Radiologick fyzikarovnice a funkceneznm a promnneen a grafypodzim 2012

Rovnice, neznm, eenanebneznm se schovvaj v rovnicch, ale my je odhalme

Zl sen vrchn sestryanebk emu jsou zdravotnickmu personlu rovniceV jedn nejmenovan nemocnici byli zvykl na dodvku ampul s lkem, kter se pidval do infuz. Ampule mly vdy objem V a koncentrace inn ltky v n byla p% objemovch. Personl ml pkaz vrchn sestry dvat do infuze o vslednm objemu W vdy jednu ampuli lku.

Jednou dodala lk jin firma a ampule mly objem dvojnsobn, tj. 2V, koncentrace inn ltky byla tak dvojnsobn. Vrchn sestra pikzala dvat do infuz polovinu obsahu ampule.

Co myslte, je to sprvn pkaz??

een lohyOznaen: objemy v cm3 (ml)W objem infuzeV objem ampule prvn firmyp koncentrace inn ltky v objemovch procentechW vsledn objem v obou ppadech

Objem inn ltky

Pedepsan koncentrace inn ltky v infuzi

Koncentrace inn ltkypodle novho pkazu

Zvr: Snad nebyla dvojnsobn dvka smrteln.

een lohy nzorn

W-V

W-V

W

WVV V V

Obecnj lohaPedpokldejme, e druh firma dodala ampule o objemu = 20 ml s koncentrac inn ltky = 50 % (objemovch). Do jakho objemu zkladu infuze maj sestry vmchat jednu ampuli, aby doshly pedepsan koncentrace q = 5 % ?

x objem infuze (neznm msto objemu W z pedchoz lohy)

Objem inn ltky v ampuli

Rovnice pro xlinern rovnice o neznm x

een

ml

Jet doplnnJak st objemu ampule bude v infuzi, jej vsledn objem je pedepsn jako W ? Jak vsledek oekvte pro W = 200 ml?

y st objemu ampule v infuzi o pedepsanm objemu W

Objem inn ltky v infuzi

Rovnice pro ylinern rovnice o neznm y

een

Sloitj loha Do infuze o celkovm objemu W = 200 ml se pidvaj dv inn ltky. Prvn z nich je v ampulch o objemu V1 = 20 ml v koncentraci p1 = 30 % (objemovch), druh v ampulch o objemu V2 = 40 ml v koncentraci p2 = 50 %. Vsledn koncentrace obou innch ltek v infuzi m bt q = 15 % a pomr jejich koncentrac q1 / q2 = p = 0,5 (jedna ku dvma).

Kolik ml roztoku 1 a kolik ml roztoku 2 je teba dt do infuze ?

(2) Kolik infuz pipravme, mme-li k dispozici a = 20 ampul roztoku 1 a b = 15 ampul roztoku 2 ?

st (1) spoteme nyn, st (2) snadno dokonte sami.

een sloitj lohy sestaven rovnicx hledan objem roztoku 1 (prvn neznm)y hledan objem roztoku 2 (druh neznm)

U1 objem inn ltky 1 v objemu x U2 objem inn ltky 2 v objemu y

koncentraceq1 ltky 1 v infuziq2 ltky 2 v infuzi

soustava linernch rovnic o dvou neznmch x, y

een sloitj lohy een rovnicvchoz rovnice

odeten druh rovnice od prvn

dosazen y do kterkoli z vchozch rovnic x vyjde stejn

zskan dvojice x=33 ml, y = 40 ml je eenm soustavy

I ve zdravotnictv nkdy teba eit rovnice, hlavn linern.

een soustavy vce linernch rovnicsnadno a rychlesoustava m linernch rovnic matice soustavyo n neznmch rozen matice soustavy

aij, bi, 1 i m, 1 j n koeficienty (znm sla)(x1, x2, , xn) neznm vechny n-tice, kter vyhovuj rovnicm, tvo een soustavy rovnic

Ekvivalentn pravy ekvivalentn pravy soustavy rovnicjsou ty, kter nemn jej een

nsoben libovoln rovnice nenulovm slem(2) piten k-nsobku libovoln rovnice k jin libovoln rovnici

ekvivalentn pravy matice soustavy co provdme s rovnicemi, provdme s pslunmi dky matice

nsoben vech prvk v libovolnm dku nenulovm slem piten k-nsobku prvk v libovolnm dku k jinmu libovolnmu dku

poznmka: monosti pro m a n m = n m < n m > n

Ppad m = n = 3 pklad 1 (I) pravy prvn rovnici vynsobenou 2 piteme k druh prvn rovnici vynsobenou (1) piteme k tet (tj. odeteme ji)

Ppad m = n = 3 pklad 1 (II)dal pravy(3) druhou rovnici nsobme 1/5 (tj. dlme ji 5)(4) druhou rovnici (po pedchoz prav) piteme k tet rovnici

ekvivalentn soustava rovnic (kter m stejn een jako pvodn)een najdeme dosazovnm odzadujedin een x = 1, y = 2, z = 1 Provete zkouku, prosm ! A jet se podvejte na matici je ve schodovitm tvaru.

Matice z koeficient levch stran m stejn schod jako celmatice (bran i se sloupcem pravch stran).

Ppad m = n = 3 pklad 2 (I) pravy prvn rovnici vynsobenou 2 piteme k druh prvn rovnici vynsobenou 3 piteme k tet

Ppad m = n = 3 pklad 2 (II)dal pravy(3) druhou rovnici nsobme 1/5 (tj. dlme ji 5)(4) tet rovnici nsobme 1/10 (tj. dlme ji 10)(5) druhou rovnici vynsobenou (1) piteme k tet (tj. odeteme ji)

ekvivalentn soustava rovnic (kter m stejn een jako pvodn)een najdeme dosazovnm odzadu jedna voln neznm nekonen mnoho een x = z, y = 1 z, z je libovolnProvete zkouku! Matice jsou opt ve schodovitm tvaru.

Matice maj shodn poet schod, ale o jeden men ne poet neznmch.

Ppad m = n = 3 pklad 3 (I) pravy prvn rovnici vynsobenou 2 piteme k druh prvn rovnici piteme k tet

Ppad m = n = 3 pklad 1 (II)dal pravy(3) druhou rovnici vynsobenou (1) piteme k tet (tj. odeteme ji)(4) Druhou rovnici nsobme 1/5 (tj. dlme ji 5)

ekvivalentn soustava rovnic (kter m stejn een jako pvodn)een najdeme dosazovnm odzadudn een posledn rovnici nelze splnitMatice jsou zase ve schodovitm tvaru. Ale:

Matice koeficient levch stran m mn schod ne cel matice.

Ppad m < n pklad 1pravy prvn rovnici vynsobenou 2 piteme k druh upravenou druhou rovnici vynsobme 1/5 (tj. vydlme 5)

jedna voln neznmnekonen mnoho een x = z, y = 1 z, z je libovolnMatice jsou opt ve schodovitm tvaru. Matice maj shodn poet schod, ale o jeden men ne poet neznmch.

Ppad m < n pklad 2pravy prvn rovnici vynsobenou 2 piteme k druh

dn een druhou rovnici nelze splnitMatice jsou opt ve schodovitm tvaru.

Matice koeficient levch stran m mn schod ne cel matice.

Ppad m > n pklad 1 (I) pravy prvn rovnici vynsobenou 2 piteme k druh prvn rovnici vynsobenou (1) piteme k tet (tj. odeteme ji) prvn rovnici piteme ke tvrt

Ppad m > n pklad 1 (II) dal pravy(3) druhou rovnici vynsobme 1/5 (tj. vydlme 5)(4) upravenou druhou rovnici piteme k tet rovnici(5) upravenou druhou rovnici vynsobenou (4) piteme k tet(6) upravenou tet rovnici odeteme od tvrt

Dokonete a charakterizujte een. Popite schodovit tvarobou matic.

Ppad m > n pklad 2 (I) pravy prvn rovnici vynsobenou 2 piteme k druh prvn rovnici piteme k tet prvn rovnici vynsobenou (3) piteme ke tvrt

Ppad m > n pklad 2 (II) pravy rovnic, kter vedly ke schodovitmu tvaru matic popite.

nekonen mnoho een x = z, y = 1 z, z libovoln (voln neznm)

Poet schod obou matic je stejn a roven 2, o jeden men ne poet neznmch.

Ppad m > n pklad 3 (I) Popite pravy a zskejte ekvivalentn soustavu ve tvaru

nekonen mnoho een x = 2 2y 3z, y a z libovolndv voln neznm poet schod matic je shodn a o dv men ne poet neznmch

Obecn zvryGaussova eliminan (likvidan) metodaprv pedveden zpsob een soustavy rovnic pevodem matice a rozen matice (o sloupec pravch stran) na schodovit tvar

hodnost maticepoet nenulovch dk jejho schodovitho tvaru

soustava linernch rovnich(A), h(B) hodnosti matice a rozen matice soustavy

eitelnost soustavy m rovnic o n neznmch h(A) = h(B) = h (schodovit tvary matic maj stejn schod)

poet volnch neznmch d = n h

jedin een d = 0, tj. h = n

lohy na rovniceloha 1. Provete rozbor eitelnosti a potu een soustavy m linernch rovnic o n neznmch, jsou-li vechny prav strany nulov. Zdvodnte, pro m vdy een a jak.

loha 2. loha 3.

loha 5. Vymyslete soustavu t rovnic o dvou neznmch, kter m prv jedno een.

loha 4. Vymyslete soustavu t rovnic o tech neznmch, kter nem een.

Funkce, promnn, grafyanebpodnt, odezva a jejich znzornn

Dokonal smysly a jak to souvis s funkcemiKdyby n sluch, zrak, ich, hmat a chu reagovaly mrn intenzit psobcch podnt, ili linern, nebylo by mon obshnout tak velk rozsah jejich intenzity, s nimi se setkvme. Napklad bychom dobe vidli doma pi prci, ale naveer by pro ns byla pln tma. Naopak za slunnho dne bychom oslepli. Kad idlo je toti nejcitlivj pi urit dopadajc intenzit. Pi nepatrnch intenzitch nereaguje, naopak pli velk intenzity jej zahlt nebo i zni.Je umonno vnmn v obrovskm rozsahu, ale je i zachovna vborn rozliovac schopnost relativnch zmn. Nap. zmn-li se intenzita njakho pole z hodnoty 1000 na 10 000, vnmme tuto zmnu stejn dobe jako nap. z hodnoty 0,1 na 1. Je to vborn zazeno.

Ale jak je to zazeno? Smysly um pevdt nsoben na setn vnmaj logaritmicky.

Nae smyslysluch Tm, e ucho vnm logaritmicky, je schopno pojmout obrovsk rozsah intenzit. Obdobn jsou na tom ostatn smysly.

zrak ... Oko je schopn vnmat bodov zdroj, ze kterho dopadajdestky foton za sekundu, vjimen i jen nkolik za sekundu.

ich Zedn ichov rozeznatelnch ltek me dosahovat hodnot jedna ku miliard, i vy. Takov ohromn citlivost nen asto mon ani s pouitm nejlep techniky.

chu Citlivost je podobn jako u ichu, navc ich pomh k lepmu rozlien.

Co jsou to decibely anebui um logaritmovatKavrna byla przdn, jen nkde v rohu tie hrl houslista a kousek opodl provdl asistent hygienika men hlunosti prosted. Namil 30 decibel. Pichzeli lid, usedali ke kv a hovoili. Men ukzalo 50 decibel. Zaala diskotka, hudba slila, a narz bylo 100 decibel. Zaburcel hrom 120 decibel.

Co to znamen? Znamen to, e zvuk diskotky je dvakrt intenzivnj ne hovor v kavrn?

K odpovdi na tuto a podobn otzky potebujeme samozejm definici intenzity, definici hlasitosti a tak vdt nco o matematickch zvislostech funkcch.

intenzita zvuku energie zvukovho vlnn, kter projde plochou 1m2 za dobu 1s

jednotky J m-2s-1 = W m-2

akustick tlak p, I ~ p2

prh slyen I0 = 10-12 W m-2, p0 = 210-5 Pa

prh bolesti IB = 10 W m-2

rozsah intenzit 13 d

Aritmetick a geometrick narstnintenzita zvuku1m2 I = P/4R2

Aritmetick a geometrick narstnhladina intenzity zvuku (hlasitost) (I) Weberv Fechnerv zkonnarst-li intenzita adou geometrickou, narst subjektivnsluchov vjem adou aritmetickou

vzroste-li intenzita desetkrt, vzroste hladina intenzity, vyjadujcsluchov vjem, o 1 B (bel)

vzroste-li intenzita stokrt, vzroste hladina intenzity, vyjadujcsluchov vjem, o 2 B

vzroste-li intenzita 10n - krt, vzroste hladina intenzity, vyjadujcsluchov vjem, o n B

Aritmetick a geometrick narstnhladina intenzity zvuku (hlasitost) (II) stupnice intenzity a hladiny intenzity

10-1210-1010-810-610-410-21000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13intenzita W m-2 hlasitost B10-1110-910-710-510-310-1101jednotka hlasitosti L 1 decibel

Zvislost hlasitosti na intenzit~I/I0L [dB][10]

Zvislost hlasitosti na intenzitcel rozsah

S I T U A C E L [dB]I [W m-2 ]p [Pa]prh slyitelnosti 0 10-120,000 02epot, elest list 10 10-110,000 065tich zahrada 20 10-100,000 2housle pianissimo 30 10-90,000 65kroky, tich hudba 40 10-80,002hluk v kavrn 50 10-70,006 5hluk v obchod 60 10-60,02hluk automobilu 70 10-50,064 5kancel s psacmi stroji 80 10-40,204run ulice, klakson auta 90 10-30,645orchestr fortissimo, sirna 100 10-22,04sbjeka 110 10-16,45tryskov motor, hrom 120 120,4prh bolesti 1301064,5

Citlivost ucha k frekvencmW m-2

Jak se tlum zenanebpotebuje funkce tak radiologick asistent?Tento pbh se stal pi jedn exkurzi skupiny student lkask fyziky na velmi dobe vybaven rentgenov pracovit. Vedouc radiologick asistent se studentm velice ochotn vnoval, ukazoval jim funkci pstroj a zabval se tak problematikou ochrany ped zenm.

Ujioval studenty, e se personlu neme nic stt, nebo obsluhuje pstroj zpoza dve se zabudovanou olovnou deskou, piem rentgenov zen se v desce tlum mrn tverci jej tlouky. Studenti fyziky se ponkud rozpait usmvali.

Vte pro? Bli se ozen nebo byl dvod jin?

Jak by mlo vypadat tlumen intenzity se tvercem tlouky ?x0I0I(x)I(x)=10 I0I(x)= I0xxPb, = 11 800 kg m-3 m = 23,6 t

A co teprve zstra ?1 mdvee 2x1x1 m

A jak to je doopravdy ?

0 1 2 n stejn tlust vrstvy, tlouka d I0Inx [mm]I/I0linern koeficient absorpce = 1,18 mm-1 pro = 6.10-3 nm (E = 0,2 MeV)Ke snen intenzity na polovinu sta ani ne milimetr siln deska.Hmotnost olovn vpln dve 1 mm x 1 m x 2 m je asi m= 23,6 kg.

Srovnn absorpce materil sla http://www.eamos.cz/amos/kbf/externi/kbf_0252/ra-rozpad_absorpce.ppt

E [MeV] [cm-1]d1/2 [mm]Pb (Z=82)Fe (Z=26)Al (Z=13)Pb (Z=82)Fe (Z=26)Al (Z=13) 0,1524,41,580,3620,284,3919,15 0,17515,41,270,3360,455,4420,63 0,211,81,130,3230,596,1321,46 0,256,580,940,2961,057,3723,42 0,34,760,850,2781,468,1524,93 0,51,720,660,2284,0310,5030,40 1,00,790,470,1668,7714,7541,76 2,00,510,430,11713,5921,0059,24 5,00,490,250,07514,1527,7392,42 10,00,600,230,06211,5530,14111,8

Srovnn absorpce materil grafy PbFeAlVznam hodnoty d1/2 (polovrstva):Pro x = d1/2 klesne hodnota intenzity zen na polovinu pvodn hodnoty.E = 0,2 MeV

Co jsou to funkce ?Reln funkce jedn reln promnnpodnt zvukov vlnaodezva do mozku (vjem)nezvisle promnn( x intenzita zvuku)zvisle promnn( y hlasitost, y = f (x))funkn pedpisf

Obory funkceDefinin obor funkce Df soubor ppustnch hodnot nezvisle promnn xPklad: x=I (intenzita slyitelnho zvuku), Df = [10-12, 10] [W m-2]Obor hodnot funkce Hf soubor hodnot, kterch nabv zvisle promnn y, kdy x probhne cel definin obor. Kadmu x se piad prv jedno y. Pklad: y = L (hlasitost), Hf = [0, 130] [dB]Graf funkce Gfsoubor dvojic [x,y], kde y= f(x), vtinou znzornn v rovin x-y

kol: Zamyslete se nad tm, jak asi je Df a Hf pro funkci popisujc zvislost intenzity zen na tlouce materilu, jm zen prolo. Vezmte v vahu, e nkter veliiny mohou nabvat (z matematickho hlediska) i libovoln velkch (malch) hodnot, i kdy se tyto hodnoty nedaj prakticky realizovat.!!

Zpsoby zadn funkceFunkce je pravidlo, kter kad hodnot x z Df piad prv jedno y = f (x). Je zadna vdy spolu s defininm oborem. Definin obor bu zadme pmo, nebo jej urme z funknho pedpisu tak, aby vechny operace v pedpisu mly smysl.Obor hodnot je pak ji jednoznan uren zadnm funkce.

DfHfGfPro x mimo Df nem odmocnina smysl.

zadn pedpisemzadn tabulkouzadn grafemjen nkter hodnoty

xy=f(x) 1,00 0,00 0,50 0,87 0,00 1,00 0,50 0,87 1,00 0,00

Vsuvka funkce nkolika promnnch I Reln skalrn funkce vce relnch promnnchnezvisle promnn x,y,z (teba souadnice)zvisle promnn w(teba hustota, w = f (x,y,z))funkn pedpisf (x,y,z)w = f (x,y,z))Reln vektorov funkce nkolika relnch promnnch

Napklad indukce magnetickho pole Zem v zvislosti na poloze

Vsuvka funkce nkolika promnnch II Pklad funkce dvou promnnchhustota tkn v pomyslnm ezu tlem (zviditelnn zobrazenm CT)

xyxybarva odpovd jistmurozmez funknch hodnot w, tj. hodnot hustoty tkn(x,y) souadnicev rovin ezu tlem

Vsuvka funkce nkolika promnnch III skuten rentgenov potaov tomogramtomogram bindutiny

msto barvy jsouhodnoty hustotyodstupovnyodstny edi

Divn funkce - pklady(1) 1 pro x racionln Df = [0,1] f : x y = f (x) = Hf = {0, 1} 0 pro x iracionln(2)Df = [1,2,3,] f : xi yi = f (xi) posloupnostHf = {y1, y2 , y3, }(3)Df = R \ {1, 2} f : xi yi = f (xi) = Hf = R \ {5, 7}

Nkter funkce nemaj hladk nebo spojit grafy, nebo je ani graficky znzornit nelze. Ale tmi se zatm zabvat nebudeme.

Zkladn vlastnosti funkc I Monotonie na intervalu A funkce na intervalu [a,b]rostoucpro vechny hodnoty x1 < x2 z [a,b]plat f (x1) < f (x2) klesajcpro vechny hodnoty x1 < x2 z [a,b]plat f (x1) > f (x2) neklesajcpro vechny hodnoty x1 < x2 z [a,b]plat f (x1) f (x2) nerostoucpro vechny hodnoty x1 < x2 z [a,b]plat f (x1) f (x2)

klesajc rostouc[ a, b ] = [ 1, 2]

Zkladn vlastnosti funkc II Monotonie na intervalu B kol: Urete nejvt mon definin obory a obory hodnot znzornnch funkca intervaly, na kterch jsou tyto funkce rostouc, resp. klesajc.

Zkladn vlastnosti funkc III Symetrie funkce na intervalu [ a, a ],(resp. oboru, kter spolu s kadouhodnotou x obsahuje tak x)sudpro vechny hodnoty x z [ a,a]plat f (x) = f (x) lichpro vechny hodnoty x z [ a,a]plat f (x) = f (x)

na obrzku cos x (sud na [ , ]) sin x (lich na [ , ])

[ a, a ] = [ , ]sud lichkol: Na kterch intervalech z obrzku (a urete to i obecn) jsou funkce cos x a sin x rostouc, resp. klesajc? Jsou tyto funkce rostouc i klesajc na celm [ ,]?

Zkladn vlastnosti funkc IV Periodicita funkce na oboru D, kter spolu s kadou hodnotou x obsahuje tak x + p, p > 0 perioda

periodickpro vechny hodnoty x Dplat f (x) = f (x + p)

na obrzku tan x, cotan x (periodick na R s periodou p = )kol: Na kterch intervalech jsou tan x a cotan x rostouc, resp. klesajc? Na kterch intervalech jsou sud, resp. lich? Jsou sin x a cos x periodick? S jakou periodou? tan x cotan x-0xy

Zkladn vlastnosti funkc V Konvexnost - konkvnost funkce na intervalu [a, b]

konvexnpro vechny hodnoty x1, x2 z [a, b] le graf funkce mezi body [x1, f(x1)]a [x2, f(x2)] pod jejich pmou spojnickonkvnpro vechny hodnoty x1, x2 z [a, b] le graf funkce mezi body [x1, f(x1)]a [x2, f(x2)] nad jejich pmou spojnic

na obrzku

[ a, b ] = [ 2, 2]kol: U vech pedchozch graf rozhodnte, na kterch intervalech jsou znzornn funkce konvexn, resp. konkvn.ykonvexn

konkvn

Zkladn vlastnosti funkc VI Komplexnj loha kol: Urete nejvt mon definin obor a obor hodnot znzornn funkce,a intervaly v [ a, b ] , na kterch je rostouc, resp. klesajc, sud, resp. lich, konvexn, resp. konkvn. Je tato funkce periodick ?Funkce je zadna na intervalu [ a, b ] pedpisem

Elementrn funkce - IPolynomy (stupn n s relnmi koeficienty)

n = 1 linern funkce y = ax+bn = 2 kvadratick funkce y = ax2 + bx + c

y = 4x + 1 y = 4x2 + 2x + 3 y = 2x5 + 3x3 2x + 1

Elementrn funkce - IIRacionln lomen funkce

n = 0, m = 1 nepm mra y = a (x c)1

(1)(2)

Elementrn funkce III Goniometrick funkce sin x, cos x, tan x, cotan x Pipomete si dosud uveden vlastnosti tchto funkc.Goniometrick funkce obecnho linernho argumentu A = ax+b

Elementrn funkce - IVExponenciln a logaritmick funkceUmocnn pevnho zkladu na hodnotu x a inverzn operace

y = 1x = 1

Radiologick fyzikazklady diferencilnho potuderivace a teny, integrly a plochydiferenciln rovnicepodzim 2012Pt: