Pocítaˇ cová simulace a analýzaˇ vybraných frontových...

Univerzita Jana Evangelisty Purkyne

v Ústí nad Labem

Prírodovedecká fakulta

Pocítacová simulace a analýzavybraných frontových systému

BAKALÁRSKÁ PRÁCE

Vypracovala: Markéta Temkovicová

Vedoucí práce: RNDr. Jirí Škvor, Ph.D.

Studijní program: Aplikovaná informatika

Studijní obor: Informacní systémy

ÚSTÍ NAD LABEM 2014

zde vložte zadání!!!

Prohlášení

Prohlašuji, že jsem tuto bakalárskou práci vypracovala samostatne a použila jen pramenu,

které cituji a uvádím v priloženém seznamu literatury.

Byla jsem seznámena s tím, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze

zákona c. 121/2000 Sb., ve znení zákona c. 81/2005 Sb., autorský zákon, zejména se sku-

tecností, že Univerzita Jana Evangelisty Purkyne v Ústí nad Labem má právo na uzavrení

licencní smlouvy o užití této práce jako školního díla podle § 60 odst. 1 autorského zákona,

a s tím, že pokud dojde k užití této práce mnou nebo bude poskytnuta licence o užití ji-

nému subjektu, je Univerzita Jana Evangelisty Purkyne v Ústí nad Labem oprávnena ode

mne požadovat primerený príspevek na úhradu nákladu, které na vytvorení díla vynaložila,

a to podle okolností až do jejich skutecné výše.

V Teplicích dne 30. dubna 2014 Podpis: . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Podekování

Na tomto míste bych ráda podekovala vedoucímu práce RNDr. Jirímu Škvorovi, Ph.D.

za neocenitelné rady, vecné pripomínky, nápady, trpelivost a pomoc pri tvorbe této

bakalárské práce. Dále bych také chtela podekovat svým kamarádum za jejich rady pri

rešení nekterých problému, které se vyskytly behem zpracovávání této práce.

AbstraktTématem predložené práce jsou vybrané kapitoly z teorie front, která nachází uplatnení

pri rešení rady manažerských i technických úloh. Díky technickému pokroku se pocíta-

cové simulace frontových systému stávají stále vyhledávanejším nástrojem pro tyto typy

úloh. V úvodní cásti práce je prezentována rešerše systému hromadné obsluhy a existují-

cího programového vybavení. V praktické cásti práce jsou predstaveny vybrané modely, je-

jich programová implementace a statistická analýza simulacních dat. Porovnání techto dat

s teoretickým predpokladem poukázalo na správnou funkcnost aplikací priložených na CD.

Za hlavní praktický prínos práce lze pokládat prípadovou studii provedenou pro pobocku

Ceské pošty v Ústí nad Labem. Na základe analýzy poskytnutých dat bylo provedeno zhod-

nocení celého systému vcetne jeho nedostatku.

Klícová slova: Markovovy retezce, stochastické modelování, systémy hromadné obsluhy,

Kendallova klasifikace

AbstractThe thesis is focused on selected chapters from queuing theory, which can be applied for

solving various managerial or technical problems. Due to the technological progress, com-

puter simulations of queueing systems are constantly becoming sought-after tool for these

tasks. The research of queueing systems and existing software is presented in the introduc-

tory part of the thesis. The practical part introduces selected models, their software imple-

mentations and the statistical analysis of simulation data. The comparison between these

data and theoretical assumptions pointed to the correct functionality of applications on the

enclosed CD. As the main contribution of the thesis can be considered the case study per-

formed for the branch of Czech Post in Ústí nad Labem. Based on the analysis of the data

provided, an evaluation of the entire system was executed, including its imperfections.

Key words: Markov chains, stochastic modelling, queueing systems, Kendall classification

Obsah

Úvod 13

1. Teoretická cást 151.1. Stochastické modely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2. Markovovy retezce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3. Poissonuv proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4. Poissonovo a exponenciální rozdelení pravdepodobnosti . . . . . . . . . . . . . 18

1.5. Statistická analýza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5.1. Popisná statistika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5.2. Matematická statistika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6. Systémy hromadné obsluhy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6.1. Charakteristika SHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6.2. Kendallova klasifikace SHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7. Jednotlivé modely SHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.7.1. Exponenciální model jednoduché obsluhy M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . 24

1.7.2. Exponenciální model vícenásobné obsluhy M/M/c . . . . . . . . . . . . . 25

1.7.3. Model M/D/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7.4. Model D/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7.5. Model jednoduché obsluhy s omezenou kapacitou M/M/1/K . . . . . . . 27

1.7.6. Uzavrený exponenciální model jednoduché obsluhy M/M/1/./N . . . . . . 28

1.7.7. Exponenciální model vícenás. obsluhy s omezenou kapacitou M/M/c/K . 29

1.8. Optimalizace SHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.9. Generování náhodných císel a simulace metodou Monte Carlo . . . . . . . . . . 31

1.10.Simulacní software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.10.1. Simul8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.10.2. Witness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.10.3. Arena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.10.4. Free software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2. Simulace vybraných modelu systému hromadné obsluhy 412.1. Simulace modelu M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2. Simulace modelu M/D/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3. Simulace modelu D/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4. Simulace modelu M/M/c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

11

Obsah

2.5. Simulace modelu M/M/1/K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.6. Simulace modelu M/M/c/K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.7. Simulace modelu M/M/1/./N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3. Prípadová studie 553.1. Analýza príchodu zákazníku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.1. Test dobré shody na Poissonovo rozložení . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.2. Test dobré shody na exponenciální rozdelení . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.1.3. Další hypotézy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2. Analýza využití služeb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3. Analýza obsluhy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3.1. Test rozdelení doby obsluhy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3.2. Cekání ve fronte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4. Analýza prepážek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5. Výsledky analýzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4. Záver 77

Seznam obrázku 81

Seznam tabulek 84

A. Obsah priloženého CD 85

12

Úvod

Tématem této bakalárské práce je analýza a modelování systému hromadné obsluhy. Se sys-

témy hromadné obsluhy se setkáváme v každodenním živote neustále. Cekáme v bankách,

na úradech nebo na svetelných križovatkách. Každý z nás si nekdy položil otázku, proc v tom

supermarketu mají tolik pokladen, ale obsluhuje jen cást z nich. Pro zákazníka by bylo preci

výhodnejší, kdyby obsluhovalo více pokladen, nejlépe všechny. To však nemusí platit pro

provozovatele, který má na situaci zcela jiný pohled. Pro nej je nejduležitejší, aby mel co

nejvetší zisky, tedy co nejvetší pocet obsloužených zákazníku, ale zároven se snaží dostat

provozní náklady na minimum. Proto je nutné systémy hromadné obsluhy navrhnout tak,

aby vyhovoval obema stranám. U jednoduchých modelu mužeme využívat i analytické re-

šení. To spocívá v tom, že na základe známých vstupních parametru modelu odhadneme

pomocí teorie pravdepodobnosti jeho charakteristiky, které nás zajímají (napr. prumernou

cekací dobu ve fronte). Pri analýze chování složitejších systému se neobejdeme bez simu-

lace. V simulacních modelech mužeme zkoumat, jak se systém bude v case vyvíjet, a lze

tak navrhnout optimální rešení bez potreby testovat chod systému v reálném experimentu.

Teoreticky se touto problematikou zabývá teorie front.

Jako cíle práce si klademe následující body:

• provést rešerši modelu systému hromadné obsluhy

• vybrané modely naprogramovat

• testovat funkcnost techto programu

– analýzou vybraných charakteristik daných modelu ve smyslu porovnání simu-

lacních dat s analytickým rešením

– v rámci testování demonstrovat chování daných modelu prostrednictvím rešení

modelových úloh

• realizovat prípadovou studii pro reálný systém

– provést statistickou analýzu dat

– zhodnotit chování daného systému

V úvodní cásti práce jsou predstaveny základní poznatky o stochastických modelech, ne-

kterých speciálních náhodných procesech a jsou v ní popsány obecné vlastnosti systému

13

Úvod

hromadné obsluhy. Dále jsou popsány jednotlivé modely se svými charakteristikami, je na-

stínena problematika optimalizace techto systému a je provedena rešerše existujícího pro-

gramového vybavení. V praktické cásti je práce zamerena na simulaci jednotlivých modelu

a jejich analýzu. V poslední cásti práce je provedena analýza casového pokrytí prepážek

a služeb spolu s hodnocením vyvolávacího systému na pobocce Ceské pošty, s.p., jakožto

složitého systému hromadné obsluhy.

14

1. Teoretická cást

1.1. Stochastické modely

Stochastické modely jsou založeny na teorii pravdepodobnosti - rozsáhlé matematické dis-

ciplíne, jejíž hlavním cílem je studium zákonu popisujících náhodu. Základním pojmem,

s kterým pracuje teorie pravdepodobnosti, je pravdepodobnostní prostor. Dalším duležitým

pojmem je náhodná velicina (též nazývaná náhodná promenná ci stochastická velicina).

Se zkoumáním množiny techto náhodných velicin souvisí pojem náhodný proces. Obecne

lze náhodný proces definovat jako množinu náhodných velicin, závislých na urcitém poctu

parametru. [1]

Pravdepodobnostní prostor (Ω, A, P ) predstavuje trojici pojmu [1]:

• Ω – neprázdná množina, tzv. prostor elementárních jevu

• A – systém vytvorený z podmnožin prostoru elementárních jevu Ω, tzv. systém ná-

hodných jevu

• P – normovaná míra definovaná na A, tzv. pravdepodobnostní míra (pravdepodob-

nost)

Náhodná velicina X je velicina [1], která muže obecne nabývat více hodnot x, a to

každou s nejakou pravdepodobností. Jakou hodnotu z x náhodná velicina X bude mít, je

ovlivneno náhodnými vlivy.

Stochastický proces X = X (t ), t ∈ T je soubor náhodných velicin na pravdepodob-

nostním prostoru (Ω, A, P ). Tedy pro každé t z indexové množiny T je X (t ) náhodná veli-

cina. Obvykle t oznacuje cas. Každá realizace náhodného procesu X se nazývá trajektorie.

X (t ) popisuje stav procesu v case t . Stochastickým procesem mužeme obecne rozumet po-

sloupnost náhodných promenných. [2]

Definicní obor T definovaného stochastické procesu budeme chápat jako množinu caso-

vých okamžiku (casových indexu). Na základe charakteru této množiny lze rozdelit stochas-

tické procesy na dva typy. Jestliže je množina T konecnou nebo spocetnou množinou, mlu-

15


víme o tzv. stochastickém procesu s diskrétním casem. V prípade, kdy definicní obor T je

nespocetnou množinou, se jedná o stochastické procesy se spojitým casem. Stochastické

procesy mužeme rozdelit dle charakteru stavového prostoru, neboli oboru hodnot stochas-

tického procesu, na dva typy. Stavove diskrétním stochastickým procesem se rozumí proces,

jehož obor hodnot je spocetná (diskrétní) množina, v opacném prípade se jedná o stavove

spojitý stochastický proces. [3]

1.2. Markovovy retezce

Markovovy retezce jsou speciálním prípadem stochastických procesu. Markovovým retez-

cem (nebo též markovský retezec) nazveme takový stochastický proces, kde výskyt stavu v ur-

citém casovém okamžiku t ∈ T je závislý pouze na predchozím casovém okamžiku (t−1) ∈ T

a zároven je množina T diskrétní. Jestliže je množina T spojitá, hovorí se o Markovove pro-

cesu se spojitým casem. Tyto dva procesy jsou užitecným nástrojem pro zkoumání stochas-

tických systému, tedy i pro systémy hromadné obsluhy.

Definice: [4] Uvažujme o stochastickém procesu Xn ,n = 0,1,2, . . . se spocetnou nebo

konecnou množinou hodnot.1 Jestliže Xn = i , pak se proces nachází ve stavu i v case n.

Predpokládáme, že pokud je proces ve stavu i , tak se s urcitou pravdepodobností Pi j do-

stane do stavu j :

P Xn+1 = j |Xn = i , Xn−1 = in−1, . . . , X1 = i1, X0 = i0 = Pi j (1.1)

pro všechny stavy i0, i1, . . . , in−1, i , j a pro všechna n ≥ 0. Takovýto stochastický proces na-

zveme Markovovým retezcem. Hodnota Pi j vyjadruje pravdepodobnost toho, že se proces ze

stavu i dostane do stavu j . Vzhledem k tomu, že pravdepodobnosti jsou nezáporné a proces

musí provést prechod do nejakého stavu tak platí:

Pi j ≥ 0, i , j ≥ 0;∞∑

j=0Pi j = 1, i = 0,1, . . .

Poznámky: [1]

• okamžik (n − 1), ve kterém nastal stav Xn−1 = i a v nemž se stochastický proces ted’

nachází, predstavuje soucasnost

• okamžiky (n −2), . . . ,1, ve kterých nastaly stavy Xn−2 = k, . . . , X1 a jimiž proces prošel,

predstavují minulost

• okamžik 0 je okamžikem startu pro proces, a to z pocátecního stavu X0 = m, patrí do

minulosti1Pokud není uvedeno jinak, rozumíme tím množinu nezáporných celých císel.

16


• okamžik n predstavuje budoucnost pro proces, a to bezprostredne následnou bu-

doucnost, ve která nastane stav Xn = j práve podle uvedené podmínené pravdepo-

dobnosti

• Markovovuv retezec je diskrétní náhodná posloupnost, u které výskyt stavu v bezpro-

stredne následné budoucnosti dané podmínenou pravdepodobností závisí na stavu,

ve kterém se tento stochastický proces nalézá v soucasnosti

• podmínená pravdepodobnost výskytu stavu j v okamžiku n závisí jen na stavu, který

se vyskytuje v okamžiku (n-1), neboli nezávisí na tom, ve kterých stavech proces byl

v krocích predcházejících – mužeme tedy ríct, že Markovovuv retezec udává budouc-

nost jen na základe soucasnosti a nezná minulost

• podmínená pravdepodobnost splnuje Markovovu podmínku (vlastnost), když platí:

Je-li Markovovuv retezec ve stavu n, tak jeho budoucí vývoj stavu je urcen pouze jeho

okamžitým stavem n a nezáleží na tom, jak se do tohoto stavu dostal. [3]

1.3. Poissonuv proces

Poissonuv proces je speciální stochastický proces, pri nemž jsou zmeny možné pouze pre-

chodem do nejblíže vyššího stavu. Za urcitých predpokladu vyjadruje napríklad pravdepo-

dobnost jistého poctu událostí, které se odehrají behem fixního casového intervalu, známe-

li intenzitu výskytu techto událostí a je-li tento pocet nezávislý na délce casového intervalu.

V praxi vyvstává také pri zkoumání takzvaných poissonovských procesu a modeluje množ-

ství prirozených jevu, které za urcitých predpokladu nastávají vícekrát behem jistého caso-

vého intervalu, nebo prostorového výseku. Muže se jednat napríklad o pocet klientu, kterí

prijdou do banky za den nebo pocet prístupu k webovému serveru za hodinu. [5]

Definice: Uvažujme událost, která se vyskytuje v krátkém case (t ; t +∆t ) (napr. pocet prí-

stupu k danému serveru za nejaký casový okamžik). V casovém intervalu (t ; t +∆t ) nastane

práve jedna událost s pravdepodobností λ∆t +o(∆t ) a více než jedna s pravdepodobností

o(∆t ) nezávisle na t a na poctu událostí nastalých v intervalu (0; t ). Necht’ náhodná veli-

cina X t je pocet výskytu urcitých událostí (napr. pocet prístupu) v casovém intervalu (0; t ),

pak X t t≥0 je spocetný Markovovuv proces s množinou stavu S = 0,1,2, . . . a s pocátec-

ním rozdelením p0(0) = 1 a pi (0) = 0 pro stav i 6= 0. Poissonuv proces predstavuje napríklad

príchody zákazníku do nejakého systému obsluhy, tok poruch zarízení atd. [3]

Pro Poissonuv proces jsou charakteristické následující znaky:

1. Nezávislost – pocet jevu pripadající na urcitý casový interval nezávisí na poctu jevu

v libovolném jiném casovém intervalu.

17


2. Intenzity pravdepodobnosti prechodu (nezávisí na case)

µi j =λ pro j = i +1

µi j = 0 pro j 6= i , i +1

µi j =−λ pro j = i

(1.2)

3. Pri dostatecne malém ∆ a konstantní hodnote λ se pravdepodobnosti prechodu ze

stavu n do stavu n +1 v intervalu (t ; t +∆t ) rovnají

pn,n+1(t ; t +∆t ) =λ∆t +o(∆t ) (1.3)

Pro pravdepodobnost setrvání ve stejném stavu v casovém intervalu (t ; t +∆t ) platí

pn,n(t ; t +∆t ) = 1−λ∆t +o(∆t ) (1.4)

Pravdepodobnost ostatních prechodu je v porovnání s predešlými zanedbatelná a je

∞∑j=i+2

pi j (t +∆t ) = o(∆t ) (1.5)

1.4. Poissonovo a exponenciální rozdelenípravdepodobnosti

Rekneme, že diskrétní náhodná velicina X má Poissonovo rozdelení [6] s parametrem λ> 0,

nabývá-li hodnot k = 0,1,2, . . . , každou z nich s pravdepodobností

fk = P (X = k) = e−λ λk

k !k = 0,1,2, . . . (1.6)

Distribucní funkce je

F (x) = ∑k<x

fk (1.7)

Strední hodnota náhodné veliciny s Poissonovým rozdelením je

E(x) =λ (1.8)

a rozptyl D2(X ) je

D2(X ) =λ (1.9)

Hustota spojité náhodné veliciny X s exponenciálním rozdelením s parametrem λ > 0, je

dána predpisem:

f (x) = 0 prox ≤ 0

λ ·e−λ(x) prox > 0(1.10)

18


Distribucní funkce F je dána vztahem

F (x) = 0 prox ≤ 0

1−e−λ(x) prox ≥ 0(1.11)

Strední hodnota je:

E(X ) = 1

λ(1.12)

rozptyl je pak roven

D2(X ) = 1

λ2(1.13)

Tato dve rozdelení se v systémech hromadné obsluhy vyskytují nejcasteji. Pro další podrob-

nosti a jiná rozdelení je možno nahlédnout napríklad do kapitoly 3 v [6].

1.5. Statistická analýza

1.5.1. Popisná statistika

Popisná statistika se zabývá popisem stavu nebo vývojem hromadných jevu. Nejprve se vy-

mezí soubor prvku, na nichž se bude uvažovaný jev zkoumat. Následne se všechny prvky

vyšetrí z hlediska studovaného jevu. Výsledky šetrení, vyjádreny predevším císelným popi-

sem, tvorí obraz studovaného hromadného jevu vzhledem k vyšetrovanému souboru. Pro

zpracování velkého množství dat je vhodné využívat nástroje popisné statistiky. Predevším

se jedná o grafy cetností, histogramy, tabulky a císelné charakteristiky, napríklad prumer

a rozptyl.

Cetnosti delíme na absolutní a relativní. Absolutní cetnosti udávají pocet výskytu daného

prvku a jejich soucet je roven poctu dat. Relativní cetnosti odkazují na relativní zastoupení

prvku vzhledem k celkovému množství dat (tj. jedná se o cetnosti prvku delených poctem

dat), suma techto cetností je rovna jedné.

Histogram je sloupcový graf, kde se na vodorovné ose x vyskytují tzv. trídy (intervaly), do

kterých trídíme data a na svislé ose y zachycuje cetnosti výskytu prvku. Takovýto graf zná-

zornuje rozložení dané veliciny.

1.5.2. Matematická statistika

Máme-li statisticky zpracovat velký soubor existujících, resp. možných výsledku nejakého

náhodného pokusu (pro nejž prijmeme nejaký pravdepodobnostní model), zjistíme pomery

19


jen v relativne malé cásti souboru výsledku, tzv. výberovém souboru, a získanou informaci

zobecníme na puvodní velký soubor.[7] Jednou z duležitých statistik je výberový prumer:

X = 1

n·

n∑i=1

xi

Testování statistických hypotéz

Pro srovnání získaných dat s predpoklady slouží mimo jiné statistické hypotézy a jejich tes-

tování. Postup je následující:

1. stanovení nulové a alternativní hypotézy,

2. provedení náhodného výberu,

3. zvolení hladiny významnosti α, která udává pravdepodobnost, že nesprávne zamít-

neme nulovou hypotézu (tzv. chyba prvního druhu),

4. volba testovacího kritéria,

5. výpocet hodnoty testovacího kritéria,

6. urcení kritické hodnoty testovacího kritéria,

7. rozhodnutí – zamítnutí ci nezamítnutí nulové hypotézy

Pro další statistické metody je možno nahlédnout do odborné literatury, napríklad do [6]

nebo [7].

1.6. Systémy hromadné obsluhy

Systémem hromadné obsluhy (SHO) mužeme obecne chápat takový systém, ve kterém exis-

tují jistá zarízení (kanály), na kterých dochází k obsluze vstupního proudu požadavku (zá-

kazníku) vstupujících do systému v náhodných okamžicích (tzv. stochastický vstupní proud).

Možnosti obsluhy mohou být omezeny, napr. poctem kanálu, dochází tak k hromadení po-

žadavku. Následne se bud’ tvorí fronty požadavku nebo požadavek odejde ze systému bez

obsloužení (rezignuje na obsluhu).[1]

Místo pojmu teorie hromadné obsluhy se lze setkat s pojmem teorie front. Protože existují

i systémy hromadné obsluhy, které frontu neobsahují, je první termín obecnejší. Teorie hro-

madné obsluhy si klade za cíl analýzu a následnou optimalizaci SHO s ohledem na jeho

efektivní fungování, tzn. aby se pred obslužnými linkami nevytvárely príliš velké fronty ce-

kajících požadavku a na druhé strane nedocházelo k neefektivním prostojum pri práci ob-

služných linek. [8] Se systémy hromadné obsluhy se setkáváme denne v bežném živote. Ty-

pickými príklady jsou zákazníci v supermarketech cekající u pokladen, svetelná signalizace

20


na križovatce, ci komunikace pocítacu po síti – poslání paketu a cekání paketu na volný ko-

munikacní kanál.

Obrázek 1.1.: Schéma základních pojmu systému hromadné obsluhy (vlastní zpracování)

1.6.1. Charakteristika SHO

Základní pojmy

Základními prvky, které charakterizují SHO jsou (viz také obr. 1.1): [1]

• Vstupní proud požadavku – intenzita vstupu požadavku spolecne s intenzitou jejich

obsluhy urcují základní charakteristiky SHO. Nejjednodušší modely predpokládají, že

vstupní proud charakterizovaný poctem požadavku vstupujících do systému za jistý

casový interval vyhovuje Poissonove procesu. Exponenciální systém je takový systém,

u kterého platí tvrzení: Mají-li pocty požadavku, které vstupují do SHO behem doby t

Poissonovo rozdelení, pak mají doby mezi dvema po sobe následujícími vstupujícími

požadavky (chápané jako náhodné veliciny) exponenciální rozdelení. Vstupní proud

muže být popsán i jinými procesy, u nichž doby mezi príchody dvou následných po-

žadavku mají jiná rozdelení. Zdroje požadavku urcují, zda se jedná o systém otevrený

ci uzavrený. Jestliže máme neomezený zdroj požadavku, jedná se o systém otevrený.

Uzavrený systém má zdroje s konecným resp. omezeným poctem požadavku. V praxi

považujeme za otevrený systém i takový prípad, kdy jsou zdroje v principu omezené,

avšak nelze presne urcit, kolik požadavku z takového zdroje bude požadovat obsluhu.

• Fronta - množina cekajících požadavku na obsluhu.

• Doba obsluhy - neboli intenzita obsluhy. Nejjednodušší modely opet predpokládají

dobu obsluhy za náhodnou velicinu s exponenciální rozdelením. Existují i modely

SHO s dobou obsluhy rídící se jinými rozdeleními.

21


• Disciplína cekání ve fronte – typ chování požadavku po nejaké dobe cekání ve fronte.

Nejjednodušším typem je trpelivé cekání na obsluhu, tedy cekání s nekonecnou mí-

rou trpelivosti. Jestliže nejsou z jakéhokoli duvodu obslouženy všechny požadavky,

pak v SHO vznikají ztráty. Duvodem muže být netrpelivost požadavku na obsluhu

nebo omezený pocet míst v SHO, a to bud’ celkový v systému nebo ve fronte. Spe-

ciálním prípadem jsou systémy bez cekání. Pokud je obsluha plne obsazena, tak po-

žadavek do systému ani nevstoupí.

• Režim fronty – urcuje typ razení požadavku do fronty.

– FIFO – First In, First Out – nejcastejší výskyt, založena na principu "kdo drív pri-

jde, ten bude dríve obsloužen."

– LIFO – Last In, First Out – první bude obsloužen požadavek, který prišel do sys-

tému jako poslední.

– SIRO – Selection In Random Order – dochází k náhodnému výberu požadavku

na obsluhu.

– PRIO – Priority – obsluha rízená prioritou požadavku. Priorita muže být abso-

lutní nebo relativní. Absolutní priorita znamená, že požadavek je obsloužen oka-

mžite, bez ohledu na eventuální probíhající obsluhu jiného požadavku, zatímco

relativní muže mít obecne i nekolik stupnu, umožnuje nastoupit obsluhu jakmile

se uvolní nejaké místo v obsluze. Pokud známe prioritu požadavku pred vstupem

do SHO, pak jde o tzv. apriorní prioritu. Jestliže je priorita stanovena behem ce-

kání na obsluhu, mluvíme o aposteriorní priorite.

Režimy SIRO a PRIO jsou systémy s neusporádanou frontou.

• Režim obsluhy – popisuje usporádání a pocet obslužných míst. V nejjednodušším prí-

pade je jen jedno usporádání. Podle poctu obslužných míst se rozlišují SHO na tzv. jed-

nokanálové (s jednoduchou) a vícekanálové (s vícenásobnou obsluhou), popr. adap-

tabilní, u kterých je pocet aktivních obslužných míst urcován behem fungování SHO,

napr. délkou fronty. Podle usporádání se rozlišují paralelne nebo sériove usporádané

obsluhy. U paralelních systému se predpokládá, že každé místo je stejné jako jiné

v témže systému, tzn. každé místo je schopné plne poskytnout požadovanou obsluhu,

zatímco sériové usporádání vzniká u tzv. vícefázové obsluhy, kdy požadavek muže ci

dokonce musí projít jednotlivými fázemi obsluhy v nejakém poradí.

1.6.2. Kendallova klasifikace SHO

V roce 1951 vytvoril D. G. Kendall klasifikaci pro jednotný systematický popis systému hro-

madné obsluhy a jejich roztrídení. Klasifikace má ve zkratce zakódované základní informace

o systému hromadné obsluhy. Obvykle se uvádejí tri typy standardního oznacování SHO -

22


Obrázek 1.2.: SHO s paralelním usporádáním obslužných linek a netrpelivostí zákazníku,

zdroj [9]

trí-, peti- a šestisymbolové. Trí- a petisymbolové jsou jen zvláštními prípady šestisymbolo-

vého znacení.

A/B/C/D/E/F

• A – charakterizuje vstupní tok, oznacuje rozdelení intervalu mezi príchody požadavku,

• B – charakterizuje pravdepodobnostní rozdelení dob trvání obsluhy

Symboly A a B mohou nabývat ruzných znakových hodnot:

– D – deterministický proud vstupních požadavku, tj. príchody jsou konstantní,

– M – exponenciální rozdelení mající Markovovu vlastnost,

– Ek – Erlangovo k-fázové rozdelení,

– G – obecné rozdelení, doba mezi príchody je dána svou distribucní funkcí,

• C – pocet paralelne usporádaných obslužných míst,

• D – kapacita, tj. celkový pocet míst v systému (není-li receno jinak, predpokládáme ∞,

tedy neomezenou kapacitu),

• E – pocetnost zdroje požadavku, není-li dána, predpokládá se, že je ∞ a jde o tzv.

otevrený systém, v opacném prípade, je-li dána konecným císlem, pak jde o uzavrený

(cyklický) systém,

• F – režim fronty

Nejjednodušším oznacením je trísymbolové A/B/C a nejjednodušším stochastickým mode-

lem je M/M/1 (viz. kapitola 1.7.1). Jestliže nejsou uvedeny další symboly, predpokládá se, že

D a E jsou ∞ a F charakterizuje FIFO, tj. prirozené poradí. [1]

23


1.7. Jednotlivé modely SHO

V této kapitole jsou prevzaté a upravené vztahy podle [1, 12, 13]. Pro popis jednoduchých

modelu systému hromadné obsluhy nám postací následující základní charakteristiky:

1. λ (intenzita vstupního procesu, tj. prumerný pocet vstupujících požadavku za jed-

notku casu), resp. 1λ (prumerná délka casového intervalu mezi vstupy požadavku)

2. µ (intenzita obsluhy, tj. prumerný pocet požadavku, které mohou být obslouženy

za jednotku casu), resp. 1µ

(prumerný cas strávený požadavkem v obsluze)

Níže uvedená tabulka zavádí znacení dalších základních charakteristik a vztahu mezi nimi

za obvykle splnených podmínek.

prumerný

cas strávený požadavkem pocet požadavku

v obsluze To = 1µ No =λTo

ve fronte T f N f =λT f

v systému Ts = To +T f Ns =λTs = No +N f

Tabulka 1.1.: Vztahy mezi nekterými charakteristikami systému hromadné obsluhy.

Pravdepodobnost, že v systému není žádný požadavek oznacme p0 (resp. pravdepodob-

nosti pn vyjadrují, že v systému je práve n požadavku). Jestliže limitní (cas t → ∞) neboli

stacionární pravdepodobnost p0 existuje a je konecná, pak ríkáme, že je splnena podmínka

stabilizace systému a systém se tak nezahlcuje cekajícími požadavky.

V odborné literature zabývající se pravdepodobnostními modely nebo teorií front je možno

najít ruzné vztahy (napr. pro prumerný pocet požadavku v systému) a jejich analytické od-

vození.

1.7.1. Exponenciální model jednoduché obsluhy M/M/1

Systém M/M/1 je základní a také nejduležitejší model systému hromadné obsluhy, který se

casto využívá ve srovnání s modely ostatními. Jedná se zároven o nejjednodušší a nejobec-

nejší model SHO, kde rozdelení dob mezi príchody a dob obsluhy mají charakter exponen-

ciálního rozdelení. Jedná se o otevrený systém, tzn. zdroj požadavku je neomezený. Velikost

fronty není nijak omezena a zároven všechny požadavky trpelive cekají ve fronte na obsluhu,

i když nedostacuje kapacita systému. Požadavky do systému vstupují v prirozeném poradí,

tzn. systém pracuje v režimu FIFO.

Podmínka stabilizace systému má tvar λ<µ. Oznacíme-li podíl λµ

jako intenzitu provozu ρ,

24


Obrázek 1.3.: Exponenciální model M/M/1

lze podmínku stabilizace systému vyjádrit ve tvaru

ρ < 1 (1.14)

Potom platí

p0 = 1−ρ (1.15)

a

T f =λ

µ(µ−λ)(1.16)

K výpoctum nekterých dalších užitecných velicin lze snadno použít vztahy v tabulce 1.1.

1.7.2. Exponenciální model vícenásobné obsluhy M/M/c

Jedná se o model s paralelne usporádanými kanály. U takového modelu predpokládáme[8]:

• v systému se nachází c stejných obslužných kanálu

• intervaly mezi príchody požadavku lze popsat exponenciálním rozdelením s parame-

trem λ

• doba obsluhy na každém kanálu je náhodná velicina s exponenciálním rozdelením

s parametrem µ

• systém má neomezenou kapacitu, neomezený zdroj požadavku a funguje v režimu

FIFO

• požadavky mají nekonecnou trpelivost, tzn. cekají ve fronte až do momentu obslou-

žení

Celková intenzita provozu celého systému je rovna výrazu λcµ . Tato charakteristika predsta-

vuje zároven prumerné využití všech obslužných kanálu v systému. Aby fronta neomezene

nenarustala nad všechny meze, je potreba splnit podmínku stabilizace systému, podobne

jako u jednoduchého exponenciálního modelu. V tomto prípade musí platit: cµ>λ, tedy:

λ

cµ= ρ

c< 1 (1.17)

25


Obrázek 1.4.: Prechodový graf systému M/M/c, prevzato z [12, str.419]

Potom platí

p0 =(

c−1∑i=0

ρi

i !+ ρc

c !

1

1− ρc

)−1

(1.18)

a

T f =p0

λ

(ρc

)c+1

c !

cc(1− ρ

c

)2 (1.19)

1.7.3. Model M/D/1

Jedná se o jednoduchý model, kde intervaly mezi príchody požadavku pocházejí z expo-

nenciální rozdelení a doba obsluhy je dána deterministicky, tedy je pro všechny požadavky

stejná.

Podmínka stabilizace systému má tvar

ρ = λ

µ< 1 (1.20)

Potom platí

p0 = 1−ρ (1.21)

a

T f =λ

2µ(µ−λ)(1.22)

1.7.4. Model D/M/1

V tomto modelu jsou intervaly mezi príchody požadavku do systému konstantní, tj. mají

deterministický charakter. Podmínka stabilizace systému má tvar

ρ = λ

µ< 1 (1.23)

Potom platí

p0 = 1−ρ (1.24)

26


a

T f =x

µ(1−x)(1.25)

kde x je koren rovnice

x = exp

(x −1

ρ

)(1.26)

hledaný na intervalu(0,1+ρ lnρ

), kde ρ ∈ (0,1).

1.7.5. Model jednoduché obsluhy s omezenou kapacitou M/M/1/K

V tomto prípade se jedná o exponenciální model s jedním kanálem obsluhy a omezenou

kapacitou požadavku v systému. Jejich maximální pocet je roven císlu K , z toho jeden po-

žadavek je obsluhován a ve fronte je maximálne (K −1) požadavku. V prípade, že se do plne

obsazeného systému snaží dostat další požadavek, je odmítnut a dochází ke ztrátám. Sys-

tém je stabilní pro libovolné kladné λ a µ, což platí pro jakýkoli systém s omezenou kapaci-

tou systému, protože se nemuže zahltit cekajícími požadavky. Opet oznacíme ρ = λµ . Potom

platí, že

p0 =

1−ρ1−ρK+1 pro ρ 6= 1

1K+1 pro ρ = 1

(1.27)

a

pn = p0ρn

Dále platí, že

N f =

ρ2(1−ρK )−(1−ρ)KρK+1

(1−ρ)(1−ρK+1)pro ρ 6= 1

K (K−1)2(K+1) pro ρ = 1

(1.28)

Nezapomínejme, že v tomto modelu s omezenou kapacitou se nám vyskytují dve intenzity

príchodu, ponevadž požadavku, který se snaží vstoupit do systému v dobe, kdy je naplnena

jeho kapacita K, není dovoleno vstoupit. λ znací intenzitu, s jakou se požadavky do systému

snaží vstoupit, λ∗ pak oznacuje intenzitu, s jakou požadavky do systému skutecne vstupují.

Platí, že

λ∗ =λ(1−pK )

Ve vztazích v tabulce 1.1 je treba dosazovat intenzitu skutecných príchodu do systému,

tedy λ∗.

Jednoduchý exponenciální model M/M/1/1

Jedná se o speciální prípad systému M/M/1/K, kde k = 1. V takovém systému neexistuje

fronta a vyskytuje se v nem maximálne jeden požadavek, a to v obslužném kanále. Pro popis

SHO slouží také tzv. graf prechodu mezi stavy systému. Za stav systému považujeme pocet

27


požadavku nacházejících se v daném okamžiku v systému. Príchod nového požadavku zvýší

pocet požadavku o jeden a realizuje prechod systému do vyššího stavu. Naopak ukoncení

obsluhy snižuje pocet požadavku v systému a predstavuje prechod do nižšího stavu SHO.

Jinak SHO zustává v aktuálním stavu. Graf prechodu v tomto systému obsahuje pouze dva

stavy - prázdný systém (stav 0) nebo obsazený obslužný kanál (stav 1).[11]

Obrázek 1.5.: Graf prechodu systému M/M/1/1, zdroj: [11, str. 57]

Graf prechodu je charakterizován maticí prechodu P (t , t + (∆t )).

P (t , t + (∆t )) =1−λ∆t λ∆t

µ∆t 1−µ∆t

S využitím této matice lze odvodit napríklad rozložení pravdepodobností stavu SHO pro

libovolný cas, matici intenzity prechodu nebo pravdepodobnost odmítnutí. Více napríklad

v [11, str. 57].

1.7.6. Uzavrený exponenciální model jednoduché obsluhyM/M/1/./N

V tomto modelu charakterizuje N maximální pocet požadavku ve zdroji vstupních poža-

davku. Po ukoncení obsluhy požadavky systém opouštejí a stávají se znovu prvky množiny

potenciálních požadavku ve zdroji, jde tedy o uzavrený (cyklický) SHO. Intenzita obsluhy

v tomto prípade ovlivnuje intenzitu vstupu požadavku. V rámci uzavreného systému není

velikost fronty omezena a všechny požadavky v ní trpelive cekají na obsluhu, i když nedo-

stacuje kapacita obslužné linky.

V tomto modelu se tedy celkove nachází N požadavku, z nichž každý je bud’ v systému

(ceká na obsluhu, nebo je obsluhován), nebo mimo nej (ve zdroji vstupních požadavku).

λ je v tomto prípade parametr exponenciálního rozdelení, ze kterého pochází casové inter-

valy, po kterou je každý z požadavku mimo systém. Opet tedy platí, že toto λ není tím ve

vztazích v tabulce 1.1. Namísto nej je tak treba dosazovat λ∗, které má požadovaný význam

28


prumerného poctu vstupujících požadavku za jednotku casu a pro které platí

λ∗ =µ(1−p0)

kde

p0 =(

N∑i=0

ρi N !

(N − i )!

)−1

(1.29)

pricemž jsme opet oznacili ρ = λµ

. Potom platí

N f = N − (1−p0

)(1+ 1

ρ

)(1.30)

1.7.7. Exponenciální model vícenásobné obsluhy s omezenoukapacitou M/M/c/K

Jedná se o systém hromadné obsluhy, ve kterém je kapacita SHO omezena poctem poža-

davku. V systému se jich vyskytuje maximálne K , pricemž muže být soucasne obsluhováno

nejvýše c požadavku a zbývajících maximálne (K − c) ceká ve fronte na obsluhu. Jedná se

tedy o systém se ztrátami. Každá obslužná linka má stejnou intenzitu obsluhy µ, požadavky,

které vstoupily do fronty, trpelive cekají na obsluhu, do které postupují v prirozeném poradí

(FIFO). Pro tento model platí stejne jako pro jeho výše uvedený speciální prípad, kdy c = 1,

že systém je stabilní pro libovolné kladné λ a µ. Stejne pak také ze stejných duvodu platí, že

ve vztazích v tabulce 1.1 je treba dosazovat λ∗ =λ(1−pK ) namísto λ.

Tentokrát oznacíme ρ prumernou intenzitu provozu λµc . Potom platí

p0 =(

c−1∑i=0

(cρ

)i

i !+

K∑i=c

(cρ

)i

c !c i−c

)−1

(1.31)

a

pK = p0ccρK

c !(1.32)

Dále platí

N f = p0ccρc+1

c !(1−ρ)2

[1−ρK−c+1 − (1−ρ)(K − c +1)ρK−c] (1.33)

Modelu hromadné obsluhy existuje celá rada. Z ostatních mužeme jmenovat napríklad sys-

tém M/Er /1/∞. Jedná se o systém s jedním obslužným kanálem, kde príchody jsou rízeny

Poissonovým procesem s parametrem λ a doba obsluhy je náhodná velicina s Erlangovo

rozdelením s parametry k a µ. V naší práci jsme popsali pouze takové modely, které mají

analytické rešení a zároven je budeme v další kapitole simulovat.

29


1.8. Optimalizace SHO

Modely SHO mají za úkol, krome popisu chování celého systému, sloužit jako nástroj pro

rozhodování a optimalizaci celého systému podle urcených kritérií. Abychom systém mohli

optimalizovat, je nutné mít možnost ovlivnit nekteré jeho prvky a soucasne s tím i základní

charakteristiky efektivnosti. Vedle toho ješte predpokládáme, že mužeme explicitne formu-

lovat kvantitativní kriteriální funkci, která vyjadruje jistý zamýšlený cíl. Budeme-li uvažovat

o jednoduchém exponenciálním modelu, zjistíme, že zmenšováním intenzity obsluhy bude

narustat fronta, prumerný cas ve fronte se prodlouží a muže docházet ke ztrátám u poža-

davku s netrpelivostí. Jestliže intenzitu obsluhy príliš zvýšíme, bude docházet k prostojum

linky. Vznikají zde náklady na provoz, ale bezprostredne jim neodpovídají žádné tržby.

Z pohledu zákazníka muže být cílem optimalizace zkrácení cekací doby, avšak z pohledu

provozovatele systému je duležité mít co nejmenší ztráty na zákaznících, prípadne opti-

malizovat vytížení a pocet obslužných linek. V rozhodovacích úlohách je tedy nutné najít

kompromis, který bude vyhovovat obema stranám. Kriteriální funkce muže být orientována

nákladove, ziskove nebo tak, že kritérium bude predstavovat kritickou hodnotu nekteré ze

základních charakteristik efektivnosti systému obsluhy, kterou nelze prekrocit (napr. ome-

zení prumerné cekací doby, prumerné využití ci prostoje obslužných kanálu). Jestliže cílem

optimalizace je dosažení minima ocekávaných celkových nákladu na provoz SHO, pak kri-

teriální funkce zpravidla zahrnuje následující druhy ztrát [13]:

1. Náklady prostoje obslužné linky v hodnotovém vyjádrení vztažené na jednotku casu.

2. Náklady cekání na obsluhu, popr. náklady setrvání požadavku v systému, vztažené na

jeden požadavek za jednotku casu.

3. Náklady na obsluhu jednoho požadavku za casovou jednotku.

4. Náklady vyvolané ztrátou jednoho požadavku v SHO se ztrátami.

V prípade stabilizovaného exponenciálního systému M/M/c mužeme vyjádrit kriteriální

funkci takto:

N (S) = cn N f + cz S, (1.34)

kde

• cn – hodnotove vyjádrené náklady cekání jednoho požadavku na obsluhu za zvolenou

casovou jednotku,

• cz – ztráty v penežních jednotkách vznikající v dusledku nevyužití jednoho zarízení

obsluhy za jednotku casu,

• N f – prumerná délka fronty,

• S - prumerný pocet nevyužitých zarízení obsluhy.

30


Ze vztahu 1.34 plyne, že hodnota kriteriální funkce závisí pri konstantních cn a cz na poctu

zarízení obsluhy S, popr. na provozních podmínkách systému. Pri optimalizaci uvedeného

systému je zpravidla cílem urcit takový pocet obslužných kanálu, abychom minimalizovali

celkove ocekávané náklady. Více napríklad v [1, kapitola 7.12] nebo [13, kapitola 9.10].

1.9. Generování náhodných císel a simulace metodouMonte Carlo

Základní charakteristiky reálných systému hromadné obsluhy zpravidla nelze analyticky

odvodit. Toto rešení je dostupné jen pro nejjednodušší modely. Vytvorení simulacního mo-

delu je tak jediným zpusobem, jakým mužeme tyto charakteristiky daného systému získat,

resp. odhadnout.

Simulace se charakterizuje jako experimentování s modelem reálného systému, tedy na-

podobování jeho chování v case. V operacním výzkumu se casto význam termínu "simu-

lace" zužuje na simulaci chování stochastických (nekdy však i deterministických) systému

(modelu) metodou Monte Carlo (MC). Tato simulace probíhá tak, že reálný systém nahra-

díme jeho simulacním modelem se stejnými pravdepodobnostními charakteristikami, a cho-

vání reálného systému mnohonásobne simulujeme na zkonstruovaném modelu. K pres-

nému odhadu dané pravdepodobnostní charakteristiky potrebujeme obvykle velmi mnoho

pokusu. Cím více pokusu provedeme, tím presnejší odhad získáme. [6]

Generování náhodných císel

Základem pro naší simulaci je generování náhodných císel2, resp. pri simulaci metodou

MC slouží vygenerované hodnoty náhodných císel ke generování hodnot náhodných ve-

licin s daným rozdelením. Metod pro transformaci náhodných císel na hodnoty náhodných

velicin s daným rozdelením existuje nekolik, napr. vylucovací(zamítací) metoda, metoda in-

verzní transformace, tabulková metoda.

Metoda inverzní transformace

V našem prípade potrebujeme generovat dobu mezi príchody jednotlivých požadavku a dobu

trvání obsluhy. V obou prípadech se bude jednat o náhodné veliciny s exponenciálním roz-

delením s príslušným parametrem. Pro generování hodnot této veliciny použijeme metodu

inverzní funkce (transformace).

2mechanismy pro generování náhodných císel jsou popsány napr. v kapitole 5.4 v [6]

31


K aplikaci této metody musíme znát distribucní funkci F náhodné veliciny X . Pritom dis-

tribucní funkce F musí být rostoucí na intervalu ⟨a,b⟩, a musí zobrazovat interval ⟨a,b⟩ na

interval ⟨0,1⟩ [6].

Postup je následující: vygenerujeme náhodné císlo y z rovnomerného rozdelení na intervalu

⟨0,1⟩ a císlo y považujeme za hodnotu distribucní funkce v dosud neznámém bode x: F (x) =y . Z tohoto vztahu vypocteme hodnotu x:

x = F−1(y) (1.35)

kde F−1 oznacuje inverzní funkci k funkci F . Pokud máme náhodnou velicinu X s exponen-

ciálním rozdelením, pak její distribucní funkce je dána vztahem:

F (x) = 1−e−λx (1.36)

Vztah pro generování náhodných hodnot s exponenciálním rozdelením pak mužeme odvo-

dit následovne:

y = F (x) = 1−e−λx

e−λx = 1− y

−λx = ln(1− y)

x =− 1

λln(1− y) =− ln y

λ(1.37)

Zachycení casu v simulacích

Pri simulacních experimentech je nutné rozhodnout, jak vyjádríme dynamické vlastnosti

modelu, tj. jakou strategii zvolíme pro zachycení casu. Existují dve možnosti – metoda pev-

ného casového kroku a metoda promenného casového kroku. V prvním prípade se vždy

po uplynutí pevného casového intervalu zjišt’uje, k jakým zmenám došlo. V metode pro-

menného casového kroku hranice casových kroku predstavují práve ty okamžiky, kdy dojde

ke zmene v systému, napr. prijde nový požadavek do systému nebo se ukoncí obsluha po-

žadavku a požadavek systém opustí. [9]

1.10. Simulacní software

Simulacní software pro dynamickou diskrétní simulaci procesu je v dnešní dobe schopen

predpovedet chování systému dle predem stanovených podmínek. Software zahrnuje návrh

2Jestliže y je náhodné císlo z rovnomerného rozdelení, pak i (1-y) je náhodné císlo z rovnomerného rozdelení

a vztah 1.37 lze takto upravit.

32


a modelování s nejruznejšími aspekty výroby, vcetne plánování, výberu vybavení, strategie

rízení, manipulaci s materiálem atd. V závislosti na zvolených cílech muže být simulacní

model složitý a datove nárocný. Na druhé strane, simulacní software je pouze analytický ná-

stroj, optimalizovat nebo racionalizovat široký rozsah výrobních systému vyžaduje odborný

zásah. Výstupní parametry, jako napríklad celková produkce, prostoje a využití prístroje, ná-

sledne využívají odborníci pro hodnocení chování systému a urcují oblasti pro možná zdo-

konalení. Základem simulování je generování náhodných císel. [14]

K výhodám patrí jednoduché grafické rozhraní a intuitivní ovládání programu. K prezentaci

výsledku modelování slouží rada grafických výstupu, at’ už jednotlivé grafy, tabulky nebo

celý model. Nejvetším záporem je vysoká porizovací cena. Ta se pohybuje v rádech desetiti-

sícu, nekdy i statisícu. K nejpoužívanejšímu softwaru patrí Simul8, Witness a Arena.

1.10.1. Simul8

Simul8 je jedním z nejrozšírenejších softwarových produktu pro dynamickou diskrétní si-

mulaci podnikových procesu. Lze ho použít napríklad pro modelování výrobních systému,

logistických systému ci systému obsluhy zákazníku nebo poskytování služeb, zvlášte pak

pro modely obsluhy klientu na bankovních prepážkách, volajících klientu v call-centrech

nebo zákazníku u pokladen v supermarketu. Generátor v Simul8 obsahuje 30 000 sekvencí

náhodných císel. Od roku 2006 podporuje software nahrazení vestaveného generátoru ge-

nerátorem vlastním, vytvoreným v dynamické knihovne.

1.10.2. Witness

Witness je simulacní balícek pro simulaci diskrétních událostí spolecnosti Lanner Group

Ltd. Modelovací prostredí je objektove orientované a je založené na teorii front. Ke gene-

rování náhodných císel využívá šesti sekvencí, které se dají uživatelem zmenit. Witness vy-

užívá vygenerované císlo mezi 0 a 1 jako vzorek ze statistického rozložení pro casování a

clenení cinnosti apod.

1.10.3. Arena

Arena využívá implementaci simulacního prostredí SIMAN, které je zamereno predevším na

modelování výrobních procesu. Nejvetší predností tohoto softwaru je jednoduchý grafický

vzhled modelu. Model se vytvárí pomocí umístení jednotlivých ikon na kreslící plochu a po-

mocí propojení ikon nebo bloku uživatel definuje vztahy mezi nimi. Pro generování náhod-

ných císel lze použít prednastavenou sekvenci císel, nebo si uživatel muže vybrat z dalších

10 sekvencí. Všechny distribuce programu generují císla pomocí rovnomerného rozložení

33


v rozsahu 0 až 1. Studentská verze Areny je dostupná na webových stránkách vydavatele

http://www.arenasimulation.com/.

V tomto softwaru si ukážeme príklad jednoduché fronty s jedním rozhodovacím procesem.

Obrázek 1.6.: Prostredí simulacního programu Arena

Model bude generovat príchody zákazníku jako náhodnou velicinu s exponenciálním rozde-

lením a prumerem 0,5 zákazníka za minutu. Následne se zákazník rozhodne, zda-li pujde do

fronty, nebo ze systému odejde bez obsloužení. Jako podmínku stanovíme napríklad délku

fronty o velikosti 4, tzn. pokud ve fronte bude menší pocet lidí jak 5, zákazník si stoupne do

fronty. Pokud ve fronte bude 5 a více lidí, zákazník odejde neobsloužen. Toto budeme simu-

lovat po dobu 8 hodin. Statistickou analýzu modelu nám software vytvorí sám do formátu

pdf.

Obrázek 1.7.: Vývojový diagram modelu

34

http://www.arenasimulation.com/


Obrázek 1.8.: Nastavení generování príchodu zákazníku

Obrázek 1.9.: Nastavení rozhodovacího procesu

35


Obrázek 1.10.: Nastavení obsluhy

Obrázek 1.11.: Výsledky simulace

36


Obrázek 1.12.: Analýza simulace - obsluha

Obrázek 1.13.: Analýza simulace - fronta

37


1.10.4. Free software

Simulacního softwaru lze najít pomerne velké množství, málokterý z nich je ovšem volne

dostupný. Jednou z dalších možností je také využití doplnku ve standardních kancelárských

balících. Napríklad pro tabulkový kalkulátor Calc v sade OpenOffice existuje volne širitelný

doplnek QtdPlus4Calc (ke stažení zde: http://qtsplus4calc.sourceforge.net/). Ob-

sahuje nekolik modelu, kde si uživatel muže vyzkoušet, jak se projeví zmena parametru

v ruzných modelech na výsledcích zkoumaných velicin. Na druhé strane, nekteré z modelu

ješte nemají 100% funkcnost, stejne jako simulace.

Obrázek 1.14.: Náhled na simulaci v doplnku QtdPlus4Calc

Storm

Systém STORM (Simulation TOol for Real-time Multiprocessor scheduling) je soubor pro-

gramu, který obsahuje nekolik modelu, vcetne modelu Queueing Analysis. Lze v nem zpra-

covávat jednoduché úlohy z teorie front, které mají analytické rešení a jejichž charakteris-

tiky lze získat dosazením do odpovídajících vztahu. Konkrétne se jedná o modely: M/M/c,

38

http://qtsplus4calc.sourceforge.net/


M/M/c/K , M/M/c/K /K , M/D/c a M/G/c. STORM umožnuje i optimalizace systému hro-

madné obsluhy. [13] Ovládá se pomocí jazyka Java, samotná simulace se provádí pomocí

souboru XML. Její výsledky jsou zpracovány do diagramu, tabulek a dalších souboru pro

následnou analýzu. STORM je volne širitelný software pod licencí Creative Commons, je

dostupný na webových stránkách http://storm.rts-software.org/.

39

http://storm.rts-software.org/

2. Simulace vybraných modelusystému hromadné obsluhy

Všechny simulacní modely, které budou predstaveny na následujících stránkách práce, jsou

napsány v jazyce C#. Každý model má v sobe obsažené výpocty duležitých charakteristik

systému, které se pocítají jak ze samotné simulace, tak analyticky dle zavedených vzorcu

v teoretické cásti. Výsledkem simulace je práve srovnání takto získaných hodnot. V simula-

cích nejsou zavedeny podmínky stabilizace jednotlivých modelu. Ukoncovací podmínkou

pro každý model je urcený cas, po jehož uplynutí požadavky nejsou vpušteny do systému.

V tabulkách s výsledky je používáno znacení zavedené v teoretické cásti.

2.1. Simulace modelu M/M/1

Jak bylo zmíneno v teoretické cásti práce, model M/M/1 znací jeden kanál obsluhy, který

pracuje v režimu FIFO a fronta požadavku je neomezená. Intenzitu príchodu predstavuje

Poissonuv proces s parametrem λ, v tomto prípade doby mezi jednotlivými príchody mají

exponenciální rozdelení s parametrem 1λ a doba obsluhy je také náhodná velicina s expo-

nenciálním rozdelením s parametrem µ.

V systému jsou pouze dve hlavní události - príchod nového požadavku do systému a odchod

požadavku, který dokoncil obsluhu.

Listing 2.1: Ukázkový kód pro model M/M/1

Random rnd = new Random(DateTime.Now.Millisecond); / / g e n e r a t o r

nahodnych c i s e l

double tgen; / / gene ro v any c a s

double lambda=1.0; / / i n t e n z i t a p r i c h o d u

double lambda_rec=1/lambda; / / p r e v r a c e n a hodnota i n t e n z i t y p r i c h o d u

= s t r e d n i doba mezi p r i c h o d y

double mu=1.25; / / i n t e n z i t a o b s l u h y

double mu_rec=1/mu; / / p r e v r a c e n a hodnota i n t e n z i t y o b s l u h y = s t r e d n i

doba o b s l u h y

double tp=0; / / c a s p r i c h o d u d a l s i h o z a k a z n i k a ( uvazujeme , ze do

systemu v s t u p u j e 1 . z a k a z n i k v ~ c a s e 0 )

double to; / / c a s odchodu p o s l e d n i h o obsluhovaneho z a k a z n i k a

41

2. Simulace vybraných modelu systému hromadné obsluhy

int i=1; / / p o c e t o b s l o u z e n y c h z a k a z n i k u

double tp_sum=0, to_sum=0, tf_sum=0, te_sum=0; / / pro v y p o c e t

prumerne doby mezi p r i c h o d y , doby obsluhy , doby c e k a n i ve f r o n t e

a doby , po k t e r o u j e system prazdny

/ / generujeme c a s odchodu 1 . z a k a z n i k a

tgen=-Math.Log(rnd.NextDouble())*mu_rec; to_sum+=tgen;

to=tgen;

while(true)/ / generujeme c a s p r i c h o d u d a l s i h o z a k a z n i k a

tgen=-Math.Log(rnd.NextDouble())*lambda_rec; tp_sum+=tgen;

tp+=tgen;

if(tp>1000000) break;i++;

if(tp<to) / / do systemu v c h a z i d a l s i z a k a z n i k , k t e r y s e r a d i

do f r o n t y ( p r e p a z k a j e obsazena ) a ceka ( generujeme c a s

j e h o odchodu )

tf_sum+=to-tp; / / v y p o c e t doby c e k a n i ve f r o n t e


to+=tgen;

else / / do systemu v c h a z i d a l s i z a k a z n i k , k t e r y j d e o k a m z i t e

k~volne prepazce (generujeme cas jeho odchodu)

te_sum+=tp-to; / / v y p o c e t doby , po k t e r o u j e system prazdny


to=tp+tgen;

Model jsme otestovali se vstupními parametry λ = 1,0 a µ = 1,25 s konecnými casy 1 000,

10 000, 100 000, 1 000 000. Výsledky jsou v tabulce 2.1. Se zvyšující se hodnotou konecného

casu je videt, že se výsledky v souladu s predpokladem približují analytickému rešení. Další

výsledky s jinými testovanými vstupními parametry jsou v tabulce 2.2.

Klasickým príkladem tohoto modelu muže být napríklad fronta u lékare. Pacienti jsou ob-

sluhováni jeden po druhém a trpelive cekají, až prijdou na radu.

42


Testovaný cas Obslouženo λ−1 To T f p0

1 000 1 031 0,9709 0,8141 3,8666 0,1646

10 000 10 064 0,9937 0,8067 3,3043 0,1882

100 000 100 285 0,9972 0,8027 3,2298 0,1951

1 000 000 997 793 1,0022 0,7997 3,1695 0,2021

10 000 000 10 003 431 0,9997 0,7999 3,2030 0,1997

Analyticky: — 1,0 0,8 3,2 0,2

Tabulka 2.1.: Porovnání analytického a simulacního rešení modelu M/M/1

Cas simulace λ= 1,5 λ= 1,1 λ= 1

1 000 000 µ= 3 µ= 1,5 µ= 1,1

Výsledky: simulace analyt. simulace analyt. simulace analyt.

Obslouženo: 1 498 623 ——- 1 101 566 ——- 998 729 ——-

λ−1: 0,66728 0,66667 0,90780 0,90909 1,00127 1,00000

To : 0,33325 0,33333 0,66732 0,66667 0,90926 0,90909

T f : 0,33238 0,33333 1,85575 1,83333 8,97006 9,09091

p0: 0,50059 0,50000 0,26490 0,26667 0,09191 0,09091

Tabulka 2.2.: Testování modelu M/M/1

2.2. Simulace modelu M/D/1

Tento model se liší od predchozího jen v tom, že negenerujeme dobu obsluhy pro jednotlivé

požadavky, ale priradíme jim konstantu. Všechny požadavky budou obsluhovány stejnou

dobu. Volíme µ = 1.75, doba obsluhy každého požadavku je µ−1.

Test. cas Obslouženo λ−1 T f T p0

1 000 1 512 0,6620 1,7938 2,3653 0,1372

10 000 14 797 0,6758 1,4115 1,9830 0,1544

100 000 150 261 0,6655 1,8429 2,4143 0,1414

1 000 000 1 499 800 0,6667 1,6830 2,2544 0,1430

10 000 000 14 993 647 0,6667 1,7003 2,2717 0,1432

Analyticky: — 0,6667 1,7143 2,2857 0,1429

Tabulka 2.3.: Porovnání analytického a simulacního rešení modelu M/D/1

43


Cas simulace λ= 3 λ= 2,8 λ= 2,85

1 000 000 µ= 10 µ= 5 µ= 3


Obslouženo: 2 997 622 — 2 800 850 — 2 847 274 —

λ−1: 0,33360 0,33333 0,35703 0,35714 0,35121 0,35088

T f : 0,02131 0,02143 0,12736 0,12727 3,15909 3,16667

T : 0,12131 0,12143 0,32736 0,32727 3,49242 3,50000

p0: 0,70024 0,70000 0,43983 0,44000 0,05091 0,05000

Tabulka 2.4.: Testování modelu M/D/1

Tento model si lze predstavit jako ústní zkoušení studentu. Zkoušející zde hraje roli obslužné

linky a je zpravidla jen jeden. Doba obsluhy, tedy samotné zkoušení studenta, je konstantní.

2.3. Simulace modelu D/M/1

Tento model je stejný jako model M/M/1, jen místo generování casu príchodu zákazníku

zvolíme konstantní rozdíl mezi jednotlivými príchody (λ = 1). Navíc ješte potrebujeme vy-

hledat koren rovnice 1.26. V našem prípade jsme zvolili vyhledání korene pomocí metody

pulení intervalu (viz. [15]).

Listing 2.2: Ukázka kódu metody bisekce

static double KorenBisekci(double lambda, double mu)

double rho = lambda / mu;double a = -0.000001, b = 1 + rho * Math.Log(rho);double stred = (a + b) / 2;

while (!(stred.Equals(a) || stred.Equals(b)))

if (f(a, rho) * f(stred, rho) < 0) b = stred;else a = stred;

stred = (a + b) / 2;

return stred;

44


Test. cas Obslouženo To T f T p0

1 000 1 500 0,5606 0,9816 1,5422 0,1596

10 000 15 000 0,5618 1,2748 1,8366 0,1574

100 000 150 000 0,5721 1,5180 2,0900 0,1420

1 000 000 1 500 000 0,5716 1,5298 2,1015 0,1425

10 000 000 15 000 000 0,5713 1,5354 2,1067 0,1431

Analyticky: —– 0,5714 1,5339 2,1054 0,1429

Tabulka 2.5.: Porovnání analytického a simulacního rešení modelu D/M/1

Cas simulace λ= 3 λ= 0,5 λ= 10

1 000 000 µ= 8 µ= 0,8 µ= 12


Obslouženo: 3 000 000 ——- 500 000 ——- 10 000 000 ——-

To : 0,12500 0,12500 1,24918 1,25000 0,08332 0,08333

T f : 0,01198 0,01203 0,69705 0,69701 0,18214 0,18231

T : 0,13698 0,13703 1,94624 1,94710 0,26547 0,26565

p0: 0,62499 0,62500 0,37541 0,37500 0,16678 0,16667

Tabulka 2.6.: Testování modelu D/M/1

2.4. Simulace modelu M/M/c

Simulace probíhá obdobne jako v prípade jednoduché obsluhy modelu M/M/1. Jediným roz-

dílem je pocet obslužných míst. Pro tento prípad si potrebujeme uchovávat informace o od-

chodu jednotlivých zákazníku nacházejících se v sytému, podle kterých pak rozhodujeme,

ke kterému kanálu pristoupí další požadavek. V našem prípade požadavek vstoupí do ka-

nálu, který je nejdéle volný (hledáme minimum v dobách odchodu).

Uvažujme exponenciální systém hromadné obsluhy se dvema obslužnými linkami, neome-

zeným zdrojem požadavku, jež trpelive vyckávají ve fronte, která funguje v režimu FIFO.

Tabulka 2.7 pak znázornuje prubeh simulace se vstupními parametry λ = 1,5 a µ = 1.2 a

casový úsek 20 minut.

V tabulce 2.8 je videt znacné odchýlení simulacních a analytických výsledku. To je zpuso-

beno krátkým testovaným casem (20 minut). Proto model otestujeme v ruzných casových

úsecích, stejne jako modely ostatní.

45


cas doba 1. kanál 1. kanál 2. kanál 2.kanál doba, doba

vstupu obsluhy obsluhy obsluhy obsluhy obsluhy po kterou cekání

požadavku zacátek konec zacátek konec v systému na

není žádný obsluhu

požadavek

08:00:00 00:49 08:00:00 08:00:49

08:00:04 01:42 08:00:04 08:01:46

08:00:52 00:16 08:00:52 08:01:08

08:02:00 00:11 08:02:00 08:02:11 00:14

08:03:01 00:05 08:03:01 08:03:06 00:50

08:03:17 01:23 08:03:17 08:04:40 00:11

08:03:46 00:05 08:03:46 08:03:51

08:05:00 00:19 08:05:00 08:05:19 00:20

08:05:21 00:28 08:05:21 08:05:49 00:02

08:05:32 00:41 08:05:32 08:06:13

08:07:02 01:51 08:07:02 08:08:53 00:49

08:08:49 00:07 08:08:49 08:08:56

08:09:59 00:19 08:09:59 08:10:18 01:03

08:10:28 00:49 08:10:28 08:11:17 00:10

08:10:58 01:04 08:10:58 08:12:02

08:11:27 01:38 08:11:27 08:13:05

08:11:38 00:04 08:12:02 08:12:06 00:24

08:12:03 01:38 08:12:06 08:13:44 00:03

08:12:11 00:22 08:13:05 08:13:27 00:54

08:12:16 01:26 08:13:27 08:14:53 01:11

08:13:12 02:14 08:13:44 08:15:58 00:32

08:14:52 01:12 08:14:53 08:16:05 00:01

08:15:24 01:15 08:15:58 08:17:13 00:34

08:15:46 00:45 08:16:05 08:16:50 00:19

08:17:37 00:40 08:17:37 08:18:17 00:24

08:18:22 00:08 08:18:22 08:18:30 00:05

08:19:14 00:18 08:19:14 08:19:32 00:44

Tabulka 2.7.: Ukázka simulace modelu M/M/c systému hromadné obsluhy

46


Srovnání výsledku: simulacní analytické

Prumerná doba mezi príchody: 0,76234568 0,66666667

Prumerná doba obsluhy: 0,80802469 0,83333333

Prumerná doba cekání v systému: 0,14691358 0,53418803

Pravdepodobnost, že systém je prázdný: 0,24914676 0,23076923

Tabulka 2.8.: Výsledky simulace modelu M/M/c pro krátký casový úsek

Test. cas Obslouženo λ−1 To T f T p0

1 000 1 531 0,6535 0,8178 0,4752 1,2930 0,2330

10 000 15 116 0,6616 0,8417 0,5588 1,4005 0,2230

100 000 149 966 0,6668 0,8340 0,5279 1,3619 0,2305

1 000 000 1 500 130 0,6666 0,8321 0,5295 1,3616 0,2314

10 000 000 14 999 173 0,6667 0,8332 0,5346 1,3678 0,2308

Analyticky: — 0,6667 0,8333 0,5342 1,3675 0,2308

Tabulka 2.9.: Porovnání analytického a simulacního rešení modelu M/M/c

Cas simulace λ= 3.05 λ= 0,8

1 000 000 µ= 1.2 µ= 1

Pocet prepážek: 3 5 10 3 5 10

Obslouženo: 3 051 129 3 052 113 3 052 390 798 396 799 187 800 128

λ−1: 0,32775 0,32764 0,32762 1,25251 1,25128 1,24980

To : 0,83362 0,83282 0,83324 0,99973 0,99979 1,00238

T f : 1,32991 0,04645 0,00004 0,02316 0,00032 0,00000

T : 2,16353 0,87929 0,83328 1,02289 1,00011 1,00238

p0: 0,04042 0,07671 0,07894 0,44794 0,44978 0,44863

Tabulka 2.10.: Simulacní výsledky pro model M/M/c s ruznými pocty prepážek

Položme si nyní otázku: Máme dva systémy hromadné obsluhy. První z nich je jednokaná-

lový systém M/M/1, v nemž má kanál obsluhy intenzitu 3µ, druhý systém je systém M/M/3,

kde jednotlivé kanály mají intenzitu obsluhy µ. Který z nich je výhodnejší pro zákazníka?

V tabulce 2.11 na následující strane vidíme, že pokud zvýšíme pocet prepážek a rozdelíme

intenzitu obsluhy mezi ne, tak to ješte neznamená, že se nám zrychlí celý proces požadavku

v systému. Sice se nám sníží cas strávený ve fronte, na druhou stranu intenzita obsluhy muže

47


Cas simulace λ= 0,8 λ= 3 λ= 1,5

1 000 000 µ= 3 µ= 1 µ= 3,6 µ= 1,2 µ= 2,1 µ= 0,7

Pocet prepážek: 1 3 1 3 1 3

Obslouženo: 800 515 800 587 2 999 571 3 002 020 1 500 733 1 500 021

λ−1: 1,24919 1,24908 0,33338 0,33311 0,66634 0,66666

To : 0,33310 1,00126 0,27780 0,83291 0,47603 1,42750

T f : 0,12115 0,02410 1,38012 1,18357 1,19962 0,85389

T : 0,45425 1,02536 1,65796 2,01648 1,67566 2,28129

p0: 0,73336 0,44685 0,16672 0,04495 0,28560 0,08967

Tabulka 2.11.: Srovnání modelu M/M/1 a M/M/3

být tak pomalá, že celkový cas strávený v systému bude nakonec vetší, než v prípade s jed-

nou prepážkou.

S tímto modelem se mužeme setkat napríklad v bankách nebo v supermarketech.

2.5. Simulace modelu M/M/1/K

U tohoto modelu máme omezenou kapacitu požadavku v systému. Všechny požadavky,

které se snaží do systému vstoupit pri naplnení kapacity K , jsou odmítnuty a do systému vu-

bec nevstoupí. I v tomto prípade si potrebujeme uchovávat údaje o odchodech požadavku

v systému. V momente, kdy se vygeneruje príchod požadavku, odstraníme ze seznamu ty,

které už v systému nejsou a následne mužeme rozhodnout, zda požadavek bude vpušten do

systému ci nikoliv na základe naplnení kapacity systému.

Listing 2.3: Rozdíl kódu pro model M/M/1/K oproti modelu M/M/1

int K~= 5; / / k a p a c i t a systemu

LinkedList <double> Lto = new LinkedList <double >(); / / seznam casu

odchodu

/ / generujeme c a s odchodu 1 . z a k a z n i k a

tgen = -Math.Log(rnd.NextDouble()) * mu_rec; to_sum += tgen;

to = tgen;

Lto.AddLast(to);

while (true)

/ / generujeme c a s p r i c h o d u d a l s i h o z a k a z n i k a

48


....

/ / vyradime ze seznamu z a k a z n i k u t y , k t e r i v ~danem c a s e j i z v ~

systemu n e j s o u p r i t o m n i

for (int j = 0; j < Lto.Count; j++)

if (Lto.First.Value < tp) Lto.RemoveFirst();else break;

if (Lto.Count < K) / / k a p a c i t a systemu n e ni naplnena

i++;

if (tp < to) / / do systemu v c h a z i d a l s i z a k a z n i k , k t e r y s e r a d i do

f r o n t y ( p r e p a z k a j e obsazena ) a ceka ( generujeme c a s

j e h o odchodu )

....

Lto.AddLast(to);

else / / do systemu v c h a z i d a l s i z a k a z n i k , k t e r y j d e o k a m z i t e k~

v o l n e p r e p a z c e ( generujeme c a s j e h o odchodu )

....

Lto.AddLast(to);

Testujeme se vstupními parametry: λ= 1,5, µ= 1,75 a kapacita systému K = 5.

Test. cas Obslouženo λ∗ To T f T p0

1 000 1 322 0,7566 0,5801 0,9847 1,5648 0,2349

10 000 13 504 0,7406 0,5706 0,9516 1,5222 0,2296

100 000 133 342 0,7499 0,5734 0,9812 1,5546 0,2354

1 000 000 1 336 658 0,7481 0,5710 0,9652 1,5362 0,2368

10 000 000 13 357 286 0,7487 0,5714 0,9678 1,5398 0,2367

Analyticky: — 0,7487 0,5714 0,9685 1,5399 0,2367

Tabulka 2.12.: Porovnání analytického a simulacního rešení modelu M/M/1/K

Typickým príkladem tohoto systému, jak je uvedeno napríklad i v [13], je situace, kdy v to-

várne máme nekolik stroju a na starosti je má práve jeden údržbár. Délka intervalu bezpo-

ruchového provozu jednotlivých stroju odpovídá intenzite vstupu požadavku do systému,

49



1 000 000 µ= 2 µ= 5 µ= 1,3

Kapacita K : 5 10 2 20 8 15

Obslouženo: 1 391 518 1 477 876 2 447 844 2 999 519 1 106 264 1 161 603

λ∗: 0,71864 0,67665 0,40852 0,33338 0,90395 0,86094

To : 0,49905 0,50034 0,20013 0,20003 0,76875 0,76923

T f : 0,71936 1,20194 0,07503 0,29941 2,36976 4,26210

T : 1,21841 1,70228 0,27516 0,49944 3,13851 5,03133

p0: 0,30557 0,26056 0,51011 0,40000 0,14955 0,10652

Tabulka 2.13.: Testování modelu M/M/1/K

doba oprav každého stroje je pak dobou obsluhy.

2.6. Simulace modelu M/M/c/K

V tomto modelu, stejne jako v predchozím máme omezený pocet požadavku v systému.

Speciálním prípadem tohoto modelu je model, kdy c = K . V systému se tedy nachází takový

pocet požadavku, který je roven poctu obslužných linek. V takovém systému požadavky ne-

musí cekat na obsluhu, jedná se tedy o systém s nulovým casem stráveným ve fronte.

Listing 2.4: Rozdíl kódu pro model M/M/c/K oproti modelu M/M/1/K

LinkedList <double> Lto = new LinkedList <double >(); / / seznam casu

odchodu

LinkedListNode <double> Ln;

while (true)

if (Lto.Count < K)/ / n e j p r v e vyradime ze seznamu z a k a z n i k u t y , k t e r i v ~danem c a s e

j i z v ~ systemu n e j s o u p r i t o m n i

/ / k a p a c i t a systemu n e n i naplnena

i++;

i_to_min = IndexMin(to, c, out to_min); / / hledame prepazku ,

k t e r a j e v o l n a r e s p . bude j a k o p r v n i v o l n a

if (tp < to_min)

50


/ / do systemu v c h a z i d a l s i z a k a z n i k , k t e r y s e r a d i do f r o n t y (

vsechny p r e p a z k y j s o u obsazene ) a ceka


v o l n e p r e p a z c e ( generujeme c a s j e h o odchodu )

/ / z a r a z u j e m e v y g e n e r o v a n y casu odchodu p r i c h o z i h o z a k a z n i k a na

s e r a z e n y seznam casu odchodu

if (Lto.Count == 0 || Lto.First.Value >= to[i_to_min])Lto.AddFirst(to[i_to_min]);

else

Ln = Lto.Last;

for (int j = 0; j < Lto.Count; j++)

if (Ln.Value < to[i_to_min])

Lto.AddAfter(Ln, to[i_to_min]);

break;

Ln = Ln.Previous;

Vstupní parametry pro první test zvolíme: λ= 1,5,µ= 0,75,c = 3,K = 10.


1 000 1 437 0,6959 1,3977 0,4303 1,8281 0,0996

10 000 14 788 0,6763 1,3314 0,4826 1,8140 0,1170

100 000 148 469 0,6735 1,3386 0,4963 1,8350 0,1134

1 000 000 1 485 831 0,6730 1,3321 0,4859 1,8180 0,1139

10 000 000 14 873 881 0,6723 1,3338 0,4912 1,8250 0,1128

Analyticky: — 0,6726 1,3333 0,4897 1,8231 0,1131

Tabulka 2.14.: Porovnání analytického a simulacního rešení modelu M/M/c/K

Príkladem tohoto systému muže být benzinová cerpací stanice, kde je pocet obslužných

míst dán poctem pump a maximální pocet míst v systému je omezen prostorem, do kterého

se vejde práve K aut.

51


Cas simulace λ= 1,5 λ= 10

1 000 000 µ= 2 µ= 5

Pocet prepážek c: 2 9 15

Kapacita K : 7 10 15

Obslouženo: 1 497 403 1 498 234 10 000 839

λ∗: 0,66782 0,66745 0,09999

To : 0,49933 0,50057 0,19993

T f : 0,07918 0,00102 0,00000

T : 0,57850 0,50057 0,19993

p0: 0,45570 0,47230 0,13548

Tabulka 2.15.: Testování modelu M/M/c/K

2.7. Simulace modelu M/M/1/./N

V tomto prípade máme jednoduchý exponenciální systém a k dispozici je omezený pocet

požadavku, které cyklicky do systému vstupují (ne však nutne ve stejném poradí), jsou ob-

slouženi a vystupují ze systému. Po každém obsloužení požadavku je vygenerován jeho nový

príchod do systému a tato hodnota uložena. Minimum z techto hodnot pak udává, který po-

žadavek prijde k obsluze jako další.

Vstupními parametry modelu jsou: λ= 1.5, µ= 13, pocet požadavku N = 15.


1 000 12 704 0,0787 0,0776 0,4355 0,5131 0,0151

10 000 128 370 0,0779 0,0767 0,4264 0,5031 0,0154

100 000 1 278 654 0,0785 0,0771 0,4282 0,5051 0,0155

1 000 000 12 796 378 0,0782 0,0769 0,4288 0,5057 0,0155

10 000 000 127 985 907 0,0781 0,0769 0,4284 0,5054 0,0156

Analyticky: — 0,0781 0,0769 0,4286 0,5055 0,0156

Tabulka 2.16.: Porovnání analytického a simulacního rešení modelu M/M/1/./N

52


Listing 2.5: Ukázka kódu pro model M/M/1/./N

...

int j; / / i n d e x a k t u a l n i h o z a k a z n i k a

int N = 15; / / p o c e t z a k a z n i k u

/ / generujeme c a s y p r i c h o d u z a k a z n i k u

for (j = 0; j < N; j++)tp[j] = -Math.Log(rnd.NextDouble()) * lambda_rec;

j = IndexMin(tp, N, out t); tp_sum = -t;

while (true)

/ / z j i s t u j e m e c a s p r i c h o d u d a l s i h o z a k a z n i k a

j = IndexMin(tp, N, out t);if (t < to) / / do systemu v c h a z i d a l s i z a k a z n i k , k t e r y s e r a d i do f r o n t y (

p r e p a z k a j e obsazena ) a ceka

....


v o l n e p r e p a z c e

.....

j = IndexMin(tp, N, out t);

static int IndexMin(double[] pole, int N, out double min) / / v r a c i

i n d e x prvku s ~ n e j m e n s i hodnotou v ~ p o l i

int IMin = 0;min = pole[IMin];

for (int i = 1; i < N; i++)

if (pole[i] < min)

IMin = i;

min = pole[IMin];

return IMin;

53



1 000 000 µ= 13 µ= 13 µ= 1,5

Pocet požadavku N : 5 15 5 15 5 15

Obslouženo: 635 904 1 279 529 1 200 470 1 299 983 149 301 150 249

λ∗: 0,15723 0,07815 0,08330 0,07692 0,66980 0,66557

To : 0,07695 0,07693 0,07684 0,07692 0,66610 0,66560

T f : 0,04203 0,42796 0,13950 0,87674 1,91135 8,55114

T : 0,11897 0,50489 0,21634 0,95367 2,57745 9,21674

p0: 0,51069 0,01565 0,07760 0,00010 0,00525 0,00000

Tabulka 2.17.: Testování modelu M/M/1/./N

Príkladem tohoto modelu muže být opet továrna s nekolika stroji, u nichž dochází k poru-

chám, které spravuje nekolik opraváru.

Všechny výše uvedené modely, resp. jejich zdrojové kódy, jsou priloženy na CD ve složce

Simulace.

54

3. Prípadová studie

Pro konkrétní analýzu systému hromadné obsluhy byla vybrána pobocka Ceské pošty, s.p.,

která se nachází v Ústí nad Labem, a její vyvolávací systém. Tento systém lze charakterizovat

jako otevrený, nebot’ pocet požadavku je nekonecný a velikost fronty není kapacitne ome-

zena. Jelikož zákazníci do systému vstupují v náhodných casových intervalech, mužeme kla-

sifikovat vstupní tok jako stochastickou velicinu.

Ceská pošta, s.p. pro naší práci poskytla údaje z vyvolávacího systému jedné pobocky za rocní

období od dubna 2013 do brezna roku 2014. V datech nejsou zaznamenány údaje ze dnu 17.

- 21. ríjna 2013, nebot’ došlo k poruše systému. Tato pobocka má standardní provozní dobu

ve všední dny 8 - 18 hod., v soboty 8 - 12 hod. Data ze systému jsou exportována do formátu

CSV. Puvodní data, ze kterých byla vyjmuta jména pracovníku, se nachází v príloze ve složce

Data VS. 1

Vyvolávací systém poskytuje podniku údaje o casech príchodu jednotlivých požadavku, dobu

trvání obsluhy a dobu cekání ve fronte. V tomto prípade lze disciplínu cekání ve fronte cha-

rakterizovat jako cekání s mírou netrpelivosti. Ta je však u každého zákazníka jiná, jedná

se tedy o náhodnou velicinu. Klient, který opustí systém dríve, než je obsloužen, zustává

v systému zaregistrován jako cekající požadavek. Po jeho vyvolání, kdy se klient k prepážce

opakovane nedostaví, je oznacen za obslouženého zákazníka s minimální dobou obsluhy.

Muže tak docházet ke zkreslení údaju o poctu obsloužených klientu a jejich dobe obsluhy.

Informace o tom, jak se z fronty vybírá klient, který prijde na radu v momente, kdy se uvolní

prepážka, jsme nezískali, resp. nebylo možné nám je poskytnout jakožto tretí strane. Víme

jen obecné informace, napríklad to, že systém umožnuje pracovat s relativní prioritou po-

žadavku, která se obcas využívá pro duchodovou službu, v závislosti na výplatních dnech

duchodu.

1V rámci dohody s Ceskou poštou o využití dat v bakalárské práci, nesmí být zverejnena jména zamestnancu,

ani informace o tom, ze které pobocky data pochází.

55


V každém souboru najdeme data zpracovaná pro jeden mesíc, a to vždy s následujícími

údaji:

• Datum

• Cas - konkrétní cas ve formátu hh:mm:ss

• Událost - urcuje, co se deje v systému, prípadne se systémem. Narazíme tu na položky:

– Inicializace jednotky

– Aktivace systému

– Diagnostika - Automatické smazání fronty

– Prihlášení obsluhujícího

– Zarazení do fronty, tisk.2, odhad cekání [s] - systém dokáže predpovídat dobu

cekání klienta v závislosti na soucasném vytížení prepážek

– Vyvolání klienta

– Opakované vyvolání klienta

– Ukoncení obsluhy

– Vyvolání klienta mimo poradí

– Odhlášení obsluhujícího

– Deaktivace systému

• Klient - oznacení klienta poradovým císlem, pod kterým vystupuje v celém systému

• Cinnost - oznacení pro službu, kterou klient požaduje (služby jsou oznaceny T01 -

T09)

• Prepážka - poradová císla pro prepážky P01 - P11

• Doba cekání klienta

• Doba obsluhy klienta

Pro zpracování dat od Ceské pošty,s.p. byla vytvorena jednoduchá aplikace v jazyce C#, která

zpracovává údaje do grafu a vygeneruje potrebná data do souboru CSV. Následná statistická

analýza byla provádena v tabulkovém kalkulátoru.

56


3.1. Analýza príchodu zákazníku

Testy dobré shody

Test χ2 dobré shody užíváme v prípade, kdy chceme na základe jednoho náhodného výberu

o rozsahu n rozhodnout o tom, jestli zamítnout nebo naopak nezamítnout hypotézu, zda

náhodný výber pochází ze zcela konkrétního rozdelení.

3.1.1. Test dobré shody na Poissonovo rozložení

V našem prvním prípade budeme zkoumat, zda príchody zákazníku do systému mají Pois-

sonovo rozdelení.

Zvolíme hypotézy:

• nulová hypotéza H0 - namerená data se rídí predpokládaným Poissonovo rozdelením,

• alternativní hypotéza - H1 data se Poissonovo rozdelením nerídí.

Za náhodný výber budeme považovat pocet príchodu zákazníku ze dne 30. zárí 2013 a to

v desetiminutových intervalech za celý den, tedy od casu 7:58 do 17:58. Poslední klient dora-

zil na poštu v case 17:51:07. Pocet klientu v jednotlivých intervalech si necháme vygenerovat

naší aplikací do souboru ve formátu csv.

Zvolení hladiny významnosti. Standardne se volí α z intervalu (0.01, 0.10). V našem prípade

otestujeme více variant, zvolíme "tradicní" hladiny:

α0 = 0,10 α1 = 0,05 α2 = 0,025 α3 = 0,01

Testovací kritérium je ve tvaru:

χ2 =k∑

i=0

(mi −n ·pi )2

n ·pi, [6] (3.1)

kde n znací rozsah výberu,

mi empirické cetnosti,

pi jsou teoretické pravdepodobnosti.

Nejprve je nutné spocítat empirické cetnosti. Maximum klientu, kterí prišli v 10 minutovém

intervalu, je 30, stací nám tedy zkoumat cetnosti 0 - 30. Pro výpocet hodnoty testovacího kri-

téria potrebujeme nejdríve získat parametr teoretického rozdelení pravdepodobnosti. Pois-

sonovo rozdelení má jen jeden parametr - λ. Odhad tohoto parametru získáme metodou

57


maximální verohodnosti. V tomto prípade odhadneme strední hodnotu jako výberový pru-

mer:

E(X ) = X = 1

n·

k∑i=0

xi (3.2)

v našem prípade:

E(X ) = 0 ·0+1 ·1+2 ·0+3 ·0+4 ·0+ ...+28 ·0+29 ·0+30 ·1

60= 15,76666667

Získali jsme odhad parametru λ, protože pro Poissonovo rozdelení pravdepodobnosti platí

E(X ) =λ.

λ= 15,76666667 klientu / 10 minut.

Nyní potrebujeme získat teoretické pravdepodobnosti. Ty získáme ze vzorce 1.6

pi = P (X = i ) = λ2

i !·e−λ pro i = 0,1,2, ..,45 a λ= 15,76666667

Následne vypocítáme teoretické cetnosti n ·pi .

58


Trída Pocet klientu i Cetnost mi pi n ·pi

1 0 0 1,4211E-07 8,5266E-06

2 1 1 2,2406E-06 0,00013444

3 2 0 1,76634E-05 0,0010598

4 3 0 9,28308E-05 0,00556985

5 4 0 0,000365908 0,02195448

6 5 0 0,00115383 0,0692298

7 6 0 0,003032009 0,18192054

8 7 1 0,006829239 0,40975436

9 8 0 0,013459293 0,80755755

10 9 4 0,023578687 1,4147212

11 10 3 0,037175729 2,23054375

12 11 5 0,053285212 3,19711271

13 12 4 0,070010848 4,20065087

14 13 4 0,084910592 5,09463554

15 14 3 0,0956255 5,73753002

16 15 7 0,100513026 6,03078156

17 16 5 0,099047211 5,94283266

18 17 2 0,091861433 5,51168598

19 18 4 0,080463811 4,82782864

20 19 3 0,066770846 4,00625079

21 20 2 0,052637684 3,15826104

22 21 2 0,039520039 2,37120233

23 22 2 0,028322695 1,69936167

24 23 2 0,019415412 1,16492474

25 24 3 0,012754847 0,76529084

26 25 0 0,008044057 0,48264342

27 26 1 0,004877999 0,29267992

28 27 1 0,00284851 0,17091062

29 28 0 0,001603983 0,09623896

30 29 0 0,00087205 0,05232302

31 30 1 0,000458311 0,02749865

suma n 60

Tabulka 3.1.: První cást tabulkové metody

59


Tento test vyžaduje, aby všechny teoretické cetnosti n ·pi byly vetší než 5. Pokud toto není

dodrženo, je nutno sloucit trídy tak, aby podmínka byla dodržena. V našem prípade tedy

sloucíme trídy 1 - 11, 12 + 13, 19 + 20 a 21 - 31. Nové empirické cetnosti, teoretické pravde-

podobnosti a teoretické cetnosti získáme jako sumy techto puvodních parametru z tabulky

3.1. Vznikne nám nová tabulka:

trída i mi pi n ·pi mi −n ·pi (mi −n ·pi )2 (mi−n·pi )2

n·pi

1-11 0-10 9 0,0857075 5,14245430 3,85754569 14,8806588 2,89368809

12-13 11-12 9 0,1232960 7,39776357 1,60223642 2,56716154 0,34701859

14 13 4 0,0849105 5,09463554 -1,0946355 1,19822696 0,23519385

15 14 3 0,0956255 5,73753002 -2,7375300 7,49407063 1,30614926

16 15 7 0,1005130 6,03078155 0,96921844 0,93938438 0,15576495

17 16 5 0,0990472 5,94283266 -0,9428326 0,88893342 0,14958076

18 17 2 0,0918614 5,51168597 -3,5116859 12,3319384 2,23741678

19-20 18-19 7 0,1472346 8,83407943 -1,8340794 3,36847359 0,38078074

21-31 20-30 14 0,1713555 10,2813352 3,71866478 13,8284678 1,34500699

Tabulka 3.2.: Tabulková metoda pro testování hypotéz

Nyní mužeme vypocítat hodnotu testovacího kritéria podle vzorce 3.1.

χ2 = 9,05059997

Podle hladin významnosti urcíme kritické hodnoty testovacího kritéria. Ty jsou závislé na po-

ctu stupnu volnosti. V našem prípade je pocet stupnu volnosti v = r −k −1 = 7. Parametr r

predstavuje pocet tríd (ten nám po sloucení tríd klesl na 9), k znací pocet odhadovaných

(neznámých) parametru (v tomto prípade byl jeden - λ). Kritické hodnoty mužeme najít ve

statistických tabulkách nebo v Excelu pomocí funkce CHIINV(hladina významnosti; pocet

stupnu volnosti).

hladina významnosti α kritická hodnota χ2kr i t

0,01 18,47530691

0,025 16,01276427

0,05 14,06714045

0,1 12,01703662

Tabulka 3.3.: Kritické hodnoty testovacího kritéria Poissonova rozdelení

Zjistili jsme, že χ2 < χ2kr i t pro jakékoli námi zvolené α. Záverem je, že nezamítáme nulové

hypotézy o tom, že pocty príchodu klientu do systému se rídí Poissonovým rozdelením.

60


3.1.2. Test dobré shody na exponenciální rozdelení

Jak bylo zmíneno v teoretické cásti, casto se vyskytují tzv. exponenciální systémy hromadné

obsluhy, jejichž pocty požadavku, které vstupují do systému behem doby t , mají Poissonovo

rozdelení a doby mezi následujícími vstupujícími požadavky mají rozdelení exponenciální.

Otestujeme, zda doby mezi príchody klientu analyzovaného systému mají exponenciální

rozložení.

Postup je analogický s postupem testování Poissonova rozdelení.

H0: data se rídí exponenciálním rozdelením,

H1: data se exponenciálním rozdelením nerídí.

Za náhodný výber budeme považovat casové úseky mezi jednotlivými príchody zákazníku

ze dne 30. zárí 2013.

Hladiny významnosti zvolíme stejné, jako v predchozím prípade:

α0 = 0,10 α1 = 0,05 α2 = 0,025 α3 = 0,01

Pro tento test je nutné rozdelit výber do k-tríd s krajními body ai , v posledním intervalu pak

položíme ak =∞. Rozdelení na trídy vypadá:

< 0, a1),< a1, a2),< a2, a3), ...,< ak−2, ak−1),< ak−1,∞).

Cetnosti techto tríd oznacíme mi a∑k

i=1 mi = n. Stred trídy (tzv. trídní znak) oznacme zi .

Distribucní funkce exp. rozdelení je dána vztahem F (x) = 1−e− xλ . Potom mužeme pi vyjádrit

takto:

pi = F (ai )−F (ai−1) = 1−e− aiλ −1+e− ai−1

λ = e− ai−1λ −e− ai

λ pro i = 1,2, ...,k (3.3)

Testovací kritérium je ve tvaru:

χ2 =k∑

i=1

(mi −n ·pi )2

n ·pi. (3.4)

Exponenciální rozdelení má jeden parametr - λ, pro který platí: E(X ) = 1λ

, tedy λ = 1E(X ) .

I v tomto prípade potrebujeme nejprve získat jeho odhad. Opet použijeme metodu maxi-

mální verohodnosti a odhadneme strední hodnotu jako výberový prumer.

E(X ) = 1

λ= X =

k∑i=1

1

n·mi · zi (3.5)

V našem prípade získáme hodnoty: X = 42,883068, což znamená, že prumerne prijde jeden

zákazník za 43 sekund. Z této hodnoty odhadneme parametr rozdelení, cili λ = 0,023319.

Následne mužeme vypocítat teoretické pravdepodobnosti pi a teoretické cetnosti n ·pi .

61


Trída Hranice intervalu mi zi pi n ·pi

1 0 50 718 25 0,688377 650,5163

2 50 100 145 75 0,214514 202,7158

3 100 150 62 125 0,066848 63,1709

4 150 200 14 175 0,020831 19,6855

5 200 250 5 225 0,006491 6,134454

6 250 300 0 275 0,002023 1,911637

7 300 350 0 325 0,00063 0,59571

8 350 ∞ 1 374,5 0,000285 0,269673

Tabulka 3.4.: Test exponenciálního rozdelení

I v tomto prípade potrebujeme, aby platilo n ·pi ≥ 5. Sloucíme trídy 5 - 8 do jedné. Nyní mu-

žeme vypocítat hodnoty testovací kritéria pro príslušné trídy. Jejich soucet nám dá hodnotu

testovacího kritéria tohoto výberu.

Trída Hranice intervalu mi zi pi n ·pi Test. kritérium

1 0 50 718 25 0,688377 650,5163 7,000665992

2 50 100 145 75 0,214514 202,7158 16,43243695

3 100 150 62 125 0,066848 63,1709 0,021703059

4 150 200 14 175 0,020831 19,6855 1,642067613

5-8 200 ∞ 6 225 0,00943 8,911473 0,951209444

n = 945 1 945 χ2 = 26,048083

Tabulka 3.5.: Upravená tabulka pro test exponenciálního rozdelení

Hodnota testovacího kritéria: χ2 = 26,04808305. Následne zjistíme kritické hodnoty testova-

cího kritéria pro ruzné hladiny významnosti a porovnáme. V tomto prípade hledáme hod-

noty pro tri stupne volnosti.


0,01 11,34487

0,025 9,348404

0,05 7,814728

0,1 6,251389

Tabulka 3.6.: Kritické hodnoty testovacího kritéria exponenciálního rozdelení

62


Zjistili jsme, že χ2 > χ2kr i t pro jakékoli námi zvolené α. Mužeme ríci, že nulové hypotézy

pro jednotlivé hladiny významnosti o tom, že doba mezi jednotlivými príchody klientu se

rídí exponenciálním rozdelením, zamítáme. Analyzovaný systém není exponenciální. Že je

náš výsledek správný, si mužeme potvrdit grafem cetností príchodu klientu v jednotlivých

casových pásmech behem celého roku.

Obrázek 3.1.: Návštevnost v jednotlivých casových pásmech behem roku

3.1.3. Další hypotézy

Za zdroj hypotézy mužeme považovat predchozí zkušenost. Jedna z nejjednodušších hy-

potéz muže napríklad znít: V prosinci na poštu dorazí nejvíce klientu. Naše úvaha vychází

z toho, že v tomto období zákazníci využívají prepravních spolecností, a tedy i Ceské pošty,

pro zasílání vánocních dárku.

Z grafu 3.2 na následující stránce je zrejmé, že naše hypotéza byla špatná. Nejvíce klientu

dorazilo v kvetnu. Duvodem muže být vyplácení vrácených daní pres poštovní složenky ci

placení nedoplatku / vrácení preplatku z bytových družstev. Dále také vidíme, že v období

letních mesícu, kdy lidé nejcasteji odjíždí na dovolenou, se pocet klientu výrazne nemení.

Další hypotézou, kterou otestujeme je následující predpoklad: V období mezi 11. a 20. dnem

v mesíci prijde na poštu nejvíce klientu z celého mesíce. Naše tvrzení mužeme oprít o zna-

losti z poštovního provozu. V tomto období dochází predevším k vyplácení duchodu, rodi-

covských príspevku a placení SIPO.

Naše hypotéza platí pro vetšinu mesícu v roce, jak dokazuje graf 3.3 na další strane. Vý-

jimky tvorí mesíce kveten 2013, ríjen 2013 a leden 2014. Naopak v únoru 2014 prišlo v tomto

období 50% klientu tohoto mesíce. Vztáhneme-li tuto hypotézu na celý rok, pak jsme se ne-

mýlili a hypotézu mužeme potvrdit (viz tabulka 3.7).

63


Obrázek 3.2.: Cetnost príchodu klientu behem roku

Obrázek 3.3.: Cetnost príchodu klientu v prubehu mesíce

Období Pocet klientu

1. - 10. 59 450

11. - 20. 79 117

21. - 31. 65 726

Tabulka 3.7.: Pocet klientu v jednotlivých obdobích za celý rok

64


3.2. Analýza využití služeb

Naše zkoumaná pobocka poskytuje všechny základní poštovní služby a nekteré speciální.

Zákazník si pri príchodu na pobocku vybere z nabídky, kterou službu požaduje. Systém jej

pak zaradí podle zvolené služby k odpovídající prepážce.

Oznacení služby Poskytovaná služba

T01 Listovní služby - výdej, jednotlivé podání max. do 5 položek

T02 Listovní služby - hromadné podání

T03 Balíková služba - príjem a výdej balíku a cenných psaní,

príjem a výdej EMS (Express Mail Service)

T04 Penežní služby, SIPO

Poštovní sporitelna (vklady a výplaty)

T05 Duchodová služba

T06 Poštovní sporitelna (vklady a výplaty) - specializovaná prepážka

T07 CZECHPOINT, DINO 3

T08 Ostatní služby

T09 Služba pro osoby se sníženou schopností pohybu a orientace

Tabulka 3.8.: Prehled poskytovaných služeb

Každá služba je v systému rozdelena ješte na konkrétní služby, napríklad u podání balíko-

vých zásilek pošta eviduje, zda klient využil službu Balík do ruky, Balík na poštu, Obycejný

balík atd. Data s temito informacemi nám bohužel nebyla poskytnuta.

V grafu 3.4 na následující strane vidíme, že nejvíce využívaná je listovní služba pro podání

jednotlivých zásilek a výdej uložených zásilek, hojne využívaná je i balíková služba spo-

lecne s penežními službami, kam spadá napríklad vyplácení poštovních poukázek. Naopak

nejméne využívanou službou, krome služby pro osoby se sníženou schopností pohybu a

orientace, je služba kontaktního místa verejné správy.

3CZECHPOINT - jedná se o tzv. kontaktní místo verejné správy. Klienti zde mohou získat napr. výpis z Ka-

tastru nemovitostí, Obchodního rejstríku, Rejstríku trestu, Živnostenského rejstríku, ci z bodového hod-

nocení ridice, DINO - Dluhové inkaso obyvatelstva - Služba je urcena pro veritele jako nástroj pro rešení

vzniklých penežních pohledávek prostrednictvím mimosoudního oslovení dlužníka a inkasa pohledávky.

Prevzato z http://www.ceskaposta.cz/sluzby/platebni-a-financni-sluzby-cr/dino

65

http://www.ceskaposta.cz/sluzby/platebni-a-financni-sluzby-cr/dino


Obrázek 3.4.: Využití služeb behem roku

U služeb si otestujeme napríklad hypotézu: V posledním týdnu v mesíci bude využití du-

chodové služby (T05) požadovat maximálne 5% klientu ze všech, kterí službu za daný mesíc

využijí.

Obrázek 3.5.: Využití duchodové služby behem jednotlivých dní za ctvrtletí

Naši hypotézu o tom, že službu v posledním týdnu využívá maximálne 5% všech klientu

zamítáme (viz tabulka 3.9).

66


Datum Pocet klientu %

1. - 6. 3313 16,82

7. - 12. 5364 27,22

13. - 18. 5002 25,4

19. - 24. 4973 25,24

25. - 31. 1048 5,32

celkem 19700 100

Tabulka 3.9.: Využití duchodové služby

3.3. Analýza obsluhy

Mezi nejvýznamnejší vlastnosti, které popisují systém, se radí prumerná doba cekání po-

žadavku ve fronte a prumerná doba obsluhy. Ceská pošta, s.p. se snaží dostat prumernou

dobu obsluhy na každé pobocce, stejne jako dobu cekání, pod 5 minut pro co nejvetší pocet

klientu (ocekávají se císla kolem 75 - 85 % zákazníku). Oba parametry se liší pro jednotlivé

služby. Napríklad pro službu specializované prepážky Poštovní sporitelny se ocekává nej-

vyšší doba cekání ve fronte. Je to dáno tím, že tuto službu zpracovává pouze jedna prepážka

a klienti musí vyckat, než je prepážka uvolnená. Naopak u služby T07 (Czechpoint, DINO) se

dá ocekávat nejdelší prumerná doba obsluhy. Žádá-li klient výpis z jakéhokoli rejstríku, pra-

covník pošty musí zkontrolovat totožnost dotycného v databázi neplatných dokladu, vyplnit

s klientem žádost o výpis a poslat ji na príslušné pracovište. Poté je bud’ zaslán elektronický

výpis nebo informace o tom, že žádost nemohla být vyrízena elektronicky.

Obrázek 3.6.: Prumerná doba obsluhy v minutách podle jednotlivých služeb

67


3.3.1. Test rozdelení doby obsluhy

U doby obsluhy se standardne predpokládá, že bude mít exponenciální rozdelení. Otestu-

jeme ho pomocí testování hypotéz, stejne jako doby mezi príchody zákazníku.

Jako náhodný výber použijeme data z 15. ledna 2014, kdy na poštu dorazilo celkem 721 kli-

entu v dobe mezi 8. - 18. hodinou. Za nulovou hypotézu zvolíme predpoklad: Doba obsluhy

se rídí exponenciálním rozdelením. Naše hypotéza vychází i z následujícího grafu.

Obrázek 3.7.: Doba obsluhy a cekání 15. ledna 2014

Doby obsluhy jednotlivých zákazníku prevedeme na sekundy, poté výberový prumer E(X ) =178,4119. Z toho vyplývá, že parametr exponenciálního rozdelení λ = 0,005605. A dopoc-

teme vše ostatní viz. následující tabulka 3.10.


1 0 130 379 65 0,51744 373,0745 0,094113

2 130 260 200 195 0,249696 180,0307 2,215029

3 260 390 80 325 0,120493 86,87554 0,544147

4 390 520 29 455 0,058145 41,92263 3,983393

5 520 650 14 585 0,028058 20,23017 1,918668

6 650 780 6 715 0,01354 9,762261 1,449931

7 780 ∞ 113 845 0,012627 9,104184 1,667077

n = 721 1 721 χ2 = 11,87236

Tabulka 3.10.: Hodnoty pro test exponenciálního rozdelení doby obsluhy

Nyní nalezneme kritické hodnoty testovacího kritéria pro stupen volnosti 5 a rozhodneme

o zamítnutí / nezamítnutí nulové hypotézy.

68



0,01 15,08627

0,025 12,8325

Zjistili jsme, žeχ2 <χ2kr i t pro námi zvolenéα. Mužeme ríci, že nulové hypotézy nezamítáme

a doba obsluhy se rídí exponenciálním rozdelením. Tuto informaci mužeme následne využít

i pro simulaci.

3.3.2. Cekání ve fronte

Doba cekání ve fronte je nejduležitejším ukazatelem spokojenosti zákazníka. Doba cekání

vyjadruje cas od zarazení klienta do vyvolávacího systému (tj. okamžik, kdy zákazník stiskne

tlacítko pro požadovanou službu) až po jeho vyvolání k prepážce.

Obrázek 3.8.: Prumerná doba cekání v minutách podle jednotlivých služeb

Jako další si zvolíme hypotézu o dobe cekání ve fronte.

Podle grafu 3.9 si položme hypotézu HO : V dopoledních hodinách klient stráví ve fronte více

casu než odpoledne. Postupovat budeme následovne. Zjistíme, zda-li rozložení doby cekání

ve fronte je stejné (v našem prípade predpokládáme exponenciální) pro oba casové intervaly

a následne porovnáme jejich strední hodnoty.

Z tabulky 3.12 vidíme, že náš odhad testovacího kritéria vyhovuje kritickému oboru, nebot’

χ2 < χ2kr i t pro námi zvolené hladiny významnosti. Doba cekání v dopoledních hodinách se

rídí exponenciálním rozložení s prumerem E(Xdop ) = 181,4658.

Dle tabulky 3.14 mužeme tvrdit, že i odpolední doby cekání ve fronte se rídí exponenciálním

rozdelením. Prumer E(Xod p ) = 145,1554.

69


Obrázek 3.9.: Doba cekání 15. ledna 2014 v intervalu 130s


1 0 130 199 65 0,511487 186,6927 0,811338

2 130 260 92 195 0,249868 91,20184 0,006985

3 260 390 34 325 0,122064 44,55331 0,499755

4 390 520 23 455 0,05963 21,76488 0,070091

5 520 650 4 585 0,02913 10,63243 4,137264

6 650 ∞ 13 715 0,027822 10,15488 0,797126

n = 365 1 365 χ2 = 8,322558

Tabulka 3.11.: Test exponenciálního rozložení pro dopolední dobu cekání


0,01 13,2767

0,025 11,14329

0,05 9,487729

Tabulka 3.12.: Kritické hodnoty kritéria pro dopoledne

Jelikož platí E(Xdop ) > E(Xod p ), tak nulovou hypotézu o cekání ve fronte nezamítáme.

70



1 0 130 236 65 0,591634 228,3708 0,254872

2 130 260 98 195 0,241603 93,25883 0,241035

3 260 390 32 325 0,098663 38,08373 0,971852

4 390 520 12 455 0,04029 15,5521 0,811299

5 520 ∞ 8 585 0,02781 10,73459 0,696623

n = 386 1 386 χ2 = 2,975681

Tabulka 3.13.: Test exponenciálního rozložení pro odpolední dobu cekání


0,01 11,34487

0,025 9,348404

0,05 7,814728

Tabulka 3.14.: Kritické hodnoty kritéria pro odpoledne

3.4. Analýza prepážek

Jedním z duležitých ukazatelu celého systému je vytíženost kanálu, se kterou souvisí pro-

stoje a efektivita práce. V našich získaných datech z vyvolávacího systému se nacházejí in-

formace o prihlášení a odhlášení obsluhujících na jednotlivé prepážky. Z toho mužeme zjis-

tit vytíženost jednotlivých prepážek. V tomto systému prepážky P01 - P10 mohou obsluho-

vat všechny dostupné služby na pobocce s výjimkou služby T06, pro kterou je vyhrazena

specializovaná prepážka P11 pro služby Poštovní sporitelny. Zpravidla to tak nebývá. Každá

prepážka má urceny napr. tri až ctyri služby, které bude behem dne obsluhovat.

Z tabulky 3.15 vidíme, že specializovaná prepážka P11 je znacne nevytížená. Obecne se do-

porucuje, aby vytíženost systému byla na hranici 80 %. Je-li vyšší, muže a také dochází k pro-

dloužení casu doby cekání požadavku ve fronte. Naopak císla kolem 60 - 70% znací krátké

doby cekání. Mezi neaktivní cas u prepážky se v našem prípade zapocítává i doba, kdy obslu-

hující plní své povinnosti vnitrní služby (napríklad prijímá zásilky k uložení od dorucovatelu

a ty následne trídí a rovná do skladu, vypravuje nove podané zásilky na kurzy). Ze systému

se totiž neodhlašuje. Údaje o tom, kolik casu zamestnanec stráví temito službami nemáme

k dispozici, muže tedy docházet ke zkreslení údaju.

71


Obrázek 3.10.: Ukázkový graf vytíženosti prepážky P03 a P11 behem roku

Prepážka Pocet aktivních hodin Pocet neaktivních hodin Využití [%]

P01 1086,735 332,5992 76,56653

P02 1152,358 326,7628 77,90831

P03 818,3806 131,3067 86,17369

P04 873,9994 224,8331 79,53891

P05 1291,919 275,5244 82,42205

P06 950,3192 487,2603 66,10551

P07 549,6428 268,3614 67,19315

P08 558,8389 192,1331 74,41201

P09 683,5844 223,1869 75,38664

P10 824,0906 328,9214 71,47286

P11 557,5633 1890,383 22,77678

Tabulka 3.15.: Vytíženost jednotlivých prepážek v období 04/2013 - 03/2014

3.5. Výsledky analýzy

Ve zkoumaném období na poštu prišlo celkem 204 297 klientu, kterí byli obslouženi ve 296

dnech, což je prumerne 690 klientu za den. Mesícní prumerná návštevnost cinila 17 025

klientu obsloužených ve 25 dnech (presneji 24,6667 dne). Byla zjištena prumerná doba ob-

sluhy klienta 2 minuty a 41 sekund, prumerná doba cekání ve fronte 6 minut a 9 sekund a

prumerná doba, kterou zákazník strávil v systému (cas od jeho príchodu, resp. zarazení do

fronty do ukoncení jeho obsluhy). Její hodnota je 8 minut a 48 vterin.

Ve sledovaném období bylo z celkového poctu 204 297 klientu obslouženo, nebo zacalo být

72


obsluhováno, do 5 minut po príchodu na pobocku 114 691 klientu, což je 56,14% ze všech

klientu. Do 10 minut to bylo celkem 160 752 klientu, tedy 78,69% ze všech. Tato císla se radí

mezi nejhorší v regionu Severní Cechy, pod které spadá 22 pobocek s vyvolávacím systé-

mem. Prumerne bývá do 5 minut vyvoláno k obsluze 75% klientu, do 10 minut je to pak

90%. U doby obsluhy naopak pobocka patrí v regionu k lepšímu prumeru. Do 5 minut od

vyvolání klienta bylo obslouženo 179 929 klientu, což je 87,5%, do 10 minut pak celkove 200

081 klient (97,3%). Další intervaly jsou rozepsány v tabulce 3.16. Prumerne je otevreno 6

obsluhujících kanálu, které musí pokrýt všechny služby.

Casový interval Pocet klientu % Pocet klientu %

(doba cekání) (doba obsluhy)

0 - 5 minut 114 691 56,14 179 929 87,5

5 - 10 minut 46 061 22,55 20 152 9,8

10 - 15 minut 23 737 11,62 3 715 1,8

15 - 20 minut 11 594 5,67 1 060 0,5

20 - 25 minut 4 731 2,32 393 0,2

25 - 30 minut 2 093 1,02 178 0,1

30 minut a více 1 386 0,68 192 0,1

Tabulka 3.16.: Prehled doby cekání ve fronte a doby obsluhy za celý rok

Obrázek 3.11.: Porovnání prumerných dob cekání, obsluhy a doby strávené v systému be-

hem dne

73


Obrázek 3.12.: Pocet aktivních prepážek behem casových intervalu

Obrázek 3.13.: Porovnání prumerných dob cekání, obsluhy podle jednotlivých služeb

Služba Doba cekání Doba obsluhy Doba strávená v systému

T01 06m 07s 02m 30s 08m 37s

T02 05m 55s 02m 55s 08m 49s

T03 06m 29s 03m 08s 09m 37s

T04 06m 04s 02m 00s 08m 04s

T05 06m 40s 02m 48s 09m 28s

T06 05m 59s 04m 04s 10m 03s

T07 05m 28s 05m 47s 11m 14s

T08 05m 22s 02m 42s 08m 04s

T09 02m 13s 02m 37s 04m 50s

Tabulka 3.17.: Prumerné doby cekání, obsluhy a doby strávené v systému dle služeb

74


Také jsme zkoumali, zda-li systém funguje v režimu FIFO alespon v rámci jednotlivých slu-

žeb. Bylo zjišteno, že z celkových 204 297 klientu, kterí prišli za zkoumané období na poštu,

celkem 21 175 klientu (10,365 %) v systému predbehlo. Tedy byli vyvoláni k odbavení dríve,

než klient, který dorazil do systému pred nimi a požadoval tutéž službu. Režimem FIFO se

tedy vyvolávací systém nerídí.

V takto obsáhlém systému hromadné obsluhy je možné vymyslet nepreberné množství hy-

potéz. V naší analýze jsme otestovali jen nekteré. Námetem k dalšímu zkoumání mohou být

napríklad tyto hypotézy:

• V sudé datum chodí více klientu než v liché (v sudé dny mezi 2. - 24. se jedná o výplatní

termíny duchodu). Ovšem tato hypotéza muže být ztížena mimorádnými situacemi,

napríklad vyjde-li termín na sobotu, duchodci si mohou prijít již v pátek pred termí-

nem, naopak vyjde-li na nedeli, musí pockat do pondelí. K podobným zmenám do-

chází i pri státních svátcích.

• V prosinci je prumerná doba strávená ve fronte vetší než v ostatních mesících.

• V pracovních dnech v odpoledních hodinách chodí na poštu více lidí než dopoledne.

• Intenzita obsluhy je vyšší v zátežových obdobích (tzn. období svátku)

• Jestliže v pátek prijde výrazne méne klientu, než je denní prumer, naroste jejich pocet

v sobotu, resp. v pondelí?

75

4. Záver

V predložené bakalárské práci jsme ctenáre seznámili s problematikou systému hromadné

obsluhy nejen prostrednictvím teoretického popisu v rešeršní cásti, ale také pomocí rešení

modelových úloh v rámci testování vytvorených aplikací v praktické cásti. Zároven jsme

v praktické cásti predstavili systém hromadné obsluhy, o nemž predpokládáme, že do ne-

jaké jeho varianty (pobocky) vetšina ctenáru za svuj život vstoupila. Poskytnutá data o tomto

systému v práci zevrubne zkoumáme.

Jedním z prínosu naší práce je práve jednoduchý popis vybraných modelu hromadné ob-

sluhy spolu s jejich programovou implementací, která zámerne neprekracuje obsah úvod-

ních kurzu výuky programování. Zdrojové kódy, jež jsou doprovázeny komentári, mohou

poskytnout úvod do této problematiky i méne zdatným programátorum, napr. z rad stu-

dentu.

Druhý prínos práce je samotná prípadová studie. Poukázala na chování složitého reálného

(vyvolávacího) systému, používaného na pobockách Ceské pošty, s.p. Oproti jednoduchým

modelum, jimiž jsme se zabývali v kapitole o simulaci, má radu svých specifik. Prvním z nich

je množství poskytovaných služeb, tedy už samotné požadavky vstupující do systému se od

sebe navzájem liší. Kanály obsluhy také nemužeme považovat za homogenní, nebot’ každá

prepážka obsluhuje jiné služby. Navíc jsme zjistili, že pro každou službu existuje rozdílná

intenzita obsluhy, címž se model znacne komplikuje. V momente, kdy do analýzy zahrneme

ješte ruznou výkonnost pracovníku, naroste nám opet pocet neznámých parametru mo-

delu. Analýza také vyvrátila, že by systém fungoval v režimu FIFO. Systém funguje v atypic-

kém režimu fronty, jež se nám nepodarilo rozluštit. V systému, jak jsme zjistili z poskytnu-

tých údaju, je možno vyvolávat klienty napríklad podle priority služeb, podle priority pre-

pážek nebo zcela mimo poradí. Bohužel nevíme, cím presne je to zpusobeno, nebot’ nám

nebylo umožneno nahlédnout ani do manuálu k ovládání, ani do nastavení samotného soft-

waru vyvolávacího systému. Pobocka pomerne dobre reaguje na ranní špicku príchodu kli-

entu. Nejvíce lidí dochází v rozmezí od 8 do 11 hodin a od 15 do 17 hodin. V ranním provozu

dosahuje pocet otevrených prepážek prumerne poctu sedmi, v odpolední špicce naopak

jen šesti, jako je to v prumeru celého dne. V odpoledních hodinách tedy dochází ke zvýšení

prumerné cekací doby klientu. Toto považujeme za nedostatek, který by mela pošta urcite

zlepšit. Všeobecne receno, prumerná cekací doba na této pobocce je vysoká. Zákazník má

témer 20 % pravdepodobnost, že ve fronte bude cekat déle než 10 minut. V systému se nám

také nelíbí zminované predbíhání klientu v rámci služeb.

77

4. Záver

Nad rámec formulovaných cílu práce jsme se pokoušeli navrhnout model, který by odpo-

vídal našim požadavkum, tj. model, v nemž bychom dosáhli snížení doby cekání klientu

pri zachování stejného poctu prepážek v provozu a dodržení režimu FIFO alespon v rámci

služeb. Model není bohužel úplný, nicméne jeho ukázka se nachází na priloženém CD. Pro

kompletní zhodnocení a návrh rešení nového vyvolávacího systému nemáme dostatek žá-

doucích informací. Pro optimalizaci nákladu by bylo potreba získat nákladové charakte-

ristiky na provoz systému, které nám nebyly poskytnuty. Také nemáme k dispozici data

o presné pracovní dobe obsluhujících. V systému totiž dochází k situacím, kdy nevíme, zda

se obsluhující zapomnel ze systému odhlásit pri konci své pracovní doby, nebo je stále v pra-

covním nasazení na pobocce, ale neobsluhuje další zákazníky a plní si své povinnosti vnitrní

služby. Z dat také není zrejmé, kolik klientu rezignuje behem doby cekání na obsluhu a ze

systému odcházejí neobslouženi. V systému zcela chybí informace o tom, kolik zákazníku

rezignuje na obsluhu ješte pred tím, než stihne do systému vstoupit. Pokud bychom chteli

maximalizovat spokojenost zákazníku (podle teze, že nejlepší marketing je spokojený zá-

kazník), bylo by treba provést studii zákaznického chování a marketingový výzkum spoko-

jenosti zákazníku, protože spokojený zákazník nemusí být vždy ten, který stráví v systému

nejkratší dobu. Maximalistickým cílem do budoucna by bylo navrhnout jednak vyvolávací

systém a jednak systém casového pokrytí prepážek a služeb s využitím simulacního modelu

ku prospechu jak podniku, tak zákazníku.

78

Seznam použité literatury

[1] LUKÁŠ, Ladislav, Pravdepodobnostní modely v managementu: Markovovy retezce a sys-

témy hromadné obsluhy. Vydání 1., Praha: Academia, 2009, 135 s. ISBN 978-80-200-

1704-8.

[2] KOLÁR, Martin, Ucební text ze Stochastické analýzy [online]. Ucební materiál, Masa-

rykova Univerzita Brno. [cit. 2014-01-28]. Dostupné také z: http://www.math.muni.

cz/~mkolar/skripta002.pdf

[3] VETCHÝ, Josef, Teorie hromadné obsluhy a její aplikace na model križovatky. Olomouc:

Diplomová práce, Univerzita Palackého v Olomouci, Prírodovedecká fakulta, Katedra

matematické analýzy a aplikací matematiky, 2010. [cit. 2014-03-01]. Dostupné také z:

http://theses.cz/id/jjbh7h/122406-679142669.pdf

[4] ROSS, Sheldon M., Introduction to probability models. 9th ed. Boston: Academic Press,

c2007, xviii, 782 p. ISBN 01-237-3635-8.

[5] ŠVUB, Miroslav, Poissonovo rozložení pravdepodobnosti. Brno: Bakalárská práce, Masa-

rykova univerzita, Prírodovedecká fakulta, 2007. [cit. 2014-03-03]. Dostupné z: http:

//is.muni.cz/th/60478/prif_b/poissonovo_rozlozeni_svub.pdf

[6] KLVANA, Jaroslav, Modelování 20: operacní výzkum 2. Vyd. 3. Vydavatelství CVUT.

2005c1993, 246 s. ISBN 80-010-3263-9.

[7] CIHLÁR, Jirí, Statistika, Pedagogická fakulta Ústí nad Labem, 1982.

[8] JABLONSKÝ, Josef, Operacní výzkum: kvantitativní modely pro ekonomické rozhodování

2. vyd. Praha: Professional Publishing, 2002, 323 s. ISBN 80-864-1942-8.

[9] ŠEDA, Miloš, Modely hromadné obsluhy [online]. Clánek, Vysoké ucení technické

v Brne, Fakulta strojního inženýrství. [cit. 2014-02-20]. Dostupné z: http://web2.

vslg.cz/fotogalerie/acta_logistica/2011/2_cislo/3_seda.pdf

[10] ZIMOLA, Bedrich, Operacní výzkum. 2. vyd. Zlín: VUT v Brne, 2000, 168 s. ISBN 80-214-

1664-5.

[11] RÁLEK, Petr, NOVÁK, Josef, CHUDOBA, Josef, Metody užívané v logistice [online]. Ucební

materiál, Technická univerzita v Liberci, Fakulta mechatroniky, informatiky a meziobo-

rových studií. [cit. 2014-03-08]. Dostupné z: http://www.nti.tul.cz/cz/images/

79

http://www.math.muni.cz/~mkolar/skripta002.pdf

http://www.math.muni.cz/~mkolar/skripta002.pdf

http://theses.cz/id/jjbh7h/122406-679142669.pdf

http://is.muni.cz/th/60478/prif_b/poissonovo_rozlozeni_svub.pdf

http://is.muni.cz/th/60478/prif_b/poissonovo_rozlozeni_svub.pdf

http://web2.vslg.cz/fotogalerie/acta_logistica/2011/2_cislo/3_seda.pdf

http://web2.vslg.cz/fotogalerie/acta_logistica/2011/2_cislo/3_seda.pdf

http://www.nti.tul.cz/cz/images/0/0a/Mul_skripta_101101.pdf


Seznam použité literatury

0/0a/Mul_skripta_101101.pdf.

[12] STEWART, William J., Probability, Markov chains, queues, and simulation: the mathema-

tical basis of performance modeling, Princeton: Princeton University Press, 2009, xviii,

758 s. ISBN 978-0-691-14062-9.

[13] KORENÁR, Václav, Stochastické procesy. 2. preprac. vyd. Praha: Vysoká škola ekono-

mická v Praze, 2010, 228 s. ISBN 978-80-245-1646-2.

[14] SEMANCO, Pavel, MARTON, David, Simulation Tools Evaluation using Theoretical Ma-

nufacturing Model [online]. Acta Polytechnica Hungarica - Journal of Applied Sciences,

2013. [cit. 2014-02-18]. Dostupné z: http://www.uni-obuda.hu/journal/Semanco_

Marton_40.pdf

[15] QUARTERONI, Alfio, SACCO, Riccardo a SALERI, Fausto. Numerical mathematics. New

York: Springer, c2000, xx, 654 p. ISBN 03-879-8959-5.

80



http://www.uni-obuda.hu/journal/Semanco_Marton_40.pdf

http://www.uni-obuda.hu/journal/Semanco_Marton_40.pdf

Seznam obrázku

1.1. Schéma základních pojmu systému hromadné obsluhy (vlastní zpracování) . . 21

1.2. SHO s paralelním usporádáním obslužných linek a netrpelivostí zákazníku . . 23

1.3. Exponenciální model M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4. Prechodový graf systému M/M/c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5. Graf prechodu systému M/M/1/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.6. Prostredí simulacního programu Arena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.7. Vývojový diagram modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.8. Nastavení generování príchodu zákazníku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.9. Nastavení rozhodovacího procesu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.10.Nastavení obsluhy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.11.Výsledky simulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.12.Analýza simulace - obsluha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.13.Analýza simulace - fronta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.14.Náhled na simulaci v doplnku QtdPlus4Calc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1. Návštevnost v jednotlivých casových pásmech behem roku . . . . . . . . . . . . 63

3.2. Cetnost príchodu klientu behem roku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3. Cetnost príchodu klientu v prubehu mesíce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4. Využití služeb behem roku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.5. Využití duchodové služby behem jednotlivých dní za ctvrtletí . . . . . . . . . . . 66

3.6. Prumerná doba obsluhy v minutách podle jednotlivých služeb . . . . . . . . . . 67

3.7. Doba obsluhy a cekání 15. ledna 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.8. Prumerná doba cekání v minutách podle jednotlivých služeb . . . . . . . . . . . 69

3.9. Doba cekání 15. ledna 2014 v intervalu 130s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.10.Ukázkový graf vytíženosti prepážky P03 a P11 behem roku . . . . . . . . . . . . . 72

3.11.Porovnání prumerných dob cekání, obsluhy a doby strávené v systému behem

dne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.12.Pocet aktivních prepážek behem casových intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.13.Porovnání prumerných dob cekání, obsluhy podle jednotlivých služeb . . . . . 74

81

Seznam tabulek

1.1. Vztahy mezi nekterými charakteristikami systému hromadné obsluhy. . . . . . 24

2.1. Porovnání analytického a simulacního rešení modelu M/M/1 . . . . . . . . . . 43

2.2. Testování modelu M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3. Porovnání analytického a simulacního rešení modelu M/D/1 . . . . . . . . . . . 43

2.4. Testování modelu M/D/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5. Porovnání analytického a simulacního rešení modelu D/M/1 . . . . . . . . . . . 45

2.6. Testování modelu D/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.7. Ukázka simulace modelu M/M/c systému hromadné obsluhy . . . . . . . . . . 46

2.8. Výsledky simulace modelu M/M/c pro krátký casový úsek . . . . . . . . . . . . 47

2.9. Porovnání analytického a simulacního rešení modelu M/M/c . . . . . . . . . . 47

2.10.Simulacní výsledky pro model M/M/c s ruznými pocty prepážek . . . . . . . . 47

2.11.Srovnání modelu M/M/1 a M/M/3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.12.Porovnání analytického a simulacního rešení modelu M/M/1/K . . . . . . . . . 49

2.13.Testování modelu M/M/1/K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.14.Porovnání analytického a simulacního rešení modelu M/M/c/K . . . . . . . . . 51

2.15.Testování modelu M/M/c/K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.16.Porovnání analytického a simulacního rešení modelu M/M/1/./N . . . . . . . 52

2.17.Testování modelu M/M/1/./N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1. První cást tabulkové metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2. Tabulková metoda pro testování hypotéz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3. Kritické hodnoty testovacího kritéria Poissonova rozdelení . . . . . . . . . . . . 60

3.4. Test exponenciálního rozdelení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.5. Upravená tabulka pro test exponenciálního rozdelení . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.6. Kritické hodnoty testovacího kritéria exponenciálního rozdelení . . . . . . . . . 62

3.7. Pocet klientu v jednotlivých obdobích za celý rok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.8. Prehled poskytovaných služeb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.9. Využití duchodové služby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.10.Hodnoty pro test exponenciálního rozdelení doby obsluhy . . . . . . . . . . . . 68

3.11.Test exponenciálního rozložení pro dopolední dobu cekání . . . . . . . . . . . . 70

3.12.Kritické hodnoty kritéria pro dopoledne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.13.Test exponenciálního rozložení pro odpolední dobu cekání . . . . . . . . . . . . 71

3.14.Kritické hodnoty kritéria pro odpoledne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

83

Seznam tabulek

3.15.Vytíženost jednotlivých prepážek v období 04/2013 - 03/2014 . . . . . . . . . . . 72

3.16.Prehled doby cekání ve fronte a doby obsluhy za celý rok . . . . . . . . . . . . . 73

3.17.Prumerné doby cekání, obsluhy a doby strávené v systému dle služeb . . . . . . 74

84

A. Obsah priloženého CD

soubor/adresár obsah

bakalarska_prace.pdf originální text bakalárské práce

Data_VS/ složka s daty vyvolávacího systému CP, s.p.

Analyza_VS/ složka s projektem vytvoreným pro analýzu

dat

Simulace/ složka s vytvorenými simulacními modely

Simulace/MMc/ složka se simulací modelu M/M/c

Simulace/MMc/MMc.cs zdrojový kód k modelu M/M/c

Simulace/MMc/Tex/Main.cs zdrojový kód k modelu M/M/c, který ná-

sledne vygeneruje prubeh simulace do sou-

boru txt

Simulace/DM1.cs zdrojový kód k modelu D/M/1

Simulace/MD1.cs zdrojový kód k modelu M/D/1

Simulace/MM1.cs zdrojový kód k modelu M/M/1

Simulace/MM1.N.cs zdrojový kód k modelu M/M/1/./N

Simulace/MM1K.cs zdrojový kód k modelu M/M/1/K

Simulace/MMcK.cs zdrojový kód k modelu M/M/c/K

Navrh_modelu/ složka s projektem navrhovaného modelu

85

Date post:	08-Sep-2019
Category:	Documents
Upload:	others
View:	0 times
Download:	0 times

Pocítaˇ cová simulace a analýzaˇ vybraných frontových...

Documents