54
Příklady
Příklady
Př.: Pístní čep
Zkontrolovat bezpečnost při namáhání pístního čepu při nesymetricky střídavém zatěžovacím cyklu. Zatížení pístu: Fh = 50 000 N,
Fd = –10 000 N,
R = –0,2.
materiál čepu: uhlíková ocel 12 XXX: σpt = 1 100 MPa, σkt = 600 MPa,
σco = 0,43σpt = 473 MPa, leštěno.
Namáhání
11
2l
Fq
22
l
Fq Namáhání čepu:
12
2
12
12
1211
1
21 2
8222222ll
Fl
ll
l
Fllll
l
FllMo
12 28
llF
Mmax
Maximální ohybový moment uprostřed čepu:
Daný moment způsobí na površkách čepu v daném místě kladné i záporné ohybové napětí, kritické je však takové místo, kde je největší tahové namáhání.
Namáhání
MPa20,2523025027268
000502
812
ll
W
F
W
M
o
h
o
maxhoh
MPa17,493025027268
000102
812
llW
F
W
M
o
d
o
maxdod
MPa69,1502
17,4920,252
2
odoh
oa
MPa52,1012
17,4920,252
2
odoh
om
Ohybová napětí:
34343
mm272632
201
32
321
32
D
dDWo
NSA – parametry materiálu
1
1po
87,0vo
MPa51,41187,01473 vopocox
co
součást bez vrubu a jiného koncentrátoru:
povrch leštěný:
velikost vzorku:
Haighův diagram
18,2,min 21 kkk1
pt
Mxco
A
1kt
M
kt
A
18,2
1100
52,101
51,411
69,15011
1
pt
mxco
ak
38,2
600
52,101
600
69,15011
2
kt
m
kt
ak
aA k mM k
MKP řešení – jiné kritické místo ?
• elementy C3D20, C3D27elementy C3D20, C3D27• kontaktní úloha!!!kontaktní úloha!!!
MKP řešení – jiné kritické místo ?
deformace deformace zvětšena 100xzvětšena 100x
nelineární nelineární geometrie (ALF) geometrie (ALF) (velké posuvy a (velké posuvy a
natočení)natočení)
kontakt „master-kontakt „master-slave“ mezi slave“ mezi
čepem a ojnicí, čepem a ojnicí, ojnicí a pístem, ojnicí a pístem, pístem a čepem pístem a čepem
(včetně tření 0,15)(včetně tření 0,15)
MKP řešení – jiné kritické místo ?
dolnídolní horníhorní
Př.: Pružina
• pprrůůmměěr pružiny r pružiny D = D = 90 mm90 mm• pprůrůmměěr drátu r drátu d = d = 14 mm 14 mm • stoupání stoupání p = p = 28 mm28 mm• 88 ččinných závitinných závitůů• doba provozu 5 letdoba provozu 5 let• frekvence 1 Hzfrekvence 1 Hz
• FFhh = 2 000 N (po zatížení) = 2 000 N (po zatížení)• FFdd = 500 N (bez zatížení, = 500 N (bez zatížení,
jen stlačení do pracovního jen stlačení do pracovního prostoru)prostoru)
FF
Materiál pružiny
1
10
100
1000
10000
N
t c
CNwc t
MPa360710 ct
3,0
14 260.7σpt = 1509 MPa
σkt = 1328 MPa
w = 5 pro N < 106
w = 15 pro N > 106
.
sbíhavost
Časovaná mez únavy
Lineární teorie pružnosti
sinFN
cosFT
sin2
FDMo
cos2
FDMk
tah-tlak (normálová síla):
smyk (posouvající síla):
ohyb (ohybový moment):
krut (krouticí moment):
. 1cos0sin
0
těsně vinutá pružina: tenká pružina:
momentové účinky převažují nad silovými, tj.
zanedbávají se N, T
tenká těsně vinutá pružina:2
10,9951cos0,09990
28tg
FDM
D
pk
Namáhání – výsledky (LTP)
veličina „d“ „h“ „a“ „m“
Mk [N.mm] 22,50 90,00 33,75 56,25
τnom [MPa] 41,76 167,04 62,64 104,40
τ=τmax[MPa] 50,95 203,79 76,42 127,37
33
816
d
FD
d
M
W
M k
k
knom
t
tt cos' nommax 22,1'Gőhner:
Wőhlerova křivka – smykové napětí
KCNwCN cw
c logloglogtt
710N MPa360710 ct 15w 45,3457360log15
610N MPa?610 ct 15w 45,3456log15 610 ct
MPa73,419610 ct
5w 115,91673,419log5
510N MPa?510 ct 5w 115,195log5 510 ct
MPa23,665510 ct
:
časovaná mez únavy
Mez únavy, fiktivní napětí
81058,15365243600 N
MPa?81058,1 ct
15w 45,3451058,1loglog15 81058,1 8 ct
MPa3002,29981058,1 cc tt
MPa5,2299,085,0300 vkpkcx
c tt MPa1000
3,0
300 tt c
F
Haighův diagram
Haighův diagram
Bezpečnost
1k
M
k
A
tt
tt
1F
Mxc
A
tt
tt
aA ktt amadAM k tttttt
111
F
amaxc
a kk
tttt
tt
32,2
1000
42,76
5,229
42,761000
37,12742,7611
1
F
axc
a
F
ma
k
tt
tt
ttt
MPa72,7663
1378
3 pk
k
t
68,4
72,766
42,76
72,766
42,7672,766
37,12742,7611
2
k
a
k
a
k
ma
k
tt
tt
tttk
MKP model - ABAQUS
• 23 552 elementů C3D2023 552 elementů C3D20• 113 457 uzlů – 340 371 neznámých113 457 uzlů – 340 371 neznámých
MKP – výsledky odezvy na zatížení
deformace deformace
1:11:1
nelineární nelineární geometrie (ALF) geometrie (ALF) (velké posuvy a (velké posuvy a
natočení)natočení)
uvažování všech uvažování všech složek VSÚsložek VSÚ
MKP – výsledky odezvy na zatížení
dolnídolní horníhorní
Pružina – výsledky zatížení
lineární teorie pružnosti MKP (ALF)
Smykové napětí
[MPa]HMH napětí
[MPa]HMH napětí
[MPa]
„d“ 50,95 88,25 99,96
„h“ 203,79 352,97 399,20
„a“ 76,42 132,36 149,62
„m“ 127,37 220,61 249,58
Př.: Hřídel
N.mm200000
,min1500kW,100 1
oM
nP
ρ
D
d
mm2
mm40
mm48
d
D ocel 12040:
Rm = 700 MPa
Rp0,2 = 560 MPa
Hřídel je namáhán míjivým krouticím momentem a symetricky střídavým
ohybem
Jsou dány meze únavy pro ohyb (300 MPa) a krut (175 MPa)
soustruženo: Ra=1,6
Namáhání (menší průřez)
MPa3240
200000323233
d
M
W
M oa
o
oaoa
N.mm0omM N.mm200000oaM
MPa0om
N.mm200000oM N.mm636620
30
1500100000
30
n
PMk
333
mm628332
40
32 d
Wo3
33
mm1256616
40
16 d
Wk
N.mm318310kmM N.mm318310kaM
MPa3,2540
318310161633
td
M
W
M ka
k
kaa
MPa3,2540
318310161633
td
M
W
M km
k
kmm
Odhady meze únavy
MPa175MPa300 cco t
85,0po
83,0vk
16,2o
925,085,012
11
2
1 popk
83,0vo
05,0d
25,0
dD
různé způsoby určení součinitele vrubu…
57,1k
Součinitel vrubu - ohyb
ooo q11
Thum NeuberPeterson Heywood
a
oo
1
11
A
oo
1
11
a
o
o
oo 1
21
3,025,0 a76,0oq 3,0Apt
a140
88,1o 02,2o 61,1o96,1o
MPa13161,1
83,085,0300 o
vopocoxco
Součinitel vrubu - krut
kkk q11
Thum NeuberPeterson Heywood
a
kk
1
11
A
kk
1
11
a
k
k
kk 1
21
3,025,0 a83,0kq 3,0Apt
a140
473,1k 5,1k 42,1k47,1k
MPa9442,1
83,0925,0175
tt vkpkcx
c
Bezpečnost – různé přístupy…
k
kk
k
redmreda
ma
omoa
tt
t
BB
AA
A) Haighův diagram
10,2
7008,43
1313,54
111
m
redmxco
reda
R
k
MPa3,543,253323 2222 aoareda t
MPa8,433,25303 2222 momredm t
71,5
560
8,43
560
3,5411
2,02,0
2
p
redm
p
reda
RR
k
10,271,5;10,2min,min 21 kkk
k
B) Haighův diagram - ohyb
09,432131
oa
xcok
B) Haighův diagram - krut
01,3
3700
3,25
94
3,251
3
11
m
mxc
aR
k tttt
39,6
3560
3,25
3560
3,251
33
1
2,02,0
2
p
m
p
a
RR
k ttt
01,339,6;01,3min,min 21 ttt kkk
B) Kombinace namáhání
42,2
01,31
09,41
111
1111
2222
222
t
t
kk
kkkk
k
C) Kombinace namáhání s ekvivalentní amplitudou napětí (…)
09,432131
oa
xcok
21,2
62,2
1
09,4
11
111111
2222
222
t
tkk
kkkk
62,277,35
94 eqva
xck
tt
t
MPa77,353,253,253,25 maaeqva tttt
Př.: Prutová soustava – SU
• absolutně tuhý trámabsolutně tuhý trám• hh = 1 000 mm = 1 000 mm • aa = 500 mm = 500 mm• mez pevnosti materiálu prutů 600 MPamez pevnosti materiálu prutů 600 MPa• hladké pruty, kruhový průřez 100 mmhladké pruty, kruhový průřez 100 mm22
• povrch prutů leštěn – souč. jak. povrchu 0,95povrch prutů leštěn – souč. jak. povrchu 0,95• součinitele velikosti všech prutů 0,98součinitele velikosti všech prutů 0,98
• FFhh = + 10 000 N = + 10 000 N• FFdd = - 10 000 N = - 10 000 N
• určit bezpečnost pro teoreticky určit bezpečnost pro teoreticky nekonečnou životnostnekonečnou životnost
h
2a
F
a/2
Př.: Prutová soustava – SN
• absolutně tuhý trámabsolutně tuhý trám• hh = 1 000 mm = 1 000 mm • aa = 500 mm = 500 mm• mez pevnosti materiálu prutů 600 MPamez pevnosti materiálu prutů 600 MPa• hladké pruty, kruhový průřez 100 mmhladké pruty, kruhový průřez 100 mm22
• povrch prutů leštěn – souč. jak. povrchu 0,95povrch prutů leštěn – souč. jak. povrchu 0,95• součinitele velikosti všech prutů 0,98součinitele velikosti všech prutů 0,98
• FFhh = + 20 000 N = + 20 000 N• FFdd = - 20 000 N = - 20 000 N
• určit bezpečnost pro teoreticky určit bezpečnost pro teoreticky nekonečnou životnostnekonečnou životnost
h
a a
F
a/2
Př.: Prutová soustava – SU – 2 parametry
• určit maximální rozmezí symetricky určit maximální rozmezí symetricky střídavých sil (působících ve fázi) pro střídavých sil (působících ve fázi) pro teoreticky nekonečnou životnost v teoreticky nekonečnou životnost v závislosti na úhlu alfazávislosti na úhlu alfa
• ll = 1 000 mm = 1 000 mm • mez pevnosti materiálu prutů 600 mez pevnosti materiálu prutů 600
MPaMPa• hladké pruty, kruhový průřez 100 hladké pruty, kruhový průřez 100
mmmm22
• povrch prutů leštěn – souč. jak. povrch prutů leštěn – souč. jak. povrchu 0,95povrchu 0,95
• součinitele velikosti všech prutů 0,98součinitele velikosti všech prutů 0,98
V
H
l l
1 2
V
H
N1 N2
zakreslení diagramu pro mezní stav:
A
Vxc
A
Hxc
cos2
cos2
cotg
cos2
cotg
cos2
a)
b) d)
c)
bezpečnost OK jeden prut na mezi únavy součásti, tj. v
jednom prutu bezpečnost rovna
jedné
Př.: Prutová soustava – SU – 2 parametry
Určete míru bezpečnosti spoje při namáhání míjivou silou F0 = 30 kN a předpětím v mezích 30÷70 kN.
Spoj se skládá z ocelového šroubu M20x2,5 (řezaného závitu) a přírub potrubí.
materiál šroubu (při 25°C):
pt = 550 MPa
k = 350 MPa
Př. – Předepjatý šroubový spoj
1-62
-161
mm.N1012,0
mm.N102,1
c
c
poddajnosti:
průměr jádra šroubu:mm93,163 d
Při utahování šroubu kroutícím momentem M vzniká osová síla předpětí Q.Díky tomuto předpětí dochází k deformaci jak šroubu tak i spojovaných součástí:
Šroub se prodlouží o:
Příruby se stlačí o:
Poddajnosti c1 a c2 lze určit dle:
Qc1
Qc2
tg
1
tg
1
22
22
11
11
AE
lc
AE
lc
l1 je celková délka spojovaných součástí + výška matice (mm)
E1 je modul pružnosti v tahu materiálu šroubu (MPa)
A1 je střední průřez závitu (mm)
l2 je délka spojovaných součástí (mm)
E2 je modul pružnosti v tahu spojovaného materiálu (MPa)
A2 je plocha průřezu tzv. tlakového dvojkužele
MM
FF
Silový rozbor
šroubšroubpřírub.přírub.šroub
šroub
přírubapříruba
FF šš
FF11
FFpp
llstatstat
FFFF22
a) stav po dotažení:
b) zatížení vnější kmitající silou F:
c) odsednutí přírub:
0 cykll
QFF pš
cykll
QFFQFFp 12 ,,0
cykll
22
11 ,
cFF
cFF pš
21 FFF
Fc
cF
c
FF
cc
ccF
F
ccF
F
1,
1,
1
21
21
21
2
21
1
Pracovní diagram šroubového spoje
Pracovní diagramy šroubového spoje
Napětí ve šroubu je funkcí zátěžné síly F:
ad b) ad b) zatížení vnější kmitající silou F:
QFlcykl 1,1tj.
FF11
Qc/(c-1)=1.1QQc/(c-1)=1.1Q
tgtg = 1/c = 1/c
< <
FF
> >
= =
Q/(c-1)Q/(c-1)
21
495022511222
1
0
00
1
FQ
A
FFcAF
AF
m
a
ad ad cc) ) odsednutí přírub:
QFlcykl 1,1tj.
450221
45022522
00
1
0
0
QFA
QFAQF
QA
QFQFA
QF
m
a
Při provozním zatížení silou F0 = 30 kN a neznámém předpětí Q lze zatím určit jen ad b)
MPa06,64950
30000
4950 F
a
Napětí ve šroubu
Výpočet meze únavy cx šroubu bude bez experimentálních podkladů velmi nejistý.
Podle některých zkoušek je součinitel vrubu šroubu vysoký!
Podklady pro výpočet:a) experimentální data (platná pro závity M < 16 VLIV VELIKOSTI ŠROUBU)
Ocel (ekvivalent)
pt
[MPa]
c
[MPa]
[ - ] cx [MPa]
řezaný válcovaný řezaný válcovaný
35 (11 550) 500 180 3,6 2,8 50 65
45 (12 050) 650-800 220 3,7 2,8 60 80
30 ChGSA (14 331) 950-1100 300 4,0 3,0 75 100
30 ChA (14 140) 800 300 4,0 3,0 75 100
Vliv velikosti:4,07,08040
7,09,04016
s
s
kd
kd
Mez únavy šroubu
b) Korekce na střední napětí m:
Pro nesymetrické zatěžování při m 0,5 p0,2 se provádí korekce na střední napětí.
Pro řešený případ vychází:
MPa3,133225
30000min
MPa1,311225
70000max
0
A
Qm
Z tabulky (ocel 11 550, řezaný závit): 3,6MPa;50 xc
Korekce na MPa200m
MPa9,395502001501-1R
ptmx
cxc
Korekce na velikost:
MPa9,35M20;M209,0 xcsk
Mez únavy šroubu
c) Wöhlerovy křivky spojů:
Platí pro oceli s pt = 900÷1200 MPa, válcovaný závit.
loglogAAxx
101066
M8M8
logNlogN101055 101077101044
M24M24
300300200200
7070
5050
Interpolace na M20:
MPa55M20 xc
Mez únavy šroubu
Mez únavy šroubu
d) empirický vztah dle Heywooda:
MPa6,4320325
202555015,0
325
2515,0
d
dpt
xc
MPa8,3455020016,431-1R
ptmx
cxc
e) klasický vztah:
MPa356,3
8,0187,0180
tsfscxc
kkk
Závěr:
s přihlédnutím k experimentům: MPa35, xšroubuc
Rekapitulace:
Mez únavy šroubu při m 200 MPa je cx = 35 MPa
Namáhání:
ad b) :
ad c) > :
4950
22
2
1,
49502
1 1
00
FQFQ
A
F
cA
Fma
4502,
4502
1
000
QF
A
QF
A
QQF
A
QFma
Předpokládá se, že provozní síla se bude zvyšovat z počáteční hodnoty F0 = 30 kN na hodnotu mezní, kdy nastává únavový lom. Předpokládat proporcionální růst síly podle vztahu:
0FF
Bezpečnost šroubového spoje
aa
P: P: = 1 = 1
ccxx
mmRRmm
AA
aa
mm MM
M: M: = k = kcc
0FF
Při provozní síle:
aa tj.,1
Na mezní čáře:
Aak tj.,
Mezní čára (čára „dynamické pevnosti“) Haighova diagramu (lineární):
1m
Mxc
A
R
Bezpečnost šroubového spoje
0aa
b) neodsednutí přírub:
Mezní čára (čára „dynamické pevnosti“) Haighova diagramu (lineární):
1m
Mxc
A
R
Bezpečnost šroubového spoje
c) odsednutí přírub:
0FF
01FkF
4950
22
2
1,
49502
1 011
0
01
0
01 FkQFQ
A
Fk
cA
FkMA
4502,
4502
1 02
0
02
0
02
0
02 QFk
A
QFk
A
QQFk
A
QFkMA
02FkF
ad b) zatížení vnější kmitající silou F:
00.5
11.5
2
2.53
3.54
4.5
30000 40000 50000 60000 70000
Q [N]
k1 [-
]
ad c) odsednutí přírub:ad c) odsednutí přírub:
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
30000 40000 50000 60000 70000
Q [N]
k2
[-]
Diskuze:
S rostoucím předpětím roste a, ale bezpečnost k1 > 2,0 je dostatečná.
S poklesem předpětí roste riziko odsednutí přírub c) a pokles bezpečnosti pod
k2 < 2,0 nutné dotahovat spoje.
Bezpečnost šroubového spoje
Optimální předpětí?
2
!
1 kk
00.5
11.5
22.5
33.5
44.5
30000 40000 50000 60000 70000
Q [N]
k1
[-]
k1
k2
Bezpečnost šroubového spoje
Šroub je namáhán pulzujícím tahem (pokud se neuvažuje ohybové namáhání od např. nerovnoběžnosti dosedacích ploch pod hlavou šroubu a maticí).
Závit představuje vysoký koncentrátor napětí dochází k přetěžování prvního závitu v matici poruchy únavou.
Východiskem mohou být různé konstrukční úpravy rovnoměrnější rozložení silového toku závitem snížení součinitele vrubu .
Úpravy pro zvýšení únavové odolnosti
Úpravy pro zvýšení únavové odolnosti
Úpravy pro zvýšení únavové odolnosti
