Proseminář z matematiky pro fyzikyMgr. Jan Říha, Ph.D.e-mail: riha@prfnw.upol.czhttp://www.ictphysics.upol.cz/Proseminar/index.html

Katedra experimentální fyzikyPřírodovědecká fakulta UP Olomouc

Podmínky zisku zápočtuneúčast nejvýše na třech semináříchpsát 3 písemné práce (asi dvacetiminutové, každá s maximálním ziskem 10 bodů)zisk nejméně 20 bodůkaždou písemku napsat alespoň na 3 bodyodevzdat vyřešené domácí úlohy

Doporučená literaturaBRABEC J., HRŮZA B.: Matematická analýza II. SNTL, Praha, 1989. BRABEC J., MARTAN F., ROZENSKÝ Z.: Matematická analýza I. SNTL, Praha, 1989. JIRÁSEK F., ČIPERA S., VACEK M.: Sbírka řešených příkladů z matematiky I., II. a III.. SNTL, Praha, 1989. LEA S. M.: Mathematics for Physicists. Brooks/Cole, 2004.KUČERA J., HORÁK Z.: Tenzory v elektrotechnice a ve fyzice. Nakladatelství ČSAV, Praha, 1963. KVASNICA J.: Matematický aparát fyziky. Academia, Praha, 1989. ČECHOVÁ M., MARKOVÁ L.: Proseminář z matematiky A, B. UP Olomouc, 1990. KOLESÁROVÁ A., KOVÁČOVÁ M., ZÁHONOVÁ V.: Matematika I - Návody na cvičenia s programovým systémom Mathematica. Slovenská technická univerzita v Bratislave, 2004.KOLESÁROVÁ A., KOVÁČOVÁ M., ZÁHONOVÁ V.: Matematika II - Návody na cvičenia s programovým systémom Mathematica. Slovenská technická univerzita v Bratislave, 2002. ZIMMERMAN, R. L., OLNES, F. I.: Mathematica for Physics. Addison-Wesley, 2002.WOLFRAM S.: The Mathematica Book. Wolfram Media, 2003. BAUMANN G.: Mathematica for Theoretical Physics. Springer-Verlag Heidelberg, 1993. DICK S., RIDDLE A., STEIN D.: Mathematica in the Laboratory. Cambridge University Press, 1997.

( )( )fHN

fDM==

funkcehodnot Obor funkceobor Definiční

.RNRM

⊂⊂

množiny prvek jeden právěpřiřazen množiny prvku každému je něhož podle

předpis, rozumíme proměnné reálné jednéfunkcí Reálnou

TABULKOU GRAFEM FUNKČNÍM PŘEDPISEMexplicitně

parametrickyimplicitně

Možnosti zadání funkce

Vlastnosti funkceOhraničená funkce (shora, zdola ohraničená)

Parita funkce( ) ( ) CxffDxRC ≤∈∀∈∃ :,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )xfxffDxxf

xfxffDxxf−=−∈∀⇔

=−∈∀⇔::

nazývá se Funkce nazývá se Funkce

lichásudá

Periodická funkce( ) ( ) ( )xfpxffDRxpRp =+=∈∀≠∈∃ :;0,

Složená funkce( ) ( )

( ) ( )( )[ ]

( )( )xuzfy

xufyzfyzxu

baxxuzf

==

=

=∈=

∈∀

z ... funkce vnitřní ... funkce vnější

. nazývá se funkcepak ,definovaná funkce je kterém ve, funkcehodnotu

přiřadit lze Jestliže a funkcedány Jsou

funkcí složenouβα ,

,.

Vlastnosti funkceProstá funkce

Inverzní funkce

( )( ) ( ) ( )212121 :, xfxfxxa,bxxfDa,bxf

≠⇒≠∈∀⇔∈ intervalu na nazývá se Funkce prostá

( ) ( )( ).

1

yfxxfyxf

== −

tvaru zapsat ve lze ji jestliže , funkci nazveme funkcik funkcí Inverzní

Funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající

( )( ) ( ) ( )212121 :,

intervalu na nazývá se Funkcexfxfxxa,bxxfDa,b

xf<⇒<∈∀⇔∈

rostoucí

( )( ) ( ) ( )212121 :,

intervalu na nazývá se Funkcexfxfxxa,bxxfDa,b

xf>⇒<∈∀⇔∈

klesající

Vlastnosti funkceFunkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající

( )( ) ( ) ( )212121 :,

intervalu na nazývá se Funkcexfxfxxa,bxxfDa,b

xf≥⇒<∈∀⇔∈

nerostoucí

( )( ) ( ) ( )212121 :,

intervalu na nazývá se Funkcexfxfxxa,bxxfDa,b

xf≤⇒<∈∀⇔∈

íneklesajíc

Přehled elementárních funkcí

CELÉ LOMENÉ

RACIONÁLNÍ IRACIONÁLNÍ

ALGEBRAICKÉ

GONIOMETRICKÉ

CYKLOMETRICKÉ

EXPONENCIONÁLNÍ

LOGARITMICKÉ

HYPERBOLICKÉ

TRANSCENDENTNÍ

TYPY FUNKCÍ

Celé racionální funkceLineární funkceKvadratická funkce

Kubická funkce atd.

( ) baxy +−= 2

Lomené racionální funkce

bax

ky +−

=

Iracionální funkce

3 xy =

Goniometrické funkcexy sin=

Goniometrické funkcexy cos=

Goniometrické funkcex

xxy tg==

cossin

Goniometrické funkcex

xxy cotg==

sincos

Cyklometrické funkce( ) ( )

2,

2 ,1,1 ,arcsin ππ

−=−== fHfDxy

Cyklometrické funkce( ) ( ) π,01,1 =−== fHfDxy , ,arccos

Cyklometrické funkce( ) ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−===

2,

2ππfHRfDxy , ,arctg

Cyklometrické funkce( ) ( ) ( )π,0=== fHRfDxy , ,arccotg

Exponenciální funkce

1 ,0 , ≠>= aaay x

Logaritmická funkce1 ,0 ,log ≠>= aaxy a

Hyperbolické funkce

2eecosh ,

2eesinh

xxxx

xyxy−− +

==−

==

Hyperbolické funkce

xx

xx

xx

xx

xxxy

xxxy −

−

−

−

−+

===+−

===eeee

sinhcoshcotgh ,

eeee

coshsinhtgh

Úlohy1. Rozhodněte, zda jsou funkcemi relace:a) ( ){ }01;,1 =+−×∈= xyRRyxf ,

b) ( ){ }0,1;,2 ≥=+×∈= yyxRRyxf ,

c) ( ){ }0222;, 223 =+−−+×∈= yxyxRRyxf .

2. Určete definiční obory funkcí

a) xx

yf−

=1:1 ,

b) 6

34: 232 −

+−=x

xxyf ,

c) xyf 2cos:3 = ,d) ( )( )xyf lnlnln:4 = .

3. Sestrojte grafy funkcía) xxyg 232:1 +−= ,

b) 3:2 −= xyg ,

c) ( )23 sgn: xyg = ,

d) { }24 ,max: xxyg = .

e) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= π

34sin31 ttf ,

Úlohy3. Sestrojte grafy funkcí

f) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= π

322sin22 ttf ,

g) ( ) 12

3cos21

3 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

πttf ,

h) ( ) ( )ϕω += tAtf sin4 , +∈ RA ϕω ,, ,i) ( ) ( )ϕω += tAtf cos5 , +∈ RA ϕω ,, ,j) ( ) t

6 e−=tf ,k) ( ) -2t

7 e=tf ,l) ( ) 3e2 5-t

8 +=tf ,m) ( ) ϕω += tAtf e9 , +∈ RA ϕω ,, ,n) ( ) ( )ϕωγ += − tAtf t sine10 , +∈ RA γϕω ,,, .4. Rozhodněte, zda jsou si rovny funkce hgf ,, .

xxyf

+= 2

1: , 22

1:xx

yg+

= , xx

yh+

−=1

11: .

5. Rozhodněte, zda jsou sudé nebo liché funkce:a) 54: 24

1 +−= xxyf ,b) xxyf sin2tg:2 += ,c) 1:3 −= xyf ,

d) 1:4 −= xyf .

Úlohy6. Zjistěte, zda jsou dané funkce periodické, a v kladném případě určete periodu:

a) 4

cos3

sin: xxyf ππ+= ,

b) xyg sin: = ,

c) 2sin: xyh = ,

d) 3

3tg-2

tg2: xxy =ϕ .

7. Dokažte, že funkce 1

2:+

=x

xyf je na intervalu ( )∞− ,1 rostoucí.

8. Rozhodněte, zda jsou omezené, shora omezené nebo zdola omezené funkce dané vzorci:a) ( )∞∞−∈++−= ,,472 2 xxxy ,b) 2,2,432 −∈+−= xxxy ,

c) ( )∞∞−∈+−

= ,,11

2

2

xxxy .

9. Dokažte, že k daným funkcím existují funkce inverzní a najděte je:a) 5,2,1: 2 ∈−= xxyf ,

b) { }3,3

2: −−∈+

= Rxx

xyg ,

c) ( 5,,2710: 2 ∞−∈−+−= xxxyϕ ,

d) )∞∈−+−= ,5,2710: 2 xxxyψ .