Predmet: MA04

Vyucujıcı: Jan Chleboun, mıstnost B-305, linka 3866(jan.chleboun@cvut.cz)

Konzultace: utery 14:00-15:40 nebo dle dohody

Sledovat informace na webovych strankach vyucujıcıho(o zkousce, studijnı materialy aj.):web FSv CVUT → kat. matematiky → Chleboun → MA04nebo http://mat.fsv.cvut.cz/chleboun/

Hlavnı literatura◮ zdroje na webove strance prednasejıcıho◮ skripta O. Zindulka: MA 3◮ skripta K. Rektorys: MA 43 (knihovna)

1 / 24

Volitelny predmet: Seminar k Matematice 4 (101XSM4)Vıce informacı na webu.

Kdy a kde: streda 16:00 – 17:40, B-255

2 / 24

Magistersk e studium — n aro cn ejsı urove n nez bakal arsk estudium

Bakalar – zna kucharskou knihu. (Jak?)Inzenyr – pıse kucharskou knihu. (Proc a jak?)Prototyp inzenyra – Cyrus Smith (J. Verne, Tajuplny ostrov)

Matematika 6= resenı p rıkladu

◮ Trocha matematicke teorie stojıcı za resenım uloh, s nimizse setkate i v jinych predmetech (NAK).

◮ Pripomenutı matematickych souvislostı.◮ Castecne opakovanı.◮ Procvicenı mozku; abstraktnı myslenı.◮ Vetsı rozhled – lepsı pozice na trhu prace.◮ Prıprava na spolupraci s odbornıky, kterı hovorı

narocnejsım matematickym jazykem (absolventi FJFICVUT, MFF UK aj.).

3 / 24

Pokus: Pocıtejte hodnoty Ii dle rekurentnıch vztahu

I0 = 1 − 1e,

I1 = 1 − I0

(=

1e

),

I2 = 1 − 2I1,

I3 = 1 − 3I2,

. . .

In = 1 − nIn−1

tak dlouho, az pro nejake i poprve nastane Ii < 0.Poznamenejte si i a Ii .

4 / 24

Je p redm et MA04 obtızny?

Asi ano, ale mene, nez se povıda, nebot

◮ vektory, matice, determinanty jsou zopakovany na cvicenı◮ na strance k MA04 jsou odkazy na materialy k linearnı

algebre, derivaci a integralu vhodne pro opakovanı◮ MA04 predpoklada jen velmi malo znalostı z MA01, MA02,

MA03 (ne techniky, ale ponetı o pojmech)◮ na strance k MA04 jsou/budou prezentace prednasek◮ vetsina temat je strucne pokryta Prıruckou pro prezitı

5 / 24

Cast e namitky

6 / 24

Cast e namitky◮ Matematiku jsme meli naposled pred tremi lety!

6 / 24

Cast e namitky◮ Matematiku jsme meli naposled pred tremi lety!

V odbornych predmetech nebyla zapotrebı? To je zopakovanı sizakladu takovy probem (viz pripravene materialy)?

6 / 24

Cast e namitky◮ Matematiku jsme meli naposled pred tremi lety!

V odbornych predmetech nebyla zapotrebı? To je zopakovanı sizakladu takovy probem (viz pripravene materialy)?

◮ Tohle nikdy nebudu potrebovat, vidım to ve firme, kdepracuji!

6 / 24

Cast e namitky◮ Matematiku jsme meli naposled pred tremi lety!

V odbornych predmetech nebyla zapotrebı? To je zopakovanı sizakladu takovy probem (viz pripravene materialy)?

◮ Tohle nikdy nebudu potrebovat, vidım to ve firme, kdepracuji!a) Mozna prımo ne – stejne jako 92% informacı, ktere Vamiprotekly behem cele skolnı dochazky (60-85% z pobytu na FSv).Je vsak osobnost a jejı schopnost resit problemy utvarena jenskolenım zamerenym na konkretnı ukol?

6 / 24

Cast e namitky◮ Matematiku jsme meli naposled pred tremi lety!

V odbornych predmetech nebyla zapotrebı? To je zopakovanı sizakladu takovy probem (viz pripravene materialy)?

◮ Tohle nikdy nebudu potrebovat, vidım to ve firme, kdepracuji!a) Mozna prımo ne – stejne jako 92% informacı, ktere Vamiprotekly behem cele skolnı dochazky (60-85% z pobytu na FSv).Je vsak osobnost a jejı schopnost resit problemy utvarena jenskolenım zamerenym na konkretnı ukol?b) Pohled skoly je jiny. Diplom ma byt pro absolventa i jehozamestnavatele potvrzenım toho, ze absolvent v urcitemrozsahu zvlada urcite spektrum disciplın, ze je jakymsivıcebojarem. Pokud toho v zivote nevyuzije, je to jeho vec. Pakse take naskyta otazka, zda takovy certifikat vubec potrebuje.

6 / 24

Zpet k pokusu: V posloupnosti je In =1e

∫ 10 xnex dx . Ukazme to

integracı po castech

In =1e

∫ 1

0xnex dx =

1e

[xnex]1

0 −1e

n∫ 1

0xn−1ex dx

=1e(e − 0)− nIn−1 = 1 − nIn−1.

7 / 24

Zpet k pokusu: V posloupnosti je In =1e

∫ 10 xnex dx . Ukazme to

integracı po castech

In =1e

∫ 1

0xnex dx =

1e

[xnex]1

0 −1e

n∫ 1

0xn−1ex dx

=1e(e − 0)− nIn−1 = 1 − nIn−1.

Platı

I0 =1e

∫ 1

01ex dx =

1e[ex ]

10 =

e − 1e

= 1 − 1e.

7 / 24

Zpet k pokusu: V posloupnosti je In =1e

∫ 10 xnex dx . Ukazme to

integracı po castech

In =1e

∫ 1

0xnex dx =

1e

[xnex]1

0 −1e

n∫ 1

0xn−1ex dx

=1e(e − 0)− nIn−1 = 1 − nIn−1.

Platı

I0 =1e

∫ 1

01ex dx =

1e[ex ]

10 =

e − 1e

= 1 − 1e.

Vzdy je In > 0, navıc limn→+∞ = 0, nebot

0 <

∫ 1

0xnex dx ≤ e

∫ 1

0xn dx =

en + 1

[xn+1

]1

0=

en + 1

n→+∞−→ 0.

M. Krızek: Muzeme verit numerickym vypoctum? PMFA, 2011, cıslo 4 (podle

I. Babuska, M. Prager, E. Vitasek: Numerical processes in differential equations, 1966)

7 / 24

Matematika 4 zacınaZaklady zna cenıR, C . . . mnozina realnych, komplexnıch cısel∈; a ∈ R . . . je prvkem; a je realne cıslo∀; ∃; ∃! . . . (pro) kazdy; existuje; existuje prave jeden=⇒; ⇐⇒ . . . z toho plyne; prave tehdy, kdyzC([a,b]), Ck ([a,b]) . . . mnozina (ale!, viz dale) vsech realnychfuncı spojitych na uzavrenem intervalu [a,b], spojitych nauzavrenem intervalu [a,b] do k-te derivace vcetne

Ukazka definice mnozinyM =

{v ∈ C1([a,b])| v(a) = 0 & v ′(b) = 0

}

8 / 24

Vektorovy (t ez line arnı) prostor V : prvky lze scıtat a nasobitskalarem, pricemz platı (1)-(9)

∀u, v ∈ V u + v = v + u, (1)

∀u, v , z ∈ V u + (v + z) = (u + v) + z, (2)

∃! 0 ∈ V ∀u ∈ V u + 0 = u, (3)

∀v ∈ V ∃! − v ∈ V v + (−v) = 0, (4)

∀α ∈ C (nebo ∈ R) ∀v ∈ V αv ∈ V , (5)

∀v ∈ V 1v = v , (6)

∀α, β ∈ C (nebo ∈ R) ∀v ∈ V α(βv) = (αβ)v , (7)

∀α ∈ C (nebo ∈ R) ∀u, v ∈ Vα(u + v) = αu + αv , (8)

∀α, β ∈ C (nebo ∈ R) ∀v ∈ V (α + β)v = αv + βv . (9)

Ale nejdulezit ejsı jsou dv e vlastnosti:u, v ∈ V =⇒ u + v ∈ V u ∈ V , a ∈ R =⇒ au ∈ VEkvivalentne: u, v ∈ V a,b ∈ R =⇒ au + bv ∈ V

Znate v. p. Rn, Ck ([a,b]),M =

{v ∈ C1([a,b])| v(a) = 0 & v ′(b) = 0

}.

9 / 24

Vlastnı cısla a vlastnı vektory maticNecht A je ctvercova matice. Nenulovy sloupcovy vektor x senazyva vlastnı vektor matice A, platı-li Ax = λx pro nejake cısloλ ∈ C. Toto λ se nazyva vlastnı cıslo matice A odpovıdajıcıvlastnımu vektoru x .

λ je vlastnı cıslo matice A ⇐⇒ (prave tehdy, kdyz)λ je korenem charakteristickeho polynomu matice A, tj.det(A − λI) = 0. Navod pro vypo cet vl. cısel mal e matice!Koreny mohou byt nasobne i komplexnı (cısla).

Vl. vektor(y) odpovıdajıcı vl. c. λ zıskame vyresenım soustavylin. alg. rovnic (A − λI)x = 0.

Pocet linearne nezavislych vlastnıch vektoru muze byt mensınez pocet vlastnıch cısel (branych s nasobnostı).

Vyuzitı: vlastnosti metod NLA, resenı soustav LODR X = AX + b,hlavnı smery napetı a hlavnı napetı, vlastnı frekvence a vlastnı tvarykmitanı, Google . . .

10 / 24

Necht A je ctvercova matice (realna nebo komplexnı).◮ Matice A je singularnı (tj. neexistuje A−1, regularnı:

existuje A−1) prave tehdy, kdyz ma vlastnı cıslo 0.◮ (λ, x) vlastnı par matice A =⇒ (λ2, x) vlastnı par matice A2.◮ Existuje-li A−1, je (λ, x) vlastnım parem matice A prave

tehdy, kdyz (1/λ, x) je vlastnım parem matice A−1 (tj. Ai A−1 majı stejne vlastnı vektory).

◮

∑ni=1 λi = tr A, kde tr A =

∑ni=1 aii ,

∏ni=1 λi = det A

◮ Je-li (λ, x) vlastnı par realne matice A, pak take (λ, x) jevlastnım parem matice A. Realna nesymetricka matice muzemıt komplexnı vl. cısla a vektory!

◮ A i AT majı stejna vl. cısla, vl. vektory mohou byt ruzne.◮ Je-li A realna a symetricka, pak vsechna jejı vlastnı cısla

jsou realna a vlastnı vektory odpovıdajıcı ruznym vlastnımcıslum jsou navzajem kolme.

11 / 24

Dokazme poslednı tvrzenı.Definujme skal. soucin pro vektory s komplexnımi slozkami:

(u, v)C =

n∑

i=1

uiv i , u, v ∈ Cn

Platı: (u, v)C = (v ,u)C, (u, λv)C = λ(u, v)C λ ∈ C

Prıklad: u = (1 + i, 2 − 3i,−4 + 2i), v = (5 − i, 2i, 4 − 3i)(u, v)C = −24+2i, (v , u)C = −24−2i (u, u)C = 35, (v , v)C = 55

Dukaz: Necht Au = λu a Av = ωv , kde λ 6= ω. Pak

λ(u,u)C = (Au,u)C = (u,ATu)C = (u,Au)C

= (u, λu)C = λ(u,u)C(u,u)C>0=⇒ λ = λ;

λ(u, v)C = (Au, v)C = (u,Av)C = ω(u, v)Cλ6=ω=⇒ (u, v)C = 0.

12 / 24

Nasobnost vlastnıho cısla λ matice A typu n × n◮ algebraicka: nasobnost korene charakteristickeho

polynomu p(λ) = det(A − λI), tj. nasobnost resenı char.rovnice det(A − λI) = 0

◮ geometricka: dimenze (pod)prostoruN (A − λI) = {v ∈ C

n : (A − λI)v = 0}, tj. maximalnı pocetlin. nezavislych vlastnıch vektoru prıslusnych vl. cıslu λ.

Ukazka:

A =

4 0 00 4 00 0 4

, p(λ) = (4−λ)3, baze (vl. v.):

100

,

010

,

001

.

Nasobnost algebraicka = 3, geometricka = 3.

13 / 24

A =

4 1 00 4 00 0 4

, p(λ) = (4 − λ)3, baze (vl. v.):

100

,

001

.

Nasobnost algebraicka = 3, geometricka = 2.

A =

4 1 00 4 10 0 4

, p(λ) = (4 − λ)3, baze (vl. v.):

100

.

Nasobnost algebraicka = 3, geometricka = 1.

Dalsı vlastnosti:◮ 1 ≤ geom. nasobnost ≤ algebraicka nasobnost ≤ n◮ Vlastnı cısla hornı (dolnı) trojuhelnıkove matice lezı na jejı

hlavnı diagonale

14 / 24

DefiniceMnozina vsech vlastnıch cısel matice se nazyva spektrummatice. Spektrum matice A budeme oznacovat σ(A).

DefiniceRealnemu cıslu (A) = max{|λ| : λ ∈ σ(A)} rıkame spektralnıpolomer matice A.

15 / 24

Vl. pary pro vetsı a velke matice — numerickymi metodami

Mocninna metoda s Hotellingovou redukcı (nejjednodussı verze)

Predpoklady: A symetricka typu n × n, vlastnı cısla jenjednonasobna, existuje n linearne nezavislych vl. vektoru.

1. m := 0, zvolme vektor v0, napr. v0 := (1,1, . . . ,1)T.

2. v := Avm; cm+1 := ta slozka vektoru v , jejız absol. hodnotaje nejvetsı; vm+1 := v/cm+1; m := m + 1.

3. cm ma konvergovat k vl. c. s nejvetsı absol. hodnotou, vm

ma konvergovat k prısl. vl. vektoru; nejsme-li s konvergencıspokojeni, vratıme se na 2, jinak pokracujeme na 4

4. Chceme-li vypocıtat vl. c. s druhou nejvetsı absol.hodnotou matice A, pouzijeme Hotellingovu redukci:q := cm/(vm · vm); A := A − qvmvT

m, nova matice A mamısto puvodnıho vl. c. s nejvetsı absol. hodnotou vl. cıslo0, ostatnı vl. c. jsou zachovana; vratıme se na 1.Nechceme-li pocıtat dalsı vl. cısla, ukoncıme vypocet.(Ukazka – Matlab.)

V praxi spıse jine metody — Lanczos, Householder, Givens, . . .16 / 24

Gersgorinova vetaNecht A = (aij) je komplexnı nebo realna ctvercova maticen-teho radu, tj. typu (n,n). Potom vsechna vlastnı cısla maticeA lezı v komplexnı rovine ve sjednocenı

⋃ni=1 Ki kruhu Ki

o stredu aii a polomeru∑n

j=1, j 6=i |aij |:

Ki =

z ∈ C : |aii − z| ≤

n∑

j=1, j 6=i

|aij |

, i = 1,2, . . . ,n.

V kazde komponente tohoto sjednocenı lezı prave tolikvlastnıch cısel matice A, z kolika kruhu tato komponentavznikla. Specialne – v izolovanem kruhu lezı prave jednovlastnı cıslo.

17 / 24

Prıklad

Je dana matice

A =

1 0 50 2 0−2 0 3

.

Pomocı Gersgorinovy vety zjistete,a) zda je zaruceno, ze matice A je regularnı;b) zda by cıslo −4 + 2i mohlo byt vlastnım cıslem matice A;c) zda by cıslo 4 + 2i mohlo byt vlastnım cıslem matice A.Odhadnete spektralnı polomer.

Vypoctete vlastnı cısla, spektralnı polomer, prıpadne vlastnıvektory. Existuje-li A−1, vypoctete vl. cısla.

18 / 24

Resenı: Spocteme vlastnı cısla a porovname s odhady danymiGersgorinovymi kruhy.

det(A − λI) = det

1 − λ 0 50 2 − λ 0−2 0 3 − λ

= (1 − λ)(2 − λ)(3 − λ) + 10(2 − λ)

= (2 − λ)(3 − 4λ+ λ2 + 10) = (2 − λ)(λ2 − 4λ+ 13)

Koreny, tj. vlastnı cısla

det(A − λI) = 0 ⇒ λ1 = 2 + 3i, λ2 = 2 − 3i, λ3 = 2

Vl. cısla nenulova =⇒ existuje A−1. Prıslusna vl. c.:

λ1 = 1/λ1 =1

2 + 3i=

2 − 3i13

, λ2 =2 + 3i

13, λ3 = 1/2.

19 / 24

−6 −4 −2 0 2 4 6−6

−4

−2

0

2

4

6

S1

S2

S3

λ1

λ2

λ3

Reálná osa

Imag

inár

ní o

sa

G. kruznice, vl. císla λ, spektr. polomer, jeho h. odhad

a) G. veta regularnost nezarucı, nebot pocatek (tj. nula) lezı vnejvetsım modrem kruhu, nenı vylouceno, ze je vl. c.b) Ne; stacı G. veta, −4 + 2i lezı mimo G. kruhy.c) G. veta pripoustı, ze mohlo, nebot 4 + 2i lezı v G. kruhu.

Spektralnı polomer presny (A) = |2 + 3i| = |2 − 3i| =√

13,odhadnuty dle G. vety Gersgorin(A) = 6 (polomer nejmensıho kruhupokryvajıcıho vsechny modre kruznice).

20 / 24

Vlastnı vektory: resıme (A − λI)v = (0, 0, 0)T

λ1 = 2 + 3i ⇒

−1 − 3i 0 5

0 −3i 0−2 0 1 − 3i

∼

−10 0 5 − 15i

0 −3i 010 0 −5 + 15i

∼

−2 0 1 − 3i0 −3i 00 0 0

⇒ v1 =

1 − 3i02

r , r ∈ C \ {0}

Zkouska: leva strana Av1, prava strana λ1v1; leva str. ?= prava str.

Av1 =

1 0 50 2 0−2 0 3

1 − 3i02

=

11 − 3i0

4 + 6i

, λ1v1 = (2+3i)

1 − 3i02

=

11 − 3i0

4 + 6i

;

leva strana = prava strana, tj. (λ1, v1) je vlastnı par.

21 / 24

λ2 = 2 − 3i ⇒

−1 + 3i 0 5

0 3i 0−2 0 1 + 3i

∼

10 0 −5 − 15i0 3i 0

−10 0 5 + 15i

∼

2 0 −1 − 3i0 3i 00 0 0

⇒ v2 =

1 + 3i02

q, q ∈ C \ {0} Zk. . . .

λ3 = 2 ⇒

−1 0 50 0 0−2 0 1

⇒ v3 =

010

p, p ∈ C \ {0} Zk. . . .

22 / 24

Prıklad

Je dana matice

A =

1 + 3i 1 + i 2/(1 + i)1/2 3 − 2i (1 + i)/i−2i (1 + i)/2 −3i

.

Pomocı Gersgorinovy vety zjistete,a) zda je zaruceno, ze matice A je regularnı;b) zda by cıslo 2 + 3i mohlo byt vlastnım cıslem matice A;c) zda by cıslo −3 − 2i mohlo byt vlastnım cıslem matice A;d) zda by cıslo −2/5 − i/5 mohlo byt vlastnım cıslem maticeA−1.Odhadnete spektralnı polomer.

Gersgorinovy kruhyKruh K1: S1 = [1, 3], r1 = 2

√2 < 3

Kruh K2: S2 = [3, −2], r2 = 12 +

√2 < 2

Kruh K3: S3 = [0, −3], r3 = 2 +√

22 < 3

23 / 24

−6 −4 −2 0 2 4 6

−4

−2

0

2

4

6

S1

S2

S3

λ1

λ2

λ3

G. kruznice, vl. cisla λ, spektr. polomer, jeho h. odhad

Reálná osa

Imag

inár

ní o

sa

a) ano, nula (pocatek) je mimo G. kruhy; b) ano, lezı v G. kruhuc) ne, protoze nejblizsı kruh je K3, ale vzdalenost bodu od stredu S3

je | − 3 − 2i − (−3i)| = | − 3 + i| =√

10 > 3

d) ne, nebot1

−2/5 − i/5= −2 + i lezı mimo G. kruhy, tedy nemuze

byt vl. c. matice A, tudız −2/5 − i/5 nemuze byt vl. c. matice A−1.

24 / 24