PO ČÍTA ČOVÁ PODPORA ZPRACOVÁNÍ TÝMOVÝCH PROJEKT Ů...

Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava

Fakulta strojní

POČÍTAČOVÁ PODPORA ZPRACOVÁNÍ TÝMOVÝCH PROJEKTŮ - MATHCAD

Mathcad – návody do cvičení

Ing. Milada Hlaváčková, Ph.D.

Ostrava 2011

Tyto studijní materiály vznikly za finanční podpory Evropského sociálního fondu (ESF) a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu OP VK CZ.1.07/2.3.00/09.0147 „Vzdělávání lidských zdrojů pro rozvoj týmů ve vývoji a výzkumu“.

Fakulta strojní, VŠB-TU Ostrava

2 Počítačová podpora zpracování týmových projektů - Mathcad

Název: Počítačová podpora zpracování týmových projektů - Mathcad Autor: Ing. Milada Hlaváčková, Ph.D. Vydání: první, 2011 Počet stran: 43 Náklad: Studijní materiály pro konstrukční obory navazujícího studia Fakulty strojní Jazyková korektura: nebyla provedena.

Tyto studijní materiály vznikly za finan ční podpory Evropského sociálního fondu a rozpočtu České republiky v rámci řešení projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost.

Název: Vzdělávání lidských zdrojů pro rozvoj týmů ve vývoji a výzkumu Číslo: CZ.1.07/2.3.00/09.0147 Realizace: Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava

© Ing. Milada Hlaváčková, Ph.D. © Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava ISBN 978-80-248-2761-2



POKYNY KE STUDIU

Prerekvizity Není požadována žádná prerekvizita.

Cíl učební opory Cílem učební opory je dát studentům návod k užití výpočtového programu

MATHCAD. Tento výpočtový program je vhodný pro řešení týmových programů, projektů, které studenti zpracovávají v rámci předmětu Aplikovaná mechanika a v rámci dalších technických předmětů. V této učební opoře jsou objasněny jen základní funkce k ovládnutí programu MATHCAD, které však umožní zpracování týmových projektů na odpovídající úrovni.

Pro koho je předmět ur čen:

Předmět je určen všem studentům Fakulty strojní VŠB-TUO, kteří zpracovávají týmové i individuální projekty a programy.

V rámci výuky předmětu MATHCAD budou studenti seznámeni s následujícími kapitolami:

• Úvod a základní informace o programu MATHCAD

• Vkládání textu a jeho úprava, vkládání obrázků

• Maticové operace

• Soustavy rovnic a metody jejich řešení

• Symbolické operace – derivace

• Symbolické operace – integrování

• Tvorba grafu funkcí – 2D

• Tvorba grafu funkcí – 3D

• Vektorový počet a jeho užití v technické praxi

• Rovnice

• Numerické řešení rovnic

Rozsah předmětu je 2+0 ( 2 hodiny cvičení v počítačové učebně). Podmínky absolvování předmětu jsou následující:

Předmět je ukončen klasifikovaným zápočtem.

Požadavky na získání klasifikovaného zápočtu

• Účast ve cvičeních (maximální povolená neúčast 3 cvičení) • Napsání závěrečného testu na minimálně 51 bodů



Studenti Fakulty strojní mají dobré teoretické znalosti. Dosud se však nerozvíjela jejich zkušenost s prací v týmu. Je proto vhodné, aby programy nebo projekty byly zadávány jako týmová práce. Vzhledem k tomu však musí být zadání i dostatečně rozsáhlé a náročné, musí mít studenti k dispozici i počítačovou podporu pro řešení zadané problematiky. Software musí být dostupný všem studentům a je vhodné, aby studenti užívali jeden program tak, aby si mohli při řešení týmových projektů předávat číselné výsledky jednotlivých dílčích řešení.



Čas ke studiu kapitoly: 90 min

Zpracovaná opora umožní studentům snadnější zpracování týmových projektů technických předmětů (např. Aplikovaná mechanika, Dynamika, Statika atd.)

Cíl: Po zvládnutí programu MATHCAD budete umět řešit:

Maticové operace, tvorba inverzních a transponovaných matic a jejich užití v technické praxi

Řešit lineární a nelineární soustavy rovnic

Využít program MATHCAD k řešení derivací a integrací (pohybové rovnice atd.)

Vykreslení grafů funkcí 2D a 3D

Vektorový počet a jeho užití v technické praxi

Numerické řešení rovnice



OBSAH

ÚVOD

1. KAPITOLA – ZÁKLADNÍ MATEMATICKÉ OPERACE………… ...………….6

2. KAPITOLA – TEXT…………………………………… …………………………..10

3. KAPITOLA – MATICE………………………………… ………………………….12

4. KAPITOLA – SOUSTAVY ROVNIC………… ………………..…………………15

5. KAPITOLA – SYMBOLICKÉ OPERACE… …………………………………….21

6. KAPITOLA – SYMBOLICKÉ OPERACE, DERIVOVÁNÍ FUNKCE…… …...26

7. KAPITOLA – TVORBA GRAFU FUNKCE………………………………...……29

8. KAPITOLA – GRAF FUNKCE 2 PROM ĚNNÝCH……………………......……34

9. KAPITOLA – VEKTOROVÝ PO ČET……………………………………………35

10. KAPITOLA – ŘEŠENÍ ROVNIC………………………………………………….37

11. KAPITOLA - EULEROVA NUMERICKÁ METODA…… …………………….39



ÚVOD

Program MATHCAD je dostupný všem studentům Fakulty strojní. Je k dispozici na učebnách Fakulty strojní VŠB-TUO. Program umožňuje širokou škálu využití při řešení týmových projektů v technických předmětech. Jde o uživatelsky „přívětivé prostředí“. Program umožní studentům číselné variantní řešení včetně grafických výstupů řešených problémů. V rámci tohoto výukového textu budou objasněny pouze naprosto základní funkce programu a jejich užití tak, aby studenti po jejich prostudování mohli užít program MATHCAD pro řešení úloh technických předmětů. Pro snadnější pochopení a zvládnutí programu jsou jednotlivé kapitoly doplněny konkrétními příklady z předmětu Statika, Dynamika a Aplikovaná mechanika.

1. Kapitola

V kapitole č. 1 jsou shrnuty základní informace o programu MATHCAD.

Program MATHCAD má stejné zákonitosti práce s objekty jako programy firmy Microsoft, tzn. ukládání souborů, otevírání souborů, tisk souborů atd.

Veškeré informace o programu MATHCAD jsou uvedeny v jazyce anglickém v „Helpu“ viz. obr. 1.1.

Obrázek 0. 1 – Help

V Helpu jsou přehledně vypsány matematické operace, které lze v programu MATHCAD provádět a zároveň jsou zde jednoduché příklady, které slouží ke snadnějšímu pochopení problematiky (viz. obr. 1.2 a 1.3).

Obrázek 0. 2 – Help a jeho užití - I



Obrázek 0. 3 – Help a jeho užití - II

1.1 Základní matematické operace

Základní matematické operace lze provádět užitím „kalkulačky“ (viz. obr. 1.4).

Obrázek 1.4 – Kalkulačka

Typy rovnítek a jejich užití je znázorněno na obrázku č. 1.5.

Obrázek 1.5 – Typy rovnítek



Použije-li se chybné rovnítko, nelze získat číselný výsledek.

Při použití přiřazovacího znaménka lze řešit zadání obecně a získat různá číselná řešení při změně jedné nebo více zadaných veličin.

Pozn: Rozdílná číselná řešení nelze psát „vedle sebe“ na stránku, ale je nutno je psát pod sebou. Do výpočtu by byla přiřazena nejníže zapsaná hodnota proměnné.

Písmenka při zadávání proměnných je nutno volit opatrně. Některé konstanty jsou v programu MATHCAD předdefinovány.

Příklad:

Objeví-li se při řešení ve výrazu červená barva, vždy signalizuje chybu!

Klikne-li se pravým tlačítkem na červený text, získá se informace o povaze chyby.

e 2.718= R 0.556K=

g 9.807m

s2

=



1.2 Zadávání jednotek

Základní informace o jednotkách, které lze užívat při výpočtech programem MATHCAD, lze získat pomocí ikony „Odměrka“. Kliknutím na tuto ikonu dojde k výběru fyzikální veličiny a zároveň je možno zvolit jednotku, kterou je možné použít (viz. obr.1.6)

Obrázek 0.6 – Volba jednotek

Při výpočtu není nutno jednotky převádět. Výsledek vyjde v jednotkách soustavy SI.

Příklad:

Je-li požadován výsledek v jiných jednotkách, klikne se pravým tlačítkem na jednotku a do černého políčka se vypíše zkratka požadované jednotky.

Přiklad:

Zadávání úhlů:

Zadává-li se hodnota v úhlech, je nutno za hodnotou vypsat „deg“ …degree.

V opačném případě je hodnota zadána v radiánech



Příklad:

Zadávání násobných jednotek.

Jednotky násobné je nutno předdefinovat.

Příklad:



2. Kapitola

Vkládání a úprava textu.

Text je do souboru vložen kliknutím na mezerník. V případě, že je v textu číslo, neovlivní tato hodnota výpočet. Text se může upravovat stejným způsobem jako ve všech programech firmy Microsoft.

Vkládá-li se text připravený v programu Microsoft Word, lze tento soubor otevřít dvojím kliknutím pravým tlačítkem a dále upravovat.

V obou případech se úpravy textu provedou otevřením ikony „Format“ na hlavní liště (viz. obr.2.1.)

Obrázek 2.1 – Úprava textu

Písmena řecké abecedy do výpočtu lze vkládat:

1. užitím ikony s řeckými písmeny (viz. obr.2.2.)

Obrázek 2.2 – Řecká abeceda

3. napsáním písmena a stisknutím kláves „ctrl g“.

Obrázky lze do MATHCAD souboru vkládat bez omezení.

a α

b β



3. Kapitola

Matice – jejich tvorba a operace s maticemi

3.1 Tvorba matice

Matice lze vytvořit v programu MATHCAD kliknutím na ikonu „Matice“ (viz. obr. 3.1)

Obrázek 3.1 – Tvorba matice

Dalším kliknutím v otevřené ikoně „Matrix“ na ikonu s obrázkem matice se otevře „Insert Matrix“. Do této lišty se vyplní požadovaný rozměr matice a kliknutím na „OK“ se otevře matice v požadovaném formátu, která se dále vyplní. (viz. obr. 3.2)

Obrázek 3.2 – Postup tvorby matice



3.2 Operace s maticemi

Matici je vhodné pojmenovat (např. A) a veškeré operace pak provádět pouze se symbolem A.

Veškeré operace, které lze v programu MATHCAD s maticemi provádět, jsou popsány i s jednoduchými příklady v Helpu (viz. obr. 3.3).

Obrázek 3.2 – Užití Helpu

Determinant matice A

Inverzní matice matice A

Matice transponovaná matice A



Výpis jednoho prvku matice

Výpis se prování pokynem

V pořadí - 1. index řádek, 2.index sloupec.

Pozn: 1. řádek i sloupec mají index 0.

Sčítání matic

Přičtení konstanty ke každému prvku matice

Symbolické operace s maticemi se dají získat užitím znaménka pro symbolické operace (viz. obr. 3.3). Na obr. 3.3 je znázorněna tvorba inverzní matice symbolicky.

Obrázek 3.3 – Symbolické operace



4. Kapitola

Soustavy rovnic v prostředí MATHCAD lze řešit více způsoby.

4.1 Lineární soustavy rovnic

Soustavy lineárních rovnic lze řešit užitím a znalostí operací s maticemi. Metoda řešení bude předvedena na soustavě 3 lineárních rovnic o 3 neznámých.

Soustava rovnic:

Kde: první řádek vektoru X je neznámá x

druhý řádek vektoru X je neznámá y

třetí řádek vektoru X je neznámá z.

Vzhledem k tomu, že vektor má jeden sloupec, stačí k identifikaci prvku jen jedno číslo.

Pro další výpočty je však nutno tyto neznámé znovu nadefinovat.



Kontrola správnosti výpočtů:

Výhodou této metody je, že v případě soustavy lineárně závislých rovnic program MATHCAD na tuto chybu upozorní.

Řešený příklad

Je zadána prutová soustava (viz. obr.4.1) zatížená jednou silou Q. Určete síly v jednotlivých prutech i v podporách v bodech A a B.

Obrázek 4.1 – Prutová soustava

Soustava rovnovážných rovnic pro jednotlivé styčníky je následují:

h 4 m⋅ b 6 m⋅ Q 10 kN⋅



A je matice konstant, X je vektor neznámých, V je vektor výsledků. Nejde již o bezrozměrné hodnoty. Na pravé i levé straně rovnovážných silových rovnic je jednotka newton [N].

Reakce ve směru osy y v bodě B jak je:

4.2 Řešení soustav rovnic pokynem Given - Find

Soustavu rovnic lze řešit v programovém prostředí MATHCAD pokynem Given-Find.

Nevýhodou této varianty řešení je, že získáme výsledek i v případě lineárně závislých rovnic.

Číselná velikost tohoto výsledku bude dána prvním číselným odhadem v zadání (bude vysvětleno dále.

Vlastní postup řešení bude opět vysvětlen na příkladě soustavy rovnic.

Postup je následující:

• První číselný odhad výsledků

• Given

• Soustava rovnice

• Pokyn Find



Pro další výpočty je nutno vypočtené číselné hodnoty k neznámým přiřadit.

Kontrola správnosti výsledku:

Výsledkem není „0“, ale číslo velmi malé. Výsledek je s dostatečnou přesností.

Řešený příklad

Těleso hmotnosti mt je taženo silou F po nakloněné rovině pod úhlem αααα. Síla F

působí ve vzdálenosti H od nakloněné roviny rovnoběžně s nakloněnou rovinou. Těleso má tvar kvádru a je uloženo na dvou lyžinách ve vzdálenosti b. Poloha těžiště je dána souřadnicí c a h (viz.obr.4.2). Součinitel tření mezi nakloněnou rovinou a tělesem je f.

Určete: 1. Maximální sílu Fmax, kterou můžeme na těleso působit, aby nedošlo k překlopení

2. S jakým maximálním zrychlením amax se pohybuje těleso v okamžiku působení

maximální síly Fmax.

Číselné hodnoty zadání:

α 20 deg⋅ mt 40 kg⋅ f 0.1 b 1 m⋅ c 0.7m⋅ H 1 m⋅ h 0.6m⋅



Obrázek 4.2 – Schéma tažení tělesa po nakloněné rovině

Po uvolnění tělesa (viz. obr. 4.2) jsou sestaveny následující rovnovážné rovnice.

V soustavě 5 rovnic je 6 neznámých. Pro okamžik překlopení však platí, že síla normálová v zadní lyžině (Nz) je rovna 0 a toto je 6. rovnice.

Výpočet soustavy rovnic:

1. číselné zadání

2. Odhad výsledků (výsledky jsou fyzikální veličiny, je proto nutné i odhadu přiřadit správnou jednotku.

Následuje číselný blok, otevřený pokynem „Given“ a soustava rovnic. V soustavě rovnic musí být na pravé straně správně uvedena jednotka.

α 20 deg⋅:= mt 40 kg⋅:= f 0.1:= b 1 m⋅:= c 0.7m⋅:= H 1 m⋅:= h 0.6m⋅:=

Nz 1 N⋅:= Tz 1 N⋅:= Np 1 N⋅:= Tp 1 N⋅:= F 1 N⋅:= a 1m

s2

⋅:=



Given

Jednotky sil ve výsledku jsou uvedeny v jednotkách základních.

N = kg.m.sec-2

mt− a⋅ mt g⋅ sin α( )⋅− Tz− Tp− F+ 0 N⋅

Tz Nz f⋅

Nz Np+ mt g⋅ cos α( )⋅− 0 N⋅

Tp Np f⋅

Nz− b⋅ mt a⋅ h⋅+ F H⋅− mt g⋅ sin α( )⋅ h⋅+ mt g⋅ cos α( )⋅ b c−( )⋅+ 0 N⋅ m⋅

Nz 0 N⋅



5. Kapitola

5.kapitola se zabývá symbolickým řešením matematických operací jako jsou kvadratické rovnice, kubické rovnice , derivace apod.

5.1 Řešení kvadratických, kubických rovnic.

Řešení kvadratických či kubických rovnic je naznačeno na obrázku 5.1.

Obrázek 5.1 – Řešení kvadratické rovnice


• Rovnice je napsána s „tučným“ rovnítkem

• Kurzorem kliknout za neznámou, která je řešena

• Kurzorem kliknout na ikonu Symbolice – Variable – Solve

• Výsledkem jsou dva kořeny kvadratické rovnice

Stejným způsobem bude řešena rovnice kubická atd.

5.2 Derivace – symbolické a číselné řešení

Derivování funkce lze provést způsobem, který je naznačen na obrázku 5.2.


• Ve funkci se označí kurzorem proměnná, dle které se bude derivovat

• Kurzorem kliknout na ikonu Symbolice-Variable-Differentate



Obrázek 5.2 – Derivování

Další možností provedení derivace funkce je užití ikony „Calculus“ (viz. obr 5.3).

Obrázek 5.3 – Derivování – Calculus

Postup derivace užitím ikony „Calculus“ je uveden na obrázku 5.4. Při řešení symbolickém je nutno užít rovnítka pro symbolické řešení. Označeno v obr. 5.4.



Obrázek 5.4 – Postup derivování funkce

Číselné hodnota derivace funkce se provádí následujícím způsobem:

• Zadání hodnot, ve kterých se bude derivace řešit

• Funkce



Řešený příklad

Klikový mechanismus je tvořen klikou délky R a ojnicí délky L (viz. obr. 5.5). Klika se otáčí konstantní úhlovou rychlostí ω. Vzdálenost x(t) pístu od bodu A je funkcí času. Tato vzdálenost popisuje polohu pístu. Úhel φ i ψ jsou také funkcí času.

Určete obecně rychlost a zrychlení pístu.

Obrázek 5.5 – Klikový mechanismus

Postup řešení:

• Určení úhlu ψ jako funkce času

• Určení úhlu φ jako funkce času

• Určení vzdálenosti x(t) jako funkce času.

• Určení rychlosti pístu – rychlost pístu se určí jako první derivace x(t)

• Určení zrychlení pístu – zrychlení pístu je druhou derivací vzdálenosti x(t)

Postup řešení je uveden na obr. 5.6.



Obrázek 5.6 – Řešení rychlosti a zrychlení pístu klikového mechanismu



6. Kapitola

6.kapitola se zabývá integrováním funkce a to symbolicky a číselně.

Symbolické řešení integrování je znázorněno na obrázku 6.1.

Postup je shodný s postupem pro symbolické deriavace

• Ve funkci se označí kurzorem proměnná, dle které se derivovat

• Kurzorem kliknout na ikonu Symbolice-Variable-Integrate

Obrázek 6.1 – Symbolické integrace

Další možností derivování je užitím ikony „Calculus“ (viz obr. 6.2).

Obrázek 6.2 – Symbolické integrace



Při symbolických operacích je nutno užít rovnítka pro symbolické operace (viz. obr.5.4.).

Číselné řešení integrálů je shodné s postupem pro derivování (viz. kapitola č. 5).

Řešený příklad

Určete polohu těžiště homogenní plochy ohraničné funkcemi:

f(x) = x3, x = a, osou x a osou y.

a = 6

Vyšetřovaná plocha je na obrázku 6.3

Obrázek 6.3 – Vyšetřovaná plocha

Rovnice pro výpočet polohy těžiště jsou následující:



Číselné řešení v programu MATHCAD:



7. Kapitola

V této kapitole bude objasněna problematika tvorby grafů funkcí 2-D, 3-D.

7.1 2-D grafy

2-D graf je možno vytvořit jako pole indexované proměnné.


• ORIGIN 0:= - tento pokyn musí předcházet zadávání

• n 10:= - počet hodnot, pro které budou určeny funkční hodnoty grafu

• i 0 n..:= - „dvě tečky“ nutno zadávat z ikony „MATRIX“ , určuje počet kroků řešení

• xi 3 i2⋅ 2 i⋅+ 1+:= - funkce, jejíž graf bude vykreslen. Index se zadává např. z ikony „MATRIX“ (viz. obr.3.2).

• Kliknutím na ikonu „GRAF“ se otevře nabídka typu grafů.

• Kliknutím výběr typu grafu

• V grafu na ose x jsou proměnné, na osy y pak vypočtené funkční hodnoty

Veškerý postup a nutné kroky jsou znázorněny na obr. 7.1.

Obrázek 7.1. – Tvorba grafu- var.I



Další možnost tvorby 2-D grafu.


• f x( ) 3 x2⋅ 2 x⋅+ 1+:= předepsat funkci, jejíž graf bude tvořen

• x 0 1, 10..:= stanovení definičního oboru funkce. Rozdíl mezi hodnotou x1 a x2 stanoví krok, se kterým bude vykreslován graf funkce

• Další postup je shodný s postupem uvedeným u předcházející metody (viz. obr.7.2)

Obrázek 7.2. – Tvorba grafu- var.II

Dvojím kliknutím na graf se otevře tabulka „Formatting Currently Selected X-Z plot (viz. obr.7.3). V této tabulce jsou nabídky možných úprav grafu, z nich nejdůležitější a nejčastěji používané jsou:

• Grid line – volba mřížky grafu

• Traces – typy a barvy křivek grafu

• Labels – volba popisu grafu



Obrázek 7.3. – Možnosti úpravy grafu.

Řešený příklad

Vykreslete grafy funkcí f1(x1), f2(x2), f3(x3) do jednoho grafu.

Zadané funkce a jejich definiční obory jsou následující:

Tvorba grafu více funkcí s rozdílnými definičními obory je shodná s postupem popsaným v kapitole 7.1. Graf se tvoří stejným způsobem. Druhou a další funkce, které chceme vykreslit do grafu, se zavedou napsáním čárky za funkci první (viz. obr.7.4).



Obrázek 7.4 – Tvorba grafu s více funkcemi – Varianta I

Další varianta tvorby grafu více proměnných užitím ikony „PROGRAMMING“ viz obr. 7.5. Postup je následující:

• Název funkce s přiřazovacím rovnítkem

• Kliknutí na ikonu „PROGRAMMING

• Předpis první funkce

• Kliknutí „Add line“ a předpis druhé funkce

• Dále je tvorba grafu shodná s předcházejícími příklady

Obrázek 7.4 – Tvorba grafu s více funkcemi – Varianta II



Řešený příklad

V kapitole 5.2. byly řešeny funkce rychlosti a zrychlení pístu klikového mechanismu.

Pro shodné zadání vykreslete grafy rychlosti a zrychlení pístu.


T….perioda (čas na jednu otáčku)

Výsledné grafy po úpravě v programu MATHCAD (viz. kapitola 7.1) jsou na obr.7.5

Obrázek 7.5 – Průběh rychlosti a zrychlení pístu

R 0.4m⋅:= L 0.8 m⋅:= ω 0.5 s1−⋅:=



8. Kapitola

Tvorba 3-D grafu – bude popsáno na řešeném příkladu

Řešený příklad

Vytvořte 3-D graf zadané funkce.


• Zavedení funkce

• Stanovení definičního oboru

• Předpis pro tvorbu matice funkčních hodnot M i,j

• Tvorba grafu - z ikony pro tvorbu grafu se vybere 3-D graf (viz. obr. 8.1). Graf lze upravovat otevřením nabídky úprav grafu (dvojím kliknutí do grafu)

Obrázek 8.1 – Tvorba 3-D grafu



9. Kapitola

Vektorový počet a operace s vektory.

Vektor je v prostoru zadáván 3 souřadnicemi

Vektor A má tedy 3 složky.

Velikost vektoru A se určí:

Směrové úhly určující polohu výsledného vektoru k osám x, y a z (viz. obr. 9.1) se určí následujícím způsobem:

Obrázek 9.1 – Určení směrových úhlů

9.1 Skalární součin dvou vektorů

Skalární součin 2 vektorů bude objasněn na jednoduchém příkladu:

Jsou zadány dva vektory A a B.

Skalární součin vektorů A a B je skalár C.

Mezi vektory je běžné znaménko násobení.

Vektorový součin vektorů A a B je vektor D.

Znaménko pro vektorový součin je nutno zadá-

vat z ikony „MATRIX“ (viz. obr.9.2).



Obrázek 9.2 – Vektorový součin

Řešený příklad

Jsou známy 3 složky vektoru síly F (Fx,Fy,Fz). Její působiště v bodě A. Bod A je zadán souřadnicemi xA, yA a zA (viz. obr. 9.3)

Určete celkovou velikost síly F, její směrové úhly a moment síly F k počátku souřadného systému.

Obrázek 9.3 – Poloha vektoru síly F v prostoru

Velikost vektoru síly F:

Určení polohového vektoru R a určení jeho velikosti:

Velikost vektoru R je vzdálenost bodu A

od počátku souřadného systému.

Fx 30 N⋅:= Fy 20 N⋅:= Fz 50 N⋅:=

xA 2 m⋅:= yA 3 m⋅:= zA 4 m⋅:=



Moment síly F k bodu 0 je vektorový součin:

10. Kapitola

Některé typy rovnic nelze řešit způsoby uvedenými v kapitolách č.4 a 5. V této kapitole bude na příkladu objasněna další metoda řešení.

10.1 Užití funkce „root“

- Rovnici nelze řešit způsoby uvedenými v kapitolách č. 4 a 5.

Jde vlastně o dvě funkce a kořenem rovnice je hodnota x, kdy je funkční hodnota levé a pravé strany rovnice shodná. To znamená, rovnice bude mít dva kořeny.

Postup řešení je následující:

xo je první odhad výsledku.

x1 je první kořen rovnice

xo je první odhad výsledku

x2 je druhý kořen rovnice

Kontrola:

Číselný výsledek je určen s dostatečnou přesností

10.2 Hledání kořene polynomu – užití funkce „polyroot“

Užití funkce „polyroot“ bude vysvětleno názorně na příkladu.

Je zadán polynom



Hodnoty konstant jsou:

Z vykreslené funkce polynomu (viz. obr.10.1) je zřejmé, že budou existovat 3 kořeny polynomu, kdy je jeho hodnota rovna nule.

Obrázek 10.1 – Průběh funkce

Postup řešení kořenu polynomu v programovém prostředí MATHCAD je následující:

a 5:= b 100−:= c 3:= d 2:=



Kontrola řešení:

11. Kapitola

Příklad řešení diferenciální rovnice 2. řádu numerickou metodou bude objasněno na příkladu pohybu střely v prostředí, které klade odpor.

Zadání příkladu:

Z bodu O byla vystřelena střela s počáteční rychlostí vo pod úhlem φφφφo. Proti pohybu

střely působí síla Fb, která je funkcí rychlosti Fb= b*v2. Určete maximální dolet střely. Hmotnost střely je mt.


Schéma zadání (viz. obr. 11.

Obrázek 11.1 – Schéma zadání

Rychlost střely v je vektor a v každém okamžiku tento vektor můžeme rozložit do dvou směrů (jde o úlohu rovinnou).

Pro úhel φ platí závislosti:

vo 800 m⋅ sec1−⋅:= φo 40 deg⋅:=

g 9.81 m⋅ sec2−⋅:=

mt 0.1 kg⋅:= b 5 106−⋅ N⋅ sec

2⋅ m2−⋅:=



Odpor prostředí působící proti pohybu střely ve směru osy x:

Odpor prostředí působící proti pohybu střely ve směru osy y:

Pohybová rovnice ve směru osy x:

Zrychlení ax ve směru osy x:

Pohybová rovnice ve směru osy y:

Zrychlení ay ve směru osy y:

Řešení Eulerovou metodou numerické integrace

i 1 n..:=

n…....počet kroků

Tc….celková doba řešení

∆t…..doba jednoho kroku

vxo…počáteční rychlost ve směru osy x

vyo…počáteční rychlost ve směru osy y

n 10000:= Tc 75 sec⋅:= ∆tTc

n:= ∆t 7.5 10

3−× s=

i 0 n..:= xi 0 m⋅:= yi 0 m⋅:= vxi 0 m⋅ sec1−⋅:= vyi 0 m⋅ sec

1−⋅:= ti i ∆t⋅:=



i 0 n..:=

Výsledkem řešení je graf – trajektorie střely (viz.obr.11.2), průběh rychlosti střely ve směru osy x (viz. obr.11.3) a průběh rychlosti střely ve směru osy y (viz. obr.11.4)

Obrázek 11.2 – Trajektorie střely

Obrázek 11.3 – Průběh rychlosti střely ve směru osy x



Obrázek 11.4 – Průběh rychlosti střely ve směru osy y

MATHCAD – User Guide

Další zdroje

Date post:	21-Jun-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	9 times
Download:	0 times

PO ČÍTA ČOVÁ PODPORA ZPRACOVÁNÍ TÝMOVÝCH PROJEKT Ů...

Documents