Diferenciální geometrie

Pomocný učební text – díl I.

František Ježek

Plzeň, červen 2005

Obsah

1 Křivky 41.1 Vyjádření křivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Transformace parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Délka křivky, oblouk jako parametr . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Tečný vektor a tečna křivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Oskulační rovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Frenetovy vzorce, křivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Kanonické a přirozené rovnice křivky . . . . . . . . . . . . . . 131.8 Oskulační vlastnosti křivek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.9 Obálky systému křivek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.10 Spádové křivky, evoluty a evolventy . . . . . . . . . . . . . . . 17

2

Předmluva

Tento text je záznamem přednášek, které jsem připravil pro Fakultu apliko-vaných věd v akademickém roce 2002/03 pro předmět Diferenciální geome-trie. Ochotným přístupem dvou studentů byl záznam přednášek vysázen vsystému LATEX. Později jsem provedl autorizaci a doplnění tohoto záznamu.Velké poděkování patří studentům Petru Märzovi a Marku Byrtusovi,

kteří pro budoucí generaci studentů připravili základ záznamu přednášek.Budu Vám vděčný za případné připomínky k textu. Řadu podnětů v roce

2004 a 2005 poslali Josef Otta a Martina Sitková, za což jim patří dík. Většinunámětů jsem akceptoval.

František Ježek

3

Kapitola 1

Křivky

1.1 Vyjádření křivky

Definice 1. Regulární křivkou třídy Cn v E3 rozumíme množinu K ⊂ E3,pro níž existuje vektorová funkce PPP (t), t ∈ I, tak, že

(a) PPP : I → K, I je otevřený interval,

(b) PPP je třídy Cn,

(c) |PPP ′(t0)| 6= 0 pro všechna t0 ∈ I,

(d) t1 6= t2 ⇒ PPP (t1) 6= PPP (t1).

Poznámka 1. Rozepsáním do složek dostaneme parametrické vyjádření.

Příklad 1. Uvažujme dvě různé parametrizace přímky

(a) PPP (t) = (t, t, t), t ∈ R, toto vyjádření přímky vyhovuje definici regulárníkřivky,

(b) PPP (t) = (t3, t3, t3), t ∈ R, stejná přímka jako v (a), ale tato parametri-zace přímky již nesplňuje podmínky definice, protože neplatí nerovnost|PPP ′(0)| 6= 0.

Poznámka 2. Definice křivky je, jak to u elementárních pojmů bývá, po-měrně komplikovaná. Námi uvedená definice regulární křivky je problema-tická při praktickém ověřování podmínek. V dalším textu budeme používatpojem křivka (bez přívlastku). Křivkou rozumíme množinu (bodů), která jeskoro všude (až na konečný počet bodů) regulární křivkou.

4

1.2. Transformace parametru 5

Obrázek 1.1: K definici křivky

Poznámka 3. Kromě vektorových (nebo parametrických) rovnic lze praco-vat i s explicitními nebo implicitními rovnicemi.

Explicitní ImplicitníE2 y = f(x) f(x, y) = 0E3 y = f1(x) f1(x, y, z) = 0

z = f2(x), x ∈ I f2(x, y, z) = 0

Převod mezi implicitním a explicitním tvarem lze provést pomocí věty oimplicitních funkcích.K určení regulární křivky implicitními rovnicemi je nutné, aby následující

matice měla hodnost 2: (∂f1∂x

∂f1∂y

∂f1∂z

∂f2∂x

∂f2∂y

∂f2∂z

).

1.2 Transformace parametru

Věta 1. Nechť PPP (t), t ∈ I, je regulární křivkou a nechť ϕ je spojitá funkceϕ : I? → I a ϕ′(t?0) 6= 0 pro každé t?0 ∈ I?. Pak PPP (ϕ(t?)), t? ∈ I?, je vektorovourovnicí křivky PPP (t).

1.2. Transformace parametru 6

Důkaz. Funkce ϕ je rostoucí nebo klesající, tedy je prostá. Snadno se ověřípodmínky definice 1 i pro PPP (ϕ(t?)) na I?.

Obrázek 1.2: Transformace parametru

Obrázek 1.3: Transformace parametru na křivce

1.3. Délka křivky, oblouk jako parametr 7

1.3 Délka křivky, oblouk jako parametr

Věta 2. Nechť PPP (t), t ∈ I = (td, th). Pak délka křivky je dána vztahem

d =

th∫td

√PPP ′(t) ·PPP ′(t) dt

Důkaz. Tvrzení plyne z integrálního počtu a z rovnice:

PPP ′(t) ·PPP ′(t) =

(dx(t)dt

)2+

(dy(t)dt

)2+

(dz(t)dt

)2.

Definice 2. Nechť PPP (t), t ∈ I, je regulární křivkou. Položme

s(t) =

t∫td

√PPP ′( t ) ·PPP ′( t ) dt

a inverzní funkci označme t(s). Pak nový parametr s nazýváme oblouk.

Poznámka 4. Definice 2 je korektní, neboť s′(t) =√

PPP ′( t ) ·PPP ′( t ) > 0 atedy existuje inverzní funkce. Derivaci podle oblouku značíme tečkou, tj.

PPP (s) =dPPP (s)ds

.

Příklad 2. Kružnici k = (0, r) parametrizujte obloukem.Víme, že parametrické vyjádření kružnice je

x(t) = r cos t, y(t) = r sin t, t ∈ 〈0, 2π) ,

kde

s(t) =

t∫0

√r2 cos2 t+ r2 sin2 t dt =

t∫0

√r2 dt = rt.

Pak dostáváme t = 1rs a z toho už plyne parametrizace obloukem ve tvaru

x(s) = r cos

(1rs

)a y(s) = r sin

(1rs

).

1.4. Tečný vektor a tečna křivky 8

Obrázek 1.4: Tečný vektor křivky

1.4 Tečný vektor a tečna křivky

Z diferenciálního počtu je známo, že „tečna je limitní polohou sečnyÿ.

Definice 3. Vektor

PPP ′(t0) =dPPPdt(t0)

nazýváme tečný vektor křivky PPP (t), t ∈ I, v bodě t0. Tečnou křivky v danémbodě rozumíme přímku RRR(k) = PPP (t0) + kPPP ′(t0).

Věta 3. Křivka má v daném bodě jedinou tečnu.

Důkaz. Z definice 3 plyne, že v dané parametrizaci existuje v daném boděkřivky jediná tečna. Stačí tedy dokázat, že tečna nezávisí na zvolené para-metrizaci. Uvažujme změnu parametru t = ϕ(t?), kde ϕ je spojitá a ϕ′ 6= 0.Pak platí

dPPP (t?)dt?

=dPPP (t)dt

· dϕ(t?)

dt?,

kde člendϕ(t?)dt? 6= 0. Tečné vektory pro různé parametrizace jsou kolineární,

tj. tečna nezávisí na parametrizaci.

1.4. Tečný vektor a tečna křivky 9

Věta 4. Nechť PPP (t), t ∈ I, je regulární křivka. Parametr t je obloukem, právě

když

∣∣∣∣dPPPdt∣∣∣∣ = 1 pro každé t ∈ I.

Důkaz. ⇒ Nechť t je parametr, který je obloukem. Platí

t = s(t) =

t∫td

√PPP ′( t ) ·PPP ′( t ) dt .

Derivujeme-li podle t, dostáváme tuto rovnici

1 =√

PPP ( t ) ·PPP ( t ) = |PPP ′| .

⇐ Integrováním vztahu |PPP ′| = 1 podle parametru dostávámes∫

sd

1d t =

s∫sd

√PPP ′( t ) ·PPP ′( t ) dt ,

s− sd =

s∫sd

√PPP ′( t ) ·PPP ′( t ) dt.

Pro oblouk položíme sd = 0.

Věta 5. Nechť je dána křivka implicitními rovnicemi f1(x, y, z) = 0, f2(x, y, z) =0 a nechť bod [x0, y0, z0] leží na křivce. Pak vektor

∣∣∣∣∣∣∣∂f1∂y

∂f1∂z

∂f2∂y

∂f2∂z

∣∣∣∣∣∣∣ , −

∣∣∣∣∣∣∣∂f1∂x

∂f1∂z

∂f2∂x

∂f2∂z

∣∣∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣∣

∂f1∂x

∂f1∂y

∂f2∂x

∂f2∂y

∣∣∣∣∣∣∣

je tečným vektorem této křivky.

Důkaz. Nechť x = x(t), y = y(t), z = z(t) je parametrické vyjádření téže

křivky v okolí bodu [x0, y0, z0], pak pro derivacedf1dt a

df2dt platí následující

rovnostdfi

dt=

∂fi

∂x· dxdt+

∂fi

∂y· dydt+

∂fi

∂z· dzdt= 0 , i = 1, 2 .

Hledáme řešení pro neznámédxdt

,dydtadzdt. Jde o ortogonální vektor k ji-

ným dvěma vektorům. Použijeme tedy vektorový součin, tj.

(dxdt

,dydt

,dzdt

)je kolineární s

(∂f1∂x

,∂f1∂y

,∂f1∂z

)×(

∂f2∂x

,∂f2∂y

,∂f2∂z

).

1.5. Oskulační rovina 10

Příklad 3. Určete tečnu řezu kulové plochy (0, r = 5) rovinou x+y+z−7 = 0ve zvoleném bodě.Máme tedy dvě implicitní vyjádření, která jsou

x2 + y2 + z2 − 25 = 0x + y + z − 7 = 0 .

Můžeme si zvolit z, např. z = 0, pak bodem, který splňuje rovnost, je např.[3, 4, 0]. Dostáváme následující obecnou soustavu

2xdxdt+ 2y

dydt+ 2z

dzdt= 0

dxdt+dydt+dzdt= 0 .

Dosadíme-li bod [3, 4, 0] do první rovnice

6dxdt+ 8dydt+ 0 = 0

dxdt+dydt+dzdt= 0 ,

pak tečný vektor v bodě [3, 4, 0] podle věty 5 má tvar

ttt =

( ∣∣∣∣ 8 01 1∣∣∣∣, −

∣∣∣∣ 6 01 1∣∣∣∣, ∣∣∣∣ 6 81 1

∣∣∣∣ ) = (8,−6,−2) ∼ (4,−3,−1) .

Tečna v bodě je RRR(t) = (3, 4, 0) + t(4,−3,−1).

1.5 Oskulační rovina

Oskulační rovina je „limitní polohouÿ roviny tX určené tečnou t a „pohybu-jícím se bodem X křivkyÿ.

Definice 4. Nechť PPP (t), t ∈ I, je regulární křivka a je dáno t0 ∈ I. Nechťvektory PPP ′(t0) a PPP ′′(t0) jsou nekolineární, pak rovinu

RRR(u, v) = PPP (t0) + uPPP ′(t0) + vPPP ′′(t0)

nazýváme oskulační rovinou křivky v daném bodě.

Věta 6. Oskulační rovina se nemění při změně parametrizace.

1.6. Frenetovy vzorce, křivosti 11

Důkaz. Je-li t = ϕ(t?), kde ϕ je spojitá a ϕ′ 6= 0 pro každé t? ∈ I?, pak platí

t?0 = ϕ−1(t0) ,

PPP ′(t?0) =dPPP (ϕ(t?))dt?

(t?0) = PPP ′(t0) ·dϕdt?(t?0)

a z toho plyne, že tečné vektory jsou kolineární.Určíme dále druhé derivace:

PPP ′′ =

[dPPPdt

· dϕdt?

]′=d2PPPdt2

·(dϕdt?

)2+dPPPdt

· d2ϕ

dt?2,

PPP ′′(t?0) = PPP ′′(t0) · (ϕ′(t?0))2 +PPP ′(t0) · ϕ′′(t?0).

PPP ′′(t?0) je tedy lineární kombinací PPP′(t0) a PPP ′′(t0).

Definice 5. Bod křivky, v němž PPP ′(t0) a PPP ′′(t0) jsou kolineární, nazývámeinflexní bod.

Poznámka 5. V inflexním bodě není definována oskulační rovina, resp. zaoskulační rovinu lze považovat každou rovinu procházející tečnou. Snadnotedy plyne, že pojem „inflexní bodÿ nezávisí na parametrizaci (viz důkazvěty 6).

1.6 Frenetovy vzorce, křivosti

Definice 6. Normálou křivky v daném bodě rozumíme každou přímkuRRR(s) =PPP (t0) + snnn, kde nnn · PPP ′(t0) = 0, tj. každou přímku kolmou na tečnu. Hlavnínormála n je normála ležící v oskulační rovině. Binormála b je normála,která je kolmá k oskulační rovině. Rovinu tb nazýváme rektifikační, rovinunb nazýváme normálová.

Nechť křivka je parametrizovaná obloukemPPP (s), s ∈ I. Víme, že |PPP (s0)| =1 (podle věty 4) pro každé s0 ∈ I. Tedy

PPP · PPP + PPP · PPP = 0⇒ PPP · PPP = 0,

tj. PPP je buď nulový (inflexe), nebo ortogonální k PPP .

Definice 7. První křivostí křivky v bodě rozumíme číslo 1k(s0) = |PPP (s0)|,tj. velikost vektoru druhé derivace vektorové funkce parametrizované pomocíoblouku.

1.6. Frenetovy vzorce, křivosti 12

Obrázek 1.5: Tečna t, hlavní normála n, binormála b, oskulační rovina τ ,normálová rovina ν, rektifikační rovina µ křivky k v bodě X

Označme ttt(s0) = PPP (s0) a nnn(s0) =PPP (s0)|PPP (s0)|

= 11k·PPP (s0) = 1

1k·ttt(s0) jednotkové

vektory tečny a hlavní normály. Dále bbb(s0) = ttt(s0) × nnn(s0) je jednotkovývektor binormály. Ze vztahu bbb(s0) ·bbb(s0) = 1 plyne derivováním bbb(s0) · bbb(s0) =0. Tedy bbb patří do zaměření oskulační roviny, tj. bbb = Attt+Bnnn. Dále bbb · ttt = 0a derivováním bbb · ttt+bbb · ttt = 0⇒ bbb · ttt+bbb ·1 k ·nnn = 0⇒ bbb · ttt = 0. Jestliže rovnicibbb = Attt+Bnnn vynásobíme ttt, máme bbb · ttt = A, ale to je nula. Tím jsme ukázali,že koeficient A je nulový a tedy vektory bbb a nnn jsou kolineární. To nám dovolídefinovat druhou křivost křivky.

Definice 8. Druhou křivostí křivky (torzí) v bodě rozumíme číslo

2k(s0) = −bbb · nnn ,

neboli |2k(s0)| = |bbb|.

Věta 7. (Frenetovy vzorce) Pro regulární křivku parametrizovanou ob-loukem platí

ttt = 1knnnnnn = − 1kttt + 2kbbb

bbb = − 2knnn .

Důkaz. Máme tyto vztahyttt = 1knnn

bbb = −2knnn

1.7. Kanonické a přirozené rovnice křivky 13

a chceme určit nnn. Víme, že platí nnn · nnn = 0, tedy nnn = Attt + Bbbb (je lineárníkombinací vektorů kolmých k vektoru nnn). Derivováním dostaneme

ttt · nnn = 0 ⇒ ttt · nnn + ttt · nnn = 0 ⇒ 1k + ttt · nnn = 0⇒ ttt · nnn = −1k ,

bbb · nnn = 0 ⇒ bbb · nnn + bbb · nnn = 0 ⇒ −2k + bbb · nnn = 0⇒ bbb · nnn = 2k .

Snadno plyne A = −1k, B = 2k.

Poznámka 6. Ryze algebraicky lze větu vyvodit po zavedení první křivostipomocí tzv. věty o ortonormálním repéru.

Věta 8. Pro regulární křivku s obecným parametrem platí

(1k)2 =(PPP ′ ×PPP ′′)2

(PPP ′ ·PPP ′)3

2k =(PPP ′,PPP ′′,PPP ′′′)(PPP ′ ×PPP ′′)2

Důkaz. Důkaz je snadným cvičením a provede se změnou parametrizace.

1.7 Kanonické a přirozené rovnice křivky

Pro vektorovou funkci PPP (s) použijeme v okolí bodu s = 0 rozvoje v mocnin-nou řadu. Platí PPP = ttt, PPP = 1knnn, dále snadno vypočteme

PPP (3) = 1knnn+ nnnd1kds= 1k(−1kttt+ 2kbbb) + 1knnn = −1k2ttt+ 1knnn+ 1k2kbbb .

Pro rozvoj bude platit

PPP (s) = PPP (0) +PPP (1)(0)s+12PPP (2)(0)s2 +

16PPP (3)(0)s3 + . . .

a tedy (v lokálním repéru)

PPP (s) = PPP (0) + ttt(0)

[s− 161k2(0)s3 + . . .

]+

+ nnn(0)

[121k(0)s2 +

161k(0)s3 + . . .

]+

+ bbb(0)

[161k(0)2k(0)s3 + . . .

].

1.8. Oskulační vlastnosti křivek 14

Definice 9. Vyjádření křivky PPP (s) ve tvaru PPP (s) = PPP (0)+ttt0g1(s)+nnn0g2(s)+bbb0g3(s), kde funkce gi(s) jsou dány řadou, jejíž členy obsahují hodnotu deri-vací první a druhé křivosti v bodě s = 0, nazýváme kanonickými rovnicemikřivky v okolí bodu s = 0.

Poznámka 7. Nejjednodušší náhradou prostorové křivky (jednodušší pro-storovou křivkou) je

PPP (s) ≈ PPP (0) + ttt(0)s+ nnn(0)121k(0)s2 + bbb(0)

161k(0) 2k(0)s3.

Z vymezení pojmu kanonická rovnice plyne, že je-li dán repér, pak k určeníkřivky stačí znát 1k(s) a 2k(s).

Definice 10. Jsou-li dány funkce 1k(s) a 2k(s), je dán přirozený popis („při-rozené rovniceÿ) křivky, neboli trojice s, 1k(s), 2k(s) tvoří přirozené souřad-nice bodu na křivce.

Příklad 4. Přirozené rovnice kružnice jsou 1k = 1r; 2k = 0. Křivkou s při-

rozenými rovnicemi 1k(0) = a1s + a0, 2k(s) = 0 je klotoida. Použití má tatokřivka v návrhu přechodových oblouků komunikací.

Obrázek 1.6: Klotoida

1.8 Oskulační vlastnosti křivek

Definice 11. Nechť PPP (s) a QQQ(s), s ∈ I, jsou křivky. Řekneme, že pro s = 0mají dotyk řádu q (neboli q + 1 bodový dotyk), jestliže

drPPP

dsr(0) =

drQQQ

dsr(0), r = 0, . . . , q .

1.8. Oskulační vlastnosti křivek 15

Věta 9. Nutnou a postačující podmínkou pro dotyk řádu q ve společnémbodě křivek je:

q = 1 rovnost jednotkových tečných vektorů,

q = 2 rovnost jednotkových tečných vektorů, jednotkových vektorů hlavníchnormál a rovnost první křivosti,

q = 3 rovnost jednotkových tečných vektorů, jednotkových vektorů hlavníchnormál, rovnost první a druhé křivosti a rovnost derivace první křivosti.

Důkaz. Plyne z kanonického tvaru křivky.

Definice 12. Kružnici, která má s křivkou v daném bodě dotyk alespoňdruhého řádu (alespoň tříbodový), nazýváme oskulační kružnicí. Kružnices dotykem alespoň třetího řádu (alespoň čtyřbodovým) se nazývá hyperosku-lační kružnice.

Věta 10. Oskulační kružnice křivky PPP (s) v bodě s = s0 leží v oskulačnírovině křivky v daném bodě, má poloměr 1

1k(s) a pro střed této kružnice platí

SSS = PPP (s0) + 11k(s0)

nnn(s0).

Důkaz. Důkaz plyne z věty 9. Technickým problémem je stanovení znaménka+ nebo − u vektoru hlavní normály.

Obrázek 1.7: Oskulační kružnice křivky k v bodě X(s0)

1.9. Obálky systému křivek 16

1.9 Obálky systému křivek

Uvažujeme křivky F (x, y, α0) = 0 a F (x, y, α1) = 0 a nechť tyto křivky majíprůsečík Q. Místo toho můžeme vzít ekvivalentní soustavu

F (x, y, α0) = 0 ;F (x, y, α1)− F (x, y, α0)

α1 − α0= 0.

Limitním přechodem α1 → α0 máme soustavu

F (x, y, α) = 0 ;∂F (x, y, α)

∂α= 0.

Jejím řešením je (pokud řešení existuje) charakteristický bod. Pro proměnnéα dostaneme obalovou křivku a α je její parametr.

Věta 11. V charakteristickém bodě, v němž ∂2F∂α2

6= 0, se obalová křivkadotýká tvořící křivky.

Důkaz. Nechť z rovnice F (x, y, α) = 0 a ∂F (x,y,α)∂α

= 0 byl eliminován parametrα, tj. F (x, y, α(x, y)) = 0. K tomu potřebujeme podmínku ∂2F

∂α26= 0.

Uvažujme charakteristický bod X[x0, y0], který odpovídá poloze tvořícíkřivky pro α0. Tečna obálky bude v tomto tvaru

(x− x0)

[∂F

∂x+

∂F

∂α· ∂α

∂x

](x0,y0)

+ (y − y0)

[∂F

∂y+

∂F

∂α· ∂α

∂y

](x0,y0)

= 0,

ale ∂F∂α= 0. Z toho vyplývá

(x− x0)∂F

∂x(x0, y0, α(x0, y0)) + (y − y0)

∂F

∂y(x0, y0, α(x0, y0)) = 0,

což je však tečna křivky F (x, y, α0) = 0 v bodě X.

Poznámka 8. Využili jsme toho, že pro rovinnou křivku F (x, y) = 0 jerovnicí

(x− x0)∂F

∂x(x0, y0) + (y − y0)

∂F

∂y(x0, y0) = 0

dána tečna křivky v bodě [x0, y0].

Příklad 5. Určete obálku systému kružnic (x− α)2 + y2 = 1.Podle předcházející věty máme rovnice:

∂F

∂α= 2(x− α)(−1) = 0, ∂2F

∂α26= 0.

1.10. Spádové křivky, evoluty a evolventy 17

Dostáváme dvě rovnice

(x− α)2 + y2 − 1 = 0x − α = 0

Vyjádříme-li z druhé rovnice x a dosadíme jej do první rovnice, máme pakrovnici y2− 1 = 0, tj. y = ±1. Obálkou systému křivek jsou tedy dvě přímkyy = 1 a y = −1.

1.10 Spádové křivky, evoluty a evolventy

Definice 13. Nechť je dán jednotkový vektor www a odchylka ω ∈ 〈0, π〉. Spá-dovou křivkou k pro daný vektor www a odchylku ω se rozumí křivka, jejížvšechny tečné vektory mají od vektoru www konstantní odchylku ω.Křivka k, která protíná kolmo všechny tečny dané křivky PPP = PPP (s) (a leží

tedy na ploše tečen této křivky), se nazývá evolventou dané křivky k, viz obr.1.8. Křivka k se nazývá evoluta křivky k.

Věta 12. Křivka je spádová, právě když pro její křivosti a odchylku ω platíve všech jejích bodech vztah

2k sinω − 1k cosω = 0.

Důkaz. Uvažujme nejprve křivku PPP (s) parametrizovanou obloukem, která jespádová pro vektor www a odchylku ω. Pro každé s z intervalu parametrizaceplatí

www · PPP (s) = cosω.

Vzhledem k tomu, že vektor www a odchylka ω nejsou závislé na parametru s,dostaneme pomocí derivování a prvního Frenetova vzorce

www · PPP (s) = www · 1k(s)nnn(s) = 0.

Tedy vektor www je lineární kombinací vektorů ttt a bbb (je totiž kolmý k vektorunnn). Proto www · bbb = sinω. Z druhého Frenetova vzorce

nnn = −1kttt+ 2kbbb

a odvozených vztahů

www · PPP (s) = www · ttt = cosω, www · bbb = sinω

již plyne dosazením do www · nnn = 0 dokazovaný vzorec.

1.10. Spádové křivky, evoluty a evolventy 18

Opačná implikace se dokáže pomocí uplatnění Frenetových vzorců a připoužití integrace. Nechť tedy

2k sinω − 1k cosω = 0,

pak2k sinω · nnn− 1k cosω · nnn = −bbb cosω − ttt sinω = 000.

Což lze psát jako

− dds(ttt cosω + bbb sinω) = OOO.

Integrací mámettt cosω + bbb sinω = www,

kde www je konstatní vektor. Po skalárním vynásobením vektorem ttt obdržíme

ttt ·www = cosω.

Tedy křivka je spádovou křivkou.

Věta 13. Nechť je dána křivka PPP (s). Její evolventu lze vyjádřit ve tvaru

RRR(s) = PPP (s) + (c− s) · ttt(s) , kde c ∈ R. (1.1)

Evolventa tedy vzniká jako dráha bodu při odvalování tečny po dané křivce,tj. nanášením délky oblouku křivky na její tečnu.

Obrázek 1.8: Evoluta a evolventy

Důkaz. Napište vektorovou funkci RRR(s), jež vyjadřuje evolventu k křivky k,čili křivku, která protíná kolmo všechny tečny dané křivky k. Z toho vyplývá

RRR(s) = PPP (s) + λ(s) · ttt(s), (1.2)

1.10. Spádové křivky, evoluty a evolventy 19

kde λ(s) je skalární funkce, ttt(s), resp. nnn(s), je tečný, resp. normálový, vektorFrenetova trojhranu. Zároveň platí

RRR′ · ttt(s) = 0, (1.3)

attt(s) = 1knnn(s).

Dosazení derivace rovnice 1.2 do rovnice 1.3 získáme rovnici(ttt(s) + λ′(s) · ttt(s) + λ(s) · ttt(s)

)· ttt(s) = 0.

Víme, že ttt(s) · ttt(s) = 1, ttt(s) · ttt(s) = 0, tedy

1 + λ′(s) · 1 + 0 = 0 ⇒ λ′(s) = −1.

Jestliže tento výsledek zintegrujeme, dostaneme λ(s) = −s + c, kde c jekonstanta.Evolventou křivky k jsou křivky

RRR(s) = PPP (s) + (c− s) · ttt(s) , kde c ∈ R. (1.4)

Příklad 6. Napište rovnici evolventy kružnice.

PPP (ϕ) = (a · cosϕ, a · sinϕ)

PPP ′(ϕ) = (−a · sinϕ, a · cosϕ)

|PPP ′(ϕ)| = a ·√(sin2 ϕ+ cos2 ϕ) = a

ttt(ϕ) =PPP ′(ϕ)|PPP ′(ϕ)|

= (− sinϕ, cosϕ) ; s =∫ ϕ

u=0|PPP ′(ϕ)|du =

∫ ϕ

u=0a · du = a · ϕ

Dosazením do vztahu 1.4 dostaneme

RRR(ϕ) = (a · cosϕ− c · sinϕ+ a · ϕ · sinϕ, a · sinϕ+ c · cosϕ− a · ϕ · cosϕ)RRR(ϕ) =

(a · (cosϕ+ ϕ · sinϕ)− c · sinϕ, a · (sinϕ− ϕ · cosϕ) + c · cosϕ

).

Pro c = 0 dostáváme

RRR(ϕ) =(a · (cosϕ+ ϕ · sinϕ), a · (sinϕ− ϕ · cosϕ)

).

1.10. Spádové křivky, evoluty a evolventy 20

Obrázek 1.9: Evolventa kružnice Obrázek 1.10: Evolventa šroubovice

Příklad 7. Najděte evolventy šroubovice.

PPP (ϕ) = (cosϕ, sinϕ, ϕ)

PPP ′(ϕ) = (− sinϕ, cosϕ, 1) , |PPP ′(ϕ)| =√sin2 ϕ+ cos2 ϕ+ 1 =

√2

ttt(ϕ) =PPP (ϕ)

|PPP (ϕ)|=1√2· (− sinϕ, cosϕ, 1)

s =∫ ϕ

t=0|PPP (t)|dt =

√2 ·∫ ϕ

t=01 · dt =

√2 · ϕ

Opět užitím vzorce 1.4 dostaneme

RRR(ϕ) =(cosϕ+ c · (− 1√

2· sinϕ) +

√2 · ϕ · ( 1√

2· sinϕ),

sinϕ+ c · ( 1√2· cosϕ)−

√2 · ϕ · ( 1√

2· cosϕ) ,

ϕ+ c · (√22)−

√2 · ( 1√

2· ϕ)

).

Provedeme-li substituci 1√2· c = d dostaneme

RRR(ϕ) =((cosϕ+ ϕ · sinϕ)− d · sinϕ, (sinϕ− ϕ · cosϕ) + d · cosϕ, d

).

Všechny evolventy šroubovice jsou rovinné křivky ležící v rovnoběžných ro-vinách z = d (viz obrázek 1.10). Speciálně v rovině z = 0 leží evolventa

RRR(ϕ) = (cosϕ+ ϕ · sinϕ, sinϕ− ϕ · cosϕ, 0),

která je zároveň průsečnicí tečen šroubovice s touto rovinou.