1 Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia Průřezové charakteristiky • Těžiště složených obrazců homogenních průřezů • Kvadratické momenty základních průřezů • Kvadratické momenty složených průřezů • Kvadratické momenty k pootočeným osám •Těžiště složených obrazců nehomogenních průřezů 2 Průřezy prutových konstrukčních prvků Návrh a posudek deformovatelných prutů vyžaduje tzv. geometrické (průřezové) charakteristiky průřezu: • Plocha A průřezu • Statické momenty S x a S z průřezu k momentovým osám x a z • Souřadnice x T , z T těžiště T průřezu • Momenty setrvačnosti I x , I z k osám x, z -Centrální momenty setrvačnosti -Hlavní centrální momenty setrvačnosti • Deviační moment D xz k osám x, z • Poloměr setrvačnosti i x , i z k osám x, z Předpoklad: průřez homogenní (stejnorodý), fiktivní měrná tíha γ = 1 (bez fyzikálního rozměru) 3 +z +y +x a T l h d F 2 F 1 =2F F F 1 2 Osa prutu (přímý prut), případně střednice prutu (přímý i zakřivený prut) P 1 P 2 1 2 R az R bz R ax a b l Statické schéma: statický model nosné konstrukce Těžiště průřezu Geometrický popis prutu, idealizace Průřez prutu o ploše A 4 Těžiště Fyzikální význam těžiště: a) hmotný bod se soustředěnou hmotností útvaru b) bod, ve kterém lze hmotný útvar vystavený tíze podepřít proti posunutí aniž by docházelo k rotaci Těžiště je chápáno jako statický střed soustavy rovnoběžných sil v prostoru či rovině, které tvoří vlastní tíhy elementů hmotného útvaru. Těžnice – osa procházející těžištěm
Transcript
1
Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Návrh a posudek deformovatelných prutů vyžaduje tzv. geometrické (pr ůřezové) charakteristiky pr ůřezu:
• Plocha A průřezu • Statické momenty Sx a Sz průřezu k momentovým osám x a z• Souřadnice xT, zT těžiště T průřezu • Momenty setrvačnosti Ix, Iz k osám x, z-Centrální momenty setrvačnosti-Hlavní centrální momenty setrvačnosti
• Deviační moment Dxz k osám x, z• Poloměr setrvačnosti ix, iz k osám x, z
b) bod, ve kterém lze hmotný útvar vystavený tíze podepřít proti posunutí aniž by docházelo k rotaci
Těžiště je chápáno jako statický střed soustavy rovnoběžných sil v prostoru či rovině, které tvoří vlastní tíhy elementů hmotného útvaru.
Těžnice – osa procházející těžištěm
2
5
Složený rovinný obrazec ( lomená čára nebo složený plošný obrazec) vzniká spojením několika (obecně n, i=1, …,n) jednoduchých rovinných obrazců (prvků) v téže rovině, u kterých umíme určit polohu těžiště a základní geometrické charakteristiky (úsečka, kruh…).
Těžiště rovinného homogenního složeného obrazce
∑∑ ⋅
=i
iiT P
zPx
Postup:
a) Složený obrazec umístit do pravoúhlé souřadnicové soustavy xz
b) Rozdělit složený obrazec na dílčí jednoduché obrazce
c) Pro každý obrazec i určit souřadnice xi a zi jeho těžiště Ti
d) Pro každý obrazec spočítat tíhovou fiktivní sílu Pi. Hodnota Pi odpovídá délce dílčí čáry l i nebo velikosti dílčí plochy Ai
e) Zavést fiktivní síly Pi do těžiště Ti nejprve rovnoběžně s osou z, poté s osou x
f) Určit výslednici tíhových sil: R=∑ li, R=∑ Ai
g) Určit statický střed soustavy těchto rovnoběžných sil (Varignonova věta). Souřadnice statického středu této soustavy = souřadnice těžiště složeného obrazce.
iiz
IiTz
xPS
xPxRS
∑∑
⋅−=
⋅−=⋅−= )(
Např.: x-ovou souřadnici těžiště xT určíme z rovnosti statického momentu tíhové síly k ose z - Sz
⇒ AS
x zT =neboli
6
Příklad 1 – Těžiště rovinné lomené čáry
+x
+z
13
2
[0;2]
[3;0]
[6;3]
[0;5]
Tíhové síly díl čích čar (prut ů)
Prut 1F1= l1 = 3 m
Prut 2F2 = l2 = = 3,606 m
Prut 3F3 = l3 = = 4,243 m
CelkemΣFi = Σ li = 3 + 3,606 + 4,243 = 10,85 m
22 2 3 +
22 3 3 +
T1=[0;3,5]
T2=[1,5;1]T3=[4,5;1,5]
Lomená čára může představovat např. zidealizovaný lomený nosník konstantního průřezu
3
[3;0]
[6;3]
T3=[4,5;1,5]
3
3
7
+x
+z
13
2
[0;2]
[3;0]
[6;3]
[0;5]
Těžiště - xT
T1=[0;3,5]
T2=[1,5;1]
T=[2,26;1,89]
Délkyl1 = 3 ml2 = 3,606 m
l3 = 4,243 mΣli = 10,85 m
mx
x
l
xl
R
xPx
T
T
i
iiiiT
26,2
243,4606,33
5,4.243,45,1.606,30.3
=
=++++=
=⋅
=⋅
=∑∑∑
Těžiště - zT
mz
z
l
zl
R
zPz
T
T
i
iiiiT
89,1
243,4606,33
5,1.243,41.606,35,3.3
=
=++++=
=⋅
=⋅
=∑∑∑
T
Příklad 1 – Těžiště rovinné lomené čáry
8
Těžiště složených obrazc ů s otvory a vý řezy
Zvláštní případ složených obrazců – s otvory (s oslabením) nebos vý řezy (otvory sousedící s obrysem obrazce)
Výpočet:
Jednotlivé obrazce považovat za samostatné prvky bez otvorů, otvory považovat za další prvky se zápornou plochou(tíhové síly opačně orientované).
3
9
Těžiště obecného rovinného obrazce
Těžiště rovinného obrazce jako statický středrovinné soustavy rovnoběžných sil
(a)
AP ~Tíhu rovinného obrazce P lze nahradit plochou.
Z Varignonovy věty:
Plocha elementárního dílku: zxA d.dd =Celková plocha obrazce: ∫∫ ∫∫==
A A
zxAA d.dd
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫===
A
A
A
AzT
x
xx
A
Ax
A
Sx
dzd
dzd.
d
d.
Souřadnice těžiště:
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫===
A
A
A
AxT
x
xz
A
Az
A
Sz
dzd
dzd.
d
d.
Příklad aplikace v předmětu Matematika.
10
Kvadratické momenty rovinných obrazc ů
K výkladu kvadratických momentů
•Momenty setrva čnosti (vždy kladné)
•deviační moment (kladný či záporný)
Kvadratické momenty vztaženy k osám x, z - osy setrva čnosti :
∫∫=A
x AzI d.2∫∫=A
z AxI d.2
∫∫=A
xz AzxD d..
Rozměr [délka4], zpravidla m4 nebo mm4
Poznámka : pro případy jednoose nebo dvouose symetrických průřezů je Dxz= 0 (důkaz viz snímek 12).
11
Centrální kvadratické momenty rovinných obrazc ů
Momenty setrvačnosti a deviační moment možno počítat k libovolným vzájemně kolmým osám (posunutým nebo natočeným vzhledem k počátku).
∫∫==A
xtx AdzII .2∫∫==A
ztz AdxII .2∫∫=A
txz AdzxD ..,
Ve stavební mechanice jsou důležité kvadratické momenty danéhoobrazce (průřezu), které jsou vztaženy k jeho těžištním osám. Jedná se o centrální momenty setrva čnosti.Těžištní osy se nazývají centrální osy setrva čnosti
Centrální moment setrvačnosti rovinného obrazce je nejmenší z momentů setrvačnosti daného obrazce vztažených k rovnoběžně posunutým osám.
12
Centrální kvadratické momenty obdélníku
0, =→≡≡→≡ xztt DzzxxTOZvoleno:
Výpočet centrálních momentů setrvačnosti:
3332
2
3
2
2
22
2
2
2
22
..121
88.
33.
..
hbhhbz
b
zdzbzdxdzAdzII
h
h
h
h
h
h
b
bA
xtx
=
+=
=
==
===
−
−− −∫∫ ∫∫∫
hbII ztz ..121 3==Obdobně:
0d44
.21
.d2
.ddd..2
2
222
2
2
2
22
2
2
2
=
−=
=
== ∫∫∫ ∫∫∫
−− −− −
h
h
h
h
b
b
h
h
b
bA
xz zbb
zzx
zzxx.zAzxD
Důkaz nulového deviačního momentu:
Pozor : tyto vztahy platí pro obdélník uloženého dle obrázku (tzv. nastojato)
4
13
Centrální kvadratické momenty obdélníku
0, =→≡≡→≡ xztt DzzxxTOZvoleno:
Výpočet centrálních momentů setrvačnosti:
3332
2
3
2
2
22
2
2
2
22
..12
1
88.
33.
d.ddd.
bhbbhz
h
zzhzxzAzII
b
b
b
b
b
b
h
hA
xtx
=
+=
=
==
===
−
−− −∫∫ ∫∫∫
bhII ztz ..12
1 3==Obdobně:
0d44
.21
.d2
.ddd..2
2
222
2/
2
2
22
2
2
2
=
−=
=
== ∫∫∫ ∫∫∫
−− −− −
b
b
b
b
h
h
b
b
h
hA
xz zhh
zbzx
zzxx.zAzxD
T
xt
o
b
h
zt
Důkaz nulového deviačního momentu:
Obdélník oto čený o 90°:
Pomůcka : ve vztazích pro výpočet centrálních momentů setrvačnosti obdélníku je mocněn na třetí vždy rozměr, který je kolmý k příslušné centrální ose setrvačnosti
14
Kvadratické momenty obdélníku k rovnob ěžně posunutým osám
[ ]
==≡→≠2
,2
,b
dh
czxTO TTZvoleno:
AcIItxx .2+=
AdcDDttzxxz ..+=
Steinerova v ěta
AdIItzz .2+=
c… vertikální rameno těžiště –vzdálenost posunuté osy x od osy těžištní
d… horizontální rameno těžiště –vzdálenost posunuté osy z od osy těžištní
Txt
zt
x
z
o
c
d
b
h
Moment setrvačnosti rovinného obrazce k libovolné (momotěžištní) ose je roven momentu setrvačnosti k rovnoběžné těžištní ose, zvětšenému o součin plošného obsahu a čtverce vzdálenosti obou os.
15
Kvadratické momenty obdélníku k rovnob ěžně posunutým osám
[ ]
==≡→≠2
,2
,b
dh
czxTO TT
Zvoleno:
32
32 ..31
..4
..121
. hbhbh
hbAcIItxx =+=+=
22..41
..2
.2
0.. hbhbhb
AdcDDttzxxz =+=+=
Steinerova v ěta
hbhbb
hbAdIItzz ..
31
..4
..121
. 32
32 =+=+=
c… vertikální rameno těžiště - vzdálenost posunuté osy x od osy těžištníd… horizontální rameno těžiště - vzdálenost posunuté osy z od osy těžištní
( ) 33
0
3
0
2
0 0
22 ..31
0.33
... hbhbz
bzdzbzdxdzAdzIhhh b
A
x =−=
==
== ∫∫ ∫∫∫
Důkaz:
> Ixtstejným způsobem dokažte pro Izt
> Ixt
> Izt
Využití : kvadratické momenty složených průřezů
Txt
zt
x
z
o
c
d
b
h
16
Zvoleno: O ve vrcholu trojúhelníku
Kvadratické momenty pravoúhlého trojúhelníku
Pravoúhlý trojúhelník
(a) (b)
Výpočet nejprve kvadratických momentů k vodorovné ose x a svislé ose z:
3
0
3
0 0
22
..4
1d..
ddd.d.
hbzzh
b
zxzzxzI
h
h hbz
A
x
==
=
==
∫
∫ ∫∫∫
224
2
2
0
32
2
0
.
0
..8
1
4.
2d.
2
ddd.d..
hbh
h
bzz
h
b
zxx.zzxzxD
h
h hzb
A
xz
===
=
==
∫
∫ ∫∫∫
hbh
h
bzz
h
b
zxxzxxI
h
h hbz
A
z
..12
1
4.
3d..
3
ddd.d.
34
3
3
0
33
3
0 0
22
===
=
==
∫
∫ ∫∫∫
[ ]
==≡→≠3
,3
2,
bd
hczxTO TT
5
17
Centrální kvadratické momenty základních obrazc ů (viz tabulky)
h.bA =
36b.h
I3
z =
0Dxz =
b
h
b
h
r
12h.b
I3
x =12b.h
I3
z = 0Dxz =
22xz h.b
81
D =36h.b
I3
x =2h.b
A =
x
z
x
z
x
z
64d.
4r.
II44
zx
π=π==2r.A π=
2aA = 12a
II4
zx == 0Dxz =x
z
a
a
x 12h.b
I3
x =12
b.hI
3
z = 0Dxz =
18
Centrální kvadratické momenty válcováných I profil ů
V tabulkách jsou uvedeny: hmotnost průřezu na jednotku délky, potřebné geometrické rozměry a průřezové charakteristiky průřezů.
Hodnoty jsou vztaženy k osám y-z(v rovině y-z…více v předmětu Pružnost a plasticita)
Nepočítají se - viz tabulky.
19
Centrální kvadratické momenty válcováných U profil ů
Pokud budete v předmětu Stavební statika počítat průřezové charakteristiky složených válcovaných průřezů, budou základní tabulkové hodnoty zadané.
20
Centrální kvadratické momenty složených pr ůřezů
Využití kvadratických moment ů k rovnob ěžně posunutým osámPostup výpo čtu:
a) zvolit pomocnou souřadnicovou soustavu x ,z(výhodné zvolit počátek v levém horním rohu nebo na ose symetrie)
b) rozdělit složený obrazec na n základních prvků i=1, …, n
c) pro každý prvek určit Ai a souřadnice jeho těžiště [xi ; zi] v pomocnésouřadnicové soustavě
d) určit souřadnice těžiště [xT ; zT] celého obrazce, kterým proložit centrální osy setrvačnosti průřezu xt , zt rovnoběžné s osami x, z.
e) pro každý prvek určit ramena těžiště Ti: ,Tii zzc −=Tii xxd −=
f) s využitím Steinerovy věty vypočítat centrální kvadratické momenty celého obrazce:
( )∑=
+=n
iiixx AcII
i1
2. ( )∑=
+=n
iiizz AdII
i1
2. ( )∑=
+=n
iiiizxxz AdcDD
ii1
..
(Otvory mají plochy i momenty setrvačnosti se znaménkem mínus, deviační momenty s opačným znaménkem než plné prvky)
6
21
Příklad 2 – Těžiště složeného obrazce
2 4 7
7
5
1
x2=3
x3=4,5
z 2=
3
z 3=
6
0
z 1=
0,5
x1=2
T= [Xt , zT] [3,5 ; 3,9],
Poloha t ěžiště1
3
2
m 3,51084
4,5.108.34.2 =++++=
=⋅
=⋅
=∑∑
∑∑
i
ii
i
iiT A
xA
P
xPx
Tíhová síla ~ PlochaP1 = A1 = 4.1 = 4,0 m2
P2 = A2 = 2.4 = 8,0 m2
P3 = A3 = 2.5 =10,0 m2
m 3,91084
10.68.34.0,5 =++
++=
=×
=⋅
=∑∑
∑∑
i
ii
i
iiT A
zA
P
zPz
Txt
zt
x
z22
Příklad 2 – Centrální moment setrva čnosti I x
2 4 7
5
1
z 2=
3
z 3=
6
0
z 1=
0,5
Ramena díl čích těžišťc1 = z1 – zT = 0,5 - 3,9 = -3,4 m
Změnou úhlu α, se mění hodnoty kvadratických momentů k pootočeným osám. Existuje úhel pootočení os α0, při kterém nabývají momenty setrvačnosti k těmto osám extrémních hodnot a deviační moment je nulový.
zx
xz
II
D
−= 2
tg2 0α
ααα 2sin.cos.sin. 22xzzxz DIII −+=′
( ) αα 2cos.2sin.21
xzxzzx DIID +−=′′
Osy pootočené o úhel α0→ hlavní osy setrvačnosti.Momenty setrvačnosti vztažené k hlavním osám(extrémní momenty setrvačnosti) → hlavní momenty setrvačnosti I1 ,I2
V případě symetrického průřezu (stačí jednoose symetrický), je Dxz=0, α0=0.Potom Ix a Iz vztažené k osám x,zjsou zároveň hlavní momenty setrvačnosti. Větší z nich je I1, menší I2.
Jsou-li známy kvadratické momenty rovinného obrazce pro pravoúhlou dvojici os x,zs počátkem o, je možno určit hodnoty kvadratických momentů pro jinou dvojici pravoúhlých os x´, z , pootočenou od původních os o úhel α:
α
z
x
xl
zl
o
26
Hlavní momenty setrva čnosti
Znaménko před odmocninou: +-
( ) ( ) 222,1 .4.
2
1.
2
1xzzxzx DIIIII +−±+=
max1 II =
min2 II =
Hlavní osy setrvačnosti:
xz
x
D
II −= 2,1
2,1tgα0
12 90±= ααmax1 I→α
min2 I→α
Poučka:Součet momentů setrvačnosti ke dvěma vzájemně kolmým osám setrvačnosti se při otáčení obou os kolem počátku nemění,zůstává konstantní (neměnný, invariantní).
21 IIIIII zxzx +=+=+ ′′
Úpravou předešlých vztahůpro nesymetrický průřez:
27
Hlavní centrální momenty setrva čnosti
Znaménko před odmocninou: +-
( ) ( ) 222,1 .4.
2
1.
2
1xzzxzx DIIIII +−±+=
max1 II =
min2 II =
Hlavní centrální osy setrvačnosti – s počátkem v těžišti průřezu :
xz
x
D
II −= 2,1
2,1tgα0
12 90±= ααmax1 I→α
min2 I→α
Symetrické průřezy:
Ve stavební mechanice jsou důležité hlavní momenty setrvačnosti vztaženék hlavním osám procházejícím těžištěm obrazce→ hlavní centrální momenty setrvačnosti I1, I2→ hlavní centrální osy setrvačnosti.
centrální momenty setrvačnosti Ix a Iz (vztažené k centrálním (těžištním) osám xt ,zt ) jsou zároveň hlavní centrální momenty setrvačnosti. Větší z
nich je I1, menší I2. Osy xt ,zt jsou hlavní centrální osy setrvačnosti
Nesymetrické průřezy:
28
Příklad 2: pokra čování – Hlavní centrální momenty setrva čnosti
( ) ( )
( ) ( )
42
41
22
222,1
m0,26
m9,134
4548,491,111.2
18,491,111
2
1
.42
1
2
1
=
=
=⋅+−±+⋅
=+−⋅±+⋅=
I
I
DIIIII xzzxzx
°−=
=−=−=
°=
=−=−=
1,62tg
45
1,1110,26tg
9,27tg
45
1,1119,134tg
2
22
1
11
α
α
α
α
xz
x
xz
x
D
II
D
II
Hl. centrální momenty setrva čnosti I1,2
Natočení hl. centrální moment ů αααα1,2
2 4 7
7
5
1
0
αααα1
αααα2
x
z
8
29
Příklad 2: pokra čování – nato čení hlavních centrálních os setrva čnosti
V této poloze má pr ůřez největší tuhost
30
Polom ěr setrva čnosti
Geometrická charakteristika průřezu:A
Ii xx =
A
Ii zz =
Hlavní centrální polom ěry setrva čnosti :A
Ii maxmax =
A
Ii minmin =
Hlavní centrální poloměry setrvačnosti pro obdélníkový průřez :(šířka b, výška h)
Hlavní centrální poloměry setrvačnosti pro čtvercový průřez (strana a):
hhh
hb
hbi .2887,0.
12
1
12..12
. 23
max ==== & bi .2887,0min =&
aii .2887,0minmax == &
Hlavní centrální poloměry setrvačnosti pro kruhový průřez:
24.π.4
.π 2
2
4
minmax
rr
r
rii ====
Rozměr [délka], zpravidla m nebo mm
31
Polární moment setrva čnosti
K výkladu polárníhomomentu setrvačnosti
Polární moment setrva čnosti vztažený k bodu (pólu):(p je vzdálenost od pólu)
∫∫=A
p ApI d.2
Kvadratický moment, rozměr [délka4], zpravidla m4 nebo mm4
( ) zxxz
AAA
p IIIIAzAxAzxI +=+=+=+= ∫∫∫∫∫∫ d.d.d. 2222
;
Poučka:
Polární moment setrvačnosti k pólu (bodu) O je roven součtu momentů setrvačnosti vztažených k jakýmkoli dvěma vzájemně kolmým osám setrvačnosti, které tímto bodem (pólem) procházejí.
Ve stavařské praxi:pólem je výhradně těžiště průřezu, centrální polární moment setrva čnosti , využití u rotačně symetrických průřezů.
Rozměr [délka4], zpravidla m4 nebo mm4 32
Nehomogenní složený obrazec
Dílčí prvky nemají stejnou měrnou tíhu (např. železobetonový sloup), nebopředstavují zidealizované objemy o různých průřezech (např. příhradovákonstrukce s různými průřezy prutů viz následující snímek).
Těžiště úsečky
Příklad:Tíhová síla úse čkyP=V.ρ .g = l . A .ρ .g = l . A .γP = l . m’. g [N]
V – objem [m3]ρ - hustota [kg / m3]g - tíhové zrychlení – 9.81 [m / s ]A – plocha [m2]l – délka [m]γ - měrná tíha [N / m3]m’ – měrná hmotnost [kg / m]
P
Tíhová síla nehomogenního složeného obrazce nepředstavuje pouze délku dílčí čáry l inebo velikost dílčí plochy Ai. Do tíhové síly nutno zahrnout také vliv skutečné tíhy dílčího prvku. Další postup výpočtu je pak shodný jako u homogenního obrazce
9
33
Těžišt ě nehomogenní rovinné prutové konstrukce
+x
+z
R
T
Konstrukce představuje složený rovinný obrazec – několik spojených úseček.
Řešení výpočet xT :
• V těžištích jednotlivých prutů zavedeme dílčí tíhové síly
• těžiště T [xT ; zT] představuje statický střed soustavy rovnoběžných sil
Pi
xi
xT
∑∑∑
∑⋅
=−
⋅−=
⋅−=⋅−
i
iiiiT
iiT
P
xP
R
xPx
xPxR
Příhradová konstrukce s n pruty (i=1, …, n ) stejného materiálu (γ = konst) o různých průřezech → pruty o stejných délkách mají rozdílné tíhové síly.
Tíhová síla prutu:
iiiiii lAlAgVP ..... ≅== γρ
o
34+z
Pi
R
zT zi
T
∑∑∑
∑⋅
=⋅
=
⋅=⋅
i
iiiiT
iiT
P
zP
R
zPz
zPzR
+x
Tíhová síla prutu:
o
iiiiii lAlAgVP ..... ≅== γρ
Těžišt ě nehomogenní rovinné prutové konstrukce
Řešení výpočet xT :
• V těžištích jednotlivých prutů zavedeme dílčí tíhové síly
• těžiště T [xT ; zT] představuje statický střed soustavy rovnoběžných sil
35
Průřezové charakteristiky obrazce složeného z válcovan ých ty čí
x
z
oDomácí úkol č.1do p říští p řednášky:
Dle postupu u příkladu 2 spočítejte všechny průřezové charakteristiky, které jsme na této přednášce probírali.
Průřez je složen z válcovaných U160 a I240 profilů..
U 160
I 240Zadané tabulkové hodnoty:
I 240:mmhmmbmmA
mmImmI zx
240,106,10.61,4
10.2,2,10.4,4223
4646
===
==
U 160:
mme
mmhmmbmmA
mmImmI zx
4,18
160,65,10.4,2
10.25,9,10.85023
4643
=
===
==
kóty b,h – viz snímky,na kterých jsou tabulky průřezů
Poznámka (pro vaši případnou kontrolu tabulkových hodnot):Pozor na uložení válcovaného U profilu. Osy jsou oproti osám v tabulkách vzájemně přehozené.
… poloha těžiště U profilu
36
Průřezové charakteristiky obrazce složeného z válcovan ých ty čí
x
z
PU
R
zT
T [xT ,zT]
xT
PI
zU
zIcU
cI
xt
zt
( )( )
( )
Tii
Tii
iiizxxz
iiizz
iiixx
xxd
zzc
dcADD
dAII
cAII
ii
−=−=
⋅⋅+=
⋅+=
⋅+=
∑∑∑
2,
2,
o
Nápověda:Ix = 7,3482.10-5 m4
Průřez je symetrický k ose z → Dxz=0, centrální osy setrvačnosti = hlavní centrální osy setrvačnosti
10
37
Průřezové charakteristiky obrazce s otvorem
Nápověda:
T = [4,286 ; 3,214] I x = 126,373 m4 I z = 224,071 m4
Domácí úkol č.2do p říští p řednášky:
Dle postupu u příkladu 2 spočítejte všechny průřezové charakteristiky, které jsme probírali.
Průřez tvoří obdélníková plocha s otvorem..
38
Shrnutí základních pojm ů
Statické momenty plochy [m 3] :
k ose z :
k bodu o:
Tx zAS ⋅−=
Tz xAS ⋅=TTo zAxAS ⋅−⋅=
Kvadratické momenty plochy [m 4] :
setrvačnosti k ose x : ∫∫=A
x AzI d.2∫∫=A
z AxI d.2
∫∫=A
xz AzxD d..
setrvačnosti k ose z :
deviační k osám xz: polární k bodu (pólu) p : ∫∫=A
p ApI d.2
k ose x :
Momenty setrva čnosti (MS) v četně deviačního:k libovolným osám x,z: obecně MS - Ix , Iz , Dx,z
k těžištním osám xt,zt : centrální MS, je-li symetrie alespoň k jedné ose Dxz=0
k pootočeným vzájemně kolmým osám : obecně - Ix´ , Iz , Dx´z
k pootočeným vzájemně kolmým osám - osy neprocházejí těžištěm – extrémní hodnoty MS (I1 ,I2) : hlavní MS, I1= max, I2= min Dx´z =0
k pootočeným vzájemně kolmým osám - osy procházejí těžištěm – extrémní hodnoty MS (I1 ,I2) : hlavní centrální MS, I1= max, I2= min Dx´z =0
![Upravljacko racunovodstvo za Glasnik - University of Novi Sad€¦ · G Z a b \ b a ^ Z Z: û 0 > j m ] h b a ^ Z _ : m l h j: I j h n. ^ j 4 m [ b p Z = Z b J _ p _ g a _ g l b:](https://static.dokumenty.site/doc/80x56/6061de28caa4ef203f69c551/upravljacko-racunovodstvo-za-glasnik-university-of-novi-g-z-a-b-b-a-z-z-.jpg)
![G...FFF DF5 D8,$8] < \, 8] \-](https://static.dokumenty.site/doc/80x56/60207ef034ddfb7e8d264aeb/-g-fff-df5-d88-8-.jpg)
![Û 6× 0° 0b 0[ 8o - Yamagata University · 2016. 2. 12. · Û 6× [ 0° * 0b 0[ 8o ¥ ìh ¹ b h h º h h v h ¥h È h h h h h h hzh h h h h d h ¦ » '¨ § 1 h `$Ñ ]g;gqg g_ggf¸](https://static.dokumenty.site/doc/80x56/6108736516515168ab2860af/-6-0-0b-0-8o-yamagata-university-2016-2-12-6-0-0b-0-8o.jpg)
![©BBBªBBBBBBBBBBBB B] ijhlhdheZBBBBBBBBBBBBBBBBB · GZpbhgZevgucbkke_^h\Zl_evkdbc mgb\_jkbl_l©](https://static.dokumenty.site/doc/80x56/5e6a3743fd31b91ce335b439/bbbbbbbbbbbbbbb-b-ijhlhdhezbbbbbbbbbbbbbbbbb-gzpbhgzevgucbkkehzlevkdbc.jpg)
