Reálná čísla

Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje,

ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo

vyjádřit zaokrouhlené na určitý počet desetinných míst.

Příklady iracionálních čísel: 𝜋 , √2 , √53

, √7

2 , cos 45°

Racionálními čísly jsou vyjádřeny např. délky úseček, obsahy a obvody obrazců

či objemy a povrchy těles.

Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

čísel reálných.

Reálné číslo je číslo, které je velikostí úsečky, čísla k nim opačná a nula.

Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem a každý

bod číselné osy je obrazem právě jednoho reálného čísla. Množinu reálných

čísel označujeme R.

Intervaly

Interval je množina reálných čísel, jejichž obrazy zobrazené na číselné ose

vyplňují souvislou podmnožinu reálných čísel.

Intervaly je možné zapsat několika způsoby a poté jednoduše graficky znázornit

na číselné ose.

O tom, zda krajní body intervalu ještě do intervalu patří nebo ne, rozhodují v

množinovém zápise tyto symboly:

< "menší než" > "větší než"

krajní body nepatří do intervalu - "prázdné kolečko" a kulatá závorka

≤ "menší nebo rovno" ≥ "větší nebo rovno"

krajní body patří do intervalu - "plné kolečko" a lomená závorka

Druhy intervalů:

a) Omezené intervaly- uzavřený interval- otevřený interval - polouzavřený

Omezené intervaly se dají znázornit na číselné ose úsečkou.

b) Neomezené intervaly

Neomezené intervaly se znázorňují na číselné ose polopřímkou nebo přímkou.

PS 160 – 163

1. Uveďte příklad:

a) zleva neomezeného, zprava uzavřeného intervalu:

b) otevřeného intervalu záporných reálných čísel:

c) dvou intervalů, jejichž průnikem je pouze jedno číslo:

d) dvou disjunktních intervalů

2. Zapište jako interval:

a) množinu všech kladných reálných čísel menších než 11:

b) množinu všech záporných reálných čísel:

c) množinu všech reálných čísel:

d) množinu všech reálných čísel větších než -6 a menších nebo rovných -2:

3. Z následujících množin vyberte všechny prvky, které patří do zadaných

intervalů.

a) {−15; −2; 7, 1̅; 8,3; 12} ∈ (−2; 10⟩

b) {−5; −3; −1; 0,2; 𝜋} ∈ ⟨−3; 3)

c) {−11; −1; 0; 1, 3;̅ 11

5} ∈ (−∞; 2⟩

d) {−4; −1; −3

4; √2; 8} ∈ ⟨−4; √2⟩

4. Rozhodněte, zda jsou následující tvrzení pravdivá.

a) (−1; 3⟩ ⊂ ⟨−1; 3⟩

b) ⟨2; 5) ∩ ⟨5; 7) = ∅

c) (1; 7

6) ⊂ ⟨1;

6

7⟩

d) (−15; −3) ∪ (−3; 10⟩ = (−15; 10⟩

5. Rozhodněte, zda jsou následující tvrzení pravdivá.

a) Každý interval se dá zapsat jako podmnožina množiny reálných čísel

s charakteristickou vlastností.

b) Žádný interval není podmnožinou množiny racionálních čísel.

c) Sjednocením dvou intervalů je vždy jeden z nich.

d) Průnikem dvou intervalů nemůžou být právě dva různé body.

6. Rozhodněte, která z následujících množin je interval, pak tento interval

zapište.

a) {𝑥 ∈ 𝑅; −2 ≤ 𝑥 < 1}

b) {𝑥 ∈ 𝑍; |𝑥 − 1| ≤ 2}

c) {𝑥 ∈ 𝑅; |𝑥| ≤ 0}

d) {𝑥 ∈ 𝑅; |𝑥 + 2| ≤ 5}

e)

7. Na číselné ose znázorněte a zapište jako interval následující množiny.

a) {𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥 > 7}

b) {𝑥 ∈ 𝑅; −1 < 𝑥 <7

5}

c) {𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥 ≤ −13}

d) {𝑥 ∈ 𝑅; −5 < 𝑥 ≤ 0}

8. Přiřaďte k zápisu správný interval. Předpokládejte, že x je reálné číslo.

A) −1 ≤ 𝑥 ≤ 3 1) (0; 3)

B) |𝑥 − 1| < 2 2) (−1; 3)

C) 0 < 𝑥 < 3 3) ⟨0; 3⟩

D) |𝑥 − 1,5| ≤ 1,5 4) ⟨−1; 3⟩

Procvičování:

1) Zadané množiny zapište jak o interval

𝐼1 = {𝑥𝜖𝑅; −2 ≤ 𝑥 < 5} 𝐼1 = 𝐼2 = {𝑥𝜖𝑅; 𝑥 ≤ −3} 𝐼2 =

𝐼3 = {𝑥𝜖𝑅; −8,2 < 𝑥 ≤ 2,4} 𝐼3 = 𝐼4 = {𝑥𝜖𝑅; 1 ≤ 𝑥 ≤ 3} 𝐼4 =

𝐼5 = {𝑥𝜖𝑅; −0,5 < 𝑥 <2

3} 𝐼5 = 𝐼6 = {𝑥𝜖𝑅; 𝑥 >

3

7} 𝐼6 =

2) Intervaly znázorněte na číselné ose

𝐼1 = (−5; −5

2) 𝐼2 = ⟨−3,5;

1

3⟩ 𝐼3 = (𝜋; ∞) 𝐼4 = (−∞; 0⟩

3) Zakreslete a zapište průnik intervalů:

(−∞; −4⟩ ∩ ⟨−5; 0) = (−1; 2) ∩ ⟨−1; 1⟩ = ⟨3; 6⟩ ∩ (4; ∞) =

4) Zakreslete a zapište sjednocení intervalů:

(−∞; −3⟩ ∪ ⟨−5; −2⟩ = ⟨−1; 1⟩ ∪ (1; 2) = ⟨3; 7⟩ ∪ ⟨4; 6⟩ =

Absolutní hodnota

Absolutní hodnota reálného čísla vyjadřuje vzdálenost obrazu čísla na číselné

ose od nuly. Absolutní hodnota je vždy nezáporné číslo.

Pro reálné číslo 𝑎 je absolutní hodnota |𝑎| definována:

Je-li 𝒂 ≥ 𝟎 pak |𝒂| = 𝒂

Je-li 𝒂 < 0 pak |𝒂| = −𝒂

PS 125 – 128

1. Z množiny čísel {−12

4 ; 69,5 ; 101 ; 100𝜋 ; 2, 9̅ ; 0 ; √1600 ; −3 ; −

4

9 ; √2}

vyberte:

a) Všechna celá čísla, jejichž absolutní hodnota je kladná:

b) Všechna reálná čísla, jejichž absolutní hodnota není kladná:

c) Všechna reálná čísla, jejichž absolutní hodnota je větší než 40:

d) Všechna reálná čísla, jejichž absolutní hodnota je menší než 1:

2. Uveďte příklad:

a) Celého čísla, jehož absolutní hodnota je menší nebo rovna 1:

b) Racionálního čísla, jehož absolutní hodnota je větší než 3:

c) Dvou takových záporných čísel, jejichž rozdíl absolutních hodnot je

kladné číslo:

d) Dvou dvojic čísel, jejichž obrazy na číselné ose mají na číselné ose

stejnou vzdálenost:

3. Rozhodněte, zda jsou zápisy správné. Chybné zápisy opravte

a) |12,3 − 15,8| < |12,3| − |15,8|

b) |8 − |1 − 4|| < |1 − |8 − 1||

c) |−2| ∙ |6 − 10| > |−(−5)| + 2

d) |3 + 5,1 + |−2|| < |3 + 5,1| − |2|

4. Rozhodněte, zda jsou následující rovnosti správné.

a) |15 − |3 − 1|| = ||15 − 3| − 11|

b) |√10 − 2| − √10 = |2 + √2| − √2

c) |15 − 19| − 4 ∙ |−2| = |−(−2)| − |9 − 15|

d) |2 ∙ |5 − 13| − 5| = 5 ∙ |−1 − 2| − |−4|

5. Rozhodněte, zda jsou následující tvrzení pravdivá.

a) Absolutní hodnota libovolného reálného čísla je číslo kladné

b) Absolutní hodnota iracionálního čísla je číslo racionální

c) Rozdíl absolutních hodnot dvou čísel může být záporné číslo

d) Neexistuje reálné číslo, které by mělo dvě různé absolutní hodnoty

6. + 7. Na číselné ose znázorněte všechna reálná čísla x, pro která platí:

a) |𝑥| = 4

a) |𝑥| = √3 b) |𝑥| = 0 c) |𝑥| = 𝜋 d) |𝑥| = −1

8. Najděte všechna reálná čísla x, pro která platí, že:

a) |𝑥| ≤ 5

b) |𝑥| ≥ √6

c) |𝑥| < −2

d) |𝑥| > 0

9. Vypočítejte následující úlohy:

a) |2 ∙ |14 − 9| − 5| − 5 ∙ |9 − |12 − 5|| =

b) |−3| ∙ |5 − 7| + |9 − |13 − 11|| − 13 =

c) |√5 − 2| − √5 + |1 + √3| − √3 =

d) ||√5 − √3| − |√5 + √3| − 3 ∙ √3| − √3 =

10. Doplňte znaky < , > , = tak, aby byly vztahy zapsané správně.

a) |2 ∙ |2 − 5| − 4| |2 ∙ 5| − |−9|

b) |19,5−7,5|

|−3| |

|−22|−|−4|

3∙(−2)|

c) |−2 − |−3 − 4|| |4 − |−3 − 2|| + |−9|

d) −|15 + |1 − 16|| 2 ∙ |4 − 13| + 3 ∙ |10 − 15|

11. Najděte všechna reálná čísla x, pro která platí, že:

a) |𝑥 − 3| ≤ 2

b) |𝑥 − 4| < √5

c) |𝑥 − 5| > 0

d) |𝑥 + 3| > −1

12. Najděte všechna celá čísla x, pro která platí, že:

a) |𝑥 − 1| = 2

b) |𝑥 + 4| =3

2

c) |𝑥 − 5| ≤ 1,5

d) |𝑥 + 1| ≤ 0

Procvičování:

13. Vypočítej příklady s absolutní hodnotou:

a) |−√2| − |√2| =

b) |8 − 11| − |3 − 9| =

c) |−3,5 − (0,8)| =

d) 14 − |4,6 − 5,3| =

e) |−2 − |5 − 7|| =

f) |−|2 − 5| + |−1| − 7| =

14. Vypočtěte

a) −|−10| − |−6| + 2 ∙ |−8| =

b) 5 ∙ |2 − 3| − 2 ∙ |1 − 2| + 3 ∙ |3 − 1| − [|2 − 8|: |−2|] =

c) |−8|

|−4|+

−|−10|

−|5|+

12

−|−3|=

Příklady k domácí přípravě

1. Množiny zapište jako interval

𝐼1 = {𝑥 ∈ 𝑅; −4 < 𝑥 ≤ 2} 𝐼1 =

𝐼2 = {𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥 < 3} 𝐼2 =

𝐼3 = {𝑥 ∈ 𝑅; −1 ≤ 𝑥 ≤ 4} 𝐼3 =

𝐼4 = {𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥 ≥ −5} 𝐼4 =

2. Znázorněte na číselné ose intervaly a zapište jejich průnik a sjednocení:

𝑎) 𝐼1 = (−2; 2⟩ 𝐼2 = ⟨0; 4⟩

0

𝑏) 𝐼3 = (−∞; 1⟩ 𝐼4 = (−3; 3⟩

0

𝐼3 ∩ 𝐼4 = 𝐼3 ∪ 𝐼4 =

3. Vypočti: |2 − 4|— |1 − 5|=

|−8 − |3 − 6|| =

2 ∙ |4 − 6| − 3 ∙ |1 − 2| =

|𝜋 − 4|— |1 − 𝜋| − 2 ∙ |3𝜋 − 4| + 3 ∙ |1 − 2𝜋| =