Nominální napětí v pásnici

Mean

Std Std

140 160 180 200 220 240 260

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Téma 2: Pravděpodobnostní

vyjádření náhodných veličin

Přednáška z předmětu:Spolehlivost a bezpečnost staveb

4. ročník bakalářského studia

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební

Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava

Osnova přednášky

Náhodný jev, pravděpodobnost náhodného jevu Náhodná veličina: diskrétní spojitá

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti: Rozdělení pravděpodobnosti:

Parametrické Neparametrické (empirické)

Pravděpodobnostní funkce Hustota rozdělení pravděpodobnosti Distribuční funkce

Aproximace omezených rozdělení pravděpodobnosti, histogramy

Náhodná veličina v pravděpodobnostním výpočtuPravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 1 / 33

Pravděpodobnost

Náhodným jevem se rozumí opakovatelná činnost prováděná za stejných (nebo přibližně stejných) podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Příklady mohou být například házení kostkou, střelba do terče nebo losování loterie.

Pravděpodobnost náhodného jevu je číslo, udávající s jakou jistotou lze daný náhodný jev očekávat. Míra pravděpodobnosti náleží do uzavřeného intervalu <0, 1>, kde nula znamená, že událost nemůže nastat a jednička, že jev je jistý. Lze vyjádřit i procentuálně (po vynásobení 100)

V teorii spolehlivosti konstrukcí např.kde Pf ... pravděpodobnost, že nastane porucha Ps ... pravděpodobnost, že konstrukce zůstane zachovaná

Základní principy teorie pravděpodobnosti 2 / 33

1 sf PP

Náhodná veličina

Náhodná veličina je libovolná reálná funkce X definovaná na množině elementárních jevů ω pravděpodobnostního prostoru Ω.

Náhodná veličina je určena rozdělením pravděpodobnosti.

Spojité a diskrétní veličiny: Náhodné veličiny lze rozdělit na nespojité(diskrétní) a spojité. Diskrétní veličiny mohou nabývat pouze početný počet hodnot (konečný i nekonečný), zatímco spojité veličiny nabývají hodnoty z intervalu (konečného nebo nekonečného). Obor všech hodnot náhodné veličiny se nazývá definičním oborem.

Příklad: Výskyt daného jevu lze označit hodnotou 1. Pokud k výskytu daného jevu nedojde, náhodné veličině se přiřadí hodnota 0. Jedná se tedy o diskrétní náhodnou veličinu, která nabývá pouze hodnoty 0 nebo 1.

Základní principy teorie pravděpodobnosti 3 / 33

Náhodná veličina

0,000

0,015

0,030

0,045

0,060

0,075

0,090

0,105

0,120

0,135

0,150

0,165

0,180

P (x )

1 2 3 4 5 6 x

Pravděpodobnostní funkce hodu kostkou

Základní principy teorie pravděpodobnosti 4 / 33

Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny

Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny lze získat, pokud se každé hodnotě diskrétní náhodné veličiny, popř. intervalu hodnot spojité náhodné veličiny, přiřadí pravděpodobnost s pomocí pravděpodobnostní funkce P(x).

Znalost pravděpodobnostní funkce lzepoužít k výpočtu pravdě-podobnosti. Např. pravdě-podobnost, že náhodnáveličina X leží mezihodnotami x1 a x2 se určí:

Rozdělení pravděpodobnosti, pravděpodobnostní funkce

2

1

21

x

xxxPxxxP

Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny je pravidlo, kterým se každému jevu popisovanému touto veličinou přiřadí určitá pravděpodobnost.

x P(x)

x1 P(x1)

x2 P(x2)

... ...

xn P(xn)

Základní principy teorie pravděpodobnosti 5 / 33

Distribuční funkce diskrétní veličiny

Pomocí pravděpodobnostní funkce lze zavést tzv. distribuční funkcivztahem:

Distribuční funkce je neklesající a je spojitá zleva. Hodnoty distribuční funkce leží v rozsahu

Pro diskrétní náhodnou veličinu X lze pro libovolné reálné číslo x vyjádřit distribuční funkci vztahem

VlastnostiJestliže hodnoty náhodné veličiny leží v intervalu <a,b), pak F(a) = 0 a F(b) = 1.

xXPxF

10 xF

xt

tPxF

Základní principy teorie pravděpodobnosti 6 / 33

Pravděpodobnostní a distribuční funkce hodu kostkou

0,000

0,015

0,030

0,045

0,060

0,075

0,090

0,105

0,120

0,135

0,150

0,165

0,180

P (x )

1 2 3 4 5 6 x

Pravděpodobnostní funkce hodu kostkou

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

F (x )

1 2 3 4 5 6 x

Distribuční funkce hodu kostkou

Distribuční funkce

Pravděpodobnostní funkce

Základní principy teorie pravděpodobnosti 7 / 33

Hustota rozdělení pravděpodobnosti Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny se určuje prostřednictvím funkce, kterou označujeme jako hustota rozdělení pravděpodobnosti (hustota pravděpodobnosti).

Je-li (x) hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X, pak platí kde Ω je definiční obor veličiny X.

(Pro hodnoty x mimo definiční obor Ω je hustota pravděpodobnosti nulová).

Ze znalosti hustoty pravděpodobnosti (x) lze určit pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude mít hodnotu z intervalu <x1,x2>, tedy

1d

xx

2

1

x

x21 dxxxXxP

Základní principy teorie pravděpodobnosti 8 / 33

Distribuční funkce spojité veličinyPro spojitou náhodnou veličinu s hustotou pravděpodobnosti (x)lze definovat distribuční funkci vztahem

VlastnostiPlatí, že a .Distribuční funkci lze použít k výpočtu pravděpodobnosti, neboť

Lze dokázat, že mezi hustotou pravděpodobnosti (x) a distribuční funkcí F(x) platí vztah

ttxF d

0F 1F

1221 xFxFxXxP

xxFx

dd

Základní principy teorie pravděpodobnosti 9 / 33

Distribuční funkce spojité veličiny

Distribuční funkce

Pravděpodobnostní funkce

Základní principy teorie pravděpodobnosti 10 / 33

Aproximace omezených rozdělení pravděpodobnosti, histogramy

1. Původní (originální)

rozdělení pravděpodobnosti

2. Diskrétní (discrete) rozdělení

pravděpodobnosti

3. Čistě diskrétní(pure discrete)

rozdělení pravděpodobnosti

4. Po částech rovnoměrné

rozdělení pravděpodobnosti

1. 2.

3. 4.

Intenzita

Pra

vděp

odob

nost

(č

etno

st)

Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 11 / 33

Omezení definičního oboru rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

Neomezený obor rozdělení pravděpodobnosti náhodné

spojité veličiny

Omezený obor rozdělení pravděpodobnosti náhodné

spojité veličiny

Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 12 / 33

Mez kluzu

MeanStd Std

220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

(Ne)parametrické rozdělení pravděpodobnosti

Parametry - charakteristiky rozdělení náhodné veličiny(např. střední hodnota a směrodatná odchylka)

2

2

2

21,

x

exfParametrická rozdělení pravděpodobnosti popsány

analytickou funkcí – např. obecný vzorec funkce hustoty normálního (Gaussova) rozdělení

Nominální napětí v pásnici

Mean

Std Std

140 160 180 200 220 240 260

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Neparametrické (empirické) rozdělení pravděpodobnosti

definovány na základě měření, často i dlouhodobých

Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 13 / 33

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

Variable 1

MeanStd Std

240 260 280 300 320 340 360

0.005

0.01

0.015

0.02

Charakteristiky rozdělení náhodné veličiny -parametry

(např. střední hodnota a směrodatná odchylka)

Důležitá spojitá rozdělenípravděpodobnosti:• Rovnoměrné rozdělení • Normální rozdělení

(Gaussovo rozdělení) • Exponenciální rozdělení • Laplaceovo rozdělení• Logistické rozdělení • Maxwellovo rozdělení • Studentovo rozdělení • Fischerovo-Snedecorovo rozdělení • χ² rozdělení (Chí kvadrát)

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 14 / 33

Normální rozdělení pravděpodobnosti

2)(

21

21,

x

exf

Obecný vzorec funkce hustoty normálního (Gaussova) rozdělenípravděpodobnosti:

... směrodatnáodchylka

... střední hodnota

n

iixn 1

1

n

iixn 1

21

2

2

2

21,

x

exf

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 15 / 33

2

2

2

21,

x

exf

Obecný vzorec funkce hustoty normálního (Gaussova) rozdělenípravděpodobnosti

2

2

2ln

21,

x

ex

xf

Obecný vzorec funkce hustoty lognormálního rozdělení pravděpodobnosti

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,1

0,1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1

s=0.5s=0.75s=1

... směrodatná odchylka ... střední hodnota

n

iixn 1

ln1

n

iixn 1

2ln1

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 16 / 33

Mez kluzu fy oceli S235

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 17 / 33

Tlaková pevnost betonu

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 18 / 33

Krycí vrstva betonu

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 19 / 33

Pevnost zdiva

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 20 / 33

Základní typy parametrických rozdělení pravděpodobnosti

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 21 / 33

Programový nástroj HistAnSlouží pro podrobnější analýzu vstupních histogramů.

Minimum a maximum funkční hodnoty (okrajové hranice histogramu) Počet tříd (intervalů) a četností v nich definovaných Jednoduché výpočty (stanovení funkční hodnoty s odpovídajícím

kvantilem a kvantilu pro zadanou funkční hodnotu) Určení kombinace několika

vstupních histogramů Určení tzv. sumárního

histogramu (výpočty s tzv. větrnou růžicí)

Tvorba histogramů s parametrickým rozdělením

Zpracování naměřených (prvotních) dat

Tvorba a analýza histogramů vstupních veličin 22 / 33

Histogram omezeného rozdělení pravděpodobnosti

Histogram omezeného diskrétního (discrete)

rozdělení pravděpodobnosti

Neparametrické (empirické) rozdělení pravděpodobnosti 23 / 33

Histogram čistě diskrétního rozdělení pravděpodobnosti

Histogram čistě diskrétního (pure

discrete) rozdělení pravděpodobnosti

Neparametrické (empirické) rozdělení pravděpodobnosti 24 / 33

Struktura datového souborus definicí histogramu

Neparametrické (empirické) rozdělení pravděpodobnosti 25 / 33

Textový soubor s příponou *.dis (distribution), jenž obsahuje údaje následujícího tvaru:

[Description] (1. oddíl datového souboru)Identification= volitelný popis datového souboruType= Pure Discrete | Discrete | Continuous (typ empirického rozdělení)

[Parameters] (2. oddíl datového souboru)Min= minimální funkční hodnotaMax= maximální funkční hodnotaBins= celkový počet tříd daného histogramuTotal= součet četností ve všech třídách

[Bins] (3. oddíl datového souboru)četnost v 1. tříděčetnost ve 2. tříděatd. ...

Implementace modulu pro vkládání naměřených dat a pro jejich vyhodnocování.

Možnost tvorby histogramů s neparametrickým rozděleníms možností volby počtu intervalů.

Použití histogramů s parametrickým rozdělením.

K dispozici škála 23 typů s možností výběru nejvhodnějšího z nich pro daný soubor získaných či naměřených hodnot s využitím koeficientu těsnosti.

Parametrická rozdělení v programu HistAn (v systému ProbCalc)

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 26 / 33

Normální LogNormální Gumbel I a II Raised-Cosine Cauchy Fischer-Tippett Laplace Logistic Weibull Rayleigh Lévy Student Beta v nule Beta obecné Gama Snedecorovo Pareto Uniform Trianguler Exponenciální X2

Half-Logistic

Pravděpodobnost pro „useknutí“ parametrického rozdělení

Parametrická rozdělení v programu HistAn (v systému ProbCalc)

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 27 / 33

Histogram omezeného rozdělení pravděpodobnosti

Histogram aproximace parametrického

rozdělení pravděpodobnosti

omezeným diskrétním(discrete) rozdělením

pravděpodobnosti

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 28 / 33

Použití naměřených (primárních) dat, parametrické rozdělení

Výběr vhodného

rozdělení dle koeficientu

těsnosti

Charakteristiky odvozených parametrických dat

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 29 / 33

Koeficient těsnosti

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 30 / 33

2

2,

2

2 ..2

1y

iiiixy

y

Y

s

yYYyn

s

ss

i

iy yyn

s 22 .1

i

iY yYn

s 22 .1

i

iixy Yyn

s 22, .1

Yi ... hodnota funkce hustoty pravděpodobnostiparametrického rozdělení v příslušnéhodnotě xi

y ... střední hodnota ze všech yi

rozptyly pro nintervalů

1,02

2

y

Y

ss

Reziduální (zbytkový) součet čtverců

i

iixy Yyn

s 22, .1

Rozptyl ... žádoucí nejmenší hodnota

Yi ... hodnota funkce hustoty pravděpodobnostiparametrického rozdělení v příslušnéhodnotě xi

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 31 / 33

Tabulka vhodných parametrických rozdělení a jejich charakteristik

vhod

náne

vhod

ná

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 32 / 33

Závěry

Přednáška:

byla zaměřena na základní pojmy teorie pravděpodobnosti, které souvisejí s pravděpodobností náhodného jevu,

ukázala možnosti pravděpodobnostního vyjádření náhodné veličiny formou neparametrického (empirického) a parametrického rozdělení pravděpodobnosti,

stručně zmínila způsoby definice histogramu náhodné veličiny v datových souborech pravděpodobnostních výpočtů,

nastínila použití programového prostředku HistAn.

Závěry 33 / 33

Nominální napětí v pásnici

Mean

Std Std

140 160 180 200 220 240 260

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Děkuji za pozornost!