ROBUSTNÍ VYROVNÁNÍ

Věra Pavlíčková, únor 2014

STRUČNĚ O VYROVNÁNÍ Při měření sítí jsou změřeny nadbytečné

veličiny Abychom dosáhli jediného výsledku,

měření opravíme tak, aby opravy vyhovovaly stanovené podmínce

Nejčastěji se používá vyrovnání metodou nejmenších čtverců

METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ Opravy vyhovují podmínce Σpv2 je minimální Výhody

Jednoduchý výpočet Nevytváří příliš velké opravy ->výsledky se příliš

neliší od měřených hodnot Metoda je všeobecně známá, používaná a tedy

prověřená Nevýhody

Správné fungování MNČ předpokládá normální rozdělení chyb

I malé odchylky od normálního rozdělení pravděpodobnosti mají značný vliv na kvalitu výsledku->jen několik hrubých chyb může znehodnotit jinak kvalitní měření.

NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ Náhodné chyby odpovídají normálnímu

rozděleníOscilují kolem nulové hodnotyPravděpodobnost výskytu kladné a záporné

chyby určité velikosti je stejná

ROBUSTNÍ STATISTICKÉ METODY Oproti klasickým metodám si

zachovávají funkčnost v určitém okolí normálního rozděleníneselžou při „mírném“ nesplnění požadavku

na normální rozdělení chyb, tj. pokud jsou správná měření kontaminována odlehlými měřeními

Čím větší odolnost vůči odlehlým měřením, tím robustnější metody

ROBUSTNÍ VYROVNÁNÍ Využívá se pro vyhledání hrubých chyb

a jejich vyloučení z výpočtu Samotné vyrovnání je následně

provedeno metodou nejmenších čtverců Malé množství chybných měření lze

odhalit testy odlehlých měření, v případě vyšší kontaminace je vhodné (nutné) použít pro jejich identifikaci robustní vyrovnání

ROZDĚLENÍNejrozšířenější třídy odhadů robustní statistiky jsou: M-odhady

jsou založeny na metodě maximální věrohodnosti (maximum-likelihood)

L-odhady jsou založeny na výpočtu lineárních

kombinací pořadových statistik a R-odhady

jsou založeny na neparametrických testech

M-ODHADY

M-ODHADY Hledá řešení, které je

nejpravděpodobnější Jako podezřelá měření bere měření s

největší opravou Normovaná chyba Normovaná oprava Korekční člen w představuje určitou

váhu měření, jejichž velikost je přímo závislá na velikosti normované opravy, tj.

M-ODHADY Koeficienty w se sestaví do diagonální

váhové matice W Tato matice se použije jako matice vah ve

zprostředkujícím vyrovnání

Váhy wi závisí na opravách vi, tj. na odhadu neznámých x. Odhad tedy musí být určován iterativně, jako první aproximaci lze použít výsledek metody nejmenších čtverců.

HUBERŮV M-ODHAD Až na násobný koeficient se jedná o

metodu nejmenších čtverců a metodu nerobustní, váha je konstantní wi = 1.

Volí se konstanta c, která závisí na četnosti odlehlých měření

Vlivová funkce ψ při MNČ Vlivová funkce ψ při Huberově M-odhadu

HUBERŮV M-ODHAD Váhy se volí podle předpisů

Odvození je pro případ, kdy jsou všechna měření stejně přesná. Pokud máme různě přesná měření, wi se použije jako násobný koeficient.

POUŽITÁ LITERATURA 18. Metody robustního odhadu. IngGeo -

portál inženýrské geodézie. Dostupné z: http://inggeo.fsv.cvut.cz/wiki/doku.php?id=04_teorie_chyb:0418_robustni_odhad

Prezentace diplomové práce: Kontrola stability sítě v reálném čase pomocí přístroje Leica TCA2003, Petr Polák. Dostupné z: svambor.borec.cz/diplomka/poli.ppt

Česká statistická společnost. Dostupné z: http://www.statspol.cz/robust

DĚKUJI ZA POZORNOST

Konference ROBUST je nejvýznamnějším setkáním statistiků pořádaným Českou statistickou společností

(pořádaná poprvé v r. 1980 a dále každý sudý rok jako letní či zimní škola, původně organizovaná JČSMF, později JČMF

za podpory ČStS).