Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia
Základní pojmyPřímková a rovinná soustava sil
skripta Benda str.5-24
• Základní pojmy• Přímková soustava sil• Rovinný svazek sil• Statický moment síly k bodu a dvojice sil v rovině• Obecná rovinná soustava sil• Rovinná soustava rovnoběžných sil
2
v prostoru
v rovině
x
y
z
+ x
+ z
0
0
Základní pojmy: Souřadnicová soustava - pravoúhlá
Nutný předpoklad pro matematický popis nosné konstrukce.Záleží na povaze řešené úlohy.
3
Bodová (osamělá) síla - vektorová veličina:
působiště
velikost
směr
orientace (smysl)
Základní pojmy: Síla bodová, vektor
+ x
+ z
0
P
A
x
z
Paprsek síly (nositelka síly)
Bodovou sílu lze po nositelce
libovolně posouvat, aniž by se
měnil její účinek (kluzný vektor), nejedná-li se ovšem o vázaný vektor daný svým působištěm.
Jednotka síly – newton (N), násobky kilonewton (kN=103N), meganewton (MN=106N)
P
4
Zadání bodové síly v rovině
Působiště každé síly a je zadáno
dvojicí souřadnic xa a za.
Velikost, směr a smysl kterékoliv síly Pi může být zadán 2 způsoby:
a) prostřednictvím složek Pix, Piz ,
velikost, směr i smysl síly z rovnoběžníku sil
b) kladnou velikostí Pi a směrovým
úhlem γγγγi
22
izixi PPP +=
i
ixii
P
P== αγ cossin
i
izii
P
P== αγ sincos
iiix PP γsin.=iiiz PP γcos.=
Základní pojmy: Síla bodová v rovině
5
Zadání bodové síly v prostoru
a) prostřednictvím složek Pix, Piy, Piz, velikost, směr i smysl síly z rovnoběžnostěnu (kvádru) sil
222
izixi PPPPiy
++=
Základní pojmy: Síla bodová v prostoru
Působiště každé síly a je zadáno
trojicí souřadnic xa , ya , za.
Velikost, směr a smysl kterékoliv síly Pi může být zadán 2 způsoby:
b) kladnou velikostí Pi a třemi směrovými úhly αi , βi , γi (mezi kladným
polopaprskem síly a odpovídající kladnou souřadnicovou poloosou)
i
ixi
P
P=αcos
i
iy
iP
P=βcos
i
izi
P
P=γcos
iiix PP αcos.= iiiy PP βcos.= iiiz PP γcos.=
6
ar
a==γsin
br
b==γcos
b
a=γtg
γγ
tg
1cotg ==
a
b
r = 1
+xS
AB
+z
γγγγ rb
a
sin protilehlá odvěsna ku přeponě
cos přilehlá odvěsna ku přeponě
tg protilehlá ku přilehlé
cotg přilehlá ku protilehlé
Základní pojmy: Jednotková kružnice
+
+
cos
sin
−
+
cos
sin
−
−
cos
sin
+
−
cos
sin
7
Základní pojmy: Rozklad síly v rovině
+ x
+ z
0
P
A
x
z
z
Px
Pz
Pz = P . cos γPx = P . sin γ
P
Px
Pz
Px
Pz
γ
γ
x
γ
++++γγγγ
Možnosti zadání velikosti úhlu:
++++γγγγ−−−−γγγγ0 až 360°
0 až-180° 0 až180°Úhel k ose x?
8
VÝSLEDNICE a ROVNOVÁŽNÁ SÍLA
Výslednice R („resultanta“) soustavy sil:- síla, která má na těleso stejný účinek jako celá soustava sil(nahrazuje danou soustavu sil)
- je tedy s danou soustavou ekvivalentní.
Rovnovážná síla R soustavy sil:- síla, která uvede soustavu sil do rovnováhy(ruší účinek soustavy sil)
- je shodné velikosti i směru jako výslednice, ale má opačnou orientaci (smysl).
Působí – li na těleso dvě nebo více sil → soustava sil.
9
Soustavy sil - přehled
Znaménková konvence – síly působící doprava a dolů
jsou kladné, moment otáčející proti směru chodu
hodinových ručiček je kladný
+ x
+ z
0 +
Soustavy sil můžeme rozdělit do následujících skupin:� síly působící v jedné přímce� rovinný svazek sil� obecná soustava sil� soustava rovnoběžných sil
Typy řešení silových soustav:� Skládání sil
1) Nahrazení soustavy sil2) Zrušení soustavy sil – uvedení do rovnováhy
� Rozklad sil
Řešení:Početně – sestavujeme podmínky ekvivalence nebo rovnováhyGraficky – složkový obrazec
10
PŘÍMKOVÁ SOUSTAVA SIL
Dvě nebo více sil působí na tuhé těleso v témž paprsku (na jedné nositelce).
Grafické znázornění a popis sil
• velikost • orientace • působiště xa (vázaný vektor)
Síla v přímkové úloze určena:
P1 = 10 kN
P2 = 5 kN
P3 = 15 kN
+x
11
Výslednice přímkové soustavy sil
∑=
=n
i
iPR1
Znaménko výslednice udává smysl, z podmínky ekvivalence nelze určit působiště – kluzný vektor.
+x
P1 = 10 kNR = Σ Pi = P1 – P2 + P3 = 20 kN
R
Například :
Výpočet výslednice z podmínky ekvivalence:
(účinek soustavy sil je nahrazen)
Výslednice přímkové soustavy sil leží na stejném paprsku soustavy
P2 = 5 kN
P3 = 15 kN
12
+x
Například :R = ? kN
P1 – P2 + P3 + R = 0
Rovnovážná síla přímkové soustavy silRovnovážná síla – obecně:-síla, která uvede soustavu sil do rovnováhy-je shodné velikosti i směru jako výslednice, ale má opačnou orientaci (smysl).
01
=∑=
n
i
iP
Znaménko rovnovážné síly udává smysl,z podmínky rovnováhy nelze určit působiště – kluzný vektor.
Výpočet rovnovážné síly z podmínky rovnováhy:
(účinek soustavy sil je zrušen)
321 PPPR −+−=⇒
U rovnovážné soustavy je výslednice sil vždy nulová. 0=R
:01
=∑=
n
i
iP
P1 = 10 kN
P2 = 5 kN
P3 = 15 kN
13
+x
Například :R = 20 kN
Rovnovážná síla přímkové soustavy silRovnovážná síla – obecně:-síla, která uvede soustavu sil do rovnováhy-je shodné velikosti i směru jako výslednice, ale má opačnou orientaci (smysl).
01
=∑=
n
i
iP
Znaménko rovnovážné síly udává smysl,z podmínky rovnováhy nelze určit působiště – kluzný vektor.
Výpočet rovnovážné síly z podmínky rovnováhy:
(účinek soustavy sil je zrušen)
kNR
R
20
15510
−=
−+−=⇒
U rovnovážné soustavy je výslednice sil vždy nulová. 0=R
:01
=∑=
n
i
iP
P1 = 10 kN
P2 = 5 kN
P3 = 15 kNP1 – P2 + P3 + R = 0
14
+x
P1 P2 P3
R = Σ Pi
R
+x
P1 P2 P3
(soustava sil je zrušena – podmínka rovnováhy)
V přímkové soustavě sil je 1 podmínka ekvivalence a 1 podmínka rovnováhy
(soustava sil je nahrazena – podmínka ekvivalence)
- R = R
R
Σ Pi =0
P1 – P2 + P3 – R = 0
Rekapitulace přímkové soustavy sil
Hledáme výslednici.
Hledáme rovnovážnou sílu.
R = P1 – P2 + P3
15
ROVINNÝ SVAZEK SIL – paprsek sil
(b)(a)
Dvě nebo více sil působících v rovině se společným působištěm.
(a) Výslednice R dvou sil o společném působišti
je jednoznačně určena úhlopříčkou rovnoběžníku sil – sinová a kosinová věta.
(b): Často případ 2
2
2
1 PPR +=
Pro dvě síly:
Obecně svazek n sil –
Rovinný svazek sil řešíme pomocí rozkladu sil do dvou
složek souhlasných s osami souřadného systému x a z.
Rozkladem sil převedeme rovinný svazek sil na dvě úlohy sil
působících v jedné přímce.
16
Využití poznatků o rovinném svazku
Příhradová konstrukce, Pavilon V z r.2000, Brněnské výstaviště
17
Výslednice rovinného svazku sil
a) určit složky Piz, Pix každé ze sil Pi
22
zx RRR +=R
RxR =γsin R
Rcos z
R =γ
iiix PP γsin.=iiiz PP γcos.=
∑=
=n
i
ixx PR1
∑=
=n
i
izz PR1
+xP1
P2
R
+zP2
P2z
P2x
+x
P1
R
+z
P2x
P2z
Rx
Rz
(svazek sil je nahrazen sílou R)Výpočet výslednice z podmínek ekvivalence:
Postup výpočtuvýslednice R rovinného svazku n sil:
b) vypočítat výslednice obou přímkových soustav sil v souřadnicových osách
c) určit velikost a směrový úhel výslednice R
rovinného svazku sil (pozor na záporné hodnoty složek výslednice)
18
Rovnovážná síla rovinného svazku sil
x
n
i
ix RP ⇒=∑=
01
z
n
i
iz RP ⇒=∑=
01
+xP1
P2
+z
P2
Uvedení rovinného svazku sil do rovnováhy pomocí rovnovážné síly
(svazek sil je zrušen sílou )
01
=∑=
n
i
iP
Výpočet rovnovážné síly z podmínek rovnováhy:
Je-li rovinný svazek sil v rovnováze, je jeho výslednice nulová. 0=R
a) určit složky Piz, Pix každé ze sil Pi
iiix PP γsin.=iiiz PP γcos.=
Postup výpočtu rovnovážné síly rovinného svazku n sil:
b) vypočítat rovnovážné síly obou přímkových
soustav sil v souřadnicových osách
22
zx RRR +=R
R x
R=γsin
c) určit velikost a směrový úhel rovnovážné sílyrovinného svazku sil (pozor na záporné
hodnoty složek výslednice)
R
R
R
R
R Rz
Rx
vektorový součet
19
Rekapitulace rovinného svazku sil
2 podmínky ekvivalence nebo 2 podmínky rovnováhy
+xP1
P2R
+z
P2
Rovnovážná síla
je stejně velká jako výslednice sil R
ale opačně orientovaná
R
R
∑=
=n
i
ixx PR1
∑=
=n
i
izz PR1
(soustava sil je nahrazena –podmínky ekvivalence) (výsledek - výslednice R)
(soustava sil je zrušena) –podmínky rovnováhy
(výsledek – rovnovážná síla ).R
x
n
i
ix RP ⇒=∑=
01
z
n
i
iz RP ⇒=∑=
01
Složkový obrazec na tabuli
20
Příklad – nahrazení svazku sil jednou silou – viz cvičení
Zadání a výsledek příkladu 2.1Obr. 2.4. / str. 11
Řešení – hledáme výslednici z podmínek ekvivalence:
22
zx RRR +=
iiix PP γsin.=
iiiz PP γcos.=
∑=
=n
i
ixx PR1
∑=
=n
i
izz PR11) V rovině u paprsku sil pouze
dvě podmínky ekvivalence (součtové silové):
2) Spočtěte a poté vykreslete složky výslednice v souřadném systému –poznáte, do kterého kvadrantu směřuje výslednice.
3) Dopočtěte výslednici, zakreslete do obrázku, podívejte se, kam výslednice směřuje (do kterého kvadrantu)
4) Dopočtěte velikost úhlu od kladného směru osy z podle směru výslednice (příslušného kvadrantu)
3) Určete ostrý úhel, který svírá výslednice např. s osou z
( z absolutních hodnot složek výslednice)
• sin γR,= Rx / R
• γR , ostrý
Rx
Rz RγR,ostrý
xz
γR,ostrý∑
=
=n
i
ixx PR1
∑=
=n
i
izz PR1
21
Statický moment síly k bodu
P
s
p Absolutní hodnota statického momentuMs síly P k bodu s:Rozměr Nm (kNm) pPM s .=
Smysl otáčení statického momentu:
Kladný smysl otáčení statického momentu – proti smyslu chodu ručiček při pohledu proti kladnému směru třetí osy (na rovinu xz proti y – „zepředu“)
Otáčivý účinek síly vzhledem k danému bodu – momentovému středu
kladný směr momentu
Paprsek
(nositelka) síly
Momentový střed s – libovolný bod
Rameno síly p kolmice!
22
M0 = P. r(znaménko podle směru otáčení okolo bodu)
M0 = Px.z - Pz.x (odvozeno pro I.kvadrant, platí obecně)
0 x
zx
z
PPx
Pz
r (kolmé rameno)
Výpočet statického momentu síly k bodu
0 x
z
x
zP
Px
Pz
r
kladný směr momentu
23
VARIGNONOVA MOMENTOVÁ VĚTA
Pierre Varignon(1654 - 1722)
Algebraický součet statických momentů všech sil v obecné rovině k libovolně zvolenému středu je roven statickému momentu výslednice této soustavy k témuž bodu.
… Varignonova věta
∑=
=n
i
iiRd pPpR1
..
Platí:
Matematicky: kladný směr momentu
Příklady na výpočet ramene výslednice podle Varignonovy věty viz příklad
ve skriptech SI na stránkách ( rovnoběžné síly ).
24
OBECNÁ ROVINNÁ SOUSTAVA SIL• Působí-li v téže rovině dvě nebo více (obecně n) sil Pi
o různých působištích, různých velikostech, směrech a smyslech.• Provedeme rozklad všech sil na x-ové Px a z-ové složky Pz.
• Každá síla vytváří statický moment vzhledem k počátku souřadného systému.
x
z
P1
P3
P2
P4
γ2γ
1
γ4γ3
kladný směr momentu
25
∑= xix PR ,
∑= ziz PR ,
iziixiiR xPzPMM .. ,,0,0, ∑∑∑ −==
Podmínky ekvivalence:
Důležité:Pro výpočet výslednice obecné rovinné soustavy:
3 podmínky ekvivalence.
(soustava sil je nahrazena výslednicí R)
Výslednice obecné rovinné soustavy sil
Výslednice sil v ose x
Výslednice sil v ose z
Výsledný statický moment vztažený k počátku 0
26
0, =∑ xiP
0=∑ z,iP
0, =∑ oiM
Podmínky rovnováhy:
Zrušíme účinek soustavy sil pomocí rovnovážných sil v ose x
Zrušíme účinek soustavy sil pomocí rovnovážných sil v v ose z
Zrušíme účinek soustavy sil pomocí rovnovážných momentů nebo momentů od rovnovážných sil
(soustava sil je zrušena rovnovážnou silou )
Rovnovážná síla obecné rovinné soustavy sil
xR
xR⇒...
zR⇒...
RM⇒...
Důležité:Pro výpočet rovnovážné síly obecné rovinné soustavy:
3 podmínky rovnováhy.
27
Tři způsoby znázornění výsledného účinku
obecné rovinné soustavy silObr. 2.14. / str. 17
Výsledný účinek obecné rovinné soustavy sil
(a) (b) (c)
Lze formulovat trojím způsobem:a) osovými složkami výslednice Rx , Rz v souřadnicových osách a výsledným statickým momentem MR
b) výslednicí R v počátku a výsledným statickým momentem MR
28
Tři způsoby znázornění výsledného účinku
obecné rovinné soustavy silObr. 2.14. / str. 17
Výsledný účinek obecné rovinné soustavy sil
(a) (b) (c)
Lze formulovat trojím způsobem:c) výslednicí Rd , posunutí o d tak, aby účinek R.d byl stejný jako MR
R
Md
R= 0. =+ xRM zR 0. =− zRM xR→ →z
R
R
Mx −=
x
R
R
Mz =
29
Stanovte výslednici obecně působících sil v rovině:
(nahrazení obecné soustavy sil):
a) pomocí Rx, Rz, MR,0
b) pomocí R, γR, MR,0
c) pomocí R, γR, ramene r
Dáno: F1 = 10kN, x1 =-3m, z1 = 3m, γ1=340°,
F2 = 30kN, x2 = 2m, z2 =-1m, γ2= 40°.
Příklad – výslednice obecné soustavy sil – viz cvičení
γ1
P2P1
0
γ2++++γγγγ−−−−γγγγ
Je možno zadat také γ1=-20°, vychází stejně:
P2P1
0
γ2
x
z
γ1
30
a) Nahrazení soustavy pomocí Rx, Rz, MR,0
Rx
Rz
MR,0 = 47,31kNm0
• Rx = ∑ Pi,x
• Rz = ∑ Pi,z
• MR,0 = ∑ Pi,x zi - ∑ Pi,z xi
= 15,86 kN
= 32,38 kN
Řešení příkladu
= - 47,31 kNm
P2P1
0
γ2
x
z
γ1
Původní soustava sil:
Výsledné nahrazení – původní síly P1 a P2 budou nahrazeny Rx a Rz a k nim přidáme MR,0 :
(Pozn.červeně jsou označeny veličiny, které nahradí původní soustavu sil P1 a P2).
31
výslednice
R = 36,056kN
sin γR= Rx / R
γR= 26,10°
MR,0 = -47,31 kNm
22
zxRRR +=
b) Nahrazení soustavy pomocí R, γR, MR
Řešení příkladu
Rx
Rz RγR
MR,0 = 47,31kNm
Předchozí soustava sil:Výsledné nahrazení – místo složek sil Rx
a Rz bude působit pouze 1 síla R procházející počátkem, moment zůstává stejný):
(Pozn.červeně jsou označeny veličiny, které nahradí původní soustavu sil P1 a P2).
Rx
Rz
MR,0 = 47,31kNm0
32
výslednice
R = 36,056 kN
γR = 26,10°
MR,0= - 47,31kNm
R
r x
z
0
c) Nahrazení soustavy pomocí R, γR, ramene r
r = MR,0 / R = 1,312mMR,0 = R.r
Řešení příkladu
Předchozí nahrazení: Výsledné nahrazení – síla je posunuta směrem, aby způsobila moment stejného znaménka jako MR,0 na rameni r :
Rx
Rz
RγR
MR,0 = 47,31kNm
(červeně jsou označeny veličiny, které nahradí původní soustavu sil P1 a P2).
γR
33
Rovnovážnou síla vyjádřete pomoci složek síly a momentu
Rx
Rz
MR,0
00, =∑ xiP
0=∑ z,iP
0=∑ o,iM
Podmínky rovnováhy:Zrušíme účinek vodorovných sil pomocí
rovnovážné síly v ose x
Zrušíme účinek otáčivý účinek soustavy
sil pomocí rovnovážného momentu
U předešlého příkladu zrušte účinek obecné soustavy sil(uveďte soustavu do rovnováhy)
Zrušíme účinek svislých sil pomocí
rovnovážné síly v ose z
0RFF0P xx,2x,1x,i =++==∑
0RFF0P zz,2z,1z,i =++==∑
( ) 00 0,2,21,12,21,1, =++−+==∑ Rzzxxoi MxFxFzFzFM
kNmM
kNR
kNR
R
z
x
31,47
38,32
86,15
0, =
−=
−=
Příklad
(Pozn.červeně jsou označeny veličiny, které zruší původní soustavu sil P1 a P2).
34
ROVINNÁ SOUSTAVA ROVNOBĚŽNÝCH SIL
+x
+z
P1
P2
P3
P4
Působí-li v téže rovině dvě nebo více (obecně n) rovnoběžných sil Pi.
Působiště a každé síly Pi je zadáno dvojicí souřadnic xa a za ,
(u volných vektorů stačí pouze1 souřadnice, tady pouze x-ová).
Síla je zadána velikostí (kladnou nebo zápornou podle smyslu síly).
Výpočet shodně jako u obecné soustavy sil s tím, že je zadaná pouze 1 složka u všech sil (tady x-ová).
35
∑= xix PR ,
∑= ziz PR ,
iziixiiR xPzPMM .. ,,0,0, ∑∑∑ −==
Podmínky ekvivalence: (soustava sil je nahrazena výslednicí R)
Výslednice soustavy rovnoběžných sil
+x
+z
P1
P2
P3
P4
∑= iPR
iiR xPM .0, ∑−=
Výslednice sil v ose z (R)
Výsledný statický moment (M0) k počátku
0
Důležité:Pro výpočet výslednice soustavy rovnoběžných sil:
2 podmínky ekvivalence.
R
kladný směr momentu
36
0=∑ iP
0, =∑ oiM
Podmínky rovnováhy:
Zrušíme účinek soustavy sil pomocí rovnovážných sil v ose z
Zrušíme účinek soustavy sil pomocí rovnovážných momentů nebo momentů od rovnovážných sil
(soustava sil je zrušena rovnovážnou silou )
Rovnovážná síla soustavy rovnoběžných sil
R
R⇒...
RM⇒...
Důležité:Pro výpočet rovnovážné síly soustavy rovnoběžných sil:
2 podmínky rovnováhy.
+x
+z
P1
P2
P3
P4
0
R
37
DVOJICE SIL (velmi důležité)
Dvojice sil – dvě stejně velké rovnoběžné síly opačných smyslů.Rameno dvojice sil – vzdálenost p paprsků obou sil.
+x
P
+z
s
Paprsek síly
p
P
p2
p1
Dvojice sil vyvozuje na těleso pouze otáčivý účinek ve své rovině, vyjádřený statickým momentem M dvojice sil : pPM .=
kladný směr momentu
38
Dvojice sil - odvození
+x
P2
+z
s
Paprsek síly
p
P1
p2
p1
pPM .= kladný směr momentu
12 ppp −=
21 PP =
( ) pPppPpPpPM s ⋅=−⋅=⋅+⋅−= 122211
39
Dvojice sil - vlastnosti
Dvojice silObr. 2.10. / str. 15
Pro statický moment M dvojice sil platí:
a) je stejný ke všem bodům (momentovým středům) tělesa
b) nezmění se, posune-li se dvojice sil do jiného místa nebo pootočí-li se oba paprsky (při zachování délky p)
c) nemění se při současném zmenšování pa zvětšování P, pokud součin P.p zůstává
konstantní
d) kladný smysl otáčení stejný jako u statického momentu síly
e) více dvojic – lze nahradit jedinou výslednou dvojicí sil
f) je-li výslednice dvojic sil nulová, jedná se o rovnováhu
kladný směr momentu
