ÚSTAV MECHANIKY A MATERIÁLŮ FD ČVUT TEORIE...

ÚSTAV MECHANIKY A MATERIÁLŮ FD ČVUT TEORIE KONSTRUKCÍ

DOC. ING. MICHAL MICKA, CSc. PŘEDNÁŠKA 4



ÚVOD DO TEORIE MATEMATICKÉ PRUŽNOSTI

ZÁKLADNÍ PŘEDPOKLADY A POJMY

1. Látka, která vytváří příslušné těleso je dokonale lineárně pružné, mezi napětím

a přetvořením je lineární závislost.

2. Látka hmotného tělesa je homogenní a izotropní.

Homogenita – v každém mikroobjemu je stejná látka, která vykazuje stejné fyzikální

a chemické vlastnosti.

Izotropie – vyjadřuje skutečnost, že v kterémkoliv směru vycházejícího z daného bodu

jsou stejné fyzikálně – mechanické vlastnosti.

3. Posuny a deformace tělesa od vnějšího zatížení uvažujeme velmi malé, tj.

v matematickém přepisu je lze pokládat za infinitezimální veličiny.



Základní úloha – určit množinu posunů všech bodů tělesa, tj. určit vektorové pole

posunutí.

Na teorii pružnosti navazuje a souvisí s ní:

Teorie pevnosti – všímá si přípustných mezí napětí, které předepisuje různým druhům

materiálů z hlediska jejich kvality.

Teorie plasticity – vyšetřuje tělesa, která po svém odlehčení zůstávají trvale

zdeformovaná.

Reologie – sleduje rozvoj silových a deformačních faktorů v závislosti na čase. Přihlíží

k vlivu času na změnu fyzikálně – mechanických vlastností látek.



STAV DEFORMACE

Vnější zatížení vyvodí v poddajném tělese posuny, pootočení a deformace.

Deformace elementu se v obecném případě uskutečňuje relativními změnami délek jeho

hran a změnami pravých úhlů mezi jeho stěnami, které můžeme zkoumat ve třech

vzájemně kolmých rovinách.

Posuny a pootočení jsou charakteristikami přetvoření tělesa.

Úhlová deformace yz

zyyz G

yz

yz

obdobně pro xz , xy

Vektor posunutí

w

v

u

u

reprezentuje vektorové pole posunutí daného

tělesa.

O

O´

dz

dx dy x

y

z

yz yz

yz yz

x

xy

zy

xz

z

zx

A

A´

B

B´

C

C´



Složky tenzoru deformace

Na obrázku je znázorněna deformace

rovinného elementu – posunutí vrcholů ve

dvou směrech a zkosení. Poměrné

prodloužení elementu ve směru

souřadnicové osy x se vypočte z výrazu

x

u

dx

dxdudx

dx

dx Bx

Podobně ve směru y

y

v

dy

dydvdy

dy

dy Cy

Pravý úhel elementárního obdélníku u vrcholu A se změnil o malý úhel xy (tzv. úhel

zkosení). Pro xy platí, že je součtem dvou úhlů, takže lze psát

dy

du

dx

dv CBy dx

x

vdvB

dy

y

uduC

A potom y

u

x

vxy



Složky tenzoru deformace

x

ux

y

u

x

vxy

y

vy

z

v

y

wyz

z

wz

x

w

z

uzx

6 geometrických rovnic

kde

x , y , z – poměrné délkové přetvoření (prodloužení) ve směru souřadnicových os.

zxxz

zyyz

yxxy

změny pravých úhlů v rovinách označených příslušnými indexy

(poměrné úhlové přetvoření)

Rovnice pro přetvoření vytvářejí soustavu 6 geometrických rovnic.

Tenzorové pole deformace Txyzxyzzyx ,,,, ,

Geometrické rovnice v maticovém zápisu uT



Operátorová matice

0

0

0

00

00

00

xy

xz

yz

z

y

x

Tenzor deformace malých deformací

z

zyzx

yz

y

yx

xzxy

x

A

22

22

22



ROVNICE KOMPATIBILITY (SPOJITOSTI DEFORMACÍ)

Tvoří soustavu 6 rovnic, kterým musí vyhovovat pole deformace . Platí, že pole

deformace musí být v každém bodě tělesa spojité (kompatibilní).

V maticovém zápisu

0T

A nulová matice

2. pole operátorové matice (kromě znamének)

022

yxzyxz

zxyzxyz

0

2

2

2

2

2

zyyz

yzzy

02

2

2

2

2

xzzx

zxxz

0

2

2

2

2

2

yxxy

xyyx

022

zyxzyx

xyzxyzx

02

2

xzyxzy

yzxyzxy



STAV NAPJATOSTI V tělese vznikají vnitřní síly jako odezva na působení sil vnějších.

Vnější síly:

1. Objemové síly – zatížení, které působí na objem určité hmoty – např. síly gravitační,

setrvačné 3mN

2. Povrchové síly – zatížení, které působí na plochách povrchu tělesa 2mN

Vnější osamělou sílu definujeme jako výslednici sil působících na elementární plochu

A. Vnitřní síly působí na elementárních ploškách

tělesa

A

F

A

0lim 2mN

– vektor napětí v bodě P n

kde

n – normálová složka vektoru napětí

- tečná složka vektoru napětí (tangenciální)

P

F

n

A



x

y

z

0

B

C

D

A1A

2A

3A

z

x

y

xy

xz

yz

yx

zxzy

x

y

z

ΔA – libovolně zvolená plocha

- výsledné napětí na libovolně

orientované ploše ΔA

- normála k plošce BCD svírá se

souřadnicovými osami úhly

Výsledné napětí

Poměry ploch na čtyřstěnu

11 cos l

A

A

2

2 cos lA

A

3

3 cos lA

A



K určení výsledného napětí se sestaví 3 součtové podmínky rovnováhy

0321 AAAA zxyxxx

0321 AAAA zyyxyy

0321 AAAA zyzxzz

po úpravě

zxyxxx lll 321

zyyxyy lll 321

zyzxzz lll 321

Známe-li tenzor napětí A na 3 navzájem kolmých ploškách, lze vypočítat napětí na

libovolné jiné plošce .

lAT

kde Tzyx ,, Tllll 321 ,,

x

y

z

0

B

C

D

A1A

2A

3A

z

x

y

xy

xz

yz

yx

zxzy

x

y

z



Tenzor napětí A popisuje stav napjatosti v daném bodě.

zyzxz

zyyxy

zxyxx

A



CAUCHYHO STATICKÉ ROVNICE

Statické rovnice vycházejí z podmínek spojitosti (kompatibility) změn ve složkách

napětí.

Součtové podmínky

rovnováhy elementárního

kvádru

0

X

zyx

zxyxx

0

Y

z

zy

y

y

x

xy

0

Z

z

z

y

yz

x

xz

nebo 0 X

dx x

dy

dz y

z

dzz

zz

z

x

y

dxx

xx

dyy

yy

xyxz

yz

yx

zx zy

dzz

zxzx

dzz

zyzy

dyy

yxyx

dyy

yzyz

dxx

xzxz

dxx

xyxy



Věta o vzájemnosti tečných napětí

Z momentové podmínky k těžišti

elementárního kvádru lze odvodit

podmínky vyjadřující větu o vzájemnosti

tečných napětí.

02222

dydzdxdy

y

dydzdx

dxdzdydx

x

dxdzdy

yx

yxyx

xy

xyxy

022

2222

ydzdxdy

y

ydzdx

dydzdx

dxdzdydx

x

dxdzdy

dxdzdy

yx

yx

yx

xy

xyxy

0 dzdydxdzdydx yxxy yxxy

y

x

y

dyy

yy

x

dxx

xx

xy

yx

dxx

xyxy

dyy

yxyx



Obdobně yzzyxzzx a záměnou indexů se velikost tečného napětí nemění.

FYZIKÁLNÍ ROVNICE Do počtu rovnic se musí přidat podmínky, které vyjadřují závislost mezi napětím

a přetvořeními a jsou vázány na konkrétní fyzikálně-mechanické vlastnosti reálných

těles.

Vyjadřují vztah mezi složkami tenzoru napětí a tenzoru deformace

zyxxE

1

G

xy

xy

xzyyE

1

G

yz

yz

yxzzE

1

G

xzxz

kde

E – modul pružnosti (Youngův modul) [Nm-2]

G – modul pružnosti ve smyku

12

EG

m

mEG

12



- Poissonova číslo (součinitel)

1m - Poissonova konstanta součinitel příčné konstrukce

l

p

lp

p

l

a

a

l

l

pro izotropní materiály 5,0 !

Objemový modul pružnosti 0E při relativní změně objemu

1

0

EE

Fyzikální rovnice lze zapsat v maticovém tvaru

1

D nebo D

D - matice tuhosti materiálu

1D - matice poddajnosti materiálu (inversní k matici D)

l

l+Δl

a+Δa a



Pro lineárně pružný materiál:

1200000

0120000

0012000

0001

0001

0001

11

ED

2

2100000

02

210000

002

21000

0001

0001

0001

211

ED



ŘEŠENÍ OBECNÉHO PROBLÉMU

Systém základních rovnic je tvořen 15 rovnicemi pro analýzu stavu napětí a

deformace.

Řešení spočívá v určení 15 funkcí proměnných jako funkce (x, y, z):

1. 3 složky vektoru posunutí Twvuu ,,

2. 6 složek tenzorového pole napětí Txyzxyzzyx ,,,,,

3. 6 složek tenzorového pole deformace Txyzxyzzyx ,,,,,

15 rovnic pro řešení obecného problému tedy obsahuje:

1. 6 geometrických rovnic

2. 3 statické rovnice

3. 6 rovnic fyzikálních

Dále jsou doplněny rovnicemi kompatibility – požadavek spojitosti deformace.



Řešení obecného problému má 2 varianty:

1. Deformační varianta

Dosazením složek tenzorového pole deformace do rovnic fyzikálních a pak dosazení

parametrů napětí ve fyzikálních rovnicích do statických diferenciálních rovnic a jejich

integrováním získáme 3 neznámé posuny u, v, w. V tomto případě tvoří 3 statické

rovnice po dosazení Laméovy statické rovnice pro tři neznámé posuny.

2. Silová varianta

Neznámými jsou složky tenzorového pole napětí {}. Postupujeme tak, že rovnice

kompatibility vyjádříme pomocí fyzikálních rovnic v napětích. Těchto rovnic je 6 a mají

6 neznámých funkcí napětí. Protože vyjadřují pouze podmínku spojitosti, je nutno

přičíst upravené Cauchyho rovnice rovnováhy. Po úpravách dostaneme soustavu 6

Beltramiho rovnic a 6 hledaných funkcí napětí.

Volba varianty pro řešení závisí na složitosti problému.



Máme-li zadány kinematické okrajové podmínky (vektor posunutí) je vhodné aplikovat

deformační variantu.

Jsou-li zadány statické okrajové podmínky (např. zatížení je na povrchu) je vhodné

použít silovou metodu. V praxi se obvykle vyskytují kombinované případy okrajových

podmínek.



HLAVNÍ NAPĚTÍ

V obecném bodě zatíženého tělesa existují vždy tři k sobě kolmé plochy na nichž

jsou tečná (smyková) napětí nulová a normálová napětí nenulová. Budeme je nazývat

hlavní napětí a roviny, na které působí – hlavní roviny.

Vzhledem k tomu, že na hlavní rovině působí hlavní napětí totožné s výsledným

napětím, lze pro jeho složky psát: cosx cosy cosz

Dosazením do rovnic rovnováhy na čtyřstěnu mají rovnice rovnováhy po úpravě tvar: 0coscoscos zxyzx

0coscoscos zyyxy

0coscoscos zyzxz

Tyto rovnice mají řešení triviální: 0coscoscos , které nevyhovuje známému

vztahu

1coscoscos 222

Netriviální řešení mají za předpokladu nulového determinantu:



0

zyzxz

zyyxy

zxyxx

Pomocí invariantů lze poté rovnici získanou rozvojem determinantu upravit takto:

032

2

1

3 III

kde

zyxI 1 je I. invariant napětí

222

2 xzyzxyxzzyyx

xzx

xzz

zyz

zyy

yxy

yxxI

je II.invariant napětí

zxyzxyxyzzxyyzxzyx

zyzxz

zyyxy

zxyxx

I

2222

3

je III. Invariant napětí

Řešením rovnice získáme velikosti hlavních napětí, pro které platí :

321 .



V každém bodě tělesa existují právě tři hlavní napětí, působící na tři vzájemně kolmé

plochy.

Invarianty I1, I2, I3 nezávisejí na volbě souřadnicového systému.

Tenzor napětí ve směrech hlavních napětí má tvar:

3

2

1

00

00

00

A

příslušné invarianty v daném souřadnicovém systému x, y, z a ve směrech hlavních

napětí jsou poté:

3211 I 323121

3

2

3

1

2

1

20

0

0

0

0

0

I

321

3

2

1

3

00

00

00

I



Hlavní tečná (smyková) napětí plynou z rovnic:

21122

1

32232

1

13312

1

a k nim korespondují normálové napětí z rovnic:

21122

1 3223

2

1 1331

2

1

Z obrázku je zřejmé, že hlavní tečná (smyková) napětí působí v rovině procházející

jednou osou souřadnicového systému x1, x2, x3 a půlící úhel zbývajících dvou os.

2

1

12

12

1x

2x

3xo45



HLAVNÍ DEFORMACE Hlavní poměrné délkové deformace plynou z kubické rovnice tvaru:

032

2

1

3 III ppp

kde 1I je lineární invariant daný rovnicí:

3211 zyxI

2I je druhý (kvadratický) invariant:

133221

222

24

1

zxyzxyxzzyyxI

3I je třetí (kubický) invariant, daný vztahem:

321

222

34

1

4

1

zxyzxyxyzzxyyzxzyxI

kde kromě dříve uvedených významů jsou 1 , 2 , 3 hlavní poměrné délkové deformace.

Podobně pro hlavní úhlové deformace platí rovnice:

2112 3223 1331



a pro korespondující poměrné délkové přetvoření platí:

21122

1

32232

1

13312

1

Poznámka: za předpokladu, že 1 > 2 > 3 je absolutně největší hlavní úhlová deformace

dána vztahem:

31max



Oktaedrické napětí

Při studiu plastických deformací je

nutné znát smykové napětí působící na

plošce ve stejném sklonu ke každé hlavní

ose. Tato ploška se jmenuje oktaedrická.

Normála k plošce BCD svírá s každou

souřadnicovou osou stejný úhel, platí:

321

Protože:

1coscoscos 3

2

2

2

1

2 platí:

3

1cos2

Oktaedrické napětí je dáno vztahem: 3

2

3

2

2

2

1

okt

Normálová složka oktaedrického napětí je: snokt

3

2

3

2

2

2

1,

a tečná složka je 232

2

31

2

213

1 okt

1

2

3

A

B

C

D

1

2

3

321 ,,



POMĚRNÁ ZMĚNA

OBJEMU – OBJEMOVÁ

DEFORMACE, STŘEDNÍ

NORMÁLNÉ NAPĚTÍ

Uvažujme pravoúhlý hranol o délce

stran ve směru jednotlivých os

dx,dy,dz zatížený na protilehlých

stranách stejným napětím.

Účinkem těchto napětí se strany

hranolu prodlouží ve směru jedno-

tlivých os o přírůstky posunutí.

Změna objemu se dá vyjádřit

dyy

vdz

z

wdzdx

x

udxdx

x

udz

z

wdzdydw

z

wdydxdV

Při zanedbání řádově malých násobků veličin se dostane

dyy

vdzdxdx

x

udzdydw

z

wdydxdV

dx

dy

dz

dzz

w

dyy

v

dxx

u



Poměrná změna objemu je definována

yxzvdzdydx

dyy

vdzdxdx

x

udzdydw

z

wdydx

dV

dV

resp.

zyxv

Dosadí se do tohoto vztahu fyzikální rovnice

yxzzxyzyxv

EEE

111

a potom

211

zyxvE

Zavede-li se tzv. objemový modul pružnosti, který je definován vztahem

213 KE resp. 213

E

K

dostane se poměrná změna objemu ve tvaru

K

zyx

v3



Zavede-li se pojem střední normálné napětí

3

zyx

s

Lze psát vs

K resp. K

s

v



DEVIÁTOR NAPĚTÍ

Stav napjatosti na diferenciálu objemu si můžeme představit jako výsledný účinek dvou stavů

napjatosti (viz obr.).

V prvním působí na všechny stěny objemu stejné napětí s

, jedná se tedy o hydrostatické

napětí, které vyvolává pouze změnu objemu.

Druhý napěťový stav bez hydrostatické složky zase vyvolává změnu tvaru.

Obecný tenzor napětí lze takto rozdělit na na část hydrostatickou a tzv. deviátor napětí.

x

z

y

xy

xzyz

yx

zy

zx

xy

xzyz

yx

zy

zx

s

s

s

sx

sz

sy



Podobně jako tenzor napětí má i deviátor napětí tři invarianty.

V deviátoru napětí

szyzxz

zysyxy

zxyxsx

D

zavedeme nová označení szzzsyyysxxx

a po dosazení

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

D

Invarianty deviátoru napětí pak mají hodnoty

zzyyxx

I 1

je I. invariant deviátoru napětí

je II.invariant deviátoru napětí

222

2 xzyzxyxxzzzzyyyyxx

xxzx

xzzz

zzyz

zyyy

yyxy

yxxyI

zxyzxyxyzzzxyyyzxxzzzyxx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

I

2222

3

je III.invariant deviátoru napětí



DEVIÁTOR DEFORMACE Podobně, zavedeme-li střední deformaci

3

zyx

s

a

szzzsyyysxxx

Mají invarianty deviátoru deformace tvar

zzyyxxI

1

je I. lineární invariant deviátoru deformace

222

24

1zxyzxyxxzzzzyyyyxxI

je II. (kvadratický) invariant deviátoru deformace

zxyzxyxyzzzxyyyzxxzzyyxxI

4

1

4

1 222

3

je III. (kubický) invariant deviátoru deformace.

Deviátory napětí a deformace se používají v teorii plasticity při tvorbě materiálových modelů.



Příklady Pro rovinnou úlohu můžeme výpočet hlavních napětí zjednodušit

yxI 1

2

2 xyyx

yxy

yxxI

03 I

021

2 II

02

2,1 xyyxyx 2

2

2,122

xy

yxyx

Grafickým znázorněním vztahu je tzv. Mohrova kružnice



Úhel 2a je možné určit podle vztahu (viz obr.)

yx

xytg

22

Konstrukce Mohrovy kružnice

http://mi21.vsb.cz/flash-animace/konstrukce-mohrovy-kruznice

http://mi21.vsb.cz/flash-animace/animace-mohrovy-kruznice-elementarni-krychle

Znalost velikostí hlavních napětí a jejich průběhů pomáhá porozumět chování

konstrukce, nalézt v konstrukci slabá místa a provést optimalizaci návrhu konstrukce.

Vliv smykových napětí je vidět např. při tlakové zkoušce betonu

http://mi21.vsb.cz/flash-animace/video-zkouska-tlak-beton

http://mi21.vsb.cz/flash-animace/konstrukce-mohrovy-kruznice

http://mi21.vsb.cz/flash-animace/animace-mohrovy-kruznice-elementarni-krychle

http://mi21.vsb.cz/flash-animace/video-zkouska-tlak-beton



Průběhy směrů hlavních napětí na dlouhé konzole

Průběhy směrů hlavních napětí na krátké konzole



Autor: Doc.Ing.M.Krejsa, Ph.D., VSB Ostrava



Autor: Doc.Ing.M.Krejsa, Ph.D., VSB Ostrava

Date post:	17-Jul-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	3 times
Download:	0 times

ÚSTAV MECHANIKY A MATERIÁLŮ FD ČVUT TEORIE...

Documents