DISSERTATIO

DE

MOTU CORPORUM, OBLIQUE DESCENDENTIUM,ICTIBtTS ANGULARIBUS DIMINUTO,

QUAM

APPROB. AMPL. OPvD. PHIL. UPS.

Ρ R JE S I D Ε

Mag, ZACH, ,EQUITE REG. ORD. DE STELLA POLARI ,

rHYSlC. PROFESSORE REG. ET ORD,,SEG. SOGIET. SCIENT. UPS., REG. AC AD. HOLM.,

NEC NOS REG. AC AD. SCIENT, MiLIT, HOLM. MEMBRO,

PRO GRADU PHILOSOPHICO

PUBLICO EXAMTNI PROPONIT

CHRISTIAN. STENHÄMMAR,OSTROGOTHUS,

IN AUDIT. GUSTAVIANO DIE XII APRIL. MDCCCIX

Η. Α. M. S.

UPSALf JE

TYPIS £ D Μ Α Ν I A Ν' I S

DE

MOTU CORPORUM, OBLIQUE DESCENDENTIUM*

ICTIBUS ANGULARIBUS DIM1NÜTO.

Ii

Corpus per plura plana contigua, at varie inclinata,deCcendens, in quovis de piano in planum transiru ali-quain pati velocifcatis ja^fcuram, ex Principio refohitionir eteompofitioüis virium evidencisfime lequitur. Ja&uram hancesfe infinite parvam oftenderunt Mathematici, quandoinfinite parum differunt inciinationes planorum, quamvishorura numerus etiam in infinitum augeatur; id quodprsecipue de defceniu per arcuin Curvse valet, qui exchordis infinite parvis et numero infinitis conflari ifitel-ligitur. Sed in cafti finita? feu asiignabilis inclinationumdifferentiae, nemo aahnc, quantum nos quidem novimus,legem illam aperuit, qua tam velocirräturn decrementa,quam incrementa temporum in defcenfu corporis, iftibusangularibus ohnoxii, determinantur. Operae igitur inpraefenti opella pretium fuerit hujusce legis indagatio.

§. II.Emn in finem pauca ex Mechamcis repetenda fant.

Videamus primum, quid unicus efficiat iftus, cum cor¬pus elafticitatis expers, atque velocitate v latum, depiano AB (Fig. 1) in planum BC transit, angulo com-prehenfo ABC, vel ii mavis, ejus fupplemento ABFexfiftente == b. Sumta hic AB~vy et centro B radio-que AB defcripto femicirculo, atque figurå conftruilåjpatet, velocitatem AB in duas AD et AK refolvi posfe,

A qua-

quarum AD feu EB refiilentiå plani BC in idlu deftrui-tur, manente altera AE feu DB, qua in piano BC per-gere nititur. Eil autetn i : Cof. b : : AB : BD : : υ : BDz=zv. Cof. b; ergo ι/. CoC.b eil velocitas poftiélum refidua,illiusque jadlura FD zzzv — v. Cof. bzzzv (i — Cof. b).

Ex do&rinå de lapfu gravium libero fequentiatenenda funt. Sint bis trinae quantitates, mutuo relatae*

quarum i defignefc unitatem temporis, ex. gr. minutumfecundum; g fpatium hoc tempufculo, Vi Gravitatisuniformiter agentis, ex quiete cadendo percurfum;ideoque 2g celeritatem adquifitam, feu Vim GravitatisAcceleratricem; t tempus quodcunque datum; / fpatiumhoc tempore, ex quiete cadendo, confeélum; atque vvelocitatem hoc lapfu adquifitam: habetur, per Theore-mafca notisfima,

g ; s :: (2g)2 : ua, unde v* = 4gst et 1? = l/4gs = 2 ygr,

Similiter erit i2 : t* : : g ?s, unde jpägt*9 adeoque

Ex doélrinå denique lapius obliqui confiare fupponhmus; corpora duo, quae in pun&is Ζ et C (Fig. 2}ejusdem altitudinis aequales habeant velocitates, etiam

in

§. III.

ι 5 g> *g>t> s, v;

atque j- =

§. IV.

3

in pun&is Μ efe Ό, in eådem Horizontali inferiori po-fitis, velocitates habere sequales; quamvis alterum re-étä LM, alterum in piano inclinato CD, defcenderit*tempus autem lapiü? liberi per LM continuati, esfe adtempus defeenfü* obliqui per CD, ut LM ad CD', adeout tempus per CD habeatur, ducendo tempus per LM

CDin fraétionem —

LM

§. V.Sit jam (Fig. 2) feries planorum inclinatorum AB,

BC, CD, DE, intra reftas Horizontales AH, BK, CL,DM, EN contentorom; adeo ut in re<5tå verticali pla¬norum alfcitudines refpe&ivae fint HK, KL, LM, MN;et ponatur corpus ex quiete in A per viatn polygonamABCDE defcendere: eritque velocitas adquifita in B,iétu nondum peraéto, aequalis velocitati in K lapfu libe-ro per HK adquirendae. Sed allifione in B ad planum2?C-fa&å, erit refidua in i? velocitas minor, atque aequalisvelocitati cadendo per lineam aliquam ex. gr. PK, mino¬rem ipfå HK, adquificse. Corpus itaque moveri pergenshabebit in C, citra iétum, velocitatem altitudini PL ('rr PK4- KL) debitam; led velocitas in C diminuta per iftumminor erit, et debita altitudini alicui, minori ipfå PL.Ponatur QR ejus esfe magnitudinis, ut, fi ipfi PK con-tigua esfet, corpus cadendo per Pif+QZ, velocitatemin L haberet, aequalem velocitati in C refiduae. Hocfumto, corpus attinget punétum D velocitate, quae alti¬tudini PKQL -f- LM, ut reéhe continuas, debetur.Impulfione vero in D fa<5tå, celeritas refidua ea erit,quse per minorem aliquam altitudinem , puta PK-+-QL4- RM, cadendo adquireretur. In Ε fine iftu haberetcorpus velocitatem altitudini PK + QL + RM-f- MN de-

A 2 bitam:

4

bitam: fed fi continuatur planorum feries, appulfu in Εad planum fequens fafto minuetur eadem, refpondebitquealHtudini cuidam minori ex. gr. PK QL ·+■ RΜ + SN.Et iic porro, quousque plana continuautur.

§· VT.His ad Figurae intelligentem prasftruélis, fint pla¬

norum longitudines AB k, BCznl, CD — ni, DEz=.n,iisque refpondentes altitudines HK^zs, KL-=.t,LM = u,ΜΝ zz w, atque altitudines iétu diminutse PK rz r, QLζRMzzy, SNzzzz; angulorum denique B, C, D, Εfupplementa ad duos reélos refpeétive fint b, c, d, e.Piaeterea, brevifcatis ergo, per Cel B defignamus celeri-tatem in B fine i<ffcu $ per Cel. ref. B celeritatem in Bpoft iétum refiduam ; per Cel K alt. HK celeritatem inK, per altitudinem HK cadendo, adquifitam ; per Cel Kalt. PK celeritatem in K altitudini PK debitam; et fic inceteris. His praemonitis calculus ita inftituitur.

Cel. 5 = Cel. K alt. HKz=z\/(4gs) per (§. 3); Cel.ref. B = Coi; b V(4gs) zz V(4g ·s Co C b2) per (§. 1). Huic

v2 4gsCoC.bzdebita altitudo, per formulam j· zz— (§.3), fit—

4g 4g= / Cof. b x = PK=z r.

Cel Czz Cel. L alt. PL zz Cel. L alt. (PK-4-KL)zz CeL L alt. (r -4- i) zz Cel. L alt. (s Cof. b2 4- t) sry(.4g(sCofi£2-H))· Ergo,Cel. ref.Cz: Cof. c ^(4g{sColb2-+ty)= VC4g \.s Cof. b2. Cof. c2 -\-t Cof c2f); et huic debita alti-

4g (s Cof b 2. Cof c2 -{-1 Cof c2)tuåo(PK-\~QL)ve\ (r-j-λ:J zz

4gzz / Cof. b2, Cof c2 -f» t Cof, c*.

Cel

χ

5

Cel. D — Cel. Μ alt. (PK -+- QΜ) = Cel. Μ alt.(PK -fr- QL -4- LM) zz Cel. Μ alt. (r -fr- χ -fr· u)zz Cel Μ alt. (r Cof b2. Cof. r2 -fr- ί Cof. c2 -fr- «,) zz:

/(4g (-r Cof. b2. Cof. r2 -fr-1 Coli c2 -}- «)). Ergo Cel. ref. Z)zz Cof. d (/ Cof. b2. Cof. r° -4- / Cof. £2 -fr- «)) zz^(^(/Cof £2.Cofr2. Cof d2 -fr? Cof. r2. Cof.ai2-fr·« Cof ^2)};et huic debita altitudo jPJT -fr QZ -4- KM feu r -fr- a; -fr» yzz s Cof b2. Cof £2. Cof. d2 -fr- t Cof. cz, Cof d2 -fr- u Cof. d%.

Satis järn patet lex progresfionis , quam fequunturtermini, qui fequenti fe ordine exeipiunt.

Cel. ref B zz ]/\4g. s Cof b2).Cel. ref Czz \/ (4g (/Cof b2. Cof c2 -fr/ Cof ?2)).Cel. ref. D zz V(^4g (/Cof. b2. Cof c2. Cof dz -f-

/ Cof c'2. Cof d2 4- « Cof d2)>Cel. ref Zzz j/(4g (' Cof. £2. Cof. r2. Cof d2. Cof. β3·+· / Cof c2. Cof. d2. Cof. i2 "fr"·u Cof. d2. Cof. e2 4- w Cof. ?2)).

Et Cet. zz Et Cet.

Si omnia plana in direftum jaceant, vel faltem an-guli b, cy d, e ita parvi fuerint, ut eorum Cofinus infi-nité parum a radio i differant, fit Cel. ref. Ε zz P(4g (/4- t-+· u-+· wY); quse eft celeritas altitudinifeu HN debita; quemadtnodum fieri par eft.

§. VII.Quaeramus jam tempora, defignetque littera T

non fa<ftorem fed tempus , adeo ut ex. gr. per T(PK-4- QL-{-LM) intelligatur tempus elapfum, interea dumcorpus cadit per altitudinem z= PK -fr QZ 4- LMy quae

ut

ut lioese continuse in fummam junétee cogifcandae funt.Hor prseuionito, ex §. antec. evidens eft, qui fequitur,calcuius.

T.HK=i T.smy- (§. 3); adeoque T. AB = T.kg

k χ

= -v- (§· 4).* g

T.PL=zTCPK+KL)=iT(r+ t)=: T(s Col b7 ^ t)χ Cof. b* + t

= y i atque T, PK = T.r = T. s Cof. b2£

,

xCof£a^ . Ergo T CPK Hh KL) — T. PK = Tempori

£/Cof£2-+-i£ x'Cof. £

lapfüs per KL continuati = 1/ — V r—;/ J· Cof. Ö2-+-/ jCof.Ä2

unde T.BC feu r./ = -(V V >* g g

T(PK+ QL+LM)-T(r-\-x+-u)—TO Co Γ. b*. Co f. χ 2^ s Cof. b7. Cof. C2 -f~ t Cof. ci u+ t Cof. c2 -f- u) = V 5

gatque T(PK -h QLJ= T (r+ xj =T(s Cof. Cof. c2

s Cof. b2. Cof. x2 4- i Cof. χ 2*+- ί Cof. c7) = y —* . E»-go

gT.LM—T (PK 4- QL + LM) — T (PK 4- QL) =

χ Cof. ba. Cof.x2-+ ί Cof.x2 + u s Cof.£2.Cof. x2 -f t Cof. χ4V' — 1/ >

g get

9fl /Cof.£2.Cof. Cof. £2-f-Het T. CD feu T. m = -(V

« g/ Cof. b2. Cof, c2 -+-/ Cof. c*

-v >

Lex termiriorum etiam hic manifefta eft, quippe quifequenci fe ordine excipiunt; adeo ut totum Teinpus de-fcenfüs per ABCDE fiat =

k /

T, AB = -V-* gI /Cof. b* + t /Cof.£a

+ T.BC=-(V V )t g gm / Cof. b2. Cof. c2 4- t Cof. c2 + «

4- T.CD = - (V — —« g

/Cof b2. Cof. c-2 4- t Cof. c*—v— )

g4- T. DE

jn ^ / /CofÅä.Cof.^.Cof.öia+iCof.fa.Cof^-f-MCof^-fw5=2 Cv£

, /Cof./)a. Cof.<4.Cof.i/3-f-/Cof.i». Cof. </24-«Cof.i4

4* Etc. = Etc.

Quod fi autem anguli />, c, d, e ita parvi fuerint,ut quivis Cofinus quam proxime-fit aequalis unitati; veli<5tuum eflfe&us quåcnmque aliå de caufå negligatur;fit totum Teinpus e=

T.AB

8 1

k r

T. AB = - V-* g

t s

+ T.BC=- (V——-V-)' ggm f-4-tA-u s-\-t

-4- T. CD =-(Y —V )« g g» +w /+ /"+■«

+ T.DEZZ- (V VW g g

atque ita in infinitura, quousque plana continuantur.

T h c f c s,

I.Geometrice loquendo eft Centrum Gravitatis in nul!o corporeeonftans.

II.Alicttbi däri frigus abfolutum, probari nequit.

III.Sine inertiå corporam locum non haberent Ieges motus,

IV.Corpus per fe eft indifferens ad motum et quietem.

V.Sine materia caloris nulla daretur fluiditas.

VI.Saepe per argumenta Phyiica determinatur corporis magnitudenGeometriå deficiente.

Bs. I./

E.l.