslu x0 x0 ne xn posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

c) Když existuje b ∊ ℝ takoveacute že pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin

(resp -infin) posloupnost f(xn) konverguje k čiacuteslu b řiacutekaacuteme že funkce f maacute v +infin (resp -infin)

limitu b a piacutešeme

17

xrarr+infin xrarrminusinfin

xrarr+infin xrarrminusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin

lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin

x rarr x0

lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0

lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

limf (x )

g ( x)=

lim f ( x)

lim g ( x)=

b

c cne0

xrarr x0

d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když

Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu

b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku

[1]

141 Algebra limit

Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu

x0=plusmn infin)

Potom existujiacute limity funkciacute

f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D

a platiacute

1 součet a rozdiacutel limit

2 součin limit

3 podiacutel limit

[1]

forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε

0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε

Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)

18

lim f ( x)

lim f ( x)xrarra

x rarr a+

142 Jednostranneacute limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute

lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f

v bodě a budeme zapisovat takto

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η

agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě

a budeme zapisovat takto

[2]

19

lim 8 xminus6

=lim (8

x6)=+infin

xrarr0xrarr0

lim (( x

2minus1)

(x2minusx)

)=lim ((( xminus1)( x+1))

(x (xminus1)))=lim (

( x+1)

x)=2

xrarr1 xrarr1 xrarr1

lim (xminus7

1minuse2x

)=minusinfin

xrarrminusinfin

lim (minus2x

radicx2minus4

)=lim (minus2x

xradic(1minus4

x2)

)=lim (minus2

radic1minus4

x2

)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin

143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady

Vypočtěte limity

1)

V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se

bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin

2)

V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se

vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity

vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a

zleva

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

3)

e2x

jde v limitě k 0

Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno

4)

V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě

k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli

Vyacutesledek je tedy -2

20

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0

h=xminusa

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim f ( x)= f (a)xrarra

nrarr+infinnrarr+infin

lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))

+

15 Spojitost funkce

Definice spojitosti funkce

Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když

[2]

Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto

[1]

Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když

Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když

Kriteacuteria spojitosti

a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když

b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost

xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně

c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)

a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)

[1]

Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li

naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c

[5]

forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε

stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε

21

x0notinD( f )

limx

x2minus1

=+infin

xrarrminus1

xrarrminus1

limx

x2minus1

=minusinfin

limx

x2minus1

=+infin

xrarr1

limx

x2minus1

=minusinfin

xrarr1

151 Body nespojitosti

Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0

(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru

nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale

neniacute v něm spojitaacute

Když

1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti

2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce

f

3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod

nespojitosti 2 druhu

[1]

Př Najděte body nespojitosti funkce f

D(f) = R--11 body nespojitosti -11

Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem

zaacutepornyacutem čiacuteslem

Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule

Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti

II druhu

Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1

Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno

V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin

f (x )=x

x2minus1

+

+

22

lim (f ( x0+h)minus f ( x0)

h)

hrarr0

y=f ( x)

g (x )

h=xminusx0

Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II

druhu

16 Derivace funkce

Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute

limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute

Derivace funkce y = yacute

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0

derivaci a platiacute

Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)+g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě

derivaci i funkce a platiacute

Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě

z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)

[2]

yacute=kf acute( x0)

yacute= f acute( x0)+gacute (x0)

yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)

y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)

g2( x0)

23

1

xlna

1

x

1

cos2( x)

minus1

sin2(x )

1

radic1minus x2

minus1

radic1minus x2

1

1+x2

minus1

1+x2

1

cosh2(x)

minus1

sinh2(x )

1

radicx2+11

radicx2minus1

1

1minusx2

1

1minusx2

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])

Funkce Derivace funkce Podmiacutenky

k

x

xn

x-n

ax

ex

loga(x)

ln(x)

sin(x)

cos(x)

tg(x)

cotg(x)

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arccotg(x)

sinh(x)

cosh(x)

tgh(x)

cotgh(x)

argsinh(x)

argcosh(x)

argtgh(x)

argcotgh(x)

0

1

nxn-1

-nx-n-1

αxα-1

axln(a)

ex

cos(x)

-sin(x)

cosh(x)

sinh(x)

k je konstanta k ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ n ∊ ℕ

x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ

xgt0 α ∊ ℝ

x ∊ agt0

x ∊ ℝ

xgt0 agt0 ane1

xgt0

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ

x ne kπ k ∊ ℤ

x ∊ (-11)

x ∊ (-11)

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ - 0

x ∊ ℝ

x ∊ (1 +infin)

x ∊ (-1 1)

x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)

24

x rarrinfin

limf (x )

g (x )=lim

f acute (x)

gacute (x )x rarrinfin

162 LacuteHospitalovo pravidlo

Věta (LHospitalovo pravidlo)

Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g

limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu

pak

za předpokladu že limita na praveacute straně existuje

LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute

f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin

a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0

b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin

[3]

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam

Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě

klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a

Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii

25

Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute

Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x) lt f(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima

b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima

Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto

bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem

[2]

Fermatova podmiacutenka extreacutemu

Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet

derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce

v tomto bodě extreacutem

[6]

Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je

miacutesto toho v bodě a spojitaacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 15: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

17

xrarr+infin xrarrminusinfin

xrarr+infin xrarrminusinfin

lim f ( x)=+infin resp lim f (x)=+infin

lim f (x)=minusinfin resp lim f ( x)=minusinfin

x rarr x0

lim f ( x) = bisinR lim g (x) = cisinRx rarr x0

lim [ f (x)plusmng(x)]= lim f ( x)plusmn lim g(x)= bplusmncxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

lim [ f (x)sdotg(x)]= lim f (x)sdotlim g( x)= bsdotcxrarr x0 xrarr x0 xrarr x0

limf (x )

g ( x)=

lim f ( x)

lim g ( x)=

b

c cne0

xrarr x0

d) Když pro každou posloupnost xn sub D(f) divergujiacuteciacute k +infin (resp- infin) posloupnost

f(xn) diverguje k +infin (resp -infin) piacutešeme

Funkce f maacute v hromadneacutem bodě x0 limitu b∊ℝ když

Jinyacutemi slovy Funkce f D(f) rarr ℝ maacute v hromadneacutem bodě x0 definičniacuteho oboru D(f) limitu

b∊ℝ když pro každeacute ε gt0 existuje δ = δ(ε)gt0 že pro všechna x∊D(f) splňujiacuteciacute podmiacutenku

[1]

141 Algebra limit

Nechť funkce f a g majiacute společnyacute definičniacute obor D a nechť existujiacute limity (včetně přiacutepadu

x0=plusmn infin)

Potom existujiacute limity funkciacute

f plusmn g f g fg (g(x) ne 0 x ∊ D

a platiacute

1 součet a rozdiacutel limit

2 součin limit

3 podiacutel limit

[1]

forallεgt0 existδ=δ (ε)gt0 forall x 0lt∣xminusx0∣ltδrArr∣ f (x )minusb∣ltε

0lt∣xminusx0∣ltδ platiacute nerovnost ∣ f (x)minusb∣ltε

Piacutešeme lim f (x)=b nebo (x rarr x0)rArr( f ( x) rarrb)

18

lim f ( x)

lim f ( x)xrarra

x rarr a+

142 Jednostranneacute limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute

lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f

v bodě a budeme zapisovat takto

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η

agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě

a budeme zapisovat takto

[2]

19

lim 8 xminus6

=lim (8

x6)=+infin

xrarr0xrarr0

lim (( x

2minus1)

(x2minusx)

)=lim ((( xminus1)( x+1))

(x (xminus1)))=lim (

( x+1)

x)=2

xrarr1 xrarr1 xrarr1

lim (xminus7

1minuse2x

)=minusinfin

xrarrminusinfin

lim (minus2x

radicx2minus4

)=lim (minus2x

xradic(1minus4

x2)

)=lim (minus2

radic1minus4

x2

)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin

143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady

Vypočtěte limity

1)

V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se

bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin

2)

V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se

vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity

vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a

zleva

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

3)

e2x

jde v limitě k 0

Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno

4)

V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě

k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli

Vyacutesledek je tedy -2

20

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0

h=xminusa

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim f ( x)= f (a)xrarra

nrarr+infinnrarr+infin

lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))

+

15 Spojitost funkce

Definice spojitosti funkce

Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když

[2]

Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto

[1]

Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když

Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když

Kriteacuteria spojitosti

a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když

b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost

xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně

c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)

a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)

[1]

Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li

naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c

[5]

forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε

stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε

21

x0notinD( f )

limx

x2minus1

=+infin

xrarrminus1

xrarrminus1

limx

x2minus1

=minusinfin

limx

x2minus1

=+infin

xrarr1

limx

x2minus1

=minusinfin

xrarr1

151 Body nespojitosti

Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0

(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru

nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale

neniacute v něm spojitaacute

Když

1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti

2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce

f

3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod

nespojitosti 2 druhu

[1]

Př Najděte body nespojitosti funkce f

D(f) = R--11 body nespojitosti -11

Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem

zaacutepornyacutem čiacuteslem

Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule

Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti

II druhu

Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1

Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno

V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin

f (x )=x

x2minus1

+

+

22

lim (f ( x0+h)minus f ( x0)

h)

hrarr0

y=f ( x)

g (x )

h=xminusx0

Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II

druhu

16 Derivace funkce

Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute

limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute

Derivace funkce y = yacute

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0

derivaci a platiacute

Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)+g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě

derivaci i funkce a platiacute

Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě

z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)

[2]

yacute=kf acute( x0)

yacute= f acute( x0)+gacute (x0)

yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)

y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)

g2( x0)

23

1

xlna

1

x

1

cos2( x)

minus1

sin2(x )

1

radic1minus x2

minus1

radic1minus x2

1

1+x2

minus1

1+x2

1

cosh2(x)

minus1

sinh2(x )

1

radicx2+11

radicx2minus1

1

1minusx2

1

1minusx2

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])

Funkce Derivace funkce Podmiacutenky

k

x

xn

x-n

ax

ex

loga(x)

ln(x)

sin(x)

cos(x)

tg(x)

cotg(x)

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arccotg(x)

sinh(x)

cosh(x)

tgh(x)

cotgh(x)

argsinh(x)

argcosh(x)

argtgh(x)

argcotgh(x)

0

1

nxn-1

-nx-n-1

αxα-1

axln(a)

ex

cos(x)

-sin(x)

cosh(x)

sinh(x)

k je konstanta k ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ n ∊ ℕ

x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ

xgt0 α ∊ ℝ

x ∊ agt0

x ∊ ℝ

xgt0 agt0 ane1

xgt0

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ

x ne kπ k ∊ ℤ

x ∊ (-11)

x ∊ (-11)

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ - 0

x ∊ ℝ

x ∊ (1 +infin)

x ∊ (-1 1)

x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)

24

x rarrinfin

limf (x )

g (x )=lim

f acute (x)

gacute (x )x rarrinfin

162 LacuteHospitalovo pravidlo

Věta (LHospitalovo pravidlo)

Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g

limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu

pak

za předpokladu že limita na praveacute straně existuje

LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute

f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin

a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0

b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin

[3]

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam

Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě

klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a

Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii

25

Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute

Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x) lt f(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima

b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima

Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto

bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem

[2]

Fermatova podmiacutenka extreacutemu

Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet

derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce

v tomto bodě extreacutem

[6]

Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je

miacutesto toho v bodě a spojitaacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 16: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

18

lim f ( x)

lim f ( x)xrarra

x rarr a+

142 Jednostranneacute limity

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zprava rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna xnea z praveacuteho okoliacute

lta a + η) bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b-ε b + ε) čiacutesla b Limitu zprava funkce f

v bodě a budeme zapisovat takto

Řiacutekaacuteme že funkce f maacute v bodě a limitu zleva rovnou čiacuteslu b jestliže ke každeacutemu

kladneacutemu čiacuteslu ε existuje takoveacute kladneacute čiacuteslo η že pro všechna x ne a z leveacuteho okoliacute (a ndash η

agt bodu a padnou hodnoty f(x) do okoliacute (b ndash ε b + ε) čiacutesla b Limitu zleva funkce f v bodě

a budeme zapisovat takto

[2]

19

lim 8 xminus6

=lim (8

x6)=+infin

xrarr0xrarr0

lim (( x

2minus1)

(x2minusx)

)=lim ((( xminus1)( x+1))

(x (xminus1)))=lim (

( x+1)

x)=2

xrarr1 xrarr1 xrarr1

lim (xminus7

1minuse2x

)=minusinfin

xrarrminusinfin

lim (minus2x

radicx2minus4

)=lim (minus2x

xradic(1minus4

x2)

)=lim (minus2

radic1minus4

x2

)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin

143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady

Vypočtěte limity

1)

V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se

bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin

2)

V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se

vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity

vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a

zleva

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

3)

e2x

jde v limitě k 0

Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno

4)

V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě

k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli

Vyacutesledek je tedy -2

20

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0

h=xminusa

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim f ( x)= f (a)xrarra

nrarr+infinnrarr+infin

lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))

+

15 Spojitost funkce

Definice spojitosti funkce

Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když

[2]

Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto

[1]

Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když

Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když

Kriteacuteria spojitosti

a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když

b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost

xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně

c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)

a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)

[1]

Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li

naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c

[5]

forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε

stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε

21

x0notinD( f )

limx

x2minus1

=+infin

xrarrminus1

xrarrminus1

limx

x2minus1

=minusinfin

limx

x2minus1

=+infin

xrarr1

limx

x2minus1

=minusinfin

xrarr1

151 Body nespojitosti

Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0

(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru

nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale

neniacute v něm spojitaacute

Když

1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti

2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce

f

3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod

nespojitosti 2 druhu

[1]

Př Najděte body nespojitosti funkce f

D(f) = R--11 body nespojitosti -11

Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem

zaacutepornyacutem čiacuteslem

Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule

Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti

II druhu

Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1

Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno

V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin

f (x )=x

x2minus1

+

+

22

lim (f ( x0+h)minus f ( x0)

h)

hrarr0

y=f ( x)

g (x )

h=xminusx0

Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II

druhu

16 Derivace funkce

Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute

limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute

Derivace funkce y = yacute

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0

derivaci a platiacute

Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)+g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě

derivaci i funkce a platiacute

Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě

z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)

[2]

yacute=kf acute( x0)

yacute= f acute( x0)+gacute (x0)

yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)

y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)

g2( x0)

23

1

xlna

1

x

1

cos2( x)

minus1

sin2(x )

1

radic1minus x2

minus1

radic1minus x2

1

1+x2

minus1

1+x2

1

cosh2(x)

minus1

sinh2(x )

1

radicx2+11

radicx2minus1

1

1minusx2

1

1minusx2

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])

Funkce Derivace funkce Podmiacutenky

k

x

xn

x-n

ax

ex

loga(x)

ln(x)

sin(x)

cos(x)

tg(x)

cotg(x)

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arccotg(x)

sinh(x)

cosh(x)

tgh(x)

cotgh(x)

argsinh(x)

argcosh(x)

argtgh(x)

argcotgh(x)

0

1

nxn-1

-nx-n-1

αxα-1

axln(a)

ex

cos(x)

-sin(x)

cosh(x)

sinh(x)

k je konstanta k ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ n ∊ ℕ

x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ

xgt0 α ∊ ℝ

x ∊ agt0

x ∊ ℝ

xgt0 agt0 ane1

xgt0

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ

x ne kπ k ∊ ℤ

x ∊ (-11)

x ∊ (-11)

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ - 0

x ∊ ℝ

x ∊ (1 +infin)

x ∊ (-1 1)

x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)

24

x rarrinfin

limf (x )

g (x )=lim

f acute (x)

gacute (x )x rarrinfin

162 LacuteHospitalovo pravidlo

Věta (LHospitalovo pravidlo)

Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g

limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu

pak

za předpokladu že limita na praveacute straně existuje

LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute

f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin

a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0

b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin

[3]

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam

Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě

klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a

Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii

25

Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute

Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x) lt f(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima

b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima

Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto

bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem

[2]

Fermatova podmiacutenka extreacutemu

Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet

derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce

v tomto bodě extreacutem

[6]

Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je

miacutesto toho v bodě a spojitaacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 17: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

19

lim 8 xminus6

=lim (8

x6)=+infin

xrarr0xrarr0

lim (( x

2minus1)

(x2minusx)

)=lim ((( xminus1)( x+1))

(x (xminus1)))=lim (

( x+1)

x)=2

xrarr1 xrarr1 xrarr1

lim (xminus7

1minuse2x

)=minusinfin

xrarrminusinfin

lim (minus2x

radicx2minus4

)=lim (minus2x

xradic(1minus4

x2)

)=lim (minus2

radic1minus4

x2

)=minus2xrarr+infin xrarr+infin xrarr+infin

143 Limity ndash řešeneacute přiacuteklady

Vypočtěte limity

1)

V limitě si za x mysliacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute 0 Ziacuteskaacutevaacuteme tedy 8 děleno čiacuteslem ktereacute se

bliacutežiacute nule (je tedy hrozně maleacute) Z teacuteto uacutevahy ziacuteskaacuteme vyacutesledek limity +infin

2)

V limitě upraviacuteme čitatel a jmenovatel a zaacutevorka (x-1) se

vykraacutetiacute limita se tiacutem zjednodušiacute Dosadiacuteme čiacuteslo ktereacute se bliacutežiacute čiacuteslu 1 a vyacutesledek limity

vyjde 2 Pokud bychom vyacuteraz v limitě neupravili museli bychom řešit limitu zprava a

zleva

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

3)

e2x

jde v limitě k 0

Vyacuteraz v limitě je tedy miacutenus nekonečno děleno 1 vyacutesledek je tedy miacutenus nekonečno

4)

V limitě nejprve upraviacuteme jmenovatele poteacute zkraacutetiacuteme x Vyacuteraz ve jmenovateli jde v limitě

k 1 jelikož vyacuteraz 4x2 jde v limitě k nule Dostaneme vyacuteraz -2 v čitateli a 1 ve jmenovateli

Vyacutesledek je tedy -2

20

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0

h=xminusa

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim f ( x)= f (a)xrarra

nrarr+infinnrarr+infin

lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))

+

15 Spojitost funkce

Definice spojitosti funkce

Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když

[2]

Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto

[1]

Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když

Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když

Kriteacuteria spojitosti

a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když

b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost

xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně

c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)

a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)

[1]

Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li

naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c

[5]

forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε

stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε

21

x0notinD( f )

limx

x2minus1

=+infin

xrarrminus1

xrarrminus1

limx

x2minus1

=minusinfin

limx

x2minus1

=+infin

xrarr1

limx

x2minus1

=minusinfin

xrarr1

151 Body nespojitosti

Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0

(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru

nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale

neniacute v něm spojitaacute

Když

1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti

2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce

f

3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod

nespojitosti 2 druhu

[1]

Př Najděte body nespojitosti funkce f

D(f) = R--11 body nespojitosti -11

Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem

zaacutepornyacutem čiacuteslem

Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule

Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti

II druhu

Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1

Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno

V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin

f (x )=x

x2minus1

+

+

22

lim (f ( x0+h)minus f ( x0)

h)

hrarr0

y=f ( x)

g (x )

h=xminusx0

Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II

druhu

16 Derivace funkce

Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute

limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute

Derivace funkce y = yacute

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0

derivaci a platiacute

Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)+g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě

derivaci i funkce a platiacute

Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě

z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)

[2]

yacute=kf acute( x0)

yacute= f acute( x0)+gacute (x0)

yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)

y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)

g2( x0)

23

1

xlna

1

x

1

cos2( x)

minus1

sin2(x )

1

radic1minus x2

minus1

radic1minus x2

1

1+x2

minus1

1+x2

1

cosh2(x)

minus1

sinh2(x )

1

radicx2+11

radicx2minus1

1

1minusx2

1

1minusx2

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])

Funkce Derivace funkce Podmiacutenky

k

x

xn

x-n

ax

ex

loga(x)

ln(x)

sin(x)

cos(x)

tg(x)

cotg(x)

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arccotg(x)

sinh(x)

cosh(x)

tgh(x)

cotgh(x)

argsinh(x)

argcosh(x)

argtgh(x)

argcotgh(x)

0

1

nxn-1

-nx-n-1

αxα-1

axln(a)

ex

cos(x)

-sin(x)

cosh(x)

sinh(x)

k je konstanta k ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ n ∊ ℕ

x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ

xgt0 α ∊ ℝ

x ∊ agt0

x ∊ ℝ

xgt0 agt0 ane1

xgt0

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ

x ne kπ k ∊ ℤ

x ∊ (-11)

x ∊ (-11)

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ - 0

x ∊ ℝ

x ∊ (1 +infin)

x ∊ (-1 1)

x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)

24

x rarrinfin

limf (x )

g (x )=lim

f acute (x)

gacute (x )x rarrinfin

162 LacuteHospitalovo pravidlo

Věta (LHospitalovo pravidlo)

Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g

limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu

pak

za předpokladu že limita na praveacute straně existuje

LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute

f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin

a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0

b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin

[3]

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam

Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě

klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a

Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii

25

Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute

Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x) lt f(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima

b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima

Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto

bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem

[2]

Fermatova podmiacutenka extreacutemu

Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet

derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce

v tomto bodě extreacutem

[6]

Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je

miacutesto toho v bodě a spojitaacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 18: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

20

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim [ f (x)minus f (a)]=0 nebo lim [ f (a+h)minus f (a)]=0xrarra hrarr0

h=xminusa

lim f ( x)= f (a)xrarra

lim f ( x)= f (a)xrarra

nrarr+infinnrarr+infin

lim f ( xn) = f (lim xn) resp (xnrarr x0) rArr ( f (xn)rarr f ( x0))

+

15 Spojitost funkce

Definice spojitosti funkce

Řiacutekaacuteme že funkce f je spojitaacute v bodě a když

[2]

Podmiacutenku spojitosti piacutešeme takeacute takto

[1]

Funkce f je v bodě a spojitaacute zprava když

Funkce f je v bodě a spojitaacute zleva když

Kriteacuteria spojitosti

a) Cauchy Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když

b) Heine Funkce f je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když pro každou posloupnost

xn sub D(f) xn rarr x0 xn ne x0 posloupnost f(xn) konverguje k f(x0) stručně

c) Funkce je spojitaacute v bodě x0 ∊ D(f) praacutevě tehdy když existujiacute konečneacute limity f(x0-) f(x0+)

a platiacute f(x0-) = f(x0) = f(x0+)

[1]

Nechť funkce f g jsou spojiteacute v bodě c Potom funkce f+g fg jsou spojiteacute v bodě c Je-li

naviacutec g(c)ne0 je i funkce fg spojitaacute v bodě c

[5]

forallεgt0 existδ (ε)gt0 forall xisinD ( f ) ∣xminusx0∣ltδ(ε )rArr∣ f (x )minus f (x0)∣ltε

stručně x0minusδltxlt x0+δ rArr f (x0)minusεlt f (x0)lt f (x0)+ε

21

x0notinD( f )

limx

x2minus1

=+infin

xrarrminus1

xrarrminus1

limx

x2minus1

=minusinfin

limx

x2minus1

=+infin

xrarr1

limx

x2minus1

=minusinfin

xrarr1

151 Body nespojitosti

Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0

(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru

nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale

neniacute v něm spojitaacute

Když

1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti

2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce

f

3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod

nespojitosti 2 druhu

[1]

Př Najděte body nespojitosti funkce f

D(f) = R--11 body nespojitosti -11

Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem

zaacutepornyacutem čiacuteslem

Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule

Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti

II druhu

Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1

Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno

V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin

f (x )=x

x2minus1

+

+

22

lim (f ( x0+h)minus f ( x0)

h)

hrarr0

y=f ( x)

g (x )

h=xminusx0

Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II

druhu

16 Derivace funkce

Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute

limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute

Derivace funkce y = yacute

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0

derivaci a platiacute

Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)+g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě

derivaci i funkce a platiacute

Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě

z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)

[2]

yacute=kf acute( x0)

yacute= f acute( x0)+gacute (x0)

yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)

y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)

g2( x0)

23

1

xlna

1

x

1

cos2( x)

minus1

sin2(x )

1

radic1minus x2

minus1

radic1minus x2

1

1+x2

minus1

1+x2

1

cosh2(x)

minus1

sinh2(x )

1

radicx2+11

radicx2minus1

1

1minusx2

1

1minusx2

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])

Funkce Derivace funkce Podmiacutenky

k

x

xn

x-n

ax

ex

loga(x)

ln(x)

sin(x)

cos(x)

tg(x)

cotg(x)

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arccotg(x)

sinh(x)

cosh(x)

tgh(x)

cotgh(x)

argsinh(x)

argcosh(x)

argtgh(x)

argcotgh(x)

0

1

nxn-1

-nx-n-1

αxα-1

axln(a)

ex

cos(x)

-sin(x)

cosh(x)

sinh(x)

k je konstanta k ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ n ∊ ℕ

x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ

xgt0 α ∊ ℝ

x ∊ agt0

x ∊ ℝ

xgt0 agt0 ane1

xgt0

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ

x ne kπ k ∊ ℤ

x ∊ (-11)

x ∊ (-11)

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ - 0

x ∊ ℝ

x ∊ (1 +infin)

x ∊ (-1 1)

x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)

24

x rarrinfin

limf (x )

g (x )=lim

f acute (x)

gacute (x )x rarrinfin

162 LacuteHospitalovo pravidlo

Věta (LHospitalovo pravidlo)

Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g

limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu

pak

za předpokladu že limita na praveacute straně existuje

LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute

f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin

a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0

b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin

[3]

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam

Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě

klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a

Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii

25

Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute

Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x) lt f(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima

b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima

Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto

bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem

[2]

Fermatova podmiacutenka extreacutemu

Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet

derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce

v tomto bodě extreacutem

[6]

Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je

miacutesto toho v bodě a spojitaacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 19: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

21

x0notinD( f )

limx

x2minus1

=+infin

xrarrminus1

xrarrminus1

limx

x2minus1

=minusinfin

limx

x2minus1

=+infin

xrarr1

limx

x2minus1

=minusinfin

xrarr1

151 Body nespojitosti

Definice Nechť f je definovaacutena v prstencoveacutem okoliacute P(x0) hromadneacuteho bodu x0

(připouštiacuteme avšak P(x0) sub D(f)) Bod x0 je bod definičniacuteho oboru

nespojitosti funkce f jestliže buď f neniacute v x0 definovaacutena nebo je v něm definovaacutena ale

neniacute v něm spojitaacute

Když

1) f(x0+) = f(x0-) ne f(x0) x0 je bod odstranitelneacute nespojitosti

2) f(x0+) ne f(x0-) x0 je bod nespojitosti I druhu čiacuteslo f(x0+) - f(x0-) se nazyacutevaacute skok funkce

f

3) alespoň jedna z limit f(x0+) f(x0-) neexistuje (včetně přiacutepadu f(x0plusmn) = plusmninfin) x0 je bod

nespojitosti 2 druhu

[1]

Př Najděte body nespojitosti funkce f

D(f) = R--11 body nespojitosti -11

Jmenovatel teacuteto limity jde k nule zleva Děliacuteme tedy čiacuteslo bliacutežiacuteciacute se k -1 velice malyacutem

zaacutepornyacutem čiacuteslem

Ve vyacuterazu v limitě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute -1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem nule

Limity zleva i zprava pro bod nespojitosti x=-1 jsou nevlastniacute Bod x=-1 je bod nespojitosti

II druhu

Nyniacute vyšetřiacuteme bod nespojitosti x=1

Děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 kladnyacutem čiacuteslem bliacutezkyacutem 0 Vyjde tedy plus nekonečno

V tomto přiacutepadě děliacuteme čiacuteslo bliacutezkeacute 1 čiacuteslem ktereacute je zaacuteporneacute a bliacutezkeacute 0 Vyacutesledek je -infin

f (x )=x

x2minus1

+

+

22

lim (f ( x0+h)minus f ( x0)

h)

hrarr0

y=f ( x)

g (x )

h=xminusx0

Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II

druhu

16 Derivace funkce

Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute

limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute

Derivace funkce y = yacute

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0

derivaci a platiacute

Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)+g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě

derivaci i funkce a platiacute

Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě

z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)

[2]

yacute=kf acute( x0)

yacute= f acute( x0)+gacute (x0)

yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)

y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)

g2( x0)

23

1

xlna

1

x

1

cos2( x)

minus1

sin2(x )

1

radic1minus x2

minus1

radic1minus x2

1

1+x2

minus1

1+x2

1

cosh2(x)

minus1

sinh2(x )

1

radicx2+11

radicx2minus1

1

1minusx2

1

1minusx2

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])

Funkce Derivace funkce Podmiacutenky

k

x

xn

x-n

ax

ex

loga(x)

ln(x)

sin(x)

cos(x)

tg(x)

cotg(x)

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arccotg(x)

sinh(x)

cosh(x)

tgh(x)

cotgh(x)

argsinh(x)

argcosh(x)

argtgh(x)

argcotgh(x)

0

1

nxn-1

-nx-n-1

αxα-1

axln(a)

ex

cos(x)

-sin(x)

cosh(x)

sinh(x)

k je konstanta k ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ n ∊ ℕ

x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ

xgt0 α ∊ ℝ

x ∊ agt0

x ∊ ℝ

xgt0 agt0 ane1

xgt0

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ

x ne kπ k ∊ ℤ

x ∊ (-11)

x ∊ (-11)

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ - 0

x ∊ ℝ

x ∊ (1 +infin)

x ∊ (-1 1)

x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)

24

x rarrinfin

limf (x )

g (x )=lim

f acute (x)

gacute (x )x rarrinfin

162 LacuteHospitalovo pravidlo

Věta (LHospitalovo pravidlo)

Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g

limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu

pak

za předpokladu že limita na praveacute straně existuje

LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute

f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin

a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0

b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin

[3]

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam

Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě

klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a

Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii

25

Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute

Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x) lt f(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima

b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima

Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto

bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem

[2]

Fermatova podmiacutenka extreacutemu

Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet

derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce

v tomto bodě extreacutem

[6]

Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je

miacutesto toho v bodě a spojitaacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 20: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

22

lim (f ( x0+h)minus f ( x0)

h)

hrarr0

y=f ( x)

g (x )

h=xminusx0

Pro bod nespojitosti x=1 vyšly opět limity nevlastniacute Bod x=1 je bodem nespojitosti II

druhu

16 Derivace funkce

Definice Nechť je funkce f definovaacutena v bodě x0 a v nějakeacutem jeho okoliacute Existuje-li vlastniacute

limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu derivace funkce f v bodě x0

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci je funkce f v bodě x0 spojitaacute

Derivace funkce y = yacute

Maacute-li funkce f v bodě x0 derivaci facute(x0) maacute i funkce y=kf(x) kde k je daneacute čiacuteslo v bodě x0

derivaci a platiacute

Majiacute-li funkce fg v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)+g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) maacute v tomto bodě derivaci i funkce

y=f(x)g(x) a platiacute

Majiacute-li funkce f g v bodě x0 derivace facute(x0) gacute(x0) a je-li g(x0) ne 0 maacute v tomto bodě

derivaci i funkce a platiacute

Nechť funkce z = g(x) maacute derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(z) maacute derivaci v bodě

z0 = g(x0) Pak maacute funkce y = f[g(x)] v bodě x0 derivaci facute(z0) gacute(x0)

[2]

yacute=kf acute( x0)

yacute= f acute( x0)+gacute (x0)

yacute= f acute( x0)g (x0)+ f (x0)gacute (x0)

y acute=f acute (x0)g (x0)minus f (x0) g acute ( x0)

g2( x0)

23

1

xlna

1

x

1

cos2( x)

minus1

sin2(x )

1

radic1minus x2

minus1

radic1minus x2

1

1+x2

minus1

1+x2

1

cosh2(x)

minus1

sinh2(x )

1

radicx2+11

radicx2minus1

1

1minusx2

1

1minusx2

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])

Funkce Derivace funkce Podmiacutenky

k

x

xn

x-n

ax

ex

loga(x)

ln(x)

sin(x)

cos(x)

tg(x)

cotg(x)

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arccotg(x)

sinh(x)

cosh(x)

tgh(x)

cotgh(x)

argsinh(x)

argcosh(x)

argtgh(x)

argcotgh(x)

0

1

nxn-1

-nx-n-1

αxα-1

axln(a)

ex

cos(x)

-sin(x)

cosh(x)

sinh(x)

k je konstanta k ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ n ∊ ℕ

x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ

xgt0 α ∊ ℝ

x ∊ agt0

x ∊ ℝ

xgt0 agt0 ane1

xgt0

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ

x ne kπ k ∊ ℤ

x ∊ (-11)

x ∊ (-11)

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ - 0

x ∊ ℝ

x ∊ (1 +infin)

x ∊ (-1 1)

x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)

24

x rarrinfin

limf (x )

g (x )=lim

f acute (x)

gacute (x )x rarrinfin

162 LacuteHospitalovo pravidlo

Věta (LHospitalovo pravidlo)

Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g

limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu

pak

za předpokladu že limita na praveacute straně existuje

LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute

f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin

a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0

b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin

[3]

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam

Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě

klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a

Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii

25

Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute

Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x) lt f(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima

b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima

Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto

bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem

[2]

Fermatova podmiacutenka extreacutemu

Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet

derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce

v tomto bodě extreacutem

[6]

Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je

miacutesto toho v bodě a spojitaacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 21: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

23

1

xlna

1

x

1

cos2( x)

minus1

sin2(x )

1

radic1minus x2

minus1

radic1minus x2

1

1+x2

minus1

1+x2

1

cosh2(x)

minus1

sinh2(x )

1

radicx2+11

radicx2minus1

1

1minusx2

1

1minusx2

161 Seznam derivaciacute vybranyacutech elementaacuterniacutech funkciacute

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6])

Funkce Derivace funkce Podmiacutenky

k

x

xn

x-n

ax

ex

loga(x)

ln(x)

sin(x)

cos(x)

tg(x)

cotg(x)

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arccotg(x)

sinh(x)

cosh(x)

tgh(x)

cotgh(x)

argsinh(x)

argcosh(x)

argtgh(x)

argcotgh(x)

0

1

nxn-1

-nx-n-1

αxα-1

axln(a)

ex

cos(x)

-sin(x)

cosh(x)

sinh(x)

k je konstanta k ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ n ∊ ℕ

x ∊ ℝ - 0 n ∊ ℕ

xgt0 α ∊ ℝ

x ∊ agt0

x ∊ ℝ

xgt0 agt0 ane1

xgt0

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ne (2k+1)π2 k ∊ ℤ

x ne kπ k ∊ ℤ

x ∊ (-11)

x ∊ (-11)

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ

x ∊ ℝ - 0

x ∊ ℝ

x ∊ (1 +infin)

x ∊ (-1 1)

x ∊ (-infin -1) cup (1 +infin)

24

x rarrinfin

limf (x )

g (x )=lim

f acute (x)

gacute (x )x rarrinfin

162 LacuteHospitalovo pravidlo

Věta (LHospitalovo pravidlo)

Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g

limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu

pak

za předpokladu že limita na praveacute straně existuje

LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute

f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin

a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0

b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin

[3]

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam

Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě

klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a

Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii

25

Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute

Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x) lt f(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima

b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima

Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto

bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem

[2]

Fermatova podmiacutenka extreacutemu

Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet

derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce

v tomto bodě extreacutem

[6]

Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je

miacutesto toho v bodě a spojitaacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 22: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

24

x rarrinfin

limf (x )

g (x )=lim

f acute (x)

gacute (x )x rarrinfin

162 LacuteHospitalovo pravidlo

Věta (LHospitalovo pravidlo)

Nechť f a g jsou funkce definovaacuteny na nějakeacutem intervalu (K ) Jestliže majiacute jak f tak g

limitu v nekonečnu rovnou 0 nebo jestli jak f tak g majiacute v nekonečnu nekonečnou limitu

pak

za předpokladu že limita na praveacute straně existuje

LHospitalovo pravidlo lze použiacutet pouze v přiacutepadě že zjišťujeme limitu podiacutelu 2 funkciacute

f(x) g(x) takovyacutech že pokud x rarr infin

a) f(x) rarr 0 a zaacuteroveň g(x) rarr 0

b) f(x) rarr plusmn infin a zaacuteroveň g(x) rarr plusmn infin

[3]

163 Prvniacute derivace - vyacuteznam

Prvniacute derivace během vyšetřovaacuteniacute průběhu funkce ukazuje zda-li je funkce v bodě

klesajiacuteciacute či rostouciacute Pomociacute prvniacute derivace zjistiacuteme i extreacutemy funkce

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že je rostouciacute v bodě a

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z okoliacute J je f(x)gtf(a)

pro každeacute xgta z okoliacute J je f(x)ltf(a)

pak o funkci f řekneme že je klesajiacuteciacute v bodě a

Neostreacute nerovnosti implikujiacute neostrou monotoacutenii

25

Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute

Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x) lt f(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima

b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima

Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto

bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem

[2]

Fermatova podmiacutenka extreacutemu

Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet

derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce

v tomto bodě extreacutem

[6]

Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je

miacutesto toho v bodě a spojitaacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 23: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

25

Jestliže funkce f maacute v bodě a kladnou derivaci pak je v tomto bodě rostouciacute

Jestliže funkce f maacute v bodě a zaacutepornou derivaci pak je v tomto bodě klesajiacuteciacute

Nechť funkce f je definovaacutena v bodě a a jisteacutem jeho okoliacute

a) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x) lt f(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho maxima

b) Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute je

f(x)gtf(a)

pak o funkci f řekneme že nabyacutevaacute v bodě a sveacuteho lokaacutelniacuteho minima

Jestliže funkce f maacute v bodě a nenulovou (tj kladnou nebo zaacutepornou) derivaci pak v tomto

bodě nemaacute lokaacutelniacute extreacutem

[2]

Fermatova podmiacutenka extreacutemu

Jestliže f nabyacutevaacute lokaacutelniacuteho extreacutemu v bodě ve ktereacutem existuje derivace potom musiacute byacutet

derivace rovna nule Pokud se ovšem prvniacute derivace rovnaacute nule nemusiacute miacutet funkce

v tomto bodě extreacutem

[6]

Nechť pro funkci f platiacute facute(a) = 0 nebo nechť derivace facute(a) neexistuje ale funkce f je

miacutesto toho v bodě a spojitaacute

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho maxima ktereacute je současně největšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute maximum

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 24: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

26

limf acute ( x+h)minus f acute ( x)

h

h rarr 0

Existuje-li takoveacute okoliacute J bodu a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facute(x)gt0

pak funkce f nabyacutevaacute v bodě a lokaacutelniacuteho minima ktereacute je současně nejmenšiacute hodnotou

funkce f v celeacutem intervalu J Jednaacute se o globaacutelniacute minimum

[2]

164 Druhaacute derivace

Nechť f je funkce kteraacute maacute v nějakeacutem bodě x derivaci f acute(x) Existuje-li v bodě x derivace

funkce f acute(x) tj limita

nazyacutevaacuteme tuto limitu druhou derivaciacute funkce f v bodě x a označujeme ji f acuteacute(x)

Nechť křivka K je grafem funkce f definovaneacute v čiacutesle a a jisteacutem jeho okoliacute Nechť tento

graf maacute v bodě A = [a f(a)] tečnu t

a) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně nad tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] nad tečnou t

b) Budeme řiacutekat že graf K ležiacute lokaacutelně pod tečnou t jestliže existuje okoliacute J čiacutesla a takoveacute

že pro každeacute xnea z tohoto okoliacute ležiacute bod X = [x f(x)] pod tečnou t

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a kladnou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně nad

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Nechť funkce f maacute v čiacutesle a zaacutepornou druhou derivaci Pak graf funkce f ležiacute lokaacutelně pod

tečnou sestrojenou v bodě A = [a f(a)]

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a kladnou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute minimum

Maacute-li funkce f v čiacutesle a nulovou prvniacute derivaci a zaacutepornou druhou derivaci maacute v čiacutesle a

lokaacutelniacute maximum

[2]

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 25: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

27

Nechť křivka K kteraacute je grafem funkce y=f(x) maacute ve sveacutem bodě A = [a f(a)] tečnu t

Nechť k je přiacutemka vedenaacute bodem A kolmo k ose x Řekneme že bod A je inflexniacutem bodem

grafu K jestliže existuje takoveacute okoliacute J čiacutesla a že když definičniacute obor funkce f omeziacuteme na

okoliacute J pak platiacute každyacute bod x = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti grafu K kteraacute ležiacute v jedneacute z obou

polorovin vyťatyacutech přiacutemkou k ležiacute pod tečnou t a každyacute bod X = [x f(x)] x∊J teacute čaacutesti

grafu K kteraacute ležiacute ve druheacute z těchto polorovin ležiacute nad tečnou t

Nechť pro funkce f platiacute facuteacute(a) = 0 nebo nechť derivace facuteacute(a) neexistuje ale funkce f maacute

miacutesto toho v čiacutesle a spojitou prvniacute derivaci Existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

a) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

nebo existuje-li takoveacute okoliacute J čiacutesla a že

b) pro každeacute xlta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)lt0

pro každeacute xgta z tohoto okoliacute je facuteacute(x)gt0

pak bod A = [a f(a)] je inflexniacutem bodem grafu funkce f

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J kladnou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konvexniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a lt x ltb

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konvexniacute v intervalu J

f (x )gtf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 26: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

28

Nechť funkce f maacute v každeacutem vnitřniacutem bodě intervalu J zaacutepornou druhou derivaci Jestliže

některyacute z krajniacutech bodů intervalu J k tomuto intervalu patřiacute pak nechť funkce f je v tomto

bodě (jednostranně) spojitaacute

Pak funkce f je v intervalu J konkaacutevniacute

Jestliže f je definovaacutena v intervalu J pro libovolnaacute dvě čiacutesla altb z intervalu J a pro

libovolneacute čiacuteslo x pro ktereacute platiacute

a ltx lt b

je splněna nerovnost

řekneme že funkce f je konkaacutevniacute v intervalu J

[2]

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7])

f (x )ltf (b)minus f (a )

bminusa( xminusa )+ f (a )

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 27: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

29

f (x )=x+3

x2minus1

x2minus1=0 (+1)

x2=1

x=plusmn1

x+3

x2minus1

=0

x+3=0

x=minus3

0+3

02minus1

= y

y=minus3

x rarrinfinx rarrinfinlim

x+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrinfin

2 Řešeneacute přiacuteklady

Př 1 Vyšetřete průběh funkce

Jednaacute se o racionaacutelniacute lomenou funkci kteraacute je definovaacutena v celeacutem ℝ kromě bodů ve

kteryacutech se jmenovatel rovnaacute nule

Vyacuteše uvedenyacute vyacutesledek ukazuje že do definičniacuteho oboru nepatřiacute body +1 a -1

Definičniacute obor je tedy D(f) = ℝ--11

Funkce je spojitaacute v D(f)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Funkce tedy protiacutenaacute osu x v bodě x=-3 a osu y v bodě y=-3

Prozkoumaacuteme nejprve limity pokud x jde do +infin a do -infin

V limitě vytkneme v čitateli i ve jmenovateli nejvyššiacute mocninu a zkraacutetiacuteme V limitě tedy

maacuteme vyacuteraz kteryacute jde v čitateli k 0 a ve jmenovateli k 1 Limita je tedy rovna 0

Obdobnyacute postup aplikujeme i u naacutesledujiacuteciacute limity

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 28: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

30

+

+

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarrminus1

limx+3

x2minus1

=minusinfin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=+infin

x rarr 1

limx+3

x2minus1

=lim

x2sdot(

1

x+

3

x2)

x2sdot(1minus

1

x2)

=lim

1

x+

3

x2

1minus1

x2

=0x rarrminusinfin x rarrminusinfin x rarrminusinfin

V dalšiacute čaacutesti budeme vyšetřovat jednostranneacute limity kolem bodů nespojitosti -1 a +1

Vyacuteše uvedenou limitu řešiacuteme jako limitu podiacutelu Limita čitatele je 2 Limita jmenovatele je

zaacuteporneacute čiacuteslo bliacutezkeacute 0 Děliacuteme tedy malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem proto je vyacutesledek -infin

Uacutevaha u teacuteto limity je obdobnaacute jako u předchoziacute Čiacuteslo děliacuteme ovšem velmi malyacutem

kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek je tedy +infin

U prvniacute z vyacuteše uvedenyacutech limit děliacuteme malyacutem zaacutepornyacutem čiacuteslem a u druheacute z limit kladnyacutem

čiacuteslem Tomu odpoviacutedajiacute vyacutesledky obou limit Pro oba body nespojitosti platiacute že se jednaacute

o body nespojitosti druheacuteho druhu

Nyniacute funkci derivujeme abychom zjistili zda funkce f maacute nějakeacute extreacutemy a kde se

nachaacutezejiacute Jednaacute se o podiacutel proto u derivace postupujeme podle vzorce na derivaci podiacutelu

Derivace existuje zjistiacuteme tedy kdy se rovnaacute derivace nule

(x+3

x2minus1

)acute=(x

2minus1)minus( x+3)sdot2x

(x2minus1)

2=minusx

2minus6xminus1

( x2minus1)

2

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 29: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

31

(minusx

2minus6xminus1

(x2minus1)

2)acute=

(minus2xminus6)sdot(x2minus1)

2minus(minusx

2minus6xminus1)sdot2(x

2minus1)sdot2x

(x2minus1)

4=

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3

2x3+18x

2+6x+6

(x2minus1)

3=0

2x3+18x

2+6x+6=0

2 (x3+9x

2+3x+3)=0

x=minus869464

Funkce maacute dva extreacutemy Prvniacute extreacutem maacute souřadnice [-017158 -294142] a druhyacute extreacutem

maacute souřadnice [-5828 -00858]

(-infin-5828) (-5828-1) (-1-017158) (-0171581) (1+infin)

zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace kladnaacute derivace zaacutepornaacute

derivace

kladnaacute derivace

klesajiacuteciacute rostouciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce jsme prozkoumali ve kteryacutech intervalech je funkce rostouciacute a ve

kteryacutech je klesajiacuteciacute Do vypočiacutetaneacute derivace vždy dosadiacuteme nějakeacute čiacuteslo z intervalu kteryacute

zkoumaacuteme a pokud jako derivace vyjde kladneacute čiacuteslo je funkce v tomto intervalu rostouciacute

pokud vyjde zaacuteporneacute je funkce v intervalu klesajiacuteciacute

V naacutesledujiacuteciacute čaacutesti vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce ze ktereacute poznaacuteme inflexniacute bod

konkaacutevnost a konvexnost funkce

Inflexniacutem bodem funkce f je x=-869464 V tomto bodu je druhaacute derivace funkce rovna 0

Funkce maacute v intervalu (-infin-869464) zaacutepornou druhou derivaci a je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute Na intervalu (-869464 -1) je druhaacute derivace kladnaacute a tedy na tomto intervalu

konvexniacute Na intervalu (-1 1) je funkce konkaacutevniacute jelikož je druhaacute derivace zaacutepornaacute Na

intervalu (1 +infin) je funkce konvexniacute ndash druhaacute derivace je kladnaacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech vyacutepočtů ziacuteskaacuteme průběh vyšetřovaneacute funkce tedy naacutesledujiacuteciacute

graf

minusx2minus6xminus1=0

x2+6x+1=0

x12=minus6plusmnradic36minus4

2

x1=minus017158 rarr y1=minus29142

x2=minus5828 rarr y 2=minus00858

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 30: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

32

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 31: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

33

f (minusx)=5(minusx )2sdoteminus(minusx)2

=5x2sdoteminusx2

= f (x)

lim 5x2sdote

minusx2

=lim5x

2

ex

2 =lim10x

ex

2

sdot2x=lim

5

ex

2 =0x rarr+infin x rarr+infin

x rarr+infin x rarr+infin

x rarr 0

lim 5x2sdote

minusx2

=0

0=5x2sdote

minusx2

x=0

Př 2

Definičniacutem oborem teacuteto funkce jsou všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarrD(f) = ℝ V tomto intervalu je

funkce spojitaacute V teacuteto funkci nejsou body nespojitosti

Daacutele platiacute

Jelikož platiacute že f(-x) = f(x) jednaacute se o sudou funkci Funkce je tedy souměrnaacute podle osy y

Stačiacute tedy vyšetřit průběh funkce jen na intervalu lt0 +infin)

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y (řešiacuteme rovnici y = f(0)) rarr pro y = 0

Vyšetřiacuteme tedy limity funkce pro přiacutepad že x rarr 0 a x rarr +infin

Vyacuteše uvedenou limitu musiacuteme nejprve převeacutest z přiacutepadu ldquo+infin0ldquo na přiacutepad ldquoinfininfinldquo V teacuteto

faacutezi můžeme použiacutet LrsquoHospitalovo pravidlo Dalšiacutemi uacutepravami dojdeme k limitě ve ktereacute

děliacuteme velice vysokyacutem čiacuteslem Vyacutesledek limity je tedy 0

V naacutesledujiacuteciacute limitě nemusiacuteme limitu upravovat a rovnou vychaacuteziacute limita z ldquo01ldquo což je 0

Daacutele budeme derivovat funkci f Zjistiacuteme ve kteryacutech bodech se rovnaacute prvniacute derivace

funkce 0 Pokud bude derivace na nějakeacutem intervalu kladnaacute funkce bode rostouciacute pokud

zaacutepornaacute funkce bude na intervalu klesajiacuteciacute

f (x )=5x2sdoteminusx

2

f ( x)=(5x2sdote

minusx2

) =(5x2

ex

2 )=10xsdotex

2

minus5x2sdotex

2

sdot2x

(ex

2

)2

=e

x2

sdot(10xminus10x3)

(ex

2

)2

=10xsdot(1minus x

2)

ex

2

10xsdot(1minusx2)

ex

2 =0 D( f )=R

10xsdot(1minus x2)=0

x1=0

x2=1

x3=minus1

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 32: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

34

(10xsdot(1minusx

2)

ex

2 ) =(10(1minus x

2)minus20x

2)sdote

x2

minusex

2

sdot2xsdot(10xsdot(1minusx2))

(ex

2

)2

=10sdot(2x

4minus5x

2+1)

ex

2

10sdot(2x4minus5x

2+1)

ex

2 =0 D( f )=R

10sdot(2x4minus5x

2+1)=0

2x4minus5x

2+1=0

substituce y=x2

2y2minus5y+1=0

y1 2=5plusmnradic17

4

y1=5+radic17

4

y2=5minusradic17

4

x1=radic5+radic17

4x2=minusradic

5+radic17

4

x3=radic5minusradic17

4x4=minusradic

5minusradic17

4

Prvniacute derivace je rovna nule ve třech bodech

V intervalu (-infin -1) je derivace funkce kladnaacute a funkce je v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (-1 0) je prvniacute derivace funkce zaacutepornaacute a funkce je tedy klesajiacuteciacute

V intervalu (0 1) je derivace funkce kladnaacute Funkce je tedy v tomto intervalu rostouciacute

V intervalu (1 +infin) je prvniacute derivace funkce f zaacutepornaacute a funkce je tedy na tomto intervalu

klesajiacuteciacute

V bodě x=0 nastaacutevaacute lokaacutelniacute minimum rarr f(0) = 0

V bodě x=1 nastaacutevaacute lokaacutelniacute maximum rarr f(1) =5e

Nyniacute pomociacute druheacute derivace zjistiacuteme inflexniacute body konkaacutevnost a konvexnost funkce

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 33: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

35

2 derivace kladnaacute 2 derivace zaacutepornaacute 2 derivace kladnaacute

konvexniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Ve vyšetřovaneacutem intervalu (0 +infin) jsme našli dva inflexniacute body o prvniacutech souřadniciacutech x1

a x3 Ve vyacuteše uvedeneacute tabulce je ukaacutezaacuteno ve ktereacutem intervalu je funkce konvexniacute a ve

ktereacutem konkaacutevniacute Pokud je druhaacute derivace kladnaacute je funkce konvexniacute pokud zaacutepornaacute tak

je funkce na tomto intervalu konkaacutevniacute

Všechny vypočiacutetaneacute uacutedaje naacutem poskytnou naacutesledujiacuteciacute graf funkce

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(0radic5minusradic17

4) (radic

5minusradic17

4radic

5+radic17

4) (radic

5+radic17

4+infin)

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 34: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

36

f (x)=ln (radicx2+1)

radic x2+1gt0

f (x)=ln (radicx2+1)=ln (radic(minusx)

2+1)= f (minusx)

x rarr 0lim ln radic x2

+1=0

x rarr+infin

lim ln radicx2+1=+infin

(ln radic x2+1)=

1

radicx2+1

1

2sdot

1

radicx2+1

sdot2x=x

x2+1

x

x2+1

=0

x=0

Př 3

Tato funkce je definovaacutena pouze v bodech ve kteryacutech je argument logaritmu většiacute než 0

Vyacuteše uvedenaacute nerovnost platiacute pro všechna reaacutelnaacute čiacutesla rarr D(f) = ℝ

Průsečiacutek s osou x i s osou y je v bodě [0 0]

Pro tuto funkci platiacute

Zadanaacute funkce je tedy sudaacute jelikož platiacute f(x) = f(-x) a budeme vyšetřovat funkci na

intervalu lt0 +infin)

Vyšetřiacuteme limity v krajniacutech bodech daneacuteho intervalu

Vyšetřujeme tedy limitu z přirozeneacuteho logaritmu jedneacute a to se rovnaacute 0

Pokud x jde do +infin i vyacutesledek teacuteto limity jde do nekonečna

Pokračujeme vyacutepočtem prvniacute derivace V tomto přiacutepadě derivujeme složenou funkci

Funkce maacute extreacutem pouze v bodě x=0 rarr f(0) = 0

Na intervalu (0 +infin) je prvniacute derivace kladnaacute a funkce je tedy rostouciacute Jelikož je funkce

sudaacute je funkce na intervalu (-infin 0) klesajiacuteciacute

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 35: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

37

(x

x2+1

) =(x

2+1)minus(xsdot2x)

( x2+1)

2=

1minusx2

( x2+1)

2

1minusx2

(x2+1)

2=0

1minusx2=0

x1=1

x2=minus1

Daacutele vypočiacutetaacuteme hodnotu druheacute derivace

Zjistiacuteme souřadnice inflexniacutech bodů V nich se druhaacute derivace rovnaacute nule

Funkce maacute 2 inflexniacute body Pro interval kteryacute vyšetřujeme je inflexniacute bod pouze x1 = 1

(f(x1)=lnradic2)

V intervalu (0 1) je druhaacute derivace funkce kladnaacute Funkce je v tomto intervalu konvexniacute

V intervalu (1 +infin) je druhaacute derivace funkce zaacutepornaacute Funkce je na tomto intervalu

konkaacutevniacute

Pro vyšetřovanou funkci ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacute graf

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 36: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

38

f (x)=arccos(x+3)

minus1⩽x+3⩽1

minus1⩽x+3 x+3⩽1minus4⩽ x x⩽minus2

D( f )=ltminus4minus2gt

(arccos( x+3))=minus1

radic1minus(x+3)2

(minus1

radic1minus(x+3)2) =

minusxminus3

(1minus(x+3)2)(3 2 )

minusxminus3

(1minus( x+3)2)(3 2 )

=0

minusxminus3=0x=minus3

Př 4

Nejprve zjistiacuteme definičniacute obor funkce

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou y

Derivace funkce f

Derivace funkce nikde nenabyacutevaacute hodnoty 0 tedy nemaacute extreacutem a naviacutec je všude zaacutepornaacute

Vyšetřovanaacute funkce je na celeacutem sveacutem definičniacutem oboru klesajiacuteciacute

Druhaacute derivace funkce

0=arccos(x+3)

cos0 = x+3

1=x+3x=minus2

Průsečiacutek s osou x v bodě [minus2 0]

y=arccos(0+3)y = arccos3 rarrneexistujePrůsečiacutek sosou y vteacuteto funkcineexistuje

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 37: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

39

Funkce maacute jeden inflexniacute bod a to o souřadniciacutech [-3 π2]

Na intervalu (-4 -3) je druhaacute derivace kladnaacute a funkce je v tomto intervalu konvexniacute

Na intervalu (-3 -2) je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto intervalu konkaacutevniacute

Ze všech vyacuteše uvedenyacutech uacutedajů ziacuteskaacuteme graf vyšetřovaneacute funkce

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 38: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

40

x rarr+infinx rarr+infin

x rarrminusinfin x rarrminusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=minusinfin

x rarr 0+

x rarr 0minus

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=+infin

limx

3+2x

2+7xminus3

x2

=lim (x+2+7

xminus

3

x2)=minusinfin

Př 5

Definičniacutem obor D(f) = ℝ - 0

Nyniacute můžeme postupně vyšetřit limity v nevlastniacutech bodech

Vyacuteše uvedeneacute limity jsme rozdělili na limity součtů ktereacute již nebyl probleacutem vyhodnotit

Obě dvě tyto limity vedou na podiacutel -3 děleno malyacutem kladnyacutem čiacuteslem Vyacutesledek tedy musiacute

byacutet vysokeacute zaacuteporneacute čiacuteslo

Určiacuteme prvniacute derivaci funkce

f (x )=x

3+2x

2+7xminus3

x2

(x

3+2x

2+7xminus3

x2

) =(x+2+7

xminus

3

x2) =1minus

7

x2+

6

x3=

x3minus7x+6

x3

xne0

x3minus7x+6

x3

=0

x3minus7x+6=0

( xminus1)sdot(xminus2)sdot(x+3)=0

x1=1

x2=2

x3=minus3

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 39: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

41

(-infin -3) (-3 0) (0 1) (1 2) (2 +infin)

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

1 derivace

zaacutepornaacute

1 derivace

kladnaacute

rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute klesajiacuteciacute rostouciacute

Tabulka vyacuteše popisuje ve kteryacutech intervalech je funkce klesajiacuteciacute a ve kteryacutech je rostouciacute

V bodech [1 72] [2 274] a [-3 -339] se nachaacuteziacute extreacutemy funkce

Vypočiacutetaacuteme druhou derivaci funkce f

2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je zaacutepornaacute 2 derivace je kladnaacute

konkaacutevniacute konkaacutevniacute konvexniacute

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

(x

3minus7x+6

x3

) =(1minus7

x2+

6

x3)=

14

x3minus

18

x4=

14xminus18

x4

pro xne0

14xminus18

x4

=0

14xminus18=0

x=18

14

(minusinfin 0)(0

18

14) (

18

14+infin)

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 40: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

42

x+5=0 minusx+3=0x=minus5 x=3

0=∣x+5

minusx+3∣x=minus5

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

Př 6

Jelikož zadanaacute funkce obsahuje absolutniacute hodnotu musiacuteme nejprve zjistit nuloveacute body

funkce

Nulovyacutemi body jsou x1 = -5 a x2 = 3 Takeacute je zřejmeacute že definičniacute obor funkce f je

D(f) = ℝ-3 jelikož se jmenovatel funkce nesmiacute rovnat 0

Průsečiacutek s osou x

Průsečiacutek s osou x v bodě [-50]

Průsečiacutek s osou y v bodě [0 53]

Definičniacute obor pomociacute nulovyacutech bodů rozděliacuteme na intervaly a zjistiacuteme zda je na nich

funkce uvnitř absolutniacute hodnoty kladnaacute či zaacutepornaacute Pokud je kladnaacute absolutniacute hodnotu již

nepiacutešeme Pokud je zaacutepornaacute musiacuteme změnit znameacutenko Funkci vyšetřujeme pro každyacute

interval zvlaacutešť

(-infin -5) (-5 3) (3 +infin)

zaacutepornaacute funkce kladnaacute funkce zaacutepornaacute funkce

a) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-infin -5)

V tomto intervalu je funkce uvnitř absolutniacute hodnoty zaacutepornaacute Upraviacuteme ji tedy do tvaru

ve ktereacutem ji budeme vyšetřovat

f (x )=∣x+5

minusx+3∣

y=∣0+5

minus0+3∣

y=5

3

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 41: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

43

x rarrminusinfinlim

minusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarrminusinfin

x rarrminusinfin

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5) sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minusxminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdotminus1)sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

Vyšetřiacuteme limitu v nevlastniacutem bodě -infin

Vytkneme nejvyššiacute mocninu v čitateli i ve jmenovateli a zkraacutetiacuteme je Vyjde limita kteraacute

jde v čitateli i ve jmenovateli k 1 Vyacutesledek teacuteto limity je 1

Vyšetřovat limitu v bodě -5 nemusiacuteme K vyacutesledku pomůže uacutevaha jelikož v tomto bodě

protiacutenaacute funkce osu x Vyacutesledek teacuteto limity je 0

Prvniacute derivace funkce

Prvniacute derivace teacuteto funkce je na celeacutem sveacutem intervalu zaacutepornaacute a je tedy na vyšetřovaneacutem

intervalu klesajiacuteciacute V tomto intervalu se nenachaacuteziacute extreacutem

Druhaacute derivace funkce

Tato funkce maacute druhou derivaci nulovou v bodě x = 3 ale tento bod se nenachaacuteziacute ve

vyšetřovaneacutem intervalu Na tomto intervalu je druhaacute derivace zaacutepornaacute a funkce je v tomto

intervalu konkaacutevniacute

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 42: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

44

x+5

minusx+3

limx+5

minusx+3=+infin

x rarr3minus

b) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (-5 3)

V tomto intervalu je funkce kladnaacute a vyšetřujeme jiacute v naacutesledujiacuteciacutem tvaru

Limita v bodě -5 byla zjištěna vyacuteše

Vyšetřiacuteme tedy limitu v bodě 3 Tento bod je bodem nespojitosti daneacute funkce Musiacuteme

vyšetřit limitu zprava a zleva ale vzhledem k intervalu vyšetřiacuteme v teacuteto čaacutesti jen limitu

zleva

Vyacuteraz v teacuteto limitě jde v čitateli k 8 a ve jmenovateli k 0 zprava To znamenaacute že děliacuteme

velmi malyacutem kladnyacutem čiacuteslem a vyacutesledek je tedy +infin

Vypočteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace neniacute nulovaacute nemaacute tedy extreacutem Prvniacute derivace je kladnaacute proto je

vyšetřovanaacute funkce na vyšetřovaneacutem intervalu rostouciacute

Nyniacute vypočteme druhou derivaci funkce

Druhaacute derivace funkce je nulovaacute pro x = 3 Tento bod nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

To tedy znamenaacute že funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu inflexniacute bod Druhaacute derivace

je na vyšetřovaneacutem intervalu kladnaacute a vyšetřovanaacute funkce je tedy na tomto intervalu

konkaacutevniacute

(x+5

minusx+3)=

(x+5)sdot(minusx+3)minus( x+5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=1sdot(minusx+3)minus(x+5)sdot(minus1)

(minusx+3)2

=minusx+3+x+5

(minusx+3)2

=8

(minusx+3)2

(8

(minusx+3)2) =

minus8sdot2sdot(minus1)sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=minus16x+48

(minusx+3)4

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 43: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

45

∣x+5minusx+3∣=

minusxminus5minusx+3

x rarr3+

limminusxminus5

minusx+3=+infin

limminusxminus5

minusx+3=lim

minusxsdot(1+5

x)

minusxsdot(1minus3

x)

=lim

1+5

x

1minus3

x

=1x rarr+infinx rarr+infinx rarr+infin

c) vyšetřiacuteme funkci na intervalu (3 +infin)

Na tomto intervalu je funkce zaacutepornaacute a musiacuteme si ji upravit do naacuteležiteacuteho tvaru bez

absolutniacute hodnoty

Bod x = 3 je bodem nespojitosti Vzhledem k vyšetřovaneacutemu intervalu vyšetřujeme limitu

ve ktereacute jde x k 3 zprava

Nyniacute můžeme vyšetřit limitu funkce v nevlastniacutem bodě -infin

Zjistiacuteme prvniacute derivaci funkce

Prvniacute derivace funkce nemaacute na vyšetřovaneacutem intervalu extreacutem Funkce je na tomto

intervalu klesajiacuteciacute jelikož je prvniacute derivace na celeacutem intervalu zaacutepornaacute

Zjistiacuteme druhou derivaci funkce

Tato funkce je na celeacutem vyšetřovaneacutem intervalu konvexniacute jelikož je druhaacute derivace kladnaacute

na vyšetřovaneacutem intervalu Druhaacute derivace je nulovaacute pro bod x = 3 Tento bod ovšem

nepatřiacute do definičniacuteho oboru funkce

(minusxminus5

minusx+3)=

(minusxminus5)sdot(minusx+3)minus(minusxminus5)sdot(minusx+3)

(minusx+3)2

=

=minus1sdot(minusx+3)minusxminus5

(minusx+3)2

=xminus3minus xminus5

(minusx+3)2

=minus8

(minusx+3)2

(minus8

(minusx+3)2) =

minus(2sdot(minusx+3)sdot(minus1))sdot(minus8)

(minusx+3)4

=minus16sdot(minusx+3)

(minusx+3)4

=16xminus48

(minusx+3)2

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 44: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

46

Nyniacute pomociacute všech vyacutesledků a informaciacute ze všech intervalů sestrojiacuteme graf vyšetřovaneacute

funkce Tento graf je znaacutezorněn na niacuteže uvedeneacutem obraacutezku

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra)

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 45: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

47

Zaacutevěr

V prvniacute čaacutesti meacute bakalaacuteřskeacute praacutece jsem se zabyacutevala definiciacute funkce a zaacutekladniacutemi pojmy

ktereacute se s tiacutemto pojmem pojiacute Soustředila jsem se hlavně na pojmy ktereacute přiacutemo souvisiacute

s vyšetřovaacuteniacutem průběhu funkce o jedneacute proměnneacute V každeacute sekci byl proveden alespoň

jeden přiacuteklad kteryacute naacutezorně ukaacutezal problematiku daneacute čaacutesti Některeacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti

teacuteto praacutece byly doplněny o vysvětleniacute aby čtenaacuteř jasně pochopil jak jsem došla

k vyacutesledku

V druheacute čaacutesti bakalaacuteřskeacute praacutece se nachaacuteziacute řešeneacute přiacuteklady Tyto přiacuteklady jsou komplexnějšiacute

než řešeneacute přiacuteklady v prvniacute čaacutesti V teacuteto čaacutesti totiž vyšetřuji funkci od začaacutetku až do konce

Ze ziacuteskanyacutech vyacutesledků jsem byla vždy schopna vytvořit kompletniacute graf průběhu

vyšetřovaneacute funkce

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 46: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

48

Resumeacute

This bachelor thesis pursues of the investigation of functions At first define the term of

function I write also about basic characteristic of function (for example domain limitshellip)

This theoretical part is explained by easy examples which help to understand this issue

better The second part of my bachelor thesis contains several exercises with solutions

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 47: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

49

Seznam literatury

[1] DRAacuteBEK P a S MIacuteKA Matematickaacute analyacuteza I 5 vyd Plzeň Zaacutepadočeskaacute

univerzita v Plzni 2003 158s ISBN 80-7082-978-8

[2] DLOUHYacute Zbyněk Uacutevod do matematickeacute analyacutezy učebnice pro pedagogickeacute fakulty

2 nezm vyd Praha Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute 1970 Učebnice pro vysokeacute školy

(Staacutetniacute pedagogickeacute nakladatelstviacute)

[3]ČVUT Fakulta elektrotechnickaacute LrsquoHospitalovo pravidlo [online] [23 3 2017]

Dostupneacute z httpmathfeldcvutczmttxta2txc3aa2fhtm

[4] POLAacuteK Josef Matematickaacute analyacuteza I cvičeniacute Plzeň Vysokaacute škola strojniacute a

elektrotechnickaacute 1983

[5] ČERYCH J a kol Přiacuteklady z matematickeacute analyacutezy ndash V 1 vyd Praha Staacutetniacute

pedagogickeacute nakladatelstviacute 1987

[6] Almamather MA1 [online] [13 1 2017] Dostupneacute z httpsalmamatherzcuczMA1

[7] Aristoteles Inflexniacute bod [online] [4 2 2017] Dostupneacute z

httpwwwaristotelesczmatematikafunkcevysetrovaniinflexni-bod-konexnost-

konkavnost-funkcephp

[8] TOMICZEK P Matematickaacute analyacuteza I Plzeň Zaacutepadočeskaacute univerzita v Plzni 2006

[online] [20 3 2017]

Dostupneacute z httphomezcucz~tomiczekDataSDPaMA1pdf

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 48: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

50

Seznam obraacutezků a tabulek

Obraacutezek 1 Graf neniacute grafem funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 2 Graf funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 9

Obraacutezek 3 Graf funkce f(x) = ln (x+1) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 10

Obraacutezek 4 Graf funkce h(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 11

Obraacutezek 5 Graf funkce f(x) (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 13

Obraacutezek 6 Periodickaacute a omezenaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 7 Sudaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 8 Lichaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 14

Obraacutezek 9 Prostaacute funkce (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 15

Obraacutezek 10 Obraacutezek limity přiacutekladu 2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 19

Obraacutezek 11 Konvexniacute funkce konkaacutevniacute funkce inflexniacute bod (Zdroj [7]) 28

Obraacutezek 12 Graf přiacutekladu č1 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 32

Obraacutezek 13 Graf funkce přiacutekladu č2 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 35

Obraacutezek 14 Graf funkce přiacutekladu č 3 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 37

Obraacutezek 15 Graf funkce přiacutekladu č 4 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 39

Obraacutezek 16 Graf funkce přiacutekladu č 5 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 41

Obraacutezek 17 Graf funkce přiacutekladu č 6 (Zdroj Vlastniacute vypracovaacuteniacute v GeoGebra) 46

Tabulka 1 Seznam derivaciacute elementaacuterniacutech funkciacute (Zdroj [6]) 23

I

Page 49: Plzeň, 2017...Plzeň, 2017 Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci na téma ,,Vyšetřování průběhu funkcí – řešené příklady‘‘ vypracovala samostatně

I


Recommended