KinematikaPohyb a klid
vztažná soustava (vůči čemu) relativní pojem neexistuje těleso v absolutním klidu
Hmotný bod těleso, jehož rozměry jsou zanedbatelné ve srovnání se vzdáleností, kterou urazí.
Trajektorie hmotného bodu dráha („křivka“), po které se bod pohybuje POHYB - Přímočarý
- Křivočarý
Dráha s [s]=m délka trajektorie
Čas t [t]=s
Rychlost v [v]=km.s-1;m.s-1
1m.s-1 = 3,6 km.s-1
v= st
Průměrná rychlost (v = skalár)
v= s (celková)t (celková)
Okamžitá rychlost (vektor) – měřená je v 1 místě Δt →0(„se blíží nule“)
v= ΔsΔ t
Rovnoměrný pohyb pohyb, při kterém těleso za libovolné, ale stejné časové úseky urazí stejné dráhy v= konstanta
s=vtZrychlení a
[a]=m.s-2
změna rychlosti zrychlení se číselně rovná přírůstku rychlosti za 1 sekundu.
v0 počáteční rychlost [v0]=km.h-1; m.s-1
v konečná rychlost [v]=km.h-1; m.s-1
Δ v=v−v0a= Δv
tRovnoměrně zrychlený pohyb
a= konstanta
Okamžitá rychlost
v=v0+at
Rozjíždění z klidu rychlost je přímo úměrná času v0=0
v=atDráha rovnoměrně zrychleného pohybu
v0=0 graf: část paraboly
s=12a t2
Volný pád všechna tělesa ve vakuu padají se stejným zrychlením
Tíhové zrychlení g [g]=m.s-2
g ¿̇10m⋅ s−2 (u nás v ČR: g=9,81m.s−2, normální tíhové zrychlení: gn=9,80665m⋅ s−2)
výška (dráha) h [h]=m
Okamžitá rychlostv=¿
Dráha pádu
s=12g t 2
Doba pádu tp
[tp]=s
t p√ 2hgSkládání pohybu
Skládání rychlostí (vektorový součet)v⃗=v⃗1+ v⃗2Velikost výsledné rychlostiv=√v1+v2Princip nezávislosti pohybu:Koná-li těleso (hmotný bod) dva či více pohybů současně je jeho výsledná poloha stejná, jako kdyby konalo tyto pohyby postupně v libovolném pořadí.
Pohyb hmotného bodu po kružnici
Průvodič hmotného bodu SA spojuje hmotný bod se středem kružnice
Radián (rad) úhel, jemuž na kružnici odpovídá oblouk stejné délky, jako je
poloměr kružnice (cca 57°) jednotka obloukové míry
Znaménková dohoda pro měření úhlů proti směru hodinových ručiček +
po směru hodinových ručiček -
Úhlová dráha ϕ [ϕ ]=rad
φ= sr
Rychlost v
v=r φt
v=rω
v=2πrT
=2πrf
Úhlová rychlost ω [ω ]=rad.s-1
ω=φt
ω=2πT
ω=2πfOkamžitá rychlost
vektor okamžité rychlosti v každém bodě má směr tečny k trajektorii tzn. je kolmý na průvodič
Rovnoměrný křivočarý pohyb NEMŮŽE být nikdy KONSTANTA, jelikož 1)sice má stejnou velikost
2)ale nemá stejný směr
Perioda T
[T]=s
doba, za kterou hmotný bod opíše celou kružnici a jeho průvodič dráhu: ϕ=2π rad tj. oběžná doba
Frekvence f [f]=s-1
je dána počtem oběhů hmotného bodu po kružnici za jednotku času
f= 1T
Počet otáček n [n]=1 (nemá jednotky)
Periodické pohyby pohyby se stálou periodou a frekvencí jejich průběh se pravidelně opakuje
Dostředivé zrychlení a⃗d [a⃗d]=m.s-2
mění pouze směr rychlosti
ad=v2
r
ad=r ⋅ω2
APůsobiště síly
Dynamika zkoumá příčiny pohybu
Síla F⃗ velikost síly F [F]=N 1N=1kg ⋅m⋅ s−2 1N – síla kterou Země přitahuj těleso o hmotnosti 100g 1N – síla, která tělesu o hmotnosti 1kg udělí zrychlení 1m.s−2 měření síly: siloměr
ÚČINKY SÍLY:o uvedení z klidu do pohybuo uvedení z pohybu do kliduo zrychlenío zpomalenío změna směru
o deformace
Newtonovy pohybové zákony1. Newtonův pohybový zákon – Zákon setrvačnosti
Těleso setrvává v relativním klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu dokud není donuceno tento stav změnit působením jiných těles.
2. Newtonův pohybový zákon – Zákon síly Působí-li na těleso síla, těleso rovnoměrně zrychluje. Zrychlení je přímo úměrné působící síle a nepřímo úměrné hmotnosti tělesa.
a= Fm a⃗= F⃗
m
F=ma F⃗=m a⃗Impuls síly II=Ft (I⃗=F⃗ t )
Hybnost tělesa p [ p ]=kg ⋅m⋅ s−1
p=mv ( p⃗=mv⃗ )
Změna hybnosti Δ pΔ p=m⋅ Δv
Δ p⃗=F⃗ t
Δ p⃗= p⃗2+ p⃗1= p⃗2+(− p⃗1 )
|Δ p⃗|=|p⃗1|+|p⃗2|Δ p=p1+ p2
opačný vektor
Účinky pohybové (dynamické)
Účinky statické
3. Newtonův pohybový zákon – Zákon akce a reakce Působí-li jedno těleso na druhé silou, působí druhé těleso na první stejně velkou silou opačného směru. Tyto síly nazýváme akce a reakce.Síly akce a reakce působí na různá tělesa a proto se jejich účinky neruší.
Důsledek:m1v1=m2v2
Jsou-li dvě tělesa uvedena z klidu do pohybu jen silami akce a reakce, tak jsou jejich hybnosti stejně velké.
Zobecnění: Zákon zachování hybnostiCelková hybnost izolované soustavy je konstantní.
soustava před nárazem pI
soustava po nárazu pII
pI = pII
Dostředivá síla
F⃗d=ma⃗d
ad=v2
r=r ω2
Fd=mv2
r
Fd=mrω2
Tření
Třecí síla Ft
Normálová síla Fn
Součinitel smykového tření f [f] = 1
F t=f Fn
Smykové třeníTřecí síla závisí na 1) normálové síle
2) kvalitě povrchuTřecí síla v podstatě nezávisí na rychlosti a velikosti styčných ploch.
Nakloněná rovina
Pohybová složka F⃗1Normálová složka F⃗n
FG=mg
sin α=F1FG
F1=mg sinα
cos α=FnFG
Fn=mg cosα
F t=f FnF t=fmg cosα
s
Mechanická práce a výkonMechanická práce W
[W] = J (1J=1N.1m=1kg.1m.s2.m=1kg.m2.s2) silové působení přemístění
Pokud je síla kolmá ke směru přemístění práce se NEKONÁ!
W=Fs
W=Fscosα
W=Pt
1 kilowatthodina: 1kW ⋅h=1000W ⋅3600 s=3,6⋅ 106W ⋅ s=3,6MJ
Výkon P [P] = W (watt) - 1W=1J ⋅s−1 1k (kůň)=̇¿ ¿0,75 kW
P=Wt
P=Wt
= Fst
=Fv
P=Fv
Účinnost η Výkon (užitečný) P Příkon (celkový) P0
[η] = 1 P < P0 → η < 1 η - často vyjadřujeme v procentech
P < P0
h-h1
Energie „schopnost“ konat práci
1) Kinetická (pohybová) energie Ek [Ek] = J
Ek=12mv2
Ek=W=Fs=ma . 12a t 2=1
2ma2t 2=1
2m (at )2=1
2mv2
2) Potenciální tíhová energie Ep [Ep] = J závisí na volbě vztažné soustavy
Ep=mghEp=W=Fs=mgh
3) Potenciální energie pružnosti
Ep=mgh; Ek=0E=Ep+Ek=mgh
Ep=mgh1; Ek=12mv2=1
2m .2g (h−h1) ( v=√2g(h−h1) )
E=Ep+Ek=mgh1+mgh−mgh1=mgh
Ep=0; Ek=12mvd
2=12m2gh=mgh ( vd=√2gh )
E=Ep+Ek=mgh
Př: Matematické kyvadlo
α=60 °l=46cm=0,46mm=50 g
v=?m ⋅s−1
cos α=dl
v=√2g ( l−l cosα )
v=√2⋅10 ⋅(0,46−0,46 ⋅0,5)m ⋅s−1
v=2,1m⋅ s−1
d= lcos αh1=l−d
mg h1=12mv2
gh1=12v2
2g h1=v2
v=√2gh1v=√2g ( l−d )
V tíhovém poli nezávisí práce při zvedání tělesa na tvaru trajektorie, ale pouze na svislé odlehlosti počátečního a koncového místa
r
Gravitační poleNewtonův gravitační zákon
Gravitační síla Fg
Fg∼m1m2; Fg∼1r 2
Gravitační konstanta κ
[κ ]=N m2kg−2
κ=6,67 ⋅10−11N m2 kg−2
Fg=κm1m2r2
Hmotnost Země: M Z=6⋅1024 kgHmotnost Slunce: M S=2⋅1030kg
Gravitační zrychlení na povrchu Země
Gravitační zrychlení ag [ag ]=m⋅s−2
Fg=κmM Z
RZ2
Fg=mag
mag=κmM Z
RZ2
ag=κM Z
RZ2
Tíhová síla F⃗GGravitační síla F⃗gSíla setrvačná odstředivá F⃗ s
H
Pohyb těles v homogenním tíhovém poliVolný pád
v=¿
s=12g t 2
vd=√2gh
Složené pohyby – vrhy
1. Vrh svislý vzhůruPočáteční rychlost v0
Okamžitá výška h
h=v0 t−12g t 2
Okamžitá rychlost v
v=v0−¿
Doba výstupu T(v0−¿=0)
T=v0g
Maximální výška výstupu H
H=v0T−12gT 2=v0
v0g
−12g( v0g )= v0
2
g−12v02
g=v02
g−v02
2g=v02
2g
H=v02
2g
Rychlost dopadu vd
vd=√2gh=√2g v022g=v0vd=v0
d x
y
H
2. Vrh vodorovný Pohyb složený z vodorovného, rovnoměrného, přímočarého pohybu a volného pádu
x=v0t
y=H−12g t 2
y= g2v0
2 x2+H
Trajektorie: část paraboly
Doba vrhu TPodm: y=0
0=H−12gT2 ;0=2H−gT 2 ;gT 2=2H ;T 2=2H
g
T=√ 2HgDálka vrhu dPodm: t=T
d=v0T
d=v0√ 2HgRychlost dopadu vd
vd=√v02+2gH
3. Vrh šikmý vzhůruv y=v0 sinα
vx=v0cos α
x=v0 t cosα
y=v0 t sin α−¿ 12g t 2 ¿
Elevační úhel α
Doba výstupu T '
T '=v yg
=v0 sin αg
Doba vrhu T=2T '
T=2v0sin αg
Maximální výška H zapisujeme :(sin α)2=sin2α
H=v y2
2g=¿¿¿
H=v02
2gsin2α
Dálka vrhu d d je maximální když2d=90 ° → d=45 °
d=v xT=v0cos α2v0cos αg
=v02
g2sin α cos α=
v02
gsin 2α
d=v02
gsin 2α
SFd
RZ
Pohyby v centrálním gravitačním poli Centrální gravitační pole
Má střed, do něhož se sbíhají vektory gravitačních sil
Newtonův gravitační zákonGravitační síla Fg
Fg=κm1m2r2
Fg=magκ=6,67 .10−11N .m2 . kg−2
Poloměr Země RZ (RZ ¿̇6378000m)
Hmotnost Země M Z (M Z ¿̇6.1024kg)
Gravitační zrychlení ag
ag=κM Z
RZ2
Ve výšce h: ag=κM Z
(RZ+h )2
Kruhová rychlost vk Nad povrchem Země
Dostředivá síla Fd
Fd=mvk2
RZ
Fg=κmM Z
RZ2
Fd=Fg
vk=√κ M Z
RZ Kruhová rychlost těsně nad povrchem Země: vk ¿̇7,9km .s
−1
Ve výšce h: vk=√κ M Z
RZ+h Kruhová rychlost ve výšce 300 km nad povrchem Země: vk ¿̇7,8km . s
−1
První kosmická rychlost
Parabolická rychlost vp (vp=v k .√2¿̇11,2km . s−1) Druhá kosmická rychlost
Elipsa Množina všech bodů v rovině, které mají stálý součet vzdáleností od dvou daných navzájem různých bodů (tzv. ohnisek) Hlavní poloosa a (a=|SY|)
|XF|+|XG|=ko nst .=|YZ|=2a
DRZ hr
Keplerovy zákony
1. Keplerův zákon Planety se pohybují po elipsách málo odlišných od
kružnic, v jejichž společném ohnisku je Slunce
2. Keplerův zákon Obsahy ploch opsaných průvodičem planety za
jednotku času jsou konstantní. Důsledek: Pohyb planety kolem Slunce je
nerovnoměrný (rychlost není konstantní) → v perihéliu se pohybuje rychleji než v aféliu
3. Keplerův zákon Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet se rovná poměru třetích mocnin jejich hlavních poloos
T12
T22=a13
a23
Stacionární družice Družice, která pořád zůstává nad jedním místem na Zemi (tzn.
její oběžná doba = otočka Země) Musí být umístěna nad rovníkem
T=24h=86 400 sκ=6,67. 10−11N .m2 . kg−2
M Z ¿̇6.1024kg
RZ ¿̇6378000mh=?m
h=3√T 2κ M Z
4 π2−RZ
h=3√ 86 4002.6,67.10−11 .6.1024
4 π 2−6378000m
h=35900 km
vk=√κ M Z
RZ+hr=RZ+h
vk=√κ M Z
r
T= svk
= 2πr
√κ M Z
r
T √κ M Z
r=2πr
T 2κM Z
r=4 π2r2
T 2κ M Z=4 π2r3
r3=T 2κ M Z
4 π2
r=3√T 2κ M Z
4π 2
+ A+ o d
Mechanika tuhého tělesaTuhé těleso
Těleso, které se působením sil nedeformuje
Pohyb Posuvný
Všechny přímky spojené s tělesem jsou rovnoběžné s jejich původní polohou Otáčivý
Všechny body tělesa kromě středu se pohybují po soustředných kružnicích
Účinek síly na tuhé těleso se nezmění, posuneme-li její působiště do libovolného bodu její vektorové přímky.
Rameno síly d [d ]=m
Moment síly vzhledem k ose otáčení M [M ]=N .m(newtonmetr)
M=Fd Znaménková dohoda: proti směru hodinových ručiček +
po směru hodinových ručiček -
Momentová věta: Otáčivý účinek sil působících na tuhé těleso otáčivé kolem pevné osy se ruší,
jestliže součet (algebraický = včetně znaménka) momentů těchto sil se rovná nule.
„suma“ Σ
∑i=1
n
M i=0
F⃗=F⃗1+ F⃗2a) F=F1+F2b) F=|F1−F2|c) Různoběžné
Speciální příklad: F⃗1⊥ F⃗2F=√F12+F22
∑i=1
7
M i=M 1+M 2+M 3+M 4+M5+M 6+M 7
Cykloida
o
o
oor rd
Skládání sil v různých bodech tělesaA. Různoběžné síly B. Rovnoběžné síly
F1d1=F2d2F1F2
=d2d1
F=F1+F2Tip:
1) Sílu (F1) přenesu
2) Sílu (F2) otočím a přenesu
Rozklad síly (na složky)Pohybová složka F⃗1 Normálová složka F⃗nTíhová síla FG
F⃗1=FG . sinα
F⃗n=FG .cos α
Dvojice sil Účinek dvojice sil nelze nahradit jedinou silou.
Rameno dvojice sil d
M=M 1+M 2=Fr+F' r=Fd
M=Fd
r
r
Těžiště tělesa Působiště tíhové síly. Hledání:
o U geometricky pravidelných těles – v geometrickém středuo U nepravidelných těles – experimentálně nebo dvojím zavěšením
Existují i tělesa, které mají těžiště mimo látku tělesa (např. prstýnek).Rovnovážná poloha tělesa
Těleso je v rovnovážné poloze, jestliže výsledná síla působící na těleso i výsledný moment sil je nulový.a) Stálá (stabilní)
b) Vratká (labilní)
c) Volná (indiferentní)
Rotace tuhého tělesa
Ek 1=12m1 v1
2
Ek 1=12m1 r1
2ω2
Ek 2=12m2 r2
2ω2
∑i=1
10
r=r1+r2+r3+r 4+r5+r6+r7+r8+r9+r10
Celková energie rotace buřtu
Ek=∑iEki
Ek=∑i
12mir i2ω2
Ek=12∑i
mir i2ω2
Moment setrvačnosti tělesa J
J=∑imir i
2
Ek=12Jω2
Hmotný bod (kulička)
J=mr2
Deska (válec)
J=12mr2
hS
Mechanické vlastnosti kapalin a plynůVlastnosti kapalin a plynů
Společné:o Částicová struktura (částice, mezi kterými jsou prostory).o Mezi částicemi působí molekulové síly.
a) U kapalin SILNĚJŠÍ.b) U plynů SLABŠÍ, plyny si předávají energii při srážkách.
o Jsou tekuté → kapaliny a plyny dohromady nazýváme TEKUTINY Rozdílné:
o Stlačitelnosta) Kapaliny jsou NESTLAČITELNÉ.b) Plyny jsou STLAČITELNÉ.
Pascalův zákon Tlak vyvolaný vnější silou působící na povrch kapaliny je všude v kapalině stejný. Využití: hydraulická zařízení
Tlak p[ p ]=1Pa (¿1N ⋅m−2)
p= FS
p1=F1S1
p2=F2S2
p1=p2 → F1S1
=F2S2
F2=F1S2S1
S2>S1⇒F2>F1Hydrostatický tlak
Hydrostatický tlak ph Tlak vyvolaný vlastní tíhou kapaliny.
ph=hρg
F=mg , m=Vρ
F=ShρgHydrostatický paradox Spojené nádoby
Vztlaková sílaArchimédův zákon
Na těleso ponořené do kapaliny působí vztlaková síla. Její velikost je rovna V ⋅ ρk ⋅g Vztlaková síla nezávisí na hloubce ponoru
Vztlaková síla F vzObjem ponořené části tělesa VHustota kapaliny ρk
F vz=V ρk g
Kartezián
Plování tělesPrůměrná hustota tělesa ρt
Hustota teplé vody < hustota studené vody.
1. ρt< ρk⇒ těleso plove2. ρt=ρk⇒ těleso se vznáší3. ρt ¿ ρ k⇒ těleso se potopí
FG=V ρt g
F⃗a