Řešení rovnic
Iracionální rovnice
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňová.Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků.
Iracionální rovniceIracionální rovnice jsou rovnice, které obsahují odmocniny z neznámé nebo z výrazů s neznámou.
Příklady takových rovnic:
214
32322 x
xx
4722 xx
xx 553
49 x
24 xx
1852 xx
Řešení iracionálních rovnic ‒ důsledková úpravaIracionální rovnice zpravidla řešíme v oboru reálných čísel a stěžejním krokem je umocnění rovnice.Umocnění není ekvivalentní úpravou, ale úpravou tzv. důsledkovou. Jaké „důsledky“ může mít použití důsledkové úpravy? Podívejme se na dvě zajímavá umocnění, jedné rovnosti a jedné nerovnosti:
55 55 22 55 22 55
Po umocnění, to najednou
vypadá na dvě rovnosti. Je to
v pořádku?
2525 2525Ano. Z čísel, která se nerovnala, jsme najednou získali čísla, která se rovnají. I přesto, že tedy nejde o ekvivalentní úpravu, budeme umocňování používat. Jinak to nejde. Ale…
Protože jsme z nerovnajících se čísel dostali čísla, která se rovnají, může se objevit i při řešení iracionálních rovnic něco, co se bude tvářit jako výsledek, ale výsledek to nebude (z umocňování nerovnosti 5 ‒5 je vidět, odkud takový falešné výsledky vzejde). Abychom takové falešné výsledky „odbourali“, budeme muset vždy dělat zkoušku (vyzkoušet všechny „výsledky“, zda jsou pravé či falešné).
Řešení iracionálních rovnic ‒ důsledková úpravaUmocňování je tedy důsledková úprava. Při použití důsledkové úpravy neztratíme žádné správné řešení, ale mohou se objevit klamná další řešení. Proto vždy provádíme zkoušku.Pojďme si tedy vše ukázat v praxi na konkrétním příkladu.
24 xxŘešme v R rovnici:
Nejdříve určíme definiční obor, který
plyne z toho, že výraz pod druhou
odmocninou musí být nezáporný!
02x2x ;2... D
Řešení iracionálních rovnic ‒ důsledková úpravaUmocňování je tedy důsledková úprava. Při použití důsledkové úpravy neztratíme žádné správné řešení, ale mohou se objevit klamná další řešení. Proto typicky provádíme zkoušku.Pojďme si tedy vše ukázat v praxi na konkrétním příkladu.
24 xxŘešme v R rovnici:
24 xx 2/ ...;2 D
No a nyní již pojďme rovnici řešit. Hned na úvod použijeme právě
probranou důsledkovou úpravu umocnění rovnice.
Řešení iracionálních rovnic ‒ důsledková úpravaUmocňování je tedy důsledková úprava. Při použití důsledkové úpravy neztratíme žádné správné řešení, ale mohou se objevit klamná další řešení. Proto typicky provádíme zkoušku.Pojďme si ti tedy vše ukázat v praxi na konkrétním příkladu.
24 xxŘešme v R rovnici:
24 xx 2/ 22 24 xx
21682 xxx01492 xx
2// x
a
acbbx2
42
2,1
12
141499 2
2259
259
1x 214
7
259
2x 24
2
No a nyní tedy musíme zkouškou zkontrolovat, zda
některé řešení není klamné.
...;2 D
Řešení iracionálních rovnic ‒ důsledková úprava
24 xxŘešme v R rovnici:
;71 x 22 x
Zkouška: 47)7(L 3 27)7(P 9 3 7)7(... PL
42)2(L 2 22)2(P 4 2 2)2(... PL
Zkouška vyšla ⇒ x = 7 je řešením rovnice.
Zkouška nevyšla ⇒ x = 2 není řešením rovnice (zároveň je vidět, že po umocnění rovnice by se její strany začaly rovnat).
7KRovnice má jediné řešení x = 7. Píšeme: 24 xx
Řešení iracionálních rovnic ‒ důsledková úpravaTak ještě jednou pěkně po pořádku.
1852 xxŘešme v R rovnici:
Nejdříve určíme definiční obor, který
plyne z toho, že výrazy pod druhými odmocninami musí
být nezáporné!
052 x5,2x
01 x1 x ;1... D
Řešení iracionálních rovnic ‒ důsledková úpravaTak ještě jednou pěkně po pořádku.
1852 xxŘešme v R rovnici:
052 x5,2x
01 x1 x ;1... D
1852 xx
A nyní již začneme řešit
rovnici.
2/
Řešení iracionálních rovnic ‒ důsledková úpravaTak ještě jednou pěkně po pořádku.
1852 xxŘešme v R rovnici:
052 x5,2x
01 x1 x ;1... D
1852 xx 2/ 22
1852 xx11166452 xxx x /63/
11658 xx 2/ 22 11658 xx
125633641162 xxx25625633641162 xxx 256/256/ x
036203722 xx
2
362014372372 2
2,1x 2352372 10; 1 x 362; 2 x
Řešení iracionálních rovnic ‒ důsledková úprava
1852 xxŘešme v R rovnici:
;101 x 3622 x No a nyní musíme zkouškou zkontrolovat, zda některé řešení není
klamné.Zkouška: 5102)10(L 520 1108)10(P 98 38 10)10(... PL
53622)362(L 5724 13628)362(P 3618 198 362)362(... PL
Zkouška vyšla ⇒ x = 10 je řešením rovnice.
Zkouška nevyšla ⇒ x = 362 není řešením rovnice.
10KRovnice má jediné řešení x = 10. Píšeme: 1852 xx
25 55
729 2711
Příklady k procvičeníVyřeš v R rovnici: 49 x
Příklady k procvičeníVyřeš v R rovnici: 49 x
09x 9 x ;9D
49 x 2/ 22
49 x169x 9/25x
925)25(L 16
4)25( P 25)25( PL
Zkouška vyšla ⇒ x = 25 je řešením rovnice.
4Zkouška:
Určíme definiční obor:
Vyřešíme rovnici:
25K
Příklady k procvičeníVyřeš v R rovnici: xx 553
Příklady k procvičeníVyřeš v R rovnici:
05x 5 x ;5D
xx 553 5/553 xx
251059 2 xxx
200 2 xx
Určíme definiční obor:Vyřešíme rovnici:
xx 553
2/
2510459 2 xxx 45/9/ x
a
acbbx2
42
2,1
12
201411 2
28011
2811
291
291
1x 28
4
291
2x 210 5
Příklady k procvičeníVyřeš v R rovnici:
5543)4(L 5934)4( P
4)4( PL Zkouška vyšla ⇒ x = 4 je řešením rovnice.
4Zkouška:
4;5K
xx 553
5;4 21 xx
533 59
5553)5(L 5035)5( P
5)5( PLZkouška vyšla ⇒ x = ‒5 je řešením rovnice.
5
Příklady k procvičeníVyřeš v R rovnici: 4722 xx
Příklady k procvičeníVyřeš v R rovnici:
02x 2 x ;2D
4722 xx 72/ x
Určíme definiční obor:
Vyřešíme rovnici:2/
4722 xx
07x 7 x
4722 xx 16716742 xxx
167162842 xxx7164442 xxx 44/4/ x
716423 xx 1/ 716423 xx 2/
725617642529 2 xxx
179225617642529 2 xxx 1792/256/ x02849 2 xx
Příklady k procvičeníVyřeš v R rovnici:
Vyřešíme rovnici:
a
acbbx2
42
2,1
92
289444 2
181008164
1810244
18324
18324
1x 1836
2
18324
2x 1828
914
4722 xx
02849 2 xx
Příklady k procvičeníVyřeš v R rovnici:
72222)2(L 9244)2( P
2)2( PL Zkouška vyšla ⇒ x = 2 je řešením rovnice.
4Uděláme zkoušku:
2;914K
914;2 21 xx
322 62
963
9142
918
914
914L
4914
P
914
914... PL
Zkouška vyšla ⇒ x = ‒14/9 je řešením rovnice.
4722 xx
9492
94
372
32
314
32
312 4
Příklady k procvičeníVyřeš v R rovnici: 2
14
32322 x
xx
Příklady k procvičeníVyřeš v R rovnici:
0x ;0D
x 325,4/
Určíme definiční obor:
Vyřešíme rovnici:
214
32322 x
xx
5,432
322 x
xx
xxx 323225,4xx 349xx 129 x/
1210 x 10:/2,1x
2,1K
2,132
2,12)2,1(L
5,42,132)2,1(
P
Zkouška vyšla ⇒ x = 1, 2 je řešením rovnice.
Uděláme zkoušku:
2,132
2,1322,132
4,2
2,1342,1324,2
8,102,1324,2
5,42,132
)2,1()2,1(... PL
Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010-06-10]. Dostupné pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-white-board.html>
Použité obrázky: