PRVKY KOVOVÝCH KONSTRUKCÍlences.cz/domains/lences.cz/skola/subory/Skripta/BO02... · 2014. 3....

VYSOKÉ U�ENÍ TECHNICKÉ V BRN� FAKULTA STAVEBNÍ

PROF. ING. JIND�ICH MELCHER, DrSc. DOC. ING. MIROSLAV BAJER, CSc.

PRVKY KOVOVÝCH KONSTRUKCÍ

MODUL BO02-M04

PRUTY NAMÁHANÉ SMYKEM A OHYBEM

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Prvky kovových konstrukcí

Jazyková korektura nebyla provedena, za jazykovou stránku odpovídá autor.

© Prof. Ing. Jind�ich Melcher, DrSc.

Doc. Ing. Miroslav Bajer, CSc.

Obsah

3

OBSAH 1 Úvod ...............................................................................................................5

1.1 Cíle ........................................................................................................5 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5 1.3 Doba pot�ebná ke studiu .......................................................................6 1.4 Klí�ová slova.........................................................................................6

2 Únosnost kompaktních pr��ez� namáhaných smykem a ohybem dle �SN 73 1401-1998.........................................................................................7 2.1 Obecn� ..................................................................................................7 2.2 Únosnost kompaktních pr��ez� ve smyku ............................................7 2.3 Únosnost pr��ezu namáhaným prostým ohybem..................................8

2.3.1 Kombinace namáhání ohybem, smykem a osovou silou (tahem nebo tlakem) ...............................................................9

2.3.2 Vliv smyku na návrhovou únosnost pr��ezu namáhaného ohybem..................................................................................10

2.3.3 Rovinné namáhání ve stojin� nosníku ..................................11 3 Únosnost štíhlých pr��ez� .........................................................................13

3.1 Štíhlý pr��ez namáhaný kombinací tlaku a ohybu..............................13 4 P�í�ná a torzní stabilita p�i ohybu (klopení)............................................15

4.1 Kritické namáhání, štíhlost ideálního prutu ........................................16 4.1.1 Pr��ezy alespo� jednoose soum�rné, zatížené v rovin� symetrie .......16 4.1.2 Úprava �ešení problému klopení pro pr��ezy alespo� jednoose

soum�rné, zatížené v rovin� symetrie, ve smyslu �SN 73 1401-1998 p�ílohy G. ............................................................................................18

4.1.3 Pr��ezy alespo� jednoose soum�rné, zatížené kolmo k ose symetrie.23 4.1.4 Dopln�ní �ešení problému klopení pro pr��ezy alespo� jednoose

soum�rné, zatížené kolmo k ose symetrie, ve smyslu �SN 73 1401-1998, p�ílohy G ...................................................................................23

4.2 Ztráta stability prutu s netuhým pr��ezem ..........................................25 5 Vzp�rná únosnost celistvých prut� namáhaných ohybem dle �SN 73

1401-1998.....................................................................................................27 5.1 Stabilita prutu p�i ohybu .....................................................................27 5.2 Pruty namáhané kombinací ohybu a osového tahu.............................28 5.3 Pruty namáhané kombinací ohybu a osového tlaku............................29 5.3.1 Pr��ezy t�ídy 1 a 2 ...............................................................................29 5.3.2 Pr��ezy t�ídy 3.....................................................................................31 5.3.3 Pr��ezy t�ídy 4.....................................................................................31

6 Záv�r ............................................................................................................33 6.1 P�íklady ...............................................................................................33 6.2 Kontrolní otázky .................................................................................36 6.3 Shrnutí .................................................................................................36

7 Studijní prameny ........................................................................................38


4

7.1 Seznam použité literatury .................................................................... 38 7.2 Seznam dopl�kové studijní literatury................................................. 38

Úvod

5

1 Úvod

1.1 Cíle

Modul, který se chystáte studovat, obsahuje základní informace o problematice návrhu pr��ez� namáhaných smykem, ohybem, p�ípadn� kombinací t�chto typ� namáhání, a to v�etn� kombinace namáhání s osovou silou. Modul se zabývá jak stanovením únosnosti kompaktních pr��ez�, tak stanovením únos-nosti pr��ez� štíhlých.

V modulu je dále ukázáno, jakým zp�sobem se posuzuje ohýbaný prut na p�í�nou a torzní stabilitu p�i ohybu (klopení) podle dokumentu �SN 73 1401 - 1998. Stru�n� jsou uvedena teoretická východiska �ešení problému klopení (Vlasovovo pojetí) a postup p�i ur�ení kritické štíhlosti prut� p�i klopení ve smyslu p�ílohy G dokumentu �SN 73 1401 - 1998, který z této teorie vyplývá.

Modul je �len�n do sedmi základních �ástí, z nichž obsahov� nejd�ležit�jší jsou �ásti dv� až šest. Ve druhé �ásti je pojednáno o únosnosti kompaktních pr��ez� namáhaných smykem a ohybem dle �SN 73 1401-1998, t�etí �ást po-jednává o únosnosti štíhlých pr��ez�, �tvrtá o p�í�né a torzní stabilit� p�i ohy-bu, neboli klopení. V páté �ásti je rozebrána problematika vzp�rné únosnosti celistvých prut� namáhaných ohybem dle �SN 73 1401-1998. Aplikace t�chto znalostí je provedena v šesté �ásti tohoto modulu na konkrétním p�íkladu posouzení ohýbaného nosníku s vlivem klopení.

Cílem p�edloženého textu je shrnout obecné znalosti z výše uvedené problematiky a ukázat n�která teoretická východiska, ze kterých jsou odvozeny vztahy uvedené v dokumentu �SN 73 1401 Navrhování ocelových konstrukcí.

Tento modul je koncipován tak, aby po jeho prostudování studenti rozum�li pro-blematice návrhu pr��ez� namáhaných smykem, ohybem, p�ípadn� kombinací t�chto typ� namáhání, v�etn� kombinace namáhání s osovou silou. Dalším cí-lem je, aby studenti um�li aplikovat získané znalosti p�i výpo�tech konkrétních p�íklad�. Studiem tohoto modulu �tená� získá rámcovou p�edstavu o dané problematice.

1.2 Požadované znalosti

Pro úsp�šné nastudování tohoto modulu by m�l mít student základní znalosti z teoretických p�edm�t� (zejména matematiky a fyziky), a to jak ze st�ední školy, tak z dosavadního studia na Fakult� stavební, rozší�ené o znalosti z p�edm�t� konstrukce a dopravní stavby, základy stavební mechaniky, pruž-nost a pevnost a stavební látky získané na vysoké škole. Dále by m�l mít stu-dent podrobn� prostudován modul MO1 „Materiál a konstruk�ní prvky ocelo-vých konstrukcí“ této studijní opory BO02 „Prvky kovových konstrukcí“ pro studijní programy s kombinovanou formou studia. N�které podrobnosti, vzta-hující se k problematice tohoto modulu, které nejsou v tomto modulu detailn� objasn�ny, jsou podrobn� uvedeny v dalších modulech této studijní opory.


6

1.3 Doba pot�ebná ke studiu

Celková optimální doba pro prostudování tohoto modulu je, v�etn� zopakování základních pojm�, 4 hodiny. Pokud budete procházet i �ešený p�íklad, pak se doba prodlouží o jednu a p�l až dv� hodiny.

1.4 Klí�ová slova

Ocelová konstrukce, únosnost, kompaktní pr��ez, štíhlý pr��ez, smyk, ohyb, kombinace namáhání, osový tlak, stabilita, štíhlost, kritická štíhlost, klopení, p�í�ná a torzní stabilita p�i ohybu, oslabení pr��ezu, ohýbaný prut, kritické na-máhání, štíhlost ideálního prutu, Vlasovovo pojetí, vybo�ení tla�eného pásu, vnucená osa otá�ení, sou�initel imperfekce, sou�initel klopení, ohybový mo-ment, osová síla, efektivní pr��ez, sou�initel spolehlivosti, t�ída pr��ezu.

Únosnost kompaktních pr��ez� namáhaných smykem a ohybem dle �SN 73 1401-1998

7

2 Únosnost kompaktních pr��ez� namáha-ných smykem a ohybem dle �SN 73 1401-1998

2.1 Obecn�

Kompaktním pr��ezem rozumíme pr��ezy t�ídy 1, 2 a 3 (viz. modul MO1 této studijní opory). P�i výpo�tu jejich únosnosti se po�ítá s ú�innou plochou pr��e-zu. U oslabeného pr��ezu se uvažuje jmenovitá plocha Anet, což je plná plocha pr��ezu zmenšená o všechny díry pro spojovací prost�edky a jiné otvory.

Jsou-li jsou díry pro spojovací prost�edky vyst�ídané (obr.2.1), ode�te se od jmenovité plochy pr��ezu nejv�tší z hodnot:

• sou�et ploch oslabení v �ezu kolmém na osu prutu, �

• sou�et všech ploch oslabení v libovolném šikmém nebo lomeném �ezu � , zmenšený o hodnotu:

s2·t / 4· p pro každou rozte� p,

kde s je rozte� d�r ve sm�ru síly, �

p rozte� d�r kolmo ke sm�ru síly, �

t tlouš�ka.

��

��

�

� � Obr. 2.1 Vyst�ídané uspo�ádání d�r pro spojovací prost�edky

T�žišt� pr��ezu a st�ed smyku se vždy ur�ují pro neoslabený pr��ez.

2.2 Únosnost kompaktních pr��ez� ve smyku

Pr��ez namáhaný smykem se posuzuje podle podmínky:

RdplSd VV ,≤ ,

kde Vsd je návrhová posouvající síla,

30

, ⋅

⋅=

M

yVRdpl

fAV

γ je návrhová únosnost pr��ezu ve smyku,

AV je plocha ú�inná na smyk,

fy je mez kluzu,


8

γM0 je díl�í sou�initel spolehlivost pro pr��ezy t�ídy 1, 2, 3.

Plochu AV tvo�í všechny �ásti pr��ezu rovnob�žné se sm�rem p�sobení posou-vající síly. Oslabení plochy ú�inné na smyk se neuvažuje platí-li:

AV,net / AV > fy / fu ,

není – li výše uvedená podmínka spln�na, uvažuje se redukovaná smyková plocha, která spl�uje výše uvedenou podmínku, zapsanou však jako rovnost.

2.3 Únosnost pr��ezu namáhaným prostým ohybem

Pr��ez namáhaný prostým ohybem (jestliže pr��ez ohýbaného prutu není vn�j-ším zatížením namáhaný jinak než ohybovými momenty) se posuzuje podle podmínky:

,,RdcSd MM ≤

kde MSd je návrhový ohybový moment,

Mc,Rd je návrhová únosnost pr��ezu v ohybu , která se vypo�te pro

neoslabené pr��ezy:

o t�ídy 1 a 2 z výrazu:

,0

,,M

yplRdplRdc

fWMM

γ⋅

==

o t�ídy 3 z výrazu:

,0

,,M

yelRdelRdc

fWMM

γ⋅

==

kde Wpl je plastický pr��ezový modul,

Wel je elastický pr��ezový modul,

γM0 je díl�í sou�initel spolehlivosti pro pr��ezy t�ídy 1, 2 a 3,

fy je mez kluzu materiálu.

Oslabení pr��ezu namáhaného ohybem se uvažuje následovn�:

• v tažené pásnici jen pokud:

,9,0 0

2,

M

M

u

y

ft

netft

f

f

A

A

γγ

⋅⋅

<

kde Aft,net a Aft jsou oslabená plocha a celková plocha tažené pásnice.

Je-li nutno oslabení uvažovat, zapo�ítá se do pr��ezu redukovaná plocha pásni-ce, která spl�uje p�edcházející podmínku, zapsanou však jako rovnost.

• v tažené �ásti stojiny jen pokud je spln�na p�edcházející podmínka, p�i�emž se tato podmínka vztáhne na celou taženou �ást pr��ezu,

• v tla�ené �ásti pr��ezu pouze p�i oslabení nestandardními dírami.


9

2.3.1 Kombinace namáhání ohybem, smykem a osovou silou (tahem nebo tlakem)

Podmínka spolehlivosti pr��ezu namáhaného kombinací ohybových moment�, posouvajících sil a osové síly (tahem nebo tlakem) je:

0,1,,

,

,,

, ≤++��

��

�

Rdzc

Sdz

Rdyc

Sdy

k

Rd

Sd

MM

M

M

NN

yz

,

kde Nsd, My,Sd, Mz,Sd jsou návrhové tahové nebo tlakové síly a návrho- vé ohybové momenty,

NRd, Mc,y,Rd, Mc,z,Rd jsou návrhové únosnosti pr��ezu v tlaku �i tahu a návrhové ohybové momenty únosnosti pr��ezu podle �ástí 6.6.2, 6.6.3 a 6.6.4 (je-li vliv smyku zanedbatelný) resp. podle �ástí 6.6.7.3 (je-li nutno vliv smyku uvažovat) dokumentu �SN 73 1401 – 1998,

kyz je exponent závisející na stupni využití pr��ezu.

Pro pr��ezy t�ídy 1 a 2 je možné únosnosti pr��ez� stanovit plastickým vý-po�tem. Do výše uvedené podmínky se potom dosazuje:

,22 �

�

�

�

��

�

�

+−

⋅��

��

� −+

+=

zy

zyzyzyyz mm

mmkkkkk

kde ,/ ,,, RdycSdyy MMm =

,/ ,,, RdzcSdzz MMm =

ky, kz jsou díl�í hodnoty exponent� pro namáhání jen jedním z ohybových moment� a ur�í se z tab.2.1.

Tab.2.1 Hodnoty díl�ích exponent� ky, kz �. P�í�ný �ez ky kz

1 Válcované a sva�ované I a H pr��ezy se dv�ma osami symetrie 1,2 2,8

2 Pravoúhlé ( obdélníkové, �tvercové) duté pr��ezy se dv�ma osami symetrie 1,3 1,3

3 Kruhové trubky 1,8 1,8

4 Obdélníkové plné pr��ezy 2,0 2,0

Pro pr��ezy t�ídy 3 se únosnost pr��ezu stanoví pružnostním výpo�tem. Výše uvedenou podmínkou spolehlivosti se prokazuje spolehlivost v nejvíce namá-haném míst� pr��ezu. Do podmínky spolehlivosti se dosazuje:


10

.0,1

,/

,/

,/

0,,,,,

0,,,,,

0

=

⋅==

⋅==

⋅=

yz

MyzelRdzelRdzc

MyyelRdyelRdyc

MyRd

k

fWMM

fWMM

fAN

γγ

γ

Vliv smyku (který je podrobn� rozebrán v �ásti 2.3.2) se p�itom zanedbává pro:

3,0/ , ≤RdplSd VV .

Pro šikmý ohyb pr��ez� t�ídy 1 a 2 lze použít p�ibližnou podmínku spolehli-vosti:

,1,,

,

,,

, ≤��

��

�+

��

�

�

��

�

�βα

Rdzc

Sdz

Rdyc

Sdy

M

M

M

M

kde α a β jsou konstanty, které je možné brát na stran� bezpe�né hodnotou

1,0. Jinak lze uvažovat:

o pro pr��ezy tvaru I a H: α = 2, β = 1,

o pro kruhové trubky: α = β = 2,

o pro uzav�ené pravoúhlé pr��ezy: α = β = 1,66,

o pro plné obdélníkové pr��ezy: α = β = 1,73.

Pr��ezy namáhané pohyblivým nebo dynamickým zatížením se posuzují podle podmínky:

,0,13/

22

, ≤��

�

�

��

�

�+

��

�

�

��

�

�

yd

Ed

yd

Edx

ffτσ

kde σx,Ed, τEd jsou návrhová normálová a smyková nap�tí v posuzovaném bod� pr��ezu,

./ 0Myyd ff γ=

2.3.2 Vliv smyku na návrhovou únosnost pr��ezu na-máhaného ohybem

Vliv smyku se vyjad�uje redukcí návrhových únosností pr��ezu.

Vliv smyku na únosnost pr��ezu lze zanedbat:

• pro pr��ez I namáhaný ohybem ve sm�ru stojiny a pro obdélníkový nebo �tvercový dutý uzav�ený pr��ez namáhaný bu� ve sm�ru stojiny nebo ve sm�ru pásnice, platí-li:

,5,0,

≤Rdpl

Sd

VV


11

• pro pr��ez I namáhaný ohybem ve sm�ru pásnic, platí-li:

,3,0,

≤Rdpl

Sd

VV

kde VSd je návrhová posouvající síla,

Vpl,Rd je návrhová únosnost pr��ezu ve smyku:

30

, ⋅

⋅=

M

yVRdpl

fAV

γ,

kde AV je plocha ú�inná na smyk.

Pro pr��ezy t�ídy 1 nebo 2 se dv�ma osami symetrie, namáhané ohybem pouze v jedné hlavní rovin� (jednoduchý ohyb) se momenty únosnosti Mc,Rd reduko-vané vlivem smyku, ur�í takto:

• p�i namáhání ohybem ve sm�ru stojiny:

,

:0,0

,,,,,,,

,,

RdyplVzmyRdyVzRdyc

SdzSdy

MMM

VM

⋅==

≠≠

ϕ

• p�i namáhání ohybem ve sm�ru pásnic:

,

:0,0

,,,,,,,

,,

RdzplVymzRdzVyRdzc

SdySdz

MMM

VM

⋅==

≠≠

ϕ

kde sou�initelé redukce ϕmy,Vz, ϕmz,Vy se vypo�tou podle vztahu:

( )( ) ,

/1

/11,1 2

,

2,

RdplSd

RdplSdv

VV

VV

⋅−

−⋅=

αϕ ale ,0,1≤vϕ

pokud Vzmyv ,ϕϕ = je α = 0,7,

pokud Vymzv ,ϕϕ = je α = 0.

V p�ípad� dutého obdélníkového nebo �tvercového pru�ezu postupujeme ob-dobn�.

Návrhová redukovaná únosnost Mc,Rd pro jiné p�ípady, než jsou výše uvedené, se spo�ítá podle p�ílohy D dokumentu �SN 73 1401-1998.

2.3.3 Rovinné namáhání ve stojin� nosníku

V p�ípad�, že je stojina pr��ezu t�ídy 1, 2, 3 a je namáhána kombinací ohybo-vého momentu, osové síly a p�í�né lokální síly a pokud platí:

,3,0,

≤Rdpl

Sd

VV

pak musí být v každém bod� stojiny spln�na podmínka posouzení:


12

,0,1,,

2

,

2

, ≤��

�

�

��

�

�⋅��

�

�

��

�

�−

��

�

�

��

�

�+

��

�

�

��

�

�

yd

Edz

yd

Edx

yd

Edz

yd

Edx

ffff

σσσσ

je-li ,3,0,

>Rdpl

Sd

VV

pak musí být v každém bod� stojiny spln�na podmínka posouzení:

.0,13/

1.1

2

,,

2

,

2

, ≤��

�

�

��

�

�⋅+

��

�

�

��

�

�⋅��

�

�

��

�

�−

��

�

�

��

�

�+

��

�

�

��

�

�

yd

Ed

yd

Edz

yd

Edx

yd

Edz

yd

Edx

fffffτσσσσ

V obou výše uvedených podmínkách je:

σx,Ed návrhové podélné normálové nap�tí v posuzovaném míst� pr��ezu,

σz,Ed návrhové p�í�né normálové nap�tí ve stejném míst�,

τEd návrhové smykové nap�tí ve stejném míst�.

Únosnost štíhlých pr��ez�

13

3 Únosnost štíhlých pr��ez�

V této kapitole se budeme zabývat podrobn�ji pouze únosností štíhlých pr��ez� namáhaných osovou silou a ohybovými momenty. Ostatní zp�soby namáhání jsou podrobn� rozebrány v modulu MO6 této studijní opory BO02 pro kombi-nované studium.

Pod pojmem „štíhlý pr��ez“ máme na mysli pr��ez t�ídy 4. Únosnost takových-to pr��ez� je nep�ízniv� ovlivn�na lokálním boulením.

Štíhlý pr��ez podle obr.3.1 m�že být obecn� namáhán osovou silou, ohybovým momentem, smykem a lokáln� p�í�nou silou.

P�i výpo�tu únosnosti se uvažuje se vzájemným spolup�sobením jednotlivých �ástí pr��ezu (pásnice, stojina, výztuhy). Je-li uvažováno jedno pole stojiny, které je omezeno p�í�nými výztuhami, uvažuje se s hodnotami vnit�ních sil a moment�, které p�ísluší pr��ezu vzdálenému am od p�í�né výztuhy na více zatí-žené stran� pole. Za am bereme hodnotu:

• pro a � d : am = a/2,

• pro a > d : am = d/2,

kde a, d, am vyplývají z obr.3.1

Obr.3.1 Schéma zatížení jednoho pole stojiny

3.1 Štíhlý pr��ez namáhaný kombinací tlaku a ohybu

Pro výpo�et ohybové únosnosti prut� se štíhlými pr��ezy (t�ídy 4) se po�ítá s efektivními pr��ezovými charakteristikami Aeff, Ieff, Weff, které odpovídají efektivnímu pr��ezu znázorn�ným nap�. na obr.3.2. Výpo�et pr��ezových cha-rakteristik efektivních pr��ez� je uveden v modulu BO02-MO1 této studijní opory pro kombinované studium.

Únosnost tla�ených a ohýbaných prut� se štíhlými st�nami t�ídy 4 se m�že zvýšit vyztužením jejich štíhlých st�n p�í�nými �i podélnými výztuhami.

V obecném p�ípad� se neutrální osa efektivního pr��ezu posouvá oproti neut-rální ose pr��ezu plného o vzdálenost eM, resp. eN (viz obr.3.2).


14

�

��

��

��

��

��

�

��

Obr.3.2 Efektivní pr��ezová plocha štíhlého pr��ezu

Stojiny pr��ezu mají zabezpe�ovat dostate�né podep�ení tla�eným pásnicím. Aby nedošlo ke vtla�ení pásnice do pr��ezu ohýbaného prutu, je t�eba štíhlost stojiny d/tw omezit; d zna�í ší�ku stojiny, tw její tlouš�ku. Štíhlost stojiny má spl�ovat podmínku:

,fc

w

yw AA

fE

ktd ⋅⋅≤

kde k = 0,3 pro pásnice pr��ezu t�ídy 1,

k = 0,4 pro pásnice pr��ezu t�ídy 2,

k = 0,55 pro pásnice pr��ezu t�ídy 3 a 4,

Aw je plocha stojiny,

Afc je plocha tla�ené pásnice.

Únosnost štíhlých pr��ez� bez otvor� pro spojovací prost�edky, namáhaných kombinací osové síly a ohybových moment� se posuzuje podle vztahu:

,1,,

,

,,

,

,

≤⋅+

+⋅+

+Rdzc

NzSdSdz

Rdyc

NySdSdy

Rdc

Sd

M

eNM

M

eNM

NN

kde

,/

,/

,/

1,,,

1,,,

1,

MyzeffRdzc

MyyeffRdyc

MyeffRdc

fWM

fWM

fAN

γγ

γ

⋅=

⋅=

⋅=

Aeff je ú�inná plocha rovnom�rn� tla�eného pr��ezu,

Weff je pr��ezový modul efektivního pr��ezu, namáhaného okolo

p�íslušné t�žiš�ové osy pouze ohybem,

eN je posunutí p�íslušné t�žiš�ové osy rovnom�rn� tla�eného pr��e-

zu podle obr.3.2.

Oslabení posuzovaného pr��ezu dírami pro spojovací prost�edky se uvažuje podle kapitoly 7 dokumentu �SN 73 1401-1998.

P�í�ná a torzní stabilita p�i ohybu (klopení)

15

4 P�í�ná a torzní stabilita p�i ohybu (klopení)

P�í�ná a torzní stabilita p�i ohybu (klopení) je stabilitní problém, který lze po-psat dv�mi diferenciálními rovnicemi 4. �ádu, jejichž �ešením lze získat hodno-tu kritického ohybového momentu. Vzp�r p�í�n� zatížených prut� se projevuje prostorovou formou vybo�ení, která zahrnuje bo�ní ohyb a pooto�ení pr��ezu (tla�ená �ást pr��ezu má tendenci vybo�it ve sm�ru nejmenšího odporu, tažená �ást tuhý pr��ez stabilizuje, tzn. p�ispívá k jeho pooto�ení jako celku).

a)

!

b)

ζ

η

φ

"��"�

"��"�

"��"�

#$

#$�

$

�

$

% �

% �

% ��

�&

�&

'&

Obr.4.1 Klopení nosníku a) tvar nosníku po vybo�ení, b) schéma p�etvo�ení p�í�ného �ezu,1) po�áte�ní stav,

2) pr�hyb – první rovnovážný stav, 3) sklopení

K vybo�ení m�že dojít u p�í�n� zatížených prut� namáhaných v rovin� v�tší tuhosti p�i nár�stu zatížení viz obr.4.1a. Takovéto p�etvo�ení nazýváme sklo-pení prutu.


16

Z hlediska po�áte�ního stavu sledujeme nejen problém stability ideálního, ale také problém vzp�ru skute�ného, p�í�n� zatíženého prutu.

Ohýbaný prut nemusí být posuzován na klopení (globální ztrátu stability) v t�chto p�ípadech:

• pr��ez prutu je tuhý v kroucení, (nap�. uzav�ený pr��ez),

• p�i ohybu v rovin� menší tuhosti pr��ezu prutu,

• je-li tla�ený pás zabezpe�en proti vybo�ení z roviny ohybu nebo je-li pr��ez prutu zabezpe�en proti pooto�ení, a to spojit� nebo ve vzdálenostech men-ších než 40-ti násobek polom�ru setrva�nosti konven�ního tla�eného pásu nosníku. P�itom se uvažuje polom�r setrva�nosti z roviny ohybu pro kon-ven�ní tla�ený pás nosníku, který je tvo�en pásnicí (pop�. p�írubou) nosníku a p�ilehlou �ástí stojiny, zahrnující 1/6 její plochy.

4.1 Kritické namáhání, štíhlost ideálního prutu

V souladu s pojetím Vlasova [5], uvažujme nejprve problém stability ideálního tenkost�nného prutu otev�eného pr��ezu, který je p�í�n� zatížen. Zatížení pro-chází st�edem smyku Cs a p�sobí v rovin�, p�ípadn� rovnob�žn� s rovinou v�tší tuhosti pr��ezu.

V po�áte�ním rovnovážném stavu, tj. do okamžiku ztráty stability, je ideální prut pouze ohýbán a jeho plnou únosnost je možné využít pouze tehdy, je-li zabezpe�en proti vybo�ení. Není-li zabezpe�en proti vybo�ení, dojde v ur�ité fázi namáhání k rozdvojení rovnováhy (obr.4.1b), tzv. bifurkaci, kdy vedle po�áte�ního rovnovážného stavu m�že existovat i rovnovážný stav sklopeného nosníku.

Velikost odpovídajícího kritického zatížení lze ur�it �ešením diferenciálních rovnic stability. ešení t�chto rovnic závisí na okrajových podmínkách, na zatížení a na tvaru pr��ezu.

4.1.1 Pr��ezy alespo� jednoose soum�rné, zatížené v rovin� symetrie

Pro pr��ezy alespo� jednoose soum�rné, zatížené v rovin� symetrie (obr.4.2), mají diferenciální rovnice stability, p�i zanedbání vlivu po�áte�ního p�etvo�ení ξ, ϕ v okamžiku rozdvojení rovnováhy, viz. (obr.4.1b), tvar:

( )( ) ( ) ,0 ́2

,0

2 =⋅−⋅+′′⋅+′⋅⋅⋅−′′⋅⋅−⋅⋅

=′′⋅+⋅⋅

ϕξϕϕϕ

ϕξ

zzyyztIV

w

yIV

z

aeqMMbIGIE

MIE

kde za je sou�adnice st�edu smyku Cs,

ze je sou�adnice p�sobení p�í�ného zatížení (dosazuje se se znamén-

kem),


17

zy

yz a

I

Ub −

⋅=

2, kde ( )� +⋅=

Ay dAzyzU 22 .

Výše uvedeným dv�ma diferenciálním rovnicím p�ísluší okrajové pod-mínky, které závisí na podep�ení nosníku. P�i oboustranném kloubovém uložení mají tvar:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) .000

,000=′′=′′===′′=′′==

LL

LL

ϕϕϕϕξξξξ

ešení rovnic stability pro pr��ezy jednoose soum�rné, zatížené v rovi-n� symetrie (obr.4.2) vede p�i použití Galerkinovy metody ke tvaru:

( ) ( ) ,22

22331 �

�� ⋅⋅⋅+⋅+⋅++⋅±⋅= wzAzzazzzazcr NNiNebNebM κκκκ

kde zwcr MM = je kritický ohybový moment,

zzza aee −= je excentricita zatížení m��ená od st�edu smyku Cs.

#$

$

�

#$

$

�

#$

$

#$

$

�

(

�

�

�

�

� �

�

$$

��

$$

��

"��"% �

"��"% �"��"% �

"��"% �

Obr.4.2 Typy pr��ez� alespo� jednoose soum�rných, zatížených v rovin� symetrie

z hlediska klopení

Kritické sily jsou:

pro ztrátu stability vybo�ením kolmo k ose z:

,2

2

z

zz

IE

LIE

N

⋅

⋅⋅=

π

pro ztrátu stability zkroucením kolem osy x:

,2

22

A

tw

w

w i

IGL

IE

N⋅+

⋅

=π

kde 22222zyzyA aaiii +++= ,

kde iy, iz jsou polom�ry setrva�nosti k p�íslušným osám, ay, az jsou pr�m�ty vzdáleností st�edu smyku Cs od t�žišt� pr��ezu Cg do p�íslušných os.

Znaménko ± ve vztahu pro Mcr se vztahuje ke sm�ru p�sobení zatížení. Kladné znaménko dává kladný kritický moment, který vyvozuje v horních vláknech pr��ezu tlak a v dolních tah. Záporné znaménko dává záporný kritický mo-ment, který vyvozuje v horních vláknech tah a v dolních tlak. Sou�initele κ1,


18

κ2, κ3 a vzp�rné délky Lz, Lw pro výpo�et kritických sil Nz, Nw jsou uvedeny v tab.4.1. V této tabulce zna�í K kloubové uložení, V vetknutí konce prutu.

Kritický moment je vyjád�en v p�ípad� vetknutého nosníku ve vetknutí, v ostatních p�ípadech uprost�ed rozp�tí nosníku.

Tab.4.1 Sou�initele κ1 , κ2 ,κ3

Uložení

ohyb v rovin�

Schéma zatížení

zx yx kroucení

kz = Lz / L

kw = Lw / L κ1 κ2 κ3

K K K 1,0 1,0 1,00 1,00 1,00

K K V 1,0 0,5 1,33 0,75 0,75 K V V 0,5 0,5 1,00 1,00 1,00

K K K 1,0 1,0 0,53 4,68 4,68

K K V 1,0 0,5 0,52 6,33 6,33

K V V 0,5 0,5 0,29 11,29 11,29

V V V 0,5 0,5 1,61 1,36 1,36

K K K 1,0 1,0 0,76 3,26 3,26

K K V 1,0 0,5 0,87 2,83 2,83

K V V 0,5 0,5 0,50 4,99 4,99

V V V 0,5 0,5 1,23 1,00 1,00

Kritická štíhlost prutu p�i ztrát� stability ohybem je dána vztahem:

,cr

Eσ

πλ ⋅=

kde i

crcr W

M=σ je kritické nap�tí prutu p�i ohybu, stanovené pružnostním

výpo�tem pro prut bez imperfekcí.

4.1.2 Úprava �ešení problému klopení pro pr��ezy ale-spo� jednoose soum�rné, zatížené v rovin� symet-rie, ve smyslu �SN 73 1401-1998 p�ílohy G.

Kritickou štíhlost λ prutu alespo� jednoose symetrického podle obr.4.3 zatíže-ného v rovin� symetrie lze vypo�ítat:

,1z

zM

iL⋅

=κγλ


19

kde Lz je vzdálenost bod� tla�eného pásu, zajišt�ných proti vybo�ení

z roviny ohybu,

κM je sou�initel vzp�rné délky p�i klopení podle tab.4.2,

iz1 je polom�r setrva�nosti tla�eného pásu,

,11 iy

zz az

II

i ⋅⋅=

kde z1 je vzdálenost t�žišt� tla�ené pásnice od t�žišt� pr��ezu obr.4.3,

ai v�tší ze vzdálenosti a1, a2 podle obr.4.3,

γ je sou�initel štíhlosti p�i ztrát� stability prutu p�i ohybu:

,1

22

��

��

�+��

�

��

� ++

+=

ii

zc

i

zc

aC

aea

aea κκ

γ

kde ac je vzdálenost t�žišt� stojiny Cw od st�edu smyku Cs (obr.4.3),

která je kladná, je-li tla�en siln�jší pás,

ez je vzdálenost p�sobení zatížení od st�edu smyku Cs (obr.4.3),

která je kladná, p�sobí-li zatížení na tažené stran�; p�i p�sobení

pouze koncových moment� je ez = 0,

κ = 1 pro prut namáhaný jen koncovými momenty,

κ = 0,5 pro prut p�í�n� zatížený, ,

,22

2

222

��

��

� ⋅+��

�

��

�⋅�

�

��

�⋅⋅=πα t

w

z

z

w

LL

hIIh

C

αt je parametr kroucení uvedený v �ásti 4.1.3.

Tab.4.2 Sou�initelé vzp�rné délky κM

)*��

��*��

�+( (+,- (+./ ��0��123.&�456

)*��

��*��

�+( (+./ (+/7

Nosník:

Konzola ( s volným koncem bez zajišt�ní proti vybo�ení z roviny ohybu):


20

$

�"

"

"

�

�

%

8

Obr.4.3 Jednoose symetrický pr��ez zatížený v rovin� symetrie

Pro pruty s pr��ezy tvaru I (ψ = 0) a tvar T (ψ = 1) lze sou�initel γ ur�it z tab.4.3. Pro mezilehlé pr��ezy , je možné interpolovat podle vzorce:

( ),010 γγψγγ −⋅+=

kde γ0, γ1 jsou hodnoty z tab.4.3 pro ψ = 0, pop�. ψ = 1,

21

21

IIII

+−

=ψ je parametr nesymetrie,

I1, I2 jsou momenty setrva�nosti tla�eného a taženého pásu k ose z.

Pro pr��ezy � (ψ = -1) lze hodnotu γ-1 vypo�ítat ze vztahu:

,1

1tαγ

πγ⋅

=−

kde γ1 je hodnota z tab.4.3 pro pr��ez T (ψ = 1).

Pro 0 > ψ >-1 je možné interpolovat podle vzorce:

( ),100 −−⋅+= γγψγγ

ale jen pokud αt � 2. Je-li αt < 2, je pot�ebné po�ítat podle d�íve uvedeného vztahu:

22

1

��

��

�+��

�

��

� ++

+=

ii

zc

i

zc

aC

aea

aea κκ

γ .

Je-li konstruk�ním opat�ením vnucena nosníku p�i ztrát� stability jiná osa, než osa spojující st�edy smyku, je nutné výpo�et kritické štíhlosti λ p�im��en� upravit.


21

Tab.4.3 Sou�initele štíhlosti γ p�i ztrát� stability p�i ohybu pro pr��ezy I,T

�t � Zatížení uložení

konc�

0 1 2 3 4 6 10 15 �18

KK, KV 1,41 1,24 1,03 0,90 0,80 0,68 0,54 0,45

KK,KV 1,00 0,96 0,87 0,80 0,73 0,64 0,52 0,43

KK,KV 0,82 0,80 0,76 0,71 0,67 0,60 0,50 0,42

1

tαπ

KK 1,27 1,13 0,91 0,76 0,66 0,54 0,41 0,33

KV 0,80 0,78 0,72 0,66 0,60 0,51 0,40 0,33

KK 1,00 0,92 0,79 0,68 0,60 0,50 0,39 0,32

KV 0,71 0,69 0,65 0,60 0,56 0,48 0,39 0,32

KK 0,79 0,75 0,68 0,61 0,55 0,47 0,38 0,31

KV 0,62 0,61 0,58 0,55 0,51 0,45 0,37 0,31

0

tαπ

2

KK,KV 3,93 2,07 1,47 1,17 0,88 0,63 0,49

KK,KV 3,28 1,80 1,32 1,07 0,82 0,61 0,48

KK,KV 2,54 1,52 1,16 0,98 0,77 0,58 0,47

-1

tαπ

KK zna�í kloubové uložení pro vybo�ení i zkroucení, KV zna�í kloubové uložení pro vybo�ení a vetknutí pro zkroucení

Mají-li prosté nosníky pr��ezu I nebo T vnucenou osu otá�ení na spodním okraji taženého pásu, lze použít vztah:


22

,1z

zMv i

L⋅=

κγλ

kde γv, ur�íme podle tab.4.4.

Tab.4.4 Sou�initel štíhlosti γv p�i ztrát� stability p�i ohybu pro pr��ezy I, T s vnucenou osou otá�ení

�t � zatížení uložení

konc� 0 1 2 3 4 6 10 15 �18

KK,KV 1,22 1,17 1,03 0,89 0,76 0,57 0,37 0,25

KK,KV 1,00 0,95 0,84 0,72 0,62 0,48 0,30 0,20

KK,KV 0,71 0,67 0,60 0,51 0,44 0,33 0,21 0,14

1

23

tαπ

tαπ

21

tαπ

KK 1,22 1,12 0,91 0,73 0,59 0,43 0,27 0,18 KV 0,77 0,74 0,67 0,59 0,51 0,39 0,26 0,18

KK 1,00 0,91 0,74 0,60 0,49 0,35 0,22 0,15 KV 0,63 0,61 0,55 0,48 0,42 0,32 0,21 0,14

KK 0,71 0,64 0,53 0,42 0,34 0,25 0,15 0,10 KV 0,45 0,43 0,39 0,34 0,30 0,23 0,15 0,10

0

43

tαπ

21

tαπ

21

tαπ

KK,KV 3,85 1,92 1,28 0,96 0,64 0,38 0,26

KK,KV 3,14 1,57 1,05 0,79 0,52 0,31 0,21

KK,KV 2,22 1,11 0,74 0,56 0,37 0,22 0,15

-1

23

tαπ

tαπ

21

tαπ

KK zna�í kloubové uložení pro vybo�ení i zkroucení, KV zna�í kloubové uložení pro vybo�ení a vetknutí pro zkroucení


23

4.1.3 Pr��ezy alespo� jednoose soum�rné, zatížené kolmo k ose symetrie

Pro pr��ezy alespo� jednoose soum�rné, zatížené kolmo k ose symetrie y-y (obr.4.4) mají diferenciální rovnice tvaru:

( ).0

,0

=⋅⋅+′′⋅+′′⋅⋅−⋅⋅

=″⋅+⋅

ϕξϕϕ

ϕξ

zzytIV

w

yIV

z

eqMIGIE

MIE

T�mto rovnicím p�ísluší okrajové podmínky, které závísí na uložení nosníku.

ešením výše uvedených diferenciálních rovnic je kritický moment:

( ) ,221 �

�� ⋅⋅⋅+⋅+⋅±⋅= wzAzzzzzcr NNieNeNM κκ

kde význam jednotlivých symbol� a hodnoty sou�initel� jsou obdobné jako v p�ípad� pr��ez� alespo� jednoose soum�rných, zatížených v rovin� symetrie, tedy v �ásti 4.1.1.

4.1.4 Dopln�ní �ešení problému klopení pro pr��ezy ale-spo� jednoose soum�rné, zatížené kolmo k ose sy-metrie, ve smyslu �SN 73 1401-1998, p�ílohy G

Kritická štíhlost prutu s pr��ezem jednoose soum�rným, zatíženým kolmo k ose symetrie y –y je p�i ohybu dána vztahem:

,2

z

yz

I

I

hL

⋅⋅

⋅= γλ

kde Lz je vzp�rná délka prutu mezi podporovými pr��ezy zabezpe�enými proti vybo�ení z roviny ohybu,

h je teoretická výška prutu.

#$

$

�

"��"

#$

$

�""

#$

$

�

""

#$

$

�

""

#$

$

�" "

#$

$

�

% � � % � % � % � %

"��"% �

Obr.4.4 Pr��ezy prut� p�i ztrát� stability p�i ohybu


24

Sou�initel vlivu uložení, zatížení a tuhosti prutu γ se ur�í:

,22

0,1

2

2

1��

��

�

⋅+�

�

��

� ⋅+

⋅⋅

=

zwzz d

he

he κκ

γ

kde 22

2

2 4t

w

zzw L

Ld α

πδ ⋅+��

�

��

�⋅= je parametr tuhosti pr��ezu p�i ztrát� stabi-

lity p�i ohybu,

z

tzt I

IhL

⋅⋅= 62,0α je parametr kroucení,

z

w

II

h⋅= 2δ je parametr deplanace.

Sou�initelé κ1, κ2 jsou pro základní typy zatížení a p�íslušné vzp�rné délky v ohybu ( )LLz ⋅= 2κ a kroucení ( )LL ww ⋅= κ , viz. tab.4.1.

Pro výpo�et kritické štíhlosti λ vetknuté konzoly dvouose symetrického pr��e-zu, která není zajišt�na na volné konci proti posunu z roviny zx, se použije sou�initel γ podle tab.4.5, a to v závislosti na parametru kroucení αt. Vzp�rná

Tab.4.5 Sou�initel γ pro konzolu

Rovnom�rné zatížení Osam�lé b�emeno Zatížení

Mo-ment po

celé délce

na ta-ženém pásu

v neut-rální ose

na tla�e-ném pásu

na taže-ném pásu

v neut-rální ose

na tla-�eném pásu

0 0,84 0,64 0,31 0,19 0,92 0,45 0,29

0,5 0,82 0,62 0,3 0,19 0,88 0,42 0,29

1 0,78 0,55 0,28 0,19 0,78 0,40 0,29

1,5 0,72 0,49 0,26 0,19 0,68 0,38 0,29

2 0,68 0,43 0,25 0,19 0,59 0,36 0,28

αt 3 γ 0,59 0,36 0,23 0,19 0,47 0,32 0,27

4 0,54 0,3 0,22 0,18 0,40 0,30 0,26

5 0,51 0,27 0,21 0,18 0,35 0,28 0,26

6 0,48 0,25 0,2 0,18 0,31 0,26 0,25

8 0,43 0,21 0,18 0,17 0,27 0,24 0,23

10 0,39 0,19 0,17 0,16 0,24 0,22 0,21

15 0,32 0,16 0,15 0,15 0,20 0,20 0,19


25

délka konzoly se bere jako dvojnásobek jejího vyložení ( )LLz ⋅= 2 .

Kritickou štíhlost prutového úseku o volné délce b, s lineárním pr�b�hem ohy-bového momentu a prostým podep�ením pro ohyb i kroucení v koncových pr�-�ezech úseku, lze ur�it p�ibližn� pomocí vztahu:

Mb κλλ ⋅=

kde λ je kritická štíhlost prutu volné délky Lz = b p�i p�sobení kon-stantního ohybového momentu,

,52,04,188,1

12ψψ

κ⋅+⋅−

=M ale .61,0≥Mκ

kde ψ je pom�r koncových moment� podle tab.4.2.

4.2 Ztráta stability prutu s netuhým pr��ezem

Dosud uvedená �ešení problému klopení vycházely z p�edpoklad� teorie Vla-sova [5], zejména z p�edpokladu zachování tvaru pr��ezu p�i vybo�ení, kdy se p�edpokládá, že pr��ez vybo�uje jako celek.

Tento p�edpoklad však nespl�ují vysoké nosníky se štíhlými st�nami. Není-li tuhost pr��ezu zabezpe�ena dostate�nou ohybovou tuhostí st�n pr��ezu, tak jako tomu je nap�. u válcovaných nosník� nebo dostate�ným p�í�ným vyztuže-ním, m�že tla�ený pás ohýbaného prutu vybo�it z roviny po�áte�ního ohybu samostatn�, podle obr.4.5.

Obr.4.5 Vybo�ení tla�eného pásu prutu z roviny po�áte�ního ohybu

V tomto p�ípad� lze �ešit problém klopení, p�i zanedbání ohybové tuhosti stoji-ny, jako vzp�r konven�ního tla�eného pásu, t.j. jako vybo�ení prutu pr��ezu tvaru T ohybem a kroucením z roviny po�áte�ního ohybu, p�i p�sobení osové síly odpovídající sou�inu plochy konven�ního pásu a p�íslušného normálového nap�tí od ohybu.

Do pr��ezu pásu po�ítáme tla�enou pásnici a p�ilehlou �ást stojiny, s výškou 1/6 výšky nosníku, maximáln� však )/235(15 yw ft ⋅⋅ , kde tw je tlouš�ka st�-

ny. P�íslušná vzp�rná délka Lz je dána vzdáleností bod�, ve kterých je tla�ený pás zabezpe�en proti vybo�ení.


26

Pro vysoké sva�ované nebo nýtované pruty, vyztužené p�í�nými výztuhami po vzdálenostech a, nemá být štíhlost λ pro ztrátu stability p�i ohybu menší, než kritická štíhlost pásu, jež je dána vztahem:

,1i

aMf

⋅=

κλ

kde a je vzdálenost p�í�ných výztuh v oboru nejv�tšího momentu,

κM je sou�initel vzp�rné délky podle tab.4.2 pro Lz = a,

i1 je polom�r setrva�nosti konven�ního tla�eného pásu, složeného z pásnice a p�ilehlé �ásti stojiny zahrnující 1/6 její plochy, z roviny ohybu.

Vzp�rná únosnost celistvých prut� namáhaných ohybem dle �SN 73 1401-1998

27

5 Vzp�rná únosnost celistvých prut� namáhaných ohybem dle �SN 73 1401-1998

Ohýbaný prut je t�eba obvykle posoudit na p�í�nou a torzní ztrátu stability p�i ohybu (na klopení). P�ípady, kdy nemusí být posuzován ohýbaný prut na klo-pení jsou uvedeny v �ásti 4 tohoto modulu.

Jestli-že je prut zajišt�n proti vybo�ení v tažené oblasti, lze uvažovat ztrátu stability s vnucenou osou otá�ení podle �ásti 4.3 tohoto modulu. Toto m�že nastat nap�. u vaznice zatížené sáním v�tru.

5.1 Stabilita prutu p�i ohybu

Stabilita prutu p�i ohybu se posuzuje podle podmínky:

,,RdbSd MM ≤

v této podmínce je:

MSd návrhová hodnota ohybového momentu p�sobícího na prutu,

Mb,Rd návrhový moment únosnosti prutu p�i ohybu

,/ 1,, MyyplwLTRdb fWM γβχ ⋅⋅⋅=

kde χLT je sou�initel vzp�rnosti p�i klopení,

βw = 1 pro pr��ezy t�ídy 1 a 2,

βw = Wel,y / Wpl,y pro pr��ez t�ídy 3,

βw = Weff,y / Wpl,y pro pr��ez t�ídy 4.

Pom�rná štíhlost p�i klopení λLT se vypo�te:

,,

cr

RplwLT M

M⋅=

βλ

kde yplRpl fWM ⋅=, ,

Mcr je kritický moment p�i pružném p�sobení a uvažování plného

pr��ezu.

Použijeme-li štíhlost λ podle �ásti 4.4 resp. 4.5 tohoto modulu, lze po�ítat:

,,

,

yel

yplLT W

W⋅= λλ

a ,1

wLT

LT βλ

λλ ⋅=

kde λ1 je srovnávací štíhlost vypo�tená podle vzorce:


28

.235

9,931yy ff

E ⋅=⋅= πλ

Platí tedy:

• pro pr��ezy t�ídy 1 a 2 ,,

,

1 yel

yplLT W

W⋅=

λλλ

• pro pr��ezy t�ídy 3 ,1λ

λλ =LT

• pro pr��ezy t�ídy 4 .,

,

1 yel

yeffLT W

W⋅=

λλλ

Štíhlost λ se stanoví i pro pr��ezy t�ídy 4 pro plný pr��ez.

Sou�initel vzp�rnosti p�i klopení χLT se ur�í pro pom�rnou štíhlost λLT takto:

0,11

22≤

−+=

LT

LTλφφ

χ ,

kde ( )[ ],2,015,0 21 LTLT λλαφ +−⋅+⋅=

kde �1 je sou�initel imperfekce podle tab.5.1.

Tab.5.1 Sou�initel imperfekce α1

K�ivka vzp�rné pevnosti a c

α1 0,21 0,49

Pro válcované pr��ezy se uvažuje k�ivka vzp�rné pevnosti „a“, v ostatních p�í-padech k�ivka „c“.

5.2 Pruty namáhané kombinací ohybu a osového tahu

Pruty namáhané ohybem a osovým tahem musí být krom� únosnosti pr��ezu podle �ásti 2.3.1 tohoto modulu posouzeny také podle podmínky:

,,, RdbSdeff MM ≤

kde EdcomcomSdeff WM ,, σ⋅= je ú�inný návrhový ohybový moment.

σcom,Ed je tlakové nap�tí (které m�že p�esáhnout mez kluzu fy),

které odpovídá vlivu sou�asných ú�ink� ohybového mo-

mentu a osové síly v krajním tla�eném vláknu, které ur-

�íme ze vztahu:

,,, A

N

WM Sdt

com

SdEdcom ⋅−= ψσ


29

kde MSd je návrhová hodnota ohybového momentu,

Nt,Sd je návrhová hodnota tahové osové síly,

Wcom je pružný modul pr��ezu pro krajní tla�ené vlákno,

ψ je reduk�ní sou�initel, odpovídající sou�asnému p�sobení síly

a momentu, který nabývá hodnoty:

ψ = 0,7 jestliže se MSd a Nt,Sd mohou m�nit nezávisle,

ψ = 1,0 jestliže se MSd a Nt,Sd m�ní sou�asn� a závisle

na sob�.

Návrhový moment únosnosti prutu p�i ohybu Mb,Rd se ur�í ze vztahu uvedeném v �ásti 5.1 tohoto modulu.

5.3 Pruty namáhané kombinací ohybu a osového tlaku

5.3.1 Pr��ezy t�ídy 1 a 2

Pruty s pr��ezy t�ídy 1 a 2 namáhané ohybem a osovým tlakem musí vyhov�t podmínce:

,1/// 1,

,

1,

,

1min

≤⋅⋅

+⋅⋅

+⋅⋅ Myzpl

Sdzz

Myypl

Sdyy

My

Sd

fW

Mk

fW

Mk

fAN

γγγχ

kde ,5,11 ≤⋅⋅

⋅−=

yy

Sdyy fA

Nk

χµ

( ) ,90,042,

,, ≤��

��

−+−⋅⋅=

yel

yelyplMyyy W

WWβλµ

,5,11 ≤⋅⋅

⋅−=

yz

Sdzz fA

Nk

χµ

( ) ,90,042,

,, ≤��

��

−+−⋅⋅=

zel

zelzplMzzy W

WWβλµ

χmin je menší z hodnot sou�initel� vzp�rnosti χy a χz,

βMy, βMz jsou sou�initelé ekvivalentního konstantního ohybového mo-

mentu p�i vybo�ení ohybem okolo p�íslušné osy podle tab.5.2.

Pruty, které mohou vybo�it také klopením, musí sou�asn� splnit podmínku:

,1/// 1,

,

1,

,

1

≤⋅⋅

+⋅⋅

⋅+

⋅⋅ Myzpl

Sdzz

MyyplLT

SdyLT

Myz

Sd

fW

Mk

fW

Mk

fAN

γγχγχ


30

kde ,11 ≤⋅⋅

⋅−=

yz

SdLTLT fA

Nk

χµ

,90,015,015,0 , ≤−⋅⋅= LTMzLT βλµ

βM,LT je sou�initel ekvivalentního konstantního momentu pro klopeni

podle tab.5.2.

V p�ípad� nesymetrických pr��ez� se ve vztazích pro µy a µz dosazují za Wel hodnoty pro okraj za ohybu tla�ený.

Tab.5.2 Sou�initele ekvivalentního konstantního momentu

Pr�b�h momentu

M

Sou�initele ekvivalentního konstantího momentu

Koncové momenty

1 1

M

M,ψ

Momenty od p�í�ných zatížení p�sobících v rovin� ohybu

M Q M Q

a) b)a) M,Q

b) M,Q

Momenty od p�í�ných zatížení p�sobících v rovin� ohybu a odkoncových moment�

��

��

M Q

M Q

M Q

M Q

��

M M,ψ M,Q M,ψM Q

M

M = � max M�Qpouze od p�í�ného zatížení

M = � max M�pro pr�b�h momentu bez zm�ny znaménka

M = � max M�p�i zm�n� znaménka pr�b�hu momentu

+� min M�

1)

Ozna�ení M1) Moment p�sobící okolo osy Body zajišt�né ve sm�ru

M y

M z

M ,LT

y - y

z - z

y - y

z - z

y - y

z - z

M1

M1 M1

M1


31

5.3.2 Pr��ezy t�ídy 3

Pruty s pr��ezy t�ídy 3, namáhané ohybem a osovým tlakem musí vyhov�t podmínce:

,1/// 1,

,

1,

,

1min

≤⋅⋅

+⋅⋅

+⋅⋅ Myzpl

Sdzz

Myyel

Sdyy

My

Sd

fW

Mk

fW

Mk

fAN

γγγχ

kde význam veli�in ky, kz a χmin je uveden výše,

( )( ) .90,042

,90,042

≤−⋅⋅=

≤−⋅⋅=

zzz

yyy

βλµ

βλµ

Pruty, které mohu vybo�it také klopením, musí zárove� vyhov�t podmínce:

,1/// 1,

,

1,

,

1

≤⋅⋅

+⋅⋅

⋅+

⋅⋅ Myzel

Sdzz

MyyelLT

SdyLT

Myz

Sd

fW

Mk

fW

Mk

fAN

γγχγχ

kde kLT se vypo�te:

.11 ≤⋅⋅

⋅−=

yz

SdLTLT fA

Nk

χµ

5.3.3 Pr��ezy t�ídy 4

Pruty s pr��ezy t�ídy 4, namáhané ohybem a osovým tlakem, musí vyhov�t podmínce:

( ) ( ),1

/// 1,

,,

1,

,,

1min

≤⋅

⋅+⋅+

⋅⋅+⋅

+⋅ Myzeff

zNSdSdzz

Myyeff

yNSdSdyy

Meff

Sd

fW

eNMk

fW

eNMk

AN

γγγχ

kde význam veli�in ky, kz a χmin je op�t totožný s výše uvedenými vztahy,

stejn� tak význam µy a µz je totožný s významem v p�edcházejícím

vztahu,

význam Aeff, Weff,y, Weff,z, eNy a eNz je uveden v �ásti 3.1 tohoto modulu.

Pruty, které mohou vybo�it také klopením, musí zárove� vyhov�t podmínce:


32

( ) ( ),1

/// 1,

,,

1,

,,

1

≤⋅⋅

⋅+⋅+

⋅⋅⋅+⋅

+⋅⋅ MyzeffLT

zNSdSdzz

MyyeffLT

yNSdSdyLT

Myeffz

Sd

fW

eNMk

fW

eNMk

fAN

γχγχγχ

kde se p�i výpo�tu ky, kz a kLT po�ítá s efektivním pr��ezem.

Záv�r

33

6 Záv�r

V této �ásti modulu je numericky vy�ešen p�íklad, ve kterém je ukázáno po-souzení ohýbaného prutu namáhaného na ohyb, podle dokumentu �SN 73 0014 - 1998. Výpo�et je proveden v�etn� vlivu klopení.

Dále tato �ást obsahuje kontrolní otázky k problematice obsažené v tomto mo-dulu a celkové shrnutí u�iva této �ásti studijní opory.

6.1 P�íklady Posu�te ohýbaný nosník zatížený spojitým rovnom�rným zatížením g = 90 kN/m ,́ rozp�tí nosníku L = 6 m (obr.6.1). Nosník má horní pás zabez-pe�en proti vybo�ení ve vzdálenostech Lz1 = 1,5 m, Lw = 6 m. fy = 235 MPa.

�9�

�9�

$

�

��

�

"�:"�:"

$�

�$

�7(

��

��

��

��

��

� � �

Obr.6.1 Pr��ez, zatížení a schéma nosníku

Ohybový moment uprost�ed rozp�tí nosníku

kNmM sdy 40569081 2

, =⋅⋅=

Pr��ezové charakteristiky

mmh 625= , 5,3122121 ==== h

zaa , 0== zc aa

218500mmA = ,

��

%�:�,(��9�


34

mme 325−=

Plastický modul pr��ezu yplW ,

292502

mmA = mmz 8,109=́ (poloha t�žišt� poloviny pr��ezu)

=⋅=⋅= 4,43092502, zA

W ypl 3,9·106 mm

Další pr��ezové veli�iny

49104,1 mmI y ⋅= 47105,6 mmI z ⋅=

6121035,64

mmh

II zw ⋅=⋅=

46108,2 mmIt ⋅=

Polom�r setrva�nosti tla�eného pásu

mmazII

i iy

zz 3,675,3125,312

104,1105,6

9

7

11 =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=

ai – v�tší z hodnot a1, a2 (a1 = a2 = ai=312,5 mm )

309,0105,6108,2

6251500

62,062,07

61 =

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=

z

tzt I

Ih

Lα

5,0=κ (p�í�né zatížení)

$;

�

$;

$;

$

Záv�r

35

4,99309,02

60001500

6252

105,61035,6

2625

222

222

7

12

22

12

=��

��

� ⋅+��

��

�⋅��

��

�⋅⋅⋅⋅=

=��

��

� ⋅+��

�

��

�⋅�

�

��

�⋅⋅=

π

πα

ω

ω tz

z LL

hIIh

C

886,1

5,3124,99

5,3123250

5,05,312

32505,0

1

1

22

22

=

��

��

�+��

��

� −⋅+−⋅

=

=

��

��

�+��

�

��

� +⋅+

+⋅

=

ii

c

i

c

aC

aea

aea κκ

γ

Kritická štíhlost p�i klopení

423,67

15000,1886,1

1

1 =⋅⋅=⋅

⋅=z

zM

iLκγλ

V posuzovaném poli délky Lz1 (v oblasti maximálního ohybového momentu) je p�ibližn� konstantní pr�b�h ohybových moment� => 0,1=Mκ

Štíhlost p�i klopení

420,1

42 ===w

LT βλλ 0,1=wβ

Pom�rná štíhlost

447,00,19,93

42

1

=⋅=⋅= wLT

LT βλ

λλ

9,93235

2100001 =⋅=⋅= ππλ

yfE

Sou�initel vzp�rnosti p�i klopení

( )( ) ( )( )642,0

447,02,0447,034,015,02,034,015,0 22

==+−⋅+⋅=+−⋅+⋅=Φ LTLT λλ

907,0447,0642,0642,0

112222

=−+

=−Φ+Φ

=LT

LTλ

χ

�

<$�


36

Moment únosnosti p�i klopení

kNmfy

WMM

yplwLTRdb 73715,1

23598,30,1907,0

1,, =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

γβχ

kNmMkNmM SdRdb 405737, =≥= vyhovuje

Posuzovaný pr��ez vyhoví.

6.2 Kontrolní otázky

1 Vysv�tlete rozdíl mezi kompaktními a štíhlými ocelovými pr��ezy.

2 Popište postup p�i stanovení únosnosti kompaktního pr��ezu namáhaného smykem.

3 Vysv�tlete postup p�i stanovení únosnosti kompaktního pr��ezu namáhané-ho prostým ohybem.

4 Napište a vysv�tlete podmínku spolehlivosti kompaktního pr��ezu namáha-ného kombinací ohybových moment�, posouvajících sil a osové síly.

5 Jakým zp�sobem se posoudí štíhlý pr��ez namáhaný kombinací tlaku a ohybu?

6 Vysv�tlete pojem p�í�ná a torzní stabilita p�i ohybu (klopení).

7 V kterých p�ípadech nemusí být ohýbaný prut posuzován na klopení?

8 Vysv�tlete Vlasovovo pojetí problému stability ideálního tenkost�nného prutu otev�eného pr��ezu, který je p�í�n� zatížen.

9 Napište tvar diferenciálních rovnic stability pro pr��ezy (zatížené v rovin� symetrie) alespo� jednoose soum�rné, zatížené v rovin� symetrie a pro pr�-�ezy alespo� jednoose soum�rné, zatížené kolmo na rovinu symetrie.

10 Jakým zp�sobem se posuzují pr��ezy (zatížené v rovin� symetrie) alespo� jednoose soum�rné, zatížené v rovin� symetrie a pr��ezy alespo� jednoose soum�rné, zatížené kolmo na rovinu symetrie, podle SN 73 1401 – 1998 p�ílohy G?

11 Jak se postupuje p�i výpo�tu ztráty stability prutu s netuhým pr��ezem?

12 Jak se ur�í vzp�rná únosnost celistvých prut� namáhaných ohybem podle SN 73 0014 – 1998?

13 Jak se ur�í vzp�rná únosnost celistvých prut� namáhaných kombinací ohy-bu a osového tahu nebo tlaku podle SN 73 0014 – 1998?

6.3 Shrnutí

Modul, který jste prostudovali, obsahuje základní informace o stanovení únos-nosti kompaktních pr��ez� p�i namáhání

Záv�r

37

smykem,

ohybem,

kombinací ohybu, smyku a osové síly.

Dále je v tomto modulu rozebrán vliv smyku na návrhové únosnosti kompakt-ního pr��ezu. Stru�n� je také uveden postup p�i stanovení únosnosti štíhlých pr��ez�.

Bylo ukázáno, jak se posuzuje ohýbaný prut na p�í�nou a torzní stabilitu p�i ohybu (klopení) podle dokumentu �SN 73 1401 - 1998. Stru�n� jsou uvedeny teoretická východiska �ešení problému klopení (Vlasovovo pojetí) a postup p�i ur�ení kritické štíhlosti prut� p�i klopení ve smyslu p�ílohy G dokumentu �SN 73 1401 - 1998, který z této teorie vyplývá.

Cílem p�edloženého textu bylo shrnout znalosti z výše uvedené problematiky podle �SN 73 1401 Navrhování ocelových konstrukcí a ukázat n�která teoretická východiska, ze kterých jsou normativní vztahy odvozeny.

Aplikace t�chto znalostí je provedena v záv�re�né �ásti tohoto modulu na konkrétním p�íkladu posouzení ohýbaného nosníku s vlivem klopení.


38

7 Studijní prameny

7.1 Seznam použité literatury

[1] VOÍŠEK, V., CHLADNÝ, E., MELCHER, J. Prvky kovových konstrukcí, Bratislava: Alfa, vydavatelství technické a ekonomické literatury, SNTL, 1984.

[2] FERJEN�ÍK, P., SCHUN, J., MELCHER, J., VOÍŠEK, V., CHLADNÝ, E. Na-vrhovanie oceových konštrukcií, 1. �as�. Bratislava: Alfa / SNTL, 1986.

[3] FERJEN�ÍK, P., LEDERER, F., SCHUN, J., MELCHER, J., VOÍŠEK, V., CHLADNÝ, E. Navrhovanie oceových konštrukcií, 2. �as�. Bratislava: Alfa / SNTL, 1986.

[4] BAJER, M., PILGR, M., VESELKA, M. Konstrukce a dopravní stavby, mo-dul BO01 – MO, Studijní opora pro studijní programy s kombinovanou formou studia, Fakulta stavební VUT v Brn�, 2004.

[5] VLASOV, V. Z. Tenkost�nné pružné pruty, Praha, 1962.

[6] MRÁZIK, A., GRUSKA, J. Výpo�et tenkostenných prútov, Bratislava, 1965.

7.2 Seznam dopl�kové studijní literatury

[7] SN 73 1401 Navrhování ocelových konstrukcí. �eský normaliza�ní institut, ú�innost od1998.

[8] SN P ENV 1993-1-1 Navrhování ocelových konstrukcí. ást 1-1: Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby. Praha: �SNI, 1994.

[9] SN 73 0035 Zatížení stavebních konstrukcí, schválená 19. 12. 1986, v�etn� Zm�ny a) – 8/1991 a Zm�ny 2) – 2/1994

Date post:	11-Dec-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

PRVKY KOVOVÝCH KONSTRUKCÍlences.cz/domains/lences.cz/skola/subory/Skripta/BO02... · 2014. 3....

Documents