+ All Categories
Home > Documents > Řešení nerovnic

Řešení nerovnic

Date post: 19-Jan-2016
Category:
Upload: hilde
View: 36 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
Description:
Řešení nerovnic. Soustava lineárních rovnic se dvěma neznámými. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňová. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. - PowerPoint PPT Presentation
29
Řešení nerovnic Soustava lineárních rovnic se dvěma neznámými Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňová. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).
Transcript
Page 1: Řešení nerovnic

Řešení nerovnic

Soustava lineárních rovnic se dvěma neznámými

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňová.Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.

Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).

Page 2: Řešení nerovnic

Lineární rovnice se dvěma neznámými:

Rovnice tvaru ax + by + c = 0, kde a, b, c R jsou konstanty a x, y R jsou dvě neznámé.

0126 yx

xyx4

313

2

1210

253 yx

Příkladem takové rovnice jsou například rovnice:

Ale i rovnice tvaru:

A samozřejmě i rovnice, které k uvedeným tvarům vedou použitím ekvivalentních úprav:

12323 yxyx

126 yx

0253 yx

Page 3: Řešení nerovnic

Soustava lineárních rovnic se dvěma neznámými:Dvojice rovnic tvaru L1(x, y) = P1(x, y) a L2(x, y) = P2(x, y),

které musí platit zároveň. Systém rovnic je třeba chápat jako celek.

0126 yx

xyx4

313

2

1210

253 yx

Příkladem takové soustavy jsou například rovnice:

Ale i rovnice tvaru:

A samozřejmě i rovnice, které k základním tvarům lineárních rovnic vedou použitím ekvivalentních úprav:

12323 yxyx

126 yx

0253 yx

Page 4: Řešení nerovnic

Ekvivalentní úpravy soustavy lineárních rovnic:

1. Nahrazení libovolné rovnice soustavy rovnicí s ní ekvivalentní.

2. Nahrazení libovolné rovnice soustavy součtem této rovnice a libovolné další rovnice soustavy.

3. Dosazení neznámé z jedné rovnice soustavy do jiné její rovnice.

Cílem početních operací při výpočtu soustavy lineárních rovnic je získat řešení, tedy nalézt všechny uspořádané dvojice [x; y], které po dosazení do soustavy splní všechny její rovnice.

Základním principem těchto operací je vyloučení (eliminace) jedné z neznámých, a tím výpočet té druhé. Následně pak pomocí ní výpočet té první.

Page 5: Řešení nerovnic

Početní metody a možné výsledky soustavy lineárních rovnic:

1. Metoda dosazovací.

2. Metoda sčítací.

3. Metoda srovnávací.

Existují i tři možné výsledky řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y R:

Existují tři základní početní metody řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y R:

1. Řešením soustavy je jedna uspořádaná dvojice.

2. Řešením soustavy je nekonečně mnoho uspořádaných dvojic.

3. Soustava rovnic nemá žádné řešení.

Jednotlivé metody i možnosti řešení si

ukážeme na několika konkrétních příkladech.

Page 6: Řešení nerovnic

Metoda dosazovacíZ jedné z rovnic se vyjádří jedna z neznámých pomocí druhé neznámé a toto vyjádření se dosadí do druhé rovnice.

Řešme v R soustavu rovnic: 42

1223

yx

yx

Ze druhé rovnice si vyjádříme neznámou x:

42 yx 42 yxVyjádřenou neznámou x ze druhé rovnice dosadíme dle třetí ekvivalentní úpravy pro řešení soustavy rovnic do rovnice první:

1223 yx 122423 yy

Vypočítáme neznámou y: 122126 yy12128 y

248 y3y

Page 7: Řešení nerovnic

Metoda dosazovacíZ jedné z rovnic se vyjádří jedna z neznámých pomocí druhé neznámé a toto vyjádření se dosadí do druhé rovnice.

Řešme v R soustavu rovnic: 42

1223

yx

yx

Vypočítanou neznámou y dosadíme do libovolné z rovnica vypočítáme druhou neznámou:

Výsledkem je uspořádaná dvojice [x; y]:

3y

42 yx432 x46 x64x

2x

3;2K

Page 8: Řešení nerovnic

Metoda dosazovacíZ jedné z rovnic se vyjádří jedna z neznámých pomocí druhé neznámé a toto vyjádření se dosadí do druhé rovnice.

Řešme v R soustavu rovnic: 42

1223

yx

yx

Správnost našeho výpočtu ověříme zkouškou:

3;2K

32233;21L 66 12

123;21 P

3;23;2 11 PL

3223;22L 62 4 43;22 P

3;23;2 22 PL 3;2K

Page 9: Řešení nerovnic

Metoda sčítacíKaždá z rovnic soustavy se vynásobí vhodným číslem tak, aby se po sečtení příslušných stran takto vynásobených rovnic vyloučila jedna z neznámých.

Řešme v R soustavu rovnic: 12

1223

yx

yx

Vynásobíme druhou rovnici dvěma, abychom po následném sečtení rovnic vyloučili neznámou y. Jinými slovy dle první ekvivalentní úpravy pro řešení soustavy rovnic nahradíme druhou rovnici rovnicí s ní ekvivalentní:

224

1223

yx

yx

Sečteme pod sebou sobě odpovídající

členy.1407 x147 x2x

Page 10: Řešení nerovnic

Metoda sčítacíKaždá z rovnic soustavy se vynásobí vhodným číslem tak, aby se po sečtení příslušných stran takto vynásobených rovnic vyloučila jedna z neznámých.

Řešme v R soustavu rovnic: 12

1223

yx

yx

2xVypočítanou neznámou x dosadíme do libovolné z rovnic a vypočítáme druhou neznámou: 12 yx

122 y14 y41 y3 y3y

Výsledkem je uspořádaná dvojice [x; y]:

3;2K

Page 11: Řešení nerovnic

Metoda sčítacíKaždá z rovnic soustavy se vynásobí vhodným číslem tak, aby se po sečtení příslušných stran takto vynásobených rovnic vyloučila jedna z neznámých.

Řešme v R soustavu rovnic: 12

1223

yx

yx

3;2KSprávnost našeho výpočtu ověříme zkouškou:

32233;21L 66 12

123;21 P

3;23;2 11 PL

3223;22L 34 1

13;22 P

3;23;2 22 PL 3;2K

Page 12: Řešení nerovnic

Metoda srovnávacíZ obou rovnic se vyjádří tatáž neznámá pomocí druhé neznámé a porovnáním obou vyjádření se vyloučí první neznámá.

Řešme v R soustavu rovnic: 1332

0643

yx

yx

Z obou rovnic vyjádříme jednu z neznámých. Většinou tu, která jde vyjádřit snadněji. V našem příkladu to vyjde na stejno, tak vyjádříme třeba neznámou x:

0643 yx 1332 yx643 yx yx 3132

3

64

yx

2

313 yx

Ze vzniklých výrazů sestavíme novou rovnici. Oba se totiž rovnají stejnému číslu – neznámé. V našem případě neznámé x.

2

313

3

64 yy

Page 13: Řešení nerovnic

Metoda srovnávacíZ obou rovnic se vyjádří tatáž neznámá pomocí druhé neznámé a porovnáním obou vyjádření se vyloučí první neznámá.

Řešme v R soustavu rovnic: 1332

0643

yx

yx

V předcházejícím kroku jsme vyloučilli neznámou x a nyní tedy již hravě vypočítáme neznámou y.

2

313

3

64 yy

2

313

3

64 yy

6/

yy 939128 12/9/ y

123998 yy

5117 y 17:/ 3y

Page 14: Řešení nerovnic

Metoda srovnávacíZ obou rovnic se vyjádří tatáž neznámá pomocí druhé neznámé a porovnáním obou vyjádření se vyloučí první neznámá.

Řešme v R soustavu rovnic: 1332

0643

yx

yx

Vypočítanou neznámou y dosadíme do libovolné z rovnic a vypočítáme druhou neznámou:

3y

1332 yx 13332 x

1392 x9132 x

42 x2x

Výsledkem je uspořádaná dvojice [x; y]: 3;2 K

Page 15: Řešení nerovnic

Metoda srovnávacíZ obou rovnic se vyjádří tatáž neznámá pomocí druhé neznámé a porovnáním obou vyjádření se vyloučí první neznámá.

Řešme v R soustavu rovnic: 1332

0643

yx

yx

3;2 KSprávnost našeho výpočtu ověříme zkouškou:

634233;21L 6126 0

03;21 P

3;23;2 11 PL

33223;22L 94 13

133;22 P

3;23;2 22 PL 3;2 K

Page 16: Řešení nerovnic

Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicTak to jsme si předvedli tři základní početní metody používané při řešení soustavy dvou lineárních rovnic. Řešením všech soustav byla jedna uspořádaná dvojice [x; y]. Jak jsem však již dříve uvedl, i možné výsledky řešení soustavy dvou lineárních rovnic mohou být tři. Pojďme si tedy také na konkrétních příkladech přiblížit i ty další možnosti výsledku řešení.

Řešme v R soustavu rovnic: 662

493

yx

yx

Pro řešení zvolím intuitivnější metodu

dosazovací a vyjádřím například ze druhé

rovnice neznámou x.

662

493

yx

yx

2

66 yx

Page 17: Řešení nerovnic

Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicTak to jsme si předvedli tři základní početní metody používané při řešení soustavy dvou lineárních rovnic. Řešením všech soustav byla jedna uspořádaná dvojice [x; y]. Jak jsem však již dříve uvedl, i možné výsledky řešení soustavy dvou lineárních rovnic mohou být tři. Pojďme si tedy také na konkrétních příkladech přiblížit i ty další možnosti výsledku řešení.

Řešme v R soustavu rovnic: 662

493

yx

yx

Pozor na dosazení! Docela častou chybou bývá, že se dosazuje do

stejné rovnice, ze které se „vyjadřovalo“! Vyjadřovali jsme neznámou x ze druhé rovnice,

dosadit tedy musíme za x do první rovnice.

662

493

yx

yx

2

66 yx

492

663

y

y

8181818 yy

2/

1880 y100 y

Page 18: Řešení nerovnic

Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicTak to jsme si předvedli tři základní početní metody používané při řešení soustavy dvou lineárních rovnic. Řešením všech soustav byla jedna uspořádaná dvojice [x; y]. Jak jsem však již dříve uvedl, i možné výsledky řešení soustavy dvou lineárních rovnic mohou být tři. Pojďme si tedy také na konkrétních příkladech přiblížit i ty další možnosti výsledku řešení.

Řešme v R soustavu rovnic: 662

493

yx

yx

662

493

yx

yx

2

66 yx

492

663

y

y

8181818 yy

2/

1880 y100 yK

Výsledkem tedy je, že soustava rovnic nemá řešení:

Této rovnici nevyhovuje žádné reálné číslo y! To tedy znamená, že rovnice, ale tím

pádem i celá soustava rovnic, nemá řešení.

Page 19: Řešení nerovnic

Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicA zbývá nám poslední (třetí) možný výsledek řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých.

Řešme v R soustavu rovnic: 462

693

yx

yx

462

693

yx

yx9

63 x

y

Pro řešení zvolím opět intuitivnější metodu

dosazovací a tentokrát pro změnu

vyjádřím z první rovnice neznámou y.

49

6362

x

x 9/

36361818 xx

36360 x00 x

Page 20: Řešení nerovnic

Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicA zbývá nám poslední (třetí) možný výsledek řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých.

Řešme v R soustavu rovnic: 462

693

yx

yx

462

693

yx

yx9

63 x

y

49

6362

x

x 9/

36361818 xx

36360 x00 x

Této rovnici vyhovuje každé

reálné číslo x! To tedy znamená, že rovnice, ale tím

pádem i celá soustava rovnic, má nekonečně mnoho

řešení.

Otázkou však zůstává, jakých řešení? Jak víme, řešením soustavy rovnic

o dvou neznámých je uspořádaná dvojice [x; y].

Je tedy řešením této soustavy libovolná dvojice nebo snad existuje nějaká podmínka, která všechna

možná řešení jasně vymezí? Zkusme nějakou

libovolnou dvojici dosadit a uvidíme.

Page 21: Řešení nerovnic

Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicA zbývá nám poslední (třetí) možný výsledek řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých.

Řešme v R soustavu rovnic: 462

693

yx

yx

Zvolíme si například uspořádanou dvojici [2; 1] a dosadíme ji do obou rovnic soustavy. Prakticky provedeme zkoušku řešení:

19231;21L 96 3 61;21 P

1;21;2 11 PL Tak již první rovnici zvolená uspořádaná rovnice nevyhovuje! Libovolná uspořádaná dvojice tedy řešením naší soustavy není.

Z řešení nám však vyplynulo, že neznámá x může být libovolné reálné číslo. „Podmíněnou“ tedy bude neznámá y. Dá se samozřejmě předpokládat, že na neznámé x bude záviset. Ale jak?

Vrátím vám snímek s řešením této soustavy a věřím, že onu podmínku již nyní snadno odhalíte.

Page 22: Řešení nerovnic

Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicA zbývá nám poslední (třetí) možný výsledek řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých.

Řešme v R soustavu rovnic: 462

693

yx

yx

462

693

yx

yx9

63 x

y

49

6362

x

x 9/

36361818 xx

36360 x00 x

Tak to je ona! Samozřejmě, že ji

můžeme ještě trochu zkrátit.

Jak tedy pak ale bude definitivně vypadat obecný zápis všech možných řešení této

soustavy rovnic?

Rxx

xK ;3

2;

Page 23: Řešení nerovnic

Možné výsledky řešení soustavy lineárních rovnicA zbývá nám poslední (třetí) možný výsledek řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých.

Řešme v R soustavu rovnic: 462

693

yx

yx

Uspořádaná dvojice již tedy není zcela libovolná. Libovolná je v našem případě jen neznámá x. Tou je pak však již jednoznačně určena souřadnice y.

19131;11L 93 6

61;11 P 1;11;1 11 PL

3

2;x

xK

Jedním z možných řešení tak může být například uspořádaná dvojice [-1; -1].

Ověřme si to provedením zkoušky.

1

3

21;1K

16121;12L 62 4 41;12 P

1;11;1 22 PL

Rxx

xK ;3

2;

Page 24: Řešení nerovnic

Příklady k procvičeníVyřeš v R soustavu rovnic sčítací metodou:

yxxyx

yxyx

23436

2227

V případě rovnic vedoucích k rovnicím

lineárním tyto nejdříve pomocí

ekvivalentních úprav uvedeme do

základního tvaru lineární rovnice, nejlépe do tvaru

ax + by = c.

Page 25: Řešení nerovnic

Příklady k procvičeníVyřeš v R soustavu rovnic sčítací metodou:

4227 yxyxyxxyx 2234186

4227 yyxx18246 yyxx

446 yx1825 yx

Použiji sčítací metodu. Druhou

rovnici vynásobím dvěma a následně

vyeliminuji neznámou y.

2/446 yx36410 yx

3216 x 16:/

16

32x

yxxyx

yxyx

23436

2227

2x

Page 26: Řešení nerovnic

Příklady k procvičeníVyřeš v R soustavu rovnic sčítací metodou:

4227 yxyxyxxyx 2234186

4227 yyxx18246 yyxx

446 yx1825 yx

Nyní dosadíme vypočtenou hodnotu

neznámé x do kterékoliv rovnice z řešení.

Většinou samozřejmě volíme tu nejjednodušší pro následný výpočet

druhé neznámé.

2/446 yx36410 yx

3216 x 16:/

16

32x

yxxyx

yxyx

23436

2227

2x

1825 yx

Page 27: Řešení nerovnic

Příklady k procvičeníVyřeš v R soustavu rovnic sčítací metodou:

4227 yxyxyxxyx 2234186

4227 yyxx18246 yyxx

446 yx1825 yx 2/446 yx36410 yx

3216 x 16:/

16

32x

yxxyx

yxyx

23436

2227

2x

1825 yx18225 y18210 y

10182 y82 y

4;2KSprávnost výsledku samozřejmě ještě

ověříme zkouškou.

4y

Page 28: Řešení nerovnic

Příklady k procvičeníVyřeš v R soustavu rovnic sčítací metodou:

yxxyx

yxyx

23436

2227

4;2K

42274;21L 814 6

24224;21P

4;24;2 11 PL

443264;22L 1616 166

422234;22P

4;24;2 22 PL

222 42 6

Zkouška:

10

226 46 10

4;2K

Page 29: Řešení nerovnic

Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010-06-10].Dostupné pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-white-board.html>

Použité obrázky:


Recommended