1

Softwarová podpora při řešení projektů

s aplikací statistických metod

Ing. Jan Král

CQR při ISQ Praha

Ing. Josef Křepela

CQR při Ústavu strojírenské technologie Strojní fakulty ČVUT

Praha

2

Uplatňování statistických metod při analýze výrobního

procesu a při návrhu statistické regulace:

• definovat proces (znaky jakosti, mezní hodnoty)

• uvažovat všechny možné zdroje variability a

eliminovat ty, u kterých je to možné;

• zvolit měřící systém a stanovit jeho opakovatelnost,

reprodukovatelnost a způsobilost ;

• zpracovat výčet možných situací které mohou

zhoršovat jakost na výstupu procesu a instrukcí

k jejich eliminování pro obsluhu;

3

• stanovit plán pro sběr základních dat (velikost

podskupin, kontrolní intervaly, způsob záznamu

zabezpečit jejich správnost atd.);

• realizovat korektní sběr dat;

• zálohovat primární data a zvolit vhodné metody

zpracování dat a softwarovou podporu;

• detekovat vymezitelné příčiny variability a

usilovat

o jejich odstranění (pokud to jde);

• ověřit předpoklady nutné pro aplikaci vybraných

statistických metod (normalita, stabilita procesu

atd.);

4

• vyhodnocení náhodné – neodstranitelné

variability a stanovit způsobilost a výkonnost

sledovaného znaku jakosti;

• navrhnout vhodný způsob sledování procesu pro

další období.

5

Nejčastější prohřešky v praxi:

• nevhodný způsob měření;

• nedostatečná analýza možných vymezitelných

příčin variability;

• cílená, nebo nevědomá úprava napozorovaných

dat;

• nesprávná volba metody zpracování dat,

nerespektování stanovených předpokladů;

• žádná, nebo nedostatečná softwarová podpora;

• nesprávné využívání softwaru.

6

Důvody pro zpracování projektů analýzy procesu s podporou Microsoft Excel

• nedostatek finančních prostředků pro koupi

sofistikovaného softwaru podporujícího analýzu

procesu a SPC;

• ověření možností a potřeby provádět analýzu

procesu, argumenty pro koupi vhodného

softwaru;

• Microsoft Excel, který je běžně užíván zahrnuje

značnou škálu statistických funkcí a nástrojů,

postačujících pro počáteční studie.

7

Šablony pro analýzu dat

Pro úvodní analýzu procesu, vyhodnocení předpokladů pro stanovení způsobilosti a výkonnosti procesu a uplatnění statistické regulace byly vypracovány šablony zahrnující pět pracovních listů.

Zásadně do žlutě zabarvených buněk je možno vkládat a měnit hodnoty. Zeleně zabarvené buňky obsahují vzorce a zobrazují výsledky. Tyto nesmí být měněny.

8

1) List „Data“

Záznam napozorovaných dat a výpočet základních výběrových charakteristik podskupin

x bar, Me, s, s2, R .

Na listě je možno činit poznámky o případných změnách a zásazích v procesu. Data i poznámky je možno na příkaz vytisknout.

9

Napozorované hodnoty v podskupinách Výběrové charakteristiky podskupin

j x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x bar Me s s2 R

1 19,993 19,995 19,997 19,995 19,999 19,99580 19,99500 0,00228 0,00001 0,00600

2 20,006 20,010 20,010 20,022 20,002 20,01000 20,01000 0,00748 0,00006 0,02000

3 19,958 19,982 19,973 19,985 19,979 19,97540 19,97900 0,01069 0,00011 0,02700

4 19,996 20,006 19,988 20,002 20,001 19,99860 20,00100 0,00691 0,00005 0,01800

5 19,995 19,998 20,002 20,003 19,998 19,99920 19,99800 0,00327 0,00001 0,00800

6 20,009 20,006 20,012 20,007 20,012 20,00920 20,00900 0,00277 0,00001 0,00600

7 20,001 20,006 20,006 19,995 20,006 20,00280 20,00600 0,00487 0,00002 0,01100

8 20,004 20,002 20,006 19,991 20,005 20,00160 20,00400 0,00611 0,00004 0,01500

9 19,986 19,984 20,010 20,001 20,005 19,99720 20,00100 0,01161 0,00013 0,02600

10 19,991 20,011 20,006 19,980 20,009 19,99940 20,00600 0,01339 0,00018 0,03100

11 19,996 19,996 20,001 20,003 19,996 19,99840 19,99600 0,00336 0,00001 0,00700

12 20,002 20,018 20,006 19,987 19,995 20,00160 20,00200 0,01167 0,00014 0,03100

13 20,019 19,981 20,005 19,990 20,007 20,00040 20,00500 0,01496 0,00022 0,03800

14 20,046 20,039 20,028 20,030 20,021 20,03280 20,03000 0,00978 0,00010 0,02500

15 19,996 20,003 20,005 19,997 20,008 20,00180 20,00300 0,00517 0,00003 0,01200

16 20,008 19,985 20,005 19,989 20,002 19,99780 20,00200 0,01018 0,00010 0,02300

17 20,005 20,018 20,007 19,994 20,028 20,01040 20,00700 0,01301 0,00017 0,03400

18 20,010 20,013 19,977 19,999 20,004 20,00060 20,00400 0,01426 0,00020 0,03600

19 19,998 19,995 20,013 19,995 20,012 20,00260 19,99800 0,00913 0,00008 0,01800

20 20,011 20,026 20,017 19,989 20,015 20,01160 20,01500 0,01378 0,00019 0,03700

21 20,019 20,004 20,026 20,004 19,995 20,00960 20,00400 0,01258 0,00016 0,03100

22 20,018 20,013 19,998 20,000 20,011 20,00800 20,01100 0,00863 0,00007 0,02000

23 20,018 20,005 20,024 19,982 20,003 20,00640 20,00500 0,01623 0,00026 0,04200

24 20,000 20,007 20,003 20,001 20,000 20,00220 20,00100 0,00295 0,00001 0,00700

25 19,996 20,004 20,009 20,000 19,999 20,00160 20,00000 0,00503 0,00003 0,01300

26 19,999 20,007 19,993 20,017 19,990 20,00120 19,99900 0,01096 0,00012 0,02700

27 20,000 20,001 20,003 19,998 20,001 20,00060 20,00100 0,00182 0,00000 0,00500

28 20,039 20,006 20,019 20,018 20,035 20,02340 20,01900 0,01350 0,00018 0,03300

29 19,998 20,005 20,007 20,002 20,008 20,00400 20,00500 0,00406 0,00002 0,01000

30 20,013 19,983 19,987 20,021 19,999 20,00060 19,99900 0,01633 0,00027 0,03800

31 20,025 20,035 20,055 20,043 20,046 20,04080 20,04300 0,01137 0,00013 0,03000

32 20,025 20,023 19,985 19,989 20,022 20,00880 20,02200 0,01998 0,00040 0,04000

33 19,999 20,009 19,982 20,000 20,016 20,00120 20,00000 0,01279 0,00016 0,03400

34 20,018 20,020 20,002 20,012 20,024 20,01520 20,01800 0,00856 0,00007 0,02200

35 19,993 20,007 20,007 19,997 19,996 20,00000 19,99700 0,00656 0,00004 0,01400

36 20,015 20,012 20,005 20,019 20,006 20,01140 20,01200 0,00594 0,00004 0,01400

10

2) List „Výpočet regulačních diagramů“

• Shewhartových, v souladu s ČSN ISO 8258 když základní hodnoty nejsou dány („přirozené“ regulační meze).

• Shewhartových, v souladu s ČSN ISO 8258 když základní hodnoty jsou dány („technické“ regulační meze).

• Rozšířené regulační meze vycházející z celkové směrodatné odchylky tot.

• Rozšířené regulační meze vycházející ze směrodatné odchylky výběrových průměrů podskupin x bar.

• Rozšířené regulační meze vycházející z rozšíření regulačního pole o v souladu s přístupem firmy Ford a dalších automobilových firem.

11

USL = 20,04

PRAVDA nj rozsah podskupiny 5 LSL = 19,96 0,0040

PRAVDA k počet podskupin 100 = 0,0030

PRAVDA x bar bar = 20,004532 Pp = Ppk = 1,33 0,0028

PRAVDA Me bar = 20,005460

PRAVDA R bar = 0,020520 X0 = 20

PRAVDA s bar = 0,008354 0 = 0,010025

s2 bar = 0,000094

s tot = 0,012554 max = 20,055

s xbar 0,009120 min = 19,955

Fixní měřítko osy Y grafů PRAVDA

Graf polohy: Maximum: 20,050Minimum: 19,960Dělení osy: 0,010

Graf měnlivosti: Maximum: 0,025Minimum: 0,000Dělení osy: 0,005

Vypočtené statistiky pro RD:

Regulační diagramy pro výběrové průměry a směrodatné odchylky :

Meze

X

eM

R

s2s

tots

Xs

Přirozené

Technické

Rozšířené Stot

Rozšířené Sx bar

Rozšířené delta

Zóny A,B,C

Skrytá data nesmazat!

Regulační diagram se automaticky překresluje pro

počítačem navrženou y-stupnici. Při zaškrtnutí nedochází k přepočtu a

překreslení je možno provést pro zadané hodnoty.

Zaškrtnutím je možno zvolit typy regulačních

mezí.

Zaškrtnutím je možno zobrazit zóny pro testy

nenáhodných seskupení.

Zadání USL a LSL je nezbytné pro výpočet

„technických“ regulačních mezí..

12

Výpočet regulačních mezí je proveden automaticky.

A) Základní hodnoty nejsou stanoveny (přirozené regulační meze):

Statistika CL UCL LCL

x bar x bar bar x bar bar + A2* R bar 20,016 x bar bar - A2*R bar 19,993

x bar bar x bar bar + A3*s bar 20,0165 x bar bar - A3 * s bar 19,9926

R R bar R bar * D4 0,043 R bar * D3 0,000

s s bar s bar * B4 0,01745 s bar * B3 0,000

Me Me bar Me bar + A4 * R bar 20,020 Me bar - A4 * R bar 19,991

B) Základní hodnoty jsou stanoveny (technické regulační meze):

Statistika CL TUCL TLCL

x bar X0 X0 + A 0 20,013 X0 - A 0 19,987

s 0*C4

0 *B6 0,020

0 *B5 0,000

R 0*d2

0 *D2 0,049

0 *D1 0,000

C) Rozšířené regulační meze pro výběrové průměry, s využitím s tot:

Statistika CL UCL LCL

x bar x bar bar x bar bar + A3*s tot *C4 20,021 x bar bar - A3 * s tot * C4 19,988

x bar x bar bar x bar bar + 3*s x bar 20,032 x bar bar - 3*s x bar 19,977

D) Rozšířené regulační meze pro výběrové průměry, s využitím :

Statistika CL UCL LCL

x bar x bar bar xbarbar+A3*sbar+/2 20,016 xbarbar - A3*sbar - /2 19,993

Vzorce a výpočet regulačních diagramů při kontrole měřením:

13

LSL TLCL RLCL2 RLCL RLCL LCL CL UCL RUCL RUCL RUCL2 TUCL USL

19,960 19,987 19,977 19,993 19,9877 19,9926 20,0045 20,0165 20,0214 20,0165 20,0319 20,0135 20,040

Výběrové průměry

19,960

19,970

19,980

19,990

20,000

20,010

20,020

20,030

20,040

20,050

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Zakreslený regulační diagram pro výběrové průměry se zvolenými (zaškrtnutými) regulačními mezemi a vyznačenými zónami.

Regulační meze:

„Přirozené“

„Technické“

„Rozšířené sTot“

„Rozšířené sx bar“

„Rozšířené o “

14

CL LCL UCL

0,00835 0,0000 0,01745

Výběrové směrodatné odchylky

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Zakreslený regulační diagram pro výběrové směrodatné odchylky s „přirozenými“ regulačními mezemi a vyznačenými zónami.

15

3) List „Způsobilost“

• Pro ukazatele způsobilosti Cp, CpU, CpL a Cpk se počítají

odhady; konfidenční intervaly pro zvolenou konfidenční úroveň; statistické pokryvné intervaly.

Tyto ukazatele vycházejí z „krátkodobé“ variability uvnitř podskupin. Předpokládá se normální rozdělení studovaného znaku jakosti a statisticky zvládnutý proces („v užším slova smyslu“) – v čase se nemění ani střední hodnota, ani variabilita.

Např. ve výrazu

se odhaduje jako

6

LSLUSLCp

.)xx(n

1

k

1s

k

1i

n

1j

2jij

16

• Pro ukazatele výkonnosti Pp, PpU, PpL a Ppk se počítají

odhady; konfidenční intervaly pro zvolenou konfidenční úroveň; statistické pokryvné intervaly

Tyto ukazatele vycházejí z „dlouhodobé“ variability v procesu, tj. jak variability uvnitř podskupin, tak mezi podskupinami. Předpokládá se normální rozdělení studovaného znaku jakosti a statisticky zvládnutý proces („v širším slova smyslu“) – v čase se nemění variabilita, ale střední hodnota se může měnit známým způsobem a je neodstranitelná.

Např. ve výrazu

se tot odhaduje jako

totp 6

LSLUSLP

.)xx(kn

1s

kn

1i

2totitot

17

nj rozsah podskupiny 5

k počet podskupin 100

x bar bar = 20,004532

R bar = 0,020520

s bar = 0,008354

s2 bar = 0,000094

s tot = 0,012554

způsobilosti a výkonnosti

Výpočet ukazatelů způsobilosti a výkonnosti

Výběrové charakteristiky pro výpočet ukazatelů

Výběrové průměry

19,940

19,960

19,980

20,000

20,020

20,040

20,060

0 10 20 30 40

Výběrové směrodatné odchylky

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0 10 20 30 40

XeMR

s2s

tots

Z dat v listu „Data“ se přenesou základní statistiky:

a provedou se následující výpočty:

18

Volba typu způsobilosti:

Způsobilost: R bar / d2 0,0088

odhad způsobilosti: 0,0088877 s bar / C4 0,0088877

odm. s2 bar 0,0097

Počet podskupin k = 100 2

Rozsah podskupin nj = 5Počet stupňů volnosti n = 400

Dána USL = 20,04

Dána LSL = 19,96

odhad Cpx = 1,500

Konfidenční interval:

konfidenční úroveň 1-2a = 0,95koeficient dolní k(n,a) = 0,930701

koeficient horní k(n,1-a) = 1,069235

1,396 < Cp < 1,604

odhad CxpU = 1,330

pU = 3,2941E-05

odhad CxpL = 1,670

pL = 2,71409E-07

odhad Cxpk = 1,330

Konfidenční interval:

koeficient dolní m(n,a) = 0,930705

koeficient horní m(n,1-a) = 1,069295

1,238 < Cpk < 1,422

R bar / d2s bar / C4odm. s2 bar

19

Výkonnost:

odhad Pxp = 1,062

Konfidenční interval:počet st. volnosti n = 499

konfidenční úroveň 1-2a = 0,95koeficient dolní k(n,a) = 0,937953

koeficient horní k(n,1 a) = 1,061996

0,996 < Pp < 1,128

odhad PxpU = 0,942

pU = 0,002362646

odhad PxpL = 1,182

pL = 0,000194692

odhad Pxpk = 0,942

Konfidenční interval:

koeficient dolní m(n,a) = 0,937958

koeficient horní m(n,1 a) = 1,062042

0,883 < Ppk < 1,000

20

Statistické pokryvné intervaly: n = 400Cp

pravděpodobnost 1-2a = 0,95dán ukazatel Cp = 1,33koeficient dolní l(n,a) = 0,935248

koeficient horní l(n,1 a) = 1,074459

1,244 < Cxp < 1,429

Cpk

pravděpodobnost 1-2a = 0,99dán ukazatel Cpk = 1,00koeficient dolní n(n,a) = 0,916532

koeficient horní n(n,1 a) = 1,100194

0,917 < Cxpk < 1,100

Pp

pravděpodobnost 1-2a = 0,95dán ukazatel Pp = 1,33koeficient dolní l(n,a) = 0,935248

koeficient horní l(n,1 a) = 1,074459

1,244 < Pxp < 1,429

Ppk

pravděpodobnost 1-2a = 0,90dán ukazatel Ppk = 1,67koeficient dolní n(n,a) = 0,945042

koeficient horní n(n,1 a) = 1,061745

1,578 < Pxpk < 1,773

Pro ukazatele C je n = k(n-1).

Pro ukazatele P je n = kn-1.

21

4) List „Normalita“

• Provádí se Kolmogorovův test dobré shody s normálním rozdělením na hladině významnosti a = 0,05;

• Zakresluje se histogram z napozorovaných hodnot s proloženou křivkou normálního rozdělení.

Pro zakreslení histogramu se automaticky vypočítají meze třídních intervalů. Je ale možno zvolit jak šířku třídních intervalů, tak horní mez prvního třídního intervalu.

22

počet = 500x bar tot = 20,005s tot = 0,0126Max = 20,055Min = 19,955Rozpětí = 0,100Teor.počet int. = 23,00Šířka třídy = 0,0043

Max. ABS, dif. 0,063992054Krit. hod. = 0,060821049

Závěr:

500,0000

Fixovat PRAVDAŠířka třídy 0,0050Počet mezi kat. 3h. mez.1.int. 19,9500

Normalitu zamítnout

Kolmogorovův test dobré shody s normálním rozdělením

0

20

40

60

80

100

120

19,9475 19,9625 19,9775 19,9925 20,0075 20,0225 20,0375 20,0525

23

5) List „Stabilita“

• Ověřuje se hypotéza, že všechny podskupiny pocházejí ze základních souborů se stejnou střední hodnotou pomocí ANOVA.

• Ověřuje se hypotéza, že všechny podskupiny pocházejí ze základních souborů se stejným rozptylem pomocí Bartlettova testu.

24

Test středních hodnot100

celkový průměr = 20,0045celková sm. odch. = 0,01255

SS mezi výběry = 0,0400

počet st. vol. mezi výběry (f1) = 99

MS mezi výběry = 0,00

SS všechny výběry = 0,0329

počet st. vol. všechny výběry (f2) = 400

MS všechny výběry = 0,000082

SS celkem = 0,0729

počet st. vol. celkem = 499

testová statistika F = 4,905

Zvolená hl. významnosti a = 0,05a krit. F = 1,28422

(tj. 1-a kvantil F)

Hypotéza o rovnosti středních hodnot se zamítáP-hodnota = 3,05E-30

souborů se stejnou střední hodnotou a stejným rozptylemOvěření hypotézy: Všechny podskupiny pocházejí ze základních

25

Test rozptylů (Bartlettův test)fi = 4

log(fi) = 0,602060

s2 = 0,000087

log(s2) = -4,062419

suma [log(SSDi) - log(fi)] = -415,3903717

[suma [log(SSDi) - log(fi)]] / počet(E:E) = -4,372530

log(s2) - [suma [log(SSDi) - log(fi)]] / počet(E:E) = 0,310111

c = 1,084211

testová stat. X2 = 250,269

f = 94zvolená hladina významnosti a = 0,05

a krit. X2 = 117,632

(tj. 1-a kvantil X2)

Hypotéza o rovnosi rozptylů se zamítáP-hodnota = 3,89E-16

26

Literatura Kotz S., Johnson  N. L.:  Process Capability Indices.  Chapman and Hall 1993

Michálek J.:  Procesy s rozšířenými regulačními mezemiResearch Report No. 1986 ÚTIA AVČR srpen 2000

Michálek J., Křepela J.:  Koeficienty způsobilosti a výkonnosti v případě rozšířených regulačních mezí. Research Report No. 2009, ÚTIA AVČR, leden 2001

Michálek J., Křepela J.:  Regulační diagramy s rozšířenými regulačními mezemi. Statistické dny v Brně, CQR, červen 2006

ČSN ISO 8258:1994 Shewhartovy regulační diagramy

Daimler Chrysler Corporation, Ford Motor Company a General Motors Corporation: Statistická regulace procesů (SPC), přeložil Michálek J., ČSJ Praha 2006

27