Seminář z aktuárských věd

Pavol OravecJan Kořistka

Vladimír Krejčí

20.3.2009

Současný vývoj úrokových křivek

Seminář z aktuárských věd

Pavol Oravec

20.3.2009

Současný vývoj úrokových křivekČást 1

Výnosové krivky

Výnosová krivka

• Časová štruktúra úrokových mier– Výnosová krivka ukazuje závislosť úrokovej

miery/sadzby na dobe do splatnosti

• Úroková sadzba– Cena za požičanie peňazí– Vyjadrená ako percento z požičanej sumy na

dané obdobie

Výnosová krivka• Druhy úrokových mier

– Hypotéka– Úver– Dlhopis– Swap

• Druhy výnosových kriviek– Kupónová– Bezkupónová– Forwardová

Tvorba výnosovej krivky

• Zdrojové data– Dlhopisy

• Aktívne obchodované dlhopisy• Tržné ceny na BCPP, kotácie tvorcov trhu

– Swapy• Over-the-counter nástroje• Indikatívne kotácie

Tvorba výnosovej krivky

• Interpolácia/extrapolácia výnosovej krivky– Lineárna– Kubické spliny– Nelson-Siegel

Nelson-Siegel• Predpokladá, že spojite úročená bezkupónová sadzba

sa dá vyjadriť v tvare

• Výhody– Schopná zachytiť širokú škálu tvarov výnosových kriviek– Výstupom je hladká forwardová krivka

• Nevýhody– Nezachycuje presne vstupné data

0 1 2 2

1( )* *

t

tcontt t

er e

, 0t

Vývoj sadzieb v čase - swapy

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00II

.200

3

IV.2

003

VI.

2003

VII

I.20

03

X.2

003

XII

.200

3

II.2

004

IV.2

004

VI.

2004

VII

I.20

04

X.2

004

XII

.200

4

II.2

005

IV.2

005

VI.

2005

VII

I.20

05

X.2

005

XII

.200

5

II.2

006

IV.2

006

VI.

2006

1Y Mid

2Y Mid

3Y Mid

4Y Mid

5Y Mid

6Y Mid

7Y Mid

8Y Mid

9Y Mid

10Y Mid

12Y Mid

15Y Mid

20Y Mid

Faktory ovplyvňujúce úrokové sadzby

• Default – riziko zlyhania protistrany– Lacnejší je dlhopis emitenta, ktorý má vyššiu

pravdepodobnosť bankrotu

• Likvidita– Lacnejší je dlhopis, ktorý nie je aktívne obchodovaný

• Inflácia– V časoch zvýšenej inflácie požadujú investori vyšší

výnos

Tvar výnosovej krivky

• Tvar výnosovej krivky– Rastúca výnosová krivka – najčastejší tvar– Invertovaná výnosová krivka – predpovedá recesiu

• Teória očakávaní– Dlhodobé sadzby reflektujú očakávané budúce krátke sadzby

• Teória oddelených trhov– Delí výnosovú krivku na segmenty– Predpokladá rozdielnych aktívnych účastníkov trhu v každom segmente

• Teória preferovaných umiestnení– Dlžníci preferujú požičky na dlhú dobu– Veritelia preferujú požičky na krátku dobu

Bezriziková výnosová krivka

• Rozne nástroje – rozna miera rizika– Štátne dlhopisy– Korporátne dlhopisy (rating)– Swapy

• Konzistencia použitej krivky pri oceňovaní• Pri oceňovaní poistných závazkov požadované

bezrizikové krivky (ČSpA)– Odborná směrnice č. 3 - Test postačitelnosti technických

rezerv životních pojištění: K diskontování se používá křivka bezrizikových úrokových měr platná k datu ohodnocení.

• Dvaja kandidáti na bezrizikovú krivku– Štátne dlhopisy– Swapy

GB vs IRS (Bloomberg)

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

3,0%

3,5%

4,0%

0 5 10 15 20

CZK úrokové sadzby - 30.12.2005

GB - mid IRS - mid

GB vs IRS• Government bonds

– “bezrizikové” sadzby– v CZ podmienkach málo nástrojov– nerovnomerne rozložené splatnosti– splatnosti v neceločíselných rokoch– problémy s likviditou na dlhom konci

• Interest rate swaps– dostatočná likvidita– kotácie vo všetkých splatnostiach každý deň– za normálnych podmienok nízke spready oproti GB

• Odborné doporučení ČSpA – swapová krivka

Česká společnost aktuárů

• Odborné doporučení č. 1 - Stanovení bezrizikové výnosové křivky– Toto odborné doporučení popisuje jeden konkrétní postup

stanovení bezrizikové úrokové křivky a za určitých okolností může vyžadovat úpravy. Pojistný matematik zváží všechny známé okolnosti a navrhne odpovídající metodu a vstupní předpoklady podle svého nejlepšího uvážení („aktuárský úsudek“).

– 1.1.   Data o tržních úrokových měrách úrokových swapů (IRS, Interest Rate Swap) získáme z Bloombergu.

Iné doporučenia• CFO Forum – MCEV principles

– Principle 14: The reference rates used should, wherever possible, be the swap yield curve appropriate to the currency of the cash flows.

• CEIOPS – Solvency II– Best estimate shall be equal to the probability-weighted

average of future cash flows, taking into account the time value of money, using the relevant risk-free interest rate term structure

GB vs IRS (Patria)

0,0%

1,0%

2,0%

3,0%

4,0%

5,0%

6,0%

0 5 10 15 20 25

CZK úrokové sadzby - 16.3.2009

GB - nakup IRS - nakup

Súčasná situácia na trhu

Súčasná situácia na trhu15-year asset-swap spread (CZ)

-1%

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

VII-04

IX-04

XI-04

I-05 III-05

V-05

VII-05

IX-05

XI-05

I-06 III-06

V-06

VII-06

IX-06

XI-06

I-07 III-07

V-07

VII-07

IX-07

XI-07

I-08 III-08

V-08

VII-08

IX-08

XI-08

gov. bond YTM

swap

asset swap spread

Súčasná situácia na trhu15-year asset-swap spreads (government bonds)

-1,0%

-0,5%

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

XII-07 I-08 II-08 III-08 IV-08 V-08 VI-08 VII-08 VIII-08 IX-08 X-08 XI-08

Czech

Germany

Italy

USA

Príklad arbitráže• 10-ročné dlhopisové sadzby vyššie ako swapové• Banka má možnosť arbitráže:

– Požičia si hotovosť za LIBOR a túto požičku bude opakovať po dobu 10 rokov

– Uzavrie swap, v ktorom platí pevnú swapovú sadzbu a od protistrany dostáva premenlivú LIBOR sadzbu

– Za požičanú hotovosť nakúpi 10-ročný dlhopis

• Ako výsledok týchto operácií s nulovou počiatočnou investíciou banka po dobu desiatich rokov platí swapovú sadzbu a dostáva dlhopisový výnos, realizuje teda zisk

Znížená ochota k arbitráži

• Kritika LIBORu– LIBOR je stanovený na základe prieskumu– Nemusia za ním byť skutočné operácie– Banky majú tendenciu do prieskumu uvádzať nižšiu sadzbu

ako tú, za ktorú sú ochotné požičať v skutočnosti– Banka v kritickej situácii si za LIBOR nie je schopná požičať ani

v prípade, že je zvyšok trhu zdravý

• Aj štáty možu krachovať

Zvýšená poptávka po swapoch

• Nákup swapov ako náhrady za swapy skrachovaných bánk (Lehman Brothers)– V období po krachu veľkých poskytovateľov swapových obchodov sa

objaví množstvo protistrán s otvorenými úrokovými pozíciami– Tieto otvorené pozície sú zatvárané nákupom nových swapov

• Swap umožňuje zaistiť budúce úrokové miery za nižšie náklady– V období úverovej krízy banky preferujú likviditu– Banka požičiava protistrane na kratšie časové obdobia– Je možné nepokračovať v požičiavaní ak očakávame kreditnú udalosť u

protistrany– Swap nenesie riziko nesplatenia istiny– Bežné úrokové swapy vs. Overnight swapy

• Solvency II – vychádza zo swapových kriviek, čo núti poisťovne k nákupu swapov

30Y USD swap spreads (FED)

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6I.

2008

II.2

008

III.

2008

IV.2

008

V.2

008

VI.

2008

VII

.200

8

VII

I.20

08

IX.2

008

X.2

008

XI.

2008

XII

.200

8

I.20

09

II.2

009

10Y USD swap spreads (FED)

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2I.

2008

II.2

008

III.

2008

IV.2

008

V.2

008

VI.

2008

VII

.200

8

VII

I.20

08

IX.2

008

X.2

008

XI.

2008

XII

.200

8

I.20

09

II.2

009

Závery

• Stanoviť bezrizikovú úrokovú mieru nie je v súčasnosti jednoduché– Aj štáty krachujú– Neplatia klasické poučky

• "Negative swap spreads have been considered by many to be a mathematical impossibility, just like negative probabilities or negative interest rates," said Fidelio Tata, head of interest rate derivatives strategy at RBS Greenwich Capital Markets. (Financial Times)

• ČSpA diskutovala vhodný zdroj pre stanovenie „bezrizikovej úrokovej krivky“ na konci roku 2008

Seminář z aktuárských věd

Jan Kořistka

20.3.2009

Současný vývoj úrokových křivekČást 2

Úvod

Bezriziková výnosová křivka bývá obvykle odvozena z:• Výnosové křivky státních dluhopisů nebo• Swapové křivkyAž do loňského roku byly tyto dvě křivky velmi podobné; na konci roku 2008 se ovšem podstatně liší.

Která z nich je bezriziková?

CZK Yield curves EoY 2007

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Bonds

Swaps

CZK Yield curves EoY 2008

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Bonds

Swaps

Argumenty pro použití swapové křivky

Hlavní argumenty pro odvození bezrizikové křivky pomocí swapové křivky jsou:• Státní dluhopisy nejsou bezrizikové• Úrokové swapy mají nižší expozici vůči kreditnímu riziku než dluhopisy• Předpoklad, že státní dluhopisy jsou bezrizikové, vede k arbitráži

Nesplnění závazků

Nesplacení závazků z dluhopisů (default) má více podob než jenom bankrot emitenta. Jedná se zejména o:• Nevyplacení nebo jen částečné vyplacení kuponu• Nesplacení nebo jen částečné splacení nominální hodnoty dluhopisu• Nucené prodloužení doby splatnosti dluhopisu• Nucená restrukturalizace dluhu

Z nedávné doby můžeme uvést následující příklady nesplnění závazků ze státních dluhopisů:• Rusko (1998)• Argentina (2001)• Ekvádor (2009)

Credit default swapy

Credit default swap (CDS) je kreditní derivát, jehož výplatní funkce závisí na (ne)splnění závazků z podkladového aktiva. Kupující CDS platí prodávajícímu pravidelné platby, zatímco prodávající má povinnost plnit kupujícímu v případě nesplnění závazků.

CDS se podobá pojištění úvěru, ovšem:• Prodávajícím nemusí být pojišťovna• Kupující nemusí vlastnit podkladové aktivum

Existují i credit default swapy na státní dluhopisy, např. USA.

Kreditní riziko

V porovnání s dluhopisy mají úrokové swapy menší expozici vůči kreditnímu riziku:

Kreditní expozice kuponového dluhopisu odpovídá součtu všech kuponů a nominální hodnoty. Expozice úrokového swapu odpovídá součtu rozdílů mezi pevnou a proměnlivou platbou po dobu trvání swapu.

To znamená, že porovnáme-li dluhopis a úrokový swap se stejnou nominální hodnotou a stejným emitentem (nebo emitenty se stejnými kreditními charakteristikami), tak swap bude mít nižší kreditní spread.

• Kolateralizace úrokových swapů

Arbitráž

Arbitráž je investiční příležitost, která investorovi s nulovým počátečním kapitálem s nenulovou pravděpodobností přinese zisk a zároveň mu za žádných okolností nepřinese ztrátu.

Předpokládáme-li, že státní dluhopis i úrokový swap jsou bezrizikové instrumenty, a zároveň že výnosová křivka státních dluhopisů je vyšší než swapová křivka, má investor následující možnost arbitráže:• Půjčí si za proměnlivou sazbu• Koupí státní obligaci• Uzavře úrokový swap tak, že platí pevnou sazbu a dostává proměnlivou sazbu, která přesně pokrývá proměnlivý úrok z půjčkyInvestor pak v pravidelných intervalech dostává kuponové platby, jejichž část (kuponová sazba je vyšší než swapová sazba) mu postačí k zaplacení pevné části swapu, proměnlivou část swapu použije na placení úroku z půjčky a zbytek kuponové platby je jeho bezpracný zisk (free lunch).

Arbitráž

Státní dluhopisy států eurozóny mají různé výnosové křivky.

Předpokládáme-li, že všechny státní dluhopisy jsou bezrizikové, pak například Německo může emitovat svoje dvacetileté dluhopisy, za utržené prostředky nakoupit řecké

EUR Bond yield curves EoY 2008

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Germany

FranceNetherlands

ItalyGreece

státní dluhopisy a inkasovat zhruba 200bp rozdílu.

Deformace trhu

Existuje názor, že ceny českých státních dluhopisů byly/jsou uměle tlačeny dolů výprodeji zahraničních investorů, tj. jejich výnosy jsou uměle nadhodnoceny.

O října 2008 ČNB zavedla tzv. dodávací repo operace, které umožňují účastníkům trhu si půjčit prostředky:• Na dva týdny za 2W repo+10bp• Na tři měsíce za 2W repo+30bp• Kolaterálem jsou státní dluhopisy

ČNB tímto opatřením chce podpořit hladké fungování trhu se státními dluhopisy.

Zároveň existuje i názor, že sazby swapů jsou naopak uměle podhodnoceny.

Pohled jinam

CFO Forum

V červnu 2008 CFO Forum vydalo MCEV Principy, které říkají:Princip 14: Použité referenční sazby by měly být, kdykoliv je to možné, totožné se swapovou výnosovou křivkou příslušnou dané měně a peněžním tokům.

V prosinci 2008 ale v důsledku výkyvů na finančních trzích CFO Forum ohlásilo znovuotevření některých principů, mj. použití swapové výnosové křivky.

Například společnost Aviva v únoru 2009 oznámila, že pro výpočet MCEV pro některé části portfolia použije výnosovou křivku korporátních dluhopisů opravenou o ceny credit defaut swapů.

CEIOPS

Pro výpočet QIS 4 na konci roku 2007 CEIOPS pro jednotlivé měny předepsal použití časové struktury úrokových měr odvozených ze swapových křivek.

Pro neoficiání přepočet QIS 4 na konci roku 2008 CEIOPS opět poskytl sadu bezrizikových křivek odvozených ze swapů.

Reference

Ruská krizehttp://en.wikipedia.org/wiki/1998_Russian_financial_crisis

Argentinská krizehttp://en.wikipedia.org/wiki/Argentine_economic_crisis

Nesplacení závazků Ekvádoruhttp://www.reuters.com/article/bondsNews/idUSN1345398420090313

Nabídka ČNB na dodávací repo operacehttp://www.cnb.cz/cs/financni_trhy

MCEV Principleshttp://www.cfoforum.nl/eev.html

MCEV výsledky Avivyhttp://www.aviva.com/index.asp?PageID=44&category=corporate&year=Latest&newsid=4781

CEIOPS Quantitative Impact Studieshttp://www.ceiops.eu/content/view/118/124

Seminář z aktuárských věd

Vladimír Krejčí

20.3.2009

Současný vývoj úrokových křivek Část 3

Argumenty pro křivku státních dluhopisů

Úvod

• V kontextu dlouhodobých zkušeností s danou oblastí jsem osobně přesvědčený, že pro test postačitelnosti pojistných závazků v českých korunách je správné použít křivku českých státních dluhopisů

• Vzhledem k omezenému času je možné zmínit pouze hlavní argumenty

• Tato diskuse měla teoreticky proběhnout již v roce 2004, kdy jsme formulovali Odborné doporučení ČSpA č. 1

1. Žádné aktivum není zcela bezrizikové

• Riziko přírodních pohrom (zemětřesení, kometa, epidemie), války

• Ve finančním světě byly tradičně za bezrizikové považovány americké státní dluhopisy, dále německé, francouzské, …– Dnes stále považovány za „bezpečný přístav“– Ale už ne za zcela bezrizikové

• Pojďme diskutovat o nejméně rizikové dosažitelné možnosti, jak investovat– Namísto diskuse o „bezrizikovém aktivu a výnosu“

Termín „bezrizikové aktivum“ a „bezrizikový výnos“

• Hojně používán ve většině teorií o kapitálových trzích– Např. CAPM, arbitrage free, rizikově averzní, rizikově

neutrální – Black-Scholes, …

• V daných teoriích jsou tímto termínem myšleny americké státní dluhopisy, německé, francouzské atd.

• Aktuáři v posledních letech používají tento termín především v souvislosti s aplikací tzv. tržně konzistentních metod– Pro výpočty LATu, MCEV– Založených na uvedených finančních teoriích a

metodách– Tedy s obdobným významem termínu „bezrizikový“

2. Státní dluhopisy jsou nejméně riziková realizovatelná investiční

strategie• Hledejme realizovatelnou investiční strategii, která nejlépe zajistí

pojišťovnu vůči všem rizikům – tedy kreditnímu, úrokovému – včetně rizika vyplývajícího z úrokových garancí v pojistných produktech, akciovému, měnovému– Předpokládáme, že pojistné závazky jsou v českých korunách

• Takovou strategii představuje investování do českých státních dluhopisů– Mj. s vhodnou durační strukturou

• Alternativy– Akcie, nemovitosti, depozita, zlato, …– Existuje zcela nedostatečná nabídka korunových dluhopisů nadnárodních

institucí• EIB, EBRD

– Teoreticky lze investovat např. do německých státních dluhopisů v EUR• a zajistit měnové riziko• a případně i riziko odlišného vývoje úrokových křivek v EUR a CZK• Nicméně v takovém případě vznikají rizika

– spojená s daným hedgingem– V případě problémů českého státu může být omezeno nakládání s cizoměnovými

instrumenty– Možné účetní překážky/nekonzistentnosti

3. Lze investovat „do swapů“? Bylo by to méně rizikové? Proč jsou swapové úroky

nižší?

Lze investovat „do swapů“?• Deriváty se obecně v účetnictví vykazují v tržních cenách

přes výsledovku– Nekonzistentní s vykazováním závazků, vysoká volatilita

hospodářského výsledku

• Byly by nutné vysoké „kreditní linky“ na deriváty od protistran

• Investování „do swapů“ není realizovatelné

Bylo by to méně rizikové?• Hotovost by bylo třeba nějak investovat/uložit

– Kreditní riziko, v nejlepší případě srovnatelné se státními dluhopisy

• Je Pribor správný?– Riziko, že ve swapu bude pojišťovna platit publikovaný Pribor, ale

z depozit bude dostávat nižší úrok

3. Lze investovat „do swapů“? Bylo by to méně rizikové? Proč jsou swapové úroky

nižší?Proč jsou swapové úroky nižší?• Do swapu se nevkládá hotovost (ve výši nominálu)

– Derivát je „pouze“ smlouva o platbách/výměně úroků vypočítaných z nominálu

– Hodnota swapu je řádově nižší než nominál (při sjednání je obvykle nula)– V případě defaultu protistrany je ztráta pouze ve výši hodnoty

• Rizikovost/spread je funkcí pravděpodobnosti defaultu a ztráty při defaultu– Kreditní riziko/spread ~ pravděpodobnost * ztráta

Příklad:

Dluhopis SwapNominál 100 100Hodnota 98 4

Pravděpodobnost 1% 3%Potenciální ztráta 60 4

0,6 0,12

Riziko defaultu

Riziko = pravděpodobnost * ztráta

„Iracionality, anomálie, prostor pro arbitráž“ na současných

trzích• Příklady kreditních spreadů

– Dluhopisů– Srovnatelných derivátů = CDS (credit default swap)

• Strana, která si koupí CDS protekci– Platí ročně daný spread (* nominál)– V případě defaultu podkladového aktiva dostává plnění/nominál

od protistrany• Strana, která prodá CDS

– Dostává ročně daný spread– V případě defaultu platí nominál

– Kreditní spread u dluhopisu a srovnatelného CDS by měly být podobné, jinak by měla být možná arbitráž

– V současném prostředí se ale tyto spready významně liší

• Např. u pojišťovny Fortis je spread u dluhopisu významně vyšší než u CDS

• Naopak u rakouského státu je spread u dluhopisu významně nižší než u CDS

4. Jsou rezervy diskontované křivkou státních dluhopisů postačitelné?

• Pokud český stát dostojí svým závazkům, tak ano

• Pokud by hypoteticky státní dluhopisy nesplatil– Investice pojišťoven do státních dluhopisů

jsou řádově vyšší než LAT rezervy– Problém pojišťoven by byl obrovský a

velikost LAT rezervy by byla téměř irelevantní

Krach státu

• Pro většinu z nás těžko představitelné• Co by se v takové situaci mohlo dít?

– Obecně velká škála možností– Stát může nesplatit pouze cizoměnové závazky

• Nebo naopak

– Stát může preferovat určité věřitele• Např. místní finanční instituce, aby zachoval funkčnost

systému

– Může učinit řadu dalších, i neobvyklých opatření• Byly by jiné investice než státní dluhopisy v takové situaci

bezpečnější?

• Z hlediska pojišťoven– Objem státních dluhopisů v portfoliích pojišťoven

řádově vyšší než LAT rezervy

5. Byly by rezervy diskontované swapovými sazbami konzervativnější?

• Samozřejmě• Ale jaká je správná úroveň konzervativnosti rezerv?• V 19. století v počátcích aktuárské profese byla

požadována vysoká úroveň konzervativních přirážek• V současnosti

– Ocenění závazků nemá být nadbytečně konzervativní• Požadavek IFRS 4• Spíše by mělo být „tržně konzistentní“, a tedy reflektovat pouze

rizikovou averzi investorů• Odborná směrnice ČSpA č. 3 zahrnuje konzervativní „Market

Value Margins“ pro všechna rizika a je prudentnější než minimální požadavky IFRS

– Na pokrytí potenciálních rizik je třeba disponovat dostatečným kapitálem

• Solvency II• Hypotetický default státu => problémy především s dluhopisy na

straně aktiv, pouze marginálně s oceněním závazků

Existuje řada dalších argumentů

• Ve prospěch dluhopisové křivky

• I reakcí na argumenty pro swapové křivky

Závěr

• Pracovní skupina ČSpA se přiklonila ke křivce státních dluhopisů– Hlavním argumentem byla konzistentnost ocenění

aktiv a závazků

• Přidal bych– Státní dluhopisy představují nejméně rizikovou

realizovatelnou strategii– Investování „do swapů“ není realizovatelné a

nebylo by ani méně rizikové– Rezervy jsou při diskontování křivkou českých

státních dluhopisů postačitelné

Otázky a kometáre

?