Biomechanika II

ČVUT v Praze, fakulta strojní,ústav mechaniky, biomechaniky a mechatronikyObor: Biomechanika a lékařské přístroje

Modely napjatosti a deformace cév,vliv zbytkových napětí a aktivní vlastnosti

Lukáš HornýLukas.horny@fs.cvut.cz

Říjen 2016

Předpokládané znalosti• Předpokládá se, že student si osvojil znalosti anatomie a fyziologie;

pokud ne, vizte předměty: Základy anatomie fyziologie I a II, Biomechanika I• Předpokládá se znalost předmětů Pružnost a pevnost I a II • Předpokládá se základní znalost nelineární mechaniky kontinua vyložená během

kurzu Projekt I (BLP)na studenty specializace „lékařské přístroje“ bude v tomto směru brán zvláštní ohled

• Předpokládají se znalosti hydromechanikykonkrétně tyto pojmy a jevy: přeměna mechanické energie popsaná Bernoulliovourovnicí, Naveirovy-Stokesovy rovnice a chování vazké (newtonské) kapaliny

Pedagogický cílCílem je, aby posluchač měl představu o tom:

• jak můžeme modelovat napjatost a deformaci v tubulárních objektech lidského těla, výklad je prováděn na příkladu břišní aorty

• jaký je rozdíl mezi modely 2D a 3D napjatosti • že tkáně lidského těla rostou zbytkově napjaté a že zbytková napjatost má

významnou mechanickou funkci• Pasivní vs. aktivní vlastnosti (aktivace hladkého svalstva a vliv na mechanické

chování)

Břišní aortaPříklad, výukový model, pro tubulární tkáně a orgány

Břišní aorta: anatomie

Repro: http://my.clevelandclinic.org/heart/heart-blood-vessels/aorta.aspx Repro: http://www.doereport.com/enlargeexhibit.php?ID=15311

• Pitva

Břišní aorta: anatomie

1 Pravá plíce 2 Pravá jaterní tepna 3 Játra 4 Levá jaterní tepna 5 Žaludek 6 Levý ohyb tračníkutlustého střeva 7 Slezina 8 Levá plíce 9 Aorta

• CT Nekontrastní CTzobrazující obrovské aneuryzma (výduť)

břišní aorty

sagitálně

axiálně

Břišní aorta: anatomie• Aorta je elastická tepna

Repro: http://www.lab.anhb.uwa.edu.au/mb140/corepages/vascular/vascular.htm

Repro: http://php.med.unsw.edu.au/embryology/images/a/ae/Artery_histology_16.jpg

Břišní aorta: anatomie• Aorta je elastická tepna z

t

β

http://www.biomech.tugraz.at/images/pdf/Gasser_et_al-J_R_Soc_Interface-2006.pdf

Mechanická interakce

Tepelná výměna

Mechanická interakce• Silová interakce obecně neprobíhá jen vnitřním tlakem

Stlačení žilní stěny kosterním svalem(svalová pumpa)

Smykové napětí na vnitřní stěně tepny nemusí být jen τzr ale i τθr

Mechanická interakce• Podélné

předpětí tepen

inizZ

l L LL L

λ + ∆= =

Břišní aorta in situ

Břišní aorta ex situ

Mechanická interakce• Podélné

předpětí břišníaortyvs.stáří

Akumulace poškození kalcifikacía proteolýzou, suboptimálníremodelace → AGING

http://journal.frontiersin.org/article/10.3389/fgene.2012.00290/full

Výpočtový model 2D • Tenkostěnná válcová skořepina (membrána)

Předpoklady modelu: • Geometrie: válec R ≫ H• Vazby: (1) působí na střední ploše,

(2) neomezují natočení a radiální posuv• Zatížení: (1) vnitřní tlak, (2) axiální síla

rovnoměrně rozprostřená do průřezu• Materiál: nestlačitelný, nelineární

a anizotropní popsaný hustotou deformační energie W

• Posuvy a deformace: velké• Napjatost: 2D homogenní• Deformace: 3D homogenní

Výpočtový model 2D• Tenkostěnná válcová

skořepina (membrána)

r

• Geometrie: válec R ≫ H• Vazby: (1) působí na střední ploše,

(2) neomezují natočení a radiální posuv• Zatížení: (1) vnitřní tlak, (2) axiální síla

rovnoměrně rozprostřená do průřezu• Materiál: nestlačitelný, nelineární

a anizotropní popsaný hustotou deformační energie W

• Posuvy a deformace: velké• Napjatost: 2D homogenní• Deformace: 3D homogenní

zθ

Výpočtový model 2D• Geometrie: válec R ≫ H• Vazby: (1) působí na střední ploše,

(2) neomezují natočení a radiální posuv• Zatížení na střední ploše: (1) vnitřní tlak,

(2) axiální síla rovnoměrně rozprostřená po obvodu

• Materiál: nestlačitelný, nelineární a anizotropní popsaný hustotou deformační energie W

• Posuvy a deformace: velké• Napjatost: 2D homogenní• Deformace: 3D homogenní

• Tenkostěnná válcová skořepina (membrána)

P

Výpočtový model 2D• Geometrie: válec R ≫ H• Vazby: (1) působí na střední ploše,

(2) neomezují natočení a radiální posuv• Zatížení na střední ploše: (1) vnitřní tlak,

(2) axiální síla rovnoměrně rozprostřená po obvodu

• Materiál: nestlačitelný, nelineární a anizotropní popsaný hustotou deformační energie W

• Posuvy a deformace: velké• Napjatost: 2D homogenní• Deformace: 3D homogenní

• Tenkostěnná válcová skořepina (membrána)

P

F = 2πrf

Výpočtový model 2D• Geometrie: válec R ≫ H• Vazby: (1) působí na střední ploše,

(2) neomezují natočení a radiální posuv• Zatížení na střední ploše: (1) vnitřní tlak,

(2) axiální síla rovnoměrně rozprostřená po obvodu

• Materiál: nestlačitelný, nelineární a anizotropní popsaný hustotou deformační energie W

• Posuvy a deformace: velké• Napjatost: 2D homogenní• Deformace: 3D homogenní

• Tenkostěnná válcová skořepina (membrána)

( )2 2 22 31 1

2RR ZZc E c E EcW e ΘΘ + + = −

TW p∂= −∂

F IF

σ

Výpočtový model 2D• Geometrie: válec R ≫ H• Vazby: (1) působí na střední ploše,

(2) neomezují natočení a radiální posuv• Zatížení na střední ploše: (1) vnitřní tlak,

(2) axiální síla rovnoměrně rozprostřená po obvodu

• Materiál: nestlačitelný, nelineární a anizotropní popsaný hustotou deformační energie W

• Posuvy a deformace: velké• Napjatost: 2D homogenní• Deformace: 3D homogenní

• Tenkostěnná válcová skořepina (membrána)

zzσ

θθσ

0rr r z zrθ θσ σ σ σ= = = =

Výpočtový model 2D• Deformace: 3D homogenní• Tenkostěnná válcová

skořepina (membrána) Referenční konfigurace:R, H, LZdeformovaná konfigurace:r, h, l

rR

zZ

h Hr Rz Z

θ

λλλ

Θ

===

Výpočtový model 2D• Tenzorový popis deformace

0 00 0

0 0 0 00 0

0 0

rR

zZ

hH

rR

zZ

θ

λλ

λΘ

= =

F

( )2

212

2

0 0 1 0 010 0 0 1 02

0 0 0 0 1

RR rRT

ZZ zZ

EE

Eθ

λλ

λΘΘ Θ

− = − = = −

−

E F F I

Výpočtový model 2D• Kinematická podmínka nestlačitelnosti v = V

( )0 0

0 0 10 0

rR

rR zZ

zZ

J det det θ θ

λλ λ λ λ

λΘ Θ

= = = =

F

Výpočtový model 2D• Silová rovnováha

2 20

redzz

rr

rPhF rP

rh h

θθσ

σπ

σ

=

= +

=

Výpočtový model 2D• Finální soustavu rovnic popisující nafukování

a protahování uzavřené tenkostěnné nádoby získáme dosazením z konstitutivních rovnic

zz zZzZ

rr rRrR

W p

W p

W p

θθ θθ

σ λλ

σ λλ

σ λλ

ΘΘ

∂= −

∂∂

= −∂∂

= −∂

2 20

redzz

rr

rPhF rP

rh h

θθσ

σπ

σ

=

= +

=2 2

0

redzZ

zZ

rRrR

W rPphFW rPp

rh hW p

θθ

λλ

λλ π

λλ

ΘΘ

∂− =

∂

∂− = +

∂∂

− =∂

Výpočtový model 2D• Úpravy soustavy rovnic

2 2

0

redzZ

zZ

rRrR

W rPphFW rPp

rh hW p

θθ

λλ

λλ π

λλ

ΘΘ

∂− =

∂

∂− = +

∂∂

− =∂

rRrR

Wp λλ∂

=∂

1rR zZθλ λ λΘ =

1 11 1

1 1 1 1

2

2

2 2

rR zZrR zZ

rR zZ rR zZ

rR zZrR

zZzZ rR zZ red

zZ rR

W W R PH

W W R P FH RH

θθ

θ θ

θ θθ λ λ λλ λ λ

θλ λ λ λ λ λ

λ λ λ λλ λ

λλ λ λ λλ λ π

− −− −ΘΘ

− − − −Θ Θ

Θ ΘΘ ==

Θ

= =

∂ ∂− = ∂ ∂

∂ ∂− = + ∂ ∂

rRh Hr Rθ

λλ Θ

==

Výpočtový model 2D• 2 rovnice pro dvě neznámé

např.: volím P, Fred a vypočtu λθΘ, λzZ

napětí zpětně dopočtu z konstitutivních rovnic nebo rovnic rovnováhy, z geometrických rovnic určím zdeformované r a h

1 11 1

1 1 1 1

2

2

2 2

rR zZrR zZ

rR zZ rR zZ

rR zZrR

zZzZ rR zZ red

zZ rR

W W R PH

W W R P FH RH

θθ

θ θ

θ θθ λ λ λλ λ λ

θλ λ λ λ λ λ

λ λ λ λλ λ

λλ λ λ λλ λ π

− −− −ΘΘ

− − − −Θ Θ

Θ ΘΘ ==

Θ

= =

∂ ∂− = ∂ ∂

∂ ∂− = + ∂ ∂

Výpočtový model 2D• Prozkoumejme,

jaký vliv má podélné předpětí na mechanickou odezvu břišní aorty při jejím nafukování

Výpočtový model 2D• Volíme λzZ

ini = 1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4pro λzZ

ini = 1 je Fred = 0v ostatních případech ho budeme muset vypočíst

• Pro W volíme c1 = 14.7 kPa, c2 = 3.04, c3 = 7.38, Ri = 5.3 mm, H = 1.22 mmpro muže stáří 38 let podle Labrosse a kol. 2013 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S175161611200210X

• Tlak volíme P = 0.1(i – 1) kPa, kde i = 1..181

Výpočtový model 2DTl

ak P

[kPa

]

Streč λθΘ [-]Tl

ak P

[kPa

]Streč λzZ [-]

Fred(λzZ = 1) = 0 NFred(λzZ = 1.1) = 0.74 NFred(λzZ = 1.2) = 2.2 NFred(λzZ = 1.3) = 6.4 NFred(λzZ = 1.4) = 22 N

Výpočtový model 2D• Důsledky podélného předpětí:

minimalizace variace podélné deformace

Tlak

P[k

Pa]

Streč λzZ [-]

Výpočtový model 2DTl

ak P

[kPa

]

Streč λθΘ [-]

• Důsledky podélného předpětízvýšení obvodové roztažnosti tepny

Výhodnost předpětí je důsledek nelinearity

Lineární pružnost I. řádu• nestlačitelný materiál• malé posuvy• malé deformace• hookeovský materiál

Lineární pružnost II. řádu• nestlačitelný materiál• velké posuvy• malé deformace• linearizovaný neo-Hooke

Nelineární pružnost• nestlačitelný materiál• velké posuvy• velké deformace• neo-Hooke materiál

Bez

rozm

ěrný

tlak

[-]

Bez

rozm

ěrný

tlak

[-]

Bez

rozm

ěrný

tlak

[-]

Deformace εθθ [-] Deformace εθθ [-] Streč λθΘ [-]

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0020740315003033

Výpočtový model 2D vs 3D• Skořepina s homogenní

membránovou napjatostí

• Silnostěnná nádoba s nehomogenním polem napjatosti

2 2

2 2 21i e

e i

r rPr r rθθσ

= + −

P

P

3D

2DrPhθθσ =

Výpočtový model 2D vs 3D• Pokud se stavová veličina mění

po tloušťce stěny, skořepinový model je neadekvátní, protoževeličiny homogenizuje a soustředí do střední plochy

( )rθθ θθσ σ=konst.θθ θθσ σ= =

P

3D2D

Výpočtový model 2D vs 3D• Pokud se stavová veličina mění po tloušťce stěny,

skořepinový model je neadekvátní, protoževeličiny homogenizuje a soustředí do střední plochy

P

( )rr ir Pσ = −

( ) 0rr orσ = 0

2e i

rr rr rrr rrθθσ σ σ σ+ ⇒ = = =

( ) ( )2 2 2

rr i rr oe irr rr

r rr r Prσ σ

σ σ++ = = = = −

( )rr rr rσ σ=3D

2D rr rr konst.σ σ= =

Výpočtový model 3D• (obvodové) zbytkové napětí

a zbytková deformace

Zbytkově napjatý stav

Beznapěťový stav

Výpočtový model 3D• Zbytková deformace – úhel rozevření α

Výpočtový model 3D• Zbytková deformace – zakřivený ohýbaný prut

Tlačená vlákna

Tažená vlákna+-

Výpočtový model 3D• Kinematika ve dvou krocích

(1) uzavření ( ) ( )1 : , , R, ,Zf ρ φ ζ Θ→ ( )2

2 2

R R

Z

ππ

ρ

φ

δζα−

Θ

=

=

=

1f : →ξ X

( )

( )

( )11

1 0 00 0

0 0 0 01 1

0 01 0 0

R

Z

RR R R

df RR R Rd

Z Z Z

ρ

φ

ζ

ρρρ ρ φ ζ λ

ρ π λρ ρ φ ζ ρ π α

λδ

ρ ρ φ ζ

Θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂Θ ∂Θ ∂Θ

= = = = ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

Fξξ

Výpočtový model 3D• Kinematika ve dvou krocích

(2) nafouknutí, natažení( ) ( )2 : R, , , zZf r ,θ→Θ

2 :f →X x

( )r r

z

R

Zλθ=

==Θ

( )

( )

( )22

1 0 00 0

0 0 0 01 1

0 00 01

rR

zZ

r Rr r rRR R Z

df r Rr r rd R R Z R

z z zR R Z

θ

λθ θ θ λ

λλ

Θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂Θ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = = ∂ ∂Θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Θ ∂

FX

X

Výpočtový model 3D• Výsledná kinematika

skládání zobrazení f = f2○f1

( ) ( ): , , r, ,zf ρ φ ζ θ→

( )1 0 00 0

0 0 0 01 1

0 01 0 0

r

z

rr r r

d d d r r r rd d d

z z z

ρ

θφ

ζ

ρρ ρ φ ζ ρ λθ θ θ π λρ ρ φ ζ π α ρ

λλδ

ρ ρ φ ζ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = = = = ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

Fξ ξ

x X xX

2 1

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

rR R r

zZ Z z

ρ ρ

θ φ θφ

ζ ζ

λ λ λλ λ λ

λ λ λΘ Θ

= = =

F F F

Výpočtový model 3D• Rovnice rovnováhy

1 0

1 2 0

1 0

r rrrr rz

r z r

zrz zz rz

r r z r

r r z r

r r z r

θ θθ

θ θθ θ θ

θ

σ σ σσ σθ

σ σ σ σθσσ σ σθ

∂ −∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂

∂∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂

( ) 0div =σ

Výpočtový model 3D• Rovnice rovnováhy

0 0 0 0pro 0 0 předpokládejme, že 0 0

0 0 0 0

r rr

z zz

ρ

θφ θθ

ζ

λ σλ σ

λ σ

= =

F σ

0

1 0

0

rrrr

zz

r r

r

z

θθ

θθ

σ σσ

σθ

σ

−∂+ =

∂∂

=∂

∂=

∂

Výpočtový model 3D• Rovnice rovnováhy

0

1 0

0

rrrr

zz

r r

r

z

θθ

θθ

σ σσ

σθ

σ

−∂+ =

∂∂

=∂

∂=

∂

Splníme předpokladem, že

( )

0

1 0 dále nepoužijeme

rrrr

zz zz

ddr r

rr

θθ

θθ

σ σσ

σθ

σ σ

−+ =

∂=

∂=

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

rr rr rr

zz zz zz

r , ,z r

r , ,z r

r , ,z rθθ θθ θθ

σ σ θ σ

σ σ θ σ

σ σ θ σ

= =

= =

= =

Výpočtový model 3D• Radiální rovnováha

0 rr rrrrrr

d d drdr r r

θθ θθσ σ σ σσ σ− − ++ = ⇒ =

( )

( )

( ) ( ) 0rr o

rr i

r

rr rr o rr ir

d r r P Pσ

σ

σ σ σ= − = + =∫( )

( )rr o o

rr i i

r rrr

rrr r

d drr

σθθ

σ

σ σσ −=∫ ∫

o

i

rrr

r

P drr

θθσ σ−= ∫

( ) ( )OP: 0rr i rr or P rσ σ= − ∧ =

Výpočtový model 3D• Aplikace nestlačitelnosti do napětí

přechod od k( )rR zZW W , ,θλ λ λΘ= ( ) ( )1 1rR zZ zZ zZ

ˆW W , , W ,θ θ θλ λ λ λ λ λ λ− −Θ Θ Θ= = =

1 0rR zZ zZ rR rR zZ rR zZd d dθ θ θ θλ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λΘ Θ Θ Θ= ⇒ + + =

zZ rr rR rR zZ rR zz zZdW d d dθ θθ θ θλ λ σ λ λ λ σ λ λ λ σ λΘ Θ Θ= + +

( ) ( )rR zZ rr rR zz rr zZdW d dθθ θ θλ λ σ σ λ λ λ σ σ λΘ Θ= − + −

zZ rR rR zZ rR zZd d dθ θ θλ λ λ λ λ λ λ λ λΘ Θ Θ= − −

Výpočtový model 3D• Aplikace nestlačitelnosti do napětí

přechod od k( )rR zZW W , ,θλ λ λΘ= ( ) ( )1 1rR zZ zZ zZ

ˆW W , , W ,θ θ θλ λ λ λ λ λ λ− −Θ Θ Θ= = =

zZzZ

ˆ ˆW WˆdW d dθθ

λ λλ λΘ

Θ

∂ ∂= +∂ ∂

( ) rR zZ rrW

θθθ

λ λ σ σλ Θ

∂− =

∂

( )rR zz rrzZ

Wθλ λ σ σ

λΘ

∂− =

∂

Výpočtový model 3D• Aplikace nestlačitelnosti do napětí vede k nové formě

zápisu konstitutivní rovnice pro nestlačitelný materiál

( ) rR zZ rrW

θθθ

λ λ σ σλ Θ

∂− =

∂

( )rR zz rrzZ

Wθλ λ σ σ

λΘ

∂− =

∂

rrW

θθ θθ

σ σ λλΘ

Θ

∂− =

∂

zz rr zZzZ

Wσ σ λλ∂

− =∂

1rR zZθλ λ λΘ =

rr rRrR

zz zZzZ

W p

W p

W p

θθ θθ

σ λλ

σ λλ

σ λλ

ΘΘ

∂= −

∂∂

= −∂∂

= −∂

vs.

Výpočtový model 3D• Radiální rovnováha

o

i

rrr

r

P drr

θθσ σ−= ∫ o

i

r

r

W drPrθ

θ

λλΘ

Θ

∂=

∂∫

Výpočtový model 3D• Axiální rovnováha

2 2o

i

r

red i zzr

F r P rdrπ π σ= − + ∫

Výpočtový model 3D• Axiální rovnováha

zz rr zZzZ

Wσ σ λλ∂

= +∂

2 22 2 2o o o

i i i

r r r

red i rr zZ i rr zZzZ zZr r r

ˆ ˆW WF r P rdr r P rdr rdrπ π σ λ π π σ π λλ λ

∂ ∂= − + + = − + + = ∂ ∂

∫ ∫ ∫

2

2dr rdr

=

2 22

22 2o o o o

i i i i

r r r r

i rr zZ i rr zZzZ zZr r r r

ˆ ˆW Wr P dr rdr r P dr r rdrr ddr

π π σ π λ π π σ π λλ λ∂ ∂

= − + + = − + +∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫

Výpočtový model 3D• Axiální rovnováha

uvažme, že

takže

( ) ( ) ( )2 2 2 2 oi i rr i o rr o rr

i

rr P r r r r r r

rπ π σ π σ π σ − = − = −

( )2 2

2 22 2o o o o

i i i i

r r r r

red rr zZo

rr zZzZ zZr r r r

i rri

rr P r

ˆ ˆdr W dr WF dr rdr dr rdrdr dr

rr

π σ π λ π σ π λπ πλ

σλ∂ ∂

= + + = + +∂ ∂

− − ∫ ∫ ∫ ∫

Výpočtový model 3D• Axiální rovnováha

uvažme, že

takže

( )2

2 22 2o oo

ii

o

i i

r r

red zZ zZz

r

Z z

ro rr

rr rZr

ri rr r

ˆ ˆW WF rdrr ddrr r dr r drr dr dr

rdrπ λ π λσσ π σ πλ

πλ

− + − ∂ ∂

= + = +∂ ∂∫∫ ∫ ∫

( ) ( )2 2

2 2 2 2 o o o o

i i i i

r r r ro orr rr

rr rr rr rri ir r r r

r rd ddr drr r dr r dr r r dr r drr rdr dr dr dr

σ σπ σ π σ π π σ π σ π = + ⇒ − + = − ∫ ∫ ∫ ∫

Výpočtový model 3D• Axiální rovnováha

uvažme, že

takže

rrrrddr r

θθσ σσ −=

2 22 2o o o o

i i i i

r rrrrr

r r

red zZ zZzZ zZr r r r

ˆ ˆW WF r dr rddd

r r dr rdr

rr

θθπ π λ π π λλ

σ σσλ

∂ ∂= − + = − + =

∂−

∂∫ ∫ ∫ ∫

( ) 2 2o o o o

i i i i

r r r r

zZ zZzZ zZr r r r

rrWˆ ˆW Wrdr rdr rdr rdrθθ θθ

σ σ λλ

π π λ π π λλ λΘ

Θ

∂ ∂= − + = − +

∂∂

−∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫

rrW

θθ θθ

σ σ λλΘ

Θ

∂− =

∂

Výpočtový model 3D• Axiální rovnováha má tvar

2 2o o o

i i i

r r r

red zZ zZzZ zZr r r

ˆ ˆ ˆ ˆW W W WF rdr rdr rdrθ θθ θ

π λ π λ π λ λλ λ λ λΘ Θ

Θ Θ

∂ ∂ ∂ ∂= − + = − ∂ ∂ ∂ ∂

∫ ∫ ∫

Výpočtový model 3D• Výpočtový model silnostěnné nádoby můžeme použít

jak při zavírání kroužku, tak při nafukování a protahování trubice

2o

i

r

red zZzZr

ˆ ˆW WF rdrθθ

π λ λλ λΘ

Θ

∂ ∂= − ∂ ∂ ∫

Dvě nelineární rovnice s numerickou integrací pro dvě neznámé.Volím např. P a Fred a vypočtu λθΘ a λzZ.

Výpočtový model 3D• Výpočtový model silnostěnné nádoby

břišní aorta: muž 38 let

2o

i

r

red zZzZr

ˆ ˆW WF rdrθθ

π λ λλ λΘ

Θ

∂ ∂= − ∂ ∂ ∫

c1 = 14.7 kPa, c2 = 3.04, c3 = 7.38 Ri = 5.3 mm, H = 1.22 mmα = 117°

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S175161611200210X

Výpočtový model 3D vs 2DTl

ak P

[kPa

]

20

15

10

5

00.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

λθφ [-]

( )irθφλ ( )orθφλ( )rθφλ

V silnostěnné trubici není rozložení napětí a deformace po tloušťce stěny lineární, a tak poloha ve 2Dneodpovídá poloze vypočtené ve 3D.

Obdobně pro deformace.

2D 3D

( ) 2i or r r /= +

r

( ) ( ) ( )2

i orr

rθ

φ θφ

φθλλ λ+

≠

Výpočtový model 3D vs 2DTl

ak P

[kPa

]

20

15

10

5

01 1.1 1.2 1.3 1.4

λzZ [-]

Tenkostěnný model (2D)Silnostěnný model (3D)

Ačkoliv v silnostěnné trubici platí, že

tak .

Proto .

( ) ( ) ( )rr rr zz zzr , r , r ,θθ θθσ σ σ σ σ σ= = =

( ) ( )r r r , r ,ρ ρ θφ θφλ λ λ λ= =

( )z zkonst rζ ζλ λ= ≠

( ) ( )z i z orr ζζλ λ=

Výpočtový model 3D• Zbytková deformace pro α = 117°

16 19 17 42 1 001

5 3 6 52

i

o

Z

i

o

. mm. mm.

R . mmR . mm

ζ

ρρλ

=

=

=

=

= Stre

č λ i

K[-

]

Uzavřený poloměr R [mm]

( )

( )Z

R R

R

ζ

ρ

φλ

λ

λΘ

Výpočtový model 3D• Zbytková napětí pro α = 117° a λZζ = 1.001

16 19 17 42 1 001

5 3 6 52

i

o

Z

i

o

. mm. mm.

R . mmR . mm

ζ

ρρλ

=

=

=

=

=

Uzavřený poloměr R [mm]

Nap

ětí σ

ii[k

Pa]

( )( )( )

RR

ZZ

R

R

R

σ

σ

σΘΘ

Výpočtový model 3D• Vliv

zbytkových napětí na napjatost při nafukování

Zbytkově napjatý stav

Beznapěťový stav

Beznapěťový stav

Po nafouknutí Po nafouknutí

Výpočtový model 3D

[]

kPa

θθσ

0

360°

[]

zzkP

aσ

[]

rrkP

aσ

0

80°

[ ] Radius mm

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S175161611200210X

[ ] Radius mm

Výpočtový model 3D• Stárnutí a patologické procesy

vedou ke ztrátě optimální regulace mechanobiologických pochodů

• Neoptimální remodelace tepny způsobí růst zbytkových napětí-deformacído hodnot tepennou stěnu přetěžujících

Aktivní vlastnosti cévní stěny

http://www.biomech.tugraz.at/images/pdf/Gasser_et_al-J_R_Soc_Interface-2006.pdf

http://clinicalgate.com/smooth-muscle-and-the-cardiovascular-and-lymphatic-systems/

Aktivní vlastnosti cévní stěnyhttp://link.springer.com/article/10.1114/1.1507326

• Elastická tepnamůže aktivnětuhnout,a zrychlit tak průchod pulsnívlnyzměna rozměrů není významná(relaxace/kontrakce SMC)

Aktivní vlastnosti cévní stěny• Odporová tepna nebo tepénka

budou kontrakcí SMCvýznamně měnit rozměry(škrtit průtok krve)

https://opentextbc.ca/anatomyandphysiology/chapter/20-1-structure-and-function-of-blood-vessels/