Posouzení prutu namáhaného kombinací osové tlakové síly a … · 2020. 6. 29. · Ocelový...

Ocelový prut namáhaný kombinací ohybu a osového tlaku – řešený příklad dle ČSN EN 1993-1-1

Ing. Ivan Balázs, Ph.D. Ústav kovových a dřevěných konstrukcí, Fakulta stavební VUT v Brně

1

Pouze pro studijní účely

Posouzení prutu namáhaného kombinací osové tlakové síly a

ohybového momentu ve smyslu ČSN EN 1993-1-1 – řešený příklad

Předmětem příkladu je posouzení prutu namáhaného kombinací osového tlaku a ohybového

momentu s možnou ztrátou stability při tlaku (vzpěr). Pro posouzení se použijí ustanovení kapitoly

6.3.3 v normě ČSN EN 1993-1-1 [1], na kterou je v pravém sloupci odkazováno.

Vstupní údaje

V rámci úlohy je řešeno posouzení prostého nosníku průřezu RHS 200×120×10 z oceli pevnostní

třídy S235 o rozpětí L = 5 m. Návrhové hodnoty zatížení jsou NEd = –100,00 kN (návrhová normálová

tlaková síla), příčná síla Fz,Ed = 50 kN působící 2 m od levé podpory, koncové momenty okolo osy

y: My,Ed = –20 kNm (vlevo) a My,Ed = 20 kNm (vpravo) a koncové momenty okolo osy z: Mz,Ed = –10

kNm (vlevo) a Mz,Ed = 30 kNm (vpravo). Nosník je použitý v ocelové konstrukci pozemní stavby.

Okrajové podmínky jsou uvažovány jako oboustranné kloubové podepření jak pro ohyb okolo osy y,

tak okolo osy z. Deplanace průřezu je umožněna v obou podporách.

A = 5890,00 mm2 tw = 10,00 mm

Iy = 30260000,00 mm4 r = 15,00 mm

Iz = 13370000,00 mm4 c = 90,00 mm

It = 30010000,00 mm4 d = 170,00 mm

Iw = 3993000000,00 mm6 h = 200,00 mm

Wel,y = 303000,00 mm3 b = 120,00 mm

Wel,z = 223000,00 mm3 iy = 71,70 mm

Wpl,y = 379000,00 mm3 iz = 47,60 mm

Wpl,z = 263000,00 mm3 y0 = 0,00 mm

tf = 10,00 mm z0 = 0,00 mm

Materiálové charakteristiky

Ocel S235: E = 210 GPa, G = 81 GPa, fy = 235 MPa

Součinitele spolehlivosti

00,10 M (dílčí součinitel únosnosti průřezu)

00,11 M (dílčí součinitel únosnosti průřezu při posuzování stability prutu)

Zatížení



2


Vnitřní síly

Zatřídění průřezu

00,1235

235235

yf

Svislá stěna (konzervativně uvažován pouze tlak) [2]

33331710

170

wt

d→ třída 1 Tab. 5.2

Vodorovná stěna (konzervativně uvažován pouze tlak) [2]

3333910

90

ft

c→ třída 1 Tab. 5.2

Průřez je třídy 1.

Posouzení

Posouzení se provede pomocí podmínek (6.61) a (6.62):

1

1

,

,,

1

,

,,

1

M

Rkz

EdzEdz

yz

M

RkyLT

EdyEdy

yy

M

Rky

Ed

M

MMk

M

MMk

N

N

(6.61)



3


1

1

,

,,

1

,

,,

1

M

Rkz

EdzEdz

zz

M

RkyLT

EdyEdy

zy

M

Rkz

Ed

M

MMk

M

MMk

N

N

(6.62)

Momenty v důsledku posunu těžišťové osy ΔMy,Ed a ΔMz,Ed se uplatní pouze u průřezů

třídy 4.

Interakční součinitele kyy, kyz, kzy a kzz se určí pomocí metody 1 nebo metody 2. Pro

použití v ČR je doporučeno použití metody 2.

Návrhové vnitřní síly

kNNEd 00,100

kNmM Edy 00,40,

kNmM Edz 00,30,

Charakteristické únosnosti v tlaku a v ohybu

kNfAN yRk 15,138410235105890 66 Tab. 6.7

kNmfWM yyplRky 07,891023510379000 69

,, Tab. 6.7

kNmfWM yzplRkz 85,611023510263000 69

,, Tab. 6.7

Návrhové plastické únosnosti v ohybu

kNmfW

MM

yypl

Rdypl 07,8900,1

1023510379000 69

0

,

,,

(6.13)

kNmfW

MM

yzpl

Rdzpl 85,6100,1

1023510263000 69

0

,

,,

(6.13)

Vzpěrné délky

mLkL yycr 551,

mLkL zzcr 551,

mLkL wTcr 551,



4


Výpočet součinitelů vzpěrnosti χy a χz

Vzpěr kolmo k ose y

kNL

IEN

ycr

y

ycr 70,25085

103026000010210ππ2

1292

2

,

2

,

74,06927510

2355890

,

ycr

y

yN

fA 6.3.1.2

Křivka vzpěrné pevnosti a (válcováno za tepla), α = 0,21 Tab. 6.2

83,074,02,074,021,015,02,015,0 22 yyy 6.3.1.2

83,074,083,083,0

11

2222

yyy

y

6.3.1.2

Vzpěr kolmo k ose z

kNL

IEN

zcr

zzcr 44,1108

5

101337000010210ππ2

1292

2

,

2

,

12,11108440

2355890

,

zcr

y

zN

fA 6.3.1.2

Křivka vzpěrné pevnosti a (válcováno za tepla, α = 0,21 Tab. 6.2

22,112,12,012,121,015,02,015,0 22 zzz

6.3.1.2

59,012,122,122,1

11

2222

zzz

z

6.3.1.2

Uzavřený průřez není náchylný ke klopení, χLT = 1,00.

Výpočet součinitelů interakce kyy, kyz, kzy, kzz

Pro určení součinitelů interakce jsou k dispozici dvě metody: metoda 1 a metoda 2.

Při výpočtu se rozlišuje, zda je prut náchylný ke zkroucení či nikoli.

Metoda 1 [2]

V metodě 1 se prut považuje za náchylný ke zkroucení, pokud platí It ≤ Iy. Pokud je

náchylný ke zkroucení, uvažuje se v rámci posouzení s vypočítaným součinitelem

klopení (viz výše). Pokud prut náchylný ke zkroucení není, lze uvažovat χLT = 1,00.

V případě, že platí It < Iy, avšak prut je podélně průběžně podepřen spojitou příčnou

vazbou bránící příčnému vybočení, může být považován za nenáchylný ke zkroucení,

pokud je splněna následující podmínka, kde C1 je součinitel závislý na průběhu



5


ohybového momentu, 0 je poměrná štíhlost odpovídající konstantnímu průběhu

momentu a Ncr,T je kritická síla pro vzpěr zkroucením.

4

,,

10 112,0

Tcr

Ed

zcr

Ed

N

N

N

NC [2]

Součinitel C1 lze spočítat následujícím vztahem, kde kc je opravný součinitel:

2

1

1

ckC [2]

V řešeném příkladu platí It < Iy a prut není spojitě příčně podepřen. Je tedy považován

za náchylný ke zkroucení.

44 3026000030010000 mmImmI yt

Interakční součinitele se určí dle Tab. A.1. Pro řešenou úlohu se uplatní hodnoty pro

plasticitní návrh (jedná se o průřez třídy 1).

yy

ycr

Ed

y

mLTmyyyC

N

NCCk

1

1,

Tab. A.1

y

z

yz

zcr

Ed

y

mzyzw

w

C

N

NCk

6,01

1,

Tab. A.1

z

y

zy

ycr

Ed

zmLTmyzy

w

w

C

N

NCCk

6,01

1,

Tab. A.1

zz

zcr

Ed

y

mzzzC

N

NCk

1

1,

Tab. A.1

Výpočet pomocných součinitelů

Pomocné součinitele ekvivalentního konstantního momentu Cmy,0 a Cmz,0 (s použitím

největšího průhybu prutu kolmo na daný směr, tedy δz a δy, My,Ed a Mz,Ed jsou

příslušné největší momenty).

mmz 7,9

Moment My,Ed má po částech lineární průběh, moment Mz,Ed má lineární průběh.



6


98,000,2508700

00,1000001

400005

0097,0103026000010210π1

1π

1

2

1292

,,

2

2

0,

ycr

Ed

Edy

zy

myN

N

xML

IEC

Tab. A.2

33,030000

10000

max

min

M

Mz Tab. A.2

86,01108440

10000033,033,036,033,021,079,0

33,036,021,079,0,

0,

zcr

Ed

zzmzN

NC

Tab. A.2

Výpočet poměrné štíhlosti odpovídající konstantnímu průběhu momentu

0,1 wz kk

01,010300100001081

10399300000010210

51

ππ129

189

tw

wtIG

IE

Lk

NB.3.2

mza 00,0 NB.3.2

mzs 00,0 NB.3.2

mzzz sag 00,000,000,0 NB.3.2

mz j 0 NB.3.3

00,010300100001081

101337000010210

51

00,0ππ129

129

t

z

z

g

gIG

IE

Lk

z NB.3.2

00,010300100001081

101337000010210

51

00,0ππ129

129

t

z

z

j

gIG

IE

Lk

z

NB.3.2

C1 = 1,00 NB.3.2

C2 = 1,00 NB.3.2

C3 = 1,00 NB.3.2



7


00,1000,100,000,0000,100,000,101,011

00,1

1

22

32

2

32

21

jgjgwt

z

cr CCCCk

C

NB.3.2

kNm

L

IGIEM

tz

crcr

08,519

5

10300100001081101337000010210π00,1

π

129129

NB.3.2

41,0519800

1023510379000 69

0

cr

yy

M

fW 6.3.2.2

Součinitele ekvivalentního konstantního momentu Cmy a Cmz

Pro 4

,,

10 112,0

Tcr

Ed

zcr

Ed

N

N

N

NC platí: Tab. A.1

0,mymy CC ,0,mzmz CC , 00,1mLTC Tab. A.1

Vyčíslení:

49,182,0

1122

1

ckC Tab. 6.6

2222

0

2

0

222

0 007488,0048,0072,0 mzyiii zy

kN

L

IEIG

iN

Tcr

tTcr

61,324671

5

10399300000010210π10300100001081

007488,0

1

π1

2

1892129

2

,

2

2

0

,

[3]

4

,,

10 112,0

Tcr

Ed

zcr

Ed

N

N

N

NC

24,061,324671

00,1001

44,1108

00,100149,12,041,0 4



8


V řešeném příkladu je poměrná štíhlost odpovídající konstantnímu průběhu momentu

větší než uvedený výraz. Součinitele ekvivalentního konstantního momentu se určí

pomocí následujících vztahů:

24,041,0 LTy

LTy

mymymya

aCCC

11 0,0, Tab. A.1

0,mzmz CC Tab. A.1

00,1

11,,

2

Tcr

Ed

zcr

Ed

LTmymLT

N

N

N

N

aCC Tab. A.1

78,710303000100000

105890400009

6

,

,

yelEd

Edy

yWN

AM Tab. A.1

00,001,030260000

3001000011

y

tLT

I

Ia Tab. A.1

00,101,078,71

01,078,798,0100,1

11 0,0,

LTy

LTy

mymymya

aCCC

Tab. A.1

86,00, mzmz CC Tab. A.1

00,100,101,0

61,324671

1001

44,1108

1001

01,000,1

11

2

,,

2

mLT

Tcr

Ed

zcr

Ed

LTmymLT

C

N

N

N

N

aCC

Tab. A.1

Pomocné hodnoty:

93,0

70,2508

10083,01

70,2508

1001

1

1

,

,

ycr

Edy

ycr

Ed

y

N

N

N

N

Tab. A.1



9


96,0

44,1108

10059,01

44,1108

1001

1

1

,

,

zcr

Edz

zcr

Ed

z

N

N

N

N

Tab. A.1

5,125,15303000

379000

,

,

yel

ypl

yW

Ww Tab. A.1

5,118,1223000

263000

,

,

zel

zpl

zW

Ww Tab. A.1

07,0

00,1

15,1384

00,100

1

M

Rk

Edpl N

Nn

Tab. A.1

12,112,1;74,0max;maxmax zy Tab. A.1

00,0618508907000,1

00,04000041,001,05,0

5,0

2

,,,,

,,2

0

RdzplRdyplLT

EdzEdy

LTLTMM

MMab

Tab. A.1

80,0379000

30300098,0

00,007,012,100,125,1

6,112,100,1

25,1

6,12125,11

6,16,1211

,

,

222

2

max

2

max

2

ypl

yel

LTplmy

y

my

y

yyy

W

W

bnCw

Cw

wC

Tab. A.1

00,08907000,100,1

40000

12,15

41,001,010

510

4

2

,,

,

4

2

0

RdyplLTmy

Edy

z

LTLTMC

Mac

Tab. A.1

49,0263000

223000

25,1

18,16,06,095,0

00,007,018,1

12,186,0142118,11

14211

,

,

5

22

5

2

max

2

zpl

zel

y

z

LTpl

z

mz

zyz

W

W

w

w

cnw

CwC

Tab. A.1



10


00,06185090,0

30000

8907000,100,1

40000

12,11,0

41,001,02

1,02

4

,,

,

,,

,

4

0

Rdzplmz

Edz

RdyplLTmy

Edy

z

LTLTMC

M

MC

Mad

Tab. A.1

49,0379000

303000

18,1

25,16,06,093,0

00,007,025,1

12,100,1142125,11

14211

,

,

5

22

5

2

max

2

ypl

yel

z

y

LTpl

y

my

yzy

W

W

w

w

dnw

CwC

Tab. A.1

00,08907000,100,1

40000

12,11,0

41,001,07,1

1,07,1

4

,,

,

4

0

RdyplLTmy

Edy

z

LTLTMC

Mae

Tab. A.1

85,0263000

22300000,1

00,007,012,186,018,1

6,112,186,0

18,1

6,12118,11

6,16,1211

,

,

222

2

max

2

max

2

zpl

zel

LTplmz

z

mz

z

zzz

W

W

enCw

Cw

wC

Tab. A.1

Interakční součinitele pro plasticitní návrh

99,098,0

1

70,2508

00,1001

93,000,100,1

1

1,

yy

ycr

Ed

y

mLTmyyyC

N

NCCk

Tab. A.1

56,025,1

18,16,0

95,0

1

44,1108

00,1001

93,090,06,0

1

1,

y

z

yz

zcr

Ed

y

mzyzw

w

C

N

NCk

Tab. A.1

66,018,1

25,16,0

93,0

1

70,2508

00,1001

96,000,100,1

6,01

1,

z

y

zy

ycr

Ed

zmLTmyzy

w

w

C

N

NCCk

Tab. A.1



11


91,000,1

1

44,1108

00,1001

96,086,0

1

1,

zz

zcr

Ed

zmzzz

C

N

NCk

Tab. A.1

Posouzení dle metody 1

1

1

,

,,

1

,

,,

1

M

Rkz

EdzEdz

yz

M

RkyLT

EdyEdy

yy

M

Rky

Ed

M

MMk

M

MMk

N

N

(6.61)

180,0

00,1

85,61

00,000,3056,0

00,1

07,8900,1

00,000,4099,0

00,1

15,138483,0

00,100

1

1

,

,,

1

,

,,

1

M

Rkz

EdzEdz

zz

M

RkyLT

EdyEdy

zy

M

Rkz

Ed

M

MMk

M

MMk

N

N

(6.62)

197,0

00,1

85,61

00,000,3091,0

00,1

07,8900,1

00,000,4066,0

00,1

15,138431,0

00,100

Obě podmínky jsou splněny. Při použití metody 1 průřez vyhovuje, maximální

využití je 97 %.

Metoda 2 [2]

Podle metody 2 mohou být jako nenáchylné ke zkroucení považovány tyto prvky:

prvky s průřezem kruhové trubky

prvky s průřezem obdélníkové trubky za předpokladu, že h / b ≤ 10 / z

prvky otevřeného průřezu za předpokladu, že jsou příčně průběžně

(spojitě) podepřeny proti příčnému posunu a natočení, tedy pokud jsou

splněny podmínky (BB.2) a (BB.4) v ČSN EN 1993-1-1, příl. BB.

V řešeném příkladu je prut považován za nenáchylný ke zkroucení (h / b = 200 /

120 = 1,67 < 10 / 1,12 = 8,93).

Interakční součinitele pro pruty, které nejsou náchylné ke zkroucení (pravoúhlé

duté průřezy), se určí dle Tab. B.2. Pro řešenou úlohu se uplatní hodnoty pro

plasticitní návrh (jedná se o průřez třídy 1).



12


11

8,012,01

M

Rky

Edmy

M

Rky

Edymyyy N

NC

N

NCk

Tab. B.2

zzyz kk 6,0 Tab. B.2

yyzy kk 6,0 Tab. B.2

11

8,012,01

M

Rkz

Edmz

M

Rkz

Edzmzzz N

NC

N

NCk

Tab. B.2

Vyčíslení součinitelů ekvivalentního konstantního momentu

Součinitel Cmy

Vzdálenost bodů podepřených ve směru z je shodná s rozpětím. Moment mezi těmito

body má po částech lineární průběh.

00,1y Tab. B.3

50,000,40

00,20

s

hh

M

M Tab. B.3

85,050,010,090,010,090,0 hmyC Tab. B.3

Součinitel Cmz

Vzdálenost bodů podepřených ve směru y je shodná s rozpětím. Moment mezi těmito

body má lineární průběh.

33,030000

10000

max

min

M

Mz Tab. B.3

73,033,04,06,04,06,0 mzC Tab. B.3

Součinitel CmLT

Vzdálenost bodů podepřených ve směru y je shodná s rozpětím. Moment mezi těmito

body má po částech lineární průběh.

00,1LT Tab. B.3

50,000,40

00,20

s

hh

M

M Tab. B.3



13


85,050,010,090,010,090,0 hmLTC Tab. B.3

Interakční součinitele

91,0

00,1

15,138483,0

00,1008,0185,08,0189,0

00,1

15,138483,0

00,1002,074,0185,02,01

1

1

M

Rky

Edmy

M

Rky

Edymyyy

N

NC

N

NCk

Tab. B.1

49,081,06,06,0 zzyz kk Tab. B.1

53,089,06,06,0 yyzy kk Tab. B.1

80,080,0

00,1

15,138459,0

00,1008,0173,0

8,0181,0

00,1

15,138459,0

00,1002,012,1173,0

2,01

1

1

zz

M

Rkz

Edmz

M

Rkz

Edzmzzz

k

N

NC

N

NCk

Tab. B.1



14


Posouzení dle metody 2

1

1

,

,,

1

,

,,

1

M

Rkz

EdzEdz

yz

M

RkyLT

EdyEdy

yy

M

Rky

Ed

M

MMk

M

MMk

N

N

(6.61)

172,0

00,1

85,61

00,000,3049,0

00,1

07,8900,1

00,000,4089,0

00,1

15,138483,0

00,100

1

1

,

,,

1

,

,,

1

M

Rkz

EdzEdz

zz

M

RkyLT

EdyEdy

zy

M

Rkz

Ed

M

MMk

M

MMk

N

N

(6.62)

175,0

00,1

85,61

00,000,3080,0

00,1

07,8900,1

00,000,4053,0

00,1

15,138459,0

00,100

Obě podmínky jsou splněny. Při použití metody 2 průřez vyhovuje, maximální využití

je 75 %.

Použité zdroje

[1] ČSN EN 1993-1-1 Eurokód 3: Navrhování ocelových konstrukcí – Část 1-1: Obecná pravidla

a pravidla pro pozemní stavby. Praha: Český normalizační institut, 2006.

[2] DA SILVA, L. S., SIMÕES, R., GERVÁSIO, H. Design of Steel Structures. Berlin: ECCS –

European Convention for Constructional Steelwork, 2016. ISBN 978-92-9147-134-8.

[3] ČSN EN 1993-1-3 Eurokód 3: Navrhování ocelových konstrukcí – Část 1-3: Obecná pravidla

– Doplňující pravidla pro tenkostěnné za studena tvarované prvky a plošné profily. Praha:

Český normalizační institut, 2008.

Date post:	08-Dec-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	4 times
Download:	0 times

Posouzení prutu namáhaného kombinací osové tlakové síly a … · 2020. 6. 29. · Ocelový...

Documents