PO ÍTA OVÉ ALGEBRAICKÉ SYSTÉMY: -MATHEMATICA 5- Vojt ch Bartík ást 2 Dokumenty v prost edí MS Windows Základní prvky jazyka Prom nné, okamžité a odložené p i azení (definice) Používání d ívejších výsledk Relace a logické operace ísla Matematické konstanty Aritmetické operace Elementární funkce N které další funkce Dokumenty v prost edí MS Windows Po uknutí na ikonu programu Mathematica 5 se nejprve spustí tzv. FRONTEND - uživatelské rozhraní, jehož prost ednictvím s programem Mathematica v prost edí MS Windows komunikujeme. Na jeho konfiguraci záleží, zda-li se vlastní program Mathematica, zv. KERNEL, na te do pam ti po íta e ihned nebo až po odeslání prvního p íkazu, kterým m že být také kliknutí na položku "Start Kernel Local" v rolet "Kernel" v nabídkové lišt . P i práci se systémem Mathematica 5 v prost edí MS Windows obvykle vytvá íme dokument, kterému se v tomto systému íká NOTEBOOK. Extenze každého dokumentu je "nb". Uživatelské rozhraní nám po startu nabídne istý dokument nazvaný "Untitled-1", ale m žeme si také vybrat z již existujících dokument . Bu ky a skupiny bun k Základními jednotkou dokumentu je BU KA (CELL). Nová bu ka se otevírá napsáním jakéhokoliv znaku mimo oblast již existujících bun k a má automaticky styl "Input" a atributy "Editable" a "Evaluatable". Bu ky m žeme v p ípad pot eby d lit na menší nebo spojovat ve v tší a také je sdružovat do skupin pomocí p íkaz v okénku "Cell Grouping" rolety "Cell". Zvolíme-li "Automatic Grouping", sdružování do skupin provádí FrontEnd automaticky podle schématu {Title, {Subtitle, {Subsubtitle, {Section, {Subsection, {Subsubsection, {Text, Small Text, {Input, Output}} } } } } } } Každá bu ka a skupina bun k je u pravého okraje obrazovky vyzna ena hranatou závorkou. 1 Math50-LS04-2.nb
Transcript
PO ÍTA OVÉ ALGEBRAICKÉ SYSTÉMY:
-MATHEMATICA 5-Voj t
�ch Bartík
ást 2Dokumenty v prost� edí MS Windows � Základní prvky jazyka � Prom� nné, okamžité a odložené p� i � azení (definice) � Používání d� ívejších výsledk� � Relace a logické operace � � ísla � Matematické konstanty �
Aritmetické operace � Elementární funkce � N� které další funkce
Dokumenty v prost edí MS Windows
Po � uknutí na ikonu programu Mathematica 5 se nejprve spustí tzv. FRONTEND - uživatelské rozhraní, jehož prost � ednictvím s programem Mathematica v prost � edí MS Windows komunikujeme. Na jeho konfiguraci záleží, zda-li se vlastní program Mathematica, zv. KERNEL, na� te do pam ti po� íta� e ihned nebo až po odeslání prvního p � íkazu, kterým m že být také kliknutí na položku " Star t Kernel � Local" v rolet " Kernel" v nabídkové lišt .P� i práci se systémem Mathematica 5 v prost � edí MS Windows obvykle vytvá� íme dokument, kterému se v tomto systému � íká NOTEBOOK. Extenze každého dokumentu je " nb" . Uživatelské rozhraní nám po star tu nabídne � istý dokument nazvaný " Untitled-1" , ale m žeme si také vybrat z j iž existuj ících dokument .
� Bu ky a skupiny bun�k
Základními jednotkou dokumentu je BU � KA (CELL). Nová bu � ka se otevírá napsáním jakéhokoliv znaku mimo oblast j iž existuj ících bun k a má automaticky styl " Input" a atr ibuty " Editable" a " Evaluatable" .
Bu � ky m žeme v p � ípad pot � eby d lit na menší nebo spojovat ve v tší a také je sdružovat do skupin pomocí p � íkaz v okénku " Cell Grouping" rolety " Cell" . Zvolíme-li " Automatic Grouping" , sdružování do skupin provádí FrontEnd automaticky podle schématu
{Title,
{Subtitle,
{Subsubtitle,
{Section,
{Subsection,
{Subsubsection,
{Text, Small Text, {Input, Output}}
}
}
}
}
}
}
Každá bu � ka a skupina bun k je u pravého okraje obrazovky vyzna� ena hranatou závorkou.
1 Math50-LS04-2.nb
� Atr ibuty a stylové parametry bu � ky
Každá bu � ka má své ATRIBUTY a STYL. Atr ibuty m� žeme specifikovat pomocí p � íkaz� v okénku " Cell � Cell Proper ties" . Styl a r � zné parametry stylu m� žeme m� nit pomocí p � íkaz� v okénku " Style" rolety " Format" , editací stylového archu (Style Sheet), který otev � ete kliknutím na položku " Edit Style Sheet" v rolet � " Format" a pomocí utility" Option Inspector" , kterou najdeme v rolet � " Format" nabídkové lišty a kterou m� žeme otev � ít také kliknutím na poslední položku " Preferences" v rolet � " Edit" .
Bu � ky, jej ichž obsah vidíte na obrazovce, maj í atr ibut " Open" . P� ítomnost bu � ky, které tento atr ibut odeberete, signalizuje pouze malá závorka u pravého okraje obrazovky. Nap � . následuj ící textová bu � ka obsahuje stejný text jako tato, ale je uzav � ená a proto žádný text nevidíme:
Bu � ky s atr ibutem " Editable" m� žeme editovat, bu � ky bez tohoto atr ibutu se editovat nedaj í a nelze m� nit ani jej ich atr ibuty a stylové parametry krom� atr ibutu " Editable" . Bu � ky s atr ibutem " Edit Duplicate" p � i jakémkoliv pokusu o jej ich editaci automaticky produkuj í editovatelnou kopii. Tento atr ibut je implicitn � nastaven u všech výstupních bun � k, tj . u bun � k maj ících styl " Output" .
Bu � ky s atr ibutem " Evaluatable" Mathematica vyhodnocuje, bu � ky bez tohoto atr ibutu ignoruje. Bu � ky s atr ibutem " Initialization" mohou být vyhodnoceny automaticky p � i na� ítání dokumentu. Ze styl � , které m� že bu � ka mít, j sou pro nás zatím d � ležité pouze " Input" a " Output" , jej ichž význam je jasný. Každá bu � ka maj ící styl " Input" má automaticky atr ibut " Evaluatable" . Z obsahu vstupní bu � ky Mathematica ignoruje pouze text za� ínaj ící znakem (* a kon � ící znakem * ). Chceme-li zj istit, jaké atr ibuty, styl a stylové parametry bu � ka má, ozna� íme j i kliknutím na jej í závorku a podíváme se do p � íslušných okének: atr ibuty, styl a stylové parametry bu � ky jsou v t � chto okéncích zaškr tnuty. Podobn � postupujeme, chceme-li n � které atr ibuty bu � ky zm� nit.
Atr ibut " Active" aktivuje n � které prvky bu � ky, jako jsou nap � . tla� ítka, palety a hyper linky. Nap � . následuj ící dv � bu � ky obsahuj í totéž tla� ítko
Expand �Expand �
První bu � ka je neaktivní, a proto po kliknutí na tla� ítko v ní obsažené se nic ned � je. Druhá bu � ka je aktivní a proto kliknutí na ni okopíruje jej í obsah na místo, kde se nachází kurzor . Aktivní elementy bu � ky nelze editovat, pokud má bu � ka atr ibut " Active" .
U vstupních a výstupních bun � k m� žeme m� nit ješt � " Input Format" resp. " Output Format" . Pro každý z nich máme t � i možnosti: " Input Form" , " Standard Form" a " Traditional Form" . Format ur � uje zp � sob formátování matematických formulí. Implicitn � je formát u vstupních i výstupních bun � k nastaven na " Standard Form" , což je forma p � esn � odpovídaj ící syntaktickým pravidl � m jazyka systému Mathematica. " Traditional Form" je bližší obvyklé matematické symbolice, ale na rozdíl od " Standard Form" ne vždy jednozna� n � p � eložitelná do " Input Form" , kterou umí Mathematica jednozna� n � interpretovat.
N � které atr ibuty a formát bu � ky lze poznat z tvaru jej í závorky. Vid � li j sme nap � ., že u závorky aktivní bu � ky je písmeno " A" . Všechny bu � ky, které nemaj í atr ibut " Evaluateble" , maj í stejnou závorku jako tato textová bu � ka. Závorka 1. bu � ky v následuj ící skupin � signalizuje, že je to vstupní bu � ka s atr ibuty " Editable" a " Evaluatable" a formátem " Standard Form" , a závorka 2. bu � ky � íká, že jde o výstupní bu � ku s atr ibutem " Editable" a formátem " Standard Form" :
Závorka 1. bu % ky v další skupin & ' íká, že bu % ka má atr ibuty " Editable" a " Evaluatable" a formát " Input Form" , a závorka 2. bu % ky ukazuje na výstupní bu % ku s atr ibutem " Editable" a formátem " Traditional Form" :
Atr ibut " Edit Duplicate" nelze z tvaru závorky vy - íst. Následuj ící bu % ka má podle závorky formát " Standard Form" a chybí j í jak atr ibut " Editable" , tak atr ibut " Evaluatable" :
2 Vyhodnocení (evaluace) bu 3 ky nebo skupiny bun 4 kK vyhodnocení (evaluaci) j sou ur - eny pouze vstupní bu % ky, tj . s atr ibuty " Input" a " Evaluatable" .
Chceme-li nechat takovou bu % ku vyhodnotit, umístíme do ní kurzor nebo j i ozna- íme kliknutím na jej í závorku a pak stiskneme sou - asn & klávesy 576 8 nebo pouze klávesu 8 v pravém dolním rohu rozší ' ené klávesnice. Stejnými klávesami dáme p ' íkaz k vyhodnocení všech vstupních bun & k s atr ibutem " Evaluatable" obsažených v ozna- ené skupin & bun & k.
Evaluaci lze p ' erušit nebo zrušit kliknutím na nabídku " Inter rupt Evaluation" resp." Abor t Evaluation" v rolet & " Kernel" . Totéž lze ud & lat také z klávesnice pomocí 9 +, resp. 9 +. . N & kdy však trvá dosti dlouho, než Mathematica zareaguje.
2 Používání palet
Mathematica 5 nabízí celkem 9 palet, které usnad % uj í jak používání mnoha matematických a technických symbol : , které nenajdete na klávesnici, tak používání nejb & žn & j ších vestav & ných funkcí - i operací. Jsou to tyto palety:
1. OpenAuthorTools
2. AlgebraicManipulation
3. BasicCalculations
4. BasicInput
5. BasicTypesetting
6. CompleteCharacters
7. CreateSlideShow
8. InternationalCharacters
9. NotebookLauncher
Další palety si m: žete vytvá' et sami.
Palety 4, 5, 6, 8 obsahuj í r : zné typy písma, ' ecká a j iná písmena, nej r : zn & j ší matematické a technické symboly a šablony pro psaní zlomk : , mocnin, odmocnin, der ivací, neur - itých i ur - itých integrál : , sou - t : , sou - in : , matic a j iných matematických výraz: . K liknutím na " tla- ítko" palety se objekt na ní zobrazený okopíruje na poslední pozici kurzoru.
Palety nejsou jediným prost ' edkem, jak r : zné typy písma a symboly za' adit do textu. Nap ' . ;=<?> dostanete také v p ' ípad & , že napíšete bez mezer za zp & tnými lomítky nap ' . ' et & zec " \ [Alpha]\ [Beta]\ [Gamma]" . Písmeno @ m: žete získat také napsáním ' et & zce A alphaA , symbol B získáte napsáním A inf A , dvoj itou hranatou závorku získáte napsáním A [[ A , atd. Jak lze to - i onen znak tímto zp : sobem získat, se v & tšinou dozvíte, když si ho najdete v palet & a ukážete na n & j kurzorem.
3 Math50-LS04-2.nb
Paleta 2 obsahuje názvy n C kterých nej D ast C j i používaných algebraických úprav spolu s volným místem pro argument a funguje odlišn C . Nap E . v ní najdete tlaD ítko s nápisem Expand F , které funguje
takto: vyberu pomocí kurzoru formuli nebo jej í podformuli, nap E . a G b 2 G c 3
Potom kliknu na uvedené tlaD ítko a dostanu na stejném míst Ca2 G 2 a b G b2 G c 3
Formule se mH že nacházet v jakékoliv bu I ce.
Stejná a další tlaD ítka najdete v palet C 3, která však funguje j inak. Vyberu-li nap E . pomocí kurzoru stejnou formuli jako výše a pak kliknu na tlaD ítko Expand[ F ] v této palet C , dostanu na stejném míst C
Expand a G b 2 G c 3
Kliknu-li místo toho na tlaD ítko FKJKL , dostanu
a G b 2 G$MNG c 3
Umístím-li však kurzor za podformuli a J b 2 a pak kliknu na toto tlaD ítko, dostanu
a G b 2 M$G$MNG c 3
p E i D emž kurzor je na pozici D erného (prvního) D tvereD ku.
Poslední paleta 9 slouží k otevírání nových dokument H s p E eddefinovaným stylem. Nap E . tento dokument má sv H j vlastní stylový arch, který vznikl impor továním stylu " Textbook" a jeho následnou úpravou.
Základní prvky jazyka
Základními prvky jazyka jsou symboly, celá D ísla, reálná D ísla, komplexní D ísla a E et C zce. Tyto prvky se souhrnn C nazývaj í ATOMY. Symbolem je každé slovo sestávaj ící z D íslic, písmen a libovolných grafických znak H , které maj í charakter písmen (letter -like forms) a které Mathematica rozpoznává, jehož první znak není D íslicí. Co jsou celá D ísla je jasné, o reálných D íslech a komplexních D íslech si povíme za chvíli a E et C zec je libovolná posloupnost písmen, D íslic a libovolných grafických znak H , které Mathematica rozpoznává, zaD ínaj ící a kon D ící uvozovkami. Znak " mH že být v E et C zci zastoupen jako \" , znak \ mH že být zadán jako \\.
Z atomH vytváE íme rekurzivn C VÝRAZY (EXPRESSIONS). Výraz je bu O atom nebo posloupnost znak H tvaru f a1, a2, ..., an kde f , a1, a2, ..., an j sou výrazy. Výraz f se nazývá ZÁHLAVÍ nebo HLAVI P KA (HEAD), výrazy a1, a2, ..., an j sou jeho ARGUMENTY nebo prvky. P íslo n se nazývá DÉLKA (LENGTH) výrazu a mH že být rovno nule, tj . výraz mH že mít tvar f[ ].
Hlavi D ka n C kteréch výrazH mH že být skrytá. Nap E . symboly maj í skrytou hlavi D ku Symbol, textové E et C zce maj í skrytou hlavi D ku Str ing. Skryté hlavi D ky maj í i r H zné typy D ísel.
To, co bylo práv C E eD eno o výrazech, se týká jej ich vnit E ní reprezentace, nikoliv jej ich vstupního nebo výstupního tvaru, které jsou pokud možno uzp H sobeny matematickým zvyklostem a závisej í také na tom, zda formát bu I ky je " InputForm" , " OutputForm" , " StandardForm" nebo " TraditionalForm" . Nap E . f expr mH žeme zadat v tzv. prefixové notaci jako f Q expr nebo v tzv. postfixové notaci jako expr f a f expr1, expr2 mH žeme zadat v prefixové notaci jako
f #, expr2 & Q expr1, f expr1, # & Q expr2
nebo v postfixové notaci jako
expr1 f #, expr2 &, expr2 f expr1, # &
nebo v infixové notaci jako expr1 R f R expr2.
Math50-LS04-2.nb 4
Vnit S ní tvar každého výrazu mT žeme získat p S íkazem FullForm a jeho záhlaví p S íkazem Head.
Expression FullForm Head
a2b27 a2b27 Symbol
3.14 3.14 Real
2 7 Rational 2, 7 InputForm7U U U2 Rational 7, 2 Rational
2 V 3 I Complex 2, 3 Complex
a, b, c List a, b, c List
23abc7e "23abc7e" String2 x 2 x 2a V b Plus a, b Plus
a b Times a, b Times1U U Ua Power a, W 1 Power
a2 Power a, 2 PowerbU U Ua Times Power a, W 1 , b Times
a 2 4 a, b, c a 2 4 a, b, c a 2 4
a 2 4 a V b, 2 c a 2 4 Plus a, b , Times 2, c a 2 4X \[Alpha] SymbolY\[CapitalPhi] Symbol
Existuje S ada p S íkazT , jej ichž pomocí mT žeme získávat r T zné informace o struktu S e výrazT . Nap S . TreeForm[expr] nám ukáže stromovou strukturu výrazu expr :
TreeFormSin x2Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z
Cos x 3 [ 1Times
Power
Plus 1,
Power
Cos x
, 3
, W 1,
Sin
Power x, 2
Prom nné, okamžité a odložené p i azení (definice)
V zásad \ lze jako prom\ nnou použít jakýkoliv výraz. Mohou však nastat potíže, pokud záhlaví obsahuje jméno, které používá Mathematica. K ur ] itým ú ] el T m však lze použít pouze symboly.
JMÉNA VŠECH VESTAV ^ NÝCH FUNKCÍ, OPERACÍ A P_ ÍKAZ ` ZA a ÍNAJÍ VELKÝM PÍSMENEM.
a Plus b 4, a c a Plus 2, c Times b 5, c c Times , a Plus c Times
4, 16 a, 5,cU U U U5, 20
x, y, z b 1, 2, a2
1, 2, a2
5 Math50-LS04-2.nb
2 a d 6Set : : wr i t e : Tag I nt eger i n 2 a i s Pr ot ect ed. Mor e…
6
Okamžité p e i e azení má tvar expr1 = expr2 nebo ekvivalentn f Set[expr1, expr2] .
Odložené p e i e azení má tvar expr1 := expr2 nebo ekvivalentn f SetDelayed[expr1, expr2] .
Pe i expr1 = expr2 se expr2 vyhodnotí okamžit f , p e i expr1 := expr2 až p e i použití.
Clear a, b, c ;
x1 d Expand a g b 2 ; x2 : d Expand a g b 2 ; x1, x2
a2 h 2 a b h b2, a2 h 2 a b h b2
a d c g 1; x1, x2
b2 h 2 b 1 h c h 1 h c 2, 1 h 2 b h b2 h 2 c h 2 b c h c2
random1 d Random Integer, 0, 100 ; Table random1, 10
47, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47
random2 : d Random Integer, 0, 100 ; Table random2, 10
7, 22, 36, 74, 45, 18, 31, 51, 72, 56
Odložené p e i e azení je nutné, závisí-li na podmínce.
Clear y1 ;
y1 : d If a i 0, 1, j 1, 0 ;
a d 1; y1, a dKj 1; y1, a d .; y1
1, k 1, 0
Clear y1 ;
y1 d If a i 0, 1, j 1, 0 ;
a d 1; y1, a dKj 1; y1, a d .; y1
0, 0, 0
Pe i e azení zrušíme p e íkazem expr = . nebo ekvivalentn f Unset[expr ].
Pe íkaz Clear [symbol] ruší všechna p e i e azení a definice spojené se symbolem kromf atr ibut l .
Pe íkaz ClearAll[symbol] ruší i atr ibuty.
f 1 d 1; f 2 d 2; f 3 d 3; f 1 , f 2 , f 3
1, 2, 3
Math50-LS04-2.nb 6
f 1 m 1; f 2 m . ; f 3 m 3; f 1 , f 2 , f 3
1, f 2 , 3
Cl ear f ; f 1 , f 2 , f 3
f 1 , f 2 , f 3
Používání d ív jších výsledk
Mathematica n ísluje všechny vstupy a výstupy a ur n itý pon et posledních vstup o a výstup o , který je dán hodnotou globálního parametru $HistoyLength, si pamatuje. Implicitní nastavení je $HistoyLength=Infinity. K liknutím na položku " Show In/Out Names" v rolet p " Kernel" lze zaq ídit, aby toto n íslování bylo resp. nebylo vid p t ar už na obrazovce nebo na tiskárn p . Pq íkazem In[n] lze použít n-tý vstup a p q íkazem Out[n] nebo %n n-tý výstup. Na poslední výstup se lze odkázat p q íkazem % nebo Out[-1], na p q edposlední p q íkazem %% nebo Out[-2], na p q edp q edposlední p q íkazem %%% nebo Out[-3], atd.
Textový tvar n-tého vstupu lze získat p q íkazem InStr ing[n].
a m 4
4
c m 5
5
%, %, I nSt r i ng s 1 , %%, %%, I nSt r i ng s 2
5 , 5 , \ c t \u 5\ , 4, 4, \ a t 4\
Relace a logické operace
v Relace
Rel ace Ful l For m Význam
x twt y Equal x, y x serovnáyx x y Unequal x, y x senerovnáyx twtyt y SameQ x, y x , y jsouidentické
x t{z|t y UnsameQ x, y x , y nejsouidentické
7 Math50-LS04-2.nb
Cl ear x, y, z ;
x } y, x ~w~y~ y, x ~ 1, y ~ 2, z ~ 2. , x ~w~ y, y } z, y ~w~y~ z
x � y, False, 1, 2, 2., False, True, False
Rel ace Ful l For m Význam
x � y Greater x, y x jev� tší než yx � y GreaterEqual x, y x jev� tší neborovnoy
x � y Less x, y x jemenší než y
x � y LessEqual x, y x jemenší neborovnoy
x �w� y �w� z Equal x, y, z x, y , z serovnají
x � y � z Unequal x, y, z x, y , z jsouvzájemn� r � zné
x � y � z x � y � z z� ejmý
� Logické operace
Oper ace Ful l For m Význam
�p, � p Not p logickánegace
p && q, p q And p, q konjunkce
p q r And p, q, r konjunkce
p q, p q Or p, q disjunkce
p q r Or p, q, r disjunkce
Xor p, q Xor p, q vylu� ovací disjunkce
Xor p, q, r Xor p, q, r vylu� ovací disjunkceIf p, t, f If p, t, f t pro p �w� True, f pro p �w� FalseIf p, t, f, u If p, t, f, u t pro p �w� True, f pro p �w� False, j inak u
P� íklady:
Cl ear p, q, r ;
p && q && r , p q r , p ~ Tr ue, q ~ Tr ue, r ~ Fal se, p q r
p && q && r, p && q && r, True, True, False, False
Cl ear p, q, r ;
p q r , p q r , p ~ Tr ue, q ~ Fal se, r ~ Fal se, p q r
p q r, p q r, True, False, False, True
Cl ear p, q, r , s, t ;
Xor p, q, r , p ~ q ~ r ~ Tr ue, s ~ t ~ u ~ Fal se,
Xor p, q, r , Xor p, r , s , Xor p, s, t , Xor s, t , u
p � q � r, True, False, True, False, True, False
Math50-LS04-2.nb 8
ísla a matematické konstanty
� Typy � ísel
I nt eger . . . . . . . . . . celá � ísla s libovolným po� tem ciferRat i onal . . . . . . . . . racionální � ísla, tj . zlomky integer integer v základním tvaru
Compl ex . . . . . . . . . . � ísla tvaru number � number � I , kde number je typuI nt eger , Rat i onal nebo Real a I jesymbol proimaginární jednotku
Chceme-li zj istit, k jakému typu Mathematica � íslo x � adí, m� žeme to zj istit p � íkazem Head[x] nebo Head[x]===type:
Head 13 , Head2� � � �3
, Head6� � � �3
, Head 13.
Integer, Rational, Integer, Real
Head 13 � 0 I , Head 13. � 0 I , Head 13 � 0. I
Integer, Real, Complex
Celá a racionální � ísla jsou tzv. exaktní � i p � esná � ísla, s nimiž Mathematica provádí všechny operace p � esn � . �
ísla typu Real jsou p � ibližná � ísla. P� ibližná � ísla jsou vlastn � dvoj ího druhu: machine-precision numbers - strojov � p � esná � ísla a arbitrary-precision numbers - � ísla se zadanou p � esností. P� i po� ítání s � ísly se zadanou p � esností Mathematica sleduje vliv zaokrouhlovacích chyb , p � i práci se strojov � p � esnými se o to nestará.
Komplexní � ísla mohou být jak exaktní, tak p � ibližná.
123. 4 . . . . . . . . . . . . . strojov � p � esné � íslo na tomto po� ita� ipo� et cifer � $Machi nePr eci s i on � 15. 9546
123. 457` . . . . . . . . . . . strojov � p � esné � íslo na všech po� ita� ích123. 4567` 100 . . . . . . � íslo se zadanou p � esností se100 platnými ciframi123. 4567` ` 100 . . . . . � íslo se zadanou p � esností se100 platnými ciframi za desetinnou
te� kou1. 234* ^6 . . . . . . . . . . strojov � p � esné � íslo1 . 234 � 10^6 v tzv. v � deckénotaci1. 234` 100* ^6 . . . . . . � íslo v tzv. v � deckénotaci se100 platnými ciframi
9 Math50-LS04-2.nb
� Symboly pro n � které � íselné množiny
Algebraics ........ reprezentujemnožinu všech algebraických � ísel, tj . � ísel,která jsou ko eny polynom¡ s racionálními koeficienty
Complexes ......... reprezentujemnožinu všech komplexních � íselIntegers .......... reprezentujemnožinu všech celých � íselPrimes .......... reprezentujemnožinu všech prvo� íselRationals ......... reprezentujemnožinu všech racionálních � íselReals ............. reprezentujemnožinu všech reálných � ísel
kde domain je n £ který z výše uvedených symbol ¡ , je True nebo False, pokud je Mathematica schopna rozhodnout, zda expr reprezentuje � íslo pat ící do množiny reprezentované tímto symbolem:
Gol denRat i o . . . . . . . 1́ 5 2 µ 1. 61803, pom¶ r délek · ástí tzv. zlatého ² ezu úse· ky
I ndet er mi nat e . . . . . symbol pro neur · iténumer ickévýrazy jako nap ² . 0 0
Krom¶ t ¶ chto konstant zná Mathematica ješt ¶ n ¶ které další matematické konstanty, nap ² . Eul er Gamma ¸ l i m
n¹»ºk ¼ 1
n 1½ ½ ½ ½k ¾ l n n µ 0. 577216,
Cat al an ¸k ¼ 0º
¾ 1 k½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½2 k ¿ 1 2
µ 0. 915966
a j iné, viz Help/Mathematical Functions/Mathematical Constants. Konstanta EulerGamma je známa jako Eulerova konstanta a zpravidla se zna· í C.
S matematickými konstantami Mathematica po· ítá jako se symboly resp. formálními výrazy, ví však, že až na symboly pro nevlastní · ísla a neur · ité výrazy reprezentuj í p ² esn ¶ definovaná exaktní reálná · ísla:
Head À Á , Â , Degr ee, Gol denRat i o, I ndet er mi nat e
Symbol, Symbol, Symbol, Symbol, Symbol
Numer i cQ À Á , Â , Degr ee, Gol denRat i o, I ndet er mi nat e
True, True, True, True, False
Symbol I je zkratka pro Complex[0,1] a Infinity je zkratka pro DirectedInfinity[1]. Proto
Head I , Head Uneval uat ed I , Numer i cQ I
Complex, Symbol, True
à Funkce N a p Ä ibližné hodnoty exaktních Å ísel a konstant
P² ibližnou hodnotu exaktního · ísla, matematické konstanty nebo matematického výrazu expr reprezentuj ícího exaktní reálné nebo komplexní · íslo najdeme pomocí funkce N, která mÆ že mít jeden nebo dva argumenty.
P² íkaz N expr znamená, že Mathematica použije k výpo· tu strojov ¶ p ² esná · ísla (machine-precision numbers). Ta jsou reprezentována jako " double-precision floating-point numbers" opera· ního systému, jež jsou ukládána v 64 binárních bitech a zpravidla vedou k mantise s 16-ti dekadickými ciframi. P² i práci s nimi Mathematica pln ¶ využívá možnosti, které pro po· ítání s " double-precision floating-point numbers" nabízí opera· ního systém a hardware po· íta· e.
Hlavní p ² edností výpo· t Æ provád ¶ ných se strojov ¶ p ² esnými · ísly je rychlost. Nevýhodou jsou absence informace o po· tu platných cifer výsledku a jeho závislost na použitém po· íta· i: s hlediska matematiky stejný výpo· et mÆ že vést na r Æ zných po· íta· ích k pon ¶ kud odlišným výsledk Æ m.
P² íkaz N expr , n naproti tomu znamená, že Mathematica se bude provád ¶ t numer ické výpo· ty tak, aby výsledek m¶ l pokud možno n platných cifer . Aby Mathematica usp ¶ la, musí n ¶ kdy provád ¶ t interní mezivýpo· ty s p ² esností NÇ n. Rozdíl N¾ n je omezen hodnotou globálního parametru $MaxExt r aPr eci s i on, kterou lze ale m¶ nit:
N: : mepr ec : I nt er nal pr eci s i on l i mi t $MaxExt r aPr eci s i on Ë 50. `
r eached whi l e eval uat i ng Si n 1000000000000000000000000000000000Ì 32 Í 00000000000000000000000000000000000 . Mor e…
0. , 0.
$MaxExt r aPr eci s i on Î 100; N Si n 10100 , 30 , $MaxExt r aPr eci s i on Î 50.
N: : mepr ec : I nt er nal pr eci s i on l i mi t $MaxExt r aPr eci s i on Ë 100. `
r eached whi l e eval uat i ng Si n 1000000000000000000000000000000000Ì 32 Í 00000000000000000000000000000000000 . Mor e…
Ê 0. 372376123661276688262086695553, 50.
$MaxExt r aPr eci s i on Î 101; N Si n 10100 , 30 , $MaxExt r aPr eci s i on Î 50.
Ê 0. 372376123661276688262086695553, 50.
Funkci N lze aplikovat i na výrazy nereprezentuj ící reálná nebo komplexní Ï ísla. V takovém p Ð ípad Ñ se N aplikuje na všechny podvýrazy reprezentuj ící Ï ísla:
Ù PÚ esnost p Ú ibližných výsledk Û a funkce Accuracy a Precision
Je-li x exaktní Ï íslo nebo matematická konstanta, je Accur acy x Î Pr eci s i on x Î Ü .
Je-li x p Ð ibližné reálné Ï íslo se zadanou p Ð esností, pak Accur acy x Î a znamená, že reálné Ï íslo, které x aproximuje, leží v intervalu x Ý Þ 2, x Ò Þ 2 , kde Þ Î 10 ß a, a Pr eci s i on x Î p znamená, že reálné Ï íslo, které x aproximuje, leží v intervalu x Ý Þ 2, x Ò Þ 2 , kde Þ Î x 10 ß a.
Pro strojov Ñ p Ð esná Ï ísla x má Pr eci s i on x vždy hodnotu Machi nePr eci s i on, kde
Math50-LS04-2.nb 12
N MachinePrecision à $MachinePrecision á 15.9546,a pro Accur acy x platí vztah
Accuracy x à $MachinePrecision â Log 10, Abs x ,
kde Log 10, Abs x je dekadický logar itmus absolutní hodnoty ã ísla x . Oznaã íme-li n celou ã ást reálného ã ísla n, pak lze ä íci, že podle Mathematica 5 Book platí:
Accur acy x å a . . . . a æ poã et cifer za desetinnou teã kou v p ä ibližném ã íslex , kteréMathematica považujeza platné, pokud Pr eci s i on x jev ç tší
než Machi nePr eci s i on
Pr eci s i on x å p . . . p æ poã et cifer v p ä ibližném ã íslex , které Mathematica považujeza platné, pokud Pr eci s i on x jev ç tší nežMachi nePr eci s i on
x å N è , Accur acy x , Pr eci s i on x
3.14159, 15.4574, MachinePrecision
x å N è , 30 , Accur acy x , Pr eci s i on x
3.14159265358979323846264338328, 29.5029, 30.
x å 3. 1420, Accur acy x , Pr eci s i on x
8.68146 é 109, 6.016, MachinePrecision
x å 3. 14` 2020, Accur acy x , Pr eci s i on x
8.68146385599365499 é 109, 8.76038, 18.699
x å Si n 1040 N #, 30 &, Accur acy x , Pr eci s i on x
â 0.569633400953636327308034181574, 30.2444, 30.
ê Zvýšení p ë esnosti numer ických výpoì t íMaj í-li vstupní data výpoã tu p ä esnost nejvýše n, t ç žko mî žeme požadovat, aby výsledek mç l p ä esnost vyšší:
x å 3. 14, x30, Pr eci s i on x , Accur acy x
3.14, 8.0889 é 1014, MachinePrecision, 15.4577
Chceme-li tedy zvýšit p ä esnost výpoã tu, musíme zvýšit p ä esnost vstupních dat.
Pä esnost p ä ibližného ã ísla zv ç tšíme p ä ipsáním nul do jeho rozvoje nebo p ä íkazem Set Pr eci s i on x, n . Po tomto p ä íkazu Mathematica p ä idá do binárního rozvoje ã ísla x pot ä ebný poã et nul a považuje x za ã íslo s p ä esností n. Uvedené možnosti nejsou ale ekvivalentní, tj . vedou k
13 Math50-LS04-2.nb
r ï zným ð ísl ï m s p ñ esností n.
Pñ íkazem Set Pr eci s i on x, n však mï žeme p ñ esnost ð ísla x také snížit.
x1 ò Set Pr eci s i on 3. 14, 30 , Pr eci s i on x1 , Accur acy x1
3.14000000000000012434497875802, 30., 29.5031
x2 ò 3. 14` 30, Pr eci s i on x2 , Accur acy x2
3.14000000000000000000000000000, 30., 29.5031
x1 ò x130, Pr eci s i on x1 , Accur acy x1
8.088899548610033695819838868 ó 1014, 28.5229, 13.615
x2 ò x230, Pr eci s i on x2 , Accur acy x2
8.088899548610024086131534273 ó 1014, 28.5229, 13.615
x1 ô x2, x130 ô x230
False, False
Set Pr eci s i on expr , n automaticky mõ ní p ñ esnost každého ð ísla ve výrazu expr :
Cl ear x ;
Set Pr eci s i on 3. 25 x ö§÷ x2 ø Si n 2. 17 x , 25
3.250000000000000000000000 x ù 3.141592653589793238462643 x2 ú1.000000000000000000000000 Sin 2.169999999999999928945726 x
Set Pr eci s i on 3. 25` 25 x ö ÷ x2 ø Si n 2. 17` 50 x , 10
3.250000000 x ù 3.141592654 x2 ú 1.000000000 Sin 2.170000000 x
Set Pr eci s i on 3. 25` 25 x ö ÷ x2 ø Si n 2. 17` 50 x , Machi nePr eci s i on
3.25 x ù 3.14159 x2 ú 1. Sin 2.17 x
û Parametr Pr intPrecision a funkce AccountingForm, InputForm a NumberForm
Poð et cifer strojov õ p ñ esných ð ísel, které Mathematica zobrazuje, je ur ð en skrytým parametrem Pr i nt Pr eci s i on grafického rozhraní. Jeho nastavení zj istíme p ñ íkazem
Opt i ons $Fr ont End, Pr i nt Pr eci s i on
PrintPrecision ü 6
Math50-LS04-2.nb 14
a zmý níme je p þ íkazem Set Opt i ons $Fr ont End, Pr i nt Pr eci s i on ÿ n . Zmý na ovšem ovlivní všechny výstupní bu � ky. Po� et zobrazovaných cifer strojov ý p þ esných � ísel m� žeme zmý nit i v jednotlivých výstupních bu � kách tak, že je ozna� íme, otev þ eme Option Inspector v rolet ý Format a zmý níme hodnotu položky
Sel ect i on Expr essi on For mat i ng Di spl ay Opt i ons Pr i nt Pr eci s i on.
Parametr Pr i nt Pr eci s i on se však uplat � uje pouze v p þ ípad ý , že j iný parametr grafického rozhraní, NumberMarks, je nastaven na hodnotu False. Tu lze též mý nit globáln ý i lokáln ý podobn ý jako po� et zobrazovaných cifer .
Po� et zobrazovaných p þ ibližných � ísel s p þ esností v ý tší než Machi nePr eci s i on je dán jej ich p þ esností.
I nput For m nám ukáže všechny cifry � ísla x , které Mathematica uchovává v pamý ti. Je-li x � íslo se zadanou p þ esností, obsahuje I nput For m x také údaj o jeho p þ esnosti.
Account i ngFor m zobrazí všechny cifry nalevo od desetinné te� ky.
Number For m x, n zobrazí n cifer � ísla x, pokud j ich x nemá mén ý ; druhý argument lze vynechat, není však jasné, co za n ý j Mathematica dosadí.
Aplikujeme-li n ý kterou z uvedených t þ í funkcí na libovolný výraz, aplikuje se automaticky na na každé � íslo ve výrazu.
Example 1
x � 3. 1420, I nput For m x
8. 68146 � 109, 8. 681463855993662* ^9
Account i ngFor m x , Account i ngFor m x, 12 , Account i ngFor m x, 20
8. 68146 � 109 8. 68146385599365499 � 109 x x2 Si n13� � � � � � �17
I nput For m expr
8. 681463855993662* ^9 +
8. 6814638559936549923536940561` 18. 69897000433602* ^9* x - x^2* Si n[ 13/ 17]
Out � 1
8. 68146 � 109 8. 68146385599365499 � 109 x x2 Si n13� � � � � � �17
Account i ngFor m expr
8681463856. 8681463855. 99365499 x x2 Si n13� � � � � � �17
Out � 1
8. 68146 � 109 8. 68146385599365499 � 109 x x2 Si n13� � � � � � �17
Number For m expr
8. 68146 � 109 8. 68146385599365499 � 109 x x2 Si n13� � � � � � �17
Out � 1
8. 68146 � 109 8. 68146385599365499 � 109 x x2 Si n13� � � � � � �17
Math50-LS04-2.nb 16
�� ísla v � íselných soustavách o základu b � 10 a funkce BaseForm�
íslo lze zadat i v j iné než dekadické soustav � . Základem m� že být kterékoliv � íslo z množiny {2,3,…36}. Je-li základ v � tší než 10, jako dodate� né � íslice slouží písmena a - z nebo A - Z.
2^^101001 . . . . . . . . . celé � íslo v binární soustav �2^^101. 101 . . . . . . . . strojov � p � esné � íslo na tomto po� ita� i v binární soustav �2^^101. 101` . . . . . . . . strojov � p � esné � íslo na všech po� ita� ích v binární soustav �2^^101. 101` 50 . . . . . � íslo se zadanou p � esností s50� ti platnými binárními ciframi2^^101. 101` ` 50 . . . . � íslo se zadanou p � esností s50� ti platnými binárními ciframi
za � ádovou te� kou
2^^101. 101^6 . . . . . . strojov � p � esné � íslo 111.1112 � 26 v tzv. v � deckénotaci
2^^101. 101` 50^6 . . . � íslo 111.1112 � 26 s50� ti platnými binárními ciframi za� ádovou te� kou v tzv. v � deckénotaci
Power x, a , xa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . obecná mocnina, a nemusí být celé 4 íslo
Si n x . . . . . s i n x Ar cSi n x . . . . ar csi n xCos x . . . . . cos x Ar cCos x . . . . ar ccos x
Tan x . . . . . t g x Ar cTan x . . . . ar ct g xCot x . . . . . cot g x Ar cCot x . . . . ar ccot g x
Sec x . . . . . sec x 8 1 cos x Ar cSec x . . . . ar ccos 1 x
Csc x . . . . . cosec x 8 1 si n x Ar cCsc x . . . . ar csi n 1 x
Ar cTan x, y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . argument komplexního 4 ísla x 9 I y ,
leží v intervalu (;: , : a nerovná se (;:
Si nh x . . . . s i nh x Ar cSi nh x . . . ar gsi nh1 xCosh x . . . . cosh x Ar cCosh x . . . ar gcosh x
Tanh x . . . . t gh x Ar cTanh x . . . ar gt gh x
Cot h x . . . . cot gh x Ar cCot h x . . . ar gcot gh x
Všechny tyto funkce mohou mít komplexní argument. Obecná mocnina, logar itmus, cyklometr ické a hyperbolometr ické funkce jsou v komplexním oboru vícezna4 néfunkce. Výše uvedené funkce znamenaj í ve skute4 nosti jej ich hlavní v 5 tve.
19 Math50-LS04-2.nb
N které další funkce
< Numer ické funkce reálné prom= nné
Abs x ........................... absolutní hodnota > ísla xSign x .......................... 1 pro x ? 0, 0 pro x @ 0, A 1 pro x B 0IntegerPart x ................... celá > ást > ísla xFractionalPart x ................ zlomková > ást > ísla xFloor x ......................... nejv C tší celé > íslo ne v C tší než xCeiling x ....................... nejmenší celé > íslo ne menší než xRound x ......................... celé > íslo nejbližší > íslu x
x @ 4 3, Abs x , Sign x , IntegerPart x ,
FractionalPart x , Floor x , Ceiling x , Round x
4D D D D3,
4D D D D3, 1, 1,
1D D D D3, 1, 2, 1
x @ N 4 3 , Abs x , Sign x , IntegerPart x ,
FractionalPart x , Floor x , Ceiling x , Round x
1.33333, 1.33333, 1, 1, 0.333333, 1, 2, 1
x @FE 4 3, Abs x , Sign x , IntegerPart x ,
FractionalPart x , Floor x , Ceiling x , Round x
G 4D D D D3,
4D D D D3, G 1, G 1, G 1D D D D
3, G 2, G 1, G 1
x @FE N 4 3 , Abs x , Sign x , IntegerPart x ,
FractionalPart x , Floor x , Ceiling x , Round x
G 1.33333, 1.33333, G 1, G 1, G 0.333333, G 2, G 1, G 1
x @ 7 H , Abs x , Sign x , Round x , Floor x , Ceiling x
7 I , 7 I , 1, 22, 21, 22
x @ 7 H , Abs x , Sign x , IntegerPart x ,
FractionalPart x , Floor x , Ceiling x , Round x
7 I , 7 I , 1, 21, G 21 J 7 I , 21, 22, 22
Math50-LS04-2.nb 20
x KFL 7 M , Abs x , Sign x , IntegerPart x ,
FractionalPart x , Floor x , Ceiling x , Round x
N 7 O , 7 O , N 1, N 21, 21 N 7 O , N 22, N 21, N 22
Max x,y,z,... ............... maximum P ísel x,y,z,...Max x,y,z,... ............. maximum P ísel x,y,z,...Min x,y,z,... ............... minimum P ísel x,y,z,...Min x,y,z,... ............. minimum P ísel x,y,z,...
x, y, z K 1 3, 9 7, M 2 , Max x, y, z , Min x, y, z
1Q Q Q Q3,
9Q Q Q Q7,OQ Q Q Q2
,OQ Q Q Q2,
1Q Q Q Q3
x, y, z K M , M N, N M , 20 , Max x, y, z , Min x, y, z
O , 3.14159, 3.1415926535897932385 , 3.14159, O
R Numer ické funkce komplexní promS nné
Abs z ....................... absolutní hodnota komplexního P íslazRe z ........................ reálná P ást P íslazIm z ........................ imaginární P ást P ísla zArg z ....................... argument komplexního P ísla zSign z ...................... z Abs z pro z T 0Conjugate z ................. komplexn U sdružené P íslo zV
z K 1 W 3 X , Abs z , Re z , Im z , Arg z , Sign z , Conjugate z
1 Y[Z 3 , 2, 1, 3 ,OQ Q Q Q3,
1Q Q Q Q2
1 Y[Z 3 , 1 N Z 3
z K Exp 1 W\M3X 4 , Abs z , Re z ,
Im z , Arg z , Sign z , Conjugate z
] 1̂`_bac c c c c c c4 , ] ,]Q Q Q Q Q Q Q Q Q2,
]Q Q Q Q Q Q Q Q Q2,OQ Q Q Q4, ] _bac c c c c c c4 , ] 1d`_bac c c c c c c4
z K Exp 1 W\M3X 4 N, Abs z ,
Re z , Im z , Arg z , Sign z , Conjugate z
1.92212 Y 1.92212 Z , 2.71828, 1.92212, 1.92212,0.785398, 0.707107 Y 0.707107 Z , 1.92212 N 1.92212 Z
21 Math50-LS04-2.nb
e Funkce celých f ísel
Mod m,n ............ zbytek p g i d h lení i ísla m i íslem n, má vždy stejnéznaménkojakon
Quotient m,n ....... celá i ást i ísla m n , i ástei ný podíl p g i d h lení i ísla k i íslem nGCD n1,n2,n3,... ... nejv h tší spolei ný d h litel i ísel k,m,n,...LCM n1,n2,n3,... ... nejmenší spolei ný násobek i ísel k,m,n,...
Argumenty funkcí Mod a Quotient mohou být i reálná i ísla a matematické konstanty.
Argumenty funkcí GCD a LCM mohou být i racionální i ísla r1, r2, r3, . . . GCD je pak nejv h tší kladné racionální i íslo r, pro n h ž jsou všechna i ísla ri r celá a LCM je nejmenší kladné racionální i íslo r, pro n h ž jsou všechna i ísla r ri celá.
Quotient 17, 4 , Mod 17, 4 , Quotient 17, j 4 , Mod 17, j 4
Quotient 17 l , m , Mod 17 l , m , Quotient 17 l , jnm , Mod 17 l , jnm
19, k 19 o[p 17 q , k 20, k 20 o[p 17 q
Quotient j 17 l , m , Mod j 17 l , m , Quotient j 17 l , jnm , Mod j 17 l , jnm
k 20, 20 o[k 17 q , 19, 19 o[k 17 q
Quotient 17. l , m , Mod 17. l , m , Quotient 17. l , jnm , Mod 17. l , jnm
19, 1.75972, k 20, k 0.958561
Quotient j 17. l , m , Mod j 17. l , m ,
Quotient j 17. l , jnm , Mod j 17. l , jnm
k 20, 0.958561, 19, k 1.75972
GCD 12, 18, 24 , LCM 12, 18, 24
6, 72
GCD 12 7, 18 23, 24 31 , LCM 12 7, 18 23, 24 31
6r r r r r r r r r r r r r4991
, 72
Math50-LS04-2.nb 22
Prime n ............ n s téprvot ísloPrimePi x .......... pot et prvot ísel menších než x
PrimeQ n ........... testuje, zda n jeprvot ísloFactorInteger n .... seznam prvot initel uvt ísla n a jej ich exponent uDivisors n ......... seznam kladných d w litel uxt isla n
