Řešení nerovnic
Soustava lineárních rovnic se dvěma neznámými
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňová.Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).
Lineární rovnice se dvěma neznámými:
Rovnice tvaru ax + by + c = 0, kde a, b, c R jsou konstanty a x, y R jsou dvě neznámé.
0126 yx
xyx4
313
2
1210
253 yx
Příkladem takové rovnice jsou například rovnice:
Ale i rovnice tvaru:
A samozřejmě i rovnice, které k uvedeným tvarům vedou použitím ekvivalentních úprav:
12323 yxyx
126 yx
0253 yx
Soustava lineárních rovnic se dvěma neznámými:Dvojice rovnic tvaru L1(x, y) = P1(x, y) a L2(x, y) = P2(x, y),
které musí platit zároveň. Systém rovnic je třeba chápat jako celek.
0126 yx
xyx4
313
2
1210
253 yx
Příkladem takové soustavy jsou například rovnice:
Ale i rovnice tvaru:
A samozřejmě i rovnice, které k základním tvarům lineárních rovnic vedou použitím ekvivalentních úprav:
12323 yxyx
126 yx
0253 yx
Ekvivalentní úpravy soustavy lineárních rovnic:
1. Nahrazení libovolné rovnice soustavy rovnicí s ní ekvivalentní.
2. Nahrazení libovolné rovnice soustavy součtem této rovnice a libovolné další rovnice soustavy.
3. Dosazení neznámé z jedné rovnice soustavy do jiné její rovnice.
Cílem početních operací při výpočtu soustavy lineárních rovnic je získat řešení, tedy nalézt všechny uspořádané dvojice [x; y], které po dosazení do soustavy splní všechny její rovnice.
Základním principem těchto operací je vyloučení (eliminace) jedné z neznámých, a tím výpočet té druhé. Následně pak pomocí ní výpočet té první.
Početní metody a možné výsledky soustavy lineárních rovnic:
1. Metoda dosazovací.
2. Metoda sčítací.
3. Metoda srovnávací.
Existují i tři možné výsledky řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y R:
Existují tři základní početní metody řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y R:
1. Řešením soustavy je jedna uspořádaná dvojice.
2. Řešením soustavy je nekonečně mnoho uspořádaných dvojic.
3. Soustava rovnic nemá žádné řešení.
Jednotlivé metody i možnosti řešení si
ukážeme na několika konkrétních příkladech.
Metoda dosazovacíZ jedné z rovnic se vyjádří jedna z neznámých pomocí druhé neznámé a toto vyjádření se dosadí do druhé rovnice.
Řešme v R soustavu rovnic: 42
1223
yx
yx
Ze druhé rovnice si vyjádříme neznámou x:
42 yx 42 yxVyjádřenou neznámou x ze druhé rovnice dosadíme dle třetí ekvivalentní úpravy pro řešení soustavy rovnic do rovnice první:
1223 yx 122423 yy
Vypočítáme neznámou y: 122126 yy12128 y
248 y3y
Metoda dosazovacíZ jedné z rovnic se vyjádří jedna z neznámých pomocí druhé neznámé a toto vyjádření se dosadí do druhé rovnice.
Řešme v R soustavu rovnic: 42
1223
yx
yx
Vypočítanou neznámou y dosadíme do libovolné z rovnica vypočítáme druhou neznámou:
Výsledkem je uspořádaná dvojice [x; y]:
3y
42 yx432 x46 x64x
2x
3;2K
Metoda dosazovacíZ jedné z rovnic se vyjádří jedna z neznámých pomocí druhé neznámé a toto vyjádření se dosadí do druhé rovnice.
Řešme v R soustavu rovnic: 42
1223
yx
yx
Správnost našeho výpočtu ověříme zkouškou:
3;2K
32233;21L 66 12
123;21 P
3;23;2 11 PL
3223;22L 62 4 43;22 P
3;23;2 22 PL 3;2K
Metoda sčítacíKaždá z rovnic soustavy se vynásobí vhodným číslem tak, aby se po sečtení příslušných stran takto vynásobených rovnic vyloučila jedna z neznámých.
Řešme v R soustavu rovnic: 12
1223
yx
yx
Vynásobíme druhou rovnici dvěma, abychom po následném sečtení rovnic vyloučili neznámou y. Jinými slovy dle první ekvivalentní úpravy pro řešení soustavy rovnic nahradíme druhou rovnici rovnicí s ní ekvivalentní:
224
1223
yx
yx
Sečteme pod sebou sobě odpovídající
členy.1407 x147 x2x
Metoda sčítacíKaždá z rovnic soustavy se vynásobí vhodným číslem tak, aby se po sečtení příslušných stran takto vynásobených rovnic vyloučila jedna z neznámých.
Řešme v R soustavu rovnic: 12
1223
yx
yx
2xVypočítanou neznámou x dosadíme do libovolné z rovnic a vypočítáme druhou neznámou: 12 yx
122 y14 y41 y3 y3y
Výsledkem je uspořádaná dvojice [x; y]:
3;2K
Metoda sčítacíKaždá z rovnic soustavy se vynásobí vhodným číslem tak, aby se po sečtení příslušných stran takto vynásobených rovnic vyloučila jedna z neznámých.
Řešme v R soustavu rovnic: 12
1223
yx
yx
3;2KSprávnost našeho výpočtu ověříme zkouškou:
32233;21L 66 12
123;21 P
3;23;2 11 PL
3223;22L 34 1
13;22 P
3;23;2 22 PL 3;2K
Metoda srovnávacíZ obou rovnic se vyjádří tatáž neznámá pomocí druhé neznámé a porovnáním obou vyjádření se vyloučí první neznámá.
Řešme v R soustavu rovnic: 1332
0643
yx
yx
Z obou rovnic vyjádříme jednu z neznámých. Většinou tu, která jde vyjádřit snadněji. V našem příkladu to vyjde na stejno, tak vyjádříme třeba neznámou x:
0643 yx 1332 yx643 yx yx 3132
3
64
yx
2
313 yx
Ze vzniklých výrazů sestavíme novou rovnici. Oba se totiž rovnají stejnému číslu – neznámé. V našem případě neznámé x.
2
313
3
64 yy
Metoda srovnávacíZ obou rovnic se vyjádří tatáž neznámá pomocí druhé neznámé a porovnáním obou vyjádření se vyloučí první neznámá.
Řešme v R soustavu rovnic: 1332
0643
yx
yx
V předcházejícím kroku jsme vyloučilli neznámou x a nyní tedy již hravě vypočítáme neznámou y.
2
313
3
64 yy
2
313
3
64 yy
6/
yy 939128 12/9/ y
123998 yy
5117 y 17:/ 3y
Metoda srovnávacíZ obou rovnic se vyjádří tatáž neznámá pomocí druhé neznámé a porovnáním obou vyjádření se vyloučí první neznámá.
Řešme v R soustavu rovnic: 1332
0643
yx
yx
Vypočítanou neznámou y dosadíme do libovolné z rovnic a vypočítáme druhou neznámou:
3y
1332 yx 13332 x
1392 x9132 x
42 x2x
Výsledkem je uspořádaná dvojice [x; y]: 3;2 K
Metoda srovnávacíZ obou rovnic se vyjádří tatáž neznámá pomocí druhé neznámé a porovnáním obou vyjádření se vyloučí první neznámá.
Řešme v R soustavu rovnic: 1332
0643
yx
yx
3;2 KSprávnost našeho výpočtu ověříme zkouškou:
634233;21L 6126 0
03;21 P
3;23;2 11 PL
33223;22L 94 13
133;22 P
3;23;2 22 PL 3;2 K
Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicTak to jsme si předvedli tři základní početní metody používané při řešení soustavy dvou lineárních rovnic. Řešením všech soustav byla jedna uspořádaná dvojice [x; y]. Jak jsem však již dříve uvedl, i možné výsledky řešení soustavy dvou lineárních rovnic mohou být tři. Pojďme si tedy také na konkrétních příkladech přiblížit i ty další možnosti výsledku řešení.
Řešme v R soustavu rovnic: 662
493
yx
yx
Pro řešení zvolím intuitivnější metodu
dosazovací a vyjádřím například ze druhé
rovnice neznámou x.
662
493
yx
yx
2
66 yx
Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicTak to jsme si předvedli tři základní početní metody používané při řešení soustavy dvou lineárních rovnic. Řešením všech soustav byla jedna uspořádaná dvojice [x; y]. Jak jsem však již dříve uvedl, i možné výsledky řešení soustavy dvou lineárních rovnic mohou být tři. Pojďme si tedy také na konkrétních příkladech přiblížit i ty další možnosti výsledku řešení.
Řešme v R soustavu rovnic: 662
493
yx
yx
Pozor na dosazení! Docela častou chybou bývá, že se dosazuje do
stejné rovnice, ze které se „vyjadřovalo“! Vyjadřovali jsme neznámou x ze druhé rovnice,
dosadit tedy musíme za x do první rovnice.
662
493
yx
yx
2
66 yx
492
663
y
y
8181818 yy
2/
1880 y100 y
Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicTak to jsme si předvedli tři základní početní metody používané při řešení soustavy dvou lineárních rovnic. Řešením všech soustav byla jedna uspořádaná dvojice [x; y]. Jak jsem však již dříve uvedl, i možné výsledky řešení soustavy dvou lineárních rovnic mohou být tři. Pojďme si tedy také na konkrétních příkladech přiblížit i ty další možnosti výsledku řešení.
Řešme v R soustavu rovnic: 662
493
yx
yx
662
493
yx
yx
2
66 yx
492
663
y
y
8181818 yy
2/
1880 y100 yK
Výsledkem tedy je, že soustava rovnic nemá řešení:
Této rovnici nevyhovuje žádné reálné číslo y! To tedy znamená, že rovnice, ale tím
pádem i celá soustava rovnic, nemá řešení.
Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicA zbývá nám poslední (třetí) možný výsledek řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých.
Řešme v R soustavu rovnic: 462
693
yx
yx
462
693
yx
yx9
63 x
y
Pro řešení zvolím opět intuitivnější metodu
dosazovací a tentokrát pro změnu
vyjádřím z první rovnice neznámou y.
49
6362
x
x 9/
36361818 xx
36360 x00 x
Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicA zbývá nám poslední (třetí) možný výsledek řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých.
Řešme v R soustavu rovnic: 462
693
yx
yx
462
693
yx
yx9
63 x
y
49
6362
x
x 9/
36361818 xx
36360 x00 x
Této rovnici vyhovuje každé
reálné číslo x! To tedy znamená, že rovnice, ale tím
pádem i celá soustava rovnic, má nekonečně mnoho
řešení.
Otázkou však zůstává, jakých řešení? Jak víme, řešením soustavy rovnic
o dvou neznámých je uspořádaná dvojice [x; y].
Je tedy řešením této soustavy libovolná dvojice nebo snad existuje nějaká podmínka, která všechna
možná řešení jasně vymezí? Zkusme nějakou
libovolnou dvojici dosadit a uvidíme.
Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicA zbývá nám poslední (třetí) možný výsledek řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých.
Řešme v R soustavu rovnic: 462
693
yx
yx
Zvolíme si například uspořádanou dvojici [2; 1] a dosadíme ji do obou rovnic soustavy. Prakticky provedeme zkoušku řešení:
19231;21L 96 3 61;21 P
1;21;2 11 PL Tak již první rovnici zvolená uspořádaná rovnice nevyhovuje! Libovolná uspořádaná dvojice tedy řešením naší soustavy není.
Z řešení nám však vyplynulo, že neznámá x může být libovolné reálné číslo. „Podmíněnou“ tedy bude neznámá y. Dá se samozřejmě předpokládat, že na neznámé x bude záviset. Ale jak?
Vrátím vám snímek s řešením této soustavy a věřím, že onu podmínku již nyní snadno odhalíte.
Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicA zbývá nám poslední (třetí) možný výsledek řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých.
Řešme v R soustavu rovnic: 462
693
yx
yx
462
693
yx
yx9
63 x
y
49
6362
x
x 9/
36361818 xx
36360 x00 x
Tak to je ona! Samozřejmě, že ji
můžeme ještě trochu zkrátit.
Jak tedy pak ale bude definitivně vypadat obecný zápis všech možných řešení této
soustavy rovnic?
Rxx
xK ;3
2;
Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicA zbývá nám poslední (třetí) možný výsledek řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých.
Řešme v R soustavu rovnic: 462
693
yx
yx
Uspořádaná dvojice již tedy není zcela libovolná. Libovolná je v našem případě jen neznámá x. Tou je pak však již jednoznačně určena souřadnice y.
19131;11L 93 6
61;11 P 1;11;1 11 PL
3
2;x
xK
Jedním z možných řešení tak může být například uspořádaná dvojice [-1; -1].
Ověřme si to provedením zkoušky.
1
3
21;1K
16121;12L 62 4 41;12 P
1;11;1 22 PL
Rxx
xK ;3
2;
Příklady k procvičeníVyřeš v R soustavu rovnic sčítací metodou:
yxxyx
yxyx
23436
2227
V případě rovnic vedoucích k rovnicím
lineárním tyto nejdříve pomocí
ekvivalentních úprav uvedeme do
základního tvaru lineární rovnice, nejlépe do tvaru
ax + by = c.
Příklady k procvičeníVyřeš v R soustavu rovnic sčítací metodou:
4227 yxyxyxxyx 2234186
4227 yyxx18246 yyxx
446 yx1825 yx
Použiji sčítací metodu. Druhou
rovnici vynásobím dvěma a následně
vyeliminuji neznámou y.
2/446 yx36410 yx
3216 x 16:/
16
32x
yxxyx
yxyx
23436
2227
2x
Příklady k procvičeníVyřeš v R soustavu rovnic sčítací metodou:
4227 yxyxyxxyx 2234186
4227 yyxx18246 yyxx
446 yx1825 yx
Nyní dosadíme vypočtenou hodnotu
neznámé x do kterékoliv rovnice z řešení.
Většinou samozřejmě volíme tu nejjednodušší pro následný výpočet
druhé neznámé.
2/446 yx36410 yx
3216 x 16:/
16
32x
yxxyx
yxyx
23436
2227
2x
1825 yx
Příklady k procvičeníVyřeš v R soustavu rovnic sčítací metodou:
4227 yxyxyxxyx 2234186
4227 yyxx18246 yyxx
446 yx1825 yx 2/446 yx36410 yx
3216 x 16:/
16
32x
yxxyx
yxyx
23436
2227
2x
1825 yx18225 y18210 y
10182 y82 y
4;2KSprávnost výsledku samozřejmě ještě
ověříme zkouškou.
4y
Příklady k procvičeníVyřeš v R soustavu rovnic sčítací metodou:
yxxyx
yxyx
23436
2227
4;2K
42274;21L 814 6
24224;21P
4;24;2 11 PL
443264;22L 1616 166
422234;22P
4;24;2 22 PL
222 42 6
Zkouška:
10
226 46 10
4;2K
Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010-06-10].Dostupné pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-white-board.html>
Použité obrázky: